Raksti

3.3. Vizualizēt frakcijas (2. daļa)


Modeļa ekvivalenta frakcijas

Padomāsim atkal par Endiju un Bobiju un viņu iecienīto ēdienu. Ja Endijs ēd picu ( dfrac {1} {2} ) un Bobijs ēd ( dfrac {2} {4} ) picas, vai viņi ir apēduši tādu pašu picas daudzumu? Citiem vārdiem sakot, vai ( dfrac {1} {2} = dfrac {2} {4} )? Mēs varam izmantot frakciju flīzes, lai uzzinātu, vai Endijs un Bobijs ir ēduši ekvivalents picas daļas.

Definīcija: Līdzvērtīgas frakcijas

Līdzvērtīgas frakcijas ir frakcijas, kurām ir vienāda vērtība.

Frakciju flīzes kalpo kā noderīgs līdzvērtīgu frakciju modelis. Varat izmantot frakciju flīzes, lai veiktu šādas darbības. Vai arī jūs varat izveidot 4.3. Attēla kopiju un paplašināt to, iekļaujot astotās, desmitās un divpadsmitās daļas.

Sāciet ar ( dfrac {1} {2} ) elementu. Cik ceturtdaļu ir vienāda ar pusi? Cik daudz ( dfrac {1} {4} ) elementu precīzi klāj ( dfrac {1} {2} )?

Attēls ( PageIndex {7} )

Tā kā divas ( dfrac {1} {4} ) flīzes pārklāj ( dfrac {1} {2} ), mēs redzam, ka ( dfrac {2} {4} ) ir tas pats, kas ( dfrac {1} {2} ) vai ( dfrac {2} {4} = dfrac {1} {2} ).

Cik daudz ( dfrac {1} {6} ) elementu klāj ( dfrac {1} {2} )?

Attēls ( PageIndex {8} )

Tā kā trīs ( dfrac {1} {6} ) flīzes pārklāj flīzi ( dfrac {1} {2} ), mēs redzam, ka ( dfrac {3} {6} ) ir tas pats, kas ( dfrac {1} {2} ). Tātad, ( dfrac {3} {6} = dfrac {1} {2} ). Frakcijas ir līdzvērtīgas frakcijas.

Piemērs ( PageIndex {13} ): līdzvērtīgas daļas

Izmantojiet frakciju flīzes, lai atrastu līdzvērtīgas frakcijas. Parādiet savu rezultātu ar skaitli.

  1. Cik astotās ir vienādas ar pusi?
  2. Cik desmitdaļas ir vienādas ar pusi?
  3. Cik divpadsmitdaļu ir vienāda ar pusi?

Risinājums

  1. Lai precīzi pārklātu flīzi ( dfrac {1} {2} ), ir nepieciešamas četras ( dfrac {1} {8} ) flīzes, tāpēc ( dfrac {4} {8} = dfrac {1 } {2} ).

  1. Lai precīzi pārklātu ( dfrac {1} {2} ), ir nepieciešamas piecas ( dfrac {1} {10} ) flīzes, tāpēc ( dfrac {5} {10} = dfrac {1 } {2} ).

  1. Lai precīzi pārklātu ( dfrac {1} {2} ), ir nepieciešamas sešas ( dfrac {1} {12} ) flīzes, tāpēc ( dfrac {6} {12} = dfrac {1 } {2} ).

Pieņemsim, ka jums bija flīzes ar atzīmi ( dfrac {1} {20} ). Cik no viņiem būtu vajadzīgs, lai būtu vienāds ( dfrac {1} {2} )? Vai jūs domājat desmit flīzes? Ja esat, jums ir taisnība, jo ( dfrac {10} {20} = dfrac {1} {2} ).

Mēs parādījām, ka ( dfrac {1} {2}, dfrac {2} {4}, dfrac {3} {6}, dfrac {4} {8}, dfrac {5} {10} , dfrac {6} {12} ) un ( dfrac {10} {20} ) ir visas līdzvērtīgas daļas.

Vingrinājums ( PageIndex {25} )

Izmantojiet frakciju flīzes, lai atrastu līdzvērtīgas daļas: Cik astotdaļu ir vienāda ar ceturto daļu?

Atbilde

(2)

Vingrinājums ( PageIndex {26} )

Izmantojiet frakciju flīzes, lai atrastu līdzvērtīgas daļas: Cik divpadsmitdaļu ir vienāda ar ceturto daļu?

Atbilde

(3)

Atrodiet līdzvērtīgas frakcijas

Mēs izmantojām frakciju daļas, lai parādītu, ka ir daudz frakciju, kas ir ekvivalenti ( dfrac {1} {2} ). Piemēram, ( dfrac {2} {4}, dfrac {3} {6} ) un ( dfrac {4} {8} ) visi ir ekvivalenti ( dfrac {1} { 2} ). Kad mēs ierindojām frakcijas flīzes, četrām no ( dfrac {1} {8} ) flīzēm vajadzēja izveidot tādu pašu garumu kā ( dfrac {1} {2} ). Tas parādīja, ka ( dfrac {4} {8} = dfrac {1} {2} ). Skatiet piemēru ( PageIndex {13} ).

Mēs to varam parādīt arī ar picām. Attēlā ( PageIndex {9a} ) redzama viena pica, kas sagriezta divos vienādos gabaliņos ar ēnojumu ( dfrac {1} {2} ). Attēlā ( PageIndex {9b} ) parādīta otra tāda paša izmēra pica, kas sagriezta astoņos gabalos ar ēnojumu ( dfrac {4} {8} ).

Attēls ( PageIndex {9} )

Tas ir vēl viens veids, kā pierādīt, ka ( dfrac {1} {2} ) ir ekvivalents ( dfrac {4} {8} ). Kā mēs varam izmantot matemātiku, lai mainītu ( dfrac {1} {2} ) uz (frac {4} {8} )? Kā jūs varētu paņemt picu, kas ir sagriezta divos gabalos, un sagriezt to astoņos gabalos? Jūs varētu sagriezt katru no diviem lielākiem gabaliem četros mazākos gabalos! Tad visa pica būtu sagriezta astoņos gabalos, nevis tikai divos. Matemātiski to, ko esam aprakstījuši, varētu uzrakstīt šādi:

[ dfrac {1 cdot textcolor {blue} {4}} {2 cdot textcolor {blue} {4}} = dfrac {4} {8} nonumber ]

Šie modeļi noved pie ekvivalentu frakciju īpašuma, kas norāda, ka, ja reizinām frakcijas skaitītāju un saucēju ar to pašu skaitli, frakcijas vērtība nemainās.

Definīcija: Ekvivalentu frakciju īpašība

Ja (a ), (b ) un (c ) ir skaitļi, kur (b ≠ 0 ) un (c ≠ 0 ), tad

[ dfrac {a} {b} = dfrac {a cdot c} {b cdot c} ]

Strādājot ar frakcijām, bieži vien ir jāizsaka viena un tā pati frakcija dažādās formās. Lai atrastu līdzvērtīgas frakcijas formas, mēs varam izmantot rekvizītu Ekvivalentās frakcijas. Piemēram, ņemiet vērā daļu pusi.

[ begin {split} dfrac {1 cdot textcolor {blue} {3}} {2 cdot textcolor {blue} {3}} = dfrac {3} {6} ; & tā ; dfrac {1} {2} = dfrac {3} {6} dfrac {1 cdot textcolor {blue} {2}} {2 cdot textcolor {blue} {2}} = dfrac {2} {4} ; & tā ; dfrac {1} {2} = dfrac {2} {4} dfrac {1 cdot textcolor {blue} {10}} {2 cdot textcolor {blue} {10}} = dfrac {10} {20} ; & tā ; dfrac {1} {2} = dfrac {10} {20} end {split} nonumber ]

Tātad, mēs sakām, ka ( dfrac {1} {2}, dfrac {2} {4}, dfrac {3} {6} ) un ( dfrac {10} {20} ) ir līdzvērtīgas frakcijas.

Piemērs ( PageIndex {14} ): līdzvērtīgas daļas

Atrodiet trīs frakcijas, kas līdzvērtīgas ( dfrac {2} {5} ).

Risinājums

Lai atrastu ( dfrac {2} {5} ) ekvivalentu daļu, mēs reizinām skaitītāju un saucēju ar to pašu skaitli (bet ne ar nulli). Reizināsim tos ar (2 ), (3 ) un (5 ).

[ dfrac {2 cdot textcolor {blue} {2}} {5 cdot textcolor {blue} {2}} = dfrac {4} {10} qquad dfrac {2 cdot textcolor { zils} {3}} {5 cdot textcolor {blue} {3}} = dfrac {6} {15} qquad dfrac {2 cdot textcolor {blue} {5}} {5 cdot textcolor {blue} {5}} = dfrac {10} {25} nonumber ]

Tātad, ( dfrac {4} {10}, dfrac {6} {15} ) un ( dfrac {10} {25} ) ir ekvivalenti ( dfrac {2} {5} ).

Vingrinājums ( PageIndex {27} )

Atrodiet trīs frakcijas, kas līdzvērtīgas ( dfrac {3} {5} ).

Atbilde

Pareizās atbildes ir ( dfrac {6} {10}, dfrac {9} {15} ) un ( dfrac {12} {20} )

Vingrinājums ( PageIndex {28} )

Atrodiet trīs frakcijas, kas līdzvērtīgas ( dfrac {4} {5} ).

Atbilde

Pareizās atbildes ir ( dfrac {8} {10}, dfrac {12} {15} ) un ( dfrac {16} {20} )

Piemērs ( PageIndex {15} ): līdzvērtīgas daļas

Atrodiet daļu, kuras saucējs ir 21, kas ir ekvivalents ( dfrac {2} {7} ).

Risinājums

Lai atrastu līdzvērtīgas daļas, skaitītāju un saucēju reizinām ar to pašu skaitli. Šajā gadījumā mums jāreizina saucējs ar skaitli, kura rezultāts būs (21 ).

Tā kā mēs varam reizināt (7 ) ar (3 ), lai iegūtu (21 ), mēs varam atrast līdzvērtīgu daļu, reizinot gan skaitītāju, gan saucēju ar (3 ).

[ dfrac {2} {7} = dfrac {2 cdot textcolor {blue} {3}} {7 cdot textcolor {blue} {3}} = dfrac {6} {21} nonumber ]

Vingrinājums ( PageIndex {29} )

Atrodiet daļu ar (21 ) saucēju, kas ir ekvivalents ( dfrac {6} {7} ).

Atbilde

( dfrac {18} {21} )

Vingrinājums ( PageIndex {30} )

Atrodiet daļu ar (100 ) saucēju, kas ir ekvivalents ( dfrac {3} {10} ).

Atbilde

( dfrac {30} {100} )

Skaitļu rindā atrodiet frakcijas un jauktus skaitļus

Tagad mēs esam gatavi attēlot frakcijas uz skaitļu līnijas. Tas mums palīdzēs vizualizēt frakcijas un izprast to vērtības.

Atrodiet ( dfrac {1} {5}, dfrac {4} {5}, 3, 3 dfrac {1} {3}, dfrac {7} {4}, dfrac {9} { 2}, 5 ) un ( dfrac {8} {3} ) ciparu rindā. Mēs sāksim ar veseliem skaitļiem (3 ) un (5 ), jo tos ir visvieglāk uzzīmēt.

Pareizās uzskaitītās frakcijas ir ( dfrac {1} {5} ) un ( dfrac {4} {5} ). Mēs zinām, ka pareizajām daļām ir mazāk par vienu, tāpēc ( dfrac {1} {5} ) un ( dfrac {1} {5} ) atrodas starp veselajiem skaitļiem (0 ) un ( 1 ). Saucēji ir abi (5 ), tāpēc mums jāsadala skaitļu līnijas segments starp (0 ) un (1 ) piecās vienādās daļās. Mēs varam to izdarīt, uz ciparu līnijas uzzīmējot četras vienādās atstarpes atzīmes, kuras pēc tam varam apzīmēt kā ( dfrac {1} {5}, dfrac {2} {5}, dfrac {3} {5} ) un ( dfrac {4} {5} ). Tagad uzzīmējiet punktus uz ( dfrac {1} {5} ) un ( dfrac {4} {5} ).

Vienīgais jauktais skaitliskais skaitlis ir (3 dfrac {1} {3} ). Starp kuriem diviem veseliem skaitļiem ir (3 dfrac {1} {3} )? Atcerieties, ka jauktais skaitlis ir vesels skaitlis plus pareiza daļa, tāpēc (3 dfrac {1} {3}> 3 ). Tā kā tā ir lielāka par (3 ), bet nav lielāka par visu vienību, (3 dfrac {1} {3} ) ir starp (3 ) un (4 ). Mums jāsadala skaitļa līnijas daļa starp (3 ) un (4 ) trīs vienādos gabalos (trešdaļās) un zemes gabalā (3 dfrac {1} {3} ) pie pirmās atzīmes.

Visbeidzot, aplūkojiet nepareizās frakcijas ( dfrac {7} {4}, dfrac {9} {2} ) un ( dfrac {8} {3} ). Šo punktu atrašana būs vienkāršāka, ja mainīsit katru no tiem uz jauktu skaitli.

[ dfrac {7} {4} = 1 dfrac {3} {4}, qquad dfrac {9} {2} = 4 dfrac {1} {2}, qquad dfrac {8} { 3} = 2 dfrac {2} {3} nonumber ]

Šeit ir ciparu līnija ar visiem uzzīmētajiem punktiem.

Piemērs ( PageIndex {16} ): atrodiet un iezīmējiet

Ciparu rindā atrodiet un iezīmējiet: ( dfrac {3} {4}, dfrac {4} {3}, dfrac {5} {3}, 4 dfrac {1} {5} ) un ( dfrac {7} {2} ).

Risinājums

Vispirms atrodiet pareizo daļu ( dfrac {3} {4} ). Tas ir starp (0 ) un (1 ). Lai to izdarītu, sadaliet attālumu starp (0 ) un (1 ) četrās vienādās daļās. Tad uzzīmējiet ( dfrac {3} {4} ).

Pēc tam atrodiet jaukto skaitli (4 dfrac {1} {5} ). Skaitļu rindā tas ir starp (4 ) un (5 ). Sadaliet ciparu līniju starp (4 ) un (5 ) piecās vienādās daļās un pēc tam uzzīmējiet (4 dfrac {1} {5} ) vienu piektdaļu no (4 ) (5 ).

Tagad atrodiet nepareizās frakcijas ( dfrac {4} {3} ) un ( dfrac {5} {3} ). Tos ir vieglāk uzzīmēt, ja vispirms tos pārvēršam jauktos skaitļos.

[ dfrac {4} {3} = 1 dfrac {1} {3}, qquad dfrac {5} {3} = 1 dfrac {2} {3} nonumber ]

Daliet attālumu starp (1 ) un (2 ) trešdaļās.

Tālāk ļaujiet mums uzzīmēt ( dfrac {7} {2} ). Mēs to rakstām kā jauktu skaitli, ( dfrac {7} {2} = 3 dfrac {1} {2} ). Uzzīmējiet to starp (3 ) un (4 ).

Ciparu rindā tiek parādīti visi skaitļi, kas atrodas uz ciparu līnijas.

Vingrinājums ( PageIndex {31} )

Ciparu rindā atrodiet un iezīmējiet: ( dfrac {1} {3}, dfrac {5} {4}, dfrac {7} {4}, 2 dfrac {3} {5}, dfrac {9} {2} ).

