Raksti

8. Varbūtība - matemātika


Mācību mērķi

Šajā nodaļā jūs iemācīsities:

  1. Uzrakstiet atstarpes.
  2. Nosakiet, vai divi notikumi ir savstarpēji izslēdzoši.
  3. Izmantojiet pievienošanas kārtulu.
  4. Aprēķiniet varbūtības, izmantojot gan koku diagrammas, gan kombinācijas.
  5. Veiciet problēmas, kas saistītas ar nosacītu varbūtību.
  6. Nosakiet, vai divi notikumi ir neatkarīgi.

8 iespējamības piemēri reālajā dzīvē

Varbūtībai ir kaut kas saistīts ar iespēju. Tas ir to lietu izpēte, kas var notikt vai var nenotikt. Mēs to visbiežāk izmantojam, parasti nedomājot. Mēs ikdienas dzīvē neveicam faktiskas varbūtības problēmas, bet izmantojam subjektīvu varbūtību, lai noteiktu darbības virzienu vai jebkuru spriedumu. Viss, sākot no laika prognozēšanas līdz mūsu iespējai nomirt nelaimes gadījumā, ir varbūtība.

Varbūtība ir matemātisks termins varbūtībai, ka kaut kas notiks. Tā ir spēja saprast un novērtēt jebkuras atšķirīgas rezultātu kombinācijas iespējamību.

Apspriedīsim dažus varbūtības piemērus reālajā dzīvē

1. Laika prognozēšana

Pirms plānot izbraukumu vai pikniku, mēs vienmēr pārbaudām laika prognozi. Pieņemsim, ka tas saka, ka ir 60% iespējamība, ka var parādīties lietus. Vai jūs kādreiz domājat, no kurienes rodas šie 60%? Meteorologi laika apstākļu prognozēšanai izmanto īpašu rīku un tehniku. Viņi aplūko visu pārējo dienu vēsturisko datu bāzi, kurai ir līdzīgas temperatūras, mitruma un spiediena īpašības uc. Un nosaka, ka 60 no 100 līdzīgām dienām agrāk bija lijis.

2. Vidējais vatelīna rādītājs kriketā

Kriketa vidējais sitiena rādītājs norāda, cik daudz sitienu sitējs sita pirms izkļūšanas. Piemēram, ja sikspārnis iepriekšējā mačā bija sasniedzis 40, no 100 robežas iziet no 100. Tad pastāv iespēja, ka nākamajā mačā viņš no robežām gūs 40% no saviem skrējieniem.

3. Politika

Daudzi politikas analītiķi izmanto varbūtības taktiku, lai prognozētu vēlēšanu iznākumu. Piemēram, viņi var prognozēt noteiktas politiskās partijas nākšanu pie varas, pamatojoties uz izejas aptauju rezultātiem.

4. Pārvēršot monētu vai kauliņu

Monētas pagriešana ir viens no vissvarīgākajiem notikumiem pirms spēles sākuma. Nav galvojuma, vai nu galva nāks, vai nē. Gan galvai, gan astei ir 1 no 2, t.i., 50% iespējamība parādīties. Tādējādi varbūtība iegūt vēlamo rezultātu ir 0,5. Līdzīgi, spēlējot ar kauliņiem, ir 1 no 6 iespējām, ka pienāks vajadzīgais skaitlis.

5. Apdrošināšana

Varbūtība palīdz analizēt labāko apdrošināšanas plānu, kas jums un jūsu ģimenei ir vispiemērotākais. Piemēram, jūs esat aktīvs smēķētājs, un izredzes saslimt ar plaušu slimībām jums ir lielākas. Tātad, tā vietā, lai izvēlētos sava transportlīdzekļa vai mājas apdrošināšanas shēmu, vispirms varat doties uz veselības apdrošināšanu, jo lielāka iespēja saslimt. Piemēram, mūsdienās cilvēki apdrošina savus mobilos tālruņus, jo zina, ka viņu mobilo tālruņu sabojāšanas vai pazaudēšanas iespējas ir lielas.

6. Vai mēs, iespējams, nomirsim negadījumā?

Pēdējo gadu desmitu laikā autoavāriju līmenis ir strauji pieaudzis. Piemēram, ja pilsētā dzīvo viens ezers, un mirstība autoavārijās ir 500. Tātad, iespēja tikt nogalinātam avārijā ir 500/1 ezers, ir 0,05%. Tādējādi cilvēkam ir 0,05% iespēja nomirt autoavārijā.

7. Loterijas biļetes

Loterijas laimēšana vai zaudēšana ir viens no interesantākajiem varbūtības piemēriem. Tipiskā loterijas spēlē katrs spēlētājs izvēlas sešus atšķirīgus skaitļus no noteikta diapazona. Ja visi seši biļetes numuri sakrīt ar laimējušās loterijas biļetes numuru, biļetes īpašnieks ir Jackpot uzvarētājs neatkarīgi no numuru secības. Varbūtība, ka tas notiks, ir 1 no 10 ezeriem.

8. Spēļu kārtis

Ir varbūtība iegūt vēlamo karti, ja mēs nejauši izvēlamies vienu no 52. Piemēram, varbūtība paņemt dūzi 52 kāršu pakā ir 4/52, jo klājā ir 4 dūži. Tāpēc izredzes paņemt jebkuru citu karti ir 52/52 & # 8211 4/52 = 48/52.


Balbharati matemātikas un statistikas 2. risinājumi (komercija) 12. standarta HSC Maharaštras štata valdes 8. nodaļa (varbūtības sadalījumi) ietver visus jautājumus ar risinājumu un detalizētu skaidrojumu. Tas atbrīvos studentus no šaubām par jebkuru jautājumu un uzlabos pieteikšanās prasmes, gatavojoties dēļa eksāmeniem. Detalizēti, soli pa solim sniegtie risinājumi palīdzēs labāk izprast jēdzienus un novērst neskaidrības, ja tādas ir. Vietnei Shaalaa.com ir Maharaštras štata matemātikas un statistikas 2. (komercija) 12. standarta HSC Maharaštras štata pārvaldes risinājumi tādā veidā, kas palīdz studentiem labāk un ātrāk izprast pamatjēdzienus.

Turklāt mēs vietnē Shaalaa.com piedāvājam šādus risinājumus, lai studenti varētu sagatavoties rakstiskiem eksāmeniem. Balbharati mācību grāmatu risinājumi var būt galvenā palīdzība pašmācībai un darbojas kā perfekta pašpalīdzības vadība studentiem.

Jēdzieni, kas aplūkoti matemātikā un statistikā 2 (komercija), 12. standarta HSC Maharaštras štata valdes 8. nodaļā. Varbūtības sadalījumi ir nejaušā mainīgā vidējais lielums, nejaušo mainīgo veidi, nejaušie mainīgie un tā varbūtības sadalījumi, diskrēto nejaušo mainīgo varbūtības sadalījums, varbūtības sadalījums. Nepārtraukts nejaušs mainīgais, binomālā izplatība, Bernulli pētījums, binomālā sadalījuma vidējais lielums (PMF), binomālā sadalījuma dispersija (PMF), Puasona izplatība.

