Raksti

10.2.1: Vienpakāpju nevienlīdzības risināšana


Mācību mērķi

  • Pārstāviet nevienlīdzību ciparu rindā.
  • Izmantojiet nevienlīdzības pievienošanas īpašību, lai izolētu mainīgos un atrisinātu algebriskās nevienlīdzības un grafiski izteiktu to risinājumus.
  • Izmantojiet nevienlīdzības reizināšanas īpašību, lai izolētu mainīgos un atrisinātu algebriskās nevienlīdzības un grafiski izteiktu to risinājumus.

Dažreiz situācijas raksturošanai ir virkne iespējamo vērtību. Kad redzat zīmi ar uzrakstu “Speed ​​Limit 25”, jūs zināt, ka tas nenozīmē, ka jums jābrauc tieši ar ātrumu 25 jūdzes stundā (mph). Šī zīme nozīmē, ka jums nav paredzēts braukt ātrāk par 25 jūdzēm stundā, bet jūs varat braukt ar daudziem likumīgiem ātrumiem, piemēram, 22 jūdzes stundā, 24,5 jūdzes stundā vai 19 jūdzes stundā. Šādā situācijā, kurai ir vairāk nekā viena pieņemama vērtība, nevienlīdzība tiek izmantoti, lai atspoguļotu situāciju, nevis vienādojumi.

Nevienlīdzība ir matemātisks apgalvojums, kurā tiek salīdzinātas divas izteiksmes, izmantojot nevienlīdzības zīmi. Nevienlīdzībā nevienlīdzības viena izpausme var būt lielāka vai mazāka nekā otra izteiksme. Šajos izteikumos tiek izmantoti īpaši simboli. Zemāk esošajā lodziņā ir redzams katras nevienlīdzības zīmes simbols, nozīme un piemērs.

Nevienlīdzības pazīmes

( x neq y quad x text {ir} { bf text {nav vienāds}} text {to} y ).

Piemērs: Dienu skaits nedēļā ir nav vienāds līdz 9.

( x> y quad x { bf text {ir lielāks par}} y. text {Piemērs:} 6> 3 )

Piemērs: Dienu skaits mēnesī ir pārāks nekā dienu skaits nedēļā.

( x

Piemērs: Dienu skaits nedēļā ir mazāk nekā dienu skaits gadā.

( x geq y quad x { bf text {ir lielāks vai vienāds ar}} y )

Piemērs: 31 ir lielāks vai vienāds līdz mēneša dienu skaitam.

( x leq y quad x { bf text {ir mazāks vai vienāds ar}} y )

Piemērs: Automašīnas ātrums, kas likumīgi brauc 25 jūdzes stundā, ir mazāks vai vienāds līdz 25 jūdzes stundā.

Nevienlīdzības gadījumā ir svarīgi, ka var būt vairāki risinājumi. Piemēram, nevienlīdzība “31 ≥ dienu skaits mēnesī” ir patiess apgalvojums par katru gada mēnesi - nevienā mēnesī nav vairāk par 31 dienu. Tas attiecas uz janvāri, kurā ir 31 diena ( ( 31 geq 31 )); Septembris, kuram ir 30 dienas (≥ 30); un februāris, kuram ir 28 vai 29 dienas atkarībā no gada ( ( 31 geq 28 text {un} 31 geq 29 ).

Nevienlīdzību ( x> y ) var rakstīt arī kā ( y

Nevienlīdzības var attēlot skaitļu līnijā. Zemāk ir trīs nevienlīdzību piemēri un to diagrammas.

Katrs no šiem grafikiem sākas ar apli - vai nu atvērtu, vai slēgtu (aizēnotu) apli. Šo punktu bieži sauc par beigu punkts no risinājuma. Lai attēlotu nevienlīdzību, tiek izmantots slēgts vai aizēnots aplis lielāks vai vienāds ar (≥) vai mazāks vai vienāds ar (≤). Punkts ir daļa no risinājuma. Tiek izmantots atvērts aplis pārāks nekā (>) vai mazāk nekā (<). Lieta ir daļa no risinājuma.

Tad grafiks bezgalīgi sniedzas vienā virzienā. To parāda līnija ar bultiņu beigās. Piemēram, ņemiet vērā, ka iepriekš parādītajam ( x geq-3 ) grafikam beigu punkts ir -3, kas attēlots ar slēgtu apli, jo nevienlīdzība ir lielāks vai vienāds ar -3. Zilā līnija ir novilkta pa labi uz ciparu līnijas, jo vērtības šajā apgabalā ir lielākas par -3. Bultiņa beigās norāda, ka risinājumi turpinās bezgalīgi.

Lielāko daļu nevienlīdzību var atrisināt, izmantojot tādas pašas metodes kā vienādojumu risināšanai. Nevienlīdzības novēršanai var izmantot apgrieztās operācijas. Tas ir tāpēc, ka, pievienojot vai atņemot vienādu vērtību no nevienlīdzības abām pusēm, jūs esat saglabājis nevienlīdzību. Šīs īpašības ir norādītas zemāk esošajā zilajā lodziņā.

Nevienlīdzības saskaitīšanas un atņemšanas īpašības

( text {Ja} a> b, text {tad} a + c> b + c )

( text {Ja} a> b, text {tad} a-c> b-c )

Tā kā nevienlīdzībai ir vairāki iespējamie risinājumi, risinājumu attēlojums grafiski nodrošina noderīgu situācijas redzējumu. Tālāk sniegtajā piemērā parādīti soļi, kā atrisināt un attēlot nevienlīdzību.

Piemērs

Atrisiniet ( x ).

( x + 3 <5 )

Risinājums

( sākas {masīvs} {r}
x + 3 <& 5
-3 & -3 \
hline x <& 2
end {masīvs} )
Izolējiet mainīgo, no abām nevienlīdzības pusēm atņemot 3.

( x <2 )

Zemāk ir parādīta nevienlīdzības ( x <2 ) diagramma.

Tāpat kā jūs varat pārbaudīt vienādojuma risinājumu, jūs varat pārbaudīt nevienlīdzības risinājumu. Pirmkārt, jūs pārbaudāt gala punktu, aizstājot to saistītajā vienādojumā. Tad jūs pārbaudāt, vai nevienlīdzība ir pareiza, aizstājot jebkuru citu risinājumu, lai redzētu, vai tas ir viens no risinājumiem. Tā kā ir vairāki risinājumi, ir laba prakse pārbaudīt vairākus iespējamos risinājumus. Tas var arī palīdzēt jums pārbaudīt, vai jūsu diagramma ir pareiza.

Tālāk sniegtajā piemērā parādīts, kā jūs varētu pārbaudīt, vai ( x <2 ) ir risinājums ( x + 3 <5 ).

