Raksti

9.8. Sistēmu risināšana ar Kramera likumu - matemātika


Mācību mērķi

  • Novērtējiet 2 × 2 determinantus.
  • Izmantojiet Cramer’s Rule, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu divos mainīgajos.
  • Novērtējiet 3 × 3 determinantus.
  • Izmantojiet Cramer’s Rule, lai atrisinātu trīs vienādojumu sistēmu trīs mainīgajos.
  • Zināt determinantu īpašības.

Mēs esam iemācījušies atrisināt vienādojumu sistēmas divos un trīs mainīgos lielumos un ar vairākām metodēm: aizstāšanu, saskaitīšanu, Gausa elimināciju, izmantojot matricas apgriezto vērtību un grafikus. Dažas no šīm metodēm ir vieglāk piemērojamas nekā citas, un noteiktās situācijās tās ir piemērotākas. Šajā sadaļā mēs pētīsim vēl divas vienādojumu sistēmu risināšanas stratēģijas.

2 × 2 matricas noteicēja novērtēšana

Noteicošais ir reāls skaitlis, kas var būt ļoti noderīgs matemātikā, jo tam ir vairākas lietojumprogrammas, piemēram, laukuma, tilpuma un citu lielumu aprēķināšana. Šeit mēs izmantosim determinantus, lai atklātu, vai matrica ir invertējama, izmantojot kvadrātveida matricas ierakstus, lai noteiktu, vai ir vienādojumu sistēmas risinājums. Varbūt viena no interesantākajām lietojumprogrammām tomēr ir to izmantošana kriptogrāfijā. Drošie signāli vai ziņojumi dažreiz tiek sūtīti kodēti matricā. Datus var atšifrēt tikai ar invertējamu matricu un determinantu. Mūsu mērķiem mēs koncentrējamies uz determinantu kā uz matricas invertivitātes norādījumu. Aprēķinot matricas noteicošo faktoru, jāievēro īpašie modeļi, kas ir izklāstīti šajā sadaļā.

Atrodiet 2 × 2 matricas noteicēju

The noteicošais dota 2 × 2 matrica

(A = sākums {bmatrix} a & b c & d beigas {bmatrix} )

ir definēts kā

Ievērojiet izmaiņas apzīmējumos. Ir vairāki veidi, kā norādīt determinantu, tostarp ( det (A) ) un matricas iekavu aizstāšana ar taisnām līnijām (| A | ).

Piemērs ( PageIndex {1} ): (2 × 2 ) matricas noteicēja atrašana

Atrodiet dotās matricas noteicošo faktoru.

(A = sākas {bmatrix} 5 un 2 - 6 un 3 end {bmatrix} )

Risinājums

[ begin {izlīdzināt *} det (A) & = begin {vmatrix} 5 un 2 - 6 & 3 end {vmatrix} & = 5 (3) - (- 6) (2) & = 27 beigas {izlīdzināt *} ]

Izmantojot Krāmera likumu, lai atrisinātu divu vienādojumu sistēmu divos mainīgajos

Tagad mēs ieviesīsim galīgo metodi vienādojumu sistēmu risināšanai, kas izmanto determinantus. Zināms kā Krāmera likums, šī tehnika ir datēta ar 18. gadsimta vidu un ir nosaukta par tās novatoru, Šveices matemātiķi Gabrielu Krāmeru (1704-1752), kurš to ieviesa 1750. gadā. Ievads à l'Analyse des lignes Courbes algébriques. Cramer’s Rule ir reāla un efektīva metode, kā atrast risinājumus sistēmām ar patvaļīgu nezināmo skaitu, ja vien mums ir vienāds skaits vienādojumu ar nezināmiem.

Krāmera likums mums sniegs unikālu vienādojumu sistēmas risinājumu, ja tāds pastāv. Tomēr, ja sistēmai nav risinājuma vai ir bezgalīgs risinājumu skaits, to norāda ar nulles determinantu. Lai uzzinātu, vai sistēma nav konsekventa vai atkarīga, būs jāizmanto cita metode, piemēram, izslēgšana.

Lai saprastu Krāmera likumu, cieši apskatīsim, kā mēs atrisinām lineāro vienādojumu sistēmas, izmantojot pamata rindu operācijas. Apsveriet divu vienādojumu sistēmu divos mainīgajos.

[ sākt {izlīdzināt} a_1x + b_1y & = c_1 (1) etiķete {eq1} a_2x + b_2y & = c_2 (2) etiķete {eq2} beigas {izlīdzināt} ]

Mēs izslēdzam vienu mainīgo, izmantojot rindas operācijas, un atrisinām otru. Sakiet, ka mēs vēlamies atrisināt (x ). Ja vienādojums ref {eq2} tiek reizināts ar pretējo koeficientam (y ) vienādojumā ref {eq1}, vienādojums ref {eq1} tiek reizināts ar koeficientu (y ) vienādojumā ref {eq2}, un, saskaitot abus vienādojumus, mainīgais (y ) tiks izslēgts.

[ begin {align *} & b_2a_1x + b_2b_1y = b_2c_1 & text {Reizināt} R_1 text {ar} b_2 - & pasvītrot {b_1a_2x − b_1b_2y = −b_1c_2} & text {Reizināt} R_2 text { pēc} −b_1 & b_2a_1x − b_1a_2x = b_2c_1 − b_1c_2 beigas {izlīdzināt *} ]

Tagad atrisiniet (x ).

[ sāk {izlīdzināt *} b_2a_1x − b_1a_2x & = b_2c_1 − b_1c_2 x (b_2a_1 − b_1a_2) & = b_2c_1 − b_1c_2 x & = dfrac {b_2c_1 − b_1c_2} {b_2a_1 − b_1a_2} = dfr begin {bmatrix} c_1 & b_1 c_2 & b_2 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} a_1 & b_1 a_2 & b_2 end {bmatrix}} end {izlīdzināt *} ]

Līdzīgi, lai atrisinātu (y ), mēs novērsim (x ).

[ begin {align *} & a_2a_1x + a_2b_1y = a_2c_1 & text {Reizināt} R_1 text {ar} a_2 - & pasvītrot {a_1a_2x − a_1b_2y = −a_1c_2} & text {Reizināt} R_2 text {by} −a_1 & a_2b_1y − a_1b_2y = a_2c_1 − a_1c_2 beigas {izlīdzināt *} ]

Risināšana par (y ) dod

[ sāciet {izlīdzināt *} a_2b_1y − a_1b_2y & = a_2c_1 − a_1c_2 y (a_2b_1 − a_1b_2) un = a_2c_1 − a_1c_2 y & = dfrac {a_2c_1 − a_1c_2} {a_2b_1 − a_1b_2} = dfr a_1c_2 − a_2c_1} {a_1b_2 − a_2b_1} = dfrac { begin {bmatrix} a_1 & c_1 a_2 & c_2 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} a_1 & b_1 a_2 & b_2 end {bmatrix}} end {izlīdzināt *} ]

Ievērojiet, ka gan (x ), gan (y ) saucējs ir koeficienta matricas noteicējs.

Mēs varam izmantot šīs formulas, lai atrisinātu (x ) un (y ), taču Cramer's Rule ievieš arī jaunu apzīmējumu:

  • (D ): koeficienta matricas noteicējs
  • (D_x ): skaitītāja noteicējs (x ) risinājumā

    [x = dfrac {D_x} {D} ]

  • (D_y ): skaitītāja noteicējs (y ) risinājumā

    [y = dfrac {D_y} {D} ]

Cramer’s Rule atslēga ir mainīgās interesējošās kolonnas aizstāšana ar konstantu kolonnu un noteicošo faktoru aprēķināšana. Pēc tam mēs varam izteikt (x ) un (y ) kā divu determinantu koeficientu.

KRAMERA NOTEIKUMS PAR SISTĒMĀM (2 × 2 )

Krāmera likums ir metode, kas izmanto determinantus, lai atrisinātu vienādojumu sistēmas, kurām ir tāds pats vienādojumu skaits kā mainīgajiem.

Apsveriet divu lineāru vienādojumu sistēmu divos mainīgajos.

[ sākas {izlīdzināt *} a_1x + b_1y & = c_1 a_2x + b_2y & = c_2 beigas {izlīdzināt *} ]

Risinājums, izmantojot Cramer’s Rule, tiek dots kā

[ begin {align} x & = dfrac {D_x} {D} = dfrac { begin {bmatrix} c_1 & b_1 c_2 & b_2 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} a_1 & b_1 a_2 & b_2 end {bmatrix }} ; , D neq 0 y & = dfrac {D_y} {D} = dfrac { begin {bmatrix} a_1 & c_1 a_2 & c_2 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} a_1 & b_1 a_2 & b_2 end {bmatrix }} ; , D neq 0 end {izlīdzināt} ]

Ja mēs risinām (x ), kolonna (x ) tiek aizstāta ar nemainīgu kolonnu. Ja mēs risinām (y ), kolonna (y ) tiek aizstāta ar nemainīgu kolonnu.