Atbilde

Vingrinājums ( PageIndex {32} )

Ciparu rindā atrodiet un iezīmējiet: ( dfrac {2} {3}, dfrac {5} {2}, dfrac {9} {4}, dfrac {11} {4}, 3 dfrac {2} {5} ).

Atbilde

Sadaļā Ievads veselajiem skaitļiem mēs definējām pretējo skaitlim. Tas ir skaitlis, kas skaitļu līnijā ir vienādā attālumā no nulles, bet nulles pretējā pusē. Mēs redzējām, piemēram, ka pretstats (7 ) ir (- 7 ) un pretstats (- ) 7 ir (7 ).

Arī frakcijām ir pretstati. ( Dfrac {3} {4} ) pretstats ir (- dfrac {3} {4} ). Ciparu līnijā tas ir vienādā attālumā no (0 ), bet pretējā pusē ir (0 ).

Domājot par negatīvām daļām kā pretējām pozitīvajām daļām, tas palīdzēs mums atrast tās skaitļu līnijā. Lai numuru rindā atrastu (- dfrac {15} {8} ), vispirms padomājiet, kur atrodas ( dfrac {15} {8} ). Tā ir nepareiza frakcija, tāpēc vispirms to pārveidojam par jauktu skaitli (1 dfrac {7} {8} ) un redzam, ka ciparu rindā tas būs starp (1 ) un (2 ). . Tātad tā pretstats (- dfrac {15} {8} ) skaitļu rindā būs starp (- 1 ) un (- 2 ).

Piemērs ( PageIndex {17} ): atrodiet un iezīmējiet

Ciparu rindā atrodiet un iezīmējiet: ( dfrac {1} {4}, - dfrac {1} {4}, 1 dfrac {1} {3}, −1 dfrac {1} {3 }, dfrac {5} {2} ) un (- dfrac {5} {2} ).

Risinājums

Uzzīmējiet ciparu līniju. Atzīmējiet (0 ) vidū un pēc tam atzīmējiet vairākas vienības pa kreisi un pa labi.

Lai atrastu ( dfrac {1} {4} ), sadaliet intervālu starp (0 ) un (1 ) četrās vienādās daļās. Katra daļa pārstāv vienu ceturtdaļu no distances. Tātad uzzīmējiet ( dfrac {1} {4} ) pie pirmās atzīmes.

Lai atrastu (- dfrac {1} {4} ), sadaliet intervālu starp (0 ) un (- 1 ) četrās vienādās daļās. Uzzīmējiet (- dfrac {1} {4} ) pie pirmās atzīmes pa kreisi no (0 ).

Tā kā (1 dfrac {1} {3} ) ir starp (1 ) un (2 ), sadaliet intervālu starp (1 ) un (2 ) trīs vienādās daļās. Uzzīmējiet (1 dfrac {1} {3} ) pie pirmās atzīmes pa labi no (1 ). Tad, tā kā (- 1 dfrac {1} {3} ) ir pretējs (1 dfrac {1} {3} ), tas ir starp (- 1 ) un (- 2 ). Sadaliet intervālu starp (- 1 ) un (- 2 ) trīs vienādās daļās. Uzzīmējiet (- 1 dfrac {1} {3} ) pie pirmās atzīmes pa kreisi no (- 1 ).

Lai atrastu ( dfrac {5} {2} ) un (- dfrac {5} {2} ), var būt noderīgi tos pārrakstīt kā jauktus skaitļus (2 dfrac {1} {2 } ) un (- 2 dfrac {1} {2} ). Tā kā (2 dfrac {1} {2} ) ir starp (2 ) un (3 ), sadaliet intervālu starp (2 ) un (3 ) divās vienādās daļās. Uzzīmējiet ( dfrac {5} {2} ) pie atzīmes. Tā kā (- 2 dfrac {1} {2} ) ir starp (- 2 ) un (- 3 ), sadaliet intervālu starp (- 2 ) un (- 3 ) uz divas vienādas daļas. Atzīmējiet zīmējumu (- dfrac {5} {2} ).

Vingrinājums ( PageIndex {33} )

Ciparu rindā atrodiet un iezīmējiet katru norādīto frakciju: ( dfrac {2} {3}, - dfrac {2} {3}, 2 dfrac {1} {4}, −2 dfrac {1 } {4}, dfrac {3} {2}, - dfrac {3} {2} )

Atbilde

Vingrinājums ( PageIndex {34} )

Ciparu rindā atrodiet un iezīmējiet katru no norādītajām frakcijām: ( dfrac {3} {4}, - dfrac {3} {4}, 1 dfrac {1} {2}, −1 dfrac {1 } {2}, dfrac {7} {3}, - dfrac {7} {3} )

Atbilde

Kārtību daļas un jaukti skaitļi

Mēs varam izmantot nevienlīdzības simbolus, lai sakārtotu frakcijas. Atcerieties, ka (a> b ) nozīmē, ka (a ) atrodas ciparu rindā pa labi no (b ). Kad skaitļu rindā virzāmies no kreisās uz labo, vērtības palielinās.

Piemērs ( PageIndex {18} ): pasūtījums

Pasūtiet katru no šiem skaitļu pāriem, izmantojot (<) vai (> ):

  1. (- dfrac {2} {3} ) ____ (- 1 )
  2. (- 3 dfrac {1} {2} ) ____ (- 3 )
  3. (- dfrac {3} {7} ) ____ (- dfrac {3} {8} )
  4. (- 2 ) ____ (- dfrac {16} {9} )

Risinājums

  1. (- dfrac {2} {3}> −1 )

  1. (- 3 dfrac {1} {2} <−3 )

  1. (- dfrac {3} {7} <- dfrac {3} {8} )

  1. (- 2 <- dfrac {16} {9} )

Vingrinājums ( PageIndex {35} )

Pasūtiet katru no šiem skaitļu pāriem, izmantojot (<) vai (> ):

  1. (- dfrac {1} {3} ) __ (- 1 )
  2. (- 1 dfrac {1} {2} ) __ (- 2 )
  3. (- dfrac {2} {3} ) __ (- dfrac {1} {3} )
  4. (- 3 ) __ (- dfrac {7} {3} )
Atbilde a

(>)

Atbilde b

(>)

Atbilde c

(<)

Atbilde d

(<)

Vingrinājums ( PageIndex {36} )

Pasūtiet katru no šiem skaitļu pāriem, izmantojot (<) vai (> ):

  1. (- 3 ) __ (- dfrac {17} {5} )
  2. (- 2 dfrac {1} {4} ) __ (- 2 )
  3. (- dfrac {3} {5} ) __ (- dfrac {4} {5} )
  4. (- 4 ) __ (- dfrac {10} {3} )
Atbilde a

(>)

Atbilde b

(<)

Atbilde c

(>)

Atbilde d

(<)

Galvenie jēdzieni

  • Īpašums One
    • Jebkurš skaitlis, izņemot nulli, dalīts ar sevi, ir viens.
      ( dfrac {a} {a} = 1 ), kur (a neq 0 ).
  • Jaukti skaitļi
    • Jaukts skaitlis sastāv no vesela skaitļa (a ) un daļas ( dfrac {b} {c} ) kur (c neq 0 ).
    • Tas ir rakstīts šādi: (a dfrac {b} {c} ) (c neq 0 )
  • Pareizas un nepareizas frakcijas
    • Frakcija ( frac {a} {b} ) ir pareiza frakcija, ja (a
  • Pārvērst nepareizu daļu par jauktu skaitli.
    1. Sadaliet saucēju skaitītājā.
    2. Norādiet koeficientu, atlikumu un dalītāju.
    3. Rakstiet jaukto skaitli kā ( dfrac { text {atlikušais}} { text {dalītājs}} ).
  • Pārvērst jauktu skaitli par nepareizu daļu.
    1. Reiziniet visu skaitli ar saucēju.
    2. Pievienojiet skaitītāju produktam, kas atrodams 1. darbībā.
    3. Uzrakstiet galīgo summu virs sākotnējā saucēja.
  • Ekvivalentu frakciju īpašība
    • Ja (a ), (b ) un (c ) ir skaitļi, kur (b neq 0 ), (c neq 0 ), tad ( dfrac {a} {b} = dfrac {a cdot c} {b cdot c} ]).

Vārdnīca

līdzvērtīgas frakcijas

Līdzvērtīgas daļas ir divas vai vairākas frakcijas, kurām ir vienāda vērtība.

frakcija

Tiek ierakstīta frakcija ( dfrac {a} {b} ). frakcijā (a ) ir skaitītājs un (b ) ir saucējs. Daļa ataino veseluma daļas. Saucējs (b ) ir vienādu daļu skaits, kurā veselums ir sadalīts, un skaitītājs (a ) norāda, cik daļas ir iekļautas.

jaukts skaitlis

Jaukts skaitlis sastāv no vesela skaitļa (a ) un daļas ( dfrac {b} {c} ) kur (c neq 0 ). Tas ir rakstīts kā (a dfrac {b} {c} ), kur (c neq 0 ).

pareizas un nepareizas frakcijas

Daļa ( dfrac {a} {b} ) ir pareiza, ja (a b ).

Prakse padara perfektu

Turpmākajos vingrinājumos apēnojiet apļu vai kvadrātu daļas, lai modelētu šādas frakcijas.

  1. ( dfrac {1} {2} )
  2. ( dfrac {1} {3} )
  3. ( dfrac {3} {4} )
  4. ( dfrac {2} {5} )
  5. ( dfrac {5} {6} )
  6. ( dfrac {7} {8} )
  7. ( dfrac {5} {8} )
  8. ( dfrac {7} {10} )

Turpmākajos vingrinājumos izmantojiet frakcijas apļus, lai izveidotu veselumus, ja iespējams, ar šādiem gabaliem.

  1. 3 trešdaļas
  2. 8 astotās
  3. 7 sestās
  4. 4 trešdaļas
  5. 7 piektdaļas
  6. 7 ceturtdaļas

Turpmākajos vingrinājumos nosauciet nepareizās frakcijas. Pēc tam katru nepareizo daļu ierakstiet kā jauktu skaitli.

Turpmākajos vingrinājumos uzzīmējiet frakciju apļus, lai modelētu doto frakciju.

  1. ( dfrac {3} {3} )
  2. ( dfrac {4} {4} )
  3. ( dfrac {7} {4} )
  4. ( dfrac {5} {3} )
  5. ( dfrac {11} {6} )
  6. ( dfrac {13} {8} )
  7. ( dfrac {10} {3} )
  8. ( dfrac {9} {4} )

Turpmākajos vingrinājumos nepareizo daļu pārrakstiet kā jauktu skaitli.

  1. ( dfrac {3} {2} )
  2. ( dfrac {5} {3} )
  3. ( dfrac {11} {4} )
  4. ( dfrac {13} {5} )
  5. ( dfrac {25} {6} )
  6. ( dfrac {28} {9} )
  7. ( dfrac {42} {13} )
  8. ( dfrac {47} {15} )

Turpmākajos vingrinājumos jauktu skaitli pārrakstiet kā nepareizu daļu.

  1. (1 dfrac {2} {3} )
  2. (1 dfrac {2} {5} )
  3. (2 dfrac {1} {4} )
  4. (2 dfrac {5} {6} )
  5. (2 dfrac {7} {9} )
  6. (2 dfrac {5} {7} )
  7. (3 dfrac {4} {7} )
  8. (3 dfrac {5} {9} )

Turpmākajos vingrinājumos izmantojiet frakciju flīzes vai uzzīmējiet skaitli, lai atrastu līdzvērtīgas frakcijas.

  1. Cik sestās daļas ir vienādas ar vienu trešdaļu?
  2. Cik divpadsmitdaļu vienāda ar vienu trešdaļu?
  3. Cik astotās ir vienādas ar trim ceturtdaļām?
  4. Cik divpadsmitās vienādas ar trim ceturtdaļām?
  5. Cik ceturtdaļu ir vienādas ar trim puslaikiem?
  6. Cik sestās daļas ir vienādas ar trim puslaikiem?

Turpmākajos vingrinājumos atrodiet trīs frakcijas, kas ir līdzvērtīgas dotajai daļai. Parādiet savu darbu, izmantojot skaitļus vai algebru.

  1. ( dfrac {1} {4} )
  2. ( dfrac {1} {3} )
  3. ( dfrac {3} {8} )
  4. ( dfrac {5} {6} )
  5. ( dfrac {2} {7} )
  6. ( dfrac {5} {9} )

Turpmākajos vingrinājumos uzzīmējiet skaitļus uz skaitļu līnijas.

  1. ( dfrac {2} {3}, dfrac {5} {4}, dfrac {12} {5} )
  2. ( dfrac {1} {3}, dfrac {7} {4}, dfrac {13} {5} )
  3. ( dfrac {1} {4}, dfrac {9} {5}, dfrac {11} {3} )
  4. ( dfrac {7} {10}, dfrac {5} {2}, dfrac {13} {8}, 3 )
  5. (2 dfrac {1} {3}, −2 dfrac {1} {3} )
  6. (1 dfrac {3} {4}, −1 dfrac {3} {5} )
  7. ( dfrac {3} {4}, - dfrac {3} {4}, 1 dfrac {2} {3}, −1 dfrac {2} {3}, dfrac {5} {2} , - dfrac {5} {2} )
  8. ( dfrac {2} {5}, - dfrac {2} {5}, 1 dfrac {3} {4}, −1 dfrac {3} {4}, dfrac {8} {3} , - dfrac {8} {3} )

Turpmākajos vingrinājumos pasūtiet katru no šiem skaitļu pāriem, izmantojot .

  1. −1 __ (- dfrac {1} {4} )
  2. −1 __ (- dfrac {1} {3} )
  3. (- 2 dfrac {1} {2} ) __− 3
  4. (- 1 dfrac {3} {4} ) __− 2
  5. (- dfrac {5} {12} ) __ (- dfrac {7} {12} )
  6. (- dfrac {9} {10} ) __ (- dfrac {3} {10} )
  7. −3 __ (- dfrac {13} {5} )
  8. −4 __ (- dfrac {23} {6} )

Ikdienas matemātika

  1. Mūzikas pasākumi Horeogrāfēta deja ir sadalīta skaitījumos. ( Dfrac {1} {1} ) skaitam ir viens solis, ( dfrac {1} {2} ) skaitam ir divi soļi, un 1 3 skaitam ir trīs soļi. grāfs. Cik soļu būtu ( dfrac {1} {5} ) skaitīšanā? Kāda veida skaitīšanai ir četras darbības?
  2. Mūzikas pasākumi Mūzikā bieži tiek izmantotas frakcijas. 4 4 laikā vienā mērā ir četras ceturkšņa piezīmes.
    1. Cik mēru veiktu astoņas ceturkšņa piezīmes?
    2. Dziesmai “Happy Birthday to You” ir 25 ceturtdaļu notis. Cik pasākumu ir sadaļā “Daudz laimes dzimšanas dienā?”
  3. Cepšana Pēc mūzikas apsvēruma Ņina gatavo piecus traukus. Katrai pannai viņai vajag 1 2 glāzi valriekstu.
    1. Cik daudz tases valriekstu viņai vajadzīgas piecām fudne pannām?
    2. Vai jūs domājat, ka ir vieglāk izmērīt šo daudzumu, ja izmantojat nepareizu daļu vai jauktu skaitli? Kāpēc?

Rakstīšanas vingrinājumi

  1. Sniedziet piemēru no savas dzīves pieredzes (ārpus skolas), kur bija svarīgi saprast frakcijas.
  2. Paskaidrojiet, kā atrodat nepareizo frakciju ( dfrac {21} {4} ) ciparu rindā, kurā ir atzīmēti tikai veseli skaitļi no 0 līdz 10.

Pašpārbaude

a) Pēc vingrinājumu izpildīšanas izmantojiet šo kontrolsarakstu, lai novērtētu šīs sadaļas mērķu apguvi.

b) Ja lielākā daļa jūsu pārbaužu bija:

…pārliecinoši. Apsveicam! Jūs esat sasniedzis šīs sadaļas mērķus. Pārdomājiet izmantotās mācību prasmes, lai jūs varētu tās turpināt izmantot. Ko jūs darījāt, lai pārliecinātos par spēju veikt šīs lietas? Esi konkrēts.

... ar nelielu palīdzību. Tas ir ātri jārisina, jo tēmas, kuras jūs neapgūstat, kļūst par bedrēm ceļā uz panākumiem. Matemātikā katra tēma balstās uz iepriekšējo darbu. Pirms doties tālāk, ir svarīgi pārliecināties, ka jums ir spēcīgs pamats. Kam jūs varat lūgt palīdzību? Jūsu klases biedri un instruktori ir labi resursi. Vai pilsētiņā ir kāda vieta, kur pieejami matemātikas pasniedzēji? Vai jūsu studiju prasmes var uzlabot?

... nē - es to nesaprotu! Šī ir brīdinājuma zīme, un to nedrīkst ignorēt. Jums nekavējoties jāsaņem palīdzība, pretējā gadījumā jūs ātri nomocīsit. Pēc iespējas ātrāk apmeklējiet savu instruktoru, lai pārrunātu savu situāciju. Kopā jūs varat nākt klajā ar plānu, lai sniegtu jums nepieciešamo palīdzību.


3.4 Daļējas frakcijas

Tomēr mums vēl nav paņēmiena, kas ļautu risināt patvaļīgus šāda veida koeficientus. Tādējādi nav uzreiz skaidrs, kā rīkoties, lai novērtētu ∫ 3 x x 2 - x - 2 d x. ∫ 3 x x 2 - x - 2 d x. Tomēr mēs to zinām no iepriekš izstrādāta materiāla

Patiesībā, iegūstot kopsaucēju, mēs to redzam

Šajā sadaļā mēs pārbaudām daļējas frakcijas sadalīšanās metodi, kas ļauj sadalīt racionālās funkcijas vienkāršāku, vieglāk integrētu racionālu funkciju summās. Izmantojot šo metodi, mēs varam pārrakstīt tādu izteiksmi kā: 3 x x 2 - x - 2 3 x x 2 - x - 2 kā izteiksmi, piemēram, 1 x + 1 + 2 x - 2. 1 x + 1 + 2 x - 2.

3.28. Piemērs

Integrējot ∫ P (x) Q (x) dx, ∫ P (x) Q (x) dx, kur deg (P (x)) ≥ deg (Q (x)) deg (P (x)) ≥ deg (Q x)

Novērtējiet ∫ x 2 + 3 x + 5 x + 1 d x. ∫ x 2 + 3 x + 5 x + 1 d x.

Risinājums

Mediji

Apmeklējiet šo vietni, lai apskatītu polinomu garo sadalījumu.

Neatkārtoti lineārie faktori

Pierādījums, ka šādas konstantes pastāv, ir ārpus šī kursa darbības jomas.

Šajā nākamajā piemērā mēs redzam, kā izmantot daļējas frakcijas, lai integrētu šāda veida racionālu funkciju.

3.29. Piemērs

Daļējas frakcijas ar neatkārtotiem lineārajiem faktoriem

Novērtējiet ∫ 3 x + 2 x 3 - x 2 - 2 x d x. ∫ 3 x + 2 x 3 - x 2 - 2 x d x.

Risinājums

Tagad mums jāatrod šīs konstantes. Lai to izdarītu, mēs vispirms iegūstam kopsaucēju labajā pusē. Tādējādi

Tagad mēs iestatījām skaitītājus vienādus, iegūstot

Noteikums: Koeficientu pielīdzināšanas metode

Koeficientu pielīdzināšana rada vienādojumu sistēmu

Ir svarīgi atzīmēt, ka ar šo metodi izveidotā sistēma ir konsekventa tikai tad, ja mēs pareizi esam sadalījuši sadalījumu. Ja sistēma ir pretrunīga, mūsu sadalījumā ir kļūda.

Noteikums: Stratēģiskās aizstāšanas metode

Ir svarīgi paturēt prātā, ka, mēģinot izmantot šo metodi ar sadalījumu, kas nav pareizi izveidots, mēs joprojām spējam atrast vērtības konstantēm, taču šīm konstantēm nav nozīmes. Ja mēs izvēlamies izmantot stratēģiskās aizstāšanas metodi, ieteicams pārbaudīt rezultātu, rekombinējot terminus algebriski.

Integrāla novērtēšana mums dod

Nākamajā piemērā mēs integrējam racionālu funkciju, kurā skaitītāja pakāpe nav mazāka par saucēja pakāpi.

3.30. Piemērs

Dalīšana pirms daļēju frakciju piemērošanas

Novērtējiet ∫ x 2 + 3 x + 1 x 2 - 4 d x. ∫ x 2 + 3 x + 1 x 2 - 4 d x.

Risinājums

Tālāk mēs veicam daļēju frakciju sadalīšanu 3 x + 5 x 2 - 4 = 3 x + 5 (x + 2) (x - 2). 3 x + 5 x 2 - 4 = 3 x + 5 (x + 2) (x - 2). Mums ir

Pārrakstot sākotnējo integrālu, mums tas ir

Novērtējot integrālu, iegūst

Kā redzam nākamajā piemērā, daļējas frakcijas sadalīšanās paņēmienu var būt iespējams piemērot neracionālai funkcijai. Triks ir pārveidot neracionālo funkciju par racionālu funkciju, izmantojot aizstājēju.

3.31. Piemērs

Daļēju frakciju lietošana pēc aizstāšanas

Novērtējiet ∫ cos x sin 2 x - sin x d x. ∫ cos x sin 2 x - sin x d x.

Risinājums

Piemērojot daļēju frakciju sadalīšanos 1 / u (u - 1) 1 / u (u - 1), iegūst 1 u (u - 1) = - 1 u + 1 u - 1. 1 u (u - 1) = - 1 u + 1 u - 1.

Novērtējiet ∫ x + 1 (x + 3) (x - 2) d x. ∫ x + 1 (x + 3) (x - 2) d x.

Atkārtoti lineārie faktori

Dažās lietojumprogrammās mums jāintegrē racionālas izteiksmes, kurām ir saucēji ar atkārtotiem lineāriem faktoriem - tas ir, racionālām funkcijām ar vismaz vienu formas koeficientu (ax + b) n, (ax + b) n, kur nn ir pozitīvs vesels skaitlis ir lielāks vai vienāds ar 2. 2. Ja saucējs satur atkārtotu lineāro koeficientu (a x + b) n, (a x + b) n, tad sadalījumam jābūt

Kā mēs redzam nākamajā piemērā, koeficientu risināšanai izmantotā pamatmetode ir vienāda, taču daļējo frakciju skaitītāju noteikšanai ir nepieciešama vairāk algebras.

3.32. Piemērs

Daļējas frakcijas ar atkārtotiem lineārajiem faktoriem

Novērtējiet ∫ x - 2 (2 x - 1) 2 (x - 1) d x. ∫ x - 2 (2 x - 1) 2 (x - 1) d x.

Risinājums

Pēc kopsaucēja iegūšanas un skaitītāju pielīdzināšanas mums ir

Pēc tam mēs izmantojam koeficientu pielīdzināšanas metodi, lai atrastu A, A, B, B un C vērtības. C.

Iestatiet daļējas frakcijas sadalīšanos ∫ x + 2 (x + 3) 3 (x - 4) 2 d x. ∫ x + 2 (x + 3) 3 (x - 4) 2 d x. (Neatrisiniet koeficientus un nepabeidziet integrāciju.)

Vispārīgā metode

Tagad, kad mēs sākam gūt priekšstatu par to, kā darbojas daļējas frakcijas sadalīšanās paņēmiens, izklāstīsim pamatmetodi nākamajā problēmu risināšanas stratēģijā.

Problēmu risināšanas stratēģija

Problēmu risināšanas stratēģija: daļēja frakciju sadalīšanās

Lai sadalītu racionālo funkciju P (x) / Q (x), P (x) / Q (x), rīkojieties šādi:

Vienkārši kvadrātiskie faktori

Tagad aplūkosim racionālas izteiksmes integrēšanu, kurā saucējs satur nereducējamu kvadrātisko faktoru. Atgādinām, ka kvadrātiskais cirvis 2 + bx + cax 2 + bx + c nav reducējams, ja ax 2 + bx + c = 0 ax 2 + bx + c = 0 nav reālu nulļu, tas ir, ja b 2 - 4 ac & lt 0 . b 2 - 4 a c & lt 0.

3.33. Piemērs

Racionālas izteiksmes ar nesamazināmu kvadrātisko faktoru

Novērtējiet ∫ 2 x - 3 x 3 + x d x. X 2 x - 3 x 3 + x d x.

Risinājums

Pēc kopsaucēja iegūšanas un skaitītāju pielīdzināšanas iegūstam vienādojumu

Aizstājot atpakaļ integrālā, mēs iegūstam

3.34. Piemērs

Daļējas frakcijas ar nesamazināmu kvadrātisko faktoru

Risinājums

Pēc kopsaucēja iegūšanas un skaitītāju pielīdzināšanas tas kļūst

Izmantojot jebkuru no metodēm, iegūstam A = 1 12, B = - 1 12 un C = - 1 3. A = 1 12, B = - 1 12 un C = - 1 3.

Aizstājot atpakaļ sākotnējā integrālā un vienkāršojot dod

Šeit mēs atkal varam nomest absolūto vērtību, ja vēlamies to darīt, jo x 2 + 2 x + 4 & gt 0 x 2 + 2 x + 4 & gt 0 visiem x. x.

3.35. Piemērs

Sējuma atrašana

Atrodiet apgrieztā cietā materiāla tilpumu, kas iegūts, apgriežot apgabalu, kuru ieskauj grafiks f (x) = x 2 (x 2 + 1) 2 f (x) = x 2 (x 2 + 1) 2, un x-taksis intervālā [0, 1] [0, 1] ap y- ass.

Risinājums

Sāksim ar ieskicējamo reģionu (sk. 3.11. Attēlu). Pēc skices mēs redzam, ka čaulas metode ir laba izvēle šīs problēmas risināšanai.

Atrodot kopsaucēju un pielīdzinot skaitītājus, dod

Iestatiet daļējas frakcijas sadalījumu ∫ x 2 + 3 x + 1 (x + 2) (x - 3) 2 (x 2 + 4) 2 d x. ∫ x 2 + 3 x + 1 (x + 2) (x - 3) 2 (x 2 + 4) 2 d x.

3.4. Sadaļa Vingrinājumi

Izsaki racionālo funkciju kā divu vienkāršāku racionālu izteicienu summu vai starpību.

1 x 4 - 1 = 1 (x + 1) (x - 1) (x 2 + 1) 1 x 4 - 1 = 1 (x + 1) (x - 1) (x 2 + 1)

3 x 2 x 3 - 1 = 3 x 2 (x - 1) (x 2 + x + 1) 3 x 2 x 3 - 1 = 3 x 2 (x - 1) (x 2 + x + 1)

3 x 4 + x 3 + 20 x 2 + 3 x + 31 (x + 1) (x 2 + 4) 2 3 x 4 + x 3 + 20 x 2 + 3 x + 31 (x + 1) (x 2 + 4) 2

Izmantojiet daļējo frakciju metodi, lai novērtētu katru no šiem integrāļiem.

∫ d x x (x - 1) (x - 2) (x - 3) ∫ d x x (x - 1) (x - 2) (x - 3)

∫ 2 x 2 + 4 x + 22 x 2 + 2 x + 10 d x ∫ 2 x 2 + 4 x + 22 x 2 + 2 x + 10 d x

Novērtējiet šādus integrāļus, kuriem ir nesamazināmi kvadrātiskie faktori.

∫ 2 (x - 4) (x 2 + 2 x + 6) d x ∫ 2 (x - 4) (x 2 + 2 x + 6) d x

∫ x 3 + 6 x 2 + 3 x + 6 x 3 + 2 x 2 d x ∫ x 3 + 6 x 2 + 3 x + 6 x 3 + 2 x 2 d x

∫ x (x - 1) (x 2 + 2 x + 2) 2 d x ∫ x (x - 1) (x 2 + 2 x + 2) 2 d x

Izmantojiet daļējo frakciju metodi, lai novērtētu šādus integrālus.

∫ 3 x + 4 (x 2 + 4) (3 - x) d x ∫ 3 x + 4 (x 2 + 4) (3 - x) d x

Izmantojiet aizstāšanu, lai integrālus pārveidotu par racionālu funkciju integrāļiem. Pēc tam izmantojiet daļējas frakcijas, lai novērtētu integrālus.

∫ sin x cos 2 x + cos x - 6 d x ∫ sin x cos 2 x + cos x - 6 d x

∫ cos x sin x (1 - sin x) d x ∫ cos x sin x (1 - sin x) d x

Izmantojiet norādīto aizvietojumu, lai pārveidotu integrālu par racionālas funkcijas integrālu, pēc tam novērtējiet.

Atrodiet radušās cietās vielas tilpumu, kad apgabals, kuru ierobežo y = 1 / x (3 - x), y = 1 / x (3 - x), y = 0, y = 0, x = 1, x = 1, un x = 2 x = 2 ir apgriezts ap x-ass.

Daļiņas ātrums, kas pārvietojas pa līniju, ir laika funkcija, ko dod v (t) = 88 t 2 t 2 + 1. v (t) = 88 t 2 t 2 + 1. Atrodiet daļiņas nobraukto attālumu pēc t = 5 t = 5 sek.

Atrisiniet sākotnējās vērtības problēmu x kā funkcija t.

(t 2 - 7 t + 12) d x d t = 1, (t & gt 4, x (5) = 0) (t 2 - 7 t + 12) d x d t = 1, (t & gt 4, x (5) = 0)

(t + 5) d x d t = x 2 + 1, t & gt - 5, x (1) = iedegums 1 (t + 5) d x d t = x 2 + 1, t & gt - 5, x (1) = iedegums 1

(2 t 3 - 2 t 2 + t - 1) d x d t = 3, x (2) = 0 (2 t 3 - 2 t 2 + t - 1) d x d t = 3, x (2) = 0

Atrodi x- apgabala, kuru ierobežo, centrālās daļas koordināta

Atrodiet tilpumu, kas radies, apgriežot laukumu, ko ierobežo y = 1 x 3 + 7 x 2 + 6 x, x = 1, x = 7 un y = 0 y = 1 x 3 + 7 x 2 + 6 x, x = 1, x = 7 un y = 0 par y- ass.

Novērtējiet integrāli ∫ d x x 3 + 1. ∫ d x x 3 + 1.

Kā Amazon Associate mēs nopelnām no kvalificētiem pirkumiem.

Vai vēlaties citēt, kopīgot vai pārveidot šo grāmatu? Šī grāmata ir Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0, un jums jāpiešķir OpenStax.

