Raksti

2.2. Funkcijas un funkciju apzīmējumi


Mācību mērķi

  • Nosakiet, vai relācija pārstāv funkciju.
  • Atrodiet funkcijas vērtību.
  • Nosakiet, vai funkcija ir viens pret vienu.
  • Izmantojiet vertikālās līnijas testu, lai identificētu funkcijas.
  • Uzzīmējiet funkciju bibliotēkā norādītās funkcijas.

Reaktīvais laineris maina augstumu, palielinoties tā attālumam no lidojuma sākuma punkta. Starp abiem lielumiem ir saistība, ko mēs varam aprakstīt, analizēt un izmantot, lai veiktu prognozes. Šajā sadaļā mēs analizēsim šādas attiecības.

Nosakot, vai relācija pārstāv funkciju

Relācija ir sakārtotu pāru kopums. Katra pasūtītā pāra pirmo komponentu kopu sauc par domēnu, bet katra pasūtītā pāra otro komponentu kopu - par diapazonu. Apsveriet šādu pasūtīto pāru kopu. Pirmie skaitļi katrā pārī ir pirmie pieci dabiskie skaitļi. Katra pāra otrais numurs ir divreiz lielāks nekā pirmais.

[ {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10) } tags {1.1.1} ]

Domēns ir ( {1, 2, 3, 4, 5 } ). Diapazons ir ( {2, 4, 6, 8, 10 } ).

Ņemiet vērā, ka katra domēna vērtība ir pazīstama arī kā ievade vērtība vai neatkarīgais mainīgais, un to bieži apzīmē ar mazo burtu (x ). Katru vērtību diapazonā sauc arī par izejas vērtību vai atkarīgais mainīgais, un to bieži apzīmē ar mazo burtu (y ).

Funkcija (f ) ir relācija, kas katrai domēna vērtībai piešķir vienu vērtību diapazonā. Citiem vārdiem sakot, x vērtības netiek atkārtotas. Mūsu piemēram, kas attiecas uz pirmajiem pieciem dabiskie skaitļi Lai skaitļi dubultotu vērtības, šī saistība ir funkcija, jo katrs domēna elements {1, 2, 3, 4, 5} ir savienots pārī ar tieši vienu elementu diapazonā ( {2, 4, 6, 8, 10 } ).

Tagad aplūkosim sakārtoto pāru kopu, kas terminus “pāra” un “nepāra” attiecina uz pirmajiem pieciem dabiskajiem skaitļiem. Tas parādīsies kā

[ mathrm { {(nepāra, 1), (pāra, 2), (nepāra, 3), (pāra, 4), (nepāra, 5) }} tags {1.1.2} ]

Ievērojiet, ka katrs domēna elements {even, nepāra} nav savienots pārī ar tieši vienu elementu diapazonā ( {1, 2, 3, 4, 5 } ). Piemēram, termins “nepāra” atbilst trim domēna vērtībām, ( {1, 3, 5 } ), un termins “pāra” atbilst divām vērtībām no diapazona, ( {2, 4 } ). Tas pārkāpj funkcijas definīciju, tāpēc šī saistība nav funkcija.

Attēlā ( PageIndex {1} ) tiek salīdzinātas attiecības, kas ir funkcijas, nevis funkcijas.

Funkcija

A funkciju ir relācija, kurā katra iespējamā ievades vērtība noved pie precīzi vienas izejas vērtības. Mēs sakām: “izvade ir ieejas funkcija”.

The ievade vērtības veido domēnsun izeja vērtības veido diapazons.

Kā: ņemot vērā attiecību starp diviem lielumiem, nosakiet, vai attiecība ir funkcija

  1. Identificējiet ievades vērtības.
  2. Identificējiet izejas vērtības.
  3. Ja katra ievades vērtība noved pie tikai vienas izvades vērtības, klasificējiet saistību kā funkciju. Ja kāda ievades vērtība noved pie diviem vai vairāk izvadiem, neklasificējiet attiecības kā funkciju.

Piemērs ( PageIndex {1} ): Nosakot, vai izvēlņu cenu saraksti ir funkcijas

Kafejnīcas izvēlne, kas parādīta attēlā ( PageIndex {2} ), sastāv no priekšmetiem un to cenām.

  1. Vai cena ir preces funkcija?
  2. Vai prece ir cenas funkcija?

Risinājums

  1. Sāksim, ņemot vērā ievadi kā vienumus izvēlnē. Tad izlaides vērtības ir cenas. Skatīt attēlu ( PageIndex {3} ).

Katram izvēlnes vienumam ir tikai viena cena, tāpēc cena ir preces funkcija.

  1. Diviem ēdienkartes vienumiem ir vienāda cena. Ja mēs uzskatām, ka cenas ir ievades vērtības, bet preces - par izlaidi, tad tai pašai ievades vērtībai ar to varētu būt saistītas vairāk nekā viena izeja. Skatīt attēlu ( PageIndex {4} ).

Tāpēc prece nav cenas funkcija.

Piemērs ( PageIndex {2} ): Nosakot, vai klases pakāpes kārtulas ir funkcijas

Konkrētā matemātikas stundā kopējais vērtējuma procents atbilst vidējam vērtējuma punktam. Vai vidējais vērtējums ir procentuālās pakāpes funkcija? Vai procentuālais vērtējums ir atkarīgs no vidējā vērtējuma? Tabulā ( PageIndex {1} ) ir parādīta iespējamā kārtība, kā piešķirt pakāpes punktus.

Tabula ( PageIndex {1} ): klases pakāpes punkti.
Procentu pakāpe0–5657–6162–6667–7172–7778–8687–9192–100
Novērtējuma punktu vidējā vērtība0.01.01.52.02.53.03.54.0

Risinājums

Jebkuram nopelnītajam procentuālajam vērtējumam ir piesaistīta vidējā atzīme, tāpēc vidējais vērtējums ir procentuālās pakāpes funkcija. Citiem vārdiem sakot, ja mēs ievadām procentuālo pakāpi, tad rezultāts ir noteikta vidējā līmeņa atzīme.

Norādītajā vērtēšanas sistēmā ir procentuālo diapazonu diapazons, kas atbilst tam pašam vērtējuma punktu vidējam rādītājam. Piemēram, studentiem, kuri saņem vidējo vērtējumu 3,0, varētu būt dažādas procentuālās pakāpes, sākot no 78 līdz 86. Tādējādi procentuālais vērtējums nav vidējā vērtējuma funkcija.

Vingrinājums ( PageIndex {2} )

Tabulā ( PageIndex {2} ) rangu secībā ir uzskaitīti pieci visu laiku lielākie beisbola spēlētāji.

Tabula ( PageIndex {2} ): Pieci lielākie beisbola spēlētāji.
SpēlētājsRangs
Skaistule Rūta1
Villijs Mejs2
Ty Cobb3
Valters Džonsons4
Henks Ārons5
  1. Vai rangs ir spēlētāja vārda funkcija?
  2. Vai spēlētāja vārds ir ranga funkcija?
Atbilde a

Atbilde b

Jā. (Piezīme: Ja divi spēlētāji būtu dalījušies, teiksim, par 4. vietu, tad nosaukums nebūtu bijusi ranga funkcija.)

Funkciju apzīmējuma izmantošana

Kad esam noteikuši, ka attiecības ir funkcija, mums jāparāda un jādefinē funkcionālās attiecības, lai mēs tās saprastu un izmantotu, un dažreiz arī lai tās varētu programmēt datoros. Ir dažādi funkciju atspoguļošanas veidi. Standarta funkciju apzīmējums ir viens attēlojums, kas atvieglo darbu ar funkcijām.

Lai attēlotu “augstums ir vecuma funkcija”, mēs vispirms identificējam aprakstošos mainīgos (h ) attiecībā uz augstumu un (a ) pēc vecuma. Burtus (f ), (g ) un (h ) bieži lieto, lai attēlotu funkcijas tāpat kā mēs izmantojam (x ), (y ) un (z ), lai attēlotu numuri un (A ), (B ) un (C ), kas apzīmē kopas.

[ begin {masīvs} {ll} h text {is} f text {of} a;; ; ; ; ; ; & text {Mēs nosaucam funkciju} f text {; augstums ir vecuma funkcija.} h = f (a) & text {Mēs izmantojam iekavas, lai norādītu funkcijas ievadi.} f (a) & text {Mēs nosaucam funkciju} f text {; izteiciens tiek lasīts kā “} teksta {f} teksts {.”} end {masīvs} ]

Atcerieties, ka funkcijas nosaukumam mēs varam izmantot jebkuru burtu; apzīmējums (h (a) ) mums parāda, ka (h ) ir atkarīgs no (a ). Vērtība (a ) ir jāievieto funkcijā (h ), lai iegūtu rezultātu. Iekavas norāda, ka funkcijā tiek ievadīts vecums; tie neliecina par reizināšanu.

Kā funkcijas ievadi mēs varam dot arī algebrisko izteiksmi. Piemēram, (f (a + b) ) nozīmē "vispirms pievienot (a ) un (b ), un rezultāts ir funkcijas (f ) ievade." Darbības jāveic šādā secībā, lai iegūtu pareizu rezultātu.

Funkciju apzīmējums

Apzīmējums (y = f (x) ) definē funkciju ar nosaukumu (f ). Tas tiek lasīts kā “ (y ) ir (x ) funkcija.” Burts (x ) apzīmē ievades vērtību vai neatkarīgu mainīgo. Burts (y ) vai (f (x) ) apzīmē izvades vērtību vai atkarīgo mainīgo.

Piemērs ( PageIndex {3} ): Funkciju apzīmējuma izmantošana mēneša dienām

Izmantojiet funkciju apzīmējumu, lai attēlotu funkciju, kuras ievade ir mēneša nosaukums, bet izvade ir mēnešu dienu skaits.

Risinājums

Funkciju apzīmējuma izmantošana mēneša dienām

Izmantojiet funkciju apzīmējumu, lai attēlotu funkciju, kuras ievade ir mēneša nosaukums, bet izvade ir mēnešu dienu skaits.

Dienu skaits mēnesī ir mēneša nosaukuma funkcija, tādēļ, ja mēs nosaucam funkciju (f ), mēs rakstām ( mathrm {dienas = f (mēnesis)} ) vai ( mathrm {d = f (m)} ). Mēneša nosaukums ir “noteikuma” ievade, kas ar katru ievadi saista noteiktu skaitli (izvadi).

Piemēram, ( mathrm {f (marts) = 31} ), jo martam ir 31 diena. Apzīmējums (d = f (m) ) mums atgādina, ka dienu skaits, (d ) (izeja), ir atkarīgs no mēneša nosaukuma (m ) (ievade).

Analīze

Ņemiet vērā, ka funkcijas ievadiem nav jābūt skaitļiem; funkciju ievades var būt cilvēku vārdi, ģeometrisko objektu etiķetes vai jebkurš cits elements, kas nosaka kāda veida izvadi. Tomēr lielākajai daļai funkciju, ar kurām mēs strādāsim šajā grāmatā, būs skaitļi kā ieejas un izejas.

Piemērs ( PageIndex {3B} ): Funkciju apzīmējumu interpretēšana

Funkcija (N = f (y) ) norāda policistu skaitu, (N ), pilsētā gadā (y ). Ko nozīmē (f (2005) = 300 )?

Risinājums

Izlasot (f (2005) = 300 ), redzam, ka ievades gads ir 2005. Rezultāta vērtība, policistu skaits ((N) ), ir 300. Atcerieties, (N = f (y) ). Paziņojums (f (2005) = 300 ) mums saka, ka 2005. gadā pilsētā bija 300 policisti.

Vingrinājums ( PageIndex {3} )

Izmantojiet funkciju apzīmējumu, lai izteiktu cūkas svaru mārciņās atkarībā no tās vecuma dienās (d ).

Atbilde

(w = f (d) )

Jautājumi un atbildes

Vai apzīmējuma, piemēram, (y = f (x) ) vietā, mēs izejai varētu izmantot to pašu simbolu kā funkcijai, piemēram, (y = y (x) ), kas nozīmē “y ir funkcija no x? ”

Jā, tas bieži tiek darīts, it īpaši lietišķajos priekšmetos, kas izmanto augstāko matemātiku, piemēram, fizikā un inženierzinātnēs. Tomēr, pētot pašu matemātiku, mēs vēlētos saglabāt atšķirību starp tādu funkciju kā (f ), kas ir noteikums vai procedūra, un rezultātu y iegūstam, piemērojot (f ) uz konkrētu ieguldījumu (x ). Tāpēc mēs parasti izmantojam tādus apzīmējumus kā (y = f (x), P = W (d) ), un tā tālāk.

Funkciju attēlošana, izmantojot tabulas

Bieža funkciju atspoguļošanas metode ir tabulas forma. Tabulu rindās vai kolonnās tiek rādītas atbilstošās ievades un izvades vērtības. Dažos gadījumos šīs vērtības pārstāv visu, ko mēs zinām par attiecībām; citreiz tabulā sniegti daži piemēri no pilnīgākām attiecībām.

Tabulā ( PageIndex {3} ) ir norādīts katra mēneša ievades numurs ( (janvāris = 1 ), (februāris = 2 ) un tā tālāk) un tā mēneša dienu skaita izejas vērtība. . Šī informācija atspoguļo visu, ko mēs zinām par konkrētā gada mēnešiem un dienām (tas nav lēciena gads). Ņemiet vērā, ka šajā tabulā mēs definējam funkciju “dienas mēnesī” (f ), kur (D = f (m) ) mēnešus identificē ar veselu skaitli, nevis pēc nosaukuma.

Tabula ( PageIndex {3} ): mēneši un dienu skaits mēnesī.

Mēneša numurs, (m ) (ievade)

123456789101112
Dienas mēnesī, (D ) (izeja)312831303130313130313031

Tabula ( PageIndex {4} ) definē funkciju (Q = g (n) ) Atcerieties, ka šis apzīmējums mums norāda, ka (g ) ir funkcijas nosaukums, kas ņem ievadi (n ) un dod izvadi (Q ).

Tabula ( PageIndex {4} ): Funkcija (Q = g (n) )

(n )

12345
(Q )86768

Tabulā ( PageIndex {5} ) tiek parādīts bērnu vecums gados un viņu atbilstošais augstums. Šajā tabulā ir parādīti tikai daži no pieejamajiem datiem par bērnu augstumu un vecumu. Mēs uzreiz varam redzēt, ka šī tabula neatspoguļo funkciju, jo vienai un tai pašai ievades vērtībai - 5 gadiem - ir divas dažādas izvades vērtības - 40 collas un 42 collas.

