Raksti

6.3. Apgrieztās trigonometriskās funkcijas


Iepriekšējās sadaļās mēs esam novērtējuši trigonometriskās funkcijas dažādos leņķos, taču dažreiz mums jāzina, kāds leņķis dotu noteiktu sinusa, kosinusa vai pieskares vērtību. Tam mums ir vajadzīgas apgrieztas funkcijas. Atgādinām, ka funkcijai viens pret vienu, ja (f (a) = b ), tad apgrieztā funkcija apmierinātu (f ^ {- 1} (b) = a ).

Jūs, iespējams, jau atpazīstat jautājumu - ka sinusa, kosinusa un pieskaršanās funkcijas nav viens pret vienu. Lai definētu šo funkciju apgriezto vērtību, mums būs jāierobežo šo funkciju domēns, lai iegūtu jaunu funkciju, kas ir viens pret vienu. Katrai funkcijai mēs izvēlamies domēnu, kas ietver nulles leņķi.

Šajos ierobežotajos apgabalos mēs varam definēt apgrieztās sinusa, apgrieztās kosinusa un apgrieztās pieskaršanās funkcijas.

APSVĒRT SINUSA, KOSĪNA UN TANGENTA FUNKCIJAS un to apgrieztās daļas

Leņķiem intervālā ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right] ), ja ( sin left ( theta right) = a ), tad ( sin ^ {- 1} pa kreisi (a pa labi) = theta )

( sin ^ {- 1} left (x right) ) ir domēns [-1, 1] un diapazons ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} pa labi] )

( Sin ^ {- 1} left (x right) ) dažreiz sauc par arcsine funkcija un ar notāciju ( arcsin left (a right) ).

Leņķiem intervālā ( left [0, pi right] ), ja ( cos left ( theta right) = a ), tad ( cos ^ {- 1} left (a labi) = theta )

( cos ^ {- 1} left (x right) ) ir domēns [-1, 1] un diapazons ( left [0, pi right] )

( Cos ^ {- 1} left (x right) ) dažreiz sauc par arccosine funkcija un ar notāciju ( arccos left (a right) ).

Leņķiem intervālā ( left (- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right) ), ja ( tan left ( theta right) = a ), tad ( tan ^ {- 1} pa kreisi (a right) = theta )

( tan ^ {- 1} left (x right) ) ir visu reālo skaitļu un diapazona domēns ( left (- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2 } aisnība))

( Tan ^ {- 1} left (x right) ) dažreiz sauc par arkangangents funkcija un ar notāciju ( arctan left (a right) ).

Šeit parādīti apgriezto funkciju grafiki:

Ievērojiet, ka katras no šīm apgrieztajām funkcijām rezultāts ir (leņķis ).

Piemērs ( PageIndex {1} )

Novērtējiet

  1. ( sin ^ {- 1} pa kreisi ( dfrac {1} {2} pa labi) )
  2. ( sin ^ {- 1} pa kreisi (- dfrac { sqrt {2}} {2} pa labi) )
  3. ( cos ^ {- 1} pa kreisi (- dfrac { sqrt {3}} {2} pa labi) )
  4. ( tan ^ {- 1} pa kreisi (1 pa labi) )

Risinājums

a) Vērtēšana ( sin ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) ) ir tas pats, kas jautāt, kura leņķa sinusa vērtība būtu ( dfrac {1} {2 } ). Citiem vārdiem sakot, kāds leņķis ( theta ) vai apmierinātu ( sin left ( theta right) = dfrac {1} {2} )?

Ir vairāki leņķi, kas apmierinātu šīs attiecības, piemēram, ( dfrac { pi} {6} ) un ( dfrac {5 pi} {6} ), taču mēs zinām, ka leņķis ir nepieciešams diapazons ( sin ^ {- 1} left (x right) ), intervāls ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right ] ), tāpēc atbilde būs [ sin ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) = dfrac { pi} {6} nonumber ]

Atcerieties, ka apgrieztais ir a funkciju tāpēc katrai ieejai mēs iegūsim tieši vienu izeju.

b) Novērtējot ( sin ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) ), mēs zinām, ka ( dfrac {5 pi} {4} ) un ( dfrac {7 pi} {4} ) sinusa vērtība ir (- dfrac { sqrt {2}} {2} ), bet neviena no tām nav intervālā ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} pa labi] ). Lai to izdarītu, mums ir nepieciešams negatīvā leņķa kotermināls ar ( dfrac {7 pi} {4} ). [ sin ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) = - dfrac { pi} {4} nonumber ]

c) Novērtējot ( cos ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {3}} {2} right) ), mēs meklējam leņķi intervālā ( left [0, pi right] ) ar kosinusa vērtību (- dfrac { sqrt {3}} {2} ). Leņķis, kas to apmierina, ir [ cos ^ {- 1} pa kreisi (- dfrac { sqrt {3}} {2} right) = dfrac {5 pi} {6} nonumber ]

d) Novērtējot ( tan ^ {- 1} left (1 right) ), mēs meklējam leņķi intervālā ( left (- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right) ) ar pieskares vērtību 1. Pareizais leņķis ir [ tan ^ {- 1} left (1 right) = dfrac { pi} {4} nonumber ]

Vingrinājums ( PageIndex {1} )

Novērtējiet

  1. ( sin ^ {- 1} pa kreisi (-1 pa labi) )
  2. ( tan ^ {- 1} pa kreisi (-1 pa labi) )
  3. ( cos ^ {- 1} pa kreisi (-1 pa labi) )
  4. ( cos ^ {- 1} pa kreisi ( dfrac {1} {2} pa labi) )
Atbilde

a) (- dfrac { pi} {2} )

b) (- dfrac { pi} {4} )

c) ( pi )

d) ( dfrac { pi} {3} )

Piemērs ( PageIndex {2} )

Izmantojot savu kalkulatoru, novērtējiet ( sin ^ {- 1} pa kreisi (0,97 pa labi) ).

Risinājums

Tā kā apgrieztās funkcijas izvade ir leņķis, kalkulators jums piešķirs grādu vērtību, ja grādu režīmā, un radiāna vērtību, ja režīmā radiāns.

Radiāna režīmā [ sin ^ {- 1} (0,97) aptuveni 1,3252 nonumber ]

Grādu režīmā [ sin ^ {- 1} pa kreisi (0,97 pa labi) apm. 75,93 {} ^ circ nonumber ]

Vingrojiet

Izmantojot savu kalkulatoru, novērtējiet ( cos ^ {- 1} pa kreisi (-0,4 pa labi) ).

Atbilde

[1.9823 text {or} 113.578 mathrm {{} ^ circ} nonumber ]

5.5. Sadaļā mēs strādājām ar trigonometriju uz taisnstūra trīsstūra, lai atrisinātu trijstūra malas, kurām piešķirta viena mala un papildu leņķis. Izmantojot apgrieztās trigera funkcijas, mēs varam atrisināt taisnstūra trīsstūra leņķus, ņemot vērā divas puses.

Piemērs ( PageIndex {3} )

Atrisiniet leņķa ( theta ) trīsstūri.

Risinājums

Tā kā mēs zinām hipotenūzu un leņķim blakus esošo pusi, mums ir jēga izmantot kosinusa funkciju.

[ cos left ( theta right) = dfrac {9} {12} nonumber ] Izmantojot inversijas definīciju,

[ theta = cos ^ {- 1} pa kreisi ( dfrac {9} {12} right) nonumber ] Novērtēšana

[ theta apm. 0.7227 text {vai aptuveni} 41.4096 mathrm {{} ^ circ} nonumber ]

Ir reizes, kad mums jāsastāda trigonometriskā funkcija ar apgriezto trigonometrisko funkciju. Šajos gadījumos mēs varam atrast precīzas iegūtās izteiksmes vērtības

Piemērs ( PageIndex {4} )

Novērtējiet ( sin ^ {- 1} left ( cos left ( dfrac {13 pi} {6} right) right) ).

Risinājums

a) Šeit mēs varam tieši novērtēt kompozīcijas iekšpusi.

[ cos left ( dfrac {13 pi} {6} right) = dfrac { sqrt {3}} {2} nonumber ]

Tagad mēs varam novērtēt apgriezto funkciju, kā mēs to darījām iepriekš.

[ sin ^ {- 1} left ( dfrac { sqrt {3}} {2} right) = dfrac { pi} {3} nonumber ]

Vingrinājums ( PageIndex {3} )

Novērtējiet ( cos ^ {- 1} left ( sin left (- dfrac {11 pi} {4} right) right) ).

Atbilde

[ sin left (- dfrac {11 pi} {4} right) = - dfrac { sqrt {2}} {2}. cos ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) = dfrac {3 pi} {4} nonumber ]

Piemērs ( PageIndex {5} )

Atrodiet precīzu vērtību ( sin left ( cos ^ {- 1} left ( dfrac {4} {5} right) right) ).

Risinājums

Sākot ar iekšpusi, mēs varam teikt, ka ir kāds leņķis, tāpēc ( theta = cos ^ {- 1} left ( dfrac {4} {5} right) ), kas nozīmē ( cos left ( theta right) = dfrac {4} {5} ), un mēs meklējam ( sin left ( theta right) ). Lai to izdarītu, mēs varam izmantot Pitagora identitāti.

[ sin ^ {2} left ( theta right) + cos ^ {2} left ( theta right) = 1 nonumber ] Izmantojot mūsu zināmo vērtību kosinusa vērtībai
[ sin ^ {2} left ( theta right) + left ( dfrac {4} {5} right) ^ {2} = 1 nonumber ] Sinusa risināšana
[ sin ^ {2} left ( theta right) = 1- dfrac {16} {25} nonumber ]
[ sin left ( theta right) = pm sqrt { dfrac {9} {25}} = pm dfrac {3} {5} nonumber ]

Tā kā mēs zinām, ka apgrieztais kosinuss vienmēr dod leņķi intervālā ( pa kreisi [0, pi pa labi] ), mēs zinām, ka šī leņķa sinusam jābūt pozitīvam, tāpēc [ sin pa kreisi ( cos ^ {- 1} left ( dfrac {4} {5} right) right) = sin ( theta) = dfrac {3} {5} nonumber ]

Piemērs ( PageIndex {6} )

Atrodiet precīzu vērtību ( sin left ( tan ^ {- 1} left ( dfrac {7} {4} right) right) ).

