Raksti

7: Jaudu sērijas metodes - matemātika


  • 7.1: Power sērija
    Daudzas funkcijas var uzrakstīt jaudas sērijās. Ja pieņemam, ka diferenciālvienādojuma risinājums tiek rakstīts kā jaudas sērija, tad varbūt varam izmantot metodi, kas atgādina nenoteiktus koeficientus. Tas ir, mēs centīsimies atrisināt paplašināšanās koeficientus. Pirms mēs varam veikt šo procesu, ļaujiet mums pārskatīt dažus rezultātus un koncepcijas par jaudas sērijām.
  • 7.2.: Lineāru otrās kārtas ODE sērijas risinājumi
    Lineāriem otrās kārtas homogēniem ODE ar polinomiem kā funkcijām bieži var atrisināt, paplašinot funkcijas ap parastiem vai specifiskiem punktiem.
  • 7.3 .: Vienskaitļa punkti un Frobeniusa metode
    Lai gan ODE uzvedība vienskaitļa punktos ir sarežģītāka, dažus atsevišķus punktus nav īpaši grūti atrisināt. Pirms vispārīgas metodes sniegšanas apskatīsim dažus piemērus. Mums var būt paveicies un iegūt jaudas sērijas risinājumu, izmantojot iepriekšējās sadaļas metodi, taču kopumā mums var nākties izmēģināt citas lietas.
  • 7.E: jaudas sērijas metodes (vingrinājumi)
    Šie ir mājasdarbu vingrinājumi, kas pievienoti Libl teksta kartei "Diferenciālvienādojumi inženierzinātnēm". Šī ir mācību grāmata, kas paredzēta viena semestra pirmajam kursam par diferenciālvienādojumiem un ir paredzēta inženierzinātņu studentiem. Kursa priekšnoteikums ir pamata aprēķina secība.

Sīktēls: sinusa funkcija un tās Teilora aproksimācijas ap (x_o = 0 ) no 5th un 9th grāds.


7: Jaudu sērijas metodes - matemātika

Pirms mēs atrodam diferenciālvienādojumu sērijveida risinājumus, mums jānosaka, kad mēs varam atrast diferenciālvienādojumu sērijveida risinājumus. Sāksim ar diferenciālo vienādojumu,

[ sākasp left (x right) y '' + q left (x right) y '+ r left (x right) y = 0 label beigas]

Šoreiz mēs patiešām domājam nekonstantus koeficientus. Līdz šim mēs esam nodarbojušies tikai ar nemainīgiem koeficientiem. Tomēr ar sērijveida risinājumiem mums tagad var būt nekonstantu koeficientu diferenciālvienādojumi. Turklāt, lai padarītu problēmas mazliet jaukākas, mēs risināsim tikai polinomu koeficientus.

Tagad mēs sakām, ka (x = x_ <0> ) ir parasts punkts ja tiek nodrošināti abi

ir analītiski pie (x = x_ <0> ). Tas nozīmē, ka šiem diviem lielumiem Teilora rindas ir ap (x = x_ <0> ). Mēs strādāsim tikai ar koeficientiem, kas ir polinomi, tāpēc tas būs līdzvērtīgs tā teikšanai

Ja punkts nav parasts punkts, mēs to saucam par vienskaitlis.

Pamatdoma diferenciālvienādojuma sērijas risinājuma atrašanai ir pieņemt, ka mēs varam rakstīt risinājumu kā jaudas sēriju formā,

un pēc tam mēģiniet noteikt, kas (a_) Jābūt. Mēs to varēsim izdarīt tikai tad, ja punkts (x = x_ <0> ) ir parasts punkts. Mēs parasti teiksim, ka ( eqref) ir virknes risinājums ap (x = x_ <0> ).

Sāksim ar ļoti vienkāršu piemēru. Faktiski tas būs tik vienkārši, ka mums būs nemainīgi koeficienti. Tas ļaus mums pārbaudīt, vai mēs iegūstam pareizo risinājumu.

Ievērojiet, ka šajā gadījumā (p (x) = 1 ), un tāpēc katrs punkts ir parasts punkts. Mēs meklēsim risinājumu formā,

Mums tas būs jāpievieno mūsu diferenciālajam vienādojumam, tāpēc mums būs jāatrod pāris atvasinājumi.

Atgādiniet no jaudas sērijas pārskata sadaļas par jaudas sērijām, ka vajadzības gadījumā mēs varam sākt tos ar (n = 0 ), tomēr gandrīz vienmēr vislabāk ir sākt tos tur, kur mums šeit ir. Ja izrādās, ka tos būtu bijis vieglāk sākt ar (n = 0 ), mēs to varam viegli novērst, kad pienāks laiks.

Tātad, pievienojiet tos mūsu diferenciālvienādojumam. To darot,

Nākamais solis ir visu apvienot vienā sērijā. Lai to izdarītu, ir jāiegūst abas sērijas, sākot no viena punkta, un (x ) eksponents ir vienāds abās sērijās.

Mēs to vienmēr sāksim ar to, lai eksponents uz (x ) būtu vienāds. Parasti vislabāk ir panākt, lai eksponents būtu (n ). Otrajā sērijā jau ir pareizs eksponents, un pirmā sērija būs jāpārvieto uz leju par 2, lai eksponentu iegūtu līdz (n ). Ja neatceraties, kā to izdarīt, ātri apskatiet pirmo pārskata sadaļu, kurā mēs izdarījām vairākas šāda veida problēmas.

Pirmās jaudas sērijas maiņa dod mums

Ievērojiet, ka maiņas procesā abas sērijas arī sākās vienā un tajā pašā vietā. Tas ne vienmēr notiks, bet, kad tas notiks, mēs to pieņemsim. Tagad mēs varam saskaitīt abas sērijas. Tas dod,

Atgādinot faktu no jaudas sērijas pārskata sadaļas, mēs zinām, ka, ja mums ir jaudas sērija, kas ir nulle visiem (x ) (kā tas ir), tad, lai sāktu, visiem koeficientiem jābūt nullei. Tas dod mums sekojošo:

To sauc par atkārtošanās saistība un ievērojiet, ka mēs iekļāvām (n ) vērtības, kurām tai jābūt patiesām. Mēs vienmēr vēlēsimies iekļaut (n ) vērtības, kurām ir patiesa atkārtošanās saistība, jo tās ne vienmēr sāksies ar (n ) = 0, kā tas bija šajā gadījumā.

Tagad atcerēsimies, kas mums vispār bija pēc. Mēs vēlējāmies atrast diferenciālvienādojuma virknes risinājumu. Lai to izdarītu, mums bija jānosaka (a_) ’S. Mēs esam gandrīz līdz vietai, kur mēs to varam izdarīt. Atkārtošanās saistībai ir divas dažādas (a_), Tāpēc mēs to nevaram atrisināt tikai (a_) un iegūstiet formulu, kas derēs visiem (n ). Tomēr mēs to varam izmantot, lai noteiktu, kas ir viss, izņemot divus no (a_) Ir.

