Raksti

8.1. Ievads Laplasa transformācijā


Laplasa transformācijas definīcija

Lai definētu Laplasa transformāciju, vispirms mēs atgādinām nepareiza integrāla definīciju. Ja (g ) ir integrējams intervālā ([a, T] ) katram (T> a ), tad nepareizs (g ) neatņemams elements beidzies ([a, infty) ) ir definēts kā

[ label {eq: 8.1.1} int ^ infty_a g (t) , dt = lim_ {T to infty} int ^ T_a g (t) , dt. ]

Mēs sakām, ka nepareiza neatņemama sastāvdaļa saplūst ja vienādojumā ref {eq: 8.1.1} ir ierobežojums; pretējā gadījumā mēs sakām, ka nepareizs integrālis atšķiras vai neeksistē. Lūk, funkcijas Laplasa transformācijas definīcija (f ).

Definīcija ( PageIndex {1} ): Laplasa transformācija

Lai (t ge0 ) tiktu definēts (f ), un lai (s ) būtu reāls skaitlis. Tad Laplasa transformācija of (f ) ir funkcija, kuru definē (F )

[ label {eq: 8.1.2} F (s) = int_0 ^ infty e ^ {- st} f (t) , dt, ]

tām (s ) vērtībām, kurām saplūst nepareizais integrālis.

Ir svarīgi paturēt prātā, ka vienādojuma ref {eq: 8.1.2} integrācijas mainīgais ir (t ), savukārt (s ) ir parametrs, kas nav atkarīgs no (t ). Mēs izmantojam (t ) kā neatkarīgu mainīgo (f ), jo lietojumprogrammās Laplasa transformācija parasti tiek lietota laika funkcijām.

Laplasa transformāciju var apskatīt kā operatoru ({ cal L} ), kas funkciju (f = f (t) ) pārveido par funkciju (F = F (s) ). Tādējādi vienādojumu ref {eq: 8.1.2} var izteikt kā

[F = { cal L} (f). Skaitlis ]

Funkcijas (f ) un (F ) veido a pārveidot pāri, ko mēs dažreiz apzīmēsim ar

[f (t) pa kreisi F (s). nonumber ]

Var pierādīt, ka, ja (s = s_0 ) ir definēts (F (s) ), tad tas tiek definēts visiem (s> s_0 ) (8.1.14.b uzdevums).

Dažu vienkāršu Laplasa transformāciju aprēķins

Piemērs ( PageIndex {1} )

Atrodiet Laplasa transformāciju (f (t) = 1 ).

Risinājums

No vienādojuma ref {eq: 8.1.2} ar (f (t) = 1 ),

[F (s) = int_0 ^ infty e ^ {- st} , dt = lim_ {T to infty} int_0 ^ T e ^ {- st} , dt. Nonumber ]

Ja (s ne 0 ), tad

[ label {eq: 8.1.3} int_0 ^ T e ^ {- st} dt = - {1 over s} e ^ {- st} Big | _0 ^ T = {1-e ^ {- sT} pāri s}. ]

Tāpēc

[ label {eq: 8.1.4} lim_ {T to infty} int_0 ^ T e ^ {- st} dt = pa kreisi { begin {masīvs} {rr} {1 over s} , & s> 0, infty un & s <0. end {masīvs} right. ]

Ja (s = 0 ) integrands samazinās līdz konstante (1 ), un

[ lim_ {T to infty} int_0 ^ T 1 , dt = lim_ {T to infty} int_0 ^ T 1 , dt = lim_ {T to infty} T = infty. nonumber ]

Tāpēc (F (0) ) nav definēts, un

[F (s) = int_0 ^ infty e ^ {- st} dt = {1 over s}, quad s> 0. nonumber ]

Šo rezultātu operatora apzīmējumā var ierakstīt kā

[{ cal L} (1) = {1 pāri s}, quad s> 0, nonumber ]

vai kā transformācijas pāri

[1 kreisā bultiņa {1 virs s}, quad s> 0. nonumber ]

Piezīme

Ērti ir apvienot integrācijas no (0 ) līdz (T ) un izīrēšanas (T → ∞ ) soļus. Tāpēc tā vietā, lai rakstītu vienādojumus ref {eq: 8.1.3} un ref {eq: 8.1.4} kā atsevišķas darbības, kuras mēs rakstām

[ int_ {0} ^ { infty} e ^ {- st} dt = - left. frac {1} {s} e ^ {- st} right | _ {0} ^ { infty} = pa kreisi { sākums {masīvs} {cl} { frac {1} {s},} un {s> 0} { infty,} un {s <0} beigas {masīvs} pa labi . nonumber ]

Mēs ievērosim šo praksi visā šajā nodaļā.

Piemērs ( PageIndex {2} )

Atrodiet Laplasa transformāciju (f (t) = t ).

No vienādojuma ref {eq: 8.1.2} ar (f (t) = t ),

[ label {eq: 8.1.5} F (s) = int_0 ^ infty e ^ {- st} t , dt. ]

Ja (s ne0 ), integrējot pa daļām, iegūst

[ sākt {izlīdzināt *} int_0 ^ infty e ^ {- st} t , dt & = - {te ^ {- st} over s} bigg | _0 ^ infty + {1 over s} int_0 ^ infty e ^ {- st} , dt = - left [{t over s} + {1 over s ^ 2} right] e ^ {- st} bigg | _0 ^ infty & = pa kreisi { begin {masīvs} {rr} {1 over s ^ 2}, quad s> 0, infty, , s <0. end {masīvs} right. end {izlīdzināt *} nonumber ]

Ja (s = 0 ), vienādojuma ref {eq: 8.1.5} integrālis kļūst

[ int_0 ^ infty t , dt = {t ^ 2 over2} bigg | _0 ^ infty = infty. nonumber ]

Tāpēc (F (0) ) nav definēts un

[F (s) = {1 virs s ^ 2}, quad s> 0. nonumber ]

Šo rezultātu var uzrakstīt arī kā

[{ cal L} (t) = {1 virs s ^ 2}, quad s> 0, nonumber ]

vai kā transformācijas pāri

[t kreisā bultiņa {1 virs s ^ 2}, quad s> 0. nonumber ]

Piemērs ( PageIndex {3} ):

Atrodiet Laplasa transformāciju (f (t) = e ^ {at} ), kur (a ) ir konstante.

No vienādojuma ref {eq: 8.1.2} ar (f (t) = e ^ {at} ),

[F (s) = int_0 ^ infty e ^ {- st} e ^ {at} , dt. Nonumber ]

Eksponenciālu apvienošana dod ražu

[F (s) = int_0 ^ infty e ^ {- (s-a) t} , dt. Nonumber ]

Tomēr no piemēra ( PageIndex {1} ) mēs zinām

[ int_0 ^ infty e ^ {- st} , dt = {1 over s}, quad s> 0. nonumber ]

(S ) aizstāšana ar (s-a ) šeit parāda to

[F (s) = {1 pāri s-a}, quad s> a. Nonumber ]

To var rakstīt arī kā

[{ cal L} (e ^ {at}) = {1 pār sa}, quad s> a, text {vai} e ^ {at} leftrightarrow {1 over sa}, quad s > a. nonumber ]

Piemērs ( PageIndex {4} )

[Atrodiet Laplasa transformācijas (f (t) = sin omega t ) un (g (t) = cos omega t ), kur ( omega ) ir konstante.

Definēt

[ label {eq: 8.1.6} F (s) = int_0 ^ infty e ^ {- st} sin omega t , dt ]

un

[ label {eq: 8.1.7} G (s) = int_0 ^ infty e ^ {- st} cos omega t , dt. ]

Ja (s> 0 ), integrējot vienādojumu ref {eq: 8.1.6} pa daļām, iegūst

[F (s) = - {e ^ {- st} pār s} sin omega t Big | _0 ^ infty + { omega over s} int_0 ^ infty e ^ {- st} cos omega t , dt, nonumber ]

tātad

[ label {eq: 8.1.8} F (s) = { omega over s} G (s). ]

Ja (s> 0 ), integrējot vienādojumu ref {eq: 8.1.7} pa daļām, iegūst

[G (s) = - {e ^ {- st} cos omega t over s} Big | _0 ^ infty - { omega over s} int_0 ^ infty e ^ {- st} sin omega t , dt, nonumber ]

tātad

[G (s) = {1 pāri s} - { omega over s} F (s). Bez numura ]

Tagad, lai iegūtu, aizstājiet to no vienādojuma ref {eq: 8.1.8}

[G (s) = {1 over s} - { omega ^ 2 over s ^ 2} G (s). Nonumber ]

Atrisinot to, iegūstot (G (s) )

[G (s) = {s virs s ^ 2 + omega ^ 2}, quad s> 0. nonumber ]

Tas un vienādojums ref {eq: 8.1.8} to nozīmē

[F (s) = { omega over s ^ 2 + omega ^ 2}, quad s> 0. nonumber ]

Laplasa transformāciju tabulas

Ir apkopotas plašas Laplasa transformāciju tabulas, kuras parasti izmanto lietojumprogrammās. Īsā Laplasa transformāciju tabula pielikumā būs piemērota mūsu mērķiem.

