Raksti

2.6: Matricas apgrieztais elements


2.6: Matricas apgrieztais elements

Apgrieztā matrica

Aprēķiniet 3-by-3 matricas apgriezto vērtību.

Pārbaudiet rezultātus. Ideālā gadījumā Y * X veido identitātes matricu. Tā kā inv veic matricas inversiju, izmantojot peldošā komata aprēķinus, praksē Y * X ir tuvu, bet nav tieši vienāds ar identitātes matricas aci (izmērs (X)).

Atrisiniet lineāro sistēmu

Pārbaudiet, kāpēc lineārās sistēmas atrisināšana, apgriežot matricu, izmantojot inv (A) * b, ir zemāka par tās atrisināšanu tieši, izmantojot atpakaļ slīpsvītras operatoru x = A b.

Izveidojiet nejaušas matricas A kārtību 500, kas ir konstruēta tā, lai tās nosacījuma numurs cond (A) būtu 1e10 un norma, norma (A), būtu 1. Precīzs risinājums x ir nejaušs vektors, kura garums ir 500, un labā puse ir b = A * x. Tādējādi lineāro vienādojumu sistēma ir slikti nosacīta, bet konsekventa.

Atrisiniet lineāro sistēmu A * x = b, apgriežot koeficienta matricu A. Izmantojiet tic un toc, lai iegūtu informāciju par laiku.

Atrodiet aprēķina absolūto un atlikušo kļūdu.

Tagad atrisiniet to pašu lineāro sistēmu, izmantojot slīpsvītras operatoru .

Atpakaļsvītras aprēķins ir ātrāks, un tajā ir mazāk atlikušo kļūdu par vairākām pakāpēm. Fakts, ka err_inv un err_bs abi ir kārtībā 1e-6, vienkārši atspoguļo matricas nosacījuma numuru.

Šī piemēra uzvedība ir tipiska. Izmantojot A b, nevis inv (A) * b, ir divas līdz trīs reizes ātrāk, un paliekas rodas pēc mašīnas precizitātes secības attiecībā pret datu lielumu.


Džareds Antrobuss @ Kentuki universitāte ->

Ļaujiet $ A $ būt a kvadrātveida matrica izmēra $ n reizes n $. Ja $ A $ rinda samazina līdz $ n reizes n $ identitātes matricai $ I_n $, tad $ A $ ir apgriežams. Tas nozīmē, ka pastāv kāda $ n reizes n $ matrica $ A ^ <-1> $ (lasīt, "$ A $ apgriezts"), ka $ AA ^ <-1> = A ^ <-1> A = I_n $. Apgriezumi var pastāvēt tikai kvadrātveida matricām, bet ne katrai kvadrātveida matricai ir apgriezts. (Dažreiz ne kvadrātveida matricās ir kreisi vai pa labi apgriezti, bet tas neietilpst šīs klases darbības jomā.)

Mēs vēlreiz atgriežamies pie lineāro vienādojumu sistēmas risināšanas problēmas. Pieņemsim, ka mums ir $ n $ lineāro vienādojumu sistēma $ n $ mainīgajos. $ sākas a_ <11> x_1 + a_ <12> x_2 + ldots + a_ <1n> x_n & = b_1 a_ <21> x_1 + a_ <22> x_2 + ldots + a_ <2n> x_n & = b_2 vdots & a_x_1 + a_x_2 + ldoti + a_x_n & = b_n beigas$ Ļaujiet $ A $ būt $ n reizes n $ matricai ar ierakstiem $ a_$. (Atgādināsim, ka $ A $ ir iepriekšminētās sistēmas koeficienta matrica.) Tad šo sistēmu var uzrakstīt kā matricas vienādojumu $ Ax = b $, kur $ x $ un $ b $ ir kolonnu vektori ar ierakstiem $ x_1, attiecīgi ldots, x_n $ un $ b_1, ldots, b_n $. $ Ax = sākas a_ <11> x_1 + a_ <12> x_2 + ldots + a_ <1n> x_n a_ <21> x_1 + a_ <22> x_2 + ldots + a_ <2n> x_n vdots a_x_1 + a_x_2 + ldoti + a_x_n beigas = sākasb_1 b_2 vdots b_n beigas = b $ Ja $ A $ ir invertējama matrica, tas patiesībā ir diezgan pārsteidzoši. Jebkuram vektoram $ b $ mēs varam izmantot $ A ^ <-1> $, lai atrisinātu ar $ x $! $ sākas Cirvis & = b A ^ <-1> Cirvis & = A ^ <-1> b x & = A ^ <-1> b beigas$