Piemērs

Pārbaudiet, vai ( x <2 ) ir risinājums ( x + 3 <5 ).

Risinājums

( sākas {izlīdzināts}
x + 3 & = 5
text {Vai} 2 + 3 & = 5?
5 &=5
end {izlīdzināts} )
2. beigu punktu aizstāj saistītajā vienādojumā ( x + 3 = 5 ).

( sākas {izlīdzināts}
x + 3 & <5
text {Vai} 0 + 3 un <5?
3 &<5
end {izlīdzināts} )

Tas pārbauda!

Lai pārbaudītu nevienlīdzību, izvēlieties vērtību, kas ir mazāka par 2, piemēram, 0. (Šī vērtība būs diagrammas ēnotajā daļā.)

( x <2 ) ir risinājums ( x + 3 <5 )

Šie piemēri parāda papildu nevienlīdzības problēmas. Parādīts arī nevienlīdzības risinājuma grafiks. Atcerieties pārbaudīt risinājumu. Tas ir labs ieradums veidot!

Papildu piemērs

Atrisiniet ( x ).

( frac {15} {2} + x> - frac {37} {4} )

Risinājums

( sākas {masīvs} {r}
frac {15} {2} - frac {15} {2} + x- frac {37} {4} - frac {15} {2}
x> - frac {37} {4} - frac {15} {2}
x> - frac {37} {4} - frac {30} {4}
x> - frac {67} {4}
end {masīvs} )
Lai izolētu mainīgo, no abām pusēm atņemiet ( frac {15} {2} ).

( x> - frac {67} {4} )

Piemērs

Atrisiniet ( x ).

( x-10 leq-12 )

Risinājums

( sākas {masīvs} {r}
x-10 leq & -12
+10 & +10 \
hline x leq & -2
end {masīvs} )
Izolējiet mainīgo, abām nevienlīdzības pusēm pievienojot 10.

( x leq-2 )

Šī risinājuma diagramma parādīta zemāk. Ievērojiet, ka tiek izmantots slēgts aplis, jo nevienlīdzība ir “mazāka vai vienāda ar” (≤). Zilā bultiņa ir novilkta pa kreisi no punkta -2, jo tās ir vērtības, kas ir mazākas par -2.

Piemērs

Pārbaudiet to ( x leq-2 ) ir risinājums ( x-10 leq-12 ).

Risinājums

( sākas {izlīdzināts}
x-10 & = - 12
text {Vai} -2-10 & = - 12?
-12 &=-12
end {izlīdzināts} )
Aizstājiet beigu punktu -2 saistītajā vienādojumā ( x-10 = -12 ).

( text {Is} begin {aligned}
x-10 un leq 12
-5-10 & leq 12 text {? }
-15 & leq 12
end {izlīdzināts} )

Tas pārbauda!

Lai pārbaudītu nevienlīdzību, izvēlieties vērtību, kas ir mazāka par -2, piemēram, -5. (Šī vērtība būs diagrammas ēnotajā daļā.)

( x leq-2 ) ir risinājums ( x-10 leq 12 ).

Piemērs

Atrisiniet ( a ).

( a-17> -17 )

Risinājums

( sākas {masīvs} {r}
a-17> & -17
+17 & +17 \
hline a >> un 0
end {masīvs} )
Izolējiet mainīgo, abām nevienlīdzības pusēm pievienojot 17.

( a> 0 )

Šī risinājuma diagramma parādīta zemāk. Ievērojiet, ka tiek izmantots atvērts aplis, jo nevienlīdzība ir “lielāka par” (>). Bultiņa ir novilkta pa labi no 0, jo tās ir lielākas par 0.

Piemērs

Pārbaudiet, vai ( a> 0 ) ir risinājums

( a-17> -17 ).

Risinājums

( sākas {izlīdzināts}
a-17 & = - 17
text {Vai} 0-17 un = - 17?
-17&=-17
end {izlīdzināts} )
Attiecīgajā vienādojumā aizstājiet beigu punktu 0.

( sākas {izlīdzināts}
a-17 &> - 17
text {Vai} 20-17 un> - 17?
3&>-17
end {izlīdzināts} )

Tas pārbauda!

Lai pārbaudītu nevienlīdzību, izvēlieties vērtību, kas lielāka par 0, piemēram, 20. (Šī vērtība būs diagrammas ēnotajā daļā.)

( a> 0 ) ir risinājums ( a-17> -17 ).

Papildu jautājums

Atrisiniet ( x ): ( 0.5 x leq 7-0.5 x ).

  1. ( x leq 0 )
  2. ( x> 35 )
  3. ( x leq 7 )
  4. ( x geq 5 )
Atbilde
  1. ( x leq 0 )

    Nepareizi. Lai atrastu ( x ) vērtību, mēģiniet abām pusēm pievienot ( 0,5 x ). Pareizā atbilde ir ( x leq 7 ).

  2. ( x> 35 )

    Nepareizi. Lai atrastu ( x ) vērtību, mēģiniet abām pusēm pievienot ( 0,5 x ). Pareizā atbilde ir ( x leq 7 ).

  3. ( x leq 7 )

    Pareizi. Pievienojot abām pusēm ( 0.5 x ), tas izveido ( 1 x ), tātad ( x leq 7 ).

  4. ( x geq 5 )

    Nepareizi. Pareizā atbilde ir ( x leq 7 ).

Nevienlīdzības risināšana ar mainīgo, kura koeficients nav 1, parasti ietver reizināšanu vai dalīšanu. Šīs darbības ir kā vienpakāpes vienādojumu risināšana, kas ietver nevienlīdzības zīmes reizināšanu vai dalīšanu, IZŅEMOT. Apskatīsim, kas notiek ar nevienlīdzību, reizinot vai dalot katru pusi ar vienu un to pašu skaitli.

Sāksim ar patieso apgalvojumu:( 10>5)Mēģināsim vēlreiz, sākot ar to pašu patieso apgalvojumu:( 10>5)
Pēc tam reiziniet abas puses ar to pašu pozitīvo skaitli: ( 10 cdot 2> 5 cdot 2 )Šoreiz reiziniet abas puses ar vienu un to pašu negatīvo skaitli: ( 10 cdot-2> 5 cdot-2 )
20 ir lielāks par 10, tāpēc jums joprojām ir patiesa nevienlīdzība:( 20>10)Uzgaidi minūti! -20 ir lielāks par -10, tāpēc jums ir nepatiesa apgalvojums.( -20>-10)
Reizinot ar pozitīvu skaitli, atstājiet nevienlīdzības zīmi tādu, kāda tā ir!Lai apgalvojums būtu patiess, jums ir “jāmaina” nevienlīdzības zīme:( -20<-10)

Reizinot ar negatīvu skaitli, “apgrieziet” nevienlīdzības zīmi.

