Raksti

8.2. Revolūcijas virsmas laukums - matemātika


Jēdzienus, kurus mēs izmantojām, lai atrastu līknes loka garumu, var paplašināt, lai atrastu revolūcijas virsmas laukumu. Virsmas laukums ir objekta ārējā slāņa kopējā platība. Mēs vēlamies atrast apgriezienu virsmas laukumu, kas izveidots, pagriežot (y = f (x) ) grafiku ap (x ) - asi, kā parādīts nākamajā attēlā.

Kā mēs to darījām daudzas reizes iepriekš, mēs sadalīsim intervālu ([a, b] ) un aptuveno virsmu, aprēķinot vienkāršāku formu virsmu. Mēs sākam, izmantojot līnijas segmentus, lai tuvinātu līkni, kā mēs to darījām iepriekš šajā sadaļā. Ja (i = 0,1,2,…, n ), lai (P = {x_i} ) būtu regulārs ([a, b] ) nodalījums. Tad, lai (i = 1,2,…, n, ) izveidotu līnijas segmentu no punkta ((x_ {i − 1}, f (x_ {i − 1})) ) līdz punktam ((x_i, f (x_i)) ). Tagad pagrieziet šos līnijas segmentus ap (x ) asi, lai izveidotu apgriezienu virsmas tuvinājumu, kā parādīts nākamajā attēlā.

Ievērojiet, ka tad, kad katrs līnijas segments ir pagriezts ap asi, tas rada joslu. Šīs lentes faktiski ir konusu gabali (domājiet par saldējuma konusu ar nogrieztu smailu galu). Šādu konusa gabalu sauc par a krēms no konusa.

Lai atrastu joslas virsmas laukumu, mums jāatrod frustuma sānu virsmas laukums ( (S )) (tikai frustum slīpa ārējās virsmas laukums, neietverot augšējās vai apakšējās virsmas laukumus) ). Ļaujiet (r_1 ) un (r_2 ) būt attiecīgi garozas platā un šaurā gala rādiusiem, un (l ) ir krēpes slīpais augstums, kā parādīts nākamajā attēlā.

Mēs zinām, ka konusa sānu virsmas laukumu dod

[ text {Lateral Surface Area} = πrs, ]

kur (r ) ir konusa pamatnes rādiuss un (s ) ir slīps augstums (Attēls ( PageIndex {7} ).

Tā kā frustum var uzskatīt par konusa gabalu, krustu sānu virsmas laukumu nosaka visa konusa sānu virsmas laukums, atskaitot mazākā konusa (smaila gala) sānu virsmas laukumu (Attēls ( PageIndex {8} ).

Mazā konusa un lielā konusa šķērsgriezumi ir līdzīgi trijstūri, tāpēc mēs to redzam

[ dfrac {r_2} {r_1} = dfrac {s − l} {s} ]

Atrodot (s ), iegūstam = s − ls

[ begin {izlīdzināt *} dfrac {r_2} {r_1} & = dfrac {s-l} {s} r_2s & = r_1 (s-l) r_2s & = r_1s-r_1l r_1l & = r_1s − r_2s r_1l & = (r_1 − r_2) s dfrac {r_1l} {r_1 − r_2} = s beigas {izlīdzināt *} ]

Tad garozas sānu virsmas laukums (SA) ir

[ begin {izlīdzināt *} S & = text {(sānu SA no liela konusa)} - text {(sānu SA no maza konusa)} [4pt] & = πr_1s − πr_2 (s − l) [4pt] & = πr_1 ( dfrac {r_1l} {r_1 − r_2}) - πr_2 ( dfrac {r_1l} {r_1 − r_2 − l}) [4pt] & = dfrac {πr ^ 2_1l} { r ^ 1 − r ^ 2} - dfrac {πr_1r_2l} {r_1 − r_2} + πr_2l [4pt] & = dfrac {πr ^ 2_1l} {r_1 − r_2} - dfrac {πr_1r2_l} {r_1 − r_2 } + dfrac {πr_2l (r_1 − r_2)} {r_1 − r_2} [4pt] & = dfrac {πr ^ 2_1} {lr_1 − r_2} - dfrac {πr_1r_2l} {r_1 − r_2} + dfrac {πr_1r_2l} {r_1 − r_2} - dfrac {πr ^ 2_2l} {r_1 − r_3} [4pt] & = dfrac {π (r ^ 2_1 − r ^ 2_2) l} {r_1 − r_2} = dfrac {π (r_1 − r + 2) (r1 + r2) l} {r_1 − r_2} [4pt] & = π (r_1 + r_2) l. label {eq20} end {izlīdzināt *} ]

Izmantosim šo formulu, lai aprēķinātu katras joslas virsmu, kas izveidota, līnijas segmentus pagriežot ap (x asi ). Reprezentatīvā josla ir parādīta nākamajā attēlā.

Ņemiet vērā, ka šī karkasa slīpais augstums ir tikai līnijas segmenta garums, ko izmanto tā ģenerēšanai. Tātad, piemērojot virsmas laukuma formulu, mums ir

[ sākt {izlīdzināt *} S & = π (r_1 + r_2) l & = π (f (x_ {i − 1}) + f (x_i)) sqrt {Δx ^ 2 + (Δyi) ^ 2} & = π (f (x_ {i − 1}) + f (x_i)) Δx sqrt {1 + ( dfrac {Δy_i} {Δx}) ^ 2} end {izlīdzināt *} ]

Kā mēs to darījām loka garuma formulas izstrādē, mēs izmantojam vidējās vērtības teorēmu, lai atlasītu (x ^ ∗ _ i∗ [x_ {i − 1}, x_i] ) tā, lai (f ′ (x ^ ∗ _i) = (Δy_i) / Δx. ) Tas dod mums

[S = π (f (x_ {i − 1}) + f (x_i)) Δx sqrt {1+ (f ′ (x ^ ∗ _ i)) ^ 2} skaitlis ]

Turklāt, tā kā (f (x) ) ir nepārtraukts, tad Starpposma vērtības teorēma, ir punkts (x ^ {**} _ i∈ [x_ {i − 1}, x [i] ), kas (f (x ^ {**} _ i) = (1/2) [ f (xi-1) + f (xi)],

lai mēs dabūtu

[S = 2πf (x ^ {**} _ i) Δx sqrt {1+ (f ′ (x ^ ∗ _ i)) ^ 2}. Nonumber ]

Tad aptuveno visas revolūcijas virsmas laukumu norāda

[ text {Virsmas laukums} ≈ sum_ {i = 1} ^ n2πf (x ^ {**} _ i) Δx sqrt {1+ (f ′ (x ^ ∗ _ i)) ^ 2}. nonumber ]

