Raksti

6.3. Risināt kvadrātvienādojumus, izmantojot kvadrātisko formulu - matemātika


Mācību mērķi

Šīs sadaļas beigās jūs varēsiet:

  • Atrisiniet kvadrātvienādojumus, izmantojot kvadrātisko formulu
  • Izmantojiet diskriminantu, lai prognozētu kvadrātvienādojuma risinājumu skaitu un veidu
  • Nosakiet vispiemērotāko metodi kvadrātvienādojuma atrisināšanai

Pirms sākat, veiciet šo gatavības viktorīnu.

  1. Novērtējiet (b ^ {2} -4 a b ), kad (a = 3 ) un (b = −2 ).
  2. Vienkāršojiet ( sqrt {108} ).
  3. Vienkāršojiet ( sqrt {50} ).

Risiniet kvadrātvienādojumus, izmantojot kvadrātisko formulu

Kad pēdējā sadaļā atrisinājām kvadrātvienādojumus, aizpildot kvadrātu, mēs katru reizi veicām tās pašas darbības. