Raksti

4.2. Neveicamie trīsstūri - kosinusu likums


Mācību mērķi

Šajā sadaļā jūs:

  • Izmantojiet Kosinusa likumu, lai atrisinātu slīpo trijstūri.
  • Atrisiniet pielietotās problēmas, izmantojot Kosinusa likumu.
  • Izmantojiet Herona formulu, lai atrastu trijstūra laukumu.

Pieņemsim, ka laiva atstāj ostu, nobrauc (10 ​​) jūdzes, pagriežas (20 ) grādus un vēl 8 jūdzes, kā parādīts attēlā ( PageIndex {1} ) Cik tālu no ostas ir laiva?

Diemžēl, lai gan Sinusu likums ļauj mums risināt daudzus taisnstūra trīsstūra gadījumus, tas mums nepalīdz ar trijstūriem, kur zināmais leņķis ir starp divām zināmajām pusēm, SAS (sānu leņķa pusē) trijstūri vai kad visi trīs malas ir zināmas, bet leņķi nav zināmi, SSS (sānu-sānu-sānu) trīsstūris. Šajā sadaļā mēs izpētīsim vēl vienu slīpu trijstūru risināšanas rīku, kas aprakstīti pēdējos divos gadījumos.

Kosinusa likuma izmantošana slīpo trijstūru risināšanai

Rīks, kas mums nepieciešams, lai atrisinātu kuģa attāluma no ostas problēmu, ir Kosinusa likums, kas nosaka sakarību starp leņķa mērījumiem un sānu garumiem slīpajos trijstūros. Trīs formulas veido Kosinusa likumu. No pirmā acu uzmetiena formulas var šķist sarežģītas, jo tajās ir daudz mainīgo. Tomēr, kad modelis ir saprasts, ar Kosinozes likumu ir vieglāk strādāt nekā ar lielāko daļu formulu šajā matemātiskajā līmenī.

Formulu lietošanā noderēs izpratne par to, kā tiek iegūts Kosinusa likums. Atvasinājums sākas ar Vispārinātu Pitagora teorēmu, kas ir Pitagora teorēmas pagarinājums uz taisnstūra trīsstūriem. Tas darbojas šādi: Patvaļīgs, nevis taisnstūrveida trīsstūris (ABC ) tiek ievietots koordinātu plaknē ar virsotni (A ) sākotnējā malā, pusē (c ), kas novilkta gar x-ass un virsotne (C ), kas atrodas kādā plaknes punktā ((x, y) ), kā parādīts ( PageIndex {2} ) attēlā. Parasti trijstūri eksistē jebkurā plaknes vietā, taču šim skaidrojumam mēs ievietosim trīsstūri, kā norādīts.

Mēs varam nomest perpendikulu no (C ) uz x-ass (tas ir augstums vai augstums). Atgādinot trigonometriskās pamatidentitātes, mēs to zinām

( cos theta = dfrac {x (blakus)} {b (hipotenūze)} ) un ( sin theta = dfrac {y (pretī)} {b (hipotenūze)} )

Runājot par ( theta ), (x = b cos theta ) un (y = b sin theta ). ((X, y) ) punktam, kas atrodas (C ), ir koordinātas ((b cos theta, b sin theta) ). Izmantojot sānu ((x − c) ) kā vienu taisnstūra trijstūri un (y ) kā otro kāju, mēs varam atrast hipotenūzas (a ) garumu, izmantojot Pitagora teorēmu. Tādējādi

( begin {masīvs} {ll} a ^ 2 = {(x − c)} ^ 2 + y ^ 2 [4pt] ; ; ; ; ; =; {(b cos theta −c)} ^ 2 + {(b sin theta)} ^ 2 & text {Aizstājējs} (b cos theta) text {for} x text {un} (b sin theta) teksts {for} y [4pt] ; ; ; ; ; ; = (b ^ 2 { cos} ^ 2 theta-2bc cos theta + c ^ 2) + b ^ 2 { sin} ^ 2 theta & text {Izvērsiet perfektu kvadrātu.} [4pt] ; ; ; ; ; = b ^ 2 { cos} ^ 2 theta + b ^ 2 { sin} ^ 2 theta + c ^ 2−2bc cos theta & text {Grupas noteikumi, atzīmējot, ka} { cos} ^ 2 theta + { sin} ^ 2 theta = 1 [4pt] ; ; ; ; ; = b ^ 2 ({ cos} ^ 2 theta + { sin} ^ 2 theta) + c ^ 2−2bc cos theta & text {Factor out} b ^ 2 [4pt] beigu {masīvs} )

(a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos theta )

Iegūtā formula ir viens no trim Kosinusa likuma vienādojumiem. Pārējie vienādojumi ir atrodami līdzīgā veidā.

Paturiet prātā, ka, risinot leņķus vai sānus, vienmēr ir noderīgi ieskicēt trīsstūri. Reālā situācijā mēģiniet uzzīmēt situācijas diagrammu. Tā kā parādās vairāk informācijas, diagramma var būt jāmaina. Veiciet šīs izmaiņas diagrammā, un galu galā problēmu būs vieglāk atrisināt.

KOSINU LIKUMS

Kosinusa likums nosaka, ka trijstūra jebkuras malas kvadrāts ir vienāds ar pārējo divu malu kvadrātu summu, atņemot divreiz lielāku pārējo divu malu un pievienotā leņķa kosinusa reizinājumu.

Trijstūriem, kas apzīmēti kā attēlā ( PageIndex {3} ), ar leņķiem ( alfa ), ( beta ) un ( gamma ) un pretējām atbilstošajām pusēm (a ), (b ) un (c ), attiecīgi, Kosinusa likums ir dots kā trīs vienādojums.

[a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos alfa ]

[b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2−2ac cos beta ]

[c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2−2ab cos gamma ]

Lai atrisinātu trūkstošo sānu mērījumu, ir nepieciešams atbilstošs pretējā leņķa mērījums.

Risinot leņķi, ir nepieciešams atbilstošais pretējās puses mērs. Mēs varam izmantot citu Kosinusa likuma versiju, lai atrisinātu leņķi.

[ cos alpha = dfrac {b ^ 2 + c ^ 2 − a ^ 2} {2bc} ]

[ cos beta = dfrac {a ^ 2 + c ^ 2 − b ^ 2} {2ac} ]

[ cos gamma = dfrac {a ^ 2 + b ^ 2 − c ^ 2} {2ab} ]

Kā: ņemot vērā divas puses un leņķi starp tām (SAS), atrodiet trīsstūra atlikušās malas un leņķa mērījumus

  1. Ieskicējiet trīsstūri. Nosakiet zināmo malu un leņķu mērījumus. Izmantojiet mainīgos, lai attēlotu nezināmo malu un leņķu mērus.
  2. Lai atrastu nezināmās puses vai leņķa garumu, piemērojiet Kosinusa likumu.
  3. Lai atrastu otrā leņķa mēru, piemērojiet Sinus vai Kosinusa likumu.
  4. Aprēķiniet atlikušā leņķa mēru.

Piemērs ( PageIndex {1} ): SAS trijstūra nezināmās puses un leņķu atrašana

Attēlā ( PageIndex {4} ) atrodiet nezināmo trijstūra malu un leņķus.

Risinājums

Pirmkārt, atzīmējiet to, kas ir dots: divas puses un leņķis starp tām. Šī vienošanās ir klasificēta kā SAS un sniedz datus, kas nepieciešami Kosinusa likuma piemērošanai.

Katrs no trim kosinusu likumiem sākas ar nezināmas puses kvadrātu pretī zināmam leņķim. Šajā piemērā pirmā puse, kurai jāatrisina, ir puse (b ), kā mēs zinām pretējā leņķa mērījumu ( beta ).

( begin {masīvs} {ll} b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2−2ac cos beta [4pt] b ^ 2 = {10} ^ 2 + {12} ^ 2−2 ( 10) (12) cos (30 °) & text {Aizstājiet zināmo lielumu mērījumus.} [4pt] b ^ 2 = 100 + 144−240 left ( dfrac { sqrt {3}} {2} pa labi) un teksts {Novērtējiet kosinusu un sāciet vienkāršot.} [4pt] b ^ 2 = 244−120 sqrt {3} [4pt] b = sqrt {244−120 sqrt {3}} & text {Izmantojiet kvadrātsaknes rekvizītu.} [4pt] b≈6.013 end {array} )

Tā kā mēs risinām garumu, mēs izmantojam tikai pozitīvo kvadrātsakni. Tagad, kad mēs zinām garumu (b ), mēs varam izmantot Sinusu likumu, lai aizpildītu atlikušos trīsstūra leņķus. Atrisinot leņķi ( alfa ), mums ir

( begin {masīvs} {cc} dfrac { sin alpha} {a} = dfrac { sin beta} {b} [4pt] dfrac { sin alpha} {10} = dfrac { sin (30 °)} {6.013} [4pt] sin alpha = dfrac {10 sin (30 °)} {6.013} & text {Reiziniet abas vienādojuma puses ar} 10 . [4pt] alpha = { sin} ^ {- 1} left ( dfrac {10 sin (30 °)} {6.013} right) & text {Atrodiet} dfrac apgriezto sinusu {10 sin (30 °)} {6.013}. [4pt] alpha≈56.3 ° end {masīvs} )

Otra iespēja ( alfa ) būtu ( alpha = 180 ° -56,3 ° ≈123,7 ° ). Sākotnējā diagrammā ( alpha ) atrodas blakus garākajai malai, tāpēc ( alpha ) ir asais leņķis, un tāpēc (123.7 ° ) nav jēgas. Ievērojiet, ka, izvēloties piemērot Kosinīnu likumu, mēs saņemam unikālu atbildi. Mums nav jāapsver citas iespējas, jo kosinuss ir unikāls leņķiem starp (0 ° ) un (180 ° ). Turpinot ar ( alpha≈56.3 ° ), mēs varam atrast trīsstūra trešo leņķi.