Lai to izdarītu, vispirms jāatrisina (a_), kuram ir vislielākais indekss. To darot,

Šajā brīdī mums vienkārši jāsāk pieslēgt kādu vērtību (n ) un redzēt, kas notiek,

(n = 0 ) ( = frac << - >> << pa kreisi (2 pa labi) pa kreisi (1 pa labi) >> ) (n = 1 ) ( = frac << - >> << pa kreisi (3 pa labi) pa kreisi (2 pa labi) >> )
(n = 2 ) ( sākas & = - frac <<>> << pa kreisi (4 pa labi) pa kreisi (3 pa labi) >> & amp = frac <<>> << pa kreisi (4 pa labi) pa kreisi (3 pa labi) pa kreisi (2 pa labi) pa kreisi (1 pa labi) >> beigas) (n = 3 ) ( sākas & = - frac <<>> << pa kreisi (5 pa labi) pa kreisi (4 pa labi) >> & amp = frac <<>> << pa kreisi (5 pa labi) pa kreisi (4 pa labi) pa kreisi (3 pa labi) pa kreisi (2 pa labi) >> beigas)
(n = 4 ) ( sākas & = - frac <<>> << pa kreisi (6 pa labi) pa kreisi (5 pa labi) >> & amp = frac << - >> << pa kreisi (6 pa labi) pa kreisi (5 pa labi) pa kreisi (4 pa labi) pa kreisi (3 pa labi) pa kreisi (2 pa labi) pa kreisi (1 pa labi) >> beigas) (n = 5 ) ( sākas & = - frac <<>> << pa kreisi (7 pa labi) pa kreisi (6 pa labi) >> & amp = frac << - >> << pa kreisi (7 pa labi) pa kreisi (6 pa labi) pa kreisi (5 pa labi) pa kreisi (4 pa labi) pa kreisi (3 pa labi) pa kreisi (2 pa labi) >> beigas)
( vdots ) ( vdots )
(> = frac <<<< pa kreisi (<- 1> pa labi)> ^ k>>> << pa kreisi (<2k> pa labi)! >>, , , , k = 1,2, ldots ) (> = frac <<<< pa kreisi (<- 1> pa labi)> ^ k>>> << pa kreisi (<2k + 1> pa labi)! >>, , , , k = 1,2, ldots )

Ievērojiet, ka katrā solī mēs vienmēr pievienojām iepriekšējo atbildi, lai tad, kad indekss būtu vienmērīgs, mēs vienmēr varētu rakstīt (a_) attiecībā uz (a_ <0> ) un, ja koeficients bija nepāra, mēs vienmēr varējām uzrakstīt (a_) izteiksmē (a_ <1> ). Ievērojiet arī to, ka šajā gadījumā mums izdevās atrast vispārīgu formulu (a_) S ar pat koeficientiem un (a_) S ar nepāra koeficientiem. To ne vienmēr būs iespējams izdarīt.

Šeit ir jāpamana vēl viena lieta. Formulas, kuras mēs izstrādājām, bija domātas tikai (k = 1,2, ldots ), tomēr šajā gadījumā tās atkal darbosies arī ar (k = 0 ). Atkal, tas ir kaut kas, kas ne vienmēr darbosies, taču šeit tas darbojas.

Neuztraucieties par to, ka mēs nezinām, kas ir (a_ <0> ) un (a_ <1> ). Kā jūs redzēsiet, mums patiešām ir nepieciešams, lai tie būtu problēmā, lai iegūtu pareizo risinājumu.

Tagad, kad esam ieguvuši formulas (a_) S pieņemsim risinājumu. Pirmā lieta, ko mēs darīsim, ir izrakstīt risinājumu ar pāris (a_) Ir pievienots.

Nākamais solis ir savākt visus noteikumus ar vienādu koeficientu tajos un pēc tam šo koeficientu ņemt vērā.

Pēdējā posmā mēs izmantojām arī faktu, ka mēs zinājām, kāda ir vispārējā formula, lai abas daļas ierakstītu kā jaudas sēriju. Tas ir arī mūsu risinājums. Mēs esam pabeiguši.

Pirms citas problēmas risināšanas apskatīsim iepriekšējā piemēra risinājumu. Pirmkārt, mēs sākām, sakot, ka vēlamies virkni veidlapas risinājumu,

un mēs to nesaņēmām. Mēs saņēmām risinājumu, kurā bija divas dažādas jaudas sērijas. Katrā no risinājumiem bija nezināma konstante. Tā nav problēma. Patiesībā tas ir tas, ko mēs vēlamies, lai tas notiktu. No mūsu darba ar otrās kārtas konstanta koeficienta diferenciālvienādojumiem mēs zinām, ka diferenciālvienādojuma risinājums pēdējā piemērā ir:

[y pa kreisi (x pa labi) = cos pa kreisi (x pa labi) + grēks pa kreisi (x labais) ]

Otrās kārtas diferenciālvienādojumu risinājumi sastāv no divām atsevišķām funkcijām, kuru priekšā ir nezināma konstante un kuras tiek atrastas, piemērojot jebkurus sākotnējos nosacījumus. Tātad, mūsu piemērā esošā risinājuma forma ir tieši tā, kādu mēs vēlamies iegūt. Tāpat atcerieties, ka šādas Teilora sērijas,

Atgādinot tos, mēs ļoti ātri redzam, ka tas, ko mēs ieguvām no sērijas risinājuma metodes, bija tieši tas risinājums, ko mēs saņēmām pēc pirmajiem principiem, izņemot to, ka funkcijas bija Teilora sērija faktiskajām funkcijām, nevis pašas faktiskās funkcijas.

Tagad strādāsim ar nemainīgu koeficientu piemēru, jo tieši šeit sērijveida risinājumi ir visnoderīgākie.

Tāpat kā pirmajā piemērā (p (x) = 1 ), un arī šim diferenciālvienādojumam katrs punkts ir parasts punkts. Tagad mēs sāksim šo tāpat kā pirmo piemēru. Pierakstīsim risinājuma formu un iegūsim tā atvasinājumus.

Pievienošana diferenciālvienādojumam dod,

Atšķirībā no pirmā piemēra mums vispirms ir jāpanāk, lai visi koeficienti tiktu pārvietoti uz sēriju.

Tagad mums būs jāpārvieto pirmā sērija uz leju par 2, bet otrā - par 1, lai iegūtu abas sērijas (x ^ izteiksmē)n ).

Tālāk mums jāiegūst divas sērijas, kas sākas ar tādu pašu vērtību (n ). Vienīgais veids, kā to izdarīt, ir noņemt terminu (n = 0 ).

