Raksti

7.2. Īpašās vērtības - matemātika


Definīcija 7.2.1. Ļaujiet (T ) ievadīt ( mathcal {L} (V, V) ). Tad ( lambda ) ( mathbb {F} ) ir īpašvērtība no (T ), ja pastāv ne nulles vektors (u in V ) tāds, ka

[T u = lambda u.]

Vektoru (u ) sauc par an īpašvektors no (T ), kas atbilst īpašvērtībai ( lambda ).

Lineārā operatora īpatnējo vērtību un īpašo vektoru atrašana ir viena no svarīgākajām Linear Algebra problēmām. Mēs vēlāk redzēsim, ka šai tā sauktajai "informācijai par īpašo informāciju" ir daudz lietojumu un lietojumu. (Kā piemēru kvantu mehānika balstās uz operatoru īpašo vērtību un īpašo vektoru izpratni par īpaši definētām vektoru telpām. Šīs vektoru telpas tomēr bieži ir bezgalīgas dimensijas, tāpēc šajās piezīmēs tās tālāk neuzskatām.)

7.2.2. Piemērs.

  • Ļaujiet (T ) būt nulles kartei, kuru visiem (v V ) definē (T (v) = 0 ). Tad katrs vektors (u neq 0 ) ir (T ) īpašvektors ar īpašvērtību (0 ).
  • Ļaujiet (I ) būt identitātes kartei, kuru visiem (V V ) definē (I (v) = v ). Tad katrs vektors (u neq 0 ) ir (T ) īpašvektors ar īpašvērtību (1 ).
  • Projekcijas kartei (P: mathbb {R} ^ 3 to mathbb {R} ^ 3 ), kuru definē (P (x, y, z) = (x, y, 0) ), ir īpašvērtības (0 ) un (1 ). Vektors ((0,0,1) ) ir īpašvektors ar īpašvērtību (0 ), un abi ((1,0,0) ) un ((0,1,0) ) ir īpašvektori ar īpašvērtību (1 ).
  • Pārvietojiet operatoru (R: mathbb {F} ^ 2 ) uz ( mathbb {F} ^ 2 ), ko nosaka (R (x, y) = (- y, x) ). Kad ( mathbb {F} = mathbb {R} ),

(R ) var interpretēt kā pagriešanu pretēji pulksteņrādītāja virzienam ar (90 ^ 0 ). No šīs interpretācijas ir skaidrs, ka neviens no vektoriem, kas nav nulles ( mathbb {R} ^ 2 ), nav kartēts ar sava skalārā daudzkārtni. Tādējādi operatoram ( mathbb {F} = mathbb {R} ) operatoram (R ) nav īpašvērtību.

Tomēr ( mathbb {F} = mathbb {C} ) situācija ir ievērojami atšķirīga! Šajā gadījumā ( lambda in Mathemat {C} ) ir (R ) īpašvērtība, ja

[R (x, y) = (-y, x) = lambda (x, y) ]

tā, ka (y = - lambda x ) un (x = lambda y ). Tas nozīmē, ka (y = - lambda ^ 2 y ), t.i., ka ( lambda ^ 2 = -1 ). Tādējādi risinājumi ir ( lambda = pm i ). Var pārbaudīt, vai ((1, -i) ) ir īpašvektors ar īpašvērtību (i ) un vai ((1, i) ) ir īpašvektors ar īpašvērtību (- i ).

Eigenspaces ir nozīmīgi nemainīgu apakšvietu piemēri. Ļaujiet (T in mathcal {L} (V, V) ) un lai ( lambda in mathbb {F} ) būtu (T ) īpašvērtība. Tad

[V_ lambda = {v in V Tv vidus = lambda v } ]

tiek saukts par eigenspace no (T ). Līdzīgi

[V_ lambda = kodols (T- lambda I). ​​]

Ņemiet vērā, ka (V_ lambda neq {0 } ), jo ( lambda ) ir īpašvērtība tikai un vienīgi tad, ja (V ) ir tāds kā nulle vektora (u ), kas (V ) Tu = lambda u ). Mēs varam to formulēt šādi:

( lambda in mathbb {F} ) ir (T ) īpašvērtība tikai tad, ja operators (T- lambda I ) nav injicējošs.

Tā kā injektivitātes, surektivitātes un invertivitātes jēdzieni operatoriem ir ierobežotas dimensijas vektoru telpā, mēs varam līdzvērtīgi pateikt kādu no šiem:

  • ( lambda mathbb {F} ) ir (T ) īpašvērtība tikai tad, ja operators (T- lambda I ) nav surjektīvs.
  • ( lambda in mathbb {F} ) ir (T ) īpašvērtība tikai tad, ja operators (T- lambda I ) nav invertējams.

Mēs noslēdzam šo sadaļu ar diviem fundamentāliem faktiem par īpašvērtībām un īpašvektoriem.

7.2.3. Teorēma. Ļaujiet (T in mathcal {L} (V, V) ), un ļaujiet ( lambda_1, ldots, lambda_m in mathbb {F} ) būt (m ) atšķirīgas īpašvērtības (T ) ar atbilstošiem nulles īpašvektoriem (v_1, ldots, v_m ). Tad ((v_1, ldots, v_m) ) ir lineāri neatkarīgs.

