Raksti

3.2: domēns un diapazons


Mācību mērķi

  • Atrodiet vienādojuma definētās funkcijas domēnu.
  • Grafiks pa daļām definētas funkcijas.

Ja jums ir noskaņojums uz drausmīgu filmu, iespējams, vēlēsities apskatīt vienu no piecām visu laiku populārākajām šausmu filmām - Es esmu leģenda, Hanibals, Gredzens, Grudge un The Conjuring. Attēlā ( PageIndex {1} ) ir parādīta dolāru izteiksmē katra no šīm filmām bruto, kad tās tika izlaistas, kā arī biļešu pārdošanas apjoms šausmu filmām kopumā pa gadiem. Ievērojiet, ka mēs varam izmantot datus, lai izveidotu katras filmas nopelnītās summas vai visu šausmu filmu kopējo biļešu pārdošanas funkciju gadā. Veidojot dažādas funkcijas, izmantojot datus, mēs varam identificēt dažādus neatkarīgus un atkarīgus mainīgos, kā arī analizēt datus un funkcijas, lai noteiktu domēnu un diapazonu. Šajā sadaļā mēs izpētīsim metodes, kā noteikt tādu domēnu un funkciju diapazonu kā šīs.

Ar vienādojumu definētas funkcijas domēna atrašana

Sadaļā Funkcijas un funkciju apzīmējumi mēs tikām iepazīstināti ar jēdzieniem domēns un diapazons. Šajā sadaļā mēs praktizēsim domēnu un diapazonu noteikšanu noteiktām funkcijām. Paturiet prātā, ka, nosakot domēnus un diapazonus, mums jāņem vērā tas, kas fiziski ir iespējams vai jēgpilns reālās pasaules piemēros, piemēram, biļešu pārdošana un gads iepriekš šausmu filmu piemērā. Mums arī jāapsver tas, kas ir matemātiski atļauts. Piemēram, mēs nevaram iekļaut nevienu ievades vērtību, kas liek mums vienmērīgi iesakņoties negatīvam skaitlim, ja domēns un diapazons sastāv no reāliem skaitļiem. Vai arī funkcijā, kas izteikta kā formula, domēnā nevar iekļaut nevienu ievades vērtību, kas liktu mums dalīties ar 0.

Mēs varam vizualizēt domēnu kā “turēšanas zonu”, kas satur “izejvielas” “funkcionālajai mašīnai”, un diapazonu kā citu “turēšanas zonu” mašīnas izstrādājumiem (attēls ( PageIndex {2} )).

Mēs varam uzrakstīt domēns un diapazons iekšā intervāla apzīmējums, kas iekavās esošās vērtības izmanto, lai aprakstītu skaitļu kopu. Intervālu apzīmējumos mēs izmantojam kvadrātiekavu [kad kopa ietver galapunktu un iekavas (lai norādītu, ka galapunkts vai nu nav iekļauts, vai arī intervāls nav ierobežots. Piemēram, ja personai ir iztērējami 100 ASV dolāri, viņš vai viņa jāizsaka intervāls, kas ir lielāks par 0 un mazāks vai vienāds ar 100, un jāraksta ( left (0, 100 right] ). Mēs vēlāk sīkāk apspriedīsim intervāla apzīmējumus.

Pievērsīsim uzmanību funkcijas domēna atrašanai, kuras vienādojums ir sniegts. Bieži vien šādu funkciju domēna atrašana ietver trīs dažādu formu atcerēšanos. Pirmkārt, ja funkcijai nav saucēja vai pat saknes, apsveriet, vai domēnā varētu būt visi reālie skaitļi. Otrkārt, ja funkcijas vienādojumā ir saucējs, izslēdziet domēna vērtības, kas piespiež saucēju būt nulle. Treškārt, ja ir pat sakne, apsveriet iespēju izslēgt vērtības, kas radikālu un zemi padarītu negatīvu.

Pirms sākam, pārskatīsim intervālu apzīmējumu konvencijas:

  • Vispirms tiek uzrakstīts mazākais termins no intervāla.
  • Intervāla lielākais apzīmējums tiek rakstīts otrais, aiz komata.
  • Iekavas (() vai () ) tiek izmantotas, lai norādītu, ka galapunkts nav iekļauts, ko sauc par ekskluzīvu.
  • Iekavas ([) vai (] ) tiek izmantotas, lai norādītu, ka ir iekļauts galapunkts, ko sauc par iekļaujošu.

Intervālu apzīmējumu kopsavilkumu skatiet attēlā ( PageIndex {3} ).

Piemērs ( PageIndex {1} ): Funkcijas domēna atrašana kā sakārtotu pāru kopa

Atrodiet šīs funkcijas domēnu: ( {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40) } ).

Risinājums

Vispirms identificējiet ievades vērtības. Ievades vērtība ir pirmā koordināta sakārtotā pārī. Nav ierobežojumu, jo pasūtītie pāri ir vienkārši uzskaitīti. Domēns ir sakārtoto pāru pirmo koordinātu kopa.

[ {2,3,4,5,6 } nonumber ]

Exercse ( PageIndex {1} )

Atrodiet funkcijas domēnu:

[ {(- 5,4), (0,0), (5, −4), (10, −8), (15, −12) } skaitlis ]

Atbilde

({−5, 0, 5, 10, 15})

Kā: ņemot vērā funkciju, kas rakstīta vienādojuma formā, atrodiet domēnu.

  1. Identificējiet ievades vērtības.
  2. Norādiet visus ievades ierobežojumus un izslēdziet šīs vērtības no domēna.
  3. Ja iespējams, rakstiet domēnu intervāla formā.

Piemērs ( PageIndex {2} ): Funkcijas domēna atrašana

Atrodiet funkcijas domēnu (f (x) = x ^ 2−1 ).

Risinājums

Ievades vērtība, ko vienādojumā parāda mainīgais x, tiek kvadrātā, un pēc tam rezultāts tiek pazemināts par vienu. Jebkuru reālo skaitli var kvadrātā un pēc tam samazināt par vienu, tāpēc šīs funkcijas domēnam nav ierobežojumu. Domēns ir reālo skaitļu kopa.

Intervāla formā f domēns ir ((- infty, infty) ).

Exercse ( PageIndex {2} )

Atrodiet funkcijas domēnu:

[f (x) = 5 − x + x ^ 3 numurs bez]

Atbilde

((- infty, infty) )

Howto: ņemot vērā funkciju, kas ierakstīta vienādojuma formā, kurā ir daļa, atrodiet domēnu

  1. Identificējiet ievades vērtības.
  2. Norādiet visus ievades ierobežojumus. Ja funkcijas formulā ir saucējs, iestatiet saucēju vienādu ar nulli un atrisiniet x. Ja funkcijas formulā ir vienmērīga sakne, iestatiet radicandu lielāku vai vienādu ar 0 un pēc tam atrisiniet.
  3. Rakstiet domēnu intervāla formā, pārliecinieties, ka no domēna izslēdzat visas ierobežotās vērtības.

