Raksti

4.12.E: Funkciju secības un virknes problēmas


Vingrinājums ( PageIndex {1} )

Aizpildiet 2. un 3. teorēmas pierādījumu.

Vingrinājums ( PageIndex {2} )

Aizpildiet 4. teorēmas pierādījumu.

Vingrinājums ( PageIndex {2 '} )

Piemērā ((a), ) parādiet, ka (f_ {n} rightarrow + infty ) (pa labi) uz ((1, + infty), ), bet ne vienmērīgi. Pierādiet, ka ierobežojums ir vienāds visos intervālos ([a, + infty), a> 1. ) (Definējiet "lim (f_ {n} = + infty ) (vienmērīgi)" piemērotā veidā.)

Vingrinājums ( PageIndex {3} )

Izmantojot 1. teorēmu, apspriediet ( lim _ {n rightarrow infty} f_ {n} ) uz (B ) un (C ( text {kā piemērā} (a)) ) katram sekojošais.
(i) (f_ {n} (x) = frac {x} {n}; B = E ^ {1}; C = [a, b] apakškopa E ^ {1} ).
(ii) (f_ {n} (x) = frac { cos x + n x} {n}; B = E ^ {1} ).
(iii) (f_ {n} (x) = sum_ {k = 1} ^ {n} x ^ {k}; B = (- 1,1); C = [- a, a], | a | <1 ).
(iv) (f_ {n} (x) = frac {x} {1 + n x}; C = [0, + infty) ).
( left. text {[Padoms: Pierādiet, ka} Q_ {n} = sup frac {1} {n} (1- frac {1} {n x + 1} right) = frac { 1} {n}.] )
(v) (f_ {n} (x) = cos ^ {n} x; B = pa kreisi (0, frac { pi} {2} pa labi), C = pa kreisi [ frac {1 } {4}, frac { pi} {2} pa labi) ).
(vi) (f_ {n} (x) = frac { sin ^ {2} n x} {1 + n x}; B = E ^ {1} ).
(vii) (f_ {n} (x) = frac {1} {1 + x ^ {n}}; B = [0,1]; C = [0, a], 0

Vingrinājums ( PageIndex {4} )

Izmantojot 1. un (2, ) teorēmu, apspriediet ( lim f_ {n} ) tālāk norādītajās kopās ar
(f_ {n} (x) ), kā norādīts, un (0
(i) ( frac {n x} {1 + n x}; [a, + infty), (0, a) ).
(ii) ( frac {n x} {1 + n ^ {3} x ^ {3}}; (a, + infty), (0, a) ).
(iii) ( sqrt [n] { cos x}; pa kreisi (0, frac { pi} {2} pa labi), [0, a], a < frac { pi} {2 } ).
(iv) ( frac {x} {n}; (0, a), (0, + infty) ).
(v) (x e ^ {- n x}; [0, + infty); E ^ {1} ).
(vi) (n x e ^ {- n x}; [a, + infty], (0, + infty) ).
(vii) (n x e ^ {- n x ^ {2}}; [a, + infty), (0, + infty) ).
[Padoms: ( lim f_ {n} ) nevar būt vienveidīgs, ja (f_ {n} ) ir nepārtraukti kopā, bet ( lim f_ {n} ) nav.
[Par (( mathrm {v}), f_ {n} ) maksimums ir (x = frac {1} {n} ); tāpēc atrodiet (Q_ {n} ).]

Vingrinājums ( PageIndex {5} )

Definējiet (f_ {n}: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) pēc
[
f_ {n} (x) = pa kreisi { sākas {masīvs} {ll} {nx} un { teksts {if} 0 leq x leq frac {1} {n}} {2- nx} un { text {if} frac {1} {n} ]
Parādiet, ka visas (f_ {n} ) un ( lim f_ {n} ) ir nepārtrauktas katrā intervālā ((- a, a), ) ( left. Text {though} lim f_ {n} text {pastāv tikai pa punktiem. (Salīdziniet to ar 3. teorēmu. pa labi) )

Vingrinājums ( PageIndex {6} )

Funkcija (f ), kas atrodama 3. teorēmas pierādījumā, ir unikāli noteikta. Kāpēc?

Vingrinājums ( PageIndex {7} )

( Rightarrow 7. ) Pierādiet, ka, ja katra funkcija (f_ {n} ) ir nemainīga stāvoklī (B, ) vai ja (B ) ir ierobežota, tad ( f_ {n} ) uz (B ) ir arī vienots ierobežojums; līdzīgi arī sērijām.

Vingrinājums ( PageIndex {8} )

( Rightarrow 8. ) Pierādiet, ka, ja (f_ {n} rightarrow f ( text {vienmērīgi}) ) uz (B ) un ja (C subseteq B, ), tad (f_ {n} rightarrow f ) (vienmērīgi) arī uz (C ).