Piemērs ( PageIndex {2} ): Cramer's Rule izmantošana, lai atrisinātu (2 × 2 ) sistēmu

Atrisiniet šo (2 × 2 ) sistēmu, izmantojot Cramer’s Rule.

[ sāk {izlīdzināt *} 12x + 3y & = 15 2x-3y & = 13 beigas {izlīdzināt *} ]

Risinājums

Atrisiniet (x ).

[ begin {align *} x & = dfrac {D_x} {D} & = dfrac { begin {bmatrix} 15 & 3 13 & -3 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 12 & 3 2 & -3 end {bmatrix}} & = dfrac {-45-39} {- 36-6} & = dfrac {-84} {- 42} & = 2 end { izlīdzināt *} ]

Atrisiniet (y ).

[ begin {align *} y & = dfrac {D_y} {D} & = dfrac { begin {bmatrix} 12 & 15 2 & 13 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 12 & 3 2 & -3 end {bmatrix}} & = dfrac {156-30} {- 36-6} & = - dfrac {126} {42} & = -3 end {izlīdzināt *} ]

Risinājums ir ((2, −3) ).

Vingrinājums ( PageIndex {1} )

Izmantojiet Cramer’s Rule, lai atrisinātu (2 × 2 ) vienādojumu sistēmu.

[ sākt {izlīdzināt *} x + 2y & = -11 -2x + y & = -13 beigas {izlīdzināt *} ]

Atbilde

((3,−7))

3 × 3 matricas noteikšanas faktora novērtēšana

2 × 2 matricas determinanta atrašana ir vienkārša, bet 3 × 3 matricas determinanta atrašana ir sarežģītāka. Viena no metodēm ir palielināt 3 × 3 matricu, atkārtojot pirmās divas kolonnas, iegūstot 3 × 5 matricu. Tad mēs aprēķinām ierakstu reizinājumu summu uz leju katru no trim diagonālēm (augšējā kreisajā un apakšējā labajā pusē) un atņemiet ierakstu reizinājumus uz augšu katra no trim diagonālēm (apakšējā kreisajā pusē augšējā labajā pusē). Tas ir vieglāk saprotams ar vizuālu materiālu un piemēru.

Atrodiet 3 × 3 matricas noteicošo faktoru.

(A = sākas {bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 a_2 & b_2 & c_2 a_3 & b_3 & c_3 end {bmatrix} )

  1. Papildinājums (A ) ar pirmajām divām kolonnām.

    ( det (A) = pa kreisi | sākas {masīvs} {ccc | cc} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 & b_1 a_2 & b_2 & c_2 & a_2 & b_2 a_3 & b_3 & c_3 & a_3 & b_3 end {masīvs} labi | )

  2. No augšējā kreisā uz labo apakšējo: reiziniet ierakstus pa pirmo diagonāli. Pievienojiet rezultātu ierakstu reizinājumam pa otro diagonāli. Pievienojiet šo rezultātu ierakstu reizinājumam pa trešo diagonāli.
  3. No kreisās puses uz apakšējo labo pusi: atņemiet ierakstu reizinājumu pa pirmo diagonāli. No šī rezultāta atņemiet ierakstu reizinājumu pa otro diagonāli. No šī rezultāta atņemiet ierakstu reizinājumu pa trešo diagonāli.

Algebra ir šāda:

(| A | = a_1b_2c_3 + b_1c_2a_3 + c_1a_2b_3 − a_3b_2c_1 − b_3c_2a_1 − c_3a_2b_1 )

Piemērs ( PageIndex {3} ): 3 × 3 matricas noteicēja atrašana

Atrodiet dotās matricas (3 × 3 ) noteicēju

(A = sākums {bmatrix} 0 un 2 & 1 3 & −1 & 1 4 & 0 & 1 end {bmatrix} )

Risinājums

Palieliniet matricu ar pirmajām divām kolonnām un pēc tam izpildiet formulu. Tādējādi

[ sākt {izlīdzināt *} | A | & = pa kreisi | begin {array} {ccc | cc} 0 & 2 & 1 & 0 & 2 3 & -1 & 1 & 3 & -1 4 & 0 & 1 & 4 & 0 end {array} right | & = 0 (−1) (1) +2 (1) (4) +1 (3) (0) −4 (−1) (1) −0 (1) (0) −1 (3) (2) & = 0 + 8 + 0 + 4−0−6 & = 6 beigas {izlīdzināt *} ]

Vingrinājums ( PageIndex {2} )

Atrodiet 3 × 3 matricas noteicošo faktoru.

( det (A) = sākas {vmatrix} 1 & −3 & 7 1 & 1 & 1 1 & −2 & 3 end {vmatrix} )

Atbilde

(−10)

Jautājumi un atbildes: vai mēs varam izmantot to pašu metodi, lai atrastu lielāku matricu noteicošo faktoru?

Nē, šī metode darbojas tikai 2 × 2 un 3 × 3 matricām. Lielākām matricām vislabāk ir izmantot grafikas utilītu vai datoru programmatūru.

Izmantojot Krāmera likumu, lai atrisinātu trīs vienādojumu sistēmu trīs mainīgajos

Tagad, kad mēs varam atrast (3 × 3 ) matricas noteicošo faktoru, mēs varam pielietot Cramer’s Rule, lai atrisinātu trīs vienādojumu sistēmu trīs mainīgos. Krāmera likums ir vienkāršs, ievērojot paraugu, kas atbilst Krāmera likumam (2 × 2 ) matricām. Tā kā matricas secība palielinās līdz (3 × 3 ), tomēr ir nepieciešami daudz vairāk aprēķinu.

Kad aprēķinām determinantu uz nulli, Cramer’s Rule nedod nekādu norādi par to, vai sistēmai nav risinājuma vai bezgalīgi daudz risinājumu. Lai to uzzinātu, mums jāveic sistēmas izslēgšana.

Apsveriet (3 × 3 ) vienādojumu sistēmu.

[ sākas {izlīdzināt} a_1x + b_1y + c_1z & = krāsa {zila} d_1 a_2x + b_2y + c_2z & = krāsa {zila} d_2 a_3x + b_3y + c_3z & = krāsa {zila} d_3 end {izlīdzināt} ]

(x = dfrac {D_x} {D} ), (y = dfrac {D_y} {D} ), (z = dfrac {D_z} {D} ), (D ≠ 0 )

kur

[D = sākums {vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 a_2 & b_2 & c_2 a_3 & b_3 & c_3 beigas {vmatrix} ; , ; D_x = sāciet {vmatrix} color {blue} d_1 & b_1 & c_1 color {blue} d_2 & b_2 & c_2 color {blue} d_3 & b_3 & c_3 end {vmatrix} ; , ; D_y = sākas {vmatrix} a_1 & color {blue} d_1 & c_1 a_2 & color {blue} d_2 & c_2 a_3 & color {blue} d_3 & c_3 end {vmatrix} ; , ; D_z = sākas {vmatrix} a_1 & b_1 & krāsa {zila} d_1 a_2 & b_2 & krāsa {zila} d_2 a_3 & b_3 & krāsa {zila} d_3 beigu {vmatrix} ]

Ja mēs rakstām determinantu (D_x ), kolonnu (x ) aizstājam ar nemainīgu kolonnu. Ja mēs rakstām determinantu (D_y ), mēs aizstājam kolonnu y ar nemainīgu kolonnu. Ja mēs rakstām determinantu (D_z ), kolonnu (z ) aizstājam ar nemainīgu kolonnu. Vienmēr pārbaudiet atbildi.

Piemērs ( PageIndex {4} ): (3 × 3 ) sistēmas atrisināšana, izmantojot Cramer kārtulu

Izmantojot Cramer’s Rule, atrodiet dotās (3 × 3 ) sistēmas risinājumu.

[ sākas {izlīdzināt *} x + y-z & = 6 3x-2y + z & = -5 x + 3y-2z & = 14 beigas {izlīdzināt *} ]

Risinājums

Izmantojiet Cramer's Rule.

(D = sākas {vmatrix} 1 & 1 & −1 3 & −2 & 1 1 & 3 & −2 end {vmatrix} ), (D_x = sākas {vmatrix} 6 & 1 & −1 - 5 & −2 & 1 14 un 3 & −2 end {vmatrix} ), (D_y = sākas {vmatrix} 1 & 6 & −1 3 & −5 & 1 1 & 14 & −2 end {vmatrix} ), (D_z = begin {vmatrix} 1 & 1 & 6 3 & −2 & −5 ​​1 & 3 & 14 end {vmatrix} )

Tad,

[ begin {align *} x & = dfrac {D_x} {D} & = dfrac {-3} {- 3} & = 1 y & = dfrac {D_y} {D} & = dfrac { -9} {- 3} & = 3 z & = dfrac {D_z} {D} & = dfrac {6} {- 3} & = -2 end {izlīdzināt *} ]

Risinājums ir ((1,3, −2) ).

Vingrinājums ( PageIndex {3} )

Izmantojiet Cramer's Rule, lai atrisinātu (3 × 3 ) matricu.