Piemērs ( PageIndex {3} ): Funkcijas domēna atrašana, iesaistot saucēju

Atrodiet funkcijas domēnu (f (x) = dfrac {x + 1} {2 − x} ).

Risinājums

Ja ir saucējs, mēs vēlamies iekļaut tikai tās ievades vērtības, kas nepiespiež saucēju nulli. Tātad, mēs iestatīsim saucēju vienādu ar 0 un atrisināsim x.

[ sākt {izlīdzināt *} 2 − x = 0 [4pt] −x & = - 2 [4pt] x & = 2 beigas {izlīdzināt *} ]

Tagad mēs no domēna izslēgsim 2. Atbildes ir visi reālie skaitļi, kur (x <2 ) vai (x> 2 ). Mēs varam izmantot simbolu, kas pazīstams kā savienība ( cup ), lai apvienotu abas kopas. Intervālu apzīmējumā mēs rakstām risinājumu: ((- infty, 2) ∪ (2, infty) ).

Intervāla formā f domēns ir ((- - infty, 2) cup (2, infty) ).

Exercse ( PageIndex {3} )

Atrodiet funkcijas domēnu:

[f (x) = dfrac {1 + 4x} {2x − 1} nonumber ]

Atbilde

[(- infty, dfrac {1} {2}) cup ( dfrac {1} {2}, infty) nonumber ]

Kā: ņemot vērā funkciju, kas ierakstīta vienādojuma formā, ieskaitot vienmērīgu sakni, atrodiet domēnu.

  1. Identificējiet ievades vērtības.
  2. Tā kā sakne ir vienmērīga, izslēdziet visus reālos skaitļus, kuru radikandā ir negatīvs skaitlis. Iestatiet radikandu lielāku vai vienādu ar nulli un atrisiniet ar x.
  3. Risinājums (-i) ir funkcijas joma. Ja iespējams, rakstiet atbildi intervāla formā.

Piemērs ( PageIndex {4} ): Funkcijas ar vienmērīgu sakni domēna atrašana

Atrodiet funkcijas domēnu:

[f (x) = sqrt {7-x} skaitlis. ]

Risinājums

Ja formulā ir vienmērīga sakne, mēs izslēdzam visus reālos skaitļus, kuru radikandā rodas negatīvs skaitlis.

Iestatiet radikandu lielāku vai vienādu ar nulli un atrisiniet ar x.

[ sākt {izlīdzināt *} 7 − x un ≥0 [4pt] −x un ≥ − 7 [4pt] x un ≤7 beigas {izlīdzināt *} ]

Tagad no domēna tiks izslēgti visi skaitļi, kas ir lielāki par 7. Atbildes ir visi reālie skaitļi, kas ir mazāki vai vienādi ar 7, vai ( pa kreisi (- infty, 7 pa labi] ).

Exercse ( PageIndex {4} )

Atrodiet funkcijas domēnu

[f (x) = sqrt {5 + 2x}. nonumber ]

Atbilde

[ kreisais [−2,5, infty labais) nonumber ]

Jautājumi un atbildes: vai var būt funkcijas, kurās domēns un diapazons vispār nekrustojas?

Jā. Piemēram, funkcija (f (x) = - dfrac {1} { sqrt {x}} ) kā domēnu ir visu pozitīvo reālo skaitļu kopa, bet diapazons - visu negatīvo reālo skaitļu kopa. Kā ekstrēmāks piemērs, funkcijas ieejas un izejas var būt pilnīgi dažādas kategorijas (piemēram, darba dienu nosaukumi kā ieejas un skaitļi kā izejas, kā apmeklējumu diagrammā), šādos gadījumos domēnam un diapazonam nav kopīgu elementu.

Piezīmju izmantošana domēna un diapazona norādīšanai

Iepriekšējos piemēros mēs izmantojām nevienlīdzības un sarakstus, lai aprakstītu funkciju jomu. Varam arī izmantot nevienlīdzības vai citus apgalvojumus, kas varētu definēt vērtību vai datu kopas, lai aprakstītu mainīgā uzvedību kopu veidotāja apzīmējumos. Piemēram, ( {x | 10≤x <30 } ) apraksta x darbību kopu veidotāja apzīmējumā. Bikšturi ( {} ) tiek lasīti kā “kopa”, un vertikālā josla (| ) tiek lasīta kā “tāda, ka”, tāpēc mēs lasīsim ( {x | 10≤x < 30 } ) kā “x vērtību kopa, kurā 10 ir mazāks vai vienāds ar x un x ir mazāks par 30.”

Attēlā ( PageIndex {4} ) tiek salīdzināti nevienlīdzības apzīmējumi, kopu veidotāja apzīmējumi un intervālu apzīmējumi.


Lai apvienotu divus intervālus, izmantojot nevienlīdzības apzīmējumus vai kopu veidotāju apzīmējumus, mēs izmantojam vārdu “vai”. Kā redzējām iepriekšējos piemēros, mēs izmantojam savienojuma simbolu ( cup ), lai apvienotu divus nesaistītus intervālus. Piemēram, kopu ( {2,3,5 } ) un ( {4,6 } ) savienojums ir kopa ( {2,3,4,5,6 } ). Tas ir visu elementu kopums, kas pieder vienam vai otram (vai abiem) no sākotnējiem diviem kopumiem. Komplektiem ar ierobežotu šādu elementu skaitu elementi nav jāuzskaita skaitliskās vērtības augošā secībā. Ja sākotnējām divām kopām ir daži kopīgi elementi, savienojuma kopā šie elementi ir jāuzskaita tikai vienu reizi. Reālu skaitļu kopām ar intervālu ir vēl viens savienības piemērs

[ {x | | x | ≥3 } = pa kreisi (- infty, −3 right] cup left [3, infty right] ]

Set-Builder apzīmējumi un intervālu apzīmējumi

Set-builder apzīmējums ir metode, kā norādīt elementu kopumu, kas atbilst noteiktam nosacījumam. Tas aizņem formu ( {x | text {noteiciens par x} } ), kas tiek lasīts kā “visu x kopa, lai apgalvojums par x būtu patiess”. Piemēram,

[ {x | 4

Intervāla apzīmējums ir veids, kā aprakstīt kopas, kurās iekļauti visi reālie skaitļi starp apakšējo robežu, kas var būt vai nav iekļauta, un augšējo robežu, kas var būt vai nav iekļauta. Galapunkta vērtības ir norādītas iekavās vai iekavās. Kvadrātiekava norāda iekļaušanu komplektā, bet iekavas norāda izslēgšanu no kopas. Piemēram,

[ pa kreisi (4,12 pa labi] nonumber ]

Ņemot vērā līniju diagrammu, aprakstiet vērtību kopu, izmantojot intervālu apzīmējumus.