Balbharati 12. padomes eksāmena risinājumu izmantošana Skolēnu vingrinājumi Varbūtības sadalījums ir vienkāršs veids, kā sagatavoties eksāmeniem, jo ​​tie ietver risinājumus, kas sakārtoti pa nodaļām, kā arī pa lappusēm. Jautājumi, kas saistīti ar Balbharati Solutions, ir svarīgi jautājumi, kurus var uzdot pēdējā eksāmenā. Maharashtras štata valdes 12. padomes eksāmena maksimālais skaits studentu dod priekšroku Balbharati mācību grāmatu risinājumiem, lai vairāk iegūtu eksāmenā.


Satura rādītājs

Šī grāmata aptver mūsdienu varbūtību teorijas pamatus. Tas sākas ar varbūtības teoriju par ierobežotām un saskaitāmām izlases telpām un pēc tam no turienes pāriet uz īsu kursu par mērījumu teoriju, kam seko daži sākotnējie varbūtības teorijas pielietojumi, tostarp neatkarība un nosacītās cerības. Grāmatas otrajā pusē tiek aplūkoti Gausa nejaušie mainīgie, ar Markova ķēdēm, ar dažiem nepārtrauktiem parametru procesiem, ieskaitot Brauna kustību, un, visbeidzot, ar martingales, gan diskrētiem, gan nepārtrauktiem parametriem.

Grāmata ir pašpietiekams ievads varbūtību teorijai un tās izpētei nepieciešamajai mēru teorijai.

Absolventi un pētnieki, kurus interesē varbūtība.

. Es ļoti vērtēju šo grāmatu un iesaku to izmantot gan kursiem, gan patstāvīgiem pētījumiem.

Šī grāmata ir ļoti pamatīgs bakalaura / iesācēju absolventu varbūtības teorijas kurss studentiem, kuriem ir laba pieredze mūsdienu matemātiskās idejās. . [W] cepure atšķir šo grāmatu no daudzajiem konkurentiem ir argumentu pamatīgums un gaumīga palīgtēmu izvēle, kas papildina galveno ēdienkarti. . Grāmata ir pilna ar rūpīgi izvēlētu vingrinājumu, lai lasītāji varētu pārbaudīt viņu sapratni. Vēl viens jauks pieskāriens ir tas, ka autors vienmēr rūpējas, lai lasītājs uzzinātu, kurš sākotnēji nāca klajā ar īpaši gudru argumentu vai metodi. Tādā veidā lasītāji veselīgi saskaras ar domāšanas veidiem, kas radušies Doeblina, Dooba, Dinamina, Huigensa, Kaka, Kolmogorova, Līvija, Marcinkeviča un Vīnera starpā. Šī ir ļoti laba grāmata, uz kuras balstīt absolventu kursu vai izmantot pašmācībai.

- Deivids Applebaums, Šefīldas universitāte, Dienvidjorkšīras grāfiste, Lielbritānija

Varbūtības matemātika ir ļoti patīkama grāmata. Tā noteikti ir grāmata maģistrantiem, taču ar to izdodas sākt izpētīt mācību priekšmetu bez daudziem priekšnoteikumiem. . Tam izdodas stingri un galvenokārt pašpārliecināti apspriest progresīvas tēmas, kas nav atrodamas bakalaura grāmatās. . Tā ir laba grāmata patstāvīgiem pētījumiem. Tas nenomāc lasītāju ar vingrinājumiem (katra sadaļa beidzas ar vairākām problēmām). Zemsvītras piezīmes un komentāri katras nodaļas beigās ir atbilstoši un palīdz lasītājam saglabāt uzmanību. . Kopumā es šo grāmatu vērtēju ļoti augstu un iesaku to izmantot gan kursiem, gan patstāvīgiem pētījumiem.

- Florin Catrina, MAA atsauksmes


Klientu atsauksmes

Dalieties savā pieredzē, lai palīdzētu citiem, kas interesējas par matemātikas ģenerāli & # x2122 8.

KĀPĒC. Mēs esam mazs, neatkarīgs izdevējs, kuru dibinājuši matemātikas skolotājs un viņa sieva. Mēs ticam vērtībai, ko mēs piešķiram skolotājiem un skolām, un vēlamies to darīt arī turpmāk. Mēs saglabājam zemas cenas, lai visi skolotāji un skolas varētu izmantot mūsu produktus un pakalpojumus. Mēs lūdzam jūs palīdzēt mums mūsu misijā, ievērojot šos noteikumus un nosacījumus.

LŪDZU, DALĪT NE. Mēs zinām, ka ir patīkami kopīgot, taču, lūdzu, nedalieties ar savu dalības saturu vai pieteikšanās vai apstiprināšanas informāciju. Jūsu dalība ir viena lietotāja licence, kas nozīmē, ka tā piešķir vienai personai - jums - tiesības piekļūt dalības saturam (atbilžu atslēgas, rediģējami nodarbību faili, pdf faili utt.), Taču tā nav paredzēta koplietošanai.

  • Lūdzu, nekopējiet un kopīgojiet atbildes atslēgas vai citu dalības saturu.
  • Lūdzu, nelieciet atbildes atslēgas vai citu dalības saturu vietnē, lai citi tos varētu apskatīt. Tas ietver skolu vietnes un skolotāju lapas skolu vietnēs.
  • Jūs varat izveidot atbilžu atslēgu kopijas, lai tās pasniegtu savai klasei, taču, lūdzu, tās savāciet, kad skolēni būs beiguši tās.
  • Ja esat skola, lūdzu, iegādājieties licenci katram skolotājam / lietotājam.

LŪDZU CIEŅOT MŪSU AUTORTIESĪBU UN TIRDZNIECĪBAS NOSLĒPUMUS. Mums pieder visu mūsu radīto materiālu autortiesības, un mēs licencējam noteiktas autortiesības programmatūrā, kuru izmantojam, lai palaistu mūsu vietni, pārvaldītu akreditācijas datus un izveidotu savus materiālus. Dažas no šīs ar autortiesībām aizsargātās programmatūras var būt iegultas jūsu lejupielādētajos materiālos. Kad jūs abonējat, mēs jums dodam atļauju (“Viena lietotāja licence”) izmantot mūsu autortiesības un komercnoslēpumus, kā arī tos, kurus mēs licencējam no citiem, saskaņā ar mūsu Noteikumiem un nosacījumiem. Tāpēc papildus piekrišanai nekopēt vai kopīgot mēs lūdzam jūs:

  • Lūdzu, nepārveidojiet programmatūru un, lūdzu, nemainiet un neizdzēsiet nevienu autorību, versiju, īpašumu vai citus metadatus.
  • Lūdzu, nemēģiniet uzlauzt mūsu apstiprināšanas sistēmu vai lūdziet kādam citam mēģināt to apiet.
  • Lūdzu, nelieciet programmatūru, pieteikšanās informāciju vai kādu no mūsu materiāliem tīklā, kurā tam var piekļūt citi cilvēki, nevis jūs
  • Lūdzu, nekopējiet un nemodificējiet programmatūru vai dalības saturu, ja vien neesat iegādājies rediģējamus failus
  • Ja izveidojat modificētu uzdevumu, izmantojot iegādāto rediģējamo failu, lūdzu, ieskaitiet mums visas uzdevuma un atbildes uz galvenajām lapām šādi:

“Šis uzdevums ir skolotāja modificēta [eMath Title] versija. Autortiesības © 201x eMATHinstruction, LLC, ko izmanto atļauja”

Pieprasīta atgriezeniskā saite. Mēs augstu vērtējam jūsu atsauksmes par mūsu produktiem un pakalpojumiem. Mēs domājam, ka arī citi to novērtēs. Tāpēc mēs varam rīkoties šādi (un mēs lūdzam, lai jūs tam piekrītat):

  • Izmantojiet savas atsauksmes, lai uzlabotu mūsu produktus un pakalpojumus un pat laistu klajā jaunus produktus un pakalpojumus, saprotot, ka jums netiks samaksāts vai jums nepiederēs neviena jauno vai uzlaboto produktu un pakalpojumu daļa (ja vien mēs rakstiski pirms laika nevienojamies citādi. ).
  • Dalieties savās atsauksmēs, ieskaitot atsauksmes, mūsu vietnē vai citos reklāmas un reklāmas materiālos, saprotot, ka jums netiks samaksāts vai jums nepiederēs nekāda reklāmas vai reklāmas materiālu daļa (ja vien mēs iepriekš rakstiski nevienojamies citādi).

GARANTĒTA APmierinātība. Ja jūs neesat 100% apmierināts, mēs atmaksāsim jums samaksāto pirkuma cenu 30 dienu laikā. Lai saņemtu atmaksu:

  • 30 dienu laikā pēc pirkuma veikšanas
  • Izdzēsiet programmatūru un visu dalības saturu no visiem datoriem, iznīciniet visas mūsu materiālu kopijas vai izdrukas un nosūtiet visas materiālās kopijas (diskus, darbgrāmatas utt.) Un citus materiālus, ko esat saņēmis no mums:

eMATHinstruction Returns departaments
10 Augļu Bud Lane
Sarkanais āķis, NY 12571

TEHNISKĀ PALĪDZĪBA: Ja jums rodas problēmas ar pieteikšanos vai piekļuvi saviem materiāliem vai ja jūsu lejupielādētie materiāli netiks atvērti vai nav salasāmi, lūdzu, nekavējoties informējiet mūs pa e-pastu pa e-pastu [email & # 160protected], lai mēs to varētu novērst.

BEZ GARANTIJAS. Mēs ticam savu produktu un pakalpojumu kvalitātei un vērtībai, un cītīgi strādājam, lai pārliecinātos, ka tie darbojas labi un tajos nav kļūdu. Bet tas nozīmē, ka mēs piedāvājam savus produktus un pakalpojumus “tādi paši kā ir”, kas nozīmē, ka mēs neesam atbildīgi, ja ar jums vai jūsu datorsistēmu notiek kaut kas slikts mūsu produktu un pakalpojumu izmantošanas rezultātā. Lai iegūtu pilnu garantiju atrunu, lūdzu, skatiet šo Noteikumu un nosacījumu juridisko versiju šeit.

STRĪDI. Ja mums ir strīds, kuru mēs nevaram atrisināt paši, mēs izmantosim saistošo arbitrāžu, nevis iesniegsim prasību parastajā tiesā (izņemot to, ka jūs varat izmantot maza apmēra prasību tiesu). Saistošā šķīrējtiesa nozīmē, ka mūsu lietu izlems viens vai vairāki šķīrējtiesneši, kurus izvēlas un apmaksā visas strīdā iesaistītās puses. Šķīrējtiesa ir ātrāks un mazāk formāls strīdu risināšanas veids, un tāpēc tā mēdz maksāt mazāk.

  • Lai sāktu šķīrējtiesas procesu, lūdzu, nosūtiet vēstuli, kurā pieprasa šķīrējtiesu un kurā aprakstīta jūsu prasība:

Emath Instruction Inc.
10 Augļu Bud Lane
Sarkanais āķis, NY 12571

ATBILDĪBAS IEROBEŽOJUMS. Ja jūs uzvarat lietā pret mums, visvairāk no mums var atgūt summu, kuru esat mums samaksājis.

Lai skatītu mūsu Noteikumu un nosacījumu Legalese versiju, lūdzu, noklikšķiniet ŠEIT. Mēs jums esam snieguši iepriekš minētos izcilos vienkāršā angļu valodā, taču ieteicams apskatīt arī Legalese, jo, atzīmējot zemāk esošo izvēles rūtiņu un turpinot pirkumu, jūs piekrītat gan angļu, gan Legalese valodām.

Paldies, ka izmantojat eMATHinstruction materiālus. Lai turpinātu nodrošināt augstas kvalitātes matemātikas resursus jums un jūsu studentiem, mēs ar cieņu to pieprasām ne ievietojiet šo vai kādu no mūsu failiem jebkurā vietnē. Šāda rīcība ir autortiesību pārkāpums.

Saturs, kuram mēģināt piekļūt nepieciešama dalība. Ja jums jau ir plāns, lūdzu, piesakieties. Ja jums ir jāiegādājas dalība, mēs katru gadu piedāvājam dalību pasniedzējiem un skolotājiem, kā arī īpašas atlaides skolām.

Diemžēl saturs, kuram mēģināt piekļūt nepieciešama pārbaude ka jūs esat matemātikas skolotājs. Lūdzu, noklikšķiniet uz saites zemāk, lai iesniegtu verifikācijas pieprasījumu.


Varbūtība

Ilinoisas Universitātes Matemātikas katedrai vēsturiski ir bijusi liela varbūtības reputācija gan ar fakultāti, gan ar daudzajiem pēcdoktorantu viesiem, kas šeit bijuši. Tālāk ir sniegts vispārīgo varbūtības teorijas jomu izklāsts, kas studēts šeit, Ilinoisā, un aprakstīti regulāri piedāvātie padziļinātie bakalaura un maģistra kursi.

Fakultātes locekļi

Partha Dey - Ph.D. UC-Berkeley, 2010. Matemātiskā fizika, varbūtība, Šteina metode, Izlases tīkli.

Runhuan Feng - Ph.D. Vaterlo universitāte, 2008. Aktuārā zinātne, Matemātikas finanses, Lietišķie stohastiskie procesi, Lietišķā analīze.

Kejs Kirkpatriks - Ph.D. UC-Berkeley, 2007. Statistikas mehānika, varbūtība, diferenciālvienādojumi un pielietojums fizikā un bioloģijā.

Šu Li - Ph.D. Vaterlo universitāte, 2015. Aktuāra zinātne, lietišķie stohastiskie procesi, kvantitatīvā riska vadība.

Dziesmas atjaunošana - Ph.D. Florida, 1993. Stohastiskā analīze, Markova procesi, matemātiskā fizika, matemātiskās finanses.

Richard B. Sowers - Ph.D. Maryland, 1991. Lietišķie stohastiskie procesi, stohastisko procesu asimptotika, nejauši traucētas dinamiskās sistēmas un stohastiskie PDE.

Postdocs

Jing Wang - Ph.D. Purdue University 2014. Lauku varbūtība, analīze un sub-Rīmannian ģeometrija. Konkrēti difūzijas pusgrupas sub-Riemannian kolektoros un ar to saistītās funkcionālās nevienlīdzības ar ģeometrisko saturu ar nelielu hipoeliptisko difūzijas procesu pārejas blīvuma laika novērtējumu.

Fakultātes locekļi saistītās jomās

Filips Di Frančesko - Ph.D. Universite Paris 6, 1989. Matemātiskā fizika, skaitliskā un algebriskā kombinatorika, statistikas fizikas integrējamie modeļi, kopu algebra, matricu modeļi, kvantu (konformālās) lauka teorija.

Buraks Erdogans - Ph.D. Caltech, 2001. Harmoniska analīze par Eiklida telpām un PDE.

Lī DeVils - Ph.D. Bostonas universitāte, 2001. Stohastiskā analīze, diferenciālvienādojumi, dinamiskās sistēmas.

Zoltans Furedi - Ph.D. 1981. gads, D.Sc. Ungārijas Zinātņu akadēmijas Matemātikas institūts, 1990. Galīgo kopu teorija ar pielietojumiem ģeometrijā, dizainos un datorzinātnēs.

Eduards Kirrs - Ph.D., Mičigana, 2002. Koherentu struktūru esamība un stabilitāte matemātiskās fizikas vienādojumos, to savienošana ar starojumu perturbācijās, viļņu teorija un skaitliskā simulācija viendabīgos un nejaušos vidēs.

Jang-Mei Wu - Ph.D. Ilinoisa, 1974. Potenciālu teorija, konformālā kartēšana, izņēmuma kopas, sarežģītu funkciju teorija.

Emeriti fakultāte

Lesters Helmss - Ph.D. Purdue, 1956. Varbūtību teorija, difūzijas vienādojumi, otrās kārtas eliptiskie daļēji diferenciālvienādojumi, siltuma vienādojums, stohastiskie procesi.

Roberts Kaufmans - Ph.D. Jeils, 1965. Klasiskā analīze, komplekso funkciju teorija, Hausdorfa mērs, analītiskās kopas.

Pēteris Lēbs - Ph.D. Stanford, 1964. Nestandarta analīze, potenciāla teorija, aptverot teorēmas, integrācijas teorija.

Džozefs Rozenblats - Ph.D. Vašingtona, 1972. Harmoniskā analīze, ergodiskā teorija, funkcionālā analīze.

Absolventu pētījums varbūtības teorijā

Varbūtību teorija nodrošina matemātisko ietvaru tādu eksperimentu izpētei, kuru iznākums nav paredzams, pateicoties kādam iekšējam nejaušības mehānismam. Idejas un metodes, kas tam tiek nepārtraukti izstrādātas, nodrošina spēcīgus rīkus daudzām citām lietām, piemēram, jaunu teorēmu atklāšanai un pierādīšanai citās matemātikas daļās.

Ilinoisas universitātes fakultāti interesējošās tēmas ietver martingāles teoriju, mijiedarbojošās daļiņu sistēmas, vispārējo Markova procesu teoriju, nejaušības laukus, stohastiskos diferenciālvienādojumus, difūzijas procesus un ierobežojumu teorēmas. Šo tematu kopīgs elements ir trīskāršs (w, £, P), kas sastāv no rezultātu w kolekcijas, A apakšgrupu A klases, ko sauc par notikumiem, un varbūtības funkcijas P, kas katram notikumam A piešķir varbūtību P (A). Katra no tēmām rodas, norādot funkciju kolekciju (X (t): t T), sauktus par nejaušiem mainīgajiem vai vektoriem, kas definēti uz 2, iegūstot vērtības noteiktā telpā un varbūtības apgalvojumus, kas saistīti ar X.

Martingale teorija

Konkrētajā gadījumā, kad parametru kopa T ir sakārtota un katrs reāli novērtētais nejaušais mainīgais X (t) ir saistīts ar X (s) s & lt t ar vidējās vērtības īpašību, procesu sauc par martingāli. Martingales ieviesa 1930. gadu beigās un plaši to izstrādāja 194. un 1950. gados emeritus profesors Džozefs L. Doobs no Ilinoisas universitātes. Martingale teorija ir izrādījusies spēcīgs instruments mūsdienu probabilistam. Martingales ne tikai pati par sevi interesē kā azartspēļu sistēmu modeļi, bet tās dabiski sastopamas daudzās analīzes daļās. Pielietojums ir no daļēju diferenciālo vienādojumu risinājumu izpētes līdz Banach telpu ģeometrisko īpašību izpētei.

Mijiedarbojošās daļiņu sistēmas

Mijiedarbīgo daļiņu sistēmu tēma ir cēlusies no fizikas statistikas mehānikas, un tā kļuva par varbūtības teorijas nozari 60. gadu beigās ar Padomju Savienības R. L. Dobrushina un F. Spicera no Kornela universitātes pionieru darbu. Šīs tēmas mērķis ir aprakstīt mijiedarbojošos daļiņu sistēmu nejaušo laika attīstību un analizēt sistēmas ilgtermiņa varbūtības raksturlielumus. Viens no mērķiem jo īpaši ir izskaidrot fizisko sistēmu fāzes pārejas fenomenu.

Uztverot parametru kopu T kā pozitīvo reālo vērtību un norādot, ka X (t) vērtības ir vektori ar neskaitāmi daudziem komponentiem, no kuriem katrs raksturo vienas daļiņas dinamisko uzvedību, iegūst mijiedarbojošu daļiņu sistēmu, ja varbūtības varbūtība apgalvojumi, kas attiecas uz X (t), rada mijiedarbību starp komponentiem. Rīki, kas tiek izmantoti šādu sistēmu izpētei, ietver klasiskās varbūtības, funkcionālās analīzes un martingāles teorijas sajaukumu. Šajā tēmā svarīgs paņēmiens ietver savienojuma izmantošanu, ar kuru daļiņu sistēmu salīdzina ar sistēmu, par kuru kaut kas ir zināms, lai gūtu zināmu ieskatu sākotnējā sistēmā.