[ sākt {izlīdzināt *} x-3y + 7z & = 13 x + y + z & = 1 x-2y + 3z & = 4 beigas {izlīdzināt *} ]

Atbilde

( pa kreisi (−2, dfrac {3} {5}, dfrac {12} {5} pa labi) )

Piemērs ( PageIndex {5A} ): Cramer noteikuma izmantošana nekonsekventas sistēmas atrisināšanai

Atrisiniet vienādojumu sistēmu, izmantojot Cramer’s Rule.

[ begin {align} 3x-2y & = 4 label {eq3} 6x-4y & = 0 label {eq4} end {align} ]

Risinājums

Mēs vispirms meklējam determinantus (D ), (D_x ) un (D_y ).

(D = sākas {vmatrix} 3 & −2 6 & −4 end {vmatrix} = 3 (−4) −6 (−2) = 0 )

Mēs zinām, ka nulles determinants nozīmē, ka sistēmai vai nu nav risinājuma, vai arī tai ir bezgalīgi daudz risinājumu. Lai redzētu, kurš no tiem, mēs izmantojam izslēgšanas procesu. Mūsu mērķis ir izslēgt vienu no mainīgajiem.

  1. Reiziniet vienādojumu ref {eq3} ar (- 2 ).
  2. Pievienojiet rezultātu vienādojumam ref {eq4}.

[ sākt {izlīdzināt *} & −6x + 4y = −8 & ; ; ; pasvītrot {6x −4y = 0} & ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 0 = −8 beigas {izlīdzināt *} ]

Iegūstam vienādojumu (0 = −8 ), kas ir kļūdains. Tāpēc sistēmai nav risinājuma. Zīmējot sistēmu, tiek atklātas divas paralēlas līnijas. Skatīt attēlu ( PageIndex {1} ).

Piemērs ( PageIndex {5B} ): Izmantojiet Cramer likumu, lai atrisinātu atkarīgo sistēmu

Atrisiniet sistēmu ar bezgalīgu skaitu risinājumu.

[ begin {align} x-2y + 3z & = 0 label {eq5} 3x + y-2z & = 0 label {eq6} 2x-4y + 6z & = 0 label {eq7} end { izlīdzināt} ]

Risinājums

Vispirms atradīsim noteicošo. Iestatiet matricu, kas papildināta ar pirmajām divām kolonnām.

(pa kreisi | sākas {masīvs} {ccc | cc} 1 & −2 & 3 & 1 & -2 3 & 1 & −2 & 3 & 1 2 & −4 & 6 & 2 & -4 end {masīvs} right | )

Tad,

(1(1)(6)+(−2)(−2)(2)+3(3)(−4)−2(1)(3)−(−4)(−2)(1)−6(3)(−2)=0)

Tā kā determinants ir vienāds ar nulli, risinājumu vai nu nav, vai arī tas ir bezgalīgs. Lai to uzzinātu, mums ir jāveic izslēgšana.

1. Reiziniet vienādojumu ref {eq5} ar (- 2 ) un pievienojiet rezultātu vienādojumam ref {eq7}:

[ sākt {izlīdzināt *} & −2x + 4y − 6x = 0 & ; ; pasvītrot {2x −4y + 6z = 0} & ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 0 = 0 beigas {izlīdzināt *} ]

2. Ja saņemat atbildi (0 = 0 ), apgalvojums, kas vienmēr ir patiess, nozīmē, ka sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu. Attēlojot sistēmu, mēs varam redzēt, ka divas no plaknēm ir vienādas un tās abas krustojas ar līnijas trešo plakni. Skatīt attēlu ( PageIndex {2} ).

Determinantu īpašību izpratne

Ir daudz determinantu īpašību. Šeit ir uzskaitītas dažas īpašības, kas var būt noderīgas matricas determinanta aprēķināšanai.

NOTEIKTĀJU ĪPAŠĪBAS

  1. Ja matrica ir augšējā trīsstūra formā, determinants ir vienāds ar ierakstu reizinājumu pa galveno diagonāli.
  2. Kad divas rindas tiek apmainītas, noteicošais maina zīmi.
  3. Ja divas rindas vai divas kolonnas ir identiskas, determinants ir vienāds ar nulli.
  4. Ja matricā ir vai nu nulles rinda, vai nulles kolonna, determinants ir vienāds ar nulli.
  5. Apgrieztās matricas (A ^ {- 1} ) determinants ir matricas (A ) determinanta atgriezeniskais elements.
  6. Ja kāda rinda vai kolonna tiek reizināta ar konstanti, determinants tiek reizināts ar to pašu koeficientu.

Piemērs ( PageIndex {6} ): Determinantu īpašību ilustrēšana

Ilustrējiet katru no determinantu īpašībām.

Risinājums

1. rekvizīts norāda, ka, ja matrica ir augšējā trīsstūra formā, noteicošais ir ierakstu reizinājums pa galveno diagonāli.

(A = sākas {bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & 2 & 1 0 & 0 & −1 end {bmatrix} )

Papildinājums (A ) ar pirmajām divām kolonnām.

(A = pa kreisi [ begin {masīvs} {ccc | cc} 1 & 2 & 3 & 1 & 2 0 & 2 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & −1 & 0 & 0 end {masīvs} right] )

Tad

[ sākt {līdzināt*} det (A) & = 1 (2) (-1) +2 (1) (0) +3 (0) (0) -0 (2) (3) -0 ( 1) (1) +1 (0) (2) & = -2 end {align*} ]

Īpašumā 2 norādīts, ka rindu maiņa maina zīmi. Dots

[ begin {align*} B & = begin {bmatrix} 4 & -3 -1 & 5 end {bmatrix} det (B) & = (4) (5)-(-1) (-3 ) & = 20-3 & = 17 end {align*} ]

Īpašumā 3 norādīts, ka, ja divas rindas vai divas kolonnas ir identiskas, noteicošais ir vienāds ar nulli.

[ begin {align*} A & = pa kreisi [ begin {array} {ccc | cc} 1 & 2 & 2 & 1 & 2 2 & 2 & 2 & 2 & 2 -1 & 2 & 2 & -1 & 2 end {array} right] det (A) & = 1 (2) (2) +2 (2) (-1) +2 (2) (2) +1 (2) (2) -2 (2) (1) -2 (2) (2) & = 4-4+8+4-4-8 & = 0 end {align*} ]

Īpašumā 4 norādīts, ka, ja rinda vai kolonna ir vienāda ar nulli, noteicošais ir vienāds ar nulli. Tādējādi

[ begin {align*} A & = begin {bmatrix} 1 & 2 0 & 0 end {bmatrix} det (A) & = 1 (0) -2 (0) & = 0 end { līdzināt*} ]

Īpašumā 5 norādīts, ka apgrieztās matricas (A^{ - 1} ) noteicējs ir noteicēja reciproks (A ). Tādējādi

[ begin {align*} A^{-1} & = begin {bmatrix} -2 & 1 dfrac {3} {2} &- dfrac {1} {2} end {bmatrix} det (A^{-1}) & =-2 pa kreisi (- dfrac {1} {2} pa labi)- dfrac {3} {2} (1) & =- dfrac {1 } {2} end {align*} ]

Īpašumā 6 norādīts, ka, ja kādu matricas rindu vai kolonnu reizina ar konstanti, determinants tiek reizināts ar to pašu koeficientu. Tādējādi

Piemērs ( PageIndex {7} ): Krāmera noteikuma un noteicošo īpašību izmantošana sistēmas risināšanai

Atrodiet dotās sistēmas (3 × 3 ) risinājumu.

Risinājums

Izmantojot Krāmera noteikumu, mums ir

(D = sākt {bmatrix} 2 & 4 & 4 3 & 7 & 7 1 & 2 & 2 end {bmatrix} )

Ņemiet vērā, ka otrā un trešā kolonna ir identiskas. Saskaņā ar 3. īpašību noteicošais būs nulle, tāpēc nav vai nu risinājuma, vai bezgalīgi daudz risinājumu. Reiziniet vienādojumu ref {eq10} ar ( - 2 ) un pievienojiet rezultātu vienādojumam ref {eq8}.

Pretrunīga paziņojuma iegūšana nozīmē, ka sistēmai nav risinājuma.