  1. Nosakiet intervālus, kas jāiekļauj komplektā, nosakot, kur smagā līnija pārklāj patieso līniju.
  2. Katra intervāla kreisajā galā izmantojiet [ar katru gala vērtību, kas jāiekļauj komplektā (cietais punkts) vai (katrai izslēgtajai gala vērtībai (atvērtais punkts).
  3. Katra intervāla labajā pusē izmantojiet] ar katru gala vērtību, kas jāiekļauj komplektā (aizpildīts punkts) vai) katrai izslēgtajai gala vērtībai (atvērtais punkts).
  4. Izmantojiet savienojuma simbolu ( cup ), lai visus intervālus apvienotu vienā komplektā.

Piemērs ( PageIndex {5} ): reālā skaitļa līnijas kopu aprakstīšana

Aprakstiet vērtību intervālus, kas parādīti attēlā ( PageIndex {5} ), izmantojot nevienlīdzības apzīmējumus, kopu veidotāja apzīmējumus un intervālu apzīmējumus.

Risinājums

Lai aprakstītu vērtības, (x ), kas ietvertas parādītajos intervālos, mēs teiktu: “ (x ) ir reāls skaitlis, kas lielāks vai vienāds ar 1 un mazāks vai vienāds ar 3, vai reāls skaitlis lielāks nekā 5. ”

Nevienlīdzība

[1≤x≤3 text {vai} x> 5 nonumber ]

Komplektu veidotāja apzīmējums

[ {x | 1≤x≤3 text {vai} x> 5 } nonumber ]

Intervāla apzīmējums

[[1,3] glāze (5, infty) nonumber ]

Atcerieties, ka, rakstot vai lasot intervāla apzīmējumus, kvadrātiekavas izmantošana nozīmē, ka robeža ir iekļauta komplektā. Iekavas izmantošana nozīmē, ka robeža nav iekļauta komplektā.

Exercse ( PageIndex {5} )

Dotajā attēlā ( PageIndex {6} ) norādiet grafisko kopu

  1. vārdus
  2. komplekta veidotāja apzīmējums
  3. intervāla apzīmējums
Atbilde a

Vērtības, kas ir mazākas vai vienādas ar –2, vai vērtības, kas lielākas vai vienādas ar –1 un mazākas par 3;

Atbilde b

( {x | x≤ − 2 vai −1≤x <3 } )

Atbilde c

( pa kreisi (−∞, −2 pa labi] kauss pa kreisi [−1,3 pa labi) )

Domēna un diapazona atrašana no grafikiem

Vēl viens veids, kā noteikt domēnu un funkciju diapazonu, ir grafiku izmantošana. Tā kā domēns attiecas uz iespējamo ievades vērtību kopu, diagrammas domēns sastāv no visām ieejas vērtībām, kas parādītas uz x ass. Diapazons ir iespējamo izvades vērtību kopa, kas tiek parādīta uz y ass. Paturiet prātā, ka, ja diagramma turpinās ārpus tās diagrammas daļas, kuru mēs varam redzēt, domēns un diapazons var būt lielāks par redzamajām vērtībām. Skatīt attēlu ( PageIndex {7} ).

Mēs varam novērot, ka grafiks horizontāli stiepjas no −5 uz labo pusi bez saistīšanās, tāpēc domēns ir ( left [−5,, right) ). Grafika vertikālais lielums ir visas diapazona vērtības 5 un zemākas, tāpēc diapazons ir ( left (−∞, 5 right] ). Ņemiet vērā, ka domēns un diapazons vienmēr tiek rakstīti no mazākām līdz lielākām vērtībām vai no no kreisās uz labo domēnam un no diagrammas apakšas līdz diapazona diagrammas augšai.

Piemērs ( PageIndex {6A} ): domēna un diapazona atrašana no diagrammas

Atrodiet funkcijas f domēnu un diapazonu, kura diagramma parādīta 1.2.8. Attēlā.

Risinājums

Varam novērot, ka diagrammas horizontālais apjoms ir no –3 līdz 1, tātad f domēns ir ( pa kreisi (−3,1 pa labi] ).

Grafika vertikālais lielums ir no 0 līdz –4, tāpēc diapazons ir ( pa kreisi [−4,0 pa labi] ). Skatīt attēlu ( PageIndex {9} ).

Piemērs ( PageIndex {6B} ): domēna un diapazona atrašana no naftas ieguves grafika

Atrodiet funkcijas f domēnu un diapazonu, kura diagramma ir parādīta attēlā ( PageIndex {10} ).

Risinājums

Ievades lielums pa horizontālo asi ir “gadi”, ko mēs attēlojam ar mainīgo t uz laiku. Izlaides daudzums ir “tūkstošiem barelu eļļas dienā”, ko mēs apzīmējam ar mainīgo b mucām. Diagramma var turpināties pa kreisi un pa labi, pārsniedzot skatīto, taču, pamatojoties uz redzamo diagrammas daļu, mēs varam noteikt domēnu kā (1973≤t≤2008 ) un diapazonu kā aptuveni (180≤ b≤2010 ).

Intervālu apzīmējumā domēns ir ([1973, 2008] ), un diapazons ir aptuveni ([180, 2010] ). Domēnam un diapazonam mēs tuvinām mazākās un lielākās vērtības, jo tās neietilpst tieši režģa līnijās.

Exercse ( PageIndex {6} )

Ņemot vērā attēlu ( PageIndex {11} ), identificējiet domēnu un diapazonu, izmantojot intervālu apzīmējumus.

Atbilde

domēns = ([1950,2002] )

diapazons = ([47,000,000,89,000,000] )

Vai funkcijas domēns un diapazons var būt vienādi?

Jā. Piemēram, kuba saknes funkcijas domēns un diapazons ir visu reālo skaitļu kopa.

Rīku komplekta funkciju domēnu un diapazonu atrašana

Tagad mēs atgriezīsimies pie rīkkopa funkciju kopas, lai noteiktu katras domēnu un diapazonu.

Priekš pastāvīga funkcija (f (x) = c ), domēns sastāv no visiem reālajiem skaitļiem; ievadei nav ierobežojumu. Vienīgā izvades vērtība ir konstante (c ), tāpēc diapazons ir kopa ( {c } ), kas satur šo atsevišķo elementu. Intervālu apzīmējumā tas tiek rakstīts kā ([c, c] ), intervāls, kas sākas un beidzas ar (c ).


Attēls ( PageIndex {13} ): Identitātes funkcija f (x) = x.

Priekš identitātes funkcija (f (x) = x ), (x ) nav ierobežojumu. Gan domēns, gan diapazons ir visu reālo skaitļu kopa.

Priekš absolūtās vērtības funkcija (f (x) = | x | ), (x ) nav ierobežojumu. Tomēr, tā kā absolūto vērtību definē kā attālumu no 0, izeja var būt lielāka vai vienāda ar 0.

Priekš kvadrātiskā funkcija (f (x) = x ^ 2 ), domēns ir visi reālie skaitļi, jo diagrammas horizontālais apjoms ir visa reālā skaitļa līnija. Tā kā diagrammā nav nevienas negatīvas diapazona vērtības, diapazons ir tikai negatīvie reālie skaitļi.

