Raksti

4.1. Pamatdefinīcijas - matemātika


Tagad mēs apsvērsim funkcijas, kuru domēni un diapazoni ir kopas dažās fiksētās (bet citādi patvaļīgās) metriskās atstarpēs ((S, rho) ) un ( left (T, rho ^ { prime} right), ) attiecīgi. Mēs rakstām

[f: labā bultiņa pa kreisi (T, rho ^ { prime} pa labi) ]

funkcijai (f ) ar (D_ {f} = A subseteq (S, rho) ) un (D_ {f} ^ { prime} subseteq left (T, rho ^ { prime} right). quad S ) sauc par domēna telpu un (T ) diapazona atstarpi no (f. )

Es Ņemot vērā šādu funkciju, mums bieži ir jāizpēta tā "vietējā uzvedība" kāda punkta tuvumā (p S. ). Jo īpaši, ja (p A = D_ {f} ( text {so that} f (p) text {ir definēts) mēs} ) varam jautāt: Vai ir iespējams padarīt funkciju vērtības (f (x) ) tik tuvu, cik mums patīk ( (" varepsilon - ) near") (f (p) ), turot (x ) pietiekami tuvu ( pa kreisi ( text {"aizveriet} ^ { prime prime} pa labi) ) pret (p, ), ti, iekšpusē kāds pietiekami mazs globuss (G_ {p} ( delta)? ) Ja tas tā ir, mēs sakām, ka (f ) ir nepārtraukts pie (p. ). Precīzāk, mēs formulējam šādu definīciju.

Definīcija

Tiek teikts, ka funkcija (f: A labajā pusē kreisā (T, rho ^ { prime} right), ) ar (A subseteq (S, rho), ) ir nepārtraukta pie ( p ) iff (p in A ) un turklāt katram ( varepsilon> 0 ) (neatkarīgi no tā, cik mazs) ir ( delta> 0 ) tāds, ka ( rho ^ { prime} (f (x), f (p)) < varepsilon ) visiem (x A cap G_ {p} ( delta). ) Simbolos

[( forall varepsilon> 0) ( pastāv delta> 0) left ( forall x in A cap G_ {p} ( delta) right) left { begin {array} { l} { rho ^ { prime} (f (x), f (p)) < varepsilon, text {vai}} {f (x) in G_ {f (p)} ( varepsilon )} end {array} right. ]

Ja ((1) ) neizdodas, mēs sakām, ka (f ) ir pārtraukts pie (p ) un saucam (p ) par nepārtrauktības punktu (f. ). Tas notiek arī tad, ja (p notin A ) (jo (f (p) ) nav definēts).

Ja ((1) ) ir spēkā katram p komplektā (B subseteq A, ), mēs sakām, ka (f ) ir nepārtraukti ieslēgts (B. ). Ja tas attiecas uz (B = A, ) mēs vienkārši sakām, ka (f ) ir nepārtraukta.

Dažreiz mēs vēlamies paturēt (x ) tuvu (p ), bet atšķiras no (p. ). Pēc tam mēs aizstājam (G_ {p} ( delta) ) ((1) ) ar set (G_ {p} ( delta) - {p }, ) ti, globuss bez centra, apzīmēts ar (G _ { neg p} ( delta) ) un izsaukts par izdzēsto ( delta ) -globe about (p. ) Tas ir pat nepieciešams, ja (p notin D_ {f} ). Ja aizstājam (f (p) ) ((1) ) ar dažiem (q T, ), mēs tiekam novirzīti uz šādu definīciju.

Definīcija

Dots (f: A labajā pusē kreisais (T, rho ^ { prime} right), A subseteq (S, rho), p S, ) un (q T, ) mēs sakām, ka (f (x) ) mēdz būt (q ), tāpat kā (x ) mēdz būt (p (f (x) rightarrow q text {as} x rightarrow p) ) iff katram ( varepsilon> 0 ) ir ( delta> 0 ) tāds, ka ( rho ^ { prime} (f (x), q) < varepsilon ) visiem (x in A cap G _ { neg p} ( delta). ) Simbolos

[( forall varepsilon> 0) ( pastāv delta> 0) left ( forall x in A cap G _ { neg p} ( delta) right) quad left { begin {masīvs} {l} { rho ^ { prime} (f (x), q) < varepsilon, text {ie}} {f (x) in G_ {q} ( varepsilon)} end {array} right. ]

Tas nozīmē, ka (f (x) ) ir ( varepsilon ) tuvu (q ), kad (x ) ir ( delta ) - tuvu (p ) un ( x neq p ).

Ja ((2) ) ir spēkā dažiem (q, ), mēs saucam (q ) ierobežojumu (f ) pie (p. ). Šāda (q ) var nebūt. Tad mēs sakām, ka (f ) nav ierobežojuma pie (p, ) vai ka šī robeža nepastāv. Ja ir tikai viens šāds (q ( text {norādītajam} p), ), mēs rakstām (q = lim _ {x rightarrow p} f (x). )

1. piezīme. Formula (2) ir "tukši" (skat. 1.8. Nodaļas 1.-3. Daļas beigu piezīmi), ja dažiem ( delta = (A cap G _ { neg p} ( delta) = emptyyset ) > 0. ) Tad jebkura (q in T ) ir robeža pie (p, ), tāpēc ierobežojums pastāv, bet nav unikāls. (Mēs noraidām gadījumu, kad (T ) ir vienskaitlis.)

2. piezīme. Unikālums tiek nodrošināts, ja (A cap G _ { neg p} ( delta) neq emptyyset ) visiem ( delta> 0, ), kā mēs pierādām tālāk.

Ievērojiet, ka saskaņā ar 3. nodaļas 6. korolāriju, §14, kopas (A ) kopas pie (p ) iff

[( forall delta> 0) quad A cap G _ { neg p} ( delta) neq emptyyset. quad ( text {Paskaidrojiet!}) ]

Tādējādi mums ir šāds secinājums.

secinājums ( PageIndex {1} )

Ja ((S, rho), ) (A ) sakopojas pie (p ), funkcija Funkcija (f: A labajā bultiņā pa kreisi (T, p ^ { prime} pa labi) ) var būt ne vairāk kā viena robeža pie (p; ) ti

[ lim _ {x rightarrow p} f (x) text {ir unikāls (ja tāds ir).} ]

Tas jo īpaši attiecas uz gadījumiem, ja (A supseteq (a, b) apakškopa E ^ {1} (a

Pierādījums

Pieņemsim, ka (f ) ir (t w o ) ierobežojumi, (q ) un (r, ) pie (p. ), Izmantojot Hausdorff rekvizītu,

[G_ {q} ( varepsilon) cap G_ {r} ( varepsilon) = emptyyset quad text {dažiem} varepsilon> 0. ]

Arī pēc ((2), ) ir ( delta ^ { prime}, delta ^ { prime prime}> 0 ) tādi, ka

[ begin {array} {ll} { left ( forall x in A cap G _ { neg p} left ( delta ^ { prime} right) right)} & {f (x ) in G_ {q} ( varepsilon) text {un}} { left ( forall x in A cap G _ { neg p} left ( delta ^ { prime prime} pa labi) pa labi)} un {f (x) G_ {r} ( varepsilon)} end {masīvs} ]

Ļaujiet ( delta = min pa kreisi ( delta ^ { prime}, delta ^ { prime prime} pa labi). ) Tad uz (x in A cap G _ { neg p} ( delta), f (x) ) atrodas gan (G_ {q} ( varepsilon) ), gan (G_ {r} ( varepsilon) ), un šāds (x ) pastāv kopš (A cap G _ { neg p} ( delta) neq emptyyset ) ar pieņēmumu.

Bet tas nav iespējams, jo (G_ {q} ( varepsilon) cap G_ {r} ( varepsilon) = emptyyset ) (( text {pretruna!).} Square )

Intervālus skatiet 3. nodaļas 14. § piemērā ( ( mathrm {h}) ).

secinājums ( PageIndex {2} )

(f ) ir nepārtraukts pie (p left (p in D_ {f} right) ) iff (f (x) rightarrow f (p) ) kā (x rightarrow p ) .

Pierādījums

Skaidrs pierādījums no definīcijām ir atstāts lasītāja ziņā.

3. piezīme. Formulā ((2), ) mēs izslēdzām gadījumu (x = p ), pieņemot, ka (x A cap G _ { neg p} ( delta). ) Tas padara (f ) pie (p ) pati par sevi nav nozīmes. Tādējādi, lai pastāvētu ierobežojums (q ) pie (p, ), nav svarīgi, vai (p D_ {f} ) vai (f (p) = q. ) Bet gan nosacījumi ir nepieciešami nepārtrauktībai pie (p ) (skat. 2. secinājumu un 1. definīciju () ).

4. piezīme. Ievērojiet, ka, ja ((1) ) vai ((2) ) attiecas uz dažiem ( delta, ), tas noteikti attiecas uz jebkuru ( delta ^ { prime} leq delta. ) mēs vienmēr varam izvēlēties ( delta ) tik mazu, cik mums patīk. Turklāt, tā kā (x ) ir ierobežots ar (G_ {p} ( delta), ), mēs varam neņemt vērā vai pēc vēlēšanās mainīt funkcijas vērtības (f (x) ) (x notin G_ {p} ( delta) ) ("ierobežojuma jēdziena vietējais raksturs").

II. E * robežas. Ja (S ) vai (T ) ir (E ^ {*} pa kreisi ( text {vai} E ^ {1} pa labi), ), mēs varam ļaut (x rightarrow pm infty ) vai (f (x) rightarrow pm infty. ) Lai iegūtu precīzu definīciju, mēs pārrakstīt ((2) ) izteiksmē (globusi ) (G_ {p} ) un (G_ {q}: )

[ left ( forall G_ {q} right) left ( pastāv G_ {p} right) left ( forall x in A cap G _ { neg p} right) quad f ( x) G_ {q}. ]

Tam ir jēga arī tad, ja (p = pm infty ) vai (q = pm infty. ) Mums ir jāizmanto mūsu konvencijas tikai attiecībā uz (G_ { pm infty}, ) vai metrika ( rho ^ { prime} ) (E ^ {*}, ), kā paskaidrots 3. nodaļas 11. §.

