Raksti

5.1. Vienādojumu sistēmu atrisināšana, izmantojot grafiku


Mācību mērķi

Šīs sadaļas beigās jūs varēsiet:

  • Nosakiet, vai sakārtotais pāris ir vienādojumu sistēmas risinājums
  • Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot grafiku
  • Nosakiet lineārās sistēmas risinājumu skaitu
  • Atrisiniet vienādojumu sistēmu lietojumus, izmantojot grafiku

Piezīme

Pirms sākat, veiciet šo gatavības viktorīnu.

  1. Vienādojumam (y = frac {2} {3} x − 4 )
    Ⓐ ir (6,0) risinājums? Ⓑ ir (−3, −2) risinājums?
    Ja esat nokavējis šo problēmu, pārskatiet 2.1.1.
  2. Atrodiet 3x − y = 12 taisnes slīpumu un y-krustpunktu.
    Ja jums pietrūka šīs problēmas, pārskatiet 4.5.7. Vingrinājumu.
  3. Atrodiet līnijas 2x − 3y = 12 x- un y pārtveršanas punktus.
    Ja esat nokavējis šo problēmu, pārskatiet 4.3.7. Vingrinājumu.

Nosakiet, vai sakārtotais pāris ir vienādojumu sistēmas risinājums

Sadaļā par lineāro vienādojumu un nevienlīdzību risināšanu mēs uzzinājām, kā atrisināt lineāros vienādojumus ar vienu mainīgo. Atcerieties, ka vienādojuma risinājums ir tā mainīgā vērtība, kas vienādojumā aizvieto patiesu apgalvojumu. Tagad mēs strādāsim ar lineāro vienādojumu sistēmas, divi vai vairāki lineārie vienādojumi, kas sagrupēti kopā.

Definīcija: LINEĀRĀS VIENĀDOJUMU SISTĒMA

Grupējot divus vai vairākus lineāros vienādojumus, tie veido lineāro vienādojumu sistēmu.

Mēs šeit koncentrēsimies uz divu lineāru vienādojumu sistēmām divos nezināmos. Vēlāk jūs varat atrisināt lielākas vienādojumu sistēmas.

Divu lineāru vienādojumu sistēmas piemērs ir parādīts zemāk. Mēs izmantojam bikšturi, lai parādītu, ka abi vienādojumi ir sagrupēti, lai izveidotu vienādojumu sistēmu.

Lineārs vienādojums divos mainīgos, piemēram, 2x + y = 7, ir bezgalīgi daudz risinājumu. Tās grafiks ir līnija. Atcerieties, ka katrs līnijas punkts ir vienādojuma risinājums, un katrs vienādojuma risinājums ir punkts uz līnijas.

Lai atrisinātu divu lineāru vienādojumu sistēmu, mēs vēlamies atrast mainīgo vērtības, kas ir abu vienādojumu risinājumi. Citiem vārdiem sakot, mēs meklējam pasūtītos pārus (x, y), kas abus vienādojumus padara patiesus. Tos sauc par vienādojumu sistēmas risinājumi.

Definīcija: LĪDZEKĻU SISTĒMAS RISINĀJUMI

Vienādojumu sistēmas risinājumi ir mainīgo vērtības, kas visus vienādojumus padara patiesus. Divu lineāru vienādojumu sistēmas risinājumu attēlo sakārtots pāris (x, y).

Lai noteiktu, vai sakārtots pāris ir divu vienādojumu sistēmas risinājums, katrā vienādojumā mēs aizstājam mainīgo lielumus. Ja sakārtotais pāris padara patiesus abus vienādojumus, tas ir sistēmas risinājums.

Apsvērsim tālāk minēto sistēmu:

[ sākas {gadījumi} {3x − y = 7} {x −2y = 4} beigas {gadījumi} ]

Vai sakārtotais pāris (2, −1) ir risinājums?

Sakārtotais pāris (2, −1) padarīja abus vienādojumus patiesus. Tāpēc (2, −1) ir šīs sistēmas risinājums.

Izmēģināsim vēl vienu pasūtītu pāri. Vai pasūtītais pāris (3, 2) ir risinājums?

Sakārtotais pāris (3, 2) padarīja vienu vienādojumu par patiesu, bet otru vienādojumu - par nepatiesu. Tā kā tas nav risinājums gan vienādojumi, tas nav šīs sistēmas risinājums.

Vingrinājums ( PageIndex {1} )

Nosakiet, vai sakārtotais pāris ir sistēmas risinājums: ( begin {cases} {x − y = −1} {2x − y = −5} end {cases} )

  1. (−2,−1)
  2. (−4,−3)
Atbilde

1.

(−2, −1) nepadara abus vienādojumus patiesus. (−2, −1) nav risinājums.

2.

(−4, −3) nepadara abus vienādojumus patiesus. (−4, −3) ir risinājums.

Vingrinājums ( PageIndex {2} )

Nosakiet, vai sakārtotais pāris ir sistēmas risinājums: ( begin {cases} {3x + y = 0} {x + 2y = −5} end {cases} )

  1. (1,−3)
  2. (0,0)
Atbilde

Vingrinājums ( PageIndex {3} )

Nosakiet, vai sakārtotais pāris ir sistēmas risinājums: ( begin {cases} {x − 3y = −8} {−3x − y = 4} end {cases} )

  1. (2,−2)
  2. (−2,2)
Atbilde

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot grafiku

Šajā nodaļā mēs izmantosim trīs metodes, lai atrisinātu lineāro vienādojumu sistēmu. Pirmā metode, ko izmantosim, ir diagrammu veidošana. Lineārā vienādojuma grafiks ir līnija. Katrs līnijas punkts ir vienādojuma risinājums. Divu vienādojumu sistēmai mēs uzzīmēsim divas līnijas. Tad mēs varam redzēt visus punktus, kas ir katra vienādojuma risinājumi. Un, atrodot līnijām kopīgo, mēs atradīsim sistēmas risinājumu.