Priekš kubiskā funkcija (f (x) = x ^ 3 ), visi domēni ir reālie skaitļi, jo diagrammas horizontālā platība ir visa reālā skaitļa līnija. Tas pats attiecas uz diagrammas vertikālo apjomu, tāpēc domēns un diapazons ietver visus reālos skaitļus.

Priekš savstarpēja funkcija (f (x) = dfrac {1} {x} ), mēs nevaram dalīt ar 0, tāpēc mums no domēna jāizslēdz 0. Turklāt 1, dalīts ar jebkuru vērtību, nekad nevar būt 0, tāpēc diapazonā arī nebūs 0. Komplekta veidotāja apzīmējumā mēs varētu arī rakstīt ( {x | x ≠ 0 } ), visu reālo kopu. skaitļi, kas nav nulle.

Priekš abpusēja kvadrāta funkcija (f (x) = dfrac {1} {x ^ 2} ), mēs nevaram dalīt ar 0, tāpēc mums no domēna jāizslēdz 0. Nav arī tāda x, kas varētu dot rezultātu 0, tāpēc 0 tiek izslēgts arī no diapazona. Ņemiet vērā, ka šīs funkcijas izeja vienmēr ir pozitīva, ņemot vērā kvadrātu saucējā, tāpēc diapazonā ir tikai pozitīvi skaitļi.


Attēls ( PageIndex {19} ): Kvadrātsaknes funkcija (f (x) = sqrt {(x)} ).

Priekš kvadrātsaknes funkcija (f (x) = sqrt {x} ), mēs nevaram ņemt negatīvā reālā skaitļa kvadrātsakni, tāpēc domēnam jābūt 0 vai lielākam. Diapazons izslēdz arī negatīvos skaitļus, jo pozitīvā skaitļa kvadrātsakne (x ) ir definēta kā pozitīva, kaut arī negatīvā skaitļa kvadrāts (- sqrt {x} ) arī dod mums (x ).

Priekš kuba saknes funkcija (f (x) = sqrt [3] {x} ), domēns un diapazons ietver visus reālos skaitļus. Ņemiet vērā, ka nav problēmu uzņemt negatīva skaitļa kuba sakni vai jebkuru nepāra skaitļa sakni, un rezultātā iegūtais rezultāts ir negatīvs (tā ir nepāra funkcija).

Ņemot vērā funkcijas formulu, nosakiet domēnu un diapazonu.

  1. Izslēdziet no domēna visas ievades vērtības, kuru rezultātā tiek dalīts ar nulli.
  2. Izslēdziet no domēna visas ievades vērtības, kurām ir nereālas (vai nedefinētas) skaitļu izejas.
  3. Izmantojiet derīgās ievades vērtības, lai noteiktu izvades vērtību diapazonu.
  4. Apskatiet funkciju diagrammu un tabulas vērtības, lai apstiprinātu faktisko funkcijas.

Domēna un diapazona atrašana, izmantojot rīkkopa funkcijas

Atrodiet domēnu un diapazonu (f (x) = 2x ^ 3 − x ).

Risinājums

Domēnam nav ierobežojumu, jo jebkuru reālo skaitli var kubēt un pēc tam atņemt no rezultāta.

Domēns ir ((- - infty, infty) ), un diapazons ir arī ((- infty, infty) ).

Piemērs ( PageIndex {7B} ): domēna un diapazona atrašana

Atrodiet domēnu un diapazonu (f (x) = frac {2} {x + 1} ).

Risinājums

Mēs nevaram novērtēt funkciju pie -1, jo dalīšana ar nulli nav definēta. Domēns ir ((- infty, −1) cup (−1, infty) ). Tā kā funkcija nekad nav nulle, mēs no diapazona izslēdzam 0. Diapazons ir ((- - infty, 0) cup (0, infty) ).

Piemērs ( PageIndex {7C} ): domēna un diapazona atrašana

Atrodiet domēnu un diapazonu (f (x) = 2 sqrt {x + 4} ).

Risinājums

Mēs nevaram ņemt kvadrātsakni no negatīva skaitļa, tāpēc vērtībai radikāļa iekšienē jābūt negatīvai.

(x + 4 ≥0 ), kad (x ≥ − 4 )

(F (x) ) domēns ir ([- 4, infty) ).

Pēc tam mēs atrodam diapazonu. Mēs zinām, ka (f (−4) = 0 ), un funkcijas vērtība palielinās, pieaugot (x ) bez augšējās robežas. Mēs secinām, ka f diapazons ir ( left [0, infty right] ).

Analīze

Attēls ( PageIndex {19} ) attēlo funkciju (f ).

Vingrinājums ( PageIndex {7} )

Atrodiet domēnu un diapazonu

(f (x) = sqrt {−2 − x} ).

Atbilde

domēns: ( left (- infty, -2 right] )

diapazons: ( left [0, infty right] )

Grafiski pa daļām noteiktas funkcijas

Dažreiz mēs sastopamies ar funkciju, kurai nepieciešama vairāk nekā viena formula, lai iegūtu doto rezultātu. Piemēram, rīkkopa funkcijās mēs ieviesām absolūtās vērtības funkciju (f (x) = | x | ). Ar visu reālo skaitļu domēnu un vērtību diapazonu, kas lielāks vai vienāds ar 0, absolūtā vērtība var definēt kā lielumsvai modulis, ar reālu skaitļa vērtību neatkarīgi no zīmes. Tas ir attālums no 0 ciparu līnijā. Visām šīm definīcijām izejai jābūt lielākai vai vienādai ar 0.

Ja mēs ievadām 0 vai pozitīvu vērtību, izeja ir tāda pati kā ievade.

[f (x) = x ; text {if} ; x ≥0 nonumber ]

Ja mēs ievadām negatīvu vērtību, izeja ir pretēja ieejai.

[f (x) = -x ; text {if} ; x <0 nonumber ]

Tā kā tam nepieciešami divi dažādi procesi vai gabali, absolūtās vērtības funkcija ir a piemērs pa daļām funkcija. Gabalveida funkcija ir funkcija, kurā vairāk nekā viena formula tiek izmantota, lai definētu izvadi pa dažādiem domēna gabaliem.

Mēs izmantojam pa daļām funkcijas, lai aprakstītu situācijas, kurās noteikums vai saistība mainās, kad ievades vērtība šķērso noteiktas “robežas”. Piemēram, biznesā mēs bieži sastopamies ar situācijām, kurās noteiktas preces izmaksas par vienu gabalu tiek diskontētas, tiklīdz pasūtītais skaitlis pārsniedz noteiktu vērtību. Nodokļu iekavas ir vēl viens reālistisks fragmentu funkciju piemērs. Piemēram, ņemiet vērā vienkāršu nodokļu sistēmu, kurā ienākumi līdz 10 000 USD tiek aplikti ar nodokli 10% apmērā, bet visi papildu ienākumi tiek aplikti ar nodokli 20%. Kopējo ienākumu S nodoklis būtu (0,1S ), ja (S≤ 10 000 USD ) un (1000 USD + 0,2 (S-10 000 USD) ), ja (S> 10 000 USD ).