Piemēram, apsveriet

[^ { prime prime} f (x) rightarrow q text {as} x rightarrow + infty ^ { prime prime} left (A subseteq S = E ^ {*}, p = + infty, q pa kreisi (T, rho ^ { prime} pa labi) pa labi). ]

Šeit (G_ {p} ) ir forma ((a, + infty], a E ^ {1}, ) un (G _ { neg p} = (a, + infty) , ) kamēr (G_ {q} = G_ {q} ( varepsilon) ), kā parasti. Atzīmējot, ka (x G G _ { neg p} ) nozīmē (x> a left (x in E ^ {1} pa labi), ) mēs varam pārrakstīt ( pa kreisi (2 ^ { prime} pa labi) ) kā

[( forall varepsilon> 0) left ( pastāv E E ^ {1} labajā pusē) ( forx x A | x> a) quad f (x) G_ {q} ( varepsilon), text {vai} rho ^ { prime} (f (x), q) < varepsilon. ]

Tas nozīmē, ka (f (x) ) kļūst patvaļīgi tuvu (q ) lielam (x (x> a) ).

Pēc tam apsveriet (^ {4} f (x) rightarrow + infty ) kā (x rightarrow- infty ) "Šeit (G _ { neg p} = (- infty, a) ) un (G_ {q} = (b, + infty]. ) Tādējādi formula ( left (2 ^ { prime} right) ) dod (ar (S = T = E ^ {*}, ) un (x ) mainās virs (E ^ { mathrm {i}}) )

[ left ( forall b in E ^ {1} right) left ( pastāv E E ^ {1} right) ( forall x in A | x b; ]

līdzīgi arī citos gadījumos, kurus atstājam lasītājam.

5. piezīme. In ((3), ) mēs varam ņemt (A = N ) (dabīgos). Tad (f: N rightarrow left (T, rho ^ { prime} right) ) ir secība (T. ) Writing (m ) (x, ) set (u_ {m} = f (m) ) un (a = k iekš N ), lai iegūtu

[( forall varepsilon> 0) ( pastāv k) ( forall m> k) quad u_ {m} in G_ {q} ( varepsilon); text {t.i.,} rho ^ { prime} left (u_ {m}, q right) < varepsilon. ]

Tas sakrīt ar mūsu secības (q left) robežas definīciju ( left {u_ {m} right } ) (skat. 3. nodaļas 14. punktu). Tādējādi secību robežas ir īpašs funkciju robežu gadījums. Teorēmas par secībām var iegūt no tām, kas atrodas funkcijās (f: A rightarrow left (T, rho ^ { prime} right) ), vienkārši ņemot (A = N ) un (S = E ^ {*} ), kā norādīts iepriekš.

6. piezīme. Formulām ((3) ) un ((4) ) ir jēga arī tad, ja (S = E ^ {1} ) (attiecīgi (S = T = E ^ {1}) ) kopš tajos nav minēts ( pm infty. ). Šādas formulas izmantosim arī funkcijām (f: A rightarrow T, ) ar (A subseteq S subseteq E ^ {1} ) vai (T subseteq E ^ {1}, ).

III. Relatīvās robežas un nepārtrauktība. Dažreiz vēlamais rezultāts ((1) ) vai ((2) ) netiek turēts pilnībā, bet tikai ar (A ) aizstāts ar mazāku kopu (B subseteq A ). Tādējādi mums var būt

[( forall varepsilon> 0) ( pastāv delta> 0) pa kreisi ( forall x in B cap G _ { neg p} ( delta) right) quad f (x) in G_ {q} ( varepsilon). ]

Šajā gadījumā mēs nosaucam (q ) relatīvo ierobežojumu (f ) pie (p ) virs (B ) un rakstām

["f (x) rightarrow q text {as} x rightarrow p text {over} B" ]

vai

[ lim _ {x rightarrow p, x in B} f (x) = q quad ( text {if} q text {is unique}); ]

(B ) sauc par ceļu, pa kuru (x ) mēdz būt (p. ). Ja papildus (p D_ {f} ) un (q = f (p), ) mēs sakām, ka (f ) ir salīdzinoši nepārtraukts pie (p ) virs (B; ), tad ((1) ) ir spēkā ar (A ) aizstājot ar (B ). Atkal, ja tas attiecas uz katru (p B, ), mēs sakām, ka (f ) ir relatīvi nepārtraukts uz (B. ) Skaidrs, ja (B = A = D_ {f}, ) tas dod parastās (nesaistītās) robežas un nepārtrauktību. Tādējādi relatīvās robežas un nepārtrauktība ir vispārīgākas.

Ņemiet vērā, ka ceļa ierobežojumiem (B, x ) tiek izvēlēts tikai no (B ) vai (B - {p } ). Tādējādi (f ) uzvedība ārpus (B ) kļūst neatbilstoša, un tāpēc mēs varam patvaļīgi no jauna definēt (f ) uz (- B. ) Piemēram, ja (p notin B ), bet ( lim _ {x rightarrow p, x in B} f (x) = q ) pastāv, mēs varam definēt (f (p) = q, ), tādējādi padarot (f ) salīdzinoši nepārtrauktu (p ( text {over} B). ) Mēs arī varam aizstāt ((S, rho) ) ar ((B, rho) ( text {if} p B), ) vai ierobežojiet (f ) līdz (B, ), ti, aizstājiet (f ) ar funkciju (g: B rightarrow left (T, rho ^ { prime} right) ) definēts ar (g (x) = f (x) ) attiecībā uz (x in B ) (īsi, (g = f ) uz (B) ).

Īpaši svarīgs gadījums ir

[A subseteq S subseteq E ^ {*}, text {piemēram,} S = E ^ {1}. ]

Tad nevienlīdzība tiek definēta (S, ), lai mēs varētu ņemt

[B = {x A | x

Tad, rakstot (G_ {q} ) par (G_ {q} ( varepsilon) ) un (a = p- delta, ), mēs iegūstam no formulas ((2) )

[ pa kreisi ( visi G_ {q} labie) ( pastāv a

Ja ((5) ) ir spēkā, mēs saucam (q ) kreiso robežu (f ) pie (p ) un rakstām

["f (x) rightarrow q text {as} x rightarrow p ^ {-}" quad left ("x text {mēdz} p text {no kreisās} ^ { prime} aisnība).]

Ja papildus (q = f (p), ) mēs sakām, ka (f ) atstāj nepārtrauktu pie (p. ).

[B = {x A | x> p }, ]

mēs iegūstam pareizās robežas un nepārtrauktību. Mēs rakstām

[f (x) rightarrow q text {as} x rightarrow p ^ {+} ]

iff (q ) ir (f ) pareizā robeža pie (p, ), t.i., ja ((5) ) ir spēkā ar visām nevienlīdzībām, kas ir apvērstas.

Ja attiecīgā kopa (B ) apvienojas pie (p, ), relatīvā robeža (ja tāda ir) ir unikāla. Tad kreiso un labo robežu apzīmē attiecīgi ar (f left (p ^ {-} right) ) un (f left (p ^ {+} right), ) un mēs rakstām

[ lim _ {x rightarrow p ^ {-}} f (x) = f left (p ^ {-} right) text {un} lim _ {x rightarrow p ^ {+}} f (x) = f pa kreisi (p ^ {+} pa labi). ]

secinājums ( PageIndex {3} )

Izmantojot iepriekšējo apzīmējumu, ja (f (x) rightarrow q ) kā (x rightarrow p ) pāri ceļam (B, ) un arī virs (D, ), tad (f (x ) rightarrow q ) kā (x rightarrow p ) virs (B cup D ).

Tādējādi, ja (D_ {f} subseteq E ^ {*} ) un (p E ^ {*}, ) mums ir

[q = lim _ {x rightarrow p} f (x) text {iff} q = f left (p ^ {-} right) = f left (p ^ {+} right). quad ( text {Exercise!}) ]

Mēs tagad ilustrējam savas definīcijas ar diagrammu (E ^ {2} ), kas attēlo funkciju (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) pēc tās diagrammas, ti, punktiem ((x , y) ) tāds, ka (y = f (x) ).

Šeit

[G_ {q} ( varepsilon) = (q- varepsilon, q + varepsilon) ]

ir intervāls uz (y ) ass. Punktētās līnijas parāda, kā konstruēt intervālu

[(p- delta, p + delta) = G_ {p} ]

uz (x )-ass, kas atbilst formulai ((1) ) attēlā (13, ) formulas ((5) ) un ((6) ) attēlā (14, ) vai formula ((2) ) attēlā (15. ) Katras diagrammas punkts (Q ) pieder pie grafika; ti, (Q = (p, f (p)). ) Attēlā (13, f ) ir nepārtraukts pie (p ( text {un arī pie} ) (p_ {1} ) ). Tomēr tas ir tikai pa kreisi-nepārtraukts pie (p ) attēlā (14, ) un ir pārtraukts pie (p ) attēlā (15, ), lai gan (f pa kreisi (p ^ { -} pa labi) ) un (f pa kreisi (p ^ {+} pa labi) ) pastāv. (Kāpēc?)

Piemērs ( PageIndex {1} )

(a) Ļaujiet (f: A taisnleņķis T ) būt nemainīgam uz (B subseteq A; ), t.i.

[f (x) = q text {fiksētam} q in T text {un visi} x in B. ]

Tad (f ) ir relatīvi nepārtraukts uz (B, ) un (f (x) rightarrow q ) kā (x rightarrow p ) virs (B, ) katrā (p. ) (Ņemot vērā ( varepsilon> 0, ) ņemt patvaļīgu ( delta> 0 ). Tad

[ pa kreisi ( forx x in B cap G _ { neg p} ( delta) right) quad f (x) = q in G_ {q} ( varepsilon), ]

kā prasīts; līdzīgi arī nepārtrauktībai.)

(b) Ļaujiet (f ) būt (i ) zobu kartei (A apakškopa (S, rho); ), t.i.,

[( visi x A] quad f (x) = x. ]

Pēc tam, ņemot vērā ( varepsilon> 0, ), ņemiet ( delta = varepsilon ), lai iegūtu (p in A )

[kreisais ( visi x A vāciņā G_ {p} ( delta) pa labi) quad rho (f (x), f (p)) = rho (x, p) < delta = varepsilons. ]

Tādējādi ar ((1), f ) ir nepārtraukts jebkurā (p A, ), tātad uz (A ).

(c) Definējiet (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) pēc

[f (x) = 1 text {if} x text {ir racionāls, un} f (x) = 0 text {citādi.} ]

(Šī ir Dirichlet funkcija, tā nosaukta Johana Pētera Gustava Lejeune Dirichlet vārdā.)

Neatkarīgi no tā, cik mazs ir ( delta ), globuss

[G_ {p} ( delta) = (p- delta, p + delta) ]

(pat svītrotais globuss) satur gan racionālos, gan iracionālos. Tādējādi, tā kā (x ) mainās vairāk nekā (G _ { neg p} ( delta), f (x) ) daudzas reizes iegūst abas vērtības, 0 un (1, ), un tādējādi izkļūst no jebkuras (G_ {q} ( varepsilon), ) ar (q E E {1}, Varepsilon < frac {1} {2} ).

