Raksti

4.5. Trīs lineāro vienādojumu sistēmas trīs mainīgajos - matemātika


4.5. Trīs lineāro vienādojumu sistēmas trīs mainīgajos - matemātika

5.4 Trīs mainīgo risināšana

Dodot trīs mainīgos, jums tiek dots plaknes vai līdzenas virsmas vienādojums, kas līdzīgs papīra loksnei. Dažus iespējamos šo vienādojumu krustojumu risinājumus var vizualizēt zemāk.

Risinot vienādojumu sistēmas ar trim mainīgajiem, izmantojiet stratēģijas, kas tiek izmantotas divu vienādojumu sistēmu risināšanai. Viena ieteicamā metode ir viena mainīgā izslēgšana sākumā, tādējādi trīs vienādojumu kopu ar trim nezināmiem pārvēršot divos vienādojumos ar diviem nezināmiem. Standarta metode darbam ar trim vai vairāk vienādojumiem ir atņemšanas un / vai saskaitīšanas izmantošana.

Atrodiet šādas vienādojumu sistēmas krustojumu vai risinājumu: un

Kā mēs to darījām ar divu vienādojumu kopu, vispirms sakārtojiet vienādojumus, lai izvēlētos mainīgo, kuru mēs vēlamies izslēgt:

Šiem vienādojumiem visvieglāk ir novērst mainīgs. Lai to izdarītu, pievienojiet pirmo un otro vienādojumu kopā un pēc tam pievienojiet otro un trešo vienādojumu:

Tagad jūs esat palicis ar un Tagad mēs tos atrisinām, kā darīts iepriekš, ar divu vienādojumu kopu:

Reiziniet augšējo vai apakšējo vienādojumu ar −1, lai novērstu mainīgs.

Tālāk atrodiet izmantojot vienu no vai un risinājums izskatās visvieglāk strādāt.

Visbeidzot, atrodiet izmantojot vienu no trim sākotnējiem vienādojumiem:

Šīs plaknes krustojas punktā un vai koordinātu

Dažreiz jums tiek dota trīs vienādojumu kopa ar trūkstošajiem mainīgajiem. Šīs vienādojumu sistēmas prasa nedaudz vairāk domāt nekā iepriekšējās problēmas.

Atrodiet šādas vienādojumu sistēmas krustojumu vai risinājumu: un

Vispirms sakārtojiet vienādojumus, lai izvēlētos mainīgo, kuru vēlamies izslēgt:

Šajā piemērā pievienojot pirmo un pēdējo vienādojumu, mainīgais tiek izslēgts nemainot nevienu vienādojumu:

Tagad ir palikuši divi vienādojumi:

Vispirms reiziniet apakšējo vienādojumu ar −3, pēc tam pievienojiet to augšējam vienādojumam, lai izslēgtu mainīgo :

Tagad izvēlieties vienu no diviem atlikušajiem vienādojumiem, vai lai atrastu mainīgo Izvēle lapas:

Visbeidzot, lai atrastu trešo mainīgo, izmantojiet vienu no trim sākotnējiem vienādojumiem: vai Izvēle dod:

Šīs plaknes krustojas punktā un vai koordinātas


Atrisiniet trīs vienādojumu sistēmas trīs mainīgajos

Lai atrisinātu vienādojumu sistēmas trīs mainīgajos, kas pazīstami kā trīs pa trim sistēmām, galvenais mērķis ir izslēgt vienu mainīgo vienlaikus, lai panāktu atpakaļaizvietošanu. Trīs vienādojumu sistēmas risinājumu trīs mainīgajos [latekss] pa kreisi (x, y, z pa labi), tekstu <> [/ lateksu] sauc par pasūtīja trīskāršu.

Lai atrastu risinājumu, mēs varam veikt šādas darbības:

  1. Apmainiet jebkuru divu vienādojumu secību.
  2. Reiziniet abas vienādojuma puses ar nulles konstanti.
  3. Pievienojiet viena vienādojuma nulles daudzkārtni citam vienādojumam.

Grafiski sakārtotais trīskāršais definē punktu, kas ir trīs plakņu krustojums telpā. Jūs varat vizualizēt šādu krustojumu, iztēlojoties jebkuru stūri taisnstūrveida telpā. Stūri nosaka trīs plaknes: divas blakus esošās sienas un grīda (vai griesti). Jebkurš punkts, kur divas sienas un grīda saskaras, apzīmē trīs plakņu krustojumu.

Vispārīga piezīme: iespējamo risinājumu skaits

Lidmašīnas ilustrē iespējamos risinājumu scenārijus trīs pa trim sistēmām.

  • Sistēmas, kurām ir viens risinājums, ir tās, kuras pēc izslēgšanas rada a risinājumu komplekts kas sastāv no sakārtota trīskāršā [lateksa] kreisā < kreisā (x, y, z labajā pusē) labajā > [/ lateksa]. Grafiski sakārtotais trīskāršais definē punktu, kas ir trīs plakņu krustojums telpā.
  • Sistēmas, kurām ir bezgalīgs risinājumu skaits, ir tās, kuras pēc izslēgšanas rada izteiksmi, kas vienmēr ir patiesa, piemēram, [latekss] 0 = 0 [/ latekss]. Grafiski bezgalīgs skaits risinājumu attēlo līniju vai sakritības plakni, kas kalpo kā trīs plakņu krustošanās vieta telpā.
  • Sistēmas, kurām nav risinājumu, ir tās, kuras pēc izslēgšanas rada apgalvojumu, kas ir pretrunā, piemēram, [latekss] 3 = 0 [/ latekss]. Grafiski sistēmu bez risinājuma attēlo trīs plaknes, kurām nav kopīga punkta.

(a) Trīs plaknes krustojas vienā punktā, pārstāvot trīs pa trim sistēmu ar vienu risinājumu. (b) Trīs plaknes krustojas vienā līnijā, pārstāvot trīs pa trim sistēmu ar bezgalīgiem risinājumiem.

Piemērs: Nosakot, vai pasūtīts trīskāršais ir sistēmas risinājums

Nosakiet, vai sakārtotais trīskāršais [latekss] pa kreisi (3, -2,1 pa labi) [/ latekss] ir sistēmas risinājums.

[latekss] sākasx + y + z = 2 6x - 4y + 5z = 31 5x + 2y + 2z = 13 beigas[/ latekss]

Mēs pārbaudīsim katru vienādojumu, secīgā trīskāršā vērtībās aizstājot [lateksu] x, y [/ lateksu] un [lateksu] z [/ lateksu].

[latekss] sākas x + y + z = 2 kreisais (3 labais) + kreisais (-2 labais) + kreisais (1 labais) = 2 teksts beigas hspace <5mm> [/ latex] [latex] hspace <5mm> sākas 6x - 4y + 5z = 31 6 pa kreisi (3 pa labi) -4 pa kreisi (-2 pa labi) +5 pa kreisi (1 pa labi) = 31 18 + 8 + 5 = 31 tekstu beigas hspace <5mm> [/ latex] [latex] hspace <5mm> sākas5x + 2y + 2z = 13 5 pa kreisi (3 pa labi) +2 pa kreisi (-2 pa labi) +2 pa kreisi (1 pa labi) = 13 15 - 4 + 2 = 13 tekstu beigas[/ latekss]

Sakārtotais trīskāršais [latekss] pa kreisi (3, -2,1 pa labi) [/ latekss] patiešām ir sistēmas risinājums.

Kā: ņemot vērā trīs vienādojumu lineāro sistēmu, atrisiniet trīs nezināmos.

  1. Izvēlieties jebkuru vienādojumu pāri un atrisiniet vienu mainīgo.
  2. Izvēlieties citu vienādojumu pāri un atrisiniet to pašu mainīgo.
  3. Jūs esat izveidojis divu vienādojumu sistēmu divos nezināmos. Atrisiniet iegūto sistēmu pa diviem.
  4. Aizstāt zināmos mainīgos lielumus vienā no sākotnējiem vienādojumiem un atrisināt trūkstošo mainīgo.

Piemērs: Trīs vienādojumu sistēmas risināšana trīs mainīgajos, izslēdzot

Atrodiet risinājumu šādai sistēmai:

[latekss] sākasx - 2y + 3z = 9 & & teksts <(1)> -x + 3y-z = -6 & & teksts <(2)> 2x - 5y + 5z = 17 & & teksts <(3) > beigas[/ latekss]

Vienmēr būs vairākas izvēles iespējas, kur sākt, taču visredzamākais pirmais solis šeit ir [lateksa] x [/ lateksa] novēršana, pievienojot vienādojumus (1) un (2).

Otrais solis ir (1) vienādojuma reizināšana ar [lateksu] -2 [/ lateksu] un rezultāta pievienošana vienādojumam (3). Šie divi soļi novērsīs mainīgo [latekss] x [/ latekss].

(4) un (5) vienādojumā mēs esam izveidojuši jaunu sistēmu pa diviem. Mēs varam atrisināt [lateksam] z [/ lateksam], pievienojot abus vienādojumus.

Izvēloties vienu vienādojumu no katras jaunās sistēmas, mēs iegūstam augšējo trīsstūra formu:

[latekss] sākasx - 2y + 3z & = 9 && pa kreisi (1 pa labi) y + 2z & = 3 && pa kreisi (4 pa labi) z & = 2 && pa kreisi (6 pa labi) beigas[/ latekss]

Pēc tam mēs [lateksu] z = 2 [/ lateksu] aizstājam atpakaļ vienādojumā (4) un atrisinām [lateksam] y [/ lateksam].

[latekss] sākasy + 2 pa kreisi (2 pa labi) & = 3 y + 4 & = 3 y & = - 1 beigas[/ latekss]

Visbeidzot, mēs varam aizstāt [lateksu] z = 2 [/ lateksu] un [lateksu] y = -1 [/ lateksu] vienādojumā (1). Tādējādi tiks iegūts šķīdums [lateksam] x [/ lateksam].

[latekss] sākas x - 2 pa kreisi (-1 pa labi) +3 pa kreisi (2 pa labi) & = 9 x + 2 + 6 & = 9 x & = 1 beigas[/ latekss]

Risinājums ir sakārtots trīskāršais [latekss] pa kreisi (1, -1,2 pa labi) [/ latekss].