Tagad mums jāiestata visi koeficienti, kas ir vienādi ar nulli. Mums tomēr būs jābūt uzmanīgiem ar to. (N = 0 ) koeficients ir sērijas priekšā, un (n = 1,2,3, punkti ) visi ir sērijā. Tātad, nosakot koeficientu, kas vienāds ar nulli,

Pirmās, kā arī atkārtošanās attiecības atrisināšana dod,

Tagad mums jāsāk pieslēgt (n ) vērtības.

( displaystyle = frac <<>> << pa kreisi (3 pa labi) pa kreisi (2 pa labi) >> ) ( displaystyle = frac <<>> << pa kreisi (4 pa labi) pa kreisi (3 pa labi) >> ) ( displaystyle = frac <<>> << pa kreisi (5 pa labi) pa kreisi (4 pa labi) >> = 0 )
( sākas & = frac <<>> << pa kreisi (6 pa labi) pa kreisi (5 pa labi) >> & amp = frac <<>> << pa kreisi (6 pa labi) pa kreisi (5 pa labi) pa kreisi (3 pa labi) pa kreisi (2 pa labi) >> beigas) ( sākas & = frac <<>> << pa kreisi (7 pa labi) pa kreisi (6 pa labi) >> & amp = frac <<>> << pa kreisi (7 pa labi) pa kreisi (6 pa labi) pa kreisi (4 pa labi) pa kreisi (3 pa labi) >> beigas) ( displaystyle = frac <<>> << pa kreisi (8 pa labi) pa kreisi (7 pa labi) >> = 0 )
( vdots ) ( vdots ) ( vdots )
( sākas> & = frac <<>> << left (2 right) left (3 right) left (5 right) left (6 right) cdots left (<3k - 1> right) left (<3k > pa labi) >> k & = 1,2,3, ldots beigas) ( sākas> & = frac <<>> << left (3 right) left (4 right) left (6 right) left (7 right) cdots left (<3k> right) left (<3k + 1 > pa labi) >> k & = 1,2,3, ldots beigas) ( sākas> & = 0 k & = 0,1,2, ldots beigas)

Par šiem koeficientiem jāatzīmē pāris lietas. Pirmkārt, katrs trešais koeficients ir nulle. Tālāk formulas šeit ir nedaudz nepatīkamas, un tās nav tik viegli redzēt pirmo reizi. Visbeidzot, šīs formulas nedarbosies (k = 0 ) atšķirībā no pirmā piemēra.

Atkal savāciet vienumus, kas satur to pašu koeficientu, koeficientu aprēķiniet un uzrakstiet rezultātus kā jaunu sēriju,

Šoreiz mēs nevarējām sākt savu sēriju ar (k = 0 ), jo vispārējais termins neattiecas uz (k = 0 ).

Tagad mums jāizstrādā piemērs, kurā mēs izmantojam citu punktu, kas (x = 0 ). Patiesībā ņemsim tikai iepriekšējo piemēru un pārstrādāsim to ar citu vērtību (x_ <0> ). Mums arī būs nedaudz jāmaina šī piemēra instrukcijas.

Diemžēl no pirmā piemēra šeit neko nevar atkārtoti izmantot. Mainās uz ( = - 2 ) pilnībā maina problēmu. Šajā gadījumā mūsu risinājums būs

Šķīduma atvasinājumi ir:

Pievienojiet tos diferenciālvienādojumam.

Tagad mēs saskaramies ar mūsu pirmo reālo atšķirību starp šo piemēru un iepriekšējo piemēru. Šajā gadījumā mēs nevaram vienkārši reizināt (x ) otrajā sērijā, jo, lai apvienotu ar sēriju, tam ir jābūt (x + 2 ). Tāpēc mums vispirms būs jāmaina otrās sērijas koeficients, pirms to reizināt sērijā.

Tagad mums ir trīs sērijas, ar kurām strādāt. Tas bieži notiek šāda veida problēmās. Tagad mums būs jāpārvieto pirmā sērija uz leju par 2, bet otrā - par 1, lai iegūtu kopējos eksponentus visās sērijās.

Lai apvienotu sērijas, mums būs jāizņem (n = 0 ) termini gan no pirmās, gan no trešās sērijas.

Nosakot koeficientus, kas vienādi ar nulli,

Mums tagad jāatrisina abi šie aspekti. Pirmajā gadījumā ir divas iespējas, kuras mēs varam atrisināt (a_ <2> ) vai varam atrisināt (a_ <0> ). Pieraduma dēļ es atrisināšu (a_ <0> ). Atkārtošanās attiecībās mēs atrisināsim terminu ar vislielāko indeksu, kā tas bija iepriekšējos piemēros.

Ievērojiet, ka šajā piemērā katrs trešais termiņš nenotiks, kā tas bija iepriekšējā piemērā.

Šajā brīdī mēs arī atzīsim, ka arī šīs problēmas instrukcijas ir atšķirīgas. Mēs negūsim vispārīgu formulu (a_) Šoreiz, tāpēc mums būs jāapmierinās ar to, ka iegūstam pāris pirmos noteikumus katrai risinājuma daļai. Tas bieži notiek sērijveida risinājumu gadījumā. Vispārīgu formulu iegūšana (a_) Ir drīzāk izņēmums nekā likums šāda veida problēmās.

Lai iegūtu pirmos četrus vārdus, mēs sāksim savienot terminus, līdz būsim saņēmuši nepieciešamo terminu skaitu. Ņemiet vērā, ka mēs jau sāksim ar (a_ <0> ) un (a_ <1> ) no pirmajiem diviem risinājuma noteikumiem, tāpēc mums būs vajadzīgi tikai vēl trīs termini ar (a_ < 0> ) un vēl trīs termini ar (a_ <1> ).

Mums ir divi (a_ <0> ) un viens (a_ <1> ).

Mums ir trīs (a_ <0> ) un divi (a_ <1> ).

Mums ir četras (a_ <0> ) un trīs (a_ <1> ). Mēs esam ieguvuši visus nepieciešamos (a_ <0> ), taču mums joprojām ir vajadzīgs vēl viens (a_ <1> ). Tātad mums būs jāizdara vēl viens termins, kā tas izskatās.

Mums ir pieci (a_ <0> ) un četri (a_ <1> ). Mums ir visi nepieciešamie noteikumi.

Tagad viss, kas mums jādara, ir pievienot mūsu risinājumu.

Visbeidzot savāciet visus nosacījumus ar vienādu koeficientu un izslēdziet koeficientu, lai iegūtu,

Tas ir šīs problēmas risinājums, ciktāl mēs esam noraizējušies. Ievērojiet, ka šis risinājums nav līdzīgs iepriekšējā piemēra risinājumam. Tas ir tas pats diferenciālvienādojums, taču, mainot (x_ <0> ), risinājums tika pilnībā mainīts.

Strādāsim ar vienu pēdējo problēmu.