Tādējādi jebkura (q, p E ^ {1}, ) formulā ((2) ) neizdodas, ja mēs sakām ( varepsilon = frac {1} {4}, ). Tādējādi (f ) nav ierobežojumu nevienam (p E ^ {1} ), un tāpēc tas visur ir pārtraukts! Tomēr (f ) ir relatīvi nepārtraukts visu racionālo kopu (R ) ar piemēru (( mathrm {a}) ).

(d) Definējiet (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) pēc

[f (x) = [x] (= text {neatņemama daļa no x; text {skat. 2. nodaļu, 10.§). ]

Tādējādi (f (x) = 0 ) attiecībā uz (x in [0,1], f (x) = 1 ) par (x in [1,2], ) utt. Tad ( f ) ir pārtraukts pie (p ), ja (p ) ir vesels skaitlis (kāpēc?), bet nepārtraukts jebkurā citā (p left ( text {ierobežot} f text {uz mazu} G_ { p} ( delta) text {lai padarītu to nemainīgu)} right. )

Tomēr katrā (p E ^ {1}, ) ir kreisās un labās robežas, pat ja (p = ) (n ( text {a integer}). ) Patiesībā

[f (x) = n, x in (n, n + 1) ]

un

[f (x) = n-1, x in (n-1, n), ]

tātad (f left (n ^ {+} right) = n ) un (f left (n ^ {-} right) = ) (n-1; f ) ir taisnība nepārtraukti ieslēgta (E ^ {1}. ) Skatīt attēlu ((16. )

(e) Definējiet (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) pēc

[f (x) = frac {x} {| x |} text {if} x neq 0, text {un} f (0) = 0. ]

(Šī ir tā sauktā signum funkcija, ko bieži apzīmē ar sgn.)

Tad (17. attēls () )

[f (x) = - 1 teksts {if} x <0 ]

un

[f (x) = 1 teksts {if} x> 0. ]

Tādējādi, tāpat kā (d), mēs secinām, ka (f ) ir nepārtraukts pie (0, ), bet ir nepārtraukts pie katra (p neq 0. ) Arī (f left (0 ^ {+ } pa labi) = 1 ) un (f pa kreisi (0 ^ {-} pa labi) = - 1. ) Pārdefinē (f (0) = 1 ) vai (f (0) = - 1 , ) mēs varam padarīt (f ) labo (attiecīgi kreiso) nepārtrauktu pie (0, ), bet ne abus.

(f) Definējiet (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) pēc (skat. 18. attēlu () )

[f (x) = sin frac {1} {x} text {if} x neq 0, text {un} f (0) = 0. ]

Jebkurā globuss (G_ {0} ( delta) ) aptuveni 0 satur punktus, kuros (f (x) = 1, ), kā arī tos, kuros (f (x) = - 1 ) vai (f (x) = 0 ) (ņemiet lieliem veseliem skaitļiem (x = 2 / (n pi) ) (n) ); Patiesībā grafiks bezgalīgi daudzas reizes "svārstās" starp (- 1 ) un (1. ). Tādējādi ar tādu pašu argumentu kā ((( mathrm {c}), f ) 0 nav ierobežojuma (pat nav kreisās vai labās robežas), un tāpēc tas ir pārtraukts pie (0. ). Neviens mēģinājums no jauna definēt (f ) pie 0 nevar atjaunot pat kreiso vai labo nepārtrauktību, nemaz nerunājot par parasto nepārtrauktību, pie (0. )

(g) Definējiet (f: E ^ {2} rightarrow E ^ {1} mathrm {by} )

[f ( overline {0}) = 0 text {un} f ( overline {x}) = frac {x_ {1} x_ {2}} {x_ {1} ^ {2} + x_ { 2} ^ {2}} text {if} overline {x} = left (x_ {1}, x_ {2} right) neq overline {0}. ]

Ļaujiet (B ) būt jebkurai līnijai (E ^ {2} ) līdz ( overline {0}, ), ko parametriski sniedz

[ overline {x} = t vec {u}, quad t in E ^ {1}, vec {u} text {fiksēts (skat. 3. nodaļu, §4-6-6),} ]

tātad (x_ {1} = t u_ {1} ) un (x_ {2} = t u_ {2}. ) Kā viegli redzams, attiecībā uz ( overline {x} B, f ( overline {x}) = f ( overline {u}) ) (konstants), ja ( overline {x} neq overline {0}. )

[ left ( forall overline {x} in B cap G _ { neg overline {0}} ( delta) right) quad f ( overline {x}) = f ( overline { u}), ]

ti, ( rho (f ( overline {x}), f ( overline {u})) = 0 < varepsilon, ) jebkuram ( varepsilon> 0 ) un jebkuram izdzēstam globuss par ( overline {0} ).

Ar ( left (2 ^ { prime} right), ), pēc tam (f ( overline {x}) rightarrow f ( overline {u}) ) kā ( overline {x} rightarrow overline {0} ) pār ceļu (B. ) Tādējādi (f ) ir relatīvs ierobežojums (f ( overline {u}) ) pie ( overline {0}, ) virs jebkuras līnijas ( overline {x} = t overline {u}, ), bet šis ierobežojums ir atšķirīgs dažādām ( overline {u}, ) izvēlēm, ti, dažādām līnijām līdz ( overline {0}. ) Nav parastā ierobežojuma pie ( overline {0} ) (kāpēc?); (f ) pat nav relatīvi nepārtraukts pie ( overline {0} ) pāri līnijai ( overline {x} = t vec {u} ), ja vien (f ( overline {u}) = 0 ) (tas notiek tikai tad, ja līnija ir viena no koordinātu asīm (kāpēc?)).


Rotācijas un pamatīpašību definīcija



Piemēri, videoklipi un risinājumi, kā palīdzēt 8. klases skolēniem pagriezt figūru un apgūt rotācijas pamatīpašības.

Ņujorkas štata matemātikas 8. klase, 2. modulis, 5. nodarbība

Studenti zina, kā pagriezt skaitli par noteiktu grādu ap noteiktu centru.

Studenti zina, ka rotācijas pārvieto līnijas uz līnijām, stari uz stariem, segmenti uz segmentiem un leņķi pret leņķiem. Studenti zina, ka rotācijas saglabā segmentu garumus un mēra leņķa pakāpes. Studenti zina, ka rotācijas pārvieto paralēlas līnijas uz paralēlām.

1. Ļaujiet, lai ap centru O. pagrieztos d grādi. Ļaujiet P būt punktam, kas nav O. Atlasiet d, lai d & ge 0. Izmantojot caurspīdīgumu, atrodiet P '(t.i., punkta P pagriešanos).

2. Ļaujiet, lai ap centru O. pagrieztos d grādi. Ļaujiet P būt punktam, kas nav O. Atlasiet d, lai d & lt 0. Atrodiet P '(t.i., punkta P pagriešanos), izmantojot caurspīdīgumu.

3. Kurā virzienā pagriezās punkts P, kad d & ge 0?

4. Kurā virzienā pagriezās punkts P, kad d & lt 0?

5. Ļaujiet L būt taisnei, AB - staram, CD - segmentam un & angEFG - leņķim, kā parādīts. Ap punktu O. notiek grādu rotācija. Atrodiet visu figūru attēlus, kad d & ge 0.

6. Ļaujiet AB būt 4 vienību garuma segmentam, un & angCDE ir 45 & geg lieluma leņķis. Lai būtu rotācija par d grādiem, kur d & gt 0, aptuveni O. Atrodiet doto skaitļu attēlus. Atbildiet uz sekojošiem jautājumiem.

a. Kāds ir pagrieztā segmenta Rotation (AB) garums?
b. Kāda ir pagrieztā leņķa rotācijas pakāpe (& angCDE)

Pamatojoties uz stundas laikā paveikto darbu, it īpaši 5. un 6. vingrinājumā, tagad mēs varam apgalvot, ka pagriezieniem ir īpašības, kas līdzīgas tulkojumiem attiecībā uz 2. nodarbības (T1) - (T3) un pārdomām attiecībā uz (1. pārdomas) - (4. atspoguļojums) 4. nodarbībā:

(R1) Pagrieziens iezīmē līniju ar līniju, staru ar staru, segmentu uz segmentu un leņķi pret leņķi.
(R2) Pagriešana saglabā segmentu garumus.
(R3) Pagriešana saglabā leņķu pakāpes.

Tāpat, tāpat kā ar tulkojumiem un pārdomām, ja L1, L2 ir paralēlas līnijas un, ja ir rotācija, tad līnijas Rotācija (L1), Rotācija (L2) ir arī paralēli. Tomēr, ja ir grādu rotācija un tā ir taisne, un nav paralēli. (Piezīme skolotājam: 7. un 8. vingrinājums ilustrēs šos divus punktus.)

7. Ļaujiet L1 un L2 jābūt paralēlām līnijām. Lai būtu rotācija par d grādiem, kur -360 & lt d & lt 260, aptuveni O. Is (L1) '|| (L2)'' ?

8. Ļaujiet L būt taisnei un O rotācijas centram. Lai notiek rotācija par d grādiem, kur d & ne 180 & deg ap O. Vai taisnes L un L 'ir paralēlas?

Rotācijām ir nepieciešama informācija par rotācijas centru un rotācijas pakāpi. Pozitīvi rotācijas grādi pārvieto skaitli pretēji pulksteņrādītāja kustības virzienam. Negatīvās rotācijas pakāpes pārvieto skaitli pulksteņrādītāja kustības virzienā.

Pagriezienu pamatīpašības:

(R1) Pagrieziens iezīmē līniju ar līniju, staru ar staru, segmentu uz segmentu un leņķi pret leņķi.

(R2) Pagriešana saglabā segmentu garumus.

(R3) Pagriešana saglabā leņķu pakāpes.

Izmēģiniet zemāk esošo bezmaksas Mathway kalkulatoru un problēmu risinātāju, lai praktizētu dažādas matemātikas tēmas. Izmēģiniet sniegtos piemērus vai ierakstiet savu problēmu un pārbaudiet atbildi, izmantojot detalizētus paskaidrojumus.

Mēs priecājamies par jūsu atsauksmēm, komentāriem un jautājumiem par šo vietni vai lapu. Lūdzu, iesniedziet atsauksmes vai jautājumus, izmantojot mūsu atsauksmju lapu.


