Raksti

5.4. Kompleksās un vektoru vērtības funkcijās (E ^ {1} )


Paragrāfu 2. – 3. Daļa neizdodas sarežģītām un vektoru vērtētām funkcijām (skat. Zemāk 3. uzdevumu un 3. §. Savā ziņā tie pat ir spēcīgāki, jo atšķirībā no iepriekšējām teorēmām tie neprasa atvasinājuma esamību visā intervālā (I subseteq E ^ {1}, ), bet tikai uz (IQ ) , kur (Q ) ir saskaitāma kopa, kas atrodas virknes diapazonā, (Q subseteq left {p_ {m} right }. ) (Turpmāk mēs pieņemam 1. nodaļas 9. punktu .)

Nākamajā teorēmā N. Bourbaki dēļ (g: E ^ {1} rightarrow E ^ {*} ) tiek paplašināts reāls, savukārt (f ) var būt arī sarežģīts vai novērtēts ar vektoru. Mēs to saucam par ierobežotu pieaugumu likumu, jo tas attiecas uz "ierobežotajiem pieaugumiem" (f (b) -f (a) ) un (g (b) -g (a). ) Aptuveni tas norāda, ka ( left | f ^ { prime} right | leq g ^ { prime} ) nozīmē līdzīgu nevienlīdzību pieaugumos.

Teorēma ( PageIndex {1} ) (ierobežotu pieaugumu likums)

Ļaujiet (f: E ^ {1} rightarrow E ) un (g: E ^ {1} rightarrow E ^ {*} ) būt relatīvi nepārtrauktam un ierobežotam slēgtā intervālā (I = [a, b] subseteq E ^ {1}, ) un ir atvasinājumi ar ( left | f ^ { prime} right | leq g ^ { prime}, ) uz (IQ ), kur ( Q subseteq left {p_ {1}, p_ {2}, ldots, p_ {m}, ldots right }. ) Pēc tam

[| f (b) -f (a) | leq g (b) -g (a). ]

Pierādījums ir nedaudz darbietilpīgs, bet vērts. (Pirmajā lasījumā to tomēr var izlaist.) Mēs ieskicējam dažas sākotnējas idejas.

Ņemot vērā jebkuru (x in I, ), vispirms pieņemsim, ka (x> p_ {m} ) vismaz vienam (p_ {m} Q. ). Šajā gadījumā mēs

[Q (x) = summa_ {p_ {m}

šeit summēšana notiek tikai pāri tiem (m ), kuriem (p_ {m}

[Q (x) leq sum_ {m = 1} ^ { infty} 2 ^ {- m} = 1. ]

Mūsu plāns ir šāds. Lai pierādītu (1), pietiek parādīt, ka dažiem fiksētiem (K E ^ {1}, ) mums ir

[( forall varepsilon> 0) quad | f (b) -f (a) | leq g (b) -g (a) + K varepsilons, ]

jo tad, ļaujot ( varepsilon rightarrow 0, ), mēs iegūstam (1). Mēs izvēlamies

[K = b-a + Q (b), text {ar} Q (x) text {kā norādīts iepriekš. } ]

Pagaidu labošana ( varepsilon> 0, ) sauksim punktu (r in I ) "good" iff

[| f (r) -f (a) | leq g (r) -g (a) + [r-a + Q (r)] varepsilons ]

un citādi "slikti". Mēs parādīsim, ka (b ) ir "labs". Pirmkārt, mēs pierādām lemmu.