[ pa kreisi (<+ 1> pa labi) y '' - 4xy '+ 6y = 0 ]

Mums beidzot ir diferenciālvienādojums, kuram nav nemainīga koeficienta otrajam atvasinājumam.

[p pa kreisi (x pa labi) = + 1 hspace <0,25 in> p left (0 right) = 1 ne 0 ]

Tātad ( = 0 ) ir parasts punkts šim diferenciālvienādojumam. Mums vispirms ir nepieciešams risinājums un tā atvasinājumi,

Pievienojiet tos diferenciālvienādojumam.

Tagad sadaliet pirmo terminu divos, lai mēs varētu reizināt koeficientu sērijās un reizināt arī otrās un trešās sērijas koeficientus.

Mums būs tikai jāpārvieto otrā sērija uz leju par divām, lai visi eksponenti būtu vienādi visās sērijās.

Šajā brīdī mēs varētu noņemt dažus terminus, lai iegūtu visas sērijas, kas sākas ar (n = 2 ), bet tas faktiski ir vairāk darba, nekā nepieciešams. Tā vietā atzīmēsim, ka mēs varētu sākt trešo sēriju ar (n = 0 ), ja mēs to vēlētos, jo šis termins ir tikai nulle. Tāpat pirmās sērijas termini ir nulle gan (n = 1 ), gan (n = 0 ), un tāpēc mēs varētu sākt šo sēriju ar (n = 0 ). Ja mēs to izdarīsim, visas sērijas tagad sāksies ar (n = 0 ), un mēs varam tās saskaitīt, neizņemot nevienu sēriju.

Tagad iestatiet koeficientus, kas vienādi ar nulli.

Tagad mēs pievienojam (n ) vērtības.

No šī brīža visi koeficienti ir nulle. Šajā gadījumā abas risinājumā esošās sērijas tiks pārtrauktas. Tas ne vienmēr notiks, un bieži vien tikai viens no viņiem izbeigs darbību.


11.9. Vingrinājumi

Ex 11.9.1 Atrodiet sērijas attēlojumu $ ln 2 $. (atbilde)

Ex 11.9.2 Atrodiet jaudas sērijas attēlojumu $ ds 1 / (1-x) ^ 2 $. (atbilde)

Ex 11.9.3 Atrodiet vērtību sērijas attēlojumu $ ds 2 / (1-x) ^ 3 $. (atbilde)

Ex 11.9.4 Atrodiet vērtību sērijas attēlojumu $ ds 1 / (1-x) ^ 3 $. Kāds ir konverģences rādiuss? (atbilde)

Ex 11.9.5 Atrodiet jaudas sērijas attēlojumu $ ds int ln (1-x) , dx $. (atbilde)


7: Jaudu sērijas metodes - matemātika

Tagad, kad mēs zinām, kā attēlot funkciju kā jaudas sēriju, tagad mēs varam runāt par vismaz pāris sēriju lietojumiem.

Faktiski ir daudz sēriju pielietojumu, diemžēl lielākā daļa no tām ir ārpus šī kursa darbības jomas. Viens jaudas sēriju pielietojums (neregulāri izmantojot Teilora sēriju) ir parasto diferenciālvienādojumu jomā, atrodot sērijas risinājumus diferenciālvienādojumiem. Ja jūs interesē redzēt, kā tas darbojas, varat apskatīt šo manu diferenciālvienādojumu piezīmju nodaļu.

Cits sēriju pielietojums rodas, pētot daļējos diferenciālvienādojumus. Viena no visbiežāk izmantotajām metodēm šajā priekšmetā izmanto Furjē sēriju.

Daudzi sēriju pielietojumi, īpaši tie, kas atrodas diferenciālvienādojumu laukos, paļaujas uz faktu, ka funkcijas var attēlot kā virkni. Šajās lietojumprogrammās ir ļoti grūti, ja ne neiespējami, atrast pašu funkciju. Tomēr ir metodes nezināmas funkcijas sērijas attēlojuma noteikšanai.

Lai gan diferenciālo vienādojumu lietojumprogrammas ir ārpus šī kursa darbības jomas, ir daži aprēķina iestatījuma lietojumi, kurus mēs varam apskatīt.

Lai to izdarītu, vispirms mums jāatrod Teilora sērija par (x = 0 ) integrandam. Tas tomēr nav īpaši grūti. Mums jau ir Taylor sērija par sinusu par (x = 0 ), tāpēc to izmantosim tikai šādi:

Tagad mēs varam darīt problēmu.

Tātad, lai gan mēs nevaram integrēt šo funkciju zināmo funkciju ziņā, mēs varam nākt klajā ar integrāla sērijas attēlojumu.

Šī ideja atvasināt virknes attēlojumu funkcijai, nevis mēģināt atrast pašu funkciju, tiek izmantota diezgan bieži vairākos laukos. Patiesībā ir dažas jomas, kurās šī ir viena no galvenajām izmantotajām idejām, un bez šīs idejas šajās jomās būtu ļoti grūti kaut ko paveikt.

Cits sēriju pielietojums patiesībā nav bezgalīgu sēriju pielietojums. Tas drīzāk ir daļēju summu piemērošana. Faktiski mēs jau esam redzējuši šo lietojumprogrammu vienreiz lietojam šajā nodaļā. Novērtējot sērijas vērtību, mēs izmantojām daļēju summu, lai novērtētu sērijas vērtību. Mēs varam darīt to pašu ar jaudas sērijām un funkciju sēriju attēlojumiem. Galvenā atšķirība ir tā, ka tagad mēs izmantosim daļējo summu, lai tuvinātu funkciju, nevis vienu vērtību.

Mēs aplūkosim Taylor sērijas, lai uzzinātu savus piemērus, taču mēs tikpat viegli šeit varētu izmantot jebkuru sēriju attēlojumu. Atgādināt, ka n-tās pakāpes Teilora polinoms no (f pa kreisi (x pa labi) ) dod,

Apskatīsim šī piemēru.

Teilina polinomu kosinusa vispārīgā formula.

Trīs Teilora polinomi, kurus mēs esam ieguvuši, ir

Šeit ir šo trīs Teilora polinomu grafiks, kā arī kosinusa grafiks.

Kā redzams no šī grafika, palielinot Teilora polinoma pakāpi, tas sāk arvien vairāk līdzināties pašai funkcijai. Patiesībā, līdz mēs esam nonākuši līdz left (x right) ) vienīgā atšķirība ir tieši galos. Jo augstāka ir Teilora polinoma pakāpe, jo labāk tā tuvina funkciju.

Turklāt, jo lielāks ir intervāls, jo augstākas pakāpes Teilora polinoms mums ir nepieciešams, lai iegūtu labu tuvinājumu visam intervālam.