Pierādījums. Pieņemsim, ka ((v_1, ldots, v_m) ) ir lineāri atkarīgs. Pēc Linear Dependence Lemma pastāv indekss (k in {2, ldots, m } ) tāds, ka

[v_k in Span (v_1, ldots, v_ {k-1}) ]

un tāds, ka ((v_1, ldots, v_ {k-1}) ) ir lineāri neatkarīgs. Tas nozīmē, ka ( mathbb {F} ) pastāv skalāri (a_1, ldots, a_ {k-1} ).

[v_k = a_1 v_1 + cdots + a_ {k-1} v_ {k-1}. tag {7.2.1} ]

Lietojot (T ) abām pusēm, iegūst faktu, ka (v_j ) ir īpašvektors ar īpašvērtību ( lambda_j ),

[ lambda_k v_k = a_1 lambda_1 v_1 + cdots + a_ {k-1} lambda_ {k-1} v_ {k-1}. ]

Atņemot ( lambda_k ) reizes vienādojumu (7.2.1) no tā mēs iegūstam

[0 = ( lambda_k - lambda_1) a_1 v_1 + cdots + ( lambda_k- lambda_ {k-1}) a_ {k-1} v_ {k-1}. ]

Tā kā ((v_1, ldots, v_ {k-1}) ) ir lineāri neatkarīgs, mums ir jābūt (( lambda_k- lambda_j) a_j = 0 ) visiem (j = 1,2, ldots, k-1 ). Pieņemot, ka visas īpašvērtības ir atšķirīgas, tādēļ ( lambda_k- lambda_j neq 0 ), kas nozīmē, ka (a_j = 0 ) visiem (j = 1,2, ldots, k-1 ) . Bet pēc tam, izmantojot vienādojumu (7.2.1), (v_k = 0 ), kas ir pretrunā ar pieņēmumu, ka visi īpašvektori ir nulle. Tādējādi ((v_1, ldots, v_m) ) ir lineāri neatkarīgs.

Secinājums 7.2.4. Jebkurš operators (T in mathcal {L} (V, V) ) ir ne vairāk kā ( dim (V) ) atšķirīgas īpašvērtības.

Pierādījums. Ļaujiet ( lambda_1, ldots, lambda_m ) būt atšķirīgas (T ) īpašvērtības un ļaujiet (v_1, ldots, v_m ) būt atbilstošiem nulles īpašvektoriem. Pēc 7.2.3. Teorēmas saraksts ((v_1, ldots, v_m) ) ir lineāri neatkarīgs. Tādējādi (m le dim (V) ).


Risinājumi 7.2. Nodaļai: Īpašvērtības un īpašvektori

Risinājumi 7.2. Nodaļai: Īpašvērtības un īpašvektori

  • 7.2.1 .: Aprēķina sekvīna īpašvērtības un saistītos īpašivektorus.
  • 7.2.2 .: Aprēķiniet sekvīna īpašvērtības un saistītos īpašivektorus.
  • 7.2.3. Atrodiet fo sarežģītās īpašvērtības un saistītos īpašivektorus.
  • 7.2.4. Atrodiet kompleksa īpašvērtības un ar to saistītos īpašvektorus.
  • 7.2.5. 1. vingrinājumā atrodiet katras matricas spektrālo rādiusu.
  • 7.2.6. 2. vingrinājumā atrodiet katras matricas spektrālo rādiusu.
  • 7.2.7 .: Kuras no 1. uzdevuma matricām ir konverģējošas?
  • 7.2.8 .: Kuras no 2. uzdevuma matricām ir konverģējošas?
  • 7.2.9. Atrodiet 1. uzdevuma matricu normu l2.
  • 7.2.10. Atrodiet l2 normu matricām 2. uzdevumā.
  • 7.2.11: Ļaujiet A1 = 1 0 1 4 1 2 un A2 = 1 2 0 16 1 2. Parādiet, ka A1 nav co.
  • 7.2.12 .: n n matricu A sauc par nilpotentu, ja ar Am ir vesels skaitlis m.
  • 7.2.13 .: Parādiet, ka raksturīgais polinoms p () = det (A I) n n.
  • 7.2.14. A. Parādiet, ka, ja A ir n n matrica, tad det A = & ampn i = 1 i, kur i.
  • 7.2.15: 15. Ļaujiet būt n n matricas A īpašvērtība un x = 0 - asociācija.
  • 7.2.16 .: Parādiet, ka, ja A ir simetrisks, tad || A || 2 = (A).
  • 7.2.17. 6.3. Sadaļas 15. uzdevumā mēs pieņēmām, ka ieguldījums a f.
  • 7.2.18. Atrodiet matricas A un B, kurām (A + B) & gt (A) + (B). (Tas parāda th.
  • 7.2.19 .: Parādiet, ka, ja || || ir jebkura dabiska norma, tad (|| A1 ||) 1 || || A || priekš.
Mācību grāmata: skaitliskā analīze
Izdevums: 9
Autori: Ričards L. Bērdens, Dž. Duglass Fēress
ISBN: 9780538733519

Šajā plašajā mācību grāmatu izdzīvošanas ceļvedī ir ietvertas šādas nodaļas un to risinājumi. 7.2. Nodaļa: Īpašvērtības un īpašvektori ietver 19 pilnīgus soli pa solim risinājumus. Šis mācību grāmatas izdzīvošanas ceļvedis tika izveidots mācību grāmatai: Skaitliskā analīze, 9. izdevums. Skaitlisko analīzi ir uzrakstījis ISBN kods: 9780538733519. Tā kā atbildes uz 19 problēmām 7.2. Nodaļā: Atbildētas uz īpašajām vērtībām un īpašajiem vektoriem, vairāk nekā 31356 studenti apskatīti pilni soli pa solim sniegtie risinājumi no šīs nodaļas.

Tv = Av + ​​Vo = lineārā transformācija plus nobīde.

Det (A) ir n summa! noteikumiem. Katram vārdam: reiziniet vienu ierakstu no katras A rindas un kolonnas: rindas 1. , nand kolonnu secība, ko dod permutācija P. Katrs no n! P & # 39s ir + vai - zīme.

Ja nejaušajiem mainīgajiem Xi ir vidējā = vidējā vērtība = 0, to kovariances & quot & # 39 £ ij ir XiX j vidējie lielumi. Ar vidējo Xi matrica: E = (x - x) (x - x) T vidējā vērtība ir pozitīva (daļēji) noteikta: E ir diagonāla, ja Xi ir neatkarīgi.

B j ir b aizstāj A kolonnas j kolonnu x j = det B j I det A

0,1,1,2,3,5,. apmierināt Fn = Fn-l + Fn- 2 = (A7 -A

) I () q-A2). Izaugsmes ātrums Al = (1 + .J5) 12 ir lielākā Fibonači matricas īpašvērtība [> A].

Kolonnas bez pagrieziena punktiem ir iepriekšējo kolonnu kombinācijas.

Apgrieziet A ar rindas darbībām uz [A I], lai sasniegtu [I A-I].

Kvadrātsakne x T x (Pitagors n izmēros).

Vektoru saskaitīšana un skalārā reizināšana.

Katrs vektors V ievades telpā pārveidojas par T (v) izejas telpā, un linearitātei nepieciešams T (cv + dw) = c T (v) + d T (w). Piemēri: Matricas reizināšana A v, diferenciācija un integrācija funkciju telpā.

Ln = 2, J, 3, 4,. apmierināt Ln = L n- l + Ln- 2 = A1 + A

ar AI, A2 = (1 ± - / 5) / 2 no Fibonači matricas U

Visi mij & gt 0 un katras kolonnas summa ir 1. Lielākā īpašvērtība A = 1. Ja mij & gt 0, Mk kolonnas tuvojas līdzsvara stāvokļa īpašvektoram M s = s & gt O.

Katrā kolonnā izvēlieties lielāko pieejamo pagrieziena punktu, lai kontrolētu noapaļošanu. Visiem reizinātājiem ir leij I & lt 1. Skatiet nosacījuma numuru.

MATLAB izveido matricu ar nejaušiem ierakstiem, vienmērīgi sadalot uz [0 1] randam un standarta normālu sadalījumu randnam.

Šarnīri = 1 nulles virs un zem šarnīriem, R nenullētās R rindas dod pamatu A rindas atstarpei.

Viens brīvais mainīgais ir Si = 1, citi brīvie mainīgie = o.

Reālam simetriskam A ir reāli A & # 39S un ortonormal Q & # 39s.

Ieraksti AL = Ajj. AT ir n ar In, AT A ir kvadrātveida, simetrisks, pozitīvs pusfināls. AB un A-I transponēšana ir BT AT un (AT) -I.


3 Atbildes 3

Paskaidrojums ir diezgan vienkāršs, piemēroti mainot pamatu.

Ļaujiet $ B = sākties 1 & amp 0 & amp 1 & amp 0 i & amp 0 & amp -i & amp 0 0 & amp 1 & amp 0 & amp 1 0 & amp i & amp 0 & amp -i end$ mums ir $ B ^ <-1> M _ < mu> B = sākas 1 + i mu & amp 1 & amp 0 & amp 0 -1 & amp 0 & amp 0 & amp 0 0 & amp 0 & amp 1-i mu & amp 1 0 & amp 0 & amp -1 & amp 0 end$ Ļauj $ N_ mu = sākties 1 + i mu & amp 1 -1 & amp 0 beigas$, tādējādi mums ir $ B ^ <-1> AB = sākas prod N_ < mu_i> & amp 0 0 & amp overline < prod N _ < mu_i >> beigas$, kur josla apzīmē sarežģītu konjugāciju. Tādējādi $ A $ īpašvērtības ir $ prod N _ < mu_i> $, kā arī $ overline < prod N _ < mu_i >> $ vērtības, kas ir to sarežģītie konjugāti. Turklāt, tā kā $ N_ mu $ ir noteicošais USD 1 $, tāpat ir $ prod N _ < mu_i> $, tāpēc tā divas īpašvērtības ir savstarpēji apgrieztas.

REDIĢĒT: tikai daļēja atbilde, kas pilnībā neatrisina jautājumu.