Ikreiz, kad reizināt vai dalāt nevienlīdzības abas puses ar negatīvu skaitli, nevienlīdzības zīme ir jāmaina, lai saglabātu patiesu apgalvojumu.

Šie noteikumi ir apkopoti zemāk esošajā lodziņā.

Nevienlīdzības reizināšanas un dalīšanas īpašības

( sākas {izlīdzināts}
text {If} a> b text {, tad} a c> b c text {, ja} c> 0
text {Ja} a> b text {, tad} a c text {If} a> b text {, tad} frac {a} {c}> frac {b} {c} text {, ja} c> 0
text {If} a> b text {, tad} frac {a} {c} < frac {b} {c} text {, ja} c <0
end {izlīdzināts} )

Paturiet prātā, ka jūs maināt zīmi tikai tad, kad reizināt un dalāt ar negatīvs numuru. Ja saskaitāt vai atņemat negatīvu skaitli, nevienlīdzība paliek nemainīga.

Piemērs

Atrisiniet ( x ).

( - frac {1} {3}> - 12 x )

Risinājums

( sākas {izlīdzināts}
- frac {1} {3} div-12 un <- 12 x div-12
- frac {1} {3} cdot- frac {1} {12} un < frac {-12 x} {- 12}
frac {1} {36} un end {izlīdzināts} )
Sadaliet abas puses ar -12, lai izolētu mainīgo. Tā kā jūs dalāties ar negatīvu skaitli, jums jāmaina nevienlīdzības zīmes virziens.

Pārbaudiet

( sākas {izlīdzināts} teksts {Vai}
- frac {1} {3} & = - 12 pa kreisi ( frac {1} {36} pa labi)?
- frac {1} {3} & = - frac {12} {36}
- frac {1} {3} & = - frac {1} {3}
end {izlīdzināts} )

Pārbaudiet savu risinājumu, vispirms attiecīgajā vienādojumā pārbaudot beigu punktu ( frac {1} {36} ).

( sākas {izlīdzināts}
text {Is} - frac {1} {3} &> - 12 (2)
- frac {1} {3} un> - 24
end {izlīdzināts} )

Tas pārbauda!

Izvēlieties vērtību, kas lielāka par ( frac {1} {36} ), piemēram, 2, lai pārbaudītu nevienlīdzību.

( x> frac {1} {36} )

Piemērs

Atrisiniet ( x ).

( 3 x> 12 )

Risinājums

( sākas {izlīdzināts}
frac {3 x} {3} &> frac {12} {3}
& x> 4
end {izlīdzināts} )
Sadaliet abas puses ar 3, lai izolētu mainīgo.

Pārbaudiet

( sākas {izlīdzināts}
teksts {Vai}
3 cdot 4 & = 12?
12 &=12
end {izlīdzināts} )

( sākas {izlīdzināts}
text {Vai} 3 cdot 10 &> 12?
30&>12
end {izlīdzināts} )

Pārbaudiet savu risinājumu, vispirms pārbaudot gala punktu 4 un pēc tam pārbaudot citu nevienlīdzības risinājumu.

( x> 4 )

Šī risinājuma diagramma ir parādīta zemāk.

Nevajadzēja veikt izmaiņas nevienlīdzības zīmē, jo abas nevienlīdzības puses tika sadalītas ar pozitīvs 3. Nākamajā piemērā ir dalījums ar negatīvu skaitli, tāpēc risinājumā ir papildu solis!

Piemērs

Atrisiniet ( x ).

( -2 x> 6 )

Risinājums

( frac {-2 x} {- 2} < frac {6} {- 2} )

( x <-3 )

Sadaliet katru nevienlīdzības pusi ar -2, lai izolētu mainīgo, un mainiet nevienlīdzības zīmes virzienu, jo dalījums ir ar negatīvu skaitli.

Pārbaudiet:

( sākas {izlīdzināts} teksts {Vai}
-2(-3)&=6 ? \
6&=6 \
text {Vai} -2 (-6) &> 6?
12&>6
end {izlīdzināts} )

Tas pārbauda!

Pārbaudiet savu risinājumu, vispirms pārbaudot beigu punktu -3 un pēc tam pārbaudot citu nevienlīdzības risinājumu.

( x <-3 )

Tā kā nevienlīdzības abas puses tika sadalītas ar negatīvu skaitli -2, nevienlīdzības simbols tika pārslēgts no> uz <. Šī risinājuma diagramma ir parādīta zemāk.

Vingrojiet

Atrisiniet ( y ): ( -10 y geq 150 )

  1. ( y = -15 )
  2. ( y geq-15 )
  3. ( y leq-15 )
  4. ( y geq 15 )
Atbilde
  1. ( y = -15 )

    Nepareizi. Lai arī -15 ir nevienlīdzības risinājums, tas nav vienīgais risinājums. Risinājumā jāiekļauj nevienlīdzības zīme. Pareizā atbilde ir ( y leq-15 ).

  2. ( y geq-15 )

    Nepareizi. Šis risinājums neapmierina nevienlīdzību. Piemēram, ( y = 0 ), kura vērtība ir lielāka par -15, rada nepatiesu apgalvojumu. 0 nav lielāks nekā Dalot ar negatīvu skaitli, jums jāmaina nevienlīdzības simbols. Pareizā atbilde ir ( y leq-15 ).

  3. ( y leq-15 )

    Pareizi. Abas puses dalot ar -10 lapām ( y ), kas izolētas nevienlīdzības kreisajā pusē, un -15 labajā pusē. Tā kā jūs dalījāt ar negatīvu skaitli, ≥ ir jāpārslēdz uz ≤.

  4. ( y geq 15 )

    Nepareizi. Sadaliet ar -10, nevis 10, lai izolētu mainīgo. Pareizā atbilde ir ( y leq-15 ).

Papildu jautājums

Atrisiniet ( a ): ( - frac {a} {5} < frac {35} {8} )

  1. ( a> - frac {175} {8} )
  2. ( a <- frac {175} {8} )
  3. ( a> - frac {7} {8} )
  4. ( a <- frac {7} {8} )
Atbilde
  1. ( a> - frac {175} {8} )

    Pareizi. Reizinot abas puses ar -5 un pavēršot nevienlīdzības zīmi no , jūs atradāt, ka ( a> - frac {175} {8} ).

  2. ( a <- frac {175} {8} )

    Nepareizi. Jūs pareizi reizinājāt ar -5, taču atcerieties, ka nevienlīdzības zīme tiek apvērsta, reizinot ar negatīvu skaitli. Pareizā atbilde ir: ( a> - frac {175} {8} ).