Tas gandrīz izskatās pēc Rīmana summas, izņemot to, ka mums ir funkcijas, kas novērtētas divos dažādos punktos, (x ^ ∗ _ i ) un (x ^ {**} _ {i} ), intervālā ([x_ { i − 1}, x_i] ). Lai gan mēs šeit nepārbaudām detaļas, izrādās, ka, tā kā (f (x) ) ir gluda, ja mēs ļaujam n (→ ∞ ), ierobežojums darbojas tāpat kā Rīmaņa summa pat ar abiem atšķirīgajiem vērtēšanas punkti. Tas ir jēga intuitīvi. Gan (x ^ ∗ _ i ), gan x ^ {**} _ i ) atrodas intervālā ([x_ {i − 1}, x_i] ), tāpēc ir jēga, ka kā (n → ∞ ), gan (x ^ ∗ _ i ), gan (x ^ {**} _ i ) pieeja (x ) Tiem no jums, kurus interesē sīkāka informācija, ir jāizmanto uzlabots aprēķina teksts.

Ņemot robežu kā (n → ∞, ), mēs iegūstam

[ begin {izlīdzināt *} text {virsmas laukums} & = lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} n ^ 2πf (x ^ {**} _ i) Δx sqrt {1+ (f ′ (X ^ ∗ _ i)) ^ 2} [4pt] & = ∫ ^ b_a (2πf (x) sqrt {1+ (f ′ (x)) ^ 2}) end {izlīdzināt *} ]

Tāpat kā ar loka garumu, mēs varam veikt līdzīgu attīstību (y ) funkcijās, lai iegūtu formulu apgriezienu virsmu virsmai ap (y asi ). Šie atklājumi ir apkopoti nākamajā teorēmā.

Revolūcijas virsmas virsmas laukums

Ļaujiet (f (x) ) būt negatīvai vienmērīgai funkcijai intervālā ([a, b] ). Pēc tam apgriezienu virsmas laukumu, kas izveidots, pagriežot (f (x) ) grafiku ap x asi,

[ text {Virsmas laukums} = ∫ ^ b_a (2πf (x) sqrt {1+ (f ′ (x)) ^ 2}) dx ]

Tāpat (g (y) ) ir nenegatīva vienmērīga funkcija intervālā ([c, d] ). Pēc tam apgriezienu virsmas laukumu, kas izveidots, pagriežot (g (y) ) grafiku ap (y asi ), dod:

[ text {Virsmas laukums} = ∫ ^ d_c (2πg (y) sqrt {1+ (g ′ (y)) ^ 2} dy ]

Piemērs ( PageIndex {4} ): 1. revolūcijas virsmas virsmas laukuma aprēķināšana.

Ļaujiet (f (x) = sqrt {x} ) intervālā ([1,4] ). Atrodiet tās virsmas laukumu, kas izveidota, pagriežot (f (x) ) grafiku ap (x ) - asi. Apturiet atbildi līdz trīs zīmēm aiz komata.

Risinājums

(F (x) ) diagramma un rotācijas virsma ir parādīta attēlā ( PageIndex {10} ).

Mums ir (f (x) = sqrt {x} ). Pēc tam (f ′ (x) = 1 / (2 sqrt {x}) ) un ((f ′ (x)) ^ 2 = 1 / (4x). ) Pēc tam,

[ begin {izlīdzināt *} text {Virsmas laukums} & = ∫ ^ b_a (2πf (x) sqrt {1+ (f ′ (x)) ^ 2} dx [4pt] & = ∫ ^ 4_1 ( sqrt {2π sqrt {x} 1+ dfrac {1} {4x}}) dx [4pt] & = ∫ ^ 4_1 (2π sqrt {x + 14} dx. end {izlīdzināt *} ]

Ļaujiet (u = x + 1/4. ) Pēc tam (du = dx ). Kad (x = 1, u = 5/4 ) un kad (x = 4, u = 17/4. ), Tas dod mums

[ begin {align *} ∫ ^ 1_0 (2π sqrt {x + dfrac {1} {4}}) dx & = ∫ ^ {17/4} _ {5/4} 2π sqrt {u} du [4pt] & = 2π pa kreisi [ dfrac {2} {3} u ^ {3/2} pa labi] ∣ ^ {17/4} _ {5/4} [4pt] & = dfrac {π} {6} [17 sqrt {17} −5 sqrt {5}] ≈30.846 end {izlīdzināt *} ]

Vingrinājums ( PageIndex {4} )

Ļaujiet (f (x) = sqrt {1 − x} ) intervālā ([0,1 / 2] ). Atrodiet tās virsmas laukumu, kas izveidota, pagriežot (f (x) ) grafiku ap (x ) - asi. Apturiet atbildi līdz trīs zīmēm aiz komata.

Padoms

Izmantojiet procesu no iepriekšējā piemēra.

Atbilde

[ dfrac {π} {6} (5 sqrt {5} −3 sqrt {3}) .13,133 ]

Piemērs ( PageIndex {5} ): 2. revolūcijas virsmas virsmas laukuma aprēķināšana

Ļaujiet (f (x) = y = dfrac [3] {3x} ). Apsveriet līknes daļu, kur (0≤y≤2 ). Atrodiet tās virsmas laukumu, kas izveidota, pagriežot (f (x) ) grafiku ap (y ) - asi.

Risinājums

Ievērojiet, ka mēs pagriežam līkni ap (y ) - asi, un intervāls ir izteikts (y ) izteiksmē, tāpēc mēs vēlamies pārrakstīt funkciju kā (y ) funkciju. Mēs iegūstam (x = g (y) = (1/3) y ^ 3 ). (G (y) ) grafiks un rotācijas virsma ir parādīta nākamajā attēlā.

Mums ir (g (y) = (1/3) y ^ 3 ), tātad (g ′ (y) = y ^ 2 ) un ((g ′ (y)) ^ 2 = y ^ 4 ). Tad

[ begin {align *} text {Virsmas apgabals} & = ∫ ^ d_c (2πg (y) sqrt {1+ (g ′ (y)) ^ 2}) dy [4pt] & = ∫ ^ 2_0 (2π ( dfrac {1} {3} y ^ 3) sqrt {1 + y ^ 4}) dy [4pt] & = dfrac {2π} {3} ∫ ^ 2_0 (y ^ 3 sqrt {1 + y ^ 4}) dy. end {izlīdzināt *} ]

Ļaujiet (u = y ^ 4 + 1. ) Tad (du = 4y ^ 3dy ). Kad (y = 0, u = 1 ) un kad (y = 2, u = 17. ) Tad

[ begin {align *} dfrac {2π} {3} ∫ ^ 2_0 (y ^ 3 sqrt {1 + y ^ 4}) dy & = dfrac {2π} {3} ∫ ^ {17} _1 dfrac {1} {4} sqrt {u} du [4pt] & = dfrac {π} {6} [ dfrac {2} {3} u ^ {3/2}] ∣ ^ {17 } _1 = dfrac {π} {9} [(17) ^ {3/2} −1] ≈24,118. end {izlīdzināt *} ]

Vingrinājums ( PageIndex {5} )

Ļaujiet (g (y) = sqrt {9 − y ^ 2} ) intervālā (y∈ [0,2] ). Atrodiet virsmas laukumu, kas izveidots, pagriežot (g (y) ) grafiku ap (y ) - asi.

Padoms

Izmantojiet procesu no iepriekšējā piemēra.

Atbilde

(12π )


Revolūcijas virsma

Taisnas līnijas radītu apgriezienu virsmu piemēri ir cilindriskas un koniskas virsmas atkarībā no tā, vai līnija ir paralēla asij. Aplis, kas tiek pagriezts ap jebkuru diametru, rada sfēru, no kuras tas ir lielais aplis, un, ja aplis tiek pagriezts ap asi, kas nekrustojas apļa iekšpusē, tad tas rada toru, kas pats nekrustojas ( gredzena toruss).


8.2. Revolūcijas virsmas laukums - matemātika

Šajā sadaļā mēs vēlreiz aplūkosim revolūcijas cietās daļas. Pirmo reizi mēs tos apskatījām atpakaļ I aprēķinā, kad atradām revolūcijas cietā apjomu. Šajā sadaļā mēs vēlamies atrast šī reģiona virsmas laukumu.

Tātad formulas atvasināšanas nolūkā aplūkosim nepārtrauktās funkcijas (y = f left (x right) ) pagriešanu intervālā ( left [ pa labi] ) ap (x ) - asi. Mums arī jāpieņem, ka atvasinājums ir nepārtraukts ( left [ aisnība]). Zemāk ir funkcijas skice un apgriezienu pamats, ko iegūstam, pagriežot funkciju ap (x ) - asi.

Virsmas laukuma formulu var atvasināt tikpat daudz, cik atvasinājām loka garuma formulu. Sāksim, sadalot intervālu (n ) vienādos platuma apakšintervālos ( Delta x ). Katrā apakšintervālā mēs aptuveno funkciju noskaidrosim ar taisnu līniju, kas atbilst funkcijai katra intervāla galapunktos. Šeit ir skice mūsu reprezentatīvajai funkcijai, izmantojot (n = 4 ).

Tagad pagrieziet tuvinājumus ap (x ) asi, un mēs iegūstam šādu stabilu.

Katra intervāla tuvinājums dod atšķirīgu cietās vielas daļu, un, lai to padarītu skaidru, katra daļa tiek krāsota atšķirīgi. Katru no šīm daļām sauc par frustums, un mēs zinām, kā atrast frustumu virsmas laukumu.

Lobuma virsmas laukumu izsaka:

un (l ) ir garozas slīpuma garums.

Par frustum intervālā ( pa kreisi [<<>>,> labi] ) mums ir,

un no iepriekšējās sadaļas mēs zinām,

Pirms virsmas laukuma formulas pierakstīšanas mēs pieņemsim, ka ( Delta x ) ir "mazs" un tā kā (f left (x right) ) ir nepārtraukts, tad varam pieņemt, ka

Tātad, garozas virsmas laukums intervālā ( pa kreisi [<<>>,> pa labi] ) ir aptuveni,

Tad visa cietā materiāla virsma ir aptuveni,

un mēs varam iegūt precīzu virsmas laukumu, ņemot robežu, jo (n ) iet uz bezgalību.

Ja mēs vēlētos, mēs varētu arī iegūt līdzīgu formulu, lai pagrieztu (x = h left (y right) ) uz ( left [ pa labi] ) ap (y ) - asi. Tas dotu šādu formulu.

Tomēr šīs nav “standarta” formulas. Ievērojiet, ka saknes abās šajās formulās ir nekas cits kā divi (ds ) s, kurus mēs izmantojām iepriekšējā sadaļā. Mēs aizstāsim (f left (x right) ) ar (y ) un (h left (y right) ) ar (x ). To darot, iegūst divas šādas virsmas laukuma formulas.

Virsmas laukuma formulas

Par šīm formulām ir jāņem vērā pāris lietas. Pirmkārt, ievērojiet, ka mainīgais pašā integrālā vienmēr ir pretējs mainīgais no tā, par kuru mēs rotējam. Otrkārt, mums ir atļauts izmantot vai nu (ds ) jebkurā formulā. Tas nozīmē, ka šeit kaut kādā veidā ir četras formulas. Mēs izvēlēsimies (ds ), pamatojoties uz to, kurš konkrētajai funkcijai un problēmai ir visērtākais.

Tagad strādāsim ar pāris piemēriem.

Formula, kuru mēs šeit izmantosim, ir

tā kā mēs rotējam ap (x ) - asi un šajā gadījumā izmantosim pirmo (ds ), jo mūsu funkcija šim (ds ) ir pareizā formā, un mēs neko neiegūsim atrisinot to par (x ).

Vispirms rūpēsimies par atvasinājumu un sakni.

Šeit ir virsmas laukuma neatņemama sastāvdaļa,

Tomēr pastāv problēma. (Dx ) nozīmē, ka integrālā mums nevajadzētu būt nevienam (y ). Tātad, pirms novērtēt integrālo, mums būs jāaizstāj arī (y ).

Iepriekš mēs izteicām komentāru, ka virsmas laukuma formulās mēs varētu izmantot vai nu (ds ). Strādāsim ar piemēru, kurā, izmantojot vai nu (ds ), netiks izveidoti integrāļi, kurus ir pārāk grūti novērtēt, un tāpēc mēs varam pārbaudīt abus (ds ).

Ņemiet vērā, ka mums ir dota funkcija, kas iestatīta pirmajam (ds ), un ierobežojumi, kas darbojas otrajam (ds ).

1. risinājums
Šajā risinājumā tiks izmantoti pirmie (ds ), kas uzskaitīti iepriekš. Mēs sāksim ar atvasinājumu un sakni.