Pirms turpināt, pierakstīsim vēl pāris Teilora polinomus no iepriekšējā piemēra. Ievērojiet, ka, tā kā Teilora kosinusa sērijā nav neviena termina ar nepāra lielumiem (x ), mēs iegūstam šādus Teilora polinomus.

Tie ir identiski tiem, kas izmantoti piemērā. Dažreiz tas notiks, lai gan tas patiesībā nebija tā mērķis. Lieta ir pamanīt, ka n-tās pakāpes Teilora polinomam var būt pakāpe, kas ir mazāka par (n ). Tas nekad nebūs lielāks par (n ), bet var būt mazāks par (n ).

Šīs sadaļas pēdējais piemērs patiešām nav sēriju pielietojums un, iespējams, piederēja iepriekšējai sadaļai. Tomēr iepriekšējā sadaļa kļuva pārāk gara, tāpēc piemērs ir šajā sadaļā. Šis ir piemērs tam, kā pavairot sērijas kopā, un, kaut arī tas nav sēriju pielietojums, lietojumprogrammās tas reizēm ir jādara. Tātad šajā ziņā tas pieder šai sadaļai.

Pirms sākam, atzīsim, ka vienkāršākais veids, kā izdarīt šo problēmu, ir vienkārši aprēķināt pirmos 3-4 atvasinājumus, novērtēt tos pie (x = 0 ), pieslēgt formulu un viss būs paveikts. Tomēr, kā mēs atzīmējām pirms šī piemēra, mēs vēlamies izmantot šo piemēru, lai ilustrētu, kā mēs vairojam sērijas.

Mēs izmantosim to, ka mums ir Taylor sērija katram no šiem, lai mēs tos varētu izmantot šajā problēmā.

Šīs sērijas mēs pilnībā nepavairosim. Mēs darīsim pietiekami daudz reizināšanas, lai saņemtu atbildi. Problēmas paziņojumā teikts, ka mēs vēlamies pirmos trīs nav nulle noteikumiem. Šis nulle, kas nav nulle, ir svarīgs, jo ir iespējams, ka daži no šiem nosacījumiem būs nulle. Ja neviens no šiem nosacījumiem nav nulle, tas nozīmē, ka pirmie trīs termini, kas nav nulle, būtu nemainīgs, (x ) un () jēdziens. Tomēr, tā kā daži var būt nulle, pieņemsim, ka, ja mēs visus nosacījumus sakārtosim ar () mums pietiks, lai saņemtu atbildi. Ja mēs esam pieņēmuši nepareizu, to būs ļoti viegli novērst, tāpēc neuztraucieties par to.

Tagad pierakstīsim katras sērijas dažus pirmos noteikumus, un mēs apstāsimies pie x 4 termins katrā.

Ņemiet vērā, ka mums ir jāatzīst, ka šīs sērijas neapstājas. Tāds ir katra vārda beigās esošā “((+ cdots )” mērķis. Tomēr tikai uz sekundi pieņemsim, ka katrs no šiem apstājās un jautāja sev, kā mēs katru reizinātu. Ja tas tā būtu, mēs ņemtu katru terminu otrajā un reizinātu ar katru pirmo vārdu. Citiem vārdiem sakot, mēs vispirms reizinātu katru otrās sērijas terminu ar 1, pēc tam katru otrās sērijas terminu reizinātu ar (x ), pēc tam ar () utt.

Apturot katru sēriju pie () mēs tagad esam garantējuši, ka saņemsim visus vārdus, kuru eksponents ir 4 vai mazāks. Vai jūs saprotat, kāpēc?

Katram no vārdiem, kurus mēs neuzskatījām pierakstīt, eksponents ir vismaz 5, un reizinot ar 1 vai jebkuru (x ) spēku, tiks iegūts termins ar eksponentu, kas ir vismaz 5. Tāpēc neviens no novārtā atstātie vārdi sekmēs terminus ar eksponentu 4 vai mazāk, un tāpēc tie nebija vajadzīgi.

Sāksim reizināšanas procesu.

Tagad vāciet līdzīgus terminus, ignorējot visu ar eksponentu 5 vai vairāk, jo mums nebūs visu šo terminu un arī tos nevēlēsimies. To darot,

Tur mēs ejam. Izskatās, ka mēs esam uzminējuši un nonākuši pie četriem nosacījumiem, kas nav nulle, bet tas ir labi. Ja mēs bijām uzminējuši un izrādījās, ka mums ir vajadzīgi nosacījumi ar () tajos viss, kas mums šajā brīdī būtu jādara, ir atgriezties un pievienot šos vārdus sākotnējai sērijai un veikt pāris ātras reizināšanas. Citiem vārdiem sakot, nav pamata pilnībā pārtaisīt visu darbu.


Matemātikas problēmu metožu risināšana

SnapXam AI darbinātais matemātikas risinātājs ļauj atrisināt sarežģītas matemātikas problēmas, detalizēti detalizēti paskaidrojot detalizēti. Dažas matemātikas problēmas var atrisināt, izmantojot vairākas metodes (ieskaitot skolotāja metodi)).

Šo problēmu gadījumā mēs ļaujam izvēlēties vēlamo risināšanas metodi. Mēs saprotam, ka matemātikas uzdevuma risināšana, izmantojot pareizo metodi, ir gandrīz tikpat svarīga kā pareizas atbildes iegūšana. Tas ir īpaši svarīgi, apgūstot jaunus jēdzienus, jo to pašu atbildi uz problēmu var iegūt, izmantojot dažādas metodes vai paņēmienus.

Šajā rakstā mēs iepazīstinām ar dažādām risināšanas metodēm, kuras pašlaik atbalsta mūsu matemātikas risinātājs.


Integral Power Series pārveidošana

Viena metode, kā var izmantot jaudas sēriju integrāciju, ir tāda, ka funkcijas nav atpazīstamas pēc tipiskām jaudas sēriju transformācijām. Piemērs tam var būt šāds:

Ja F (x) = ln (2-x), atrodiet līdzvērtīgu jaudas sēriju

Sākumā dabiskā žurnāla funkcija nav pieminēta jaudas sēriju ekvivalentu sarakstā. Tā vietā var redzēt, ka, ja F (x) tika atrasts tā atvasinājums, rodas kopēja jaudas sērijas funkcija un ar to var strādāt.

1. solis: Atrodiet dotās funkcijas pirmo atvasinājumu un pārrakstiet F (x) neatņemamā formā.

2. solis: Atpazīst funkciju modeli, kuru var tieši aizstāt ar kopēju jaudas sēriju.

3. solis: Atrisiniet integrāli un sakārtojiet noteikumus.

Kur C ir nemainīga vērtība, kas mainās atkarībā no izvēlētās x vērtības, kas tiek pievienota.