Piemērs ( PageIndex {5} )

Izmantojiet Laplasa transformāciju tabulu, lai atrastu ({ cal L} (t ^ 3e ^ {4t}) ).

Tabulā ir iekļauts transformācijas pāris

[t ^ ne ^ {at} kreisā bultiņa {n! pāri (s-a) ^ {n + 1}}. nonumber ]

Šeit iestatot (n = 3 ) un (a = 4 ), iegūst

[ cal L (t ^ 3e ^ {4t}) = {3! over (s-4) ^ 4} = {6 over (s-4) ^ 4}. nonumber ]

Dažreiz mēs rakstīsim konkrētu funkciju Laplasa transformācijas, skaidri nenorādot, kā tās tiek iegūtas. Šādos gadījumos jums vajadzētu atsaukties uz Laplasa transformāciju tabulu.

Laplasa transformācijas linearitāte

Nākamā teorēma parāda svarīgu Laplasa transformācijas īpašību.

Teorēma ( PageIndex {2} ) Linearitātes īpašums

Pieņemsim, ka ({ cal L} (f_i) ) ir definēts (s> s_i, ) (1 le i le n). ) Ļaujiet (s_0 ) būt lielākam no skaitļiem (s_1 ), (s_ {2}, )…, (s_n, ) un ļaujiet (c_1 ), (c_2 ),…, (c_n ) būt konstantēm. Tad

[{ cal L} (c_1f_1 + c_2f_2 + cdots + c_nf_n) = c_1 { cal L} (f_1) + c_2 { cal L} (f_2) + cdots + c_n { cal L} (f_n) mbox {for} s> s_0. nonumber ]

Pierādījums

Mēs sniedzam pierādījumu gadījumam, kur (n = 2 ). Ja (s> s_0 ), tad

[ sākas {izlīdzināts} { cal L} (c_1f_1 + c_2f_2) & = int_0 ^ infty e ^ {- st} pa kreisi (c_1f_1 (t) + c_2f_2 (t)) pa labi) , dt & = c_1 int_0 ^ infty e ^ {- st} f_1 (t) , dt + c_2 int_0 ^ infty e ^ {- st} f_2 (t) , dt & = c_1 { cal L} (f_1) + c_2 { cal L} (f_2). End {izlīdzināts} nonumber ]

Piemērs ( PageIndex {6} )

Izmantojiet teorēmu ( PageIndex {2} ) un zināmo Laplasa transformāciju

[{ cal L} (e ^ {at}) = {1 pāri s-a} nonumber ]

lai atrastu ({ cal L} ( cosh bt) , (b ne0) ).

Risinājums

Pēc definīcijas,

[ cosh bt = {e ^ {bt} + e ^ {- bt} virs 2}. nonumber ]

Tāpēc

[ label {eq: 8.1.9} begin {array} {ccl} { cal L} ( cosh bt) & = & { cal L} left ({1 over 2} e ^ {bt } + {1 over 2} e ^ {- bt} right) [4pt] & = & {1 over 2} { cal L} (e ^ {bt}) + {1 over 2} { cal L} (e ^ {- bt}) qquad hbox {(linearitātes īpašums)} [4pt] & = & {1 virs 2} , {1 pāri sb} + {1 pāri 2} , {1 pāri s + b}, end {masīvs} ]

kur pirmā transformācija pa labi ir definēta (s> b ) un otrā - (s> -b ); tādējādi abi ir definēti (s> | b | ). Vienkāršojot vienādojuma ref {eq: 8.1.9} pēdējo izteicienu, iegūst

[{ cal L} ( cosh bt) = {s pār s ^ 2-b ^ 2}, quad s> | b |. nonumber ]

Nākamā teorēma ļauj mums sākt ar zināmiem transformācijas pāriem un atvasināt citus. (Citus šāda veida rezultātus skat Vingrinājumi 8.1.6 un 8.1.13.)

Teorēma ( PageIndex {3} ) Pirmās maiņas teorēma

Ja

[ label {eq: 8.1.10} F (s) = int_0 ^ infty e ^ {- st} f (t) , dt ]

ir (f (t) ) Laplasa transformācija (s> s_0 ), tad (F (sa) ) ir (e ^ {at} f (t) ) Laplasa transformācija (s> s_0 + a ).

Pierādījums

Aizstājot (s ) ar (s-a ) vienādojumā ref {eq: 8.1.10}, iegūst

[ label {eq: 8.1.11} F (s-a) = int_0 ^ infty e ^ {- (s-a) t} f (t) , dt ]

ja (s-a> s_0 ); tas ir, ja (s> s_0 + a ). Tomēr vienādojumu ref {eq: 8.1.11} var pārrakstīt kā

[F (s-a) = int_0 ^ infty e ^ {- st} pa kreisi (e ^ {at} f (t) pa labi) , dt, nonumber ]

kas liek secināt.

Piemērs ( PageIndex {7} )

Izmantojiet teorēmu ( PageIndex {3} ) un zināmos Laplasa pārveidojumus (1 ), (t ), ( cos omega t ) un ( sin omega t ). atrast

[{ cal L} (e ^ {at}), quad { cal L} (te ^ {at}), quad { cal L} (e ^ { lambda t} sin omega t ), mbox {un} { cal L} (e ^ { lambda t} cos omega t). nonumber ]

Risinājums

Šajā tabulā zināmie transformāciju pāri ir uzskaitīti pa kreisi, un nepieciešamie transformāciju pāri, kas uzskaitīti labajā pusē, tiek iegūti, izmantojot teorēmu ( PageIndex {3} ).

Tabula ( PageIndex {1} )
(f (t) pa kreisi F (s) ) (e ^ {at} f (t) kreisā bultiņa F (s-a) )
(1 kreisā bultiņa {1 virs s}, quad s> 0 ) (e ^ {at} kreisā bultiņa {1 pāri (s-a)}, quad s> a )
(t leftrightarrow frac {1} {s ^ {2}}, quad s> 0 ) (te ^ {at} leftrightarrow frac {1} {(s-a) ^ {2}}, quad s> a )
( sin omega t Leftrightarrow frac { omega} {s ^ {2} + omega ^ {2}}, quad s> 0 ) (e ^ { lambda t} sin omega t Leftrightarrow frac { omega} {(s- lambda) ^ {2} + omega ^ {2}}, quad s> lambda )
( cos omega t leftrightarrow frac {s} {s ^ {2} + omega ^ {2}}, quad s> 0 ) (e ^ { lambda t} sin omega t Leftrightarrow frac {s- lambda} {(s- lambda) ^ {2} + omega ^ {2}}, quad s> lambda )

Laplasa transformāciju esamība

Ne visām funkcijām ir Laplasa transformācija. Piemēram, to var parādīt (8.1.3. Uzdevums) tas

[ int_0 ^ infty e ^ {- st} e ^ {t ^ 2} dt = infty nonumber ]

katram reālajam skaitlim (s ). Tādējādi funkcijai (f (t) = e ^ {t ^ 2} ) nav Laplasa transformācijas.

Mūsu nākamais mērķis ir izveidot apstākļus, kas nodrošina funkcijas Laplasa transformācijas esamību. Vispirms mēs pārskatām dažas atbilstošās definīcijas no aprēķina.

Atgādināt, ka robeža

[ lim_ {t uz t_0} f (t) nonumber ]

pastāv tikai un vienīgi tad, ja ir vienpusējas robežas

[ lim_ {t to t_0-} f (t) quad text {un} quad lim_ {t to t_0 +} f (t) nonumber ]

abi pastāv un ir vienādi; šajā gadījumā,

[ lim_ {t to t_0} f (t) = lim_ {t to t_0-} f (t) = lim_ {t to t_0 +} f (t). skaitlis ]

Atgādinām arī to, ka (f ) ir nepārtraukts punktā (t_0 ) atvērtā intervālā ((a, b) ) tikai un vienīgi tad, ja

[ lim_ {t līdz t_0} f (t) = f (t_0), nonumber ]

kas ir līdzvērtīgs

[ label {eq: 8.1.12} lim_ {t to t_0 +} f (t) = lim_ {t to t_0-} f (t) = f (t_0). ]

Vienkāršības labad mēs definējam

[f (t_0 +) = lim_ {t to t_0 +} f (t) quad hbox {un} quad f (t_0 -) = lim_ {t to t_0-} f (t), skaitlis ]

tātad vienādojumu ref {eq: 8.1.12} var izteikt kā

[f (t_0 +) = f (t_0 -) = f (t_0). skaitlis ]

Ja (f (t_0 +) ) un (f (t_0 -) ) ir ierobežotas, bet atšķirīgas vērtības, mēs sakām, ka (f ) ir lēciena nepārtrauktība pie (t_0 ) un

[f (t_0 +) - f (t_0 -) skaitlis ]

sauc par lēkt in (f ) pie (t_0 ) (attēls ( PageIndex {1} ).