Risinājums

Kamēr mēs varētu izmantot līdzīgu tekā pēdējā piemērā, šeit mēs parādīsim citu tehniku. No iekšpuses mēs zinām, ka ir leņķis, tāpēc ( tan left ( theta right) = dfrac {7} {4} ). Mēs to varam iedomāties kā taisnstūra trīsstūra pretējās un blakus esošās puses.

Izmantojot Pitagora teorēmu, mēs varam atrast šī trijstūra hipotenūzu:

[4 ^ {2} + 7 ^ {2} = hipotenūza ^ {2} nonumber ]

[hypotenuse = sqrt {65} nonumber ]

Tagad mēs varam attēlot leņķa sinusu kā pretējo pusi dalītu ar hipotenūzi.

[ sin left ( theta right) = dfrac {7} { sqrt {65}} nonumber ]

Tas dod mums vēlamo sastāvu

[ sin left ( tan ^ {- 1} left ( dfrac {7} {4} right) right) = sin ( theta) = dfrac {7} { sqrt {65} }. nonumber ]

Vingrinājums ( PageIndex {4} )

Novērtējiet ( cos left ( sin ^ {- 1} left ( dfrac {7} {9} right) right) ).

Atbilde

Ļaujiet ( theta = sin ^ {- 1} pa kreisi ( dfrac {7} {9} pa labi) ), tāpēc [ sin ( theta) = dfrac {7} {9} nonumber ]

Izmantojot Pitagora identitāti, ( sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = 1 ), tātad [ left ( dfrac {7} {9} right) ^ {2} + cos ^ {2} theta = 1 skaitlis ]

Atrisināšana, [ cos left ( sin ^ {- 1} left ( dfrac {7} {9} right) right) = cos left ( theta right) = dfrac {4 sqrt {2}} {9} nonumber ]

Mēs varam atrast arī kompozīcijas, kas saistītas ar algebriskām izteiksmēm

Piemērs ( PageIndex {7} )

Atrodiet vienkāršotu izteicienu ( cos left ( sin ^ {- 1} left ( dfrac {x} {3} right) right) ), (- 3 le x le 3 ).

Risinājums

Mēs zinām, ka ir leņķis ( theta ) tā, lai ( sin pa kreisi ( theta right) = dfrac {x} {3} ). Izmantojot Pitagora teorēmu,

[ sin ^ {2} left ( theta right) + cos ^ {2} left ( theta right) = 1 nonumber ] Sinusam tiek izmantota mūsu zināmā izteiksme
[ left ( dfrac {x} {3} right) ^ {2} + cos ^ {2} left ( theta right) = 1 nonumber ] Kosinusa risināšana
[ cos ^ {2} left ( theta right) = 1- dfrac {x ^ {2}} {9} nonumber ]
[ cos left ( theta right) = pm sqrt { dfrac {9-x ^ {2}} {9}} = pm dfrac { sqrt {9-x ^ {2}} } {3} nonumber ]

Tā kā mēs zinām, ka apgrieztajam sinusim intervālā ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right] ) jābūt leņķim, mēs varam secināt, ka Šī leņķa kosinusa vērtībai jābūt pozitīvai. Tas mums dod

[ cos left ( sin ^ {- 1} left ( dfrac {x} {3} right) right) = dfrac { sqrt {9-x ^ {2}}} {3} nonumber ]

Vingrinājums ( PageIndex {5} )

Atrodiet vienkāršotu izteicienu ( sin left ( tan ^ {- 1} left (4x right) right) ), priekš (- dfrac {1} {4} le x le dfrac {1} {4} ).

Atbilde

Ļaujiet ( theta = tan ^ {- 1} pa kreisi (4x pa labi) ), tātad ( tan ( theta) = 4x ). Mēs to varam attēlot uz trijstūra kā ( tan ( theta) = dfrac {4x} {1} ).

Trijstūra hipotenūze būtu ( sqrt { left (4x right) ^ {2} +1} ). [ sin left ( tan ^ {- 1} left (4x right) right) = sin ( theta) = dfrac {4x} { sqrt {16x ^ {2} +1}} nonumber ]

Svarīgas šīs sadaļas tēmas

  • Apgrieztās trigera funkcijas: arcsine, arccosine and arkctangent
  • Domēna ierobežojumi
  • Inversu novērtēšana, izmantojot apļa vienību vērtības un kalkulatoru
  • Skaitlisko izteiksmju vienkāršošana, iesaistot apgrieztās trigera funkcijas
  • Algebrisko izteiksmju vienkāršošana, iesaistot apgrieztās trigera funkcijas

Apgrieztās trigonometriskās formulas

Trigonometrijā mēs uzzinām par taisnleņķa trīsstūra leņķu un malu attiecībām. Līdzīgi mums ir apgrieztas trigonometrijas funkcijas. Trigonometriskās pamatfunkcijas ir grēks, cos, iedegums, cosec, sec un bērnu gultiņa. Savukārt apgrieztās trigonometriskās funkcijas tiek apzīmētas kā sin -1 x, cos -1 x, gultiņa -1 x, tan -1 x, cosec -1 x un sec -1 x. Šajā rakstā iemācīsimies apgrieztās trigonometriskās funkcijas, izmantojot dažus atrisinātus piemērus.


Iepriekš mēs to uzzinājām f(x) un f –1 (x) bija apgriezti f(f –1 (x)) = x un f –1 (f(x)) = x. Tas pats attiecas uz trigonometriskajām funkcijām ar izņēmumu. Ir jāpiemēro apgriezto funkciju domēns.

Apgriezto trigonometrisko funkciju sastāvs

Ja –1 ≤ x ≤ 1 un (- frac<π><2>) ≤ y ≤ ( frac<π><2> ), tad grēks (grēks –1 (x)) = x un grēks –1 (grēks (y)) = y

Ja –1 ≤ x ≤ 1 un 0 ≤ yπ, tad cos (cos –1 (x)) = x un cos –1 (cos (y)) = y

Ja x ir reāls skaitlis un (- frac<π><2>) ≤ y ≤ ( frac<π><2> ), pēc tam iedegums (iedegums –1 (x)) = x un iedegums –1 (iedegums (y)) = y

Neaizmirstiet būt uzmanīgiem, lai saglabātu kompozīcijas domēnu un diapazonu. Izstrādājiet kompozīciju no iekšpuses uz āru.

1. piemērs: Novērtējiet apgriezto trigeru funkciju sastāvus

Novērtējiet a) ( sin left ( arcsin frac <1> <2> right) ), b) ( cos left ( cos ^ <–1>frac<2π> <3> pa labi) ), c) iedegums (arktāns –10).

Risinājums
  1. ( sin left ( arcsin frac <1> <2> right) ): arcsin ir iekšējā funkcija, un arcsin domēns ir –1 ≤ x ≤ 1. ( frac <1> <2> ) atrodas šajā domēnā. ( arcsin left ( frac <1> <2> right) = frac<π><6> ), pēc tam atrodiet ( sin left ( frac<π><6> pa labi) = frac <1> <2> ). Tātad ( grēks pa kreisi ( arcsin frac <1> <2> pa labi) = frac<π><6>).
  2. ( cos left ( cos ^ <–1>frac<2π> <3> right) ): cos –1 ir iekšējā funkcija, un cos –1 domēns ir –1 ≤ x ≤ 1. ( frac <2π> <3> aptuveni 2 ), tātad ( frac <2π> <3> ) atrodas ārpus domēna, un tāpēc nav risinājuma ( cos left ( cos ^ <–1>frac<2π> <3> pa labi) ).
  3. iedegums (arktāns –10): arktāns ir iekšējā funkcija, un arktāna domēns ir jebkurš reāls skaitlis. –10 ir reāls skaitlis, tāpēc iedegums (arktāns –10) = –10.
Izmēģiniet to 1

Novērtējiet a) grēku (grēks –1 (0,345)) un b) ( cos pa kreisi ( cos ^ <–1>–frac<2> <3> pa labi) ).

Atbildes

2. piemērs: Novērtējiet apgriezto aktivizēšanas funkciju sastāvus

Novērtējiet a) ( arcsin left ( sin frac<π><3> labais) ), b) ( arccos kreisais ( cos frac <5π> <4> labais) ) un c) iedegums –1 (iedegums π).

Risinājums

( arcsin left ( sin frac<π><3> pa labi) ): strādājiet no iekšpuses uz āru. ( grēks frac<π> <3> = frac < sqrt <3>> <2> ) tā

(Atcerieties, ka arko diapazons ir 0 ≤ yπ.)

iedegums –1 (iedegums π): iedegums π = 0 tātad

iedegums –1 (iedegums π)
= iedegums –1 (0)
= 0

(Atcerieties, ka iedeguma diapazons –1 ir (- frac<π><2>) ≤ y ≤ ( frac<π><2>).)

Izmēģiniet to 2

Novērtējiet a) ( arctan left ( tan frac <3π> <4> right) ) un b) sin –1 (sin (–0,354)).

Atbildes

Trigonometrisko funkciju sastāvu var atrisināt arī izmantojot taisnstūra trīsstūrus. Izmantojiet iekšējo funkciju, lai uzzīmētu taisnu trīsstūri, pēc tam izmantojiet trīsstūri, lai novērtētu ārējo funkciju.

Taisnā trīsstūra izmantošana trigonometrisko funkciju sastāva risināšanai
  1. Lai attēlotu iekšējo funkciju, uzzīmējiet taisnu trīsstūri. Divām pusēm jābūt marķētām.
  2. Izmantojiet Pitagora teorēmu, lai atrisinātu otru pusi.
  3. Izmantojiet trijstūri, lai novērtētu ārējo trigonometrisko funkciju.