  3. ( a> - frac {7} {8} )

    Nepareizi. Izskatās, ka jūs sadalījāt abas puses ar -5. Kaut arī jūs atcerējāties pareizi uzsvērt nevienlīdzības zīmi, dalīšana šeit nav pareiza darbība. Pareizā atbilde ir: ( a> - frac {175} {8} ).

  4. ( a <- frac {7} {8} )

    Nepareizi. Izskatās, ka jūs sadalījāt abas puses ar -5. Dalīšana šeit nav pareiza darbība, un, reizinot vai dalot ar negatīvu skaitli, atcerieties apcelt nevienlīdzības zīmi. Pareizā atbilde ir: ( a> - frac {175} {8} ).

Nevienlīdzību risināšana ir ļoti līdzīga vienādojumu risināšanai, izņemot to, ka jums ir jāmaina nevienlīdzības simboli, reizinot vai dalot nevienlīdzības abas puses ar negatīvu skaitli. Tā kā nevienlīdzībai var būt vairāki risinājumi, ir pieņemts nevienlīdzības risinājumu attēlot gan grafiski, gan algebriski. Tā kā nevienlīdzībai parasti ir vairāki risinājumi, pārbaudot atbildi, jāpārbauda beigu punkts un vēl viena vērtība, lai pārbaudītu nevienlīdzības virzienu.


Soli pa solim, lai atrisinātu vienpakāpes nevienlīdzību

  • Līdzīgi kā vienādojumi, vispirms izolējiet mainīgo, izmantojot apgriezto darbību.
  • Lai abas puses dalītu vai reizinātu ar negatīviem skaitļiem, pagrieziet nevienlīdzības zīmes virzienu.

Vienpakāpju nevienlīdzība & # 8211 1. piemērs:

Atrisiniet un attēlojiet nevienlīdzību. (x + 2 ≥ 3 )

No abām pusēm atņemiet 2. (x + 2 ≥ 3 → x + 2 & # 8211 2 ≥ 3 & # 8211 2, pēc tam: x ≥ 1 )

Vienpakāpju nevienlīdzība & # 8211 2. piemērs:

Atrisiniet un attēlojiet nevienlīdzību. (x & # 8211 1 leq 2 )

Pievienojiet (1 ) abām pusēm. (x - 1 ≤ 2 → x - 1 + 1 ≤ 2 + 1 ), pēc tam: (x ≤ 3 )


Atklātie resursi Kopienas koledžas algebrai

Šajā sadaļā mēs uzzinām, ka pamata nevienlīdzību risināšana nemaz neatšķiras no pamata vienādojumu risināšanas.

1.6.1. Attēls. Alternatīva video stunda

Ar vienu nelielu sarežģījumu mēs varam izmantot ļoti līdzīgas īpašības faktam 1.5.13, kad mēs risinām nevienlīdzības (atšķirībā no vienādojumiem). Šeit ir daži skaitliski piemēri.

Pievienojiet abām pusēm Ja (2 lt4 text <,> ), tad (2 addright <1> stackrel < checkmark> < lt> 4 addright <1> text <.> )
Atņemiet no abām pusēm Ja (2 lt4 text <,> ), tad (2 subtractright <1> stackrel < checkmark> < lt> 4 subtractright <1> text <.> )
Abās pusēs reiziniet ar a pozitīvs numuru Ja (2 lt4 text <,> ), tad ( multiplyleft <3> 2 stackrel < checkmark> < lt> multiplyleft <3> 4 text <.> )
Sadaliet abās pusēs ar a pozitīvs numuru Ja (2 lt4 text <,> ), tad ( divideunder <2> <2> stackrel < checkmark> < lt> divideunder <4> <2> text <.> )

Tomēr kaut kas interesants notiek, kad mēs reizinām vai dalām ar to pašu negatīvs skaitlis nevienlīdzības abās pusēs: virziens mainās! Lai saprastu, kāpēc, ņem vērā 1.6.2. Attēlu, kur skaitļi (2 ) un (4 ) tiek reizināti ar negatīvo skaitli (- 1 text <.> )

Tātad, pat ja (2 lt4 text <,> ), reizinot abas puses ar (- 1 text <,> ), mums ir nepatiesa nevienlīdzība (- 2 stackrel < text> < lt> -4 text <.> ) taisnība nevienlīdzība ir (- 2 gt-4 teksts <.> )

Fakts 1.6.3. Nevienlīdzības zīmes virziena maiņa.

Kad mēs reizinām vai dalām nevienlīdzības katru pusi ar to pašu negatīvs skaitlis, nevienlīdzības zīmei ir jāmaina virziens. Dariet mainīt nevienlīdzības zīmi, reizinot / dalot ar pozitīvu skaitli vai saskaitot / atņemot ar jebkuru skaitli.

1.6.4. Piemērs.

Atrisiniet nevienlīdzību (- 2x geq12 text <.> ) Norādiet risinājumu, kas iestatīts grafiski, izmantojot intervālu apzīmējumus un izmantojot kopu veidotāja apzīmējumus. (Intervāla apzīmējums un komplekta veidotāja apzīmējums ir apskatīts 1.3. Sadaļā.)

Lai atrisinātu šo nevienlīdzību, mēs sadalīsim katru pusi ar (- 2 text <:> )

Ņemiet vērā, ka nevienlīdzības zīme mainīja virzienu tajā solī, kur mēs sadalījām katru nevienlīdzības pusi ar a negatīvs numuru.

Kad mēs atrisināsim lineāru nevienlīdzība, parasti ir bezgalīgi daudz risinājumu. (Atšķirībā no tā, kad mēs atrisinām lineāro vienādojumu un mums ir tikai viens risinājums.) Šajā piemērā jebkurš skaitlis, kas mazāks vai vienāds ar (- 6 ), ir risinājums.

Ir vismaz trīs veidi, kā attēlot nevienlīdzības risinājumam noteikto risinājumu: grafiski, ar kopu veidotāja apzīmējumu un ar intervālu apzīmējumu. Grafiski mēs attēlojam risinājumu kopu šādi:

Izmantojot intervālu pierakstu, mēs rakstām risinājumu kopu kā ((- - infty, -6] text <.> ). Izmantojot set-builder apzīmējumu, mēs rakstām risinājumu kopu kā ( teksts <.> )

Tāpat kā ar vienādojumiem, mums jāpārbauda risinājumi, lai uztvertu gan cilvēku kļūdas, gan arī iespējamos svešus risinājumus (skaitļi, kas bija iespējams risinājumi saskaņā ar algebru, bet kas faktiski neatrisina nevienlīdzību).

