Raksti

2.16: Atrisināt vienādojumus, izmantojot veselos skaitļus; Nodaļas vienlīdzības īpašums (2. daļa)


Tulkot vienādojumā un atrisināt

Iepriekš vairākos piemēros mums tika dots vienādojums, kas satur mainīgo. Dažos nākamajos piemēros mums vispirms būs jātulko vārdu teikumi vienādojumos ar mainīgajiem un pēc tam atrisināsim vienādojumus.

Piemērs ( PageIndex {7} ): tulko

Tulkojiet un atrisiniet: pieci vairāk nekā (x ) ir vienādi ar (- 3 ).

Risinājums

Tulkot.x + 5 = −3
No abām pusēm atņemiet 5.x + 5 - 5 = −3 - 5
Vienkāršojiet.x = −8

Pārbaudiet atbildi, aizstājot to sākotnējā vienādojumā.

[ sāciet {split} x + 5 & = -3 -8 + 5 & stackrel {?} {=} -3 -3 & = -3 ; pārbaude end {split} nonumber ]

Vingrinājums ( PageIndex {13} )

Tulkot un atrisināt: Septiņi vairāk nekā (x ) ir vienādi ar (- 2 ).

Atbilde

(x + 7 = -2 ); (x = -9 )

Vingrinājums ( PageIndex {14} )

Tulkot un atrisināt: Vienpadsmit vairāk nekā (y ) ir vienāds ar (2 ).

Atbilde

(y + 11 = 2 ); (y = -9 )

Piemērs ( PageIndex {8} ): tulko

Tulkojiet un atrisiniet: (n ) un (6 ) starpība ir (- 10 ).

Risinājums

Tulkot.n - 6 = −10
Pievienojiet 6 katrā pusē.n - 6 + 6 = −10 + 6
Vienkāršojiet.n = −4

Pārbaudiet atbildi, aizstājot to sākotnējā vienādojumā.

[ sāciet {split} n - 6 & = -10 -4 - 6 & stackrel {?} {=} -10 -10 & = -10 ; checkmark end {split} nonumber ]

Vingrinājums ( PageIndex {15} )

Tulkojiet un atrisiniet: (p ) un (2 ) starpība ir (- 4 ).

Atbilde

(p-2 = -4 ); (p = -2 )

Vingrinājums ( PageIndex {16} )

Tulkojiet un atrisiniet: (q ) un (7 ) starpība ir (- 3 ).

Atbilde

(q-7 = -3 ); (q = 4 )

Piemērs ( PageIndex {9} ): tulko

Tulkojiet un atrisiniet: skaitlis (108 ) ir (- 9 ) un (y ) reizinājums.

Risinājums

Tulkot.108 = −9 g
Dalīt ar −9.$$ dfrac {108} {- 9} = dfrac {-9y} {- 9} $$
Vienkāršojiet.−12 = y

Pārbaudiet atbildi, aizstājot to sākotnējā vienādojumā.

[ sāciet {split} 108 & = -9y 108 & stackrel {?} {=} - 9 (-12) 108 & = 108 ; pārbaude end {split} nonumber ]

Vingrinājums ( PageIndex {17} )

Tulkojiet un atrisiniet: skaitlis (132 ) ir (- 12 ) un (y ) reizinājums.

Atbilde

(132 = -12g ); (y = -11 )

Vingrinājums ( PageIndex {18} )

Tulkojiet un atrisiniet: skaitlis (117 ) ir (- 13 ) un (z ) reizinājums.

Atbilde

(117 = -13z ); (z = -9 )

Galvenie jēdzieni

  • Kā noteikt, vai skaitlis ir vienādojuma risinājums.
    • 1. solis. Vienādojumā aizstājiet mainīgā skaitli.
    • 2. solis. Vienkāršojiet izteiksmes abās vienādojuma pusēs.
    • 3. solis. Nosakiet, vai iegūtais vienādojums ir patiess.
      • Ja tā ir taisnība, skaitlis ir risinājums.
      • Ja tā nav taisnība, skaitlis nav risinājums.
  • Vienlīdzību īpašības
    Vienādības atņemšanas īpašībaVienlīdzības pievienošanas īpašība
  • Divīzijas vienlīdzības īpašums
    • Jebkuriem skaitļiem (a, b, c ) un (c neq 0 ), ja (a = b ), tad ( dfrac {a} {c} = dfrac {b} {c } )

Prakse padara perfektu

Nosakiet, vai skaitlis ir vienādojuma risinājums

Turpmākajos vingrinājumos nosakiet, vai katrs skaitlis ir norādītā vienādojuma risinājums.

  1. 4x - 2 = 6
    1. x = −2
    2. x = −1
    3. x = 2
  2. 4y - 10 = −14
    1. y = −6
    2. y = −1
    3. y = 1
  3. 9a + 27 = −63
    1. a = 6
    2. a = −6
    3. a = −10
  4. 7c + 42 = −56
    1. c = 2
    2. c = −2
    3. c = −14

Atrisiniet vienādojumus, izmantojot vienādības saskaitīšanas un atņemšanas īpašības

Turpmākajos vingrinājumos atrisiniet nezināmo.

  1. n + 12 = 5
  2. m + 16 = 2
  3. p + 9 = −8
  4. q + 5 = −6
  5. u - 3 = −7
  6. v - 7 = −8
  7. h - 10 = −4
  8. k - 9 = −5
  9. x + (−2) = −18
  10. y + (−3) = −10
  11. r - (−5) = −9
  12. s - (−2) = −11

Modelējiet vienlīdzības dalījuma īpašību

Turpmākajos vingrinājumos uzrakstiet vienādojumu, kas modelēts aploksnēs un skaitītājos, un pēc tam atrisiniet to.

Atrisiniet vienādojumus, izmantojot vienlīdzības dalījuma īpašību

Turpmākajos vingrinājumos atrisiniet katru vienādojumu, izmantojot vienlīdzības dalīšanas īpašību, un pārbaudiet risinājumu.

  1. 5x = 45
  2. 4p = 64
  3. −7c = 56
  4. −9x = 54
  5. −14p = −42
  6. −8m = −40
  7. -120 = 10q
  8. −75 = 15 g
  9. 24x = 480
  10. 18n = 540
  11. −3z = 0
  12. 4u = 0

Tulkot vienādojumā un atrisināt

Turpmākajos vingrinājumos tulkojiet un atrisiniet.

  1. Četri vairāk par n ir vienādi ar 1.
  2. Deviņi vairāk par m ir vienādi ar 5.
  3. Astoņu un p summa ir −3.
  4. Divu un q summa ir −7.
  5. A un trīs starpība ir −14.
  6. B un 5 starpība ir −2.
  7. Skaitlis −42 ir −7 un x reizinājums.
  8. Skaitlis −54 ir −9 un y reizinājums.
  9. F un −15 reizinājums ir 75.
  10. G un −18 reizinājums ir 36.
  11. −6 plus c ir vienāds ar 4.
  12. −2 plus d ir vienāds ar 1.
  13. Deviņi mazāki par n ir −4.
  14. Trīspadsmit mazāk par n ir −10.

Jaukta prakse

Turpmākajos vingrinājumos atrisiniet.