Mijiedarbojošās daļiņu sistēmas ir izmantotas kā magnētisma, infekciju izplatīšanās, audzēja augšanas un uzvedības sistēmu modeļi.

Markova procesi

Markova procesiem ir ilga vēsture, un pirmos nozīmīgos rezultātus 1906. gadā ieguva padomju matemātiķis AA Markovs. Šādi procesi (X (t): t T) prasa, lai T būtu reāllaika apakškopa un būtu īpašība, ka varbūtības paziņojumi par nākotnes vērtību, ņemot vērā procesa vēsturi līdz mūsdienām, ir atkarīga tikai no pašreizējās vērtības.

Izmantojot siltuma vienādojuma n-dimensijās fundamentālo risinājumu, lai precizētu varbūtības apgalvojumus, kas attiecas uz X (t), tiek iegūts process (X (t): t³ 0), ko sauc par n-dimensiju Brauna kustību. Ievērojami zinātnieki, piemēram, A. Einšteins un N. Veiners, ir devuši nozīmīgu ieguldījumu Brauna kustības izpētē. 1940. gados S. Kakutani izveidoja fundamentālu saikni starp Brauna kustību un analīzi. J. L. Doobs izvērsās un izmantoja šo saikni 1950. gados, lai pierādītu jaunas teorēmas analīzē, izmantojot varbūtības metodes un jaunas teorēmas varbūtības teorijā, izmantojot zināmus rezultātus analīzē. Šī varbūtības teorijas un analīzes mijiedarbība ir bijusi un arī turpmāk būs auglīga pētījumu joma.

Izlases lauki

Nejaušus laukus (X (t): t in T) iegūst, ļaujot parametru kopai T būt daudzdimensionālai, piemēram, ļaujot T būt n-dimensiju Eiklida telpas apakškopai. Šāds lauks var rasties kā nejaušs troksnis, kas novietots uz divdimensiju attēla, vai kā mijiedarbojošās daļiņu sistēmas ilgtermiņa līdzsvara sadalījums.

Viena no izlases lauku pašreizējo pētījumu jomām ir saistīta ar trūkstošajām vērtībām šādā veidā. Pieņemsim, ka S ir ietverts T, un tiek pieņemts, ka X (r) ir zināms visiem r T S. Mums ir jānovērtē X (t) t S, izmantojot norādīto X (r) r T S. Vēl viena joma ir saistīta ar Markova izlases lauka jēdzienu, ko var rupji un neadekvāti aprakstīt šādi. Domājot par (X (r): r in S) kā "pagātnē", (X (t): t in T S) kā "nākotnē" un (X (s): s robeža S) kā "tagadne", mēs pieprasām, lai pagātne un nākotne būtu neatkarīgas, ņemot vērā tagadni. Šī varbūtības teorijas tēma ir nesen radusies, un tai var būt liela nozīme lietojumos.

Stohastiskie diferenciālvienādojumi

Stohastisko diferenciālo vienādojumu izpēte ir vēl viena iespējama varbūtību dalībnieku joma. Šādi vienādojumi vispirms tika ieviesti kā līdzeklis, lai izveidotu varbūtības modeļus difūzijas procesiem ar noteiktiem difūzijas ātrumiem un dreifēšanas ātrumiem. Pirmo svarīgo darbu šajā jomā 1940. gados paveica K. Ito. Ja (b (t): t³ 0) apzīmē Brauna viendimensiju kustību, diferenciālo dbt nevar definēt parastajā veidā, piemēram, aprēķinā, bet tam var piešķirt nozīmi un var izstrādāt šādu diferenciālu aprēķinu. Ņemot vērā faktoru vienmērīgas funkcijas f un g, tad ir iespējams apsvērt stohastisko diferenciālvienādojumu dX (T) = f (X (T)) db (T) + g (X (T)) dt un konstruēt procesu ( X (T): t ³ 0), kas atrisina vienādojumu. Šāda difūzijas procesu uzbūve ir kļuvusi par svarīgu instrumentu fizikā, inženierzinātnēs un bioloģiskajās zinātnēs.

Ierobežot teorēmas

Pirmās ierobežojumu teorēmas attiecas uz De Moivre, Laplace un brāļiem Bernoulli. Šīs teorēmas apgalvo, ka piemērotos apstākļos neatkarīgi standartizētu mainīgo lielumiem, kas ir atbilstoši standartizēti, ir izplatīšanas funkcijas, kas saplūst ar normālu sadalījuma funkciju. Šī gadsimta pirmajā daļā nozīmīgas jaunas šāda veida teorēmas pierādīja Bernstein, Lindeberg, Levy, Feller un Kolmogorov, cita starpā. Neatkarības pieņēmumu nedaudz vēlāk nomainīja vājāki apstākļi. Termins "ierobežojuma teorēma" ir aprakstīts kā dažādi rezultāti par nejaušo mainīgo summu sadalījuma ierobežošanu, procesu paraugu ceļu svārstību uzvedību un ierobežojošu rezultātu atkarību tikai no dažiem parametriem.

Varbūtību teorijas kursi

Regulāri plānotie kursi, kas interesē varbūtības studentus, ir Math 461, 466, 561, 562 un 564. Detalizēti kursu apraksti ir zemāk. Pēc šo kursu apgūšanas students tiek paaugstināts profesionālā pētniecības līmenī, izmantojot lasīšanas kursus un īpašus tematiskos kursus. Katru semestri vismaz vienu tēmu kursu piedāvā mācībspēks, kurš ir šīs tēmas eksperts.

Matemātika 561: Varbūtības teorija, es
Šī ir absolventu pamatkursa pirmā puse mērījumu teorētiskās varbūtības teorijā. Tas tiek piedāvāts katra gada pavasara semestrī. Šī kursa mērķis ir diezgan stingra mūsdienu varbūtības pamatteorijas izpratne. Šī kursa materiāls ir būtisks ne tikai abstraktā varbūtības analīzē, bet arī dažādās piemērotās jomās, piemēram, komunikācijas teorijā, rindu teorijā un matemātiskajā finansē. Šajā kursā aplūkotie materiāli ietver sekojošo: (1) Varbūtību teorijas pamatjēdzieni: nejauši mainīgie, sadalījumi, gaidas, dispersijas, nejaušo mainīgo lielumu neatkarība un konverģence un centrālās robežas teorēma (3) nosacītās gaidas, martingales un pielietojumi (4) Brauna kustība, vāja varbūtības mēru konverģence un Vīnera mēra konstrukcija. Dažreiz kursā tiek aplūkota arī Markova ķēžu teorija un stacionārie procesi.