Ja (f (t_0 +) ) un (f (t_0 -) ) ir ierobežoti un vienādi, bet vai nu (f ) nav definēts vietā (t_0 ), vai arī tas ir definēts, bet

[f (t_0) ne f (t_0 +) = f (t_0 -), skaitlis ]

mēs sakām, ka (f ) ir a noņemama nepārtrauktība pie (t_0 ) (attēls ( PageIndex {2} )). Šī terminoloģija ir piemērota, jo funkciju (f ) ar noņemamu nepārtrauktību pie (t_0 ) var padarīt nepārtrauktu pie (t_0 ), definējot (vai pārdefinējot)

[f (t_0) = f (t_0 +) = f (t_0 -). skaitlis ]

Piezīme

Pēc aprēķina mēs zinām, ka noteiktu integrālu neietekmē tā integranda vērtību maiņa atsevišķos punktos. Tāpēc funkcijas f atkārtota definēšana, lai padarītu to nepārtrauktu pie noņemamām nepārtrauktībām, nemainās ( cal {L} (f) ).

Teorēma ( PageIndex {4} ) gabalos nepārtraukti

  • Tiek teikts, ka funkcija (f ) ir pa daļām nepārtraukts uz ierobežota slēgta intervāla ([0, T] ), ja (f (0 +) ) un (f (T -) ) ir ierobežoti un (f ) ir nepārtraukti atvērtajā intervālā ( (0, T) ), izņemot, iespējams, ļoti daudzos punktos, kur (f ) var būt lēciena pārtraukumi vai noņemami pārtraukumi.
  • Tiek teikts, ka funkcija (f ) ir pa daļām nepārtraukts uz bezgalīgā intervāla ([0, infty) ), ja tas pa gabaliem ir nepārtraukti ieslēgts ([0, T] ) katram (T> 0 ).

Attēlā ( PageIndex {3} ) parādīta tipiskas pa daļām nepārtrauktas funkcijas diagramma.

Aprēķinā ir parādīts, ka, ja funkcija pa daļām ir nepārtraukta ierobežotā slēgtajā intervālā, tad tā ir integrējama šajā intervālā. Bet, ja (f ) pa daļām ir nepārtraukts uz ([0, infty) ), tad ir arī (e ^ {- st} f (t) ) un tāpēc

[ int_0 ^ T e ^ {- st} f (t) , dt nonumber ]

pastāv katram (T> 0 ). Tomēr vienreizēja nepārtrauktība vien negarantē nepareizo integrālu

[ label {eq: 8.1.13} int_0 ^ infty e ^ {- st} f (t) , dt = lim_ {T to infty} int_0 ^ T e ^ {- st} f (t) , dt ]

saplūst (s ) kādā intervālā ((s_0, infty) ). Piemēram, mēs iepriekš atzīmējām, ka vienādojums ref {eq: 8.1.13} atšķiras visiem (s ), ja (f (t) = e ^ {t ^ 2} ). Neoficiāli teikts, ka tas notiek tāpēc, ka (e ^ {t ^ 2} ) pārāk strauji palielinās kā (t to infty ). Nākamā definīcija nodrošina funkcijas pieauguma ierobežojumu, kas garantē tās Laplasa transformācijas konverģenci (s ) noteiktā intervālā ((s_0, infty) ).

Teorēma ( PageIndex {5} ): eksponenciālā secībā

Tiek teikts, ka funkcija (f ) ir eksponenciālā secībā (s_0 ), ja ir konstantes (M ) un (t_0 ) tādas, ka

[ label {eq: 8.1.14} | f (t) | le Me ^ {s_0t}, quad t ge t_0. ]

Situācijās, kad (s_0 ) konkrētajai vērtībai nav nozīmes, mēs vienkārši sakām, ka (f ) eksponenciālā secībā.

Nākamā teorēma dod pietiekamus nosacījumus, lai funkcija (f ) iegūtu Laplasa transformāciju. Pierādījums ir ieskicēts 8.1.10. Uzdevums.

Teorēma ( PageIndex {6} )

Ja (f ) ir pa daļām nepārtraukts uz ([0, infty) ) un eksponenciālā secībā (s_0, ), tad (s> ir definēts ({ cal L} (f) ) s_0 ).

Piezīme

Mēs uzsveram, ka teorēmas ( PageIndex {6} ) nosacījumi ir pietiekami, bet nav nepieciešams, lai (f ) būtu Laplasa transformācija. Piemēram, 8.1.14. C) uzdevums parāda, ka (f ) var būt Laplasa transformācija, kaut arī (f ) nav eksponenciālā secībā

Piemērs ( PageIndex {8} )

Ja (f ) ir ierobežots ar kādu intervālu ([t_0, infty) ), sakiet

[| f (t) | le M, quad t ge t_0, nonumber ]

tad vienādojums ref {eq: 8.1.14} ir spēkā ar (s_0 = 0 ), tāpēc (f ) ir eksponenciālas kārtas nulle. Tā, piemēram, ( sin omega t ) un ( cos omega t ) ir eksponenciālā secībā nulle, un teorēma ( PageIndex {6} ) nozīmē, ka ({ cal L} ( sin omega t) ) un ({ cal L} ( cos omega t) ) pastāv (s> 0 ). Tas atbilst secinājuma ( PageIndex {4} ) piemēram.

Piemērs ( PageIndex {9} )

Var pierādīt, ka, ja ( lim_ {t to infty} e ^ {- s_0t} f (t) ) pastāv un ir ierobežots, tad (f ) ir eksponenciālā secībā (s_0 ) (8.1.9. Uzdevums). Ja ( alpha ) ir jebkurš reāls skaitlis un (s_0> 0 ), tad (f (t) = t ^ alpha ) ir eksponenciālā secībā (s_0 ), jo

[ lim_ {t to infty} e ^ {- s_0t} t ^ alpha = 0, nonumber ]

pēc L’Hôpital noteikuma. Ja ( alpha ge 0 ), (f ) ir nepārtraukts arī uz ([0, infty) ). Tāpēc 8.1.9. Uzdevums un teorēma ( PageIndex {6} ) nozīmē, ka (s ge s_0 ) pastāv ({ cal L} (t ^ alfa) ). Tomēr, tā kā (s_0 ) ir patvaļīgs pozitīvs skaitlis, tas patiešām nozīmē, ka ({ cal L} (t ^ alfa) ) pastāv visiem (s> 0 ). Tas saskan ar piemēru ( PageIndex {2} ) un Vingrinājumi 8.1.6 un 8.1.8.

Piemērs ( PageIndex {10} )

Atrodiet gabalveida nepārtrauktās funkcijas Laplasa transformāciju

[f (t) = pa kreisi { sākas {masīvs} {cl} 1, & 0 le t <1, -3e ^ {- t} un t ge 1. end {masīvs} pa labi . nonumber ]

Risinājums

Tā kā (f ) definē dažādas formulas uz ([0,1) ) un ([1, infty) ), mēs rakstām

[F (s) = int_0 ^ infty e ^ {- st} f (t) , dt = int_0 ^ 1e ^ {- st} (1) , dt + int_1 ^ infty e ^ {- st} (- 3e ^ {- t}) , dt. nonumber ]

Kopš

[ int_ {0} ^ {1} e ^ {- st} dt = pa kreisi { begin {masīvs} {cl} { frac {1-e ^ {- s}} {s}} un { s neq 0} {1} un {s = 0} end {masīvs} right. nonumber ]

un

[ int_1 ^ infty e ^ {- st} (- 3e ^ {- t}) , dt = -3 int_1 ^ infty e ^ {- (s + 1) t} , dt = - { 3e ^ {- (s + 1)} virs s + 1}, quad s> -1, nonumber ]

no tā izriet, ka

[F (s) = pa kreisi { sākas {masīvs} {rl} { frac {1-e ^ {- s}} {s} -3 frac {e ^ {- (s + 1)} } {s + 1}} un {s> -1, s neq 0} {1- frac {3} {e}} un {s = 0} end {masīvs} right. nonumber ]

Tas atbilst teorēmai ( PageIndex {6} ), jo

[| f (t) | le 3e ^ {- t}, quad t ge 1, nonumber ]

un tāpēc (f ) ir eksponenciālā secībā (s_0 = -1 ).