[ begin {izlīdzināt *} gamma & = 180 ^ { circ} -30 ^ { circ} -56.3 ^ { circ} & aptuveni 93.7 ^ { circ} end {izlīdzināt *} ]

Pilns leņķu un sānu komplekts ir

( alfa≈56.3 ° ) (a = 10 )

( beta = 30 ° ) (b≈6.013 )

( gamma≈93,7 ° ) (c = 12 )

Vingrinājums ( PageIndex {1} )

Atrodiet norādītā trijstūra trūkstošo malu un leņķus: ( alfa = 30 ° ), (b = 12 ), (c = 24 ).

Atbilde

(a≈14.9 ), ( beta≈23.8 ° ), ( gamma≈126.2 ° ).

Piemērs ( PageIndex {2} ): SSS trīsstūra leņķa risināšana

Atrodiet leņķi ( alfa ) dotajam trijstūrim, ja sānu (a = 20 ), sānu (b = 25 ) un sānu (c = 18 ).

Risinājums

Šajā piemērā mums nav leņķu. Mēs varam atrisināt jebkuru leņķi, izmantojot Kosinusa likumu. Lai atrisinātu leņķi ( alfa ), mums ir

( begin {masīvs} {ll} a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos alfa [4pt] {20} ^ 2 = {25} ^ 2 + {18} ^ 2− 2 (25) (18) cos alfa & text {Aizstājiet atbilstošos mērījumus.} [4pt] 400 = 625 + 324−900 cos alfa & text {Vienkāršojiet katrā solī.} [ 4pt] 400 = 949−900 cos alfa [4pt] −549 = 9900 cos alfa & teksts {Izolēt} cos alfa. [4pt] −549−900 = cos alfa [4pt] 0.61≈ cos alfa [4pt] 0.61≈ cos alfa & text {Atrodiet apgriezto kosinusu.} [4pt] alfa≈52.4 ° end {masīvs} )

Skatīt attēlu ( PageIndex {5} ).

Analīze

Tā kā apgrieztais kosinuss var atgriezt jebkuru leņķi starp (0 ) un (180 ) grādiem, izmantojot šo metodi, nebūs neviena divdomīga gadījuma.

Vingrinājums ( PageIndex {2} )

Ņemot vērā (a = 5 ), (b = 7 ) un (c = 10 ), atrodiet trūkstošos leņķus.

Atbilde

( alpha≈27.7 ° ), ( beta≈40.5 ° ), ( gamma≈111.8 ° )

Lietišķo problēmu risināšana, izmantojot kosinusa likumu

Tāpat kā Sinusu likums nodrošināja atbilstošus vienādojumus, lai atrisinātu virkni lietojumu, Kosinusa likums ir piemērojams situācijām, kurās dotie dati atbilst kosinusa modeļiem. Mēs tos varam redzēt navigācijas, uzmērīšanas, astronomijas un ģeometrijas jomās, tikai dažus no tiem.

Piemērs ( PageIndex {3A} ): Kosinīnu likuma izmantošana komunikācijas problēmas risināšanai

Daudzos mobilajos tālruņos ar GPS aptuveni aptuveno atrašanās vietu var norādīt pirms GPS signāla saņemšanas. Tas tiek panākts, izmantojot procesu, ko sauc par triangulāciju, kas darbojas, izmantojot attālumus no diviem zināmiem punktiem. Pieņemsim, ka mobilā tālruņa darbības rādiusā ir divi mobilā tālruņa torņi. Divi torņi atrodas (6000 ) pēdu attālumā viens no otra pa taisnu šoseju, kas ved uz austrumiem uz rietumiem, un mobilais tālrunis atrodas uz ziemeļiem no šosejas. Pamatojoties uz signāla aizkavēšanos, var noteikt, ka signāls ir (5050 ) pēdas no pirmā torņa un (2420 ) pēdas no otrā torņa. Nosakiet mobilā tālruņa stāvokli uz ziemeļiem un uz austrumiem no pirmā torņa un nosakiet, cik tālu tas atrodas no šosejas.

Risinājums

Vienkāršības labad mēs vispirms izveidojam diagrammu, kas līdzīga attēlam ( PageIndex {6} ), un iezīmējam mūsu sniegto informāciju.

Izmantojot Kosinusa likumu, mēs varam atrisināt leņķi ( theta ). Atcerieties, ka Kosinusa likums izmanto vienas puses kvadrātu, lai atrastu pretējā leņķa kosinusu. Šajā piemērā ļaujiet atzīmēt (a = 2420 ), (b = 5050 ) un (c = 6000 ). Tādējādi ( theta ) atbilst pretējai pusei (a = 2420 ).

[ begin {izlīdzināt *} a ^ 2 & = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos theta [4pt] {(2420)} ^ 2 & = {(5050)} ^ 2 + {( 6000)} ^ 2−2 (5050) (6000) cos theta [4pt] cos theta & ≈ 0,9183 [4pt] cos theta & ≈ 0,9183 [4pt] theta & ≈ { cos} ^ {- 1} (0,9183) [4pt] teta un ≈ 23,3 ° beigas {izlīdzināt *} ]

Lai atbildētu uz jautājumiem par tālruņa atrašanās vietu uz ziemeļiem un austrumiem no torņa, un attālumu līdz šosejai, nometiet perpendikulāri no mobilā tālruņa stāvokļa, kā parādīts attēlā ( PageIndex {7} ). Tas veido divus taisnstūra trīsstūrus, lai gan mums ir vajadzīgs tikai taisnais trīsstūris, kas ietver pirmo šīs problēmas torni.

Izmantojot leņķi ( theta = 23,3 ) ° un pamata trigonometriskās identitātes, mēs varam atrast risinājumus. Tādējādi

[ begin {izlīdzināt *} cos (23.3 °) & = dfrac {x} {5050} [4pt] x & = 5050 cos (23.3 °) [4pt] x & ≈ 4638.15 , pēdas [4pt] sin (23.3 °) & = dfrac {y} {5050} [4pt] y & = 5050 sin (23.3 °) [4pt] y & ≈1997.5 , pēdas beigas {izlīdzināt *} ]

Mobilais tālrunis atrodas aptuveni (4638 ) pēdas uz austrumiem un (1998 ) pēdas uz ziemeļiem no pirmā torņa un (1998 ) pēdas no šosejas.

Piemērs ( PageIndex {3B} ): nobrauktā attāluma aprēķināšana, izmantojot SAS trīsstūri

Atgriežoties pie mūsu problēmas šīs sadaļas sākumā, pieņemsim, ka laiva atstāj ostu, nobrauc (10 ​​) jūdzes, pagriežas (20 ) grādus un nobrauc vēl (8 ) jūdzes. Cik tālu no ostas ir laiva? Diagramma šeit ir atkārtota attēlā ( PageIndex {8} ).

Risinājums

Laiva pagriezās par 20 grādiem, tāpēc trijstūra, kas nav taisnstūris, izliektais leņķis ir papildu leņķis, (180 ° −20 ° = 160 ° ). Ar to mēs varam izmantot Kosinusa likumu, lai atrastu trūkstošā trijstūra malu - laivas attālumu līdz ostai.

[ begin {izlīdzināt *} x ^ 2 & = 8 ^ 2 + {10} ^ 2−2 (8) (10) cos (160 °) [4pt] x ^ 2 & = 314.35 [ 4pt] x & = sqrt {314.35} [4pt] x & ≈17.7 , jūdzes end {izlīdzināt *} ]

Laiva atrodas apmēram (17,7 ) jūdzes no ostas.

Herona formulas izmantošana trijstūra laukuma atrašanai

Mēs jau iemācījāmies atrast slīpa trijstūra laukumu, kad zinām divas malas un leņķi. Mēs zinām arī formulu, kā atrast trijstūra laukumu, izmantojot pamatni un augstumu. Kad mēs zinām trīs puses, mēs tomēr varam to izmantot Herona formula tā vietā, lai atrastu augstumu. Aleksandrijas gārnis bija ģeometrs, kurš dzīvoja pirmajā gadsimtā pēc mūsu ēras. Viņš atklāja formulu slīpu trijstūru laukuma atrašanai, kad ir zināmas trīs malas.

HERONA FORMULA

Herona formula atrod slīpu trijstūru laukumu, kurā ir zināmas malas (a ), (b ) un (c ).

[Platība = sqrt {s (s − a) (s − b) (s − c)} ]

kur (s = dfrac {(a + b + c)} {2} ) ir puse no trijstūra perimetra, ko dažreiz sauc par pusperimetru.

Piemērs ( PageIndex {4} ): Herona formulas izmantošana noteikta trijstūra laukuma atrašanai

Izmantojot Herona formulu, atrodiet trīsstūra laukumu attēlā ( PageIndex {9} ).

Risinājums

Pirmkārt, mēs aprēķinām (s ).

[ begin {align *} s & = dfrac {(a + b + c)} {2} s & = dfrac {(10 + 15 + 7)} {2} & = 16 end { izlīdzināt *} ]

Tad mēs izmantojam formulu.

[ begin {align *} Area & = sqrt {s (sa) (sb) (sc)} Area & = sqrt {16 (16-10) (16-15) (16-7)} Platība un aptuveni 29,4 beigas {izlīdzināt *} ]

Platība ir aptuveni (29,4 ) kvadrātvienības.

Vingrinājums ( PageIndex {3} )

Izmantojiet Herona formulu, lai atrastu trijstūra laukumu, kura malu garums ir (a = 29,7 ) pēdas, (b = 42,3 ) pēdas un (c = 38,4 ) pēdas.