  1. (a) x + 2 = 10 (b) 2x = 10
  2. a) y + 6 = 12 (b) 6y = 12
  3. (a) −3p = 27 (b) p - 3 = 27
  4. (a) −2q = 34 (b) q - 2 = 34
  5. a - 4 = 16
  6. b - 1 = 11
  7. −8m = −56
  8. −6n = −48
  9. −39 = u + 13
  10. −100 = v + 25
  11. 11r = −99
  12. 15s = −300
  13. 100 = 20d
  14. 250 = 25n
  15. −49 = x - 7
  16. 64 = y - 4

Ikdienas matemātika

  1. Sīkdatņu iesaiņošana 51 sīkfaila iepakojumā ir 3 vienādas sīkdatņu rindas. Atrodiet sīkfailu skaitu katrā rindā c, atrisinot vienādojumu 3c = 51.
  2. Bērnudārza klase Konijas bērnudārza klasē ir 24 bērni. Viņa vēlas, lai viņi iekļūtu 4 vienādās grupās. Atrodiet bērnu skaitu katrā grupā g, atrisinot vienādojumu 4g = 24.

Rakstīšanas vingrinājumi

  1. Vai vienādības dalījuma īpašību modelēšana ar aploksnēm un skaitītājiem palīdz saprast, kā atrisināt vienādojumu 3x = 15? Paskaidrojiet, kāpēc vai kāpēc ne.
  2. Pieņemsim, ka jūs izmantojat aploksnes un skaitītājus, lai modelētu vienādojumu x + 4 = 12 un 4x = 12. atrisināšanu. Paskaidrojiet, kā jūs atrisinātu katru vienādojumu.
  3. Frīda sāka atrisināt vienādojumu −3x = 36, abām pusēm pievienojot 3. Paskaidrojiet, kāpēc Frīdas metode neatrisinās vienādojumu.
  4. Rauls sāka atrisināt vienādojumu 4y = 40, no abām pusēm atņemot 4. Paskaidrojiet, kāpēc Raula metode neatrisinās vienādojumu.

Pašpārbaude

a) Pēc vingrinājumu izpildīšanas izmantojiet šo kontrolsarakstu, lai novērtētu šīs sadaļas mērķu apguvi.

b) Vai, pēc apskatīšanas kontrolsarakstā, jūs domājat, ka esat labi sagatavojies nākamajai nodaļai? Kāpēc vai kāpēc ne?


2.16. Vienādojumu atrisināšana, izmantojot vienādības dalījuma īpašību (2. daļa)

Āboli tiek novākti & # 8211tad ir laiks tos atšķirt!

Pēc dienu ilgas ābolu lasīšanas Džesika, Marks un Kima nolemj savus ābolus sadalīt vienādi. Kopīgajā grozā viņi kopā saskaita [lateksu] 39 [/ lateksa] ābolus. Cik daudz ābolu katrs no viņiem var paņemt mājās? Lai uzzinātu, viņiem ir jāizmanto dalīšana vienpakāpju mainīgā vienādojumā. Šajā sadaļā jūs uzzināsiet, kā saglabāt vienādību abās vienādojuma pusēs un atrisināt mainīgo.

Pirms sākat, veiciet šo gatavības viktorīnu.

Gatavības viktorīna

Ja esat nokavējis šo problēmu, pārskatiet šo piemēru.

Novērtējiet [latekss] x + 7 [/ latekss], kad

1. Lai novērtētu, izteiksmē aizstājiet [lateksu] 3 [/ lateksu] ar [lateksu] x [/ lateksu] un pēc tam vienkāršojiet.

[latekss] x + 7 [/ latekss]
Aizstājējs. [latekss] krāsa<3> +7 [/ latekss]
Pievienot. [latekss] 10 [/ latekss]

Kad [latekss] x = 3 [/ latekss], izteiksmes [latekss] x + 7 [/ latekss] vērtība ir [latekss] 10 [/ latekss].
2. Lai novērtētu, izteiksmē aizstājiet [lateksu] 12 [/ lateksu] ar [lateksu] x [/ lateksu] un pēc tam vienkāršojiet.

[latekss] x + 7 [/ latekss]
Aizstājējs. [latekss] krāsa<12> +7 [/ latekss]
Pievienot. [latekss] 19 [/ latekss]

Kad [latekss] x = 12 [/ latekss], izteiksmes [latekss] x + 7 [/ latekss] vērtība ir [latekss] 19 [/ latekss].

Ja esat nokavējis šo problēmu, pārskatiet tālāk sniegto piemēru.

Novērtējiet [lateksu] 9x - 2, [/ lateksa] kad

Risinājums
Atcerieties [latekss] ab [/ latekss] nozīmē [latekss] a [/ latekss] reizes [latekss] b [/ latekss], tāpēc [latekss] 9x [/ latekss] nozīmē [latekss] 9 [/ latekss] reizes [latekss] x [/ latekss].
1. Lai novērtētu izteiksmi, kad [latekss] x = 5 [/ latekss], mēs aizstājam [lateksu] 5 [/ lateksu] ar [lateksu] x [/ lateksu] un pēc tam vienkāršojam.

[latekss] 9x-2 [/ latekss]
Aizstāt [latekss] krāsa<5> [/ latekss] x. [latekss] 9 cdot krāsa<5> -2 [/ latekss]
Pavairot. [latekss] 45-2 [/ latekss]
Atņemt. [latekss] 43 [/ latekss]

2. Lai novērtētu izteiksmi, kad [latekss] x = 1 [/ latekss], mēs aizstājam [lateksu] 1 [/ lateksu] ar [lateksu] x [/ lateksu] un pēc tam vienkāršojam.

[latekss] 9x-2 [/ latekss]
Aizstāt [latekss] krāsa<1> [/ latekss] x. [latekss] 9 ( krāsa<1>) -2 [/ latekss]
Pavairot. [latekss] 9-2 [/ latekss]
Atņemt. [latekss] 7 [/ latekss]

Ievērojiet, ka 1. daļā, kurā mēs rakstījām [latekss] 9 cdot 5 [/ latekss], un 2. daļā - [latekss] 9 pa kreisi (1 pa labi) [/ latekss]. Gan punkts, gan iekavas liek mums vairoties.

Ja jums pietrūka šīs problēmas, pārskatiet šo videoklipu


2.3.1.: Divpakāpju vienādojumi

Kā vidēja termiņa projektu mūzikas klasē dažiem studentiem ir iespēja redzēt džeza dzīvo koncertu un aprakstīt mūziku klasei. Mūzikas skolotājs Kūpers kungs iegādājās dažas biļetes. Pakalpojuma maksa biļešu iegādei uz džeza koncertu ir 9 dolāri, un katra biļete maksā 12 dolārus. Ja kopējās biļešu izmaksas bija 93 dolāri, vai varat uzzināt, cik biļetes nopirka Kupera kungs?

Šajā koncepcijā jūs iemācīsities atrisināt divpakāpju vienādojumus.

Divpakāpju vienādojumu risināšana

Dažreiz, ja skaitļi ir mazi veseli skaitļi, iespējams, varēsiet atrisināt a divpakāpju vienādojums domājot par to. Piemēram, vai jūs varat atrisināt 3x + 3 = 9?

