Raksti

8: Laplasa pārvērtības - matemātika


ŠAJĀ NODAĻĀ mēs pētām Laplasa transformāciju metodi, kas ilustrē vienu no pamata matemātikas problēmu risināšanas paņēmieniem: pārveidot sarežģītu problēmu vieglākā, atrisināt pēdējo un pēc tam izmantot tās risinājumu, lai iegūtu sākotnējās problēmas risinājumu. Tas jo īpaši attiecas uz fiziskām problēmām, kas saistītas ar nepārtrauktām piespiešanas funkcijām.


8: Laplasa pārvērtības - matemātika

Visi MDPI publicētie raksti ir nekavējoties pieejami visā pasaulē ar atvērtas piekļuves licenci. Lai atkārtoti izmantotu visu MDPI publicēto rakstu vai tā daļu, ieskaitot attēlus un tabulas, nav nepieciešama īpaša atļauja. Rakstiem, kas publicēti ar brīvpiekļuves Creative Common CC BY licenci, jebkuru raksta daļu var atkārtoti izmantot bez atļaujas, ja ir skaidri norādīts oriģināls.

Feature Papers ir vismodernākais pētījums ar ievērojamu potenciālu, lai šajā jomā būtu liela ietekme. Rakstus par zinātniskajiem redaktoriem iesniedz pēc individuāla uzaicinājuma vai ieteikuma, un pirms publicēšanas tie tiek salīdzināti.

Feature Paper var būt vai nu oriģināls pētniecības raksts, nozīmīgs jauns pētījums, kas bieži ietver vairākas metodes vai pieejas, vai arī visaptverošs pārskata dokuments ar kodolīgiem un precīziem atjauninājumiem par jaunākajiem sasniegumiem šajā jomā, kas sistemātiski pārskata aizraujošākos sasniegumus zinātnes jomā. literatūra. Šis papīra veids sniedz ieskatu turpmākajos izpētes virzienos vai iespējamās lietojumprogrammās.

Redaktora Choice raksti ir balstīti uz MDPI žurnālu zinātnisko redaktoru ieteikumiem no visas pasaules. Redaktori izvēlas nelielu skaitu nesen žurnālā publicētu rakstu, kuri, viņuprāt, būs īpaši interesanti autoriem vai svarīgi šajā jomā. Mērķis ir sniegt momentuzņēmumu par dažiem aizraujošākajiem darbiem, kas publicēti dažādās žurnāla pētniecības jomās.


8: Laplasa pārvērtības - matemātika

Ir pienācis laiks atgriezties pie diferenciālvienādojumiem. Pēdējās trīs sadaļas esam pavadījuši, mācoties, kā veikt Laplasa transformācijas un kā veikt apgrieztās Laplasa transformācijas. Šīs būs nenovērtējamas prasmes nākamajās pāris sadaļās, tāpēc neaizmirstiet to, ko mēs tur iemācījāmies.

Pirms turpināt diferenciālvienādojumus, mums būs nepieciešama vēl viena formula. Mums būs jāzina, kā veikt atvasinājuma Laplasa pārveidojumu. Vispirms atcerieties, ka (f ^ <(n)> ) apzīmē (n ^ < mbox> ) atvasinājums no funkcijas (f ). Tagad mums ir šāds fakts.

Pieņemsim, ka (f ), (f '), (f' '),… (f ^ <(n-1)> ) ir nepārtrauktas funkcijas un (f ^ <(n) > ) ir pa daļām nepārtraukta funkcija. Tad,

[ mathcal pa kreisi <<>> pa labi > = F pa kreisi (s pa labi) - <>> f pa kreisi (0 pa labi) - <>> f ' left (0 right) - cdots - s pa labi) >> pa kreisi (0 pa labi) - pa labi) >> pa kreisi (0 pa labi) ]

Tā kā mēs strādāsim ar otrās kārtas diferenciālvienādojumiem, būs ērti veikt pirmo divu atvasinājumu Laplasa transformāciju.

[ sākas mathcal pa kreisi < right > & = sY left (s right) - y left (0 right) mathcal pa kreisi < labi > & = Y pa kreisi (s pa labi) - sy pa kreisi (0 pa labi) - y ' pa kreisi (0 pa labi) beigas]

Ievērojiet, ka divi funkciju novērtējumi, kas parādās šajās formulās, (y left (0 right) ) un (y ' left (0 right) ), bieži vien ir tie, ko mēs esam izmantojuši sākotnējam nosacījumam mūsu IVP. Tātad, tas nozīmē, ka, ja mēs izmantosim šīs formulas, lai atrisinātu IVP, mums būs nepieciešami sākotnējie nosacījumi pie (t = 0 ).

Kaut arī Laplasa transformācijas ir īpaši noderīgas nehomogēniem diferenciālvienādojumiem, kuru piespiešanas funkcijā ir Heaviside funkcijas, mēs sāksim ar pāris diezgan vienkāršām problēmām, lai ilustrētu procesa darbību.

Pirmais solis Laplasa transformāciju izmantošanā, lai atrisinātu IVP, ir veikt katra diferenciālvienādojuma termina transformāciju.

[ mathcal pa kreisi < labi > - 10 mathcal pa kreisi < right > + 9 mathcal pa kreisi = mathcal pa kreisi <<5t> pa labi > ]

Izmantojot atbilstošās formulas no mūsu Laplasa transformāciju tabulas, mēs varam iegūt sekojošo.

[Y kreisais (s labais) - sy kreisais (0 labais) - y ' kreisais (0 labais) - 10 kreisais ( pa labi) + 9Y pa kreisi (s pa labi) = frac <5> <<>>]

Pievienojiet sākotnējos nosacījumus un savāciet visus vārdus, kuros ir (Y (s) ).

[ pa kreisi (<- 10s + 9> pa labi) Y pa kreisi (s pa labi) + s - 12 = frac <5> <<>>]

Šajā brīdī ir ērti atcerēties to, ko mēs cenšamies darīt. Mēs cenšamies atrast IVP risinājumu (y (t) ). Tas, ko mums ir izdevies atrast šajā brīdī, nav risinājums, bet tā Laplasa transformācija. Tātad, lai atrastu risinājumu, viss, kas mums jādara, ir veikt apgriezto transformāciju.

Pirms to izdarīsim, ņemiet vērā, ka tā pašreizējā formā mums daļēji būs jāveic divas reizes. Tomēr, ja apvienosim abus terminus uz augšu, daļējas daļas veiksim tikai vienu reizi. Ne tikai tas, bet kombinētā termina saucējs būs identisks pirmā termina saucējam. Tas nozīmē, ka mēs ejam uz daļēju daļu ar terminu ar šo saucēju neatkarīgi no tā, lai mēs varētu arī padarīt skaitītāju nedaudz īsāku un pēc tam tikai daļēju daļu vienu reizi.

Šī ir viena no tām lietām, kurā mēs acīmredzami padarām problēmu vājāku, taču šajā procesā mēs ietaupīsim sev pietiekami daudz darba!

Abu terminu apvienošana dod:

Daļēja frakcijas sadalīšanās šai transformācijai ir

Ja skaitītāji tiek iestatīti vienādi,

[5 + 12 - = Kā pa kreisi ( pa labi) pa kreisi ( pa labi) + B pa kreisi ( pa labi) pa kreisi ( pa labi) + C pa kreisi ( pa labi) + D pa kreisi ( aisnība)]

Izvēloties atbilstošas ​​ (s ) vērtības un atrisinot konstantes,

Pievienojot konstantes,

Visbeidzot, veicot apgriezto transformāciju, mēs iegūstam IVP risinājumu.

Tas bija pietiekami daudz darba problēmai, kuru, iespējams, varēja atrisināt daudz ātrāk, izmantojot iepriekšējās nodaļas paņēmienus. Šīs problēmas mērķis bija parādīt, kā mēs izmantosim Laplasa transformācijas, lai atrisinātu IVP.

Šeit ir jāatzīmē pāris lietas par Laplasa transformāciju izmantošanu IVP risināšanai. Pirmkārt, izmantojot Laplasa transformācijas, diferenciālvienādojums tiek samazināts līdz algebras problēmai. Pēdējā piemēra gadījumā algebra, iespējams, bija sarežģītāka nekā tiešā pieeja no pēdējās nodaļas. Tomēr vēlākās problēmās tas tiks mainīts. Lai gan algebra joprojām ir ļoti netīra, tā bieži būs vieglāka nekā tieša pieeja.

Otrkārt, atšķirībā no pēdējās nodaļas pieejas, mums vispirms nebija jāatrod vispārējs risinājums, tas jādiferencē, jāpievieno sākotnējie nosacījumi un pēc tam jāatrisina, lai konstantes iegūtu risinājumu. Izmantojot Laplasa transformācijas, sākotnējie nosacījumi tiek piemēroti pirmā soļa laikā, un beigās mēs iegūstam faktisko risinājumu, nevis vispārēju risinājumu.

Daudzās vēlākajās problēmās Laplasa transformācijas padarīs problēmas ievērojami vieglāk darbināmas nekā tad, ja mēs būtu rīkojušies tieši pēdējā nodaļā. Turklāt, kā redzēsim, ir daži diferenciālvienādojumi, kurus vienkārši nevar izdarīt, izmantojot pēdējās nodaļas paņēmienus, un tādos gadījumos Laplasa transformācijas būs mūsu vienīgais risinājums.

Apskatīsim vēl vienu diezgan vienkāršu problēmu.

Tāpat kā pirmajā piemērā, vispirms ņemsim Laplace pārveidojumu par visiem diferenciālvienādojuma vienumiem. Lai iegūtu, pievienosim spraudni sākotnējiem nosacījumiem,

[ sākas2 pa kreisi (<Y kreisais (s labais) - sy kreisais (0 labais) - y ' kreisais (0 labais)> labais) + 3 kreisais ( pa labi) - 2Y pa kreisi (s pa labi) & = frac <1> <<<< pa kreisi ( pa labi)> ^ 2 >>> pa kreisi (<2+ 3s - 2> pa labi) Y pa kreisi (s pa labi) + 4 & = frac <1> <<<< pa kreisi ( pa labi)> ^ 2 >>> beigas]

Tagad, tāpat kā mēs to darījām pēdējā piemērā, mēs turpināsim apvienot abus terminus, jo mums tik un tā būs daļēji jāsadala pirmais saucējs, tāpēc mēs varam arī padarīt skaitītāju nedaudz sarežģītāku un vienkārši izveidot vienu daļēja frakcija. Tas dos,

Daļējā frakcijas sadalīšanās ir

Nosakot skaitītāja vienādu vērtību,

Šajā gadījumā, iespējams, ir vieglāk vienkārši iestatīt koeficientus vienādus un atrisināt iegūto vienādojumu sistēmu, nevis izvēlēties (s ) vērtības. Tātad, šeit ir sistēma un tās risinājums.

[ pa kreisi. < sākas& : & A + 2B & = 0 & : & 6A + 7B + 2C & = - 4 & : & 12A + 4B + 3C + 2D & = - 16 & : & 8A - 4B - 2C - D & = - 15 beigas> right > hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> sākasA & = - frac <<192>> <<125>> & B & = frac <<96>> <<125>> C & = - frac <2> <<25>> & D & = - frac <1> <5> beigas]

Mēs iegūsim kopsaucēju 125 visiem šiem koeficientiem un koeficientam, kad mēs tos ieslēgsim atpakaļ transformācijā. To darot,

Ievērojiet, ka mums vajadzēja arī koeficientu 2 aprēķināt no pirmā termina saucēja un salabot pēdējā termina skaitītāju, lai tie atbilstu pareizajiem ierakstiem mūsu transformāciju tabulā.

