Raksti

6: Funkciju secība - matemātika


6: Funkciju secība - matemātika

Ievads intervāla analīzē

Secības konverģences jēdziens parādās visā matemātikā. Var apsvērt sarežģītu skaitļu konverģences secības, reālā mainīgā reāli novērtētās funkcijas utt. Viss, kas nepieciešams, ir piemērots “attāluma” mērs starp interesējošajiem objektiem.

Atgādināsim arī parasto funkciju nepārtrauktības definīciju. Mēs to sakām f (x) ir nepārtraukts kādā brīdī x0 ja katram ε & gt 0 ir pozitīvs skaitlis δ = δ (ε) tāds, ka

| ƒ (x) - ƒ (x 0) | & lt ε (6.2)
kad vien |xx0| & lt δ. Šajā gadījumā |f (x) − f (x0) | ir attālums starp y-asu punkti f (x) un f (x0), kas atbilst attālumamxx0| gar x- ass.

Ir teikts, ka konverģence un nepārtrauktība ir divi galvenie analīzes jēdzieni. Mēs savukārt redzam, kā viņi abi izvēlas piemērotu veidu, kā izteikt attālumu. Nepieciešamība apspriest konverģenci un nepārtrauktību ārpus parastās reālās analīzes ir novedusi pie spēcīgas distances idejas vispārināšanas.


Punktu konverģence: produktu topoloģija

Tātad lodziņa topoloģija ir pārāk ierobežojoša, lai atbilstu jebkuram saprātīgam konverģences veidam, taču neliela modifikācija novērš iepriekš izklāstīto problēmu. Ja mēs ļaujam tikai atvērtajām kopām ierobežot funkciju vērtības pie a ierobežots ievades vērtību skaits, tad mēs iegūstam daudz noderīgāku produktu topoloģija.

Produktu topoloģijas definīcija: Ļaujiet $ U_1, U_2, U_3, dotsc $ būt atvērtām kopām reālā skaitļa rindā $ < Bbb R> $ ar ierobežojumu, ka tikai galīgi daudzi no $ U_i

6: Funkciju secība - matemātika

Nepārtrauktas funkcijas. Secības. Uzkrāšanas punkts. Ierobežojiet augstāku un zemāku. Cauchy secība. Monotoniskas secības. Ligzdoti intervāli. Kantora princips. Metriskā telpa. Funkciju secību vienveidīga konverģence. Teorēmas.

Teorēmas par nepārtrauktām funkcijām. Tālāk ir sniegtas dažas teorēmas par nepārtrauktām funkcijām (vai kartējumiem):

1. teorēma. Nepārtraukto funkciju summa, starpība, reizinājums un koeficients ir nepārtraukti, ja netiek izslēgta dalīšana ar nulli.

Starpvērtību teorēma. Pieņemsim, ka funkcija f ir nepārtraukta slēgtā intervālā a x b un ka f (a) & # 8800 f (b). Tad, kad x mainās no a līdz b, f (x) iegūst katru vērtību starp f (a) un f (b). Jo īpaši tā pieņem maksimālās un minimālās vērtības [a, b].

2. teorēma. Ja funkcija f ir nepārtraukta slēgta punkta kopai Q, f ir ierobežota, t.i., pastāv reāls skaitlis M, ka | f (x) | & lt M visiem x & # 949 Q.

3. teorēma. Funkcija ir nepārtraukta tikai tad, ja ir atvērts arī jebkuras atvērtas kopas apgrieztais attēls.

Def. Vienmērīgi nepārtraukta funkcija. Ļaujiet R būt reālo skaitļu kopai. Funkcija f: R & # 8594 R tiek uzskatīta par vienmērīgi nepārtrauktu punktu kopā Q, ja dots jebkurš & # 949 & gt 0, pastāv skaitlis & # 948, ka | f (x) - f (y) | & lt & # 949 ikreiz | x - y | & lt & # 948, kur x & # 949 Q, y & # 949 Q.

4. teorēma. Ja funkcija f ir nepārtraukta slēgtā ierobežotā punktu kopā Q, tā vienmērīgi ir nepārtraukta Q.