Šeit skaitļi ir mazi. Jūs droši vien varat apskatīt šo vienādojumu un uzdot sev jautājumu: & # 39; Cik reizes trīs plus trīs ir deviņi? & Rdquo Loģiskā atbilde ir 2. Jūs varat pārbaudīt savu atbildi, aizvietojot x ar 2, lai redzētu, vai vienādojuma abas puses ir vienādas . Ja tie ir, tad jūsu darbs ir precīzs.

Ļaujiet & rsquos pieslēgt 2 x, lai pārbaudītu iespējamo atbildi.

Tā kā taisnība, ka 9 = 9, atbilde x = 2 darbojas.

Tā kā vienādojumi kļūst sarežģītāki, ir svarīgi izmantot vienādības īpašības izolēt mainīgo un atrisināt vienādojumu.

Šeit ir vienlīdzības īpašības, kas jums nepieciešamas, lai izolētu terminus un atrisinātu vienādojumus.

The Vienādības atņemšanas īpašība tiek izmantots, ja jums ir vienādojums ar papildinājumu. Tajā teikts, ka jūs varat atņemt to pašu daudzumu no vienādojuma abām pusēm, nemainot vienādību.

The Vienlīdzības pievienošanas īpašība tiek izmantots, ja tajā ir vienādojums ar atņemšanu. Tajā teikts, ka jūs varat pievienot vienādu daudzumu vienādojuma abām pusēm, nemainot vienādību.

The Divīzijas vienlīdzības īpašums tiek izmantots, ja jums ir vienādojums ar mainīgo, kas reizināts ar skaitli. Tajā teikts, ka jūs varat sadalīt abas vienādojuma puses ar vienu un to pašu lielumu (ja vien šis lielums nav vienāds ar nulli), nemainot vienādību.

The Vienlīdzības reizināšanas īpašība tiek izmantots, ja jums ir vienādojums ar mainīgo, kas dalīts ar skaitli. Tajā teikts, ka jūs varat reizināt abas vienādojuma puses ar vienu un to pašu daudzumu, nemainot vienādību.

Ļaujiet & rsquos apskatīt piemēru un izmantot vienlīdzības īpašības, lai izolētu mainīgo un atrisinātu vienādojumu.

Vienādojuma kreisajā pusē ir divi termini - 2 un 3n.

Vispirms ir jāiegūst termins ar mainīgo 3n vienādības (=) zīmes vienā pusē.

Vienādojumā 3n pievieno 2. Tātad, jūs izmantojat summēšanas apgriezto vērtību, kas ir atņemšana, un no abām vienādojuma pusēm atņemiet 2.

To var izdarīt vienādības atņemšanas īpašības dēļ. Šis īpašums norāda, ka, lai vērtības vienādojuma abās pusēs saglabātu vienādas, viss, kas tiek atņemts no vienādojuma vienas puses, jāatņem arī no otras puses.

Ļaujiet & rsquos redzēt, kas notiek, kad no abām vienādojuma pusēm atņemam 2

Tagad problēma ir daudz vienkāršāka. Jūs esat samazinājis divpakāpju vienādojumu līdz vienpakāpju vienādojumam.

Pēc tam izmantojiet vienlīdzības dalīšanas īpašību un sadaliet abas vienādojuma puses ar 3. Pēc tam vienkāršojiet.

Tas ir divpakāpju vienādojums. Galīgais mērķis ir izolēt mainīgo x. To būs vieglāk izdarīt, ja termins ar mainīgo 2x pats par sevi atrodas vienādojuma pusē.

Pirmkārt, lai iegūtu 2x pats par sevi vienādojuma pusē, izmantojiet vienlīdzības pievienošanas īpašību, lai abām vienādojuma pusēm pievienotu 5.

Tagad divpakāpju vienādojums ir vienpakāpes vienādojums, un to ir daudz vieglāk atrisināt.

Pēc tam izmantojiet vienlīdzības dalīšanas īpašību un sadaliet abas vienādojuma puses ar 2, lai izolētu mainīgo x.

Pirmkārt, izmantojiet vienlīdzības pievienošanas īpašību, lai iegūtu vienādu x5 vienā vienādojuma pusē. Pievienojiet 8 vienādojuma abām pusēm.

Tagad divpakāpju vienādojums ir samazināts līdz vienpakāpju vienādojumam. Tā kā x ir dalīts ar 5, mainīgā x izolēšanai jāizmanto dalīšanas, reizināšanas apgrieztā vērtība.

Pēc tam izmantojiet vienādības reizināšanas īpašību un reiziniet abas vienādojuma puses ar 5. Pēc tam vienkāršojiet abas vienādojuma puses.

Piemēri

Iepriekš jums tika dota problēma par Kūpera kungu un viņa mūzikas klasi.

Dažiem studentiem viņš nopirka biļetes uz pārsteidzošu džeza koncertu. Par pasūtījumu bija jāmaksā 9 USD apkalpošanas maksa, un katra biļete maksāja 12 USD. Kopējās pasūtījuma izmaksas bija 93 USD. Vai jūs varat uzrakstīt vienādojumu, lai attēlotu šo situāciju, un pēc tam to atrisināt?

Pirmkārt, n ir nopirkto biļešu skaits. Kopējās izmaksas ir 9 plus 12 reizes lielāks par nopirkto biļešu skaitu. Šīs kopējās izmaksas ir 93. Tulkojiet to vienādojumā.

Pēc tam atrisiniet divpakāpju vienādojumu.

Vispirms izolējiet 12n. Izmantojiet vienādības atņemšanas īpašību un atņemiet 9 no vienādojuma abām pusēm.

Tagad atrisiniet vienpakāpes vienādojumu. Izmantojiet vienlīdzības dalīšanas īpašību un sadaliet abas vienādojuma puses ar 12.

Atbilde ir, ka Kūpera kungs nopirka 7 biļetes.

Ainava iekasē 35 USD par katru labiekārtošanas darbu, plus 20 USD par katru nostrādāto stundu. Pēc viena labiekārtošanas darba ainavists iekasēja 95 USD.

  1. Uzrakstiet algebrisko vienādojumu, kas atspoguļo h, stundu skaitu, ko ainavists strādāja pie šī 95 ASV dolāru darba.
  2. Cik stundas tas darbs prasīja?

Ainavists nopelnīja 20 ASV dolārus par katru šajā darbā nostrādāto stundu, tāpēc jūs reizināt 20 dolārus ar h, nostrādāto stundu skaitu, lai uzzinātu, kā ainavnieks iekasēja maksu par nostrādātajām stundām, un pēc tam pievienojiet sākotnējos 35 dolārus. Tas ir vienāds ar kopējo maksu 95 USD.

Atrodiet vienādojumu, lai uzzinātu, cik stundas ainavists strādāja šajā darbā.

Pirmkārt, lai izolētu terminu 20h, izmantojiet vienādības atņemšanas īpašību un atņemiet 35 no vienādojuma abām pusēm.

Divpakāpju vienādojums ir samazināts līdz vienpakāpes vienādojumam.