    Ja jūs visu grāmatu vai tās daļu pārdalāt drukas formātā, tad katrā fiziskajā lapā jāiekļauj šāds attiecinājums:

  • Izmantojiet zemāk esošo informāciju, lai ģenerētu citātu. Mēs iesakām izmantot citēšanas rīku, piemēram, šo.
    • Autori: Gilbert Strang, Edwin “Jed” Herman
    • Izdevējs / vietne: OpenStax
    • Grāmatas nosaukums: Calculus Volume 2
    • Publicēšanas datums: 2016. gada 30. marts
    • Atrašanās vieta: Hjūstona, Teksasa
    • Grāmatas URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/1-introduction
    • Sadaļas URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/3-4-partial-fractions

    © 2020. gada 21. decembris OpenStax. Mācību grāmatu saturs, ko ražo OpenStax, tiek licencēts ar Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0 licenci. Uz OpenStax nosaukumu, OpenStax logotipu, OpenStax grāmatu vākiem, OpenStax CNX nosaukumu un OpenStax CNX logotipu neattiecas Creative Commons licence, un tos nevar reproducēt bez Rīsu universitātes iepriekšējas un skaidras rakstiskas piekrišanas.


    Daļu reizināšana un dalīšana

    Šajā sadaļā pieņemiet, ka a, b, c, un d ir visi nulles skaitļi. Divu frakciju reizinājums ir frakcija, ko veido skaitītāju un saucēju reizinājums. Citiem vārdiem sakot, lai reizinātu daļas, reiziniet skaitītājus un reiziniet saucējus:

    4. piemērs: Reizināt: 2 3 ⋅ 5 7.

    Risinājums: Reiziniet skaitītājus un reiziniet saucējus.

    5. piemērs: Reizināt: 5 9 (- 1 4).

    Risinājums: Atgādināsim, ka pozitīvā un negatīvā skaitļa reizinājums ir negatīvs.

    6. piemērs: Reizināt: 2 3 ⋅ 5 3 4.

    Risinājums: Sāciet, pārveidojot 5 3 4 par nepareizu daļu.

    Šajā piemērā mēs pamanījām, ka mēs varam samazināt, pirms mēs reizinām skaitītājus un saucējus. Šādi samazināšanu sauc par savstarpēju atcelšanu. Kopīgo faktoru atcelšana skaitītājā un frakciju saucējā pirms reizināšanas. un var ietaupīt laiku, reizinot frakcijas.

    Divi reālie skaitļi, kuru reizinājums ir 1, tiek saukti par reciproc. Nulles skaitļa reciprok n ir 1 /n. . Tāpēc a b un b a ir savstarpēji, jo a b ⋅ b a = a b a b = 1. Piemēram,

    Tā kā viņu produkts ir 1, 2 3 un 3 2 ir savstarpēji. Daži citi savstarpēji ir uzskaitīti zemāk:

    Šī definīcija ir svarīga, jo, dalot frakcijas, dividendes reiziniet ar dalītāja savstarpējo.

    7. piemērs: Sadalīt: 2 3 ÷ 5 7.

    Risinājums: Reiziniet 2 3 ar pretējo 5 7.

    Jums jāzina arī citi apzīmējumu veidi, kas norāda sadalījumu: / un -. Piemēram,

    Pēdējais ir kompleksās A daļas frakcijas piemērs, kur skaitītājs vai saucējs sastāv no vienas vai vairākām daļām. , kas ir daļa, kuras skaitītājs, saucējs vai abi ir daļskaitļi.

    Studenti bieži jautā, kāpēc dalīšana ir līdzvērtīga reizināšanai ar dalītāja abpusējo. Matemātiskais skaidrojums izriet no fakta, ka reciproku reizinājums ir 1. Ja mēs pielietojam multiplikatīvās identitātes īpašību un reizinām skaitītāju un saucēju ar saucēja abpusējo, tad iegūstam:

    Pirms reizināšanas meklējiet kopīgus faktorus, lai to atceltu, nav nepieciešams samazināt gala rezultātu.

    8. piemērs: Sadalīt: 5 2 7 4.

    Dalot ar veselu skaitli, ir lietderīgi to pārrakstīt kā daļu no 1.

    9. piemērs: Sadalīt: 2 3 ÷ 6.

    Risinājums: Pārrakstiet 6 kā 6 1 un reiziniet ar abpusējo.

    Turklāt ņemiet vērā, ka mēs atceļam tikai tad, ja strādājam ar reizināšanu. Pārrakstiet jebkuru sadalīšanas problēmu kā produktu pirms atceļot.

    Izmēģiniet šo! Sadalīt: 5 ÷ 2 3 5.

    Video risinājums


    3.3. Vizualizēt frakcijas (2. daļa)


    Frakciju saskaitīšana un atņemšana

    Šajā frakciju saskaitīšanā un atņemšanā ir aprakstīts sekojošais.

    • līdzīgu daļu skaitītāju saskaitīšana vai atņemšana
    stundas izklāsts

    Veselos skaitļos mēs bijām izpētījuši sekojošo.

    Papildinājums - pirmie principi : Tiek ņemti vērā divi skaitļi, no kuriem katrs apzīmē skaitu vai mērījumu. Daudzumi, ko attēlo skaitļi, tiek apvienoti, veidojot rezultātu, kas atspoguļo apvienoto skaitīšanu vai mērīšanu. Kombinētais skaitīšana vai mērīšana ir saskaitīšanas rezultāts.

    piemēram: 20 20 un 13 13 ir apvienoti kopā 20 + 13 = 33 20 + 13 = 33.

    13 13 ir arī pievienot

    Atskaitīšana - pirmie principi : Tiek ņemti vērā divi skaitļi, no kuriem katrs apzīmē skaitu vai mērījumu. No vienas summas, ko apzīmē pirmais skaitlis, otrais skaitlis tiek atņemts, lai izveidotu rezultātu, kas atspoguļo atlikušo summu. Atlikušās summas skaitīšana vai mērīšana ir atņemšanas rezultāts.

    20 20 ir minuend

    13 13 ir savaldīt

    7 7 ir atšķirība

    Attēlā ir divas frakcijas, kas attēlotas divās krāsās. Šo divu daļu summa nav vienkārša 3 3 un 2 2 pievienošana, jo daļām ir atšķirīgas vietu vērtības. Pārbaudīsim frakciju pievienošanas problēmas.

    Apsveriet vēl divas frakcijas, kas parādītas krāsainās daļās. Ir norādīta abu frakciju vietas vērtība. Daļas ir 3 8 3 8 un 2 8 2 8. Tā kā vietas vērtības ir vienādas, mēs varam pievienot skaitļus. Kopējā summa ir 5 5 gabali vietējā vērtībā 8 8. Tā ir 5 8 5 8. daļa.

    Attēlā norādītas divas frakcijas 1 4 1 4 un 3 8 3 8. Vai tos var apvienot?

    Kombinētie lielumi nav gabalu skaita summa, jo 1 1 gabals 1 4 1 4 ir divkāršs 1 1 gabala 3 8 3 8 lielumā. Tātad, labāk ir pārveidot frakcijas vienāda lieluma gabalos.

    Ņemot vērā divas frakcijas 1 4 1 4 un 3 8 3 8 attēlā, frakcija 1 4 1 4 tiek pārveidota par līdzvērtīgu daļu 2 8 2 8.

    Frakciju vietas vērtība ir vienāda, citiem vārdiem sakot, gabalu lielums ir vienāds.

    Tagad gabalus var saskaitīt. Summa tiek aprēķināta kā 2 8 + 3 8 = 5 8 2 8 + 3 8 = 5 8.

    Lai pievienotu abas frakcijas, frakcijas vispirms pārveido par līdzīgām daļām.

    Apsveriet vēl divas frakcijas, kas parādītas krāsainās daļās. Ir norādīta abu frakciju vietas vērtība. Daļas ir 3 8 3 8 un 2 8 2 8.

    Atņemot 2 8 2 8 no 3 8 3 8: 3 8 - 2 8 3 8 - 2 8. Tā kā vietu vērtības vai saucēji ir vienādi, mēs varam atņemt skaitļus. Atlikusī summa ir 1 1 gabals vietējā vērtībā 1 8 1 8. Tā ir 1 8 1 8. daļa.

    Apsveriet divas skaitļa frakcijas no 3 8 3 8 un 1 4 1 4. Vai tos var atņemt?

    Tā kā 1 1 gabals no 1 4 1 4 ir divreiz lielāks par 1 1 gabalu no 3 8 3 8, tos nevar tieši atņemt. Tātad frakcijas tiek konvertētas uz tām pašām vietu vērtībām.

    Ņemot vērā divas skaitļus 3 8 3 8 un 1 4 1 4 attēlā, frakcija 1 4 1 4 tiek pārveidota par līdzvērtīgu daļu 2 8 2 8. Frakciju vietu vērtības vai saucēji ir vienādi, citiem vārdiem sakot, gabalu lielums ir vienāds.

    Tagad gabalus var aizvest. Starpību aprēķina kā 3 8 - 2 8 = 1 8 3 8 - 2 8 = 1 8.

    Lai atņemtu abas frakcijas, frakcijas vispirms pārveido par līdzīgām daļām.

    Pārvēršiet frakcijas par "līdzīgām daļām" (ar vienādu vietas vērtību), lai saskaitītu vai atņemtu skaitītājus.

    Daļas ir vērsti skaitļi ar pozitīvām un negatīvām vērtībām.

    Līdz šim mēs mācījāmies tikai pozitīvās daļas, mācoties saskaitīšanu un atņemšanu. Tagad ņemsim vērā pozitīvo un negatīvo daļu saskaitīšanu un atņemšanu.

    Vesels skaitlis - pirmie principi : Virzītu veselu skaitļu pievienošana apvieno abas summas ar informāciju, kas ņemta vērā.

    Piemēri:
    • saņemts: 3 saņemts: 3 + saņemts: 2 saņemts: 2 = saņemts: 5 saņemts: 5
    3 + 2 = 5 3 + 2 = 5

    • saņemts: 3 saņemts: 3 + dots: 2 dots: 2 = saņemts: 1 saņemts: 1
    3 + ( − 2 ) = 3 − 2 = 1 3 + ( − 2 ) = 3 − 2 = 1

    • dots: 3 dots: 3 un saņemts: 2 saņemts: 2 = dots: 1 dots: 1
    − 3 + 2 = − 1 - 3 + 2 = - 1

    • saņemts: 3 saņemts: 3 un dots: 5 dots: 5 = dots: 2 dots: 2
    3 + ( − 5 ) = 3 − 5 = − 2 3 + ( − 5 ) = 3 − 5 = − 2

    • dots: 3 dots: 3 + dots: 2 dots: 2 = dots: 5 dots: 5
    − 3 + ( − 2 ) = − 5 − 3 + ( − 2 ) = − 5

    pievienojot virzītās frakcijas

    Pievienojot divas frakcijas - 1 4 - 1 4 un 1 2 1 2.

    Frakcijas nav atšķirīgas no frakcijām, tāpēc tās vispirms tiek pārveidotas par līdzīgām frakcijām.
    - 1 4 = dots: 1 4 - 1 4 = dots: 1 4
    1 2 = saņemts: 2 4 1 2 = saņemts: 2 4

    Ņemot vērā 1 skaitu un saņemot kopā 2 skaitījumus, tiek saņemts 1 skaits.

    Tātad, - 1 4 + 1 2 = + 1 4 - 1 4 + 1 2 = + 1 4

    Pievienojot divas frakcijas 1 4 1 4 un - 1 2 - 1 2.

    Dotās frakcijas nav atšķirīgas no frakcijām, tāpēc tās tiek pārveidotas par līdzīgām daļām.

    1 4 = saņemts: 1 4 1 4 = saņemts: 1 4
    - 1 2 = dots: 2 4 - 1 2 = dots: 2 4

    Saņemtajam 1 1 skaitam un 2 2 skaitīšanas reizēm kopā tiek piešķirts 1 1 skaits.

    Tātad, 1 4 + - 1 2 = - 1 4 1 4 + - 1 2 = - 1 4

    Pievienojot divas frakcijas - 1 4 - 1 4 un - 1 2 - 1 2.

    Līdzīgas frakcijas virzītā formātā ir
    - 1 4 = dots: 1 4 - 1 4 = dots: 1 4
    - 1 2 = dots: 2 4 - 1 2 = dots: 2 4

    Dodot 1 1 un 2 2 skaitot kopā, tiek piešķirti 3 3 skaitļi.

    Tātad, - 1 4 + - 1 2 = - 3 4 - 1 4 + - 1 2 = - 3 4

    atņemt virzītos numurus

    Veselā skaitļa atņemšana - pirmie principi : Virzīta veselu skaitļu atņemšana ir summas atņemšana citam, ņemot vērā virziena informāciju.

    Piemēri:
    • no saņemtajiem: 5 saņemtajiem: 5, atņemtajiem saņēmējiem: 2 saņemtajiem: 2 ir līdzvērtīgi, apvienojot saņemtos: 5 saņemtos: 5 un dotos: 2 dotos: 2
    5 − 2 = 5 + ( − 2 ) 5 - 2 = 5 + ( - 2 )
    • no saņemtajiem: 5 saņemtajiem: 5, atņemtajiem dotajiem: 2 dotajiem: 2 ir līdzvērtīgi, apvienojot saņemtos: 5 saņemtos: 5 un saņemtos: 2 saņemtos: 2
    5 − ( − 2 ) = 5 + ( + 2 ) 5 - ( - 2 ) = 5 + ( + 2 )
    • no dota: 5 dots: 5, atņemts saņemts: 2 saņemts: 2 ir līdzvērtīgs, apvienojot doto: 5 doto: 5 un doto: 2 doto: 2
    ( − 5 ) − 2 = ( − 5 ) + ( − 2 ) ( - 5 ) - 2 = ( - 5 ) + ( - 2 )
    • no dota: 5 dots: 5, atņemot dots: 2 dots: 2 ir līdzvērtīgs, apvienojot doto: 5 dots: 5 un saņemts: 2 saņemts: 2
    ( − 5 ) − ( − 2 ) = ( − 5 ) + ( + 2 ) ( - 5 ) - ( - 2 ) = ( - 5 ) + ( + 2 )

    atņemt virzītās frakcijas

    Atņemot - 1 4 - 1 2 - 1 4 - 1 2.

    Dotās frakcijas nav atšķirīgas no frakcijām, tāpēc tās tiek pārveidotas par līdzīgām daļām.

    Atņemšana tiek pārveidota par saskaitīšanu. = - 1 4 + - 2 4 = - 1 4 + - 2 4

    Frakciju pievienošana: pirmie principi Pievienošana tiek veikta tikai tad, ja papildinājumi ir līdzīgi frakcijām.

    Visas atšķirīgās frakcijas tiek pārveidotas par līdzīgām daļām, lai veiktu saskaitīšanu.

    Daļas ir vērsti skaitļi, kuriem ir pozitīvas un negatīvas vērtības. Veicot papildināšanu, tiek ņemta vērā informācija par virzienu.

    Frakciju atņemšana: pirmie principi Atņemšana ar zemapziņu ir piedevas apgrieztās summas pievienošana.

    Pirmajos principos mēs iemācījāmies saskaitīt un atņemt frakcijas. Veselos skaitļos un veselos skaitļos mēs pētījām vienkāršotas procedūras. Pārskatīsim šīs procedūras un izstrādāsim vienkāršotu frakciju saskaitīšanas un atņemšanas procedūru.