Lieliski, tad kā mēs varam atrast kvadrātveida matricas apgriezto vērtību? Kā mēs vispār zinām, vai matrica ir invertējama? Atgriezieties pie izslēgšanas no Gauss-Jordānija. Tā pati rindu darbību secība, kas $ A $ novirza līdz $ I_n $, arī $ I_n $ novirza uz $ A ^ <-1> $. Tādējādi mēs varam izveidot paplašinātu matricu $ beginA & I_n beigas$ un samazināt rindu. Ja $ A $ samazinās līdz identitātei, tad paplašinātās matricas labajā pusē būs $ A ^ <-1> $. Ja $ A $ nav rindas samazinājums līdz identitātei, tad $ A $ nav invertējams (vai vienskaitlis). $ sākasA & I_n beigas longrightarrow sākasI_n & A ^ <-1> beigas$

Piemērs. Ļaujiet $ A = sākties1 un 2 - 1 un 3 beigas$. Lai atrastu $ A ^ <-1> $ (ja tāds pastāv), mēs samazinām paplašināto matricu $ beginA & I_2 ​​ beigas$. $ sākas & pa kreisi [ sākas 1 & 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 0 & 1 beigas pa labi] R_1 + R_2 labā bultiņa R_2 & pa kreisi [ sākas 1 & 2 & 1 & 0 0 & 5 & 1 & 1 beigas right] frac <1> <5> R_2 rightarrow R_2 & left [ sākas 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 1/5 & 1/5 beigas pa labi] -2R_2 + R_1 labajā bultiņā R_1 & pa kreisi [ sākas 1 & 0 & 3/5 & -2 / 5 0 & 1 & 1/5 & 1/5 beigas pa labi] beigas$ Tātad $ A ^ <-1> = sākas3/5 un -2 / 5 1/5 un 1/5 beigas$. Mēs to varam pārbaudīt, reizinot: $ AA ^ <-1> = begin1 un 2 - 1 un 3 beigas sākas3/5 un -2 / 5 1/5 un 1/5 beigas = sākas1 & 0 0 & 1 beigas $

Teorēma. Tikai $ 2 reizes 2 $ matricām ir vienkārša saīsne apgrieztās vērtības noteikšanai. Pieņemsim, ka $ A = sākasa & b c & d beigas$. Tad noteicošais no $ A $ ir $ det (A) = ad-bc $. Ikreiz, kad $ det (A) $ nav nulles, $ A $ ir apgriezts un $ A ^ <-1> = frac <1> < det (A)> sākasd & -b - c & a beigas.$

Es jau iepriekš minēju, ka matricas apgrieztā apzināšana var mums palīdzēt atrisināt vienādojumu sistēmas. Apskatīsim šīs tehnikas piemēru.

Piemērs. Apsveriet šo lineāro vienādojumu sistēmu. $ sākas x + 2y & = 5 -x + 3y & = 10 beigas$ Ņemiet vērā, ka tas ir vienāds ar matricas vienādojumu $ begin1 un 2 - 1 un 3 beigas sākasx y beigas= sākas5 10 beigas. $ No iepriekšējā piemēra mēs zinām šīs matricas apgriezto vērtību. Mēs atstājām - reiziniet ar šo apgriezto vērtību. $ sākas sākas3/5 un -2 / 5 1/5 un 1/5 beigas sākas1 un 2 - 1 un 3 beigas sākasx y beigas & = sākas3/5 un -2 / 5 1/5 un 1/5 beigas sākas5 10 beigas sākas1 & 0 0 & 1 beigas sākasx y beigas & = sākas-1 3 beigas sākasx y beigas & = sākas-1 3 beigas beigas$ Tātad sistēmas risinājums ir $ (- 1,3) $.

Es izmantoju šo iespēju, lai atgādinātu jums, ka, lai gan matricas parasti nemainās, mums vienmēr ir $ AA ^ <-1> = A ^ <-1> A = I_n $. Tas nozīmē, ka invertējamās matricas pārvietojas ar inversiem.