Mums būs jāiegūst arī jauni ierobežojumi. Tomēr tas nav pārāk slikti. Viss, kas mums jādara, ir jāpievieno dotie (y ) s mūsu vienādojumā un jāatrisina, lai iegūtu, ka (x ) ’diapazons ir (1 le x le 8 ). Tādā gadījumā virsmas laukuma integrālis ir

Ņemiet vērā, ka šoreiz mums nebija jāaizstāj (x ), kā to darījām iepriekšējā piemērā. Šajā gadījumā mēs paņēmām (dx ) no (ds ), tāpēc mums nav jāaizstāj (x ). Patiesībā, ja mēs būtu aizstājuši (x ), mēs būtu ielikuši (y ) s integrālī, kas būtu radījis problēmas.

2. risinājums
Šoreiz mēs izmantosim otro (ds ). Tātad vispirms mums jāatrisina vienādojums (x ). Mēs arī turpināsim un iegūsim atvasinājumu un saknes, kamēr mēs to darīsim.

Šoreiz mēs izmantojām sākotnējos (y ) ierobežojumus, jo mēs no (ds ) atlasījām (dy ). Ņemiet vērā arī to, ka (dy ) klātbūtne nozīmē, ka šoreiz, atšķirībā no pirmā risinājuma, mums būs jāaizstāj (x ). Darot, kas dod,

Ņemiet vērā, ka pēc aizstāšanas integrālis bija identisks pirmajam risinājumam, un tāpēc darbs tika izlaists.

Kā parādīts šajā piemērā, mēs varam izmantot vai nu (ds ), lai iegūtu virsmas laukumu. Ir svarīgi arī norādīt, ka ar vienu (ds ) mums bija jāaizstāj (x ), bet ar otru mēs to nedarījām. Tas vienmēr izdosies tā.

Ņemiet vērā arī to, ka pēdējā piemēra gadījumā to bija tikpat viegli izmantot vai nu (ds ). Bieži tas tā nebūs. Daudzos piemēros būs ērti strādāt tikai ar vienu no (ds ), tāpēc mums vienmēr ir jānosaka, ar kuru (ds ) ir visvieglāk strādāt, pirms sākat problēmu.


Uzlādēto daļiņu intensīvo staru teorija

5.13.1 Problēmas izklāsts

Mēs esam redzējuši, ka, izmantojot revolūcijas virsmu kā pamata plūsmas cauruli, pamatojoties uz pieņēmumu, ka Vl, Vψ atkarīgs tikai no l, samazina aplūkojamo problēmu līdz parastā diferenciālvienādojuma integrācijai un, iespējams, η kvadrāta aprēķināšanai. Nākamais uzdevums var būt atteikšanās no prasības V α = V α (ξ 1) un izveidojot precīzus risinājumus, pamatojoties uz ekvivalentu grupas īpašību izpēti. (5.225) formulēts pamata virsmai, kas nebūt nav revolūcijas virsma. Kā šādu virsmu mēs varam izmantot, piemēram, jebkuru no virsmām, ar kurām mēs saskārāmies 2. sadaļā, pētot precīzus stara vienādojumu (plakne, apļveida cilindrs un konuss, kā arī helikoidais) risinājumus (Syrovoy, 1989).


Revolūcijas virsma

Taisnas līnijas radītu apgriezienu virsmu piemēri ir cilindriskas un koniskas virsmas atkarībā no tā, vai līnija ir paralēla asij. Aplis, kas tiek pagriezts ap jebkuru diametru, rada sfēru, no kuras tas ir lielais aplis, un, ja aplis tiek pagriezts ap asi, kas nekrustojas apļa iekšpusē, tad tas rada toru, kas pats nekrustojas ( gredzena toruss).

Līknes x = 2 + cos z daļa pagriezās ap z asi

Revolūcijas virsmas posmus, ko plaknes veido caur asi, sauc par meridiālajiem posmiem. Jebkuru meridiālo sadaļu var uzskatīt par ģeneratricu plaknē, kuru nosaka tā un ass. [2]

Revolūcijas virsmas sekcijas, ko veido plaknes, kas ir perpendikulāras asij, ir apļi.

Daži īpašie hiperboloīdu (vienas vai divu lokšņu) un eliptisko paraboloīdu gadījumi ir revolūcijas virsmas. Tās var identificēt kā kvadrātiskās virsmas, kuru visi šķērsgriezumi perpendikulāri asij ir apaļi.
Platības formula

Ja līkni apraksta parametru funkcijas x (t), y (t) ar t diapazonu dažos intervālos [a, b] un apgriezienu ass ir y ass, tad apgabalu Ay neatņemama sastāvdaļa

ar nosacījumu, ka x (t) nekad nav negatīvs starp galapunktiem a un b. Šī formula ir Pappusa centroidās teorēmas aprēķina ekvivalents. [3] Daudzums

nāk no Pitagora teorēmas un pārstāv nelielu līknes loka segmentu, tāpat kā loka garuma formulā. Lielums 2πx (t) ir šī mazā segmenta (centrālā daļa) ceļš, kā to prasa Pappusa teorēma.

Tāpat, ja rotācijas ass ir x ass un ar nosacījumu, ka y (t) nekad nav negatīva, laukumu norāda [4]

Ja nepārtraukto līkni apraksta funkcija y = f (x), a ≤ x ≤ b, tad integrālis kļūst

apgriezieniem ap x asi, un

apgriezieniem ap y asi (ar nosacījumu, ka ≥ ≥ 0). Tie nāk no iepriekš minētās formulas. [5]

Piemēram, sfērisko virsmu ar vienības rādiusu ģenerē līkne y (t) = sin (t), x (t) = cos (t), kad t svārstās virs [0, π]. Tāpēc tā platība ir

Sfēriskās līknes gadījumam ar r rādiusu y (x) = √r2 - x2 pagriezts ap x asi

Minimāla apgriezienu virsma ir līknes apgriezienu virsma starp diviem dotajiem punktiem, kas samazina virsmas laukumu. [6] Variāciju aprēķina pamatproblēma ir līknes atrašana starp diviem punktiem, kas rada šo minimālo apgriezienu virsmu. [6]

Ir tikai divas minimālas apgriezienu virsmas (apgriezienu virsmas, kas ir arī minimālas virsmas): plakne un katenoīds. [7]
Koordinēt izteicienus

Apgrieziena virsmu, kas iegūta, pagriežot līkni, kuru ap x asi raksturo y = f (x), cilindriskās koordinātēs visvienkāršāk var raksturot ar (< displaystyle r = f (z)> ). Dekarta koordinātās tas dod parametrizāciju z un ( theta ) izteiksmē kā (< displaystyle (f (z) cos ( theta), f (z) sin ( theta), z) > ). Ja tā vietā līkni pagriežam ap y asi, tad līkni cilindriskās koordinātēs apraksta (< displaystyle z = f (r)> ), iegūstot izteiksmi ( ) parametru r un ( theta ) izteiksmē.