Pamēģini

Atrisiniet vienādojumu sistēmu trīs mainīgos.

[latekss] sākas2x + y - 2z = -1 hfill 3x - 3y-z = 5 hfill x - 2y + 3z = 6 hfill end[/ latekss]

Nākamajā video redzēsit trīs iespējamo rezultātu vienādojumu sistēmas trīs mainīgajiem risinājumiem iznākumu. Ir arī izstrādāts piemērs, kā atrisināt sistēmu, izmantojot elimināciju.

Piemērs: reālās problēmas risināšana, izmantojot trīs vienādojumu sistēmu trīs mainīgajos

Sadaļas sākumā radītajā problēmā Džons ieguldīja mantojumu 12 000 ASV dolāru apmērā trīs dažādos fondos: daļu naudas tirgus fondā, kas gadā maksā 3% procentus, daļu pašvaldību obligācijās, kas maksā 4% gadā, bet pārējo kopfondos, kas maksā 7 % gadā. Džons ieguldīja kopieguldījumu fondos par 4000 dolāriem vairāk nekā ieguldīja pašvaldību obligācijās. Kopējie nopelnītie procenti vienā gadā bija 670 USD. Cik daudz viņš ieguldīja katra veida fondos?

Lai atrisinātu šo problēmu, mēs izmantojam visu sniegto informāciju un izveidojam trīs vienādojumus. Pirmkārt, mēs piešķiram mainīgo katrai no trim ieguldījumu summām:

Pirmais vienādojums norāda, ka trīs pamatsummu summa ir 12 000 USD.

Mēs veidojam otro vienādojumu pēc informācijas, ka Džons ieguldīja kopieguldījumu fondos par 4 000 dolāriem vairāk nekā ieguldīja pašvaldību obligācijās.

Trešais vienādojums parāda, ka no katra fonda nopelnīto procentu kopējā summa ir 670 USD.

Pēc tam mēs trīs vienādojumus uzrakstām kā sistēmu.

[latekss] sākasx + y + z = 12 <,> 000 -y + z = 4 <,> 000 0,03x + 0,04y + 0,07z = 670 beigas[/ latekss]

Lai vienkāršotu aprēķinus, mēs varam reizināt trešo vienādojumu ar 100. Tādējādi

[latekss] sākasx + y + z = 12 <,> 000 hspace <5mm> left (1 right) -y + z = 4 <,> 000 hspace <5mm> left (2 right) 3x + 4y + 7z = 67 <,> 000 hspace <5mm> left (3 right) end[/ latekss]

1. solis. Apmainiet vienādojumu (2) un vienādojumu (3) tā, lai divi vienādojumi ar trim mainīgajiem sakristu.

[latekss] sākasx + y + z = 12 <,> 000 hfill 3x + 4y + 7z = 67 <,> 000 -y + z = 4 <,> 000 beigas[/ latekss]

2. solis. Reiziniet vienādojumu (1) ar [lateksu] -3 [/ lateksu] un pievienojiet vienādojumam (2). Uzrakstiet rezultātu kā 2. rindu.

[latekss] sākasx + y + z = 12 <,> 000 y + 4z = 31 <,> 000 -y + z = 4 <,> 000 beigas[/ latekss]

3. solis. Pievienojiet vienādojumu (2) vienādojumam (3) un uzrakstiet rezultātu kā vienādojumu (3).

[latekss] sākasx + y + z = 12 <,> 000 y + 4z = 31 <,> 000 5z = 35 <,> 000 beigas[/ latekss]

4. solis. Atrisiniet [lateksu] z [/ lateksu] vienādojumā (3). Aizstājiet šo vērtību vienādojumā (2) un atrisiniet [lateksam] y [/ lateksam]. Pēc tam [lateksa] z [/ lateksa] un [lateksa] y [/ lateksa] vērtības atpakaļ aizvietojiet vienādojumā (1) un atrisiniet vērtību [latekss] x [/ latekss].

[latekss] sākas& 5z = 35 <,> 000 & z = 7 <,> 000 & y + 4 pa kreisi (7 <,> 000 pa labi) = 31 <,> 000 & y = 3 <,> 000 & x + 3 <,> 000 + 7 <,> 000 = 12 <,> 000 & x = 2 <,> 000 beigas[/ latekss]

Džons ieguldīja 2000 USD naudas tirgus fondā, 3000 USD pašvaldību obligācijās un 7 000 USD kopfondos.

Pamēģini


4.5. Trīs lineāro vienādojumu sistēmas trīs mainīgajos - matemātika

Trīs mainīgo sistēmu risināšana

· Atrisināt vienādojumu sistēmu, ja mainīgā izslēgšanai nav nepieciešama reizināšana.

· Atrisināt vienādojumu sistēmu, ja reizinātājs ir nepieciešams, lai izslēgtu mainīgo.

· Atrisiniet lietojumprogrammu problēmas, kurām nepieciešama šīs metodes izmantošana.

· Atpazīt sistēmas, kurām nav risinājumu vai bezgalīgi daudz risinājumu.

Vienādojumi var būt vairāk nekā viens vai divi mainīgie. Jūs aplūkosiet vienādojumus ar trim mainīgajiem. Vienādojumi ar vienu mainīgu grafiku uz līnijas. Vienādojumi ar diviem mainīgajiem grafiku plaknē. Vienādojumi ar trim mainīgajiem lielumiem tiek attēloti trīsdimensiju telpā.

Vienādojumiem ar vienu mainīgo nepieciešams tikai viens vienādojums, lai būtu unikāls (viens) risinājums. Vienādojumiem ar diviem mainīgajiem ir nepieciešami divi vienādojumi, lai būtu unikāls risinājums (viens sakārtots pāris). Tāpēc nevajadzētu būt pārsteigumam, ka vienādojumiem ar trim mainīgajiem ir nepieciešama trīs vienādojumu sistēma, lai būtu unikāls risinājums (viens sakārtots triplets).

Trīs mainīgo sistēmas risināšana

Tāpat kā, risinot divu vienādojumu sistēmu, trīs mainīgo sistēmas risinājumam ir trīs iespējamie rezultāti. Apskatīsim to vizuāli, lai gan jūs nevilcināsiet šos vienādojumus.

1. gadījums: Ir viens risinājums. Lai trim vienādojumiem ar trim mainīgajiem būtu viens risinājums, plaknēm ir jāsakrīt vienā punktā.

2. gadījums: Risinājuma nav. Trīs lidmašīnām nav kopīgu punktu. (Ņemiet vērā, ka diviem no vienādojumiem var būt kopīgi punkti, bet ne visi trīs.) Tālāk ir sniegti piemēri dažiem veidiem, kā tas var notikt.

3. gadījums: Risinājumu ir bezgalīgi daudz. Tas notiek, kad trīs plaknes krustojas vienā līnijā. Un tas var notikt arī tad, kad trīs vienādojumi uzrāda to pašu plakni.

Sāksim, aplūkojot 1. gadījumu, kur sistēmai ir unikāls (viens) risinājums. Tas ir gadījums, kas jūs parasti interesē visvairāk.

Šeit ir lineāro vienādojumu sistēma. Ir trīs mainīgie un trīs vienādojumi.

Jūs zināt, kā atrisināt sistēmu ar diviem vienādojumiem un diviem mainīgajiem. Pirmajā posmā izmantojiet eliminācijas metodi, lai noņemtu vienu no mainīgajiem. Šajā gadījumā, z var novērst, pievienojot pirmo un otro vienādojumu.

Lai atrisinātu sistēmu, jums tomēr ir nepieciešams divi vienādojumi, izmantojot divus mainīgos. Pievienojot pirmo un trešo vienādojumu sākotnējā sistēmā, tiks iegūts arī vienādojums ar x un y bet ne z.

Tagad jums ir divu vienādojumu un divu mainīgo sistēma.

Atkārtoti atrisiniet sistēmu, izmantojot elimināciju. Šajā gadījumā jūs varat novērst y pievienojot pretējo otrajam vienādojumam:

Atrisiniet iegūto vienādojumu atlikušajam mainīgajam.

Tagad meklēšanai izmantojat vienu no divu mainīgo sistēmas vienādojumiem y.

Visbeidzot, izmantojiet jebkurš pirmās vienādojums kopā ar jau atrastajām vērtībām, lai atrisinātu pēdējo mainīgo.

2x – 2y + z = 1

Noteikti pārbaudiet savu atbildi. Veicot šos daudzos soļus, ir daudz vietu, kur izdarīt vienkāršu kļūdu!

3x + 4yz = 8

5x – 2y + z = 4

2x – 2y + z = 1

Kopš x = 1, y = 2, un z = 3 ir visu trīs vienādojumu risinājums, tas ir vienādojumu sistēmas risinājums. Tāpat kā divas vērtības var uzrakstīt kā sakārtotu pāri, trīs vērtības var uzrakstīt kā sakārtotu tripletu: (x, y, z) = (1, 2, 3).

Trīs mainīgo sistēmas risināšana

1. Izvēlieties divus vienādojumus un izmantojiet tos, lai izslēgtu vienu mainīgo.

2. Izvēlieties citu vienādojumu pāri un izmantojiet tos, lai izslēgtu tas pats mainīgais.

3. Izmantojiet iegūto vienādojumu pāri no 1. un 2. darbības, lai izslēgtu vienu no diviem atlikušajiem mainīgajiem.

4. Atrisiniet atlikušā mainīgā galīgo vienādojumu.

5. Atrodiet otrā mainīgā vērtību. Dariet to, izmantojot vienu no iegūtiem vienādojumiem no 1. un 2. darbības un atrastā mainīgā vērtību no 4. darbības.

6. Atrodiet trešā mainīgā vērtību. Dariet to, izmantojot vienu no sākotnējiem vienādojumiem un atrasto mainīgo lielumus no 4. un 5. darbības.

7. Pārbaudiet savu atbildi visos trīs vienādojumos !

Atrisiniet f , g , un h .

f + g + h = 13

f h = −2

2f + g = 3

1. solis: izvēlieties divus vienādojumus un izslēdziet mainīgo. Lai izslēgtu, var pievienot pirmos divus vienādojumus h.