2.6.2. Sarautā kovariāte¶

2.6.2.1. Pamata saraušanās¶

Neskatoties uz kovaritātes matricas asimptotiski objektīvu novērtētāju, maksimālās varbūtības aprēķinātājs nav labs kovariācijas matricas īpašvērtību novērtētājs, tāpēc tās inversijas rezultātā iegūtā precizitātes matrica nav precīza. Dažreiz pat notiek tā, ka empīrisko kovariācijas matricu nevar apgriezt skaitlisku iemeslu dēļ. Lai izvairītos no šādas inversijas problēmas, ir ieviesta empīriskās kovariācijas matricas transformācija: saraušanās.

Programmā scikit-learn šo transformāciju (ar lietotāja definētu saraušanās koeficientu) var tieši pielietot iepriekš aprēķinātai kovariātei ar shrunk_covariance metodi. Arī samazinātu kovariācijas novērtētāju var pielāgot datiem ar ShrunkCovariance objektu un tā metodi ShrunkCovariance.fit. Rezultāti atkal ir atkarīgi no tā, vai dati ir centrēti, tāpēc varētu vēlēties precīzi izmantot parametru assume_centered.

Matemātiski šī saraušanās sastāv no proporcijas samazināšanas starp empīriskās kovariances matricas mazāko un lielāko īpašvērtību. To var izdarīt, vienkārši pārvietojot katru īpašvērtību atbilstoši dotajai nobīdei, kas ir līdzvērtīga kovariances matricas l2 sodītā maksimālās varbūtības aprēķinātāja atrašanai. Praksē saraušanās notiek līdz vienkāršai izliektai transformācijai: ( Sigma_ < rm saruka> = (1- alfa) hat < Sigma> + alfa frac << rm Tr> cepure < Sigma >>

rm Id ).

Sarukuma apjoma izvēle ( alpha ) nozīmē neobjektivitātes / dispersijas kompromisa iestatīšanu, un tas tiek apspriests tālāk.

2.6.2.2. Ledoit-Wolf saraušanās¶

2004. gada dokumentā 1 O. Ledoits un M. Volfs ierosina formulu, lai aprēķinātu optimālo saraušanās koeficientu ( alfa ), kas samazina vidējo kvadrāta kļūdu starp aplēsto un reālo kovariācijas matricu.

Kovariācijas matricas Ledoit-Wolf novērtētāju var aprēķināt izlasē ar sklearn.covariance paketes ledoit_wolf funkciju vai arī to var iegūt citādi, uzstādot LedoitWolf objektu tam pašam paraugam.

Gadījums, kad populācijas kovariācijas matrica ir izotropiska

Ir svarīgi atzīmēt, ka tad, kad paraugu skaits ir daudz lielāks nekā pazīmju skaits, varētu sagaidīt, ka saraušanās nebūs nepieciešama. Intuīcija slēpjas tajā, ka, ja populācijas kovariācija ir pilna rangā, kad, palielinoties izlases skaitam, arī izlases kovariācija kļūs pozitīva. Tā rezultātā saraušanās nebūtu nepieciešama, un metodei tas būtu jādara automātiski.

Tomēr tas nav gadījums Ledoit-Wolf procedūrā, kad populācijas kovariācija notiek kā identitātes matricas daudzkārtne. Šajā gadījumā Ledoit-Wolf saraušanās novērtējums tuvojas 1, palielinoties paraugu skaitam. Tas norāda, ka kovariācijas matricas optimālais novērtējums Ledoit-Wolf izpratnē ir identitātes vairākkārtējs. Tā kā populācijas kovariācija jau ir identitātes matricas daudzkārtne, Ledoit-Wolf risinājums patiešām ir saprātīgs novērtējums.

Skatiet saraušanās kovariācijas novērtējumu: LedoitWolf pret OAS un maksimālo varbūtību, lai iegūtu piemēru par to, kā pielāgot LedoitWolf objektu datiem, un lai vizualizētu Ledoit-Wolf novērtētāja veiktspēju pēc varbūtības.

O. Ledoit un M. Wolf, “Labi kondicionēts lielizmēra kovariācijas matricu aprēķinātājs”, Journal of Multivariate Analysis, 88. sējums, 2. izdevums, 2004. gada februāris, 365. – 411. Lpp.