Pēc tam izmantojiet vienlīdzības dalīšanas īpašību, lai izolētu mainīgo h, un sadaliet abas vienādojuma puses ar 20.

Atbilde ir tā, ka ainavists 3 stundas strādāja ar darbu 95 ASV dolāru apmērā.

Atrisiniet katru vienādojumu.

Pirmkārt, izmantojiet vienādības atņemšanas īpašību un atņemiet 7 no vienādojuma abām pusēm.

Pēc tam izmantojiet vienlīdzības dalīšanas īpašību un sadaliet katru vienādojuma pusi ar 5.

Pirmkārt, izmantojiet vienādības atņemšanas īpašību un atņemiet 9 no vienādojuma abām pusēm.

Pēc tam izmantojiet vienlīdzības dalīšanas īpašību un daliet abas vienādojuma puses ar 3.

Pirmkārt, izmantojiet vienlīdzības pievienošanas īpašību un pievienojiet 8 vienādojuma abām pusēm.

Pēc tam izmantojiet vienlīdzības reizināšanas īpašību un reiziniet abas vienādojuma puses ar 4.

Pārskatīšana

Atrisiniet katru nezināmā mainīgā divu soļu vienādojumu.

  1. 3x + 2 = 14
  2. 6g + 5 = 29
  3. 7x + 3 = 24
  4. 5x + 7 = 42
  5. 6g + 1 = 43
  6. 9a + 7 = 88
  7. 11.b + 12 = 56
  8. 12x & mīnus3 = 21
  9. 4g un mīnus5 = 19
  10. 3a & mīnus9 = 21
  11. 5.b & mīnus8 = 37
  12. 7x & mīnus10 = 39
  13. 6x un mīnus12 = 30

Uzrakstiet vienādojumu katrai vārda problēmai un pēc tam atrisiniet nezināmam mainīgajam.

  1. Augusta skolas veikalā pārdod t-kreklus. Otrdien Augusta pārdeva 7 mazāk nekā divreiz vairāk t-kreklu, nekā viņa pārdeva pirmdien. Viņa otrdien pārdeva 3 krekliņus. Uzrakstiet algebrisko vienādojumu, lai attēlotu m, pirmdien augustā pārdoto t-kreklu skaitu.
  2. Kastē ir 19 zaļas bumbiņas. Zaļo bumbiņu skaits kastē ir vairāk nekā puse no kastē esošo sarkano bumbiņu skaita. Uzrakstiet algebrisko vienādojumu, kas apzīmē r - sarkano bumbiņu skaitu lodziņā.

Pārskats (atbildes)

Lai skatītu pārskatīšanas atbildes, atveriet šo PDF failu un meklējiet sadaļu 7.12.

Vārdnīca

Jēdziens Definīcija
Vienlīdzības pievienošanas īpašība Vienlīdzības pievienošanas īpašība norāda, ka jūs varat pievienot vienādu daudzumu vienādojuma abām pusēm, nemainot apgalvojuma relatīvo patiesumu. Ja 2x = 6, tad 2x + 2 = 6 + 2.
Divīzijas vienlīdzības īpašums Vienlīdzības dalījuma īpašība norāda, ka divas vienādas vērtības paliek vienādas, ja abas dala ar vienu un to pašu skaitli. Piemēram: Ja 2x = 8, tad 1x = 4.
Apgrieztā darbība Apgrieztās operācijas ir darbības, kas & quotundo & quot; viena otru. Reizināšana ir apgrieztā dalīšanas darbība. Saskaitīšana ir atņemšanas apgrieztā darbība.
Izolēt mainīgo Mainīgā izolēšana nozīmē manipulēt ar vienādojumu tā, lai norādītais mainīgais pats par sevi būtu vienādas zīmes vienā pusē.
Vienlīdzības reizināšanas īpašība Vienlīdzības reizināšanas īpašība norāda, ka, ja viena un tā pati konstante tiek reizināta ar vienādojuma abām pusēm, vienādība atbilst patiesībai.
Vienādības atņemšanas īpašība Vienādības atņemšanas īpašība norāda, ka jūs varat atņemt to pašu daudzumu no vienādojuma abām pusēm, un tas joprojām līdzsvarosies.
Divpakāpju vienādojums Divpakāpju vienādojums ir algebriskais vienādojums ar divām operācijām tajā, kura atrisināšanai nepieciešami divi soļi.

Papildu resursi

PLIX: Spēlējiet, mācieties, mijiedarbojieties, eXplore: T-kreklu vienādojums

Aktivitāte: Divpakāpju vienādojumi un vienlīdzības diskusiju jautājumu īpašības


2.16. Vienādojumu atrisināšana, izmantojot vienādības dalījuma īpašību (2. daļa)

Tēma par kvadrātvienādojumu atrisināšanu ir sadalīta divās sadaļās, lai gūtu labumu tiem, kas to skata tīmeklī. Kā viena sadaļa lapas ielādes laiks būtu bijis diezgan ilgs. Šī ir otrā sadaļa par kvadrātvienādojumu risināšanu.

Iepriekšējā sadaļā mēs aplūkojām faktoringa un kvadrātsaknes rekvizīta izmantošanu kvadrātvienādojumu atrisināšanai. Problēma ir tā, ka abas šīs risināšanas metodes ne vienmēr darbosies. Ne katrs kvadrāts ir faktors, un ne katrs kvadrāts ir tādā formā, kāds nepieciešams kvadrātsaknes īpašumam.

Ir pienācis laiks sākt meklēt metodes, kas derēs visiem kvadrātvienādojumiem. Tātad, šajā sadaļā mēs aplūkosim kvadrāta un kvadrātiskās formulas aizpildīšanu kvadrātvienādojuma atrisināšanai,

Laukuma pabeigšana

Pirmā metode, kuru aplūkosim šajā sadaļā, ir kvadrāta aizpildīšana. To sauc par to, jo tas izmanto procesu, ko sauc par kvadrāta aizpildīšanu risinājuma procesā. Tātad, vispirms vajadzētu definēt, kas ir kvadrāta aizpildīšana.

un ievēro, ka x 2 ir koeficients viens. Tas ir nepieciešams, lai to izdarītu. Tagad tam ļauj pievienot (< left (< frac<2>> pa labi) ^ 2> ). To darot, var iegūt sekojošo faktors kvadrātvienādojums.

Šo procesu sauc pabeigt laukumu un, ja mēs pareizi veicam visu aritmētiku, mēs varam garantēt, ka kvadrātiskais skaitlis tiks aprēķināts kā ideāls kvadrāts.

Veicam pāris piemērus, lai tikai aizpildītu kvadrātu, pirms apskatīsim, kā mēs to izmantojam kvadrātvienādojumu atrisināšanai.

Šis skaitlis tiks pievienots vienādojumam.

Ievērojiet, ka mēs šeit paturējām mīnus zīmi, lai gan tā vienmēr izkritīs pēc tam, kad mēs sakārtosim lietas. Iemesls tam būs skaidrs pēc sekundes. Tagad pabeigsim laukumu.