Tabula ( PageIndex {5} ): bērnu vecums un atbilstošais augstums.

Vecums gados, (a ) (ievade)

55678910
Augstums collās, (h ) (izeja)40424447505254

Kā: ņemot vērā ievades un izvades vērtību tabulu, nosakiet, vai tabula atspoguļo funkciju

  1. Identificējiet ievades un izvades vērtības.
  2. Pārbaudiet, vai katra ievades vērtība ir savienota pārī tikai ar vienu izvades vērtību. Ja tā, tabula attēlo funkciju.

Piemērs ( PageIndex {5} ): tabulas, kas attēlo funkcijas

Kura tabula, Table ( PageIndex {6} ), Table ( PageIndex {7} ) vai Table ( PageIndex {8} ) pārstāv funkciju (ja tāda ir)?

Tabula ( PageIndex {6} )
Ievade

Rezultāts

21
53
86
Tabula ( PageIndex {7} )
Ievade

Rezultāts

-35
01
45
Tabula ( PageIndex {8} )
Ievade

Rezultāts

10
52
54

Risinājums

Table ( PageIndex {6} ) un Table ( PageIndex {7} ) definē funkcijas. Abās katrā ievades vērtība atbilst tieši vienai izvades vērtībai. Table ( PageIndex {8} ) nenosaka funkciju, jo ievades vērtība 5 atbilst divām dažādām izvades vērtībām.

Ja tabula atspoguļo funkciju, atbilstošās ievades un izvades vērtības var norādīt arī, izmantojot funkciju apzīmējumu.

Funkciju, ko attēlo tabula ( PageIndex {6} ), var attēlot, rakstot

[f (2) = 1 text {,} f (5) = 3 text {, un} f (8) = 6 nonumber ]

Līdzīgi arī paziņojumi

[g (−3) = 5 teksts {,} g (0) = 1 teksts {, un} g (4) = 5 skaitlis ]

attēlo funkciju tabulā ( PageIndex {7} ).

Tabulu ( PageIndex {8} ) nevar izteikt līdzīgi, jo tā neatspoguļo funkciju.

Vingrinājums ( PageIndex {5} )

Vai Table ( PageIndex {9} ) ir funkcija?

Tabula ( PageIndex {9} )
Ievade

Rezultāts

110
2100
31000
Atbilde

Funkcijas ievades un izvades vērtību atrašana

Kad mēs zinām ievades vērtību un vēlamies noteikt atbilstošo izejas vērtību funkcijai, mēs novērtējam funkciju. Novērtējot, vienmēr tiks iegūts viens rezultāts, jo katra funkcijas ievades vērtība atbilst tieši vienai izvades vērtībai.

Kad mēs zinām izejas vērtību un vēlamies noteikt ievades vērtības, kas radītu šo izvades vērtību, mēs iestatām izeju, kas vienāda ar funkcijas formulu, un atrisinām ievadi. Risināšana var radīt vairākus risinājumus, jo dažādas ievades vērtības var radīt vienu un to pašu izejas vērtību.

Funkciju novērtēšana algebriskās formās

Kad mums ir funkcija formulas formā, funkcijas novērtēšana parasti ir vienkārša lieta. Piemēram, funkciju (f (x) = 5−3x ^ 2 ) var novērtēt, kvadrātu ievadot, reizinot ar 3 un pēc tam atņemot preci no 5.

Kā: ņemot vērā funkcijas formulu, novērtējiet.

Ņemot vērā funkcijas formulu, novērtējiet.

  1. Formulā ievadīto mainīgo aizstāj ar norādīto vērtību.
  2. Aprēķiniet rezultātu.

Piemērs ( PageIndex {6A} ): Funkciju novērtēšana noteiktās vērtībās

1. Novērtējiet (f (x) = x ^ 2 + 3x − 4 )

  1. (2)
  2. (a )
  3. (a + h )

2. Novērtējiet ( frac {f (a + h) −f (a)} {h} )

Risinājums

Funkcijā x aizstājiet ar katru norādīto vērtību.

a. Tā kā ievades vērtība ir skaitlis 2, vienkāršošanai mēs varam izmantot vienkāršu algebru.

[ sākt {izlīdzināt} f (2) & = 2 ^ 2 + 3 (2) −4 & = 4 + 6−4 & = 6 beigas {izlīdzināt} ]

b. Šajā gadījumā ievades vērtība ir burts, tāpēc mēs vairs nevaram vienkāršot atbildi.

[f (a) = a ^ 2 + 3a − 4 ]

c. Ja ieejas vērtība ir (a + h ), mums jāizmanto sadales īpašums.

[ sākas {izlīdzināt} f (a + h) & = (a + h) ^ 2 + 3 (a + h) −4 & = a ^ 2 + 2ah + h ^ 2 + 3a + 3h − 4 end {izlīdzināt} ]

d. Šajā gadījumā ievades vērtības funkcijai tiek piemērotas vairāk nekā vienu reizi, un pēc tam ar rezultātu tiek veiktas algebriskas darbības. Mēs to jau atradām

[f (a + h) = a ^ 2 + 2ah + h ^ 2 + 3a + 3h-4 ]

un mēs to zinām

[f (a) = a ^ 2 + 3a − 4 ]

Tagad mēs apvienojam rezultātus un vienkāršojam.

[ begin {izlīdzināt} dfrac {f (a + h) −f (a)} {h} & ​​= dfrac {(a ^ 2 + 2ah + h ^ 2 + 3a + 3h-4) - (a ^ 2 + 3a − 4)} {h} & = dfrac {(ah + h ^ 2 + 3h)} {h} & = dfrac {h (a + h + 3)} {h} & text {Factor out h.} & = 2a + h + 3 & text {Vienkāršot.} end {izlīdzināt} ]

Piemērs ( PageIndex {6B} ): Funkciju novērtēšana

Ņemot vērā funkciju (h (p) = p ^ 2 + 2p ), novērtējiet (h (4) ).

Risinājums

Lai novērtētu (h (4) ), ievadītajam mainīgajam p aizstājam vērtību 4 dotajā funkcijā.

[ sāk {izlīdzināt} h (p) & = p ^ 2 + 2p h (4) & = (4) ^ 2 + 2 (4) & = 16 + 8 & = 24 beigas {izlīdzināt} ]

Tāpēc 4 ieejai mums ir 24 izejas.

Vingrinājums ( PageIndex {6} )

Ņemot vērā funkciju (g (m) = sqrt {m − 4} ), novērtējiet (g (5) ).

Atbilde

(g (5) = 1 )

Piemērs ( PageIndex {7} ): Funkciju risināšana

Ņemot vērā funkciju (h (p) = p ^ 2 + 2p ), atrisiniet vērtību (h (p) = 3 ).

Risinājums

[ begin {masīvs} {rl} h (p) = 3 p ^ 2 + 2p = 3 & text {Aizstājiet sākotnējo funkciju} p ^ 2 + 2p − 3 = 0 & text {Atņemt 3 no katras puses.} (p + 3) (p − 1) = 0 & text {Factor.} End {array} ]

Ja ((p + 3) (p − 1) = 0 ), vai nu ((p + 3) = 0 ), vai ((p − 1) = 0 ) (vai arī abi ir vienādi ar 0) . Mēs iestatīsim katru koeficientu vienādu ar 0 un katrā gadījumā atrisināsim vērtību (p ).

[(p + 3) = 0, ; p = −3 skaitlis ]

[(p − 1) = 0, , p = 1 skaitlis ]

Tas mums dod divus risinājumus. Izeja (h (p) = 3 ), ja ievade ir vai nu (p = 1 ), vai (p = −3 ). Mēs varam arī pārbaudīt, izmantojot diagrammu, kā parādīts attēlā ( PageIndex {6} ). Diagramma pārbauda, ​​vai (h (1) = h (−3) = 3 ) un (h (4) = 24 ).

Vingrinājums ( PageIndex {7} )

Ņemot vērā funkciju (g (m) = sqrt {m − 4} ), atrisiniet (g (m) = 2 ).

Atbilde

(m = 8 )

Formulās izteikto funkciju novērtēšana

Dažas funkcijas nosaka matemātiskās kārtulas vai procedūras, kas izteiktas vienādojums formā. Ja ir iespējams izteikt funkcijas izvadi ar formulu, kas ietver ievades daudzumu, tad funkciju varam definēt algebriskā formā. Piemēram, vienādojums (2n + 6p = 12 ) izsaka funkcionālas attiecības starp (n ) un (p ). Mēs varam to pārrakstīt, lai izlemtu, vai (p ) ir (n ) funkcija.

Kā: ņemot vērā funkciju vienādojuma formā, uzrakstiet tās algebrisko formulu.

  1. Atrisiniet vienādojumu, lai izejas mainīgo izolētu vienādības zīmes vienā pusē, otru pusi izmantojot kā izteiksmi, kas ietver tikai ievades mainīgo.
  2. Izmantojiet visas parastās algebriskās metodes vienādojumu risināšanai, piemēram, pievienojiet vai atņemiet to pašu lielumu abām pusēm vai no abām pusēm, vai reiziniet vai daliet abas vienādojuma puses ar tādu pašu daudzumu.

Piemērs ( PageIndex {8A} ): Funkcijas vienādojuma atrašana

Ja iespējams, izsakiet sakarību (2n + 6p = 12 ) kā funkciju (p = f (n) ).

Risinājums

Lai izteiktu attiecības šajā formā, mums jāspēj uzrakstīt attiecības, kur (p ) ir funkcija (n ), kas nozīmē to rakstīt kā (p = text {[izteiksme, kas ietver n] } ).

[ begin {align *} 2n + 6p & = 12 6p & = 12−2n & text {No abām pusēm atņemiet 2n.} p & = dfrac {12−2n} {6} & text {Dalīt abas puses pa 6 un vienkāršojiet.} p & = frac {12} {6} - frac {2n} {6} p & = 2− frac {1} {3} n end {align *} ]

Tāpēc (p ) kā funkcija (n ) tiek rakstīts kā

[p = f (n) = 2−13n skaitlis ]

Analīze

Ir svarīgi atzīmēt, ka ne visas vienādojumā izteiktās attiecības var izteikt arī kā funkciju ar formulu.

Piemērs ( PageIndex {8B} ): Apļa vienādojuma izteikšana kā funkcijas

Vai vienādojums (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) apzīmē funkciju ar ievades (x ) un izvadi (y )? Ja tā, izsakiet attiecības kā funkciju (y = f (x) ).

Risinājums

Vispirms no abām pusēm atņemam (x ^ 2 ).

[y ^ 2 = 1 - x ^ 2 ]

Tagad mēs mēģinām atrisināt (y ) šajā vienādojumā.

[y = pm sqrt {1 − x ^ 2} ]

[= pm sqrt {1 − x ^ 2} ; text {un} ; - sqrt {1 − x ^ 2} ]

Mēs iegūstam divus izvadus, kas atbilst vienai un tai pašai ieejai, tāpēc šo sakarību nevar attēlot kā vienu funkciju (y = f (x) ).

Vingrinājums ( PageIndex {8} )

Ja (x −8y ^ 3 = 0 ), izteikt (y ) kā funkciju (x ).

Atbilde

(y = f (x) = dfrac { sqrt [3] {x}} {2} )

Jautājumi un atbildes

Vai pastāv sakarības, kas izteiktas ar vienādojumu, kas pārstāv funkciju, bet kuras joprojām nevar attēlot ar algebrisko formulu?

Jā, tas var notikt. Piemēram, ņemot vērā vienādojumu (x = y + 2 ^ y ), ja mēs vēlamies izteikt y kā x funkciju, nav vienkāršas algebriskas formulas, kas ietvertu tikai (x ), kas ir vienāds ar (y ) . Tomēr katrs (x ) nosaka unikālu vērtību (y ), un ir matemātiskas procedūras, ar kurām (y ) var atrast jebkuru vēlamo precizitāti. Šajā gadījumā mēs sakām, ka vienādojums dod netiešu (netiešu) likumu (y ) kā funkciju (x ), kaut arī formulu nevar skaidri uzrakstīt.

Tabulas formā norādītās funkcijas novērtēšana

Kā mēs redzējām iepriekš, mēs varam attēlot funkcijas tabulās. Un otrādi, mēs varam izmantot informāciju tabulās, lai rakstītu funkcijas, un mēs varam novērtēt funkcijas, izmantojot tabulas. Piemēram, cik labi mūsu mājdzīvnieki atceras patīkamās atmiņas, ar kurām mēs viņiem dalāmies? Pastāv pilsētas leģenda, ka zelta zivtiņai atmiņā ir 3 sekundes, taču tas ir tikai mīts. Zelta zivtiņa var atcerēties līdz 3 mēnešiem, bet beta zivīm atmiņa ir līdz 5 mēnešiem. Un, kaut arī kucēna atmiņas ilgums nepārsniedz 30 sekundes, pieaugušais suns var atcerēties 5 minūtes. Tas ir niecīgi, salīdzinot ar kaķi, kura atmiņas ilgums ilgst 16 stundas.

Funkcija, kas saista mājdzīvnieka tipu ar tā atmiņas ilgumu, ir vieglāk vizualizējama, izmantojot tabulu (Table ( PageIndex {10} )).

Tabula ( PageIndex {10} )

Mājdzīvnieku atmiņa

laidums stundās

Kucēns0.008
Pieaugušais suns0.083
Kaķis3
Zelta zivtiņa2160
Beta Zivis3600

Dažreiz funkcijas novērtēšana tabulas formā var būt noderīgāka nekā vienādojumu izmantošana. Šeit sauksim funkciju (P ). Funkcijas domēns ir lolojumdzīvnieku veids, un diapazons ir reāls skaitlis, kas norāda stundu skaitu, kad lolojumdzīvnieks saglabā atmiņu. Funkciju (P ) mēs varam novērtēt pēc “zelta zivtiņas” ievades vērtības. Mēs rakstītu (P (zelta zivtiņa) = 2160 ). Ievērojiet, ka, lai novērtētu funkciju tabulas formā, mēs identificējam ievades vērtību un atbilstošo izvades vērtību no atbilstošās tabulas rindas. Funkcijas P tabulas forma šķiet ideāli piemērota šai funkcijai, vairāk nekā rakstīšana rindkopās vai funkcijas formā.