Citi piemēri, kas parāda reizināšanas identitātes īpašību.

Multiplikatīvā apgrieztā īpašība

Ja jūs reizināt divus skaitļus un reizinājums ir 1, mēs abus skaitļus saucam par reizinošiem inversiem vai savstarpējiem.

Piemēram, 4 ir 1/4 reizinošais apgrieztais skaitlis, jo 4 & # 215 1/4 = 1.

1/4 ir arī reizināšanas koeficients 4, jo 1/4 & # 215 4 = 1.

Ievērojiet, ka 1 reizinošais apgrieztais skaitlis ir 1, jo 1 × 1 ir 1. Tajā pašā nozīmē multiplikatīvais apgrieztais -1 ir -1, jo -1 × -1 ir 1. Faktiski 1 un -1 ir vienīgie divi skaitļi, kas var būt viņu pašu multiplikatīvā apgrieztā vērtība.

Ievērojiet arī to, ka jebkurš skaitlis, kas dalīts ar 1, atgriež to pašu skaitli. Mēs to saucam par dalīšanas identitātes īpašību.


4.1. Pamatdefinīcijas - matemātika

Šajā sadaļā mēs oficiāli definēsim noteiktu integrālu un sniegsim daudzas noteikto integrāļu īpašības. Sāksim ar noteikta integrāla definīciju.

Noteikts Integrāls

Dota funkcija (f left (x right) ), kas ir nepārtraukta intervālā ( left [ labi] ) mēs sadalām intervālu (n ) vienāda platuma apakšintervālos ( Delta x ) un no katra intervāla izvēlamies punktu (x_i ^ * ). Tad noteikts integrāls (f pa kreisi (x pa labi) ) no (a ) līdz (b ) ir

Noteiktais integrālis ir definēts tieši tā robeža un summēšana, kuru mēs aplūkojām pēdējā sadaļā, lai atrastu neto laukumu starp funkciju un (x ) asi. Ņemiet vērā arī to, ka noteiktā integrāla apzīmējums ir ļoti līdzīgs nenoteikta integrāla apzīmējumam. Tā iemesls galu galā būs acīmredzams.

Ir arī mazliet terminoloģijas, kas mums šeit būtu jāizvairās. Skaitli “ (a )”, kas atrodas integrālās zīmes apakšdaļā, sauc par apakšējā robeža un integrāla zīmes augšdaļā esošo skaitli “ (b )” sauc par augšējā robeža no integrāļa. Neskatoties uz to, ka (a ) un (b ) tika norādīti kā intervāls, apakšējai robežai nav obligāti jābūt mazākai par augšējo robežu. Kopā mēs bieži sauksim (a ) un (b ) integrācijas intervāls.

Strādāsim ar īsu piemēru. Šajā piemērā tiks izmantotas daudzas īpašības un fakti, kas sniegti īsā summēšanas pierakstu pārskatā nodaļā Extras.

Pirmkārt, mēs faktiski nevaram izmantot definīciju, ja vien mēs nenosakām, kuri punkti katrā intervālā ir labi izmantojami (x_i ^ * ). Lai atvieglotu mūsu dzīvi, mēs izmantosim pareizos katra intervāla galapunktus.

No iepriekšējās sadaļas mēs zinām, ka vispārējam (n ) katra apakšintervala platums ir

Apakšstarpas ir,

Kā mēs varam redzēt pareizo i th subintervāls ir

Apkopojums noteiktā integrāla definīcijā ir šāds:

Tagad mums būs jāpieņem tas ierobežojums. Tas nozīmē, ka mums šis novērtējums būs “jānovērtē”. Citiem vārdiem sakot, mums būs jāizmanto summēšanas pierakstu pārskatā norādītās formulas, lai izslēgtu faktisko summēšanu un iegūtu formulu vispārīgam (n ).

Lai to izdarītu, mums jāatzīst, ka (n ) ir konstante, ciktāl tas attiecas uz summēšanas apzīmējumu. Kad mēs summēsimies no veseliem skaitļiem no 1 līdz (n ), mainīsies tikai (i ), tāpēc viss, kas nav (i ), būs konstante un to varēs ņemt vērā no summēšanas. Jebkuru (n ), kas ir apkopojumā, var ņemt vērā, ja mums tas ir nepieciešams.

Šeit ir apkopojums “novērtējums”.

Tagad mēs varam aprēķināt noteiktu integrālu.

Mēs esam redzējuši vairākas metodes, kā tikt galā ar šīs problēmas ierobežojumu, tāpēc atstāsim jums iespēju pārbaudīt rezultātus.

Wow, tas bija daudz darba diezgan vienkāršai funkcijai. Ir daudz vienkāršāks veids, kā tos novērtēt, un mēs galu galā pie tā nonāksim. Šīs sadaļas galvenais mērķis ir novērst galvenās īpašības un faktus par noteiktu integrālu. Mēs apspriedīsim, kā mēs tos praktiski aprēķinām, sākot ar nākamo sadaļu.

Tātad, sāksim apskatīt dažas noteiktā integrāļa īpašības.

Rekvizīti

  1. ( displaystyle int _ << , a >> ^ << , b >> <> = - int _ << , b >> ^ << , a >> <> ). Mēs varam apmainīt ierobežojumus jebkuram noteiktam integrālim. Viss, kas mums jādara, ir, kad mēs to darām, uz integrāla uzlikt mīnusa zīmi.

Lai pārbaudītu īpašības 1 - 4, skatiet sadaļu Papildu sadaļu Dažādu neatņemamu īpašību pierādījums. Īpašību 5 nav viegli pierādīt, un tāpēc tas tur netiek parādīts. 6. īpašums patiesībā nav īpašums šī vārda pilnā nozīmē. Tikai šeit ir jāatzīst, ka, kamēr funkcija un ierobežojumi ir vienādi, nav svarīgi, kādu burtu mēs izmantojam mainīgajam. Atbilde būs tāda pati.

Darīsim pāris piemērus, kas attiecas uz šīm īpašībām.

Visi šo problēmu risinājumi balstīsies uz faktu, kuru pierādījām pirmajā piemērā. Proti,

Šajā gadījumā vienīgā atšķirība starp abiem ir tā, ka robežas ir mainījušās. Tātad, izmantojot pirmo īpašumu,

Šajā daļā ņemiet vērā, ka mēs varam koeficientu 10 aprēķināt no abiem nosacījumiem un pēc tam no integrāļa, izmantojot trešo īpašību.

Šajā gadījumā vienīgā atšķirība ir izmantotais burts, un tāpēc tiks izmantots tikai rekvizīts 6.

Šeit ir daži piemēri, izmantojot citas īpašības.

Kad mēs pamanām, ka robežas ir vienādas, ar šo neatņemamo daļu patiešām nav nekā kopīga. Izmantojot otro rekvizītu, tas ir:

Vispirms mums būs jāizmanto ceturtais rekvizīts, lai sadalītu integrālo, un trešais rekvizīts, lai izskaitļotu konstantes.

Tagad ievērojiet, ka pirmā integrāla robežas tiek aizstātas ar dotā integrāla robežām, tāpēc pārslēdziet tos, izmantojot pirmo īpašību iepriekš (un, protams, pievienojot mīnus zīmi). Kad tas ir izdarīts, mēs varam pieslēgt zināmās integrāļu vērtības.

Šis piemērs lielākoties ir 5. rekvizīta piemērs, lai gan risinājumā ir arī daži 1. rekvizīti.

Mums ir jāizdomā, kā pareizi sadalīt integrāli, izmantojot 5. īpašību, lai mēs varētu izmantot dotās informācijas daļas. Pirmkārt, mēs atzīmēsim, ka ir integrāls, kura vienā no ierobežojumiem ir “-5”. Tā nav zemākā robeža, bet mēs varam izmantot 1. īpašumu, lai to galu galā labotu. Otrs ierobežojums ir 100, tāpēc šis skaitlis (c ) tiks izmantots 5. īpašumā.

Mēs varēsim iegūt pirmā integrāļa vērtību, taču otrā joprojām nav zināma integrāļa sarakstā. Tomēr mums ir otrais integrālis, kuram ir 100 ierobežojums. Otrs ierobežojums šim otrajam integrālim ir -10, un tas būs (c ) šajā 5. īpašuma pielietojumā.

Šajā brīdī viss, kas mums jādara, ir izmantot rekvizītu 1 pirmajā un trešajā integrālā, lai iegūtu robežas, lai tās atbilstu zināmiem integrāļiem. Pēc tam mēs varam pieslēgt zināmos integrālus.

Ir arī dažas jaukas īpašības, kuras mēs varam izmantot, salīdzinot noteiktu integrālu vispārējo lielumu. Šeit tie ir.

Vairāk rekvizītu

Lai pierādītu šīs īpašības, skatiet sadaļas Papildu sadaļu Dažādu neatņemamu īpašību pierādījums.

Definite Integral interpretācijas

Ir dažas ātras definētā integrāla interpretācijas, kuras mēs šeit varam sniegt.

Pirmkārt, kā jau iepriekš norādījām iepriekšējā sadaļā, viena iespējamā noteiktā integrāla interpretācija ir piešķirt neto laukumu starp (f kreisais (x labais) ) grafiku un (x ) asi uz intervāls ( pa kreisi [ aisnība]). Tātad neto laukums starp (f left (x right) = diagrammu + 1 ) un (x ) - ass uz ( pa kreisi [<0,2> pa labi] ) ir,

Ja jūs atskatāties pēdējā sadaļā, tas bija precīzs apgabals, kas tika dots sākotnējam problēmu lokam, kuru mēs aplūkojām šajā jomā.

Citu interpretāciju dažreiz sauc par neto izmaiņu teorēmu. Šī interpretācija saka, ka, ja (f left (x right) ) ir zināms daudzums (tātad (f ' left (x right) ) ir (f left (x right) izmaiņu ātrums ), tad,

ir neto izmaiņas (f left (x right) ) intervālā ( left [ aisnība]). Citiem vārdiem sakot, aprēķiniet izmaiņu ātruma noteiktu integrālu, un jūs saņemsiet neto daudzuma izmaiņas. Mēs varam redzēt, ka noteiktā integrāla vērtība (f left (b right) - f left (a right) ) faktiski dod mums neto izmaiņas (f left (x pareizi) ), un tāpēc ar šo apgalvojumu tiešām nav ko pierādīt. Tas patiesībā ir tikai apliecinājums tam, ko mums saka noteiktais izmaiņu ātruma integrālis.

Tātad kā ātru piemēru, ja (V pa kreisi (t pa labi) ) ir ūdens tilpums tvertnē,

ir neto skaļuma izmaiņas laika gaitā () uz laiku ().

