Raksti

6.1.: Polārās koordinātas


Mācību mērķi

  • Izšķir un izprot atšķirību starp taisnstūra koordinātu sistēmu un polāro koordinātu sistēmu.
  • Uzzīmē punktus ar polārajām koordinātām uz polārās plaknes.

Vairāk nekā (12 ) kilometru attālumā no ostas buru laiva sastopas ar nelabvēlīgiem laika apstākļiem, un to no kursa izpūš (16 ) mezglu vējš (skat. Attēlu ( PageIndex {1} )). Kā jūrnieks var norādīt savu atrašanās vietu krasta apsardzē? Šajā sadaļā mēs izpētīsim atrašanās vietas attēlojuma metodi, kas atšķiras no standarta koordinātu režģa.

Punktu uzzīmēšana, izmantojot polārās koordinātas

Domājot par punktu plānošanu plaknē, mēs parasti domājam par taisnstūra koordinātas ((x, y) ) Dekarta koordinātu plakne. Tomēr ir arī citi veidi, kā uzrakstīt koordinātu pāri un cita veida režģa sistēmas. Šajā sadaļā mēs iepazīstinām ar polārajām koordinātām, kas ir punkti ar atzīmi ((r, theta) ) un uzzīmēti uz polārā režģa. Polāro režģi attēlo kā koncentrisku apļu virkni, kas izstaro no pola vai koordinātu plaknes izcelsmi.

Polārais režģis tiek mērogots kā vienības aplis ar pozitīvo (x )-ass tagad tiek uzskatīta par polāro asi un izcelsme kā pols. Pirmā koordināta (r ) ir virzītā līnijas segmenta rādiuss vai garums no pola. Leņķis ( theta ), mērīts radiānos, norāda (r ) virzienu. Mēs virzāmies pretēji pulksteņrādītāja virzienam no polārās ass ar ( theta ) leņķi un izmērām virzītas līnijas segmentu (r ) garumā ( theta ) virzienā. Pat ja mēs vispirms mērām ( theta ) un pēc tam (r ), polārais punkts vispirms tiek rakstīts ar (r ) - koordinātu. Piemēram, lai uzzīmētu punktu ( left (2, dfrac { pi} {4} right) ), mēs pārvietotu ( dfrac { pi} {4} ) vienības pretēji pulksteņrādītāja kustības virzienam un pēc tam (2 ) garumu no staba. Šis punkts ir uzzīmēts uz režģa attēlā ( PageIndex {2} ).

Piemērs ( PageIndex {1} ): punkta uzzīmēšana uz polārā režģa

Uz polārā režģa uzzīmējiet punktu ( pa kreisi (3, dfrac { pi} {2} pa labi) ).

Risinājums

Leņķi ( dfrac { pi} {2} ) nosaka, slaucot pretēji pulksteņrādītāja kustības virzienam (90 ° ) no polārās ass. Punkts atrodas (3 ) vienību garumā no pola virzienā ( dfrac { pi} {2} ), kā parādīts attēlā ( PageIndex {3} ).

Vingrinājums ( PageIndex {1} )

Uzzīmējiet punktu ( pa kreisi (2, dfrac { pi} {3} pa labi) ) polārajā režģī.

Atbilde

Piemērs ( PageIndex {2} ): punkta uzzīmēšana polāro koordinātu sistēmā ar negatīvu komponentu

Uz polārā režģa uzzīmējiet punktu ( pa kreisi (−2, dfrac { pi} {6} pa labi) ).

Risinājums

Mēs zinām, ka ( dfrac { pi} {6} ) atrodas pirmajā kvadrantā. Tomēr (r = −2 ). Punkta zīmēšanai ar negatīvu (r ) mēs varam pieiet divos veidos:

  1. Uzzīmējiet punktu ( pa kreisi (2, dfrac { pi} {6} pa labi) ), pārvietojot ( dfrac { pi} {6} ) pretēji pulksteņrādītāja kustības virzienam un pagarinot virzītās līnijas segmentu (2 ) vienības pirmajā kvadrantā. Pēc tam virziet virzītās līnijas segmentu atpakaļ pa stabu un turpiniet (2 ) vienības trešajā kvadrantā;
  2. Pārvietojiet ( dfrac { pi} {6} ) pretēji pulksteņrādītāja kustības virzienam un novirziet virzītās līnijas segmentu no pole (2 ) vienībām negatīvajā virzienā trešajā kvadrantā.

Skatīt attēlu ( PageIndex {5a} ). Salīdziniet to ar polārās koordinātas ( left (2, dfrac { pi} {6} right) ) diagrammu, kas parādīta attēlā ( PageIndex {5b} ).

Vingrinājums ( PageIndex {2} )

Uzzīmējiet punktus ( pa kreisi (3, - dfrac { pi} {6} pa labi) ) un (pa kreisi (2, dfrac {9 pi} {4} pa labi) ) tas pats polārais režģis.

Atbilde

Konvertēšana no polārajām koordinātām uz taisnstūra koordinātām

Kad tiek dota kopa polārās koordinātas, iespējams, mums tās būs jāpārvērš taisnstūra koordinātās. Lai to izdarītu, mēs varam atcerēties attiecības, kas pastāv starp mainīgajiem (x ), (y ), (r ) un ( theta ).