Piezīme

8.4. Sadaļā mēs izstrādāsim efektīvāku metodi, lai atrastu Laplace transformācijas pa daļām nepārtrauktām funkcijām.

Piemērs ( PageIndex {11} )

Mēs jau iepriekš to paziņojām

[ int_0 ^ infty e ^ {- st} e ^ {t ^ 2} dt = infty nonumber ]

visiem (s ), tāpēc teorēma ( PageIndex {6} ) nozīmē, ka (f (t) = e ^ {t ^ 2} ) nav eksponenciālā secībā, jo

[ lim_ {t to infty} {e ^ {t ^ 2} pār mani ^ {s_0t}} = lim_ {t to infty} {1 pār M} e ^ {t ^ 2- s_0t} = infty, nonumber ]

tātad

[e ^ {t ^ 2}> Es ^ {s_0t} nonumber ]

pietiekami lielām (t ) vērtībām, jebkurai (M ) un (s_ {0} ) izvēlei (8.1.3. Uzdevums).


Ievads Laplasa transformācijās

Laplasa transformācija ir viena no daudzajām dažādajām & # 8220integrālajām transformācijām & # 8221, kurām ir šādas funkcijas:
1. Tas pārveido aprēķinu algebrā.
2. Tas sniedz informāciju par fizisko vai elektrisko sistēmu & # 8220 īsumā & # 8221 un
3. Tas ir mazliet dīvaini, bet to var uzskatīt par noteiktu veidu funkciju uzņemšanu un pārvēršanu par eksponenciālu funkciju dīvainu & # 8220nepārtrauktu summu & # 8221, apmēram tāpat kā jaudas sērijas pārņēma funkcijas un pārvērta tās bezgalīga polinoma veids.

Definīcija: funkcijas Laplasa transformācija, kas apzīmēta kā. Ņemiet vērā, ka integrācijas mainīgais lielums ir & # 8220integrēts & # 8221, un tikai paliek.

Tagad jūs aprēķinājāt, ka šis integrālis ir nepareizs un ne vienmēr pastāv. Tātad funkcijas Laplasa transformācija pastāv tikai tad, ja saplūst kā nepareizs integrāls.

Tā kā tas ir tikai ievads, mēs padarīsim savu dzīvi mazliet vieglāku un aprobežosimies ar eksponenciālās kārtības funkcijām, tas ir, tādām funkcijām, kas atbilstošai izvēlei,. Mēs to pieprasīsim arī no visiem atvasinājumiem.

Stingri sakot, šis ierobežojums nav vajadzīgs, taču mēs šo diskusiju saglabāsim progresīvākam kursam.

Mēs arī uzstāsim uz to, lai mūsu funkcijas būtu & # 8220spēcīgas nepārtrauktas & # 8221, jo funkcija var būt pārtraukta pie atsevišķa punktu kopuma (ti, izolētiem punktiem) un vietās, kur funkcija neizdodas, nav & # 8220vertikālu asimptotu & # 8221. jābūt nepārtrauktai.

Tas ir, Laplasa transformācija ir a lineārā transformācija.

Piezīme par neatņemamu aprēķinu: jums vienmēr lika rakstīt nevis. Tie ir diferenciālvienādojumi, tāpēc mēs izmantosim pēdējo konvenciju.

Aprēķināsim dažus no šiem:

. Piezīme. Ja tā, mūsu Laplace pārveidotajai funkcijai ir ierobežots domēns.

. Tagad šī ir vienkārša daļu integrācija ()

Tagad L & # 8217Hopital & # 8217s noteikums .. patiesībā visiem īstajiem un tā

Lai gan šis rezultāts pats par sevi ir svarīgs, modelis ir vēl svarīgāks.

Ļaujiet to darīt atkārtoti, bet šoreiz vesels skaitlis ir lielāks vai vienāds ar 2.

. Tagad šī ir vienkārša integrācija pa daļām: un tādējādi mēs iegūstam:

Novērtēšanas daļa joprojām ir nulle, tāpēc mums ir:

Tas ļauj veikt rekursīvu aprēķinu: un vispār

Ja tagad tas nav vesels skaitlis, Laplasa transformācija kļūst ļoti interesanta. Mēs to apspriedīsim vēlāk, taču, ja vēlaties ielūkoties, vispirms jums jāapgūst Gamma funkcija.

Tagad pie ikdienišķākām lietām ļaujiet & # 8217 darīt, kur ir kāds skaitlis, iespējams, sarežģīts.

Ne, ja tas ir reāls, mēs uzstājam

Tagad kā ar gadījumu, kur ir reāls? Protams, Laplasa transformācija tomēr ļauj mazliet padomāt. Mēs to varam izmantot, lai ļoti viegli iegūtu Laplasa sinusa un kosinusa transformāciju.

un tagad un tagad ņemot Laplasa transformāciju abās pusēs:

Tātad iegūstiet kopsaucēju, un mēs iegūstam:.

Vingrinājums: jūs to saprotat

Nākamā nodarbība: mēs veiksim & # 8220e-shift & # 8221 un darīsim atvasinājumus.


8.1. Ievads Laplasa transformācijā

Jūs gatavojaties dzēst savu darbu par šo darbību. Vai tiešām vēlaties to darīt?

Pieejama atjauninātā versija

Ir atjauninātā versija šīs aktivitātes. Ja atjaunināsiet šīs darbības jaunāko versiju, tiks dzēsti pašreizējie šīs darbības virzieni. Neatkarīgi no tā, jūsu pabeigšanas ieraksts paliks. Kā jūs vēlētos turpināt?

Matemātisko izteiksmju redaktors

Mēs parādām, kā Laplasa transformācijas var izmantot, lai atrisinātu nemainīgu koeficientu otrās kārtas sākotnējās vērtības problēmas.

Sākotnējās vērtības problēmu risinājums

Atvasinājumu Laplasa transformācijas

Šīs nodaļas turpinājumā mēs izmantosim Laplasa transformāciju, lai atrisinātu sākotnējās vērtības problēmas nemainīga koeficienta otrās kārtas vienādojumiem. Lai to izdarītu, mums jāzina, kā Laplasa transformācija ir saistīta ar Laplasa transformāciju. Nākamā teorēma atbild uz šo jautājumu.

Mēs zinām no 8.1.6. Teorēmas, kas ir definēta. Vispirms mēs apsveram gadījumu, kad notiek nepārtraukta darbība. Iegūstot integrāciju pa daļām

jebkuram . Tā kā tā ir eksponenciālā secībā, un pēdējais integrālis (eq: 8.3.2) saplūst it kā. Tāpēc

Šajā brīdī mums ir viegli pārbaudīt (dariet to!) Sākotnējās vērtības problēmas risinājumu

ir. Tagad mēs iegūsim šo rezultātu, izmantojot Laplasa transformāciju.

Ļaujiet būt Laplasa transformācija nezināmam risinājumam (ekv .: 8.3.3). Ņemot Laplasa transformācijas no abām pusēm (ekv .: 8.3.3), kuras, izmantojot teorēmu thmtype: 8.3.1, var pārrakstīt kā vai Solving for ienesīgumu tā, lai tas atbilstu zināmajam rezultātam.

Mums ir nepieciešama nākamā teorēma, lai atrisinātu otrās kārtas diferenciālvienādojumus, izmantojot Laplasa transformāciju.

Pierādījumu teorēmas thmtype: 8.3.1 nozīmē, ka pastāv un atbilst (ekv .: 8.3.4). Lai pierādītu, ka pastāv un atbilst (ekv .: 8.3.5), vispirms jāpielieto teorēma thmtype: 8.3.1 līdz. Tā kā tiek apmierinātas teorēmas thmtype: 8.3.1 hipotēzes, mēs secinām, ka tas ir definēts un apmierina. Tomēr, tā kā to var pārrakstīt kā aizstājēju (ekv .: 8.3.4) šajā ienesīgumā (ekv .: 8.3.5).

Otrās kārtas vienādojumu risināšana ar Laplasa transformāciju

Tagad mēs izmantosim Laplasa transformāciju, lai atrisinātu sākotnējās vērtības problēmas otrās kārtas vienādojumiem.

Nav nepieciešams rakstīt visas darbības, kuras mēs izmantojām, lai iegūtu (ekv .: 8.3.8). Lai redzētu, kā no tā izvairīties, piemērosim 8.3.2 piemēra piemēru vispārējās sākotnējās vērtības problēmai

Abas diferenciālvienādojuma vienādojuma Laplasa transformācijas (ekv .: 8.3.9) dod

Tagad ļaujiet. Teorēma thmtype: 8.3.2 un sākotnējie nosacījumi (eq: 8.3.9) nozīmē, ka, aizvietojot tos ar (eq: 8.3.10), iegūst kreisās puses koeficientu (ekv: 8.3 komplementārā vienādojuma raksturojošo polinomu). .9). Izmantojot to un pārvietojot terminus, kas saistīti ar (eq: 8.3.11), uz labo pusi, iegūst šo vienādojumu (eq: 8.3.8) piemērā: 8.3.2. Nosakot šī vienādojuma formu vispārīgā gadījumā, ieteicams pāriet tieši no sākotnējās vērtības problēmas uz šo vienādojumu. Jums var būt vieglāk atcerēties (ekv .: 8.3.12), kas pārrakstīts kā

Teksta avots

Trench, William F., “Elementārie diferenciālvienādojumi” (2013). Fakultātes autorētas un rediģētas grāmatas un kompaktdiski. 8. (CC-BY-NC-SA)


8. nodaļa: Ievads Laplasa kosmosā un Laplasa transformācijā

Gan Laplasa transformācija, gan z-transformācija ir cieši saistīta attiecīgi ar nepārtraukto Furjē transformāciju un diskrēto laika Furjē transformāciju. Tomēr, tā kā viņi izmanto sarežģītu frekvences mainīgo ( s vai z), nevis tīri iedomātu (j ? ), tie ir vispārīgāki. Piemēram, Laplasa transformāciju visur izmanto elektrisko ķēžu, piemēram, filtru un tīklu, analīzei un projektēšanai, un tā ir ideāli piemērota pārejošu reakciju parādību analīzei (Hickmann, 1999). Līdzīgi z-transformācija ir neaizstājams instruments digitālo filtru, īpaši bezgalīgu impulsu reakcijas (IIR) filtru projektēšanai un analīzei, par kuriem mums būs daudz ko teikt šajā un turpmākajās nodaļās.