Lielākajai daļai lineāro vienādojumu vienā mainīgajā ir viens risinājums, taču mēs redzējām, ka dažus vienādojumus sauc pretrunas, nav risinājumu, un citiem vienādojumiem, ko sauc par identitātēm, visi skaitļi ir risinājumi. Līdzīgi, kad mēs atrisinām divu lineāru vienādojumu sistēmu, ko attēlo divu līniju grafiks vienā plaknē, ir trīs iespējamie gadījumi, kā parādīts ( PageIndex {1} ).

Pirmajam lineāro vienādojumu sistēmas risināšanas piemēram šajā sadaļā un nākamajās divās sadaļās mēs atrisināsim to pašu divu lineāro vienādojumu sistēmu. Bet katrā sadaļā mēs izmantosim citu metodi. Pēc trešās metodes redzēšanas jūs izlemsiet, kura metode bija ērtākais veids, kā atrisināt šo sistēmu.

Exercise ( PageIndex {4} ): Kā atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot grafiku

Atrisiniet sistēmu, izmantojot diagrammu: ( begin {cases} {2x + y = 7} {x − 2y = 6} end {cases} )

Atbilde

Vingrinājums ( PageIndex {5} )

Atrisiniet katru sistēmu, izmantojot diagrammu: ( begin {cases} {x − 3y = −3} {x + y = 5} end {cases} )

Atbilde

(3,2)

Vingrinājums ( PageIndex {6} )

Atrisiniet katru sistēmu, izmantojot diagrammu: ( begin {cases} {- x + y = 1} {3x + 2y = 12} end {cases} )

Atbilde

(2,3)

Darbības, kas jāizmanto, lai atrisinātu lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot grafiku, ir parādītas tālāk.

LĪDZEKĻA VIENĀDOJUMU SISTĒMAS RISINĀŠANA, GRĀMĒJOT.

  1. Noformējiet pirmo vienādojumu.
  2. Uzzīmējiet otro vienādojumu tajā pašā taisnstūra koordinātu sistēmā.
  3. Nosakiet, vai līnijas krustojas, ir paralēlas vai tās pašas taisnes.
  4. Identificējiet sistēmas risinājumu.
    • Ja līnijas krustojas, identificējiet krustošanās punktu. Pārbaudiet, vai tas ir abu vienādojumu risinājums. Tas ir sistēmas risinājums.
    • Ja līnijas ir paralēlas, sistēmai nav risinājuma.
    • Ja līnijas ir vienādas, sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu.

Vingrinājums ( PageIndex {7} )

Atrisiniet sistēmu, izmantojot diagrammu: ( begin {cases} {y = 2x + 1} {y = 4x − 1} end {cases} )

Atbilde

Abi šīs sistēmas vienādojumi ir slīpuma pārtveršanas formā, tāpēc mēs izmantosim viņu nogāzes un y-jēdzieni, lai tos attēlotu. ( sākas {gadījumi} {y = 2x + 1} {y = 4x − 1} beigas {gadījumi} )

Atrodiet slīpumu un y-pieņemšana
pirmais vienādojums.
Atrodiet slīpumu un y-pieņemšana
pirmais vienādojums.
Attēlojiet divas līnijas.
Nosakiet krustošanās punktu.Līnijas krustojas (1, 3).
Pārbaudiet risinājumu abos vienādojumos.
Risinājums ir (1, 3).

Vingrinājums ( PageIndex {8} )

Atrisiniet sistēmu, izmantojot diagrammu: ( begin {cases} {y = 2x + 2} {y = -x − 4} end {cases} )

Atbilde

(−2,−2)

Vingrinājums ( PageIndex {9} )

Atrisiniet sistēmu, izmantojot diagrammu: ( begin {cases} {y = 3x + 3} {y = -x + 7} end {cases} )

Atbilde

(1,6)

Abi vingrojuma ( PageIndex {7} ) vienādojumi tika doti slīpuma – pārtveršanas formā. Tas mums ļāva ātri ātri uzzīmēt līnijas. Nākamajā piemērā vispirms vienādojumus pārrakstīsim slīpuma – pārtveršanas formā.

Vingrinājums ( PageIndex {10} )

Atrisiniet sistēmu, izmantojot diagrammu: ( begin {cases} {3x + y = −1} {2x + y = 0} end {cases} )

Atbilde

Mēs atrisināsim abus šos vienādojumus yy, lai mēs varētu tos viegli uzzīmēt, izmantojot to nogāzes un y-jēdzieni. ( sākt {gadījumi} {3x + y = −1} {2x + y = 0} beigas {gadījumi} )

Atrisiniet pirmo vienādojumu y.

Atrodiet slīpumu un y-intercept.

Atrisiniet otro vienādojumu y.

Atrodiet slīpumu un y-intercept.

Attēlojiet līnijas.
Nosakiet krustošanās punktu.Līnijas krustojas (−1, 2).
Pārbaudiet risinājumu abos vienādojumos.
Risinājums ir (−1, 2).

Vingrinājums ( PageIndex {11} )

Atrisiniet katru sistēmu, izmantojot diagrammu: ( begin {cases} {- x + y = 1} {2x + y = 10} end {cases} )

Atbilde

(3,4)

Vingrinājums ( PageIndex {12} )

Atrisiniet katru sistēmu, izmantojot diagrammu: ( begin {cases} {2x + y = 6} {x + y = 1} end {cases} )

Atbilde

(5,−4)

Parasti, kad vienādojumi tiek doti standarta formā, ērtākais veids, kā tos attēlot, ir izmantot krustpunktus. Mēs to izdarīsim uzdevumā ( PageIndex {13} ).

Vingrinājums ( PageIndex {13} )

Atrisiniet sistēmu, izmantojot diagrammu: ( begin {cases} {x + y = 2} {x-y = 4} end {cases} )

Atbilde

Mēs atradīsim x- un y- abu vienādojumu jēdzieni un tos izmanto līniju grafikā.