Atbilde

Platība = (552 ) kvadrātpēdas

Piemērs ( PageIndex {5} ): Herona formulas piemērošana reālās pasaules problēmai

Čikāgas pilsētas attīstītājs vēlas uzcelt ēku, kas sastāv no mākslinieku bēniņiem uz trīsstūrveida zemes gabala, kuru ierobežo Rush Street, Wabash Avenue un Pearson Street. Fasāde gar Rush ielu ir aptuveni (62,4 ) metri, gar Wabash avēniju tā ir aptuveni (43,5 ) metri, un gar Pīrsona ielu tā ir aptuveni (34,1 ) metri. Cik kvadrātmetru ir pieejams izstrādātājam? Pilsētas īpašuma skatu skatiet attēlā ( PageIndex {10} ).

Risinājums

Atrodiet mērījumu (s ), kas ir puse no perimetra.

[ sākt {izlīdzināt *} s & = dfrac {(62,4 + 43,5 + 34,1)} {2} s & = 70 ; m text {Lietot Herona formulu.} Area & = sqrt {70 (70-62.4) (70-43.5) (70-34.1)} Area & = sqrt {506,118.2} Area & apm 711,4 end {izlīdzināt *} ]

Izstrādātājam ir aptuveni (711,4 ) kvadrātmetri.

Vingrinājums ( PageIndex {4} )

Atrodiet trīsstūra laukumu, norādot (a = 4,38 ) pēdas, (b = 3,79 ) pēdas un (c = 5,22 ) pēdas.

Atbilde

apmēram (8,15 ) kvadrātpēdas

Mediji

Piekļūstiet šiem tiešsaistes resursiem, lai iegūtu papildu instrukcijas un praksi ar Kosinusa likumu.

  • Kosinusa likums
  • Kosinozes likums: pieteikumi
  • Kosinozes likums: pielietojums 2

Galvenie vienādojumi

Kosinusa likums

(a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 -2bc cos alfa )

(b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2−2ac cos beta )

(c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2−2ab cos gamma )

Herona formula

(Platība = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} )

kur (s = dfrac {(a + b + c)} {2} )

Galvenie jēdzieni

  • Kosinusa likums nosaka sakarību starp leņķa mērījumiem un sānu garumiem slīpajos trijstūros.
  • Vispārīgā Pitagora teorēma ir Kosinusa likums diviem slīpu trijstūru gadījumiem: SAS un SSS. Nometot iedomātu perpendikulu, slīps trijstūris tiek sadalīts divos taisnstūra trijstūros vai tiek izveidots viens taisns trīsstūris, kas ļauj savstarpēji saistīt malas un aprēķināt mērījumus. Skatiet piemēru ( PageIndex {1} ) un piemēru ( PageIndex {2} ).
  • Kosinusa likums ir noderīgs daudzu veidu pielietotajām problēmām. Pirmais solis šādu problēmu risināšanā parasti ir uzrādīt uzrādītās problēmas skici. Ja sniegtā informācija atbilst vienam no trim modeļiem (trim vienādojumiem), tad, lai atrastu risinājumu, piemērojiet Kosinusa likumu.Skatiet piemēru ( PageIndex {3} ) un ( PageIndex {4} ).
  • Herona formula ļauj aprēķināt laukumu slīpajos trijstūros. Jāzina visas trīs puses, lai izmantotu Herona formulu. Skatiet piemēru ( PageIndex {5} ) un skatiet piemēru ( PageIndex {6} ).

4.2. Neveicamie trīsstūri - kosinusu likums

Šīs sadaļas beigās jūs varēsiet:

  • Izmantojiet Kosinusa likumu, lai atrisinātu slīpo trijstūri.
  • Atrisiniet pielietotās problēmas, izmantojot Kosinusa likumu.
  • Izmantojiet Herona formulu, lai atrastu trijstūra laukumu.

Pieņemsim, ka laiva atstāj ostu, nobrauc 10 jūdzes, pagriežas par 20 grādiem un vēl 8 jūdzes, kā parādīts 1. attēlā. Cik tālu no ostas ir laiva?

Diemžēl, lai gan Sinusu likums ļauj mums risināt daudzus taisnstūra trīsstūra gadījumus, tas nepalīdz mums ar trijstūriem, kur zināmais leņķis ir starp divām zināmām pusēm, SAS (sānu leņķa pusē) trīsstūrisvai kad ir zināmas visas trīs puses, bet nav zināmi leņķi, a SSS (sānu-sānu) trijstūris. Šajā sadaļā mēs izpētīsim vēl vienu slīpu trijstūru risināšanas rīku, kas aprakstīti pēdējos divos gadījumos.


8.2 Neveicamie trīsstūri: kosinusu likums

Pieņemsim, ka laiva atstāj ostu, nobrauc 10 jūdzes, pagriežas par 20 grādiem un vēl 8 jūdzes, kā parādīts 1. attēlā. Cik tālu no ostas ir laiva?

Diemžēl, lai gan Sinusu likums ļauj mums risināt daudzus taisnstūra trīsstūra gadījumus, tas mums nepalīdz ar trijstūriem, kur zināmais leņķis ir starp divām zināmām pusēm, SAS (sānu leņķa pusē) trīsstūri vai kad visi trīs malas ir zināmas, bet nav zināmi leņķi, SSS (sānu-sānu-sānu) trīsstūris. Šajā sadaļā mēs izpētīsim vēl vienu slīpu trijstūru risināšanas rīku, kas aprakstīti pēdējos divos gadījumos.

Kosinusa likuma izmantošana slīpo trijstūru risināšanai

Rīks, kas mums nepieciešams, lai atrisinātu kuģa attāluma no ostas problēmu, ir Kosinusa likums, kas nosaka sakarību starp leņķa mērījumiem un sānu garumiem slīpajos trijstūros. Trīs formulas veido Kosinusa likumu. No pirmā acu uzmetiena formulas var šķist sarežģītas, jo tajās ir daudz mainīgo. Tomēr, kad modelis ir saprasts, ar Kosinozes likumu ir vieglāk strādāt nekā ar lielāko daļu formulu šajā matemātiskajā līmenī.

Formulu lietošanā noderēs izpratne par to, kā tiek iegūts Kosinusa likums. Atvasinājums sākas ar Vispārinātu Pitagora teorēmu, kas ir Pitagora teorēmas pagarinājums uz taisnstūra trīsstūriem. Tas darbojas šādi: Patvaļīgs, taisnleņķa trīsstūris A B C A B C tiek ievietots koordinātu plaknē ar virsotni A A sākotnējā pusē, malā c c, kas novilkta gar x-asis un virsotne CC, kas atrodas kādā plaknes punktā (x, y) (x, y), kā parādīts 2. attēlā. Parasti trijstūri eksistē jebkurā plaknes vietā, taču šim skaidrojumam mēs ievietosim trīsstūri, kā norādīts .

Iegūtā formula ir viens no trim Kosinusa likuma vienādojumiem. Pārējie vienādojumi ir atrodami līdzīgā veidā.

Paturiet prātā, ka, risinot leņķus vai sānus, vienmēr ir noderīgi ieskicēt trīsstūri. Reālā situācijā mēģiniet uzzīmēt situācijas diagrammu. Tā kā parādās vairāk informācijas, diagramma var būt jāmaina. Veiciet šīs izmaiņas diagrammā, un galu galā problēmu būs vieglāk atrisināt.

Kosinusa likums

Kosinusa likums nosaka, ka trijstūra jebkuras malas kvadrāts ir vienāds ar pārējo divu malu kvadrātu summu, atņemot divreiz lielāku pārējo divu malu un pievienotā leņķa kosinusa reizinājumu. Trijstūriem, kas apzīmēti kā parādīts 3. attēlā, ar leņķiem α, β, α, β un γ, γ un pretēji attiecīgajām pusēm attiecīgi a, b, a, b un c, c, Kosinusa likums ir norādīts kā trīs vienādojumi.

Lai atrisinātu trūkstošo sānu mērījumu, ir nepieciešams atbilstošs pretējā leņķa mērījums.

Risinot leņķi, ir nepieciešams atbilstošais pretējās puses mērs. Mēs varam izmantot citu Kosinusa likuma versiju, lai atrisinātu leņķi.

Ņemot vērā divas puses un leņķi starp tām (SAS), atrodiet trīsstūra atlikušās malas un leņķa mērus.

  1. Ieskicējiet trīsstūri. Nosakiet zināmo malu un leņķu mērījumus. Izmantojiet mainīgos, lai attēlotu nezināmo malu un leņķu mērus.
  2. Lai atrastu nezināmās puses vai leņķa garumu, piemērojiet Kosinusa likumu.
  3. Lai atrastu otrā leņķa mēru, piemērojiet Sinus vai Kosinusa likumu.
  4. Aprēķiniet atlikušā leņķa mēru.

1. piemērs

SAS trijstūra nezināmās puses un leņķu atrašana

Atrodiet nezināmo trijstūra malu un leņķus 4. attēlā.

Risinājums

Pirmkārt, atzīmējiet to, kas ir dots: divas puses un leņķis starp tām. Šī vienošanās ir klasificēta kā SAS un sniedz datus, kas nepieciešami Kosinusa likuma piemērošanai.

Katrs no trim kosinusu likumiem sākas ar nezināmas puses kvadrātu pretī zināmam leņķim. Šajā piemērā pirmā puse, kurai jāatrisina, ir b, b, jo mēs zinām pretējā leņķa β mērījumus. β.

Tā kā mēs risinām garumu, mēs izmantojam tikai pozitīvo kvadrātsakni. Tagad, kad mēs zinām garumu b, b, mēs varam izmantot Sinusu likumu, lai aizpildītu atlikušos trīsstūra leņķus. Atrodot leņķi α, α, mums ir


Kosinusa likuma izmantošana slīpo trijstūru risināšanai

Rīks, kas mums nepieciešams, lai atrisinātu kuģa attāluma no ostas problēmu, ir Kosinusa likums, kas nosaka sakarību starp leņķa mērījumiem un sānu garumiem slīpajos trijstūros. Trīs formulas veido Kosinusa likumu. No pirmā acu uzmetiena formulas var šķist sarežģītas, jo tajās ir daudz mainīgo. Tomēr, kad modelis ir saprasts, ar Kosinozes likumu ir vieglāk strādāt nekā ar lielāko daļu formulu šajā matemātiskajā līmenī.