Pēc tam apgriežot apgriezto transformāciju,

Veikt visu Laplace pārveidojumu un pieslēgt sākotnējos nosacījumus.

[ sākasY kreisais (s labais) - sy kreisais (0 labais) - y ' kreisais (0 labais) - 6 kreisais ( pa labi) + 15Y pa kreisi (s pa labi) & = 2 frac <3> <<+ 9 >> pa kreisi (<- 6s + 15> pa labi) Y pa kreisi (s pa labi) + s - 2 & = frac <6> <<+ 9 >> beigas]

Tagad atrisiniet (Y (s) ) un apvienojiet vienā termiņā, kā mēs to darījām iepriekšējos divos piemēros.

[Y pa kreisi (s pa labi) = frac << - + 2 - 9s + 24 >> << pa kreisi (<+ 9> pa labi) pa kreisi (<- 6 s + 15> pa labi) >> ]

Tagad veiciet daļējās frakcijas. Vispirms iegūstam daļēju frakciju sadalīšanos.

Nosakot skaitītājus vienādi,

Koeficientu iestatīšana vienāda un konstantu atrisināšana dod,

[ pa kreisi. sākas& : & A + C & = - 1 & : & - 6A + B + D & = 2 & : & 15A - 6B + 9C & = - 9 & : & 15B + 9D & = 24 beigas right > hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> sākas A & = frac <1> <<10>> & B & = frac <1> <<10>> C & = - frac <<11>> <<10>> & D & = frac <5> <2> beigas]

Tagad pievienojiet tos sadalījumam, aizpildiet kvadrātu otrā termina saucējā un pēc tam nofiksējiet apgrieztās transformācijas procesa skaitītājus.

Visbeidzot, veiciet apgriezto pārveidošanu.

Līdz šim mēs esam apskatījuši tikai IVP, kuru sākotnējās vērtības bija (t = 0 ). Tas ir tāpēc, ka mums ir nepieciešamas sākotnējās vērtības, lai būtu šajā brīdī, lai ņemtu atvasinājumu Laplasa transformāciju. Šī visa problēma ir tā, ka pasaulē ir IVP, kuru sākotnējās vērtības ir vietās, kas nav (t = 0 ). Laplasa transformācijas nebūtu tik noderīgas kā tas ir, ja mēs to nevarētu izmantot šāda veida IVP. Tātad, lai redzētu, kā rīkoties ar šāda veida problēmām, mums jāaplūko piemērs, kurā sākotnējie nosacījumi nav (t = 0 ).

Pirmā lieta, kas mums būs jādara šeit, ir rūpēties par to, lai sākotnējie apstākļi nebūtu (t = 0 ). Vienīgais veids, kā mēs varam ņemt atvasinājumu Laplasa transformāciju, ir sākotnējie nosacījumi pie (t = 0 ).

Tas nozīmē, ka mums IVP būs jāformulē tā, lai sākotnējie apstākļi būtu (t = 0 ). Tas faktiski ir diezgan vienkārši izdarāms, tomēr mums būs jāmaina mainīgais, lai tas darbotos. Mēs gatavojamies definēt

[ eta = t - 3 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> , , , t = eta + 3 ]

Sāksim ar sākotnējo diferenciālvienādojumu.

[y '' left (t right) + 4y ' left (t right) = cos left ( pa labi) + 4t ]

Ievērojiet, ka mēs ievietojam atvasinājumu daļu ( left (t right) ), lai pārliecinātos, ka šeit viss ir pareizi. Mēs nākamreiz aizstāsim (t ).

[y '' left (< eta + 3> right) + 4y ' left (< eta + 3> right) = cos left ( eta right) + 4 left (< eta + 3> pa labi) ]

Tagad, lai nedaudz vienkāršotu dzīvi, definēsim,

[u left ( eta right) = y left (< eta + 3> right) ]

Tad, izmantojot ķēdes likumu, par pirmo atvasinājumu iegūstam sekojošo.

Ar līdzīgu argumentu mēs iegūstam sekojošo otro atvasinājumu.

[u '' left ( eta right) = y '' left (< eta + 3> right) ]

Sākotnējie nosacījumi (u left ( eta right) ) ir,

[ sākasu kreisais (0 labais) & = y kreisais (<0 + 3> labais) = y kreisais (3 labais) = 0 u ' kreisais (0 labais) & = y' kreisais (<0 + 3> pa labi) = y ' pa kreisi (3 pa labi) = 7 beigas]

Pēc tam šo jauno mainīgo IVP ir

[u '' + 4u '= cos left ( eta right) + 4 eta + 12, hspace <0.25in> u left (0 right) = 0 , , , , , , , , u ' pa kreisi (0 pa labi) = 7 ]

Tas ir IVP, kurā mēs varam izmantot Laplasa pārveidojumus, ja visus tabulas (t ) aizstājam ar ( eta ). Tātad, ņemot šī jaunā diferenciālvienādojuma Laplasa transformāciju un pievienojot jaunos sākotnējos apstākļus,

Ņemiet vērā, ka atšķirībā no iepriekšējiem piemēriem mēs šoreiz ne pilnībā apvienojām visus terminus. Visos iepriekšējos piemēros mēs to izdarījām, jo ​​viena termina saucējs bija visu terminu kopsaucējs. Tāpēc, apvienojot, viss, ko mēs darījām, bija padarīt skaitītāju nedaudz īsāku un samazināt vajadzīgo daļējo daļu skaitu no divām uz vienu. Ņemiet vērā, ka visi šī pārveidojuma termini, kuriem saucējā bija tikai (s ) pilnvaras, tika apvienoti tieši šī iemesla dēļ.

Tomēr šajā pārveidojumā, ja mēs apvienotu abus atlikušos vārdus vienā termiņā, mums paliktu diezgan iesaistīta daļējas frakcijas problēma. Tāpēc šajā gadījumā, iespējams, būtu vieglāk divreiz veikt daļējas frakcijas. Šajā sadaļā mēs esam veikuši vairākas daļēju frakciju problēmas un iepriekšējās pāris sadaļās daudzas daļējas frakcijas problēmas, tāpēc daļējās frakcionēšanas detaļas atstāsim jums pārbaudīt. Daļēji sadalot katru no mūsu pārveidošanas noteikumiem, iegūstam sekojošo.