Tā kā risinājumu ir bezgalīgi daudz, tos visus nav iespējams burtiski pārbaudīt. Mēs noskaidrojām, ka visas (x ) vērtības, kurām (x leq-6 ) ir risinājumi. Viena pieeja ir pārbaudīt, vai viens skaitlis, kas mazāks par (- 6 ) (jebkurš skaitlis, pēc jūsu izvēles), apmierina nevienlīdzību. Un ka (- 6 ) apmierina nevienlīdzību. Un to dara viens skaitlis, kas ir lielāks par (- 6 ) (jebkurš skaitlis, pēc jūsu izvēles) piesātināt nevienlīdzību.

Tādējādi gan (- 7 ), gan (- 6 ) ir risinājumi, bet (- 5 ) nav. Tas ir pierādījums tam, ka mūsu risinājumu kopa ir pareiza, un tā ir vērtīga ar to, ka šo pārbaužu veikšana, visticamāk, palīdzētu mums pieļaut kļūdu, ja tādu būtu izdarījusi. Lai gan trīs šādu pārbaužu veikšana noteikti prasa laiku un vietu, tai ir sava vērtība.

1.6.5. Piemērs.

Atrisiniet nevienlīdzību (t + 7 lt5 text <.> ) Norādiet risinājumu, kas iestatīts grafiski, izmantojot intervālu pierakstus un izmantojot kopu veidotāja apzīmējumus.

Lai atrisinātu šo nevienlīdzību, mēs no katras puses atņemsim (7 ). Nav daudz atšķirību starp šo procesu un vienādojums (t + 7 = 5 text <,> ), jo mēs negrasāmies reizināt vai dalīt ar negatīviem skaitļiem.

Vēlreiz ņemiet vērā, ka nevienlīdzības virziens nemainījās, jo mēs nevienā reizē nevairojām un nedalījām nevienlīdzības katru pusi ar negatīvu skaitli.

Grafiski mēs attēlojam šo risinājumu kopu kā:

Izmantojot intervālu apzīmējumus, mēs rakstām risinājumu kopu kā ((- - infty, -2) text <.> ). Izmantojot set-builder apzīmējumus, mēs rakstām risinājumu kopu kā ( teksts <.> )

Mums jāpārbauda, ​​vai daži skaitļi ir mazāki par (- 2 ) ir risinājums, bet tas ir (- 2 ) un daži skaitļi, kas lielāki par (- 2 ), ir risinājumus.

Tātad mūsu risinājums ir pamatoti pārbaudīts.

Kontroles punkts 1.6.6.
Kontroles punkts 1.6.7.

Jautājumu lasīšana Jautājumu lasīšana

Kādi ir trīs veidi, kā izteikt lineārai nevienlīdzībai noteikto risinājumu?

Kad jūs ejat cauri vienkāršas lineāras nevienlīdzības risināšanas virzībai, kāds (-i) solis (-i) jums varētu būt nepieciešams spert tur, kur notiek kaut kas īpašs, par kuru jums nav jāuztraucas, risinot vienkāršu lineāru vienādojumu?

Kāpēc nevienlīdzībai iestatītā risinājuma pārbaude prasa vairāk pūļu nekā vienādojumam iestatītā risinājuma pārbaude?


Kā atrisināt vienpakāpju nevienlīdzību

Vienpakāpju nevienlīdzība ir nevienlīdzība, kuras risinājumi tiek iegūti, veicot vienu soli. Izpildiet šo procesu, lai nonāktu pie risinājuma:

& emsp & emsp & # 10031 Spēlē apgrieztās darbības.

& emsp & emsp & # 10031 Izolējiet mainīgo vienā pusē.

Tas varētu izskatīties tieši tā, kā atrisināt vienpakāpes vienādojumus, taču noteikti soļi mēdz mainīt nevienlīdzības zīmes virzienu. Tāpēc ņemiet vērā to, kas ietekmē nevienlīdzības simbola virzienu un kas ne.

Kas nemaina virzienu:

& emsp & emsp1) Skaitļa saskaitīšana vai atņemšana abās pusēs.

& emsp & emsp2) Pozitīva skaitļa reizināšana vai dalīšana abās pusēs.

Uzminējāt, kas to maina? Tev taisnība!

Reizinot vai dalot abas puses ar negatīvu skaitli, jums jāmaina nevienlīdzības zīmes virziens.

Tāpat mainiet & le uz & ge un & ge uz & le.

Tagad, kad esat sapratis soļus, mēģināsim tos ieviest, lai atrisinātu dažādas nevienlīdzības ar vienu mainīgo!

Vienpakāpju nevienlīdzību risināšana, izmantojot papildinājumu

Saskaitīšana ir atņemšanas apgrieztā vērtība. Formas x - a & lt b nevienādībām, kur ‘x’ ir mainīgais, ‘a’ un ‘b’ ir konstantes, atrisināšanai izmantojam nevienlīdzību pievienošanas īpašību. Īpašumā norādīts, ka, pievienojot abām pusēm vienādu skaitli, nevienlīdzība paliek nemainīga.

Mēs to varam labāk saprast, aplūkojot atrisinātu piemēru.

Atrisiniet nevienlīdzību: x - 2 & lt 3.

& emsp & # 8680 x - 2 + 2 & lt 3 + 2 & emsp [Pievienojot 2 abām pusēm]

Risinājumu kopa norāda, ka x var būt jebkura vērtība, kas ir mazāka par 5.

Risinājumu kopas grafiskais attēlojums ir šāds:

Piezīme: Šeit vērtība 5 nav iekļauta risinājumu komplektā, tāpēc to uzzīmē ar atvērtu apli.

Pārbaudiet savu risinājumu!
Nevienlīdzībā aizstājiet x ar jebkuru vērtību no iestatītā risinājuma, lai pārbaudītu atbildi.
Nevienādībai x - 2 & lt 3 var aizstāt x ar jebkuru vērtību, kas ir mazāka par 5.
Pievienojot x = 4, mēs iegūstam:
4 - 2 & lt 3
2 & lt 3 ✔

Vienpakāpju nevienlīdzību risināšana, izmantojot atņemšanu

Mēs izmantojam atņemšanas īpašību, lai atrisinātu formas x + a & lt b nevienādības. Atņemšanas rekvizīts norāda, ka nevienādība paliek nemainīga, kad abas puses atņemat to pašu skaitli.

Apskatīsim atrisinātu piemēru:

Atrisiniet šo nevienlīdzību: x + 3 ≥ 2.

& emsp & # 8680 x + 3 - 3 ≥ 2 - 3 & emsp [No abām pusēm atņemot 3]

Kad mēs attēlojam šo risinājumu kopu, tas izskatās šādi:

Piezīme: Šeit vērtība –1 ir iekļauta risinājumu komplektā, tāpēc to uzzīmē ar slēgtu vai aizpildītu apli.