Tas ir simplektisko matricu variants. Jūsu matricas $ M_ mu $ ir ortogonālas, ierakstot nenoteiktu skalāru reizinājumu, ko izraisījis $ Omega = begin 0 & amp 0 & amp 0 & amp 1 0 & amp 0 & amp 1 & amp 0 0 & amp -1 & amp 0 & amp 0 -1 & amp 0 & amp 0 & amp 0 end, t.i., tie atbilst īpašumam $ M ^ <*> Omega M = Omega. $

Var redzēt, ka, ja $ ( lambda, v) $ ir $ M $ īpatnējs, tad $ ( frac <1> < lambda>, Omega v) $ ir $ M ^ * $ īpatnējs un līdz ar to $ frac <1> < overline < lambda >> $ atrodas $ M $ spektrā: $ frac <1> < lambda> Omega v = frac <1> < lambda> M ^ * Omega Mv = frac <1> < lambda> M ^ * Omega lambda v = M ^ * Omega v. $

Šis īpašums kopā ar faktu, ka reālajām matricām ir īpašvērtības, kas nāk sarežģītos konjugētos pāros, rada spēcīgus ierobežojumus, kuras īpašvērtības jūs varat iegūt.

Pastāv arī iespēja, ka īpašvērtības ir $ $ lambda_1, lambda_2, frac1 < lambda_1>, frac1 < lambda_2> $, par $ lambda_1, lambda_2 mathbb.$. Šis gadījums faktiski notiek: piemēram, $ M_2M_ <-2> $ ir četras reālās īpašvērtības, lai gan šajā gadījumā es saņemu $ lambda_1 = lambda_2 $.

Var parādīties arī četras tīri iedomātas īpašvērtības: piemēram, $ M_ <-2> M_ <1/2> $ ir īpašvērtības $ < pm 2i, pm frac12 i > $.

REDIĢĒT: turpinot domāt, es joprojām nevaru izslēgt, ka īpašvērtības ir Sascha komentārā piedāvātajā formā, tas nav pretpiemērs, jo reālajām īpašvērtībām ir daudzkārtība. Atvainojiet :(


Īpašvērtības un īpašvektori: ievads

Īpašās vērtības problēma ir teorētiski nozīmīga problēma un plaša pielietojuma problēma. Piemēram, šai problēmai ir izšķiroša nozīme diferenciālvienādojumu sistēmu risināšanā, populācijas pieauguma modeļu analīzē un matricu jaudas aprēķināšanā (lai definētu eksponenciālo matricu). Citās jomās, piemēram, fizikā, socioloģijā, bioloģijā, ekonomikā un statistikā, liela uzmanība ir pievērsta "īpašvērtībām" un "īpašvektoriem" - to lietojumiem un to aprēķiniem. Pirms mēs sniedzam formālu definīciju, iepazīstināsim šos piemērus ar piemēru.

Piemērs. Apsveriet matricu

Apsveriet trīs kolonnu matricas

Tālāk apsveriet matricu P, kurai kolonnas ir C 1, C 2 un C 3, t.i.

Mums ir det (P) = 84. Tātad šī matrica ir invertējama. Viegli aprēķini dod

Tālāk mēs novērtējam matricu P -1 AP. Mēs atstājam informāciju lasītājam, lai pārbaudītu, vai mums tā ir

Izmantojot matricas reizinājumu, mēs iegūstam

kas nozīmē, ka A ir līdzīgs diagonāles matricai. Jo īpaši mums ir

priekš . Ņemiet vērā, ka gandrīz nav iespējams atrast A 75 tieši no sākotnējās A formas.

Šis piemērs ir tik bagāts ar secinājumiem, ka daudzi jautājumi sevi uzspiež dabiskā veidā. Piemēram, ņemot vērā kvadrātveida matricu A, kā mēs varam atrast kolonnu matricas, kurām ir līdzīga uzvedība kā iepriekšminētajām? Citiem vārdiem sakot, kā mēs atrodam šīs kolonnu matricas, kas palīdzēs atrast invertējamo matricu P tā, ka P -1 AP ir diagonāla matrica?

Turpmāk mēs sauksim kolonnu matricas par vektoriem. Tātad iepriekš minētās kolonnu matricas C 1, C 2 un C 3 tagad ir vektori. Mums ir šāda definīcija.

Definīcija. Ļaujiet A būt kvadrātveida matricai. Vektors C, kas nav nulle, tiek saukts par A īpašvektoru tikai tad, ja pastāv skaitlis (reāls vai sarežģīts),

Ja šāds skaitlis pastāv, to sauc par A īpašvērtību. Vektoru C sauc par īpašvektoru, kas saistīts ar īpašvērtību.

Piezīme. Pašvektoram C nav jābūt nullei, jo mums tas ir

Piemērs. Apsveriet matricu

Tātad C 1 ir A pamatvektors, kas saistīts ar 0. īpašvērtību. C 2 ir A pamatvektors, kas saistīts ar īpašvērtību -4, savukārt C 3 ir A īpašvektors, kas saistīts ar 3. īpašvērtību.

Var būt interesanti uzzināt, vai iepriekš minētajā piemērā esam atraduši visas A īpašvērtības. Nākamajā lappusē mēs apspriedīsim šo jautājumu, kā arī to, kā atrast kvadrātveida matricas īpašvērtības.


Matemātika aiz PCA

PCA var uzskatīt par nepieskatītu mācību problēmu. Visu galveno komponentu iegūšanas procesu no neapstrādātas datu kopas var vienkāršot sešās daļās:

  • Ņem visu datu kopu, kas sastāv no d + 1 izmēri un ignorējiet etiķetes tā, lai kļūtu mūsu jaunā datu kopa d dimensiju.
  • Aprēķiniet nozīmē katrai visas datu kopas dimensijai.
  • Aprēķiniet kovariācijas matrica visas datu kopas.
  • Aprēķināt īpašvektori un attiecīgais īpašvērtības.
  • Kārtojiet īpašivektorus, samazinot īpašvērtības, un izveidojiet k īpašivektorus ar lielākajām īpašvērtībām, lai izveidotu d × k dimensiju matrica W.
  • Lieto šo d × k īpašvektora matrica lai pārveidotu paraugus jaunajā apakštelpā.