( cos theta = dfrac {x} {r} rightarrow x = r cos theta )

( sin theta = dfrac {y} {r} rightarrow y = r sin theta )

Nometot perpendikulu no plaknes punkta uz x-ass veido taisnu trīsstūri, kā parādīts attēlā ( PageIndex {7} ). Vienkāršs veids, kā atcerēties iepriekš minētos vienādojumus, ir domāt par ( cos theta ) kā blakus esošo pusi virs hipotenūzas un ( sin theta ) kā pretējo pusi virs hipotenūzas.

PĀRVEIDOŠANA NO POLĀRĀS KOORDINĀTĀS UZ TIEŠSTŪRU KOORDINĀTĀM

Lai pārveidotu polārās koordinātas ((r, theta) ) taisnstūra koordinātās ((x, y) ), ļaujiet

[ cos theta = dfrac {x} {r} rightarrow x = r cos theta ]

[ sin theta = dfrac {y} {r} rightarrow y = r sin theta ]

Kā: ņemot vērā polārās koordinātas, konvertējiet par taisnstūra koordinātām.

  1. Ņemot vērā polāro koordinātu ((r, theta) ), ierakstiet (x = r cos theta ) un (y = r sin theta ).
  2. Novērtējiet ( cos theta ) un ( sin theta ).
  3. Reiziniet ( cos theta ) ar (r ), lai atrastu (x )-taisnstūra formas koordinātas.
  4. Reiziniet ( sin theta ) ar (r ), lai atrastu (y )-taisnstūra formas koordinātas.

Piemērs ( PageIndex {3A} ): Polāro koordinātu rakstīšana kā taisnstūra koordinātes

Uzrakstiet polārās koordinātas ( left (3, dfrac { pi} {2} right) ) kā taisnstūra koordinātas.

Risinājums

Izmantojiet līdzvērtīgas attiecības.

[ sāciet {izlīdzināt *} x & = r cos theta x & = 3 cos dfrac { pi} {2} & = 0 y & = r sin theta y & = 3 sin dfrac { pi} {2} & = 3 end {align *} ]

Taisnstūra koordinātas ir ((0,3) ). Skatīt attēlu ( PageIndex {8} ).

Piemērs ( PageIndex {3B} ): Polāro koordinātu rakstīšana kā taisnstūra koordinātas

Uzrakstiet polārās koordinātas ((- 2,0) ) kā taisnstūra koordinātas.

Risinājums

Skatīt attēlu ( PageIndex {9} ). Rakstot polārās koordinātas kā taisnstūrveida, mums ir

[ sākt {izlīdzināt *} x & = r cos teta x & = -2 cos (0) & = -2 y & = r sin theta y & = -2 sin ( 0) & = 0 beigas {izlīdzināt *} ]

Taisnstūra koordinātas ir arī ((- 2,0) ).

Vingrinājums ( PageIndex {3} )

Uzrakstiet polārās koordinātas ( pa kreisi (−1, dfrac {2 pi} {3} pa labi) ) kā taisnstūra koordinātas.

Atbilde

((x, y) = pa kreisi ( dfrac {1} {2}, - dfrac { sqrt {3}} {2} pa labi) )

Konvertēšana no taisnstūra koordinātām uz polārajām koordinātām

Lai pārveidotu taisnstūra koordinātas par polārām koordinātām, mēs izmantosim divas citas pazīstamas attiecības. Veicot šo pārveidošanu, mums jāapzinās, ka taisnstūra koordinātu kopa dos vairāk nekā vienu polāro punktu.

PĀRVEIDOŠANA NO Taisnstūra KOORDINĀTĀM UZ POLĀRIE KOORDINĀTAS

Lai pārveidotu no taisnstūra koordinātām uz polārām koordinātām, ir jāizmanto viena vai vairākas no attēlā ( PageIndex {10} ) parādītajām sakarībām.

( cos theta = dfrac {x} {r} ) vai (x = r cos theta )

( sin theta = dfrac {y} {r} ) vai (y = r sin theta )

(r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 )

( tan theta = dfrac {y} {x} )

Piemērs ( PageIndex {4} ): Taisnstūra koordinātu rakstīšana kā polārās koordinātas

Konvertējiet taisnstūra koordinātas ((3,3) ) uz polārām koordinātām.

Risinājums

Mēs redzam, ka sākotnējais punkts ((3,3) ) atrodas pirmajā kvadrantā. Lai atrastu ( theta ), izmantojiet formulu ( tan theta = dfrac {y} {x} ). Tas dod

[ begin {align *} tan theta & = dfrac {3} {3} tan theta & = 1 { tan} ^ {- 1} (1) & = dfrac { pi } {4} end {izlīdzināt *} ]

Lai atrastu (r ), vērtības (x ) un (y ) aizstājam ar formulu (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ). Mēs zinām, ka (r ) jābūt pozitīvam, jo ​​pirmajā kvadrantā ir ( dfrac { pi} {4} ). Tādējādi

[ begin {align *} r & = sqrt {3 ^ 2 + 3 ^ 2} r & = sqrt {9 + 9} r & = sqrt {18} & = 3 sqrt {2 } end {izlīdzināt *} ]

Tātad, (r = 3 sqrt {2} ) un ( theta = dfrac { pi} {4} ), dodot mums polāro punktu ((3 sqrt {2}, dfrac { pi} {4}) ). Skatīt attēlu ( PageIndex {11} ).