Divas no pēdējām šī kursa mācību grāmatām ir:

  1. Varbūtība: teorija un piemēri, 2. izdevums, R. Durrett, Duxbury Press, 1996.
  2. Varbūtības teorija, S. R. S. Varadhan, Amerikas Matemātikas biedrība, 2001

Šī kursa priekšnoteikums ir Math 540 materiāli.

Matemātika 562: varbūtības teorija, II
Šī ir absolventu pamatkursa otrā puse mēru teorētisko varbūtību teorijā. Tas tiek piedāvāts katra gada rudens semestrī. Šī kursa mērķis ir labi izprast Brauna kustības teoriju un stohastisko analīzi. Šī kursa materiāls ir būtisks ne tikai abstraktā varbūtības analīzē, bet arī dažādās pielietojamās jomās, piemēram, komunikācijas teorijā, rindu teorijā, matemātiskajā finansē un matemātiskajā fizikā. Šajā kursā aplūkotie materiāli ietver sekojošo: (1) Brauna kustība un nepārtraukta laika martingales (2) stohastiskie integrāļi (3) Ito formula (4) Girsanovs pārveido (5) stohastiskos diferenciālvienādojumus un martingales problēmas (4) difūzijas procesus. Dažreiz šajā kursā tiek aplūkoti arī pieteikumi citās jomās, piemēram, matemātikas finansēs.

Divas no pēdējām šī kursa mācību grāmatām ir:

  1. Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2. izdevums, Karatzas un Šreve, Springer, 1994.
  2. Stohastiskie diferenciālvienādojumi, 5. izdevums, B. Oksendāls, Springer, 1998.

Šī kursa priekšnoteikums ir Math 561 materiāli.

Matemātika 564: Lietišķie stohastiskie procesi
Šis ir absolventu kurss par lietišķajiem stohastiskajiem procesiem, un mēru teorija nav šī kursa priekšnoteikums. Tas tiek piedāvāts katra gada rudens semestrī. Šī kursa mērķis ir laba izpratne par stohastiskajiem pamatprocesiem un to pielietojumu. Šis kurss ir paredzēts tiem absolventiem, kuriem pētījumos būs jāizmanto stohastiskie procesi, bet kuriem nav mēru teorētiskā fona, lai ņemtu secību Math 451 - Math 452. Šajā kursā aplūkotie materiāli ietver: (1) diskrēta laika Markova ķēdes (2) nepārtrauktas laika Markova ķēdes (3) diskrētas laika martingales, (4) stacionārus procesus (5) rindu teorijas un citu pielietoto jomu pielietojumus. Šajā kursā apskatītās lietojumprogrammas var pielāgot auditorijas interesēm.

Divas no šī kursa nesen izmantotajām mācību grāmatām ir:

  1. Markova ķēdes, J. R. Noriss, Kembridžas Universitātes izdevniecība, 1997.
  2. Stohastiskie procesi, S. M. Ross, Wiley, 1996.
  • Šī kursa priekšnoteikums ir Math 461 materiāli.

Math 461: Varbūtības teorija I
Šis ir pamata varbūtības teorijas kurss. Katrā semestrī tiek piedāvātas vairākas šī kursa sadaļas. Šī kursa materiāli ir būtiski dažādām jomām. Šī kursa mērķis ir laba izpratne par varbūtības teorijas pamatjēdzieniem. Šajā kursā aplūkotie materiāli ietver sekojošo: (1) varbūtības aksiomas (2) paraugu telpas ar tikpat ticamiem rezultātiem (3) nosacīta varbūtība un neatkarība (4) nejauši mainīgie, sadalījuma funkcijas un blīvuma funkcijas (5) sagaidāmība un dispersija nejaušie mainīgie (6) nejaušo mainīgo kopīgais sadalījums un kopīgais blīvums, neatkarīgie nejaušie mainīgie (7) lielu skaitļu likums un centrālās robežas teorēma (8) momentu ģenerējošās funkcijas un raksturīgās funkcijas.

Šī kursa priekšnoteikums ir materiāli bakalaura aprēķina secībā.

Matemātika 466: Varbūtību teorija II
Šis ir pamatstudiju kurss par pielietotajiem stohastiskajiem procesiem. Gadu gaitā tā ir piedāvājusi neregulāri. Šī kursa mērķis ir laba stohastisko procesu un to pielietojuma izpratne. Šis kurss ir paredzēts tiem bakalaura studentiem, kuri vēlas uzzināt vairāk par varbūtību un stohastiskiem procesiem, izņemot Math 361 materiālus. Šajā kursā ietvertie materiāli ietver: 1) izlases pastaigas un diskrēta laika Markova ķēdes (2) nepārtraukts laiks Markova ķēdes (3) diskrētas laika martingales (4).

Šī kursa priekšnoteikums ir Math 461 materiāli un bakalaura aprēķina secība.


Vispirms lejupielādējiet un izlasiet AMC 8 Teacher & rsquos rokasgrāmatu 2021. – 2022. Gadam, lai iegūtu sīkāku informāciju par to, kā rīkot AMC 8 konkursu.

Konkursa vadītāji var atrast visas nepieciešamās papildu veidlapas zemāk vai vietnē amc-reg.maa.org.

AMC 8 konkursa sertifikācijas veidlapa (tikai drukāšanai): izmanto visi konkursa vadītāji lai apliecinātu, ka tests tika veikts, ievērojot visus Skolotāju un rsquos rokasgrāmatas noteikumus.

AMC 8 papildu saišu veidlapa: to izmanto konkursu vadītāji, kuriem jau veiktajam pasūtījumam jāpievieno testa saišķu pasūtījumi.

AMC 8 svarīgi termiņi un informācija (tikai drukāšanai): ātra uzziņu lapa par dažiem svarīgākajiem jautājumiem Skolotāju un rsquos rokasgrāmatā.


8.3. Uzdevums: Varbūtība

1. Uzrakstiet parauga vietu trīs monētu mešanai, izmantojot koku diagrammu.


2. Uzrakstiet parauga vietu divu bumbiņu atlasei no maisa, kurā ir 6 bumbiņas ar numuriem no 1 līdz 6 (izmantojot koku diagrammu).


3. Ja A ir gadījuma eksperimenta notikums, kas P(A) : P (/>) = 17: 15 un n(S) = 640, tad atrodiet (i) P (/>) (ii) n(A).



4. Monēta tiek izmesta trīs reizes. Kāda ir varbūtība iegūt divas astes pēc kārtas?


5. Pasākuma laikā kartītes, kuru numurs ir no 1 līdz 1000, vienā kartē ievieto vienu numuru. Katrs spēlētājs nejauši izvēlas vienu karti, un šī karte netiek aizstāta. Ja izvēlētās kartes perfektā kvadrāta skaitlis ir lielāks par 500, spēlētājs iegūst balvu. Cik liela ir varbūtība, ka (i) pirmais spēlētājs iegūst balvu (ii) otrais spēlētājs iegūst balvu, ja pirmais ir uzvarējis?


6. Maisā ir 12 zilas bumbiņas un x sarkanas bumbiņas. Ja viena bumba tiek izlozēta nejauši (i), kāda ir varbūtība, ka tā būs sarkanā bumba? (ii) Ja somā tiek ievietotas vēl 8 sarkanas bumbiņas un ja sarkanās bumbas uzzīmēšanas varbūtība būs divreiz lielāka nekā varbūtība i) punktā, tad atrodiet x.


7. Divus objektīvus kauliņus met vienu reizi. Atrodiet varbūtību iegūt

i) dublets (vienādi skaitļi abos kauliņos)

(ii) produkts kā galvenais skaitlis

(iii) summu kā galveno skaitli


8. Trīs godīgas monētas mētājas kopā. Atrodiet varbūtību iegūt


9. Divi kauliņi ir attiecīgi numurēti ar 1,2,3,4,5,6 un 1,1,2,2,3,3. Tie tiek velmēti un tiek atzīmēta uz tiem esošo skaitļu summa. Atrodiet varbūtību iegūt katru summu no 2 līdz 9 atsevišķi.


10. Soma satur 5 sarkanas bumbiņas, 6 baltas bumbiņas, 7 zaļas bumbiņas, 8 melnas bumbiņas. No somas nejauši izvelk vienu bumbu. Atrodiet varbūtību, ka zīmētā bumba ir

iv) ne balta, ne melna


11. Kastē ir 20 spuldzes ar defektiem un dažas ar defektiem. Ja varbūtība, ka no lodziņa nejauši izvēlēta spuldze ir bojāta, ir 3/8, atrodiet bojāto spuldžu skaitu.


12. Dimantu karalis un karaliene, sirds karaliene un domkrats, džeks un pīķa karalis tiek izņemti no 52 spēļu kāršu klāja un pēc tam labi sajaukti. Tagad no atlikušajām kārtīm nejauši tiek izvilkta viena karte. Nosakiet kartes varbūtību


13. Daži zēni spēlē spēli, kurā viņu izmestais akmens, kas nolaižas apļveida reģionā (norādīts attēlā), tiek uzskatīts par uzvaru, bet piezemēšanās, kas nav apļveida reģions, tiek uzskatīta par zaudējumu. Kāda ir varbūtība uzvarēt spēli?



14. Divi klienti Priya un Amuthan tajā pašā nedēļā (no pirmdienas līdz sestdienai) apmeklē konkrētu veikalu. Katrs no viņiem, iespējams, apmeklēs veikalu vienā dienā kā citā dienā. Kāda ir varbūtība, ka abi apmeklēs veikalu


15. Spēlē dalības maksa ir 150. Spēle sastāv no monētas mešanas 3 reizes. Dhana iebraukšanai nopirka biļeti. Ja rāda viena vai divas galvas, viņa atgūst dalības maksu. Ja viņa iemet 3 galvas, viņa saņem dubultu dalības maksu. Pretējā gadījumā viņa zaudēs. Atrodiet varbūtību, ka viņa (i) saņem dubultu dalības maksu (ii) vienkārši saņem savu dalības maksu (iii) zaudē dalības maksu.


Idejas, kas noved pie varbūtības

Aktivitāte un divas diskusijas, kas veido šo stundu, iepazīstina ar idejām, kas ir varbūtības teorijas pamatā. Izmantojot ikdienas pieredzi un intuitīvo izpratni, šī nodarbība studentiem pakāpeniski iepazīstina ar varbūtību.

Mērķi

  • ir iepazīstināti ar varbūtības jēdzienu
  • ir strādājuši ar nejaušu skaitļu ģeneratoriem
  • ir iemācījušies, ko nozīmē, lai spēle būtu godīga

Adresāti:

  • Statistika un varbūtība
    • Students parāda konceptuālu izpratni par varbūtību un skaitīšanas paņēmieniem.
    • Statistika un varbūtība
      • Students parāda konceptuālu izpratni par varbūtību un skaitīšanas paņēmieniem.
      • Statistika un varbūtība
        • Students parāda konceptuālu izpratni par varbūtību un skaitīšanas paņēmieniem.
        • Statistika un varbūtība
          • Students parāda konceptuālu izpratni par varbūtību un skaitīšanas paņēmieniem.
          • Statistika un varbūtība
            • Students parāda konceptuālu izpratni par varbūtību un skaitīšanas paņēmieniem.
            • Statistika un varbūtība
              • Izpētiet nejaušības procesus un izstrādājiet, izmantojiet un novērtējiet varbūtības modeļus.

              Statistika un varbūtība

              • Nosacītā varbūtība un varbūtības likumi
                • Izprotiet neatkarību un nosacītu varbūtību un izmantojiet tos, lai interpretētu datus
                • Izmantojiet varbūtības likumus, lai aprēķinātu salikto notikumu varbūtības vienotā varbūtības modelī
                • Izprast un novērtēt statistikas eksperimentu pamatā esošos nejaušos procesus
                • Izdariet secinājumus un pamatojiet secinājumus no izlases veida apsekojumiem, eksperimentiem un novērojumu pētījumiem
                • Aprēķiniet paredzamās vērtības un izmantojiet tās problēmu risināšanai
                • Izmantojiet varbūtību, lai novērtētu lēmumu rezultātus

                Papildfunkcijas un modelēšana

                • Datu analīze un varbūtība
                  • 1. kompetences mērķis: izglītojamais analizēs datus un pielietos varbūtības jēdzienus problēmu risināšanai.
                  • Datu analīze un varbūtība
                    • 2. kompetences mērķis: izglītojamais analizēs datus un pielietos varbūtības jēdzienus problēmu risināšanai.
                    • Skaits un darbības, mērīšana, ģeometrija, datu analīze un varbūtība, algebra
                      • 4. KOMPETENCES MĒRĶIS: izglītojamais sapratīs un noteiks varbūtības.
                      • Datu analīze un varbūtība
                        • 4-6. Standarts: students, izmantojot matemātiskos procesus, parādīs izpratni par datu vākšanas metožu ietekmi, piemērotu grafiku kategoriskiem vai skaitliskiem datiem un vienkārša notikuma iespējamo rezultātu analīzi.
                        • Datu analīze un varbūtība
                          • Izmantojot matemātiskos procesus, students demonstrēs attiecību izpratni starp divām populācijām vai izlasēm.
                          • Datu analīze un varbūtība
                            • Izmantojot matemātiskos procesus, students demonstrēs izpratni par sakarībām starp diviem mainīgajiem lielumiem vienā populācijā vai izlasē.
                            • Varbūtība un statistika
                              • 4.19.a. Students prognozēs vienkārša notikuma iznākumu iespējamību, izmantojot noteiktus, iespējams, maz ticamus, neiespējamus terminus
                              • 4.19.a.
                              • Varbūtība un statistika
                                • 7.14. Students izpētīs un aprakstīs atšķirību starp simulācijas laikā atklātā notikuma varbūtību pret šī paša notikuma teorētisko varbūtību.
                                • 7.15 The student will identify and describe the number of possible arrangements of several objects, using a tree diagram or the Fundamental (Basic) Counting Principle.
                                • Probability and Statistics
                                  • 8.11 The student will analyze problem situations, including games of chance, board games, or grading scales, and make predictions, using knowledge of probability.
                                  • 8.11 The student will analyze problem situations, including games of chance, board games, or