Tātad, atdalīsim matemātiku aiz katra šī pa vienam.

  1. Ņem visu datu kopu, kas sastāv no d + 1 izmēri un ignorējiet etiķetes tā, lai kļūtu mūsu jaunā datu kopa d dimensiju.

Pieņemsim, ka mums ir datu kopa, kas ir d + 1 dimensiju. Kur d varēja domāt kā X_ vilciens un 1 varētu uzskatīt par y_train (etiķetes) mūsdienu mašīnmācīšanās paradigmā. Tātad, X_train + y_train veido visu mūsu vilciena datu kopu.

Tātad, pēc tam, kad mēs nometīsim etiķetes, kuras mums paliek d dimensiju datu kopu, un tā būtu datu kopa, kuru izmantosim, lai atrastu galvenos komponentus. Pieņemsim, ka pēc etiķešu ignorēšanas, t.i., d = 3, mums paliek trīsdimensiju datu kopa.

pieņemsim, ka paraugi ir no divām dažādām klasēm, kur puse no mūsu datu kopas paraugiem ir apzīmēta ar 1. klasi, bet otra puse - no 2. klases.

Ļaujiet mūsu datu matricai X ir trīs studentu rezultāts:

2. Aprēķiniet visas datu kopas katras dimensijas vidējo vērtību.

Datus no iepriekš minētās tabulas var attēlot matricā A, kur katrā matricas kolonnā ir redzami testa rezultāti un katrā rindā - studenta rezultāts.

Tātad, matricas vidējais lielums A būtu

3. Aprēķiniet kovariācijas matrica visas datu kopas (dažreiz to sauc arī par dispersijas-kovariācijas matricu)

Tātad, mēs varam aprēķināt divu mainīgo kovariāciju X un izmantojot šādu formulu

Izmantojot iepriekš minēto formulu, mēs varam atrast kovariances matricu A. Arī rezultāts būtu a d × d izmēru kvadrātveida matrica.

Pārrakstīsim šādi savu sākotnējo matricu

Tā colnīcu matrica būtu

Daži šeit atzīmējami punkti ir:

  • Parādīts Zils pa diagonāli mēs redzam katra testa rezultātu atšķirības. Mākslas testā ir vislielākā dispersija (720) un angļu valodas testā, vismazākā (360). Tātad mēs varam teikt, ka mākslas testu rezultātiem ir lielāka mainība nekā angļu valodas testu rezultātiem.
  • Kovariācija tiek parādīta melnā krāsā matricas ārpus diagonālajos elementos A

a) Kovariācija starp matemātiku un angļu valodu ir pozitīva (360), un kovariācija starp matemātiku un mākslu ir pozitīva (180). Tas nozīmē, ka rādītāji mēdz būt pozitīvi. Palielinoties matemātikas rezultātiem, mēdz pieaugt arī mākslas un angļu valodas rādītāji un otrādi.

b) Kovārija starp angļu valodu un mākslu tomēr ir nulle. Tas nozīmē, ka mēdz būt neparedzama sakarība starp angļu valodas kustību un mākslas rādītājiem.

4. Aprēķiniet specifiskos vektorus un atbilstošās īpašvērtības

Intuitīvi, īpašvektors ir vektors, kura virziens paliek nemainīgs, ja tam tiek piemērota lineāra transformācija.

Tagad mēs varam viegli aprēķināt īpašvērtību un īpašus vektorus no kovariācijas matricas, kas mums ir iepriekš.

Ļaujiet A esi kvadrātveida matrica, v vektoru un λ skalārs, kas apmierina Av = λtad λ sauc par īpašvērtību, kas saistīta ar īpašvektoru v gada A.

Īpašības A ir raksturīgā vienādojuma saknes


Wolfram tīmekļa resursi

Instruments # 1 demonstrāciju un visa tehniskā izveidei.

Izpētiet visu, izmantojot pirmo skaitļošanas zināšanu dzinēju.

Izpētiet tūkstošiem bezmaksas lietojumprogrammu zinātnē, matemātikā, inženierzinātnēs, tehnoloģijā, biznesā, mākslā, finansēs, sociālajās zinātnēs un citur.

Pievienojieties matemātikas izglītības modernizēšanas iniciatīvai.

Atrisiniet integrālus ar Wolfram | Alfa.

Soli pa solim no sākuma līdz beigām staigājiet pa mājasdarbu problēmām. Padomi palīdz jums patstāvīgi izmēģināt nākamo soli.

Neierobežotas gadījuma prakses problēmas un atbildes ar iebūvētiem soli pa solim risinājumiem. Praktizējieties tiešsaistē vai izveidojiet izdrukājamu mācību lapu.

Wolfram izglītības ekspertu izveidoto mācību un mācību līdzekļu kolekcija: dinamiska mācību grāmata, stundu plāni, logrīki, interaktīvas demonstrācijas un daudz kas cits.


STPM Tālākā matemātika T

Parasti Taylor sērijai ir daudz lietojumu. Mēs to varam izmantot, lai veiktu kādu no šīm darbībām:

A. IEGŪST DOTU FUNKCIJU

Jums pēdējā sadaļā tika dots Maclaurin sēriju saraksts. Tagad es jums tos atkal parādīšu zemāk:

Tie tomēr nav visi. Jūs joprojām varat atrast un iegūt Taylor vai Maclaurin sērijas citas funkcijas, piemēram, grēks -1 x, coth -1 x vai lg x 2 . Metode ir tāda pati, uzskaitot Teilora vai Maklaurina funkciju sērijas. Piemēram,
grēks -1 x = a + bx + cx 2 + dx 3 + ex 4 + & # 8230

un tu aizstāj x = 0 dabūt a. Dabūt b, jūs vienreiz diferencējat un aizstājat x = 0, un c, koeficientiem a, b, c un tā tālāk var nebūt noteikta secība, piemēram, iepriekš uzskaitītās funkcijas, bet jums vismaz ir saprātīgs polinoms, lai novērtētu funkciju, ja nav kalkulatora.

Bez tam, jūs varētu arī apvienot vairāk nekā 2 funkcijas, lai atrastu tām jaunu Taylor sēriju. Piemēram, (1 + x) 2 cos x var atvasināt no

Funkciju saskaitīšana un atņemšana (piemēram, grēks x + cos x) vai pat mainīgo lielumu (piemēram, e 8x vai grēks x 2 ) var arī viegli iegūt.

B. Diferencē un integrē sērijas, lai iegūtu citus rezultātus

Vai pamanījāt, ka aprēķina likumi arī ievēro spēka sēriju likumus? Ņemot cos x piemēram, diferencējot abas puses, dod

Šī ir ļoti noderīga informācija. Jūs varat paātrināt aprēķinus, ja jums tika lūgts atvasināt funkcijas sēriju, kas attiecas uz kādu no iepriekš zināmajām funkcijām. Starp citu, ja jūs varētu atrast polinomu sarakstu, jūs vēlaties uzzināt, kā atrast arī atvasināto virkņu summēšanas apzīmējumu. Izlasiet savu matemātiku T. Secība un amp sērijaun mēģiniet izmantot tur apgūtās zināšanas.

C. FUNKCIJU IEROBEŽOŠANA

Kad jums tiek lūgts atrast sarežģītas funkcijas robežu kā x & # 8594 0, jūs faktiski varat izmantot funkcijas Maclaurin sēriju. Piemēram,

Lai jums palīdzētu, jūs varētu vēlēties mācīties L & # 8217Ho & # 770pital & # 8217s noteikums arī. Šis noteikums šajā situācijā ir ļoti noderīgs, tajā teikts, ka, ja f (a) = 0, g (a) = 0, un g & # 8217 (a) & # 8800 0, pēc tam

Izmantojiet šo kārtulu, kad iegūstat 0/0 rezultātus. Atcerieties, ka šis noteikums ir spēkā tikai tad, ja f (a) = 0 kaut kas ir taisnība.

D. Diferenciālu vienādojumu risināšana skaitliski

Es uzskatu, ka jūs jau zināt, kas ir diferenciālvienādojumi, tikai jūs zināt, kā tos atrisināt tikai nedaudz. Tātad šeit mēs cenšamies novērtēt un attēlot diferenciālvienādojumu kopu kā Teilora sēriju un tādējādi mēģināt novērtēt funkciju x vērtībām, kas ir tuvu a, kad tās tiek izvērstas x = a. Es jums parādīšu piemēru:

Atrodiet Taylor & # 8217s sērijas risinājumu y, ieskaitot skaitļus x 4 ieskaitot diferenciālvienādojumu

Tādējādi atrodiet y pareizu uz 9 d.p. kad x = 0,01.

Tas viss šajā nodaļā. Joprojām atceraties Puasona izplatība? Jūs, iespējams, tagad varētu izskaidrot saviem draugiem, izmantojot savas zināšanas Power sērija. ☺


7. Īpašās vērtības un noteicošie faktori

Īpašās vērtības un noteicošie faktori atklāj diezgan daudz informācijas par matricu. Šajā tabulā mēs uzzināsim, kā izmantot MATLAB, lai aprēķinātu matricas īpašvērtības, īpašus vektorus un determinantu. Uzsvars tiks likts uz īpašvērtībām, nevis uz noteicošajiem, jo ​​pirmais jēdziens ir noderīgāks nekā otrais - tam vajadzētu kļūt skaidram, izmantojot vingrinājumus.

Kā jums jau vajadzētu zināt, 2x2 matricas determinanta aprēķināšanai ir piemērota formula. Pat 3x3 gadījums nav tik grūts. Bet, palielinoties matricas izmēram, palielinās determinantu aprēķināšanas sarežģītība. Šeit ienāk MATLAB vai jebkura cita datoralgebras programma.

Sāksim, ievadot MATLAB šādas matricas:

Lai aprēķinātu šo matricu noteicošos faktorus, mēs izmantojam komandu det ( ) . Tas ir, lai aprēķinātu A determinantu, mēs ierakstām sekojošo

MATLAB kā atbildi mums sniedz -472. Līdzīgi mēs iegūstam

a) Ar roku aprēķiniet B determinantu. Pārliecinieties, ka esat atstājis pietiekami daudz vietas savā pierakstā aprēķiniem. Parādīt visu darbu.

b) Izmantojiet MATLAB, lai aprēķinātu šādu matricu noteicošos faktorus:

Piezīme: MATLAB matricas transponēšana tiek apzīmēta ar apostrofu, t.i., A tiek dota ar komandu

c) Kuras no iepriekš minētajām matricām NAV invertējamas? Paskaidrojiet savu pamatojumu.

d) Tagad mēs zinām A un B noteicošos faktorus, bet pieņemsim, ka tad mēs zaudēsim savas sākotnējās matricas A un B. Kuru no (b) daļā esošajiem faktoriem mēs joprojām varēsim aprēķināt, pat ja pie rokas nav A vai B? Paskaidrojiet savu pamatojumu.