Ja x un y ir definēti kā parametrs t, tad mēs iegūstam parametrizāciju t un ( theta ) izteiksmē. Ja x un y ir t funkcijas, tad apgriezienu virsmu, kas iegūta, pagriežot līkni ap x asi, cilindriskās koordinātēs apraksta parametru vienādojums (< displaystyle (r, theta, z) = (y ( t), theta, x (t))> ), un apgriezienu virsmu, kas iegūta, pagriežot līkni ap y asi, raksturo ar ( ). Dekarta koordinātās šie (attiecīgi) kļūst par (< displaystyle (y (t) cos ( theta), y (t) sin ( theta), x (t))> ) un (< displaystyle (x (t) cos ( theta), x (t) sin ( theta), y (t))> ). Tad seko iepriekšminētās formulas virsmas laukumam, izmantojot šīs parametrizācijas, paņemot nemainīgās funkcijas 1 virsmas integrāli virs virsmas.

Ģeodēzija uz revolūcijas virsmas

Meridiāni vienmēr ir ģeodēziski uz revolūcijas virsmas. Pārējos ģeodēziskos jautājumus nosaka Clairaut saistība. [8]
Toroīdi
Galvenais raksts: Toroīds
Toroīds, kas ģenerēts no kvadrāta

Revolūcijas virsmu ar atveri, kur apgrieziena ass nekrustojas ar virsmu, sauc par toroīdu. [9] Piemēram, kad taisnstūri pagriež ap asi paralēli vienai no tās malām, tiek izveidots dobs kvadrātveida sekcijas gredzens. Ja apgrieztā figūra ir aplis, tad objektu sauc par toru.
Revolūcijas virsmu pielietojums

Revolūcijas virsmu izmantošana ir būtiska daudzās fizikas un inženierzinātņu jomās. Ja daži objekti tiek projektēti digitāli, līdzīgus apgriezienus var izmantot virsmas laukuma noteikšanai, neizmantojot projektējamā objekta garuma un rādiusa mērījumus.
Skatīt arī

Kanāla virsma, revolūcijas virsmas vispārinājums
Gabriela rags
Citrons (ģeometrija), apļveida loka apgriezienu virsma
Liouville virsma, vēl viens revolūcijas virsmas vispārinājums
Cieta revolūcija
Virsmas neatņemama sastāvdaļa
Vispārējs helikoidāls
Tulkošanas virsma (diferenciālā ģeometrija)

Starpnieks Marks Gudrs. & quot15-4. Revolūcijas virsmas & quot. Analītiskā ģeometrija (3. izdev.). lpp. 378. LCCN 68015472.
Vilsons, W. A. ​​Treisijs, Dž. (1925), Analītiskā ģeometrija (Pārskatīts red.), D. Hīts un Co, lpp. 227
Tomass, Džordžs B. & quot: 6,7: Revolūcijas virsmas laukums 6,11: Pappusa teorēmas & quot. Rēķins (3. izdevums). 206. – 209., 217. – 219. LCCN 69016407.
Singh, R. R. (1993). Inženiertehniskā matemātika (6 red.). Tata Makgrava-Hila. lpp. 6.90. ISBN 0-07-014615-2.
Swokowski, Earl W. (1983), Calculus ar analītisko ģeometriju (Alternate ed.), Prindle, Weber & amp Schmidt, p. 617, ISBN 0-87150-341-7
Weisstein, Eric W. & quot; Minimālā revolūcijas virsma & quot. MathWorld.
Weisstein, Eric W. & quot; Katenoīds & quot. MathWorld.
Preslijs, Endrjū. "9. nodaļa - ģeodēzija." Elementary Differential Geometry, 2. izdevums, Springer, Londona, 2012, 227. – 230. Lpp.

arejas saites
Veisšteins, Ēriks W. & quot; Revolūcijas virsma & quot. MathWorld.
& quotSurface de révolution & quot. Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (franču valodā).


8.2. Revolūcijas virsmas laukums - matemātika

Jūs gatavojaties dzēst savu darbu par šo darbību. Vai tiešām vēlaties to darīt?

Pieejama atjauninātā versija

Ir atjauninātā versija šīs aktivitātes. Ja atjaunināsiet šīs darbības jaunāko versiju, tiks dzēsti pašreizējie šīs darbības virzieni. Neatkarīgi no tā, jūsu pabeigšanas ieraksts paliks. Kā jūs vēlētos turpināt?

Matemātisko izteiksmju redaktors

Mēs aprēķinām frustruma virsmas laukumu, pēc tam izmantojam metodi “Šķēle, aptuvenais, integrētais”, lai atrastu revolūcijas virsmas laukumus.

Frustum laukums

Lai veiktu tuvināšanas soli, mums vispirms jāapspriež a virsmas laukums frustrum.

Lai aprēķinātu a laukumu revolūcijas virsma, mēs aptuveni uzskatām, ka šī platība ir vienāda ar pamatformu laukumu summu, ko mēs varam izkārtot plakani. Arguments par to atgriežas pie lielā fiziķa un matemātiķa, Aleksandrijas Arhimēds. Lai sekotu viņa argumentam, mums jāsāk, aprēķinot ‘lampas nokrāsas’ vai krēms.

Un, protams, dažas lietas ir interesantākas par frustuma apgabalu:

  • apzīmē trapecveida skaitu,
  • apzīmē katra trapeces augšdaļas garumu,
  • apzīmē katra trapeces augstumu,
  • apzīmē katra trapeces dibena garumu,

tad no ģeometrijas mums ir tas, ka katrs no trapeciem, no kuriem viens ir parādīts zemāk:

  • ir augšējā apļa apkārtmērs,
  • ir garozas slīpais augstums, kā parādīts iepriekš redzamajā attēlā, un
  • ir apakšējā apļa apkārtmērs,

un ar ierobežojošiem likumiem mēs atrodam Tagad, ļaujot

  • ir tā apļa rādiuss, kas nosaka krūškurvja augšdaļu,
  • - jābūt garozas slīpajam augstumam un
  • ir apļa rādiuss, kas nosaka krustu pamatu,

Revolūcijas virsmas laukums

Aplūkosim funkciju ar nepārtrauktu atvasinājumu un izveidosim apgriezienu virsmu, ko veido šī līkne, pagriežot līknes daļu no aptuveni līdz asim:

Izmantojot procedūru “Šķēle, aptuvenais, integrētais”, mēs varam atrast formulu, kas piešķir šīs revolūcijas virsmas laukumu!