Analīze

Ir arī citas polāro koordinātu kopas, kas būs vienādas ar mūsu pirmo risinājumu. Piemēram, punkti ( left (−3 sqrt {2}, dfrac {5 pi} {4} right) ) un (left (3 sqrt {2}, - dfrac { 7 pi} {4} right) ) sakritīs ar sākotnējo ( left (3 sqrt {2}, dfrac { pi} {4} right) ) risinājumu. Punkts ( pa kreisi (−3 sqrt {2}, dfrac {5 pi} {4} pa labi) ) norāda virzību tālāk pretēji pulksteņrādītāja virzienam ar ( pi ), kas ir tieši pretī ( dfrac { pi} {4} ). Rādiuss tiek izteikts kā (- 3 sqrt {2} ). Tomēr leņķis ( dfrac {5 pi} {4} ) atrodas trešajā kvadrantā un, tā kā (r ) ir negatīvs, mēs pagarinām virzītās līnijas segmentu pretējā virzienā pirmajā kvadrantā . Šis ir tas pats punkts kā ( left (3 sqrt {2}, dfrac { pi} {4} right) ). Punkts ( left (3 sqrt {2}, - dfrac {7 pi} {4} right) ) ir kustība tālāk pulksteņrādītāja kustības virzienā par (- dfrac {7 pi} {4} ), no ( dfrac { pi} {4} ). Rādiuss (3 sqrt {2} ) ir vienāds.

Papildu prakse

  1. Uzzīmējiet punktu ar polārajām koordinātām ( pa kreisi (3, frac { pi} {6} pa labi) ).
  2. Uzzīmējiet punktu ar polārajām koordinātām ( pa kreisi (5, - frac {2 pi} {3} pa labi) )
  3. Konvertēt ( left (6, - frac {3 pi} {4} right) ) uz taisnstūra koordinātām.
  4. Konvertēt ( left (-2, frac {3 pi} {2} right) ) uz taisnstūra koordinātām.
  5. Pārvērst (7, -2) par polārajām koordinātām.
  6. Pārvērst (-9, -4) par polārajām koordinātām.

Galvenie vienādojumi

Reklāmguvumu formulas

( cos theta = dfrac {x} {r} rightarrow x = r cos theta )

( sin theta = dfrac {y} {r} rightarrow y = r sin theta )

(r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 )

( tan theta = dfrac {y} {x} )

Galvenie jēdzieni

  • Polārais režģis tiek attēlots kā virkne koncentrisku apļu, kas izstaro no pola jeb sākuma.
  • Lai uzzīmētu punktu formā ((r, theta) ), ( theta> 0 ), pārvietojieties pretēji pulksteņrādītāja kustības virzienam no polārās ass par ( theta ) leņķi un pēc tam izvelciet vērsta līnijas daļa no pola, kura garums ir (r ) ( theta ) virzienā. Ja ( theta ) ir negatīvs, pārvietojieties pulksteņrādītāja kustības virzienā un pagariniet virzītas līnijas segmentu, kura garums ir (r ) ( theta ) virzienā. Skatiet piemēru ( PageIndex {1} ).
  • Ja (r ) ir negatīvs, pagariniet virzītās līnijas segmentu pretējā virzienā ( theta ). Skatiet piemēru ( PageIndex {2} ).
  • Lai pārveidotu no polārajām koordinātām uz taisnstūrveida koordinātām, izmantojiet formulas (x = r cos theta ) un (y = r sin theta ). Skatiet piemēru ( PageIndex {3} ) un ( PageIndex {4} ).
  • Lai konvertētu no taisnstūra koordinātām uz polārām koordinātām, izmantojiet vienu vai vairākas formulas: ( cos theta = dfrac {x} {r} ), ( sin theta = dfrac {y} {r} ), ( tan theta = dfrac {y} {x} ) un (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ). Skatiet piemēru ( PageIndex {5} ).

Polārās koordinātas

Pieņemsim, ka plaknē jums ir punkts O, ko sauc par sākumpunktu, un ass caur šo punktu & ndash saka x-ass un ndash, ko sauc par polāro asi.

Tad polārās koordinātas (r, & teta) apraksta punktu, kas atrodas r vienību attālumā no sākuma, teta leņķī pret x-asi. & Theta vērtību var norādīt grādos vai radiānos.

Lai pārveidotu no polārajām koordinātām uz Dekarta koordinātām, varat izmantot:

Lai pārveidotu no Dekarta koordinātām uz polārām koordinātām:

Tātad Dekarta kārtotais pāris (x, y) pārvēršas par Polāra pasūtīto pāri (r, & theta) = (x 2 + y 2, iedegums un mīnus 1 (y x)).