Mēs sāksim izturēties pret šo tēmu, izpētot Laplasa transformācijas definīcijas, īpašības un izmantojumu. Tomēr, pirms mēs turpinām, šajā jautājumā ir jāpievērš uzmanība. Daži teksti par DSP ietver ļoti detalizētus Laplasa transformācijas aprakstus, domājams, tāpēc, ka tiek uzskatīts, ka diskrēto domēna apstrādi nevar pienācīgi izprast bez rūpīgas pamatojuma nepārtrauktās analītiskās metodēs. Turpretī citas grāmatas par DSP to visu kopā ignorē, iespējams, tāpēc, ka tiek uzskatīts, ka diskrēto apstrādes algoritmu projektēšanā jāpiemēro tikai atsevišķi instrumenti. Šajā nodaļā mēs virzīsim vidējo ceļu. Tiks sniegta pietiekama informācija par Laplace fonu un lietojumiem, lai jūs, lasītājs, varētu saprast.


Laplasa pārveidošana pa daļām:

Atcerieties, ka funkcija pa daļām attiecas uz funkciju, kas ir sadalīta gabalos vai apakšfunkcijās. Lai mēs varētu veikt Laplace transformāciju pa daļām, šai funkcijai jābūt nepārtrauktai katrā apakšfunkcijā (vai intervālā), kurai mēs izmantojam savu transformāciju. Katram funkcijas intervālam būs atšķirīga vērtība, tāpēc mums ir jāsadala mūsu Laplasa integrācija tikpat daudz integrāļu, cik mums ir funkcijas gabalu. Tas faktiski var vienkāršot mūsu klēpjdatora integrāciju dažās fragmenta funkcijas funkcijās, jo kura sadaļa nav neierobežota (tas ir, kas ietilpst intervālā, kurā neviena no galējībām nav bezgalīga), var tikt atrisināta ar regulārām integrācijas darbībām.

Vissvarīgākais faktors, kas jāpatur prātā, strādājot ar atsevišķām funkcijām, ir tas, ka jums jāatceras visi integrētie gabali, pārliecinieties, ka katrā procesa posmā jums ir integrācija (vai integrācijas rezultāts) katram funkcijas nepārtrauktās daļas.

Laplasa transformācija pa daļām funkcijai pt.1

Gabalveida funkcijai ir divi gabali, tāpēc mūsu Laplasa transformācija sastāvēs no divām integrācijām:

Laplasa transformācija pa daļām funkcijai pt.2

Saturs

Laplasa transformācija ir nosaukta matemātiķa un astronoma Pjēra-Saimona Laplasa vārdā, kurš līdzīgu pārveidojumu izmantoja arī savā darbā pie varbūtību teorijas. [4] Laplass daudz rakstīja par ģenerēšanas funkciju izmantošanu Essai philosophique sur les probabilités (1814), un Laplasa transformācijas neatņemamā forma tā rezultātā attīstījās dabiski. [5]

Laplasa radīto funkciju izmantošana bija līdzīga tai, ko tagad sauc par z-transformāciju, un viņš maz uzmanības veltīja nepārtrauktā mainīgā gadījumam, kuru apsprieda Nīls Henriks Ābels. [6] Teoriju 19. un 20. gadsimta sākumā tālāk izstrādāja Matiass Lerčs, [7] Olivers Heaviside [8] un Tomass Bromvičs. [9]

Pašreizējā transformācijas plašā izmantošana (galvenokārt inženierzinātnēs) notika Otrā pasaules kara laikā un drīz pēc tā, [10] aizstājot agrāko Heaviside operatīvo aprēķinu. Laplasa transformācijas priekšrocības bija uzsvēris Gustavs Doetsch [11], kuram acīmredzot pienākas nosaukums Laplace Transform.

Kopš 1744. gada Leonhards Eulers izmeklēja formas integrālus

kā diferenciālo vienādojumu risinājumi, bet šo jautājumu nav tālu virzījis. [12] Džozefs Luiss Lagranžs bija Eulera cienītājs un, pētot varbūtības blīvuma funkciju integrāciju, pētīja formas izteiksmes.

ko daži mūsdienu vēsturnieki ir interpretējuši mūsdienu Laplasa transformācijas teorijas ietvaros. [13] [14] [ nepieciešams skaidrojums ]

Šķiet, ka šie integrāļu veidi vispirms piesaistīja Laplasa uzmanību 1782. gadā, kur viņš sekoja Eulera garā, izmantojot pašus integrāļus kā vienādojumu risinājumus. [15] Tomēr 1785. gadā Laplass spēra kritisko soli uz priekšu, kad viņš nevis vienkārši meklēja risinājumu integrāla veidā, bet arī sāka pielietot transformācijas tādā nozīmē, ka vēlāk tai vajadzēja kļūt populārai. Viņš izmantoja formas neatņemamu daļu

līdzīgs Mellina transformācijai, lai pārveidotu visu diferenciālvienādojumu, lai meklētu pārveidotā vienādojuma risinājumus. Pēc tam viņš turpināja tādā pašā veidā piemērot Laplasa transformāciju un sāka iegūt dažas tā īpašības, sākot novērtēt tā potenciālu. [16]

Laplass arī atzina, ka Džozefa Furjē Furjē sērijas metodi difūzijas vienādojuma risināšanai var attiecināt tikai uz ierobežotu telpas reģionu, jo šie risinājumi bija periodiski. 1809. gadā Laplass pielietoja savu transformāciju, lai atrastu risinājumus, kas telpā bezgalīgi izkliedējās telpā. [17]

Funkcijas Laplasa transformācija f(t), kas definēts visiem reālajiem skaitļiem t ≥ 0, ir funkcija F(s), kas ir vienpusēja transformācija, ko definē

kur s ir kompleksa skaitļu frekvences parametrs

Integrāļa nozīme ir atkarīga no interesējošo funkciju veidiem. Nepieciešams integrāļa pastāvēšanas nosacījums ir f jābūt lokāli integrējamam vietnē [0, ∞). Lokāli integrējamām funkcijām, kas sabojājas bezgalībā vai kurām ir eksponenciāls tips, integrālu var saprast kā (pareizu) Lebesgue integrālu. Tomēr daudzos gadījumos tas ir jāuzskata par nosacīti konverģējošu nepareizu integrālu pie ∞. Vēl vispārīgāk, integrāli var saprast vājā nozīmē, un tas ir aplūkots turpmāk.

Var definēt ierobežota Borela mēra Laplasa transformāciju μ pēc Lebesgue integrāļa [18]

Svarīgs īpašs gadījums ir kur μ ir varbūtības mērs, piemēram, Diraka delta funkcija. Darbības aprēķinā mēra Laplace transformāciju traktē tā, it kā mērījumu radītu varbūtības blīvuma funkcija f . Tādā gadījumā, lai izvairītos no iespējamām neskaidrībām, bieži raksta

kur zemākā robeža 0 - ir stenogrāfiskā apzīmēšana

Šis ierobežojums uzsver, ka jebkuru punktu masu, kas atrodas 0, pilnībā uztver Laplasa transformācija. Lai gan ar Lebesgue integrāli nav nepieciešams noteikt šādu robežu, tas dabiskāk parādās saistībā ar Laplasa – Stieltjesa transformāciju.

Divpusēja Laplasa pārveidošana Rediģēt

Kad bez kvalifikācijas saka "Laplasa transformācija", parasti tiek domāts vienpusējs vai vienpusējs pārveidojums. Laplasa transformāciju var alternatīvi definēt kā divpusēja Laplasa transformācija, vai divpusēja Laplasa transformācija, paplašinot integrācijas robežas, lai tās būtu visa reālā ass. Ja tas tiek izdarīts, kopējā vienpusējā transformācija vienkārši kļūst par divpusējās transformācijas īpašu gadījumu, kur transformējamās funkcijas definīcija tiek reizināta ar Heaviside step funkciju.