    Veselos skaitļos mēs bijām izpētījuši sekojošo.

    Pievienošana pēc vietas vērtības ar pārgrupēšanu - vienkāršota procedūra: tiek pievienoti divi numuri saskaņā ar šādu procedūru:

    • vietējās vērtības pozīcijas ir sakārtotas vienībās zem vienībām, 10 10 s līdz 10 10 s utt.

    • vienības tiek pievienotas un, ja rezultātam ir 10 10 skaitļi, tad tas tiek nogādāts 10 10 s vietā.

    • Papildinājums tiek turpināts augstākās vietas vērtības pozīcijā. Pārnešana ir vienkāršošana, apvienojot 10 10 vietas vērtību ar augstāku vietas vērtību.

    Vienotās vienkāršotās procedūras pievienošana veselajiem skaitļiem : Divi skaitļi ar pozitīvām vai negatīvām zīmēm tiek pievienoti šādi.

    papildzīmes īpašums

    • + ve + + + ve ir vesels skaitlis

    • + ve + + -ve ir atņemšana, kā norādīts zemāk
    tiek salīdzinātas abu skaitļu absolūtās vērtības
    atņemiet mazākās absolūtās vērtības skaitu no lielākās absolūtās vērtības. Atšķirība ir rezultāta absolūtā vērtība.
    rezultāta zīme ir skaitļa zīme ar lielāku absolūto vērtību

    • -ve + + -ve ir absolūto vērtību pievienošana ar negatīvu zīmi.

    Absolūto vērtību saskaitīšana vai atņemšana procedūrā ir detalizēti aprakstīta pievienošana pēc vietas vērtības un atņemšana pēc vietas vērtības

    Vienkāršota atņemšanas veselā skaitļa procedūra : Zīme-atņemšanas skaitļa īpašība:

    Veselā skaitļa atņemšana tiek apstrādāta kā vesels skaitlis, pievienojot (a) minuend un (b) subtrahend negatīvo.

    minuend - subtrahend minuend - subtrahend
    = minuend kā addend = minuend kā addend + negatīvs subtrahend kā addend + negatīvs subtrahend kā addend

    Konvertēt atšķirībā no Patīk frakcijas Procedūru vienkāršošana ir šāda.
    Tiek dotas divas frakcijas p q p q un l m l m. Atrodiet saucēju q q un m m LCM tā, lai LCM = q × i = m × j LCM = q × i = m × j. Pēc tam frakcijas pārvērš ekvivalentās daļās p × i q × i p × i q × i un l × j m × j l × j m × j. Tās ir kā frakcijas.

    Frakciju saskaitīšana vai atņemšana: vienkāršota procedūra Konvertējiet atšķirīgās frakcijas līdzīgajās daļās un saskaitiet / atņemiet skaitītājus kā veselus skaitļus.

    Skaitītāja saskaitīšana un atņemšana no veseliem skaitļiem un veseliem skaitļiem izmanto sekojošo

    • Paraksta rekvizīta skaitļa rekvizīts

    • Atņemšana ir piedevas apgrieztā pievienošana

    • Veseli skaitļi Pievienošana pēc Vietas vērtības

    Atrodiet summu 323 999 323 999 un 297 999 297 999.
    Atbilde ir "620 999 620 999".

    Šajā problēmā tiek izmantotas šādas procedūras
    Visa skaitļa pievienošana pēc vietas vērtības

    Atrodiet summu - 3 8 - 3 8 un 2 6 2 6.
    Atbilde ir "- 1 24 - 1 24".

    Šajā problēmā tiek izmantotas šādas procedūras
    pārvēršana līdzīgās daļās
    paraksta rekvizītu vesels skaitlis

    Atrodiet summu 1 1 un - 1 4 - 1 4.
    Atbilde ir "3 4 3 4". Lai atrisinātu šo problēmu, frakcijas tiek pārveidotas par līdzīgām daļām un tiek izmantots vesela skaitļa pievienošanas parakstīts rekvizīts.

    Atrodiet starpību - 3 8 - 2 6 - 3 8 - 2 6.
    Atbilde ir "- 17 24 - 17 24"

    Šajā problēmā tiek izmantotas šādas procedūras
    pārvēršana līdzīgās daļās
    atņemšanas pārvēršana par subtraekta negatīvās pievienošanu
    paraksta rekvizītu vesels skaitlis

    Atrodiet summu 1 - - 1 4 1 - - 1 4
    Atbilde ir "1 1 4 1 1 4".

    »Konvertējiet frakcijas līdzīgām daļām un pievienojiet skaitītājus
    → atņemšana ir atgriezeniskā saskaitīšana
    3 4 + 2 3 3 4 + 2 3
    = 9 12 + 8 12 = 9 12 + 8 12
    = 17 12 = 17 12

    Frakciju saskaitīšana vai atņemšana: vienkāršota procedūra Pārvērsiet atšķirīgās frakcijas līdzīgajās daļās un saskaitiet / atņemiet skaitītājus.

    Skaitītāja saskaitīšana un atņemšana no veseliem skaitļiem un veseliem skaitļiem izmanto sekojošo


    Pamata frakcijas: frakciju atņemšana (2. daļa)

    Šajā sadaļā jūs iemācīsities atņemt daļu no jaukta skaitļa vai vesela skaitļa.

    Lūdzu, pārskatiet šīs sadaļas, ja nepieciešams:

    Frakcijas atņemšana no jauktā skaitļa

    Ņemiet vērā, ka daļām ir vienādi saucēji un pirmā daļa ir lielāka nekā otrā:

    1. darbība: pierakstiet visu skaitli, nemainot to.

    2. solis: Veiciet frakciju atņemšanu.

    3. darbība: pievienojiet rezultātu visam iepriekš rakstītajam skaitlim:

    Šajā piemērā frakcijām ir vienādi saucēji, bet pirmā daļa ir mazāka par otro.

    Vispirms ir jāmaina jauktais skaitlis šādi:

    Samaziniet visu skaitli par 1.
    Mainiet 1 par daļu, lai pievienotu sākotnējai daļai.
    Tagad jums ir jauns jauktais skaitlis ar nepareizu daļu.

    Kas ir viegli atņemams!

    Šajā piemērā frakcijām ir atšķirīgi vai atšķirīgi saucēji.

    Pirmais, kas jādara, ir mainīt frakcijas uz tām līdzvērtīgām frakciju formām, lai tām būtu līdzīgi saucēji.

    Pārejiet caur attiecīgajām reizināšanas tabulām, līdz jums ir kopīgi daudzkārtņi. Šajā piemērā kopējais daudzkārtnis ir 15.

    Izmantojiet ekvivalentās frakcijas, lai atņemtu:

    Piezīme: Ja pirmā daļa ir mazāka par otro, izpildiet iepriekš parādīto 2. piemērā aprakstīto procedūru.

    Frakcijas atņemšana no visa skaitļa

    Galvenā ideja atņemt daļu no vesela skaitļa ir sadalīt vienu no veselajiem skaitļiem vajadzīgajā porciju skaitā.


    3.3. Vizualizēt frakcijas (2. daļa)

    Darbs ar frakciju skittles un frakciju lokiem skolēniem ir devis iespēju izpētīt frakcijas, izmantojot gan redzes, gan taustes maņas. Šis pētījums studentiem nodrošina konkrētu veidu (metodi) materiāla izmantošanai tik bieži, cik nepieciešams, lai izprastu šo jēdzienu. Nākamais solis ir lieluma saistīšana ar simbolu. Simbols vai frakcijas rakstiskā forma ir abstraktāks mācību jēdziens, ko ir atbalstījusi pieredzes mācīšanās, kas notikusi ar ķemmītēm un ieliktņiem.

    Frakciju ekvivalences (vai ekvivalenti) ir frakcijas, kas apzīmē to pašu daudzumu. Tomēr tie ir rakstīti atšķirīgi, jo veselums nav sadalīts vienā un tajā pašā daļu skaitā. Piemēram, 2/4 ir ekvivalents 4/8, bet pirmajā gadījumā viss tiek sadalīts ceturtdaļās, bet otrajā - astotajās daļās.

    Studenti 1.-3. Gadā atrod līdzvērtības, manipulējot ar frakciju apļiem. Tas ierobežo līdzvērtību skaitu, ko viņi var atrast. Ekvivalences kopas, kuras var attēlot, izmantojot frakciju apļus, ir parādītas zemāk redzamajā diagrammā.

    Lai labāk izprastu skaitītāja un saucēja jēdzienu un redzētu, kā tiek rakstītas frakcijas, izmantojot simbolus.

    Frakciju apļi
    Mazas papīra lapiņas
    Pildspalva vai zīmulis
    Matemātikas žurnāli un zīmuļi

    Lielākā daļa Montesori skolotāju piedāvā šo koncepciju 1. gadā un pārskata to 2. gadā un pēc vajadzības 3. gadā.
    - Aiciniet kādu studentu turpināt mācīties par skaitītājiem un saucējiem un par to, kā tiek rakstītas frakcijas.
    - Palūdziet studentam iegūt frakciju apļus un novietojiet tos darba zonas augšpusē.
    - Sakiet: "Kad mēs rakstām daļu, mēs novilkam līniju." Uz lapiņas uzzīmējiet līniju un norādiet uz to. Atgādiniet studentam, ka šo līniju sauc par frakciju.
    - Sakiet: Mēs uzrakstām vienu numuru augšpusē un vienu numuru apakšā. "Uzrakstiet numuru augšpusē un numuru apakšā. Izmantojiet vienkāršu daļu, kuru students iepriekš dzirdējis, piemēram, 1/2.
    - Sakiet: "Mēs esam iemācījušies, ka apakšā esošais skaitlis mums norāda frakciju saimi un to, cik gabalos viss ir sadalīts. To sauc par saucēju."
    - Mudiniet studentu norādīt uz frakcijas apli, ko pārstāv saucējs. Frakcijai 1/2 šī būs pusīšu saime un daļām frakcijas aplis.
    - Sakiet: "Augšdaļā esošais skaitlis norāda, cik gabali tiek apsvērti. To sauc par skaitītāju."
    - Palūdziet studentam izņemt frakcijas ieliktni (-us), kas apzīmē skaitītāju. Par daļiņu 1/2 students izņem vienu no pusītēm.
    - Palūdziet studentam studentam novietot frakcijas gabalu (-us) uz galda vai paklāja, lai izveidotu frakciju. Attiecībā uz frakciju 1/2 students vienkārši novieto vienu frakcijas gabalu uz paklāja. Tādai daļai kā 2/5 students blakus novietos atbilstošo skaitu frakciju ieliktņu.
    - Atkārtojiet ar citām daļām, līdz skolēns labi izprot, kā tiek rakstītas frakcijas.
    - Palūdziet studentam ierakstīt daļu savā žurnālā. Palūdziet viņam / viņai iezīmēt augšējo skaitli “skaitītājs” un apakšējo skaitli “saucējs”. Jaunāki studenti tos var vienkārši apzīmēt ar “N” un “D”.
    - 2. un 3. gadā palūdziet studentam savā žurnālā ierakstīt skaitītāja, lūzuma un saucēja definīciju. Saucējs: Cik gabalos tiek sadalīts veselums. Skaitītājs: Cik gabali tiek apsvērti. Fractus: Līnija starp skaitītāju un saucēju.

    Klasē atrodiet trīs veselus priekšmetus vai grupas un nosauciet tajos esošās frakcijas.
    Piemērs: Visā krēslu komplektā ir desmit krēsli, trīs zaļi un septiņi melni. Šajā gadījumā 3/10 krēslu ir zaļi, bet 7/10 melni.
    Piemērs: Visā klasē ir trīs durvis, divas slēgtas un vienas atvērtas. Šajā gadījumā 2/3 durvju ir aizvērtas un 1/3 ir atvērtas.

    Lai iemācītos saistīt daudzumu ar rakstisko formu daļām 1/1 līdz 10/10

    Frakciju apļi
    Frakcijas paslīd
    Matemātikas žurnāli un zīmuļi

    Lielākā daļa Montesori skolotāju piedāvā šo koncepciju 1. gadā un pārskata to 2. gadā un pēc vajadzības 3. gadā.
    - Aiciniet studentu uzzināt vairāk par frakcijām rakstiskā formā. Palūdziet studentam izgūt frakciju apļus un novietot tos vienā rindā darba zonas augšpusē.
    Piezīme: Var būt nepieciešams mācīt simbolus vairāk nekā vienā sesijā.

    1. daļa: Daudzuma saistīšana ar simbolu, 1/1 līdz 1/10

    - Izklājiet frakcijas biļetes no 1/1 līdz 1/10 uz galda vai paklāja īpašā secībā.
    - Izņemiet visu Fraction Circle ieliktni no rāmja un sakiet: "Šis ir viens vesels".
    - Pajautājiet studentam, vai viņš / viņa zina, kura frakcijas biļete pārstāv vienu veselumu (1/1). Ja viņš / viņa nezina, ielieciet frakcijas biļeti 1/1 blakus visai ieliktnei.
    - Paskaidrojiet, kā frakcijas 1/1 rakstiskā forma ir vienāda ar 1 (viens vesels). Sīkāk paskaidrojiet, kā daļēji 1/1 patiesībā nozīmē, ka skaitītājs 1 tiek dalīts ar saucēju 1.
    - Pajautājiet viņam / viņai, kas 1 dalīts ar 1 ir vienāds (1). Pārliecinieties, ka viņš / viņa ir pareizi.
    - Uzaiciniet viņu / viņas pārvietot frakcijas biļeti par 1/1 zem ieliktņa.
    - Palūdziet studentam savā matemātikas žurnālā nokopēt viena veseluma simbolu.
    - Palūdziet studentam noņemt ieliktņa pusītes no rāmja un novietot to zem tāfeles un pa labi no visa ieliktņa.
    - Mudiniet studentu atrast daļiņu biļeti daļai.
    - Ja nepieciešams, palīdziet studentam, atgādinot viņam par saucēju (frakciju saimi) un skaitītāju un to, cik gabalu (vai ģimenes locekļu) jums ir.
    - Palūdziet viņam / viņai ievietot frakcijas biļeti zem frakcijas gabala.
    - Pārliecinieties, ka viņš / viņa ir pareizs.
    - Palūdziet studentam savā matemātikas žurnālā nokopēt simbola pusi.
    - Turpiniet tādā pašā veidā ar frakcijām 1/3 līdz 1/10.

    2. daļa: Daudzuma saistīšana ar simbolu, 1/1 līdz 1/10

    Uz galda vai paklāja izklājiet daļējas biļetes par 1/1 līdz 10/10, lai students redzētu katru no tām. Skolotājs var nevēlēties izkārtot izvēlētās biļetes (piemēram, desmit daļu biļetes), nevis visas, lai skolēnam būtu vieglāk atrast pareizo biļeti.
    - Izmantojot frakcijas apļa gabalus, izveidojiet tādu frakciju kā 4/7.
    - Aiciniet studentu atrast atbilstošo biļeti un novietojiet to zem daļām.
    - Ja nepieciešams, uzdodiet studentam, atgādinot viņam par saucēju un frakciju saimi, skaitītāju un to, cik daudz jums ir gabalu (vai ģimenes locekļu).
    - Palūdziet studentam pateikt frakcijas nosaukumu, piemēram, četras septītās daļas, un pēc tam ierakstiet daļu savā matemātikas žurnālā.
    - Mudiniet studentu ievietot frakcijas gabalus atpakaļ savā rāmī un atgriezt frakcijas biļeti grozā.
    - Turpiniet tāpat kā iepriekš ar citām daļām (piemēram, 5/5), mudinot studentu atrast atbilstošās frakcijas biļetes.
    Piezīme: Kad students ir kompetents saskaņot biļetes frakcijām, nolieciet biļetes un lūdziet studentu tā vietā uzrakstīt frakcijas.