Gabaliņu funkcija

Gabalveida funkcija ir funkcija, kurā produkcijas definēšanai tiek izmantotas vairākas formulas. Katrai formulai ir savs domēns, un funkcijas domēns ir visu šo mazāko domēnu savienojums. Mēs atzīmējam šo ideju šādi:

[f (x) = sākas {gadījumi} teksts {formula 1} un teksts {ja x ir domēnā 1} teksts {formula 2} & teksts {ja x atrodas 2. domēnā} text {formula 3} & text {ja x atrodas domēnā 3} end {cases} nonumber ]

Pa daļām apzīmējums absolūtās vērtības funkcija ir

[| x | = sākums {gadījumi} x & teksts {ja $ x geq 0 $} -x & teksts {ja $ x <0 $} beigu {gadījumi} nonumber ]

Ņemot vērā funkciju pa daļām, uzrakstiet formulu un identificējiet katra intervāla domēnu.

  1. Norādiet intervālus, uz kuriem attiecas dažādi noteikumi.
  2. Nosakiet formulas, kas apraksta, kā aprēķināt izeju no ievades katrā intervālā.
  3. Funkcijas rakstīšanai izmantojiet bikšturus un if-paziņojumus.

Piemērs ( PageIndex {8A} ): atsevišķas funkcijas rakstīšana

Muzejs iekasē USD 5 vienai personai par ekskursiju gida pavadībā ar grupu no 1 līdz 9 cilvēkiem vai fiksētu maksu USD 50 apmērā grupai no 10 vai vairāk cilvēkiem. Uzraksti funkciju saistot cilvēku skaitu (n ) ar izmaksām (C ).

Risinājums

Būs vajadzīgas divas dažādas formulas. (N ) - vērtības, kas mazākas par 10, (C = 5n ). N vērtībām, kas ir 10 vai lielākas, (C = 50 ).

[C (n) = sākums {gadījumi} 5n un teksts {ja $ n <10 $} 50 & teksts {ja $ n geq10 $} beigu {gadījumi} nonumber ]

Analīze

Funkcija ir attēlota attēlā ( PageIndex {20} ). Grafiks ir diagonāla līnija no (n = 0 ) līdz (n = 10 ) un konstante pēc tam. Šajā piemērā abas formulas sakrīt tikšanās vietā, kur (n = 10 ), bet ne visām pa daļām funkcijām ir šis īpašums.

Piemērs ( PageIndex {8B} ): Darbs ar funkciju Piecewise

Mobilo tālruņu uzņēmums izmanto zemāk norādīto funkciju, lai noteiktu cenu C dolāros par datu pārraides g gigabaitiem.

[C (g) = sākums {gadījumi} 25 & teksts {ja $ 0

Atrodiet 1,5 gigabaitu datu izmantošanas izmaksas un 4 gigabaitu datu izmantošanas izmaksas.

Risinājums

Lai uzzinātu 1,5 gigabaitu datu ( (C (1,5) )) izmantošanas izmaksas, vispirms mēs redzam, kurā domēna daļā ietilpst mūsu ievade. Tā kā 1,5 ir mazāka par 2, mēs izmantojam pirmo formulu.

[C (1,5) = 25 USD bez skaitļa]

Lai uzzinātu 4 gigabaitu datu (C (4)) lietošanas izmaksas, mēs redzam, ka mūsu ievadītā vērtība 4 ir lielāka par 2, tāpēc mēs izmantojam otro formulu.

[C (4) = 25 + 10 (4–2) = 45 USD bez skaitļa]

Analīze

Funkcija ir attēlota attēlā ( PageIndex {21} ). Mēs varam redzēt, kur funkcija mainās no konstantes uz pārvietotu un izstieptu identitāti pie (g = 2 ). Dažādu formulu grafikus mēs uzzīmējam uz kopēja asu kopuma, pārliecinoties, ka katra formula tiek lietota tās pareizajā domēnā.

Ņemot vērā funkciju pa daļām, ieskicējiet grafiku.

  1. Uz x ass norādiet robežas, ko nosaka intervāli katram domēna gabalam.
  2. Katram domēna gabalam attēlojiet grafiku šajā intervālā, izmantojot atbilstošo vienādojumu, kas attiecas uz šo gabalu. Nevēlējiet divas funkcijas vienā intervālā, jo tas pārkāptu funkcijas kritērijus.

Piemērs ( PageIndex {8C} ): Funkcijas Piecewise diagramma

Ieskicējiet funkcijas grafiku.

[f (x) = sākas {gadījumi} x ^ 2 & text {ja $ x leq 1 $} 3 & text {ja $ 1 2 $} end {cases} nonumber ]

Risinājums

Katra komponenta funkcija ir no mūsu rīkkopa funkciju bibliotēkas, tāpēc mēs zinām to formas. Mēs varam iedomāties grafiku katrai funkcijai un pēc tam ierobežot grafiku līdz norādītajam domēnam. Domēna galapunktos mēs uzzīmējam atvērtus apļus, lai norādītu, kur galapunkts nav iekļauts mazākas vai lielākas par nevienlīdzību dēļ; mēs uzzīmējam slēgtu apli, kur galapunkts ir iekļauts nevienlīdzības dēļ, kas ir mazāka vai vienāda ar vai lielāka par vai vienāda ar nevienlīdzību.

Attēlā ( PageIndex {20} ) ir redzamas trīs atsevišķās koordinātu sistēmās attēlotās funkcijas pa daļām funkcijas.


Attēls ( PageIndex {20} ): Funkcijas f (x) katras daļas grafiks

(a) (f (x) = x ^ 2 ) ja (x≤1 ); (b) (f (x) = 3 ), ja (1 2 )

Tagad, kad mēs esam ieskicējuši katru gabalu atsevišķi, mēs tos apvienojam vienā un tajā pašā koordinātu plaknē. Skatīt attēlu ( PageIndex {21} ).

Analīze

Ņemiet vērā, ka diagramma iztur vertikālās līnijas testu pat pie (x = 1 ) un (x = 2 ), jo punkti ((1,3) ) un ((2,2) ) ir neietilpst funkcijas grafikā, lai gan ((1,1) ) un ((2, 3) ) ir.

Vingrinājums ( PageIndex {8} )

Uzzīmējiet šo funkciju pa daļām.

[f (x) = sākas {gadījumi} x ^ 3 & text {ja $ x <-1 $} -2 & text {ja $ -1 4 $} end {cases} nonumber ]

Atbilde

Vai domēna vērtībai var piemērot vairāk nekā vienu formulas fragmentu funkciju?

Nē. Katra vērtība pa daļām atbilst vienam vienādojumam.