1. solis: Šķēle Tā kā mums ir jāapgriež līkne, kas izteikta kā funkcija, mēs izvēlamies šķēlēt attiecībā uz:

2. solis: Aptuvenais Mēs esam redzējuši, kā atrast frustruma virsmas laukumu, tāpēc mums katra šķēle ir jāaplūko kā frustrum.

Tādējādi šī krējuma virsma ir: Ņemiet vērā, ka starp un tādu ir vērtība, tāpēc mēs rakstām:

un var atrast kopējo aptuveno virsmas laukumu, izmantojot frustra, saskaitot visus virsmas laukumus:

3. solis: integrēšana Iepriekš minētajai formulai ir laba konceptuālā nozīme, un tā vēl nav viegli nododama integrālim! un mēs esam redzējuši, ka mēs varam izteikties bez maksas vai nu, kas ļauj izteikt bezgalīgi mazo ar:

Ievērojiet arī to, ka, samazinoties šķēles platumiem, augstāk minētā vērtība tuvojas attālumam, līdz attiecīgā šķēle atrodas prom no rotācijas ass.

Lai pārliecinātos, ka mēs uzsveram šo izteikšanas brīvību, kā arī raksturīgos ģeometriskos rezultātus, ko izmantojām, lai izveidotu virsmas laukumu, mēs rakstām:

kur rādiuss ir attālums no rotācijas ass līdz šķēlei un šķēles šķēluma augstums.

Lai aprēķinātu šo virsmas laukumu, vispirms mēs izvēlamies izteikt vai nu:

Tad mums attālums jāizsaka integrācijas mainīgā izteiksmē. Tas vienmēr būs vertikāls vai horizontāls attālums, ko var aprēķināt tāpat kā mēs to darījām iepriekšējās sadaļās!

Izmantojot piezīmi un ļaujot, mēs varam uzrakstīt:

kur rādiuss ir attālums no rotācijas ass līdz šķēlumam pie.

Svarīgs jēdziens, kas jāņem vērā, ir tas, ka šķēle atrodas līknes punktā. Integrācijas mainīgā izvēle var prasīt, lai mēs izteiktu vienu vai otru izteiksmē, izmantojot vienādojumu, kas apraksta līkni. Mēs to redzēsim nākamajos piemēros.

Vispirms mēs apsveram iespēju aplūkot attēlu,

Īsāk sakot, ņemiet vērā, ka šī šķēle rada šādu neapmierinātību, kad runa ir par -ašu:

Vispirms izveidosim integrālu attiecībā uz. Lai to izdarītu, mēs izvēlamies:

Ņemiet vērā, ka šeit ir vertikālais attālums, kas jāizsaka izteiksmē. Tā kā šķēle atrodas līknes punktā:

Ņemiet vērā, ka šeit ir vertikālais attālums, kas jāizsaka izteiksmē. Tā kā šķēle atrodas līknes punktā:

Tā kā mums tas ir, uzrakstiet ar mani: Tātad

Šo integrāli var aprēķināt, izmantojot aizstāšanu. Izstrādājot informāciju (kas jums jādara pašiem), dod:

Kā mūsu pēdējo piemēru mēs aprēķināsim sfēras virsmas laukumu.

Pēdējās domas

Šīs sadaļas galvenās formulas ir:

Mēs šeit varam brīvi izvēlēties integrācijas mainīgo, jo mēs varam izteikt to vai nu, vai viegli. Kad šī mainīgā izvēle ir noteikta, mums integrācijas mainīgā izteiksmē jāizsaka bezgalīgi mazā frustruma rādiuss un integrāla robežas.

Šis rādiuss ir attālums no rotācijas ass līdz šķēlei, kas ir vai nu horizontāls, vai vertikāls attālums. Mums vienkārši jāpārliecinās, vai mēs to atbilstoši izsakām integrācijas mainīgā izteiksmē.

Daudzi no integrāļiem, kas rodas šo problēmu kontekstā, var būt grūti. Rūpīga diferenciācija un algebra, kā arī laba integrācijas metožu izpratne var būt vitāli svarīga, atrodot virsmas laukumus. Kā parasti, tas var būt izaicinājums, un prakse šeit ir galvenā.

“Matemātika nav skatītāju sports. Tas nav zināšanu kopums. Tas nav simboli lapā. Tas ir kaut kas, ar ko tu spēlē, kaut kas, ko tu dari ”- Kīts Devlins


Kas notiek?

Tātad, kā var būt, ka mums ir ierobežots tilpums, bet bezgalīgs virsmas laukums?

Viens no veidiem, kā to aplūkot, ir atgādināt, kā faktiski tiek aprēķināts revolūcijas cietā tilpums, izmantojot integrālo aprēķinu. Mēs atrodam bezgalīga diska skaita apjomu, rādiusu y (dažādām vērtībām x). Diski ir ar platību

un bezgalīgi mazs augstums dx. Tātad katram diskam ir tilpums

dx "/>

Bezgalīga skaita šādu disku summa saplūdīs, jo šī vispārējā summa saplūst:

Strīds

Paradokss par objektu ar ierobežotu tilpumu, bet bezgalīgu virsmu izraisīja daudz strīdu par bezgalības raksturu 17. gadsimta matemātiķu vidū, ieskaitot Galileo un Volisu. Šādi paradoksi ir lielisks veids, kā mūs domāt!

Saistītās ziņas:

    Izmantojot interaktīvu grafiku, varat izpētīt laukumu zem līknes. Tas demonstrē Rīmanu.Lasītājs jautāja, kā atrast kulona formas trauka tilpumu. Mums vajag.Izpētiet klavieru piezīmju frekvences šajā interaktīvajā mācību objektā, apvienojot trigrafus un eksponenciālos.Bezgalīgām sērijām ir bijusi nozīmīga loma matemātikas, it īpaši rēķināšanas, attīstībā.Šajā biļetenā: 1. Risinājums tvaika nosūcēja problēmai 2. Resurss - Mathapedia 3.

