Raksti

2.3. Augstākas kārtas lineārie ODE - matemātika


Vienādojumi, kas parādās lietojumprogrammās, parasti ir otrās kārtas, lai gan laiku pa laikam parādās augstākas kārtas vienādojumi. Tādējādi parasti tiek pieņemts, ka pasaule no mūsdienu fizikas viedokļa ir “otrā pakāpe”. Pamata rezultāti par lineāriem augstākas kārtas ODE ir būtībā tādi paši kā otrās kārtas vienādojumiem, 2 aizstājot ar (n ). Svarīgais lineārās neatkarības jēdziens ir nedaudz sarežģītāks, ja ir iesaistītas vairāk nekā divas funkcijas.

Attiecībā uz augstākas pakāpes nemainīga koeficienta ODE metodēm ir arī nedaudz grūtāk pielietot, taču mēs pie šīm komplikācijām neapturēsimies. Mēs vienmēr varam izmantot lineāro vienādojumu sistēmu metodes, lai atrisinātu augstākas pakāpes konstanta koeficienta vienādojumus. Tātad sāksim ar vispārēju viendabīgu lineāru vienādojumu:

[y ^ {(n)} + p_ {n-1} (x) y ^ {(n-1)} + , ... + p_1 (x) y '+ p_o (x) y = f ( x) label {2.3.1} ]

2.3.1. Teorēma: superpozīcija

Pieņemsim, ka (y_1, y_2, punkti, y_n ) ir viendabīga vienādojuma (vienādojums ref {2.3.1}) risinājumi. Tad

[y (x) = C_1 y_1 (x) + C_2 y_2 (x) + ... + C_n y_n (x) ]

atrisina arī vienādojumu ref {2.3.1} patvaļīgām konstantēm (C_1, .... C_n ).

Citiem vārdiem sakot, vienādojuma ref {2.3.1} lineāra risinājumu kombinācija ir arī vienādojuma ref {2.3.1} risinājums. Mums ir arī nehomogēnu lineāro vienādojumu pastāvēšanas un unikalitātes teorēma.

2.3.2. Teorēma: esamība un unikalitāte

Pieņemsim, ka no (p_o ) līdz (p_ {n-1} ) un (f ) ir nepārtrauktas funkcijas noteiktā intervālā (I, a ) ir skaitlis (I ), un ( b_0, b_1, punkti, b_ {n-1} ) ir konstantes. Vienādojums

[y ^ {(n)} + p_ {n-1} (x) y ^ {(n-1)} + , ... + p_1 (x) y '+ p_o (x) y = f ( x) ]

ir precīzi viens risinājums (y (x) ), kas definēts tajā pašā intervālā (I ), kas atbilst sākotnējiem nosacījumiem

[y (a) = b_0, ~~ y '(a) = b_1, ~~ punkti, ~~ y ^ {(n -1)} (a) = b_ {n - 1} ]

2.3.1. Lineārā neatkarība

Kad mums bija divas funkcijas (y_1 ) un (y_2 ), mēs teicām, ka tās ir lineāri neatkarīgas, ja viena nav otra daudzkārtne. Tāda pati ideja ir attiecībā uz (n ) funkcijām. Šajā gadījumā ir vieglāk paziņot šādi. Funkcijas (y_1, y_2, punkti, y_n ) ir lineāri neatkarīgas, ja

[c_1y_1 + c_2y_2 + punkti + c_ny_n = 0 ]

ir tikai triviāls risinājums (c_1 = c_2 = punkti = c_n = 0 ), kur vienādojumam jāatbilst visiem (x ). Ja mēs varam atrisināt vienādojumu ar dažām konstantēm, kur, piemēram, (c_1 ne 0 ), tad (y_1 ) varam atrisināt kā citu lineāru kombināciju. Ja funkcijas nav lineāri neatkarīgas, tās ir lineāri atkarīgas.

Piemērs ( PageIndex {1} )

Parādiet, ka (e ^ x ), (e ^ {2x} ) un (e ^ {3x} ) ir lineāri neatkarīgas funkcijas.

Risinājums

Dosim vairākus veidus, kā parādīt šo faktu. Daudzas mācību grāmatas iepazīstina ar vronskiešiem, taču tas patiešām nav nepieciešams, lai atrisinātu šo piemēru. Pierakstīsim

[c_1e ^ x + c_2e ^ {2x} + c_3e ^ {3x} = 0 ]

Mēs izmantojam eksponenciālu likumus un rakstām (z = e ^ x ). Tad mums ir

[c_1z + c_2z ^ 2 + c_3z ^ 3 = 0 ]

Kreisā puse ir trešās pakāpes polinoms (z ). Tas var būt vai nu identiski nulle, vai arī tajā var būt ne vairāk kā 3 nulles. Tāpēc tā ir identiski nulle, (c_1 = c_2 = c_3 = 0 ), un funkcijas ir lineāri neatkarīgas.

Izmēģināsim citu veidu. Tāpat kā iepriekš mēs rakstām

[c_1e ^ x + c_2e ^ {2x} + c_3e ^ {3x} = 0 ]

Šis vienādojums ir spēkā visiem (x ). Tas, ko mēs varētu darīt, ir sadalīt ar (e ^ {3x} ), lai iegūtu

[c_1e ^ {- 2x} + c_2e ^ {- x} + c_3 = 0 ]

Tā kā vienādojums ir taisnība visiem (x ), ļaujiet (x rightarrow infty ). Pēc limita sasniegšanas mēs redzam, ka (c_3 = 0 ). Tādējādi mūsu vienādojums kļūst

[c_1e ^ x + c_2e ^ {2x} = 0 ]

Noskalojiet, atkārtojiet!

Kā būtu ar citu ceļu. Mēs atkal rakstām

[c_1e ^ x + c_2e ^ {2x} + c_3e ^ {3x} = 0 ]

Mēs varam novērtēt vienādojumu un tā atvasinājumus dažādās (x ) vērtībās, lai iegūtu (c_1 ), (c_2 ) un (c_3 ) vienādojumus. Vispirms vienkāršības labad dalīsim ar (e ^ x ).

[c_1 + c_2e ^ x + c_3e ^ {2x} = 0 ]

Mēs iestatījām (x = 0 ), lai iegūtu vienādojumu (c_1 + c_2 + c_3 = 0 ). Tagad atšķiriet abas puses

[c_2 e ^ x + 2c_3e ^ {2x} = 0 ]

Mēs iestatījām (x = 0 ), lai iegūtu (c_2 + 2c_3 = 0 ). Mēs atkal dalām ar (e ^ x ) un diferencējam, lai iegūtu (2c_3e ^ x = 0 ). Ir skaidrs, ka (c_3 ) ir nulle. Tad (c_2 ) jābūt nullei kā (c_2 = -2c_3 ), un (c_1 ) jābūt nullei, jo (c_1 + c_2 + c_3 = 0 ).

Nav viena labākā veida, kā to izdarīt. Visas šīs metodes ir pilnīgi derīgas.

Piemērs ( PageIndex {2} )

No otras puses, funkcijas (e ^ x, e ^ {- x} ) un ( cosh x ) ir lineāri atkarīgas. Vienkārši izmantojiet hiperboliskā kosinusa definīciju:

[ cosh x = frac {e ^ x + e ^ {- x}} {2} ~~~~ { it {vai}} ~~~~ 2 cosh x - e ^ x - e ^ { -x} = 0 ]

2.3.2. Pastāvīga koeficienta augstākas kārtas ODE

Kad mums ir augstākas kārtas nemainīga koeficienta viendabīgs lineārs vienādojums, dziesma un deja ir tieši tāda pati kā otrās kārtas. Mums vienkārši jāatrod vairāk risinājumu. Ja vienādojums ir (n ^ {th} ) secībā, mums jāatrod (n ) lineāri neatkarīgi risinājumi. Vislabāk to var redzēt pēc piemēra.