3. piemērs: Novērtējiet jauktu trigfunkciju sastāvu

Novērtējiet a) ( cos left ( arcsin frac <3> <5> right) ) un b) ( tan left ( cos ^ <–1> left (- frac <2 > <3> pa labi) pa labi) ).

Sāciet ar iekšējo funkciju ( arcsin frac <3> <5> ). ( sin x = frac), tāpēc 1. kvadrantā uzzīmējiet taisnu trīsstūri un iezīmējiet aso leņķi pēc izcelsmes. Pretējā puse ir 3 un hipotenūza ir 5. Skat 2. attēls. Izmantojiet Pitagora teorēmu, lai atrastu otru pusi.

3 2 + b 2 = 5 2
b = 4

Tagad novērtējiet leņķa ārējo funkciju cos.

Sāciet ar iekšējo funkciju ( cos ^ <–1>left(–frac<2> <3> pa labi) ) un uzzīmējiet taisnu trīsstūri. Tā kā malu attiecība ir negatīva, uzzīmējiet trīsstūri apgrieztās trigonometriskās funkcijas negatīvajā kvadrantā. Attiecībā uz cos –1 negatīvais kvadrants ir 2. kvadrants. Apzīmējiet leņķi pēc sākuma un blakus esošās puses –2 un 3. hipotenūzas. Skat. 3. attēls. Izmantojiet Pitagora teorēmu, lai atrastu otru pusi.

(–2) 2 + b 2 = 3 2
(b = sqrt <5> )

Tagad novērtējiet leņķa ārējo iedeguma funkciju.

Izmēģiniet to 3

Novērtējiet ( sin left ( arctan left (- frac <12> <5> right) right) ).

Atbilde

4. piemērs: trigonometrisko funkciju sastāvs, izmantojot x

Pārrakstīt kā algebrisko izteicienu a) sin (arccos (x)) un b) iedegums (grēks –1 (2x)).

Uzzīmējiet taisnstūri un marķējiet malas. Sānu attiecība ir (x = frac<1> ). Tā kā iekšējā funkcija ir ( arccos left ( frac<1> pa labi) ), blakus esošā puse ir x un hipotenūza ir 1. Skat 4. attēls. Izmantojiet Pitagora teorēmu, lai atrastu izteicienu trešajai pusei.

x 2 + b 2 = 1 2
b 2 = 1 – x 2
(b = sqrt <1 - x ^ <2>> )

Tagad novērtējiet ārējo funkciju, sinusa.

Uzzīmējiet taisnstūri un marķējiet malas. Malu attiecība ir (2x = frac <2x> <1> ). Tā kā iekšējā funkcija ir ( sin ^ <–1> pa kreisi ( frac <2x> <1> pa labi) ), pretējā puse ir 2x un hipotenūza ir 1. Skat 5. attēls. Izmantojiet Pitagora teorēmu, lai atrastu izteicienu trešajai pusei.

a 2 + (2x) 2 = 1 2
a 2 + 4x 2 = 1
a 2 = 1 – 4x 2
(a = sqrt <1 - 4x ^ <2>> )

Tagad novērtējiet ārējo funkciju, pieskārienu.

Izmēģiniet to 4

Pārrakstīt kā algebrisku izteiksmi: ( cos left ( arctan left ( frac<2> pa labi) pa labi) ).

Atbilde

6.3. Apgrieztās trigonometriskās funkcijas

Apgrieztās trigonometriskās funkcijas ir trigonometrisko funkciju apgrieztās funkcijas. Ir apgriezti sinusīns, kosinuss, kosekants, tangenss, kotangents un sekants funkcijas. Tos sauc arī par loka funkcijām, antitrigonometriskām vai ciklometriskām funkcijām. Šīs apgrieztās funkcijas trigonometrijā izmanto, lai iegūtu leņķi ar jebkuru no trigonometrijas koeficientiem. Ļaujiet detalizēti apspriest katru apgriezto trigonometrisko funkciju.

Arcsine

arcsine funkcija ir sinusa funkcijas apgrieztā vērtība, ko apzīmē ar sin -1 x. Tas atgriež leņķi, kura sinusa atbilst norādītajam skaitlim.

sinθ = (pretī / hipotenūza)

=> grēks -1 (pretējā / hipotenūza) = θ

Apgrieztā grēka teorēma ir: d / dx sin -1 x = 1 / √ (1 & # 8211 x 2)

grēks (θ) = x

tagad,

f (x) = grēks -1 x .. (ekv1)

grēka aizstājvērtība ekvivalentā (1)

f (grēks (θ)) = θ

f '(sin (θ)) cos (θ) = 1 .. diferencējot vienādojumu

mēs to zinām,

grēks 2 θ + cos 2 θ = 1

tā,

cos = √ (1 & # 8211 x 2)

f '(x) = 1 / √ (1 & # 8211 x 2)

tagad,

d / dx sin -1 x = 1 / √ (1 & # 8211 x 2)

tātad pierādīts.

Arccosine

arkozīna funkcija ir sinusa funkcijas apgrieztā vērtība, ko apzīmē ar cos -1. Tas atgriež leņķi, kura kosinuss atbilst norādītajam skaitlim.

cosθ = (hipotenūze / blakus)

=> cos -1 (hipotenūze / blakus) = θ

Cos apgrieztās teorēma ir: d / dx cos -1 (x) = -1 / √ (1 & # 8211 x 2)

cos (θ) = x

θ = arccos (x)

dx = dcos (θ) = −sin (θ) dθ .. diferencē vienādojumu

tagad,

mēs to zinām,

grēks 2 + cos 2 = 1

tā,

cos = √ (1 & # 8211 x 2)

−sin (θ) = −sin (arccos (x)) = -√ (1 & # 8211 x 2)

dθ / dx = −1 / grēks (θ) = -1 / √ (1 & # 8211 x 2)

tā,

dθ / dx cos -1 (x) = -1 / √ (1 & # 8211 x 2)

tātad pierādīts.

Arkangangents

arktangentā funkcija ir apgrieztā pieskāriena funkcija, ko apzīmē ar tan -1. Tas atgriež leņķi, kura tangenss atbilst norādītajam skaitlim.

tanθ = (pretī / blakus)

=> iedegums -1 (pretī / blakus) = θ

Iedeguma apgrieztās vērtības teorēma ir: d / dx iedegums -1 (x) = 1 / (1 + x 2)

iedegums (θ) = x

θ = arktāns (x)

mēs to zinām,

iedegums 2 θ + 1 = sekunde 2 θ

dx / dθ = sec 2 y .. diferencējoša iedeguma funkcija

dx / dθ = 1 + x 2

tāpēc

dθ / dx = 1 / (1 + x 2)

tātad pierādīts.

Funkciju domēnu ierobežošana, lai padarītu tās par negrozāmām

  • ƒ: [−π / 2, π / 2] ⇒ [-1, 1] ir definēts kā ƒ (x) = sin (x) un ir bijekcija, tāpēc pastāv apgriezta. Grēka apgriezto vērtību -1 sauc arī par arčzīnu un apgrieztās funkcijas sauc arī par loka funkcijām.
  • ƒ: [- π / 2, π / 2] ⇒ [−1, 1] ir definēts kā sinθ = x ⇔ sin -1 (x) = θ, θ pieder grupām [−π / 2, π / 2] un x pieder grupai [−1, 1].

Līdzīgi mēs ierobežojam cos, iedeguma, gultiņas, sec, cosec domēnus tā, lai tie būtu apgriezti.

Domēns un apgriezto funkciju diapazons

Apgriezto trigonometrisko funkciju izmantošana ar kalkulatoru

Zinātniskajā kalkulatorā ir iespējams atrast apgrieztas trigonometriskās funkcijas, kā arī trigonometriskās funkcijas. Lai atrastu leņķa trigonometriskās funkcijas, ievadiet izvēlēto leņķi grādos vai radiānos. Zem kalkulatora sešas trigonometriskās funkcijas parādīsies sinusa, kosinusa, pieskares, kosekanta, sekanta un kotangenta. Līdzīgi, lai zinātniskajā kalkulatorā atrastu apgrieztās trigonometriskās funkcijas, dodieties uz kalkulatora pogu Shift un nospiediet to, pēc tam atlasiet jebkuru standarta trigonometrisko funkciju, piemēram, sinusu, kosinusu, tangenci, kosekantu, sekantu un kotangentu. Tas ļaus jums izmantot apgrieztās trigonometriskās funkcijas. Pēc trigonometriskās funkcijas izvēles vienkārši ievadiet parametru radiānos vai grādos, vai apgriezto funkciju gadījumā ievadiet vērtības, kas atrodas konkrētās funkcijas jomā, un zinātniskais kalkulators to atrisinās.

Apgrieztās trigonometriskās funkcijas

Periodiskas funkcijas:

Tā kā trigonometriskās funkcijas ir periodiskas, to apgrieztās funkcijas tiek mainītas, lai to ierakstītu standarta formātā, mēs izmantojam tālāk sniegtos vienādojumus.

arcsin (x) = (-1) n loka sin x + πn

arccos (x) = ± arccos x + 2πn

arktāns (x) = arktāns (x) + πn

arccot ​​(x) = arccot ​​(x) + πn

kur n = 0, ± 1, ± 2,….