Divpusējā Laplasa transformācija F(s) ir definēts šādi:

Alternatīvs apzīmējums divpusējai Laplasa transformācijai ir B < displaystyle < mathcal >>, nevis F < displaystyle F>.

Reversā Laplasa pārveidošana

Divām integrējamām funkcijām ir tāda pati Laplasa transformācija tikai tad, ja tās atšķiras pēc Lebesgue nulles mērvienības. Tas nozīmē, ka transformācijas diapazonā ir apgrieztā transformācija. Faktiski, bez integrējamām funkcijām, Laplasa transformācija ir viens pret vienu kartēšana no vienas funkciju telpas uz citu arī daudzās citās funkciju telpās, lai gan diapazonu parasti nav viegli raksturot.

Tipiskās funkciju telpas, kurās tā ir taisnība, ietver ierobežoto nepārtraukto funkciju atstarpes, atstarpi L ∞ (0, ∞) vai vispārīgi rūdīti sadalījumi (0, ∞). Laplasa transformācija ir definēta un injicējama arī piemērotām rūdītu sadalījumu telpām.

Šādos gadījumos Laplasa transformācijas attēls dzīvo analītisko funkciju telpā konverģences reģionā. Apgriezto Laplasa transformāciju dod šāds kompleksais integrālis, kas pazīstams ar dažādiem nosaukumiem ( Bromvičas neatņemama sastāvdaļa, Furjē – Mellina integrālis, un Mellina apgrieztā formula):

kur γ ir reāls skaitlis, lai integrācijas kontūras ceļš atrastos konverģences reģionā F(s). Lielākajā daļā lietojumu kontūru var aizvērt, ļaujot izmantot atlikumu teorēmu. Alternatīvu formulu apgrieztajai Laplasa transformācijai sniedz Post inversijas formula. Robeža šeit tiek interpretēta vājā topoloģijā.

In practice, it is typically more convenient to decompose a Laplace transform into known transforms of functions obtained from a table, and construct the inverse by inspection.

Probability theory Edit

In pure and applied probability, the Laplace transform is defined as an expected value. If X is a random variable with probability density function f , then the Laplace transform of f is given by the expectation

By convention, this is referred to as the Laplace transform of the random variable X pati. Here, replacing s by −t gives the moment generating function of X . The Laplace transform has applications throughout probability theory, including first passage times of stochastic processes such as Markov chains, and renewal theory.

Of particular use is the ability to recover the cumulative distribution function of a continuous random variable X , by means of the Laplace transform as follows: [19]

If f is a locally integrable function (or more generally a Borel measure locally of bounded variation), then the Laplace transform F(s) no f converges provided that the limit

The Laplace transform converges absolutely if the integral

exists as a proper Lebesgue integral. The Laplace transform is usually understood as conditionally convergent, meaning that it converges in the former but not in the latter sense.

The set of values for which F(s) converges absolutely is either of the form Re(s) > a or Re(s) ≥ a , kur a is an extended real constant with −∞ ≤ a ≤ ∞ (a consequence of the dominated convergence theorem). The constant a is known as the abscissa of absolute convergence, and depends on the growth behavior of f(t). [20] Analogously, the two-sided transform converges absolutely in a strip of the form a < Re(s) < b , and possibly including the lines Re(s) = a or Re(s) = b . [21] The subset of values of s for which the Laplace transform converges absolutely is called the region of absolute convergence, or the domain of absolute convergence. In the two-sided case, it is sometimes called the strip of absolute convergence. The Laplace transform is analytic in the region of absolute convergence: this is a consequence of Fubini's theorem and Morera's theorem.

Similarly, the set of values for which F(s) converges (conditionally or absolutely) is known as the region of conditional convergence, or simply the region of convergence (ROC). If the Laplace transform converges (conditionally) at s = s0 , then it automatically converges for all s with Re(s) > Re(s0). Therefore, the region of convergence is a half-plane of the form Re(s) > a , possibly including some points of the boundary line Re(s) = a .

In the region of convergence Re(s) > Re(s0) , the Laplace transform of f can be expressed by integrating by parts as the integral

Tas ir, F(s) can effectively be expressed, in the region of convergence, as the absolutely convergent Laplace transform of some other function. In particular, it is analytic.

There are several Paley–Wiener theorems concerning the relationship between the decay properties of f , and the properties of the Laplace transform within the region of convergence.

In engineering applications, a function corresponding to a linear time-invariant (LTI) system is stable if every bounded input produces a bounded output. This is equivalent to the absolute convergence of the Laplace transform of the impulse response function in the region Re(s) ≥ 0 . As a result, LTI systems are stable, provided that the poles of the Laplace transform of the impulse response function have negative real part.

This ROC is used in knowing about the causality and stability of a system.

The Laplace transform has a number of properties that make it useful for analyzing linear dynamical systems. The most significant advantage is that differentiation becomes multiplication, and integration becomes division, by s (reminiscent of the way logarithms change multiplication to addition of logarithms).

Because of this property, the Laplace variable s is also known as operator variable in the L domain: either derivative operator or (for s −1 ) integration operator. The transform turns integral equations and differential equations to polynomial equations, which are much easier to solve. Once solved, use of the inverse Laplace transform reverts to the original domain.

Given the functions f(t) un g(t) , and their respective Laplace transforms F(s) un G(s) ,

the following table is a list of properties of unilateral Laplace transform: [22]

Relation to power series Edit

The Laplace transform can be viewed as a continuous analogue of a power series. [24] If a(n) is a discrete function of a positive integer n , then the power series associated to a(n) is the series

kur x is a real variable (see Z transform). Replacing summation over n with integration over t , a continuous version of the power series becomes

where the discrete function a(n) is replaced by the continuous one f(t) .

Changing the base of the power from x uz e dod

For this to converge for, say, all bounded functions f , it is necessary to require that ln x < 0 . Making the substitution −s = ln x gives just the Laplace transform:

In other words, the Laplace transform is a continuous analog of a power series, in which the discrete parameter n is replaced by the continuous parameter t , un x is replaced by es .

Relation to moments Edit

ir moments of the function f . If the first n moments of f converge absolutely, then by repeated differentiation under the integral,

This is of special significance in probability theory, where the moments of a random variable X are given by the expectation values μ n = E ⁡ [ X n ] =operatorname [X^]> . Then, the relation holds

Computation of the Laplace transform of a function's derivative Edit

It is often convenient to use the differentiation property of the Laplace transform to find the transform of a function's derivative. This can be derived from the basic expression for a Laplace transform as follows:

and in the bilateral case,

Evaluating integrals over the positive real axis Edit

A useful property of the Laplace transform is the following:

but assuming Fubini's theorem holds, by reversing the order of integration we get the wanted right-hand side.

This method can be used to compute integrals that would otherwise be difficult to compute using elementary methods of real calculus. Piemēram,

Relationship to other transforms Edit

Laplace–Stieltjes transform Edit

The (unilateral) Laplace–Stieltjes transform of a function g : RR is defined by the Lebesgue–Stieltjes integral

Funkcija g is assumed to be of bounded variation. If g is the antiderivative of f :

then the Laplace–Stieltjes transform of g and the Laplace transform of f coincide. In general, the Laplace–Stieltjes transform is the Laplace transform of the Stieltjes measure associated to g . So in practice, the only distinction between the two transforms is that the Laplace transform is thought of as operating on the density function of the measure, whereas the Laplace–Stieltjes transform is thought of as operating on its cumulative distribution function. [25]

Fourier transform Edit

The Laplace transform is similar to the Fourier transform. While the Fourier transform of a function is a complex function of a real variable (frequency), the Laplace transform of a function is a complex function of a complex variable. The Laplace transform is usually restricted to transformation of functions of t ar t ≥ 0 . A consequence of this restriction is that the Laplace transform of a function is a holomorphic function of the variable s . Unlike the Fourier transform, the Laplace transform of a distribution is generally a well-behaved function. Techniques of complex variables can also be used to directly study Laplace transforms. As a holomorphic function, the Laplace transform has a power series representation. This power series expresses a function as a linear superposition of moments of the function. This perspective has applications in probability theory. The continuous Fourier transform is equivalent to evaluating the bilateral Laplace transform with imaginary argument s = vai s = 2πfi [26] when the condition explained below is fulfilled,

This definition of the Fourier transform requires a prefactor of 1/(2π) on the reverse Fourier transform. This relationship between the Laplace and Fourier transforms is often used to determine the frequency spectrum of a signal or dynamical system.

The above relation is valid as stated if and only if the region of convergence (ROC) of F(s) contains the imaginary axis, σ = 0 .

For example, the function f(t) = cos(ω0t) has a Laplace transform F(s) = s/(s 2 + ω0 2 ) whose ROC is Re(s) > 0 . Kā s = is a pole of F(s) , substituting s = iekšā F(s) does not yield the Fourier transform of f(t)u(t) , which is proportional to the Dirac delta-function δ(ωω0) .