Tagad tas ir kvadrāts, kuru, cerams, varēsiet veikt diezgan ātri. Tomēr ņemiet vērā, ka tas vienmēr tiks ņemts vērā kā (x ), kā arī zilais skaitlis, kuru mēs aprēķinājām iepriekš un kas ir iekavās (mūsu gadījumā tas ir -8). Tas ir iemesls, kāpēc jāatstāj mīnus zīme. Tas nodrošina, ka faktoringa procesā mēs nepieļaujam kļūdas.

Šoreiz mums būs vajadzīgs numurs.

Tā ir daļiņa, un tas notiks diezgan bieži, tāpēc neaizraujies. Arī atstājiet to kā daļu. Nepārveidojiet ciparus aiz komata. Tagad pabeigt laukumu.

Šis nav tik viegli faktors. Tomēr, ja jūs atkal atceraties, ka tas VIENMĒR būs faktors kā (y ), kā arī zilais skaitlis iepriekš, mums nav jāuztraucas par faktoringa procesu.

Ir pienācis laiks uzzināt, kā kvadrāta aizpildīšana tiek izmantota kvadrātvienādojuma atrisināšanai. Process ir vislabāk redzams, kad mēs strādājam ar piemēru, tāpēc darīsim to.

Pirmo problēmu mēs sīki izdarīsim, skaidri norādot katru soli. Atlikušajās problēmās mēs vienkārši veiksim darbu bez tik daudz paskaidrojuma.

1. solis : Daliet vienādojumu ar koeficientu x 2 jēdziens. Atgādinām, ka, lai aizpildītu kvadrātu, šajā termiņā bija vajadzīgs koeficients viens, un tas garantēs, ka mēs to iegūsim. Tomēr šim vienādojumam tas nav jādara.

2. solis : Iestatiet vienādojumu uz augšu tā, lai (x ) būtu kreisajā pusē un konstante būtu labajā pusē.

3. solis : Pabeidziet laukumu kreisajā pusē. Tomēr šoreiz mums būs jāpievieno skaitlis vienādības zīmes abām pusēm, nevis tikai kreisajai pusei. Tas ir tāpēc, ka mums jāatceras noteikums, ka tas, ko mēs darām ar vienādojuma pusi, ir jādara ar vienādojuma otru pusi.

Pirmkārt, šeit ir skaitlis, kuru mēs pievienojam abām pusēm.

4. solis : Tagad, šajā brīdī pamaniet, ka šajā vienādojumā mēs varam izmantot kvadrātsaknes īpašību. Tas bija pirmo trīs soļu mērķis. To darot, mēs iegūsim vienādojuma risinājumu.

[x - 3 = pm sqrt 8 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> x = 3 pm sqrt 8 ]

Un tas ir process. Veiksim atlikušās daļas tūlīt.

Šoreiz mēs skaidri nepiedalīsimies soļos, kā arī daudz vienādojuma izskaidrošanas. To sakot, ievērojiet, ka mums šoreiz būs jāsper pirmais solis. Mums nav viena koeficienta x 2 termiņu, un tāpēc mums vispirms jāsadala vienādojums ar to.

Lūk, darbs pie šī vienādojuma.

Neaizmirstiet pārveidot negatīvo skaitļu kvadrātsaknes par sarežģītiem skaitļiem!

Arī šoreiz mēs daudz neliksim skaidrojumu šai problēmai.

Šajā brīdī mums vajadzētu būt uzmanīgiem, aprēķinot skaitli kvadrāta aizpildīšanai, jo (b ) tagad pirmo reizi ir daļa.

Šajā gadījumā ņemiet vērā, ka mēs šeit faktiski varam veikt aritmētiku, lai iegūtu divus skaitļa un / vai dalījuma risinājumus. Mums tas vienmēr jādara, ja mūsu risinājumā ir tikai veseli skaitļi un / vai frakcijas. Šeit ir divi risinājumi.

Īss komentārs par pēdējo vienādojumu, kuru mēs atrisinājām iepriekšējā piemērā, ir kārtībā. Tā kā mēs kā risinājumus saņēmām veselu skaitli un frakcijas, mēs būtu varējuši vienkārši ņemt vērā šo vienādojumu no paša sākuma, nevis izmantot kvadrāta aizpildīšanu. Šādos gadījumos mēs varētu izmantot jebkuru metodi, un mēs iegūsim to pašu rezultātu.

Tagad realitāte ir tāda, ka laukuma pabeigšana ir diezgan ilgs process, un ir viegli kļūdīties. Tātad, mēs to reti izmantojam, lai atrisinātu vienādojumus. Tas nenozīmē, ka tomēr nav svarīgi zināt procesu. Mēs to izmantosim vairākās sadaļās nākamajās nodaļās, un to bieži izmanto citās klasēs.

Kvadrātiskā formula

Šī ir pēdējā kvadrātvienādojumu risināšanas metode, un tā vienmēr darbosies. Ne tikai to, bet, ja jūs atceraties formulu, tas ir arī diezgan vienkāršs process.

Mēs varam atvasināt kvadrātisko formulu, aizpildot kvadrātu uz vispārējās kvadrātiskās formulas standarta formā. Darīsim to un mēs lēnām veiksim visu, lai pārliecinātos, vai visas darbības ir skaidras.

Pirmkārt, mums OBLIGĀTI ir kvadrātvienādojums standarta formā, kā jau tika atzīmēts. Tālāk mums jāsadala abas puses ar (a ), lai iegūtu koeficientu viens uz x 2 jēdziens.

Pēc tam pārvietojiet konstanti uz vienādojuma labo pusi.

Tagad mums jāaprēķina numurs, kas mums būs nepieciešams, lai aizpildītu kvadrātu. Atkal tā ir puse no koeficienta (x ), kvadrātā.

Tagad pievienojiet to abām pusēm, aizpildiet kvadrātu un iegūstiet kopsaucējus labajā pusē, lai kaut ko vienkāršotu.

Tagad mēs varam izmantot kvadrātsaknes rekvizītu.

Atrisiniet (x ), un mēs arī nedaudz vienkāršosim kvadrātsakni.

Pēdējā solī mēs pamanīsim, ka mums ir kopsaucēji abos noteikumos, tāpēc mēs tos pievienosim. To darot,

Tātad, ja mēs sākam darbu standarta formā,

un tas ir ļoti svarīgi, tad jebkura kvadrātvienādojuma risinājums ir

Izstrādāsim dažus piemērus.

Svarīga daļa šeit ir pārliecināties, ka, pirms mēs sākam izmantot kvadrātisko formulu, vispirms mums ir vienādojums standarta formā.

Tātad, pirmā lieta, kas mums šeit jādara, ir vienādojuma ievietošana standarta formā.

Šajā brīdī mēs varam noteikt vērtības, kas izmantojamas kvadrātiskajā formulā. Šim vienādojumam mums ir.

Ievērojiet “-” ar (c ). Ir svarīgi pārliecināties, ka kopā ar konstantēm mums ir arī kādas mīnus zīmes.

Šajā brīdī nekas cits nav jādara, izņemot to, ka jāpievieno formula.