Formulu lietošanā noderēs izpratne par to, kā tiek iegūts Kosinusa likums. Atvasinājums sākas ar Vispārinātu Pitagora teorēmu, kas ir Pitagora teorēmas pagarinājums uz taisnstūra trīsstūriem. Tas darbojas šādi: Patvaļīgs taisnleņķa trīsstūris A B C A B C tiek ievietots koordinātu plaknē ar virsotni A A sākotnējā pusē, malā c c, kas novilkta gar x-ass un virsotne C C, kas atrodas kādā plaknes punktā (x, y) (x, y), kā parādīts [saite]. Parasti trijstūri eksistē jebkurā plaknes vietā, taču šim skaidrojumam mēs ievietosim trīsstūri, kā norādīts.

Iegūtā formula ir viens no trim Kosinusa likuma vienādojumiem. Pārējie vienādojumi ir atrodami līdzīgā veidā.

Paturiet prātā, ka, risinot leņķus vai sānus, vienmēr ir noderīgi ieskicēt trīsstūri. Reālā situācijā mēģiniet uzzīmēt situācijas diagrammu. Tā kā parādās vairāk informācijas, diagramma var būt jāmaina. Veiciet šīs izmaiņas diagrammā, un galu galā problēmu būs vieglāk atrisināt.

Kosinusa likums nosaka, ka trijstūra jebkuras malas kvadrāts ir vienāds ar pārējo divu malu kvadrātu summu, atņemot divreiz lielāku pārējo divu malu un pievienotā leņķa kosinusa reizinājumu. Trijstūriem, kas apzīmēti kā [saite], ar leņķiem α, β, α, β un γ, γ un pretēji attiecīgajām pusēm attiecīgi a, b, a, b un c, c, Kosinusa likums ir norādīts kā trīs vienādojumi.

Lai atrisinātu trūkstošo sānu mērījumu, ir nepieciešams atbilstošs pretējā leņķa mērījums.

Risinot leņķi, ir nepieciešams atbilstošais pretējās puses mērs. Mēs varam izmantot citu Kosinusa likuma versiju, lai atrisinātu leņķi.

Ņemot vērā divas puses un leņķi starp tām (SAS), atrodiet trīsstūra atlikušās malas un leņķa mērus.

  1. Ieskicējiet trīsstūri. Nosakiet zināmo malu un leņķu mērījumus. Izmantojiet mainīgos, lai attēlotu nezināmo malu un leņķu mērus.
  2. Lai atrastu nezināmās puses vai leņķa garumu, piemērojiet Kosinusa likumu.
  3. Lai atrastu otrā leņķa mēru, piemērojiet Sinus vai Kosinusa likumu.
  4. Aprēķiniet atlikušā leņķa mēru.

Atrodiet nezināmo trijstūra malu un leņķus vietnē [saite].

Pirmkārt, atzīmējiet to, kas ir dots: divas puses un leņķis starp tām. Šī vienošanās ir klasificēta kā SAS un sniedz datus, kas nepieciešami Kosinusa likuma piemērošanai.

Katrs no trim kosinusu likumiem sākas ar nezināmas puses kvadrātu pretī zināmam leņķim. Šajā piemērā pirmā puse, kurai jāatrisina, ir b, b, jo mēs zinām pretējā leņķa β mērījumus. β.

Tā kā mēs risinām garumu, mēs izmantojam tikai pozitīvo kvadrātsakni. Tagad, kad mēs zinām garumu b, b, mēs varam izmantot Sinusu likumu, lai aizpildītu atlikušos trīsstūra leņķus. Atrodot leņķi α, α, mums ir

Pilns leņķu un sānu komplekts ir

Atrodiet dotā trijstūra trūkstošo malu un leņķus: α = 30 °, b = 12, c = 24. α = 30 °, b = 12, c = 24.


Neveicamie trijstūri: Sinusa likums

Pieņemsim, ka divas radaru stacijas, kas atrodas 20 jūdžu attālumā, katra atklāj lidmašīnu starp tām. Pirmās stacijas mērītais pacēluma leņķis ir 35 grādi, savukārt otrās stacijas mērītais leņķis ir 15 grādi. Kā mēs varam noteikt lidmašīnas augstumu? (Attēlā) mēs redzam, ka trijstūris, ko veido lidmašīna un abas stacijas, nav taisns trīsstūris, tāpēc mēs nevaram izmantot to, ko mēs zinām par taisniem trijstūriem. Šajā sadaļā mēs uzzināsim, kā atrisināt problēmas, kas saistītas ar taisnstūra trīsstūriem.

1. attēls.

Sinusa likuma izmantošana slīpo trijstūru risināšanai

Jebkurā trijstūrī mēs varam uzzīmēt augstumu, perpendikulāru līniju no vienas virsotnes uz pretējo pusi, veidojot divus taisnus trīsstūrus. Būtu vēlams, lai būtu metodes, kuras mēs varam tieši pielietot taisnstūra trīsstūriem, vispirms neizveidojot taisnus trīsstūrus.

Jebkurš trīsstūris, kas nav taisnstūris, ir slīps trijstūris. Slīpa trijstūra atrisināšana nozīmē visu trīs leņķu un visu trīs malu mērījumu atrašanu. Lai to izdarītu, mums jāsāk ar vismaz trim no šīm vērtībām, ieskaitot vismaz vienu no pusēm. Mēs izpētīsim trīs iespējamās slīpa trijstūra problēmu situācijas:

    ASA (leņķis-sānu leņķis) Mēs zinām divu leņķu un iekļautās puses mērījumus. Skatīt (attēls).

2. attēls.

3. attēls.

4. attēls.

Zinot, kā tuvoties katrai no šīm situācijām, mēs varam atrisināt slīpo trijstūri bez nepieciešamības nomest perpendikulāru, lai izveidotu divus taisnus trijstūrus. Tā vietā mēs varam izmantot faktu, ka viena leņķa mērījuma attiecība pret pretējās puses garumu būs vienāda ar pārējām divām leņķa un pretējās puses attiecībām. Apskatīsim, kā šis apgalvojums tiek iegūts, ņemot vērā trīsstūri, kas parādīts (attēlā).

5. attēls.

Izmantojot taisnās trīsstūra attiecības, mēs to zināmunRisinot abus vienādojumusdod divus dažādus izteicienus

Pēc tam mēs iestatām izteicienus vienādus viens otram.

Līdzīgi mēs varam salīdzināt pārējās attiecības.

Kopā šīs attiecības sauc par Sinusa likums.

Ievērojiet trīsstūru marķēšanas standarta veidu: leņķis(alfa) ir pretējā puseleņķis(beta) ir pretējā pusēun leņķis(gamma) ir pretējā puseSkatīt (attēls).

Aprēķinot leņķus un malas, pārliecinieties, ka precīzās vērtības ir norādītas līdz galīgajai atbildei. Parasti, ja nav norādīts citādi, galīgās atbildes tiek noapaļotas līdz tuvākajai desmitajai daļai.

6. attēls.

Sinusa likums

Ņemot vērā trijstūri ar leņķiem un pretējām pusēm, kas apzīmētas kā (attēlā), leņķa mērīšanas attiecība pret tā pretējās puses garumu būs vienāda ar pārējām divām leņķa un pretējās puses attiecībām. Visas proporcijas būs vienādas. Sinusa likums ir balstīts uz proporcijām un tiek simboliski izklāstīts divējādi.

Lai atrisinātu slīpu trijstūri, izmantojiet jebkuru piemērotu attiecību pāri.

AAS trīsstūra divu nezināmu sānu un leņķa risināšana

Atrisiniet (attēls) parādīto trīsstūri ar precizitāti līdz desmitdaļai.

7. attēls.

Trīs leņķiem jāsasniedz līdz 180 grādiem. No tā mēs to varam noteikt

Lai atrastu nezināmu pusi, mums jāzina atbilstošais leņķis un zināmā attiecība. Mēs zinām šo leņķi un tam atbilstošā puseLai noteiktu garumu, mēs varam izmantot šādu proporciju no Sinusa likuma

Līdzīgi, lai atrisinātumēs izveidojām citu proporciju.

Tāpēc viss leņķu un sānu komplekts ir

[/ slēptā atbilde]

Pamēģini

Atrisiniet (attēls) parādīto trīsstūri ar precizitāti līdz desmitdaļai.

8. attēls.

Sinusa likuma izmantošana SSA trijstūru risināšanai

Mēs varam izmantot Sinusa likumu, lai atrisinātu jebkuru slīpi trijstūri, taču daži risinājumi var nebūt vienkārši. Dažos gadījumos vairāk nekā viens trijstūris var atbilst dotajiem kritērijiem, kurus mēs raksturojam kā neskaidru gadījumu. Trijstūri, kas klasificēti kā SSA, tie, kuros mēs zinām divu malu garumus un leņķa mērījumu pretī vienai no dotajām pusēm, var radīt vienu vai divus risinājumus vai pat nerast risinājumu.

Iespējamie SSA trijstūru rezultāti

Slīpajiem trijstūriem SSA kategorijā var būt četri dažādi rezultāti. (Attēls) ilustrē risinājumus ar zināmām pusēmunun zināms leņķis

9. attēls.

Slīpa SSA trīsstūra risināšana

Trīsstūri (attēlā) atrisiniet trūkstošajai pusei un atrodiet trūkstošā leņķa mērījumus līdz tuvākajai desmitdaļai.

10. attēls.