Lejupielādējiet mūsu bezmaksas mācību rīku lietotnes un pārbaudiet sagataves

Standartizēto testu nosaukumi pieder preču zīmju īpašniekiem un nav saistīti ar Varsity Tutors LLC.

4.9 / 5.0 Apmierinātības vērtējums pēdējās 100 000 sesijās. Sākot ar 27.04.18.

Plašsaziņas līdzekļu preču zīmes pieder attiecīgajiem plašsaziņas līdzekļiem un nav saistītas ar Varsity Tutors.

Godalgotā prasība, kuras pamatā ir CBS Local un Houston Press balvas.

Varsity Tutors nav saistīts ar universitātēm, kas minētas tās vietnē.

Varsity Tutors savieno izglītojamos ar ekspertiem. Instruktori ir neatkarīgi darbuzņēmēji, kas savus pakalpojumus pielāgo katram klientam, izmantojot savu stilu, metodes un materiālus.


Ģeodēziskās koordinātas (dažreiz sauktas par ģeogrāfiskām koordinātām) ir leņķa koordinātas (garums un platums), kas ir cieši saistītas ar sfēriskām polārām koordinātām, un ir noteiktas attiecībā pret noteiktu Zemes ģeodēzisko datu punktu (aprakstīts sadaļā Ģeodēziskais datums). Plašāku informāciju par ģeodēzisko koordinātu atbalstu skatiet sadaļā Ģeodēzisko koordinātu atbalsts.

Projicētās koordinātas ir plakanas Dekarta koordinātas, kas rodas, veicot matemātisko kartēšanu no Zemes virsmas punkta līdz plaknei. Šādu matemātisku kartējumu ir daudz, katrs no tiem tiek izmantots noteiktam mērķim.


6.2. Vispārējā plaknes kustība polārajās koordinātās

  • Piedalās Timons Idema
  • Asociētais profesors (Bionanoscience) Delftas Tehnoloģiskajā universitātē
  • Iegūts no TU Delft Open

Kaut arī principā visu plakano kustību var aprakstīt Dekarta koordinātās, tās ne vienmēr ir vieglākā izvēle. Ņemsim, piemēram, centrālo spēka lauku (spēka lauku, kura lielums ir atkarīgs tikai no attāluma līdz sākumam un norāda radiālajā virzienā), kā mēs pētām nākamajā sadaļā. Šādam spēka laukam polārās koordinātas ir dabiskāka izvēle nekā Dekarta iedzīvotāji. Tomēr polārajām koordinātām ir daži smalkumi, kas nav Dekarta sistēmā, jo asu virziens ir atkarīgs no stāvokļa. Tāpēc vispirms atvasināsim attiecīgās pozīcijas, ātruma un paātrinājuma vektora izteiksmes, kā arī spēka vektora komponentus polārajās koordinātēs vispārīgajam gadījumam.

Kā mēs jau zinām (skat. A.2. Pielikumu), pozīcijas vektors ( vec= x cepure < treknrakstā simbols> + y cepure < boldsymbol> ) ir īpaši vienkārša izteiksme polārajās koordinātās: ( boldsymbol= r cepure < treknrakstā simbols> ), kur (r = sqrt+ y ^ <2>> ). Lai atrastu ātruma un paātrinājuma vektorus polārajās koordinātās, mēs ņemam laika atvasinājumus no ( boldsymbol). Ievērojiet - tā kā polāro bāzes vektoru orientācija ir atkarīga no pozīcijas telpā, laika atvasinājums iedarbojas gan uz attālumu līdz sākumam (r ), gan bāzes vektoru ( hat < boldsymbol> ). Tā kā divi polārie vektori ir viens otra atvasinājumi attiecībā pret ( theta ) (skat. A.8. Vienādojumu), to laika atvasinājumiem mēs atrodam:

Pēc tam ātruma un paātrinājuma vektoriem atrodam:

Ņemiet vērā, ka vienādojumi 5.1.3 un 5.1.6 ir vienādojumu ref un ref kuriem gan rādiuss r, gan leņķa ātrums ( omega = dot < theta> ) ir nemainīgi. Izmantojot vienādojumu ref par ( boldsymbol < ddot> ) Ņūtona & rsquos otrajā likumā mēs iegūstam izteiksmi, kas noārda neto spēku ( boldsymbol) radiālajā un leņķiskajā daļā, no kurām katra sastāv no diviem terminiem:

Abi termini, kas norādīti (F_r ), ir viegli identificējami kā radiālais paātrinājums ( ddot) (kas darbojas pa līniju caur sākumu) un centrcentra spēku (kas liek objektiem griezties ap sākumu, sk. 5.2.1. vienādojumu). Pirmais termins (r ddot < theta> ) (F _ < theta> ) ir rotējoša objekta, kura leņķiskais ātrums mainās, tangenciālais paātrinājums ( alfa ) (5.1.8. Vienādojums). (F _ < theta> ) pēdējais vārds, ar kuru mēs vēl neesam saskārušies, nav ticis saukts par Koriolisa spēks

un ir saistīts ar ātrumu gan radiālajā, gan leņķa virzienā. Ikdienas garuma svaros tas ir diezgan vājš, bet globālajos garuma svaros tas kļūst liels. Jo īpaši, ja jūs pārvietojaties virs Zemes virsmas (obligāti ar sava ātruma leņķa komponentu, kas nav nulle), tas mēdz jūs novirzīt no taisna ceļa. Ziemeļu puslodē, ja pārvietojaties horizontāli, tas mēdz jūs virzīt pa labi, tas arī nospiež uz rietumiem, dodoties augšup, un uz austrumiem, dodoties uz leju. Koriolisa spēki ir atbildīgi par gaisa rotācijas kustību ap augsta un zema spiediena zonām, izraisot attiecīgi pulksteņrādītāja virzienā un pretēji pulksteņrādītāja virzienam straumes Ziemeļu puslodē (attēls ( PageIndex <1> )). Mēs atkal sastopamies ar Koriolisa spēku vispārīgākā trīsdimensiju iestatījumā 7.2. Sadaļā.


6.1.: Polārās koordinātas

Plakne ir plakans divdimensiju apgabals, piemēram, lapas virsma.

Lai norādītu vietas plaknē, plaknei perpendikulāri varam noteikt divas skaitliskas līnijas vai asis, kā parādīts pa labi. Horizontālo asi parasti sauc par x asi, bet vertikālo - par y. Vietu, kur asis šķērso, parasti izvēlas, kur x = 0 un kur y = 0 (šo punktu sauc par sākumpunktu). Izcelsmi norāda ar apli attēla centrā. Asis plakni sadala četros reģionos, ko sauc par kvadrantiem, kuri numurēti pretēji pulksteņrādītāja virzienam, kā parādīts. Šo konstrukciju, plakni plus divas perpendikulāras asis, sauc par Dekarta plakni (nosaukta pēc Ren & eacute Decartes, 1596 - 1650).

Ja mēs zīmējam punktus Dekarta plaknē vai ja mēs zīmējam līkni, kas attēlo funkciju Dekarta plaknē, tad mēs sakām, ka mēs zīmējam vai zīmējam punktu vai funkcijas grafiku.

Ģeometrisko formu, piemēram, līniju, apļu, trijstūru utt., Pētījumu var veikt uz parastās, tukšās vai Dekarta plaknes. Veicot parasto plakni, to izpēti sauc par plaknes ģeometriju, un, ja to veic ar Dekarta plakni, to sauc par analītisko ģeometriju. Trigonometrija, trijstūru izpēte, tiek veikta daļēji, izmantojot plaknes ģeometriju un daļēji izmantojot analītisko ģeometriju.

Jebkuru punktu Dekarta plaknē var atrast, norādot tā horizontālo attālumu pa labi no sākuma (to sauc par tā x koordinātu) un vertikālo attālumu virs sākuma (to sauc par tā Y koordinātu). Piemēram, sarkanajam punktam taisnleņķa plaknē, kas parādīts pa labi, x koordinātas ir 2 un ay koordinātas 1. Reizēm mēs sakām, ka šis punkts atrodas x = 2 un y = 1, bet visbiežāk mēs izmantojam sakārtoto pāru apzīmējumu ( 2, 1), lai aprakstītu šo punktu. (Ņemiet vērā, ka skaitlis pirms komata vienmēr ir x koordināta un skaitlis aiz komata vienmēr ir y koordināta.)

Šo metodi x vērtības un y vērtības izmantošanai, lai atrastu punktu plaknē, sauc par taisnstūra koordinātu sistēmu (ievērojiet attēlā redzamo punktēto taisnstūri). Vēl viena kopīgi izmantojama koordinātu sistēma, piemēram, kompleksiem skaitļiem, ir polārā koordinātu sistēma, kurā tā izmanto attālumu no sākuma un virzienu, lai atrastu punktu.

Punktu identificēšana diagrammās

Mēs redzējām iepriekš, ka, piešķirot x koordinātu un y koordinātu, tiek noteikts punkts Dekarta plaknē. Bet mēs varam mainīt loģiku: mēs varētu teikt, ka punkts Dekarta plaknē atspoguļo divu lielumu x un y vienlaicīgas vērtības. Šī interpretācija ir ļoti svarīga zinātnē un tehnoloģijā, kur x un y var attēlot gandrīz visus lielumus.

Šie piemēri parāda, kā identificēt punktus pakāpeniski sarežģītākos grafikos.

    Šajā diagrammā horizontālo asi sauc par p un vertikālo asi q. Tādējādi šī grafika punkti attēlo p un q vērtības.

(Patiesībā fakts, ka p ir pa vidu starp 2 un 3, nozīmē, ka p = 2,5 tikai tāpēc, ka horizontālā skala ir lineāra, tas nozīmē, ka kustība, teiksim, 1 centimetrs, horizontālā virzienā apzīmē tādas pašas izmaiņas horizontālajā daudzumā jebkur Ir arī cita veida grafiki, piemēram, logaritmiskie grafiki, kur tā nav taisnība.)