HowTo: ņemot vērā funkciju, ko attēlo tabula, identificējiet konkrētas izejas un ievades vērtības

1. Ievades vērtību rindā (vai kolonnā) atrodiet doto ievadi.
2. Nosakiet atbilstošo izvades vērtību, kas savienota pārī ar šo ievades vērtību.
3. Atrodiet norādītās izvades vērtības izvades vērtību rindā (vai kolonnā), katru reizi atzīmējot, ka parādās izvades vērtība.
4. Nosakiet ievadi (-es), kas atbilst dotajai izvades vērtībai.

Piemērs ( PageIndex {9} ): Tabulas funkcijas novērtēšana un risināšana

Izmantojot Table ( PageIndex {11} ),

a. Novērtējiet (g (3) ).
b. Atrisiniet (g (n) = 6 ).

Tabula ( PageIndex {11} )

(n )

12345
(g (n) )86768

Risinājums

a. (G (3) ) novērtēšana nozīmē funkcijas (g ) izvades vērtības noteikšanu ievades vērtībai (n = 3 ). Tabulas izvades vērtība, kas atbilst (n = 3 ), ir 7, tātad (g (3) = 7 ).
b. (G (n) = 6 ) atrisināšana nozīmē ieejas vērtību n identificēšanu, kas rada izejas vērtību 6. Tabulā ( PageIndex {12} ) parādīti divi risinājumi: 2 un 4.

Tabula ( PageIndex {12} )

(n )

12345
(g (n) )86768

Ievades 2 funkcijā (g ), mūsu izeja ir 6. Ievades 4 funkcijā (g ), mūsu izeja ir arī 6.

Vingrinājums ( PageIndex {1} )

Izmantojot Table ( PageIndex {12} ), novērtējiet (g (1) ).

Atbilde

(g (1) = 8 )

Funkciju vērtību atrašana no grafika

Lai novērtētu funkciju, izmantojot grafiku, ir jāatrod arī attiecīgā izejas vērtība konkrētajai ievades vērtībai, tikai šajā gadījumā izejas vērtību mēs atrodam, aplūkojot grafiku. Funkciju vienādojuma atrisināšanai, izmantojot grafiku, jāatrod grafikā visi norādītās izejas vērtības gadījumi un jāievēro atbilstošā (-ās) ievades vērtība (-as).

Piemērs ( PageIndex {10} ): Funkciju vērtību nolasīšana no diagrammas

Ņemot vērā diagrammu attēlā ( PageIndex {7} ),

  1. Novērtējiet (f (2) ).
  2. Atrisiniet (f (x) = 4 ).

Risinājums

Lai novērtētu (f (2) ), atrodiet līknes punktu, kur (x = 2 ), pēc tam nolasiet šī punkta y koordinātu. Punktam ir koordinātas ((2,1) ), tātad (f (2) = 1 ). Skatīt attēlu ( PageIndex {8} ).

Lai atrisinātu (f (x) = 4 ), uz vertikālās ass atrodam izejas vērtību 4. Pārvietojoties horizontāli pa līniju (y = 4 ), mēs atrodam divus līknes punktus ar izejas vērtību 4: ((- 1,4) ) un ((3,4) ). Šie punkti apzīmē divus risinājumus (f (x) = 4 ): −1 vai 3. Tas nozīmē (f (−1) = 4 ) un (f (3) = 4 ) vai ievade ir −1 vai 3, izeja ir 4. Skatīt attēlu ( PageIndex {9} ).

Vingrinājums ( PageIndex {10} )

Ņemot vērā diagrammu attēlā ( PageIndex {7} ), atrisiniet (f (x) = 1 ).

Atbilde

(x = 0 ) vai (x = 2 )

Nosakot, vai funkcija ir viens pret vienu

Dažām funkcijām ir noteikta izejas vērtība, kas atbilst divām vai vairākām ievades vērtībām. Piemēram, akciju diagrammā, kas parādīta attēlā šīs nodaļas sākumā, akciju cena bija 1000 ASV dolāri piecos dažādos datumos, kas nozīmē, ka bija piecas dažādas ievades vērtības, kuru visu rezultātā vienāda izejas vērtība bija 1000 ASV dolāru.

Tomēr dažām funkcijām katrai izejas vērtībai ir tikai viena ieejas vērtība, kā arī katrai ieejai ir tikai viena izeja. Šīs funkcijas mēs saucam par individuālām funkcijām. Kā piemēru ņemiet vērā skolu, kas izmanto tikai burtu pakāpes un decimāldaļas ekvivalentus, kā norādīts tabulā ( PageIndex {13} ).

Tabula ( PageIndex {13} ): burtu pakāpes un decimāldaļas ekvivalenti.
Burtu pakāpeNovērtējuma punktu vidējā vērtība
A4.0
B3.0
C2.0
D1.0

Šī klasifikācijas sistēma atspoguļo funkciju viens pret vienu, jo katra burta ievade dod vienu konkrētu vērtējuma punktu vidējo izvadi un katra vidējā atzīme atbilst vienam ievades burtam.

Lai vizualizētu šo koncepciju, vēlreiz apskatīsim divas vienkāršās funkcijas, kas ieskicētas attēlos ( PageIndex {1a} ) un ( PageIndex {1b} ). Funkcija (a) parāda attiecību, kas nav viens pret vienu funkcija, jo gan ieejas (q ), gan (r ) dod izvadi (n ). Funkcija (b) parāda attiecības, kas ir viens pret vienu funkcija, jo katra ieeja ir saistīta ar vienu izeju.

Individuālas funkcijas

A funkcija viens pret vienu ir funkcija, kurā katra izvades vērtība atbilst tieši vienai ievades vērtībai.

Piemērs ( PageIndex {11} ): Nosakot, vai attiecības ir viens pret otru funkcija

Vai apļa laukums ir tā rādiusa funkcija? Ja jā, vai funkcija ir viena pret vienu?

Risinājums

Apļa rādiusam (r ) ir unikāls laukuma mērījums, ko sniedz (A = { pi} r ^ 2 ), tāpēc jebkurai ieejai (r ) ir tikai viena izeja (A ). Apgabals ir rādiusa (r ) funkcija.

Ja funkcija ir viens pret vienu, izejas vērtībai, laukumam jāatbilst unikālai ieejas vērtībai - rādiusam. Jebkuru laukuma mērījumu (A ) izsaka formula (A = { pi} r ^ 2 ). Tā kā laukumi un rādiusi ir pozitīvi skaitļi, ir tieši viens risinājums: ( sqrt { frac {A} { pi}} ). Tātad apļa laukums ir viens pret vienu apļa rādiusa funkcija.

Vingrinājums ( PageIndex {11A} )

  1. Vai atlikums ir bankas konta numura funkcija?
  2. Vai bankas konta numurs ir atlikuma funkcija?
  3. Vai atlikums ir bankas konta numura funkcija viens pret vienu?
Atbilde

a. jā, jo katram bankas kontam jebkurā laikā ir viens atlikums;

b. nē, jo vairākiem bankas kontu numuriem var būt vienāds atlikums;

c. nē, jo viena un tā pati izeja var atbilst vairāk nekā vienai ieejai.

Vingrinājums ( PageIndex {11B} )

Novērtējiet sekojošo:

  1. Ja katra kursa laikā nopelnītā procentuālā atzīme nozīmē viena burta pakāpi, vai burtu vērtējums ir procentuālās pakāpes funkcija?
  2. Ja jā, vai funkcija ir viena pret vienu?
Atbilde

a. Jā, burtu pakāpe ir procentuālās pakāpes funkcija;
b. Nē, tas nav viens pret vienu. Mēs varam iegūt 100 dažādus procentuālos skaitļus, bet tikai aptuveni piecus iespējamos burtu pakāpes, tāpēc nevar būt tikai viens procentuāls skaitlis, kas atbilst katrai burtu pakāpei.

Vertikālās līnijas testa izmantošana

Kā mēs redzējām dažos iepriekš minētajos piemēros, mēs varam attēlot funkciju, izmantojot diagrammu. Grafiki nelielā telpā parāda ļoti daudz ievades un izvades pāru. Viņu sniegtā vizuālā informācija bieži padara attiecības vieglāk saprotamas. Pēc vienošanās grafikus parasti konstruē ar ieejas vērtībām pa horizontālo asi un izejas vērtībām pa vertikālo asi.

Visizplatītākajos grafikos tiek nosaukta ievades vērtība (x ) un izvade (y ), un mēs sakām, ka (y ) ir funkcija (x ) vai (y = f (x) ), kad funkcijas nosaukums ir (f ). Funkcijas grafiks ir visu punktu ((x, y) ) kopa plaknē, kas atbilst vienādojumam (y = f (x) ). Ja funkcija ir definēta tikai dažām ievades vērtībām, tad funkcijas grafiks ir tikai daži punkti, kur katra punkta x koordināta ir ievades vērtība un katra punkta y koordināta ir atbilstošā izejas vērtība. Piemēram, diagrammas melnie punkti attēlā ( PageIndex {10} ) norāda, ka (f (0) = 2 ) un (f (6) = 1 ). Tomēr visu punktu ((x, y) ) kopa, kas apmierina (y = f (x) ), ir līkne. Parādītā līkne ietver ((0,2) ) un ((6,1) ), jo līkne iet caur šiem punktiem

Vertikālās līnijas testu var izmantot, lai noteiktu, vai grafiks attēlo funkciju. Ja mēs varam uzzīmēt jebkuru vertikālu līniju, kas krustojas ar diagrammu vairāk nekā vienu reizi, tad diagrammā nav noteikta funkcija, jo funkcijai katrai ievades vērtībai ir tikai viena izvades vērtība. Skatīt attēlu ( PageIndex {11} ).

Howto: ņemot vērā grafiku, izmantojiet vertikālās līnijas testu, lai noteiktu, vai grafiks attēlo funkciju

  1. Pārbaudiet diagrammu, lai redzētu, vai kāda novilkta vertikāla līnija krustotos ar līkni vairāk nekā vienu reizi.
  2. Ja ir kāda šāda līnija, nosakiet, ka diagramma neatspoguļo funkciju.

Piemērs ( PageIndex {12} ): Vertikālās līnijas testa piemērošana

Kurš no diagrammas attēlā ( PageIndex {12} ) attēlo funkciju (y = f (x) )?

Risinājums

Ja kāda vertikāla līnija krustojas ar grafiku vairāk nekā vienu reizi, attiecība, ko attēlo grafiks, nav funkcija. Ievērojiet, ka jebkura vertikālā līnija šķērsotu tikai vienu punktu no diviem grafikiem, kas parādīti ( PageIndex {12} ). A) un b) daļā. No tā mēs varam secināt, ka šie divi grafiki attēlo funkcijas. Trešais grafiks neatspoguļo funkciju, jo maksimāli x vērtības vertikālā līnija krustojas ar diagrammu vairāk nekā vienā punktā, kā parādīts attēlā ( PageIndex {13} ).

Vingrinājums ( PageIndex {12} )

Vai diagramma attēlā ( PageIndex {14} ) attēlo funkciju?

Atbilde

Izmantojot horizontālās līnijas testu

Kad esam noteikuši, ka grafiks nosaka funkciju, vienkāršs veids, kā noteikt, vai tā ir funkcija viens pret vienu, ir izmantot horizontālās līnijas tests. Caur diagrammu uzzīmējiet horizontālas līnijas. Ja kāda horizontāla līnija šķērso diagrammu vairāk nekā vienu reizi, tad diagramma neatspoguļo funkciju viens pret vienu.

Howto: ņemot vērā funkcijas grafiku, izmantojiet horizontālās līnijas testu, lai noteiktu, vai diagramma atspoguļo funkciju viens pret vienu

  1. Pārbaudiet diagrammu, lai redzētu, vai kāda novilkta horizontāla līnija krustojas ar līkni vairāk nekā vienu reizi.
  2. Ja ir kāda šāda līnija, nosakiet, ka funkcija nav viens pret vienu.

Piemērs ( PageIndex {13} ): Horizontālās līnijas testa piemērošana

Apsveriet funkcijas, kas parādītas attēlā ( PageIndex {12a} ) un Figūrā ( PageIndex {12b} ). Vai kāda no funkcijām ir viena pret vienu?

Risinājums

Funkcija attēlā ( PageIndex {12a} ) nav viens pret vienu. Horizontālā līnija, kas parādīta attēlā ( PageIndex {15} ), krustojas ar funkcijas grafiku divos punktos (un mēs pat varam atrast horizontālas līnijas, kas to krusto trīs punktos.)

Funkcija attēlā ( PageIndex {12b} ) ir viens pret vienu. Jebkura horizontāla līnija krustojas pa diagonālo līniju ne vairāk kā vienu reizi.

Vingrinājums ( PageIndex {13} )

Vai attēlā ( PageIndex {13} ) redzamais grafiks ir viens pret vienu?

Atbilde

Nē, jo tas neiztur horizontālās līnijas testu.

Šajā tekstā mēs izpētīsim funkcijas - to diagrammu formas, to unikālās īpašības, to algebriskās formulas un to, kā ar tām risināt problēmas. Mācoties lasīt, mēs sākam ar alfabētu. Mācoties veikt aritmētiku, mēs sākam ar skaitļiem. Strādājot ar funkcijām, tāpat ir noderīgi, ja ir pamatelementu kopums. Mēs tās saucam par mūsu “rīku komplekta funkcijām”, kas veido nosaukto pamatfunkciju kopumu, kurām zinām grafiku, formulu un īpašās īpašības. Dažas no šīm funkcijām ir ieprogrammētas atsevišķām pogām uz daudziem kalkulatoriem. Šīm definīcijām mēs izmantosim x kā ievades mainīgo un (y = f (x) ) kā izejas mainīgo.

Šīs rīkkopas funkcijas, rīkkopa funkciju kombinācijas, to diagrammas un to pārveidojumus mēs bieži redzēsim visā šajā grāmatā. Tas būs ļoti noderīgi, ja mēs ātri atpazīsim šīs rīkkopa funkcijas un to funkcijas pēc nosaukuma, formulas, diagrammas un tabulas pamata īpašībām. Grafiki un tabulas vērtību paraugi ir iekļauti katrā funkcijā, kas parādīta tabulā ( PageIndex {14} ).