Ievietots kategorijā Matemātika - 2018. gada 22. marts [Permalink]

6 komentāri par objektu ar ierobežotu apjomu, bet bezgalīgu virsmu & # 8221

Man tomēr radās jautājums par revolūcijas cietā materiāla platību

ir

Kad atvasinājums ir kvadrātā, tas ir

Galarezultāts būtu tāds pats, lai gan, iepriekš, kad x tuvojas bezgalībai, un izteiksme integrandā ir

Labvakar
Ļoti jauka problēma ar lielisku atbildi.
Es gribētu piebilst vai man jāsaka, ka es vēlos komentārus par šīm rindām, īpaši tos, kurus es rakstīšu. Ja mēs praktiski redzam šo problēmu, tad
Faktiski tilpums, ko iegūstam pēc integrēšanas, ir tendence uz šo apjomu, jo garums ir bezgalīgi liels. Tāpēc diez vai tas mainīs apjomu, turpretī tā platība turpinās pieaugt.

@Kristietis: Paldies, ka norādījāt uz kļūdu, kuru esmu izlabojis ierakstā. Es neapšaubīju sevi, jo gala rezultāts bija tāds pats, kā jūs teicāt!

Tātad, kas notiktu, ja kāds turētu Hornu vertikāli un piepildītu to ar π litriem krāsas? Vai Horn iekšējā virsma būtu pilnībā pārklāta ar krāsu?

@Jan: Izcils jautājums! Tas var būt pretin intuitīvi, bet man ir aizdomas, ka nē. Kāds vēl vēlas nosvērt?

Lielisks raksts par objektu ar ierobežotu apjomu, bet bezgalīgu virsmas laukumu.


8.2. Revolūcijas virsmas laukums - matemātika

Apsveriet plakni y = f (x) x-y plaknē starp ordinātu x = a un x = b. Ja noteikta šīs līknes daļa ir pagriezta ap asi, tiek radīts apgriezienu pamats.

  1. Dekarta forma:
    • Cietā materiāla laukums, kas izveidots, līknes lokam pagriežot ap x asi, ir
    • Apgrieziena laukums, pagriežot līkni ap y asi, ir

  • Par x asi:
  • Par y asi:
  • Par x asi: sākuma līnija


    Šeit aizstājiet r ar f (& # 952)
  • Par y asi:


    Šeit aizstājiet r ar f (& # 952)
  • Ierobežojumi x: x = a līdz x = b

    Šeit PM ir izteiksmē x.
  • Ierobežojumi y: y = c līdz y = d

    Šeit PM ir y ziņā.

Piemērs:
Atrodiet apgriezienu cietā laukumu, kas radies, pagriežot parabolu ap x asi.
Paskaidrojums:
Tagad mums tiek dota parabola vienādojuma Dekarta forma, un parabola ir pagriezta ap x asi. Tāpēc mēs izmantojam formulu, lai mainītu Dekarta formu ap x asi, kas ir:

Šeit . Tagad mums jāaprēķina dy / dx

Diferencējot w.r.t x mēs iegūstam:

Izmantojot

Now we are provided with limits of x as x=0 to x=3. Plugging our calculated values in the above formula we get:

Attention reader! Don&rsquot stop learning now. Get hold of all the important DSA concepts with the DSA Self Paced Course at a student-friendly price and become industry ready. To complete your preparation from learning a language to DS Algo and many more, please refer Complete Interview Preparation Course.


Lateral & Surface Areas, Volumes

The lateral area of a regular pyramid or right cone is similar to that of prisms, but since each face is a triangle (or triangle-like), there is a factor of one half. The lateral area is thus half the slant height times the perimeter. The slant height is the distance from the vertex to the edge of the base where it is halfway between the base's vertices. If the pyramid is irregular and certainly if the cone is oblique, the surface area might not be calculatable using elementary techniques (which is a fancy way to say you may need calculus). It depends on if you can obtain the altitude (slant height) of each triangular face.

Surface Area = Lateral Area + n × Bases
n = 2 for prisms/cylinders n = 1 for pyramids/cones n = 0 for spheres.

The surface area of a pyramid or cone is the lateral area plus the area of the single base.

The surface area of a sphere is equal to 4 r 2 . Analogous to the unit circle is the unit sphere. Similarly, just as there are 2 radians of angle in one revolution, there are 4 steradians of solid angle in all directions.

Example: Consider a right pyramid A-BCDE with vertex A and square base BCDE of length 20" on each side and a slant height of 26". What are its lateral and surface areas?

Answer: We don't need the height for this calculation, but we will calculate it anyway to stress the difference between slant height and height. The slant height is the hypotenuse of a right triangle where the height is one leg and 20"/2 = 10" is the other leg. Thus 10 2 + h 2 = 26 2 or 100 + h 2 = 676. Thus h 2 = 576 or h = 24". The lateral surfaces are all triangles with a base of 20" and a height (the slant height) of 26". There are four of them. Thus the lateral area is 4×½吐"吖" = 1040 in 2 . The base is 20" square or 400 in 2 . Thus the [total] surface area is 1440 in 2 .

Understanding surface area may be clearer if you refer back to the net associated with the object. At left is a net for a cube and at right a portion of a net for a sphere. Each of these portions of a sphere is called a gore .

Now is a good time to review something learned in algebra, namely ( x + y ) 2 = x 2 + xy + xy + y 2 = x 2 + 2 xy + y 2 . The diagram at the right should clarify this further, help you remember the FOIL method , as well as give a physical basis for this relationship. (Remember also, the square root of ( x 2 + y 2 ) does NOT equal x + y .) Consider extending the FOIL method first into trinomials: ( a + b + c )( d + e + f ) = ad + ae + af + bd + be + bf + cd + ce + cf . The distributive property is another way to consider this situation. Here the box method is useful.

  d e f
a ad ae af
b bd be bf
c cd ce sal

Now extend the method into three dimensions to find: V = ( a + b )( c + d )( e + f ) = ace + acf + ade + adf + bce + bcf + bde + bdf . This would be useful in finding the volume, which is why it is difficult to display in two dimensions.

  • Every polyhedral region has an unique volume , dependent only on your unit cube .
  • A box has a volume of length × width × height ( V = lwh ).
  • Congruent figures have equivalent volume.
  • Total volume is the sum of all nonoverlapping regions.

By knowing the volume, one can determine the dimensions of a polyhedron. Specifically for a cube with edge s and volume s 3 , given a cube with volume 1000 cubic centimeters (1 liter), you can take the cube root to determine each side had length 10 centimeters or about 3.937 inches. Since one gallon is 231 cubic inches, it is thus about 3.785 liters. Other unit conversions can be expected and are summarized in Numbers lesson 9. Cube roots and volume are at the heart of an ancient impossible geometric construction from antiquity, the Delian Cube Doubling problem. Another important concept is that if you double the dimensions of a cube, the volume goes up by a factor of 8=2 3 , just like area went up by a factor of 4=2 2 . This is a problem commonly encountered when converting from cubic feet into cubic yards!