Piemērs ( PageIndex {3} ): trešās kārtas ODE ar nemainīgiem koeficientiem

Atrodiet vispārēju risinājumu

[y '' '- 3' '- y' + 3y = 0 ]

Risinājums

Izmēģiniet: (y = e ^ {rx} ). Mēs pievienojam un iegūstam

[r ^ 3e ^ {rx} - 3r ^ 2e ^ {rx} - re ^ {rx} + 3e ^ {rx} = 0 ]

Mēs dalām ar (e ^ {rx} ). Tad

[r ^ 3 - 3r ^ 2 - r +3 = 0 ]

Tagad triks ir atrast saknes. Ir formula 3. un 4. pakāpes polinomu saknēm, taču tā ir ļoti sarežģīta. Augstākas pakāpes polinomiem nav formulas. Tas nenozīmē, ka saknes nepastāv. (N ^ {th} ) pakāpes polinomam vienmēr ir (n ) saknes. Tos var atkārtot, un tie var būt sarežģīti. Datori ir diezgan labi, lai atrastu saknes apmēram saprātīga izmēra polinomiem.

Laba vieta, kur sākt, ir uzzīmēt polinomu un pārbaudīt, kur tas ir nulle. Mēs varam arī vienkārši mēģināt pieslēgt. Mēs vienkārši sākam pieslēgt skaitļus (r = -2, -1, 0, 1, 2, punkti ) un redzēt, vai mums ir trāpījums (mēs varam izmēģināt arī sarežģītus skaitļus). Pat ja mēs nesaņemam trāpījumu, mēs varam iegūt norādi par saknes atrašanās vietu. Piemēram, mēs pievienojam (r = -2 ) mūsu polinomam un iegūstam -15; mēs pievienojam (r = 0 ) un iegūstam 3. Tas nozīmē, ka starp (r = -2 ) un (r = 0 ) ir sakne, jo zīme mainījās. Ja atrodam vienu sakni, teiksim (r_1 ), tad mēs zinām, ka ((r - r_1) ) ir mūsu polinoma faktors. Pēc tam var izmantot polinoma garo dalījumu.

Laba stratēģija ir sākt ar (r = -1 ), 1 vai 0. Tos ir viegli aprēķināt. Mūsu polinomam ir divas šādas saknes: (r_1 = -1 ) un (r_2 = 1 ) un. Jābūt trim saknēm, un pēdējo sakni ir samērā viegli atrast. Pastāvīgais termins moniskā polinomā, piemēram, šis, ir visu sakņu negāciju daudzkārtne, jo (r ^ 3 - 3r ^ 2 - r + 3 = (r - r_1) (r - r_2) (r - r_3) ). Tātad

[3 = (-r_1) (- r_2) (- r_3) = (1) (- 1) (- r_3) = r_3 ]

Jums jāpārbauda, ​​vai (r_3 = 3 ) patiešām ir sakne. Tādējādi mēs zinām, ka (e ^ {- x} ), (e ^ {x} ) un (e ^ {3x} ) ir risinājumi (2.3.15). Tie ir lineāri neatkarīgi, un tos var viegli pārbaudīt, un ir trīs no tiem, kas, iespējams, ir tieši mums nepieciešamais skaitlis. Tādējādi vispārējais risinājums ir

[y = C_1e ^ {- x} + C_2e ^ {x} + C_3e ^ {3x} ]

Pieņemsim, ka mums tika doti daži sākotnējie nosacījumi (y (0) = 1, y '(0) = 2 ) un (y' '(0) = 3 ). Tad

[1 = y (0) = C_1 + C_2 + C_3 ]

[2 = y '(0) = -C_1 + C_2 + 3C_3 ]

[3 = y "(0) = C_1 + C_2 + 9C_3 ]

Ar vidusskolas algebru ir iespējams atrast risinājumu, taču tas būtu sāpes. Saprātīgs veids, kā atrisināt šādu vienādojumu sistēmu, ir matricas algebras izmantošana. Pagaidām mēs atzīmējam, ka risinājums ir (C_1 = - frac {1} {4} ), (C_2 = 1 ) un (C_3 = frac {1} {4} ). Īpašais ODE risinājums ir

[y = - frac {1} {4} e ^ {- x} + e ^ {x} + frac {1} {4} e ^ {3x} ]

Pieņemsim, ka mums ir reālas saknes, taču tās atkārtojas. Pieņemsim, ka sakne (r ) atkārtojas (k ) reizes. Otrās kārtas risinājuma garā un to pašu iemeslu dēļ mums ir risinājumi

[e ^ {rx}, xe ^ {rx}, x ^ 2e ^ {rx}, punkti, x ^ {k-1} e ^ {rx} ]

Mēs izmantojam lineāru šo risinājumu kombināciju, lai atrastu vispārējo risinājumu.

Piemērs ( PageIndex {4} )

Atrisiniet

[y ^ {(4)} - 3 g. "+ 3 g." - y '= 0 ]

Risinājums

Mēs atzīmējam, ka raksturīgais vienādojums ir

[r ^ 4 - 3r ^ 3 + 3r ^ 2 - r = 0 ]

Pārbaudot, mēs atzīmējam, ka (r ^ 4 - 3r ^ 3 + 3r ^ 2 - r = r {(r - 1)} ^ 3 ). Tādējādi saknes, kas dotas ar daudzkārtību, ir (r = 0, 1, 1, 1 ). Tādējādi vispārējais risinājums ir

[y = underbrace {(C_1 + C_2 + C_3x ^ 2) e ^ x} _ { text {termini, kas nāk no r = 1}} + underbrace {C_4} _ { text {no r = 0}} ]

Sarežģītu sakņu gadījums ir līdzīgs otrās kārtas vienādojumiem. Sarežģītas saknes vienmēr nāk pa pāriem (r = alfa pm i beta ). Pieņemsim, ka mums ir divas šādas sarežģītas saknes, katra no tām atkārtojas (k ) reizes. Atbilstošais risinājums ir

((C_0 + C_1x + punkti + C_ {k-1} x ^ {k-1}) e ^ {ax} cos ( beta x) + (D_0 + D_1x + punkti + D_ {k - 1 } x ^ {k - 1}) e ^ {ax} sin ( beta x) )

kur (C_0, punkti, C_ {k-1}, D_0, punkti, D_ {k-1} ) ir patvaļīgas konstantes.

Piemērs ( PageIndex {5} )

Atrisiniet

[y ^ {(4)} - 4 g. "+ 8 g." - 8 g. + 4 g. = 0 ]

Risinājums

Raksturīgais vienādojums ir

[r ^ 4 - 4r ^ 3 + 8r ^ 2 - 8r + 4 = 0 ]

[{(r ^ 2 - 2r + 2)} ^ 2 = 0 ]

[{({(r - 1)} ^ 2 + 1)} ^ 2 = 0 ]

Tādējādi saknes ir (1 pm i ), abas ar daudzkārtību. Tādējādi ODE vispārējais risinājums ir

[y = (C_1 + C_2x) e ^ x cos x + (C_3 + C_4 x) e ^ x sin x ]

Veids, kā mēs atrisinājām iepriekš raksturīgo vienādojumu, patiešām ir uzminēšana vai pārbaude. Tas nemaz nav tik viegli. Mēs arī būtu varējuši lūgt datoru vai modernu kalkulatoru par saknēm.

Ārējās saites

  • Pēc šīs lekcijas izlasīšanas var būt labi izmēģināt projektu III no IODE vietnes: www.math.uiuc.edu/iode/.

MAT 311 Diferenciālvienādojumi

Šī ir tikai mācību programmas paraugs. Jautājiet instruktoram sava kursa oficiālo mācību programmu.

Instruktors:
Birojs:
Darba laiks:
Tālrunis:
E-pasts:

Kursa apraksts

Apskatītās tēmas ietver pirmās un otrās kārtas lineāros vienādojumus, ieskaitot eksistences un unikalitātes teorēmas, sērijveida risinājumu nelineāro vienādojumu lineāro vienādojumu sistēmas. Citas tēmas var ietvert Laplasa transformāciju, kvalitatīvo teoriju.

Priekšnoteikumi

MAT 211 un MAT 271 ar C vai labāku pakāpi.

Tekstus izvēlas instruktors. Piemēram:

Piezīmes par Diffy Qs autors: Ji & # 345 & # 237 Lebl. Elektroniskais teksts ir pieejams bez maksas vietnē http://www.jirka.org/diffyqs/ vai pasūtiet brošētu kopiju.

Kursa prasības, Nodarbību sapulču un tēmu provizorisks grafiks, Lasījumi, Uzdevumi un termiņi, Eksāmeni

Klases sanāksmju grafiku, tēmas, uzdevumus, termiņus, eksāmenu datumus utt. Sniegs instruktors. Skatiet savas klases programmu.

Šeit ir kursa piemērs, pamatojoties uz iepriekš minēto tekstu.

  • 1. nedēļa
    • 0. nodaļa. Ievads. 0.2 Ievads diferenciālvienādojumos. Veidi: parasts, daļējs. Kādi ir risinājumi. Vispārīgi un īpaši risinājumi. Piemēri. Ievads programmatūrā ODE risināšanai, slīpuma lauku uzzīmēšanai utt.
    • 1. nodaļa. Pirmās kārtas ODE. 1.1 Integrāļi kā risinājumi.
    • 1.2 Slīpuma lauki.
    • 1.3. Atdalāmi vienādojumi.
    • 1.4 Pirmās kārtas lineārie vienādojumi. Integrējošais koeficients vai parametru variācija.
    • 1.5 Aizstāšana.
    • 1.7. Skaitliskās metodes: Eulers, Runge Kutta.
    • 1.6 Autonomie vienādojumi.
    • Daži filozofija attiecībā uz deterministiskām sistēmām, Ņūtona likums (f = ma ) un 2. kārtas ODE ar sākotnējiem nosacījumiem.
    • Pārbaude
    • Pikarda atkārtojuma piemērs
    • Vairāk par Esības un unikalitātes teorēmu. Pikarda atkārtojums. ODE (pseidonīmi ar vektoru novērtētu ODE) sistēmu esamība un unikalitāte, kā arī tās saistība ar otrās un augstākās kārtas ODE. Piemērs, kur eksistences un unikalitātes teorēma neattiecas: ūdens spainis ar atveri.
    • 2. nodaļa Augstākas kārtas lineārie ODE. 2.1. Otrās kārtas lineārie ODE. Superpozīcija, esamība un unikalitāte.
    • 2.2 Pastāvīgs koeficients 2. kārtas lineārās odes.
    • 2.3. Augstākas kārtas lineārie ODE.
    • 2.4. Mehāniskās vibrācijas.
    • 2.5 Nehomogēni 2. kārtas lineārie vienādojumi.
    • 2.4. Mehāniskās vibrācijas (turpinājums)
    • Svārsta vienādojuma atrisināšana skaitliski ar programmatūru
    • 2.6 Piespiedu svārstības un rezonanse. Kā atrisināt (y '' + ay '+ pēc = f (x) ), kad (f (x) neq 0 ).
    • Dzirdes sitieni (izmantojot programmatūru un audio kanālu).
    • 3. nodaļa Lineāru ODE sistēmas. 3.1. Ievads.
    • Fāzes portrets un trajektorija
    • 3.2 Matricas un lineārās sistēmas.
    • 3.3. ODE lineārās sistēmas.
    • 3.4 Īpašās vērtības metode.
    • Matricas algebra un īpašvērtības datorā
    • 3.5 Divdimensiju sistēmas un vektoru lauki.
    • Pārbaude
    • 4. nodaļa Furjē sērija un PDE. 4.1 Robežvērtību problēmas.
    • 4.1 Robežvērtības problēmas (turpinājums).
    • 4.2 Trigonometriskās sērijas.
    • (izlaist 4.3–4.5).
    • Furjē sērija zāģa zobu funkcijai (piemērs, ar programmatūru).
    • 4.6 PDE, mainīgo atdalīšana un siltuma vienādojums.
    • Siltuma vienādojuma atvasināšana.
    • 1 dimensiju viļņu vienādojuma atvasināšana.
    • 4.8 D'Alemberta viendimensiju viļņu vienādojuma risinājums
    • Animēts viļņu vienādojuma risinājums (izmantojot programmatūru).
    • Divdimensiju siltuma vienādojuma (u_) atvasināšana+ u_= u_t ).
    • 4.9. Stacionārā temperatūra un Laplācijas (u_+ u_=0)
    • Piemērs: Laplasa vienādojums taisnstūrī.

    Gala eksāmens tiek pasniegts nodarbību sarakstā norādītajā datumā un laikā.

    Mācību mērķi

    Pēc MAT 311 pabeigšanas students to izdarīs

    • atrast lineāru un nelineāru pirmās kārtas diferenciālvienādojumu risinājumu, izmantojot atdalāmo vienādojumu, precīzo vienādojumu un integrējošo faktoru paņēmienus
    • atrodiet otrās kārtas lineāro diferenciālo vienādojumu ar nemainīgiem koeficientiem risinājumu
    • atrast konkrētus risinājumus nehomogēniem otrās kārtas vienādojumiem, izmantojot nenoteiktu koeficientu un parametru variācijas metodes
    • atrast sērijas risinājumus otrās kārtas lineāriem vienādojumiem ar polinoma koeficientiem parastā punkta tuvumā un pie regulāra vienskaitļa punkta
    • atrisināt viendabīgas un nehomogēnas pirmās kārtas lineārās sistēmas ar nemainīgiem koeficientiem
    • noteikt diferenciālvienādojumu un vienādojumu sistēmu risinājumu esamību un unikalitāti
    • izmantojiet iepriekš minētos paņēmienus, lai analizētu un atrisinātu pielietotās problēmas.

    Datori un kalkulatori, Datorpratība

    Lielākā daļa pasniedzēju mudina datu analīzei izmantot mašīnas, kalkulatorus, datorus, tālruņus utt. Mašīnu lietošana var būt ierobežota izmeklējumu laikā vai noteiktā citā laikā. Jautājiet savam instruktoram par politiku savā klasē.

    Paredzams, ka studenti nav programmētāji vai zina kādu konkrētu datorvalodu pirms šīs nodarbības uzsākšanas. Daži pasniedzēji var sagaidīt, ka studenti varēs piekļūt informācijai internetā, izmantot kalkulatorus vai iemācīties izmantot noteiktu programmatūru kopā ar instrukcijām. Pietiks ar algebras pamatiemaņām un matemātisko simbolu lietošanu, darbību secību utt., Kā arī vēlmi lasīt un sekot instrukcijām un palīdzības failiem.

    Vērtēšanas politika, vērtēšanas skala, uzdevumu un testu svērtā vērtība

    Studentu atzīmes balstās uz mājasdarbiem, dalību stundās, īsiem pārbaudījumiem un plānotiem eksāmeniem, kas atspoguļo studentu izpratni par šajā kursā apskatītajām tēmām. Instruktors nosaka šo faktoru relatīvo svaru un vērtēšanas skalu. Skatiet savas klases mācību programmu.

    Nodarbību sanāksmju vieta

    Nodarbības tiekas datumos un telpā, kas norādīta oficiālajā nodarbību sarakstā. Šī ir tradicionāla klātienes klase.

    Apmeklēšanas prasības

    Apmeklēšanas politiku nosaka instruktors.

    Politika par termiņiem, grima darbu, nokavētiem eksāmeniem un ārpus kredīta piešķiršanu

    Termiņus un noteikumus par grima darbu un nokavētajiem eksāmeniem nosaka instruktors. Instruktori var vai nevar izvēlēties piedāvāt papildu kredīta uzdevumus. Ja tiek piedāvāti papildu kredītpunkti, tie būs pieejami visiem studentiem.

    Akadēmiskā integritāte

    Matemātikas nodaļa necieš krāpšanos. Studentiem, kuriem ir jautājumi vai bažas par akadēmisko integritāti, jājautā savam profesoram vai studentu attīstības biroja konsultantiem vai jāsazinās ar Universitātes katalogu, lai iegūtu vairāk informācijas. (Skatiet indeksu sadaļā "akadēmiskā integritāte".)