Table ( PageIndex {14} ): rīkkopa funkcijas
NosaukumsFunkcijaGrafiks
Pastāvīgs (f (x) = c ), kur (c ) ir konstante
Identitāte (f (x) = x )
Absolūtā vērtība (f (x) = | x | )
Kvadrātisks (f (x) = x ^ 2 )
Kubiskais (f (x) = x ^ 3 )
abpusējs (f (x) = dfrac {1} {x} )
Abpusējs kvadrāts (f (x) = dfrac {1} {x ^ 2} )
Kvadrātsakne (f (x) = sqrt {x} )
Kubu sakne (f (x) = sqrt [3] {x} )

Galvenie vienādojumi

  • Pastāvīga funkcija (f (x) = c ), kur (c ) ir konstante
  • Identitātes funkcija (f (x) = x )
  • Absolūtās vērtības funkcija (f (x) = | x | )
  • Kvadrātiskā funkcija (f (x) = x ^ 2 )
  • Kubiskā funkcija (f (x) = x ^ 3 )
  • Savstarpēja funkcija (f (x) = dfrac {1} {x} )
  • Abpusēja kvadrāta funkcija (f (x) = frac {1} {x ^ 2} )
  • Kvadrātsaknes funkcija (f (x) = sqrt {x} )
  • Kuba saknes funkcija (f (x) = 3 sqrt {x} )

Galvenie jēdzieni

  • Relācija ir sakārtotu pāru kopums. Funkcija ir īpašs attiecību veids, kurā katra domēna vērtība vai ievade noved pie tieši viena diapazona vērtības vai izejas. Skatīt piemēru un piemēru.
  • Funkciju apzīmējums ir stenogrāfijas metode, lai ievadi saistītu ar izvadi formā y = f (x). Skatīt piemēru un piemēru.
  • Tabulas veidā funkciju var attēlot ar rindām vai kolonnām, kas attiecas uz ievades un izvades vērtībām. Skatīt piemēru.
  • Lai novērtētu funkciju, mēs nosakām atbilstošās ievades vērtības izejas vērtību. Funkcijas algebriskās formas var novērtēt, aizstājot ievades mainīgo ar noteiktu vērtību. Skatīt piemēru un piemēru.
  • Lai atrisinātu konkrētas funkcijas vērtību, mēs nosakām ievades vērtības, kas dod konkrētu izvades vērtību. Skatīt piemēru.
  • Funkcijas algebrisko formu var uzrakstīt no vienādojuma. Skatīt piemēru un piemēru.
  • Funkcijas ievades un izvades vērtības var noteikt no tabulas. Skatīt piemēru.
  • Ievades vērtību saistīšana ar izejas vērtībām diagrammā ir vēl viens veids, kā novērtēt funkciju. Skatīt piemēru.
  • Funkcija ir viens pret vienu, ja katra izvades vērtība atbilst tikai vienai ievades vērtībai. Skatīt piemēru.
  • Grafiks attēlo funkciju, ja kāda uz diagrammas uzzīmēta vertikāla līnija krustojas ar diagrammu ne vairāk kā vienā punktā. Skatīt piemēru.
  • Funkcijas viens pret vienu grafiks iztur horizontālās līnijas testu. Skatīt piemēru.

Vārdnīca

atkarīgais mainīgais
izejas mainīgais

domēns
visu iespējamo relācijas ievades vērtību kopa

funkciju
relācija, kurā katra ievadītā vērtība dod unikālu izejas vērtību

horizontālās līnijas tests
metode, kā pārbaudīt, vai funkcija ir viens pret vienu, nosakot, vai kāda horizontāla līnija krustojas ar diagrammu vairāk nekā vienu reizi

neatkarīgais mainīgais
ievades mainīgais

ievade
katrs domēna objekts vai vērtība, kas saistīts ar citu objektu vai vērtību ar attiecībām, kas pazīstamas kā funkcija

funkcija viens pret vienu
funkcija, kurai katra izvades vērtība ir saistīta ar unikālu ievades vērtību

izeja
katrs objekts vai vērtība diapazonā, kas tiek iegūts, ievadot vērtību funkcijā

diapazons
izejas vērtību kopa, kas izriet no ievades vērtībām attiecībās

saistība
pasūtītu pāru komplekts

vertikālās līnijas tests
metode, kā pārbaudīt, vai grafiks attēlo funkciju, nosakot, vai vertikāla līnija krustojas ar grafiku ne vairāk kā vienu reizi


Funkciju apzīmējumu formula un vienādojums

Jebkura funkcijas apzīmējuma formula vai vienādojums sākas ar simbolu ƒ (x). Funkciju apzīmējums atrod y vērtību noteiktai operācijai uz x.

Algebriskajās funkcijās vērtība ƒ (x) = y. Piemēram, funkcija ƒ (x) = 2x + 5 ir tāda pati kā vienādojums y = 2x + 5.

Funkciju apzīmējumu viktorīna

Instrukcijas: Izmēģiniet zemāk esošo viktorīnu, izmantojot funkciju apzīmējumus. Varat arī apskatīt piemērus lapas otrajā daļā.

Viktorīna-kopsavilkums

0 no 5 jautājumiem izpildīti

Informācija

Jūs jau esat pabeidzis viktorīnu iepriekš.Tādējādi jūs to nevarat sākt no jauna.

Lai sāktu viktorīnu, jums jāpiesakās vai jāreģistrējas.

Jums ir jāpabeidz šī viktorīna, lai sāktu šo viktorīnu:

Rezultāti

0 no 5 jautājumiem atbildēja pareizi

Jūs esat sasniedzis 0 no 0 punktiem, (0)

Kategorijas

1. Jautājums

f(x) = 2x + 3
Atrodiet vērtību f(5).

f(x) = 2x + 3
Atrodiet vērtību f(5).
f(5) = 2x + 3
= (2 × 5) + 3
= 10 + 3
= 13

f(x) = 2x + 3
Atrodiet vērtību f(5).
f(5) = 2x + 3
= (2 × 5) + 3
= 10 + 3
= 13

2. Jautājums

f(x) = x 2 + 5
Novērtējiet funkciju f(–3).

f(x) = x 2 + 5
Novērtējiet funkciju f(–3).
f(x) = x 2 + 5
= –3 2 + 5
= 9 + 5
= 14

f(x) = x 2 + 5
Novērtējiet funkciju f(–3).
f(x) = x 2 + 5
= –3 2 + 5
= 9 + 5
= 14

3. Jautājums

f(x) = (x - 3) (x + 4)
Atrodiet vērtību f(2).

4. Jautājums

f(x) = 3x 2 + 2x
Kāda ir 2 algebriskā izteiksmef(x - 1)?

f(x) = 3x 2 + 2x
Kāda ir 2 algebriskā izteiksmef(x - 1)?
1. darbība un # 8211 aizstājiet x - 1 x.
f(x) = 3x 2 + 2x
2f(x - 1) = 2 × <[3 × (x - 1) (x - 1)] + 2 (x - 1)>
= 2 × <[3 × (x 2 - 2x + 1)] + 2x - 2>
= 2 × <(3x 2 - 6x + 3) + 2x - 2>
2. darbība un # 8211. Pēc tam grupējiet līdzīgus terminus un vienkāršojiet tos.
2 × <(3x 2 - 6x + 3) + 2x - 2>
= 2 × (3x 2 - 6x + 3 + 2x - 2)
= 2 × (3x 2 - 6x + 2x + 3 - 2)
= 2 × (3x 2 - 4x + 1)
3. solis & # 8211 Atrisiniet, reizinot visu rezultātu laiku 2.
2 × (3x 2 - 4x + 1)
= (2 × 3x 2) + (2 × –4x) + (2 × 1)
= 6x 2 - 8x + 2

f(x) = 3x 2 + 2x
Kāda ir 2 algebriskā izteiksmef(x - 1)?
1. darbība un # 8211 aizstājiet x - 1 x.
f(x) = 3x 2 + 2x
2f(x - 1) = 2 × <[3 × (x - 1) (x - 1)] + 2 (x - 1)>
= 2 × <[3 × (x 2 - 2x + 1)] + 2x - 2>
= 2 × <(3x 2 - 6x + 3) + 2x - 2>
2. darbība un # 8211. Pēc tam grupējiet līdzīgus terminus un vienkāršojiet tos.
2 × <(3x 2 - 6x + 3) + 2x - 2>
= 2 × (3x 2 - 6x + 3 + 2x - 2)
= 2 × (3x 2 - 6x + 2x + 3 - 2)
= 2 × (3x 2 - 4x + 1)
3. solis & # 8211 Atrisiniet, reizinot visu rezultātu laiku 2.
2 × (3x 2 - 4x + 1)
= (2 × 3x 2) + (2 × –4x) + (2 × 1)
= 6x 2 - 8x + 2


2.2. Ērts apzīmējums (15 minūtes)

Aktivitāte

Šajā aktivitātē studenti uzzina, ka funkciju apzīmējumus var izmantot kā ērtu stenogrammu saziņai par funkcijām un īpašām funkcijas daļām vai pazīmēm. Viņi interpretē šajā pierakstā rakstītos apgalvojumus un izmanto apzīmējumus, lai atsauktos uz punktiem grafikā vai attēlotu vienkāršus verbālos apgalvojumus par funkciju.

Uzsākt

Paskaidrojiet studentiem, ka viens veids, kā precīzi un bez aprakstošiem aprakstiem runāt par funkcijām, ir funkciju nosaukšana un lietošana funkciju apzīmējums.

  • Pieņemsim, ka katrai funkcijai piešķiram nosaukumu, kas attiecas uz suņa attālumu no amata un laiku, kopš suņa īpašnieks aizgāja: 1. dienai funkcija (f ), 2. dienai funkcija (g ), funkcija (h ) katrai funkcijai ievadiet laiku sekundēs, (t ).
  • Lai attēlotu “suņa attālumu no staba 60 sekundes pēc īpašnieka aiziešanas”, mēs varam vienkārši uzrakstīt: (f (60) ). Lai izteiktu to pašu daudzumu otrajai un trešajai dienai, mēs varam rakstīt (g (60) ) un (h (60) ).

Palūdziet studentiem atsaukties uz trim iesildīšanās grafikiem, lai atbildētu uz jautājumiem.

Nosauksim funkcijas, kas attiecas uz suņa attālumu no amata un laiku, kopš saimnieks aizgāja: 1. dienai funkcija (f ), 2. dienai funkcija (g ), 3. dienai funkcija (h ). Katras funkcijas ievadīšana ir laiks sekundēs, (t ).

    Izmantojiet funkciju apzīmējumu, lai aizpildītu tabulu.
    diena 12. diena3. diena
    a. attālums no amata 60 sekundes pēc īpašnieka aiziešanas
    b. attālums no amata, kad īpašnieks aizgāja
    c. attālums no amata 150 sekundes pēc īpašnieka aiziešanas

Aprakstiet, ko katrs izteiciens pārstāv šajā kontekstā:

Vienādojumu (g (120) = 4 ) var interpretēt šādi: "2. dienā, 120 sekundes pēc suņa īpašnieka aiziešanas, suns atradās 4 pēdu attālumā no staba."

Ko šajā situācijā nozīmē katrs vienādojums?

Studentu atbilde

Skolotāji ar derīgu darba e-pasta adresi var noklikšķināt šeit, lai reģistrētos vai pierakstītos, lai bez maksas piekļūtu studentu atbildēm.

Paredzētie nepareizie priekšstati

Studenti var ignorēt funkcijas nosaukumu un apmeklēt tikai ievades vērtību. Piemēram, viņi var teikt: " (f (60) ) nozīmē, ka ir pagājušas 60 sekundes." Paskaidrojiet, ka ievades vērtība 60 vai (t = 60 ) apzīmē, ka ir pagājušas 60 sekundes, bet izteiksme (f (60) ) apzīmē izeja vērtība funkcijas. Šajā gadījumā tas nozīmē suņa attālumu no staba 1. dienā 60 sekundes pēc tā īpašnieka aiziešanas.

Aktivitātes sintēze

Aiciniet studentus dalīties savās atbildēs. Kad studenti sāk dalīties, viņi var nezināt, kā izteikt apzīmējumu mutiski. Paskaidrojiet, ka izteiksme (f (60) ) ir " (f ) no 60", (g (150) ) tiek lasīta " (g ) no 150" un (h (t ) ) ir " (h ) no (t )."

Lai pārliecinātos, ka studenti redz šī jaunā apzīmējuma struktūru, apsveriet iespēju to parādīt un anotēt katru daļu, kā parādīts šeit.

Izvērst attēlu


MathHelp.com

Iepriekš minētais piemērs ir diezgan bezjēdzīgs, es jums piešķiršu, bet tas skaidri parāda, kā darbojas apzīmējums. Jūs pievienojat doto vērtību mainīgajam un pievēršaties atbildei. Tādēļ šos vingrinājumus bieži dēvē par "plug-n-chug". Jūsu labākais ir mēģināt viņus nepārdomāt.

Tādējādi mēs nonākam pie mūsu nākamās tēmas: funkciju novērtēšana mainīgajās izteiksmēs.

Dots g(x) = 4 & ndash x , novērtēt plkst x = t.

Lai novērtētu šo funkciju vietnē x = t, man būs jāpievieno t katrai x funkcijas formulā g .

Es neko vairāk nevaru darīt, un es nevaru atrast pilnībā skaitlisku vērtību, jo man nav numura, kuru varētu pievienot t . Tāpēc mana atbilde ir:

Atsaucoties uz f (x) = 3x 2 + 2x , atrodiet f (h) .

Visur, kur manai formulai ir & quot x & quot, es tagad pievienoju & quot h & quot. Es sāku ar formulu, ko viņi man deva:

Ja es vēlos būt nepārprotami skaidrs, es varu sākt ar formulas rakstīšanu vēlreiz, šoreiz ar tukšām vietām, kur sākotnējā mainīgā vietā ievietošu jauno argumentu:

Tagad es aizpildīšu šīs tukšās vietas ar jauno argumentu:

Es neko nevaru vienkāršot, izņemot papildu iekavu noņemšanu. Tāpēc mana atbilde ir:

Ne katrā vingrinājumā "novērtēt mainīgā izteiksmē" netiks iesaistīti tikai mainīgie. Mainīgā izteiksme var saturēt arī skaitļus.

Priekš h(w) = w 2 & ndash 3, atrodiet h(2d + 1) .

Katram mainīgā gadījumam w , Man būs jāpievieno izteiksme 2d + 1. Es izmantos iekavas, lai nākamajam solim būtu skaidrs.