7: Jaudu sērijas metodes - matemātika

Šajā nodaļā mēs aplūkosim secības un (bezgalīgas) sērijas. Faktiski šajā nodaļā tiks aplūkotas gandrīz tikai sērijas. Tomēr mums ir jāsaprot arī daži secību pamati, lai pareizi tiktu galā ar sērijām. Tāpēc nedaudz laika pavadīsim arī sekvencēs.

Seriāls ir viena no tām tēmām, kas daudziem studentiem nešķiet tik noderīga. Ja godīgi, daudzi studenti nekad neredzēs sērijas ārpus viņu kalkulācijas klases. Tomēr sērijām ir svarīga loma parasto diferenciālvienādojumu jomā, un bez sērijām lielas daļēju diferenciālvienādojumu lauka daļas nebūtu iespējamas.

Citiem vārdiem sakot, sērijas ir svarīga tēma, pat ja jūs nekad neredzēsiet nevienu no lietojumprogrammām. Lielākā daļa lietojumprogrammu pārsniedz lielāko daļu Calculus kursu darbības jomu, un tās parasti notiek klasēs, kuras daudzi studenti neiziet. Tāpēc, ejot cauri šim materiālam, paturiet prātā, ka tiem patiešām ir lietojumprogrammas, pat ja mēs daudzus no tiem šajā klasē īsti neaptversim.

Šeit ir šīs nodaļas tēmu saraksts.

Secības - Šajā sadaļā mēs definējam tikai to, ko mēs domājam ar secību matemātikas stundā, un dodam pamata apzīmējumu, ko mēs izmantosim kopā ar viņiem. Šajā sadaļā mēs pievērsīsimies pamata terminoloģijai, secību robežām un secību konverģencei. Mēs arī sniegsim daudzus pamatfaktus un īpašības, kas mums būs nepieciešamas, strādājot ar sekvencēm.

Vairāk par secībām - šajā sadaļā mēs turpināsim pārbaudīt secības. Mēs noteiksim, vai secība pieaugošā vai samazinošā secībā un līdz ar to arī monotoniska secība. Mēs arī noteiksim, vai secība ir norobežota zemāk, ierobežota iepriekš un / vai ierobežota.

Sērija - pamati - šajā sadaļā mēs oficiāli definēsim bezgalīgu sēriju. Mēs arī sniegsim daudzus pamatfaktus, īpašības un veidus, kā mēs varam izmantot, lai manipulētu ar sēriju. Mēs arī īsi apspriedīsim, kā noteikt, vai bezgalīgas sērijas saplūst vai atšķirsies (dziļāka šīs tēmas diskusija notiks nākamajā sadaļā).

Sēriju konverģence / atšķirība - šajā sadaļā mēs detalizētāk apspriedīsim bezgalīgo sēriju konverģenci un atšķirības. Mēs ilustrēsim, kā tiek izmantotas daļējas summas, lai noteiktu, vai bezgalīga virkne saplūst vai atšķiras. Šajā sadaļā mēs sniegsim arī sēriju atšķirības testu.

Īpašā sērija - šajā sadaļā mēs aplūkosim trīs sērijas, kuras vai nu regulāri parādās, vai kurām piemīt dažas jaukas īpašības, kuras mēs vēlamies apspriest. Mēs pārbaudīsim ģeometriskās sērijas, teleskopiskās sērijas un harmonikas sērijas.

Integral Test - Šajā sadaļā mēs apspriedīsim Integral Test izmantošanu, lai noteiktu, vai bezgalīga sērija saplūst vai atšķiras. Integral Test var izmantot bezgalīgā sērijā, ja sērijas nosacījumi ir pozitīvi un samazinās. Tiek sniegts arī Integral Test pierādījums.

Salīdzināšanas tests / ierobežojuma salīdzināšanas tests - šajā sadaļā mēs apspriedīsim salīdzināšanas testa un ierobežojumu salīdzināšanas testu izmantošanu, lai noteiktu, vai bezgalīgas sērijas saplūst vai atšķiras. Lai izmantotu jebkuru no šiem testiem, bezgalīgās sērijas noteikumiem jābūt pozitīviem. Tiek doti arī abu testu pierādījumi.

Pārmaiņu sērijas tests - šajā sadaļā mēs apspriedīsim alternatīvās sērijas testa izmantošanu, lai noteiktu, vai bezgalīga sērija saplūst vai atšķiras. Pārmaiņu sērijas testu var izmantot tikai tad, ja sērijas nosacījumi mainās zīmē. Tiek dots arī alternatīvās sērijas testa pierādījums.

Absolūtā konverģence - šajā sadaļā mums būs īsa diskusija par absolūto konverģenci un nosacīti konverģenci un to, kā tās ir saistītas ar bezgalīgu sēriju konverģenci.

Ratio tests - Šajā sadaļā mēs apspriedīsim Ratio testa izmantošanu, lai noteiktu, vai bezgalīga sērija absolūti saplūst vai atšķiras. Ratio testu var izmantot jebkurā sērijā, taču diemžēl tas ne vienmēr sniegs pārliecinošu atbildi par to, vai sērija pilnībā saplūst vai atšķirsies. Tiek dots arī Ratio testa pierādījums.

Saknes tests - Šajā sadaļā mēs apspriedīsim saknes testa izmantošanu, lai noteiktu, vai bezgalīga sērija absolūti saplūst vai atšķiras. Saknes testu var izmantot jebkurā sērijā, taču diemžēl tas ne vienmēr sniegs pārliecinošu atbildi par to, vai sērija pilnībā saplūst vai atšķirsies. Tiek dots arī Saknes testa pierādījums.

Sēriju stratēģija - šajā sadaļā mēs sniedzam vispārīgu vadlīniju kopumu, lai noteiktu, kurš tests jāizmanto, lai noteiktu, vai bezgalīgas sērijas saplūst vai atšķirsies. Ņemiet vērā arī to, ka patiešām nav viena vadlīniju komplekta, kas vienmēr darbosies, tāpēc jums vienmēr jābūt elastīgam, ievērojot šo vadlīniju kopumu. Šajā nodaļā ir sniegts arī visu dažādo testu kopsavilkums, kā arī nosacījumi, kas jāievēro, lai tos izmantotu.

Sērijas vērtības novērtēšana - Šajā sadaļā mēs apspriedīsim, kā integrālo testu, salīdzināšanas testu, alternatīvo sēriju testu un attiecību testu dažreiz var izmantot, lai novērtētu bezgalīgas sērijas vērtību.

Spēka sērija - Šajā sadaļā mēs sniegsim jaudas sēriju definīciju, kā arī konverģences rādiusa un konverģences intervāla definīciju jaudas sērijām. Mēs arī ilustrēsim, kā attiecību testu un sakņu testu var izmantot, lai noteiktu jaudas sērijas konverģences rādiusu un intervālu.