    Naktsmītnes studentiem ar invaliditāti

    Kalatas štats Domingezhilss ievēro visus piemērojamos federālos, štata un vietējos likumus, noteikumus un vadlīnijas attiecībā uz saprātīgu izmitināšanu studentiem ar īslaicīgu un pastāvīgu invaliditāti. Ja jums ir invaliditāte, kas var nelabvēlīgi ietekmēt jūsu darbu šajā klasē, es iesaku reģistrēties studentu invalīdu dienestā (DSS) un runāt ar mani par to, kā mēs vislabāk varam jums palīdzēt. Visa informācija par invaliditāti tiks glabāta stingri konfidenciāli. Lūdzu, ņemiet vērā: lai vienotos par izmitināšanu, jums jāreģistrējas DSS. Lai iegūtu informāciju, zvaniet pa tālruni (310) 243-3660 vai nosūtiet e-pasta ziņojumu uz [email protected] vai apmeklējiet DSS vietni http://www4.csudh.edu/dss/contact-us/index vai apmeklējiet viņu biroju WH D-180

    Uzvedības gaidas

    Mēs visi esam pieaugušie, tāpēc uzvedība reti ir problēma. Vienkārši ievērojiet Zelta likumu: "dariet citiem, kā jūs gribētu, lai viņi dara jums", tad viss būs kārtībā.

    Universitātei ir jāuztur mācību vide, kas ir piemērota mācībām, tāpēc visi, kas uzstāj uz šīs vides traucēšanu, tiks izslēgti no klases.

    Sagatavoja J. Barabs 2/4/00. Pārskatīts 28.04.01., 25.07.06., 10.10.15. (G. Jennings).


    Grāmatas apraksts

    Šajā grāmatā tiek aplūkota diferenciālvienādojumu plašā ainava, ieskaitot daļējo diferenciālo vienādojumu (PDE) elementus, un kodolīgi izklāstītas tēmas, kuras inženieriem visvairāk izmanto. Tas iepazīstina katru tēmu ar motivējošu pielietojumu, kas iegūts no elektrotehnikas, mehānikas un aviācijas inženierijas. Tekstā ir pārskati par fondiem, detalizēti paskaidrojumi un atrisinātu problēmu kopas. Tas veicina studentu spējas tuvināšanas un pašpārbaudes mākslā. Grāmatā ir aplūkoti PDE ar un bez robežnosacījumiem, kas parāda spēcīgu līdzību ar parastajiem diferenciālvienādojumiem un skaidru risinājumu rakstura ilustrāciju. Turklāt katrā nodaļā ir iekļautas vārdu problēmas un izaicinājumu problēmas. Vairāki paplašināti skaitļošanas projekti darbojas visā tekstā.


    Satura rādītājs

    A daļa Parastie diferenciālvienādojumi (ODE) 1

    1. nodaļa Pirmās kārtas ODE

    1.1. Pamatjēdzieni. Modelēšana 2

    1.2. Ģeometriskā nozīme y& rsquo = & fnof (x, y). Virziena lauki, Euler & rsquos 9. metode

    1.3. Atsevišķi ODE. Modelēšana 12

    1.4 Precīzi ODE. Integrējošie faktori 20

    1.5. Lineārie ODE. Bernulli vienādojums. Iedzīvotāju dinamika 27

    1.6. Ortogonālās trajektorijas. Neobligāti 36

    1.7. Sākotnējās vērtības problēmu risinājumu esamība un unikalitāte

    1. nodaļa Pārskatīšanas jautājumi un problēmas 43

    2. nodaļa Otrās kārtas lineārie ODE 46

    2.1. Homogēni lineārie otrās kārtas ODE 46

    2.2. Homogēni lineāri ODE ar nemainīgiem koeficientiem 53

    2.3. Diferenciālie operatori. Neobligāti 60

    2.4. Mass & ndashSpring sistēmas brīvo svārstību modelēšana 62

    2.5 Euler & ndashCauchy vienādojumi 71.

    2.6. Risinājumu esamība un unikalitāte. Wronskian 74

    2.7 Nehomogēni ODE 79

    2.8. Modelēšana: piespiedu svārstības. Rezonanse 85

    2.9. Modelēšana: elektriskās ķēdes 93

    2.10. Risinājums ar parametru variāciju 99

    2. nodaļa Pārskatīšanas jautājumi un problēmas 102

    3. nodaļa Augstākas kārtas lineārie ODE 105

    3.1. Homogēni lineārie ODE 105

    3.2. Homogēni lineāri ODE ar nemainīgiem koeficientiem

    3.3. Neviendabīgi lineārie ODE

    3. nodaļa Pārskatīšanas jautājumi un problēmas 122

    4. nodaļa ODE sistēmas. Fāzes plakne. Kvalitatīvās metodes 124

    4.0 Uzziņai: Matricu un vektoru pamati 124

    4.1. ODE sistēmas kā modeļi inženierzinātņu lietojumos 130

    4.2 ODE sistēmu pamatteorija. Wronskian 137

    4.3. Pastāvīgā koeficienta sistēmas. Fāzes plaknes metode 140

    4.4. Kritisko punktu kritēriji. Stabilitāte 148

    4.5. Nelineāro sistēmu kvalitatīvās metodes 152

    4.6. Nehomogēnas ODE lineārās sistēmas 160

    4. nodaļa Pārskatīšanas jautājumi un problēmas 164

    5. nodaļa ODE sērijas risinājumi. Īpašās funkcijas 167

    5.1. Power Series 167. metode

    5.2 Legendre & rsquos vienādojums. Leģendas polinomi Pn(x) 175

    5.3. Paplašinātās jaudas sērijas metode: Frobeniusa metode 180

    5.4 Besela un rsquos vienādojums. Besela funkcijas v(x) 187

    5.5. Besela funkcijas v(x). 196. vispārīgais risinājums

    5. nodaļa Pārskatīšanas jautājumi un problēmas 200

    6. nodaļa. Laplasa pārvērtības 203

    6.1. Laplasa pārveidošana. Linearitāte. Pirmās maiņas teorēma (s204

    6.2. Atvasinājumu un integrāļu pārveidojumi. ODE 211

    6.3 Vienības pakāpiena funkcija (Heaviside funkcija). Otrās maiņas teorēma (t217

    6.4 Īsi impulsi. Dirac & rsquos Delta funkcija. Daļējas frakcijas 225

    6.5. Konversija. Integrētie vienādojumi 232

    6.6 Transformu diferenciācija un integrācija. ODE ar mainīgiem koeficientiem 238

    6.8. Laplasa pārveidošana: vispārīgās formulas

    6.9. Laplasa transformāciju tabula 249

    6. nodaļa Pārskatīšanas jautājumi un problēmas 251

    B daļa Lineārā algebra. Vector aprēķins 255

    7. nodaļa Lineārā algebra: matricas, vektori, noteicošie faktori. Lineārās sistēmas 256