Def. Secība. Secība ir skaitļu, daudzumu vai elementu kopa, kas sakārtota noteiktā secībā.

Secība var būt gan ierobežota, gan bezgalīga. Bezgalīga secība nav beigusies, pēc katra termina ir vēl viens termins. Galīgai secībai ir tikai noteikts terminu skaits. Secības i-to terminu bieži apzīmē ar (i) vai ai. Secības apzīmē ar tādiem apzīmējumiem kā <>1, a2, a3,. , an, . >, <>n>, (an). Secību var uzskatīt par noteikta veida funkciju, funkciju, kuras neatkarīgais mainīgais n svārstās virs pozitīvo veselu skaitļu kopas.

Secības ierobežojums. Skaitļu secība <>1, s2, s3,. , sn,. > ir ierobežojums s, ja kādai noteiktai precizitātei secībā ir tāda pozīcija, ka visi termini pēc šīs pozīcijas ir aptuveni aptuvenie s šīs noteiktās precizitātes robežās, t.i., jebkuram & # 949 & gt 0 pastāv tāds N, ka | s - sn| & lt & # 949 visiem n lielākiem par N. Punktu virkne <>1lpp2lpp3,. > ir robeža p, ja katrai p apkārtnei U ir skaitlis N tāds, ka pn ir U, ja n & gt N.

ir robeža 0. N-tais termins tuvojas 0 un atbilst definīcijas prasībai.

5. teorēma. Ja secībai ir robeža, robeža ir unikāla.

Def. Konverģējoša secība. Tiek secināts, ka secība, kurai ir robeža, ir konverģenta. Pretējā gadījumā tiek teikts, ka tas ir atšķirīgs.

Def. Secības uzkrāšanās punkts (vai kopas punkts vai robežpunkts). Punkts P tāds, ka jebkurā P apkaimē ir bezgalīgi daudz secības terminu.

ir divi uzkrāšanas punkti, skaitļi 0 un 1.

Saistīts ar secību. Reālo skaitļu secības augšējā robeža ir skaitlis, kas ir vienāds vai lielāks par katru kārtas skaitli. Reālo skaitļu secības apakšējā robeža ir skaitlis, kas ir vienāds vai mazāks par katru kārtas skaitli. Ja secībai ir gan augšējā, gan apakšējā robeža, tiek teikts, ka tā ir ierobežota secība. Mazāko augšējo robežu sauc par mazāko augšējo robežu. Lielāko apakšējo robežu sauc par lielāko apakšējo robežu.

Limit superior. Reālu skaitļu secībai lielāko uzkrāšanās punktu sauc par robežu augstāku un apzīmē ar lim sup vai. Skaitlis tiek saukts par robežu pārāku, ja bezgalīgi daudz secības terminu ir lielāks par - & # 949 jebkuram pozitīvam & # 949, bet tikai ierobežots skaitļu skaits ir lielāks par + & # 949.

Sinh. lielākā robeža, maksimālā robeža, augšējā robeža

Ierobežot zemāku. Reālu skaitļu secībai mazāko uzkrāšanās punktu sauc par zemāku robežu un apzīmē ar lim inf vai lim. Skaitlis l tiek saukts par zemāku robežu, ja bezgalīgi daudzi secības termini ir mazāki par l + & # 949 jebkuram pozitīvam & # 949, bet tikai ierobežots terminu skaits ir mazāks par l - ε.

Sinh. mazākā robeža, minimālā robeža, zemākā robeža

Cauchy & # 8217s nosacījums secības konverģencei. Bezgalīga secība saplūst tikai tad un tikai tad, ja skaitliskā atšķirība starp abiem tās nosacījumiem ir tik maza, cik vēlams, ja abi termini ir pietiekami tālu secībā. Tech . Bezgalīgā secība s1, s2, s3,. , sn,. saplūst tad un tikai tad, ja katram & # 949 & gt 0 eksistē N tāds

ka visiem n & gt N un visiem h & gt 0.