                                  Textbooks Aligned:

                                  • 6
                                    • [ Module 2 - Math Detectives ] Section 1: Probability
                                      • Reason for Alignment: Ideas that Lead to Probability is an introductory lesson on probability which matches the initial probability lesson in the text. The Racing Game activity used in the lesson is simple, yet illustrates many concepts of probability. It is also a preview of a fair game, which is introduced later in Book 1.
                                      • [ Module 2 - Bright Ideas ] Section 5: Probability
                                        • Reason for Alignment: This lesson contains the basics for understanding probability on an intuitive level. It employs a number of different experimental situations to get students started with these concepts.
                                        • [ Module 2 - At the Mall ] Section 3: Exploring Probability
                                          • Reason for Alignment: This is an introductory lesson that ties to several of the simpler activites related to probability.

                                          Student Prerequisites

                                          • Arithmetic: Student must be able to:
                                            • use addition when working with dice
                                            • perform basic mouse manipulations such as point, click and drag
                                            • use a browser for experimenting with the activities

                                            Teacher Preparation

                                            • Access to a browser
                                            • Copies of the supplemental materials:
                                              • A printed copy of the Racing Game Field if they play the Racing Game with One Die without using the computer.
                                              • Racing Game Worksheet

                                              Dice with various numbers of sides.

                                              Pamatjēdzieni

                                              experimental probabilityThe chances of something happening, based on repeated testing and observing results. It is the ratio of the number of times an event occurred to the number of times tested. For example, to find the experimental probability of winning a game, one must play the game many times, then divide the number of games won by the total number of games played
                                              probabilityThe measure of how likely it is for an event to occur. The probability of an event is always a number between zero and 100%. The meaning (interpretation) of probability is the subject of theories of probability. However, any rule for assigning probabilities to events has to satisfy the axioms of probability
                                              random number generatorsA device used to produce a selection of numbers in a fair manner, in no particular order and with no favor being given to any numbers. Examples include dice, spinners, coins, and computer programs designed to randomly pick numbers
                                              theoretical probabilityThe chances of events happening as determined by calculating results that would occur under ideal circumstances. For example, the theoretical probability of rolling a 4 on a four-sided die is 1/4 or 25%, because there is one chance in four to roll a 4, and under ideal circumstances one out of every four rolls would be a 4. Contrast with experimental probability

                                              Lesson Outline

                                              Remind students what has been learned in previous lessons that will be pertinent to this lesson and/or have them begin to think about the words and ideas of this lesson:

                                              • If I bet you that we could play a game and that I could win every time, would you believe me?
                                              • This game is a racing game in which we take turns rolling a six sided die and advancing on the numbers that we each are assigned. I bet you I can assign us an equal quantity of numbers that we move on and no matter how many times we play I will always win.
                                              • Then tell them that the numbers that you assign yourself are 1, 2, 3, 4, 5, and 6, while the numbers you assign the person who takes you up on your bet are 7, 8, 9, 10, 11, and 12. (If you are only playing with one die then it is impossible to roll anything higher than a 6 so the person assigned 6 -12 will never move).
                                              • Who thinks this game is fair?
                                              • Today, class, we are going to begin learning about random number generators and probability.
                                              • We are going to use the computers to learn about random number generators and probability, but please do not turn your computers on until I ask you to. I want to show you a little about this activity first.
                                              • Lead a discussion about Fair Choice
                                              • Lead a discussion about Random Number Generators . Everybody has some expertise with random choices. This fact allows the following questions to lead to spark a discussion:
                                                1. " How can you randomly choose between any given numbers? Can you use some devices to help you with that? What devices?"
                                                2. "How do you know if the choice is truly random? How do you know if it is fair?"
                                              • Have students can use as The Racing Game with One Die an example of a game that is either fair or not. Make sure to adjust the settings on the game so that the race is only one step long. Since the game is used for illustration only, it can be played by each student individually, by groups of students, or by one person who broadcasts it for everybody else to see.
                                              • Have them discuss different ways that they can make the game fair and not fair.
                                              • Now have the students play The Racing Game with One Die Each group of students can come up with their own way of randomly choosing which players move on which rolls
                                              • Also have them adjust the number of steps in the race and observe the affect it has on the probability that one player will win over the other.
                                              • You might also challenge the students to find the combination of race length and numbers needed to cause one player to have a specific probability of winning.
                                              • You may wish to bring the class back together for a discussion of the findings. Once the students have been allowed to share what they found, summarize the results of the lesson.

                                              Alternate Outline

                                              • If computers are not available, after describing the game as it is in The Racing Game with One Die students can use dice or spinners and a printed copy of The Racing Game Field to record their moves.
                                              • To go into more depth, use the The Racing Game with One Die activity to show that multiple steps increase whatever advantage a player has of winning, and then lead a discussion about the Probability of simultaneous events to reinforce the idea.
                                              • If not used earlier, use the Probability vs. Statistics discussion to demonstrate the difference between these two concepts.
                                              • Combine this lesson with the Introduction to the Concept of Probability lesson to give students an understanding of outcomes, events, and set operations along with the concepts of randomness and fair choice that are part of this lesson.

                                              Suggested Follow-Up

                                              After these discussions and activities, the students will have the beginnings of an understanding of probability, randomness and fair choice. The next lesson, Unexpected Answers, continues the initial exploration of probability and presents some unusual examples of games that require close examination to determine if they are fair.


                                              Thought Starter: What are the chances of that?

                                              1. Following ‘The Chance Game’ that you play with your class at the start of this lesson, discuss these questions with your class and then note down the things that you SEE, THINK and WONDER about the probability of different events that you discussed in the game:

                                              • In the Chance Game, what was the likelihood or chance that you’d be knocked out on any given turn? Kā tu zini?
                                              • If you chose an even number in a turn, what is the chance the die would roll an even number? Kā tu zini?
                                              • If you were allowed to, and you chose a ‘7’ as a number, what would be the chances of being knocked out in a round? Kāpēc?
                                              • What were your chances of being the last person standing? Kā tu zini?
                                              • Can you think of any events in this game that could be described as ‘certain’?
                                                .

                                              2. To work out the chance or probability of a player winning your game, we’ll need to:


                                              Skatīties video: Vidusskola. Statistiskā varbūtība. (Novembris 2021).