Nākamais man ir jāreizina kvadrāta binoms un pēc tam jāvienkāršo:

Esmu vienkāršojis, cik vien varu. Mana atbilde ir:

Ievērojiet, ka, veicot kvadrātu pusi no sava darba augšpusē, es neignorēju (un pēc tam varbūt aizmirsu) "mīnus trīs", kas bija līdzi braucienam. Jebkurā veidā, kā jūs darāt savu darbu, pārliecinieties, ka to darāt, lai jūs nebūtu tik aizņemts ar vienu vingrinājuma daļu, ka jums draud pazaudēt pārējās daļas.

Atsaucoties uz f (x) = 3x 2 + 2x , atrodiet f (x + h) .

Šis jūtas nepareizi, jo prasa, lai es pieslēdzu kaut ko tādu ietver x oriģinālam x . Bet šis novērtējums darbojas tieši tāpat kā visi pārējie, proti, visur, kur sākotnējai formulai ir & quot x & quot, tagad es pievienošu & quot x + h & quot.

Ja neesat pārliecināts, kā es dabūju iekavās esošās lietas (kopu, caur kuru 3 tika pavairotas), tad vēlēsities pārskatīt, kā vienkāršot ar iekavām un kā veikt polinomu reizināšanu.

Atsaucoties uz f (x) = 3x 2 + 2x , atrodiet f (x + h) & ndash f (x).

Man nevajadzētu mēģināt to darīt visu uzreiz. Tā vietā es to sadalīšu mazākos, vieglāk pārvaldāmos gabalos.

(Es arī atzīmēju, ka šim vingrinājumam tiek izmantota tā pati funkcija kā iepriekšējam vingrinājumam, un arī viens no aizstājējiem ir tāds pats. Tāpēc es mazliet pievilšu un kopēšu šī vingrinājuma rezultātu f (x + h) .)

Šī funkciju atšķirība ir sākotnējā funkcija, kas atņemta no iepriekšējā vingrinājuma rezultāta, tātad:

Ievērojiet iepriekš minēto rezultātu f (x + h) & ndash f (x) nav vienāds f (x + h & ndash x) = f (h). Šādā veidā jūs nevarat & quotimplificēt & citēt dažādu funkciju argumentus. Funkciju saskaitīšana vai atņemšana ir tas pats, kas funkciju argumentu saskaitīšana vai atņemšana. Atkal, iekavas funkcijas apzīmējumos dara norāda reizināšanu.

Atsaucoties uz f (x) = 3x 2 + 2x , atrodiet.

(Šāda veida funkcionālā izteiksme tiek saukta par "starpības koeficientu", un patiesībā to atkal redzēsiet aprēķinos. Es domāju, ka šāda veida vingrinājumi algebrā aug tik bieži, ka viņi mēģina jūs "sagatavot".

(Bet, godīgi sakot, nav tā, ka kāds tos atcerētos, kad viņi nonāk pie aprēķina, tāpēc, manuprāt, tas patiešām ir daudz darba bez reāla mērķa. Tomēr šāda veida problēmas ir diezgan populāras, tāpēc jums vajadzētu sagaida, ka būs jāzina, kā to izdarīt, un nākamajā testā vajadzētu to redzēt.)

Mana labākā rīcība ir sadalīt to gabalos. Noderīgi ir tas, ka iepriekšējie divi vingrinājumi man jau lika izpildīt pirmos divus darbus, uzstādot mani ar galīgo izteicienu f (x + h) & ndash f(x). Viss, kas man šeit patiešām ir jādara, ir galīgais dalījums. Mans darbs izskatās šādi:

Strādājot ar sarežģītiem vingrinājumiem, piemēram, iepriekšējo piemēru, izmantojiet piesardzību un vispirms sadaliet vingrinājumus mazākos, vienkāršākos soļos, kas parādīti pēdējos trīs iepriekšminētajos vingrinājumos, lai jūs varētu veiksmīgi izpildīt šīs problēmas. Nav tā, ka tie patiešām ir & quothard & quot; tik daudz, ka ir & quot; ļoti tendēti uz dumju kļūdu & quot; pieļaušanu. Palīdziet sev, uzņemot to lēni un veicot vienu mazu gabalu vienlaikus.

Lai praktizētu funkciju novērtēšanu mainīgajās izteiksmēs, varat izmantot zemāk esošo Mathway logrīku. Izmēģiniet ievadīto vingrinājumu vai ierakstiet pats. Pēc tam noklikšķiniet uz pogas un atlasiet “Novērtēt”, lai salīdzinātu savu atbildi ar Matveja atbildi.

(Noklikšķiniet uz & quot; Pieskarieties, lai skatītu darbības & quot; jāveic tieši Mathway vietnē, lai veiktu apmaksātu jaunināšanu.)


Izmantojiet funkciju apzīmējumus, novērtējiet funkcijas ievadei to domēnos un interpretējiet paziņojumus, kas izmanto funkciju apzīmējumus konteksta izteiksmē.

Vārdu problēmas ir lielisks veids, kā redzēt matemātiku darbībā! Šī vārdu problēma attiecas uz peļņas aprēķināšanu pēc noteikta gadu skaita. Uzziniet, kā atrisināt vārdu funkcijas funkciju!

Kā atrast f (x), ja jums ir vērtība x?

Lai atrisinātu noteiktas vērtības funkciju, pievienojiet šo vērtību funkcijai un vienkāršojiet. Skatiet šo tiešo, skatoties šo apmācību!

Kas ir funkciju apzīmējums?

Katrs redz matemātikā 'f (x)'? Tas ir funkciju apzīmējums! Tas ir veids, kā norādīt, ka vienādojums ir funkcija. Uzziniet par funkciju apzīmējumiem, skatoties šo apmācību.

Kā atrast f (x), kad x vērtība satur citus mainīgos?

Kad jūs novērtējat funkciju, jums parasti tiek piešķirts numurs, lai pievienotu mainīgo, bet kas notiek, ja pievienojamā izteiksme satur citus mainīgos? Uzziniet, kā iespraust izteiksmi ar mainīgajiem funkcijā! Šī apmācība jums parādīs!


MathHelp.com

Kāpēc jūsu skolotāji pārslēdzās no lodziņiem uz mainīgajiem? Padomājiet par to: cik formu jums būtu jāizmanto tādām formulām kā apgabalā A no trapeces ar augšējo pamatni a , apakšējā pamatne b , un augstums h ? Formula ir šāda:

Ja jūs mēģināt izteikt iepriekš minēto vai kaut ko sarežģītāku, izmantojot dažādas formas kastes, jums ātri pietrūkst formu. Turklāt no pieredzes jūs zināt, ka & quot A & quot nozīmē & quotarea & quot, & quot h & quot nozīmē & quotheight & quot, un & quot a & quot un & quot b & quot apzīmē paralēlo augšējo un apakšējo malu garumus. Debesis zina tikai to, ko varētu apzīmēt kvadrātveida vai trīsstūrveida lodziņš!

Citiem vārdiem sakot, viņi pārslēdzās no lodziņiem uz mainīgajiem, jo, lai gan rūtiņas un burti nozīmē tieši to pašu (proti, slotu, kas gaida aizpildīšanu ar vērtību), mainīgie ir labāki. Mainīgie ir elastīgāki, vieglāk lasāmi un var sniegt vairāk informācijas.

Tas pats attiecas uz & quot y & quot un & quot f (x) & quot (izrunā kā & quot-ex-eks & quot). Funkcijām divi apzīmējumi nozīmē tieši to pašu, bet & quot f (x) & quot sniedz lielāku elastību un vairāk informācijas. Jūs mēdzāt teikt & quot y = 2x + 3 atrisināt y kad x = & ndash1 & quot. Tagad jūs sakāt & quot f (x) = 2x + 3 atrast f (& ndash1) & quot (izrunā kā & quot f -no x ir vienāds ar 2x plus trīs atradumi f -negatīvs-viens & quot). Jebkurā apzīmējumā jūs darāt tieši to pašu: jūs pievienojat & ndash1 x , reiziniet ar 2 un pēc tam pievienojiet 3, vienkāršojot, lai iegūtu galīgo vērtību +1.

Bet funkciju apzīmējumi dod jums lielāku elastību nekā vienkārši & quot y & quot par katru formulu. Piemēram, jūsu grafiku kalkulatorā tiks uzskaitītas dažādas funkcijas kā y1, y2 utt., Lai jūs varētu atšķirt vienādojumus, ja, teiksim, skatāt to vērtības tabulā.

Tādā pašā veidā mācību grāmatās un rakstot lietas, mēs izmantojam dažādus funkciju nosaukumus, piemēram, f (x), g(x), h(x), s(t) utt., lai izsekotu un strādātu ar vairāk nekā vienu formulu vienā kontekstā. Izmantojot funkciju apzīmējumu, tagad mēs varam vienlaikus izmantot vairāk nekā vienu funkciju, nejaucot sevi vai sajaucot formulas, atstājot sev jautājumu "Labi, kas" y "ir šo viens? & quot; Un apzīmējums var būt noderīgs skaidrojums.

Pēc ģeometrijas jūs zināt, ka & quot A(r) = & pir 2 & quot norāda norādītā apļa laukumu rādiusa vērtības izteiksmē r , savukārt & quot C(r) = 2 & pir & quot norāda norādīto apkārtmēru rādiusa izteiksmē r . Abām funkcijām ir viens un tas pats spraudņa mainīgais (& quot r & quot), bet & quot A & quot atgādina, ka pirmā funkcija ir formula & quotarea & quot un & quot C & quot atgādina, ka otrā funkcija ir & quotcircumference & quot formula.

Atcerieties: apzīmējums & quot f (x) & quot ir tieši tas pats, kas & quot y & quot. Jūs pat varat marķēt y -taksis jūsu diagrammās ar & quot f (x) & quot, ja vēlaties.

Ļaujiet man precizēt vēl vienu jautājumu. Lai gan iekavas līdz šim vienmēr ir norādījušas reizināšanu, tas nav gadījumā ar funkciju apzīmējumiem. Pretēji visai iepriekšējai pieredzei, iekavās funkciju apzīmējums ir norāda reizināšanu.

Izteiciens & quot f (x) & quot nozīmē & kvotas formulu ar nosaukumu f , ir x kā tā ievades mainīgais & quot. Tā dara vidēji & daudzkārt f un x & quot!

Neapkaunojiet sevi, izrunājot (vai domājot) & quot f (x) & quot kā & quot f reizes x & quot, un nekad mēģiniet & quot; reizināt & quot; funkcijas nosaukumu ar iekavām ievadīto tekstu.

Funkciju apzīmējumā & quot x & quot in & quot f (x) & quot sauc par funkcijas & quot argumentu & quot; vai vienkārši & quot argumentu & quot. Tātad, ja viņi jums dod izteicienu & quot f (2) & quot un lūdziet & quotargument & quot, atbilde ir tikai & quot 2 & quot.

Malā: Kāpēc ievadi sauc par & quotargument & quot? Terminam & quotargument & quot ir ilga vēsture. Sākotnēji tas bija loģisks termins, kas atsaucās uz paziņojumu, kas nosūtīja pierādījumu vai, mazāk formālā nozīmē, apgalvojumu, kas tika izmantots, lai mēģinātu kādu pārliecināt par kaut ko. Galu galā šis termins agrīnā zinātniskā kontekstā attiecās uz jebkuru matemātisko vērtību, kas bija nepieciešama kā ievads citiem aprēķiniem, vai jebkuru vērtību, no kuras bija atkarīgi vēlākie rezultāti.

Divdesmitajā gadsimtā, kad datoru kodēšana sāka kļūt par lietu, kodētāji izmantoja matemātisko nozīmi, lai atsauktos uz viņu kodēšanas ievadiem. Mūsu matemātiskajā kontekstā & quotargument & quot ir neatkarīgais mainīgais (tas, kuram izvēlaties vērtību, parasti ir x -value) un funkcijas izvade ir atkarīgais mainīgais (tas, kura vērtība ir atkarīga no tā, kas tika pievienots, parasti ir y -vērtība).

Dots h(s), kāds ir funkcijas nosaukums un kāds ir arguments?

Vispirms es izdarīšu otro daļu. Arguments ir viss, kas atrodas iekavās, tāpēc šeit ir arguments s .

Funkcijas nosaukums ir mainīgais, kas atrodas pirms iekavām. Šajā gadījumā funkcijas nosaukums ir h .

Kāds ir arguments f (y) ?

Arguments ir neatkarīgi no tā, kas ir pievienots. Šajā konkrētajā (neparastajā) gadījumā pievienojamais mainīgais ir & quot y & quot. (Galu galā nav noteikumu, kas to teiktu y nevar būt neatkarīgais mainīgais.) Tātad:

Dots g(t) = t 2 + t , kāds ir funkcijas nosaukums? In g(& ndash1), kāds ir arguments?

Funkcijas nosaukums ir tas, kas atrodas pirms iekavām, tāpēc šeit ir funkcijas nosaukums g .

Jautājuma otrajā daļā viņi man prasa argumentu. Pirmajā daļā, kur viņi man deva funkcijas nosaukumu un argumentu (ir & quot g(t) & quot daļa) un formulu (kas ir & quot t 2 + t & quot daļa), arguments bija t . Bet otrajā daļā viņi ir pievienojuši noteiktu vērtību vietnei t . Tātad otrajā daļā arguments ir skaitlis & ndash1.


22 Funkcijas un funkciju apzīmējumi

Reaktīvais laineris maina augstumu, palielinoties tā attālumam no lidojuma sākuma punkta. Pieaugoša bērna svars ar laiku palielinās. Katrā gadījumā viens daudzums ir atkarīgs no cita. Starp abiem lielumiem ir saistība, ko mēs varam aprakstīt, analizēt un izmantot, lai veiktu prognozes. Šajā sadaļā mēs analizēsim šādas attiecības.

Nosakot, vai relācija pārstāv funkciju

Relācija ir sakārtotu pāru kopums. Komplektu, kas sastāv no katra pasūtītā pāra pirmajām sastāvdaļām, sauc par domēns un kopu, kas sastāv no katra pasūtītā pāra otrajām sastāvdaļām, sauc par diapazons. Apsveriet šādu pasūtīto pāru kopu. Pirmie skaitļi katrā pārī ir pirmie pieci dabiskie skaitļi. Katra pāra otrais numurs ir divreiz lielāks nekā pirmais.