Izmantojiet Sinusa likumu, lai atrastu leņķiun leņķisun tad sānisAtrisinotmums ir proporcija

Tomēr diagrammā leņķisšķiet neass leņķis un var būt lielāks par 90 °. Kā mēs ieguva asu leņķi un kā mēs atrodam mērījumuIzmeklēsim tālāk. Nometot perpendikulu noun, aplūkojot trīsstūri no taisnleņķa perspektīvas, mums ir (attēls). Šķiet, ka var būt otrs trīsstūris, kas atbilst norādītajiem kritērijiem.

11. attēls.

Leņķis, kas papildinair aptuveni vienāds ar 49,9 °, kas nozīmē, ka(Atcerieties, ka sinusa funkcija ir pozitīva gan pirmajā, gan otrajā kvadrantā.) Risināšana par mums ir

Pēc tam mēs varam izmantot šos mērījumus, lai atrisinātu otru trijstūri. Kopšir papildus summaiun mums ir

Tagad mums jāatrodun

Apkopojot, ir divi trīsstūri ar 35 ° leņķi, blakus esošo pusi ar 8 un pretējo pusi no 6, kā parādīts (attēlā).

12. attēls.

Tomēr mēs meklējām vērtības trīsstūrim ar izliektu leņķiMēs tos varam redzēt pirmajā trīsstūrī (a) (attēls). [/ Hidden-answer]

Pamēģini

Dotsunatrodiet trūkstošo pusi un leņķus. Ja ir vairāki iespējamie risinājumi, parādiet abus.

[/ slēptā atbilde]

SSA trijstūra nezināmo sānu un leņķu risināšana

Trīsstūrī, kas parādīts (attēlā), atrisiniet nezināmo pusi un leņķus. Noapaļojiet atbildes līdz tuvākajai desmitajai daļai.

13. attēls.

Izvēloties koeficientu pāri no Sinusa likuma, ko izmantot, apskatiet sniegto informāciju. Šajā gadījumā mēs zinām leņķiun tam atbilstošā puseun mēs zinām pusiMēs izmantosim šo proporciju, lai atrisinātu

Atrastpielietojiet apgriezto sinusa funkciju. Ar apgriezto sinusu tiks iegūts viens rezultāts, taču ņemiet vērā, ka vērtībai var būt divas vērtībasIr svarīgi pārbaudīt rezultātu, jo var būt divi dzīvotspējīgi risinājumi, tikai viens risinājums (parastais gadījums) vai nav risinājumu.

Šajā gadījumā, ja mēs atņemamno 180 °, mēs redzam, ka var būt otrs iespējamais risinājums. TādējādiLai pārbaudītu šķīdumu, no 180 ° atņemiet abus leņķus - 131,7 ° un 85 °. Tas dod

kas nav iespējams, un tā

Lai atrastu atlikušās trūkstošās vērtības, mēs aprēķināmTagad tikai puseir vajadzīgs. Izmantojiet Sinusa likumu, lai to atrisinātupēc vienas no proporcijām.

Dotā trijstūra risinājumu kopums ir

[/ slēptā atbilde]

Pamēģini

Dotsatrodiet trūkstošo pusi un leņķus. Ja ir vairāki iespējamie risinājumi, parādiet abus. Noapaļojiet atbildes līdz tuvākajai desmitajai daļai.

Trīsstūru atrašana, kas atbilst noteiktajiem kritērijiem

Atrodiet visus iespējamos trijstūrus, ja vienas malas garums ir 4 pretī 50 ° leņķim un otras puses garums ir 10.

Izmantojot sniegto informāciju, mēs varam atrisināt leņķi pretī garuma 10. malai. Skatīt (attēls).

14. attēls.

Mēs šeit varam apstāties, neatrodot vērtībuTā kā sinusa funkcijas diapazons irnav iespējams, ka sinusa vērtība ir 1,915. Patiesībā ievadotgrafiku kalkulatorā ģenerē KĻŪDAS DOMENU. Tāpēc ar norādītajiem izmēriem nevar izdarīt trīsstūri. [/ Hidden-answer]

Pamēģini

Nosakiet iespējamo doto trijstūru skaitu

Slīpa trijstūra laukuma atrašana, izmantojot sinusa funkciju

Tagad, kad mēs varam atrisināt trūkstošo vērtību trīsstūri, mēs varam izmantot dažas no šīm vērtībām un sinusa funkciju, lai atrastu slīpa trijstūra laukumu. Atgādinām, ka trijstūra laukuma formula ir dota kākurir pamats unir augstums. Attiecībā uz slīpiem trijstūriem mums jāatrodpirms mēs varam izmantot laukuma formulu. Novērojot divus trīsstūrus (attēls), vienu asu un vienu neasu, mēs varam nomest perpendikulu, lai attēlotu augstumu, un pēc tam pielietot trigonometrisko īpašībulai uzrakstītu laukuma vienādojumu slīpajos trijstūros. Akūtā trīsstūrī mums irvaiTomēr trulajā trīsstūrī mēs nometam perpendikulu ārpus trijstūra un izvelkam pamatnilai izveidotu taisnu trīsstūri. Aprēķināšanā izmantotais leņķis irvai

15. attēls.

Slīpa trijstūra laukums

Formu slīpa trijstūra laukumam izsaka

Tas ir līdzvērtīgs pusei no divu sānu reizinājuma un to iekļautā leņķa sinusa.

Slīpa trijstūra laukuma atrašana

Atrodiet trijstūra laukumu ar malāmun leņķisNoapaļojiet laukumu līdz tuvākajam skaitlim.

Izmantojot formulu, mums ir

[/ slēptā atbilde]

Pamēģini

Atrodiet norādītā trīsstūra laukumuNoapaļojiet teritoriju līdz tuvākajai desmitdaļai.

par

Lietišķo problēmu risināšana, izmantojot sinusu likumu

Jo vairāk mēs pētām trigonometriskos lietojumus, jo vairāk mēs atklājam, ka lietojumu ir neskaitāmi daudz. Dažas ir plakanas, diagrammas veida situācijas, taču daudzi aprēķinu, inženierijas un fizikas pielietojumi ietver trīs dimensijas un kustību.

Augstuma atrašana

Atrodiet šīs sadaļas sākumā ieviesto problēmu, kas parādīta (attēlā), lidmašīnas augstumu. Noapaļojiet augstumu līdz tuvākajai jūdzes desmitdaļai.

16. attēls.

Lai atrastu lidmašīnas augstumu, vispirms mēs atrodam attālumu no vienas stacijas līdz lidmašīnai, piemēram, uz sānu un pēc tam izmantojiet taisnstūra trīsstūra attiecības, lai atrastu lidmašīnas augstumu,

Tā kā trīsstūra leņķi sasniedz 180 grādus, nezināmajam leņķim jābūt 180 ° –15 ° –35 ° = 130 °.Šis leņķis ir pretī 20 garuma malai, ļaujot mums izveidot Sines likuma attiecības.

Attālums no vienas stacijas līdz lidmašīnai ir aptuveni 14,98 jūdzes.

Tagad, kad mēs zināmlai atrisinātu, mēs varam izmantot taisnstūra trijstūra attiecības

Lidmašīna atrodas aptuveni 3,9 jūdžu augstumā.

Diagrammā, kas parādīta (attēlā), tiek parādīts blimpas augstums, kas lido virs futbola stadiona. Atrodiet zibspuldzes augstumu, ja pacēluma leņķis dienvidu gala zonā, punktā A ir 70 °, pacēluma leņķis no ziemeļu gala zonas, punktsir 62 °, un attālums starp divu gala zonu skatu punktiem ir 145 jardi.

17. attēls.

Piekļūstiet šiem tiešsaistes resursiem, lai iegūtu papildu instrukcijas un praksi ar trigonometriskām lietojumprogrammām.

Galvenie vienādojumi

Sinusa likums
Platība slīpiem trijstūriem

Galvenie jēdzieni

  • Sīnusu likumu var izmantot, lai atrisinātu slīpo trijstūri, kas nav taisnstūra trīsstūri.
  • Saskaņā ar Sinusa likumu viena no leņķu mērīšanas attiecība pret pretējās puses garumu ir vienāda ar pārējām divām leņķa un pretējās puses attiecībām.
  • Ir trīs iespējamie gadījumi: ASA, AAS, SSA. Atkarībā no sniegtās informācijas mēs varam izvēlēties piemērotu vienādojumu, lai atrastu pieprasīto risinājumu. Skatīt (attēls).
  • Neskaidrs gadījums rodas, ja slīpajam trijstūrim var būt dažādi rezultāti.
  • Ir trīs iespējamie gadījumi, kas izriet no SSA vienošanās - viens risinājums, divi iespējamie risinājumi un bez risinājuma. Skatīt (attēls) un (attēls).
  • Sīnusu likumu var izmantot, lai atrisinātu trijstūrus ar noteiktiem kritērijiem. Skatīt (attēls).
  • Vispārējā laukuma formula trijstūriem nozīmē slīpi trijstūri, vispirms atrodot atbilstošo augstuma vērtību. Skatīt (attēls).
  • Ir daudz trigonometrisko lietojumu. Tos bieži var atrisināt, vispirms uzzīmējot dotās informācijas diagrammu un pēc tam izmantojot atbilstošo vienādojumu. Skatīt (attēls).

Sadaļas vingrinājumi

Verbāli

Aprakstiet trīsstūra augstumu.

Augstums stiepjas no jebkuras virsotnes uz pretējo pusi vai līdz līnijai, kas satur pretējo pusi 90 ° leņķī.

Salīdziniet taisnstūra un slīpo trijstūri.

Kad jūs varat izmantot Sinusa likumu, lai atrastu trūkstošo leņķi?

Kad zināmās vērtības ir tā puse, kas atrodas pretī trūkstošajam leņķim, un otra puse un tā pretējais leņķis.

Kāda ir sakarība starp leņķi skaitītājā un sānu saucējā likumā?

Kāda veida trijstūra rezultātā rodas neskaidrs gadījums?

Trijstūris ar divām dotajām malām un neiekļautu leņķi.

Algebriskais

Pieņemiet šādus vingrinājumusir pretējā pusēir pretējā pusēunir pretējā pusēJa iespējams, atrisiniet katru trīsstūri. Katru atbildi noapaļojiet līdz tuvākajai desmitajai daļai.

Lai veiktu šādus vingrinājumus, izmantojiet Sinusu likumu, lai atrisinātu katra slīpa trīsstūra trūkstošo pusi. Katru atbildi noapaļojiet līdz tuvākajai simtajai daļai. Pieņemsim šo leņķiir pretējā pusēleņķisir pretējā pusēun leņķisir pretējā pusē

Atrast pusikad

Atrast pusi kad

Atrast pusikad

Pieņemiet šādus vingrinājumusir pretējā pusēir pretējā pusēunir pretējā pusēNosakiet, vai nav trīsstūra, viena trijstūra vai divu trijstūru. Pēc tam atrisiniet katru trīsstūri, ja iespējams. Katru atbildi noapaļojiet līdz tuvākajai desmitajai daļai.

viens trīsstūris,

divi trīsstūri,vai

divi trīsstūri,vai

divi trīsstūri,vai

Turpmākajiem vingrinājumiem izmantojiet Sinusu likumu, lai, ja iespējams, atrisinātu trūkstošo malu vai leņķi katram trijstūrim vai trijstūriem divdomīgā gadījumā. Katru atbildi noapaļojiet līdz tuvākajai desmitajai daļai.

Atrast leņķikad

Atrast leņķikad

vai

Atrast leņķikad

Turpmākajiem vingrinājumiem atrodiet trijstūra laukumu ar dotajiem mērījumiem. Katru atbildi noapaļojiet līdz tuvākajai desmitajai daļai.

Grafisks

Šiem vingrinājumiem atrodiet sānu garumuNoapaļo līdz tuvākajai desmitajai daļai.

Turpmākajiem vingrinājumiem atrodiet leņķa mēruja iespējams. Noapaļo līdz tuvākajai desmitajai daļai.

Ievērojiet toir neass leņķis.

Turpmākajiem vingrinājumiem atrodiet katra trijstūra laukumu. Katru atbildi noapaļojiet līdz tuvākajai desmitajai daļai.

Pagarinājumi

Atrodiet apļa rādiusu (attēls). Noapaļo līdz tuvākajai desmitajai daļai.

18. attēls.

Apļa diametru atrodiet (attēlā). Noapaļo līdz tuvākajai desmitajai daļai.

19. attēls.

Atrodiet(attēlā). Noapaļo līdz tuvākajai desmitajai daļai.

20. attēls.

Atrodiet(attēlā). Noapaļo līdz tuvākajai desmitajai daļai.

21. attēls.

Atrisiniet abus trīsstūrus (attēls). Katru atbildi noapaļojiet līdz tuvākajai desmitajai daļai.

22. attēls.

Atrodietparalelogramā, kas parādīts (attēlā).

23. attēls.

Atrisiniet trīsstūri (attēls). (Padoms: zīmējiet perpendikulāru nouzKatru atbildi noapaļojiet līdz tuvākajai desmitajai daļai.

24. attēls.

Atrisiniet trīsstūri (attēls). (Padoms: zīmējiet perpendikulāru nouzKatru atbildi noapaļojiet līdz tuvākajai desmitajai daļai.

25. attēls.

In (attēls),nav paralelograms.ir neass. Atrisiniet abus trijstūrus. Katru atbildi noapaļojiet līdz tuvākajai desmitajai daļai.

26. attēls.

Reālās pasaules lietojumprogrammas

Stūris noliecas no saules leņķīuz vertikāli, kā parādīts (attēlā). Kad saules augstums irstabs met 42 pēdu garu ēnu uz līdzenas zemes. Cik ilgi ir stabs? Noapaļojiet atbildi līdz tuvākajai desmitajai daļai.

27. attēls.

Lai noteiktu, cik tālu laiva atrodas no krasta, divas radaru stacijas, kas atrodas 500 pēdu attālumā, atrod leņķi uz laivu, kā parādīts (attēlā). Nosakiet laivas attālumu no stacijasun laivas attālums no krasta. Noapaļojiet atbildes līdz tuvākajai pēdai.

28. attēls.

(Attēls) parāda satelītu, kas riņķo ap Zemi. Satelīts iet tieši pāri divām izsekošanas stacijāmunkas atrodas 69 jūdžu attālumā. Kad satelīts atrodas vienā no divām stacijām, augstuma leņķi pieuntiek mērīti kāunattiecīgi. Cik tālu ir satelīts no stacijasun cik augsts ir satelīts virs zemes? Apaļas atbildes uz tuvāko veselu jūdžu.

29. attēls.

Attālums no satelīta līdz stacijaiir aptuveni 1716 jūdzes. Satelīts atrodas aptuveni 1706 jūdzes virs zemes.

Sakaru tornis atrodas stāvā kalna galā, kā parādīts (attēlā). Kalna slīpuma leņķis irTorņa augšpusē un zemē jāpiestiprina puisis vads, 165 metrus lejup no torņa pamatnes. Leņķis, ko veido puisis vads un kalns, irAtrodiet vadam nepieciešamo kabeļa garumu ar precizitāti līdz veselam metram.

30. attēls.

Mājas jumts atrodas pie aleņķis. Uz jumta jāuzstāda 8 pēdu saules panelis, un tam jābūt leņķimoptimālam rezultātam attiecībā pret horizontāli. (Skatīt (attēls)). Cik ilgam jābūt vertikālajam atbalstam, kas aiztur paneļa aizmuguri? Noapaļo līdz tuvākajai desmitajai daļai.

31. attēls.

Līdzīgi kā augstuma leņķis, an depresijas leņķis ir asais leņķis, ko veido horizontāla līnija un novērotāja redzes līnija pret objektu, kas atrodas zem horizontāles. Pilots lido pāri taisnai šosejai. Viņš nosaka depresijas leņķus pret diviem nobraukuma punktiem 6,6 km attālumā viens no otraunkā parādīts (attēlā). Atrodiet plaknes attālumu no punktalīdz kilometra desmitdaļai.

32. attēls.

Pilots lido pāri taisnai šosejai. Viņš nosaka, ka depresijas leņķi pret diviem nobraukuma punktiem, kas atrodas 4,3 km attālumā viens no otra, ir 32 ° un 56 °, kā parādīts (attēlā). Atrodiet plaknes attālumu no punktalīdz kilometra desmitdaļai.

33. attēls.

Lai novērtētu ēkas augstumu, divi studenti ielas līmenī stāv noteiktā attālumā no ēkas. No šī punkta viņi uzskata, ka pacēluma leņķis no ielas līdz ēkas augšdaļai ir 39 °. Pēc tam viņi pārvietojas 300 pēdas tuvāk ēkai un konstatē, ka pacēluma leņķis ir 50 °. Pieņemot, ka iela ir līdzena, novērtējiet ēkas augstumu līdz tuvākajai pēdai.

Lai novērtētu ēkas augstumu, divi studenti ielas līmenī stāv noteiktā attālumā no ēkas. No šī punkta viņi uzskata, ka pacēluma leņķis no ielas līdz ēkas augšdaļai ir 35 °. Pēc tam viņi pārvietojas 250 pēdas tuvāk ēkai un konstatē, ka pacēluma leņķis ir 53 °. Pieņemot, ka iela ir līdzena, novērtējiet ēkas augstumu līdz tuvākajai pēdai.

Punktiunatrodas ezera pretējās pusēs. Punktsir 97 metru attālumā noLeņķa mērsir noteikts 101 ° un leņķa mērstiek noteikts kā 53 °. Kāds ir attālums nouznoapaļots līdz tuvākajam veselajam metram?

Vīrietis un sieviete stāvjūdzes viena no otras vienlaikus atrodiet gaisa balonu. Ja pacēluma leņķis no vīrieša līdz gaisa balonam ir 27 ° un augstuma leņķis no sievietes līdz gaisa balonam ir 41 °, atrodiet balona augstumu līdz tuvākajai pēdai.

Divas meklēšanas komandas uz kalna pamana iesprūdušu alpīnistu. Pirmā meklēšanas komanda atrodas 0,5 jūdžu attālumā no otrās meklēšanas komandas, un abas komandas atrodas 1 jūdzes augstumā. Paaugstinājuma leņķis no pirmās meklēšanas komandas līdz iesprūdušajam alpīnistam ir 15 °. Paaugstinājuma leņķis no otrās meklēšanas komandas līdz alpīnistam ir 22 °. Kāds ir alpīnista augstums? Noapaļojiet līdz tuvākajai jūdzes desmitdaļai.

Uz staba ir uzstādīts ielas apgaismojums. Nelielu attālumu no staba uz ielas stāv 6 pēdas garš vīrietis, kurš met ēnu. Paaugstinājuma leņķis no vīrieša ēnas gala līdz galvas augšdaļai 28 °. Tajā pašā ielā, pretējā stieņa pusē no vīrieša, stāv 6 pēdas gara sieviete. Paaugstinājuma leņķis no viņas ēnas gala līdz galvas augšai ir 28 °. Ja vīrietis un sieviete ir 20 pēdu attālumā, cik tālu ir ielas gaisma no katra cilvēka ēnas gala? Noapaļojiet attālumu līdz pēdas desmitdaļai.

Trīs pilsētas,unatrodas tā, ka pilsētaatrodas uz austrumiem no pilsētasJa pilsētaatrodas 35 ° uz rietumiem no ziemeļiem no pilsētasun atrodas 100 jūdžu attālumā no pilsētasun 70 jūdzes no pilsētascik tālu ir pilsētano pilsētasNoapaļojiet attālumu līdz tuvākajai jūdzes desmitdaļai.

Divas ielas satiekas 80 ° leņķī. Stūrī tiek veidots parks trīsstūra formā. Atrodiet parka teritoriju, ja gar vienu ceļu parks ir 180 pēdas, un pa otru ceļu - 215 pēdas.

Braiena māja atrodas uz stūra laukuma. Atrodiet priekšējā pagalma laukumu, ja to malas ir 40 un 56 pēdas, kā parādīts (attēlā).

34. attēls.

Bermudu trijstūris ir Atlantijas okeāna reģions, kas savieno Bermudu salas, Floridu un Puertoriko. Atrodiet Bermudu salas trijstūra laukumu, ja attālums no Floridas līdz Bermudu salām ir 1030 jūdzes, attālums no Puertoriko līdz Bermudām ir 980 jūdzes un abu attālumu radītais leņķis ir 62 °.

Ienesīguma zīme ir 30 collas no visām trim pusēm. Kāda ir zīmes platība?

Naomi nopirka modernu pusdienu galdu, kura augšdaļa ir trīsstūra forma. Atrodiet galda virsmas laukumu, ja divas no sāniem ir 4 pēdas un 4,5 pēdas, un mazākie leņķi ir 32 ° un 42 °, kā parādīts (attēlā).

35. attēls.

Kosinusa likums

The Kosinusa likums tiek izmantots, lai atrastu slīpa (ne taisna) trijstūra atlikušās daļas, ja ir zināmi vai nu divu malu garumi un iekļautā leņķa mērs (SAS), vai ir zināmi trīs malu garumi (SSS). Jebkurā no šiem gadījumiem nav iespējams izmantot Sinus likumu, jo mēs nevaram noteikt atrisināmu proporciju.

Kosinusa likums nosaka:

c 2 = a 2 + b 2 & mīnus 2 a b & thinsp & thinsp cos C.

Tas atgādina Pitagora teorēmu, izņemot trešo terminu, un, ja C ir taisns leņķis, trešais loceklis ir vienāds ar 0, jo kosinuss 90 & deg ir 0, un mēs iegūstam Pitagora teorēmu. Tātad Pitagora teorēma ir Kosinusa likuma īpašs gadījums.

Kosinusa likumu var arī norādīt kā

b 2 = a 2 + c 2 & mīnus 2 a c & thinsp & thinsp cos B vai

a 2 = b 2 + c 2 & mīnus 2 b c & thinsp & thinsp cos A.

1. piemērs: Divas puses un iekļautais leņķis-SAS

Ņemot vērā a = 11, b = 5 un m & ang C = 20 & deg. Atrodiet atlikušo pusi un leņķus.

c 2 = a 2 + b 2 & mīnus 2 a b & thinsp & thinsp cos C

c = a 2 + b 2 & mīnus 2 a b & thinsp & thinsp cos C

& thinsp & thinsp = 11 2 + 5 2 un mīnus 2 (11) (5) (cos 20 & deg)

Lai atrastu atlikušos leņķus, visvieglāk tagad ir izmantot Sinusa likumu.

Ņemiet vērā, ka leņķis A ir pretējs garākajai malai un trīsstūris nav taisns trīsstūris. Tātad, lietojot apgriezto vērtību, jums jāņem vērā izliektais leņķis, kura sinusa ir 11 grēks (20 grādi) 6,53 un asimps 0,5761.

2. piemērs: Trīs sāni - SSS

Dots a = 8, b = 19 un c = 14. Atrodiet leņķu mērījumus.

Vislabāk vispirms atrast leņķi pretī garākajai malai. Šajā gadījumā tā ir b puse.

cos B = b 2 & mīnus a 2 & mīnus c 2 & mīnus 2 a c = 19 2 & mīnus 8 2 & mīnus 14 2 & mīnus 2 (8) (14) & asimps & mīnus 0,45089

Tā kā cos B ir negatīvs, mēs zinām, ka B ir neass leņķis.

Tā kā B ir neass leņķis un trīsstūrī ir ne vairāk kā viens nolaists leņķis, mēs zinām, ka leņķis A un leņķis C abi ir akūti.


Kosinusu likums - SSS piemērs

Ja jūsu uzdevums ir atrast trijstūra leņķus, ņemot vērā visas trīs malas, viss, kas jums jādara, ir izmantot pārveidotās kosinusa likumu formulas:

Aprēķināsim vienu no leņķiem. Pieņemsim, ka mums ir a = 4 collas, b = 5 collas un c = 6 collas. Mēs izmantosim pirmo vienādojumu, lai atrastu & # x3B1:

Varat aprēķināt otro leņķi no otrā vienādojuma analogā veidā, bet trešo leņķi varat atrast, zinot, ka leņķu summa trijstūrī ir vienāda ar 180 & # xB0 (& # x3C0 / 2).

Ja vēlaties ietaupīt laiku, ierakstiet sānu garumus mūsu sinusošu kalkulatora likumā - mūsu rīks ir droša likme! Vienkārši izpildiet šīs vienkāršās darbības:

Izvēlieties opciju atkarībā no dotajām vērtībām. Mums jāizvēlas otrais variants - SSS (3 malas).

Ievadiet zināmās vērtības. Ierakstiet malas: a = 4 collas, b = 5 collas un c = 6 collas.

Kalkulators parāda rezultātu! Mūsu gadījumā leņķi ir vienādi ar & # x3B1 = 41,41 & # xB0, & # x3B2 = 55,77 & # xB0 un & # x3B3 = 82,82 & # xB0.

Pēc šāda paskaidrojuma mēs esam pārliecināti, ka jūs saprotat, kāds ir kosinusa likums un kad to lietot. Izmēģiniet šo rīku, atrisiniet dažus vingrinājumus un atcerieties, ka prakse padara pastāvīgu!


4.2. Neveicamie trīsstūri - kosinusu likums

Līdz šim mēs esam nodarbojušies tikai ar taisnstūra trīsstūriem, bet trigonometriju var viegli piemērot taisnstūra trīsstūri jo jebkuru taisnstūra trīsstūri var dalīt ar augstums * divos taisnstūra trijstūros.

Apgrieziet vai pieskarieties trīsstūrim, lai redzētu, ko tas nozīmē & # 8594

Atcerieties, ka augstums ir līnijas segments, kura trijstūra virsotnē ir viens galapunkts, un taisnā leņķī krustojas pretējā puse (vai tās pagarinājums ārpus trijstūra). Skatīt trīsstūrus.

Parastā taisnstūra trijstūru marķēšana

Šo marķēšanas shēmu parasti izmanto taisnstūra trīsstūriem. Lielie burti ir leņķi un attiecīgais mazie burti iet ar pusē pretī leņķim: sānis a (ar garumu a vienības) atrodas pāri leņķim A (ar mēru A grādi vai radiāni) utt.

Sinusu likuma atvasināšana

Atvasinājums

Matemātikā, kad mēs atvasināt formula, mēs būtībā izdomāt izmantojot vienu vai vairākus vienkāršākus, jau zināmus principus. Atvasinājums būtībā ir pierādījums tam, ka mūsu izveidotā formula darbojas un uz to var paļauties.

Apsveriet trīsstūri zemāk. ja atrodam leņķa sinusus A un leņķis C izmantojot to atbilstošos taisnstūra trīsstūrus, mēs pamanām, ka tie abi satur augstumu x.

Mēs varam tos pārkārtot, atrisinot katru x (reizināt ar c kreisajā vienādojumā abās pusēs un a labajā pusē):

$ x = c cdot sin (A) text x = a cdot sin (C) $

Tagad tranzītīpašums saka, ka, ja abi c · grēks (A) un a · grēks (C) ir vienādi ar x, tad tiem jābūt vienādiem ar otru:

Mēs parasti dalām abas puses ar ac lai iegūtu viegli iegaumējamo sinusa likuma izteicienu:

Mēs varētu izdarīt to pašu atvasinājumu ar pārējiem diviem augstumiem, kas iegūti no leņķiem A un C nākt klajā ar līdzīgām attiecībām pārējiem leņķu pāriem. Mēs tos saucam par sinusa likumu. Tas atrodas zemāk esošajā zaļajā lodziņā.

Sinusa likumu var izmantot, lai atrastu leņķa vai taisnstūra trīsstūra malas mērījumu, ja mēs zinām:

Sinusa likums

Lai gan trīs frakcijas šeit ir saistītas ar divām vienādības zīmēm, praksē mēs tās izmantojam tikai pāros.

1. piemērs

Atrodiet visus trūkstošos šī trijstūra mērījumus:

Risinājums : Trūkstošais leņķis ir vienkāršs, tas ir vienkārši

Tagad iestatiet vienu no sinusa proporciju likumu un atrisiniet trūkstošo gabalu, šajā gadījumā apakšējās malas garumu:

Tad dariet to pašu attiecībā uz otru trūkstošo pusi. Vislabāk ir izmantot sākotnējo zināmo leņķi un malu, lai noapaļotās kļūdas vai kļūdas nesummētos.

Pro padoms:

Iepriekš algebrā esmu izlaidis pāris soļus. Atcerieties, ka tad, kad mainīgais, kuru mēģināt atrisināt, ir saucējā, jūsu pirmais uzdevums ir skaidrs: Izvelciet to no saucēja, parasti reizinot ar šo mainīgo abās pusēs. Tad pārējā algebra, lai izolētu šo mainīgo no visa pārējā, kas tam pievienots, ir diezgan skaidra.