2. piemērs: Uz asīm esošajām etiķetēm tagad ir vienības. Apzīmējums t (ms) nozīmē, ka t mēra milisekundēs un etiķete d (cm) nozīmē, ka d mēra centimetros. Tādējādi punkts B ir pie t = 250 ms un d = 7,5 cm. Grafiki ar vienībām bieži parādās zinātniskos vai tehniskos lietojumos.




3. piemērs: Horizontāli un vertikāli uzzīmētie lielumi tagad ir algebriskas izteiksmes. Tādējādi punktā C daudzuma mg vērtība ir 3 ņūtoni un daudzuma r 2 vērtība ir 12,5 kvadrātmetri.

Grafiki ar izteicieniem uz asīm bieži parādās zinātniskos vai tehniskos pielietojumos. To izmantošana ļauj līkni pārveidot par taisnu līniju, ko ir daudz vieglāk analizēt.



Ja atradāt šo lapu tīmekļa meklēšanā, jūs to iegūsit & redzēsit
Satura rādītājs rāmī pa kreisi.
Noklikšķiniet šeit, lai to parādītu.


Polāro koordinātu pāru noteikšana

Nosakiet četrus polāro koordinātu pārus, kas apzīmē nākamo punktu (P (r, theta) ) tā, ka (& mīnus360 ^ < circ> leq theta leq 360 ^ < circ> ).

Attēls ( PageIndex <6> )

Polāro koordinātu uzzīmēšana

Uzzīmējiet šādas koordinātas polārā formā un sniedziet to aprakstu polārā izteiksmē: ((1,0) ), ((0,1) ), ((- 1,0) ), ((- 1,1) ).

Attēls ( PageIndex <7> )

Uzzīmētie punkti ir parādīti iepriekš. Tā kā katrs punkts atrodas 1 vienības attālumā no sākuma, mēs zinām, ka katra punkta rādiuss polārā formā būs vienāds ar 1.

Pirmais punkts atrodas uz pozitīvās 'x' ass, tāpēc polāro koordinātu leņķis ir (0 ^ < circ> ). Otrais punkts atrodas uz pozitīvās 'y' ass, tāpēc leņķis polārajās koordinātās ir (90 ^ < circ> ). Trešais punkts atrodas uz negatīvās “x” ass, tāpēc leņķis polārajās koordinātās ir (180 ^ < circ> ). Ceturtais punkts atrodas uz negatīvās 'y' ass, tāpēc leņķis polārajās koordinātās ir (270 ^ < circ> ).

Iepriekš jums tika lūgts uzzīmēt šautriņu izvietojumu, izmantojot polāro koordinātu sistēmu.

Tā kā jums uz dēļa ir šautriņu novietojums gan ar attālumu no sākuma, gan leņķi, ko tie veido ar horizontāli, jūs varat tos aprakstīt, izmantojot polārās koordinātas.

Attēls ( PageIndex <8> )

Kā redzat, šautriņu izvietojums ir:

Uzzīmējiet punktu (M pa kreisi (2,5, 210 ^ < circ> pa labi) ).

Attēls ( PageIndex <9> )

Uzzīmējiet punktu (S pa kreisi (& mīnus 3,5, dfrac <5 pi> <6> pa labi) ).

Attēls ( PageIndex <10> )

Uzzīmējiet punktu (A pa kreisi (1, dfrac <3 pi> <4> pa labi) ).

Attēls ( PageIndex <11> )

Pārskatīšana

Uz polārā koordinātu režģa uzzīmējiet šādus punktus.

  1. ((3,150 ^ < circ>) )
  2. ((2,90 ^ < circ>) )
  3. ((5,60 ^ < circ>) )
  4. ((4,120 ^ < circ>) )
  5. ((3,210 ^ < circ>) )
  6. ((un mīnus 2120 ^ < circ>) )
  7. ((4, un mīnus90 ^ < circ>) )
  8. ((& mīnus5, & mīnus30 ^ < apritē>) )
  9. ((2, & mīnus 150 ^ < circ>) )
  10. ((un mīnus 3300 ^ < circ>) )

Norādiet trīs alternatīvas koordinātu kopas dotajam punktam diapazonā (& mīnus 360 ^ < circ> leq theta leq 360 ^ < circ> ).


10.3. Polārās koordinātas (# 2)

Ievads: Šajā nodarbībā mēs uzzināsim, kā zīmēt punktus, izmantojot polārās koordinātas. Mēs arī uzzīmēsim dažādas polārās līknes. Mēs arī uzzināsim, kā mēs varam vispārināt atvasinājuma ideju, lai atrastu polārās līknes slīpumu. Tas arī ļaus mums noteikt, kad pieskares līnija ir vertikāla vai horizontāla.

Mērķi: Pēc šīs nodarbības jums vajadzētu būt iespējai:

  • Izprotiet polāro koordinātu sistēmu.
  • Pārrakstiet taisnstūra koordinātas un vienādojumus polārā formā un otrādi.
  • Ieskicējiet polārā formā dotā vienādojuma grafiku.
  • Atrodiet pieskares līnijas slīpumu polārajam grafikam.
  • Identificējiet vairākus polāro diagrammu veidus.

Video un amp piezīmes: Skatoties videoklipu, aizpildiet šīs nodarbības piezīmju lapu (10-3-Polar-Coordinates-2). Ja vēlaties, jūs varat patstāvīgi izlasīt 10.3. Sadaļu un pats izstrādāt problēmas piezīmēs. Atcerieties, ka piezīmes ik nedēļu jāaugšupielādē Blackboard, lai saņemtu atzīmi! Ja kāda iemesla dēļ zemāk redzamais videoklips netiek ielādēts, šeit varat piekļūt tam vietnē YouTube.

Mājasdarbs: Pārejiet uz sadaļu Tīmekļa piešķiršana un izpildiet & # 822010.3 Polāro koordinātu un polāro diagrammu & # 8221 uzdevumu.


Koordinātu pārslēgšana

Mums ļoti patika mūsu pīrāga šķēle, un mēs pat uz dažām sekundēm esam atgriezušies, kamēr neviens neskatījās. Pārējie mums jāiepako kastē un jāņem līdzi, lai dalītos. Mēs varam atrast tikai kvadrātveida kastes, tāpēc kā mēs zinām, vai pēdējie 2 ⁄3 no pīrāga gatavojas ievietot kastē?

Mums būtu nepieciešams veids, kā tulkot no polārajām uz taisnstūrveida koordinātām un otrādi. Tā nav problēma, jo mēs varam aprakstīt, kur punkts izmanto vai nu polāras, vai taisnstūrveida koordinātas, un mums ir nepieciešami tikai daži rīki, lai pārslēgtos starp koordinātu sistēmām.

Mēs sāksim ar punktiem pirmajā kvadrantā. Jebkuru pirmā kvadranta punktu var aprakstīt ar taisnstūra koordinātām

(x, y) kur x, y ≥ 0 vai pēc polārām koordinātām

(r, θ) kur r ≥ 0 un

Lai tulkotu starp koordinātu sistēmām, uzzīmējiet taisnu trīsstūri, kura hipotenūze savieno sākumu un punktu. Vienai trīsstūra kājai jābūt uz x- ass.

Taisnstūra koordinātas norāda trijstūra kāju garumus:

Polārās koordinātas mums norāda hipotenūzu un vienu trijstūra leņķi (tā kā tas ir taisns trīsstūris, mēs zinām visus leņķus):

Katrs koordinātu kopums mums sniedz atšķirīgu informāciju par šo trijstūri. Mēs varam izmantot vienu koordinātu kopu un nelielu mūsu rīku izvēli darbam ar trijstūriem, lai atrastu otru koordinātu kopu.

Pāreja no taisnstūra uz polārām koordinātēm ir tas pats, kas atrast vektora lielumu un virzienu.

Lai pārietu no polārajām uz taisnstūrveida koordinātām, atcerieties sinusa un kosinusa funkciju definīcijas.

Tulkot starp koordinātām, kad punkti atrodas citos kvadrantos, ir nedaudz sarežģītāk.

Pirmā lieta, ko mēs darām, neatkarīgi no tā, kādā veidā mēs tulkojam, ir atpazīt, kurā kvadrantā atrodas punkts. Pēc tulkošanas starp koordinātām punktam joprojām jābūt tajā pašā kvadrantā. Tas mums palīdzēs uzzināt, vai mūsu atbilde ir pamatota.

Pāreja no taisnstūra uz polārajām koordinātām joprojām ir tas pats, kas atrast vektora lielumu un virzienu. Lai atrastu virzienu, mums, iespējams, būs jāizmanto atskaites leņķis.

Lai pārietu no polārajām līdz taisnstūrveida koordinātām, mums nav jāuztraucas par atskaites leņķiem. Viss, kas mums jādara, ir izmantot sinusa un kosinusa definīcijas.

Punktu tulkošana starp taisnstūra un polārajām koordinātēm var būt nedaudz garlaicīga. Pāreja no taisnstūra uz polāro koordinātu ir tas pats, kas
vektora lieluma un virziena atrašana. Pāreja no polārajām uz taisnstūrveida koordinātām nozīmē vērtību pievienošanu formulām

Turklāt, ja attiecīgais jautājums ir uz x- vai y- asis, nav vajadzīgas izdomātas formulas. Mēs varam tulkot vizuāli.


Polarplot

ir reāls rindas vektors ar izmēru nc. Līknei i izmantojamo stilu nosaka (i) stils. Noklusējuma stils ir 1: nc (1 pirmajai līknei, 2 otrajai utt.).

ja stils (i) ir negatīvs, līkne tiek uzzīmēta, izmantojot atzīmi ar id abs (stils (i)) + 1. Skatiet poliline īpašības, lai redzētu atzīmes ID.

ja stils (i) ir stingri pozitīvs, tiek izmantota vienkārša līnija ar krāsu id stilu (i) vai pārtraukta līnija ar domuzīmes id stilu (i). Skatiet līnijas īpašības, lai redzētu līnijas stila ID.