Def. Cauchy secība. Cauchy secība ir secība, kurā, ņemot vērā jebkuru iepriekš piešķirtu pozitīvu skaitli & # 949, lai arī cik mazs tas būtu, secībā pastāv punkts (iespējams, ļoti tālu), aiz kura attālums starp jebkuriem diviem atlasītajiem elementiem ir mazāks par & # 949. Tech. Cauchy secība ir punktu P secība1, P2,. tāds, ka jebkuram & # 949 & gt 0 ir skaitlis N, kuram & # 961 (Pi, Pj) & lt & # 949, ja i & gt N un j & gt N, kur & # 961 (Pi, Pj) ir attālums starp Pi un Pj. Ja punkti ir eiklida telpas punkti, tas ir vienāds ar secības konverģenci. Ja punkti ir reāli (vai kompleksi) skaitļi, tad & # 961 (Pi, Pj) ir | Pi - Pj | un secība ir konverģenta tikai tad, ja tā ir Cauchy secība.

Sinh. Konverģējoša secība, fundamentāla secība, regulāra secība.

Monotoniska pieaugošā secība. Reālu terminu secība a1, a2,. , an,. tāds, ka an + 1 & # 8805an visiem n, ti, secība, kurā termini vai nu palielinās, vai paliek nemainīgi.

Monotoniska samazināšanās secība. Reālu terminu secība a1, a2,. , an,. tāds, ka an + 1 & # 8804 an visiem n, ti, secība, kurā termini vai nu samazinās, vai paliek nemainīgi.

Teorēma 6. Katra monotoniska (pieaugoša vai samazinoša) secība a1, a2,. , an,. ar īpašumu, kas | an| & lt M (konstante) saplūst. Tas ir, katrai ierobežotai monotoniskai secībai ir ierobežojums.

Teorēmas par secību robežām. Sērijām, kas sastāv no skaitļiem, ir spēkā šādi nosacījumi:


6: Funkciju secība - matemātika

Šajā rakstā mēs apspriežam, kā atrast funkciju skaitu no vienas kopas uz otru. Lai saprastu funkciju pamatus, varat atsaukties uz šo: Funkciju klases (Injektīvie, surjektīvie, Bijektīvie).

Funkciju skaits no vienas kopas uz otru: Ļaujiet X un Y ir divas kopas ar attiecīgi m un n elementiem. Funkcijā no X līdz Y katram X elementam jābūt kartētam ar Y elementu. Tāpēc katram X elementam ir jāizvēlas ‘n’ elementi. Tāpēc kopējais funkciju skaits būs n × n × n .. m reizes = n m.
Piemēram: X = un Y = <4, 5>. Funkciju no X līdz Y var attēlot 1. attēlā.

Ņemot vērā visas X elementu kartēšanas iespējas ar Y elementiem, funkciju kopumu var attēlot 1. tabulā.

    Q1. Ļaujiet X, Y, Z būt attiecīgi x, y un z izmēru kopas. Ļaujiet W = X x Y. Ļaujiet E būt visu W. apakškopu kopai. Funkciju skaits no Z līdz E ir:
    (A) z2oksi
    (B) z x 2 xy
    (C) z 2x + y
    (D) 2 xyz

Risinājums: Kā norādīts jautājumā, S apzīmē visu funkciju kopu f: <0, 1> 4 un rarr <0, 1>. Funkciju skaits no <0,1> 4 (16 elementi) līdz <0, 1> (2 elementi) ir 2 16. Tāpēc S ir 2 16 elementi. Turklāt, ņemot vērā, N apzīmē funkciju skaitu no S (2 16 elementi) līdz <0, 1> (2 elementi). Tāpēc N ir 2 2 16 elementi. Aprēķinot nepieciešamo vērtību,

Log2 (Log2 (2 2 16)) = Log2 16 = 16

    Ja X ir m elementi un Y ir 2 elementi, uz funkcijām skaits būs 2 m -2.

  • Formula darbojas tikai tad, ja m & ge n.
  • Ja m & lt n, uz funkcijām skaits ir 0, jo nav iespējams izmantot visus Y elementus.