Šim vienādojumam ir divi risinājumi. Ir arī daži vienkāršojumi, kurus mēs varam darīt. Mums tomēr jābūt uzmanīgiem. Viena no lielākajām kļūdām šajā brīdī ir “atcelt” divus 2 skaitītājā un saucējā. Atcerieties, ka, lai kaut ko atceltu no skaitītāja vai saucēja, tas jāreizina ar visu skaitītāju vai saucēju. Tā kā skaitītājā 2 esošais skaitlis netiek reizināts ar visu saucēju, to nevar atcelt.

Lai šeit veiktu vienkāršošanu, mums vispirms jāsamazina kvadrātsakne. Tajā brīdī mēs varam veikt atcelšanu.

Tā ir daudz jaukāka atbilde, ar kuru rīkoties, un tāpēc mēs gandrīz vienmēr veiksim šāda veida vienkāršošanu, kad to varēs izdarīt.

Šajā gadījumā neuztraucieties par to, ka mainīgais nav (x ). Viss darbojas vienādi neatkarīgi no mainīgajam izmantotā burta. Tātad vispirms pieņemsim vienādojumu standarta formā.

Tagad tas nav gluži tipiskā standarta formā. Tomēr mums šeit ir jāpieliek punkts, lai mēs nepieļautu ļoti izplatītu kļūdu, ko daudzi studenti pieļauj, vispirms apgūstot kvadrātisko formulu.

Daudzi studenti visu vienkārši iegūs vienā pusē, kā mēs to darījām šeit, un pēc tam iegūs (a ), (b ) un (c ) vērtības, pamatojoties uz pozīciju. Citiem vārdiem sakot, bieži studenti vienkārši norāda, ka (a ) ir pirmais norādītais skaitlis, (b ) ir otrais norādītais skaitlis un pēc tam (c ) ir pēdējais norādītais skaitlis. Tomēr tas nav pareizi. Kvadrātiskajai formulai (a ) ir kvadrātā izteiktā koeficienta koeficients, (b ) ir termina koeficients, kurā ir tikai mainīgais (nevis kvadrātā), un (c ) ir konstants termins. Tātad, lai nepieļautu šo kļūdu, kvadrātvienādojums vienmēr jāiekļauj oficiālajā standarta formā.

Tagad mēs varam noteikt (a ), (b ) un (c ) vērtību.

[a = 3 hspace <0.25in> b = - 5 hspace <0.25in> c = 11 ]

Atkal esiet uzmanīgs ar mīnus zīmēm. Viņiem jācenšas līdzi vērtībām.

Visbeidzot, pievienojiet kvadrātisko formulu, lai iegūtu risinājumu.

Tāpat kā ar visām citām metodēm, kuras esam meklējuši kvadrātvienādojumu risināšanai, neaizmirstiet negatīvo skaitļu kvadrātsaknes pārveidot par sarežģītiem skaitļiem. Turklāt, ja (b ) ir negatīvs, esiet ļoti piesardzīgs ar aizstāšanu. Tas jo īpaši attiecas uz kvadrāta daļu zem radikāļa. Atcerieties, ka, kvadrātiet negatīvu skaitli, tas kļūs pozitīvs. Viena no biežāk pieļautajām kļūdām šeit ir steiga un aizmirst nomest mīnusa zīmi pēc kvadrāta (b ), tāpēc esiet uzmanīgs.

Mēs neieviesīsim sīkāku informāciju par šo, ko esam darījuši pirmajiem diviem. Šeit ir šī vienādojuma standarta forma.

Šeit ir kvadrātiskās formulas vērtības, kā arī pati kvadrātiskā formula.

Tagad atcerieties, ka, saņemot šādus risinājumus, mums ir jāpieņem papildu solis un faktiski jānosaka vesels skaitlis un / vai daļējs risinājums. Šajā gadījumā viņi ir,

Tagad, tāpat kā ar kvadrāta aizpildīšanu, fakts, ka mēs saņēmām veselu skaitļu un / vai daļēju risinājumu, nozīmē, ka mēs būtu varējuši ņemt vērā arī šo kvadrātvienādojumu.

Tātad, vienādojums ar frakcijām tajā. Pirmais solis ir LCD noteikšana.

Izskatās, ka mums būs jāpārliecinās, vai atbildēs nav ne (y = 0 ), ne (y = 2 ), lai mēs nesadalītos ar nulli.

Reiziniet abas puses ar LCD un pēc tam ievietojiet rezultātu standarta formā.

[ sākas pa kreisi (y pa labi) pa kreisi ( pa labi) pa kreisi (< frac <3> <>> pa labi) & = pa kreisi (< frac <1> + 1> pa labi) pa kreisi (y pa labi) pa kreisi ( pa labi) 3y & = y - 2 + y pa kreisi ( pa labi) 3y & = y - 2 + - 2g 0 & = - 4g - 2 beigas]

Labi, izskatās, ka kvadrātiskajai formulai esam ieguvuši šādas vērtības.

[a = 1 hspace <0,25 in> b = - 4 hspace <0,25 in> c = - 2 ]

Pievienojot kvadrātisko formulu,

Ņemiet vērā, ka abi šie risinājumi būs risinājumi, jo neviena no tām nav vērtības, no kurām mums jāizvairās.

Kad mēs aplūkojām faktoringa vienādojumus, mēs redzējām līdzīgu vienādojumu kā šis iepriekšējā sadaļā, un to noteikti būtu vieglāk atrisināt, izmantojot faktoringu. Tomēr mēs tomēr izmantosim kvadrātisko formulu, lai izdarītu pāris punktus.

Pirmkārt, nedaudz pārkārtosim pasūtījumu, lai tas vairāk līdzinātos standarta veidlapai.

Šeit ir konstantes, kas izmantojamas kvadrātiskajā formulā.

[a = - 1 hspace <0,25 in> b = 16 hspace <0,25 in> c = 0 ]

Par šīm vērtībām jāatzīmē divas lietas. Pirmkārt, mēs pirmo reizi saņēmām negatīvu (a ). Nav liels darījums, bet mēs to redzam pirmo reizi. Otrkārt, un vēl svarīgāk, viena no vērtībām ir nulle. Tas ir labi. Tas notiks reizēm, un faktiski, ja kādai no vērtībām ir nulle, darbs būs daudz vienkāršāks.

Šeit ir šī vienādojuma kvadrātiskā formula.

To samazināšana līdz veseliem skaitļiem / daļām dod,

Tātad mēs iegūstam divus risinājumus (x = 0 ) un (x = 16 ). Tie ir tieši tie risinājumi, ko mēs būtu ieguvuši, faktorizējot vienādojumu.

Līdz šim gan šajā, gan iepriekšējā sadaļā mēs aplūkojām tikai vienādojumus ar veselu skaitļu koeficientiem. Tomēr tam nav jābūt. Mums varētu būt koeficients, kas ir frakcijas vai decimāldaļas. Izstrādāsim pāris piemērus, lai varētu teikt, ka esam redzējuši arī kaut ko tādu.

Ir divi veidi, kā strādāt ar šo. Mēs varam atstāt frakcijas vai reizināt ar LCD (šajā gadījumā 10) un atrisināt šo vienādojumu. Jebkurā gadījumā sniegs to pašu atbildi. Mēs šeit darīsim tikai daļēju gadījumu, jo tas ir šīs problēmas jēga. Jums vajadzētu izmēģināt citu veidu, lai pārliecinātos, ka saņemat to pašu risinājumu.