2. solis: trešajam vienādojumam nav h mainīgais, tāpēc nav ko likvidēt! Jums ir divu vienādojumu un divu mainīgo sistēma.

3. solis: izslēdziet otro mainīgo. Šos vienādojumus var pievienot, lai izslēgtu f.

4. solis: Atrisiniet iegūto vienādojumu atlikušajam mainīgajam.

5. solis: izmantojiet šo vērtību un vienu no 3. solī esošajiem sistēmas vienādojumiem, kas ietver tikai divus mainīgos, no kuriem viens bija g ka jūs jau zināt. Atrisiniet otro mainīgo.

f + g + h = 13

6. solis: trešajam mainīgajam izmantojiet divas atrastās vērtības un vienu no sākotnējiem vienādojumiem, kuriem bija visi trīs mainīgie.

7. solis: Pārbaudiet savu atbildi.

Risinājums ir (f, g, h) = (2, 7, 4).

Tāpat kā divu vienādojumu sistēmās ar diviem mainīgajiem, pirms pievienošanas, iespējams, būs jāpievieno pretstats vienam no vienādojumiem vai pat jāreizina viens no vienādojumiem, lai izslēgtu vienu no mainīgajiem.

Atrisiniet x, y, un z.

3x - 2y + z = 12

x + 3y + z = −4

2x + 2y – 4z = 6

1. solis: Vispirms izvēlieties divus vienādojumus un izslēdziet mainīgo. Reiziniet otro vienādojumu ar - 1 un pēc tam pievienojiet to pirmajam vienādojumam. Tas novērsīs z.

2. solis: Pēc tam apvienojiet trešo vienādojumu un vienu no pirmajiem diviem, lai novērstu z atkal. Tomēr trešajam vienādojumam koeficients ir - 4 z kamēr koeficienti pirmajos divos vienādojumos ir abi 1. Tātad, reiziniet otro vienādojumu ar 4 un saskaitiet.

3. solis: izslēdziet otro mainīgo, izmantojot 1. un 2. darbības vienādojumus. Atkal tos nevar pievienot tādus, kādi tie ir. Apskatiet koeficientus x. Ja reizināt 1. darbības vienādojumu ar - 3, x termiņiem būs vienāds koeficients.

Reiziniet un pēc tam pievienojiet. Esiet uzmanīgs no zīmēm!

4. solis: Atrisiniet iegūto vienādojumu atlikušajam mainīgajam.

5. solis: 3. solī izmantojiet šo vērtību un vienu no sistēmas vienādojumiem, kas ietver tikai divus mainīgos, no kuriem viens bija y. Atrisiniet otro mainīgo.

x + 3y + z = − 4

6. solis: izmantojiet divas atrastās vērtības un vienu no sākotnējiem vienādojumiem, lai atrisinātu trešo mainīgo.

3x - 2y + z = 12

x + 3y + z = − 4

2x + 2y – 4z = 6

7. solis: Pārbaudiet savu atbildi.

Risinājums ir (x, y, z) = (3, −2, −1).

Šīs sistēmas var būt noderīgas reālu problēmu risināšanā.

Andrea mākslas izstādēs pārdod fotogrāfijas. Viņa cenas vērtē pēc izmēra: mazas fotogrāfijas maksā 10 ASV dolārus, vidējas - 15, bet lielas - 40 ASV dolārus. Viņa parasti pārdod tik daudz mazu fotogrāfiju, cik vidējas un lielas fotogrāfijas kopā. Viņa pārdod arī divreiz vairāk vidēju fotogrāfiju nekā lielas. Kabinets mākslas izstādē maksā 300 USD.

Ja viņas pārdošana notiek kā parasti, cik daudz katra izmēra fotoattēlu viņai jāpārdod, lai samaksātu par kabīni?

S = pārdoto mazo fotogrāfiju skaits

M = pārdoto vidējo fotoattēlu skaits

L = pārdoto lielo fotogrāfiju skaits

Lai iestatītu sistēmu, vispirms izvēlieties mainīgos. Šajā gadījumā nezināmas vērtības ir mazu, vidēju un lielu fotoattēlu skaits.

10S = nauda, ​​kas saņemta par mazām fotogrāfijām

15M = nauda, ​​kas saņemta par vidējām fotogrāfijām

40L = nauda, ​​kas saņemta par lielām fotogrāfijām

10S + 15M + 40L = 300

Viņas kopējam pārdošanas apjomam jābūt 300 USD, lai samaksātu par kabīni.

Mazo fotoattēlu skaits ir tāds pats kā vidējo un lielo fotoattēlu kopskaits.

Viņa pārdod divreiz vairāk vidēju fotoattēlu nekā lielas fotogrāfijas.

10S + 15M + 40L = 300

SML = 0

Lai viss būtu vieglāk, pārrakstiet vienādojumus tādā pašā formātā, kur visi mainīgie ir vienādības zīmes kreisajā pusē un tikai nemainīgs skaitlis labajā pusē.

1. solis: Vispirms izvēlieties divus vienādojumus un izslēdziet mainīgo. Tā kā vienam vienādojumam nav S mainīgais, var būt noderīgi izmantot pārējos divus vienādojumus un novērst S mainīgais no tiem.

Reiziniet otro vienādojumu ar - 10 un saskaitiet.

M 2L = 0

2. solis: Otrais vienādojums mūsu divu mainīgo sistēmai būs atlikušais vienādojums (kuram nav S mainīgais).

3. solis: izslēdziet otro mainīgo, izmantojot 1. un 2. darbības vienādojumus.

Lai gan jūs varētu reizināt otro vienādojumu ar 25, lai to novērstu L, skaitļi paliks jaukāki, ja pirmo vienādojumu dalīsit ar 25. Neaizmirstiet būt uzmanīgiem no zīmēm!

4. solis: Atrisiniet iegūto vienādojumu atlikušajam mainīgajam.

5. solis: izmantojiet šo vērtību un vienu no vienādojumiem, kas satur tikai divus mainīgos, no kuriem viens ir L ka jūs jau zināt, lai atrisinātu otro mainīgo.

Vislabāk ir izmantot vienu no sākotnējiem vienādojumiem, ja reizināšanas reizē ir pieļauta kļūda.

6. solis: izmantojiet divas atrastās vērtības un vienu no sākotnējiem vienādojumiem, lai atrisinātu trešo mainīgo.

Jūs pat varat izmantot vienu no vienādojumiem, pirms to pārrakstījāt sistēmai.

Viņa parasti pārdod tik daudz mazu fotogrāfiju, cik vidējas un lielas fotogrāfijas kopā.

Vidējas un lielas fotogrāfijas kopā =

6 + 3 = 9, kas ir mazo fotoattēlu skaits.

Viņa pārdod arī divreiz vairāk vidēju fotogrāfiju nekā lielas.

Vidēja izmēra fotoattēli ir 6, kas ir divreiz lielāks par lielo fotoattēlu skaitu (3).

Kabinets mākslas izstādē maksā 300 USD .

Andrea saņem 10 USD (9) vai 90 USD par 9 mazām fotogrāfijām, 15 USD (6) vai 90 USD par 6 vidēja līmeņa fotogrāfijām un 40 USD (3) vai 120 USD par lielajām fotogrāfijām.

7. solis: Pārbaudiet savu atbildi. Ar lietojumprogrammu problēmām dažreiz ir vieglāk (un labāk) izmantot problēmas oriģinālo formulējumu, nevis rakstītos vienādojumus.

Ja Andrea pārdos 9 mazus fotoattēlus, 6 vidējus fotoattēlus un 3 lielus fotoattēlus, viņa saņems precīzi nepieciešamo naudas summu, lai samaksātu par kabīni.

Šīs sistēmas risinājumā kāda ir vērtība x?

7x − 4y + 3z = 28

3x + 3yz = 19

3x + 2y + z = 16

Pareizi. Novērst z saskaitot kopā pēdējos divus vienādojumus, lai iegūtu 6x + 5y = 35. Tagad reiziniet otro vienādojumu ar 3 un pievienojiet pirmajam vienādojumam, lai iegūtu 16x + 5y = 85. Tādējādi tiek izveidota mazāka divu vienādojumu un divu mainīgo sistēma: 6x + 5y = 35 un 16x + 5y = 85. Reizināt 6x + 5y = 35 ar - 1, lai izveidotu - 6x – 5y = - 35 un tagad pievienojiet šo skaitli 16x + 5y = 85. Tas novērš y, dodot 10x = 50, tātad x = 5.

Nepareizi. Novērst z saskaitot kopā pēdējos divus vienādojumus, iegūstot 6x + 5y = 35. Tagad reiziniet otro vienādojumu ar 3 un pievienojiet pirmajam vienādojumam, lai iegūtu 16x + 5y = 85. Tādējādi tiek izveidota mazāka divu vienādojumu un divu mainīgo sistēma: 6x + 5y = 35 un 16x + 5y = 85. Reizināt 6x + 5y = 35 ar - 1, lai izveidotu - 6x - 5y = - 35 un tagad pievienojiet šo skaitli 16x + 5y = 85. Tas novērš y, dodot 10x = 50, tātad x = 5.

Nepareizi. Novērst z saskaitot kopā pēdējos divus vienādojumus, iegūstot 6x + 5y = 35. Tagad reiziniet otro vienādojumu ar 3 un pievienojiet pirmajam vienādojumam, lai iegūtu 16x + 5y = 85. Tādējādi tiek izveidota mazāka divu vienādojumu un divu mainīgo sistēma: 6x + 5y = 35 un 16x + 5y = 85. Reizināt 6x + 5y = 35 ar - 1, lai izveidotu - 6x – 5y = - 35 un tagad pievienojiet šo skaitli 16x + 5y = 85. Tas novērš y, dodot 10x = 50, tātad x = 5.

Nepareizi. Novērst z saskaitot kopā pēdējos divus vienādojumus, iegūstot 6x + 5y = 35. Tagad reiziniet otro vienādojumu ar 3 un pievienojiet pirmajam vienādojumam, lai iegūtu 16x + 5y = 85. Tādējādi tiek izveidota mazāka divu vienādojumu un divu mainīgo sistēma: 6x + 5y = 35 un 16x + 5y = 85. Reizināt 6x + 5y = 35 ar - 1, lai izveidotu - 6x – 5y = - 35 un tagad pievienojiet šo skaitli 16x + 5y = 85. Tas novērš y, dodot 10x = 50, tātad x = 5.