Q3. Funkciju skaits (surjektīvās funkcijas) no kopas X = <1, 2, 3, 4> līdz Y = ir:
(A) 36
(B) 64
(C) 81
(D) 72

Risinājums: Izmantojot m = 4 un n = 3, funkciju skaits ir:
3 4 & # 8211 3 C1(2) 4 + 3 ° C21 4 = 36.

Uzmanības lasītājs! Don & rsquot pārtraukt mācīties tagad. Praktizējiet GATE eksāmenu krietni pirms faktiskā eksāmena, izmantojot mācību priekšmetu un vispārējās viktorīnas VĀRTU testa sērijas kurss.


6. nodarbība

Šī nodarbība nav obligāta. Ja studenti labi pārzina funkciju apzīmējumus, veido tabulas un skicē diagrammas, šo stundu var izlaist. Šī nodarbība sniedz arī vairāk prakses, rakstot rekursīvas definīcijas.

Nodarbības mērķis ir studentiem praktizēt rekursīvu funkciju definīciju interpretēšanu un rakstīšanu, vienlaikus arī dažādos veidos pārstāvot funkcijas. Studenti saskaņo secības un rekursīvās definīcijas atbilstības aktivitātē, dodot viņiem iespēju izskaidrot savu argumentāciju un kritizēt citu argumentāciju (MP3). Svarīga aktivitāšu daļa ir dot studentiem laiku dalīties un izskaidrot viņu stratēģijas dažādu pārstāvniecību veidošanai. Tas palīdz uzsvērt, ka problēmu risināšanai bieži ir vairāk nekā viens veids. Tas arī palīdz noteikt, ka koplietošanas stratēģijas un mācīšanās no citiem studentiem ir klases normas.

Tehnoloģija šai stundai nav nepieciešama, taču studentiem ir iespējas izvēlēties problēmu risināšanai izmantot atbilstošu tehnoloģiju. Mēs iesakām padarīt tehnoloģiju pieejamu (MP5).


Vingrinājumi 11.1

Ex 11.1.2 Izmantojiet saspiešanas teorēmu, lai parādītu, ka $ ds lim_ =0$.

Ex 11.1.3 Nosakiet, vai $ ds < sqrt- sqrt>_^ infty $ saplūst vai atšķiras. Ja tas saplūst, aprēķiniet robežu. (atbilde)

Ex 11.1.4 Nosakiet, vai $ ds pa kreisi < labi > _^ infty $ saplūst vai atšķiras. Ja tas saplūst, aprēķiniet robežu. (atbilde)

Ex 11.1.5 Nosakiet, vai $ ds pa kreisi <<>> pa labi > _^ infty $ saplūst vai atšķiras. Ja tas saplūst, aprēķiniet robežu. (atbilde)

Ex 11.1.6 Nosakiet, vai $ ds left << 2 ^ n pār n!> Right > _^ infty $ saplūst vai atšķiras. (atbilde)


6: Funkciju secība - matemātika

Šajā nodaļā mēs aplūkosim secības un (bezgalīgas) sērijas. Faktiski šajā nodaļā tiks aplūkotas gandrīz tikai sērijas. Tomēr mums ir jāsaprot arī daži secību pamati, lai pareizi tiktu galā ar sērijām. Tāpēc nedaudz laika pavadīsim arī sekvencēs.

Seriāls ir viena no tām tēmām, kas daudziem studentiem nešķiet tik noderīga. Ja godīgi, daudzi studenti nekad neredzēs sērijas ārpus viņu kalkulācijas klases. Tomēr sērijām ir svarīga loma parasto diferenciālvienādojumu jomā, un bez sērijām lielas daļēju diferenciālvienādojumu lauka daļas nebūtu iespējamas.

Citiem vārdiem sakot, sērijas ir svarīga tēma, pat ja jūs nekad neredzēsiet nevienu no lietojumprogrammām. Lielākā daļa lietojumprogrammu pārsniedz lielāko daļu Calculus kursu darbības jomu, un tās parasti notiek klasēs, kuras daudzi studenti neiziet. Tāpēc, ejot cauri šim materiālam, paturiet prātā, ka tiem patiešām ir lietojumprogrammas, pat ja mēs daudzus no tiem šajā klasē īsti neaptversim.

Šeit ir šīs nodaļas tēmu saraksts.

Secības - Šajā sadaļā mēs definējam tikai to, ko mēs domājam ar secību matemātikas stundā, un dodam pamata apzīmējumu, ko mēs izmantosim kopā ar viņiem. Šajā sadaļā mēs pievērsīsimies pamata terminoloģijai, secību robežām un secību konverģencei. Mēs arī sniegsim daudzus pamatfaktus un īpašības, kas mums būs nepieciešamas, strādājot ar secībām.

Vairāk par secībām - šajā sadaļā mēs turpināsim pārbaudīt secības. Mēs noteiksim, vai secība pieaugošā vai samazinošā secībā un līdz ar to arī monotoniska secība. Mēs arī noteiksim, vai secība ir norobežota zemāk, ierobežota iepriekš un / vai ierobežota.

Sērija - pamati - šajā sadaļā mēs oficiāli definēsim bezgalīgu sēriju. Mēs arī sniegsim daudzus pamatfaktus, īpašības un veidus, kā mēs varam izmantot, lai manipulētu ar sēriju. Mēs arī īsi apspriedīsim, kā noteikt, vai bezgalīgas sērijas saplūst vai atšķirsies (dziļāka šīs tēmas diskusija notiks nākamajā sadaļā).

Sēriju konverģence / atšķirība - šajā sadaļā mēs detalizētāk apspriedīsim bezgalīgo sēriju konverģenci un atšķirības. Mēs ilustrēsim, kā tiek izmantotas daļējas summas, lai noteiktu, vai bezgalīga virkne saplūst vai atšķiras. Šajā sadaļā mēs sniegsim arī sēriju atšķirības testu.

Īpašā sērija - šajā sadaļā mēs aplūkosim trīs sērijas, kuras vai nu regulāri parādās, vai kurām piemīt dažas jaukas īpašības, kuras mēs vēlamies apspriest. Mēs pārbaudīsim ģeometriskās sērijas, teleskopiskās sērijas un harmonikas sērijas.

Integral Test - Šajā sadaļā mēs apspriedīsim Integral Test izmantošanu, lai noteiktu, vai bezgalīga sērija saplūst vai atšķiras. Integral Test var izmantot bezgalīgā sērijā ar nosacījumu, ka sērijas nosacījumi ir pozitīvi un samazinās. Tiek sniegts arī Integral Test pierādījums.

Salīdzināšanas tests / ierobežojuma salīdzināšanas tests - šajā sadaļā mēs apspriedīsim salīdzināšanas testa un ierobežojumu salīdzināšanas testu izmantošanu, lai noteiktu, vai bezgalīgas sērijas saplūst vai atšķiras. Lai izmantotu jebkuru no šiem testiem, bezgalīgās sērijas noteikumiem jābūt pozitīviem. Tiek doti arī abu testu pierādījumi.

Alternatīvās sērijas tests - šajā sadaļā mēs apspriedīsim alternatīvās sērijas testa izmantošanu, lai noteiktu, vai bezgalīga sērija saplūst vai atšķiras. Pārmaiņu sērijas testu var izmantot tikai tad, ja sērijas nosacījumi mainās zīmē. Tiek dots arī alternatīvās sērijas testa pierādījums.

Absolūtā konverģence - šajā sadaļā mums būs īsa diskusija par absolūto konverģenci un nosacīti konverģenci un to, kā tās ir saistītas ar bezgalīgu sēriju konverģenci.

Ratio Test - Šajā sadaļā mēs apspriedīsim Ratio Test izmantošanu, lai noteiktu, vai bezgalīga sērija absolūti saplūst vai atšķiras. Ratio testu var izmantot jebkurai sērijai, taču diemžēl tas ne vienmēr sniegs pārliecinošu atbildi par to, vai sērija saplūs absolūti vai atšķirsies. Tiek dots arī Ratio testa pierādījums.