Piezīme 7.1 noteicošo faktoru izmantošana šajā klasē ir saistīta ar invertivitātes ideju. Izmantojot šim nolūkam MATLAB, jums jāsaprot, ka programma ievieš noapaļošanas kļūdas (kā redzējāt 2. laboratorijā). Tāpēc pastāv iespēja, ka matricai var būt nulles determinants un tomēr tā ir invertējama. Tas attiecas tikai uz matricām ar ierakstiem, kas nav vesels skaitlis. Iepriekš minētās matricas neietilpst šajā kategorijā, jo visi to ieraksti ir veseli skaitļi.

7.2. Uzdevums Šajā uzdevumā mēs strādāsim ar šādu matricu:

Izmantot det ( ) lai aprēķinātu N ^ 100 determinantu. Vai jūs domājat, ka N ^ 100 ir invertējams? Izmantojiet komandu arī, lai aprēķinātu N. determinantu.

Tagad, izmantojot N kā zināmo lielumu determinantu, ar rokām aprēķiniet N ^ 100 determinantu. Ko jūs pamanāt?

Padoms: apskatiet piezīmi 7.1 un apsveriet dažas determinantu īpašības.

Pārējā šīs laboratorijas daļā mēs aplūkosim matricu īpašvērtības un īpašus vektorus. Komanda, kuru mēs šeit izmantosim, ir eig ( ) . Mēs varam vai nu izmantot, lai aprēķinātu atsevišķas vērtības, vai arī ar nelielu atjaunošanu mēs varam iegūt arī īpašus vektorus. Izmantosim to mūsu divriteņos A un B.

Aprēķiniet tematikas īpašvērtības B un piešķirt vērtības vektoram b.

Mēs to darām, ierakstot sekojošo

Īpašās vērtības ir 1, 8, 3, 2. Tās ir četras, jo mūsu matrica ir 4x4. Ievērojiet arī to, ka to ir ļoti viegli aprēķināt B. Viss, kas mums jādara, ir reizināt visas īpašvērtības kopā. Skaidrs, ka 48 = 1 * 8 * 3 * 2. (Sīkāka informācija par to ir atrodama jūsu linearalgebra grāmatā, Lineārā algebra un tās pielietojums iesniedza D. Lay, 5. nodaļas 2. sadaļā.)

a) Aprēķiniet 5x5 Vandermonde matricas īpašvērtības V un piešķir tos vektoram v. Lai ievadītu šo matricu MATLAB, izmantojiet šādu komandu:

Ja jūs nezināt, kāda ir Vandermonde matrica, skatieties šeit. Mēs ļoti iesakām iepazīties ar šīm matricām, jo ​​tām ir ļoti jaukas īpašības.

b) Nosakiet, vai V ir maināms, aplūkojot īpašvērtības. Paskaidrojiet savu pamatojumu.

Aprēķināsim tagad parametra īpašvērtības un īpašivektorus B vienā komandā. Lai to izdarītu, mēs ierakstām

1.0000 -0.1980 0.2357 0.9074
0 0.6931 - 0.2357 -0.1815
0 0.6931 0.9428 0.3630
0 0 0 0.1089

MATLAB nosaka matricu P kuras vidvektori ir B kā tās kolonnas un matrica D kā diagonāles matrica ar atbilstošajām īpašvērtībām gar tediagonālu.

Svarīga īpašvērtību un īpašvektoru izmantošana ir matricu diagonalizācijā. Kāpēc mēs to vēlamies darīt, jūs redzēsiet nākamajā sadaļā. Pagaidām viss, ko mēs vēlamies darīt, ir atrast invertējamu matricu J tāds, ka Q * B * Q -1 = diagonāles matrica. Bet pirms mēs to darām, mums tas ir jāpārliecināsB ir diagonalizējams. Parasti matricas diagonalizējamības noteikšanas veids ir pārliecināties, ka paši vektori ir lineāri neatkarīgi. Ir arī cits veids. Jau zināt, kādas ir vietējās vērtības B tāpēc pieņemsim viņus izmantot. B ir diagonalizējams, jo visas tā īpašvērtības ir atšķirīgas.

Piezīme 7.2 pēdējais apgalvojums saka, ka, ja matricai ir atšķirīgas īpašvērtības, tad tā ir diagonalizējama. Ņemiet vērā, ka pretēji iepriekšējam apgalvojumam ne vienmēr ir taisnība, t.i., ja matrica ir diagonalizējama, nav obligāti taisnība, ka visas tās īpašvērtības ir atšķirīgas. Matrica var būt diagonalizējama pat tad, ja tai ir atkārtotas īpašvērtības: padomājiet par identitātes matricu (alreadidiagonal), kuras īpašvērtības ir 1.