Sistēmas bez risinājumiem vai bezgalīgs risinājumu skaits

Tagad aplūkosim 2. gadījumu (bez risinājuma) un 3. gadījumu (bezgalīgi daudz risinājumu).

Tā kā šie grafiki netiks attēloti grafikā, jo uz divdimensiju papīra lapas ir grūti noformēt trīs dimensijās, jūs apskatīsit, kas notiek, mēģinot atrisināt sistēmas bez risinājumiem vai bezgalīgi daudz risinājumu.

Apskatīsim sistēmu, kurai nav risinājumu.

4x – 4y 8z = 2

x + y + 2z = − 3

Pieņemsim, ka jūs gribējāt atrisināt šo sistēmu, un jūs sākāt ar pēdējiem diviem vienādojumiem. Reiziniet pēdējo ar 4 un pievienojiet, lai izslēgtu x.


4.5. Vienādojumu sistēmu atrisināšana, izmantojot matricas

Vienādojumu sistēmas risināšana var būt garlaicīga darbība, kurā vienkārša kļūda var radīt postījumus risinājuma atrašanā. Pieejama alternatīva metode, kas izmanto eliminācijas pamatprocedūras, bet ar vienkāršāku apzīmējumu. Metode ietver matricas izmantošanu. Matrica ir taisnstūrveida skaitļu masīvs, kas sakārtots rindās un kolonnās.

Matrica

A matrica ir taisnstūrveida skaitļu masīvs, kas sakārtots rindās un kolonnās.

Katru matricas skaitli sauc par elementu vai ierakstu matricā.

Mēs izmantosim matricu, lai attēlotu lineāro vienādojumu sistēmu. Mēs rakstām katru vienādojumu standarta formā, un mainīgo koeficienti un katra vienādojuma konstante kļūst par matricas rindu. Katra kolonna būtu koeficienti vienam no sistēmas mainīgajiem vai konstantēm. Vertikālā līnija aizstāj vienādības zīmes. Iegūto matricu mēs saucam par vienādojumu sistēmas paplašināto matricu.

Ievērojiet, ka pirmo kolonnu veido visi koeficienti x, otrā kolonna ir visi koeficienti y, un trešajā kolonnā ir visas konstantes.

4.37. Piemērs

Uzrakstiet katru lineāro vienādojumu sistēmu kā papildinātu matricu:

Risinājums

Ⓐ Otrais vienādojums nav standarta formā. Otro vienādojumu mēs pārrakstām standarta formā.

Mēs aizstājam otro vienādojumu ar tā standarta formu. Papildinātā matricā pirmais vienādojums dod mums pirmo rindu, bet otrais - otro rindu. Vertikālā līnija aizstāj vienādības zīmes.

Ⓑ Visi trīs vienādojumi ir standarta formā. Papildinātā matricā pirmais vienādojums dod mums pirmo rindu, otrais vienādojums dod otro rindu un trešais vienādojums dod trešo rindu. Vertikālā līnija aizstāj vienādības zīmes.

Uzrakstiet katru lineāro vienādojumu sistēmu kā papildinātu matricu:

Uzrakstiet katru lineāro vienādojumu sistēmu kā papildinātu matricu:

Tas ir svarīgi, jo mēs atrisinām vienādojumu sistēmas, izmantojot matricas, lai varētu iet uz priekšu un atpakaļ starp sistēmu un matricu. Nākamais piemērs liek mums ņemt informāciju matricā un uzrakstīt vienādojumu sistēmu.

4.38. Piemērs

Uzrakstiet vienādojumu sistēmu, kas atbilst paplašinātajai matricai:

Risinājums

Mēs atceramies, ka katra rinda atbilst vienādojumam un ka katrs ieraksts ir mainīgā vai konstanta koeficients. Vertikālā līnija aizstāj vienādības zīmi. Tā kā šī matrica ir 4 × 3 4 × 3, mēs zinām, ka tā pārtaps trīs vienādojumu sistēmā ar trim mainīgajiem.

Uzrakstiet vienādojumu sistēmu, kas atbilst paplašinātajai matricai: [1 −1 2 3 2 1 −2 1 4 −1 2 0]. [1 −1 2 3 2 1 −2 1 4 −1 2 0].

Uzrakstiet vienādojumu sistēmu, kas atbilst paplašinātajai matricai: [1 1 1 4 2 3 −1 8 1 1 −1 3]. [1 1 1 4 2 3 −1 8 1 1 −1 3].

Rindu operāciju izmantošana matricā

Kad vienādojumu sistēma ir papildinātās matricas formā, mēs veiksim operācijas rindās, kas mūs novedīs pie risinājuma.

Lai atrisinātu ar izslēgšanu, nav svarīgi, kādā secībā mēs ievietojam vienādojumus sistēmā. Līdzīgi matricā mēs varam mainīt rindas.

Risinot ar elimināciju, mēs bieži reizinām vienu no vienādojumiem ar konstanti. Tā kā katra rinda apzīmē vienādojumu, un mēs varam reizināt katru vienādojuma pusi ar konstanti, tāpat katru rindas ierakstu varam reizināt ar jebkuru reālu skaitli, izņemot 0.

Izslēgšanā mēs bieži pievienojam vienas rindas daudzkārtēju citai rindai. Matricā mēs varam aizstāt rindu ar tās summu ar citas rindas reizinājumu.

Šīs darbības sauc par rindu operācijām, un tās palīdzēs mums izmantot matricu, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

Rindu operācijas

Matricā jebkurai rindai var veikt šādas darbības, un iegūtā matrica būs līdzvērtīga sākotnējai matricai.

  1. Apmainiet jebkuras divas rindas.
  2. Reiziniet rindu ar jebkuru reālu skaitli, izņemot 0.
  3. Pievienojiet vienas rindas nulles vairākkārtīgu vērtību citai rindai.

Šīs darbības ir viegli izdarīt, taču visa aritmētika var izraisīt kļūdu. Ja mēs izmantojam sistēmu rindas darbības ierakstīšanai katrā solī, ir daudz vieglāk atgriezties un pārbaudīt savu darbu.

Mēs izmantojam lielos burtus ar abonementiem, lai attēlotu katru rindu. Pēc tam mēs parādām operāciju pa kreisi no jaunās matricas. Lai parādītu rindas maiņu:


7.2. Lineāro vienādojumu sistēmas: trīs mainīgie

Džons saņēma mantojumu 12 000 ASV dolāru apmērā, ko viņš sadalīja trīs daļās un ieguldīja trīs veidos: naudas tirgus fondā, kas maksāja 3% gada procentus par pašvaldību obligācijām, maksājot 4% gada procentu, un kopfondos, kas maksāja 7% gada procentus. Džons pašvaldības fondos ieguldīja par 4000 dolāriem vairāk nekā pašvaldību obligācijās. Pirmajā gadā viņš nopelnīja 670 USD procentus. Cik Jānis ieguldīja katra veida fondos?

Izprotot pareizu pieeju tādu problēmu uzstādīšanai kā šī, risinājuma atrašana ir saistīta ar parauga ievērošanu. Mēs atrisināsim šo un līdzīgas problēmas, iesaistot trīs vienādojumus un trīs mainīgos šajā sadaļā. To darot, tiek izmantotas līdzīgas metodes, kas tiek izmantotas divu vienādojumu sistēmu risināšanai divos mainīgajos. Tomēr, lai atrastu risinājumus trīs vienādojumu sistēmām, ir nepieciešama nedaudz lielāka organizācija un vizuālās vingrošanas pieskāriens.

Trīs vienādojumu sistēmu risināšana trīs mainīgajos

Lai atrisinātu vienādojumu sistēmas trīs mainīgajos, kas pazīstami kā trīs pa trim sistēmām, primārais rīks, ko izmantosim, tiek saukts par Gausa elimināciju, kas nosaukts ražīgā vācu matemātiķa Karla Frīdriha Gausa vārdā. Kaut arī operāciju izpildes kārtība nav noteikta, pastāv īpašas vadlīnijas, kāda veida kustības var veikt. Mēs varam numurēt vienādojumus, lai sekotu mūsu veiktajām darbībām. Mērķis ir izslēgt vienu mainīgo vienlaikus, lai iegūtu augšējo trīsstūra formu, kas ir ideāla forma trīs pret trīs sistēmai, jo tas ļauj veikt vienkāršu aizmugures aizstāšanu, lai atrastu risinājumu (x, y, z), (x, y, z), ko mēs saucam par pasūtītu trīskāršu. Sistēma augšējā trīsstūra formā izskatās šādi:

  1. Apmainiet jebkuru divu vienādojumu secību.
  2. Reiziniet abas vienādojuma puses ar nulles konstanti.
  3. Pievienojiet viena vienādojuma nulles daudzkārtni citam vienādojumam.

Iespējamie risinājumi

2. un 3. attēls ilustrē iespējamos risinājumu scenārijus trīs pa trim sistēmām.

  • Sistēmas, kurām ir viens risinājums, ir tās, kuras pēc izslēgšanas rada šķīdumu kopu, kas sastāv no sakārtota trīskāršā <(x, y, z)>. <(x, y, z)>. Grafiski sakārtotais trīskāršais definē punktu, kas ir trīs plakņu krustojums telpā.
  • Sistēmas, kurām ir bezgalīgs risinājumu skaits, ir tās, kuras pēc izslēgšanas rada izteiksmi, kas vienmēr ir patiesa, piemēram, 0 = 0, 0 = 0. Grafiski bezgalīgs risinājumu skaits apzīmē līniju vai sakritības plakni, kas kalpo kā trīs lidmašīnu krustojums kosmosā.
  • Sistēmas, kurām nav risinājumu, ir tās, kuras pēc izslēgšanas rada apgalvojumu, kas ir pretrunā, piemēram, 3 = 0. 3 = 0. Grafiski sistēmu, kurai nav risinājuma, attēlo trīs plaknes, kurām nav kopīga punkta.