However, a relation of the form

holds under much weaker conditions. For instance, this holds for the above example provided that the limit is understood as a weak limit of measures (see vague topology). General conditions relating the limit of the Laplace transform of a function on the boundary to the Fourier transform take the form of Paley–Wiener theorems.

Mellin transform Edit

The Mellin transform and its inverse are related to the two-sided Laplace transform by a simple change of variables.

If in the Mellin transform

we set θ = et we get a two-sided Laplace transform.

Z-transform Edit

The unilateral or one-sided Z-transform is simply the Laplace transform of an ideally sampled signal with the substitution of

kur T = 1/fs is the sampling period (in units of time e.g., seconds) and fs is the sampling rate (in samples per second or hertz).

be a sampling impulse train (also called a Dirac comb) and

be the sampled representation of the continuous-time x(t)

The Laplace transform of the sampled signal xq(t) ir

This is the precise definition of the unilateral Z-transform of the discrete function x[n]

with the substitution of ze sT .

Comparing the last two equations, we find the relationship between the unilateral Z-transform and the Laplace transform of the sampled signal,

The similarity between the Z and Laplace transforms is expanded upon in the theory of time scale calculus.

Borel transform Edit

is a special case of the Laplace transform for f an entire function of exponential type, meaning that

for some constants A un B . The generalized Borel transform allows a different weighting function to be used, rather than the exponential function, to transform functions not of exponential type. Nachbin's theorem gives necessary and sufficient conditions for the Borel transform to be well defined.

Fundamental relationships Edit

Since an ordinary Laplace transform can be written as a special case of a two-sided transform, and since the two-sided transform can be written as the sum of two one-sided transforms, the theory of the Laplace-, Fourier-, Mellin-, and Z-transforms are at bottom the same subject. However, a different point of view and different characteristic problems are associated with each of these four major integral transforms.

The following table provides Laplace transforms for many common functions of a single variable. [27] [28] For definitions and explanations, see the Explanatory Notes at the end of the table.

Because the Laplace transform is a linear operator,

  • The Laplace transform of a sum is the sum of Laplace transforms of each term.
  • The Laplace transform of a multiple of a function is that multiple times the Laplace transformation of that function.

Using this linearity, and various trigonometric, hyperbolic, and complex number (etc.) properties and/or identities, some Laplace transforms can be obtained from others more quickly than by using the definition directly.

The unilateral Laplace transform takes as input a function whose time domain is the non-negative reals, which is why all of the time domain functions in the table below are multiples of the Heaviside step function, u(t) .

The entries of the table that involve a time delay τ are required to be causal (meaning that τ > 0 ). A causal system is a system where the impulse response h(t) is zero for all time t prior to t = 0 . In general, the region of convergence for causal systems is not the same as that of anticausal systems.

  • u(t) represents the Heaviside step function.
  • δ represents the Dirac delta function.
  • Γ(z) represents the gamma function.
  • γ is the Euler–Mascheroni constant.
  • t , a real number, typically represents laiks,
    although it can represent jebkurš independent dimension.
  • s is the complex frequency domain parameter, and Re(s) is its real part.
  • α, β, τ, un ω are real numbers.
  • n is an integer.

The Laplace transform is often used in circuit analysis, and simple conversions to the s -domain of circuit elements can be made. Circuit elements can be transformed into impedances, very similar to phasor impedances.

Here is a summary of equivalents:

Note that the resistor is exactly the same in the time domain and the s -domain. The sources are put in if there are initial conditions on the circuit elements. For example, if a capacitor has an initial voltage across it, or if the inductor has an initial current through it, the sources inserted in the s -domain account for that.

The equivalents for current and voltage sources are simply derived from the transformations in the table above.

The Laplace transform is used frequently in engineering and physics the output of a linear time-invariant system can be calculated by convolving its unit impulse response with the input signal. Performing this calculation in Laplace space turns the convolution into a multiplication the latter being easier to solve because of its algebraic form. For more information, see control theory. The Laplace transform is invertible on a large class of functions. Given a simple mathematical or functional description of an input or output to a system, the Laplace transform provides an alternative functional description that often simplifies the process of analyzing the behavior of the system, or in synthesizing a new system based on a set of specifications. [31]

The Laplace transform can also be used to solve differential equations and is used extensively in mechanical engineering and electrical engineering. The Laplace transform reduces a linear differential equation to an algebraic equation, which can then be solved by the formal rules of algebra. The original differential equation can then be solved by applying the inverse Laplace transform. English electrical engineer Oliver Heaviside first proposed a similar scheme, although without using the Laplace transform and the resulting operational calculus is credited as the Heaviside calculus.

Evaluating improper integrals Edit

provided that the interchange of limits can be justified. This is often possible as a consequence of the final value theorem. Even when the interchange cannot be justified the calculation can be suggestive. For example, with a ≠ 0 ≠ b , proceeding formally one has

The validity of this identity can be proved by other means. It is an example of a Frullani integral.

Complex impedance of a capacitor Edit

In the theory of electrical circuits, the current flow in a capacitor is proportional to the capacitance and rate of change in the electrical potential (in SI units). Symbolically, this is expressed by the differential equation

kur C is the capacitance (in farads) of the capacitor, i = i(t) is the electric current (in amperes) through the capacitor as a function of time, and v = v(t) is the voltage (in volts) across the terminals of the capacitor, also as a function of time.

Taking the Laplace transform of this equation, we obtain

Atrisinot V(s) we have

The definition of the complex impedance Z (in ohms) is the ratio of the complex voltage V divided by the complex current Es while holding the initial state V0 at zero:

Using this definition and the previous equation, we find:

which is the correct expression for the complex impedance of a capacitor. In addition, the Laplace transform has large applications in control theory.

Partial fraction expansion Edit

Consider a linear time-invariant system with transfer function

The impulse response is simply the inverse Laplace transform of this transfer function:

To evaluate this inverse transform, we begin by expanding H(s) using the method of partial fraction expansion,

The unknown constants P un R are the residues located at the corresponding poles of the transfer function. Each residue represents the relative contribution of that singularity to the transfer function's overall shape.

By the residue theorem, the inverse Laplace transform depends only upon the poles and their residues. To find the residue P , we multiply both sides of the equation by s + α dabūt

Then by letting s = −α , the contribution from R vanishes and all that is left is

Similarly, the residue R dod

and so the substitution of R un P into the expanded expression for H(s) gives

Finally, using the linearity property and the known transform for exponential decay (see Item #3 in the Table of Laplace Transforms, above), we can take the inverse Laplace transform of H(s) to obtain

which is the impulse response of the system.

The same result can be achieved using the convolution property as if the system is a series of filters with transfer functions of 1/(s + a) and 1/(s + b). That is, the inverse of

Phase delay Edit

Starting with the Laplace transform,

we find the inverse by first rearranging terms in the fraction:

We are now able to take the inverse Laplace transform of our terms:

This is just the sine of the sum of the arguments, yielding:

We can apply similar logic to find that

Statistical mechanics Edit

In statistical mechanics, the Laplace transform of the density of states g ( E ) d E defines the partition function. [32] That is, the canonical partition function Z ( β ) is given by

and the inverse is given by

An example curve of e t cos(10t) that is added together with similar curves to form a Laplace Transform.


14.1: Introduction to Laplace Transforms

  • Contributed by Jeremy Tatum
  • Emeritus Professor (Physics & Astronomy) at University of Victoria

If (y(x)) is a function of (x), where (x) lie s in the range (0) to (infty) , then the function (ar(p)) defined by

sauc par Laplace transform of (y(x)). However, in this chapter, where we shall be applying Laplace transforms to electrical circui ts, (y) wi ll most often be a voltage or current that is varying with laiks rather than with "x& quot. Thus I sh all use (t) as our variable rather than (x), and I shall use (s) rather than (p) (alth ough it will be noted that, as yet, I have given no particular physical meaning to ei ther (p) or to (s).) Th us I shall define the Laplace transform with the notation

it being understood that t lies in the range (0) to (infty) .

For short, I could write this as

When we first learned differential calculus, we soon learned that there were just a few functions whose derivatives it was worth committing to memory. Thus we learned the derivatives of (x^n, sin x, e^x) and a very few more. We found that we could readily find the derivatives of more complicated functions by means of a few simple rules, such as how to differentiate a product of two functions, or a function of a function, and so on. Likewise, we have to know only a very few basic Laplace transforms there are a few simple rules that will enable us to calculate more complicated ones.