Tāpat, ja (s left (t right) ) ir funkcija, kas dod kāda objekta atrašanās vietu laikā (t ), mēs zinām, ka objekta ātrums jebkurā laikā (t ) ir: (v pa kreisi (t pa labi) = s 'pa kreisi (t pa labi) ). Tāpēc objekta laika pārvietošana () uz laiku () ir,

Ņemiet vērā, ka šajā gadījumā, ja (v left (t right) ) ir gan pozitīvs, gan negatīvs (i. objekts pārvietojas gan pa labi, gan pa kreisi) laika posmā tas NEDOS kopējo nobraukto attālumu. Tas tikai dos pārvietošanos, i. atšķirība starp to, kur objekts sākās, un kur tas nonāca. Lai iegūtu objekta kopējo nobraukto attālumu, mums tas ir jāaprēķina,

Šeit ir svarīgi atzīmēt, ka Tīro izmaiņu teorēma ir jēga tikai tad, ja mēs integrējam funkcijas atvasinājumu.

Aprēķina pamatteorēma, I daļa

Kā norādīts iepriekš minētajā virsrakstā, šī ir tikai aprēķina pamatteorēmas pirmā daļa. Otro daļu mēs sniegsim nākamajā sadaļā, jo tā ir atslēga, lai viegli aprēķinātu noteiktus integrālus, un tas ir nākamās sadaļas priekšmets.

Aprēķina pamatteorēmas pirmajā daļā ir paskaidrots, kā atšķirt noteiktus noteiktu integrāļu tipus, kā arī pastāstīts par ļoti ciešajām attiecībām starp integrāļiem un atvasinājumiem.

Aprēķina pamatteorēma, I daļa

Ja (f left (x right) ) ir nepārtraukts ( left [ ieši tad,

ir nepārtraukts ( pa kreisi [ right] ), un tas ir atšķirams ( left ( pa labi) ) un ka,

[g ' left (x right) = f left (x right) ]

Tā atvasinājuma daļas aizstājējs apzīmējums ir

Lai redzētu pierādījumu tam, skatiet sadaļas Extras sadaļu Dažādu neatņemamu īpašību pierādījums.

Apskatīsim pāris ātrus piemērus, izmantojot šo.

Šis ir nekas cits kā ātrs aprēķina pamatteorēmas ātrs pielietojums.

Šim ir nepieciešams neliels darbs, pirms mēs varam izmantot pamatrēķina teorēmu. Pirmkārt, jāpievērš uzmanība tam, ka Rēķina pamatteorēma prasa, lai apakšējā robeža būtu konstante, bet augšējā - mainīgā. Tātad, izmantojot noteiktu integrālu īpašību, mēs varam mainīt to integrāla robežas, kas mums vienkārši jāatceras, lai pēc tam to izdarītu, pievienojiet mīnus zīmi. To darot,

Nākamā lieta, kas jāpievērš uzmanībai, ir arī tas, ka pamatrēķina teorēmai integrācijas augšējā robežā ir nepieciešams (x ), un mēs esam ieguvuši x 2 . Lai veiktu šo atvasinājumu, mums būs nepieciešama šāda ķēdes kārtulas versija.

Tātad, ja mēs ļausim u = x 2 mēs izmantojam ķēdes likumu, lai iegūtu,

Pēdējais solis ir visu atgūt izteiksmē (x ).

Izmantojot ķēdes likumu, kā mēs to izdarījām šī piemēra pēdējā daļā, mēs varam atvasināt dažas vispārīgas formulas dažām sarežģītākām problēmām.

Tas vienkārši ir ķēdes noteikums šāda veida problēmām.

Tālāk mēs varam iegūt formulu integrāļiem, kur augšējā robeža ir konstante, bet apakšējā - (x ) funkcija. Šeit viss, kas mums jādara, ir samainīt integrāļa robežas (protams, pievienojot mīnus zīmi) un pēc tam izmantot iepriekšējo formulu, lai iegūtu,

Visbeidzot, mēs varam arī iegūt versiju abiem ierobežojumiem, kas ir (x ) funkcijas. Šajā gadījumā mums būs jāizmanto iepriekš minētais 5. īpašums, lai sadalītu integrāli šādi:

Sadalot integrālu, mēs varam izmantot gandrīz jebkuru (a ) vērtību. Vienīgais, no kā mums jāizvairās, ir pārliecināties, vai pastāv (f left (a right) ). Tātad, pieņemot, ka (f kreisais (a labais) ) pastāv pēc integrāla sadalīšanas, tad varam diferencēt un izmantot divas iepriekš minētās formulas, lai iegūtu,


Šis ir viens no vairāk nekā 2400 OCW kursiem. Izpētiet šī kursa materiālus lapās, kas saistītas ar kreiso pusi.

MIT OpenCourseWare ir tūkstošiem MIT kursu materiāla bezmaksas un atvērta publikācija, kas aptver visu MIT mācību programmu.

Nav reģistrācijas vai reģistrācijas. Brīvi pārlūkojiet un izmantojiet OCW materiālus savā tempā. Nav reģistrēšanās un sākuma vai beigu datumu.

Zināšanas ir jūsu atlīdzība. Izmantojiet OCW, lai vadītu savu mūžizglītību vai mācītu citus. Mēs nepiedāvājam kredītus vai sertifikātus par OCW izmantošanu.

Radīts koplietošanai. Lejupielādējiet failus vēlāk. Nosūtīt draugiem un kolēģiem. Modificēt, pārveidot un atkārtoti izmantot (vienkārši atcerieties norādīt OCW kā avotu.)

Par MIT OpenCourseWare

MIT OpenCourseWare ir tiešsaistes publikācija, kurā apkopoti materiāli no vairāk nekā 2500 MIT kursiem, brīvi daloties zināšanās ar izglītojamajiem un pedagogiem visā pasaulē. Uzziniet vairāk & raquo

& kopēt 2001. gadu & ndash2018
Masačūsetsas Tehnoloģiju institūts

Uz jūsu MIT OpenCourseWare vietnes un materiālu izmantošanu attiecas mūsu Creative Commons licence un citi lietošanas noteikumi.


Saturs

Aritmētiskais vidējais ir visbiežāk izmantotais un viegli saprotamais centrālās tendences mērītājs datu kopā. Statistikā termins vidējais attiecas uz jebkuru no centrālās tendences rādītājiem. Novēroto datu kopas vidējais aritmētiskais ir definēts kā vienāds ar katra novērojuma skaitlisko vērtību summu, dalītu ar kopējo novērojumu skaitu. Simboliski, ja mums ir datu kopa, kas sastāv no vērtībām a 1, 2,…, a n < displaystyle a_ <1>, a_ <2>, ldots, a_>, tad vidējo aritmētisko A < displaystyle A> nosaka pēc formulas:

Piemēram, ņemiet vērā uzņēmuma 10 darbinieku mēnešalgu: 2500, 2700, 2400, 2300, 2550, 2650, 2750, 2450, 2600, 2400. Vidējais aritmētiskais ir

Ja datu kopa ir statistikas kopa (t.i., sastāv no visiem iespējamiem novērojumiem, nevis tikai no to apakškopas), tad šīs populācijas vidējo sauc par iedzīvotāju vidējais, un to apzīmē ar grieķu burtu μ < displaystyle mu>. [2] Ja datu kopa ir statistikas izlase (populācijas apakškopa), tad šī aprēķina rezultātā iegūto statistiku mēs saucam par vidējais paraugs (kas datu kopai X < displaystyle X> tiek apzīmēts kā X ¯ < displaystyle < overline >> [2] ).

Aritmētisko vidējo var līdzīgi definēt vektoriem vairākās dimensijās, ne tikai skalārās vērtības, ko bieži dēvē par centroidu. Vispārīgāk, tā kā vidējais aritmētiskais ir izliekta kombinācija (koeficientu summa ir 1), to var definēt izliektā telpā, ne tikai vektoru telpā.

Aritmētiskajam vidējam ir vairākas īpašības, kas padara to noderīgu, it īpaši kā centrālās tendences mērījumu. Tie ietver:

  • Ja skaitļi x 1,…, x n < displaystyle x_ <1>, dotsc, x_> ir vidējais x ¯ < displaystyle < bar >>, tad (x 1 - x ¯) + ⋯ + (x n - x ¯) = 0 < displaystyle (x_ <1> - < josla >) + dotb + (x_- < josla >) = 0>. Tā kā x i - x ¯ < displaystyle x_- < josla >> ir attālums no noteiktā skaitļa līdz vidējam, viens veids, kā interpretēt šo īpašību, ir teikt, ka skaitļi, kas atrodas pa kreisi no vidējā, ir līdzsvaroti ar skaitļiem, kas atrodas vidējā labajā pusē. Vidējais ir vienīgais atsevišķais skaitlis, kuram atlikumi (novirzes no tāmes) summējas ar nulli.
  • Ja zināmu skaitļu kopai x 1,…, x n < displaystyle x_ <1>, dotsc, x_ ir jāizmanto viens skaitlis kā "tipiska" vērtība>, tad skaitļu vidējais aritmētiskais to izdara vislabāk, samazinot kvadrātu noviržu summu no tipiskās vērtības: (x i - x ¯) 2 < displaystyle (x_) summa- < josla >) ^ <2>>. (No tā izriet, ka izlases vidējais lielums ir arī labākais prognozētājs tādā nozīmē, ka tā vidējā kvadrātiskā kļūda ir viszemākā.) [3] Ja ir vēlams skaitļu kopas aritmētiskais vidējais lielums, tad tā objektīvā aplēse ir no populācijas ņemtā parauga vidējais aritmētiskais.

Šīs parādības pielietojums ir daudzās jomās. Piemēram, kopš astoņdesmitajiem gadiem vidējie ienākumi Amerikas Savienotajās Valstīs ir palielinājušies lēnāk nekā ienākumu vidējais aritmētiskais. [5]

Vidējā svērtā rediģēšana

Nepārtraukti varbūtības sadalījumi Rediģēt

Ja skaitliskais rekvizīts un jebkurš no tā iegūtais datu paraugs varētu iegūt jebkuru vērtību no nepārtraukta diapazona, nevis, piemēram, tikai veselos skaitļos, tad varbūtību, ka skaitlis nonāk kādā iespējamo vērtību diapazonā, var aprakstīt, integrējot nepārtraukts varbūtības sadalījums šajā diapazonā, pat ja naivā varbūtība izlases skaitam, kas ņem vienu noteiktu vērtību no bezgalīgi daudziem, ir nulle. Vidējā svērtā analogs šajā kontekstā, kurā katrā diapazonā ir bezgalīgi daudz iespēju mainīgā lieluma precīzai vērtībai, tiek saukts par varbūtības sadalījuma vidējais lielums. Visplašāk sastopamo varbūtības sadalījumu sauc par normālo sadalījumu, kuram ir īpašība, ka visi tā centrālās tendences rādītāji, ieskaitot ne tikai vidējo, bet arī iepriekš minēto mediānu un režīmu (trīs M [7]), ir vienādi . Šī vienādība neattiecas uz citiem varbūtības sadalījumiem, kā parādīts šeit log-normālajam sadalījumam.