Trigonometrisko funkciju aizstāšana dažādās funkcijās:

Apgriezto trigonometrisko funkciju atvasinājumi:

d / dx sin -1 (x) = 1 / √ (1 & # 8211 x 2)

d / dx cos -1 (x) = -1 / √ (1 & # 8211 x 2)

d / dx iedegums -1 (x) = 1 / (1 + x 2)

d / dx gultiņa -1 (x) = -1 / (1 + x 2)

Dažādu trigonometrisko funkciju īpašības

1. komplekts: grēka īpašības

1) grēks (θ) = x ⇔ grēks -1 (x) = θ, θ ∈ [-π / 2, π / 2], x ∈ [-1, 1]

2) grēks -1 (grēks (θ)) = θ, θ ∈ [-π / 2, π / 2]

3) grēks (grēks -1 (x)) = x, x ∈ [-1, 1]

2. kopa: cos īpašības

4) cos (θ) = x ⇔ cos -1 (x) = θ, θ ∈ [0, π], x ∈ [-1, 1]

5) cos -1 (cos (θ)) = θ, θ ∈ [0, π]

6) cos (cos -1 (x)) = x, x ∈ [-1, 1]

3. komplekts: iedeguma īpašības

7) iedegums (θ) = x ⇔ tan -1 (x) = θ, θ ∈ [-π / 2, π / 2], x ∈ R

8) iedegums -1 (iedegums (θ)) = θ, θ ∈ [-π / 2, π / 2]

9) iedegums (iedegums -1 (x)) = x, x ∈ R

4. komplekts: Bērnu gultiņas īpašības

10) gultiņa (θ) = x ⇔ gultiņa -1 (x) = θ, θ ∈ [0, π], x ∈ R

11) gultiņa -1 (gultiņa (θ)) = θ, θ ∈ [0, π]

12) gultiņa (gultiņa -1 (x)) = x, x ∈ R

5. kopa: sek. Rekvizīti

13) sek (θ) = x ⇔ sek -1 (x) = θ, θ ∈ [0, π] & # 8211 <π / 2>, x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

14) sek -1 (sek (θ)) = θ, θ ∈ [0, π] & # 8211 <π / 2>

15) sek (sek -1 (x)) = x, x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

6. kopa: cosec īpašības

16) cosec (θ) = x ⇔ cosec -1 (x) = θ, θ ∈ [-π / 2, π / 2] & # 8211 <0>, x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

17) cosec -1 (cosec (θ)) = θ, θ ∈ [-π / 2, π] & # 8211 <0>

18) cosec (cosec -1 (x)) = x, x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

7. kopa: citas apgrieztās trigonometriskās formulas

19) sin -1 (-x) = -sin -1 (x), x ∈ [-1, 1]

20) cos -1 (-x) = π & # 8211 cos -1 (x), x ∈ [-1, 1]

21) tan -1 (-x) = -tan -1 (x), x ∈ R

22) gultiņa -1 (-x) = π & # 8211 gultiņa -1 (x), x ∈ R

23) sek -1 (-x) = π & # 8211 sek -1 (x), x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

24) cosec -1 (-x) = -cosec -1 (x), x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

  • grēks -1 (-1/2) = -sin -1 (1/2)
  • cos -1 (-1/2) = π -cos -1 (1/2)
  • tan -1 (-1) = π-tan -1 (1)
  • gultiņa -1 (-1) = -gulta -1 (1)
  • sek -1 (-2) = π-sek -1 (2)
  • cosec -1 (-2) = -cosec -1 (x)

8. kopa: divu trigonometrisko funkciju summa

25) sin -1 (x) + cos -1 (x) = π / 2, x ∈ [-1, 1]

26) iedegums -1 (x) + gultiņa -1 (x) = π / 2, x ∈ R

27) sek -1 (x) + cosec -1 (x) = π / 2, x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

sin -1 (x) + cos -1 (x) = π / 2, x ∈ [-1, 1]

ļaujiet grēkam -1 (x) = y

tagad,

x = sin y = cos ((π / 2) - y)

⇒ cos -1 (x) = (π / 2) - y = (π / 2) −sin -1 (x)

tātad, grēks -1 (x) + cos -1 (x) = π / 2

iedegums -1 (x) + gultiņa -1 (x) = π / 2, x ∈ R

Ļaujiet iedegumam -1 (x) = y

tagad gultiņa (π / 2 - y) = x

⇒ gultiņa -1 (x) = (π / 2 - y)

iedegums -1 (x) + gultiņa -1 (x) = y + π / 2 - y

tātad, iedegums -1 (x) + gultiņa -1 (x) = π / 2

Līdzīgi mēs varam pierādīt arī arcsec un arccosec summas teorēmu.

9. kopa: trigonometrisko funkciju pārveidošana

28) sin -1 (1 / x) = cosec -1 (x), x ≥1 vai x≤ − 1

29) cos -1 (1 / x) = sek -1 (x), x ≥ 1 vai x ≤ −1

30) iedegums -1 (1 / x) = −π + gultiņa -1 (x)

sin -1 (1 / x) = cosec -1 (x), x ≥ 1 vai x ≤ −1

let, x = cosec (y)

1 / x = grēks (y)

⇒ grēks -1 (1 / x) = y

⇒ sin -1 (1 / x) = cosec -1 (x)


6.3 Apgrieztās trigonometriskās funkcijas

1 6. nodaļa Periodiskās funkcijas Apgrieztās trigonometriskās funkcijas Šajā nodaļā: apgrieztās trigonometriskās funkcijas Atrodiet precīzas salikto funkciju vērtības ar apgrieztām trigonometriskām funkcijām. Jebkuram taisnstūra trijstūrim, ņemot vērā vēl vienu leņķi un vienas puses garumu, mēs varam noskaidrot, kādi ir citi leņķi un sāni. Bet ko tad, ja mums tiek dotas tikai divas taisnstūra trīsstūra malas? Mums ir nepieciešama procedūra, kas mūs noved no sānu un leņķu attiecības. Šeit parādās jēdziens par apgrieztu trigonometrisko funkciju. Šajā sadaļā mēs izpētīsim apgrieztās trigonometriskās funkcijas. Apgrieztās sinusa, kosinusa un tangentas funkciju izpratne un izmantošana Lai izmantotu apgrieztās trigonometriskās funkcijas, mums jāsaprot, ka apgrieztā trigonometriskā funkcija atceļ to, ko dara sākotnējā trigonometriskā funkcija, kā tas ir jebkuras citas funkcijas un tās apgrieztās funkcijas gadījumā. Citiem vārdiem sakot, apgrieztās funkcijas domēns ir sākotnējās funkcijas diapazons un otrādi, kā apkopots attēlā 6.54. Piemēram, ja f (x) = sin x, tad mēs rakstīsim f 1 (x) = grēks 1 x. Jāapzinās, ka grēks 1 x nenozīmē 1 sinx. Šādi piemēri ilustrē apgrieztās trigonometriskās funkcijas: Tā kā sin & pi 6 = 1, tad & pi 6 = sin 1 1. Tā kā cos (& pi) = 1, tad & pi = cos 1 (1). Tā kā iedegums & pi 4 = 1, tad & pi 4 = iedegums 1 (1). Iepriekšējās sadaļās mēs novērtējām trigonometriskās funkcijas dažādos leņķos, bet dažreiz mums jāzina, kāds leņķis dotu noteiktu sinusa, kosinusa vai pieskares vērtību. Tam mums ir vajadzīgas apgrieztas funkcijas. Atgādinām, ka funkcijai viens pret vienu, ja f (a) = b, tad apgrieztā funkcija apmierinātu f 1 (b) = a. Paturiet prātā, ka sinusa, kosinusa un pieskaršanās funkcijas nav viens pret vienu funkcijas. Katras funkcijas grafiks neizdosies horizontālās līnijas testā. Faktiski neviena periodiska funkcija nevar būt viens pret vienu, jo katra izeja tās diapazonā atbilst vismaz vienai ieejai katrā periodā, un ir bezgalīgs periodu skaits. Tāpat kā ar citām funkcijām, kas nav viens pret vienu, mums būs jāierobežo katras funkcijas domēns, lai iegūtu jaunu funkciju, kas ir viens pret vienu. Katrai funkcijai mēs izvēlamies domēnu, kurā ir skaitlis 0. 6.55. Attēlā parādīts sinusa funkcijas grafiks, kas ierobežots ar & pi, & pi, un kosinusa funkcijas grafiks, kas ierobežots ar [0, & pi].

2 864 6. nodaļa Periodiskās funkcijas 6.55. Attēls (a) Sinusa funkcija ierobežotā & pi, & pi domēnā (b) Kosinusa funkcija ierobežotā [0, & pi] domēnā. 6.56. Attēlā parādīta pieskaršanās funkcijas grafiks, kas ierobežots ar & pi, & pi . 6.56. Attēls & pi, & pi Tangenta funkcija ierobežotā domēnā Šīs tradicionālās ierobežotā domēna izvēles ir nedaudz patvaļīgas, taču tām ir svarīgas, noderīgas īpašības. Katrā domēnā ir ietverta izcelsme un dažas pozitīvas vērtības, un pats galvenais, katra no tām rada viena indeksa funkciju, kas ir invertējama. Parastajai pieskares funkcijas ierobežotās domēna izvēlei ir arī noderīga īpašība, ka tā sniedzas no vienas vertikālas asimptotes uz nākamo, nevis asimptota sadalīta divās daļās. Šajos ierobežotajos apgabalos mēs varam definēt apgrieztās trigonometriskās funkcijas. Apgrieztā sinusa funkcija y = sin 1 x nozīmē x = sin y. Apgriezto sinusa funkciju dažkārt dēvē par arcsine funkciju un apzīmēto arcsinx. y = sin 1 x ir domēns [1, 1] un diapazons & pi, & pi Apgrieztā kosinusa funkcija y = cos 1 x nozīmē x = cos y. Apgriezto kosinusa funkciju dažreiz sauc par arkozīna funkciju un apzīmēto arccos x. y = cos 1 x ir domēns [1, 1] un diapazons [0, & pi]. Apgrieztās pieskares funkcija y = tan 1 x nozīmē x = tan y. Apgriezto pieskāriena funkciju dažkārt sauc par arktangento funkciju un apzīmēto arctan x. Šis saturs ir pieejams bez maksas vietnē