Lemma ( PageIndex {1} )

Katram "labajam" punktam (r I (r

Pierādījums

Vispirms ļaujiet (r notin Q, ), tāpēc, pieņemot, ka (f ) un (g ) atvasinājumi ir pie (r, ) ar

[ pa kreisi | f ^ { prime} (r) pa labi | leq g ^ { prime} (r). ]

Pieņemsim, ka (g ^ { prime} (r) <+ infty. ) Tad (apstrādājot (g ^ { prime} ) kā pareizo atvasinājumu) mēs varam atrast (s> r ) (( s leq b) ) tā, lai visiem (x ) intervālā ((r, s), ),

[ left | frac {g (x) -g (r)} {xr} -g ^ { prime} (r) right | < frac { varepsilon} {2} quad text {( kāpēc?);} ]

līdzīgi (f. ) reizinot ar (x-r, ), mēs iegūstam

[ sākas {izlīdzināts} pa kreisi | f (x) -f (r) -f ^ { prime} (r) (xr) pa labi | <(xr) frac { varepsilon} {2} text {un} pa kreisi | g (x) -g (r) -g ^ { prime} (r) (xr) pa labi | <(xr) frac { varepsilon} {2}, end { izlīdzināts} ]

un līdz ar to - trijstūra nevienlīdzība

[| f (x) -f (r) | leq left | f ^ { prime} (r) right | (x-r) + (x-r) frac { varepsilon} {2} ]

un

[g ^ { prime} (r) (x-r) + (x-r) frac { varepsilon} {2}

Apvienojot to ar ( left | f ^ { prime} (r) right | leq g ^ { prime} (r), ), mēs iegūstam

[| f (x) -f (r) | leq g (x) -g (r) + (x-r) varepsilon text {kad vien} r

Tā kā (r ) ir "labs", tas apmierina ((2); ), tāpēc noteikti kā (Q (r) leq Q (x) ),

[| f (r) -f (a) | leq g (r) -g (a) + (r-a) varepsilon + Q (x) varepsilon text {kad vien} r

Pievienojot to (3) un atkal izmantojot trijstūra nevienlīdzību, mums ir

[| f (x) -f (a) | leq g (x) -g (a) + [x-a + Q (x)] varepsilon text {visiem} x in (r, s). ]

Pēc definīcijas tas parāda, ka katrs (x in (r, s) ) ir "labs", kā apgalvots. Tādējādi lemma ir pierādīta gadījumam (r I-Q, ) ar (g ^ { prime} (r) <+ infty ).

Gadījumi (g ^ { prime} (r) = + infty ) un (r Q ) tiek atstāti kā 1. un 2. uzdevums. ( Quad square )

Tagad mēs atgriežamies pie 1. teorēmas.

1. teorēmas pierādījums. Meklējot pretrunu, pieņemsim, ka (b ) ir "slikta", un lai (B neq emptyyset ) būtu visu "slikto" punktu kopa ([a, b]. ) Ļaujiet

[r = inf B, quad r iekšā [a, b]. ]

Tad intervālā ([a, r) ​​) var būt tikai "labi" punkti, t.i., punkti (x ) tādi, ka

[| f (x) -f (a) | leq g (x) -g (a) + [x-a + Q (x)] varepsilons. ]

Kā norāda (x

[| f (x) -f (a) | leq g (x) -g (a) + [x-a + Q (r)] varepsilon text {visiem} x [a, r). ]

Ņemiet vērā, ka ([a, r) ​​ neq emptyyset, ) par (2), (a ) noteikti ir "labs" (kāpēc?), Un tāpēc 1. lemma dod veselu intervālu ([a, s) ) no “labajiem” punktiem, kas atrodas ([a, r). )

Ievadot (x rightarrow r ) (4) un izmantojot (f ) nepārtrauktību pie (r, ), iegūstam (2). Tādējādi (r ) pati par sevi ir "laba". Tad 1. lemma dod jaunu “labu” punktu intervālu ((r, q) ). Tādējādi ([a, q) ) nav "sliktu" punktu, tāpēc (q ) ir apakšējā robeža no (I ) "slikto" punktu kopas (B ), pretēji (q> r = operatora nosaukums {glb} B ). Šī pretruna parāda, ka (b ) jābūt "labai", t.i.,

[| f (b) -f (a) | leq g (b) -g (a) + [b-a + Q (b)] varepsilons. ]

Tagad, ļaujot ( varepsilon rightarrow 0, ), iegūstam formulu (1), un viss ir pierādīts. ( quad square )