Lai atrastu pārtveršanu, ļaujiet x = 0 un atrisināt
priekš y, tad ļaujiet y = 0 un atrisināt x.
( sākas {izlīdzināts} x + y & = 2 quad x + y = 2 0 + y & = 2 quad x + 0 = 2 y & = 2 quad x = 2 end {izlīdzināts } )
Lai atrastu pārtveršanu, ļaujiet
x = 0, tad ļaujiet y = 0.
sākt {masīvs} {rlr} {xy} un {= 4} un {xy} un {= 4} {0-y} un {= 4} un {x-0} un {= 4} {-y} un {= 4} un {x} un {= 4} {y} un {= -4} beigu {masīvs}
Uzzīmējiet līniju.
Nosakiet krustošanās punktu.Līnijas krustojas (3, −1).
Pārbaudiet risinājumu abos vienādojumos.

( begin {array} {rllrll} {x + y} & {=} & {2} & {xy} & {=} un {4} {3 + (- 1)} un { stackrel { ?} {=}} Un {2} un {3 - (-1)} un { stackrel {?} {=}} Un {4} {2} un {=} un {2 atzīme} un {4} un {=} un {4 atzīme} beigu {masīvs} )

Risinājums ir (3, −1).

Vingrinājums ( PageIndex {14} )

Atrisiniet katru sistēmu, izmantojot diagrammu: ( begin {cases} {x + y = 6} {x − y = 2} end {cases} )

Atbilde

(4,2)

Vingrinājums ( PageIndex {15} )

Atrisiniet katru sistēmu, izmantojot diagrammu: ( begin {cases} {x + y = 2} {x-y = -8} end {cases} )

Atbilde

(5,−3)

Vai atceraties, kā uzzīmēt lineāru vienādojumu ar tikai vienu mainīgo? Tā būs vai nu vertikāla, vai horizontāla līnija.

Vingrinājums ( PageIndex {17} )

Atrisiniet katru sistēmu, izmantojot diagrammu: ( begin {cases} {y = −1} {x + 3y = 6} end {cases} )

Atbilde

(9,−1)

Vingrinājums ( PageIndex {18} )

Atrisiniet katru sistēmu, izmantojot diagrammu: ( begin {cases} {x = 4} {3x − 2y = 24} end {cases} )

Atbilde

(4,−6)

Visās līdz šim lineāro vienādojumu sistēmās līnijas krustojās, un risinājums bija viens punkts. Nākamajos divos piemēros mēs aplūkosim vienādojumu sistēmu, kurai nav risinājuma, un vienādojumu sistēmu, kurai ir bezgalīgi daudz risinājumu.

Vingrinājums ( PageIndex {20} )

Atrisiniet katru sistēmu, izmantojot diagrammu: ( begin {cases} {y = - frac {1} {4} x + 2} {x + 4y = -8} end {cases} )

Atbilde

risinājuma nav

Vingrinājums ( PageIndex {21} )

Atrisiniet katru sistēmu, izmantojot diagrammu: ( begin {cases} {y = 3x − 1} {6x − 2y = 6} end {cases} )

Atbilde

risinājuma nav

Vingrinājums ( PageIndex {23} )

Atrisiniet katru sistēmu, izmantojot diagrammu: ( begin {cases} {y = −3x − 6} {6x + 2y = −12} end {cases} )

Atbilde

bezgalīgi daudz risinājumu

Vingrinājums ( PageIndex {24} )

Atrisiniet katru sistēmu, izmantojot diagrammu: ( begin {cases} {y = frac {1} {2} x − 4} {2x − 4y = 16} end {cases} )

Atbilde

bezgalīgi daudz risinājumu

Ja vingrinājumā ( PageIndex {22} ) otro vienādojumu ierakstāt slīpuma pārtveršanas formā, jūs varat atzīt, ka vienādojumiem ir vienāds slīpums un vienāds y-intercept.

Kad pēdējā piemērā uzzīmējām otro līniju, mēs to uzzīmējām tieši virs pirmās līnijas. Mēs sakām, ka abas līnijas sakrīt. Sakritības līnijām ir tāds pats slīpums un vienāds y-intercept.

LĪDZEKĻU SASKAŅA

Sakritības līnijām ir tāds pats slīpums un vienāds y-intercept.

Nosakiet lineārās sistēmas risinājumu skaitu

Būs reizes, kad mēs vēlēsimies uzzināt, cik daudz risinājumu būs lineāru vienādojumu sistēmai, bet mums, iespējams, faktiski nav jāatrod risinājums. Būs noderīgi to noteikt bez grafikiem.

Mēs esam redzējuši, ka divām līnijām vienā plaknē ir vai nu jāsakrīt, vai arī tām jābūt paralēlām. Vingrojuma ( PageIndex {4} ) līdz Exercise ( PageIndex {16} ) vienādojumu sistēmām visām bija divas krustojošās līnijas. Katrai sistēmai bija viens risinājums.

Sistēmai ar paralēlām līnijām, piemēram, Exercise ( PageIndex {19} ), nav risinājuma. Kas notika vingrinājumā ( PageIndex {22} )? Vienādojumiem ir sakrīt līnijas, un tāpēc sistēmai bija bezgalīgi daudz risinājumu.

Mēs sakārtosim šos rezultātus attēlā ( PageIndex {2} ) zemāk:

Paralēlajām līnijām ir vienāds slīpums, bet atšķirīgs y-jēdzieni. Tātad, ja mēs abus vienādojumus uzrakstām lineāru vienādojumu sistēmā slīpuma – pārtveršanas formā, bez grafika redzam, cik daudz risinājumu būs! Apskatiet sistēmu, kuru mēs atrisinājām uzdevumā ( PageIndex {19} ).

( begin {array} {cc} & begin {cases} {y = frac {1} {2} x − 3} {x − 2y = 4} end {cases} text { Pirmā rinda ir slīpuma – pārtveršanas formā.} & Text {Ja atrisināsim otro vienādojumu ar} y, text {mēs saņemsim} & x-2 y = 4 y = frac {1} {2 } x -3 & x-2 y = -x + 4 & y = frac {1} {2} x-2 m = frac {1} {2}, b = -3 & m = frac {1 } {2}, b = -2 beigu {masīvs} )

Abām līnijām ir vienāds slīpums, bet atšķirīgs y-jēdzieni. Tās ir paralēlas līnijas.