1. piemērs

Nosakot, vai pasūtīts trīskāršais ir sistēmas risinājums

Nosakiet, vai sakārtotais trīskāršais (3, −2, 1) (3, −2, 1) ir sistēmas risinājums.

Risinājums

Mēs pārbaudīsim katru vienādojumu, aizstājot sakārtotās trīskāršās vērtības ar x, y, x, y un z. z.

x + y + z = 2 (3) + (−2) + (1) = 2 Patiesais 6 x −4 y + 5 z = 31 6 (3) −4 (−2) + 5 (1) = 31 18 + 8 + 5 = 31 Patiesi 5 x + 2 y + 2 z = 13 5 (3) + 2 (−2) + 2 (1) = 13 15 −4 + ​​2 = 13 Patiesi x + y + z = 2 ( 3) + (−2) + (1) = 2 True 6 x −4 y + 5 z = 31 6 (3) −4 (−2) + 5 (1) = 31 18 + 8 + 5 = 31 True 5 x + 2 y + 2 z = 13 5 (3) + 2 (−2) + 2 (1) = 13 15 −4 + ​​2 = 13 taisnība

Ņemot vērā lineāru trīs vienādojumu sistēmu, atrisiniet trīs nezināmos.

  1. Izvēlieties jebkuru vienādojumu pāri un atrisiniet vienu mainīgo.
  2. Izvēlieties citu vienādojumu pāri un atrisiniet to pašu mainīgo.
  3. Jūs esat izveidojis divu vienādojumu sistēmu divos nezināmos. Atrisiniet iegūto sistēmu pa diviem.
  4. Aizstāt zināmos mainīgos lielumus vienā no sākotnējiem vienādojumiem un atrisināt trūkstošo mainīgo.

2. piemērs

Trīs vienādojumu sistēmas risināšana trīs mainīgajos, izslēdzot

Atrodiet risinājumu šādai sistēmai:

Risinājums

Vienmēr būs vairākas izvēles iespējas, kur sākt, taču visredzamākais pirmais solis šeit ir novērst x x, pievienojot vienādojumus (1) un (2).

(4) un (5) vienādojumā mēs esam izveidojuši jaunu sistēmu pa diviem. Mēs varam atrisināt z z, pievienojot abus vienādojumus.

Izvēloties vienu vienādojumu no katras jaunās sistēmas, mēs iegūstam augšējo trīsstūra formu:

Risinājums ir sakārtots trīskāršais (1, −1, 2). (1, -1, 2). Skatīt 4. attēlu.

3. piemērs

Reālās problēmas risināšana, izmantojot trīs vienādojumu sistēmu trīs mainīgajos

Sadaļas sākumā radītajā problēmā Džons ieguldīja mantojumu 12 000 ASV dolāru apmērā trīs dažādos fondos: daļu naudas tirgus fondā, kas gadā maksā 3% procentus, daļu pašvaldību obligācijās, kas maksā 4% gadā, bet pārējo kopfondos, kas maksā 7 % gadā. Džons ieguldīja kopieguldījumu fondos par 4000 dolāriem vairāk nekā ieguldīja pašvaldību obligācijās. Kopējie nopelnītie procenti vienā gadā bija 670 USD. Cik daudz viņš ieguldīja katra veida fondos?

Risinājums

Lai atrisinātu šo problēmu, mēs izmantojam visu sniegto informāciju un izveidojam trīs vienādojumus. Pirmkārt, mēs piešķiram mainīgo katrai no trim ieguldījumu summām:

Pirmais vienādojums norāda, ka trīs pamatsummu summa ir 12 000 USD.

Mēs veidojam otro vienādojumu pēc informācijas, ka Džons ieguldīja kopieguldījumu fondos par 4 000 dolāriem vairāk nekā ieguldīja pašvaldību obligācijās.

Trešais vienādojums parāda, ka no katra fonda nopelnīto procentu kopējā summa ir 670 USD.

Pēc tam mēs trīs vienādojumus uzrakstām kā sistēmu.

Lai vienkāršotu aprēķinus, mēs varam reizināt trešo vienādojumu ar 100. Tādējādi

1. solis. Apmainiet vienādojumu (2) un vienādojumu (3) tā, lai abi vienādojumi ar trim mainīgajiem sakristu.

3. solis. Vienādojumam (3) pievienojiet vienādojumu (2) un rezultātu ierakstiet kā vienādojumu (3).

Džons ieguldīja 2000 USD naudas tirgus fondā, 3000 USD pašvaldību obligācijās un 7 000 USD kopfondos.

Atrisiniet vienādojumu sistēmu trīs mainīgos.

Trīs mainīgos saturošu nekonsekventu vienādojumu sistēmu identificēšana

Tāpat kā ar divu mainīgo vienādojumu sistēmām, arī trīs mainīgajos var rasties nekonsekventa vienādojumu sistēma, kas nozīmē, ka tai nav risinājuma, kas apmierinātu visus trīs vienādojumus. Vienādojumi var attēlot trīs paralēlas plaknes, divas paralēlas plaknes un vienu krustojošu plakni, vai trīs plaknes, kas krustojas ar pārējām divām, bet ne tajā pašā vietā. Novēršanas process radīs nepatiesu paziņojumu, piemēram, 3 = 7 3 = 7 vai kādu citu pretrunu.

4. piemērs

Trīs vienādojumu nekonsekventas trīs mainīgo sistēmas risināšana

Atrisiniet šādu sistēmu.

Risinājums

Tālāk mēs reizinām vienādojumu (1) ar −5 −5 un pievienojam to vienādojumam (3).

Tad mēs reizinām vienādojumu (4) ar 2 un pievienojam to vienādojumam (5).

Analīze

Šajā sistēmā katra plakne krustojas ar pārējiem diviem, bet ne tajā pašā vietā. Tāpēc sistēma ir nekonsekventa.

Atrisiniet trīs vienādojumu sistēmu trīs mainīgajos.

Trīs mainīgos saturošu atkarīgo vienādojumu sistēmas risinājuma izteikšana

Strādājot ar vienādojumu sistēmām divos mainīgajos, mēs zinām, ka atkarīgajai vienādojumu sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu. Tas pats attiecas uz atkarīgajām vienādojumu sistēmām trīs mainīgajos. No vairākām situācijām var rasties bezgalīgs skaits risinājumu. Trīs plaknes varētu būt vienādas, tāpēc viena vienādojuma risinājums būs divu pārējo vienādojumu risinājums. Visi trīs vienādojumi varētu būt atšķirīgi, bet tie krustojas uz līnijas, kurai ir bezgalīgi daudz risinājumu. Vai arī divi no vienādojumiem varētu būt vienādi un krustot trešo līnijā.

5. piemērs

Atkarīgas vienādojumu sistēmas risinājuma atrašana

Atrodiet trīs vienādojumu trīs mainīgo lielumu dotās sistēmas risinājumu.

Risinājums

Pirmkārt, mēs varam reizināt vienādojumu (1) ar −2 −2 un pievienot to vienādojumam (2).

Kad sistēma ir atkarīga, mēs varam atrast vispārīgus risinājumu izteicienus. Pievienojot (1) un (3) vienādojumus, mums ir

Pēc tam mēs atrisinām iegūto z vienādojumu. z.

Analīze

Kā parādīts 5. attēlā, divas no plaknēm ir vienādas un tās krustojas ar līnijas trešo plakni. Risinājumu kopa ir bezgalīga, jo visi krustojuma līnijas punkti apmierinās visus trīs vienādojumus.

Vai atkarīgās sistēmas vispārīgais risinājums vienmēr ir jāraksta ar x? x?

Nē, jūs varat rakstīt vispārīgo risinājumu jebkura mainīgā izteiksmē, taču parasti to raksta ar x un, ja nepieciešams, x x un y. y.


Atrisiniet vienādojumu sistēmas ar trim mainīgajiem

    Novērtējiet kad un

Nosakiet, vai pasūtītais trīskāršais ir trīs lineāru vienādojumu ar trim mainīgajiem sistēmas risinājums

Šajā sadaļā mēs paplašināsim savu darbu lineāro vienādojumu sistēmas risināšanā. Līdz šim mēs esam strādājuši ar vienādojumu sistēmām ar diviem vienādojumiem un diviem mainīgajiem. Tagad mēs strādāsim ar trīs vienādojumu sistēmām ar trim mainīgajiem. Bet vispirms ļaujiet pārskatīt to, ko mēs jau zinām par vienādojumu un sistēmu risināšanu, iesaistot ne vairāk kā divus mainīgos.

Mēs iepriekš uzzinājām, ka lineārā vienādojuma grafiks, ir līnija. Katrs līnijas punkts, sakārtots pāris ir vienādojuma risinājums. Divu vienādojumu sistēmai ar diviem mainīgiem lielumiem mēs uzzīmējam divas līnijas. Tad mēs varam redzēt, ka visi punkti, kas ir katra vienādojuma risinājumi, veido līniju.Un, atrodot līnijām kopīgo, mēs atradīsim sistēmas risinājumu.

Lielākajai daļai lineāro vienādojumu vienā mainīgajā ir viens risinājums, taču mēs redzējām, ka dažiem vienādojumiem, kurus sauc par pretrunām, nav risinājumu un citiem vienādojumiem, ko sauc par identitātēm, visi skaitļi ir risinājumi

Mēs zinām, kad atrisinām divu lineāru vienādojumu sistēmu, ko attēlo divu līniju grafiks vienā plaknē, ir trīs iespējamie gadījumi, kā parādīts.

Līdzīgi lineārajam vienādojumam ar trim mainīgajiem lielumiem katrs vienādojuma risinājums ir sakārtots trīskāršs, tas padara vienādojumu patiesu.

Lineārs vienādojums ar trim mainīgajiem, kur a, b, c, un d ir reāli skaitļi un a, b, un c nav visi 0, ir formas

Katrs vienādojuma risinājums ir sakārtots trīskāršs, tas padara vienādojumu patiesu.

Visi punkti, kas ir viena vienādojuma risinājumi, trīsdimensiju telpā veido plakni. Un, atrodot lidmašīnām kopīgo, mēs atradīsim sistēmas risinājumu.