Saknes tests - Šajā sadaļā mēs apspriedīsim Saknes testa izmantošanu, lai noteiktu, vai bezgalīga sērija absolūti saplūst vai atšķiras. Saknes testu var izmantot jebkurā sērijā, taču diemžēl tas ne vienmēr sniegs pārliecinošu atbildi par to, vai sērija pilnībā saplūst vai atšķirsies. Tiek dots arī Saknes testa pierādījums.

Sēriju stratēģija - Šajā sadaļā mēs sniedzam vispārīgu vadlīniju kopumu, lai noteiktu, kurš tests jāizmanto, lai noteiktu, vai bezgalīgas sērijas saplūst vai atšķirsies. Ņemiet vērā arī to, ka patiešām nav viena vadlīniju komplekta, kas vienmēr darbosies, tāpēc jums vienmēr jābūt elastīgam, ievērojot šo vadlīniju kopumu. Šajā sadaļā ir sniegts arī visu dažādo testu kopsavilkums, kā arī nosacījumi, kas jāievēro, lai tos izmantotu.

Sērijas vērtības novērtēšana - Šajā sadaļā mēs apspriedīsim, kā integrālo testu, salīdzināšanas testu, alternatīvo sēriju testu un attiecību testu dažreiz var izmantot, lai novērtētu bezgalīgas sērijas vērtību.

Spēka sērija - Šajā sadaļā mēs sniegsim jaudas sēriju definīciju, kā arī konverģences rādiusa un konverģences intervāla definīciju jaudas sērijām. Mēs arī ilustrēsim, kā Ratio Test un Root Test var izmantot, lai noteiktu jaudas sērijas konverģences rādiusu un intervālu.

Jaudas sērija un funkcijas - Šajā sadaļā mēs apspriežam, kā konverģējošas ģeometriskas sērijas formulu var izmantot, lai attēlotu dažas funkcijas kā jaudas sērijas. Lai izmantotu ģeometriskās sērijas formulu, funkcijai jābūt iespējai ievietot noteiktā formā, kas bieži vien nav iespējama. Tomēr šīs formulas izmantošana ātri parāda, kā funkcijas var attēlot kā jaudas sēriju. Mēs apspriežam arī jaudas sēriju diferenciāciju un integrāciju.

Teilora sērija - Šajā sadaļā mēs apspriedīsim, kā atrast funkcijas Teilora / Maklaurina sēriju. Tas darbosies daudz plašākā funkciju daudzveidībā nekā iepriekšējā sadaļā apspriestā metode uz dažu bieži nepatīkamu darbu rēķina. Mēs arī atvasinām dažas labi zināmas formulas Teilora sērijām (< bf e> ^), ( cos (x) ) un ( sin (x) ) ap (x = 0 ).

Sēriju pielietojumi - šajā sadaļā mēs ātri apskatīsim pāris sēriju lietojumus. Mēs ilustrēsim, kā mēs varam atrast virknes attēlojumu nenoteiktiem integrāļiem, kurus nevar novērtēt ar citu metodi. Mēs arī redzēsim, kā mēs varam izmantot dažus pirmos jaudas sērijas noteikumus, lai tuvinātu funkciju.

Binomial Series - Šajā sadaļā mēs sniegsim Binomial teorēmu un ilustrēsim, kā to var izmantot, lai ātri paplašinātu terminus formā ( left (a + b right) ^), kad (n ) ir vesels skaitlis. Turklāt, ja (n ) nav vesels skaitlis, binoma teorēmas paplašinājumu var izmantot, lai sniegtu termina jaudas sēriju.


Nākamo numuru atrod pievienojot divus skaitļus pirms tā kopā:

  • 2 tiek atrasts, pievienojot divus skaitļus pirms tā (1 + 1)
  • 21 tiek atrasts, pievienojot divus skaitļus pirms tā (8 + 13)
  • utt.

Šis noteikums ir interesants, jo tas ir atkarīgs no iepriekšējo divu terminu vērtībām.

Tiek saukti tādi noteikumi rekursīvs formulas.

Fibonači secība ir numurēta no 0 uz priekšu kā šis:

n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 .
xn = 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 .

Piemērs: termins "6" tiek aprēķināts šādi:


Skatīties video: Matemātika. Dalīšana ar atlikumu (Novembris 2021).