Ja tiek uzzīmēta tikai viena līkne, stils var būt 2. izmēra [sty, pos] rindas vektors, kur sty norādīšanai tiek izmantots sty, un pos ir vesels skaitlis diapazonā no 1 līdz 6, kas norāda pozīciju, kas jāizmanto parakstam. Tas var būt noderīgi, ja lietotājs vēlas uzzīmēt vairākas diagrammas līknes, vairākas reizes izsaucot funkciju plot2d, un vēlas piešķirt parakstu katrai līknei.

ir virkne, kuras garums ir 3 & # 0034xy0 & # 0034.

kontrolē parakstu parādīšanu,

tiek parādīti paraksti. Tos dod izvēles argumentu kāja.

kontrolē kadra aprēķināšanu. tāds pats kā frameflag

tiek izmantotas pašreizējās robežas (kuras iepriekšējais zvans noteica citai augsta līmeņa zīmēšanas funkcijai). Noderīgi, uzliekot vairākus sižetus.

izvēles arguments rect tiek izmantots, lai norādītu diagrammas robežas.

diagrammas robežas tiek aprēķinātas, izmantojot x un y min un max vērtības.

piemēram, y = 1, bet rada izskata skalas mērogošanu.

piemēram, y = 2, bet rada izskata skalas mērogošanu.

piemēram, y = 1, bet plot2d var mainīt sižeta robežas un asu ērces, lai iegūtu diezgan gradācijas. Kad tālummaiņas poga ir aktivizēta, tiek izmantots šis režīms.

piemēram, y = 2, bet plot2d var mainīt diagrammas robežas un asu ērces, lai iegūtu diezgan gradācijas. Kad tālummaiņas poga ir aktivizēta, tiek izmantots šis režīms.

piemēram, y = 5, bet jaunā parauglaukuma skala ir apvienota ar pašreizējo mērogu.

piemēram, y = 6, bet jaunā sižeta mērogs ir apvienots ar pašreizējo mērogu.

virkne. To lieto, ja argumenta strf pirmā rakstzīme x ir 1. kājas forma ir & # 0034leg1 @ leg2 @. & # 0034, kur kāja1, kāja2 utt. Ir attiecīgi pirmās līknes, otrās līknes utt. Paraksti. Noklusējums ir & # 0034 & # 0034.

Šis arguments tiek izmantots, ja argumenta strf otrā rakstzīme y ir 1, 3 vai 5. Tas ir rindas vektors, kura lielums ir 4 un kas norāda rāmja izmēru: rect = [xmin, ymin, xmax, ymax].

Apraksts

polarplot izveido teta leņķa un rādiusa rho polāro koordinātu diagrammu. teta ir leņķis no x ass līdz rādiusā norādītajam rādiusa vektoram. rho ir datu telpas vienībās norādītā rādiusa vektora garums. Ņemiet vērā, ka negatīvās rho vērtības liek attiecīgajos līknes punktos atspoguļot visu izcelsmi.


Sidnejas Universitāte - Matemātikas un statistikas skola

Ar divdimensiju telpu mēs domājam plaknes virsmu, kas bezgalīgi stiepjas visos virzienos. Piemēram, galda virsma ir divdimensiju telpas apakškopa. Lai fiksētu punktu Q divdimensiju telpā, nepieciešami divi skaitļi. Vispirms atlasiet jebkuru punktu, nosauciet to par izcelsmi un atzīmējiet to kā O. Visi mērījumi turpmāk būs no šī O punkta. Tālāk novietojiet divas savstarpēji perpendikulāras asis OX, OY līdz O. Šajā atsauces rāmī mēs meklējam doto punktu Q, kas parādīts zemāk redzamajā diagrammā.

Nomet perpendikulārus no Q uz OX un OY.

Katrs OX ass punkts atbilst reālam skaitlim: pēc vienošanās pozitīvi skaitļi uz austrumiem no O un negatīvi skaitļi uz rietumiem no O. Līdzīgi katrs OY ass punkts atbilst arī reālajam skaitlim: pozitīvi skaitļi uz ziemeļiem no O un negatīvi skaitļi uz dienvidiem no O. Tādējādi iepriekš diagrammā gan R, gan S atbilst pozitīviem skaitļiem, teiksim attiecīgi x un y. Ciparu pāri (x, y) mēs saucam par punkta Q Dekarta koordinātām. Ievērojiet, ka svarīga ir skaitļu rakstīšanas secība: (1, 2) un (2, 1) ir dažādu punktu Dekarta koordinātas.

Visiem pirmā kvadranta punktiem ir Dekarta koordinātas (x, y), kurās x un y abi ir pozitīvi. Punktiem otrajā kvadrantā ir koordinātas (x, y), kurās x ir negatīvs un y ir pozitīvs, trešā kvadranta punktiem ir koordinātas (x, y), kurās gan x, gan y ir negatīvi, un ceturtā kvadranta punktiem koordinātas (x, y), kurās x ir pozitīvs un y ir negatīvs.

& copy 2002-09 Sidnejas Universitāte. Pēdējoreiz atjaunots: 2009. gada 9. novembris

ABN: 15 211 513 464. CRICOS numurs: 00026A. Tālrunis: +61 2 9351 2222.

Autorizēja: Matemātikas un statistikas skolas vadītājs.