Leņķi Rediģēt

Īpaši uzmanīgi jālieto cikliskie dati, piemēram, fāzes vai leņķi. Naivi ņemot aritmētisko vidējo vērtību 1 ° un 359 °, tiek iegūts rezultāts 180 °. Tas ir nepareizi divu iemeslu dēļ:

  • Pirmkārt, leņķa mērījumus nosaka tikai līdz 360 ° (vai 2π, ja mēra radiānos) konstantes konstantei. Tādējādi tos varētu tikpat viegli saukt par 1 ° un -1, vai 361 ° un 719 °, jo katrs no tiem dod atšķirīgu vidējo rādītāju.
  • Otrkārt, šajā situācijā 0 ° (ekvivalents, 360 °) ģeometriski ir labāks vidēji vērtība: par to ir mazāka dispersija (punkti ir gan 1 ° no tā, gan 179 ° no 180 °, domājamais vidējais).

Parasti šāda pārraudzība novedīs pie tā, ka vidējā vērtība mākslīgi virzīsies uz skaitliskā diapazona vidusdaļu. Šīs problēmas risinājums ir izmantot optimizācijas formulējumu (ti, definēt vidējo kā centrālo punktu: punktu, par kuru dispersija ir viszemākā) un atšķirību definēt kā modulāru attālumu (ti, attālumu uz apļa : tātad modulārais attālums starp 1 ° un 359 ° ir 2 °, nevis 358 °).

Aritmētisko vidējo bieži apzīmē ar joslu, piemēram, kā x ¯ < displaystyle < bar >> (lasīt x < displaystyle x>bārs). [2] [3]

Dažas programmatūras (teksta procesori, tīmekļa pārlūkprogrammas) simbols x̄ var netikt parādīts pareizi. Piemēram, simbols x̄ HTML formātā faktiski ir divu kodu kombinācija - bāzes burts x plus augšējās rindas kods (& amp # 772 vai ¯). [8]

Dažos tekstos, piemēram, pdf failos, simbolu x̄ var aizstāt ar centa (¢) simbolu (Unicode un amp # 162), kad tas tiek kopēts teksta procesorā, piemēram, Microsoft Word.


4.1. Pamatdefinīcijas - matemātika

Šajā sadaļā mēs aplūkosim precīzu, matemātisku trīs veidu ierobežojumu definīciju, kuras mēs aplūkojām šajā nodaļā. Mēs izskatīsim precīzu robežu definīciju ierobežotos punktos, kuriem ir ierobežotas vērtības, robežas, kas ir bezgalīgas, un robežas bezgalībā. Mēs sniegsim arī precīzu, matemātisku nepārtrauktības definīciju.

Sāksim šo sadaļu ar ierobežojuma definēšanu ierobežotā punktā, kam ir ierobežota vērtība.

1. definīcija

ja katram skaitlim ( varepsilon & gt 0 ) ir kāds skaitlis ( delta & gt 0 ),

Oho. Tā ir pilna mute. Tagad, kad tas ir pierakstīts, ko tas nozīmē?

Apskatīsim šo diagrammu un pieņemsim, ka ierobežojums pastāv.

Definīcija mums saka, ka jebkurš skaits ( varepsilon & gt 0 ), ko mēs izvēlamies, mēs varam pāriet uz mūsu diagrammu un ieskicēt divas horizontālas līnijas pie (L + varepsilon ) un (L - varepsilon ), kā parādīts iepriekš redzamajā diagrammā. Tad kaut kur tur pasaulē ir vēl viens skaitlis ( delta & gt 0 ), kas mums būs jānosaka, kas ļaus mums divās vertikālās līnijās pievienot mūsu grafiku pie (a + delta ) un (a - delta ).

Ja rozā reģionā ņemam kādu no (x ), i. starp (a + delta ) un (a - delta ), tad šis (x ) būs tuvāk (a ) nekā kāds no (a + delta ) un (a - delta ). Vai arī

Ja tagad mēs identificējam punktu diagrammā, ko dod mūsu izvēle (x ), tad šis punkts diagrammā būs atrodas rozā un dzeltenā reģiona krustojumā. Tas nozīmē, ka šī funkcijas vērtība (f left (x right) ) būs tuvāk (L ) nekā jebkura no (L + varepsilon ) un (L - varepsilon ). Vai arī

If we take any value of (x) in the pink region then the graph for those values of (x) will lie in the yellow region.

Notice that there are actually an infinite number of possible (delta)'s that we can choose. In fact, if we go back and look at the graph above it looks like we could have taken a slightly larger (delta) and still gotten the graph from that pink region to be completely contained in the yellow region.

Also, notice that as the definition points out we only need to make sure that the function is defined in some interval around (x = a) but we don’t really care if it is defined at (x = a). Remember that limits do not care what is happening at the point, they only care what is happening around the point in question.

Okay, now that we’ve gotten the definition out of the way and made an attempt to understand it let’s see how it’s actually used in practice.

These are a little tricky sometimes and it can take a lot of practice to get good at these so don’t feel too bad if you don’t pick up on this stuff right away. We’re going to be looking at a couple of examples that work out fairly easily.

In this case both (L) and (a) are zero. So, let (varepsilon > 0) be any number. Don’t worry about what the number is, (varepsilon ) is just some arbitrary number. Now according to the definition of the limit, if this limit is to be true we will need to find some other number (delta > 0) so that the following will be true.

Or upon simplifying things we need,

Often the way to go through these is to start with the left inequality and do a little simplification and see if that suggests a choice for (delta ). We’ll start by bringing the exponent out of the absolute value bars and then taking the square root of both sides.

[ < varepsilon hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>left| x ight| < sqrt varepsilon ]

Now, the results of this simplification looks an awful lot like (0 < left| x ight| < delta ) with the exception of the “(0 < )” part. Missing that however isn’t a problem, it is just telling us that we can’t take (x = 0). So, it looks like if we choose (delta = sqrt varepsilon ) we should get what we want.

We’ll next need to verify that our choice of (delta ) will give us what we want, i.,

[left| <> ight| < varepsilon hspace<0.5in>>hspace<0.5in>0 < left| x ight| < sqrt varepsilon ]

Verification is in fact pretty much the same work that we did to get our guess. First, let’s again let (varepsilon > 0) be any number and then choose (delta = sqrt varepsilon ). Now, assume that (0 < left| x ight| < sqrt varepsilon ). We need to show that by choosing (x) to satisfy this we will get,

To start the verification process, we’ll start with (left| <> ight|) and then first strip out the exponent from the absolute values. Once this is done we’ll use our assumption on (x), namely that (left| x ight| < sqrt varepsilon ). Doing all this gives,

Or, upon taking the middle terms out, if we assume that (0 < left| x ight| < sqrt varepsilon ) then we will get,

and this is exactly what we needed to show.

So, just what have we done? We’ve shown that if we choose (varepsilon > 0) then we can find a (delta > 0) so that we have,

[left| <- 0> ight| < varepsilon hspace<0.5in>>hspace<0.5in>0 < left| ight| < sqrt varepsilon ]

and according to our definition this means that,

These can be a little tricky the first couple times through. Especially when it seems like we’ve got to do the work twice. In the previous example we did some simplification on the left-hand inequality to get our guess for (delta ) and then seemingly went through exactly the same work to then prove that our guess was correct. This is often how these work, although we will see an example here in a bit where things don’t work out quite so nicely.

So, having said that let’s take a look at a slightly more complicated limit, although this one will still be fairly similar to the first example.

We’ll start this one out the same way that we did the first one. We won’t be putting in quite the same amount of explanation however.

Let’s start off by letting (varepsilon > 0) be any number then we need to find a number (delta > 0) so that the following will be true.

We’ll start by simplifying the left inequality in an attempt to get a guess for (delta ). To darot,

[left| ight) - 6> ight| = left| <5x - 10> ight| = 5left| ight| < varepsilon hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>left| ight| < frac<5>]

So, as with the first example it looks like if we do enough simplification on the left inequality we get something that looks an awful lot like the right inequality and this leads us to choose (delta = frac<5>).

Let’s now verify this guess. So, again let (varepsilon > 0) be any number and then choose (delta = frac<5>). Next, assume that (0 < left| ight| < delta = frac<5>) and we get the following,

and so by our definition we have,

Okay, so again the process seems to suggest that we have to essentially redo all our work twice, once to make the guess for (delta ) and then another time to prove our guess. Let’s do an example that doesn’t work out quite so nicely.

So, let’s get started. Let (varepsilon > 0) be any number then we need to find a number (delta > 0) so that the following will be true.

We’ll start the guess process in the same manner as the previous two examples.

[left| + x - 11> ight) - 9> ight| = left| <+ x - 20> ight| = left| ight)left( ight)> ight| = left| ight|left| ight| < varepsilon ]

Okay, we’ve managed to show that (left| + x - 11> ight) - 9> ight| < varepsilon ) is equivalent to (left| ight|left| ight| < varepsilon ). However, unlike the previous two examples, we’ve got an extra term in here that doesn’t show up in the right inequality above. If we have any hope of proceeding here we’re going to need to find some way to deal with the (left| ight|).

To do this let’s just note that if, by some chance, we can show that (left| ight| < K) for some number (K) then, we’ll have the following,

If we now assume that what we really want to show is (Kleft| ight| < varepsilon ) instead of (left| ight|left| ight| < varepsilon ) we get the following,

This is starting to seem familiar isn’t it?

All this work however, is based on the assumption that we can show that (left| ight| < K) for some (K). Without this assumption we can’t do anything so let’s see if we can do this.

Let’s first remember that we are working on a limit here and let’s also remember that limits are only really concerned with what is happening around the point in question, (x = 4) in this case. So, it is safe to assume that whatever (x) is, it must be close to (x = 4). This means we can safely assume that whatever (x) is, it is within a distance of, say one of (x = 4). Or in terms of an inequality, we can assume that,

Why choose 1 here? There is no reason other than it’s a nice number to work with. We could just have easily chosen 2, or 5, or (< extstyle<1 over 3>>). The only difference our choice will make is on the actual value of (K) that we end up with. You might want to go through this process with another choice of (K) and see if you can do it.