Galvenie jēdzieni

  • ( Begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix} ) noteicējs ir (ad -bc ). Skatiet piemēru ( PageIndex {1} ).
  • Kramera noteikums aizstāj mainīgo kolonnu ar nemainīgu kolonnu. Risinājumi ir (x = dfrac {D_x} {D} ), (y = dfrac {D_y} {D} ). Skatiet piemēru ( PageIndex {2} ).
  • Lai atrastu (3 × 3 ) matricas noteicēju, papildiniet ar pirmajām divām kolonnām. Pievienojiet trīs diagonālos ierakstus (no augšas pa kreisi uz leju pa labi) un atņemiet trīs diagonālos ierakstus (no kreisās uz augšu pa labi). Skatiet piemēru ( PageIndex {3} ).
  • Lai atrisinātu trīs vienādojumu sistēmu trīs mainīgos, izmantojot Kramera likumu, nomainiet mainīgo kolonnu ar nemainīgu kolonnu katram vēlamajam risinājumam: (x = dfrac {D_x} {D} ), (y = dfrac {D_y } {D} ), (z = dfrac {D_z} {D} ). Skatiet piemēru ( PageIndex {4} ).
  • Krāmera noteikums ir noderīgs arī, lai atrastu vienādojumu sistēmas risinājumu bez risinājuma vai bezgalīgiem risinājumiem. Skatiet piemēru ( PageIndex {5} ) un piemēru ( PageIndex {6} ).
  • Dažas noteicošo faktoru īpašības ir noderīgas problēmu risināšanai. Piemēram:
    • Ja matrica ir augšējā trīsstūra formā, determinants ir vienāds ar ierakstu reizinājumu pa galveno diagonāli.
    • Kad divas rindas tiek apmainītas, noteicošais maina zīmi.
    • Ja divas rindas vai divas kolonnas ir identiskas, determinants ir vienāds ar nulli.
    • Ja matricā ir vai nu nulles rinda, vai nulles kolonna, determinants ir vienāds ar nulli.
    • Apgrieztās matricas (A ^ {- 1} ) determinants ir matricas (A ) determinanta atgriezeniskais elements.
    • Ja kāda rinda vai kolonna tiek reizināta ar konstanti, determinants tiek reizināts ar to pašu koeficientu. Skatiet piemēru ( PageIndex {7} ) un piemēru ( PageIndex {8} ).

7.8 Sistēmu risināšana ar Kramera noteikumu

Mēs esam iemācījušies atrisināt vienādojumu sistēmas divos un trīs mainīgos lielumos un ar vairākām metodēm: aizstāšanu, saskaitīšanu, Gausa elimināciju, izmantojot matricas apgriezto vērtību un grafikus. Dažas no šīm metodēm ir vieglāk piemērojamas nekā citas, un noteiktās situācijās tās ir piemērotākas. Šajā sadaļā mēs pētīsim vēl divas vienādojumu sistēmu risināšanas stratēģijas.

2 × 2 matricas noteicēja novērtēšana

Noteicošais ir reāls skaitlis, kas var būt ļoti noderīgs matemātikā, jo tam ir vairākas lietojumprogrammas, piemēram, laukuma, tilpuma un citu lielumu aprēķināšana. Šeit mēs izmantosim determinantus, lai atklātu, vai matrica ir invertējama, izmantojot kvadrātveida matricas ierakstus, lai noteiktu, vai ir vienādojumu sistēmas risinājums. Varbūt viena no interesantākajām lietojumprogrammām tomēr ir to izmantošana kriptogrāfijā. Drošie signāli vai ziņojumi dažreiz tiek sūtīti kodēti matricā. Datus var atšifrēt tikai ar invertējamu matricu un determinantu. Mūsu mērķiem mēs koncentrējamies uz determinantu kā uz matricas invertivitātes norādījumu. Aprēķinot matricas noteicošo faktoru, jāievēro īpašie modeļi, kas ir izklāstīti šajā sadaļā.

Atrodiet 2 × 2 matricas noteicēju

Dots 2 × 2 2 × 2 matricas noteicējs

Ievērojiet izmaiņas apzīmējumos. Ir vairāki veidi, kā norādīt noteicēju, tostarp det (A) det (A) un iekavu aizvietošana matricā ar taisnām līnijām, | A | . | A | .


9.8. Sistēmu risināšana ar Kramera likumu - matemātika

Divu nezināmu risināšana Ja mums ir divi vienādojumi:

mēs varam izmantot Kremera noteikumu, ievietojot 4 koeficientus (a, b, c un d) un 2 konstantes (e & f) 3 otrās kārtas determinantos. (Otrās kārtas determinantam ir 4 skaitļi, kas sakārtoti 2 kolonnās pa 2 rindām.)

Saucēja determinants (dn) tiek izveidots no vienādojumu kreisās puses koeficientiem.

X determinanta skaitītājs atgādina dn determinantu, izņemot “x” koeficientus (a & c) aizstāj ar konstantēm (e & f).

Y determinanta skaitītājs līdzinās dn determinantam, izņemot to, ka “y” koeficientus (b & d) aizstāj ar konstantēm (e & f).

Ja mēs novērtētu šos noteicošos faktorus, tas tiktu darīts, pamatojoties uz šo procedūru:

Tagad, kad mēs zinām Krāmera noteikumu par diviem nezināmiem un novērtējam noteicošos faktorus, atrisināsim dažus vienādojumus.
2x + 3g = 12
3x - 4g = ف
No iepriekš minētajiem norādījumiem mēs varam redzēt, ka:
a = 2   b = 3   c = 3   d = -4   e = 12   f = 1

Mēs varam redzēt, ka:
a = 2   b = 3   c = 4   d = 5   e = -6   f = 7   g = 8   h = 9   i = 10
j = 119   k = 80   l = 353


9.8. Sistēmu risināšana ar Kramera likumu - matemātika

Vienlaicīgie vienādojumi: 2. sadaļa

4. piemērs. Atrisiniet šo vienlaicīgo vienādojumu sistēmu:

1) 3 x + 4 g = 19
2) 2 x & mīnus y = 9

Risinājums. Ja mēs pievienosim vienādojumus tādus, kādi tie ir, neviens no nezināmajiem neatcelsies. Tagad, ja y koeficients 2) vienādojumā būtu & mīnus 4, tad y atceltu. Tāpēc mēs paplašināsim savu stratēģiju šādi:

Padariet vienu koeficientu pāri viens par otru negatīvu - reizinot
abas vienādojuma puses ar vienādu skaitli. Pievienojot vienādojumus, šis nezināmais tiks novērsts.

Lai iegūtu koeficientus y 's un & mīnus 4, mēs reizināsim abas vienādojuma 2) puses ar 4:

1) 3 x + 4 g = 19 3 x + 4 g = 19
2) 2 x & mīnus y = 9 8 x & mīnus 4 g = 36
11 x = 55
x = 55
11
x = 5

4 virs bultiņas 2) vienādojumā nozīmē, ka abas šī vienādojuma puses ir reizinātas ar 4. 1) vienādojums nav mainīts.

Lai atrisinātu y, aizstājiet x = 5 jebkurā no sākotnējiem vienādojumiem. 1. vienādojumā):

3 un 5 + 4 g = 19
4 g = 19 un mīnus 15
4 g = 4
y = 1

Studentam vienmēr jāpārbauda risinājums, aizstājot x un y ar (5, 1) sākotnējos vienādojumos.

5. piemērs. Atrisiniet vienlaicīgi:

1) 3 x + 2 g = & mīnus2
2) 2 x + 5 g = & mīnus 5

Risinājums. Mums jāpadara viens koeficientu pāris viens par otru negatīvs. Šajā piemērā mums jāizlemj, kuru no nezināmajiem novērst, x vai y. Jebkurā gadījumā jaunos koeficientus padarīsim par sākotnējo koeficientu zemāko kopējo daudzkārtni (LCM), bet ar pretējām zīmēm.

Tādējādi, ja mēs likvidēsim x, mēs izveidosim jaunos koeficientus 6 un & mīnus 6. (LCM 3 un 2 ir 6.) Ja, ja izslēgsim y, mēs izveidosim to jaunos koeficientus 10 un & mīnus10. (LCM 2. un 5. ir 10.)

Izvēlēsimies izslēgt x:

1) 3 x + 2 g = & mīnus2 6 x + 4 g = & mīnus4
2) 2 x + 5 g = & mīnus 5 & mīnus 6 reizes & mīnus 15 g = 15
________________________________________________________________________
& mīnus 11 g = 11
y = & mīnus 1.

Vienādojums 1) ir reizināts ar 2. Vienādojums 2) ir reizināts ar & mīnus 3 - jo mēs vēlamies šos koeficientus padarīt 6 un & mīnus 6, lai, pievienojot, y tiktu atcelts.

Lai atrisinātu x, sākotnējā vienādojumā 1) aizstāsim y = & mīnus 1:

3 x + 2 (& mīnus 1) = & mīnus2
3 x un mīnus 2 = & mīnus2
3 x = 0
x = 0

3. problēma. Atrisiniet vienlaicīgi.

1) 2 x + 3 g = 13
2) 5 x & mīnus y = 7

Lai y atceltu, reiziniet 2) vienādojumu ar 3:

1) 2 x + 3 g = 13 2 x + 3 g = 13
2) 5 x & mīnus y = 7 15 x & mīnus 3 g = 21
________________________________________________________________________
17 x = 34
x = 2

Aizstājiet x = 2 vienā no sākotnējiem vienādojumiem.
1. vienādojumā:

4. problēma. Atrisiniet vienlaicīgi.

1) x + 2 g = & mīnus1
2) 2 x & mīnus 3 g = 5

Lai x atceltu, reiziniet vienādojumu 1) ar & mīnus 2:

1) x + 2 g = & mīnus1 & mīnus 2x & mīnus 4 g = 2
2) 2 x & mīnus 3 g = 5 2 x & mīnus 3 g = 5
________________________________________________________________________
& mīnus 7 g = 7
y = & mīnus1

Aizstāt y = & mīnus 1 vienā no sākotnējiem vienādojumiem.
1. vienādojumā:

Mēs varējām novērst y, reizinot vienādojumu 1) ar 3 un vienādojumu 2) ar 2.