2.6.2.3. Oracle aptuvenā saraušanās¶

Pieņemot, ka dati ir sadalīti pēc Gausa, Chen et al. 2 atvasināja formulu, kuras mērķis bija izvēlēties saraušanās koeficientu, kas dod mazāku vidējo kvadrāta kļūdu nekā Ledoit un Wolf's formula. Iegūtais novērtētājs ir pazīstams kā Oracle Shrinkage Approximating kovariācijas novērtētājs.

Kovariācijas matricas OAS novērtētāju var aprēķināt izlasē ar paketes sklearn.covariance oas funkciju vai arī to var iegūt citādi, ievietojot OAS objektu tajā pašā paraugā.

Novirzes-dispersijas kompromiss, nosakot saraušanos: salīdzinot Ledoit-Wolf un OAS novērtētāju izvēli ¶

Chen et al., “Saraušanās algoritmi MMSE kovariācijas novērtēšanai”, IEEE Trans. uz Sign. Proc., 58. sējums, 10. izdevums, 2010. gada oktobris.

Skatiet Ledoit-Wolf vs OAS novērtējumu, lai vizualizētu vidējās kvadrātiskās kļūdas starpību starp LedoitWolf un OAS kovariācijas novērtētāju.


Piemērs (3 un 3 reizes)

Atrodiet matricas apgriezto vērtību A izmantojot Gausa-Jordānas elimināciju.

A = 12 9 11
3 13 10
14 4 15

Mūsu procedūra

Mēs rakstām matricu A kreisajā pusē un Identitātes matrica Es labajā pusē atdalīts ar punktētu līniju šādi. Rezultātu sauc par papildināts matrica.

Mēs iekļaujam rindu numurus, lai tas būtu skaidrāks.

Tālāk mēs darām vairākus rindu darbības uz 2 matricām, un mūsu mērķis ir nonākt pie identitātes matricas pa kreisi, kā šis:

(Tehniski mēs samazinām matricu A uz samazināta rindu ešelona forma, ko sauc arī par rindas kanoniskā forma).

Rezultātā matrica labajā pusē būs apgrieztā matrica gada A.

Mūsu rindu darbības procedūra ir šāda:

  1. Sadalot pirmo rindu, mēs iegūstam "1" augšējā kreisajā stūrī
  2. Tad mēs iegūstam "0" pārējā pirmās kolonnas
  3. Tad mums ir jāsaņem "1" otrajā rindā, otrajā kolonnā
  4. Tad mēs veicam visus pārējos ierakstus otrajā slejā "0".

Mēs turpinām šādi rīkoties, līdz mūs atstāj identitātes matrica kreisajā pusē.

Tagad ejam uz priekšu un atrodam apgriezto skaitli.

Risinājums

Jauna rinda [1]

Dalīt rindu [1] ar 12 (lai mums piešķirtu "1" vēlamajā pozīcijā):

Jauna rinda [2]

Rinda [2] un mīnus 3 un reizes Rinda [1] (lai mums vēlamajā pozīcijā būtu 0):

Tas mums dod mūsu jauno rindu [2]:

Jauna rinda [3]

Rinda [3] un mīnus 14 un reizes Rinda [1] (lai mums vēlamajā pozīcijā būtu 0):

Tas dod mums mūsu jauno rindu [3]:

Jauna rinda [2]

Sadaliet rindu [2] ar 10,75 (lai mums piešķirtu "1" vēlamajā pozīcijā):

Jauna rinda [1]

Rinda [1] un mīnus 0,75 un reizes Rinda [2] (lai mums vēlamajā pozīcijā būtu 0):

1 un mīnus 0,75 un reizes 0 = 1
0,75 un mīnus 0,75 un reizes 1 = 0
0,9167 un mīnus 0,75 & reizes 0,6744 = 0,4109
0,0833 un mīnus 0,75 & reizes -0,0233 = 0,1008
0 un mīnus 0,75 un reizes 0,093 = -0,0698
0 un mīnus 0,75 un reizes 0 = 0

Tas dod mums mūsu jauno rindu [1]:

Jauna rinda [3]

Rinda [3] un mīnus -6,5 & reizes Rinda [2] (lai mums vēlamajā pozīcijā būtu 0):

Tas dod mums mūsu jauno rindu [3]:

Jauna rinda [3]

Dalīt rindu [3] ar 6,5504 (lai mums piešķirtu "1" vēlamajā pozīcijā):

Jauna rinda [1]

Rinda [1] un mīnus 0,4109 & reizes Rinda [3] (lai mums vēlamajā pozīcijā būtu 0):

1 un mīnus 0.4109 & reizes 0 = 1
0 un mīnus 0.4109 & reizes 0 = 0
0,4109 un mīnus 0,4109 & reizes 1 = 0
0,1008 un mīnus 0,4109 & reizes -0.2012 = 0,1834
-0,0698 & mīnus 0,4109 & reizes 0,0923 = -0,1077
0 un mīnus 0,4109 un reizes 0,1527 = -0,0627

Tas dod mums mūsu jauno rindu [1]:

Jauna rinda [2]

Rinda [2] un mīnus 0,6744 & reizes Rinda [3] (lai mums vēlamajā pozīcijā būtu 0):

0 un mīnus 0,6744 & reizes 0 = 0
1 un mīnus 0,6744 & reizes 0 = 1
0,6744 un mīnus 0,6744 & reizes 1 = 0
-0.0233 & mīnus 0.6744 & reizes -0.2012 = 0.1124
0,093 un mīnus 0,6744 un reizes 0,0923 = 0,0308
0 un mīnus 0,6744 un reizes 0,1527 = -0,103

Tas mums dod mūsu jauno rindu [2]:

Mēs esam sasnieguši savu mērķi izveidot identitātes matricu kreisajā pusē. Tātad mēs varam secināt matricas apgriezto vērtību A ir paplašinātās matricas labās puses daļa:


Aprēķiniet $$ left [ begin2 un 1 1 & 3 beigas pa labi] ^ <-1> $$, izmantojot Gausa-Jordānijas izslēgšanu.

Lai atrastu apgriezto matricu, palieliniet to ar identitātes matricu un veiciet rindas darbības, mēģinot padarīt identitātes matricu pa kreisi. Tad pa labi būs apgrieztā matrica.

Tātad, papildiniet matricu ar identitātes matricu:

$$ pa kreisi [ sākas2 & 1 & 1 & 0 1 & 3 & 0 & 1 beigas pa labi] $$

Daliet rindu $$ 1 $$ ar $$ 2 $$: $$ R_ <1> = frac> <2>$$ .

No $ $ 2 $$ atņemiet rindu $$ 1 $$: $$ R_ <2> = R_ <2> - R_ <1> $$.

Reiziniet $$ 2 $$ rindu ar $$ frac <2> <5> $$: $$ R_ <2> = frac <2 R_ <2>> <5> $$.

No $ $ 1 $$ atņemiet $$ 2 $$ rindu, kas reizināta ar $$ frac <1> <2> $$: $$ R_ <1> = R_ <1> - frac> <2>$$ .

Mēs esam pabeiguši. Kreisajā pusē ir identitātes matrica. Labajā pusē ir apgrieztā matrica.


Matricas apgrieztās vērtības atrašana ar TI83 / TI84

Apmeklējot jebkuru matemātikas kursu vai pat skenējot šo vietni, jūs ātri uzzināt, cik jaudīgs var būt grafiskais kalkulators. Lielāks & # 8220teorētiskais un # 8221 kurss, piemēram, lineārā algebra, nav izņēmums. Patiesībā, tiklīdz jūs zināt, kā kaut ko darīt, piemēram, ar roku atrast apgrieztu matricu, kalkulators var atbrīvot jūs no šī aprēķina un ļaut jums koncentrēties uz kopainu.

Atcerieties, ka ne katrai matricai ir apgriezts skaitlis. Zemāk izvēlētā matrica ir apgriežams, kas nozīmē, ka tam faktiski ir apgriezts. Par to, kas notiek, kad tas nav invertējams, mēs runāsim nedaudz vēlāk. Šeit ir matrica, kuru izmantosim mūsu piemērā:

( pa kreisi [ sākas 8 un amp 2 un amp 1 un amp 6 8 un amp 4 un amp 1 & amp 1 0 & amp 2 & amp 6 & amp 4 15 & amp 8 & amp 9 & amp 20 & end aisnība])

Piezīme. Lai skatītu šo darbību videoklipu, ritiniet uz leju.

1. darbība: dodieties uz izvēlni Matricas rediģēšana

Tas ir daudz vairāk iesaistīts solis, nekā izklausās! Ja jums ir TI 83, vienkārši ir poga, kas saka & # 8220MATRIX & # 8221. Šī ir poga, uz kuras noklikšķiniet, lai nokļūtu rediģēšanas izvēlnē. Ja jums ir TI84, jums būs jānospiež [2ND] un [ (x ^ <-1> )]. Tādējādi jūs nokļūsiet izvēlnē, kuru redzat zemāk. Pārvietojiet kursoru uz & # 8220EDIT & # 8221 augšpusē.