2. piemērs

Atrodiet visus trūkstošos šī trijstūra mērījumus:

Risinājums : Šoreiz mums jāatrod pirmais trūkstošais leņķis, izmantojot LOS, pēc tam mēs varam izmantot trīsstūra leņķu summu, lai atrastu trešo. Vispirms izveidojiet vienu sinusa proporcijas likumu. Mēs atrisināsim trūkstošo leņķi, tāpēc mums būs jāaprēķina apgrieztais sinuss:

Tagad ir viegli aprēķināt trešo leņķi:

Pēc tam vēlreiz izmantojiet sinusa likumu par trūkstošo pusi. Mums ir divas izvēles, kuras mēs varam atrisināt

Vai nu dod to pašu atbildi,

Uzmanību: Sinusa neskaidrības likums

Mums jābūt piesardzīgiem attiecībā uz sinusa likumu, jo tas var dot neskaidrus risinājumus, ja izmantojam apgriezto sinusa funkciju [f (x) = sin -1 (x)]. Lūk, kā tas darbojas. Dotajam trijstūrim, kurā ir zināma tikai viena mala, var izveidot divus iespējamos trijstūrus. Paskaties:

Fuksīna malās tiek iezīmēts izliekts trīsstūris (mazs kreisajā pusē) un asais trīsstūris (ārējais trīsstūris), izmantojot to pašu divu malu kombināciju, kur trešā (apakšējā) mala var būt viena no diviem garumiem, jo ​​sākotnēji tā nav zināms. Abi iespējamie leņķi vienmēr ir saistīti: to summa ir 180˚.

Kā mēs to rīkojamies? Darīsim piemēru.

Pirmkārt, mēs atrisinām leņķi A izmantojot LOS:

Mēs varam pārkārtot un izmantot apgrieztās sinusa funkciju, lai iegūtu leņķi:

Ja ir neskaidrība, tā mērs būs 180˚, atskaitot leņķi, ko mēs noteicām:

Ja šis leņķis, kas pievienots sākotnējam leņķim (30 is), ir mazāks par 180˚, šāds trīsstūris var pastāv, un mums ir neskaidrs gadījums. Šeit ir divi iespējamie trīsstūri šajā piemērā:

Šādā gadījumā mums ir jāzina nedaudz vairāk par mūsu trijstūri. Vai tas ir akūts vai neass? Vai dotā diagramma ir izveidota pēc mēroga (kāda tā ir)? Ja tā, tas varētu būt pietiekami, lai novērstu neskaidrību.

Dažos gadījumos aprēķinātajam leņķim atkal pievienotais daudzums (180˚ mīnus mūsu aprēķinātais leņķis) būs lielāks par 180˚, un šāds trīsstūris nevar pastāvēt, tāpēc risinājums ir unikāls.

Pārliecinieties, ka esat to apzinājies, strādājot ar problēmām. Pārbaudiet neskaidrības, ja vien jums nav skaidrības par citu problēmu norādēm.

Kosinusa likums

Kosinusa likums tiek izmantots, kad mēs zinām:

  • trijstūra divu malu garumi un leņķa lielums starp tiem, VAI
  • visu trīsstūra malu garumi, bet leņķis nav mērāms.

Kosinusa likumu skaitļošanas ziņā ir nedaudz sarežģītāk izmantot nekā sinusu likumu, taču, par laimi, tas ir jāizmanto tikai vienu reizi. Pēc kosinusa likuma piemērošanas trijstūrim iegūtā informācija vienmēr ļaus izmantot sinusu likumu, lai aprēķinātu turpmākās trijstūra īpašības.

Kosinusu likuma atvasināšana

Apsveriet vēl vienu taisnstūra trīsstūri, kas apzīmēts kā parādīts ar sānu garumiem x un y. Mēs varam iegūt noderīgu likumu, kas satur tikai kosinusa funkciju.

Vispirms izmantojiet Pitagora teorēmu, lai katram taisnstūra trīsstūrim iegūtu divus vienādojumus:

Ievērojiet, ka katrs satur un x 2 , lai mēs varētu novērst x 2 starp abiem, izmantojot tranzitīvo īpašību:

Pēc tam paplašiniet binomu (b - y) 2 Lai iegūtu vienādojumu zemāk, un ņemiet vērā, ka y 2 atcelt:

Tagad mums joprojām ir pakārts y, bet mēs varam atbrīvoties no tā, izmantojot kosinusa risinājumu, pamaniet to

$ cos (A) = frac, text y = c , cos (A) $

C · cos (A) aizstājot ar y, iegūstam

kas ir kosinusu likums

Kosinusa likumu var izmantot, lai atrastu leņķa vai taisnstūra trijstūra malu, ja mēs zinām:

Mēs atkal varētu izdarīt to pašu atvasinājumu, izmantojot pārējos divus mūsu trijstūra augstumus, lai iegūtu trīs trīsstūra kosinusa likuma versijas. Tie ir norādīti zemāk esošajā lodziņā.

Kosinusa likums

The Kosinusa likums ir tikai Pitagora attiecības ar korekcijas koeficientu, piem. -2bc · cos (A), lai ņemtu vērā faktu, ka trijstūris nav taisns trīsstūris. Mēs varam uzrakstīt trīs LOC versijas, vienu katram leņķa / pretējās puses pārim:

$ sākas a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2 bc , cos (A) [5pt] b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2 ac , cos (B) [5pt] c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2 ab , cos (C) beigas$

Pro padoms

Kosinusa likums jums būs jāizmanto tikai vienu reizi, ja tas jums vispār vajadzīgs. Pēc trūkstošā leņķa vai sāna atrašanas ar LOC, sinusa likums darbosies arī pārējiem.

3. piemērs

Atrodiet visus trūkstošos šī trijstūra mērījumus:

Risinājums : Iestatiet kosinusu likumu, izmantojot vienīgo leņķu un sānu kopu, kurai tas ir iespējams šajā gadījumā:

Izmantojot jauno pusi, atrodiet vienu no trūkstošajiem leņķiem, izmantojot sinusa likumu:

Un tad ir trešais leņķis

Kopumā vispirms mēģiniet izmantot sinusu likumu. Tas ir vieglāk un mazāk pakļauts kļūdām (taču uzmanieties no neskaidrības, risinot neakūtus leņķus). Bet šajā gadījumā tas nebija iespējams, tāpēc bija nepieciešams kosinusu likums.

4. piemērs

Atrodiet visus trūkstošos šī trijstūra mērījumus:

Risinājums : Iestatiet kosinusu likumu, lai atrisinātu kādu no leņķiem:

Pārkārtojiet, lai atrisinātu A. Lai iegūtu leņķi, jums būs nepieciešams apgriezts kosinuss.

Izmantojiet sinusa likumu, lai atrastu otro leņķi

Visbeidzot, vienkārši aprēķiniet trešo leņķi:

Prakses problēmas

Atrodiet šo trīsstūru visu trūkstošo malu un leņķu mērījumus:

(Padoms: Ja iespējams, vienmēr vispirms izmantojiet LOS. Tas ir vienkāršāk. Kad tas neizdodas, izmantojiet LOC, bet tad parasti varat izmantot citus līdzekļus, lai aizpildītu pārējos mērījumus, izmantojot LOS vai Pitagora teorēmu.)


4.2. Neveicamie trīsstūri - kosinusu likums

HSC standarta matemātikas resursi

Pārlūkot: 1. Sākums »4. Trigonometrija» 4.2 Trīsstūris, kas nav taisnstūris

Trīsstūri, kas nav taisni, ir trijstūri, kuru iekšpusē nav 90 grādu. Šajā sadaļā pārliecinieties, vai esat pāri sinusa un kosinusa likumam.

Sinusa likums ir noderīgs, jo to var izmantot, lai atrastu trūkstošā leņķa vai trīsstūra malas garumu, ja jums ir pietiekami daudz informācijas, lai izmantotu sinusa likuma vienādojumu.

Piekļūstiet 20 eksāmeniem ar vairāk nekā 700 eksāmenu stila jautājumiem par HSC standarta matemātiku.

Noklikšķiniet šeit, lai tos pārbaudītu!

Apsveriet šādus trīsstūrus. Atrodiet x katrā no šiem gadījumiem:

Kosinusa likums

Apsveriet šādas situācijas:

Ir norādītas visas trijstūra malas, bet nav paredzēti leņķi vai divas malas, un ir dots to veidotais leņķis, un ir jāaprēķina trešā mala. Šādās situācijās kosinusa likums ir ātrākais veids, kā nokļūt atbildē.

Lai gan zemāk ir trīs vienādojumi, pamatideja ir tā pati, ka malas un leņķi, ko norobežo šīs malas, ievietojat vienādojuma labajā pusē un malu pretī leņķim kreisajā pusē.


Lietišķo problēmu risināšana, izmantojot sinusu likumu

Jo vairāk mēs pētām trigonometriskos lietojumus, jo vairāk mēs atklājam, ka lietojumu ir neskaitāmi daudz. Dažas ir plakanas, diagrammas veida situācijas, taču daudzi aprēķinu, inženierijas un fizikas pielietojumi ietver trīs dimensijas un kustību.

6. piemērs

1. problēma

Augstuma atrašana

Atrodiet šīs sadaļas sākumā ieviesto problēmu, kas parādīta 16. attēlā, lidmašīnas augstumu. Noapaļojiet augstumu līdz tuvākajai jūdzes desmitdaļai.

16. attēls
Risinājums

Lai atrastu lidmašīnas augstumu, vispirms atrodam attālumu no vienas stacijas līdz lidmašīnai, piemēram, sānu a, a, un pēc tam izmantojam taisnstūra trīsstūra attiecības, lai atrastu lidmašīnas augstumu h. h.

Tā kā trīsstūra leņķi sasniedz 180 grādus, nezināmajam leņķim jābūt 180 ° –15 ° –35 ° = 130 °. Šis leņķis ir pretī 20 garuma malai, ļaujot mums izveidot Sines likuma attiecības.

Attālums no vienas stacijas līdz lidmašīnai ir aptuveni 14,98 jūdzes.

Tagad, kad mēs zinām a, a, mēs varam izmantot taisnstūra attiecības, lai atrisinātu h. h.