Šajā gadījumā šeit ir kvadrātiskās formulas vērtības, kā arī kvadrātiskā formula darbojas šajā vienādojumā.

Šādos gadījumos mēs parasti veicam papildu darbību, izslēdzot kvadrātsakni no saucēja, tāpēc darīsim arī to,

Ja jūs iztīrīsit frakcijas un palaidīsit kvadrātisko formulu, jums vajadzētu iegūt tieši tādu pašu rezultātu. Praksei jums to patiešām vajadzētu izmēģināt.

Šajā gadījumā neuztraucieties par decimāldaļām. Kvadrātiskā formula darbojas tieši tādā pašā veidā. Šeit ir šīs problēmas vērtības un kvadrātiskā formula.

Tagad šī būs viena atšķirība starp šīm problēmām un tām, kurām ir vesels skaitlis vai frakcionēti koeficienti. Kad mums ir decimāldaļas koeficienti, mēs parasti ejam uz priekšu un aprēķinām divus atsevišķos skaitļus. Tātad, darīsim to,

Ievērojiet, ka mēs patiešām izmantojām kvadrātveida saknes noapaļošanu.

Pēdējo divu sadaļu laikā mēs esam diezgan daudz atrisinājuši. Ir svarīgi, lai jūs saprastu lielāko daļu, ja ne visu, no tā, ko mēs darījām šajās sadaļās, jo dažās nākamajās sadaļās jums tiks lūgts veikt šāda veida darbu.


2.16. Vienādojumu atrisināšana, izmantojot vienādības dalījuma īpašību (2. daļa)

Šī algebras programmatūra nodrošina manai meitai iespēju mācīties patstāvīgi, piedāvājot faktus un noderīgus padomus, pirms sniedz viņai problēmas, kuras tās var atrisināt. Tas izdodas ļoti labi. . . Es domāju, ka programmatūra lieliski palīdz studentiem visa gada garumā, papildinot visus materiālus, ko viņi saņem parastajā klasē.
Lacey Megija, AZ

Skaties. Jūsu produkts ir tik labs, ka man gandrīz radās nepatikšanas. Pēc 15 gadu akadēmiskā laika man bija nepieciešama priekšrocība koledžā, un es atradu jūsu programmu. Es apmeklēju tiešsaistes kursus, tāpēc es tik ātri risināju problēmas, un sistēma apšaubīja laiku starp problēmām kā tīru ģēniju. Smieklīgi, bet tagad man jāstrādā lēnāk, lai pasargātu instruktoru radara ekrānu. Smieklīgi? Paldies puišiem, kas ir naudas vērti.
Mērija Brauna, ZD

Paldies par ātro atbildi. Tagad tas ir klientu apkalpošana!
Ann Wills, KY

Tas ir lieliski, mājas darbus pabeidzot daudz ātrāk!
Leikša Smita, OH


To solve the current equation, do any of the following:

Click or tap the Select an action box and then choose the action you want Math Assistant to take. The available choices in this drop-down menu depend on the selected equation.

Learn more: check the Supported Equations tab and Problem types supported by Math Assistant

Review the solution that OneNote displays underneath the action you selected. In the example below, the selected option Solve for x displays the solution.

To learn how OneNote solved the problem, you can click or tap Show steps, and then select the detail of what you want to view. The available choices in this drop-down menu depend on the selected equation.

To hear the solution steps read out loud, select Immersive Reader to launch it from OneNote.


2.16: Solve Equations Using Integers The Division Property of Equality (Part 2)

Square Roots and Completing the Square

· Solve quadratic equations by using the Square Root Property.

· Identify and complete perfect square trinomials.

· Solve quadratic equations by completing the square.

Quadratic equations can be solved in many ways. You may already be familiar with factoring to solve some quadratic equations. However, not all quadratic equations can be factored. In this topic, you will use square roots to learn another way to solve quadratic equations—and this method will work with visi quadratic equations.

Solving Quadratics Using Square Roots

One way to solve the quadratic equation x 2 = 9 is to subtract 9 from both sides to get one side equal to 0: x 2 – 9 = 0. The expression on the left can be factored:

(x + 3)(x – 3) = 0. Using the zero factor property, you know this means x + 3 = 0 or x – 3 = 0, so x = − 3 or 3.

Another property would let you solve that equation more easily.

Ja x 2 = a, pēc tam x = or .

The property above says that you can take the square root of both sides of an equation, but you have to think about two cases: the positive square root of a and the negative square root of a.

A shortcut way to write “ ” or “ ” is . The symbol ± is often read “positive or negative.” If it is used as an operation (addition or subtraction), it is read “plus or minus.”

Solve using the Square Root Property. x 2 = 9

Since one side is simply x 2 , you can take the square root of both sides to get x on one side. Don’t forget to use both positive and negative square roots!

x = ±3 (that is, x = 3 or −3)

Notice that there is a difference here in solving x 2 = 9 and finding . For x 2 = 9, you are looking for all numbers whose square is 9. For , you only want the principal (nonnegative) square root. The negative of the principal square root is both would be . Unless there is a symbol in front of the radical sign, only the nonnegative value is wanted!

In the example above, you can take the square root of both sides easily because there is only one term on each side. In some equations, you may need to do some work to get the equation in this form. You will find that this involves isolating x 2 .

Solve. 10x 2 + 5 = 85

If you try taking the square root of both sides of the original equation, you will have on the left, and you can’t simplify that. Subtract 5 from both sides to get the x 2 term by itself.

You could now take the square root of both sides, but you would have

as a coefficient, and you would need to divide by that coefficient. Dividing by 10 before you take the square root will be a little easier.

Now you have only x 2 on the left, so you can use the Square Root Property easily.

Be sure to simplify the radical if possible.

Sometimes more than just the x is being squared:

Solve. (x – 2) 2 – 50 = 0

Again, taking the square root of both sides at this stage will leave something you can’t work with on the left. Start by adding 50 to both sides.

Because (x – 2) 2 is a squared quantity, you can take the square root of both sides.

To isolate x on the left, you need to add 2 to both sides.

Be sure to simplify the radical if possible.

This method can be helpful when solving real-world problems.

The formula for compounding interest annually is

A = P(1 + r) t , kur A is the balance after t years, when P is the principal (initial amount invested) and r is the interest rate.

Find the interest rate r if $3,000 is invested and grows to $3,307.50 after 2 years.

A = P(1 + r) t

First identify what you know. The amount after 2 years is 3,307.50, so

A = 3,307.50. This also means t = 2. The principal P is the original amount invested, so that is 3,000.

Substitute the values for the variables you know. Only r is left, so try to isolate r.

Dividing both sides by 3000 leaves only (1 + r) 2 on the right. Because (1 + r) 2 is a squared quantity you can use the Square Root Property.

Using a calculator, you can find that is 1.05.

Subtract 1 from both sides to isolate r on the right.

You now have two equations, one using 1.05 and one using −1.05.

Simplifying the two equations gives two solutions to the equation.

The interest rate is 0.05, or 5%.