Pievienojot tos mūsu pārveidošanai un apvienojot līdzīgus terminus, mēs iegūstam

Tagad, veicot apgriezto transformāciju, tiks sniegts risinājums mūsu jaunajam IVP. Neaizmirstiet lietot ( eta ) s (t ) s vietā!

Tas, protams, nav risinājums, pēc kura mēs esam. Mēs esam pēc (y (t) ). Tomēr mēs to varam iegūt, to pamanot

[y left (t right) = y left (< eta + 3> right) = u left ( eta right) = u left ( aisnība)]

Tātad sākotnējā IVP risinājums ir

Tātad, tagad mēs varam veikt IVP, kuriem nav sākotnējo nosacījumu, kas būtu (t = 0 ). Pēdējā piemērā mēs redzējām arī to, ka ne vienmēr ir labākais apvienot visus vārdus vienā daļējas daļas problēmā, kā mēs to darījām pirms šī piemēra.

Šajā sadaļā izmantotie piemēri būtu bijuši tikpat viegli, ja ne vieglāk, ja mēs būtu izmantojuši iepriekšējās nodaļas paņēmienus. Viņi šeit strādāja, izmantojot Laplasa transformācijas, lai ilustrētu tehniku ​​un metodi.


Ko dara Laplasa transformācija?

Galvenā Laplasa transformācijas ideja ir tāda, ka mēs varam atrisināt vienādojumu (vai vienādojumu sistēmu), kurā ir diferenciālie un integrālie termini, pārveidojot vienādojumutatstarpe "uz vienu iekšā"s-space ". Tas padara problēmu daudz vieglāk atrisināmu. Tādas problēmas, kurās Laplace Transform ir nenovērtējama, rodas elektronikā. Jūs varat veikt īslaicīgu priekšskatījumu sadaļā Laplace lietojumprogrammas.

Ja nepieciešams, mēs varam atrast apgrieztā Laplasa transformācija, kas mums atkal sniedz risinājumu "t-telpa ".


Pierakstiet sekojošo diferenciālvienādojumu papildu vienādojumus un tādējādi tos atrisiniet.

1. piemērs

"(dy) / (dt) + y = grēks 3t", ņemot vērā to y = 0 kad t = 0.

Abas puses Laplace transformācijas iegūšana dod:

Atrisinot un daļējas frakcijas sadalīšanās atrašana dod:

Ērtu `s` vērtību aizstāšana dod mums

"s = -1" dod "3 = 10A", kas dod "A = 3/10".

"s = 0" dod "3 = 9A + C", kas dod "C = 3/10".

"s = 1" dod "3 = 10A + 2B + 2C", kas dod mums "B = -3 / 10".

Apgrieztās Laplasa tranformas atrašana mums dod risinājumu y kā funkcija t:


Saturs

Šī ir skaitliskā transformācijas (2) realizācija, kas sākotnējo $ f (t) $, $ 0 & lt t & lt infty $ iekļauj transformācijā $ F (p) $, $ p = sigma + i tau $, kā arī Laplasa transformācijas skaitliskā inversija, tas ir, $ f (t) $ skaitliskā noteikšana no integrālā vienādojuma (2) vai no inversijas formulas (4).

Nepieciešamība pielietot skaitlisko Laplasa transformāciju rodas tāpēc, ka oriģinālu un transformāciju tabulas nekādā gadījumā neaptver visus praksē sastopamos gadījumus, kā arī kā sekas tam, ka oriģinālu vai transformāciju bieži izsaka formulas, kas ir pārāk sarežģītas un neērtas lietojumprogrammām.

Ja reālās vērtības ir $ p $, formulu (2), ņemot vērā dažus papildu pieņēmumus, var samazināt līdz integrālai vērtībai ar Laguerre svaru:

$ tag <6> F (p) = frac <1>

int ierobežo _ <0> ^ infty x ^ e ^ <-> x phi (x) d x $

dažiem $ s geq 0 $. Noteiktos apstākļos Laplasa transformācija samazinās līdz integrālam (6) kompleksam $ p $ (sk. [9]).

Lai aprēķinātu (6) integrāli, var izmantot kvadratu formulu

$ tag <7> int limits _ <0> ^ infty x ^ e ^ <-> x phi (x) d x aptuveni summa _ 1 ^ A _ ^ <(> s) phi (x _ ^ <(> s)), $

kur koeficienti $ A _ ^ <(> s) $ un punkti $ x _ ^ <(> s) $ tiek izvēlēti tādā veidā, ka vienādojums (7) fiksētajam $ n $ ir precīzs vai nu visiem polinomiem ar pakāpes $ leq 2 n - 1 $, vai kādai racionālu funkciju sistēmai, atkarībā no $ phi (x) $ īpašības. Koeficienti $ A _ ^ <(> s) $ un punkti $ x _ ^ <(> s) $ šādām kvadratu formulām ir aprēķinātas daudzām $ s $ vērtībām (sk. [9] - [11]).

Laplasa transformācijas apgriešanas problēma kā pirmā veida integrālā vienādojuma (2) $ f (x) $ risinājuma atrašanas problēma attiecas uz slikti izvirzītu problēmu klasi, un to var atrisināt, jo īpaši regulēšanas algoritma līdzekļi.