Attēlā ( PageIndex {3} ) parādīts, kā noteikt lineārās sistēmas risinājumu skaitu, aplūkojot nogāzes un krustpunktus.

Apskatīsim vēl vienu mūsu vienādojumu uzdevumā ( PageIndex {19} ), kas mums deva paralēlas līnijas.

[ sākums {gadījumi} {y = frac {1} {2} x − 3} {x − 2y = 4} beigas {gadījumi} )]

Kad abas līnijas bija nogāzes pārtveršanas formā, mums bija:

[y = frac {1} {2} x-3 quad y = frac {1} {2} x-2 ]

Vai jūs saprotat, ka nav iespējams izveidot vienu sakārtotu pāri (x, y), kas ir abu šo vienādojumu risinājums?

Mēs saucam šādu vienādojumu sistēmu nekonsekventa sistēma. Tam nav risinājuma.

Vienādojumu sistēmu, kurai ir vismaz viens risinājums, sauc par a konsekventa sistēma.

SASKAŅOTAS UN NEKONKRISTENAS SISTĒMAS

A konsekventa sistēma vienādojumu ir vienādojumu sistēma ar vismaz vienu risinājumu.

An nekonsekventa sistēma ir vienādojumu sistēma bez risinājuma.

Mēs arī kategorizējam vienādojumus vienādojumu sistēmā, izsaucot vienādojumus neatkarīgs vai atkarīgs. Ja divi vienādojumi ir neatkarīgi vienādojumi, viņiem katram ir savs risinājumu kopums. Krustošanās līnijas un paralēlas līnijas ir neatkarīgas.

Ja divi vienādojumi ir atkarīgi, visi viena vienādojuma risinājumi ir arī otra vienādojuma risinājumi. Kad mēs attēlojam divus grafikus atkarīgie vienādojumi, mēs iegūstam sakritīgas līnijas.

NEATKARĪGI UN ATKARĪGI LĪDZEKĻI

Divi vienādojumi ir neatkarīgs ja viņiem ir dažādi risinājumi.

Divi vienādojumi ir atkarīgs ja visi viena vienādojuma risinājumi ir arī otra vienādojuma risinājumi.

Apkoposim to, aplūkojot trīs veidu sistēmu grafikus. Skatiet Attēlu ( PageIndex {4} ) un Attēlu ( PageIndex {5} ).

Vingrinājums ( PageIndex {25} )

Bez grafika noteikšanas nosakiet risinājumu skaitu un pēc tam klasificējiet vienādojumu sistēmu: ( begin {cases} {y = 3x − 1} {6x − 2y = 12} end {cases} )

Atbilde

( begin {array} {lrrl} text {Mēs salīdzināsim nogāzes un pārtveršanas} un begin {gadījumi} {y = 3x − 1} {6x − 2y = 12} end {cases} text {no divām rindām.} text {Pirmais vienādojums jau ir} text {slīpuma pārtveršanas formā.} & {y = 3x - 1} text {Rakstiet otro vienādojums} text {slope – intercept formā.} & 6x-2y & = & 12 & -2y & = & -6x - 12 & frac {-2y} {- 2} & = & frac {-6x + 12} {- 2} & y & = & 3x-6 text {Atrodiet katras līnijas slīpumu un krustojumu.} & y = 3x-1 & y = 3x-6 & m = 3 & m = 3 & b = -1 & b = -6 text {Tā kā slīpumi ir vienādi andy-intercepts} text {ir atšķirīgi, līnijas ir paralēlas.} end { masīvs} )

Vienādojumu sistēmai, kuras grafiki ir paralēlas līnijas, nav risinājuma, tā ir pretrunīga un neatkarīga.

Vingrinājums ( PageIndex {26} )

Bez grafika noteikšanas nosakiet risinājumu skaitu un pēc tam klasificējiet vienādojumu sistēmu.

( sākas {gadījumi} {y = −2x − 4} {4x + 2y = 9} beigas {gadījumi} )

Atbilde

nav risinājuma, nekonsekventa, neatkarīga

Vingrinājums ( PageIndex {27} )

Bez grafika noteikšanas nosakiet risinājumu skaitu un pēc tam klasificējiet vienādojumu sistēmu.

( sākums {gadījumi} {y = frac {1} {3} x − 5} {x-3y = 6} beigas {gadījumi} )

Atbilde

nav risinājuma, nekonsekventa, neatkarīga

Vingrinājums ( PageIndex {28} )

Bez grafika noteikšanas nosakiet risinājumu skaitu un pēc tam klasificējiet vienādojumu sistēmu: ( begin {cases} {2x + y = −3} {x − 5y = 5} end {cases} )

Atbilde

( begin {array} {lrrlrl} text {Mēs salīdzināsim nogāzes un pārtveršanas vietas} un sāciet {gadījumi} {2x + y = -3} {x −5y = 5} beigu gadījumi} text {no divām rindām.} text {Uzrakstiet otro vienādojumu} text {slope – intercept formā.} & 2x + y & = & - 3 & x −5y & = & 5 & y & = & -2x -3 & -5y & = & - x + 5 &&&& frac {-5y} {- 5} & = & frac {-x + 5} {- 5} &&&& y & = & frac {1} {5} x-1 text {Atrodiet katras līnijas slīpumu un pārtveri.} & y & = & -2x-3 & y & = & frac {1} {5} x-1 & m & = & -2 & m & = & frac {1} {5} & b & = & - 3 & b & = & - 1 text {Tā kā nogāzes ir vienādas andy-intercepts } text {ir atšķirīgi, līnijas ir paralēlas.} end {array} )

Vienādojumu sistēmai, kuras grafiki krustojas, ir 1 risinājums, un tā ir konsekventa un neatkarīga.

Vingrinājums ( PageIndex {29} )

Bez grafika noteikšanas nosakiet risinājumu skaitu un pēc tam klasificējiet vienādojumu sistēmu.