5. problēma. Atrisiniet vienlaicīgi:

1) 3 x & mīnus 4 g = 1
2) 2 x + 3 g = 12

Reiziniet vienādojumu 1) ar 3 un vienādojumu 2) ar 4:

1) 3 x & mīnus 4 g = 1 9 x & mīnus 12 g = 3
2) 2 x + 3 g = 12 8 x + 12 g = 48
________________________________________________________________________
17 x = 51
x = 51
17
x = 3

Aizstājiet x = 3 vienā no sākotnējiem vienādojumiem.
2. vienādojumā (jo y zīme jau ir pozitīva):

6. problēma. Atrisiniet vienlaicīgi:

1) 3 x + 2 g = & mīnus4
2) 2 x + 5 g = 1

Reiziniet vienādojumu 1) ar 2 un vienādojumu 2) ar & mīnus 3:

1) 3 x + 2 g = & mīnus4 6 x + 4 g = & mīnus 8
2) 2 x + 5 g = 1 & mīnus 6 reizes & mīnus 15 g = & mīnus3
________________________________________________________________________
& mīnus 11 g = & mīnus11
y = 1

Aizstāt y = 1 vienā no sākotnējiem vienādojumiem.
1. vienādojumā:

Mēs varējām novērst y, reizinot vienādojumu 1) ar 5 un vienādojumu 2) ar & mīnus 2.

7. problēma. Atrisiniet vienlaicīgi:

1) 5 x + 3 g = & mīnus11
2) 2 x + 4 g = & mīnus 10

Reiziniet vienādojumu 1) ar 2 un vienādojumu 2) ar & mīnus 5:

1) 5 x + 3 g = & mīnus11 10 x + 6 g = & mīnus 22
2) 2 x + 4 g = & mīnus 10 & mīnus 10 x & mīnus 20 g = 50
________________________________________________________________________
& mīnus 14 g = 28
y = & mīnus2

Aizstāt y = & mīnus 2 vienā no sākotnējiem vienādojumiem.
1. vienādojumā:

Mēs varējām izslēgt y, reizinot vienādojumu 1) ar 4 un vienādojumu 2) ar & mīnus 3.

Kramera noteikums: Noteikšanas metode

Divu vienādojumu sistēmai divos nezināmos ir šāda forma:

A ir x koeficienti. B ir y koeficienti. Tālāk ir sniegta šo koeficientu matrica.

Skaitli a 1 b 2 un mīnus b 1 a 2 sauc par šīs matricas noteicēju.

Apzīmēsim šo noteicēju ar D.

Tagad apsveriet šo matricu, kurā c aizstāj x koeficientus:

Tad šīs matricas noteicējs - ko mēs sauksim par D x - ir

Un apsveriet šo matricu, kurā c aizstāj y koeficientus:

Šīs matricas noteicējs - D y - ir

Pēc tam Kramera noteikums nosaka:

Katrā divu vienādojumu sistēmā divos nezināmajos
kurā determinants D nav 0,

Piemērs. Izmantojiet Krāmera noteikumu, lai atrisinātu šo vienādojumu sistēmu (7. uzdevums):

5 x + 3 g = & mīnus11
2 x + 4 g = & mīnus 10

D = det = 5 un 4, mīnus 3 un 2
= 20 un mīnus 6
= 14.
D x = det = & mīnus11 & middot 4 & mīnus 3 & middot & mīnus10
= & mīnus44 + 30
= & mīnus 14.
D y = det = 5 & ​​middot & mīnus 10 & mīnus (& mīnus11) & middot 2
= & mīnus 50 + 22
= & mīnus 28.

x = D x
D
= & mīnus 14
14
= & mīnus 1.
y = D y
D
= & mīnus 28
14
= & mīnus2.

Problēma. Izmantojiet Krāmera noteikumu, lai atrisinātu šos vienlaicīgos vienādojumus.

D = det = 3 & middot 1 & mīnus (& mīnus5) & 2
= 3 + 10
= 13.
D x = det = & mīnus31 & middot 1 & mīnus (& mīnus5) & 1
= & mīnus31 + 5
= & mīnus 26.
D y = det = 3 & middot 1 & mīnus (& minus 31) & 2
= 3 + 62
= 65.

x = D x
D
= & mīnus 26
13
= & mīnus2.
y = D y
D
= 65
13
= 5.

Ja determinants D nav 0, mēs sakām, ka vienādojumi ir lineāri neatkarīgi. Jebkurā lineāri neatkarīgu vienādojumu sistēmā ir viens un tikai viens risinājums.

Ja determinants D ir 0, tad vai nu 1) nav unikāla risinājuma, ir iespējams nosaukt daudzus vai 2) risinājuma vispār nav. 1) gadījumā vienādojumi ir lineāri atkarīgi. Viens no tiem ir vienkārši daudzkārtējs. Piemēram,

2. gadījumā vienādojumi ir pretrunīgi.

Lūdzu, ziedojiet, lai TheMathPage būtu tiešsaistē.
Palīdzēs pat 1 USD.


KRĒMĒJU NOTEIKUMS - PowerPoint PPT prezentācija

PowerShow.com ir vadošā prezentāciju/slaidrādes koplietošanas vietne. Neatkarīgi no tā, vai jūsu pieteikums ir bizness, apmācība, izglītība, medicīna, skola, baznīca, pārdošana, mārketings, tiešsaistes apmācība vai tikai izklaidei, PowerShow.com ir lielisks resurss. Un, pats labākais, lielākā daļa tā lielisko funkciju ir bezmaksas un viegli lietojamas.

Varat izmantot PowerShow.com, lai atrastu un lejupielādētu tiešsaistes PowerPoint ppt prezentāciju paraugus par jebkuru tēmu, ko varat iedomāties, lai jūs varētu bez maksas iemācīties uzlabot savus slaidus un prezentācijas. Vai arī izmantojiet to, lai atrastu un lejupielādētu augstas kvalitātes PowerPoint ppt prezentācijas ar ilustrētiem vai animētiem slaidiem, kas iemācīs jums darīt kaut ko jaunu, arī bez maksas. Vai arī izmantojiet to, lai augšupielādētu savus PowerPoint slaidus, lai varētu tos kopīgot ar skolotājiem, klasi, studentiem, priekšniekiem, darbiniekiem, klientiem, potenciālajiem investoriem vai pasauli. Vai arī izmantojiet to, lai izveidotu patiešām lieliskas fotoattēlu slaidrādes - ar 2D un 3D pārejām, animāciju un jūsu izvēlēto mūziku -, ko varat kopīgot ar saviem Facebook draugiem vai Google+ lokiem. Tas viss arī bez maksas!

Par nelielu samaksu jūs varat iegūt nozares labāko tiešsaistes privātumu vai publiski reklamēt savas prezentācijas un slaidrādes ar augstākajiem reitingiem. Bet bez tā tas ir bez maksas. Mēs pat pārveidosim jūsu prezentācijas un slaidrādes universālā Flash formātā ar visu to oriģinālo multivides krāšņumu, ieskaitot animāciju, 2D un 3D pārejas efektus, iegulto mūziku vai citu audio vai pat slaidos iegultu video. Viss par brīvu. Lielāko daļu PowerShow.com prezentāciju un slaidrādes var apskatīt bez maksas, daudzas - pat bez maksas lejupielādēt. (Jūs varat izvēlēties, vai ļaut cilvēkiem par maksu vai bez maksas lejupielādēt oriģinālās PowerPoint prezentācijas un fotoattēlu slaidrādes.) Apskatiet PowerShow.com jau šodien - BEZ MAKSAS. Patiešām ir kaut kas ikvienam!

prezentācijas bez maksas. Vai arī izmantojiet to, lai atrastu un lejupielādētu augstas kvalitātes PowerPoint ppt prezentācijas ar ilustrētiem vai animētiem slaidiem, kas iemācīs jums darīt kaut ko jaunu, arī bez maksas. Vai arī izmantojiet to, lai augšupielādētu savus PowerPoint slaidus, lai varētu tos kopīgot ar skolotājiem, klasi, studentiem, priekšniekiem, darbiniekiem, klientiem, potenciālajiem investoriem vai pasauli. Vai arī izmantojiet to, lai izveidotu patiešām lieliskas fotoattēlu slaidrādes - ar 2D un 3D pārejām, animāciju un jūsu izvēlēto mūziku -, ko varat kopīgot ar saviem Facebook draugiem vai Google+ lokiem. Tas viss arī bez maksas!


9.8. Sistēmu risināšana ar Kramera likumu - matemātika

Jebkurā tehniskā kursā matemātikai ir būtiska loma pareizu problēmu risinājumu iegūšanā. Statika nav izņēmums. Lai izveidotu un atrisinātu statikas vienādojumus, studentam jābūt ar stabilu pamatu vairākās matemātiskās disciplīnās. Algebra, trigonometrija, ģeometrija un aprēķini ir ļoti svarīgi statikas izpētē un ārpus tās. Šis kurss ir paredzēts pirmo kursu tehnoloģiju studentam, tāpēc tam nav nepieciešami aprēķini. Šī sadaļa ir paredzēta, lai pārskatītu matemātikas pamatprincipus, kas šajā kursā tiek izmantoti intensīvi. Tas ir pārskats un nav paredzēts visaptverošam. Iesaistītie principi tiks sniegti galvenokārt piemēru veidā.