Vienpakāpju nevienlīdzību risināšana, izmantojot reizināšanu

Reizināšana ir dalījuma apgrieztā vērtība. Tādējādi, risinot formas nevienlīdzību xa & lt b, mēs izmantojam reizināšanas rekvizītu. Mainīgajam šeit ir dalījuma koeficients. Īpašumā teikts, ka reizinot to pašu skaitli ar abām pusēm, nevienlīdzība paliek nemainīga.

Šeit ir mūsu atrisinātais piemērs:

Atrisiniet šo nevienlīdzību: x2 & gt –1.

& emsp & # 8680 x2 . 2 & gt (–1). 2 & emsp [reizinot 2 abās pusēs]

Šī risinājumu komplekta diagramma ir:

Ko darīt, ja mainīgajam ir negatīvs dalījuma koeficients? Vai atceraties izmaiņas nevienlīdzības zīmes virzienā?

Jā, tas notiek, reizinot negatīvo skaitli. Lai to ilustrētu, ir atrisināts piemērs.

Atrisiniet nevienlīdzību: x–3 ≤ 2.

& emsp & # 8680 x–3 . (–3) ≥ 2. (–3) & emsp [reizinot abas puses ar –3 un mainot nevienlīdzības simbolu]

Attēlojot šo risinājumu kopu, mums ir:

Vienpakāpju nevienlīdzību risināšana, izmantojot dalīšanu

Attiecībā uz ax & lt b tipa nevienlīdzībām tiek sadalīta īpašība. Tajā teikts, ka nevienlīdzība paliek nemainīga, kad abas tās puses dalām ar vienādu skaitli. Mainīgo izolē, abas puses dalot ar koeficientu ‘a’. Vienmēr paturiet prātā, ka zīme maina virzienu, dalot to ar negatīvu skaitli.

Atrisiniet nevienlīdzību: 4x & ge 20.

& emsp & # 8680 4x4 & ge 204 & emsp [Sadalot abas puses ar 4]

Kad mēs attēlojam šo risinājumu kopu, mēs iegūstam:

Atrisiniet nevienlīdzību: –5x ≥ 10.

& emsp & # 8680 –5x–510–5 & emsp [Sadalot abas puses ar –5 un mainot nevienlīdzības simbola virzienu]

Attēlojot risinājumu kopu, mums ir:

Iesaiņošana!

Lai atrisinātu nevienlīdzību ar saskaitīšanu un atņemšanu, mums ir jāizolē mainīgais lielums vienā vienādojuma pusē.

Lai atrisinātu nevienlīdzību ar mainīgo, kuram ir dalījuma koeficients, mēs izmantojam reizināšanas īpašību. Mēs reizinām abas nevienlīdzības puses ar saucēju, lai izolētu mainīgo.

Sadalījuma rekvizītu izmanto, lai atrisinātu nevienlīdzību ar mainīgo ar vesela skaitļa koeficientu.

Negatīva skaitļa reizināšana vai dalīšana nevienlīdzības abās pusēs izraisa nevienlīdzības zīmes maiņas virzienu.

Uzņemiet impulsu šajā procesā, izmantojot mūsu bezmaksas izdrukājamās darblapas par vienpakāpju nevienlīdzību!


No katras puses atņemiet 5. & # Xa0

Tātad, x vērtība ir lielāka par -2.

Tātad p vērtība ir mazāka par 10. & # xa0

Tātad r vērtība ir mazāka vai vienāda ar 3. & # Xa0

Tātad m vērtība ir mazāka vai vienāda ar 12.

Šajā problēmā vispirms mums ir jāpadara p pozitīvs.

Lai to izdarītu, mums katrā pusē jāpievieno p. & # Xa0

To darot, nevienlīdzības labajā pusē būs (12 + p).

Pēc tam atņemiet 12 no katras puses, lai atrisinātu p. & # Xa0

Tātad p vērtība ir mazāka vai vienāda ar -4.

Tātad m vērtība ir mazāka par -5.

No katras puses atņemiet 5/3. & # Xa0

Tātad v vērtība ir lielāka par -2. & # Xa0

Šajā problēmā vispirms mums jāpadara m pozitīvs.

Lai to izdarītu, mums katrā pusē jāpievieno m. & # Xa0

To darot, nevienlīdzības labajā pusē būs (-44 + m).

Pēc tam pievienojiet 44 katrā pusē, lai atrisinātu m. & # Xa0

Tātad m vērtība ir lielāka par 82.

Tātad m vērtība ir mazāka par -2.

Šajā problēmā vispirms mums jāpadara v pozitīvi.

Lai to izdarītu, mums katrā pusē jāpievieno v. & # Xa0

To darot, nevienlīdzības labajā pusē būs (-40,3 + v).

Pēc tam pievienojiet 40,3 katrā pusē, lai atrisinātu v. & # Xa0

Tātad v vērtība ir lielāka par 14,6.

Kad skaitlim pievieno 7, iegūstam rezultātu, kas lielāks par 25. Atrodiet skaitli. & # Xa0

Ļaujiet x būt vajadzīgajam skaitlim. & # Xa0

Dots: & # xa0 Kad skaitlim pievieno 7, rezultāts ir lielāks par 25.

No katras puses atņemiet 7.

Tātad nepieciešamais skaitlis ir jebkurš skaitlis, kas lielāks par 18.

Reizinot skaitli ar 4, mēs iegūstam rezultātu, kas mazāks par 124. Atrodiet skaitli. & # Xa0

Lai x būtu nepieciešamais skaitlis. & # Xa0

Dots: & # xa0 Kad skaitlis tiek reizināts ar 4, rezultāts ir mazāks par 125. & # Xa0

Tātad nepieciešamais skaitlis ir jebkurš skaitlis, kas mazāks par 31.

Dalot skaitli ar 7, iegūstam rezultātu, kas lielāks par 14. Atrodiet skaitli. & # Xa0

Ļaujiet m būt vajadzīgajam skaitlim. & # Xa0

Dots: & # xa0 Kad skaitlis tiek dalīts ar 7, rezultāts ir lielāks par 14. & # xa0

Tātad nepieciešamais skaitlis ir jebkurš skaitlis, kas lielāks par 98.

Džonam bija dažas konfektes. Viņš uzdāvināja draugam 5 konfektes, un tagad viņam ir vairāk nekā 18 konfektes. Cik konfektes sākotnēji bija Džonam? & # Xa0

Ļaujiet m būt nē. konfekšu, kas sākotnēji bija Džonam. & # xa0

Dots: & # xa0 Pēc 5 konfekšu nodošanas draugam Džonam ir vairāk nekā 18 konfektes. & # Xa0

Tātad sākotnēji Džonam būtu bijušas vairāk nekā 23 konfektes.