Laplasa transformācijas skaitliskās inversijas problēmu var atrisināt arī ar metodēm, kuru pamatā ir oriģināla paplašināšana funkciju virknē. Šeit, pirmkārt, var veikt paplašinājumu jaudas sērijā, vispārinātu jaudas sēriju, eksponenciālu funkciju sēriju, kā arī ortogonālu funkciju virkni, jo īpaši Čebiševas, Legendras, Džeikobi vai Lagerras polinomos. Oriģināla paplašināšanas problēma Čebiševa, Legendra vai Džeikobi polinomu sērijā tā galīgajā formā samazina momentu problēmu ar ierobežotu intervālu. Pieņemsim, ka kāds zina Laplasa transformāciju $ F (p) $ no funkcijas $ beta (t) f (t) $:

$ F (p) = int ierobežojumi _ <0> ^ infty e ^ <-> pt beta (t) f (t) d t, $

kur $ f (t) $ ir nezināma funkcija un $ beta (t) $ ir negatīva integrējama funkcija vietnē $ [0, infty] $. Pieņemsim, ka $ f (t) $ ir integrējams jebkurā ierobežotā intervālā $ [0, T] $ un pieder klasei $ L _ <2> ( beta (t), [0, infty)) $. No $ beta (t) f (t) $ pārveidošanas $ F (p) $ funkciju $ f (t) $ var konstruēt kā virkni pārvietotos Jacobi polinomos, it īpaši pārvietotos Legendre polinomos un Čebiševas polinomos. pirmā un otrā veida koeficienti $ a _ $ no kuriem tiek aprēķināti pēc formulas

$ a _ = summa _ 0 ^ alfa _ ^ <(> k) F (i), $

kur $ alfa _ ^ <(> k) $ ir attiecīgi novirzīto Legendre polinomu vai Čebiševa polinomu koeficienti, kas rakstīti attiecīgi $ sum _ 1 ^ alfa _ ^ <(> k) x ^ $ (skat. [4]).

Pieņemsim, ka funkcijai $ f (t) $ tiek dota Laplasa transformācija $ F (p) $ un ka $ f (t) $ atbilst nosacījumam

$ int ierobežo _ <0> ^ infty e ^ <-> t t ^ lambda | f (t) | ^ <2> d t & lt infty, lambda & gt - 1. $

Tad $ f (t) $ var paplašināt virknē vispārinātu Laguerre polinomu,

kas vidēji saplūst ar $ f (t) $. Koeficienti $ a _ Šīs sērijas $ aprēķina pēc formulas

Vēl viena Laplasa transformācijas invertēšanas metode ir kvadratu formulu konstruēšana inversijas integrālim (4).

Transformācija $ F (p) $ mēdz būt nulle, ja punkts $ p $ tiecas uz bezgalību tādā veidā, ka $ mathop < rm Re> p $ tiecas uz bezgalību. Pieņemsim, ka $ F (p) $ samazinās polinomiski, tas ir, $ F (p) $ var izteikt formā

$ F (p) = frac <1>

> phi (p), s & gt 0, $

Integrālam (8) ir konstruēta interpolācijas kvadratūras formula, kuras pamatā ir $ phi (p) $ interpolācija ar polinomiem $ 1 / p $:

$ tag <9> f (t) = summa _ 0 ^ A _ ^ <(> s) (t) phi (p _ ) + R _ , $

kur $ p _ $ ir interpolācijas punkti, kas ir patvaļīgi un atrodas pa labi no līnijas $ mathop < rm Re> p = sigma _ $, $ R _ $ ir atlikušais formulas termins, un

Koeficienti $ a _ $ ir atkarīgi tikai no izvēlētajiem punktiem $ p _ $ un dažām to izvēles metodēm (jo īpaši attiecībā uz vienādiem attālumiem) tie ir aprēķināti (sk. [12]). Interpolācijas kvadratu formulu konverģences izpētes problēma ir sakarību atrašana starp $ phi (p) $ īpašībām un punktiem $ p _ $, par kuru var pārbaudīt, vai atlikušais termins $ R _ $ in (9) mēdz būt nulle. Šī problēma ir atrisināta noteiktiem konkrētiem punktiem $ p _ $ un dažām īpašām funkciju klasēm $ phi (p) $ (sk. [13]).

Integrālam (4) īpašās formas racionālo funkciju klasē var uzbūvēt visaugstākās precizitātes kvadratūras formulas. Lai formulas parametri nebūtu atkarīgi no $ sigma _ $ un $ t $, mainīgais mainās $ p = sigma _ + z / t $. Tad integrālis (4) iegūst formu

$ epsilon & gt 0, F ^ <*> (z) = F pa kreisi ( frac + sigma _ pa labi) = F (p). $

Tāpat kā iepriekš, pieņemsim, ka $ F ^ <*> (z) = z ^ <-> s phi (z) $. Lai aprēķinātu integrālo $ J (s) $, tiek konstruēta kvadratūras formula

$ tag <10> J (s) aptuveni summa _ 1 ^ A _ ^ <(> s) phi (z _ ^ <(> s)), $

kam jābūt precīzam jebkuram $ leq 2 n - 1 $ pakāpes polinomam $ 1 / z $. Šim nolūkam ir nepieciešams un pietiekams, ka (10) ir interpolācijas formula un ka punkti $ z _ ^ <(> s) $ ir saknes kādai ortogonālo polinomu sistēmai $ omega _ ^ <(> s) (1 / z) $. Visbeidzot, šis nosacījums noved pie formulas

kur $ z _ ^ <(> s) $ ir ortogonālo polinomu $ omega _ saknes ^ <(> s) (1 / z) $. Polinomiem $ omega _ ^ <(> s) (1 / z) $ ir zināma skaidra izteiksme, kā arī atkārtošanās saistība, diferenciālvienādojums, kuram tie ir risinājumi, un ģenerēšanas funkcija. Noteiktām īpašām $ s $ vērtībām ir parādīts, ka polinomu $ omega _ saknes (1 / z) $ atrodas labajā pusplaknē (sk. [13]). Punktu vērtības un koeficienti $ A _ ^ <(> s) $ in (11) tika norādīts laukā [12] par $ s = 1, 2, 3, 4, 5 $ $ n = 1 (1) 15 $ ar 20 pareizām zīmēm aiz komata un $ s = 0,01 (0,01) 3 $ $ n = 1 (1) 10 $ ar 7–8 pareizām zīmēm aiz komata.


Saturs

Šī ir skaitliskā transformācijas (2) realizācija, kas sākotnējo $ f (t) $, $ 0 & lt t & lt infty $ iekļauj transformācijā $ F (p) $, $ p = sigma + i tau $, kā arī Laplasa transformācijas skaitliskā inversija, tas ir, $ f (t) $ skaitliskā noteikšana no integrālā vienādojuma (2) vai no inversijas formulas (4).

Nepieciešamība pielietot skaitlisko Laplasa transformāciju rodas tāpēc, ka oriģinālu un transformāciju tabulas nekādā gadījumā neaptver visus praksē sastopamos gadījumus, kā arī kā sekas tam, ka oriģinālu vai transformāciju bieži izsaka formulas, kas ir pārāk sarežģītas un neērtas lietojumprogrammām.

Ja reālās vērtības ir $ p $, formulu (2), ņemot vērā dažus papildu pieņēmumus, var samazināt līdz integrālai vērtībai ar Laguerre svaru:

$ tag <6> F (p) = frac <1>

int ierobežo _ <0> ^ infty x ^ e ^ <-> x phi (x) d x $

dažiem $ s geq 0 $. Noteiktos apstākļos Laplasa transformācija samazinās līdz integrālam (6) kompleksam $ p $ (sk. [9]).

Lai aprēķinātu (6) integrāli, var izmantot kvadratu formulu

$ tag <7> int limits _ <0> ^ infty x ^ e ^ <-> x phi (x) d x aptuveni summa _ 1 ^ A _ ^ <(> s) phi (x _ ^ <(> s)), $

kur koeficienti $ A _ ^ <(> s) $ un punkti $ x _ ^ <(> s) $ tiek izvēlēti tādā veidā, ka vienādojums (7) fiksētajam $ n $ ir precīzs vai nu visiem polinomiem ar pakāpes $ leq 2 n - 1 $, vai kādai racionālu funkciju sistēmai, atkarībā no $ phi (x) $ īpašības. Koeficienti $ A _ ^ <(> s) $ un punkti $ x _ ^ <(> s) $ šādām kvadratu formulām ir aprēķinātas daudzām $ s $ vērtībām (sk. [9] - [11]).

Laplasa transformācijas apgriešanas problēma kā pirmā veida integrālā vienādojuma (2) $ f (x) $ risinājuma atrašanas problēma attiecas uz slikti izvirzītu problēmu klasi, un to var atrisināt, jo īpaši regulēšanas algoritma līdzekļi.

Laplasa transformācijas skaitliskās inversijas problēmu var atrisināt arī ar metodēm, kuru pamatā ir oriģināla paplašināšana funkciju virknē. Šeit, pirmkārt, var veikt paplašinājumu jaudas sērijā, vispārinātu jaudas sēriju, eksponenciālu funkciju sēriju, kā arī ortogonālu funkciju virkni, jo īpaši Čebiševas, Legendras, Džeikobi vai Lagerras polinomos. Oriģināla paplašināšanas problēma Čebiševa, Legendra vai Džeikobi polinomu sērijā tā galīgajā formā samazina momentu problēmu ar ierobežotu intervālu. Pieņemsim, ka kāds zina Laplasa transformāciju $ F (p) $ no funkcijas $ beta (t) f (t) $:

$ F (p) = int ierobežojumi _ <0> ^ infty e ^ <-> pt beta (t) f (t) d t, $

kur $ f (t) $ ir nezināma funkcija un $ beta (t) $ ir negatīva integrējama funkcija vietnē $ [0, infty] $. Pieņemsim, ka $ f (t) $ ir integrējams jebkurā ierobežotā intervālā $ [0, T] $ un pieder klasei $ L _ <2> ( beta (t), [0, infty)) $. No $ beta (t) f (t) $ pārveidošanas $ F (p) $ funkciju $ f (t) $ var konstruēt kā virkni pārvietotos Jacobi polinomos, it īpaši pārvietotos Legendre polinomos un Čebiševas polinomos. pirmā un otrā veida koeficienti $ a _ $ no kuriem tiek aprēķināti pēc formulas

$ a _ = summa _ 0 ^ alfa _ ^ <(> k) F (i), $

kur $ alfa _ ^ <(> k) $ ir attiecīgi novirzīto Legendre polinomu vai Čebiševa polinomu koeficienti, kas rakstīti attiecīgi $ sum _ 1 ^ alfa _ ^ <(> k) x ^ $ (skat. [4]).

Pieņemsim, ka funkcijai $ f (t) $ tiek dota Laplasa transformācija $ F (p) $ un ka $ f (t) $ atbilst nosacījumam

$ int ierobežo _ <0> ^ infty e ^ <-> t t ^ lambda | f (t) | ^ <2> d t & lt infty, lambda & gt - 1. $

Tad $ f (t) $ var paplašināt virknē vispārinātu Laguerre polinomu,

kas vidēji saplūst ar $ f (t) $. Koeficienti $ a _ Šīs sērijas $ aprēķina pēc formulas

Vēl viena Laplasa transformācijas invertēšanas metode ir kvadratu formulu konstruēšana inversijas integrālim (4).