Domēns ir Diapazons ir

Ņemiet vērā, ka katra domēna vērtība ir pazīstama arī kā ievade vērtība vai neatkarīgs mainīgais, un to bieži apzīmē ar mazo burtuKatru diapazona vērtību sauc arī par izeja vērtība vai atkarīgs mainīgais, un to bieži apzīmē ar mazo burtu

Funkcijair relācija, kas katram domēna elementam piešķir vienu diapazona elementu. Citiem vārdiem sakot, nē x-vērtības tiek atkārtotas. Mūsu piemērā, kas pirmos piecus dabiskos skaitļus saista ar skaitļiem, kas dubulto to vērtības, šī saistība ir funkcija, jo katrs domēna elements, ir savienots pārī ar precīzi vienu diapazona elementu,

Tagad aplūkosim sakārtoto pāru kopu, kas terminus “pāra” un “nepāra” attiecina uz pirmajiem pieciem dabiskajiem skaitļiem. Tas parādīsies kā

Ievērojiet, ka katrs domēna elements, ir pārī ar precīzi vienu diapazona elementu, Piemēram, termins “nepāra” atbilst trim domēna vērtībām, un termins “pat” atbilst divām vērtībām no diapazona, Tas pārkāpj funkcijas definīciju, tāpēc šī saistība nav funkcija.

(Attēls) salīdzina attiecības, kas ir funkcijas, nevis funkcijas.

(a) Šī saistība ir funkcija, jo katra ieeja ir saistīta ar vienu izeju. Ievērojiet šo ievadiunabi dod izvadib) Šīs attiecības ir arī funkcija. Šajā gadījumā katra ieeja ir saistīta ar vienu izeju. (c) Šīs attiecības nav funkcija, jo ievadeir saistīts ar diviem dažādiem izvadiem.

Funkcija ir relācija, kurā katra iespējamā ievades vērtība noved pie precīzi vienas izejas vērtības. Mēs sakām: “izvade ir ieejas funkcija”.

Ievades vērtības veido domēnu, un izvades vērtības veido diapazonu.

Ņemot vērā sakarību starp diviem lielumiem, nosakiet, vai attiecība ir funkcija.

  1. Identificējiet ievades vērtības.
  2. Identificējiet izejas vērtības.
  3. Ja katra ievades vērtība noved pie tikai vienas izvades vērtības, klasificējiet saistību kā funkciju. Ja kāda ievades vērtība noved pie diviem vai vairāk izvadiem, neklasificējiet attiecības kā funkciju.

Kafejnīcas izvēlne, kas parādīta (attēlā), sastāv no priekšmetiem un to cenām.

  1. Sāksim, ņemot vērā ievadi kā vienumus izvēlnē. Tad izlaides vērtības ir cenas.

Katram izvēlnes vienumam ir tikai viena cena, tāpēc cena ir preces funkcija.

Tāpēc prece nav cenas funkcija.

Konkrētā matemātikas stundā kopējais vērtējuma procents atbilst vidējam vērtējuma punktam. Vai vidējais vērtējums ir procentuālās pakāpes funkcija? Vai procentuālais vērtējums ir atkarīgs no vidējā vērtējuma? (Attēls) parāda iespējamo kārtību, kā piešķirt pakāpes punktus.

Procentu pakāpe 0–56 57–61 62–66 67–71 72–77 78–86 87–91 92–100
Novērtējuma punktu vidējā vērtība 0.0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Par katru nopelnīto procentuālo procentu ir saistīts vidējais vērtējuma punkts, tāpēc vidējais vērtējums ir procentuālās pakāpes funkcija. Citiem vārdiem sakot, ja mēs ievadām procentuālo pakāpi, tad rezultāts ir noteikta vidējā līmeņa atzīme.

Norādītajā vērtēšanas sistēmā ir procentuālo diapazonu diapazons, kas atbilst tam pašam vērtējumu punktu vidējam rādītājam. Piemēram, studentiem, kuri saņem vidējo vērtējumu 3,0, varētu būt dažādas procentuālās atzīmes, sākot no 78 līdz 86. Tādējādi procentuālais vērtējums nav atkarīgs no vidējā vērtējuma.

(Attēls) 1 rangu secībā ir uzskaitīti pieci visu laiku lielākie beisbola spēlētāji.

a. jā b. Jā. (Piezīme: Ja divi spēlētāji būtu dalījušies, teiksim, par 4. vietu, tad nosaukums nebūtu bijusi ranga funkcija.)

Funkciju apzīmējuma izmantošana

Kad esam noteikuši, ka attiecības ir funkcija, mums jāparāda un jādefinē funkcionālās attiecības, lai mēs tās saprastu un izmantotu, un dažreiz arī lai tās varētu ieprogrammēt grafiku kalkulatoros un datoros. Ir dažādi funkciju atspoguļošanas veidi. Standarta funkciju apzīmējums ir viens attēlojums, kas atvieglo darbu ar funkcijām.

Lai attēlotu “augstums ir vecuma funkcija”, mēs vispirms identificējam aprakstošos mainīgos par augstumu un par vecumu. Vēstulesuntiek bieži izmantoti, lai attēlotu funkcijas tāpat kā mēs un attēlot ciparus un un attēlot kopas.

Atcerieties, ka mēs varam izmantot jebkuru burtu, lai funkciju nosauktu apzīmējumāto mums parādaatkarīgs noVērtībajāievieto funkcijālai iegūtu rezultātu. Iekavas norāda, ka vecums tiek ievadīts funkcijā, un tie nenorāda uz reizināšanu.

Kā funkcijas ievadi mēs varam dot arī algebrisko izteiksmi. Piemēramnozīmē “vispirms pievienot a un b, un rezultāts ir funkcijas ievade f. ” Darbības jāveic šādā secībā, lai iegūtu pareizu rezultātu.

Apzīmējumsdefinē funkciju ar nosaukumuTas tiek lasīts kāir funkcijaVēstuleapzīmē ievades vērtību vai neatkarīgu mainīgo. Vēstulevaiapzīmē izejas vērtību vai atkarīgo mainīgo.

Izmantojiet funkciju apzīmējumu, lai attēlotu funkciju, kuras ievade ir mēneša nosaukums, bet izvade ir mēnešu dienu skaits. Pieņemsim, ka domēnā nav iekļauti lēciena gadi.

Dienu skaits mēnesī ir mēneša nosaukuma funkcija, tāpēc, ja nosauksim funkciju mēs rakstām vai Mēneša nosaukums ir “noteikuma” ievade, kas ar katru ievadi saista noteiktu skaitli (izvadi).

Piemēram,jo martam ir 31 diena. Apzīmējumsatgādina mums, ka dienu skaits,(izlaide), ir atkarīgs no mēneša nosaukuma,(ievade).

Ņemiet vērā, ka funkcijas ievadiem nav jābūt skaitļiem. Funkcijas ievade var būt cilvēku vārdi, ģeometrisko objektu etiķetes vai jebkurš cits elements, kas nosaka kāda veida izvadi. Tomēr lielākajai daļai funkciju, ar kurām mēs strādāsim šajā grāmatā, būs skaitļi kā ieejas un izejas.

Funkcijanorāda policistu skaitu,gadā pilsētāKo darapārstāvēt?

Kad mēs lasāmmēs redzam, ka ievades gads ir 2005. Rezultāta vērtība, policistu skaitsir 300. Atcerieties,Paziņojumsstāsta mums, ka 2005. gadā pilsētā bija 300 policisti.

Izmantojiet funkciju apzīmējumu, lai izteiktu cūkas svaru mārciņās atkarībā no tā vecuma dienās

Tāda apzīmējuma vietā kāvai mēs varētu izmantot to pašu simbolu izvadam kā funkcijai, piemēram,nozīmē “ ir funkcija ?”

Jā, tas bieži tiek darīts, it īpaši lietišķajos priekšmetos, kas izmanto augstāko matemātiku, piemēram, fizikā un inženierzinātnēs. Tomēr, pētot pašu matemātiku, mēs vēlētos saglabāt atšķirību starp tādu funkciju kākas ir noteikums vai procedūra, un rezultātsmēs iegūstam, piesakotiesuz konkrētu ieguldījumuTāpēc mēs parasti izmantojam tādus apzīmējumus kāun tā tālāk.

Funkciju attēlošana, izmantojot tabulas

Bieža funkciju atspoguļošanas metode ir tabulas forma. Tabulu rindās vai kolonnās tiek rādītas atbilstošās ievades un izvades vērtības. Dažos gadījumos šīs vērtības atspoguļo visu, ko mēs zinām par attiecībām citreiz, tabulā ir sniegti daži atlasīti piemēri no pilnīgākām attiecībām.

(Attēlā) ir norādīts katra mēneša ievades numurs (janvāris = 1., februāris = 2. utt.) Un tā mēneša dienu skaita izejas vērtība. Šī informācija atspoguļo visu, ko mēs zinām par konkrētā gada mēnešiem un dienām (tas nav lēciena gads). Ņemiet vērā, ka šajā tabulā mēs definējam funkciju “dienas mēnesī”kurmēnešus identificē ar veselu skaitli, nevis pēc nosaukuma.

Mēneša numurs,(ievade) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Dienas mēnesī,(izeja) 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31

(Attēls) nosaka funkcijuAtcerieties, ka šis apzīmējums mums to sakair funkcijas nosaukums, kas izmanto ievadiun dod rezultātu

1 2 3 4 5
8 6 7 6 8

(Attēls) parāda bērnu vecumu gados un viņu atbilstošo augstumu. Šajā tabulā ir parādīti tikai daži no pieejamajiem datiem par bērnu augstumu un vecumu. Mēs uzreiz varam redzēt, ka šī tabula neatspoguļo funkciju, jo vienai un tai pašai ievades vērtībai - 5 gadiem - ir divas dažādas izvades vērtības - 40 collas un 42 collas.

Vecums gados,(ievade) 5 5 6 7 8 9 10
Augstums collās,(izeja) 40 42 44 47 50 52 54

Ņemot vērā ievades un izvades vērtību tabulu, nosakiet, vai tabula atspoguļo funkciju.

  1. Identificējiet ievades un izvades vērtības.
  2. Pārbaudiet, vai katra ievades vērtība ir savienota pārī tikai ar vienu izvades vērtību. Ja tā, tabula attēlo funkciju.

Kura tabula (attēls), (attēls) vai (attēls) attēlo funkciju (ja tāda ir)?

Ievade Rezultāts
2 1
5 3
8 6
Ievade Rezultāts
–3 5
0 1
4 5
Ievade Rezultāts
1 0
5 2
5 4

(Attēls) un (Attēls) nosaka funkcijas. Abās katrā ievades vērtība atbilst tieši vienai izvades vērtībai. (Attēls) nenosaka funkciju, jo ieejas vērtība 5 atbilst divām dažādām izvades vērtībām.

Ja tabula atspoguļo funkciju, atbilstošās ievades un izvades vērtības var norādīt arī, izmantojot funkciju apzīmējumu.

Funkciju, kuru attēlo (attēls), var attēlot, rakstot

pārstāv funkciju (attēls).

(Attēlu) nevar izteikt līdzīgi, jo tas neatspoguļo funkciju.

Vai (attēls) attēlo funkciju?

Ievade Rezultāts
1 10
2 100
3 1000

Funkcijas ievades un izvades vērtību atrašana

Kad mēs zinām ievades vērtību un vēlamies noteikt atbilstošo funkcijas izvades vērtību, mēs novērtēt funkciju. Novērtējot, vienmēr tiks iegūts viens rezultāts, jo katra funkcijas ievades vērtība atbilst tieši vienai izvades vērtībai.

Kad mēs zinām izejas vērtību un vēlamies noteikt ievades vērtības, kas radītu šo izvades vērtību, mēs iestatām izeju vienādu ar funkcijas formulu un atrisināt par ievadi. Risināšana var radīt vairākus risinājumus, jo dažādas ievades vērtības var radīt vienu un to pašu izejas vērtību.

Funkciju novērtēšana algebriskās formās

Kad mums ir funkcija formulas formā, funkcijas novērtēšana parasti ir vienkārša lieta. Piemēram, funkcijavar novērtēt, kvadrātu ievadot, reizinot ar 3 un pēc tam atņemot preci no 5.

Ņemot vērā funkcijas formulu, novērtējiet.

  1. Formulā ievadīto mainīgo aizstāj ar norādīto vērtību.
  2. Aprēķiniet rezultātu.

Novērtējietplkst

Nomainiet funkcijā ar katru norādīto vērtību.

    Tā kā ievades vērtība ir skaitlis 2, vienkāršošanai mēs varam izmantot vienkāršu algebru.

Tagad mēs apvienojam rezultātus un vienkāršojam.

Ņemot vērā funkcijunovērtēt

Novērtētievades mainīgajam aizstājam vērtību 4dotajā funkcijā.

Tāpēc 4 ieejai mums ir 24 izejas.

Ņemot vērā funkcijunovērtēt

Ņemot vērā funkcijuatrisināt par

Jaarīvai(vai arī abi ir vienādi ar 0). Mēs iestatīsim katru koeficientu vienādu ar 0 un atrisināsimkatrā gadījumā.

Tas mums dod divus risinājumus. Rezultātskad ievade ir vai nuvaiMēs varam arī pārbaudīt, izmantojot grafiku, kā parādīts (attēlā). Grafiks to pārbaudaun

Ņemot vērā funkcijuatrisināt

Formulās izteikto funkciju novērtēšana

Dažas funkcijas nosaka matemātiski likumi vai procedūras, kas izteiktas vienādojuma formā. Ja ir iespējams izteikt funkcijas izvadi ar formulu, kas ietver ievades daudzumu, tad funkciju varam definēt algebriskā formā. Piemēram, vienādojumsizsaka funkcionālas attiecības starp unMēs varam to pārrakstīt, lai izlemtu, vaiir funkcija

Dodot funkciju vienādojuma formā, uzrakstiet tās algebrisko formulu.

  1. Atrisiniet vienādojumu, lai izejas mainīgo izolētu vienādības zīmes vienā pusē, ar otru pusi kā izteiksmi, kas ietver tikai ievades mainīgais.
  2. Izmantojiet visas parastās algebriskās metodes vienādojumu risināšanai, piemēram, pievienojiet vai atņemiet to pašu lielumu abām pusēm vai no abām pusēm, vai reiziniet vai daliet abas vienādojuma puses ar tādu pašu daudzumu.

Izteikt attiecībaskā funkcijaja iespējams.

Lai izteiktu attiecības šādā formā, mums jāspēj rakstīt attiecības, kurir funkcijakas nozīmē to rakstīt kā

Tāpēckā funkcijair rakstīts kā

Vai vienādojumspārstāv funkciju arkā ievadi unkā izlaidi? Ja tā, izsakiet attiecības kā funkciju

Vispirms mēs atņemamno abām pusēm.