Kad mēs atrisinām trīs lineāru vienādojumu sistēmu, ko attēlo trīs plakņu grafiks telpā, ir trīs iespējamie gadījumi.

Lai atrisinātu trīs lineāru vienādojumu sistēmu, mēs vēlamies atrast to mainīgo vērtības, kas ir visu trīs vienādojumu risinājumi. Citiem vārdiem sakot, mēs meklējam pasūtīto trīskāršo ar to visi trīs vienādojumi ir patiesi. Tos sauc par trīs lineāro vienādojumu ar trim mainīgajiem sistēmas risinājumiem.

Vienādojumu sistēmas risinājumi ir mainīgo lielumi, kas visus vienādojumus padara patiesus. Risinājumu attēlo sakārtots trīskāršais

Lai noteiktu, vai sakārtots trīskāršais ir risinājums trīs vienādojumu sistēmai, mēs mainām lielumu vērtības katrā vienādojumā. Ja pasūtītais trīskāršais padara visus trīs vienādojumus patiesus, tas ir sistēmas risinājums.

Nosakiet, vai pasūtītais trīskāršais ir sistēmas risinājums:

Nosakiet, vai pasūtītais trīskāršais ir sistēmas risinājums:

Nosakiet, vai pasūtītais trīskāršais ir sistēmas risinājums:

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu ar trim mainīgajiem

Lai atrisinātu lineāro vienādojumu sistēmu ar trim mainīgajiem, mēs pamatā izmantojam tos pašus paņēmienus, kurus izmantojām sistēmās, kurām bija divi mainīgie. Mēs sākam ar diviem vienādojumu pāriem un katrā pārī izslēdzam to pašu mainīgo. Tad mēs iegūsim vienādojumu sistēmu, kurā būs tikai divi mainīgie, un tad mēs zinām, kā šo sistēmu atrisināt!

Pēc tam mēs izmantojam divu tikko atrasto mainīgo vērtības, lai atgrieztos pie sākotnējā vienādojuma un atrastu trešo mainīgo. Mēs rakstām atbildi kā pasūtītu trīskāršu un pēc tam pārbaudām mūsu rezultātus.

Atrisiniet sistēmu, izslēdzot:

Atrisiniet sistēmu, izslēdzot:

Atrisiniet sistēmu, izslēdzot:

Darbības ir apkopotas šeit.

  1. Uzrakstiet vienādojumus standarta formā
    • Ja kādi koeficienti ir frakcijas, notīriet tos.
  2. Izslēdziet to pašu mainīgo no diviem vienādojumiem.
    • Izlemiet, kuru mainīgo jūs izslēgsit.
    • Strādājiet ar vienādojumu pāri, lai izslēgtu izvēlēto mainīgo.
    • Reiziniet vienu vai abus vienādojumus tā, lai šī mainīgā koeficienti būtu pretēji.
    • Pievienojiet 2. darbības rezultātā iegūtos vienādojumus, lai izslēgtu vienu mainīgo
  3. Atkārtojiet 2. darbību, izmantojot divus citus vienādojumus, un izslēdziet to pašu mainīgo kā 2. solī.
  4. Divi jaunie vienādojumi veido divu vienādojumu sistēmu ar diviem mainīgajiem. Atrisiniet šo sistēmu.
  5. Izmantojiet abu 4. mainīgajā mainīgo lielumu vērtības, lai atrastu trešo mainīgo.
  6. Rakstiet risinājumu kā kārtīgu trīskāršu.
  7. Pārbaudiet, vai pasūtītais trīskāršais ir risinājums visi trīs sākotnējie vienādojumi.

Atrisiniet:

Mēs varam novērst no (1) un (2) vienādojumiem, reizinot (2) vienādojumu ar 2 un pēc tam pievienojot iegūtos vienādojumus.

Ievērojiet, ka (3) un (4) vienādojumos ir mainīgie un . Mēs atrisināsim šo jauno sistēmu un .

Lai atrisinātu y, mēs aizstājam (3) vienādojumā.

Mums tagad ir un Mums ir jāatrisina z. Mēs varam aizstāt (1) vienādojumā, lai atrastu z.

Mēs rakstām risinājumu kā pasūtītu trīskāršu.

Mēs pārbaudām, vai risinājums padara patiesu visus trīs vienādojumus.

Atrisiniet:

Atrisiniet:

Kad mēs atrisinām sistēmu un galu galā bez mainīgajiem un nepatiesa apgalvojuma, mēs zinām, ka risinājumu nav un ka sistēma ir pretrunīga. Nākamais piemērs parāda vienādojumu sistēmu, kas nav konsekventa.

Atrisiniet vienādojumu sistēmu:

Lai izslēgtu, izmantojiet (1) un (2) vienādojumu z.

Lai novērstu, izmantojiet (2) un (3) atkal.

Izmantojiet (4) un (5), lai izslēgtu mainīgo.

Mums paliek nepatiesa informācija, un tas mums norāda, ka sistēma ir pretrunīga un tai nav risinājuma.

Atrisiniet vienādojumu sistēmu:

Atrisiniet vienādojumu sistēmu:

Kad mēs atrisinām sistēmu un galu galā nav mainīgo, bet patiess apgalvojums, mēs zinām, ka risinājumu ir bezgalīgi daudz. Sistēma atbilst atkarīgajiem vienādojumiem. Mūsu risinājums parādīs, kā divi no mainīgajiem ir atkarīgi no trešā.

Atrisiniet vienādojumu sistēmu:

Lai izslēgtu, izmantojiet (1) un (3) vienādojumu x.

Lai izslēgtu, izmantojiet (1) un (2) vienādojumu x atkal.

Lai izslēgtu, izmantojiet vienādojumu (4) un (5) .

Patiesais apgalvojums stāsta mums, ka šī ir atkarīga sistēma, kurai ir bezgalīgi daudz risinājumu. Risinājumi ir formā kur un z ir jebkurš reāls skaitlis.

Atrisiniet sistēmu ar vienādojumiem:

bezgalīgi daudz risinājumu kur ir jebkurš reāls skaitlis

Atrisiniet sistēmu ar vienādojumiem:

bezgalīgi daudz risinājumu kur ir jebkurš reāls skaitlis

Atrisiniet lietojumprogrammas, izmantojot lineāro vienādojumu sistēmas ar trim mainīgajiem

Lietojumus, kurus modelē vienādojumu sistēma, var atrisināt, izmantojot tās pašas metodes, kuras mēs izmantojām, lai atrisinātu sistēmas. Daudzi no lietojumiem ir tikai trīs mainīgo tipu paplašinājumi, kurus mēs esam atrisinājuši iepriekš.

Kopienas koledžas teātra nodaļa pārdeva trīs veidu biļetes uz savu jaunāko lugu iestudējumu. Pieaugušo biļetes pārdotas par 15, studentu biļetes uz 10 un bērnu biļetes uz 8. Teātra nodaļa bija sajūsmā, ka vienā naktī ir pārdevusi 250 biļetes un ievedusi 2 825 biļetes. Pārdoto studentu biļešu skaits ir divreiz lielāks par pieaugušajiem pārdoto biļešu skaitu. Cik daudz katra veida nodaļa pārdeva?

Informācijas sakārtošanai mēs izmantosim diagrammu.
Studentu skaits ir divreiz lielāks par pieaugušo skaitu.
Pārrakstiet vienādojumu standarta formā.
Lai izslēgtu, izmantojiet (1) un (2) vienādojumu z.
Lai novērstu, izmantojiet (3) un (4)
Atrisiniet x. pieaugušo biļetes
Lai atrastu, izmantojiet vienādojumu (3) y.
Aizstājējs
Lai atrastu, izmantojiet vienādojumu (1) z.
Vērtībās aizstājiet

Kopienas koledžas tēlotājas mākslas nodaļa pārdeva trīs veidu biļetes uz savu jaunāko deju prezentāciju. Pieaugušo biļetes tika pārdotas par 20, studentu biļetes uz 12 un bērnu biļetes uz 10. Tēlotājas mākslas nodaļa bija sajūsmā, ka vienā naktī ir pārdevušas 350 biļetes un ienesušas 4650 biļetes. Pārdoto bērnu biļešu skaits ir tāds pats kā pārdoto pieaugušo biļešu skaits. Cik daudz katra veida nodaļa pārdeva?

Tēlotājmākslas nodaļa pārdeva 75 pieaugušo, 200 studentu un 75 bērnu biļetes.

Sabiedrības koledžas futbola komanda pārdeva trīs veidu biļetes uz savu jaunāko spēli. Pieaugušo biļetes pārdotas par 10, studentu biļetes uz 8 un bērnu biļetes uz 5. Futbola komanda bija sajūsmā, ka ir pārdevusi 600 biļetes un atvedusi 4900 uz vienu spēli. Pieaugušo biļešu skaits ir divreiz lielāks par bērnu biļešu skaitu. Cik no katra veida futbola komanda pārdeva?

Futbola komanda pārdeva 200 pieaugušo, 300 studentu un 100 bērnu biļetes.

Piekļūstiet šim tiešsaistes resursam, lai iegūtu papildu instrukcijas un praksi ar lineārā sistēmas risināšanu trīs mainīgajos bez risinājumiem vai bezgalīgiem risinājumiem.

Galvenie jēdzieni

  • Lineārais vienādojums trīs mainīgajos: Lineārs vienādojums ar trim mainīgajiem, kur a, b, c, un d ir reāli skaitļi un a, b, un c nav visi 0, ir formas

    Uzrakstiet vienādojumus standarta formā

Izlemiet, kuru mainīgo jūs izslēgsit.

Strādājiet ar vienādojumu pāri, lai izslēgtu izvēlēto mainīgo.

Reiziniet vienu vai abus vienādojumus tā, lai šī mainīgā koeficienti būtu pretēji.

Prakse padara perfektu

Nosakiet, vai pasūtītais trīskāršais ir trīs lineāru vienādojumu ar trim mainīgajiem sistēmas risinājums

Turpmākajos vingrinājumos nosakiet, vai pasūtītais trīskāršais ir sistēmas risinājums.