Transformācija $ F (p) $ mēdz būt nulle, ja punkts $ p $ tiecas uz bezgalību tādā veidā, ka $ mathop < rm Re> p $ tiecas uz bezgalību. Pieņemsim, ka $ F (p) $ samazinās polinomiski, tas ir, $ F (p) $ var izteikt formā

$ F (p) = frac <1>

> phi (p), s & gt 0, $

Integrālam (8) ir konstruēta interpolācijas kvadratūras formula, kuras pamatā ir $ phi (p) $ interpolācija ar polinomiem $ 1 / p $:

$ tag <9> f (t) = summa _ 0 ^ A _ ^ <(> s) (t) phi (p _ ) + R _ , $

kur $ p _ $ ir interpolācijas punkti, kas ir patvaļīgi un atrodas pa labi no līnijas $ mathop < rm Re> p = sigma _ $, $ R _ $ ir atlikušais formulas termins, un

Koeficienti $ a _ $ ir atkarīgi tikai no izvēlētajiem punktiem $ p _ $ un dažām to izvēles metodēm (jo īpaši attiecībā uz vienādiem attālumiem) tie ir aprēķināti (sk. [12]). Interpolācijas kvadratu formulu konverģences izpētes problēma ir sakarību atrašana starp $ phi (p) $ īpašībām un punktiem $ p _ $, par kuru var pārbaudīt, vai atlikušais termins $ R _ $ in (9) mēdz būt nulle. Šī problēma ir atrisināta noteiktiem konkrētiem punktiem $ p _ $ un dažām īpašām funkciju klasēm $ phi (p) $ (sk. [13]).

Integrālam (4) īpašās formas racionālo funkciju klasē var uzbūvēt visaugstākās precizitātes kvadratūras formulas. Lai formulas parametri nebūtu atkarīgi no $ sigma _ $ un $ t $, mainīgais mainās $ p = sigma _ + z / t $. Tad integrālis (4) iegūst formu

$ epsilon & gt 0, F ^ <*> (z) = F pa kreisi ( frac + sigma _ pa labi) = F (p). $

Tāpat kā iepriekš, pieņemsim, ka $ F ^ <*> (z) = z ^ <-> s phi (z) $. Lai aprēķinātu integrālo $ J (s) $, tiek konstruēta kvadratūras formula

$ tag <10> J (s) aptuveni summa _ 1 ^ A _ ^ <(> s) phi (z _ ^ <(> s)), $

kam jābūt precīzam jebkuram $ leq 2 n - 1 $ pakāpes polinomam $ 1 / z $. Šim nolūkam ir nepieciešams un pietiekams, ka (10) ir interpolācijas formula un ka punkti $ z _ ^ <(> s) $ ir saknes kādai ortogonālo polinomu sistēmai $ omega _ ^ <(> s) (1 / z) $. Visbeidzot, šis nosacījums noved pie formulas

kur $ z _ ^ <(> s) $ ir ortogonālo polinomu $ omega _ saknes ^ <(> s) (1 / z) $. Polinomiem $ omega _ ^ <(> s) (1 / z) $ ir zināma skaidra izteiksme, kā arī atkārtošanās saistība, diferenciālvienādojums, kuram tie ir risinājumi, un ģenerēšanas funkcija. Noteiktām īpašām $ s $ vērtībām ir parādīts, ka polinomu $ omega _ saknes (1 / z) $ atrodas labajā pusplaknē (sk. [13]). Punktu vērtības un koeficienti $ A _ ^ <(> s) $ in (11) tika norādīts laukā [12] par $ s = 1, 2, 3, 4, 5 $ $ n = 1 (1) 15 $ ar 20 pareizām zīmēm aiz komata un $ s = 0,01 (0,01) 3 $ $ n = 1 (1) 10 $ ar 7–8 pareizām zīmēm aiz komata.


8: Laplasa pārvērtības - matemātika

Šajā nodaļā mēs aplūkosim, kā izmantot Laplasa transformācijas, lai atrisinātu diferenciālvienādojumus. Pasaulē ir daudz dažādu pārvērtību. Laplasa transformācijas un Furjē transformācijas, iespējams, ir galvenie divu veidu pārveidojumi, kas tiek izmantoti. Kā redzēsim nākamajās sadaļās, mēs varam izmantot Laplasa pārveidojumus, lai diferenciālvienādojumu samazinātu līdz algebras problēmai. Algebra dažreiz var būt netīra, taču daudzos gadījumos tā būs vienkāršāka nekā faktiski tieši atrisināt diferenciālvienādojumu. Laplasa transformācijas var izmantot arī, lai atrisinātu IVP, uz kuriem mēs nevaram izmantot nevienu iepriekšējo metodi.

“Vienkāršiem” diferenciālvienādojumiem, tādiem kā pēdējās nodaļas pirmajās sadaļās, Laplasa transformācijas būs sarežģītākas nekā mums vajadzīgs. Faktiski lielākajai daļai viendabīgu diferenciālvienādojumu, piemēram, tiem, kas atrodas pēdējā nodaļā, Laplasa transformācijas ir ievērojami garākas un nav tik noderīgas. Arī daudzi no “vienkāršajiem” nehomogēniem diferenciālvienādojumiem, kurus mēs redzējām nenoteiktajos koeficientos un parametru variācijās, joprojām ir vienkāršāk (vai vismaz ne grūtāk par Laplasa transformācijām) izdarīt tā, kā mēs to darījām tur. Tomēr šajā brīdī Laplasa transformācijām nepieciešamā darba apjoms sāk būt vienāds ar darba apjomu, ko veicām šajās sadaļās.

Laplasa transformācijas iestājas pašas, kad diferenciālvienādojuma piespiešanas funkcija sāk kļūt sarežģītāka. Iepriekšējā nodaļā mēs aplūkojām tikai nehomogēnus diferenciālvienādojumus, kuros (g (t) ) bija diezgan vienkārša nepārtraukta funkcija. Šajā nodaļā mēs sāksim aplūkot (g (t) ), kas nav nepārtraukti. Tieši šīs problēmas sāk skaidroties par Laplasa transformāciju izmantošanas iemesliem.

Mēs redzēsim arī to, ka dažiem sarežģītākajiem nehomogēniem diferenciālvienādojumiem no pēdējās nodaļas Laplasa transformācijas faktiski ir arī šīs problēmas.

Šeit ir īss šīs nodaļas sadaļu pārskats.

Definīcija - Šajā sadaļā mēs sniedzam Laplasa transformācijas definīciju. Mēs arī aprēķināsim pāris Laplasa transformācijas, izmantojot definīciju.