Mēs tagad cenšamies atrisinātšajā vienādojumā.

Mēs iegūstam divus izvadus, kas atbilst vienai un tai pašai ieejai, tāpēc šīs attiecības nevar attēlot kā vienu funkciju Ja grafiskā kalkulatorā mēs uzzīmēsim abas funkcijas, mēs iegūsim augšējos un apakšējos puslokus.

Jaizteiktkā funkcija

Vai ir vienādojuma izteiktas sakarības, kas pārstāv funkciju, bet kuras joprojām nevar attēlot ar algebrisko formulu?

Jā, tas var notikt. Piemēram, ņemot vērā vienādojumuja mēs vēlamies izteiktkā funkcijanav vienkāršas algebriskas formulas, kas ietvertu tikaitas ir vienādsTomēr katrsnosaka unikālu vērtībuun ir matemātiskas procedūras, ar kurāmvar atrast ar jebkuru vēlamo precizitāti. Šajā gadījumā mēs sakām, ka vienādojums dod netiešu (netiešu) likumukā funkcijakaut arī formulu nevar skaidri uzrakstīt.

Tabulas formā norādītās funkcijas novērtēšana

Kā mēs redzējām iepriekš, mēs varam attēlot funkcijas tabulās. Un otrādi, mēs varam izmantot informāciju tabulās, lai rakstītu funkcijas, un mēs varam novērtēt funkcijas, izmantojot tabulas. Piemēram, cik labi mūsu mājdzīvnieki atceras patīkamās atmiņas, ar kurām mēs viņiem dalāmies? Pastāv pilsētas leģenda, ka zelta zivtiņai atmiņā ir 3 sekundes, taču tas ir tikai mīts. Zelta zivtiņa var atcerēties līdz 3 mēnešiem, bet beta zivīm atmiņa ir līdz 5 mēnešiem. Un, kaut arī kucēna atmiņas ilgums nepārsniedz 30 sekundes, pieaugušais suns var atcerēties 5 minūtes. Tas ir niecīgi, salīdzinot ar kaķi, kura atmiņas ilgums ilgst 16 stundas.

Funkcija, kas mājdzīvnieka tipu saista ar tā atmiņas ilgumu, ir vieglāk vizualizējama, izmantojot tabulu. Skatīt (attēls). 2

Mājdzīvnieks Atmiņas ilgums stundās
Kucēns 0.008
Pieaugušais suns 0.083
Kaķis 16
Zelta zivtiņa 2160
Beta zivis 3600

Dažreiz funkcijas novērtēšana tabulas formā var būt noderīgāka nekā vienādojumu izmantošana. Šeit sauksim funkciju Funkcijas domēns ir lolojumdzīvnieku veids, un diapazons ir reāls skaitlis, kas norāda stundu skaitu, kad lolojumdzīvnieks saglabā atmiņu. Mēs varam novērtēt funkcijupēc vērtības “zelta zivtiņa” ievades vērtības. Mēs rakstītu Ievērojiet, ka, lai novērtētu funkciju tabulas formā, mēs identificējam ievades vērtību un atbilstošo izvades vērtību no atbilstošās tabulas rindas. Funkcijas tabulas formašķiet ideāli piemērots šai funkcijai, vairāk nekā rakstot to rindkopās vai funkcijas formā.

Ņemot vērā funkciju, ko attēlo tabula, identificējiet konkrētas izejas un ievades vērtības.

  1. Atrodiet ievadīto vērtību ievades vērtību rindā (vai kolonnā).
  2. Identificējiet atbilstošo izvades vērtību, kas savienota pārī ar šo ievades vērtību.
  3. Atrodiet norādītās izvades vērtības izejas vērtību rindā (vai kolonnā), katru reizi atzīmējot, ka parādās izvades vērtība.
  4. Identificējiet ievadīto vērtību (-as), kas atbilst dotajai izvades vērtībai.
  1. Novērtējiet
  2. Atrisiniet
  1. Novērtējot nozīmē funkcijas izejas vērtības noteikšanu ieejas vērtībai Tabulas izvades vērtība, kas atbilst ir 7, tātad
  2. Risināšana nozīmē ieejas vērtību identificēšanu, kas rada izejas vērtību 6. (Attēls) parāda divus risinājumus: un

Kad funkcijā ievadām 2 /> mūsu izeja ir 6. Kad funkcijai ievadām 4 /> mūsu izeja ir arī 6.

Izmantojot (attēls), novērtējiet

Funkciju vērtību atrašana no grafika

Lai novērtētu funkciju, izmantojot grafiku, ir jāatrod arī attiecīgā izejas vērtība konkrētajai ievades vērtībai, tikai šajā gadījumā izejas vērtību mēs atrodam, aplūkojot grafiku. Funkciju vienādojuma atrisināšanai, izmantojot grafiku, jāatrod grafikā visi norādītās izejas vērtības gadījumi un jāievēro atbilstošā (-ās) ievades vērtība (-as).

  1. Novērtējiet
  2. Atrisiniet

  1. Novērtētatrodiet līknes punktu, kurtad izlasiet yšī punkta koordinators. Punktam ir koordinātastātadSkatīt (attēls).

Izmantojot (attēls), atrisiniet

vai

Nosakot, vai funkcija ir viens pret vienu

Dažām funkcijām ir noteikta izejas vērtība, kas atbilst divām vai vairākām ievades vērtībām. Piemēram, šīs nodaļas sākumā parādītajā akciju diagrammā akciju cena bija? 1000 piecos dažādos datumos, kas nozīmē, ka bija piecas dažādas ievades vērtības, kuru visu rezultātā bija vienāda izejas vērtība? 1000.

Tomēr dažām funkcijām katrai izejas vērtībai ir tikai viena ieejas vērtība, kā arī katrai ieejai ir tikai viena izeja. Šīs funkcijas mēs saucam par individuālām funkcijām. Kā piemēru ņemiet vērā skolu, kas izmanto tikai burtu pakāpes un decimāldaļas ekvivalentus, kā norādīts (attēls).

Vēstules pakāpe Novērtējuma punktu vidējā vērtība
A 4.0
B 3.0
C 2.0
D 1.0

Šī klasifikācijas sistēma atspoguļo funkciju viens pret vienu, jo katra burta ievade dod vienu noteiktu vidējo izlaiduma pakāpi, un katrs vidējais vērtējums atbilst vienam ievades burtam.

Lai vizualizētu šo koncepciju, vēlreiz apskatīsim divas vienkāršās funkcijas, kas ieskicētas (attēls)a) un (attēls)b). Funkcija (a) parāda attiecības, kas nav viens pret vienu funkcija, jo tiek ievadītasunabi dod izvadiFunkcija (b) parāda attiecības, kas ir viens pret vienu funkcija, jo katra ieeja ir saistīta ar vienu izeju.

Funkcija viens pret vienu ir funkcija, kurā katra izvades vērtība atbilst tieši vienai ievades vērtībai. Atkārtoti nav x& # 8211 vai y-vērtības.

Vai apļa laukums ir tā rādiusa funkcija? Ja jā, vai funkcija ir viena pret vienu?

Rādiusa aplis ir unikāls apgabala mērījums, ko sniedztāpēc jebkurai ieejai,ir tikai viena izeja, Apgabals ir rādiusa funkcija

Ja funkcija ir viens pret vienu, izejas vērtībai, laukumam jāatbilst unikālai ieejas vērtībai - rādiusam. Jebkurš apgabala mērsir dota pēc formulasTā kā laukumi un rādiusi ir pozitīvi skaitļi, ir tieši viens risinājums:Tātad apļa laukums ir viens pret vienu apļa rādiusa funkcija.

  1. Vai atlikums ir bankas konta numura funkcija?
  2. Vai bankas konta numurs ir atlikuma funkcija?
  3. Vai atlikums ir bankas konta numura funkcija viens pret vienu?

a. jā, jo katram bankas kontam jebkurā laikā ir viens atlikums b. nē, jo vairākiem bankas kontu numuriem var būt vienāds atlikums c. nē, jo viena un tā pati izeja var atbilst vairāk nekā vienai ieejai.

  1. Ja katra kursa laikā nopelnītā procentuālā atzīme nozīmē viena burta pakāpi, vai burtu vērtējums ir procentuālās pakāpes funkcija?
  2. Ja jā, vai funkcija ir viena pret vienu?
  1. Jā, burtu pakāpe ir procentuālās pakāpes funkcija
  2. Nē, tas nav viens pret vienu. Mēs varam iegūt 100 dažādus procentuālos skaitļus, bet tikai aptuveni piecus iespējamos burtu pakāpes, tāpēc nevar būt tikai viens procentuāls skaitlis, kas atbilst katrai burtu pakāpei.

Vertikālās līnijas testa izmantošana

Kā mēs redzējām dažos iepriekš minētajos piemēros, mēs varam attēlot funkciju, izmantojot diagrammu. Grafiki nelielā telpā parāda ļoti daudz ievades un izvades pāru. Viņu sniegtā vizuālā informācija bieži padara attiecības vieglāk saprotamas. Pēc vienošanās grafikus parasti konstruē ar ieejas vērtībām pa horizontālo asi un izejas vērtībām pa vertikālo asi.

Visizplatītākajos grafikos tiek nosaukta ievades vērtībaun izejas vērtībuun mēs sakāmir funkcijavaikad funkcija ir nosauktaFunkcijas grafiks ir visu punktu kopaplaknē, kas apmierina vienādojumuJa funkcija ir definēta tikai dažām ievades vērtībām, tad funkcijas grafiks sastāv tikai no dažiem punktiem, kur x- katra punkta koordināta ir ievades vērtība un ykatra punkta koordināta ir atbilstošā izejas vērtība. Piemēram, melnie punkti uz diagrammas (attēls) parāda mums tounTomēr visu punktu kopaapmierinair līkne. Parādītā līkne ietverunjo līkne iet caur šiem punktiem.

Vertikālās līnijas testu var izmantot, lai noteiktu, vai grafiks attēlo funkciju. Ja mēs varam uzzīmēt jebkuru vertikālu līniju, kas krustojas ar grafiku vairāk nekā vienu reizi, tad diagramma to dara definējiet funkciju, jo katrai ievades vērtībai funkcijai ir tikai viena izvades vērtība. Skatīt (attēls).

Ņemot vērā grafiku, izmantojiet vertikālās līnijas testu, lai noteiktu, vai grafiks attēlo funkciju.

  1. Pārbaudiet diagrammu, lai redzētu, vai kāda novilkta vertikāla līnija krustotos ar līkni vairāk nekā vienu reizi.
  2. Ja ir kāda šāda līnija, nosakiet, vai diagramma neatspoguļo funkciju.

Kurš no grafikiem (attēlā) attēlo funkciju

Ja kāda vertikāla līnija krustojas ar grafiku vairāk nekā vienu reizi, attiecība, ko attēlo grafiks, nav funkcija. Ievērojiet, ka jebkura vertikālā līnija šķērsotu tikai vienu punktu no diviem grafikiem, kas parādīti (attēls) (a) un (b) daļā. No tā mēs varam secināt, ka šie divi grafiki attēlo funkcijas. Trešais grafiks neatspoguļo funkciju, jo ne vairāk kā x-vērtības, vertikāla līnija sakrustotu grafiku vairāk nekā vienā punktā, kā parādīts (attēlā).

Vai diagrammā (attēlā) attēlota funkcija?

Izmantojot horizontālās līnijas testu

Kad esam noteikuši, ka grafiks definē funkciju, vienkāršs veids, kā noteikt, vai tā ir funkcija viens pret vienu, ir izmantot horizontālās līnijas testu. Caur diagrammu uzzīmējiet horizontālas līnijas. Ja kāda horizontāla līnija šķērso diagrammu vairāk nekā vienu reizi, tad diagramma neatspoguļo funkciju viens pret vienu.

Ņemot vērā funkcijas grafiku, izmantojiet horizontālās līnijas testu, lai noteiktu, vai grafiks atspoguļo funkciju viens pret vienu.

  1. Pārbaudiet diagrammu, lai redzētu, vai kāda novilkta horizontāla līnija krustotos ar līkni vairāk nekā vienu reizi.
  2. Ja ir kāda šāda līnija, nosakiet, ka funkcija nav viens pret vienu.

Apsveriet funkcijas, kas parādītas (attēlā)a) un (attēls)b). Vai kāda no funkcijām ir viena pret vienu?

Funkcija (attēlā)a) nav viens pret vienu. (Attēlā) redzamā horizontālā līnija krustojas ar funkcijas grafiku divos punktos (un mēs pat varam atrast horizontālas līnijas, kas to krusto trīs punktos.)

Funkcija (attēlā)b) ir viens pret vienu. Jebkura horizontāla līnija krustojas pa diagonālo līniju ne vairāk kā vienu reizi.

Vai grafiks, kas parādīts (attēlā), ir viens pret vienu?

Nē, jo tas neiztur horizontālās līnijas testu.

Pamata rīkkopa funkciju noteikšana

Šajā tekstā mēs izpētīsim funkcijas - to diagrammu formas, to unikālās īpašības, to algebriskās formulas un to, kā ar tām risināt problēmas. Mācoties lasīt, mēs sākam ar alfabētu. Mācoties veikt aritmētiku, mēs sākam ar skaitļiem. Strādājot ar funkcijām, ir līdzīgi, ja ir pamatelementu kopums. Mēs tās saucam par mūsu “rīku komplekta funkcijām”, kas veido nosaukto pamatfunkciju kopumu, kurām zinām grafiku, formulu un īpašās īpašības. Dažas no šīm funkcijām ir ieprogrammētas atsevišķām pogām uz daudziem kalkulatoriem. Šīm definīcijām mēs izmantosimkā ievades mainīgais unkā izejas mainīgo.

Šīs rīkkopas funkcijas, rīkkopa funkciju kombinācijas, to diagrammas un to pārveidojumus mēs bieži redzēsim visā šajā grāmatā. Tas būs ļoti noderīgi, ja mēs ātri atpazīsim šīs rīkkopa funkcijas un to funkcijas pēc nosaukuma, formulas, diagrammas un tabulas pamata īpašībām. Grafiki un tabulas paraugu vērtības ir iekļautas katrā funkcijā, kas parādīta (attēlā).