After we had learned differential calculus, we came across integral calculus. This was the inverse process from differentiation. We had to ask: What function would we have had to differentiate in order to arrive at this function? It was as though we were given the answer to a problem, and had to deduce what the question was. It will be a similar situation with Laplace transforms. We shall often be given a function (ar(s)) and we shall want to know: what fun ction (y(t)) is t his the Laplace transform of? In other words, we shall need to know the inverse Laplace transform:

We shall find that facility in calculating Laplace transforms and their inverses leads to very quick ways of solving some types of differential equations &ndash in particular the types of differential equations that arise in electrical theory. We can use Laplace transforms to see the relations between varying current and voltages in circuits containing resistance, capacitance and inductance. However, these methods are quick and convenient only if we are in constant daily practice in dealing with Laplace transforms with easy familiarity. Few of us, unfortunately, have the luxury of calculating Laplace transforms and their inverses on a daily basis, and they lose many of their advantages if we have to refresh our memories and regain our skills every time we may want to use them. It may therefore be asked: Since we already know perfectly well how to do AC calculations using complex numbers, is there any point in learning what just amounts to another way of doing the same thing? There is an answer to that. The theory of AC circuits that we developed in Chapter 13 using complex numbers to find the relations between current and voltages dealt primarily with steady state conditions, in which voltages and current were varying sinusoidally. It did not deal with the transient effects that might happen in the first few moments after we switch on an electrical circuit, or situations where the time variations are not sinusoidal. The Laplace transform approach will deal equally well with steady state, sinusoidal, non-sinusoidal and transient situations.


8.1: Introduction to the Laplace Transform

The Laplace Transform of a function y(t) is defined by

if the integral exists. The notation L[y(t)](s) means take the Laplace transform
of y(t). The functions y(t) and Y(s) are partner functions. Note that Y(s) is indeed only a function of s since the definite integral is with respect to t.

The integral converges if s>1. The functions exp(t) and 1/(s-1) are partner
functions.

The integral converges for s>0. The integral can be computed by doing
integration by parts twice or by looking in an integration table.

Existence of the Laplace Transform

If y(t) is piecewise continuous for t>=0 and of exponential order, then
the Laplace Transform exists for some values of s. A function y(t) is of
exponential order c if there is exist constants M and T such that

All polynomials, simple exponentials (exp(at), where a is a constant), sine
and cosine functions, and products of these functions are of exponential order.
An example of a function not of exponential order is exp(t^2). This function
grows too rapidly. The integral

does not converge for any value of s.

Table of Laplace Transforms

The following table lists the Laplace Transforms for a selection of functions

Rules for Computing Laplace Transforms of Functions

There are several formulas and properties of the Laplace transform which can
greatly simplify calculation of the Laplace transform of functions. Mēs
summarize them below. The properties can verified using the integral
formula for the Laplace Transform and can be found in any textbook.

Like differentiation and integration the Laplace transformation is a linear
operation. What does this mean? In words, it means that the Laplace
transform of a constant times a function is the constant times the
Laplace transform of the function. In addition the Laplace transform
of a sum of functions is the sum of the Laplace transforms.

Let us restate the above in mathspeak. Let Y_1(s) and Y_2(s) denote
the Laplace transforms of y_1(t) and y_2(t), respectively, and let c_1
be a constant. Recall that L[f(t)](s) denotes the Laplace transform of
f(t). Mums ir

As a corollary, we have the third formula:

Here are several examples:

Here we have used the results in the table for the Laplace transform
of the exponential. Here are a couple of more examples:

The translation formula states that Y(s) is the Laplace transform of y(t), then

where a is a constant. Šeit ir piemērs. The Laplace transform of the
y(t)=t is Y(s)=1/s^2. Tādējādi

Laplace Transform of the Derivative

Suppose that the Laplace transform of y(t) is Y(s). Then the Laplace
Transform of y'(t) is

For the second derivative we have

For the n'th derivative we have

Derivatives of the Laplace Transform

Let Y(s) be the Laplace Transform of y(t). Tad

Šeit ir piemērs. Suppose we wish to compute the Laplace
transform of tsin(t). The Laplace transform of sin(t) is 1/(s^2+1).
Hence, we have


8.1: Introduction to the Laplace Transform

Количество зарегистрированных учащихся: 38 тыс.

The purpose of this course is to equip students with theoretical knowledge and practical skills, which are necessary for the analysis of stochastic dynamical systems in economics, engineering and other fields. More precisely, the objectives are 1. study of the basic concepts of the theory of stochastic processes 2. introduction of the most important types of stochastic processes 3. study of various properties and characteristics of processes 4. study of the methods for describing and analyzing complex stochastic models. Practical skills, acquired during the study process: 1. understanding the most important types of stochastic processes (Poisson, Markov, Gaussian, Wiener processes and others) and ability of finding the most appropriate process for modelling in particular situations arising in economics, engineering and other fields 2. understanding the notions of ergodicity, stationarity, stochastic integration application of these terms in context of financial mathematics It is assumed that the students are familiar with the basics of probability theory. Knowledge of the basics of mathematical statistics is not required, but it simplifies the understanding of this course. The course provides a necessary theoretical basis for studying other courses in stochastics, such as financial mathematics, quantitative finance, stochastic modeling and the theory of jump - type processes. Do you have technical problems? Write to us: [email protected]

Рецензии

This was helpful but I still feel I don't understand stochastic processes. Folks taking this course should know that it's pretty tough, compared to most Coursera courses.

Great course! The subject material was well covered and it gave me the tools to tackle more advanced stochastic, like population dynamics or quantitative finance.

Week 1: Introduction & Renewal processes

Upon completing this week, the learner will be able to understand the basic notions of probability theory, give a definition of a stochastic process plot a trajectory and find finite-dimensional distributions for simple stochastic processes. Moreover, the learner will be able to apply Renewal Theory to marketing, both calculate the mathematical expectation of a countable process for any renewal process

Преподаватели

Vladimir Panov

Текст видео

Before I will present an approach for calculating the mathematical expectation of accounting process, I would like a shorter recall the definition and main properties of the Laplace transform. This transform can be defined for any function F from R plus to R. And the definition is very simple, Laplace transform of F is equal to the integral, from zero to plus infinity exponent in the power minus SX, F of x, dx. Main properties of this object has a following. First of all, if F is a density function of some random [inaudible] xai. Then, Laplace transform of F is actually equal to the mathematical expectation of exponent in the power minus xai. Secondly, if you have two functions F1 and F2, then the Laplace transform of the convolution is equal to the product of Laplace transform of F1 and Laplace transform of F2. And here, it's very important that the convolution is understood in the sense of densities. If F1 and F2 are identities are then this, fact basically follows from the first property. But if they are not densities this fact is still true, and actually, for any two F functions, F1 to F2, this property holds. The third property of which will be needed in this sequel is the following. That capital F be a distribution function of some positive, on a surely positive random variable, that is F0 is equal to zero, and let P, B's a derivative of F, that is a density function of the corresponding distribution. Then, the following statement is true, Laplace transform of the function capital F at point S is equal to the Laplace transform of the density function P divided by S. To prove it, let us apply the integration by parts formula to the left hand side of this equality. Actually, this Laplace transform of a function F is nothing more than the integral of R plus. And here, I can write F of x, D exponent minus S of x divided by S was a minus. Then, let me integrate it by parts. So, what we have here is one part F of x and the second part exponent minus S of x divided by S. And we will get the full length expression. It's basically, minus F of x exponent in the power minus S of x divided by S from zero to infinity plus integral of R plus, P of x exponent in the power minus S of x, tx. And here, I should also divide the second integral by S. As for the first [inaudible] this expression, it is equal to zero because when I substitute here, infinity exponent gives me zero. And when, I put here zero, I should use the properties of F and zero is equal to zero. So basically, this is equal to zero. And what we have here is exactly as the expression in right hand side. So, we conclude that this property is fulfilled and it will play some role in our method for estimations and mathematical expectation of NT. Now, let me provide just a short example, how one can calculate the Laplace transform. The first example, let me calculate Laplace transform of the function X in the power n, where n is some natural number. This is a very simple exercise for the application integration by parts formula. So, what we have here is the integral of R plus, X in the power n, d exponent to power minus sx divided by s. Integration by parts yields that this integral is equal to n divided by s, integral over R plus, x in the power n minus 1, exponent in the power minus sx dx. So, we have the same integral here as the original but with power n minus 1 instead of F. If now continue in the same manner, we get finally n divided by s multiplied by n minus 1 divided by s and so on, multiplied by 2 divided by s. And here, we have the integral over R plus exponent in the power minus S of x dx. And this integral is equal to 1 divided by s. So what we get finally, is n factorial divided by S with the power n. Labi. So, we conclude the Laplace transform of the [inaudible] function XN is equal to the N factorial divided by S divided by N. Just remember, this result, we will use it many times and what follows. And second example, which is also important for further study is the Laplace transform of the exponential function, that our calculation shows that this is now seen more than one divided by S minus a. If a is a number smaller than S. I advise you to remember also this result. It will be also very useful in what follows. And now, let me show how we can apply all of this stuff to the renewal theory and how we can get the direct approach for calculating with mathematical expectation of NT.