3 6. nodaļa Periodiskās funkcijas 865 y = tan 1 x ir domēns (,) un diapazons & pi, & pi. Apgriezto funkciju grafiki ir parādīti 6.57. Attēlā, 6.58. Attēlā un attēlā. Ievērojiet, ka katras šīs apgrieztās funkcijas rezultāts ir skaitlis, leņķis radiāna mērā. Mēs redzam, ka sin 1 x ir domēns [1, 1] un diapazons & pi, & pi, cos 1 x ir domēns [1,1] un diapazons [0, & pi], bet tan 1 x ir visu reālo skaitļu un diapazona domēns & pi , & pi. Lai atrastu apgriezto trigonometrisko funkciju domēnu un diapazonu, pārslēdziet sākotnējo funkciju domēnu un diapazonu. Katrs apgrieztās trigonometriskās funkcijas grafiks atspoguļo sākotnējās funkcijas grafiku par līniju y = x. 6.57. Attēls Sinusa funkcija un apgrieztā sinusa (vai arksīna) funkcija 6.58. Attēls Kosinusa funkcija un apgrieztās kosinusa (vai arkozīna) funkcija

4 866 6. nodaļa Periodiskās funkcijas 6.59. Attēls. Pieskares funkcijas un apgrieztās tangenciālās (vai arktangentās) funkcijas sakarības apgrieztās sinusa, kosinusa un tangentas funkcijām Leņķiem intervālā & pi, & pi, ja sin y = x, tad sin 1 x = y . Leņķiem intervālā [0, & pi], ja cos y = x, tad cos 1 x = y. Leņķiem intervālā & pi, & pi, ja iedegums ir y = x, tad iedegums ir 1 x = y. 6.4. Piemērs Apgrieztās funkcijas sakarības rakstīšana Ņemot vērā grēku 5 & pi, uzrakstiet relāciju, kas saistīta ar apgriezto sinusu. Risinājums Izmantojiet apgrieztā sinusa relāciju. Ja grēks y = x, tad grēks 1 x = y. Šajā uzdevumā x = un y = 5 & pi 1. sin 1 () 5 & pi Ņemot vērā cos (0.5), uzrakstiet sakarību, kas saistīta ar apgriezto kosinusu. Šis saturs ir pieejams bez maksas vietnē

5 6. nodaļa Periodiskās funkcijas 867 Tādu izteiksmju precīzās vērtības atrašana, kurās iesaistītas apgrieztās sinusa, kosinusa un tangentas funkcijas Tagad, kad mēs varam noteikt apgrieztās funkcijas, mēs iemācīsimies tās novērtēt. Lielākajai daļai vērtību to domēnos mums jānovērtē apgrieztās trigonometriskās funkcijas, izmantojot kalkulatoru, interpolējot no tabulas vai izmantojot kādu citu skaitlisko tehniku. Tāpat kā mēs to darījām ar sākotnējām trigonometriskajām funkcijām, mēs varam norādīt precīzas apgriezto funkciju vērtības, kad izmantojam īpašos leņķus, konkrēti & pi 6 (30), & pi 4 (45) un & pi (60), un to atstarojumus citi kvadranti. 3 Ņemot vērā īpašu ievades vērtību, novērtējiet apgriezto trigonometrisko funkciju. 1. Atrodiet leņķi x, kuram sākotnējās trigonometriskās funkcijas izeja ir vienāda ar apgrieztās trigonometriskās funkcijas ievadi. Ja x nav noteiktajā apgrieztā diapazona diapazonā, atrodiet citu leņķi y, kas atrodas noteiktajā diapazonā un ir tāds pats sinusīns, kosinuss vai tangenss kā x, atkarībā no tā, kurš atbilst dotajai apgrieztajai funkcijai. 6.5. Piemērs. Apgriezto trigonometrisko funkciju novērtēšana īpašām ievades vērtībām Novērtējiet katru no šiem. a. grēks 1 1 b. grēks 1 c. cos 1 3 d. iedegums 1 (1) Šķīdums a. Grēka 1 1 novērtēšana ir tāda pati kā leņķa noteikšana, kura sinusa vērtība būtu 1. Citiem vārdiem sakot, kāds leņķis x apmierinātu grēku (x) = 1? Ir vairākas vērtības, kas apmierinātu šīs attiecības, piemēram, & pi 6 un 5 & pi 6, taču mēs zinām, ka mums ir vajadzīgs leņķis intervālā & pi, & pi, tāpēc atbilde būs grēks 1 1 = & pi. Atcerieties, ka apgrieztā ir funkcija, tāpēc katrai ieejai mēs iegūsim tieši 6 vienu izeju. b. Lai novērtētu grēku 1, mēs zinām, ka 5 & pi 4 un 7 & pi 4 sinusa vērtība ir, bet neviena no tām nav intervālā & pi, & pi. Tam mums ir nepieciešams negatīvā leņķa kotermināls ar 7 & pi 4: sin 1 () = & pi 4. c. Lai novērtētu cos 1 3, mēs meklējam leņķi intervālā [0, & pi] ar kosinusa vērtību 3. Leņķis, kas to apmierina, ir cos 1 3 = 5 & pi 6.

6 868 6. ​​nodaļa Periodiskās funkcijas d. Novērtējot iedegumu 1 (1), mēs meklējam leņķi intervālā & pi, & pi ar pieskares vērtību 1. Pareizais leņķis ir iedegums 1 (1) = & pi Novērtējiet katru no šiem. a. grēks 1 (1) b. iedegums 1 (1) c. cos 1 (1) d. cos 1 1 Kalkulatora izmantošana inverso trigonometrisko funkciju novērtēšanai Lai novērtētu apgrieztās trigonometriskās funkcijas, kas neietver iepriekš apspriestos īpašos leņķus, mums būs jāizmanto kalkulators vai cita veida tehnoloģija. Lielākajai daļai zinātnisko kalkulatoru un kalkulatoru atdarinošo lietojumprogrammu ir specifiski taustiņi vai pogas apgrieztās sinusa, kosinusa un pieskaršanās funkcijām. Tie var būt marķēti, piemēram, SIN-1, ARCSIN vai ASIN. Iepriekšējā nodaļā mēs strādājām ar trigonometriju uz taisnstūra trīsstūra, lai atrisinātu trijstūra malas, kurām piešķirta viena puse un papildu leņķis. Izmantojot apgrieztās trigonometriskās funkcijas, mēs varam atrisināt taisnstūra trīsstūra leņķus, ņemot vērā divas puses, un mēs varam izmantot kalkulatoru, lai atrastu vērtības līdz vairākām zīmēm aiz komata. Šajos piemēros un vingrinājumos atbildes tiks interpretētas kā leņķi, un mēs izmantosim & theta kā neatkarīgo mainīgo. Kalkulatorā parādītā vērtība var būt grādos vai radiānos, tāpēc noteikti iestatiet lietojumprogrammai atbilstošo režīmu. 6.6. Piemērs Apgrieztā sinusa novērtēšana kalkulatorā Novērtējiet grēku 1 (0,97), izmantojot kalkulatoru. Solution Because the output of the inverse function is an angle, the calculator will give us a degree value if in degree mode and a radian value if in radian mode. Calculators also use the same domain restrictions on the angles as we are using. In radian mode, sin 1 (0.97) In degree mode, sin 1 (0.97) Note that in calculus and beyond we will use radians in almost all cases. 6.1 Evaluate cos 1 ( 0.4) using a calculator. This content is available for free at

7 Chapter 6 Periodic Functions 869 Given two sides of a right triangle like the one shown in Figure 6.60, find an angle. Figure If one given side is the hypotenuse of length h and the side of length a adjacent to the desired angle is given, use the equation &theta = cos 1 a h.. If one given side is the hypotenuse of length h and the side of length p opposite to the desired angle is given, use the equation &theta = sin 1 p h. 3. If the two legs (the sides adjacent to the right angle) are given, then use the equation &theta = tan 1 p a. Example 6.7 Applying the Inverse Cosine to a Right Triangle Solve the triangle in Figure 6.61 for the angle &theta. Figure 6.61 Solution Because we know the hypotenuse and the side adjacent to the angle, it makes sense for us to use the cosine function. cos &theta = 9 1 &theta = cos 1 ( 9 1 ) &theta 0.77 or about Apply definition of the inverse. Evaluate.

8 870 Chapter 6 Periodic Functions 6. Solve the triangle in Figure 6.6 for the angle &theta. Figure 6.6 Finding Exact Values of Composite Functions with Inverse Trigonometric Functions There are times when we need to compose a trigonometric function with an inverse trigonometric function. In these cases, we can usually find exact values for the resulting expressions without resorting to a calculator. Even when the input to the composite function is a variable or an expression, we can often find an expression for the output. To help sort out different cases, let f (x) and g(x) be two different trigonometric functions belonging to the set and let f 1 (y) and g 1 (y) be their inverses. Evaluating Compositions of the Form f(f(y)) and f(f(x)) For any trigonometric function, f f 1 (y) = y for all y in the proper domain for the given function. This follows from the definition of the inverse and from the fact that the range of f was defined to be identical to the domain of f 1. However, we have to be a little more careful with expressions of the form f 1 f (x). Compositions of a trigonometric function and its inverse sin(sin 1 x) = x for 1 x 1 cos(cos 1 x) = x for 1 x 1 tan(tan 1 x) = x for < x < sin 1 (sin x) = x only for &pi x &pi cos 1 (cos x) = x only for 0 x &pi tan 1 (tan x ) = x only for &pi < x < &pi Is it correct that sin 1 (sin x) = x? No. This equation is correct if x belongs to the restricted domain &pi, &pi, but sine is defined for all real input values, and for x outside the restricted interval, the equation is not correct because its inverse always returns a value in &pi, &pi. The situation is similar for cosine and tangent and their inverses. For example, sin 1 sin 3&pi 4 = &pi 4. This content is available for free at