Notice that a negative interest rate doesn’t make sense for this context, so only the positive value could be the interest rate. The -2.05 is an extraneous solution and must be discarded.

Solve. (x – 3) 2 – 2 = 16

Correct. Before taking the square root, add 2 to both sides: (x – 3) 2 = 18. Applying the Square Root Property gives x – 3 = , so x = 3 ± . Simplifying the radical gives .

Incorrect. You forgot the negative square root when you took the square root of both sides. Before taking the square root, add 2 to both sides: (x – 3) 2 = 18. Applying the Square Root Property gives x – 3 = , so x = 3 ± . Simplifying the radical gives 3 ± .

Incorrect. There are two mistakes here: Knowing the square root of 16 may have made you forget that to solve this equation, the squared quantity needs to be isolated Before taking the square root, add 2 to both sides: (x – 3) 2 = 18. Applying the Square Root Property gives

x – 3 = . (Note that both the positive and negative square roots are included this is the other probable mistake.) So, x = 3 ± . Simplifying the radical gives 3 ± .

Incorrect. Knowing the square root of 16 may have made you forget that to solve this equation, the squared quantity needs to be isolated Before taking the square root, add 2 to both sides: (x – 3) 2 = 18. Applying the Square Root Property gives x – 3 = . So, x = 3 ± . Simplifying the radical gives 3 ± .

Perfect Square Trinomials

Of course, quadratic equations often will not come in the format of the examples above. Most of them will have x terms. However, you may be able to factor the expression into a squared binomial—and if not, you can still use squared binomials to help you.

First, let’s look at squared binomials. Some of the above examples have squared binomials: (1 + r) 2 and (x – 2) 2 are squared binomials. (They are binomials, two terms, that are squared.) If you expand these, you get a perfect square trinomial. For example, (1 + r) 2 = (1 + r)(1 + r) = 1 + 2r + r 2 , or r 2 + 2r + 1. The trinomial r 2 + 2r + 1 is a perfect square trinomial. Notice that the first and last terms are squares (r 2 and 1). The middle term is twice the product of the square roots of the first and last terms, the square roots are r and 1, and the middle term is 2(r)(1).

Perfect square t rinomials have the form r 2 + 2rs + s 2 and can be factored as (r + s) 2 , or they have the form r 2 – 2rs + s 2 and can be factored as (rs) 2 . Let’s factor a perfect square trinomial into a squared binomial.


How to Solve Two-step Equations?

Solving a two-step equation involves working backward concerning the order of operations (PEMDAS). In this case, multiplication and division are preceded by addition and subtraction.

Tips for Solving Two-step equations include:

  • Always apply addition or subtraction to remove a constant.
  • Apply multiplication or division to remove any coefficient from a variable.

Solve the two-step equation y:

Add 2 to both sides of the equation and divide by 3.

Solve the two-step equation for z.

Subtract 2z from both sides of the equation and divide by -5.

Solve the two-step equation for x

Add both 6 to both sides of the equation and multiply by 5.

Solve the two-step equation for k.

Multiply 2 on both sides of the equation then, subtract 5 from both sides as well.

Solve the two-step equation for y.

Multiply each term of the equation by the LCD.

Solve the equation for x in the following two-step equation.

Subtract 4.25 from both sides and divide by – 0.25

Solve for x in the two-step equation 5x − 6 = 9

5x = 15
Divide both sides by.

Solve for x in the equation -2x – 3 = 4x – 15.

Adding +3 to the left and right side of the equation will give

(-2x – 3) +3 = (4x – 15) +3 = -2x = 4x – 12

Subtract -4x from both sides of the equation.

-2x – 4x = (4x – 12) – 4x = -6x = -12

Divide both sides of the equation by -6.

Solve for x in the two-step equation:4x + 7 – 6 = 5 – 4x + 4

First, simplify both sides of the equation by combining like terms.

Add 4x and subtract 1 from both sides of the equation.

Divide both sides of the equation by 8.

Solve for x in the following two step equation:

In this case, we can still isolate the variable x to the right side of the equation.


Algebra: Simplifying Equations

Like terms are terms that have the same variable part i.e. they only differ in their coefficients. Combining like terms is very often required in the process of simplifying equations.

2x and &ndash5x are like terms
a and are like terms
6x and 5y are unlike terms

Like terms can be added or subtracted from one another.

a + a = 2 × a = 2a (We usually write 2 × a as 2a)
2a + 4a = 6a
a + a + a = 3a
2a + 4 (Unlike terms cannot be simplified)
4a + 3b (Unlike terms cannot be simplified)
6a &ndash 3a = 3a
8b &ndash 8b = 0
5a &ndash 3 (Unlike terms cannot be simplified)
6a &ndash 4b (Unlike terms cannot be simplified)

Step 1: 5yx is the same as 5xy using the commutative property

Step 2: Since the right side is already simple, we can work on the left side expression:

8xy & ndash 5yx = 8xy & ndash 5xy = 3xy
Putting back the left side and right side of the equation:
3xy = 1

Step 1: Group together the like terms:

Multiplication and Division of Terms

The coefficients and variables of terms can be multiplied or divided together in the process of simplifying equations.

Beware! a × a = a 2
a + a = 2a

Step 1: Perform the multiplication and division

Removal of Brackets - Distributive Property

Sometimes removing brackets (parenthesis) allows us to simplify the expression. Brackets can be removed by using the distributive property. This is often useful in simplifying equations.

Step 1: Remove the brackets

Step 2: Isolate variable a

Cross Multiplication

Cross multiplication allows you to remove denominators from fractions in an equation. Note that this technique applies only towards simplifying equations, not to simplifying expressions.

For example, if you have the equation:

then you can multiply the numerator of one fraction with the denominator of the other fraction (across the = sign) as shown:

Step 2 : Isolate variable a

Try the free Mathway calculator and problem solver below to practice various math topics. Try the given examples, or type in your own problem and check your answer with the step-by-step explanations.

We welcome your feedback, comments and questions about this site or page. Please submit your feedback or enquiries via our Feedback page.


Division Property Of Equality - Definition with Examples

At times we refer to algebra as generalized arithmetic. Algebraic thinking plants seeds for many higher-order concepts as well helps in understanding the other domains of science.

The equation is a mathematical sentence with an equal sign, and it is one of the essential elements Algebra.

Piemērs:

The operations of addition, subtraction, multiplication and division do not change the truth value of any equation.

The division property of equality states that when we divide both sides of an equation by the same non-zero number, the two sides remain equal.

That is, if a, b, and c are real numbers such that a = b and c &ne0, then a c = a c .

Piemērs: Consider the equation 12 = 12.

That is, the equation still remains true.

Note, that the divisor cannot be zero as the division by zero is not defined.

This property is used in solving equations.

Piemērs: 6x = 24

To check we can substitute the value of x in the original equation.

Example: Rhea bought 7 notebooks for $21. What is the cost of each notebook?

Let a be the cost of each notebook. Then, 7 times a is the total cost, $21.

By the division property of equality, if you divide both sides by the same non-zero number, the equality still holds true. So, divide both sides by 7.


Skatīties video: Iracionāli vienādojumi 2 (Novembris 2021).