Algebra: Lielākā daļa šī kursa uzdevumu lielā mērā balstās uz algebru, lai atrisinātu izmantotos vienādojumus. Studentam būs jāatrisina vienādojumi ar vienu mainīgo un vienādojumu kopas ar vairākiem mainīgajiem. Turklāt studentam jāpārzina kvadrātiskā formula un dabiskie logaritmi.

Vienādojumi ar vienu mainīgo: Ļoti izplatīta problēma ir vienādojums ar tikai vienu mainīgo. Mainīgais var parādīties vienādojumā vienu vai vairākas reizes. Vienādojums var būt lineārs vai nelineārs, un tajā var būt trigfunkcijas vai logaritmiskas funkcijas.

Pamata pieeja, ko izmanto, lai atrisinātu vienādojumu ar vienu mainīgo, ir manipulēt ar vienādojumu, līdz mainīgais ir izolēts vienādojuma vienā pusē, un viss esle atrodas otrā pusē. Lineārā vienādojuma gadījumā to var izdarīt, katrai pusei pievienojot vai atņemot vienādus, abas malas reizinot ar vienādām vai abas puses dalot ar vienādām. Bieži vien, lai sasniegtu galīgo risinājumu, būs vajadzīgas vairākas darbības. Nelineāru vienādojumu gadījumā var būt jāveic citas darbības, piemēram, jāņem katras malas kvadrātsakne vai katras puses pieskare. Piemēri no 2-1 līdz 2-4 ir visi piemēri, kas ņemti no statikas problēmām, parādot pakāpeniskas manipulācijas, lai noteiktu galīgo risinājumu. Vairāku iemeslu dēļ studentam ir ieteicams neizlaist soļus, risinot problēmu. Izlaižot darbības, var rasties kļūdas un vienmēr būs grūtāk pārbaudīt darbu.

2-1. Piemērs - lineārais vienādojums ar 1 mainīgo Atrisiniet X vienādojumā: Reiziniet abas puses ar 3: Reiziniet ar 2: No abām pusēm atņemiet 24: Pievienojiet 18X abām pusēm: Veiciet aritmētiku kreisajā pusē: Sadaliet abas puses ar 18: Aizstājiet 2 sākotnējā vienādojumā, lai pārbaudītu:

2-2. Piemērs-nelineārs vienādojums ar 1 mainīgo, izmantojot kvadrātisko formulu Atrisiniet X vienādojumā: X (5X + 1,5) - 2,6 = 1,6X (2,5X + .5) Reiziniet ar X pa kreisi un 1.6X pa labi: 5X 2 + 1,5X - 2,6 = 4X 2 + .8X No abām pusēm atņemiet 4X 2 +.8X: X 2 + .7X - 2,6 = 0 Izmantojiet kvadrātisko formulu: Aizstājiet vērtības kvadrātiskajā formulā: Atrisiniet X: X 1 = 1,3
X 2 = -2

Ņemiet vērā, ka šajā vienādojumā ir divi X risinājumi. Kvadrātvienādojumam vienmēr būs 2 risinājumi, tomēr parasti tikai viens risinājums apmierinās problēmas nosacījumus. Pēc 2 risinājumu aprēķināšanas tie jāizvērtē problēmas kontekstā, lai noteiktu, kurš risinājums ir piemērotākais konkrētajai situācijai.

Lai pārbaudītu darbu, divi risinājumi ir jāaizstāj sākotnējā vienādojumā. Pārbaudes šeit netiks rādītas, bet tās būtu jāveic.

2-3. Piemērs. Nelineārais vienādojums ar 1 mainīgo, kas ietver aktivizēšanas funkciju
Atrisiniet X vienādojumā: Grēks (X + 15) = .5
Ņemiet katras puses apgriezto grēku: (X + 15) = Grēks -1 (.5)
(X + 15) = 30
No abām pusēm atņem 15: X = 15 o

2-4 piemērs-nelineārs vienādojums ar 1 mainīgu dabisko žurnālu
Atrisiniet X vienādojumā:
Paņemiet apgriezto ln no katras puses:
Atrisiniet X vienādojumā: X = 270,4

Vienādojumi ar vairākiem mainīgajiem: statikā, tāpat kā lielākajā daļā tehnisko kursu, rodas problēmas, kas saistītas ar vairākiem mainīgajiem. Ja vienādojumu sistēmai ir N mainīgie, tad šiem mainīgajiem jābūt N neatkarīgiem vienādojumiem, lai varētu rast risinājumu. Šādas vienādojumu sistēmas risināšanai var izmantot vairākas metodes. Tālāk sniegtajos piemēros ir parādīti 3 veidi, kā atrisināt vienu un to pašu vienādojumu sistēmu. Izmantotie vienādojumi ir:

-X + 2Y - 3Z = 1 (1)
2X + Z = 0 (2)
3X - 4Y + 4Z = 2 (3)

Viena metode, ko izmanto vienlaicīgu vienādojumu risināšanai, ir atrisināt vienu no vienādojumiem vienam no mainīgajiem, pēc tam aizstājot to ar vienu no citiem vienādojumiem, tādējādi izslēdzot šo mainīgo no otrā vienādojuma. Šis process turpinās, līdz vienādojumā paliek tikai viens mainīgais. Vientuļais mainīgais tiek atrisināts, pēc tam atkal aizstāts ar citiem vienādojumiem, līdz visi risinājumi ir atrasti.

2-5. Piemērs - vienādojumu sistēmas Pierakstiet visus vienādojumus:

-X + 2Y - 3Z = 1 (1)
2X + Z = 0 (2)
3X - 4Y + 4Z = 2 (3)

Atrisiniet vienu no vienādojumiem vienam no mainīgajiem. Šajā gadījumā visvienkāršāk ir strādāt ar 2. vienādojumu: 2X + Z = 0
Z = -2X Aizstājiet rezultātu vienā no citiem vienādojumiem. Piemēram, aizvietotājs Z = -2X 1. vienādojumā: -X + 2Y - 3Z = 1
-X + 2Y -3 (-2X) = 1
-X + 2Y + 6X = 1
5X + 2Y = 1 Atrisiniet šo jauno vienādojumu vienam no atlikušajiem mainīgajiem: 5X + 2Y = 1
5X - 1 = -2Y
1 - 5X = 2Y
Y = (1 - 5X) / 2 Aizstājiet šo rezultātu un Z rezultātu neizmantotajā vienādojumā, šajā gadījumā 3. vienādojumā: 3X - 4Y + 4Z = 2
3X - 4 [(1 - 5X) / 2] + 4 (-2X) = 2
3X - 2 (1 - 5X) + 4 (-2X) = 2
3X - 2 + 10X - 8X = 2 Atrisiniet iegūto vienādojumu atlikušajam mainīgajam: 3X - 2 + 10X - 8X = 2
5X = 4
X = 0,8 Atpakaļ aizstājiet šo rezultātu 2. vienādojumā: 2X + Z = 0
2 (.8) + Z = 0
1,6 + Z = 0
Z = -1,6 Atpakaļ aizstājiet šo rezultātu vienādojumā 3 (vai 1): 3X - 4Y + 4Z = 2
3 (.8) - 4Y + 4 (-1,6) = 2
Y = -1,5 Tātad galīgie risinājumi ir šādi: X = 0,8
Y = -1,5
Z = -1,6

To pašu vienādojumu sistēmu var atrisināt, izmantojot citu vienādojumu mainīgo likvidēšanas metodi. Lai pilnībā izmantotu šīs otrās metodes priekšrocības, ir svarīgi saprast līdzvērtīgu vienādojumu sistēmu jēdzienu. Divas vienādojumu sistēmas ir līdzvērtīgas, ja tām ir precīzi vienāds risinājumu kopums. Ir trīs darbības, kuras var veikt ar jebkuru vienādojumu sistēmu, kas radīs līdzvērtīgas sistēmas:

1.) Apmainiet divus vienādojumus.
2.) Reiziniet vienādojumu ar nulles vērtību.
3.) Pievienojiet vienādojuma reizinājumu citam vienādojumam.

Pirmais no tiem ir svarīgs citās vienādojumu sistēmas risināšanas metodēs, taču šeit tas netiks izmantots. Nākamajā piemērā izmantotā metode ietver mainīgo likvidēšanu, atkārtoti izmantojot otro un trešo darbību.