So, let’s start with (left| ight| < 1) and get rid of the absolute value bars and this solve the resulting inequality for (x) as follows,

[ - 1 < x - 4 < 1hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>3 < x < 5]

If we now add 5 to all parts of this inequality we get,

Now, since (x + 5 > 8 > 0) (the positive part is important here) we can say that, provided (left| ight| < 1) we know that (x + 5 = left| ight|). Or, if take the double inequality above we have,

[8 < x + 5 = left| ight| < 10hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.25in>,,,,left| ight| < 10hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>K = 10]

So, provided (left| ight| < 1) we can see that (left| ight| < 10) which in turn gives us,

So, to this point we make two assumptions about (left| ight|) We’ve assumed that,

It may not seem like it, but we’re now ready to choose a (delta ). In the previous examples we had only a single assumption and we used that to give us (delta ). In this case we’ve got two and they BOTH need to be true. So, we’ll let (delta ) be the smaller of the two assumptions, 1 and (frac<<10>>). Mathematically, this is written as,

By doing this we can guarantee that,

Now that we’ve made our choice for (delta ) we need to verify it. So, (varepsilon > 0) be any number and then choose(delta = min left< <1,frac<<10>>> ight>). Assume that (0 < left| ight| < delta = min left< <1,frac<<10>>> ight>). First, we get that,

[0 < left| ight| < delta le 1hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>left| ight| < 1hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.5in>left| ight| < 10]

Finally, all we need to do is,

We’ve now managed to show that,

and so by our definition we have,

Okay, that was a lot more work that the first two examples and unfortunately, it wasn’t all that difficult of a problem. Well, maybe we should say that in comparison to some of the other limits we could have tried to prove it wasn’t all that difficult. When first faced with these kinds of proofs using the precise definition of a limit they can all seem pretty difficult.

Do not feel bad if you don’t get this stuff right away. It’s very common to not understand this right away and to have to struggle a little to fully start to understand how these kinds of limit definition proofs work.

Next, let’s give the precise definitions for the right- and left-handed limits.

Definition 2

if for every number (varepsilon > 0) there is some number (delta > 0) such that

Definition 3

if for every number (varepsilon > 0) there is some number (delta > 0) such that

Note that with both of these definitions there are two ways to deal with the restriction on (x) and the one in parenthesis is probably the easier to use, although the main one given more closely matches the definition of the normal limit above.

Let’s work a quick example of one of these, although as you’ll see they work in much the same manner as the normal limit problems do.

Let (varepsilon > 0) be any number then we need to find a number (delta > 0) so that the following will be true.

Or upon a little simplification we need to show,

As with the previous problems let’s start with the left-hand inequality and see if we can’t use that to get a guess for (delta ). The only simplification that we really need to do here is to square both sides.

So, it looks like we can choose (delta = ).

Let’s verify this. Let (varepsilon > 0) be any number and chose (delta = ). Next assume that (0 < x < ). This gives,

and so by the definition of the right-hand limit we have,

Let’s now move onto the definition of infinite limits. Here are the two definitions that we need to cover both possibilities, limits that are positive infinity and limits that are negative infinity.

Definition 4

if for every number (M > 0) there is some number (delta > 0) such that

Definition 5

if for every number (N < 0) there is some number (delta > 0) such that

In these two definitions note that (M) must be a positive number and that (N) must be a negative number. That’s an easy distinction to miss if you aren’t paying close attention.

Also note that we could also write down definitions for one-sided limits that are infinity if we wanted to. We’ll leave that to you to do if you’d like to.

Here is a quick sketch illustrating Definition 4.

What Definition 4 is telling us is that no matter how large we choose (M) to be we can always find an interval around (x = a), given by (0 < left| ight| < delta ) for some number (delta ), so that as long as we stay within that interval the graph of the function will be above the line (y = M) as shown in the graph above. Also note that we don’t need the function to actually exist at (x = a) in order for the definition to hold. This is also illustrated in the graph above.

Note as well that the larger (M) is the smaller we’re probably going to need to make (delta ).

To see an illustration of Definition 5 reflect the above graph about the (x)-axis and you’ll see a sketch of Definition 5.

Let’s work a quick example of one of these to see how these differ from the previous examples.

These work in pretty much the same manner as the previous set of examples do. The main difference is that we’re working with an (M) now instead of an (varepsilon ). So, let’s get going.

Let (M > 0) be any number and we’ll need to choose a (delta > 0) so that,

As with the all the previous problems we’ll start with the left inequality and try to get something in the end that looks like the right inequality. To do this we’ll basically solve the left inequality for (x) and we’ll need to recall that (sqrt <> = left| x ight|). So, here’s that work.

So, it looks like we can choose (delta = frac<1><>). All we need to do now is verify this guess.

Let (M > 0) be any number, choose (delta = frac<1><>) and assume that (0 < left| x ight| < frac<1><>).

In the previous examples we tried to show that our assumptions satisfied the left inequality by working with it directly. However, in this, the function and our assumption on (x) that we’ve got actually will make this easier to start with the assumption on (x) and show that we can get the left inequality out of that. Note that this is being done this way mostly because of the function that we’re working with and not because of the type of limit that we’ve got.

So, we’ve managed to show that,

and so by the definition of the limit we have,

For our next set of limit definitions let’s take a look at the two definitions for limits at infinity. Again, we need one for a limit at plus infinity and another for negative infinity.

Definition 6

if for every number (varepsilon > 0) there is some number (M > 0) such that

Definition 7

if for every number (varepsilon > 0) there is some number (N < 0) such that

To see what these definitions are telling us here is a quick sketch illustrating Definition 6. Definition 6 tells us is that no matter how close to (L) we want to get, mathematically this is given by (left| ight| < varepsilon ) for any chosen (varepsilon ), we can find another number (M) such that provided we take any (x) bigger than (M), then the graph of the function for that (x) will be closer to (L) than either (L - varepsilon ) and (L + varepsilon ). Or, in other words, the graph will be in the shaded region as shown in the sketch below.

Finally, note that the smaller we make (varepsilon ) the larger we’ll probably need to make (M).

Here’s a quick example of one of these limits.

Let (varepsilon > 0) be any number and we’ll need to choose a (N < 0) so that,

Getting our guess for (N) isn’t too bad here.

Since we’re heading out towards negative infinity it looks like we can choose (N = - frac<1>). Note that we need the “-” to make sure that (N) is negative (recall that (varepsilon > 0)).

Let’s verify that our guess will work. Let (varepsilon > 0) and choose (N = - frac<1>) and assume that (x < - frac<1>). As with the previous example the function that we’re working with here suggests that it will be easier to start with this assumption and show that we can get the left inequality out of that.

Note that when we took the absolute value of both sides we changed both sides from negative numbers to positive numbers and so also had to change the direction of the inequality.

and so by the definition of the limit we have,

For our final limit definition let’s look at limits at infinity that are also infinite in value. There are four possible limits to define here. We’ll do one of them and leave the other three to you to write down if you’d like to.

Definition 8

if for every number (N > 0) there is some number (M > 0) such that

The other three definitions are almost identical. The only differences are the signs of (M) and/or (N) and the corresponding inequality directions.

As a final definition in this section let’s recall that we previously said that a function was continuous if,

[mathop limits_ fleft( x ight) = fleft( a ight)]

So, since continuity, as we previously defined it, is defined in terms of a limit we can also now give a more precise definition of continuity. Here it is,

Definition 9

This definition is very similar to the first definition in this section and of course that should make some sense since that is exactly the kind of limit that we’re doing to show that a function is continuous. The only real difference is that here we need to make sure that the function is actually defined at (x = a), while we didn’t need to worry about that for the first definition since limits don’t really care what is happening at the point.

We won’t do any examples of proving a function is continuous at a point here mostly because we’ve already done some examples. Go back and look at the first three examples. In each of these examples the value of the limit was the value of the function evaluated at (x = a) and so in each of these examples not only did we prove the value of the limit we also managed to prove that each of these functions are continuous at the point in question.


A related idea is that of the sth moment about the mean. In this calculation we perform the following steps:

  1. First, calculate the mean of the values.
  2. Next, subtract this mean from each value.
  3. Then raise each of these differences to the sth power.
  4. Now add the numbers from step #3 together.
  5. Finally, divide this sum by the number of values we started with.

The formula for the sth moment about the mean m of the values values x1, x2, x3, . xn is given by:


Expression - Definition with Examples

An expression is a sentence with a minimum of two numbers and at least one math operation. This math operation can be addition, subtraction, multiplication, and division. The structure of an expression is:

Expression = (Number, Math Operator, Number)

For example,

In all the given expressions, a math operator is used between the two numbers.

A math expression is different from a math equation. An equation will always use an equivalent (=) operator between two math expressions.

For example,

The structure of defining math expression advances in different grades. In early grades, children are expected to write math expressions using numbers and operators. Later on, words help students to form a math expression.

Let&rsquos consider a word problem.

Tom has to fill a box with oranges and apples. The number of apples should be 5 more than oranges. Tom picks 3 oranges each time and repeats it 5 times. Count the total number of oranges and apples.

To solve this, formulate the math expressions as follows:

Number of apples = Number of oranges + 5

Total number of fruits = Number of oranges + Number of apples

Third math expression will be:

Application

The knowledge of applying math operations on numbers is the first step towards building basic arithmetic reasoning and logic in children. Formulation of math expressions using the respective skill lays a strong foundation to learn algebra and translate real-life problems in suitable mathematical models.

Each statistical test and model uses a set of mathematical expressions to analyze quantitative data

Computers were invented to primarily compute long math expressions within a fraction of second


The Complete Mathematical Terms Dictionary

Understanding math concepts is critical in our world today. Math is used daily by nearly everyone, from lay persons to highly degreed professionals. Situations in which math is used vary from simply balancing a checkbook or calculating the amount of change due from a store transaction all the way to making blueprints for an office building or house and the construction of those buildings. Understanding how to solve math problems becomes easier as one learns math terminology. Below is a list of many common math terms and their definitions.

Acute angle – An angle which measures below 90°.

Acute triangle – A triangle containing only acute angles.

Additive inverse – The opposite of a number or its negative. A number plus its additive inverse equals 0.

Adjacent angles – Angles with a common side and vertex.

Angle – Created by two rays and containing an endpoint in common.

Arc – A set of points that lie on a circle and that are positioned within a central angle.