Rīkkopa funkcijas
Nosaukums Funkcija Grafiks
Pastāvīgs kur ir konstante
Identitāte
Absolūtā vērtība
Kvadrātisks
Kubiskais
Abpusējs
Abpusējs kvadrāts
Kvadrātsakne
Kubu sakne

Piekļūstiet šiem tiešsaistes resursiem, lai iegūtu papildu instrukcijas un praksi ar funkcijām.

Galvenie vienādojumi

Pastāvīga funkcija kurir konstante
Identitātes funkcija
Absolūtās vērtības funkcija
Kvadrāta funkcija
Kubiskā funkcija
Abpusēja funkcija
Abpusēja kvadrāta funkcija
Kvadrātsaknes funkcija
Kubu sakņu funkcija

Galvenie jēdzieni

  • Relācija ir sakārtotu pāru kopums. Funkcija ir īpašs attiecību veids, kurā katra domēna vērtība vai ievade noved pie precīzi vienas diapazona vērtības vai izejas. Skatīt (attēls) un (attēls).
  • Funkciju apzīmējums ir stenogrāfijas metode, kā saistīt ievadi ar izvadi formāSkatīt (attēls) un (attēls).
  • Tabulas veidā funkciju var attēlot ar rindām vai kolonnām, kas attiecas uz ievades un izvades vērtībām. Skatīt (attēls).
  • Lai novērtētu funkciju, mēs nosakām atbilstošās ievades vērtības izejas vērtību. Funkcijas algebriskās formas var novērtēt, aizstājot ievades mainīgo ar noteiktu vērtību. Skatīt (attēls) un (attēls).
  • Lai atrisinātu konkrētas funkcijas vērtību, mēs nosakām ievades vērtības, kas dod konkrētu izvades vērtību. Skatīt (attēls).
  • Funkcijas algebrisko formu var uzrakstīt no vienādojuma. Skatīt (attēls) un (attēls).
  • Funkcijas ievades un izvades vērtības var noteikt no tabulas. Skatīt (attēls).
  • Ievades vērtību saistīšana ar izejas vērtībām diagrammā ir vēl viens veids, kā novērtēt funkciju. Skatīt (attēls).
  • Funkcija ir viens pret vienu, ja katra izvades vērtība atbilst tikai vienai ievades vērtībai. Skatīt (attēls).
  • Grafiks attēlo funkciju, ja kāda uz diagrammas uzzīmēta vertikāla līnija krustojas ar diagrammu ne vairāk kā vienā punktā. Skatīt (attēls).
  • Funkcijas viens pret vienu grafiks iztur horizontālās līnijas testu. Skatīt (attēls).

Sadaļas vingrinājumi

Verbāli

Kāda ir atšķirība starp relāciju un funkciju?

Relācija ir sakārtotu pāru kopums. Funkcija ir īpaša veida relācija, kurā diviem sakārtotiem pāriem nav vienādas pirmās koordinātas.

Kāda ir atšķirība starp funkcijas ievadi un izvadi?

Kāpēc vertikālās līnijas tests mums parāda, vai relācijas grafiks attēlo funkciju?

Kad vertikālā līnija vairākkārt krustojas ar attiecīgā diagrammu, tas norāda, ka šai ieejai ir vairāk nekā viena izeja. Jebkurā konkrētā ievades vērtībā var būt tikai viena izeja, ja saistībai jābūt funkcijai.

Kā jūs varat noteikt, vai attiecība ir funkcija viens pret vienu?

Kāpēc horizontālās līnijas tests mums parāda, vai funkcijas grafiks ir viens pret vienu?

Ja horizontāla līnija vairākkārt krustojas ar funkcijas grafiku, tas norāda, ka šai izejai ir vairāk nekā viena ieeja. Funkcija ir viens pret vienu, ja katra izeja atbilst tikai vienai ieejai.

Algebriskais

Turpmākajiem vingrinājumiem nosakiet, vai attiecība pārstāv funkciju.

Turpmākajiem vingrinājumiem nosakiet, vai attiecība pārstāvkā funkcija

Veicot šādus vingrinājumus, novērtējiet funkcijunorādītajās vērtībās

Ņemot vērā funkcijuvienkāršot

Ņemot vērā funkcijuvienkāršot

Ņemot vērā funkciju

  1. Novērtējiet
  2. Atrisiniet

Ņemot vērā funkciju

  1. Novērtējiet
  2. Atrisiniet

a.b.

Ņemot vērā funkciju

  1. Novērtējiet
  2. Atrisiniet

Ņemot vērā funkciju

  1. Novērtējiet
  2. Atrisiniet

a.b.vai

Ņemot vērā funkciju

  1. Novērtējiet
  2. Atrisiniet

Apsveriet attiecības

  1. Uzrakstiet attiecības kā funkciju
  2. Novērtējiet
  3. Atrisiniet

a.b.c.

Grafisks

Turpmākajiem vingrinājumiem izmantojiet vertikālās līnijas testu, lai noteiktu, kuri grafiki parāda attiecības, kas ir funkcijas.

Ņemot vērā šo diagrammu,

  • Novērtējiet
  • Atrisiniet

Ņemot vērā šo diagrammu,

  • Novērtējiet
  • Atrisiniet

a.b.vai

Ņemot vērā šo diagrammu,

  • Novērtējiet
  • Atrisiniet

Turpmākajiem vingrinājumiem nosakiet, vai dotais grafiks ir funkcija viens pret vienu.

nav funkcija, tāpēc tā nav arī funkcija viens pret vienu

funkciju, bet ne viens pret vienu

Ciparu skaitlis

Turpmākajiem vingrinājumiem nosakiet, vai attiecība pārstāv funkciju.

Turpmākajiem vingrinājumiem nosakiet, vai tabulas formā attēlotā attiecība pārstāvkā funkcija

5 10 15
3 8 14
5 10 15
3 8 8
5 10 10
3 8 14

Lai veiktu šādus vingrinājumus, izmantojiet funkcijuattēlots (attēlā).

0 74
1 28
2 1
3 53
4 56
5 3
6 36
7 45
8 14
9 47

Novērtējiet

Atrisiniet

Veicot šādus vingrinājumus, novērtējiet funkcijupie vērtībāmun

Veicot šādus vingrinājumus, novērtējiet izteicienus, dotās funkcijasun

Tehnoloģija

Turpmākajiem vingrinājumiem grafiksdotajā skata logā. Nosakiet katram skata logam atbilstošo diapazonu. Rādīt katru diagrammu.

Turpmākajiem vingrinājumiem grafiksdotajā skata logā. Nosakiet katram skata logam atbilstošo diapazonu. Rādīt katru diagrammu.

Turpmākajiem vingrinājumiem grafiksdotajā skata logā. Nosakiet katram skata logam atbilstošo diapazonu. Rādīt katru diagrammu.

Turpmākajiem vingrinājumiem grafiks dotajā skata logā. Nosakiet katram skata logam atbilstošo diapazonu. Rādīt katru diagrammu.

Reālās pasaules lietojumprogrammas

Atkritumu daudzums,ražo pilsēta ar iedzīvotājiemdodtiek mērīts tonnās nedēļā, untiek mērīts tūkstošos cilvēku.

  1. Tola pilsētā dzīvo 40 000 iedzīvotāju, un katru nedēļu tajā tiek saražotas 13 tonnas atkritumu. Izsaki šo informāciju funkcijas izteiksmē
  2. Paskaidrojiet apgalvojuma nozīmi

Netīrumu kubikmetru skaits,nepieciešams, lai segtu dārzu ar platībukvadrātpēdas dod

  1. Dārzam, kura platība ir 5000 pēdas 2, nepieciešams 50 jard 3 netīrumu. Izsaki šo informāciju funkcijas izteiksmē
  2. Paskaidrojiet apgalvojuma nozīmi

a. b. 100 kvadrātpēdu dārzam nepieciešamo netīrumu kubikmetru skaits ir 1.

Ļaujietjābūt pīļu skaitam ezerāgadus pēc 1990. gada. Paskaidrojiet katra apgalvojuma nozīmi:

Ļaujietjābūt raķetes augstumam virs zemes pēdāssekundes pēc palaišanas. Paskaidrojiet katra apgalvojuma nozīmi:

a. Raķetes augstums virs zemes pēc 1 sekundes ir 200 pēdas b. raķetes augstums virs zemes pēc 2 sekundēm ir 350 pēdas.

Parādiet, ka funkcijair viens pret vienu.


Funkciju apzīmējums

Vienādojums ir vienādība, kuru apmierina unikāls mainīgo lielumu vērtību kopums. Pēc tam, kad # # # zīme ir fiksēta vērtība, jums ir fiksēts rezultāts.

Piemēram: vienādojumam # 4x-2 = 0 # rezultāts ir nulle un tikai # x = 1/2 # kā risinājums nozīmē, ka, ja vienādojumā aizstājat vērtību # x = 1/2 #, jums ir rezultāts nulle, ti, vienādojums ir izpildīts.

Tagad funkcija ir līdzīga, vienīgā atšķirība ir tā, ka tagad pēc zīmes # = # jūs varat iegūt daudz rezultātu, tāpēc jums var būt daudz risinājumu.

Piemēram: funkcijai # 4x-2 = y # nav noteikta rezultāta (kā iepriekš tas bija nulle), bet citam mainīgajam # y #, tāpēc katru reizi, kad izvēlaties # x #, jūs saņemsiet atbilstošo vērtību # y #, kas to apmierina.
Ja izvēlaties:
# x = 1 - & gt y = 2 #
# x = 2 - & gt y = 6 #
. utt.

Ja # x = 1/2 - & gt y = 0 #, kas ir risinājums, ko mēs iepriekš atradām savam vienādojumam (kurā # y # jau bija iestatīts kā nulle)!

Tātad, apkopojot, vienādojumam ir fiksēts rezultāts (pēc zīmes # = #) un unikāls risinājumu kopums (mainīgo lielumi) funkcijai var būt daudz rezultātu (iespējams, # oo #), un kā rezultātā daudz risinājumu.

Atbilde:

Paskaidrojums:

Apsveriet a Funkcija tas ir likums, likums, kas mums stāsta, kā skaitlis ir saistīts ar citu. (tas ir ļoti vienkāršots). Funkcija parasti saista izvēlēto vērtību # x # ar noteikto vērtību # y #.

Apsveriet kā piemēru tirdzniecības automātu: jūs ievietojat, sakiet # 1 $ #, un jūs saņemat kannu soda.

Mūsu tirdzniecības automāts ir saistīts ar naudu un soda. Tagad jūs varat ievietot summu, kas jums patīk (# 1, 2, 3. $ #), BET, ieliekot noteiktu summu, rezultāts ir tikai viens. Es domāju, ja jūs ievietojat # 1 $ #, jūs saņemat soda neko citu. ja vēlaties sviestmaizi, jums ir nepieciešama vēl viena summa.

Ievietotās naudas summa ir atkarīga no jums, kamēr produkts ir fiksēts, tāpēc naudas summa ir NEATKARĪGA (jūs ievietojat to, ko vēlaties), un mašīnas iegūtais produkts (kad esat nolēmis) ir atkarīgs no jūsu ieguldītās summas.

Mūsu matemātiskajai funkcijai, kad esat izvēlējies vērtību # x #, atbilstošā vērtība # y # ir atkarīga no šīs izvēles…

Ceru, ka es jūs vēl vairāk nemulsināju.


Funkciju apzīmējums

Iepriekšējā nodarbībā jūs uzzinājāt, kā identificēt funkciju, analizējot domēnu un diapazonu un izmantojot vertikālās līnijas testu.

Tagad mēs to apskatīsim funkciju apzīmējums un kā to lieto algebrā.

Tipisks funkcijas apzīmējums ir f (x). Tas tiek lasīts kā "f no x". Tas NENozīmē f reizes x. Tas ir īpašs apzīmējums, ko izmanto tikai funkcijām.

Tomēr f (x) nav vienīgais mainīgais, ko izmanto funkciju apzīmējumā. Jūs varat redzēt g (x), h (x) vai pat b (a). Varat izmantot visus burtus, taču tiem jābūt vienā formātā - mainīgajam, kam seko cits iekavās.

Funkcijas f (x) apzīmējumu pirmo reizi matemātiķis Leonhards Eulers izmantoja 1700. gados.

Bieži reizes funkcijas tiek rakstītas kā saīsinājums. Piemēram, ja jūs rakstāt vienādojumu, lai aprēķinātu x kvadrātu. Jūs varat to uzrakstīt kā funkciju un nosaukt to s (x). Tas tiek lasīts kā "x no x" kvadrātā x.

Cits piemērs būtu, ja es rakstītu vienādojumu, lai noteiktu automašīnu nobraucamo attālumu, pamatojoties uz noteiktu laika braukšanu. Es varu uzrakstīt funkciju d (t) kā "attālums, pamatojoties uz laiku". Tādā veidā es zinu, ka t, kas apzīmē "laiku", ir mans neatkarīgais mainīgais un d (t) ir rezultāts.

Ok .. ko tas īsti nozīmē?

Atcerieties, kad mēs grafiku veidojām lineāriem vienādojumiem? Katrs vienādojums tika rakstīts kā y =. Nu, tagad y = vietā jūs redzēsiet f (x).

f (x) ir vēl viens veids, kā attēlot "y" mainīgo vienādojumā.

Apskatīsim piemēru.

Paziņojums y tiek aizstāts ar f (x), g (x), pat h (a).

Tas ir tā saucamais funkcijas apzīmējums. Viņi visi nozīmē tieši to pašu. Jūs diagramma visus šos tieši tā, kā jūs y = 2x +3. Mēs vienkārši izmantojam citu apzīmējumu.

Turpiniet sekot man līdzi, un nākamajā nodarbībā uzzināsiet, kā novērtēt funkcijas, izmantojot funkciju apzīmējumus.

Komentāri

Vai nepieciešama lielāka palīdzība algebras studijās?

Piekļūstiet simtiem video piemēru un praktizējiet abonēšanas problēmas! & # Xa0

Noklikšķiniet šeit, lai iegūtu vairāk informācijas par mūsu pieejamām abonēšanas iespējām.

Vai neesat gatavs abonēt? & # Xa0 Reģistrējieties mūsu BEZMAKSAS pirmsalgebras atsvaidzināšanas kursā.

Algebras klases E-kursa locekļi

Noklikšķiniet šeit, lai iegūtu vairāk informācijas par mūsu Algebra klases e-kursiem.


Skatīties video: Linearna funkcija (Novembris 2021).