    Kopā ar klasesbiedru konstruējiet frakcijas, lai tās varētu apzīmēt.

    Lai iemācītos saistīt rakstisko veidlapu ar daļu no 1/1 līdz 10/10 daļai

    Frakciju apļi
    Frakciju biļetes
    Matemātikas žurnāli un zīmuļi

    Lielākā daļa Montesori skolotāju piedāvā šo koncepciju 1. gadā un pārskata to 2. gadā un pēc vajadzības 3. gadā.

    - Aiciniet studentu turpināt mācīties par daļām rakstiskā formā.
    Piezīme: Var būt nepieciešams izplatīt šo prezentāciju divās vai vairākās sesijās atkarībā no tā, cik ātri students uztver koncepciju.

    1. daļa: Simbola saistīšana ar daudzumu, 1/1 līdz 1/10

    - Palūdziet studentam izvēlēties grozā biļeti (piemēram, 1/4).
    - Palūdziet studentam skaļi nolasīt daļu. Treneris, ja nepieciešams.
    - Aiciniet studentu izdarīt daļu, kas atbilst biļetei, noņemot no tāfeles atbilstošo rāmi un ievietojot to paklājā. Ja nepieciešams, pārrunājiet ar studentu, kā saucējs mums stāsta frakciju saimi un kuru rāmi izvēlēties (ceturtdaļas). Tad students noņem pareizo gabalu skaitu (1) un novieto to uz paklāja virs frakcijas biļetes.
    - Kad students ir pareizi izveidojis daļu, lūdziet viņam izsekot frakcijas gabalus savā matemātikas žurnālā un iezīmējiet daļu zem zīmējuma.
    - Palūdziet studentam atgriezt daļiņas un rāmi uz tāfeles.
    - Aiciniet studentu izvēlēties citu biļeti (piemēram, 1/7). Mudiniet studentu turpināt tādā pašā veidā, līdz viņš ir kompetents frakciju saskaņošanā.

    2. daļa: Simbola saistīšana ar daudzumu, 1/1 līdz 1/10

    - Aiciniet studentu izvēlēties biļeti no groza (piemēram, 7/10).
    - Palūdziet studentam skaļi nolasīt daļu.
    - Mudiniet studentu izgatavot daļu, kas atbilst biļetei, noņemot no tāfeles atbilstošo rāmi, lai attēlotu saucēju, un novietojot to uz paklāja (desmitdaļas).
    - Palūdziet studentam noņemt pareizo gabalu skaitu, lai attēlotu skaitītāju (7), un novietojiet tos kopā virs frakcijas biļetes.
    - Pārliecinieties, ka viņš ir pareizi.
    - Palūdziet studentam izsekot frakcijas gabalus savā matemātikas žurnālā un iezīmējiet daļu zem zīmējuma.
    - Mudiniet studentu atgriezt daļiņas un rāmi uz tāfeles.

    Atrodiet klasesbiedru, ar kuru praktizēt frakciju rakstīšanu. Pēc kārtas izvēlieties frakcijas biļetes no groza un lasiet tās viena otrai. Persona, kas nelasa, pareizi ieraksta daļu savā žurnālā.

    Izmantojiet lineālu, lai papīra lapu sadalītu trīs kolonnās. Pirmajā kolonnā ierakstiet daļu ar vārdiem, piemēram, "viena puse". Vidējā kolonnā uzzīmējiet frakcijas attēlu, piemēram, ēnojot vienā apļa vai kvadrāta pusē. Labās puses kolonnā ierakstiet frakcijas simbolu, piemēram, 1/2. Izmantojiet lineālu, lai zem darba uzzīmētu horizontālu līniju, un turpiniet ar citu daļu. Atkārtojiet šo vingrinājumu šīm daļām: veselam, pusei, trim ceturtdaļām un fiksējiet astotdaļas.

    Palūdziet kādam studentam atvest no patversmes gan frakcijas apļa ieliktni (-es), gan frakcijas biļeti noteiktai daļai (piemēram, 1/8).

    Lai uzzinātu, kā atrast frakciju ekvivalences

    Frakciju apļi
    Matemātikas žurnāli un zīmuļi

    Lielākā daļa Montesori skolotāju piedāvā šo koncepciju 1. gadā un pārskata to 2. gadā un pēc vajadzības 3. gadā.

    Aiciniet kādu studentu uzzināt, kā atrast frakciju ekvivalences. Palūdziet studentam izgūt frakciju apļus un novietot tos darba zonas augšdaļā.

    1/1 ekvivalentu atrašana

    - Pārvietojiet frakcijas riņķa rāmjus un ieliktņus veselam un uz pusēm līdz darba zonas vidum.
    - Norādiet uz katru kadru un nosauciet to.
    - Izņemiet visu ieliktni no rāmja un novietojiet to zem rāmjiem.
    - Parādiet studentam, kā abas pusītes lieliski iederas visa ieliktņa vietā.
    - Atgrieziet abus ieliktņus uz rāmja pusēm.
    - Nolieciet trešo rāmi un ieliktņus uz leju un novietojiet rāmi pa labi no pusrāmja.
    - Palūdziet studentam uzzināt, cik trešdaļu gabalu ietilpst visā kadrā (3). Pārliecinieties, ka viņa / viņa ir pareiza.
    - Palūdziet studentam turpināt tādā pašā veidā visu frakciju apļu ieliktņus līdz 10/10.
    - Paskaidrojiet viņai, ka, kaut arī rāmis sastāv no dažādām daļām, daļas aptver vienu un to pašu vietu, tāpēc mēs to saucam par līdzvērtīgām daļām (vai frakciju ekvivalentiem).
    - Palūdziet studentam savā matemātikas žurnālā ierakstīt šīs līdzvērtīgās daļas (piemēram, 1/1 = 2/2 - 3/3 = un tā tālāk).
    - Mudiniet studentu atgriezt ieliktņus rāmjos un rāmjus uz tāfeles.

    1/2 ekvivalences atrašana

    - Pārvietojiet frakcijas apļa rāmi un ieliktņus uz pusēm uz darba zonas vidu.
    - Norādiet uz rāmi un nosauciet ieliktņus (pusītes).
    - Noņemiet vienu ieliktņa daļu no rāmja un novietojiet to atpakaļ uz dēļa. Rāmja kreisā puse paliek tukša, lai to varētu aizpildīt, lai iegūtu līdzvērtības.
    - Mudiniet studentu atrast 1/2 ekvivalentu, vienlaikus izmantojot daļiņas tikai no viena kadra, katru reizi ierakstot līdzvērtīgo daļu savā žurnālā.
    - Kad students atrod līdzvērtību, piemēram, 2/4, kas iekļaujas rāmī ar pusīšu ieliktni, mudiniet studentu arī pamanīt, ka pusītes ieliktnis iekļaujas tāfeles ceturtajā rāmī atstātajā vietā.
    - Mudiniet studentu atrast visas 1/2 līdzvērtības. (Tie ir 2/4, 3/6, 4/8 un 5/10.)
    - Kad students ir atradis visas 1/2 līdzvērtības, mudiniet studentu atgriezt ieliktņus rāmjos un rāmi (-us) uz tāfeles.

    1/3, 1/4 un 1/5 ekvivalentu atrašana

    - Noņemiet trešās rāmi no dēļa un novietojiet to uz paklāja. Aiciniet studentu izņemt vienu trešdaļu no frakciju apļa un ievietot to uz tāfeles, atstājot vienu trešdaļu frakciju apļa atvērtu, lai saņemtu līdzvērtības.
    - Mudiniet studentu meklēt līdzvērtību 1/3, katru reizi ierakstot līdzvērtīgas daļas savā žurnālā. Tie ir 2/6 un 3/9.)
    - Kad students ir atradis gan 1/3 ekvivalentu, mudiniet studentu atgriezt ieliktņus rāmjos un rāmi uz tāfeles.
    - Atkārtojiet vingrinājumu ceturtajam frakciju lokam (1/4 = 2/8).
    - Atkārtojiet vingrinājumu piekto frakciju apli (1/5 = 2/10).

    Aiciniet studentu izmantot frakciju apļus, lai atrastu vienu ekvivalenci katrai no šīm daļām: 2/3, 3/4, 3/5.

    Aiciniet kādu studentu uz papīra lapas uzrakstīt visas 1/2 ekvivalences ar skaitītājiem vienā kolonnā un saucējiem blakus esošajā kolonnā, kā parādīts zemāk. Pētiet paraugu katrā kolonnā, lai noskaidrotu nākamās divas ekvivalences.


    Frakcijas darblapas

    Tālāk esošajās lappusēs ir pieejami vairāku veidu frakciju darblapu veidi. Ietver pamata frakciju darblapas, līdzvērtīgas frakcijas, frakciju salīdzināšanu, pasūtīšanas frakcijas un daudz ko citu.

    Drukājamas frakciju spēles un izdrukājamas darblapas Manipulatīvās frakciju sloksnes, izdrukājamas frakciju picas, atmiņai atbilstoša spēle un citas.

    Šajā lapā ir darblapas un darbības, kas paredzētas studentu mācīšanai par līdzvērtīgām daļām un frakciju samazināšanu vienkāršākajos terminos.

    Salīdziniet un pasūtiet frakciju pārus ar šīm uzdevumu kartītēm, mācību centra darbībām un darblapām.

    Visās šajās darblapās skaitļu rindās ir frakcijas.

    Lejupielādējiet un drukājiet darbības, aprēķinot kopu daļas. (piemērs: Kas ir 3/4 no 24?)

    Jaukto numuru izdrukājami Ietver jauktos skaitļus, kā arī jaukto skaitļu saskaitīšanu un atņemšanu.

    Drukājiet darba lapas, lai uzzinātu par savstarpējām frakcijām.


    Sejas laika videoklipi - 4. nodaļa (3. vienība)

    Daļa Palīdzības video 3.1 Frakcijas līdz decimāldaļām 3.1 Frakciju konvertēšana decimāldaļās ar garu dalījumu vai vēsu frakciju viltību 3.1. Decimāldaļu konvertēšana uz daļām - 1. daļa 3.1. Decimāldaļu konvertēšana uz daļām - 2. daļa 3.2. Frakciju salīdzināšana 3.3 Decimāldaļu saskaitīšana un atņemšana 3.3. Saskaitīšana un atņemšana (īsa dziesma) 3.3. Decimāldaļu pievienošana (HELP) 3.3. Decimāldaļu atņemšana (HELP) 3.4 Decimāldaļu reizināšana, izmantojot režģus (Help2) 3.4. Decimāldaļu reizināšana, izmantojot režģus (modeļi / masīvi) 3.4 Decimālu reizināšana, izmantojot režģus (modeļi / masīvi) (palīdzība) 3.4. Decimāldaļu reizināšana 3.4. Decimāldaļu reizināšana (HELP-1) 3.4. Reizināšana ar decimāldaļām (HELP-2) 3.4. Reizināšana ar decimāldaļām (3. palīdzības lodziņa metode) 3.5. Decimāldaļu sadalīšana garajā divīzijā - HELP 3.6. Operāciju kārtība 3.6. Operāciju secība ar decimāldaļām (K) 3.6. Decimāldaļu dalīšana (HELP-1) 3.7. Saistošās daļas, decimāldaļas un procenti (K) 3.8. Procentuālo problēmu risināšana (K)

    Kā izskaidrot KS2 frakcijas bērniem: palīdziet matemātikas mācīšanai mājās

    Runājot par matemātikas mācīšanu mājās, tas, iespējams, lielākoties cīnīsies ar jūsu bērniem un jums. Tā kā vārdi, piemēram, skaitītājs, nepareiza, vinculum un citi, iekļaujas mājas darbos un skolas ziņojumos, dažkārt pat tādu vārdu skaits, kas attiecas uz bērniem paredzētajām daļām, vecākiem var šķist nedaudz pārliecinošs.

    Zināt, kā iemācīt bērnam frakcijas mājās, var būt vienkārši grūti. Bet, mācījuši skolās un mājās, mēs esam bijuši tur un darījuši to un varam jūs tagad nomierināt, un jums ir ceļš, jums tas ir jāsper soli pa solim.

    Daļas īsumā & # 8211 Lietas, kuras, iespējams, esat aizmirsis kopš skolas laikiem!

    Mēs saprotam, ka frakcijas var radīt vilšanos gan jums, gan jūsu bērnam, tāpēc šeit ir viss, kas jums par tiem jāzina īsi!

    Kas ir daļa?

    Frakcijas tiek izmantotas, lai attēlotu mazākus veseluma gabalus (vai daļas).

    Daļas var veidot vienu vai vairākas lietas. Jebkurā gadījumā viņi veido tā saukto a vesels.

    Ir svarīgi atzīmēt, ka a vesels var nozīmēt vairāk nekā vienu lietu. Ir lietderīgi domāt par saldumu veikalu kā līdzību. Lai dalītu vienreizēju veselu daudzumu, varat iedomāties šokolādes tāfelīti, kūku batoniņu vai smalkmaizīti. Lai sagrupētu daudzumu daļās, varat iedomāties konfekšu maisu & # 8211 maisā ir daudz saldumu, bet jums ir vajadzīgi visi, lai izveidotu vesels soma.

    Kas ir bērniem draudzīga daļas definīcija?

    Vienkārša frakcijas definīcija bērniem ir:

    Daļa ir jebkura grupas daļa, skaitlis vai veselums.

    Kādas ir frakcijas daļas?

    Frakcijai ir trīs daļas. Viņi ir:

    Skaitītājs kas ir skaitlis virs joslas.

    Saucējs kas ir skaitlis zem joslas.

    Vinculum kas ir josla, kas atdala abus skaitļus.

    Kas ir vienības daļa?

    Vienības daļa, kuras skaitītājs ir 1 (augšējais skaitlis), un saucēja veselais skaitlis (apakšējais skaitlis).

    Kas ir daļa, kas nav vienība?

    Daļa, kas nav vienība, ir daļa, kuras skaitītājs ir skaitlis, kas lielāks par vienu (augšējais skaitlis), un saucēja veselais skaitlis (apakšējais skaitlis).

    Objektu izmantošana frakciju vizualizēšanai

    Sākot mācīt bērniem frakcijas, priekšmeti vai priekšmetu attēli ir lielisks veids, kā saprast, kā viņi strādā.

    Sāciet ar konkrētiem priekšmetiem, piemēram, pārtiku vai letes & # 8211, letes vietā varat izmantot makaronu gabaliņus vai žāvētas pupiņas & # 8211, pēc tam zīmējiet tos kā attēlus.

    Kad esat to nokārtojis, varat tos attēlot, izmantojot racionālus skaitļus (izdomāts nosaukums daļām). Mācoties frakcijas šādā secībā, vēlāk ir vieglāk noteikt dabisko skaitļu daļas.

    Vissvarīgākais, kas jāatceras, strādājot ar frakcijām, ir iet lēni.

    Ir tik daudz apstrādājamas informācijas! Pat ja kaut kas šķiet viegls, veltiet vairāk laika, lai patiešām saprastu frakciju pamatjēdzienus. Tas padarīs dzīvi daudz vieglāku, kad nāksies saskarties ar sarežģītākām problēmām, kas saistītas ar konvertēšanu starp daļām, decimāldaļām un procentiem vēlāk.