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu ar trim mainīgajiem

Turpmākajos vingrinājumos atrisiniet vienādojumu sistēmu.

kur ir jebkurš reāls skaitlis

kur ir jebkurš reāls skaitlis

Atrisiniet lietojumprogrammas, izmantojot lineāro vienādojumu sistēmas ar trim mainīgajiem

Turpmākajos vingrinājumos atrisiniet doto problēmu.

Trijstūra leņķu mēru summa ir 180. Otrā un trešā leņķa mēru summa ir divreiz lielāka par pirmā leņķa mērījumu. Trešais leņķis ir par divpadsmit vairāk nekā otrais. Atrodiet trīs leņķu mērījumus.

Trijstūra leņķu mēru summa ir 180. Otrā un trešā leņķa mēru summa ir trīs reizes lielāka par pirmā leņķa mērījumu. Trešais leņķis ir par piecpadsmit vairāk nekā otrais. Atrodiet trīs leņķu mērījumus.

Pēc tam, kad teātrī noskatījušies lielu muzikālu iestudējumu, patroni var iegādāties suvenīrus. Ja ģimene iegādājas četrus krekliņus, videoklipu un 1 pildījumu, to kopsumma ir 135.

Pāris nopērk māsasmeitām 2 krekliņus, video un 3 izbāztus dzīvniekus un iztērē 115. Vēl viens pāris iegādājas 2 krekliņus, videoklipu un 1 pildījumu, un to kopsumma ir 85. Kādas ir katra priekšmeta izmaksas?

Baznīcas jauniešu grupa pārdod uzkodas, lai savāktu naudu viņu kongresa apmeklēšanai. Eimija pārdeva 2 mārciņas konfekšu, 3 kastes cepumu un 1 kārbu popkorna par kopējo pārdošanas apjomu 65? Braiens pārdeva 4 mārciņas konfekšu, 6 kastes sīkdatņu un 3 kārbas popkorna par kopējo pārdošanas apjomu 140? Paulina pārdeva 8 mārciņas konfekšu, 8 kastes ar sīkdatnēm un 5 kārbas popkorna par kopējo pārdošanas apjomu 250? Kādas ir katra priekšmeta izmaksas?

Rakstīšanas vingrinājumi

Pēc saviem vārdiem izskaidrojiet darbības, lai, izslēdzot, atrisinātu lineāro vienādojumu sistēmu ar trim mainīgajiem.

Kā jūs varat pateikt, kad trīs lineāru vienādojumu sistēmai ar trim mainīgajiem nav risinājuma? Bezgalīgi daudz risinājumu?

Pašpārbaude

Ⓐ Pēc vingrinājumu izpildīšanas izmantojiet šo kontrolsarakstu, lai novērtētu savas iemaņas šīs sadaļas mērķos.

Ⓑ Kā jūs vērtējat šīs sadaļas prasmi skalā no 1 līdz 10, ņemot vērā jūsu atbildes uz kontrolsarakstu? Kā jūs to varat uzlabot?

Vārdnīca

lineāro vienādojumu sistēmas ar trim mainīgajiem risinājumi Vienādojumu sistēmas risinājumi ir mainīgo lielumi, kas visiem vienādojumiem padara patiesus. Risinājumu attēlo sakārtots trīskāršais

4.5. Trīs lineāro vienādojumu sistēmas trīs mainīgajos - matemātika

Lai atrisinātu vienādojumu sistēmas trīs mainīgos, kas pazīstami kā trīs pa trim sistēmām, galvenais rīks, ko mēs izmantosim, tiek saukts Gausa eliminācija, kas nosaukts ražīgā vācu matemātiķa Karla Frīdriha vārdā Gauss. Kaut arī operāciju izpildes kārtība nav noteikta, pastāv īpašas vadlīnijas, kāda veida kustības var veikt. Mēs varam numurēt vienādojumus, lai sekotu mūsu veiktajām darbībām. Mērķis ir izslēgt vienu mainīgo vienlaikus, lai sasniegtu augšējā trīsstūra forma, ideāla forma trīs pa trim sistēmām, jo ​​tā ļauj vienkārši aizvietot ar aizmuguri, lai atrastu risinājumu [latekss] pa kreisi (x, y, z pa labi), teksts <> [/ latekss], kuru mēs saucam an pasūtīja trīskāršu. Sistēma augšējā trīsstūra formā izskatās šādi:

Trešo vienādojumu var atrisināt [lateksam] z, text <> [/ lateksam], un pēc tam mēs aizstājam atpakaļ, lai atrastu [lateksu] y [/ lateksu] un [lateksu] x [/ lateksu]. Lai uzrakstītu sistēmu augšējā trīsstūra formā, mēs varam veikt šādas darbības:

  1. Apmainiet jebkuru divu vienādojumu secību.
  2. Reiziniet abas vienādojuma puses ar nulles konstanti.
  3. Pievienojiet viena vienādojuma nulles daudzkārtni citam vienādojumam.

The risinājumu komplekts līdz trīs pa trim sistēmai ir sakārtots trīskāršs [latekss] pa kreisi < pa kreisi (x, y, z pa labi) pa labi > [/ latekss]. Grafiski sakārtotais trīskāršais definē punktu, kas ir trīs plakņu krustojums telpā. Jūs varat vizualizēt šādu krustojumu, iztēlojoties jebkuru stūri taisnstūrveida telpā. Stūri nosaka trīs plaknes: divas blakus esošās sienas un grīda (vai griesti). Jebkurš punkts, kur divas sienas un grīda saskaras, apzīmē trīs plakņu krustojumu.

Vispārīga piezīme: iespējamo risinājumu skaits

2. un 3. attēls ilustrē iespējamos risinājumu scenārijus trīs pa trim sistēmām.

  • Sistēmas, kurām ir viens risinājums, ir tās, kuras pēc izslēgšanas rada a risinājumu komplekts kas sastāv no sakārtota trīskāršā [lateksa] kreisā < kreisā (x, y, z labajā pusē) labajā > [/ lateksa]. Grafiski sakārtotais trīskāršais definē punktu, kas ir trīs plakņu krustojums telpā.
  • Sistēmas, kurām ir bezgalīgs risinājumu skaits, ir tās, kuras pēc izslēgšanas rada izteiksmi, kas vienmēr ir patiesa, piemēram, [latekss] 0 = 0 [/ latekss]. Grafiski bezgalīgs skaits risinājumu attēlo līniju vai sakritības plakni, kas kalpo kā trīs plakņu krustošanās vieta telpā.
  • Sistēmas, kurām nav risinājumu, ir tās, kuras pēc izslēgšanas rada apgalvojumu, kas ir pretrunā, piemēram, [latekss] 3 = 0 [/ latekss]. Grafiski sistēmu bez risinājuma attēlo trīs plaknes, kurām nav kopīga punkta.

2. attēls. (a) Trīs plaknes krustojas vienā punktā, pārstāvot trīs pa trim sistēmu ar vienu risinājumu. (b) Trīs plaknes krustojas vienā līnijā, pārstāvot trīs pa trim sistēmu ar bezgalīgiem risinājumiem.

1. piemērs: Nosakiet, vai pasūtīts trīskāršais ir sistēmas risinājums

Nosakiet, vai sakārtotais trīskāršais [latekss] pa kreisi (3, -2,1 pa labi) [/ latekss] ir sistēmas risinājums.

Risinājums

Mēs pārbaudīsim katru vienādojumu, secīgā trīskāršā vērtībās aizstājot [lateksu] x, y [/ lateksu] un [lateksu] z [/ lateksu].

[latekss] sākas sākas hfill x + y + z = 2 hfill left (3 right) + left (-2 right) + left (1 right) = 2 hfill text beigas& & sākas hfill text <> 6x - 4y + 5z = 31 hfill 6 left (3 right) -4 left (-2 right) +5 left (1 right) = 31 hfill 18 + 8 + 5 = 31 aizpildīt tekstu beigas& & sākas hfill text <> 5x + 2y + 2z = 13 hfill 5 left (3 right) +2 left (-2 right) +2 left (1 right) = 13 hfill text <> 15 - 4 + 2 = 13 h aizpildiet tekstu beigas beigas[/ latekss]

Sakārtotais trīskāršais [latekss] pa kreisi (3, -2,1 pa labi) [/ latekss] patiešām ir sistēmas risinājums.

Kā: ņemot vērā trīs vienādojumu lineāro sistēmu, atrisiniet trīs nezināmos.

  1. Izvēlieties jebkuru vienādojumu pāri un atrisiniet vienu mainīgo.
  2. Izvēlieties citu vienādojumu pāri un atrisiniet to pašu mainīgo.
  3. Jūs esat izveidojis divu vienādojumu sistēmu divos nezināmos. Atrisiniet iegūto sistēmu pa diviem.
  4. Aizstāt zināmos mainīgos lielumus vienā no sākotnējiem vienādojumiem un atrisināt trūkstošo mainīgo.

2. piemērs: Trīs vienādojumu sistēmas risināšana trīs mainīgajos, izslēdzot

Atrodiet risinājumu šādai sistēmai:

Risinājums

Vienmēr būs vairākas izvēles iespējas, kur sākt, taču visredzamākais pirmais solis šeit ir [lateksa] x [/ lateksa] novēršana, pievienojot vienādojumus (1) un (2).

Otrais solis ir (1) vienādojuma reizināšana ar [lateksu] -2 [/ lateksu] un rezultāta pievienošana vienādojumam (3). Šie divi soļi novērsīs mainīgo [latekss] x [/ latekss].

[latekss] sākas hfill − 2x + 4y − 6z = −18 hfill & left (1 right) text −2 2x −5y + 5z = 17 hfill & left (3 right) text <_____________________________> hfill − y − z = −1 left (5 right) hfill & end[/ latekss]

(4) un (5) vienādojumā mēs esam izveidojuši jaunu sistēmu pa diviem. Mēs varam atrisināt [lateksam] z [/ lateksam], pievienojot abus vienādojumus.

Izvēloties vienu vienādojumu no katras jaunās sistēmas, mēs iegūstam augšējo trīsstūra formu:

Pēc tam mēs [lateksu] z = 2 [/ lateksu] aizstājam atpakaļ vienādojumā (4) un atrisinām [lateksam] y [/ lateksam].