Alekss aizņēmās naudu no Hosē. Pēc 3 gadiem Alekss atgrieza Hosē vairāk nekā 2 reizes aizņemto naudu. Ja atgrieztā nauda ir 226 USD, cik daudz naudas Alekss aizņēmās no Hosē?

Ļaujiet aizņemtajai naudai būt x. & # Xa0

Dots: & # xa0 Alekss atgrieza Hosē vairāk nekā 2 reizes aizņemto naudu. un atgrieztā nauda ir USD 226. & # xa0

Tātad aizņemtā nauda ir mazāka par 113 USD. & # Xa0

Papildus iepriekš sniegtajam materiālam, ja jums ir nepieciešami citi matemātikas materiāli, lūdzu, izmantojiet mūsu google pielāgoto meklēšanu šeit.

Ja jums ir kādas atsauksmes par mūsu matemātikas saturu, lūdzu, nosūtiet mums e-pastu: & # xa0

Mēs vienmēr novērtējam jūsu atsauksmes. & # Xa0

Varat arī apmeklēt šādas tīmekļa lapas ar dažādiem matemātikas jautājumiem. & # Xa0


Apvienojiet nevienlīdzības īpašības, lai atrisinātu algebrisko nevienlīdzību

Populāra vienādojumu risināšanas stratēģija, mainīgā lieluma izolēšana attiecas arī uz nevienlīdzību risināšanu. Saskaitot, atņemot, reizinot un / vai dalot, jūs varat pārrakstīt nevienlīdzību tā, lai mainīgais būtu vienā pusē, bet viss pārējais - otrā. Tāpat kā ar vienpakāpju nevienlīdzību, daudzpakāpju nevienlīdzību risinājumus var attēlot uz ciparu līnijas.

Piemērs

Atrisiniet lpp. [latekss] 4p + 5 & lt29 [/ latekss]

Sāciet izolēt mainīgo, no abām nevienlīdzības pusēm atņemot 5.

Sadaliet abas nevienlīdzības puses ar 4, lai izteiktu mainīgo ar koeficientu 1.

Atbilde

Grafiks: atzīmējiet atvērto apli 6. beigu punktā, lai parādītu, ka nevienlīdzības risinājumos nav iekļauts 6. Vērtības kur lpp ir mazāks par 6, ir atrodami visā skaitļu līnijā pa kreisi no 6.

Pārbaudiet beigu punktu 6 saistītajā vienādojumā.

Izmēģiniet citu vērtību, lai pārbaudītu nevienlīdzību. Izmantosim [lateksu] p = 0 [/ lateksu].

[latekss] p & lt6 [/ latekss] ir šķīdums [lateksam] 4p + 5 & lt29 [/ lateksam]

Piemērs

Atrisiniet x: [latekss] 3x – 7 ge 41 [/ latekss]

Sāciet izolēt mainīgo, pievienojot 7 abām nevienlīdzības pusēm, pēc tam sadaliet abas nevienlīdzības puses ar 3, lai izteiktu mainīgo ar koeficientu 1.

Atbilde

Nevienlīdzība: [latekss] x ge 16 [/ latekss]

Grafiks: Lai attēlotu šo nevienlīdzību, ciparu līnijas beigās 16 zīmējat slēgtu loku, lai parādītu, ka risinājumos ir iekļauta vērtība 16. Līnija turpinās pa labi no 16, jo visi skaitļi, kas lielāki par 16, arī padarīs nevienlīdzību [latekss] 3x – 7 ge 41 [/ latekss] taisnība.
/>

Vispirms pārbaudiet beigu punktu 16 saistītajā vienādojumā.

Pēc tam izmēģiniet citu vērtību, lai pārbaudītu nevienlīdzību. Izmantosim [latekss] x = 20 [/ latekss].

Risinot daudzpakāpju vienādojumus, pievērsiet uzmanību situācijām, kurās jūs reizināt vai dalāt ar negatīvu skaitli. Šādos gadījumos jums jāmaina nevienlīdzības zīme.

Piemērs

Atrisiniet lpp. [latekss] −58 & gt14−6p [/ latekss]

Ievērojiet, kā mainīgais atrodas nevienlīdzības labajā pusē, atrisināšanas metode šajā gadījumā nemainās.

Sāciet izolēt mainīgo, no abām nevienlīdzības pusēm atņemot 14.

Sadaliet abas nevienlīdzības puses ar [lateksu] −6 [/ lateksu], lai izteiktu mainīgo ar koeficientu 1. Dalot ar negatīvu skaitli, tiek apvērsta nevienlīdzības zīme.

Mēs to varam uzrakstīt arī kā [latekss] p & gt12 [/ latekss]. Ievērojiet, kā nevienlīdzības zīme joprojām vēršas pret mainīgo p.

Atbilde

Nevienlīdzība: [latekss] p & gt12 [/ latekss]
Intervāls: [latekss] pa kreisi (12, infty labais) [/ latekss]
Grafiks: nevienlīdzības grafiks lpp & gt 12 ir atvērts aplis pulksten 12 ar bultiņu, kas stiepjas pa labi.

Vispirms pārbaudiet beigu punktu 12 saistītajā vienādojumā.

Pēc tam izmēģiniet citu vērtību, lai pārbaudītu nevienlīdzību. Izmēģiniet 100.

Nākamajā video jūs redzēsiet lineārās nevienlīdzības risināšanas piemēru ar mainīgo nevienlīdzības kreisajā pusē un nevienlīdzības virziena pārslēgšanas piemēru pēc dalīšanas ar negatīvu skaitli.

Nākamajā videoklipā jūs redzēsiet lineāras nevienlīdzības risināšanas piemēru ar mainīgo nevienlīdzības labajā pusē un nevienlīdzības virziena pārslēgšanas piemēru pēc dalīšanas ar negatīvu skaitli.


Kā: Atrisiniet viena soļa nevienlīdzību

Vienpakāpes nevienlīdzība ir viena no vienkāršākajām matemātikas metodēm, kuru var pievienot vai atņemt vērtības vienādojumā. Apsveriet vienādojumu M + 7 = -3 (pieņemsim, ka M + 7 ir kreisā puse un amp -3 kā labā puse). Šajā gadījumā jums jāpieskaita -7 abās vienādojuma pusēs. Nākamajā solī kreisajā pusē +7 un -7 saņem viens otru un labajā pusē -3 un -7 kļūs par -10 (jo mīnus, kas reizināts ar mīnusu, dod mīnusa simbolu, pievienojot vērtības). Nākamajā solī M = -10 to var uzskatīt par M & lt = -10, kas parāda nevienlīdzības simbolu. Citā piemērā ņemiet vērā X-5 & gt17, līdzīgi kā parādīts iepriekš, pievienojiet +5 abās pusēs, tādējādi iegūstot vērtību kā X & gt22. Tādējādi no diviem iepriekš minētajiem vienādojumiem iegūst nevienlīdzību no abām pusēm, t.i., gan no atņemšanas, gan saskaitīšanas. Skatoties šo videoklipu, varētu iegūt pamatzināšanas matemātikā, it īpaši iesācējiem.