Jaudas sērija un funkcijas - Šajā sadaļā mēs apspriežam, kā konverģējošas ģeometriskās sērijas formulu var izmantot, lai attēlotu dažas funkcijas kā jaudas sērijas. Lai izmantotu ģeometriskās sērijas formulu, funkcijai jābūt iespējai ievietot noteiktā formā, kas bieži vien nav iespējama. Tomēr šīs formulas izmantošana ātri parāda, kā funkcijas var attēlot kā jaudas sēriju. We also discuss differentiation and integration of power series.

Taylor Series – In this section we will discuss how to find the Taylor/Maclaurin Series for a function. This will work for a much wider variety of function than the method discussed in the previous section at the expense of some often unpleasant work. We also derive some well known formulas for Taylor series of (<f e>^) , (cos(x)) and (sin(x)) around (x=0).

Applications of Series – In this section we will take a quick look at a couple of applications of series. We will illustrate how we can find a series representation for indefinite integrals that cannot be evaluated by any other method. We will also see how we can use the first few terms of a power series to approximate a function.

Binomial Series – In this section we will give the Binomial Theorem and illustrate how it can be used to quickly expand terms in the form ( left(a+b ight)^) when (n) is an integer. In addition, when (n) is not an integer an extension to the Binomial Theorem can be used to give a power series representation of the term.


7: Power series methods - Mathematics

Recall that we were able to analyze all geometric series "simultaneously'' to discover that $sum_^infty kx^n = ,$ if $|x| Definition 11.8.1 A power series has the form $dssum_^infty a_nx^n,$ with the understanding that $ds a_n$ may depend on $n$ but not on $x$.

Example 11.8.2 $dssum_^infty $ is a power series. We can investigate convergence using the ratio test: $ lim_ <|x|^over n+1> =lim_ |x| =|x|. $ Thus when $|x| 1$ it diverges, leaving only two values in doubt. When $x=1$ the series is the harmonic series and diverges when $x=-1$ it is the alternating harmonic series (actually the negative of the usual alternating harmonic series) and converges. Thus, we may think of $dssum_^infty $ as a function from the interval $[-1,1)$ to the real numbers.

A bit of thought reveals that the ratio test applied to a power series will always have the same nice form. In general, we will compute $ lim_ <|a_||x|^over |a_n||x|^n> =lim_ |x|<|a_|over |a_n|> = |x|lim_ <|a_|over |a_n|> =L|x|, $ assuming that $ds lim |a_|/|a_n|$ exists. Then the series converges if $L|x| 1/L$. Only the two values $x=pm1/L$ require further investigation. Thus the series will definitely define a function on the interval $(-1/L,1/L)$, and perhaps will extend to one or both endpoints as well. Two special cases deserve mention: if $L=0$ the limit is $ no matter what value $x$ takes, so the series converges for all $x$ and the function is defined for all real numbers. If $L=infty$, then no matter what value $x$ takes the limit is infinite and the series converges only when $x=0$. The value $1/L$ is called the radius of convergence of the series, and the interval on which the series converges is the interval of convergence .

Consider again the geometric series, $sum_^infty x^n=<1over 1-x>.$ Whatever benefits there might be in using the series form of this function are only available to us when $x$ is between $-1$ and $1$. Frequently we can address this shortcoming by modifying the power series slightly. Consider this series: $ sum_^infty <(x+2)^nover 3^n>= sum_^infty left( ight)^n=<1over 1->= <3over 1-x>, $ because this is just a geometric series with $x$ replaced by $(x+2)/3$. Multiplying both sides by $1/3$ gives $sum_^infty <(x+2)^nover 3^>=<1over 1-x>,$ the same function as before. For what values of $x$ does this series converge? Since it is a geometric series, we know that it converges when $eqalign< |x+2|/3& Definition 11.8.3 A power series centered at $a$ has the form $dssum_^infty a_n(x-a)^n,$ with the understanding that $ds a_n$ may depend on $n$ but not on $x$.


7: Power series methods - Mathematics

In this section we will introduce the topic that we will be discussing for the rest of this chapter. That topic is infinite series. So just what is an infinite series? Well, let’s start with a sequence (left< <> ight>_^infty ) (note the (n = 1) is for convenience, it can be anything) and define the following,

The () are called partial sums and notice that they will form a sequence, (left< <> ight>_^infty ). Also recall that the (Sigma ) is used to represent this summation and called a variety of names. The most common names are : series notation, summation notation, un sigma notation.

You should have seen this notation, at least briefly, back when you saw the definition of a definite integral in Calculus I. If you need a quick refresher on summation notation see the review of summation notation in the Calculus I notes.

Now back to series. We want to take a look at the limit of the sequence of partial sums, (left< <> ight>_^infty ). To make the notation go a little easier we’ll define,

We will call (sumlimits_^infty <> ) an infinite series and note that the series “starts” at (i = 1) because that is where our original sequence, (left< <> ight>_^infty ), started. Had our original sequence started at 2 then our infinite series would also have started at 2. The infinite series will start at the same value that the sequence of terms (as opposed to the sequence of partial sums) starts.

It is important to note that (sumlimits_^infty <> ) is really nothing more than a convenient notation for (mathop limits_ sumlimits_^n <> ) so we do not need to keep writing the limit down. We do, however, always need to remind ourselves that we really do have a limit there!

If the sequence of partial sums, (left< <> ight>_^infty ), is convergent and its limit is finite then we also call the infinite series, (sumlimits_^infty <> )convergent and if the sequence of partial sums is divergent then the infinite series is also called divergent.

Note that sometimes it is convenient to write the infinite series as,

We do have to be careful with this however. This implies that an infinite series is just an infinite sum of terms and as we’ll see in the next section this is not really true for many series.

In the next section we’re going to be discussing in greater detail the value of an infinite series, provided it has one of course as well as the ideas of convergence and divergence.

This section is going to be devoted mostly to notational issues as well as making sure we can do some basic manipulations with infinite series so we are ready for them when we need to be able to deal with them in later sections.

First, we should note that in most of this chapter we will refer to infinite series as simply series. If we ever need to work with both infinite and finite series we’ll be more careful with terminology, but in most sections we’ll be dealing exclusively with infinite series and so we’ll just call them series.

Now, in (sumlimits_^infty <> ) the (i) is called the index of summation or just index for short and note that the letter we use to represent the index does not matter. So for example the following series are all the same. The only difference is the letter we’ve used for the index.

It is important to again note that the index will start at whatever value the sequence of series terms starts at and this can literally be anything. So far we’ve used (n = 0) and (n = 1) but the index could have started anywhere. In fact, we will usually use (sum <> ) to represent an infinite series in which the starting point for the index is not important. When we drop the initial value of the index we’ll also drop the infinity from the top so don’t forget that it is still technically there.

We will be dropping the initial value of the index in quite a few facts and theorems that we’ll be seeing throughout this chapter. In these facts/theorems the starting point of the series will not affect the result and so to simplify the notation and to avoid giving the impression that the starting point is important we will drop the index from the notation. Do not forget however, that there is a starting point and that this will be an infinite series.