Tagad jūs atlasīsit matricu A (tehniski jūs varat izvēlēties jebkuru no tām, bet pagaidām ar A ir vieglāk tikt galā). Lai to izdarītu, nospiediet taustiņu [ENTER].


2. solis: ievadiet matricu

Pirmkārt, jums jāpasaka kalkulatoram, cik liela ir jūsu matrica. Vienkārši atcerieties to saglabāt secībā pēc & # 8220rindām & # 8221 un & # 8220kolonnām & # 8221. Piemēram, mūsu matricas paraugam ir 4 rindas un 4 kolonnas, tāpēc es ierakstu 4 [ENTER] 4 [ENTER].


Tagad jūs varat ievadīt numurus no kreisās uz labo. Pēc katra numura nospiediet [ENTER], lai nokļūtu nākamajā vietā.


Tagad, pirms mēs dodamies uz nākamo soli. Dažos kalkulatoros jūs nokļūsiet dīvainā lokā, ja tagad neiziesit no šīs izvēlnes. Lai izietu, nospiediet [2ND] un [MODE]. Kad jūs to izdarīsit, tas atgriezīsies galvenajā ekrānā.

3. solis: Izvēlnē NAMES atlasiet matricu

Kad esat pārtraucis darbību, noklikšķinot uz [2ND] un [MODE], atgriezieties matricas izvēlnē, noklikšķinot uz [2ND] un [ (x ^ <-1> )] (vai tikai uz matricas pogas, ja jums ir TI83). . Šoreiz izvēlnē NAMES atlasiet A, noklikšķinot uz [ENTER].



4. darbība: nospiediet apgriezto taustiņu [ (x ^ )] un nospiediet taustiņu Enter

Vēl vienkāršākais solis! Viss, kas jums jādara tagad, ir pateikt kalkulatoram, ko darīt ar matricu A. Tā kā mēs vēlamies atrast apgriezto vērtību, tā ir poga, kuru mēs izmantosim.



Šajā posmā jūs varat nospiest labo bultiņas taustiņu, lai redzētu visu matricu. Kā redzat, mūsu apgrieztais teksts šeit ir patiešām netīrs. Nākamais solis var mums palīdzēt, ja tas mums vajadzīgs.

5. darbība: (IZVĒLES) Pārvērst visu par daļām

Kamēr ekrānā atrodas apgrieztā vērtība, nospiežot [MATH], 1: Frac un pēc tam ENTER, jūs matricā visu pārveidosiet par daļām. Pēc tam, tāpat kā iepriekš, varat noklikšķināt uz labās bultiņas taustiņa, lai redzētu visu.



Tas ir viss! Tas izklausās daudz, bet patiesībā ir vienkārši pierast. Tas ir noderīgi un & # 8211 iespēja ievadīt matricas kalkulatorā ļauj tās pievienot, pavairot utt.! Jauki! Ja vēlaties to visu redzēt darbībā, apskatiet videoklipu pa labi, kur es izietu soļus ar citu piemēru. Pat veicot izvēles darbību, man paiet mazāk nekā 3 minūtes.

Ak, jā & # 8211, kas notiek, ja jūsu matrica ir vienskaitļa (vai NAV invertējama)? Citiem vārdiem sakot, kas notiek, ja jūsu matricai nav apgrieztas vērtības?


Kā redzat iepriekš, jūsu kalkulators jums PATEIKS. Cik tas ir jauki?


2.6: Matricas apgrieztais elements

Ņemot vērā matricu, uzdevums ir atrast šīs matricas apgriezto vērtību, izmantojot Gausa-Džordana metodi.
Kas ir matrica?

Matrica ir sakārtots taisnstūrveida skaitļu masīvs.