Vai vēlaties apgūt Microsoft Excel un paaugstināt darba iespējas no mājām nākamajā līmenī? Sāciet savu karjeru, izmantojot mūsu jauno A-Z Microsoft Excel apmācību komplektu no jaunā sīkrīku uzlaušanas veikala, un iegūstiet mūža piekļuvi vairāk nekā 40 stundu Basic to Advanced instrukcijām par funkcijām, formulām, rīkiem un daudz ko citu.


Divpakāpju nevienlīdzība

Divpakāpju nevienlīdzība ir vienpakāpes nevienlīdzības, kādas ir divpakāpju vienādojumi ar vienpakāpju vienādojumiem - tas pats, bet to atrisināšanai ir nepieciešams nedaudz vairāk darba. Divpakāpju nevienlīdzība are very easy to solve and the rules you have to adhere to are the same as for the one-step inequalities – remember that you need to change the sign of inequality when multiplying or dividing the whole inequality with a negative number. The order of operations will not come into play often since there are not many operations to perform here.

We will now show you on this example how this inequality looks like and what it takes to solve it:

The first thing you need to do is to put all the numbers on the right side and the variables on the left. Then perform the additions and subtractions. Kā šis:

The only thing left to do now is to divide the whole inequality by 4 to get the final, simplified result. Since the number we are dividing the inequality by is positive, it is not necessary to change the sign of inequality. Tādēļ:

And now we have the final result. If you wish to practice solving two-step inequalities a bit more, please feel free to use the worksheets below.


Solving One And Two Step Inequalities Worksheet Pdf

Solving graphing inequalities ds1. Intermediate one step inequalities are graphed on a number line.

Solving Equations And Inequalities Worksheet Solving Equations Factoring Quadratics Graphing Linear Inequalities

1 4 5 v 29.

Solving one and two step inequalities worksheet pdf. 1 6x 4 10. T worksheet by kuta software llc kuta software infinite algebra 1 name two step inequalities date period solve each inequality and graph its solution. Negative numbers decimals and fractions are included.

P 32e0 q1j2z qkaumtha9 tstoxf8t mwvapr peq 5lzlqc 0 h z rablble jr2i jg eh2t rs k pr0e osbegrcv6ewd9. Easy level has positive integer coefficients with answers only in positive numbers. Still solving one two and multi step inequalities worksheets pdf with answers is definitely useful and you should give them to the students.

Two step inequalities date period solve each inequality and graph its solution. Solving and graphing two step inequalities cc standards 7 ee 4b use variables to represent quantities in a real world or mathematical problem and construct simple equations and inequalities to solve real world or mathematical problem and construct simple equations and inequalities to solve problems by reasoning about the quantities. Week 5 day 1 id.

A one step equation is as straightforward as it sounds. We just have to perform one step in order to solve the equation. Create your own worksheets like this one with infinite algebra 1.

K s rmja cd hel mwwivt hh8 gijn xfai 9nbi5tbe b hpgrae j eaol7g 6erbkroa s 9 worksheet by kuta software llc kuta software infinite pre algebra name solving two step inequalities date period. This worksheet includes only addition or subtraction on the same side of the inequality as the variable. Solving one sep equations.

E w 2a7lal9 nr li iguh ftjs 6 qraeds 2e 5r mvaevdc c f fm8a cdse y vw0idt qhg diin bfi0n8i bt fel gahlxgdekburwak p1t. Two step inequalities worksheets this page contains a lot of printable two step inequalities worksheets based on solving and graphing for 7th grade 8th grade and high school students. But this subject is not very tedious or hard to understand and students can easily grasp the basic concept and solve the related problems.

1 6x 4 10 6 6x 20. 1 kknuwtgas tsoobfbtywlasrwej ol1llcb 0 y cahl9lg br6ijgjhxtbss zrte vsoezrsveemdh 5 m fmpaedgex ywxi6tah2 ei6nxfriantictzet qaclpghetbarraf n1x h worksheet by kuta software llc pre algebra. Click the following links to download one step equations worksheets as pdf documents.

Introduction to inequalities is another phase in a student s life. Solve each inequality and graph its solution. 1 name solving one two step inequalities write an inequality for each graph.

Two Step Inequalities On A Number Line Matching Cards Algebra Math Centers Graphing Inequalities Inequality Word Problems

Inequalities Hangman Solve Multi Step Inequalities Hangman Style Solving Inequalities Multi Step Inequalities Solving Equations

Partner Problems Inequalities 1 Pdf Solving Inequalities Solving Equations Inequality

Pairs And Self Checking Math School Teaching Algebra Solving Inequalities

Solving Two Step Inequalities 9th 12th Grade Worksheet Lesson Literal Equations Graphing Inequalities Algebra Worksheets

Pin By Trudy Yaklich On Clasa 6 One Step Equations Equations Algebra Worksheets

An Innovative Way Of Comparing Numbers One Step Equations Solving Inequalities Multi Step Inequalities

Solving One And Two Step Inequalities Color Worksheet Color Worksheets Inequality Solving Multi Step Equations

Solving Two Step Equations Color Worksheet Practice 6 Two Step Equations Equations Solving Equations

Inequalities Hangman Solve Multi Step Inequalities Hangman Style School Algebra Middle School Math Teacher Teaching Algebra

One Step Inequalities Worksheets By Adding And Subtracting Algebra Worksheets Pre Algebra Worksheets Graphing Inequalities

One Step Inequalities Worksheets By Multiplying And Dividing Algebra Worksheets Pre Algebra Worksheets Graphing Inequalities

Graphing Single Variable Inequalities Worksheets Also You Can Create Free Math Worksheets On Graphing Inequalities Algebra Worksheets Pre Algebra Worksheets

One Step Inequalities Worksheets One Step Equations Solving Inequalities Multi Step Inequalities

Inequalities Maze Solving Inequalities Inequality Teaching Algebra

Writing Solving And Graphing Inequalities Worksheet Graphing Inequalities Graphing Inequality

Algebra 1 Worksheets Inequalities Worksheets Algebra Worksheets Pre Algebra Worksheets Graphing Inequalities

Inequalities Challenge Solving Inequalities Combining Like Terms Inequality

One Step Inequalities Worksheets Graphing Inequalities Graphing Linear Equations Linear Inequalities


Skatīties video: Meklēs iespējas mazināt sociālo nevienlīdzību (Decembris 2021).