Note however, that if we do put an initial value of the index on a series in a fact/theorem it is there because it really does need to be there.

Now that some of the notational issues are out of the way we need to start thinking about various ways that we can manipulate series.

We’ll start this off with basic arithmetic with infinite series as we’ll need to be able to do that on occasion. We have the following properties.

Rekvizīti

If (sum <> ) and (sum <> ) are both convergent series then,

  1. (displaystyle sum <>> ), where (c) is any number, is also convergent and [sum <>> = csum <> ]
  2. ( displaystyle summa limits_^infty <> pm sumlimits_^infty <> ) is also convergent and, [sumlimits_^infty <> pm sumlimits_^infty <> = sumlimits_^infty pm > ight)> ]

The first property is simply telling us that we can always factor a multiplicative constant out of an infinite series and again recall that if we don’t put in an initial value of the index that the series can start at any value. Also recall that in these cases we won’t put an infinity at the top either.

The second property says that if we add/subtract series all we really need to do is add/subtract the series terms. Note as well that in order to add/subtract series we need to make sure that both have the same initial value of the index and the new series will also start at this value.

Before we move on to a different topic let’s discuss multiplication of series briefly. We’ll start both series at (n = 0) for a later formula and then note that,

To convince yourself that this isn’t true consider the following product of two finite sums.

Yeah, it was just the multiplication of two polynomials. Each is a finite sum and so it makes the point. In doing the multiplication we didn’t just multiply the constant terms, then the (x) terms, utt. Instead we had to distribute the 2 through the second polynomial, then distribute the (x) through the second polynomial and finally combine like terms.

Multiplying infinite series (even though we said we can’t think of an infinite series as an infinite sum) needs to be done in the same manner. With multiplication we’re really asking us to do the following,

To do this multiplication we would have to distribute the () through the second term, distribute the () through, utt then combine like terms. This is pretty much impossible since both series have an infinite set of terms in them, however the following formula can be used to determine the product of two series.

We also can’t say a lot about the convergence of the product. Even if both of the original series are convergent it is possible for the product to be divergent. The reality is that multiplication of series is a somewhat difficult process and in general is avoided if possible. We will take a brief look at it towards the end of the chapter when we’ve got more work under our belt and we run across a situation where it might actually be what we want to do. Until then, don’t worry about multiplying series.

The next topic that we need to discuss in this section is that of index shift. To be honest this is not a topic that we’ll see all that often in this course. In fact, we’ll use it once in the next section and then not use it again in all likelihood. Despite the fact that we won’t use it much in this course doesn’t mean however that it isn’t used often in other classes where you might run across series. So, we will cover it briefly here so that you can say you’ve seen it.

The basic idea behind index shifts is to start a series at a different value for whatever the reason (and yes, there are legitimate reasons for doing that).

Consider the following series,

Suppose that for some reason we wanted to start this series at (n = 0), but we didn’t want to change the value of the series. This means that we can’t just change the (n = 2) to (n = 0) as this would add in two new terms to the series and thus change its value.

Performing an index shift is a fairly simple process to do. We’ll start by defining a new index, say (i), as follows,

Now, when (n = 2), we will get (i = 0). Notice as well that if (n = infty ) then (i = infty - 2 = infty ), so only the lower limit will change here. Next, we can solve this for (n) to get,

We can now completely rewrite the series in terms of the index (i) instead of the index (n) simply by plugging in our equation for (n) in terms of (i).

To finish the problem out we’ll recall that the letter we used for the index doesn’t matter and so we’ll change the final (i) back into an (n) to get,

To convince yourselves that these really are the same summation let’s write out the first couple of terms for each of them,

So, sure enough the two series do have exactly the same terms.

There is actually an easier way to do an index shift. The method given above is the technically correct way of doing an index shift. However, notice in the above example we decreased the initial value of the index by 2 and all the (n)’s in the series terms increased by 2 as well.

This will always work in this manner. If we decrease the initial value of the index by a set amount then all the other (n)’s in the series term will increase by the same amount. Likewise, if we increase the initial value of the index by a set amount, then all the (n)’s in the series term will decrease by the same amount.

Let’s do a couple of examples using this shorthand method for doing index shifts.

  1. Write (displaystyle sumlimits_^infty <><>>> ) as a series that starts at (n = 0).
  2. Write (displaystyle sumlimits_^infty >><<1 - <3^>>>> ) as a series that starts at (n = 3).

In this case we need to decrease the initial value by 1 and so the (n)’s (okay the single (n)) in the term must increase by 1 as well.

For this problem we want to increase the initial value by 2 and so all the (n)’s in the series term must decrease by 2.

The final topic in this section is again a topic that we’ll not be seeing all that often in this class, although we will be seeing it more often than the index shifts. This final topic is really more about alternate ways to write series when the situation requires it.

Let’s start with the following series and note that the (n = 1) starting point is only for convenience since we need to start the series somewhere.

Notice that if we ignore the first term the remaining terms will also be a series that will start at (n = 2) instead of (n = 1) So, we can rewrite the original series as follows,

In this example we say that we’ve stripped out the first term.

We could have stripped out more terms if we wanted to. In the following series we’ve stripped out the first two terms and the first four terms respectively.

Being able to strip out terms will, on occasion, simplify our work or allow us to reuse a prior result so it’s an important idea to remember.

Notice that in the second example above we could have also denoted the four terms that we stripped out as a finite series as follows,

This is a convenient notation when we are stripping out a large number of terms or if we need to strip out an undetermined number of terms. In general, we can write a series as follows,

We’ll leave this section with an important warning about terminology. Don’t get sequences and series confused! A sequence is a list of numbers written in a specific order while an infinite series is a limit of a sequence of finite series and hence, if it exists will be a single value.

So, once again, a sequence is a list of numbers while a series is a single number, provided it makes sense to even compute the series. Students will often confuse the two and try to use facts pertaining to one on the other. However, since they are different beasts this just won’t work. There will be problems where we are using both sequences and series so we’ll always have to remember that they are different.


Too long for comment: In power-series form, the ODE is

Notice the degree of the leading terms in each sum are $ , $1$ , and $ . Removing the first term from the first and third sums, then consolidating the remaining sums gives

(your error occurs at some point during the above steps)

Hint: Compute the derivative on the left hand side. Some terms will vanish and you'll end up with the original ODE.

and so on, which suggests a pattern for the even-indexed coefficients,

Then a solution to the ODE would be

You can do a similar analysis to describe the odd-indexed coefficients. Starting with a fixed $a_1$ , we have

and there is another solution

From here I imagine you are supposed to find closed forms for these power series. The even-indexed series you should recognize right away. The second requires a bit of massaging to get something that looks familiar.


Skatīties video: Matemātika. Pieskaitām un atņemam desmitus. (Novembris 2021).