Matricas apgrieztā vērtība:

Dota kvadrātveida matrica A, kas nav vienreizēja (tas nozīmē, ka A noteicošais ir nulle). Tad pastāv matrica

  1. Matricai jābūt kvadrātveida matricai.
  2. Matricai jābūt ar vienreizēju matricu un
  3. Pastāv identitātes matrica I, kurai

Parasti n X n matricas A apgriezto vērtību var atrast, izmantojot šo vienkāršo formulu:

Metodes apgrieztās matricas atrašanai:

  1. Rindas pamatdarbība (Gausa-Džordana metode) (Efektīvs)
  2. Nepilngadīgie, kofaktori un adjugāta metode (neefektīva)

Elementārā rindas darbība (Gausa & # 8211 Džordana metode):

Gausa-Džordana metode ir Gausa eliminācijas variants, kurā tiek veikta rindu samazināšanas operācija, lai atrastu matricas apgriezto vērtību.
Darbības matricas apgrieztā atrašanai, izmantojot Gausa-Džordana metodi:
Lai atrastu matricas apgriezto vērtību, ir jāveic šādas darbības:

  1. Veidojiet paplašināto matricu pēc identitātes matricas.
  2. Veiciet rindas samazināšanas darbību šajā papildinātajā matricā, lai ģenerētu matricas rindas samazinātu ešelona formu.
  3. Vajadzības gadījumā papildinātā matricā tiek veiktas šādas rindas darbības:
    • Apmainiet jebkuru divu rindu.
    • Reiziniet katru rindas elementu ar veselu skaitli, kas nav nulle.
    • Aizstājiet rindu ar tās pašas summas un citas matricas rindas nemainīgu reizinājumu.

Zemāk ir C ++ programma, lai atrastu matricas apgriezto vērtību, izmantojot Gausa-Džordana metodi:


* 2.6: Matricas inversija

kur Es ir n nidentitātes matrica. Atrisinājums X, arī izmēra n n, būs apgrieztā vērtība A. Pierādījums ir vienkāršs: pēc tam, kad mēs priekšlaicīgi reizinām abas Eq puses. (2.33.) Līdz A ? 1 mums ir A ? 1 AX= A ? 1 Es, kas samazina līdz X= A ? 1 .

Kad vien iespējams, jāizvairās no lielu matricu inversijas tās augsto izmaksu dēļ. Kā redzams no vienādojuma. (2.33.), Inversija A ir līdzvērtīgs risināšanai Cirvis i= b i ar i=1, 2, , n, kur b i ir ith kolonna Es. Ja šķīdumā izmanto LU sadalīšanos, jāatkārto šķīduma fāze (aizstāšana uz priekšu un atpakaļ) n reizes, pa vienai par katru b i. Tā kā aprēķina izmaksas ir proporcionālas n 3 sadalīšanās fāzei un n 2 katram šķīduma fāzes vektoram inversijas izmaksas ir ievērojami dārgākas nekā Cirvis = b (viens nemainīgs vektors b).

Matricas inversijai ir vēl viens nopietns trūkums, josla matrica inversijas laikā zaudē struktūru. Citiem vārdiem sakot, ja A ir lentveida vai citādi reti.


Lai atrastu matricas $ A $ apgriezto vērtību, izmantojot Gausa-Džordana elimināciju, jāatrod elementāru rindu darbību secība, kas samazina $ A $ līdz identitātei, un pēc tam jāveic tās pašas darbības ar $ I_n $, lai iegūtu $ A ^ <-1> $.

Apgriezts no 2 $ reizes $ 2 matricām

1. piemērs: atrodiet apgriezto vērtību

1. darbība: Pievienojiet identitātes matricu $ A $ labajā pusē:

2. darbība: Pielietojiet rindas operācijas šai matricai, līdz kreisā puse tiek samazināta līdz $ I $. Aprēķini ir šādi:

3. solis: Secinājums: Apgrieztā matrica ir:

Nav apgriezta matrica

Ja $ A $ nav invertējams, tad kreisajā pusē parādīsies nulle rinda.

2. piemērs: atrodiet apgriezto vērtību

1. darbība: Pievienojiet identitātes matricu A labajā pusē:

2. darbība: Pielietot rindu darbības

3. solis: Secinājums: šī matrica nav invertējama.

Apgriezts no 3 $ reizes $ 3 matricām

1. piemērs: atrodiet apgriezto vērtību

1. darbība: Pievienojiet identitātes matricu A labajā pusē:

2. darbība: Pielietojiet rindas operācijas šai matricai, līdz kreisā puse tiek samazināta līdz I. Aprēķini ir šādi:


Skatīties video: Augstākā matemātika I,,, 37, Matricu transponēšana. Inversā matrica. (Novembris 2021).