Laplasa transformācijas - Šajā sadaļā mēs iepazīstinām ar veidu, kā mēs parasti aprēķinām Laplasa transformācijas, lai izvairītos no nepieciešamības izmantot definīciju. Mēs apspriežam šajā materiālā izmantoto Laplasa transformāciju tabulu un izstrādājam dažādus piemērus, kas ilustrē Laplasa transformāciju tabulas izmantošanu.

Apgrieztās Laplasa transformācijas - šajā sadaļā mēs uzdodam pretēju jautājumu no iepriekšējās sadaļas. Citiem vārdiem sakot, ņemot vērā Laplasa transformāciju, kāda funkcija mums sākotnēji bija? Mēs atkal strādājam ar dažādiem piemēriem, kas ilustrē to, kā izmantot Laplasa transformāciju tabulu, kā arī dažas no manipulācijām ar doto Laplasa transformāciju, kas nepieciešama tabulas izmantošanai.

Solis Funkcijas - Šajā sadaļā mēs iepazīstinām ar soli vai Heaviside funkciju. Mēs ilustrējam, kā rakstīt fragmentu funkciju Heaviside funkciju izteiksmē. Mēs arī izmantojam dažādus piemērus, kas parāda, kā veikt Laplasa transformācijas un apgrieztās Laplasa transformācijas, kurās iesaistītas Heaviside funkcijas. Mēs arī iegūstam formulas Laplace transformācijas noteikšanai funkcijās, kas ietver Heaviside funkcijas.

IVP risināšana ar Laplasa transformācijām - šajā sadaļā mēs izpētīsim, kā izmantot Laplasa transformācijas, lai atrisinātu IVP. Šīs sadaļas piemēri aprobežojas ar diferenciālvienādojumiem, kurus varētu atrisināt, neizmantojot Laplasa transformāciju. Sākot ar šāda veida diferenciālvienādojumu, priekšrocība ir tā, ka darbs parasti nav tik iesaistīts, un mēs vienmēr varam pārbaudīt savas atbildes, ja to vēlamies.

Nonconstant Coefficient IVP’s - šajā sadaļā mēs sniegsim īsu pārskatu par Laplasa transformāciju izmantošanu, lai atrisinātu dažus nekonstantus koeficientus IVP. Šajā sadaļā mēs nestrādājam ļoti daudz piemēru. Mēs strādājam tikai pāris, lai ilustrētu, kā process darbojas ar Laplasa transformācijām.

IVP ar soļu funkcijām - šī ir sadaļa, kurā patiešām kļūst acīmredzams Laplasa transformāciju izmantošanas iemesls. Mēs izmantosim Laplasa pārveidojumus, lai atrisinātu IVP, kas satur Heaviside (vai step) funkcijas. Bez Laplasa transformācijām šo problēmu risināšana prasītu diezgan daudz darba. Lai gan mēs strādājam vienā no šiem piemēriem bez Laplasa transformācijām, mēs to darām tikai, lai parādītu, kas būtu iesaistīts, ja mēs mēģinātu atrisināt vienu no piemēriem, neizmantojot Laplasa transformācijas.

Dirac Delta funkcija - Šajā sadaļā mēs iepazīstinām ar Dirac Delta funkciju un iegūstam Dirac Delta funkcijas Laplasa transformāciju. Mēs strādājam ar pāris diferenciālvienādojumu risināšanas piemēriem, kas saistīti ar Dirac Delta funkcijām, un atšķirībā no problēmām ar Heaviside funkcijām mūsu vienīgā reālā iespēja šāda veida diferenciālvienādojumam ir izmantot Laplasa transformācijas. Mēs arī sniedzam jaukas attiecības starp Heaviside un Dirac Delta funkcijām.

Convolution Integral - Šajā sadaļā mēs sniedzam īsu ievadu par konvolūcijas integrālu un to, kā to var izmantot apgriezto Laplasa transformāciju uzņemšanai. Mēs arī ilustrējam tā izmantošanu diferenciālvienādojuma risināšanā, kurā forsēšanas funkcija (i., termins bez y's) nav zināms.

Laplasa transformāciju tabula - šī sadaļa ir Laplasa transformāciju tabula, kuru izmantosim materiālā. Mēs sniedzam pēc iespējas plašāku Laplasa transformāciju klāstu, ieskaitot tādus, kas nav bieži norādīti Laplasa transformāciju tabulās.


8: Laplasa pārvērtības - matemātika

no Pītera Janga, MAJ MIL, ASV USMA

Laplasa pārveido

no Pītera Janga, MAJ MIL, ASV USMA

Laplasa pārveido

no Pītera Janga, MAJ MIL, ASV USMA

Laplasa pārveido

no math.fsu.edu

Atvasinājumu un integrāļu diferenciālvienādojumu transformācijas

no lpsa.swarthmore.edu

Laplasa transformācija, kas piemērota diferenciālvienādojumiem un konversijai

no ltcconline.net

Laplasa transformācijas izmantošana sākotnējās vērtības problēmu risināšanai

no math.oregonstate.edu

Ceļvedis pirmās kārtas ODE risināšanai

no NDSU.edu

Laplasa transformācija - lineārā ODE risināšana

no Jiří Lebl

Inženieru diferenciālvienādojumi


Praksē mums faktiski nav jāatrod šis bezgalīgais integrālis katrai funkcijai f(t), lai atrastu Laplasa transformāciju. Tur ir tabula no Laplasa transformācijām, kuras mēs varam izmantot.

Šajā nodaļā mēs aplūkojam tikai Laplasa transformāciju f(t) līdz F(s) (un apgrieztais process).

Turklāt mēs aprobežojamies ar tādām funkcijām kā

Vienības solis funkcijas: "f (t) = u (t)", un

Rampas funkcijas: "f (t) = t".

Mēs nenodarbojamies ar impulsu funkcijām: `f (t) = & delta (t)`, jo tas ir ārpus šī Laplasa pārveidošanas ievada darbības jomas.


Skatīties video: 8 kl reakciju vienādojumi (Novembris 2021).