9 Chapter 6 Periodic Functions 871 Given an expression of the form f 1 (f(&theta)) where f(&theta) = sin &theta, cos &theta, or tan &theta, evaluate. 1. If &theta is in the restricted domain of f, then f 1 ( f (&theta)) = &theta.. If not, then find an angle ϕ within the restricted domain of f such that f (ϕ) = f (&theta). Then f 1 f (&theta) = ϕ. Example 6.8 Using Inverse Trigonometric Functions Evaluate the following: 1. sin 1 sin &pi 3. sin 1 sin &pi 3 3. cos 1 cos &pi 3 4. cos 1 cos &pi 3 Solution a. &pi is in 3 &pi, &pi, so sin 1 sin &pi 3 = &pi 3. b. &pi is not in 3 &pi, &pi, but sin &pi 3 = sin &pi 3, so sin 1 sin &pi 3 = &pi 3. c. &pi 3 is in [0, &pi], so cos 1 cos &pi 3 = &pi 3. d. &pi 3 is not in [0, &pi], but cos &pi 3 = cos &pi 3 because cosine is an even function. e. &pi is in [0, &pi], so cos 1 3 cos &pi 3 = &pi Evaluate tan 1 tan &pi 8 and tan 1 tan 11&pi 9. Evaluating Compositions of the Form f(g(x)) Now that we can compose a trigonometric function with its inverse, we can explore how to evaluate a composition of a trigonometric function and the inverse of another trigonometric function. We will begin with compositions of the form f 1 g(x). For special values of x, we can exactly evaluate the inner function and then the outer, inverse function. However, we can find a more general approach by considering the relation between the two acute angles of a right triangle where one is &theta, making the other &pi &theta. Consider the sine and cosine of each angle of the right triangle in Figure 6.63.

10 87 Chapter 6 Periodic Functions Figure 6.63 relationships Right triangle illustrating the cofunction Because cos &theta = b c = sin &pi &theta, we have sin 1 (cos &theta) = &pi &theta if 0 &theta &pi. If &theta is not in this domain, then we need to find another angle that has the same cosine as &theta and does belong to the restricted domain we then subtract this angle from &pi. Similarly, sin &theta = a c = cos &pi &theta, so cos 1 (sin &theta) = &pi &theta if &pi &theta &pi. These are just the function- cofunction relationships presented in another way. Given functions of the form sin 1 (cos x) and cos 1 (sin x), evaluate them. 1. If x is in [0, &pi], then sin 1 (cos x) = &pi x.. If x is not in [0, &pi], then find another angle y in [0, &pi] such that cos y = cos x. 3. If x is in &pi, &pi, then cos 1 (sin x) = &pi x. sin 1 (cos x) = &pi y 4. If x is not in &pi, &pi, then find another angle y in &pi, &pi such that sin y = sin x. cos 1 (sin x) = &pi y Example 6.9 Evaluating the Composition of an Inverse Sine with a Cosine Evaluate sin 1 cos 13&pi 6 a. by direct evaluation. b. by the method described previously. Solution a. Here, we can directly evaluate the inside of the composition. cos( 13&pi 6 ) = cos(&pi 6 + &pi) = cos( &pi 6 ) = 3 Now, we can evaluate the inverse function as we did earlier. This content is available for free at

11 Chapter 6 Periodic Functions 873 b. We have x = 13&pi 6, y = &pi 6, and sin 1 3 = &pi 3 sin 1 cos 13&pi 6 = &pi &pi 6 = &pi Evaluate cos 1 sin 11&pi 4. Evaluating Compositions of the Form f(g(x)) To evaluate compositions of the form f g 1 (x), where f and g are any two of the functions sine, cosine, or tangent and x is any input in the domain of g 1, we have exact formulas, such as sin cos 1 x = 1 x. When we need to use them, we can derive these formulas by using the trigonometric relations between the angles and sides of a right triangle, together with the use of Pythagoras s relation between the lengths of the sides. We can use the Pythagorean identity, sin x + cos x = 1, to solve for one when given the other. We can also use the inverse trigonometric functions to find compositions involving algebraic expressions. Example 6.30 Evaluating the Composition of a Sine with an Inverse Cosine Find an exact value for sin cos Solution Beginning with the inside, we can say there is some angle such that &theta = cos 1 4 5, which means cos &theta = 4 5, and we are looking for sin &theta. We can use the Pythagorean identity to do this. sin &theta + cos &theta = 1 sin &theta + ( 4 5 ) = 1 sin &theta = Use our known value for cosine. Solve for sine. sin &theta = ± 9 5 = ± 3 5 Since &theta = cos is in quadrant I, sin &theta must be positive, so the solution is 3. See Figure

12 874 Chapter 6 Periodic Functions Figure 6.64 Right triangle illustrating that if cos &theta = 4 5, then sin &theta = 3 5 We know that the inverse cosine always gives an angle on the interval [0, &pi], so we know that the sine of that angle must be positive therefore sin cos = sin &theta = Evaluate cos tan Example 6.31 Evaluating the Composition of a Sine with an Inverse Tangent Find an exact value for sin tan Solution While we could use a similar technique as in Example 6.9, we will demonstrate a different technique here. From the inside, we know there is an angle such that tan &theta = 7. We can envision this as the opposite and adjacent 4 sides on a right triangle, as shown in Figure Figure 6.65 A right triangle with two sides known Using the Pythagorean Theorem, we can find the hypotenuse of this triangle. This content is available for free at

13 Chapter 6 Periodic Functions = hypotenuse hypotenuse = 65 Now, we can evaluate the sine of the angle as the opposite side divided by the hypotenuse. This gives us our desired composition. sin &theta = 7 65 sin tan = sin &theta = 7 65 = Evaluate cos sin Example 6.3 Finding the Cosine of the Inverse Sine of an Algebraic Expression Find a simplified expression for cos sin 1 x 3 for 3 x 3. Solution We know there is an angle &theta such that sin &theta = x 3. sin &theta + cos &theta = 1 Use the Pythagorean Theorem. 3 x + cos &theta = 1 Solve for cosine. cos &theta = 1 x 9 cos&theta = ± 9 x 9 = ± 9 x 3 Because we know that the inverse sine must give an angle on the interval &pi, &pi, we can deduce that the cosine of that angle must be positive. cos sin 1 x 3 = 9 x Find a simplified expression for sin tan 1 (4x) for 1 4 x 1 4.

14 876 Chapter 6 Periodic Functions Access this online resource for additional instruction and practice with inverse trigonometric functions. Evaluate Expressions Involving Inverse Trigonometric Functions ( Visit this website ( for additional practice questions from Learningpod. This content is available for free at

15 Chapter 6 Periodic Functions EXERCISES Verbal 106. Why do the functions f (x) = sin 1 x and g(x) = cos 1 x have different ranges? Since the functions y = cos x and y = cos 1 x are inverse functions, why is cos 1 cos &pi 6 not equal to &pi 6? Explain the meaning of &pi 6 = arcsin(0.5) Most calculators do not have a key to evaluate sec 1 (). Explain how this can be done using the cosine function or the inverse cosine function Why must the domain of the sine function, sin x, be restricted to &pi, &pi for the inverse sine function to exist? Discuss why this statement is incorrect: arccos(cos x) = x for all x. Determine whether the following statement is true or false and explain your answer: arccos( x) = &pi arccos x. Algebraic For the following exercises, evaluate the expressions sin sin 1 1 cos cos 1 tan 1 (1) tan 1 3 tan 1 ( 1) 10. tan tan For the following exercises, use a calculator to evaluate each expression. Express answers to the nearest hundredth cos 1 ( 0.4) arcsin(0.3) 14.

16 878 Chapter 6 Periodic Functions arccos cos 1 (0.8) tan 1 (6) For the following exercises, find the angle &theta in the given right triangle. Round answers to the nearest hundredth For the following exercises, find the exact value, if possible, without a calculator. If it is not possible, explain why sin 1 (cos(&pi)) tan 1 sin(&pi) cos 1 sin &pi 3 tan 1 sin &pi 3 sin 1 cos &pi tan 1 sin 4&pi 3 sin 1 sin 5&pi 6 tan 1 sin 5&pi cos sin sin cos This content is available for free at

17 Chapter 6 Periodic Functions sin tan cos tan cos sin 1 1 For the following exercises, find the exact value of the expression in terms of x with the help of a reference triangle. 14. tan sin 1 (x 1) 143. sin cos 1 (1 x) 144. cos sin 1 1 x cos tan 1 (3x 1) tan sin 1 x + 1 Extensions For the following exercises, evaluate the expression without using a calculator. Give the exact value sin 1 1 cos 1 + sin 1 3 cos 1 (1) cos 1 3 sin 1 + cos 1 1 sin 1 (0) For the following exercises, find the function if sin t = x x cos t sec t cot t cos sin 1 x x tan 1 x x + 1 Graphical Graph y = sin 1 x and state the domain and range of the function. Graph y = arccos x and state the domain and range of the function. Graph one cycle of y = tan 1 x and state the domain and range of the function. For what value of x does sin x = sin 1 x? Use a graphing calculator to approximate the answer. 157.