    7.1. Matricas, vektori: saskaitīšana un skalārā reizināšana 257

    7.2. Matricas reizināšana 263

    7.3. Lineārās vienādojumu sistēmas. Gausa novēršana 272

    7.4. Lineārā neatkarība. Matricas rangs. Vektoru telpa 282

    7.5. Lineāro sistēmu risinājumi: esamība, unikalitāte 288

    7.6 Uzziņai: Otrās un Trešās kārtas noteicošie faktori 291

    7.7. Noteicošie faktori. Cramer & rsquos noteikums 293

    7.8 Matricas apgrieztā vērtība. Gauss & ndashJordānas izslēgšana 301

    7.9. Vektoru telpas, iekšējo produktu telpas. Lineārās transformācijas. Neobligāti 309

    7. nodaļa Pārskatīšanas jautājumi un problēmas 318

    8. nodaļa Lineārā algebra: matricas īpašvērtības problēmas 322

    8.1. Matricas īpašvērtības problēma. Īpašo vērtību un īpašo vektoru noteikšana 323

    8.2. Daži īpašvērtības problēmu pielietojumi 329

    8.3. Simetriskas, šķībi simetriskas un ortogonālas matricas 334

    8.4. Īpašības bāzes. Diagonalizācija. Kvadrātiskās formas 339

    8.5. Sarežģītas matricas un formas. Neobligāti 346

    8. nodaļa Pārskatīšanas jautājumi un problēmas 352

    9. nodaļa Vektoru diferenciālais aprēķins. Grad, Div, Curl 354

    9.1 Vektori 2-telpā un 3-telpā 354

    9.2 Iekšējais produkts (punktveida produkts) 361

    9.3. Vektorprodukts (šķērsprodukts) 368

    9.4 Vektoru un skalāru funkcijas un to lauki. Vektora aprēķins: atvasinājumi 375

    9.5 Līknes. Loka garums. Izliekums. Torsions 381

    9.6. Rēķina pārskats: vairāku mainīgo funkcijas. Neobligāti 392

    9.7. Skalārā lauka gradients. Virziena atvasinājums 395

    9.8 Vektora lauka novirze 403

    9.9 Vektora lauka čokurošanās 406

    9. nodaļa Pārskatīšanas jautājumi un problēmas 409

    10. nodaļa Vektoru integrālais aprēķins. Integrētās teorēmas 413

    10.2 Līnijas integrāļu ceļa neatkarība 419

    10.3. Rēķina pārskats: Double Integrals. Neobligāti 426

    10.4 Zaļā un rsquos teorēma plaknē 433

    10.5. Virsmas integrālajiem elementiem 439

    10.6 Virsmas integrāļi 443

    10.7 Trīskārši integrāļi. Gausa divergences teorēma 452

    10.8 Divergences teorēmas turpmākie pielietojumi 458

    10. nodaļa Pārskatīšanas jautājumi un problēmas 469

    10. nodaļas kopsavilkums 470

    C daļas Furjē analīze. Daļēji diferenciālvienādojumi (PDE) 473

    11. nodaļa Furjē analīze 474

    11.2 Patvaļīgs periods. Pāra un nepāra funkcijas. Pusceļa paplašinājumi 483

    11.3 Piespiedu svārstības 492

    11.4. Tuvināšana ar trigonometriskiem polinomiem 495

    11.5 Sturm & ndashLiouville problēmas. Ortogonālās funkcijas 498

    11.6 Ortogonālā sērija. Vispārīgā Furjē 504. sērija

    11.8 Furjē kosinuss un sinusa pārveido 518

    11.9 Furjē transformācija. Diskrēti un ātri Furjē pārveidojumi 522

    11.10 Pārvērtību tabulas 534

    11. nodaļa Pārskatīšanas jautājumi un problēmas 537

    11. nodaļas kopsavilkums 538

    12. nodaļa Daļēji diferenciālvienādojumi (PDE) 540

    12.1. PDE pamatjēdzieni 540

    12.2. Modelēšana: vibrējoša virkne, viļņu vienādojums 543

    12.3. Risinājums, atdalot mainīgos. Furjē 545. sērijas izmantošana

    12.4 D & rsquoAlembert & rsquos viļņu vienādojuma risinājums. Raksturojums 553

    12.5. Modelēšana: siltuma plūsma no ķermeņa kosmosā. Siltuma vienādojums 557

    12.6. Siltuma vienādojums: Furjē sērijas risinājums. Stabilas divdimensiju siltuma problēmas. Dirihleta 558. problēma

    12.7. Siltuma vienādojums: ļoti garu stieņu modelēšana. Furjē integrāļu un pārveidojumu risinājums 568

    12.8. Modelēšana: membrāna, divdimensiju viļņu vienādojums 575

    12.9 Taisnstūrveida membrāna. Double Furjē 577. sērija

    12.10 Laplacian polārajās koordinātās. Apļveida membrāna. Furjē & ndashBesela sērija 585

    12.11 Laplasa un rsquos vienādojums cilindriskās un sfēriskās koordinātās. Potenciāls 593

    12.12 PDE risinājums ar Laplasa pārveidojumiem 600

    12. nodaļa Pārskatīšanas jautājumi un problēmas 603

    12. nodaļas kopsavilkums 604

    D daļas kompleksa analīze 607

    13. nodaļa Sarežģīti skaitļi un funkcijas. Kompleksa diferenciācija 608

    13.1. Sarežģīti skaitļi un to ģeometriskais attēlojums 608

    13.2. Komplekso skaitļu polārā forma. Pilnvaras un saknes 613

    13.3 Atvasinājums. Analītiskā funkcija 619

    13.4 Cauchy & ndashRiemann vienādojumi. Laplasa un rsquos 625. vienādojums

    13.5 Eksponenciālā funkcija 630

    13.6. Trigonometriskās un hiperboliskās funkcijas. Euler & rsquos Formula 633

    13.7 Logaritms. Vispārējā vara. Galvenā vērtība 636

    13. nodaļa Pārskatīšanas jautājumi un problēmas 641

    13. nodaļas kopsavilkums 641

    14. nodaļa Kompleksā integrācija 643

    14.1. Kompleksā plaknē integrēta līnija 643

    14.2 Cauchy & rsquos integrālā 652. teorēma

    14.3 Cauchy & rsquos integrālā formula 660

    14.4. Analītisko funkciju atvasinājumi 664

    14. nodaļa Pārskatīšanas jautājumi un problēmas 668

    14. nodaļas kopsavilkums 669

    15. nodaļa - Power Series, Taylor Series 671

    15.1 Secības, sērijas, konverģences testi 671

    15.3. Power Series 685 sniegtās funkcijas

    15.4 Teilora un Maklaurina 690. sērija

    15.5 Vienota konverģence. Neobligāti 698

    15. nodaļa Pārskatīšanas jautājumi un problēmas 706

    15. nodaļas kopsavilkums 706

    16. nodaļa Lorāna sērija. Atlikumu integrācija 708

    16.2. Singularitātes un nulles. Bezgalība 715

    16.3 Atlikumu integrācijas metode 719

    16.4 Real Integrals atlikumu integrācija 725

    16. nodaļa Pārskatīšanas jautājumi un problēmas 733

    16. nodaļas kopsavilkums 734

    17. nodaļa Atbilstoša kartēšana 736

    17.1. Analītisko funkciju ģeometrija: konformālā kartēšana 737

    17.2. Lineārās frakcionētās transformācijas (M & oumlbius transformācijas) 742

    17.3. Īpašās lineārās frakcionētās transformācijas

    17.4. Konformāla kartēšana ar citām funkcijām 750

    17.5 Rīmaņa virsmas. Neobligāti 754

    17. nodaļa Pārskatīšanas jautājumi un problēmas 756

    17. nodaļas kopsavilkums 757

    18. nodaļa Kompleksa analīze un potenciāla teorija 758

    18.1 Elektrostatiskie lauki 759

    18.2. Konformālās kartēšanas izmantošana. Modelēšana 763

    18.5 Puasona un rsquos potenciāla integrālā formula 777

    18.6 Harmonisko funkciju vispārīgās īpašības. Dirikletas problēmas unikalitātes teorēma 781

    18. nodaļa Pārskatīšanas jautājumi un problēmas 785

    18. nodaļas kopsavilkums 786

    E daļa. Skaitliskā analīze 787

    19. nodaļa Skaitļošana kopumā 790

    19.2 Vienādojumu risinājums ar atkārtojumu 798

    19.4 Spline interpolācija 820

    19.5. Skaitliskā integrācija un diferenciācija 827

    19. nodaļa Pārskatīšanas jautājumi un problēmas 841

    19. nodaļas kopsavilkums 842

    20. nodaļa Skaitliskā lineārā algebra 844

    20.1. Lineārās sistēmas: Gausa eliminācija 844

    20.2. Lineārās sistēmas: LU faktorizācija, matricas inversija 852

    20.3. Lineārās sistēmas: risinājums pēc atkārtojuma 858

    20.4. Lineārās sistēmas: slikta kondicionēšana, normas 864

    20.5. Vismazāko kvadrātu metode 872

    20.6 Matricas īpašvērtības problēmas: ievads 876

    20.7. Matricas pamatvērtību iekļaušana

    20.8. Enerģijas metode īpašvērtībām 885

    20.9 Tridiagonalizācija un QR faktorizācija 888

    20. nodaļa Pārskatīšanas jautājumi un problēmas 896

    20. nodaļas 898. kopsavilkums

    21. nodaļa. ODE un PDE cipari 900

    21.1. Pirmās kārtas ODE metodes 901

    21.2 Daudzpakāpju metodes911

    21.3. Metodes sistēmām un augstākas pakāpes ODE 915

    21.4. Eliptisko PDE metodes 922

    21.5 Neimana un jauktas problēmas. Neregulāra robeža 931

    21.6 Parabolisko PDE metodes 936

    21.7 Hiperbolisko PDE metode 942

    21. nodaļa Pārskatīšanas jautājumi un problēmas 945

    21. nodaļas kopsavilkums 946

    F daļas optimizācija, grafiki 949

    22. nodaļa Neierobežota optimizācija. Lineārā programmēšana 950

    22.1. Pamatjēdzieni. Neierobežota optimizācija: Stāvākās nolaišanās metode 951


    Piezīmes par Diffy Qs: diferenciālvienādojumi inženieriem

    Piezīmes par Diffy Qs ir ievada mācību grāmata par diferenciālvienādojumiem inženierzinātņu studentiem. Pēc pieejas tas ir tuvu Edvardsas un Pennijas grāmatām (un iekšēji ir savstarpēji saistītas ar tām) (Diferenciālvienādojumi un robežvērtības problēmas) un Boiss un DiPrima (Diferenciālvienādojumi un robežas vērtības problēmas). Lebl & rsquos mērķis ir par zemām izmaksām piegādāt salīdzināmu grāmatu drukātā veidā (vai arī šeit to var brīvi lejupielādēt). Kopija ir pilnībā melnbalta, savukārt lejupielādējamajā versijā ir vairākas krāsainas ilustrācijas.

    Teksts ir paredzēts viena semestra vai divu ceturtdaļu kursu atbalstam, un to var pagarināt līdz diviem semestriem ar kādu papildu materiālu. Kursa, kura mērķis ir ieviest gan parastos, gan daļējos diferenciālvienādojumus, saturs ir diezgan standarta. Galvenās tēmas ir pirmās un augstākās pakāpes parastie diferenciālvienādojumi (ODE), ODE sistēmas, pēc tam Furjē sērijas un daļējie diferenciālvienādojumi (PDE), īpašvērtības problēmas (tostarp Štūra-Liuvila problēmas), Laplasa transformācijas un jaudas sēriju metodes. Lineārā algebra tiek ieviesta pēc nepieciešamības, bet tiek samazināta līdz minimumam.

    Ja kāds apsver, kādas zināšanas un prasmes būtu jāiegūst inženierzinātņu studentam no ievada kursa par diferenciālvienādojumiem, varētu būt:

    • Atpazīstot parastos diferenciālvienādojumus (piemēram, harmonisko oscilatoru vienādojuma, siltuma vienādojuma, viļņu vienādojuma variācijas)
    • Izpratne par ODE un PDE risināšanas pamatmetodēm
    • Izpratnes veidošana par jautājumiem, kas saistīti ar esamību un unikalitāti
    • Apgūstot risinājumu kvalitatīvās uzvedības rudimentus.
    • Kādas pieredzes iegūšana ar skaitliskiem risinājumiem.

    Saskaņā ar šiem kritērijiem pašreizējais teksts darbojas samērā labi. Varētu vēlēties kādu dziļāku informāciju par kvalitatīvām metodēm un skaidrāku vēstījumu, ka lielākajai daļai diferenciālvienādojumu nav slēgtas formas risinājumu.

    Raksti ir skaidri, bet skaidri, un stils ir nepiespiests un sarunvalodas. Vingrinājumi ir daudz, bet nav īpaši atšķirīgi. Ir daudz piemēru, visi rūpīgi izstrādāti. Ja piemēri ir saistīti ar lietojumiem, tie visi (nav pārsteigums) ir fizikā vai inženierzinātnēs. Tomēr inženieriem varētu nebūt slikta ideja redzēt vismaz dažas lietojumprogrammas ārpus savas jomas.

    Kopumā tas ir ļoti kompetents & mdash, bet ne īpaši iedvesmots & ndash ievads diferenciālvienādojumiem, kas ir jutīgs pret inženierzinātņu studentu vajadzībām turpmākajos kursos.

    Bils Satzers ([email protected]) ir vecākais intelektuālā īpašuma zinātnieks uzņēmumā 3M, iepriekš bijis 3M laboratorijas vadītājs kompozītu un elektromagnētisko materiālu jomā. Viņa apmācība ir saistīta ar dinamiskām sistēmām un jo īpaši debesu mehāniku. Viņa pašreizējās intereses galvenokārt attiecas uz lietišķo matemātiku un matemātikas mācīšanu.

    Ievads
    0.1 Piezīmes par šīm piezīmēm
    0.2 Ievads diferenciālvienādojumos

    1 Pirmās kārtas ODE
    1.1 Integrāļi kā risinājumi
    1.2 Slīpuma lauki
    1.3. Atdalāmi vienādojumi
    1.4. Lineārie vienādojumi un integrējošais koeficients
    1.5 Aizstāšana
    1.6 Autonomie vienādojumi
    1.7. Skaitliskās metodes: Euler & rsquos metode

    2 Augstākas kārtas lineārie ODE
    2.1. Otrās kārtas lineārie ODE
    2.2. Pastāvīga koeficienta otrās kārtas lineārie ODE
    2.3. Augstākas kārtas lineārie ODE
    2.4. Mehāniskās vibrācijas
    2.5 Nehomogēni vienādojumi
    2.6 Piespiedu svārstības un rezonanse

    3 ODE sistēmas
    3.1. Ievads ODE sistēmās
    3.2 Matricas un lineārās sistēmas
    3.3. ODE lineārās sistēmas
    3.4 Īpašās vērtības metode
    3.5 Divdimensiju sistēmas un to vektoru lauki
    3.6 Otrās kārtas sistēmas un lietojumprogrammas
    3.7. Vairākas īpašvērtības
    3.8 Matricas eksponenciāli
    3.9 Nehomogēnas sistēmas

    4 Furjē sērijas un PDE
    4.1 Robežvērtību problēmas
    4.2 Trigonometriskā virkne
    4.3 Vairāk par Furjē sēriju
    4.4 Sinusa un kosinusa sērija
    4.5 Furjē sērijas pielietojums
    4.6. PDE, mainīgo atdalīšana un siltuma vienādojums
    4.7 Viena dimensijas viļņu vienādojums
    4.8 D&rsquoAlembert solution of the wave equation
    4.9 Steady state temperature and the Laplacian
    4.10 Dirichlet problem in the circle and the Poisson kernel

    5 Eigenvalue problems
    5.1 Sturm-Liouville problems
    5.2 Application of eigenfunction series
    5.3 Steady periodic solutions

    6 The Laplace transform
    6.1 The Laplace transform
    6.2 Transforms of derivatives and ODEs
    6.3 Convolution
    6.4 Dirac delta and impulse response

    7 Power series methods
    7.1 Power series
    7.2 Series solutions of linear second order ODEs
    7.3 Singular points and the method of Frobenius