Galvenie jēdzieni

  • Funkcijas domēns ietver visas reālās ievades vērtības, kas neliks mums mēģināt nedefinētu matemātisku darbību, piemēram, dalot ar nulli vai uzņemot negatīvā skaitļa kvadrātsakni.
  • Funkcijas domēnu var noteikt, uzskaitot sakārtoto pāru kopas ievades vērtības.
  • Funkcijas domēnu var noteikt arī, identificējot kā vienādojumu ierakstītas funkcijas ievades vērtības.
  • Intervāla vērtības, kas attēlotas skaitļu rindā, var aprakstīt, izmantojot nevienlīdzības apzīmējumus, kopu veidotāja apzīmējumus un intervālu apzīmējumus.
  • Daudzām funkcijām domēnu un diapazonu var noteikt pēc diagrammas.
  • Izpratni par rīkkopa funkcijām var izmantot, lai atrastu saistīto funkciju domēnu un diapazonu.
  • Daļēja funkcija ir aprakstīta vairāk nekā vienā formulā.
  • Funkciju pa daļām var uzzīmēt, izmantojot katru algebrisko formulu tai piešķirtajā apakšdomēnā.

Vārdnīca

intervāla apzīmējums

metode kopas aprakstīšanai, kurā iekļauti visi skaitļi starp apakšējo un augšējo robežu; apakšējās un augšējās vērtības ir norādītas iekavās vai iekavās, kvadrātiekava norāda iekļaušanu komplektā un iekavas norāda izslēgšanu

pa daļām funkcija

funkcija, kurā produkcijas definēšanai izmanto vairāk nekā vienu formulu

komplekta veidotāja apzīmējums

metode, kā aprakstīt kopu ar noteikumu, kuram pakļaujas visi tā dalībnieki; tas ir formā {x | paziņojums par x}


Atrodiet diapazonu un domēnu 3 / (2-x ^ 2)?

Mēs zinām, ka racionālā funkcijā pie # x # vērtībām, kur saucējs kļūst par # 0 #, funkcija kļūst nedefinēta. Šajās vietās mums ir vertikāli asimptoti.

Tāpēc funkcijas domēns būs trīs gabalos:

# (- oo & lt x & lt -sqrt2) un (-sqrt2 & lt x & lt sqrt2) un (sqrt2 & lt x & lt oo) #

Tā kā saucēja pakāpe ir augstāka par skaitītāja pakāpi, asis # x # ir horizontālā asimptote. Tā kā skaitītājs ir nemainīgs, # y # nekad nevar būt # 0 #. Tas nozīmē, ka funkcijas diapazons nav viens gabals. Drīzāk tas ir divos vai vairākos gabalos. Mums ir jāpārbauda funkcija tuvāk.

Visām # x # vērtībām domēna daļā # (- oo & lt x & lt -sqrt2) # funkcija vienmēr ir negatīva, un tās diapazons ir:

# X # vērtībām domēna daļā # (sqrt2 & lt x & lt oo) # funkcija vienmēr ir negatīva, un tās diapazons ir:

# X # vērtībām domēna daļā # (- sqrt2 & lt x & lt sqrt2) # funkcija vienmēr ir pozitīva. Tas nozīmē, ka šim funkcijas gabalam abos galos jābūt # oo #, t.i., uz # -sqrt2 un sqrt2 #.

Tad tam jābūt # U # formai, un tāpēc tam jābūt ar minimālo punktu. Mēs zinām, ka # y # nevar būt # 0 #. Tāpēc minimālajam punktam jābūt kaut kur virs # y = 0 #.

Funkcija kļūst minimāla, kad tās saucējs sasniedz maksimālo vērtību. # 2-x ^ 2 # maksimālā vērtība ir tad, kad # x ^ 2 = 0 #, kas nozīmē # x = 0 un y = 3/2 #. Tāpēc funkcijas diapazons ir:

Tālāk ir redzams funkcijas grafiks, kurā kļūst acīmredzams iepriekš identificētais domēns un diapazons:


Kā atrast domēnu

Kopumā mēs nosakām domēns katras funkcijas, meklējot šīs neatkarīgā mainīgā vērtības (parasti x) kādi mēs esam atļauts izmantot. (Parasti mums jāizvairās no 0 daļas apakšdaļā vai no negatīvām vērtībām zem kvadrātsaknes zīmes).

Diapazons

The diapazons funkcijas ir visu iespējamo kopums iegūtās vērtības atkarīgā mainīgā lieluma (y, parasti), pēc domēna aizstāšanas.

Vienkāršā angļu valodā definīcija nozīmē:

Rezultāts ir diapazons y-vērtības, kuras mēs iegūstam pēc visu iespējamo aizstāšanas x-vērtības.


1.2. Domēns un diapazons

Ja esat noskaņojies uz drausmīgu filmu, varat apskatīt vienu no piecām visu laiku populārākajām šausmu filmām -Es esmu leģenda, Hanibals, Gredzens, Skaudība, un Apburošās. 1. attēlā parādīta katra no šīm filmām iekasētā summa dolāros, kad tās tika izlaistas, kā arī biļešu pārdošana šausmu filmām kopumā pa gadiem. Ievērojiet, ka mēs varam izmantot datus, lai izveidotu katras filmas nopelnītās summas vai visu šausmu filmu kopējo biļešu pārdošanas funkciju gadā. Veidojot dažādas funkcijas, izmantojot datus, mēs varam identificēt dažādus neatkarīgus un atkarīgus mainīgos, kā arī analizēt datus un funkcijas, lai noteiktu domēnu un diapazonu. Šajā sadaļā mēs izpētīsim metodes, kā noteikt tādu domēnu un funkciju diapazonu kā šīs.

Ar vienādojumu definētas funkcijas domēna atrašana

Sadaļā Funkcijas un funkciju apzīmējumi mēs tikām iepazīstināti ar domēna un diapazona jēdzieniem. Šajā sadaļā mēs praktizēsim domēnu un diapazonu noteikšanu noteiktām funkcijām. Paturiet prātā, ka, nosakot domēnus un diapazonus, mums jāņem vērā tas, kas fiziski ir iespējams vai jēgpilns reālās pasaules piemēros, piemēram, biļešu pārdošana un gads iepriekš šausmu filmu piemērā. Mums arī jāapsver tas, kas ir matemātiski atļauts. Piemēram, mēs nevaram iekļaut nevienu ievades vērtību, kas liek mums vienmērīgi iesakņoties negatīvam skaitlim, ja domēns un diapazons sastāv no reāliem skaitļiem. Vai arī funkcijā, kas izteikta kā formula, domēnā nevar iekļaut nevienu ievades vērtību, kas liktu mums dalīties ar 0.

Mēs varam vizualizēt domēnu kā “turēšanas zonu”, kas satur “izejvielas” “funkcionālajai mašīnai”, un diapazonu kā citu “turēšanas zonu” mašīnas izstrādājumiem. Skatīt 2. attēlu.

Domēnu un diapazonu mēs varam rakstīt intervālu apzīmējumā, kurā skaitļu kopas aprakstīšanai iekavās izmantotās vērtības tiek izmantotas. Intervālu apzīmējumos mēs izmantojam kvadrātiekavu [kad kopa ietver galapunktu un iekavas (lai norādītu, ka galapunkts vai nu nav iekļauts, vai arī intervāls nav ierobežots. Piemēram, ja personai ir iztērējami 100 ASV dolāri, viņš vai viņa jāizsaka intervāls, kas ir lielāks par 0 un mazāks vai vienāds ar 100, un jāraksta (0, 100]. (0, 100]. Mēs vēlāk sīkāk apspriedīsim intervālu apzīmējumus.

Pievērsīsim uzmanību funkcijas domēna atrašanai, kuras vienādojums ir sniegts. Bieži vien šādu funkciju domēna atrašana ietver trīs dažādu formu atcerēšanos. Pirmkārt, ja funkcijai nav saucēja vai nepāra saknes, apsveriet, vai domēnā varētu būt visi reālie skaitļi. Otrkārt, ja funkcijas vienādojumā ir saucējs, izslēdziet domēna vērtības, kas piespiež saucēju būt nulle. Treškārt, ja ir vienmērīga sakne, apsveriet iespēju izslēgt vērtības, kas radikālu un zemi padarītu negatīvu.


Funkcijas ir ļoti noderīgas matemātikā, jo tās ļauj modelēt reālās dzīves problēmas matemātiskā formātā.

Šeit ir daži funkcijas piemērošanas piemēri.

Apļa apkārtmērs

The circumference of a circle is a function of its diameter or radius. We can mathematically represent this statement as:

A shadow

The length of the shadow of an object is a function of its height.

The position of a moving object

The location of a moving object such as a car is a function of time.

Temperature

The temperature of a body is based on several factors and inputs.

Money

The compound or simple interest is a function of the time, principal, and interest rate.

Height of an object

The height of an object is a function of his/her age and body weight.

Having learned about a function now can proceed to how to calculate the domain and the range of a function.


How to Find Domain and Range of a Quadratic Function

Hi, and welcome to this video about the domain and range of quadratic functions! In this video, we will explore how the structure of quadratic functions defines their domains and ranges and how to determine the domain and range of a quadratic function.

Before we begin, let’s quickly revisit the terms domain and range.

The domain of a function is the set of all possible inputs, while the range of a function is the set of all possible outputs.

The structure of a function determines its domain and range. Some functions, such as linear functions (e.g., (f(x)=2x+1) ), have domains and ranges of all real numbers because any number can be input and a unique output can always be produced. On the other hand, functions with restrictions such as fractions or square roots may have limited domains and ranges (e.g., (f(x)=frac<1><2x>) (x eq 0) because the denominator of a fraction cannot be 0).

Let’s see how the structure of quadratic functions defines and helps us determine their domains and ranges.

Quadratic functions together can be called a family, and this particular function the parent, because this is the most basic quadratic function (i.e., not transformed in any way). We can use this function to begin generalizing domains and ranges of quadratic functions.

To determine the domain and range of any function on a graph, the general idea is to assume that they are both real numbers, then look for places where no values exist.

Let’s talk about domain first. Since domain is about inputs, we are only concerned with what the graph looks like horizontally. To see the domain, let’s move from left-to-right along the x-axis looking for places where the graph doesn’t exist.

As you can see, there are no places where the graph doesn’t exist horizontally. The domain of this function is all real numbers. In fact, the domain of all quadratic functions is all real numbers!

Now for the range. We’ll use a similar approach, but now we are only concerned with what the graph looks like vertically.

As you can see, outputs only exist for (y)-values that are greater than or equal to 0. In other words, there are no outputs below the (x)-axis. We would say the range is all real numbers greater than or equal to 0.

Let’s generalize our findings with a few more graphs.

The range for this graph is all real numbers greater than or equal to 2.

The range here is all real numbers less than or equal to 5.

The range for this one is all real numbers less than or equal to -2.

And the range for this graph is all real numbers greater than or equal to -3.

As you can see, the turning point, or vertex, is part of what determines the range. The other is the direction the parabola opens. If a quadratic function opens up, then the range is all real numbers greater than or equal to the (y)-coordinate of the range. If a quadratic function opens down, then the range is all real numbers less than or equal to the (y)-coordinate of the range.

Graphs can be helpful, but we often need algebra to determine the range of quadratic functions. Sometimes, we are only given an equation and other times the graph is not precise enough to be able to accurately read the range.

So let’s look at finding the domain and range algebraically. There are three main forms of quadratic equations. Our goals here are to determine which way the function opens and find the (y)-coordinate of the vertex.

Standard Form

When the quadratic functions are in standard form, they generally look like this:

If (a) is positive, the function opens up if it’s negative, the function opens down. In this form, the (y)-coordinate of the vertex is found by evaluating (f(frac<-b><2a>)) . For example, consider this function: (fx=-2x^2+8x-3)

Then, we plug this in: (f(2)=-2(2)^<2>+8(2)-3=-8+16-3=5)

(a) is negative, so the range is all real numbers less than or equal to 5.

Vertex Form

When quadratic equations are in virsotnes forma, they generally look like this:

As with standard form, if (a) is positive, the function opens up if it’s negative, the function opens down. The vertex is given by the coordinates ((h,k)) , so all we need to consider is the (k) . For example, consider the function (f(x)=3(x+4)^2-6) . (a) is positive and the vertex is at ((-4,-6)) , so the range is all real numbers greater than or equal to (-6) .

Factored Form

Sometimes quadratic functions are defined using factored form as a way to easily identify their roots. Piemēram:

As with other forms, if (a) is positive, the function opens up if it’s negative, the function opens down. One way to use this form is to multiply the terms to get an equation in standard form, then apply the first method we saw. We can also apply the fact that quadratic functions are symmetric to find the vertex. We know the roots, and therefore, the locations of the (x)-intercepts. Horizontally, the vertex is halfway between them. Once we know the location of the vertex—the (x)-coordinate—all we need to do is substitute into the function to find the (y)-coordinate. For example, consider the function (f(x)=-2(x+4)(x-2)) . The (x)-intercepts are at (-4) and (+2) , and the vertex is located at (frac<-4+2><2>=-1) (simply take the “average” of the (x)-intercepts). And we’re going to plug that into our original equation, so we have: (f(-1)=-2(-1+4)(-1-2)=-2(3)(-3)=18) . Since (a) is negative, the range of all real numbers is less than or equal to 18.


Q: - WCS Bookmarks New Tab Williamson Schools O LINEAR SYSTEMS Identifying solutions to a system of lin.

A: Given :- 3x + 2y = —6 ----(1) 4x — 7y = —8 ----(2) Determine whether it is a solution to the sy.

Q: Luke was performing a titration to estimate the amount in mg of Vitamin C inRibena. His experimental.