2-5. Piemērs - vienādojumu sistēmas Pierakstiet visus vienādojumus:

-X + 2Y - 3Z = 1 (1)
2X + Z = 0 (2)
3X - 4Y + 4Z = 2 (3)

Reiziniet pirmo vienādojumu ar 2 (neaizmirstiet reizināt abas vienādojuma puses):

-2X + 4Y - 6Z = 2 (1)
2X + Z = 0 (2)
3X - 4Y + 4Z = 2 (3)

Pievienojiet 1. vienādojumu 3. vienādojumam: X - 2Z = 4
Reiziniet vienādojumu 2 ar 2: 4 X + 2Z = 0
Pievienojiet to iepriekšējam rezultātam: 5 X = 4 Atrisiniet iegūto vienādojumu: X = 0,8 Atpakaļ aizstājiet šo rezultātu 2. vienādojumā: 2X + Z = 0
2 (.8) + Z = 0
1,6 + Z = 0
Z = -1,6 Atpakaļ aizstājiet šo rezultātu vienādojumā 3 (vai 1): 3X - 4Y + 4Z = 2
3 (.8) - 4Y + 4 (-1,6) = 2
Y = -1,5 Tātad galīgie risinājumi ir šādi: X = 0,8
Y = -1,5
Z = -1,6

To pašu vienādojumu sistēmu var atrisināt, izmantojot trešo metodi, kas pazīstama kā Kremera noteikums. Šī metode ir efektīva vienādojumu sistēmām, kas ietver trīs mainīgos, bet ir ļoti nogurdinoša lielākām sistēmām. Tomēr šo metodi var ieprogrammēt diezgan viegli, tāpēc tā ir piemērota lielāku sistēmu datoru risinājumiem. Kramera noteikums ietver matricu noteicēja atrašanu. Tāpēc tiks sniegts īss pārskats, lai atrastu 2. kārtas un 3. kārtas matricu noteicēju. Citus pasūtījumus skatiet jebkurā lineārās algebras tekstā.

Matrica ir skaitļu masīvs, kas sakārtots rindu un kolonnu formātā. Lai lietotu Kramera likumu, matricas būs kvadrātveida, kas nozīmē, ka rindu un kolonnu skaits ir vienāds. Matiksu attēlo masīvs, kas parādīts iekavās:

Matricas determinantu attēlo tas pats masīvs, kas parādīts vertikālas līnijas kopas iekšpusē:

Matricas noteicējs ir skaitlis, kuru novērtē, manipulējot ar masīva skaitļiem.

2. kārtas matricas noteicējs:
Lai novērtētu 2. kārtas matricas noteicēju, izmantojiet:

| A | = a 11 (C 11) + a 12 (C 12) + a 13 (C 13)

Ņemot vērā iepriekš minēto, tagad ir iespējams apspriest Krāmera noteikumu. Tas tiks darīts kā piemērs, izmantojot 3. kārtas matricu. Skatiet lineāras algebras tekstu, lai Krāmera noteikumu izmantotu citu izmēru matricām.

2-8 piemērs - Kramera noteikums vienādojumu sistēmām

A =

Trigonometrija: Trigonometriju plaši izmanto statikā. Trigonometrija ir trīsstūru attiecību izpēte. Šīs attiecības ietver leņķu funkcijas, piemēram, sinusu un kosinusu, un attiecības, kas saistītas ar malu garumiem, piemēram, Pitagora teorēmu.

Trigonometriskās pamatfunkcijas: Trīs pamatfunkcijas, ko plaši izmanto statikā, ir sinuss, kosinuss un pieskare. Apsveriet tālāk redzamo trīsstūri:

Ir svarīgi atzīt, ka šīs attiecības attiecas tikai uz taisnstūriem. Statikā taisnstūra trīsstūri parādās diezgan regulāri, tāpēc šīs attiecības tiks izmantotas bieži, tomēr ir vajadzīgas arī attiecības starp leņķiem un malām uz trijstūriem, kuriem nav taisna leņķa. Šīs attiecības sauc par sinusa likumu un kosinusa likumu. Apsveriet tālāk redzamo trīsstūri:

2-9 piemērs - Trig. Funkcijas

Trijstūrim kreisajā pusē atrodiet a un b.

Tagad, kad a ir zināms, pieskares funkciju var atkal izmantot, lai atrastu b:

2-10. Piemērs - kosinusa likums un sinusa likums

Trijstūrim kreisajā pusē atrodiet nezināmās malas garumu un leņķi.

Ģeometrija: Šajā kursā būs vajadzīgas vairākas ģeometriskas attiecības.


J: Vienpadsmit mēnešus pēc naudas aizņemšanās Dora maksā procentus 2800 ₱. Cik viņa aizņēmās, ja th.

A: Ņemiet vērā, ka 11 mēnešu laikā tika samaksāti vienkārši procenti: 2800 ar likmi 1113%. Aprēķiniet summu.

J: Atrodiet skalāra V palielinājuma ātrumu punktā P no sākuma līdz punktam P (2,6 9,8 9,5), kur V.

A: Saskaņā ar jautājumu, ņemot vērā, ka izcelsme līdz punktam P (2,6 9,8 9,5), kur V = 3, 3xy+ 2, 6xyz

J: Vienkāršie ieguldījuma procenti ir tieši proporcionāli ieguldījumu apjomam. Ieguldījums.

A: Mēs risinām problēmu, izmantojot proporcijas metodi.

J: Jūs projektējat kupolveida māju puslodes formā ar 40,0 pēdu ārējo diametru. 1. Kā.

A: Noklikšķiniet, lai redzētu atbildi

J: Norādes: aizpildiet tukšās vietas ar atslēgas vārdiem, kas attēlo reālās dzīves situācijas algebrai.

J: Atrisiniet sistēmu. Sniedziet savu atbildi kā (x, y, z) –3x + 4y: - 6z: = 19 - - Зх - 6у - 62 - 39 6х + 5у.

A: Noklikšķiniet, lai redzētu atbildi

J: Izmantojiet logaritmu īpašības, lai izvērstu izteiksmi kā summu, starpību un/vai konstantu mult.

A: Noklikšķiniet, lai redzētu atbildi

J: Apsveriet šādu lineāro nevienlīdzību sistēmu. 6x - y ≥ 9 4x - 5y & amplt −7 (a) Att.

A: Noklikšķiniet, lai redzētu atbildi

J: Izmantojiet līdzīgas bāzes un viens pret vienu, lai atrisinātu katru eksponenciālo vienādojumu. izmantojot logaritmus 4−3.


Determinanta pielietošana sistēmās: Kramera noteikums

Mēs esam redzējuši, ka noteicējs var būt noderīgs, lai atrastu vienvirziena matricas apgriezto vērtību. Mēs varam izmantot šos atklājumus, risinot lineāras sistēmas, kurām matricas koeficients ir vienreizējs (vai apgriežams).

Apsveriet lineāro sistēmu (matricas formā)

kur A ir matricas koeficients, B-neviendabīgais termins un X-nezināmā kolonnas matrica. Mums ir:

Teorēma. Lineārajai sistēmai AX = B ir unikāls risinājums tikai tad un tikai tad, ja A ir apgriežams. Šajā gadījumā risinājums tiek dots ar tā sauktajām Krāmera formulām:

kur x i ir sistēmas nezināmie vai X ieraksti, un matricu A i iegūst no A, aizstājot i. kolonnu ar kolonnu B. Citiem vārdiem sakot, mums ir

kur b i ir B ieraksti.

Jo īpaši, ja lineārā sistēma AX = B ir viendabīga, kas nozīmē, tad, ja A ir apgriezts, vienīgais risinājums ir triviālais, tas ir. Tātad, ja mēs meklējam sistēmai nulles risinājumu, matricas koeficientam A jābūt vienreizējam vai neatgriezeniskam. Mēs arī zinām, ka tas notiks tikai tad un tikai tad. Tas ir svarīgs rezultāts.

Piemērs. Atrisiniet lineāro sistēmu

kas nozīmē, ka matricas koeficients ir apgriežams. Tāpēc mēs varam izmantot Kramera formulas. Mums ir

Mēs atstājam detaļas lasītāja ziņā

Ņemiet vērā, ka ir viegli redzēt, ka z = 0. Patiešām, determinantam, kas dod z, ir divas identiskas rindas (pirmā un pēdējā). Mēs iesakām pārbaudīt, vai x, y un z atrastās vērtības patiešām ir dotās sistēmas risinājums.

Piezīme. Atcerieties, ka Krāmera formulas ir derīgas tikai lineārām sistēmām ar apgriežamu matricas koeficientu.


Vienādojumu sistēmu risināšana, izmantojot Krāmera noteikumu

Izveidojiet algoritmu, kas izmanto Kramera noteikumu (ar matricu noteicējiem), lai atrisinātu lineāro vienādojumu sistēmas risinājumus. Kodam vajadzētu darboties ar “n” mainīgo skaitu.

Jūs varat izmantot jebkuru datu struktūru, kuru vēlaties turēt matricā, un atgriezt rezultātu

Piezīme: Ņemiet vērā arī to, ka iespējamai sistēmai nevar būt risinājumu un tai var būt bezgala daudz risinājumu :)tāpēc jūsu risinājumam tas jāņem vērā.

Ja tas tā ir, vienkārši izdrukājiet vai atgrieziet “nav” vai “bezgala daudz”.

Tā kā tas ir koda golfs, uzvar mazākais kods.