Area – The space contained within a shape.

Average – The numerical result of dividing the sum of two or more quantities by the number of quantities.

Binomial – An expression in algebra that consists of two terms.

Bisect – To divide into two equal sections.

Canceling – In multiplication of fractions, when one number is divided into both a numerator and a denominator.

Cartesian coordinates – Ordered number pairs that are assigned to points on a plane.

Chord – A line segment that connects two points on a circle.

Circle – A set of points that are all the same distance from a given point.

Circumference – The distance measured around a circle.

Coefficient – A number that is placed in front of a variable. For example, in 6x, 6 is the coefficient.

Common denominator – A number that can be divided evenly by all denominators in the problem.

Complementary angles – Two angles in which the sum of their measurements equals 90°.

Complex fraction – A fraction that contains a fraction or fractions in the numerator and/or denominator.

Congruent – Exactly the same. Identical in regard to size and shape.

Coordinate graph – Two perpendicular number lines, the x axis and the y axis, which make a plane upon which each point is assigned a pair of numbers.

Cube – A solid with six sides, with the sides being equal squares and the edges being equal. Also, the resulting number when a number is multiplied by itself twice.

Cube root – A number that when multiplied by itself twice gives the original number. For example, 4 is the cube root of 64.

Decimal fraction – Fraction with a denominator of 10, 100, 1,000, etc., written using a decimal point.

Degree – The measurement unit of an angle.

Denominator – The bottom symbol or number of a fraction.

Diameter – A line segment that contains the center and has its endpoints on the circle. Also, the length of this segment.

Difference – That which results from subtraction.

Equation – A relationship between symbols and/or numbers that is balanced.

Equilateral triangle – A triangle that has three equal angles and three sides the same length.

Even number – An integer which can be divided by 2, with no remainder.

Expanded notation – To point out the place value of a digit by writing the number as the digit times its place value.

Exponent – A positive or negative number that expresses the power to which the quantity is to be raised or lowered. It is placed above and to the right of the number.

Exterior angle – In a triangle, an exterior angle i s equal to the measures of the two interior angles added together.

Factor – As a noun, it is a number or symbol which divides evenly into a larger number. As a verb, it means to find two or more values whose product equals the original value.

F.O.I.L. Method – A method used for multiplying binomials in which the first terms, the outside terms, the inside terms, and then the last terms are multiplied.

Daļa - simbols, kas izsaka daļu no veseluma. Tajā ir skaitītājs un saucējs.

Lielākais kopīgais faktors - lielākais faktors, kas ir kopīgs diviem vai vairāk skaitļiem.

Hipotenūze - taisnleņķa trīsstūrī tā ir puse, kas atrodas pretī 90 ° leņķim.

Iedomātais skaitlis - negatīvā skaitļa kvadrātsakne.

Nepareiza frakcija - frakcija, kurā skaitītājs ir lielāks par saucēju.

Vesels skaitlis - vesels skaitlis. Tas var būt pozitīvs, negatīvs vai nulle.

Iekšējie leņķi - formas vai divu paralēlu līniju iekšpusē izveidoti leņķi.

Krustojošās līnijas - līnijas, kas savienojas vienā punktā.

Intervāls - skaitļi, kas atrodas divās noteiktās robežās.

Iracionāls skaitlis - skaitlis, kas nav racionāls (to nevar ierakstīt kā daļu x / y, ar x dabisko skaitli un y veselu skaitli).

Vienādsānu trijstūris - trīsstūris ar divām vienādām malām un diviem vienādiem leņķiem pāri tām.

Vismazāk kopējais vairākkārtējs - mazākais daudzkārtnis, kas ir kopīgs diviem vai vairākiem skaitļiem.

Lineārais vienādojums - vienādojums, kur risinājumu kopa veido taisnu līniju, kad to uzzīmē koordinātu grafikā.

Zemākais kopsaucējs - mazākais skaitlis, kuru vienmērīgi var sadalīt visiem problēmas saucējiem.

Vidējais - grupas vienību skaita vidējais rādītājs (kopā sūtījumus un dalot ar priekšmetu skaitu).

Mediāna - vidējais elements sakārtotā grupā. Ja grupā ir pāra vienību skaits, vidējā ir divu vidējo rādītāju vidējā vērtība.

Jaukts skaitlis - skaitlis, kas satur gan veselu skaitli, gan daļu.

Monomiāls - izteiksme algebrā, kas sastāv tikai no viena termina.

Dabiskais skaitlis - skaitīšanas skaitlis.

Negatīvs skaitlis - skaitlis, kas mazāks par nulli.

Nelineārais vienādojums - vienādojums, kurā risinājumu kopa neveido taisnu līniju, kad to uzzīmē koordinātu grafikā.

Skaitļu līnija - pozitīvu un negatīvu skaitļu un nulles vizuāls attēlojums.

Skaitītājs - frakcijas augšējais simbols vai skaitlis.

Obtuse leņķis - leņķis, kas ir lielāks par 90 °, bet mazāks par 180 °.

Tumšais trīsstūris - trīsstūris, kurā ir nolaists leņķis.

Nepāra skaitlis - vesels skaitlis (vesels skaitlis), kas nedalās vienmērīgi ar 2.

Sakārtots pāris - jebkurš elementu pāris (x, y), kur pirmais elements ir x, bet otrais ir y. Tos izmanto, lai identificētu vai uzzīmētu punktus koordinātu grafikos.

Izcelsme - koordinātu grafika divu ciparu līniju krustošanās punkts. Krustošanās punktu attēlo koordinātas (0,0).

Paralēlās līnijas - divas vai vairākas līnijas, kuras vienmēr atrodas vienā attālumā. Viņi nekad nesatiekas.

Procenti - kopīga daļa, kuras saucējs ir 100.

Perpendikulāras līnijas - Divas taisnes, kas krustojas taisnā leņķī.

Pi (π) - konstante, ko izmanto, lai noteiktu apļa apkārtmēru vai laukumu. Tas ir vienāds ar aptuveni 3,14.

Polinoms - izteiksme algebrā, kas sastāv no diviem vai vairākiem terminiem.

Pozitīvs skaitlis - skaitlis, kas lielāks par nulli.

Jauda - vienādu faktoru reizinājums. 3 x 3 x 3 = 3 3, lasot kā “trīs līdz trešajam spēkam” vai “trešais trīs spēks”. Jaudu un eksponentu var izmantot savstarpēji aizstājami.

Galvenais skaitlis - skaitli th pie var dalīt tikai ar sevi un vienu.

Pareiza frakcija - frakcija, kurā skaitītājs ir mazāks par saucēju.

Proporcija - rakstīts kā divi vienādi koeficienti. Piemēram, 5 ir 4, tāpat kā 10 ir 8, vai 5/4 = 10/8.

Pitagora teorēma - Teorēma, kas attiecas uz taisnstūra trijstūriem. Tajā teikts, ka taisnstūra trīsstūra divu kāju kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu (a 2 + b 2 = c 2).

Kvadranti - četri sadalījumi koordinātu grafikā.

Kvadrātvienādojums - vienādojums, ko var izteikt kā Ax 2 + Bx + C = 0.

Radikālā zīme - simbols, kas apzīmē kvadrātsakni.

Rādiuss - līnijas segments, kur galapunkti atrodas viens apļa centrā un viens uz apļa. Šis termins attiecas arī uz šī segmenta garumu.

Ratio - divu skaitļu vai simbolu salīdzinājums. Var rakstīt x: y, x / y vai x ir y.

Racionālais skaitlis - vesels skaitlis vai frakcija, piemēram, 7/7 vai 9/4 vai 5/1. Jebkurš skaitlis, ko var ierakstīt kā daļu x / y ar x dabisko skaitli un y veselu skaitli.

Abpusējs - skaitļa reizinošais apgrieztais skaitlis. Piemēram, 2/3 ir abpusējs 3/2.

Reducēšana - frakcijas maiņa zemākajos termiņos. Piemēram, 3/6 tiek samazināts līdz ½.

Taisnais leņķis - leņķis, kas mēra 90 °.

Taisnais trīsstūris - trīsstūris, kurā ir 90 ° leņķis.

Scalene trīsstūris - trīsstūris, kurā neviena no malām vai leņķiem nav vienāda.

Zinātniskais apzīmējums - skaitlis no 1 līdz 10 un reizināts ar jaudu 10. Izmanto ļoti lielu vai ļoti mazu skaitļu rakstīšanai.

Komplekts - objektu grupa, skaitļi utt.

Vienkāršot - apvienot terminus mazākos terminos.

Risinājums vai Risinājumu kopa - visu atbilžu kopums, kas var apmierināt vienādojumu.

Kvadrāts - iegūtais skaitlis, kad skaitlis tiek reizināts ar sevi. Arī četrpusēja figūra ar vienādām malām un četriem taisniem leņķiem. Pretējās puses ir paralēlas.

Kvadrātsakne - skaitlis, kas, reizinot pats par sevi, dod sākotnējo skaitli. Piemēram, 6 ir kvadrātsakne no 36.

Taisns leņķis - leņķis, kas ir vienāds ar 180 °.

Taisna līnija - īsākais attālums starp diviem punktiem. Tas turpinās bezgalīgi abos virzienos.

Papildleņķi - divi leņķi, kuru summa kopā ir 180 °.

Termins - burtiska vai skaitliska izteiksme, kurai ir sava zīme.

Transversāls - līnija, kas plaknē šķērso divas vai vairākas paralēlas vai nelīdzenas līnijas.

Trīsstūris - trīspusēja slēgta figūra. Tajā ir trīs leņķi, kuru apvienojot summa ir vienāda ar 180 °.

Trinomiāls - izteiksme algebrā, kas sastāv no trim terminiem.

Nezināms - simbols vai burts, kura vērtība nav zināma.

Mainīgais - simbols, kas apzīmē skaitli.

Vertikālie leņķi - pretējie leņķi, kas veidojas, krustojoties divām līnijām. Vertikālie leņķi ir vienādi.

Tilpums - summa, kuru var turēt, mērot kubikvienībās. Taisnstūrveida prizmas tilpums = garums reizināts ar platumu un augstumu.

Viss skaitlis - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 utt.

X ass - horizontālā ass koordinātu grafikā.

X koordināta - pirmais skaitlis sakārtotā pārī. Tas attiecas uz attālumu uz x ass.

Y ass - vertikālā ass koordinātu grafikā.

Y koordināta - otrais skaitlis sakārtotā pārī. Tas attiecas uz attālumu uz y ass.


Skatīties video: Видеоурок по математике Понятие обыкновенной дроби (Decembris 2021).