A: Click to see the answer

Q: answer the following by the given guidelines.

A: Click to see the answer

Q: Question 2 Use Cramer's rule to solve for a' and y in terms of x and y: x = 2x' – 3y | y = x' – y'

A: Click to see the answer

Q: If G is abelian group then Inn(G) contains One element O Two elements Three elements Infinite elemen.

A: Inn(G), is trivial (i.e., consists only of the identity element) iff G is abelian.

Q: In a AP the T5 = 40 and T9 = 76. Find S10.

A: We have given that 5th term of an AP is 40 and 9th term is 76. So we have to find sum of 1st 10 term.

Q: this questions are not graded thank you

A: Click to see the answer

Q: Find the final amount of money in an account if $3, 700 is deposited at 2.5% interest compounded qua.

A: Click to see the answer

A: Since you have asked multiple question, we will solve the first question for you. If you want any sp.


Find The Domain Of The Function Y=5-2x^2

What is the domain and range of a function. 500 x 75047.

A Great Small Group Activity To Practice Or Review Identifying Critical Parts Of Absolute Value Functions I Writing Linear Equations Equations Absolute Value

5 3 2 x2 x 0.

Find the domain of the function y=5-2x^2. Functions of Several Variables. I will answer these questions in this video by solving an example. Fxy5 2x23y2 a x y x 3 2 y b x y x y 0 0 c x y x 2 3.

By using this website you agree to our Cookie Policy. Flor is designing a kite with two perpendicular crosspieces that are B 26 inches and 24 inches long as shown in the figure. Describe a reasonable domain and range for the function P x.

Of the numerical factors is the GCD. If I take something thats outside of the domain let me do that in a different color. In this case there is no real number that makes the expression undefined.

A function can be described or defined in many ways. Consider the relation a If 2 n is a point on its graph determine the value of n. Of the two given polynomials px and q x.

Its domain is all real numbers since all real numbers are either rational or irrational. Px 781250 c. The product of all such common factors and the GCD.

For the inverse function the domain and range off are interchanged so the domain is the interval0 and the range is 23. Y 5-2x 2. Question 145432This question is from textbook Intermediate Algebra.

Free mathrmIs a Function calculator - Check whether the input is a valid function step-by-step This website uses cookies to ensure you get the best experience. A domain is the set of all of the inputs over which the function is defined. Y 5 2x 2 1 7x 1 3 21.

Fx 2x1 over 3x5 I have an answer sheet but it doesnt help because I dont understand how to work the problem to find the answerany help would be greatly appreciated. The graph of g is the upper half of a parabola opening to the left. Y 5 x 1 4x 1 5 Exercises 2528 Distance Between Intercepts Find the distance between the x-intercept points for the graph of the function.

Free math problem solver answers your algebra geometry trigonometry calculus and statistics homework questions with step-by-step explanations just like a math tutor. For every value in the domain x in this case there must be one and only one value in the range y in this case. With the restricted domain we haveg21x.

For the following exercises evaluate each function at the indicated values. Y 5x2 4. For what number of bulldozers per month is the profit at least 750000.

How to recognize the domain and range of a function by considering the possible inputs and outputs of a functionWe can also graph a function to find its dom. Solve algebraically and then check with a graph. So if this the domain here if this is the domain here and I take a value here and I put that in for x then the function is going to output an fx.

Y 5 x 2 2 4x 1 3 2 24. Y 5 2x 2 4 y 5 6x 2 4 y 5 2x 2 1 y 2 1 3 x 4 2 0 2 4 24 42 6. Compute answers using Wolframs breakthrough technology knowledgebase relied on by millions of students professionals.

Find the domain and write in interval notation fx 2x13x5 it looks like a fraction. Why is it useful and how do I calculate it. Free slope calculator - find the slope of a line given two points a function or the intercept step-by-step This website uses cookies to ensure you get the best experience.

B If m 20 is a point on its graph determine m correct to two decimal places. The graph of g21 is the right half of a parabola opening downward. Y 5 2x 2 2 2x 2 1 23.

So its a function since y has either the value 1 or zero and never both. By using this website you agree to our Cookie Policy. Find the factors of highest degree common to the two polynomials px and qx.

For math science nutrition history. Hi The working definition of a function is this. 1A Find the domain of the given function.

Y x2 5 y x 2 5 The domain of the expression is all real numbers except where the expression is undefined. Y 2x7 3.

Function Worksheets Graphing Linear Equations Linear Function Functions Math

Find The Domain Of The Riemann Zeta Function For Real Values Of X Zeta Math Videos Real

Domain Of Natural Logarithm Function F X Ln X 2 Maths Exam Math Videos Absolute Value Equations

How To Find The Domain And Range Of F X Y Ln Xy 2 Math Videos F X Domain

Pictures Of Composition Of Functions Free Images That You Can Download And Use Functions Math Algebra Humor Algebra Activities

Sharing Is Caring Linear Equations Review Graphing Linear Equations Linear Equations Slope Math

Slope Intercept Form Word Problems Answer Key 5 Unexpected Ways Slope Intercept Form Word Pr Matematika Kelas 8 Algebra Persamaan

Algebra Domain And Range Sketchnotes With Powerpoint Functions Math Quadratics Free Math Activity

Solving The Exponential Equation 5 2x 1 25 Exponential Quadratics Absolute Value Equations

Functions Even Odd Neither Card Sort Sorting Cards Math Expressions Even And Odd Functions

Domain And Range Peel And Stick Activity Math Interactive Notebook Math Interactive Fun Math

Discovering Slope Intercept Form Middle School Math Math Curriculum Teaching Algebra

Linear Equations Posters Linear Equations Direct Variation Math Freebie

Pin On Classroom Lesson Resources

Point Slope Form Using X And Y Intercepts 5 Point Slope Form Using X And Y Intercepts Tips Y Point Slope Form Point Slope Slope Intercept Form

Writing Graphing Linear Equations In All Forms Given The Slope And A Point Graphing Linear Equations Writing Linear Equations Graphing Quadratics

Graphing Rational Functions Reference Sheet Rational Function Teaching Algebra Math Methods


MATH - quick and easy

In this chapter and following chapters we show you how to determine properties of a function given as a graph in Cartesian coordinate system .
The basic properties are:
- domain and range (this chapter)
- zero of a function
- points of intersection with the axes
- monotonicity (monotonic functions, not monotonic functions)
- maximal intervals of monotonicity
- positive and negative values
- minimum and maximum

In the previous chapter, there is only one example of a function. Its domain is a set of few numbers, but there are many more possibilities. The domain can be an infinitive set or an interval, may even consist of more than one interval or set.

According to different types of domains, graphs in Cartesian coordinate system are different.
Let s show you different types of functions specifying by a graph in Cartesian coordinate system. We are going to show you how to determine a domain and a rage of a function given as a graph.


Skatīties video: Kuo skiriasi domenai? Dažniausiai pasitaikantys klausimai ir atsakymai. (Decembris 2021).