    Uzziniet vairāk par to, kāpēc matemātikā izmantojam konkrētus resursus.

    Pievienojieties trešajam kosmosa mācību matemātikas centram

    Lai pārlūkotu visu mūsu bezmaksas un augstākās klases matemātikas resursu kolekciju skolotājiem un vecākiem, reģistrējieties, lai pievienotos trešajam matemātikas centram Space Learning. Tas ir ātri, viegli un bez maksas! (Lūdzu, izmantojiet Google Chrome, lai piekļūtu Matemātikas centram)

    Frakciju piemēri ikdienas dzīvē

    Jūs pat nevarat pamanīt, bet mums apkārt ir daļiņas! Daži ikdienas frakciju piemēri:

    • Sadalot rēķinu restorānā uz pusēm, trešdaļām vai ceturtdaļām
    • Izstrādāt cenu salīdzinājumus lielveikalā, kad kaut kas ir par puscenu
    • Nosakot daudzumus virtuvē, piemēram, recepte varētu kalpot 10 cilvēkiem, bet ēd tikai 4, un tas nozīmē, ka pareizās summas noteikšanai būs nepieciešamas daļiņas
    • Skaitot naudas summas
    • Skatoties laikā! Pusstunda un ceturtā pagātne ir kopīgas lietas, ko dzirdēt laika ziņā!

    Kāpēc sākumskolas matemātikā frakcijas ir tik sarežģītas?

    Pirmajos skolas gados jūs uzzināt, kā darbojas skaitļi. Jūs uzzināsiet, kā skaitīt, un ka skaitlis 1 ir vienāds ar vienu objektu, 2 ir vienāds ar diviem objektiem utt.

    Jūs uzzināt, ka skaitot, skaitļiem ir lielāka vērtība. Un tad, kad domājat, ka esat nokārtojis numurus, uzzināt, ka tur ir arī cita veida numuri frakcijas .

    Bērnībā jūs joprojām saprotat pasauli. Tātad, apgūstot noteikumu kopumu (piemēram, kā skaitīt ar pozitīviem veseliem skaitļiem), jūs turaties pie tiem. Problēma? Kad jūs sastopaties ar lietām, kas neatbilst noteikumiem, to ir daudz grūtāk saprast.

    Pozitīvi veseli skaitļi (piemēram, 1, 2 vai 65) ir vienkārši. Viņi iegūst lielāku vērtību, pieaugot, un vienmēr nozīmē to pašu (1 vienmēr nozīmē 1, bet 2 vienmēr nozīmē 2). Viņi ir pazīstami arī kā dabiskie skaitļi . Frakcijas ir pazīstamas kā racionāli skaitļi , un viņi ievēro dažādus noteikumus.

    Īsāk sakot, sapratne par to, kā veikt frakcijas, sākumskolas vecuma bērniem var būt sarežģīta.

    Frakcijas ne vienmēr nozīmē vienu un to pašu. ½ kūkas nav tas pats, kas ½ no trim kūkām, vai ½ no maisiņa ar 12 saldumiem! Tas ir pirmais šķērslis & # 8211 frakcijas vērtība mainās atkarībā no tā, cik liela ir skaitītājs (augšējais numurs) ir. Otrkārt, ja apakšējais skaitlis (saucējs) frakcijā kļūst lielāks, vērtība samazinās . Papildus tam frakciju nosaukumi ne vienmēr izklausās pēc skaitļa, ko tie pārstāv, piemēram, kā astotais priekš vai a ceturksnī par ¼.

    Ir pieejams lielāks atbalsts matemātikai mājās:

    Kas manam bērnam jāzina par KS1 un KS2 daļām?

    Tā kā bērniem sākumskolā gadu no gada mainās daļiņas, emuārā ir daudz kas jāiekļauj, taču, lai palīdzētu jums, mēs to sadalījām katru gadu.

    Kā palīdzēt iemācīt bērnam frakcijas KS1

    KS1 gandrīz vissvarīgākā lieta, ar kuru jūs varat atbalstīt savu bērnu, ir viņa izpratne par to, ka daļa ir veseluma sastāvdaļa. Un vienības daļa ir vienāda veseluma daļa. Ja viņi to var saprast, viņi var virzīties uz priekšu.

    Kā palīdzēt iemācīt bērnam frakcijas 1. gadā

    Runājot par daļām, 1. gads ir viss, kas nepieciešams, lai tiktu galā ar pamatiem.

    Frakcijas 5 vai 6 gadus vecam bērnam ir par to, kā izmantot objektus, lai atrastu tādas vienkāršas frakcijas kā ½ un ¼. Labā ziņa ir tā, ka šajā vecumā ar frakcijām var būt daudz prieka!

    Esiet radošs, palīdzot viņiem izstrādāt frakcijas

    Demonstrējot dalīšanos pa pusēm vai ceturtdaļām, ir vitāli svarīgi parādīt, ka kaut kas tiek dalīts vienādās daļās. To darot, jūsu bērns varēs vizualizēt, kas notiek, kad veidojat daļu, un tas palīdzēs viņu izprast.

    Playdough ir lieliska vieta, kur sākt, palīdzot bērnam izstrādāt frakcijas jaunībā, jo tā ir kaļama un viegli pielāgojama dažādās frakcijās.

    Tomēr pamatmācību klasēs iecienīts ir ēdiena izmantošana, lai attēlotu frakcijas, un to jūs varat darīt kopā ar savu bērnu vakariņu laikā, ja ēdienkartē ir pica!

    Atcerieties uzsvērt, ka katrai picas šķēlei ir jābūt vienāda lieluma.

    Šis ir vienkāršs frakcijas vizuāls attēlojums, un to var pielāgot, lai to izmēģinātu arī ar ¼.

    Jūs varat izmantot jebkuru ēdienu, kuru ir viegli sadalīt, taču, kamēr to darāt, noteikti izmantojiet frakciju valodu ( pusītes, ceturtdaļas un sadalīt ).

    Skaitļi, ar kuriem jūsu bērns strādās 1. gada daļās

    1. gadā jūsu bērns lielākoties koncentrēsies uz skaitļiem 0-20, bet viņi var strādāt arī pie dažiem konkrētiem lielākiem skaitļiem, kurus šajā vecumā ir viegli novērst. Piemēram, viņi var jums pateikt, ka puse no 100 ir 50 vai viena ceturtdaļa no 100 ir 25.

    Kā palīdzēt bērnam mācīt frakcijas 2. gadā

    2. gadā pastāvīgi koncentrējas uz garumu, formu un objektu kopu atrašanu.

    Frakcijas 6 vai 7 gadus vecam bērnam nozīmē turpināt izmantot fiziskus priekšmetus, lai palīdzētu viņiem vizualizēt frakcijas, tāpēc tagad ir laba iespēja izspiest skaitītājus (vai piemērotu aizstājēju), lai veiktu kādu vienkāršu praksi!

    Viņi arī uzzinās, ka arī dažas frakcijas ir līdzvērtīgas & # 8211, piemēram, 2 /4 ir tāds pats kā ½ vai 2 /6 ir tas pats, kas ⅓.

    Lūk, kā to izskaidrot, vienkārši izmantojot letes (makaroni vai žāvētas pupiņas ir piemērots aizvietotājs no skapja).

    Lai palīdzētu jūsu bērnam pilnībā noskaidrot līdzvērtīgas daļas, norādiet tos visur, kur vien iespējams (īpaši ½ un 2 /4 šajā posmā), jo šī atkārtotā atkārtošanās viņiem palīdzēs praktizēties, līdz viņi pilnveidos savas zināšanas.

    Vēl viens vienkāršs veids, kā praktizēt, ir ēnojums dažādās formas daļās, piemēram:

    Šī vienkāršā, tomēr vizuālā metode ir lielisks veids, kā jūsu bērns var strādāt ar savām frakcijām 2. gadā.

    Kā palīdzēt iemācīt bērnam frakcijas KS2

    KS2 ir laiks, kad frakcijas var kļūt nedaudz stingrākas jūsu bērnam, taču, izmantojot visu tālāk sniegto palīdzību, jums nebūs nekādu problēmu, palīdzot viņiem uzzināt visu par frakcijām mājās!

    Kā palīdzēt bērnam mācīt frakcijas 3. gadā

    Frakcijas 7 un 8 gadus veciem bērniem 3. gadā ietver to, ka viņi sāk attālināties no priekšmetu izmantošanas, lai saprastu frakcijas.

    Strādājot ar frakcijām, viņi joprojām izmantos dažus vizuālos palīglīdzekļus, taču vairāk uzmanības tiek pievērsts tam, lai saprastu, kā arī rakstīt frakcijas kā racionālus skaitļus (formu, kādā esat pieradis tos redzēt).

    Sānu piezīme & # 8230 dalījuma simbols izskatās kā ➗, jo tas parāda frakcijas joslu (vai & # 8211 tā īsto vārdu & # 8211 vinculum) ar punktu virs un zem tā augšējais punkts apzīmē trūkstošo skaitītāju, bet apakšējais punkts apzīmē trūkst saucēja. Pats dalīšanas simbols ir pastāvīgs atgādinājums par saikni starp daļām un dalīšanu!

    Līdzvērtīgas daļas 3. gadā

    Šajā vecumā bērniem jāzina arī dažas līdzvērtīgas daļas ar maziem saucējiem un jāspēj tās sakārtot.

    Līdzvērtīgas daļas ir īsts lēciens daudziem bērniem, un lielākajai daļai skolotāju tas šķiet īsts klupšanas akmens daudziem bērniem viņu klasēs.

    Tomēr ir trīs noteikti veidi, kā palīdzēt jūsu bērnam saprast, kā 3. gadā veikt līdzvērtīgas frakcijas, un jūs tos varat redzēt zemāk!

    Ekvivalenta frakcija

    Šī ir vienkārša, tomēr ļoti efektīva darbība, kas var palīdzēt jūsu bērnam vizualizēt līdzvērtīgas daļas tā, lai viņi to saprastu.

    Kā vadīt darbību

    1. Dodiet savam bērnam trīs vienāda lieluma bumbiņas ar mīklu.
    2. Lieciet viņiem sadalīt vienu bumbu uz pusēm, otru pa ceturtdaļām un trešo astoņos vienmērīga lieluma gabalos.
    3. Tagad izmantojiet skalu & # 8211, vēlams, līdzsvara skalu & # 8211, lai parādītu, ka puse ir vienāda ar divām ceturtdaļām un četrām astotajām daļām. (Turklāt tas, ka ceturtdaļa ir vienāda ar divām astotdaļām un ka trīs ceturtdaļas ir līdzvērtīgas sešām astotdaļām.)
    4. Jūs varētu panākt, lai viņi pārveido trīs oriģinālās pīlinga bumbiņas, sadalot tās trīs, sešās un deviņās vienādās daļās. Atkal jūs varat pierādīt, ka trešdaļa ir vienāda ar divām sestajām un trim devītām daļām un ka divas trešdaļas ir vienādas ar četrām sestajām un sešām devītajām.

    Līdzvērtīgas frakcijas papīra sloksnes

    Viss, kas jums nepieciešams šai aktivitātei, ir papīra lapa, dažas šķēres un nedaudz pacietības, kad jāgriež sloksnes!

    Kā vadīt darbību

    1. Pirmkārt, sagrieziet dažas papīra sloksnes. Tām jābūt vienāda garuma papīra sloksnēm.
    2. Pirmo sloksni salieciet uz pusēm.
      Salieciet otro sloksni ceturtdaļās.
      Salieciet trešo sloksni sešās vienādās daļās vai sestās daļās.
      Salieciet ceturto sloksni astoņās vienādās daļās vai astotajās daļās.
      Visbeidzot, salieciet sloksni divpadsmit.
    3. Pēc tam sadarbojieties ar savu bērnu, lai uzlīmētu sloksnes, tāpēc katras pirmās sloksnes daļas pusē ir rakstīts ½, otrā sloksne ir apzīmēta ar ¼s utt. Tagad jūs / viņi var parādīt, ka puse ir vienāda ar divām ceturtdaļām, trim sestdaļām, četrām astotdaļām un sešām divpadsmitdaļām.

    Pēc tam jūs varat parādīt, ka ceturtdaļa ir vienāda ar divām astotajām un trim divpadsmitajām daļām.

    Jūs varētu atkārtot procesu vēlreiz, salocot vienāda garuma papīra sloksnes trīs, sešās, deviņās un divpadsmit, parādot, ka divas sestās, trīs devītās un četras divpadsmitās ir vienādas ar trešdaļu.

    Izmantojot jūsu izveidotās sloksnes, jūs varat darīt to pašu arī ¾ un ⅔! Jūs esat sacensībās!

    Frakciju salīdzināšana, saskaitīšana un saskaitīšana 3. gadā

    Protams, frakcijas vērtība ir atkarīga no skaitītāja (augšējā skaitļa) un saucēja (apakšējā skaitļa).

    Par laimi, 3. gadā jums jāsalīdzina tikai daļas ar vienu un to pašu saucēju, kas atvieglo lietas.

    Ja saucēji ir atšķirīgi, ir jāveic vēl dažas darbības, kuras mēs paskaidrosim vēlāk šajā emuārā.

    Jums būs prieks dzirdēt, ka frakciju pievienošana un atņemšana 3. gadā nav pārāk biedējoša.

    Tā kā saucēji šajā brīdī ir vienādi, vienkārši pievienojiet skaitītājus šādi:

    Ko atkal var parādīt, izmantojot papīra sloksnes:

    Princips ir vienāds attiecībā uz atņemšanu 3. gadā.

    Trešās kosmosa tiešsaistes matemātikas nodarbības piemērs, kas nodarbojas ar skolēnu izpratni par relatīvajiem frakciju lielumiem un izplatīto nepareizo priekšstatu, ka lielāks saucējs nozīmē, ka pati daļa ir lielāka.

    Kā palīdzēt mācīt bērnam frakcijas 4. gadā

    4. gadā jūsu bērnam jāsāk saprast pamatus, kā veikt frakcijas, un viņš vairāk koncentrēsies uz abstrakto frakciju izmantošanu.

    Visticamāk, ka viņi neizmantos tik daudz skaitītāju un citu fizisko mācību resursu, lai gan joprojām ir svarīgi tos ieaust viņu mācībās, kas nozīmē, ka jums nevajadzētu pārtraukt praktizēt ar viņiem mājās!

    Frakcijas 8 un 9 gadus veciem bērniem ir par pamatu naglošanu, pirms 5. gadā viss kļūst daudz sarežģītāks.

    Līdz 4. gada beigām jūsu bērnam būs jāzina, kā:

    • Skaitiet augšup un lejup desmitās un simtdaļās
    • Izstrādājiet summu daļas
    • Saskaitīt un atņemt frakcijas (tas pats saucējs)
    • Atpazīst diezgan daudz parasto ekvivalentu daļu un decimāldaļu.

    Vārda uzdevumu daļas 4. gadā

    Šajā sākumskolas posmā vārda problēmas kļūst arvien izplatītākas, parasti iesaistot mērvienības, piemēram, mm, cm, m, km un g un kg, un naudu.

    Izstrādājot daudzuma daļas, ir daudz vieglāk, ja izmantojat bāri pārstāvēt dažādas daļas.