Lūk, kur mūsu abas matricas P un D Nāc iekšā. Ierakstiet šādu komandu:

1.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000
0 8.0000 0 -0.0000
0 0.0000 3.0000 0
0 0 0 2.0000

Jums vajadzētu saprast, ka mēs izmantojam lineāri neatkarīgus īpašvektorus (no matricas P), lai diagonalizētu mūsu matricuB. Rezultāts ir diagonāla matrica ar īpašvērtībām kā diagonālajiem ierakstiem.

Piezīme 7.3. Atsaukšana ka inv () komanda aprēķina matricas apgriezto vērtību. Lai redzētu, ka tas patiešām darbojas, izmēģiniet šādu komandu:

7.4. Uzdevums Atrast matricas P un D mūsu Vandermonde matricai V. Aprēķiniet inv (P) * V * P, lai pārbaudītu savu darbu.

Fibonači skaitļi ietver plaši pazīstamu secību inmatemātiku. Ideja ir ļoti vienkārša. Jūs sākat ar diviem skaitļiem, 1 un 1, un katru secīgo terminu iegūstat, summējot divus iepriekšējos vārdus. Tas ir, trešais termins būtu 1 + 1 = 2, ceturtais termins 1 + 2 = 3, piektais termins2 + 3 = 5 utt., Kā rezultātā

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, . . .

Mēs izmantosim Fibonači numurus kā paraugu mūsu pašu secībai. Te tas ir:

Tā vietā, lai pievienotu divus termiņus pēc kārtas, lai izveidotu nākamo terminu, mēs izmantosim šādu formulu:

Tas ir, katrs termins secībā ir iepriekšējā termina summa un divreiz pārsniedz terminu pirms tā. Mēģināsim izdomāt n-tā termina formulu mūsu secībā. Aplūkojot to, nav tik acīmredzams, ka faktiski pastāv šāda formula.

Mūsu pieeja ir sākt ar lineāro vienādojumu sistēmas problēmu interfeisu formulēšanu:

kur an ir n-tais termins. Tagad katrai lineāro vienādojumu sistēmai ir matricas attēlojums. Šajā gadījumā mēs iegūstam

Pēc tam mēs iegūstam šādu vienādojumu:

Līdzīgi fn-1 = F * fn-2, tāpēc mēs varam aizstāt fn-1 ar F * fn-2. Tad mēs varam aizstāt fn-2, un tā tālāk. Tādējādi tiks iegūta šāda formula:

Mēs to pieņemam a0 ir pirmais termins secībā un

Viss, kas mums tagad jādara, ir jāatrod formula F ^ n . Labākais veids, kā tuvoties šim uzdevumam, ir diagonalizācija. Lai to izdarītu, mums vispirms ir jānosaka, vai F ir diagonalizējams. Enter F MATLAB.

7.5. Uzdevums Atrast matricas P un D mūsu matricai F kā aprakstīts iepriekš, un paskaidrojiet, kāpēc F ir diagonalizējams.

Iepriekš minētais vingrinājums mums to saka F = P * D * P -1 . Mēs to izmantojam, lai iegūtu šādu vienādojumu

F ^ n = [P * D * P -1] * [P * D * P -1] *. * [P * D * P -1] (n reizes)

Viss, kas mums šajā brīdī ir vajadzīgs, ir D ^ n , un kopš tā laika D ir pa diagonāli, aprēķins ir ļoti vienkāršs. Pēdējais, kas jādara, ir to visu ieslēgt sākotnējā vienādojumā un nolasīt formulu. Bet pirms mēs to varam izdarīt, mums jāatzīmē, ka MATLAB patīk tonormalizēt īpašos vektorus. Šajā gadījumā tas nozīmē padarīt ierakstus par racionāliem un tādējādi ieviest iespēju peldošām rādītājkļūdām. Lai to neitralizētu, mēs izmantosim šādu komandu:

a) Iekļaujiet ievadi un izvadi no iepriekš minētās komandas

b) Izmantojiet iepriekš minēto matricu P (to ar daļām), lai ar roku aprēķinātu P apgriezto vērtību.

c) Nosakiet mūsu secības n-tā termina formulu, t.i., formulu an. (Šis ir grūts jautājums. Noteikti saskaitiet vārdus pareizi.) Izmantojiet savu formulu, lai aprēķinātu 5., 15. un 20. terminu mūsu secībā.

Lai gan determinantu un īpašvērtību aprēķināšanas process ir diezgan viegli saprotams, aprēķinu sarežģītība var būt šausmīga. MATLAB ir ideāls līdzeklis tam. Ir tikai viens brīdinājums: peldošā komata kļūdas. Tomēr šo šķērsli var pārvarēt, ja zināt, ka tie var rasties.


Paplašinātas iespējas

C / C ++ koda ģenerēšana Ģenerējiet C un C ++ kodus, izmantojot MATLAB & # 174 Coder & # 8482.

Lietošanas piezīmes un ierobežojumi:

Pašvektoru pamatā ģenerētajā kodā var būt atšķirība, nevis MATLAB & # x00AE. Parasti īpašvērtību izvadā reālo ievadu īpašvērtības netiek sakārtotas tā, ka blakus atrodas sarežģīti konjugāti pāri.

Īpašatvektoru atšķirības un īpašvērtību secība var izraisīt atšķirības izejas nosacījumu skaitļos.


Skatīties video: . Matemātika. Trigonometriskie pamatvienādojumi (Novembris 2021).