Secinājums ( PageIndex {1} )

Ja (f: E ^ {1} rightarrow E ) ir relatīvi nepārtraukts un ierobežots (I = [a, b] subseteq ) (E ^ {1}, ) un atvasinājums ir (IQ, ), tad ir tāds reāls (M )

[| f (b) -f (a) | leq M (b-a) text {un} M leq sup _ {t in I-Q} left | f ^ { prime} (t) right |. ]

Pierādījums

Ļaujiet

[M_ {0} = sup _ {t I-Q} pa kreisi | f ^ { prime} (t) pa labi |. ]

Ja (M_ {0} <+ infty, ) ielieciet (M = M_ {0} geq left | f ^ { prime} right | ) uz (IQ, ) un paņemiet ( g (x) = M x ) 1. teorēmā. Tad (g ^ { prime} = M geq left | f ^ { prime} right | ) uz (IQ, ), tāpēc formula ( 1) raža (5) kopš

[g (b) -g (a) = M b-M a = M (b-a). ]

Ja tomēr (M_ {0} = + infty, ) ļaujiet

[M = pa kreisi | frac {f (b) -f (a)} {b-a} pa labi |

Tad (5) nepārprotami ir taisnība. Tādējādi nepieciešamais (M ) pastāv vienmēr. ( quad square )

Secinājums ( PageIndex {2} )

Ļaujiet (f ) būt kā 1. secinājumā. Tad (f ) pastāvīgi ieslēdzas (I ) iff (f ^ { prime} = 0 ) uz (I-Q. )

Pierādījums

Ja (f ^ { prime} = 0 ) uz (IQ, ), tad (M = 0 ) 1. korolārijā, tātad 1. koronārs rada jebkuru apakšintervālu ([a, x] (x i), | f (x) -f (a) | leq 0; ) ti, (f (x) = f (a) ) visiem (x I I. ) Tādējādi ( f ) ir nemainīgs uz (I. )

Un otrādi, ja tā, tad (f ^ { prime} = 0, ) pat visos (I. Quad square )

Secinājums ( PageIndex {3} )

Ļaujiet (f, g: E ^ {1} rightarrow E ) būt relatīvi nepārtrauktam un ierobežotam uz (I = [a, b], ) un diferencētam uz (IQ. ). Tad (fg ) ir nemainīgs (I ) iff (f ^ { prime} = g ^ { prime} ) uz (IQ. )

Pierādījums

Pielietojiet 2. secinājumu funkcijai (f-g. Quad square )

Tagad mēs varam arī nostiprināt 4. secinājuma (ii) un (iii) daļu 2. §.

Teorēma ( PageIndex {2} )

Ļaujiet (f ) būt reālam un tam piemīt īpašības, kas norādītas 1. secinājumā. Tad

(i) (f augšupvērsts ) ​​uz (I = [a, b] ) iff (f ^ { prime} geq 0 ) uz (I-Q; ) un

(ii) (f downarrow ) uz (I ) iff (f ^ { prime} leq 0 ) uz (I-Q ).

Pierādījums

Ļaujiet (f ^ { prime} geq 0 ) uz (IQ. ) Labojiet jebkuru (x, y I (x

[f (y) -f (x) geq | g (y) -g (x) | = 0, text {ti,} f (y) geq f (x) text {vienmēr} y> x text {in} I, ]

tātad (f augšupvērsts ) ​​uz (es ).

Un otrādi, ja (f uparrow ) uz (I, ), tad katram (p I, ) mums jābūt (f ^ { prime} (p) geq 0, ) pretējā gadījumā ar 1.§ 1. lemmu (f ) samazināsies pie (p. ) Tādējādi (f ^ { prime} geq 0 ) pat uz visiem (I, ) un ( i) ir pierādīts. Apgalvojums (ii) ir pierādīts līdzīgi. ( quad square )


Skatīties video: Augstākā matemātika I,,, 64, Darbības ar vektoriem, īpašības. (Novembris 2021).