Vingrinājums ( PageIndex {9} )

( Rightarrow 9. ) Parādiet, ka, ja (f_ {n} rightarrow f ( text {vienmērīgi}) ) katrā no (B_ {1}, B_ {2}, ldots, B_ {m }, ), tad (f_ {n} rightarrow f ) (vienmērīgi) uz ( bigcup_ {k = 1} ^ {m} B_ {k} ).
Ar piemēru to atspēkojiet bezgalīgām savienībām. Dariet to pašu sērijām.

Vingrinājums ( PageIndex {10} )

( Rightarrow 10. ) Ļaujiet (f_ {n} rightarrow f ( text {vienmērīgi}) ) uz (B ). Pierādiet šādu apgalvojumu līdzvērtību:
(i) Katrs (f_ {n}, ) no noteikta (n ) un turpmāk ir ierobežots ar (B ).
(ii) (f ) ir saistīts ar (B ).
(iii) (f_ {n} ) galu galā vienmērīgi ierobežo (B; ), tas ir, visas funkciju vērtības (f_ {n} (x), x B, ) no noteikta (n = n_ {0} ), atrodas vienā un tajā pašā pasaulē (G_ {q} (K) ) diapazona telpā.
Īstām, sarežģītām un vektoru vērtētām funkcijām tas nozīmē
[
left ( pastāv K E ^ {1} labajā pusē) left ( forall n geq n_ {0} right) ( forall x in B) quad left | f_ {n} (x ) pa labi | ]

Vingrinājums ( PageIndex {11} )

( Rightarrow 11. ) Pierādiet reālām, sarežģītām vai vektoru vērtētām funkcijām (f_ {n}, f, g_ {n}, g ), ka, ja
[
f_ {n} rightarrow f text {un} g_ {n} rightarrow g text {(vienmērīgi) uz} B,
]
tad arī
[
f_ {n} pm g_ {n} rightarrow f pm g ( text {vienmērīgi}) text {on} B.
]

Vingrinājums ( PageIndex {12} )

( Rightarrow 12. ) Pierādiet, ka, ja funkcijas (f_ {n} ) un (g_ {n} ) ir reālas vai sarežģītas (vai ja (g_ {n} ) tiek vērtēts vektors un (f_ {n} ) ir skalāri novērtēti) un, ja
[
f_ {n} rightarrow f text {un} g_ {n} rightarrow g text {(vienmērīgi) uz} B,
]
pēc tam
[
f_ {n} g_ {n} rightarrow f g text {(vienmērīgi) uz} B
]
ar nosacījumu, ka (f ) un (g ) vai (f_ {n} ) un (g_ {n} ) ir ierobežoti ar (B ) (vismaz no dažiem (n ) uz priekšu); sal. Problēma (11. )
Noraidiet to gadījumā, ja tikai viens no (f ) un (g ) ir ierobežots.
[Padoms: Ļaujiet (f_ {n} (x) = x ) un (g_ {n} (x) = 1 / n ) (konstante) uz (B = E ^ {1}. ) daži citi piemēri.]

Vingrinājums ( PageIndex {13} )

( Rightarrow 13. ) Pierādiet, ka, ja ( left {f_ {n} right } ) mēdz būt (f ) (pa punktu vai vienmērīgi), tad arī katra secība ( left { f_ {n_ {k}} labi } ).

Vingrinājums ( PageIndex {14} )

( Rightarrow 14. ) Ļaujiet funkcijām (f_ {n} ) un (g_ {n} ), kā arī konstantēm (a ) un (b ) būt reālām vai sarežģītām ( left . text {(vai ļaujiet} a text {un} b text {būt skalāriem un} f_ {n} text {un} g_ {n} text {ir vektora vērtībai} right). ) Pierādiet, ka ja
[
f = sum_ {n = 1} ^ { infty} f_ {n} text {un} g = sum_ {n = 1} ^ { infty} g_ {n} text {(pa punktu vai vienmērīgi)} ,
]
pēc tam
[
a f + b g = sum_ {n = 1} ^ { infty} pa kreisi (a f_ {n} + b g_ {n} pa labi) text {tajā pašā nozīmē. }
]
(Ir izslēgtas bezgalīgas robežas.)
It īpaši,
[
f pm g = sum_ {n = 1} ^ { infty} pa kreisi (f_ {n} pm g_ {n} pa labi) quad text {(termispielikuma noteikums)}
]
un
[
a f = sum_ {n = 1} ^ { infty} a f_ {n}.
]
( text {[Padoms: izmantojiet problēmas} 11 text {un} 12.] )

Vingrinājums ( PageIndex {15} )