Visbeidzot, mēs varam aizstāt [lateksu] z = 2 [/ lateksu] un [lateksu] y = -1 [/ lateksu] vienādojumā (1). Tādējādi tiks iegūts šķīdums [lateksam] x [/ lateksam].

Risinājums ir sakārtots trīskāršais [latekss] pa kreisi (1, -1,2 pa labi) [/ latekss].

3. piemērs: reālās problēmas risināšana, izmantojot trīs vienādojumu sistēmu trīs mainīgajos

Sadaļas sākumā radītajā problēmā Džons ieguldīja mantojumu 12 000 ASV dolāru apmērā trīs dažādos fondos: daļu naudas tirgus fondā, kas gadā maksā 3% procentus, daļu pašvaldību obligācijās, kas maksā 4% gadā, bet pārējo kopfondos, kas maksā 7 % gadā. Džons ieguldīja kopieguldījumu fondos par 4000 dolāriem vairāk nekā ieguldīja pašvaldību obligācijās. Kopējie nopelnītie procenti vienā gadā bija 670 USD. Cik daudz viņš ieguldīja katra veida fondos?

Risinājums

Lai atrisinātu šo problēmu, mēs izmantojam visu sniegto informāciju un izveidojam trīs vienādojumus. Pirmkārt, mēs piešķiram mainīgo katrai no trim ieguldījumu summām:

Pirmais vienādojums norāda, ka trīs pamatsummu summa ir 12 000 USD.

Mēs veidojam otro vienādojumu pēc informācijas, ka Džons ieguldīja kopieguldījumu fondos par 4 000 dolāriem vairāk nekā ieguldīja pašvaldību obligācijās.

Trešais vienādojums parāda, ka no katra fonda nopelnīto procentu kopējā summa ir 670 USD.

Pēc tam mēs trīs vienādojumus uzrakstām kā sistēmu.

Lai vienkāršotu aprēķinus, mēs varam reizināt trešo vienādojumu ar 100. Tādējādi

1. solis. Apmainiet vienādojumu (2) un vienādojumu (3) tā, lai divi vienādojumi ar trim mainīgajiem sakristu.

2. solis. Reiziniet vienādojumu (1) ar [lateksu] -3 [/ lateksu] un pievienojiet vienādojumam (2). Uzrakstiet rezultātu kā 2. rindu.

3. solis. Pievienojiet vienādojumu (2) vienādojumam (3) un uzrakstiet rezultātu kā vienādojumu (3).

4. solis. Atrisiniet [lateksu] z [/ lateksu] vienādojumā (3). Aizstājiet šo vērtību vienādojumā (2) un atrisiniet [lateksam] y [/ lateksam]. Pēc tam [lateksa] z [/ lateksa] un [lateksa] y [/ lateksa] vērtības atpakaļ aizvietojiet vienādojumā (1) un atrisiniet vērtību [latekss] x [/ latekss].

Džons ieguldīja 2000 USD naudas tirgus fondā, 3000 USD pašvaldību obligācijās un 7 000 USD kopfondos.


4.5. Trīs lineāro vienādojumu sistēmas trīs mainīgajos - matemātika

Bieži vien ir vēlams vai pat nepieciešams izmantot vairākus mainīgos, lai modelētu situāciju daudzās jomās. Tādā gadījumā mēs rakstām un atrisinām vienādojumu sistēmu, lai atbildētu uz jautājumiem par situāciju.


Ja lineāro vienādojumu sistēmai ir vismaz viens risinājums, tā ir konsekventa. Ja sistēmai nav risinājumu, tā ir pretrunīga. Ja sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu, tā ir atkarīga. Pretējā gadījumā tā ir neatkarīga.


Triju mainīgo lineārais vienādojums apraksta plakni un ir vienādojumam vienāds ar vienādojumu


kur A, B, C un D ir reālie skaitļi, un A, B, C un D nav visi 0.


Atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu x, y un z:


Mēs parādīsim, kā atrisināt šo vienādojumu sistēmu trīs dažādos veidos:


1) aizstāšana, 2) izslēgšana 3) matricas


Aizstāšanas process ietver vairākus posmus:


1. solis: Atrodiet vienu no mainīgajiem lielumiem vienā no vienādojumiem. Nav atšķirības, kuru vienādojumu un mainīgo izvēlaties. Atrisināsim x vienādojumā (1).


2. darbība: aizvietojiet šo vērtību x vienādojumos (2) un (3). Tas mainīs (2) un (3) vienādojumu uz vienādojumiem divos mainīgajos y un z. Izsauciet attiecīgi mainītos vienādojumus (4) un (5).

3 x -5 y +2 z = -8
= -8
=
= -56
9 z -15 y + 48-35 y +14 z = -56
-50 y +23 z = -104
50 g -23 z = 104 (4)
5 x +3 y -7 z = 0
= 0
=
= 0
15 z -25 y + 80 + 21 y -49 z = 0
-4 g -34 z = -80
2 y +17 z = 40 (5)

3. solis: Atrisiniet y (5) vienādojumā.

4. solis: Aizstājiet šo y vērtību (4) vienādojumā. Tas jums dos vienādojumu z. Atrisiniet z.


5. solis: Aizstājiet šo z vērtību (6) vienādojumā un atrisiniet ar y.


7. solis: Vienādojumā (1) aizstājiet 3 ar y un 2 - z un atrisiniet x.

8. darbība: pārbaudiet risinājumus:


Eliminācijas process ietver vairākus soļus: vispirms trīs vienādojumus reducējat uz diviem vienādojumiem ar diviem mainīgajiem un pēc tam uz vienu vienādojumu ar vienu mainīgo.


1. solis: Izlemiet, kuru mainīgo jūs izslēgsit. Nav starpības, kuru izvēlaties. Vispirms novērsīsim y.


4. solis: reiziniet abas vienādojuma (4) puses ar -29 un pievienojiet pārveidoto vienādojumu (4) vienādojumam (5), lai izveidotu vienādojumu (6) tikai ar vienu mainīgo.


6. solis: Vienādojumā (5) aizstājiet x ar x un atrisiniet z.


7. solis: Vienādojumā (1) aizstājiet 1 ar x un 2 - z un atrisiniet ar y.


Matricu izmantošanas process būtībā ir eliminācijas procesa saīsne. Katra matricas rinda apzīmē vienādojumu un katra kolonna - viena no mainīgajiem koeficientus.


1. solis: izveidojiet trīs rindu ar četru kolonnu matricu, izmantojot koeficientus un katra vienādojuma konstanti.


Vertikālās līnijas matricā apzīmē vienādības zīmes starp katra vienādojuma abām pusēm. Pirmajā kolonnā ir x koeficienti, otrajā kolonnā y, trešajā kolonnā z, bet pēdējā - konstantes.


Mēs vēlamies pārveidot sākotnējo matricu


Jo tad matricu var nolasīt kā x = a, y = b un z = c ..


2. solis: Vispirms mēs strādājam ar 1. kolonnu. Reiziniet 1. rindu ar, lai izveidotu jaunu 1. rindu.


3. solis: Tagad mēs pabeigsim ar 1. kolonnu. Mēs vēlamies nulles šūnā 21 un šūnā 31. Mēs to panākam, pievienojot -3 reizes 1. rindu līdz 2. rindai, lai izveidotu jaunu 2. rindu, un, pievienojot -5 reizes 1. rindu, 3. rinda, lai izveidotu jaunu 3. rindu.


4. solis: Tagad strādāsim ar 2. sleju. Mēs vēlamies skaitli 1 šūnā 22. Mēs to darām, reizinot 2. rindu ar, lai izveidotu jaunu 2. rindu.


5. solis: Lai pabeigtu darbu ar 2. rindu, mēs šūnās 12. un 32. šūnā vēlamies nulles. Mēs to sasniedzam, pievienojot reizes 1. rindai 2. rindu jaunai 1. rindai un reizes pievienojot 2. rindu līdz 3. rindai jaunai 3. rindai. .


6. solis: Tagad strādāsim ar 3. kolonnu. Vispirms mēs vēlamies ciparu 1 šūnā 33. Mēs varam to izdarīt, reizinot 3. rindu ar jaunu 3. rindu.

Ja vēlaties atgriezties problēmu lapā, noklikšķiniet uz Problēma.

Ja vēlaties pārskatīt nākamās problēmas risinājumu, noklikšķiniet uz Problēma

Ja vēlaties atgriezties pie trīs ar trīs vienādojumu sistēmas sākuma, noklikšķiniet uz Piemērs.


Galvenie jēdzieni

  • Risinājumu kopa ir sakārtots trīskāršs [latekss] kreisais < pa kreisi (x, y, z labais) labais > [/ latekss], kas apzīmē trīs plakņu krustojumu telpā.
  • Trīs vienādojumu sistēmu trīs mainīgajos var atrisināt, izmantojot virkni darbību, kas liek mainīgo izslēgt. Šīs darbības ietver vienādojumu secības maiņu, vienādojuma abu pušu reizināšanu ar nulles konstanti un viena vienādojuma nulles vairāku pievienošanu citam vienādojumam.
  • Trīs vienādojumu sistēmas trijos mainīgos lielumos ir noderīgas, lai atrisinātu daudz dažādu veidu reālās problēmas.
  • Trīs mainīgo vienādojumu sistēma ir pretrunīga, ja risinājuma nav. Pēc eliminācijas darbību veikšanas rezultāts ir pretruna.
  • Vienādojumu sistēmas trīs mainīgos, kas nav konsekventi, varētu rasties no trim paralēlām plaknēm, divām paralēlām plaknēm un vienas krustojošās plaknes vai no trim plaknēm, kas krustojas ar pārējām divām, bet ne tajā pašā vietā.
  • Trīs mainīgo vienādojumu sistēma ir atkarīga, ja tai ir bezgalīgi daudz risinājumu. Pēc eliminācijas darbību veikšanas rezultāts ir identitāte.
  • Vienādojumu sistēmas trijos mainīgos lielumos, kas ir atkarīgi, var rasties no trim identiskām plaknēm, trim plaknēm, kas krustojas taisnē, vai divām identiskām plaknēm, kas krustojas ar trešo līnijā.


Skatīties video: . Matemātika. Trigonometriskie pamatvienādojumi (Decembris 2021).