18 880 Chapter 6 Periodic Functions For what value of x does cos x = cos 1 x? Use a graphing calculator to approximate the answer. Real-World Applications 158. Suppose a 13-foot ladder is leaning against a building, reaching to the bottom of a second-floor window 1 feet above the ground. What angle, in radians, does the ladder make with the building? 159. Suppose you drive 0.6 miles on a road so that the vertical distance changes from 0 to 150 feet. What is the angle of elevation of the road? 160. An isosceles triangle has two congruent sides of length 9 inches. The remaining side has a length of 8 inches. Find the angle that a side of 9 inches makes with the 8-inch side Without using a calculator, approximate the value of arctan(10,000). Explain why your answer is reasonable. 16. A truss for the roof of a house is constructed from two identical right triangles. Each has a base of 1 feet and height of 4 feet. Find the measure of the acute angle adjacent to the 4-foot side The line y = 3 x passes through the origin in the x,y-plane. What is the measure of the angle that the line makes with 5 the positive x-axis? 164. The line y = 3 x passes through the origin in the x,y-plane. What is the measure of the angle that the line makes with 7 the negative x-axis? 165. What percentage grade should a road have if the angle of elevation of the road is 4 degrees? (The percentage grade is defined as the change in the altitude of the road over a 100-foot horizontal distance. For example a 5% grade means that the road rises 5 feet for every 100 feet of horizontal distance.) 166. A 0-foot ladder leans up against the side of a building so that the foot of the ladder is 10 feet from the base of the building. If specifications call for the ladder's angle of elevation to be between 35 and 45 degrees, does the placement of this ladder satisfy safety specifications? 167. Suppose a 15-foot ladder leans against the side of a house so that the angle of elevation of the ladder is 4 degrees. How far is the foot of the ladder from the side of the house? This content is available for free at

19 Chapter 6 Periodic Functions 881 CHAPTER 6 REVIEW KEY TERMS amplitude the vertical height of a function the constant A appearing in the definition of a sinusoidal function arccosine another name for the inverse cosine arccos x = cos 1 x arcsine another name for the inverse sine arcsin x = sin 1 x arctangent another name for the inverse tangent arctan x = tan 1 x inverse cosine function the function cos 1 x, which is the inverse of the cosine function and the angle that has a cosine equal to a given number inverse sine function the function sin 1 x, which is the inverse of the sine function and the angle that has a sine equal to a given number inverse tangent function the function tan 1 x, which is the inverse of the tangent function and the angle that has a tangent equal to a given number midline the horizontal line y = D, where D appears in the general form of a sinusoidal function periodic function a function f (x) that satisfies f (x + P) = f (x) for a specific constant P and any value of x phase shift the horizontal displacement of the basic sine or cosine function the constant C B sinusoidal function any function that can be expressed in the form f (x) = Asin(Bx C) + D or f (x) = Acos(Bx C) + D KEY EQUATIONS Sinusoidal functions f (x) = Asin(Bx C) + D f (x) = Acos(Bx C) + D Shifted, compressed, and/or stretched tangent function y = A tan(bx C) + D Shifted, compressed, and/or stretched secant function y = A sec(bx C) + D Shifted, compressed, and/or stretched cosecant function y = A csc(bx C) + D Shifted, compressed, and/or stretched cotangent function y = A cot(bx C) + D KEY CONCEPTS 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions Periodic functions repeat after a given value. The smallest such value is the period. The basic sine and cosine functions have a period of &pi. The function sin x is odd, so its graph is symmetric about the origin. The function cos x is even, so its graph is symmetric about the y-axis.

20 88 Chapter 6 Periodic Functions The graph of a sinusoidal function has the same general shape as a sine or cosine function. In the general formula for a sinusoidal function, the period is P = &pi. See Example 6.1. B In the general formula for a sinusoidal function, A represents amplitude. If A > 1, the function is stretched, whereas if A < 1, the function is compressed. See Example 6.. The value C B in the general formula for a sinusoidal function indicates the phase shift. See Example 6.3. The value D in the general formula for a sinusoidal function indicates the vertical shift from the midline. See Example 6.4. Combinations of variations of sinusoidal functions can be detected from an equation. See Example 6.5. The equation for a sinusoidal function can be determined from a graph. See Example 6.6 and Example 6.7. A function can be graphed by identifying its amplitude and period. See Example 6.8 and Example 6.9. A function can also be graphed by identifying its amplitude, period, phase shift, and horizontal shift. See Example Sinusoidal functions can be used to solve real-world problems. See Example 6.11, Example 6.1, and Example Graphs of the Other Trigonometric Functions The tangent function has period &pi. f (x) = Atan(Bx C) + D is a tangent with vertical and/or horizontal stretch/compression and shift. See Example 6.14, Example 6.15, and Example The secant and cosecant are both periodic functions with a period of &pi. f (x) = Asec(Bx C) + D gives a shifted, compressed, and/or stretched secant function graph. See Example 6.17 and Example f (x) = Acsc(Bx C) + D gives a shifted, compressed, and/or stretched cosecant function graph. See Example 6.19 and Example 6.0. The cotangent function has period &pi and vertical asymptotes at 0, ± &pi, ± &pi. The range of cotangent is (, ), and the function is decreasing at each point in its range. The cotangent is zero at ± &pi, ± 3&pi. f (x) = Acot(Bx C) + D is a cotangent with vertical and/or horizontal stretch/compression and shift. See Example 6.1 and Example 6.. Real-world scenarios can be solved using graphs of trigonometric functions. See Example Inverse Trigonometric Functions An inverse function is one that undoes another function. The domain of an inverse function is the range of the original function and the range of an inverse function is the domain of the original function. Because the trigonometric functions are not one-to-one on their natural domains, inverse trigonometric functions are defined for restricted domains. For any trigonometric function f (x), if x = f 1 (y), then f (x) = y. However, f (x) = y only implies x = f 1 (y) if x is in the restricted domain of f. See Example 6.4. Special angles are the outputs of inverse trigonometric functions for special input values for example, &pi 4 = tan 1 (1) and &pi 6 = sin 1 1. See Example 6.5. This content is available for free at

21 Chapter 6 Periodic Functions 883 A calculator will return an angle within the restricted domain of the original trigonometric function. See Example 6.6. Inverse functions allow us to find an angle when given two sides of a right triangle. See Example 6.7. In function composition, if the inside function is an inverse trigonometric function, then there are exact expressions for example, sin cos 1 (x) = 1 x. See Example 6.8. If the inside function is a trigonometric function, then the only possible combinations are sin 1 (cos x) = &pi x if 0 x &pi and cos 1 (sin x) = &pi x if &pi x &pi. See Example 6.9 and Example When evaluating the composition of a trigonometric function with an inverse trigonometric function, draw a reference triangle to assist in determining the ratio of sides that represents the output of the trigonometric function. See Example When evaluating the composition of a trigonometric function with an inverse trigonometric function, you may use trig identities to assist in determining the ratio of sides. See Example 6.3. CHAPTER 6 REVIEW EXERCISES Graphs of the Sine and Cosine Functions For the following exercises, graph the functions for two periods and determine the amplitude or stretching factor, period, midline equation, and asymptotes f (x) = 3cos x f (x) = 1 4 sin x 170. f (x) = 3cos x + &pi f (x) = sin x &pi f (x) = 3sin x &pi f (x) = cos x 4&pi f (x) = 6sin 3x &pi f (x) = 100sin(50x 0) Graphs of the Other Trigonometric Functions For the following exercises, graph the functions for two periods and determine the amplitude or stretching factor, period, midline equation, and asymptotes f (x) = tan x f (x) = tan x &pi f (x) = 3tan(4x)

22 884 Chapter 6 Periodic Functions 179. f (x) = 0.cos(0.1x) For the following exercises, graph two full periods. Identify the period, the phase shift, the amplitude, and asymptotes f (x) = 1 3 sec x 181. f (x) = 3cot x 18. f (x) = 4csc(5x) 183. f (x) = 8sec 1 4 x 184. f (x) = 3 csc 1 x 185. f (x) = csc(x + &pi) For the following exercises, use this scenario: The population of a city has risen and fallen over a 0-year interval. Its population may be modeled by the following function: y = 1, ,000sin 0.68x), where the domain is the years since 1980 and the range is the population of the city What is the largest and smallest population the city may have? 187. Graph the function on the domain of [0, 40] What are the amplitude, period, and phase shift for the function? 189. Over this domain, when does the population reach 18,000? 13,000? 190. What is the predicted population in 007? 010? For the following exercises, suppose a weight is attached to a spring and bobs up and down, exhibiting symmetry Suppose the graph of the displacement function is shown in Figure 6.66, where the values on the x-axis represent the time in seconds and the y-axis represents the displacement in inches. Give the equation that models the vertical displacement of the weight on the spring. This content is available for free at

23 Chapter 6 Periodic Functions 885 Figure At time = 0, what is the displacement of the weight? 193. At what time does the displacement from the equilibrium point equal zero? 194. What is the time required for the weight to return to its initial height of 5 inches? In other words, what is the period for the displacement function? Inverse Trigonometric Functions For the following exercises, find the exact value without the aid of a calculator sin 1 (1) 196. cos tan 1 ( 1) 198. cos sin sin 1 cos &pi cos 1 tan 3&pi 4 0. sin sec 1 3 5

24 886 Chapter 6 Periodic Functions 03. cot sin tan cos sin cos 1 x x Graph f (x) = cos x and f (x) = sec x on the interval [0, &pi) and explain any observations. 07. Graph f (x) = sin x and f (x) = csc x and explain any observations. 08. Graph the function f (x) = 1 x 3! x3 + 5! x5 7! x7 on the interval [ 1, 1] and compare the graph to the graph of f (x) = sin x on the same interval. Describe any observations. CHAPTER 6 PRACTICE TEST For the following exercises, sketch the graph of each function for two full periods. Determine the amplitude, the period, and the equation for the midline. 09. f (x) = 0.5sin x 10. f (x) = 5cos x 11. f (x) = 5sin x 1. f (x) = sin(3x) 13. f (x) = cos x + &pi f (x) = 5sin 3 x &pi f (x) = 3cos 1 3 x 5&pi f (x) = tan(4x) 17. f (x) = tan x 7&pi f (x) = &picos(3x + &pi) 19. f (x) = 5csc(3x) 0. f (x) = &pisec &pi x This content is available for free at

25 Chapter 6 Periodic Functions f (x) = csc x + &pi 4 3 For the following exercises, determine the amplitude, period, and midline of the graph, and then find a formula for the function.. Give in terms of a sine function. 3. Give in terms of a sine function.