Example: Suppose you wish to pour concrete 4" deep in your driveway which is 90' long and 9' wide.

Answer: You quickly discover that there are 90࡯঩=270 feet 3 . However, there are only 10 yards 3 since each yard is 3 feet and 3 3 =27.

Calculating in the "native unit" of yards: 30ࡩয can help prevent such an error. By "native" we mean here that the final results are expected in cubic yards. If the initial units are converted to yards fewer mistakes will be made. It is EXTREMELY common to erroneously divide by 3 or 9 and not 27 when converting cubic feet into cubic yards.

Example: Suppose you wish to find the volume of the square based right pyramid A-BCDE given in an earlier example with slant height 26" and base 20" on each side.

Answer: The height is 24" as calculated in the previous example. Thus the volume is (1/3)× B × h = (1/3) × 20" × 20" × 24" = 3200 in 3 .

Volume Formulae

Prism or cylinder: V = base area × height
Pyramid or cone: V = (1/3) × base area × height
Sphere: V = (4/3) × (radius) 3

Typically these formula are written as V = Bh (prism or cylinder), V =(1/3) Bh (pyramid or cone), or V =(4/3) r 3 (sphere). Note how a big B is used to signify that this is a two dimensional base or area and not the same (linear) b we use in triangles.

Oblique Prisms and cylinders have the same volume as a right prism or cylinder with the same height and base area. Think of a stack of paper whose top has been pushed to one side. The stack is no longer vertical. However, the volume of paper hasn't changed. In the formula for finding the volume of an oblique prism please note that the height is the perpendicular segment between the top and bottom bases. When you learn calculus you will discover the surface area of a sphere to be the derivative with respect to r of the sphere's volume formula. A similar thing happens between area of a circle and its circumference. This may be happenstance or there may be a deep reason which I'd like to know.

Example: A favorite volume/surface area problem is as follows. A swimming pool is 24' long, 20' wide, 3' deep at the shallow end, and 10' deep at the deep end. The floor slopes evenly. What is the inside surface of the swimming pool and what is the volume (in gallons)?

Answer: The swimming pool is a trapezoidal prism. The floor is 25 feet long since 10' - 3' = 7' and 7 2 +24 2 = 49 + 576 = 625 = 25 2 . The surface area is the sum of 5 surfaces: 2 congruent trapezoidal sides (½(3+10)㩌), 2 rectangular ends (3㩈 + 10㩈), and the bottom (20㩍). This is 2𤚤 + 60 + 200 + 500 = 1072 feet 2 . The volume is Base × height, where Base is the area of one side (½(3+10)㩌), and the height is the width of the pool (20). Thus the volume is 3120 feet 3 or 23339 gallons (multiply by 12 3 cubic inches per cubic foot and divide by 231 cubic inches per gallon).

A gedanken experiment (thought experiment) used to justify the volume formula for a sphere is as follows. First, remember the circle area activity where we cut the circle into 16 wedges, then rearranged the wedges into a r × r parallelogram. Along the same lines, cut a sphere into pyramids. The total area of the bases of these pyramids is 4 r 2 . The height of each is r . Hence the formula is derived. Along the same lines, some have suggested remembering the 1/3 in conal volume formulae by correlating it to the analoguous two dimensional trianglular area formula which has a 1/2 in it.

Given two solids included between parallel planes. If every plane cross section parallel to the given planes has the same area in both solids, then the volumes of the solids are equal. This is know as Cavalieri's Principle .

The Greek Archimedes is one of the three greatest mathematicians of all time. Among his important discoveries is the relationship between the volumes of the cone, sphere, and cylinder. In fact, this discovery was so much his favorite that he requested it to be inscribed on his tombstone. Specifically, consider a sphere of radius r , two cones each with the same radius and height ( r ), and a cylinder with the same radius and height (2 r ). The cylinder will contain either the two cones or the sphere. Their volumes can easily be seen to be (4/3) r 3 , 2(1/3) r 3 , and 2 r 3 . Thus the cones plus the sphere equals the cylinder exactly. (Actually, Archimedes is more commonly credited with showing the sphere's volume to be 2/3's that of the cylinder.) See the corresponding diagrams in the textbook related to the proof of Cavalieri's Principle.

Example: Question 10.2#24 in our text asked the students about cones made from circles (radius 4") with central angles of 45°, 60°, and 120° removed (which got taped to the board amid Madonna jokes). Perform the following. Find the volume of each cone. Find the central angle which maximizes volume. Find the central angle which maximized volume to surface ratio.

Answer: For bonus points hand in your solution by the time the chapter reviews are due.


CALC 2: Area of a Surface of Revolution: x=y+y^3 from 0 to 4

Hi, so I'm having trouble with one of my online calc homework..

Consider the following.
x=y+y^3 from 0 to 4
(a) Set up an integral for the area of the surface obtained by rotating the curve about the x-axis and the y-axis.
(i) the x-axis, the answer is S= 2piy(sqrt((3y^2+1)^2)+1)dy
(ii) the y-axis, the answer is S= 2pi(y^3+y)sqrt((3y^2+1)^2+1)dy

(b) Use the numerical integration capability of a calculator to evaluate the surface areas correct to four decimal places.
(i) the x-axis, the answer is 1258.6212
(ii) the y-axis, I'm really stuck on how to take the integral. I used wolfram to show how they did it, but I don't understand how they got it! I would really like to understand how to do this problem!

Subhotosh Khan

Super Moderator

Hi, so I'm having trouble with one of my online calc homework..

Consider the following.
x=y+y^3 from 0 to 4
(a) Set up an integral for the area of the surface obtained by rotating the curve about the x-axis and the y-axis.
(i) the x-axis, the answer is S= 2piy(sqrt((3y^2+1)^2)+1)dy
(ii) the y-axis, the answer is S= 2pi(y^3+y)sqrt((3y^2+1)^2+1)dy

(b) Use the numerical integration capability of a calculator to evaluate the surface areas correct to four decimal places.
(i) the x-axis, the answer is 1258.6212
(ii) the y-axis, I'm really stuck on how to take the integral. I used wolfram to show how they did it, but I don't understand how they got it! I would really like to understand how to do this problem!

Please share your work with us . even if you know it is wrong

If you are stuck at the beginning tell us and we'll start with the definitions.

You need to read the rules of this forum. Please read the post titled "Read before Posting" at the following URL:


Skatīties video: . Trijstūra laukums (Decembris 2021).