( sākt {gadījumi} {3x + 2y = 2} {2x + y = 1} beigas {gadījumi} )

Atbilde

viens risinājums, konsekvents, neatkarīgs

Vingrinājums ( PageIndex {30} )

Bez grafika noteikšanas nosakiet risinājumu skaitu un pēc tam klasificējiet vienādojumu sistēmu.

( sākas {gadījumi} {x + 4y = 12} {−x + y = 3} beigas {gadījumi} )

Atbilde

viens risinājums, konsekvents, neatkarīgs

Vingrinājums ( PageIndex {31} )

Bez grafika noteikšanas nosakiet risinājumu skaitu un pēc tam klasificējiet vienādojumu sistēmu. ( sākums {gadījumi} {3x − 2y = 4} {y = frac {3} {2} x − 2} beigu {gadījumi} )

Atbilde

( begin {array} {lrrlrl} text {Mēs salīdzināsim divu līniju nogāzes un pārtveršanu.} & sākt {gadījumi} {3x − 2y} & = & {4} {y} & = & { frac {3} {2} x − 2} end {cases} text {Otro vienādojumu uzrakstiet} text {slope – intercept formā.} & 3x-2y & = & 4 & -2y & = & -3x +4 & frac {-2y} {- 2} & = & frac {-3x + 4} {- 2} & y & = & frac {3} {2 } x-2 text {Atrodiet katras rindas slīpumu un pārtveri.} & y & = & frac {3} {2} x-2 text {Tā kā vienādojumi ir vienādi, viņiem ir tas pats slīpums} text {un samey-intercept, tāpēc līnijas sakrīt.} end {masīvs} )

Vienādojumu sistēmai, kuras grafiki ir sakritīgas līnijas, ir bezgalīgi daudz risinājumu, un tā ir konsekventa un atkarīga.

Vingrinājums ( PageIndex {32} )

Bez grafika noteikšanas nosakiet risinājumu skaitu un pēc tam klasificējiet vienādojumu sistēmu.

( sākums {gadījumi} {4x −5y = 20} {y = frac {4} {5} x − 4} beigas {gadījumi} )

Atbilde

bezgalīgi daudz risinājumu, konsekventi, atkarīgi

Vingrinājums ( PageIndex {33} )

Bez grafika noteikšanas nosakiet risinājumu skaitu un pēc tam klasificējiet vienādojumu sistēmu.

( sākt {gadījumi} {−2x − 4y = 8} {y = - frac {1} {2} x − 2} beigas {gadījumi} )

Atbilde

bezgalīgi daudz risinājumu, konsekventi, atkarīgi

Atrisiniet vienādojumu sistēmu lietojumus, izmantojot grafiku

Mēs izmantosim to pašu problēmu risināšanas stratēģiju, kuru izmantojām Matemātikas modeļi izveidot un risināt lineāro vienādojumu sistēmu lietojumus. Mēs šeit nedaudz modificēsim stratēģiju, lai tā būtu piemērota vienādojumu sistēmām.

LIETOŠO VIENĀDOJUMU SISTĒMĀM IZMANTOJIET PROBLĒMAS RISINĀŠANAS STRATĒĢIJU.

  1. Lasīt problēma. Pārliecinieties, vai visi vārdi un idejas ir saprotami.
  2. Identificēt ko mēs meklējam.
  3. Nosaukums ko mēs meklējam. Izvēlieties mainīgos, lai attēlotu šos lielumus.
  4. Tulkot vienādojumu sistēmā.
  5. Atrisiniet vienādojumu sistēma, izmantojot labas algebras metodes.
  6. Pārbaudiet atbildi uz problēmu un pārliecinieties, ka tai ir jēga.
  7. Atbilde jautājums ar pilnu teikumu.

5. solis ir vieta, kur mēs izmantosim šajā sadaļā ieviesto metodi. Mēs uzzīmēsim vienādojumus un atradīsim risinājumu.

Vingrinājums ( PageIndex {34} )

Sondra no augļu sulas un nūjas soda gatavo 10 kvartus punča. Augļu sulas kvarts ir četrreiz lielāks par nātrija sodas kvartu skaitu. Cik kvartu augļu sulas un cik klubu sodas vajag Sondrai?

Atbilde

1. solis. Izlasiet problēma.

2. solis. Identificējiet ko mēs meklējam.

Mēs meklējam Sondrai vajadzīgo augļu sulas kvartu un kluba soda kvartu skaitu.

3. solis. Nosaukums ko mēs meklējam. Izvēlieties mainīgos, lai attēlotu šos lielumus.

Ļaujiet f = augļu sulas kvartu skaitu.
c = nātrija sodas kvartu skaits

4. solis. Tulkojiet vienādojumu sistēmā.

Tagad mums ir sistēma. ( sākums {gadījumi} {f + c = 10} {f = 4c} beigas {gadījumi} )

5. solis. Atrisiniet vienādojumu sistēma, izmantojot labas algebras metodes.

Krustojuma punkts (2, 8) ir risinājums. Tas nozīmē, ka Sondrai vajag 2 kvartus nūjas sodas un 8 kvartus augļu sulas.

6. solis. Pārbaudiet atbildi uz problēmu un pārliecinieties, ka tai ir jēga.

Vai tam ir jēga no problēmas?

Jā, augļu sulas kvartu skaits 8 ir četrreiz lielāks par nātrija sodas kvartu skaitu 2.

Jā, 10 kvarts perforatora ir 8 kvarts augļu sulas, kā arī 2 kvarts kluba soda.

7. solis. Atbilde jautājums ar pilnu teikumu.

Sondrai vajag 8 kvarts augļu sulas un 2 kvarts sodas.

Vingrinājums ( PageIndex {35} )

Mannijs no koncentrāta un ūdens gatavo 12 kvartus apelsīnu sulas. Ūdens kārtu skaits ir 3 reizes lielāks par koncentrāta daudzumu. Cik kvartu koncentrāta un cik ūdens vajag Menijai?

Atbilde

Mannijam nepieciešams 3 kvartu sulas koncentrāts un 9 kvarts ūdens.