26 888 Chapter 6 Periodic Functions 4. Give in terms of a tangent function. For the following exercises, find the amplitude, period, phase shift, and midline. 5. y = sin &pi 6 x + &pi 3 6. y = 8sin 7&pi 6 x + 7&pi The outside temperature over the course of a day can be modeled as a sinusoidal function. Suppose you know the temperature is 68 F at midnight and the high and low temperatures during the day are 80 F and 56 F, respectively. Assuming t is the number of hours since midnight, find a function for the temperature, D, in terms of t. 8. Water is pumped into a storage bin and empties according to a periodic rate. The depth of the water is 3 feet at its lowest at :00 a.m. and 71 feet at its highest, which occurs every 5 hours. Write a cosine function that models the depth of the water as a function of time, and then graph the function for one period. For the following exercises, find the period and horizontal shift of each function. 9. g(x) = 3tan(6x + 4) 30. n(x) = 4csc 5&pi 3 x 0&pi Write the equation for the graph in Figure 6.67 in terms of the secant function and give the period and phase shift. This content is available for free at

27 Chapter 6 Periodic Functions 889 Figure If tan x = 3, find tan( x). 33. If sec x = 4, find sec( x). For the following exercises, graph the functions on the specified window and answer the questions. 34. Graph m(x) = sin(x) + cos(3x) on the viewing window [ 10, 10] by [ 3, 3]. Approximate the graph s period. 35. Graph n(x) = 0.0sin(50&pix) on the following domains in x : [0, 1] and [0, 3]. Suppose this function models sound waves. Why would these views look so different? 36. Graph f (x) = sin x x on 0.5, 0.5 and explain any observations. For the following exercises, let f (x) = 3 5 cos(6x). 37. What is the largest possible value for f (x)? 38. What is the smallest possible value for f (x)? 39. Where is the function increasing on the interval [0, &pi]? For the following exercises, find and graph one period of the periodic function with the given amplitude, period, and phase shift. 40. Sine curve with amplitude 3, period &pi 3, and phase shift (h, k) = &pi 4, 41. Cosine curve with amplitude, period &pi 6, and phase shift (h, k) = &pi 4, 3 For the following exercises, graph the function. Describe the graph and, wherever applicable, any periodic behavior, amplitude, asymptotes, or undefined points. 4. f (x) = 5cos(3x) + 4sin(x)

28 890 Chapter 6 Periodic Functions 43. f (x) = e sint For the following exercises, find the exact value. 44. sin tan cos cos 1 sin(&pi) 48. cos 1 tan 7&pi cos sin 1 (1 x) 50. cos 1 ( 0.4) 51. cos tan 1 x For the following exercises, suppose sin t = 5. tan t 53. csc t x x Given Figure 6.68, find the measure of angle &theta to three decimal places. Answer in radians. Figure 6.68 For the following exercises, determine whether the equation is true or false. 55. arcsin sin 5&pi 6 = 5&pi arccos cos 5&pi 6 = 5&pi 6 This content is available for free at

29 Chapter 6 Periodic Functions The grade of a road is 7%. This means that for every horizontal distance of 100 feet on the road, the vertical rise is 7 feet. Find the angle the road makes with the horizontal in radians.


6.3: Inverse Trigonometric Functions

The inverse trigonometric functions

The command restart cleans up Maple's memory completely. In this way we start with a clean worksheet.

In Maple the inverse trigonometric functions (see: Stewart, 1.6) are already built in.

Look at example 13 of 1.6:

Note the difference between arcsin(1/2) un arcsin(0.5) :

Also example 14 of 1.6 is no big deal for Maple:

The exercises 63 (a) and (b), 64 (a) and 66 (b) of 1.6 also don't lead to any difficulties:

Also the exercies 67 (a) and (b) and 68 (a) can be done without any problem:

Exercise 68 (b) leads to some more problems:

However, if we help Maple a little bit, then we succeed. We have: cos(2x)=1-2sin^2(x) . So:

& gt cos(2*arcsin(5/13))=1-2*(sin(arcsin(5/13)))^2

The exercises 69 up to and including 71 can be done without any problem:

Exercise 72 leads to a difficulty:

Again, if we help Maple a little bit, then we succeed. We have: sin(2x)=2sin(x)cos(x) . Hence:

& gt sin(2*arccos(x))=2*sin(arccos(x))*cos(arccos(x))

On the interval [-Pi/2,Pi/2] the functions y=sin(x) un y=arcsin(x) are each other inverses. The garphs are reflected in the line y=x .

Exercise 76 is also interesting:

Visiem x par kuru arcsin(x) exists, that is for -1<=x<=1 , we have: -Pi/2<=arcsin(x)<=Pi/2 . Then we have: sin(arcsin(x))=x . However, Maple also produces the value x priekš x outside the interval [-1,1] .

Although sin(x) exists for all values of x , arcsin(sin(x)) only equals x on the interval -Pi/2<=x<=Pi/2 .

In 3.6 of Stewart the derivatives of the inverse trigonometric functions are derived:

& gt diff(arcsin(x),x)diff(arccos(x),x)diff(arctan(x),x)

& gt D(arcsin)D(arccos)D(arctan)

The latter commands produce functions with the advantage, for instance, that you can compute values of the function easily:

This can also be done by differentiating the expression arcsin(x) attiecībā uz x and then substitute the value 1/2 priekš x :

Still this can be simplified to 1/[2(1+x^2)] . Check:

This implies that the function f(x)=arctan(x)-2arctan(x-sqrt(1+x^2)) is constant (the derivative equals zero):

& gt f:=x->arctan(x)-2*arctan(x-sqrt(1+x^2))

Apparently we have: arctan(x)-2arctan(x-sqrt(1+x^2))=Pi/2 for all x . This is illustrated by the following graph:


Principal Value of Inverse Trigonometric Functions

Let us recall that the principal value of a inverse trigonometric function at a point x is the value of the inverse function at the point x , which lies in the range of principal branch. For instance, the principal value of cos −1 (√3/2) is π/6. Since π /6 ∈ [0, π].

When there are two values, one is positive and the other is negative such that they are numerically equal, then the principal value of the inverse trigonometric function is the positive one. Now, we list out the principal domain un diapazons gada trigonometric functions un domēns un diapazons gada inverse trigonometric functions .


Example 4.12

Find the principal value of

Risinājums

(i) Let cosec -1 (-1) = y . Then, cosec y = -1

Since the range of principal value branch of y= cosec -1 x is [- π / 2 , π / 2] <0>and


Thus, the principal value of cosec -1 (-1) is – π/2 .

(ii) Let y = sec -1 (-2) . Then, sec y = -2 .

By definition, the range of the principal value branch gada y = sec -1 x is [0,π ] <π 2="">.

Let us find y in [0,π ] – <π / 2> such that sec y = -2 .

Now, cos y =- 1/2 = -cos π/3 = cos (π – π/3 ) = cos 2π/3 . Therefore, y = 2π/3 .

Since 2π/3 ∈ [0, π ] <π 2="">, the principal value of sec -1 (-2) is 2π/3 .

Example 4.13

Find the value of sec -1 (- 2√3 / 2)

Risinājums


Example 4.14

If cot -1 ( 1/7 ) = θ , find the value of cos θ .

Risinājums

By definition, cot −1 x ∈ (0, π ) .

Therefore, cot -1 (1/7) = θ implies cot θ ∈ (0,π ) .


But cot -1 ( 1/7 ) = θ implies cot θ = 1/7 and hence tan θ = 7 and θ is acute.

Using tan θ = 7/1 , we construct a right triangle as shown . Then, we have, cosθ = 1/ 5√2 .

Example 4.15

S how that , x > 1 .


Differentiating Inverse Trigonometric Functions

I seem to recall my professor forgetting how to deriving this. This is what I showed him:

Since #tany = x/1# and #sqrt(1^2 + x^2) = sqrt(1+x^2)# , #sec^2y = (sqrt(1+x^2)/1)^2 = 1+x^2#

I think he originally intended to do this:

#y=cot^(-1)x#
#cot y=x#
#-csc^2y (dy)/(dx)=1#
#(dy)/(dx)=-1/(csc^2y)#
#(dy)/(dx)=-1/(1+cot^2y)# using trig identity: #1+cot^2 theta=csc^2 theta#
#(dy)/(dx)=-1/(1+x^2)# using line 2: #cot y = x#

The trick for this derivative is to use an identity that allows you to substitute #x# back in for #y# because you don't want leave the derivative as an implicit function substituting #x# back in will make the derivative an explicit function.

Most people remember this
#f'(x)=1/>#
as one of derivative formulas however, you can derive it by implicit differentiation.

Let us derive the derivative.
Let #y=sin^<-1>x# .

By rewriting in terms of sine,
#siny=x#

By implicitly differentiating with respect to #x# ,
#cosy cdot /=1#

By dividing by #cosy# ,
#/=1/cosy#


Get help from the ultimate trig problem solver ‒ Lumist

It is a smart choice to utilize useful resources when solving inverse trig functions. Want to know how to solve inverse trig functions? Lumist, this trig problem solver app is particularly useful for algebraic, calculus and trigonometric equations/problems. Some of the math content supported by Lumist, but not limited to, are numbers, decimals, fractions, roots and powers, algebraic expressions, complex numbers, quadratic equations/inequations. The more advanced concepts are linear equations/inequations, absolute equations/inequations, calculus, binomial theorem, and trigonometric equations.

The Lumist app is undoubtedly one of the best apps you will encounter to help you with math problems. This app uses the camera on your phone coupled with augmented reality to solve inverse trig functions. All you need to do is to point your phone’s camera at the paper containing the equation or math problem you are looking to solve, and it will give you the answer by actually reading and recognizing the problem itself with AI Tech. It reads the problem and solves it instantly, and all you need is your device’s camera.

Explore animated homework answer videos with key concepts, crafted to increase your learning stamina with interactive Q&A features. Both Algebra 2 & pre-calculus will be supported in the app and help you master the methods of how to do inverse trig functions.

There are also tons of trigonometry video tutorials provided on Lumist youtube channel. It provides plenty of examples and practice problems such as inverse sine, cosine, and tangent functions.

Learn how to solve Inverse Trig Function with a trig problem solver app and download our app. Download link:


Skatīties video: TIK TOKS DE DUPLO SENTIDO teste sua mente poluída (Decembris 2021).