    Piemēram, ņemiet vērā jautājumu:

    Ja jūs vēlaties trenēties 2 /6 1200m, jūs vienkārši reizināt atbildi par 1 /6 ar 2. Par 3 /6, jūs to reizināt ar 3.

    Bāri ļoti labi darbojas izglītojamajiem, kuriem patīk redzēt lietas vizuāli izkārtotas. Tos var izmantot arī citās matemātikas jomās & # 8211, sākot no dalīšanas, reizināšanas, saskaitīšanas un atņemšanas līdz attiecībai un proporcijai & # 8211, ne tikai daļām!

    Līdzvērtīgas daļas 4. gadā

    Vārds ekvivalents tikai nozīmē Tāpat kā .

    4. gadā jūsu bērnam jāzina decimāldaļas (skaitļi ar decimālzīmēm), kas atbilst vienkāršām daļām.

    Jūs varat tos izstrādāt manuāli (dalot skaitītāju ar saucēju), taču ieteicams iegaumēt kopīgos, lai varētu tiem ātri piekļūt.

    DaļaDecimālskaitlis
    ½ 0,5 (vai 0,50 un # 8211 vērtība ir vienāda)
    ¼ 0.25
    ¾ 0.75

    Kā palīdzēt bērnam mācīt frakcijas 5. gadā

    5. gads, iespējams, ir visgrūtākais frakciju mācīšanās gads, un diemžēl, izņemot smagu darbu, 9 un 10 gadus veciem bērniem šogad nav viegls veids, kā iemācīties viņu frakcijas.

    Bet, ja jūs patiešām zināt frakciju jēdzienu (ka tās ir kopuma daļas un tām ir atšķirīgi noteikumi) dabiskie skaitļi), tad jums viss būs kārtībā.

    Iemesls tam, ka 5. gads var būt grūts, ir tas, ka ir ļoti maz konkrēta attēlojuma, A. K. Lielākā daļa attēlu un priekšmetu, kas izmantoti frakciju attēlošanai, tagad ir pazuduši!

    Jūsu bērns sāks saskaitīt un atņemt ar dažādi saucēji , kas nozīmē, ka ir iesaistīti vēl daži soļi.

    Arī lietotā valoda var būt izaicinoša.

    Noteikti izmantojiet tādus vārdus kā saucējs, skaitītājs, dalījums, salīdzinājums, secība, nepareiza frakcija un jaukts skaitlis bieži vien, lai jūsu bērna prātā saglabātu svaigu vārdu krājumu, jo tas viņu labā izturēs pret darbu, ko viņi darīs visu 5. gadu.

    Frakciju salīdzināšana un sakārtošana 5. gadā

    Frakciju salīdzināšana un sakārtošana ar vieniem un tiem pašiem saucējiem ir salīdzinoši vienkārša.

    Tomēr 5. gadā jums jāzina, kā salīdzināt un pasūtīt frakcijas ar dažādiem saucējiem.

    Lielākā daļa skolu tomēr neizmantos kalkulatora stratēģiju, jo kalkulatori netiek izmantoti 6. gada SAT (pazīstami arī kā KS2 novērtējumu beigas).

    Tomēr, ja jūsu bērns cenšas izprast frakciju salīdzināšanas jēdzienu ar dažādiem saucējiem, kalkulators ir laba vieta, kur sākt.

    Kalkulators - bezmaksas veids, kā noteikt frakciju pasūtīšanu

    Frakciju pasūtīšanas process bez kalkulatora var aizņemt nedaudz ilgāku laiku, lai jūsu bērns varētu tikt galā, taču tas ir kaut kas, kas viņiem būs jāzina 5. gadā.

    Zemāk redzamajā attēlā ir parādīts, kā izstrādāt frakciju pasūtīšanas kārtību, ja jums nav kalkulatora.

    Frakciju pasūtīšanu var padarīt daudz ātrāku, ja zināt līdzvērtīgas decimāldaļas un procentus.

    Šeit ir ekvivalenti, kas jums jāzina 5. gadā.

    Jaukti skaitļi un nepareizas daļas 5. gadā

    Ja jums blakus ir vesels skaitlis un daļa, piemēram, 1 ½, to sauc par a jaukts skaitlis . Varat to pārveidot par daļu, bet skaitītājs būs lielāks par saucēju. Šajā gadījumā 3 /2. To sauc par nepareiza frakcija (jūs varat arī dzirdēt, ka to sauc par īpaši smagu frakciju).

    Izpratne par nepareizu frakciju izdarīšanu ir svarīga 5. gadā, un tas ir kaut kas, ko jūs varat palīdzēt izdarīt savam bērnam.

    Frakciju saskaitīšana un atņemšana 5. gadā

    Vēl viena prasme, ko jūsu bērns apgūs 5. gadā, ir tas, kā saskaitīt un atņemt frakcijas.

    Frakciju pievienošana un atņemšana ar vienu un to pašu saucēju ir vienkārša, jo jūs vienkārši pievienojat skaitītājus un saucējus saglabājat vienādus.

    Bet, ja daļām ir atšķirīgi saucēji, tās jādara vienādas, pirms dodaties tālāk.

    5. gads ir piemērots laiks, lai pierastu pie kopsaucēju atrašanas (padarot apakšējo skaitli par tādu pašu) kā 6. gadā, liela daļa no darbībām, kuras jūsu bērns darīs, balstās uz viņu spēju to izdarīt.

    Pareizo daļu reizināšana ar daļām 5. gadā

    Kad līdz 5. gadam esat uzzinājis ārkārtīgi daudz par frakcijām, zināt, kā reizināt (reizināt) frakcijas, ir salīdzinoši vienkārši, salīdzinot ar visiem citiem procesiem, ko jūsu bērns ir iemācījies šajā posmā.

    Jūs vienkārši reizināt skaitītājus, tad reizināt saucējus šādi:

    Daļu reizināšana ar veseliem skaitļiem 5. gadā

    Kad jums tiek lūgts reizināt veselu skaitli ar daļu, tas izskatās mazliet mulsinoši 5. gada bērnam. Piemēram:

    Lai pārvarētu šo biedējošo problēmu, varat sākt ar atgriešanos pie papīra sloksnēm, piemēram:

    Šeit ir svarīgi atcerēties, ka saucējs paliek nemainīgs. Ja tas pierāda klupšanas akmeni, varat izlikt katra matemātikas skolotāja labāko draugu: picu.

    Bet, ja atceraties vienu vienkāršu faktu, tas ir daudz vieglāk.

    Jebkuru veselu skaitli var padarīt par daļu, piešķirot tam saucēju 1.

    Tas ir tāpēc, ka 3 /1ir tāds pats kā 3 ÷ 1, kas ir 3.

    Iegūto vienādojumu ir daudz vieglāk atrisināt. Vienkārši reiziniet skaitītājus kopā un pēc tam saucējus kopā.

    Kā palīdzēt mācīt bērnam frakcijas 6. gadā

    Līdz 6. gadam jūsu bērns būs sedzis lielāko daļu materiālu, kas viņam būs nepieciešams pamatskolas matemātikā.

    Lai gan ir jāapgūst viens vai divi jauni procesi, ir svarīgi laikus pārskatīt pamatus maijā paredzētajiem KS2 SAT un & # 8211, šķiet, ka tie vienmēr notiek daudz ātrāk, nekā jūs varētu gaidīt!

    Viena no vissvarīgākajām lietām, lai nodrošinātu, ka jūsu bērns ir pārliecināts, ir tas, ka dažādi saucēji tiek padarīti vienādi, it kā tas būtu gadījums, kad nākamajā frakcijas darba nodaļā viņi jutīsies daudz drošāki par savām spējām.

    6. gadā ir viegli justies pārņemtiem ar daļām, taču joprojām varat darīt, lai palīdzētu bērnam pārvarēt visas neapmierinātības daļas!

    Kā vienkāršot frakcijas 6. gadā

    Jauna prasība 6. gadā ir ierakstīt daļās to vienkāršākā forma .

    Tas tikai nozīmē, ka, strādājot frakcijas, mēs izmantojam pēc iespējas mazākus skaitļus.

    Mēs to darām, lai viss būtu vienkāršs, un tas neļauj mums nonākt ar daļām, kas sastāv no milzīgiem skaitļiem (kas var būt mulsinoši).

    Frakciju vienkāršošana ir vēl viena joma, kas uzsver to, cik svarīgi ir, lai bērni apgūtu viņu laika tabulas.

    Piemēram, pat ja mēs zinām, ka 2 /4 ir pilnīgi pieņemama frakcija, mēs to vienkāršojam līdz 1 /2 lai viss būtu viegli (izmantojot mūsu zināšanas par tabulu 2 reizes un līdz ar to uz pusi).

    Frakciju vienkāršošanu var padarīt vienkāršu, praktizējot skaitļu pāru kopīgo faktoru atrašanu.

    Lieliska metode faktoru atrašanai ir faktoru varavīksnes, kuru piemēru var redzēt zemāk.

    Kā daliet pareizās daļas ar veseliem skaitļiem 6. gadā

    Frakciju dalīšana ir vienkāršs process, ja vien atceraties, ka, lietojot veselus skaitļus frakcijas problēmā, varat šo skaitli likt virs 1, lai tas būtu arī frakcija, piemēram:

    Tātad, ja jūs risināt problēmu, piemēram, 3 ¾, vispirms pārvērsiet trīs par daļu.

    Pēc tam pārlaidiet otro daļu (pārvēršot to par savstarpēju) un mainiet darbību uz reizināšanu.

    Tagad tā ir vienkārša reizināšanas problēma, lai reizinātu atbildi, vienkārši reiziniet skaitītājus un saucējus.

    Neaizmirstiet vienkāršot atbildi! Šajā gadījumā atbilde būs jaukts skaitlis.

    Daļas, decimāldaļas un procenti 6. gadā

    Frakcijas, decimāldaļas un procentuālās vērtības pārstāv visas daļas vai gabalus, tāpēc nav pārsteidzoši, ka tās ir cieši saistītas.

    Ir labi zināt, kā nokļūt no viena pie otra, it īpaši, ja pasūtāt vai salīdzināt summas.

    Jūsu bērnam jāiepazīst biežāk sastopamie ekvivalenti no galvas (skat. Tabulu iepriekš) & # 8211 un jāapgūst kopīgo procentu atrašanas stratēģijas.

    Piemēram, lai atrastu 1%, summa jāsadala ar 100 vai jāsadala summa ar 10 un šī dalījuma aprēķina rezultāts atkal ir 10.

    KS2 SAT frakciju konvertēšana 6. gadā

    Līdz 6. gada beigām jūsu bērnam būs jāzina, kā frakcijas pārveidot decimāldaļās un decimāldaļas procentos.

    Pārvēršot frakcijas decimāldaļās

    Sadaliet skaitītāju ar saucēju.

    Ja viņi nezina savu līdzvērtību vai ja tā ir neskaidrāka frakcija (kas, visticamāk, nebūs), viņiem vajadzētu atgriezties pie īsā dalījuma (citādi saukta par autobusu pieturu sadalījumu) izmantošanas.

    Decimāldaļu konvertēšana procentos

    Reiziniet decimāldaļu ar 100. Piemēram, 0,79 kļūs par 79%.

    Procentu konvertēšana decimāldaļās

    Daliet procentus ar 100. Tātad 87% kļūtu par 0,87.

    Procentu konvertēšana daļās

    Ievietojiet procentuālo summu virs 100 (piemēram, 75% = 75/100), pēc tam vienkāršojiet to & # 8211 šajā gadījumā ¾.

    Lai gan ir rakstiskas metodes decimāldaļu pārvēršanai atkal daļās, šajā posmā vislabāk ir koncentrēties uz to, kas nepieciešams mācību programmām sākumskolas matemātikā, un lielākoties būs nepieciešamas vienkāršas līdzvērtības, piemēram, 0,25. ¼ (zinot astotās daļas) (piemēram, 0,375 ir tas pats, kas trīs astotdaļas).

    Ir vērts izlasīt arī šo rakstu par frakciju decimāldaļu un procentuālo daļu salīdzināšanu.

    Daļas spriešanā un problēmu risināšanā 6. gadā

    6. gadā ir divi dokumenti (2. un 3. dokuments), kas jūsu bērnam būs jāņem kā daļa no SAT.

    Šie raksti ir par problēmu risināšanu un pamatojumu. Frakcijas parādīsies arī 1. dokumentā (aritmētika), taču kontekstā tās mēdz būt nedaudz sarežģītākas.

    Ļaujiet savam bērnam doties uz šādiem SAT jautājumiem, lai sajustu, kādas vārdu problēmas rodas.

    Veiciet šīs darbības, lai tās nedaudz atvieglotu:

    1. Izlasiet visu jautājumu. Pārbaudiet, cik zīmes ir.
    2. Vēlreiz izlasiet jautājumu, apritot visu svarīgo informāciju (tie varētu būt vārdi, kas dod jums pavedienu par nepieciešamo darbību, piemēram, uz pusi , dalīties utt.).
    3. Izlemiet, kura operācija jums jāizmanto (saskaitīšana, atņemšana, reizināšana vai dalīšana) un vai jums ir jāveic vairāk nekā viens solis, lai to atrisinātu.
    4. Izmantojiet izvēlētās darbības un darbības.
    5. Vēlreiz pārbaudiet atbildi. Vai tam ir jēga jautājuma kontekstā?

    SAT frakciju jautājumu piemēri par 6. gadu

    Ja jūs cenšaties atbalstīt savu bērnu, lai viņš saprastu un uzzinātu par frakcijām mājās, palīdzība ir pieejama. Mēs varam nodrošināt pieejamu tiešsaistes matemātikas apmācību, kas lieliski piemērota jūsu bērna individuālajām vajadzībām. Ja frakcijas ir vieta, kur viņiem nepieciešama palīdzība, mēs varam pavadīt laiku kopā ar tām.

    Vai jums ir skolēni, kuriem nepieciešams papildu atbalsts matemātikā?
    Katru nedēļu trešie kosmosa mācību un matemātikas speciālistu pasniedzēji atbalsta tūkstošiem skolēnu simtiem skolu ar iknedēļas tiešsaistes nodarbībām 1: 1 pret matemātiku un iejaukšanos matemātikā, lai izveidotu nepilnības un veicinātu progresu.

    Kopš 2013. gada mēs esam palīdzējuši vairāk nekā 80 000 pamatskolas un vidusskolas skolēnu kļūt pārliecinātākiem, spējīgākiem matemātiķiem. Uzziniet vairāk vai pieprasiet personalizētus piedāvājumus savai skolai, lai runātu ar mums par jūsu skolas vajadzībām un to, kā mēs varam palīdzēt.

    Matemātikas apmācība 5 līdz 12 gadus veciem bērniem bija vērsta uz valsts mācību programmu un notika tiešsaistē


    Kā lietot frakciju kalkulatoru

    Jūs varat izmantot frakciju kalkulatoru, neatceroties visas šīs aritmētiskās funkcijas!

    Lodziņā Pirmā frakcija, ievadiet pirmās daļas skaitītāju. Lodziņā Otrā frakcija, ievadiet otrās daļas skaitītāju un saucēju.

    Iekš Darbība izvēlnē izvēlieties, kuru funkciju veikt - vai vēlaties saskaitīt (+), atņemt (-), reizināt (*) vai dalīt (÷) frakcijas? Izvēlnē izvēlieties preferenci. Pēc tam nospiediet Veiciet frakcionēto matemātiku pogu.

    Automātiski vienkāršotā atbilde tiks parādīta Rezultāts lodziņā.