Vingrinājums ( PageIndex {36} )

Alisha gatavo 18 unces kafijas dzērienu, kas tiek gatavots no pagatavotas kafijas un piena. Vārītas kafijas unces skaits ir 5 reizes lielāks nekā piena unces skaits. Cik unces kafijas un cik unces piena vajag Alishai?

Atbilde

Alishai vajag 15 unces kafijas un 3 unces piena.

Vārdnīca

sakrīt līnijas
Sakritības līnijas ir līnijas, kurām ir vienāds slīpums un vienāds slānis y-intercept.
konsekventa sistēma
Konsekventa vienādojumu sistēma ir vienādojumu sistēma ar vismaz vienu risinājumu.
atkarīgie vienādojumi
Divi vienādojumi ir atkarīgi, ja visi viena vienādojuma risinājumi ir arī otra vienādojuma risinājumi.
nekonsekventa sistēma
Nekonsekventa vienādojumu sistēma ir vienādojumu sistēma bez risinājuma.
neatkarīgi vienādojumi
Divi vienādojumi ir neatkarīgi, ja tiem ir atšķirīgi risinājumi.
vienādojumu sistēmas risinājumi
Vienādojumu sistēmas risinājumi ir mainīgo lielumi, kas visus vienādojumus padara patiesus. Divu lineāru vienādojumu sistēmas risinājumu attēlo sakārtots pāris (x, y).
lineāro vienādojumu sistēma
Kad divi vai vairāki lineārie vienādojumi ir grupēti kopā, tie veido lineāro vienādojumu sistēmu.

5.1. Vienādojumu sistēmu atrisināšana, izmantojot grafiku

Lai izpētītu tādas situācijas kā skrituļdēļu ražotājs, mums jāatzīst, ka mums ir darīšana ar vairāk nekā vienu mainīgo un, iespējams, vairāk nekā vienu vienādojumu. A lineāro vienādojumu sistēma sastāv no diviem vai vairākiem lineāriem vienādojumiem, kas sastāv no diviem vai vairākiem mainīgajiem lielumiem tā, ka visi vienādojumi sistēmā tiek ņemti vērā vienlaicīgi. Lai atrastu unikālu lineāro vienādojumu sistēmas risinājumu, mums jāatrod skaitliskā vērtība katram sistēmas mainīgajam, kas vienlaikus apmierinās visus sistēmas vienādojumus. Dažām lineārām sistēmām var nebūt risinājuma, bet citām - bezgalīgi daudz risinājumu. Lai lineārajai sistēmai būtu unikāls risinājums, vienādojumiem jābūt vismaz tikpat daudz, cik mainīgo. Pat tā tas negarantē unikālu risinājumu.

Šajā sadaļā mēs aplūkosim lineāro vienādojumu sistēmas divos mainīgos, kas sastāv no diviem vienādojumiem, kas satur divus dažādus mainīgos. Piemēram, apsveriet šādu lineāro vienādojumu sistēmu divos mainīgajos.

The risinājums lineāru vienādojumu sistēmai divos mainīgajos ir jebkurš sakārtots pāris, kas katru vienādojumu apmierina neatkarīgi. Šajā piemērā sakārtotais pāris (4, 7) ir lineāro vienādojumu sistēmas risinājums. Mēs varam pārbaudīt risinājumu, katrā vienādojumā aizstājot vērtības, lai redzētu, vai sakārtotais pāris apmierina abus vienādojumus. Drīz mēs izpētīsim metodes, kā atrast šādu risinājumu, ja tāds pastāv.

Papildus vienādojumu un mainīgo skaita apsvēršanai mēs varam kategorizēt lineāro vienādojumu sistēmas pēc risinājumu skaita. A konsekventa sistēma vienādojumam ir vismaz viens risinājums. Konsekventa sistēma tiek uzskatīta par neatkarīga sistēma ja tam ir viens risinājums, piemēram, tikko izpētītais piemērs. Abām līnijām ir atšķirīgas nogāzes un tās krustojas vienā plaknes punktā. Konsekventa sistēma tiek uzskatīta par a atkarīgā sistēma ja vienādojumiem ir vienāds slīpums un vienāds y-jēdzieni. Citiem vārdiem sakot, līnijas sakrīt, tāpēc vienādojumi apzīmē to pašu līniju. Katrs līnijas punkts apzīmē koordinātu pāri, kas apmierina sistēmu. Tādējādi risinājumu ir bezgalīgi daudz.

Cits lineāro vienādojumu sistēmas veids ir nekonsekventa sistēma, kurā vienādojumi apzīmē divas paralēlas līnijas. Līnijām ir vienāds slīpums un atšķirība y-pārtver. Abām līnijām nav kopīgu punktu, tāpēc sistēmai nav risinājuma.

Vispārīga piezīme: lineāro sistēmu veidi

Ir trīs lineāro vienādojumu sistēmu veidi divos mainīgajos un trīs veidu risinājumi.

  • An neatkarīga sistēma ir tieši viens risinājumu pāris [latekss] pa kreisi (x, y pa labi) [/ latekss]. Punkts, kur divas līnijas krustojas, ir vienīgais risinājums.
  • An nekonsekventa sistēma nav risinājuma. Ievērojiet, ka abas līnijas ir paralēlas un nekad nekrustosies.
  • A atkarīgā sistēma ir bezgalīgi daudz risinājumu. Rindas sakrīt. Tie ir viena un tā pati līnija, tāpēc katrs līnijas koordinātu pāris ir abu vienādojumu risinājums.

2. attēlā ir salīdzināti katra sistēmas veida grafiskie attēlojumi.

Kā: ņemot vērā lineāro vienādojumu sistēmu un sakārtotu pāri, nosakiet, vai sakārtotais pāris ir risinājums.

  1. Katrā sistēmas vienādojumā aizstājiet sakārtoto pāri.
  2. Nosakiet, vai patiesie apgalvojumi izriet no aizstāšanas abos vienādojumos, ja tā, sakārtotais pāris ir risinājums.

1. piemērs: Nosakot, vai pasūtīts pāris ir risinājums vienādojumu sistēmai

Nosakiet, vai sakārtotais pāris [latekss] kreisais (5,1 labais) [/ latekss] ir dotās vienādojumu sistēmas risinājums.