( Rightarrow 15. ) Ļaujiet funkciju (f_ {m} ) un (g ) diapazona atstarpei būt (E ^ {n} left ( text {* vai} C ^ {n } pa labi), ) un ļaujiet (f_ {m} = pa kreisi (f_ {m 1}, f_ {m 2}, ldots, f_ {mn} pa labi), g = pa kreisi (g_ {1 }, ldots, g_ {n} pa labi); ) skat. §3, II daļu. Pierādi to
[
f_ {m} rightarrow g quad text {(pa punktu vai vienmērīgi)}
]
iff katrs komponents (f_ {m k} ) no (f_ {m} ) saplūst (tajā pašā nozīmē) ar atbilstošo komponentu (g_ {k} ) no (g; ), t.i.
[
f_ {m k} taisnā bulta g_ {k} quad text {(pa labi vai vienmērīgi),} k = 1,2, ldots, n.
]
Līdzīgi
[
g = sum_ {m = 1} ^ { infty} f_ {m}
]
iff
[
( forall k leq n) quad g_ {k} = sum_ {m = 1} ^ { infty} f_ {m k}.
]
( text {(Skatīt nodaļu} 3, §15, text {Theorem} 2) ).

Vingrinājums ( PageIndex {16} )

( Rightarrow 16. ) No 15. uzdevuma seciniet sarežģītām funkcijām, kas (f_ {m} rightarrow g ) (pa punktu vai vienmērīgi) novērš (f_ {m} ) reālo un iedomāto daļu saplūšanu tie, kas norādīti (g ). Tas ir, ( left (f_ {m} right) _ {re} rightarrow g_ {re} ) un ( left (f_ {m} right) _ {im} rightarrow g_ {im} ); līdzīgi arī sērijām.

Vingrinājums ( PageIndex {17} )

( Rightarrow 17. ) Pierādiet, ka konverģence vai atšķirība (pa punktu vai vienmērīgi)
secību ( left {f_ {m} right }, ) vai virkni ( summa f_ {m}, ) neietekmē ierobežota terminu skaita dzēšana vai pievienošana.
Pierādiet arī, ka ( lim _ {m rightarrow infty} f_ {m} ) (ja tāds ir) paliek nemainīgs, bet ( summa_ {m = 1} ^ { infty} f_ {m} ) tiek mainīta ar atšķirību starp pievienotajiem un izdzēstajiem vārdiem.

Vingrinājums ( PageIndex {18} )

( Rightarrow 18. ) Parādiet, ka ģeometriskā virkne ar attiecību (r ),
[
sum_ {n = 0} ^ { infty} a r ^ {n} quad left (a, r in E ^ {1} text {or} a, r in C right),
]
saplūst iff (| r | <1, ) tādā gadījumā
[
sum_ {n = 0} ^ { infty} a r ^ {n} = frac {a} {1-r}
]
(līdzīgi, ja (a ) ir vektors un (r ) ir skalārs). Izdariet, ka ( summa (-1) ^ {n} ) atšķiras. (Skat. 3. nodaļas 15. punktu, 19. problēma.)

Vingrinājums ( PageIndex {19} )

4. teorēma parāda, ka konverģenta sērija nemaina savu summu, ja ik pēc vairākiem secīgiem nosacījumiem aizstāj to summu. Parādiet ar piemēru, ka apgrieztais process (katra termina sadalīšana vairākos terminos) var ietekmēt konverģenci.
[Padoms: Apsveriet ( summa a_ {n} ) ar (a_ {n} = 0. ) Sadalīt (a_ {n} = 1-1 ), lai iegūtu atšķirīgu sēriju: ( pa kreisi. summa (-1) ^ {n-1}, teksts {ar daļējām summām} 1,0,1,0,1, ldots right] )

Vingrinājums ( PageIndex {20} )

Atrodiet ( sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {n (n + 1)} ).
( left. text {[Padoms: pārbaudiet:} frac {1} {n (n + 1)} = frac {1} {n} - frac {1} {n + 1}. text {Tādējādi atrodiet} s_ {n}, text {un ļaujiet} n rightarrow infty. Right] )

Vingrinājums ( PageIndex {21} )

Funkcijas (f_ {n}: A rightarrow left (T, rho ^ { prime} right), A subseteq (S, rho) ) tiek uzskatītas par vienāda līmeņa ar (p in A ) iff
[
( forall varepsilon> 0) ( pastāv delta> 0) ( forall n) pa kreisi ( forall x in A cap G_ {p} ( delta) right) quad rho ^ { prime} left (f_ {n} (x), f_ {n} (p) right) < varepsilon.
]
Pierādiet, ka, ja tā, un ja (f_ {n} rightarrow f ) (pa labi) uz (A, ), tad (f ) ir nepārtraukts pie (p. )
[Padoms: "Atdariniet" 2. teorēmas pierādījumu.]


Skatīties video: 1. Q light controller plus sākt darbu ar QLC +. Stiprinājumi un funkcijas (Novembris 2021).