REDIĢĒT: Lai to padarītu sarežģītāku, nevarat izmantot valodas iebūvētās matricu operāciju bibliotēkas.

Turklāt jūsu algoritmam NAV jārisina ievades iegūšanas veids, tikai tas, kā apstrādāt ievadi un atgriezt pareizo izvadi. Kā minēts iepriekš, šo ievadi varat saglabāt jebkurā struktūrā.


Parastā Lisp [rediģēt]

In Skaitliskās metodes, kas darbojas (parasti), sadaļā Kas lai aprēķinātu, FS Acton atzīmē ". varbūt mums vajadzētu priecāties, ka viņš neizmantoja Krāmera likumu (dažās vidusskolās to joprojām māca kā praktisku metodi) un atrisināt savus vienādojumus kā noteicošo faktoru attiecības - process, kas prasa darbu, kas ir proporcionāls N! Ja tas tiek darīts skolnieka veidā. Kontrasts ar N 3 var būt satriecošs! " Un tālāk: "Tumši norādot uz savu skaitļošanas fundamentālismu, iespējams, ir pienācis laiks apņemties publisku ķecerību, nosodot rekursīvos aprēķinus. nekad redzēju skaitlisku problēmu, kas radās no fiziskās pasaules un kuru vislabāk aprēķināja rekursīvā apakšprogramma. "

Tā kā šī problēma prasa izmantot Kramera likumu, jēra vietā var tikt pakārts arī par aitu, tāpēc vecā Fortrāna tradīcijas un smagais aprēķins tiks ignorēts un izmantotas biedējošās RECURSIVE specifikācijas, lai noteicošie faktori tiktu aprēķināti rekursīvi, līdz N = 1, lai gan N = 2 gadījums ir vienkāršs. Tas prasa F90 un jaunākas versijas. Līdzīgi tiks izmantots protokols MODULE, lai gan nav būtiska konteksta, ar ko dalīties. Alternatīvā metode determinanta aprēķināšanai ietver permutāciju ģenerēšanu, kas ir nogurdinošs process.

Masīvs, kas iet caur F90 modernajiem izkārtojumiem, rada jaunas grūtības pretoties nelielajām ērtībām, ja vismaz nav jānorāda papildu parametrs. Ja masīvs tiek nodots mūsdienīgā veidā, ir papildu slepenie parametri, uz kuriem atsaucas jaunā funkcija SIZE. Jebkurā gadījumā pasūtījuma N kvadrātveida matricai masīvs jābūt tiek pasludināts par A (N, N) un konkrēti ne par A (100,100), izmantojot tikai elementus līdz N = 7, jo izmantoto elementu uzglabāšanas vietas ievērojami atšķirtos no masīva izmantotajām deklarēts kā A (7,7). Tas nozīmē, ka masīvs ir atkārtoti jādeklarē katram dažāda lieluma lietojumam, kas ir nogurdinošs un kļūdu izraisošs uzdevums. Viendimensiju blokiem nav šīs problēmas, taču tiem jābūt “pietiekami gariem”, lai B un X varētu tikt iekļauti. Tas arī nozīmē, ka ikdienas matricām nepieciešamās palīgmatricas ir jāizveido pareizā izmērā, un, par laimi, tās var deklarēt tā, lai to pieprasītu, nesaprotot ALLOCATE, jo šis ir protokols, ko Algols ieviesa 1960. gados. Diemžēl nav tādas shēmas kā pl/i, lai deklarētu AUX "līdzīgu" A, tāpēc daži grotesquery rezultāti. Funkcijas DET gadījumā, kurai nepieciešams pasūtījuma masīvs N - 1, kad tās rekursija nokļūst zemāk ar N = 1, tā būs deklarējusi MINOR (0,0), diezgan dīvainu situāciju, kas, par laimi, neizraisa nekādas sūdzības, un testu skrējiens, kurā tā "vērtību" uzrakstīja WRITE (6,*) MINOR izveidoja tukšu rindu: arī tur nebija sūdzību, iespējams, tāpēc, ka tika nosūtīti nulles elementi un tāpēc netika nodrošināta nepareiza piekļuve. nekas.

Ar matricām ir problēma no paša sākuma 1958. gadā. Visi piekrīt, ka matrica jāindeksē kā A (rinda,kolonna) un ka pēc izrakstīšanas rindām vajadzētu iet pa lapu un kolonnām. Tas ir neparasti, un F90 funkcija MATMUL seko šim lietojumam. However, Fortran has always stored its array elements in what is called "column major" order, which is to say that element A(1,1) is followed by element A(2,1) in storage, not A(1,2). Thus, if an array is written (or read) by something like WRITE (6,*) A , consecutive elements, written along a line, will be A(1,1), A(2,1), A(3,1), . So, subroutine SHOWMATRIX is employed to write the matrix out in the desired form, and to read the values into the array, an explicit loop is used to place them where expected rather than just READ(INF,*) A

Similarly, if instead a DATA statement were used to initialise the array for the example problem, and it looked something like (ignoring integer/floating-point issues) thus corresponding to the layout of the example problem, there would need to be a statement A = TRANSPOSE(A) to obtain the required order. I have never seen an explanation of why this choice was made for Fortran.

Oddly, the Compaq Visual Fortran F90/95 compiler is confused by the usage "BAD IDEA" instead of "BADIDEA" - spaces are not normally relevant in Fortran source. Anyway, file Test.dat has been filled with the numbers of the example, as follows:

Fortran's free-form allows a comma, a tab, and spaces between numbers, and regards the / as starting a comment, but, because each row is read separately, once the required five (N + 1) values have been read, no further scanning of the line takes place and the next READ statement will start with a new line of input. So the / isn't needed for the third row, as shown. Omitted values lead to confusion as the input process would read additional lines to fill the required count and everything gets out of step. Echoing input very soon after it is obtained is helpful in making sense of such mistakes.

For more practical use it would probably be better to constrain the freedom somewhat, perhaps requiring that all the N + 1 values for a row appear on one input record. In such a case, the record could first be read into a text variable (from which the data would be read) so that if a problem arises the text could be printed as a part of the error message. But, this requires guessing a suitably large length for the text variable so as to accommodate the longest possible input line.

And at this point I suddenly noticed that the habits of Old Fortran are not so easily suppressed: all calculations are done with double precision. Curiously enough, for the specific example data, the same results are obtained if all variables are integer.


Skatīties video: Matemātika. Vienādojumu sistēmas risināšana - ievietošanas paņēmiens. (Novembris 2021).

3. kārtas matricas noteicējs:
Lai novērtētu 3. kārtas matricas noteicēju, kvadrātveida matricai ir jādefinē divi jauni termini - nepilngadīgie un kofaktori. Nepilngadīgais M ij elements a ij ir matricas noteicējs, kas paliek, ja tiek izdzēsta i rinda un kolonna j. Kofaktoru C ij pēc tam izsaka izteiksme C ij = (-1) i+j M ij.

Kofaktori vienmēr būs +1 vai -1 reizes mazāki, un tos var noteikt pēc šādas matricas:

Tas parāda, ka kofaktors 11 = C 11 = (+1) M 11.

Pēc šo divu terminu definēšanas tagad ir iespējams definēt procedūru 3. kārtas matricas noteicēja novērtēšanai:

| A | = a 11 (C 11) + a 12 (C 12) + a 13 (C 13)

2-7. Piemērs - 3. kārtas matricas noteicējs

2-6 piemērs - 2. kārtas matricas noteicējs
Atrodiet šādas matricas noteicēju: A =
Atrodiet šādas matricas noteicēju: A =
Pierakstiet visus vienādojumus:

-X + 2Y - 3Z = 1 (1)
2X + Z = 0 (2)
3X - 4Y + 4Z = 2 (3)

Izveidojiet "koeficienta matricu". Šī ir matrica ar X koeficientiem 1. slejā, Y koeficientiem 2. slejā un Z koeficientiem 3. slejā:
Aprēķiniet koeficienta matricas determinantu, izmantojot 2-7. Piemērā parādīto metodi: | A | = 10
Iestatiet vēl 3 matricas, aizstājot atsevišķas kolonnas ar konstantu vērtībām vienādojumu labajā pusē:
Aprēķiniet šo matricu noteicošos faktorus, izmantojot 2-7. Piemērā parādīto metodi: | A 1 | = 8

| A 3 | = -16

Piemērojiet Kramera noteikumu:
Tātad galīgie risinājumi ir šādi: X = 0,8
Y = -1,5
Z = -1,6
Šis ir taisnleņķa trīsstūris, un gan a, gan amp var noteikt, izmantojot pamata trig. funkcijas:
Tā kā ir norādītas divas malas un leņķis starp tām, tas ir piemērs problēmai, kas piemērota Kosinusa likumam. Izsauciet pusi, kas atrodas pretī dotajam leņķim C, un piemērojiet kosinusa likumu:
C 2 = A 2 + B 2 + 2AB cos c

C 2 = 6 2 + 4 2 + 2 (6) (4) cos 20

Sinusa likums tagad var man palīdzēt atrast leņķi.