Risinājums

Abos vienādojumos aizstājiet sakārtoto pāri [latekss] pa kreisi (5,1 pa labi) [/ latekss].

Sakārtotais pāris [latekss] pa kreisi (5,1 pa labi) [/ latekss] apmierina abus vienādojumus, tāpēc tas ir sistēmas risinājums.

Risinājuma analīze

Mēs skaidri redzam risinājumu, uzzīmējot katra vienādojuma grafiku. Tā kā risinājums ir sakārtots pāris, kas apmierina abus vienādojumus, tas ir punkts abās līnijās un tādējādi abu līniju krustošanās punkts.

Izmēģiniet to 1

Nosakiet, vai sakārtotais pāris [latekss] pa kreisi (8,5 pa labi) [/ latekss] ir šīs sistēmas risinājums.


Lineāro vienādojumu sistēmu risināšana, izmantojot grafiku

A sistēma lineārie vienādojumi ir tikai divu vai vairāku lineāru vienādojumu kopums.

Divos mainīgajos (x & thinsp & thinsp un & thinsp & thinsp y) divu vienādojumu sistēmas grafiks ir līniju pāris plaknē.

Ir trīs iespējas:

  • Līnijas krustojas nulles punktos. (Līnijas ir paralēlas.)
  • Līnijas krustojas tieši vienā punktā. (Vairumā gadījumu.)
  • Līnijas krustojas bezgalīgi daudzos punktos. (Abi vienādojumi apzīmē to pašu līniju.)

Kā atrisināt vienādojumu sistēmu, izmantojot grafikas metodi

Šī metode ir noderīga, ja jums vienkārši nepieciešama aptuvena atbilde, vai arī jūs esat pārliecināts, ka krustojums notiek ar vesela skaitļa koordinātām. Vienkārši uzzīmējiet divas līnijas un redziet, kur tās krustojas!

Atrisiniet sistēmu, izmantojot grafiku.

Abi vienādojumi ir slīpuma pārtveršanas formā.

Pirmās līnijas slīpums ir 0,5 un y-ieliekums ir 2.

Otrās līnijas slīpums ir & mīnus 2 un y-ieliekums ir & mīnus 3.

Uzzīmējiet divas līnijas, kā parādīts.

Risinājums ir tas, kur krustojas divas taisnes, punkts (& mīnus 2, 1). Tas ir, x = & mīnus 2 un y = 1.


A: Šeit es pievienoju attēlu, lai jūs saprastu katru soli.

J: APOR, r = 9 un q = 15. Aprēķiniet sānu p garumu līdz vienai zīmei aiz komata. A. 12,0 В. 17.5 P. C. 1.

A: Pitagora teorēma: Taisnstūra leņķa trīsstūrī hipotenūza puses kvadrāts ir vienāds ar summu.

J: Uzzīmējiet līniju ar 1. slīpumu, kas iet caur punktu (-1, -2). -10 10 Paskaidrojuma pārbaude

A: Mēs atrisināsim sekojošo.

J: Kuras no šīm attiecībām nepārstāv funkciju? A. (4, 4), (5, 4), (6, 4)> B. (4, 4).

A: Lai to atrisinātu, mēs izmantosim funkcijas definīciju

J: Atrisiniet nevienlīdzību. Izsakiet atbildi, izmantojot intervālu apzīmējumus. | x + 1 2 8

A: izmantojiet nevienlīdzības likumu

J: Ļaujiet f: [a, b] → R būt funkcija ar a, b ER. Interpolāta secības vienmērīga konverģence.

A: Ļaujiet & # x27s atrast noteikto funkciju vai nav garantēta.

J: Ja bumba tiek izmesta tieši uz augšu ar ātrumu 20 pēdas / s, tās augstums (pēdās) pēc t sekundēm.

A: Noklikšķiniet, lai redzētu atbildi

J: Atrisiniet šādu logaritmisko vienādojumu. Izsakiet neracionālus risinājumus precīzā formā un kā deci.

A: Noklikšķiniet, lai redzētu atbildi

J: No grafika nosakiet x un y krustpunktus, kā arī vertikālos un horizontālos asimptotus. (Ja


Kā atrisināt vienādojumu sistēmas, izmantojot grafiku

Kāds ir šīs vienādojumu sistēmas risinājums?

Labajā pusē grafiks no divām līnijām

Sistēmas risinājums ir krustošanās punkts: (1, 2)

Prakses problēmas

1. prakse

Izmantojiet diagrammas metodi, lai atrisinātu zemāk esošo vienādojumu sistēmu

Šīs sistēmas risinājums ir krustošanās punkts: (1,3).

2. prakse

Atrisiniet šādu lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot grafiku.

$ text 2y = 4x + 2 text 2y = -x + 7 $

$ text 2y = 4x + 2 frac <1> <2> 2y = frac <1> <2> (4x + 2) y = 2x +1 $

$ text 2y = 8x - 2 frac <1> <2> 2y = frac <1> <2> (8x - 2) y = 4x +1 $

Noformējiet katru vienādojumu, lai atrastu krustošanās punktu - kas ir risinājums. (tāpat kā iepriekšējā problēma)


Vienādojumu sistēmas

Vienādojumu sistēma satur divus vai vairākus lineārus vienādojumus, kuriem ir divi vai vairāki nezināmie. Lai atrastu vienādojumu sistēmas risinājumu, mums jāatrod vērtība (vai vērtību diapazons), kurai ir taisnība visi vienādojumi sistēmā.

Vienādojumu grafiki sistēmā var pateikt, cik daudz risinājumu pastāv šai sistēmai. Apskatiet attēlus zemāk. Katrā no tām ir divas līnijas, kas veido vienādojumu sistēmu (labajā diagrammā abas līnijas ir uzliktas un izskatās kā viena līnija). Cik kopīgu punktu atklāj katra līniju sistēma?

Viens risinājums

Nav risinājumu

Bezgalīgi risinājumi

Ja vienādojumu grafiki krustojas, tad ir viens risinājums, kas atbilst abiem vienādojumiem.