    PART A Ordinary Differential Equations (ODEs) 1

    CHAPTER 1 First-Order ODEs 2

    1.1 Basic Concepts. Modeling 2

    1.2 Geometric Meaning of y ƒ(x, y). Direction Fields, Euler’s Method 9

    1.3 Separable ODEs. Modeling 12

    1.4 Exact ODEs. Integrating Factors 20

    1.5 Linear ODEs. Bernoulli Equation. Population Dynamics 27

    1.6 Orthogonal Trajectories. Optional 36

    1.7 Existence and Uniqueness of Solutions for Initial Value Problems 38

    CHAPTER 2 Second-Order Linear ODEs 46

    2.1 Homogeneous Linear ODEs of Second Order 46

    2.2 Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficients 53

    2.3 Differential Operators. Optional 60

    2.4 Modeling of Free Oscillations of a Mass–Spring System 62

    2.5 Euler–Cauchy Equations 71

    2.6 Existence and Uniqueness of Solutions. Wronskian 74

    2.7 Nonhomogeneous ODEs 79

    2.8 Modeling: Forced Oscillations. Resonance 85

    2.9 Modeling: Electric Circuits 93

    2.10 Solution by Variation of Parameters 99

    CHAPTER 3 Higher Order Linear ODEs 105

    3.1 Homogeneous Linear ODEs 105

    3.2 Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficients 111

    3.3 Nonhomogeneous Linear ODEs 116

    CHAPTER 4 Systems of ODEs. Phase Plane. Qualitative Methods 124

    4.0 For Reference: Basics of Matrices and Vectors 124

    4.1 Systems of ODEs as Models in Engineering Applications 130

    4.2 Basic Theory of Systems of ODEs. Wronskian 137

    4.3 Constant-Coefficient Systems. Phase Plane Method 140

    4.4 Criteria for Critical Points. Stability 148

    4.5 Qualitative Methods for Nonlinear Systems 152

    4.6 Nonhomogeneous Linear Systems of ODEs 160

    CHAPTER 5 Series Solutions of ODEs. Special Functions 167

    5.1 Power Series Method 167

    5.2 Legendre's Equation. Legendre Polynomials Pn(x) 175

    5.3 Extended Power Series Method: Frobenius Method 180

    5.4 Bessel’s Equation. Bessel Functions (x) 187

    5.5 Bessel Functions of the Y (x). General Solution 196

    CHAPTER 6 Laplace Transforms 203

    6.1 Laplace Transform. Linearity. First Shifting Theorem (s-Shifting) 204

    6.2 Transforms of Derivatives and Integrals. ODEs 211

    6.3 Unit Step Function (Heaviside Function). Second Shifting Theorem (t-Shifting) 217

    6.4 Short Impulses. Dirac's Delta Function. Partial Fractions 225

    6.5 Convolution. Integral Equations 232

    6.6 Differentiation and Integration of Transforms. ODEs with Variable Coefficients 238

    6.8 Laplace Transform: General Formulas 248

    6.9 Table of Laplace Transforms 249

    PART B Linear Algebra. Vector Calculus 255

    CHAPTER 7 Linear Algebra: Matrices, Vectors, Determinants. Linear Systems 256

    7.1 Matrices, Vectors: Addition and Scalar Multiplication 257

    7.2 Matrix Multiplication 263

    7.3 Linear Systems of Equations. Gauss Elimination 272

    7.4 Linear Independence. Rank of a Matrix. Vector Space 282

    7.5 Solutions of Linear Systems: Existence, Uniqueness 288

    7.6 For Reference: Second- and Third-Order Determinants 291

    7.7 Determinants. Cramer’s Rule 293

    7.8 Inverse of a Matrix. Gauss–Jordan Elimination 301

    7.9 Vector Spaces, Inner Product Spaces. Linear Transformations. Optional 309

    CHAPTER 8 Linear Algebra: Matrix Eigenvalue Problems 322

    8.1 The Matrix Eigenvalue Problem. Determining Eigenvalues and Eigenvectors 323

    8.2 Some Applications of Eigenvalue Problems 329

    8.3 Symmetric, Skew-Symmetric, and Orthogonal Matrices 334

    8.4 Eigenbases. Diagonalization. Quadratic Forms 339

    8.5 Complex Matrices and Forms. Optional 346

    CHAPTER 9 Vector Differential Calculus. Grad, Div, Curl 354

    9.1 Vectors in 2-Space and 3-Space 354

    9.2 Inner Product (Dot Product) 361

    9.3 Vector Product (Cross Product) 368

    9.4 Vector and Scalar Functions and Their Fields. Vector Calculus: Derivatives 375

    9.5 Curves. Arc Length. Curvature. Torsion 381

    9.6 Calculus Review: Functions of Several Variables. Optional 392

    9.7 Gradient of a Scalar Field. Directional Derivative 395

    9.8 Divergence of a Vector Field 403

    9.9 Curl of a Vector Field 406

    CHAPTER 10 Vector Integral Calculus. Integral Theorems 413

    10.2 Path Independence of Line Integrals 419

    10.3 Calculus Review: Double Integrals. Optional 426

    10.4 Green’s Theorem in the Plane 433

    10.5 Surfaces for Surface Integrals 439

    10.6 Surface Integrals 443

    10.7 Triple Integrals. Divergence Theorem of Gauss 452

    10.8 Further Applications of the Divergence Theorem 458

    PART C Fourier Analysis. Partial Differential Equations (PDEs) 473

    CHAPTER 11 Fourier Analysis 474

    11.2 Arbitrary Period. Even and Odd Functions. Half-Range Expansions 483

    11.3 Forced Oscillations 492

    11.4 Approximation by Trigonometric Polynomials 495

    11.5 Sturm–Liouville Problems. Orthogonal Functions 498

    11.6 Orthogonal Series. Generalized Fourier Series 504

    11.8 Fourier Cosine and Sine Transforms 518

    11.9 Fourier Transform. Discrete and Fast Fourier Transforms 522

    11.10 Tables of Transforms 534

    CHAPTER 12 Partial Differential Equations (PDEs) 540

    12.1 Basic Concepts of PDEs 540

    12.2 Modeling: Vibrating String, Wave Equation 543

    12.3 Solution by Separating Variables. Use of Fourier Series 545

    12.4 D’Alembert’s Solution of the Wave Equation. Characteristics 553

    12.5 Modeling: Heat Flow from a Body in Space. Heat Equation 557

    12.6 Heat Equation: Solution by Fourier Series. Steady Two-Dimensional Heat Problems. Dirichlet Problem 558

    12.7 Heat Equation: Modeling Very Long Bars. Solution by Fourier Integrals and Transforms 568

    12.8 Modeling: Membrane, Two-Dimensional Wave Equation 575

    12.9 Rectangular Membrane. Double Fourier Series 577

    12.10 Laplacian in Polar Coordinates. Circular Membrane. Fourier–Bessel Series 585

    12.11 Laplace’s Equation in Cylindrical and Spherical Coordinates. Potential 593

    12.12 Solution of PDEs by Laplace Transforms 600

    PART D Complex Analysis 607

    CHAPTER 13 Complex Numbers and Functions. Complex Differentiation 608

    13.1 Complex Numbers and Their Geometric Representation 608

    13.2 Polar Form of Complex Numbers. Powers and Roots 613

    13.3 Derivative. Analytic Function 619

    13.4 Cauchy–Riemann Equations. Laplace’s Equation 625

    13.5 Exponential Function 630

    13.6 Trigonometric and Hyperbolic Functions. Euler's Formula 633

    13.7 Logarithm. General Power. Principal Value 636

    CHAPTER 14 Complex Integration 643

    14.1 Line Integral in the Complex Plane 643

    14.2 Cauchy's Integral Theorem 652

    14.3 Cauchy's Integral Formula 660

    14.4 Derivatives of Analytic Functions 664

    CHAPTER 15 Power Series, Taylor Series 671

    15.1 Sequences, Series, Convergence Tests 671

    15.3 Functions Given by Power Series 685

    15.4 Taylor and Maclaurin Series 690

    15.5 Uniform Convergence. Optional 698

    CHAPTER 16 Laurent Series. Residue Integration 708

    16.2 Singularities and Zeros. Infinity 714

    16.3 Residue Integration Method 719

    16.4 Residue Integration of Real Integrals 725

    CHAPTER 17 Conformal Mapping 735

    17.1 Geometry of Analytic Functions: Conformal Mapping 736

    17.2 Linear Fractional Transformations (Möbius Transformations) 741

    17.3 Special Linear Fractional Transformations 745

    17.4 Conformal Mapping by Other Functions 749

    17.5 Riemann Surfaces. Optional 753

    CHAPTER 18 Complex Analysis and Potential Theory 756

    18.1 Electrostatic Fields 757

    18.2 Use of Conformal Mapping. Modeling 761

    18.5 Poisson's Integral Formula for Potentials 774

    18.6 General Properties of Harmonic Functions. Uniqueness Theorem for the Dirichlet Problem 778

    PART E Numeric Analysis 785

    CHAPTER 19 Numerics in General 788

    19.2 Solution of Equations by Iteration 795

    19.4 Spline Interpolation 817

    19.5 Numeric Integration and Differentiation 824

    CHAPTER 20 Numeric Linear Algebra 841

    20.1 Linear Systems: Gauss Elimination 841

    20.2 Linear Systems: LU-Factorization, Matrix Inversion 849

    20.3 Linear Systems: Solution by Iteration 855

    20.4 Linear Systems: Ill-Conditioning, Norms 861

    20.5 Least Squares Method 869

    20.6 Matrix Eigenvalue Problems: Introduction 873

    20.7 Inclusion of Matrix Eigenvalues 876

    20.8 Power Method for Eigenvalues 882

    20.9 Tridiagonalization and QR-Factorization 885

    CHAPTER 21 Numerics for ODEs and PDEs 897

    21.1 Methods for First-Order ODEs 898

    21.2 Multistep Methods 908

    21.3 Methods for Systems and Higher Order ODEs 912

    21.4 Methods for Elliptic PDEs 919

    21.5 Neumann and Mixed Problems. Irregular Boundary 928

    21.6 Methods for Parabolic PDEs 933

    21.7 Method for Hyperbolic PDEs 939

    PART F Optimization, Graphs 947

    CHAPTER 22 Unconstrained Optimization. Linear Programming 948

    22.1 Basic Concepts. Unconstrained Optimization: Method of Steepest Descent 949


    2.3: Higher order linear ODEs - Mathematics

    All articles published by MDPI are made immediately available worldwide under an open access license. No special permission is required to reuse all or part of the article published by MDPI, including figures and tables. For articles published under an open access Creative Common CC BY license, any part of the article may be reused without permission provided that the original article is clearly cited.

    Feature Papers represent the most advanced research with significant potential for high impact in the field. Feature Papers are submitted upon individual invitation or recommendation by the scientific editors and undergo peer review prior to publication.

    The Feature Paper can be either an original research article, a substantial novel research study that often involves several techniques or approaches, or a comprehensive review paper with concise and precise updates on the latest progress in the field that systematically reviews the most exciting advances in scientific literature. This type of paper provides an outlook on future directions of research or possible applications.

    Editor’s Choice articles are based on recommendations by the scientific editors of MDPI journals from around the world. Editors select a small number of articles recently published in the journal that they believe will be particularly interesting to authors, or important in this field. The aim is to provide a snapshot of some of the most exciting work published in the various research areas of the journal.


    2 Atbildes 2

    The stationary / travelling wave / soliton regime of the KdV equation and its cousins give a lot of examples. For the original KdV, under the travelling wave ansatz we have the third order equation $ f''' - c f' + 6f f' = 0 .$

    The Euler-Bernoulli beam theory has an equation of the form $ [ alpha f'']'' = F $ If you somehow have a nonlinear load function $F$, or a nonlinear dependence of the flexural rigidity $alpha$, then you will get a fourth order equation. (I make no claims on the physicality of such assumptions.)

    As an aside, as you mentioned that most physical models start out as second order. The appearance of the higher order derivatives usually comes from the approximation of the original higher dimensional physical model (in the form of a partial differential equation) by a simplified model (in lower dimensions, often now an ODE), with the higher order derivatives arising as a consequence of the constraints under which the approximations are derived. Both examples above are reductions of more primitive systems of partial differential equations: KdV comes from the equations of fluids after a reduction to one dimensions and imposing a shallow-water assumption Euler-Bernoulli theory comes from the equations for elasticity under a one dimension reduction and certain assumptions on how the beam bends.


    Higher-Order Differential Equations - PowerPoint PPT Presentation

    PowerShow.com ir vadošā prezentāciju / slaidrāžu koplietošanas vietne. Neatkarīgi no tā, vai jūsu pieteikums ir bizness, apmācība, izglītība, medicīna, skola, baznīca, pārdošana, mārketings, tiešsaistes apmācība vai tikai izklaidei, PowerShow.com ir lielisks resurss. Un pats labākais, ka lielākā daļa tā atdzist funkciju ir bezmaksas un viegli lietojamas.

    Varat izmantot programmu PowerShow.com, lai atrastu un lejupielādētu tiešsaistes PowerPoint ppt prezentāciju piemērus par jebkuru tēmu, kuru varat iedomāties, lai jūs varētu uzzināt, kā bez maksas uzlabot savus slaidus un prezentācijas. Vai arī izmantojiet to, lai atrastu un lejupielādētu augstas kvalitātes PowerPoint ppt prezentācijas ar ilustrētiem vai animētiem slaidiem, kas iemācīs jums darīt kaut ko jaunu, arī bez maksas. Vai arī izmantojiet to, lai augšupielādētu savus PowerPoint slaidus, lai jūs varētu tos kopīgot ar skolotājiem, klasi, studentiem, priekšniekiem, darbiniekiem, klientiem, potenciālajiem investoriem vai pasauli. Vai arī izmantojiet to, lai izveidotu ļoti foršas fotoattēlu slaidrādes - ar 2D un 3D pārejām, animāciju un jūsu izvēlēto mūziku - kuras varat kopīgot ar saviem Facebook draugiem vai Google+ lokiem. Arī tas viss ir bez maksas!

    Par nelielu samaksu jūs varat iegūt nozares labāko tiešsaistes privātumu vai publiski reklamēt savas prezentācijas un slaidrādes ar augstāko rangu. Bet bez tā tas ir bez maksas. Mēs pat pārveidosim jūsu prezentācijas un slaidrādes universālajā Flash formātā ar visu to sākotnējo multimediju krāšņumu, ieskaitot animāciju, 2D un 3D pārejas efektus, iegultu mūziku vai citu audio vai pat slaidos ievietotu video. Viss bez maksas. Lielāko daļu PowerShow.com sniegto prezentāciju un slaidrāžu var bez maksas apskatīt, daudzas pat bez maksas var lejupielādēt. (Jūs varat izvēlēties, vai ļaut cilvēkiem lejupielādēt jūsu oriģinālās PowerPoint prezentācijas un fotoattēlu slaidrādes par maksu vai bez maksas vai vispār.) Apskatiet PowerShow.com šodien - BEZ MAKSAS. Katram ir patiešām kaut kas!

    prezentācijas bez maksas. Vai arī izmantojiet to, lai atrastu un lejupielādētu augstas kvalitātes PowerPoint ppt prezentācijas ar ilustrētiem vai animētiem slaidiem, kas iemācīs jums darīt kaut ko jaunu, arī bez maksas. Vai arī izmantojiet to, lai augšupielādētu savus PowerPoint slaidus, lai jūs varētu tos kopīgot ar skolotājiem, klasi, studentiem, priekšniekiem, darbiniekiem, klientiem, potenciālajiem investoriem vai pasauli. Vai arī izmantojiet to, lai izveidotu ļoti foršas fotoattēlu slaidrādes - ar 2D un 3D pārejām, animāciju un jūsu izvēlēto mūziku - kuras varat kopīgot ar saviem Facebook draugiem vai Google+ lokiem. Arī tas viss ir bez maksas!


    Extra Credit: Stability region plots (12 points)

    You have seen above that some choices of step size result in unstable solutions (blow up) and some don't. It is important to be able to predict what choices of will result in unstable solutions. One way to accomplish this task is to plot the region of stability in the complex plane. An excellent source of further information about stability regions can be found in Chapter Seven of the book "Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations" by Randall J. LeVeque at
    http://www.siam.org/books/ot98/sample/OT98Chapter7.pdf .

    When applied to the test ODE , all of the common ODE methods result in linear recurrance relations of the form

    where , is some small integer, and the are constants depending on . For example, the explicit Euler method results in the recurrance relation

    It is a well-known fact that linear recursions of the form (7) have unique solutions in the form

    where for are the distinct roots of the polynomial equation

    If any of the roots is not simple, this expression must be modified slightly. The coefficients are determined by initial conditions. It must be emphasised that the roots are, in general, complex. For the explicit Euler method, for example, and .

    The relationship between (7) and (8) can be seen by assuming that, in the limit of large , .

    Clearly, the sequence is stable (bounded) if and only if . Hence the ODE method associated with the polynomial (8) is stable if and only if all the roots satisfy .

    1. Plug into the formula you are investigating to yield (8).
    2. Write (8) in terms of and
    3. For such that , solve for . This might involve several branches, e.g., when a square root has been taken.
    4. For , set and draw one or more curves. These curves bound the stability region.
    5. To identify the interior of the stability region, set and plot the resulting curve(s).

    In the following exercise, you will implement this algorithm.

    1. For real values of , the exponential , where is the imaginary unit, always satisfies . Using 1000 values of between 0 and , construct 1000 points on the unit circle in the complex plane. Write a Matlab script m-file to plot these points and confirm they lie on the unit circle. (Recall axis equal can be used to get the correct aspect ratio.) Include this plot with the summary of your work.
    2. As remarked above, the explicit Euler method applied to the ODE yields Since occurs together, denote the product as . Also denote by the ratio . Writing these expressions using pencil and paper, solve this expression for in terms of .