Ja vienādojumu grafiki nekrustojas (piemēram, ja tie ir paralēli), tad abiem vienādojumiem nav taisnības.

Ja vienādojumu grafiki ir vienādi, tad ir bezgalīgi daudz risinājumu, kas atbilst abiem vienādojumiem.

Atcerieties, ka līnijas grafiks attēlo katru punktu, kas ir iespējams risinājums šīs līnijas vienādojumam. Tātad, kad divu vienādojumu grafiki krustojas, krustošanās punkts atrodas uz abām līnijām, kas nozīmē, ka tas ir iespējams risinājums gan vienādojumi. Kad divu vienādojumu grafiki nekad nepieskaras, nav kopīgu punktu un nav iespējamu sistēmas risinājumu. Kad divu vienādojumu grafiki atrodas viens virs otra, tie dala visus savus punktus, un katrs no tiem ir iespējams risinājums.


Lineāro vienādojumu sistēmu risināšana ar aizstāšanas metodi

1. Atrodiet lineārās sistēmas ar aizstāšanas metodi.
2. Izmantojiet aizstāšanas metodi, lai identificētu sistēmas bez risinājuma vai bezgalīgi daudz risinājumu.
3. Atrisiniet problēmas, izmantojot aizstāšanas metodi.

Katru sistēmu atrisiniet, izmantojot aizstāšanas metodi. Ja nav risinājuma vai bezgalīgi daudz
risinājumus, tāpēc paziņojiet.

& # 8226 Studentiem patīk sekot konkrētām darbībām, tāpēc dodiet viņiem sarakstu ar darbībām, kas jāizmanto sistēmu risināšanā
aizstājot. Sāciet ar: vispirms izdaliet mainīgo ar koeficientu 1.
& # 8226 Daudzi studenti domā, ka viņiem jārisina y. Uzsveriet, ka nav svarīgi, vai mainīgais
atrisināts par x vai y.
& # 8226 Izmantojiet krāsainas pildspalvas vai marķierus, lai vienā vienādojumā pasvītrotu to, kas tiks aizstāts ar
cits vienādojums.
& # 8226 Ja klasē tiek izmantots grafiskais kalkulators, grafika veidošana kalkulatorā ir labs veids
uz pārbaudīt risinājumus.

Atbildes: 1. a. (& # 82111, 4) b. (3, 2) c. (3, & # 82115) D. (4, 4) 2. a. (1, 1) b. (& # 82113, 9) c. (2, 1) d. (4, 0)

4. a. Nav risinājuma b. Bezgalīgi risinājumi
c. Bezgalīgi risinājumi d. Nav risinājuma


Grafikas metode

Ja mēs ar šo metodi vēlamies atrisināt lineārā vienādojuma sistēmu, tas mums jāzina katra lineārā vienādojuma grafiks ir līnija. Tas ir iemesls, kāpēc mēs šo funkciju saucam par lineāru funkciju. Tagad mēs varam viegli uzzīmēt šīs līnijas koordinātu plaknē.

Sistēmas risinājums ir punkts, kurā šīs divas līnijas krustojas. Mēs varam redzēt, ka rezultāts ir $ (x, y) = (3,2) $.

Tagad mēs varam mēģināt atrisināt to pašu problēmu ar pievienošanas metodi.


Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmas, izmantojot grafiku (standarts) (A)

Skolotājs s var izmantot matemātikas darblapas kā testu, prakses uzdevumus vai mācību līdzekļus (piemēram, grupas darbā, sastatnēs vai mācību centrā). Vecāks s var strādāt ar saviem bērniem, lai dotu viņiem papildu praksi, palīdzētu viņiem apgūt jaunas matemātikas prasmes vai saglabātu savas prasmes svaigas skolas pārtraukumos. Studentu s var izmantot matemātikas darblapas, lai apgūtu matemātikas prasmes praksē, mācību grupā vai vienaudžu apmācībā.

Izmantojiet zemāk esošās pogas, lai drukātu, atvērtu vai lejupielādētu programmatūras PDF versiju Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmas, izmantojot grafisko (standarta) (A) matemātikas darblapu. PDF faila lielums ir 85118 baiti. Tiek parādīti pirmās un otrās (ja tāda ir) lapu priekšskatījuma attēli. Ja ir vairāk šīs darblapas versiju, pārējās versijas būs pieejamas zem priekšskatījuma attēliem. Lai iegūtu vairāk šāda veida, izmantojiet meklēšanas joslu, lai meklētu dažus vai visus šos atslēgvārdus: matemātika, algebra, lineāra, vienādojums, sistēma, grafiks, atrisināt, standarts .

The Drukāt poga sāks pārlūkprogrammas drukas dialogu. The Atvērt poga atvērs pilnīgu PDF failu jaunā pārlūkprogrammas cilnē. The Skolotājs button will initiate a download of the complete PDF file including the questions and answers (if there are any). If a Student button is present, it will initiate a download of only the question page(s). Additional options might be available by right-clicking on a button (or holding a tap on a touch screen). I don't see buttons!

The Solve Systems of Linear Equations by Graphing (Standard) (A) Math Worksheet Page 1 The Solve Systems of Linear Equations by Graphing (Standard) (A) Math Worksheet Page 2

Systems of Linear Inequalities

Learning Objectives:
1. Use mathematical models involving systems of linear inequalities.
2. Graph the solution sets of systems of linear inequalities.

1. Graph the solution set of each system.

2. Name one point that is a solution for each system of linear inequalities in examples
1a, 1b, and 1c.

• When the inequality symbol is > or <, the line should be dashed (- - - - -).
• When the inequality symbol is ≥ or ≤, the line should be solid ( _______).
• When graphing inequalities, it is easy to see the overlap of the graphs if different colored
pencils are used to graph each inequality.

2.
a. Answers will vary
b. Answers will vary
c. Answers will vary


Skatīties video: Matemātika. Vienādojumu sistēmas risināšana - ievietošanas paņēmiens. (Novembris 2021).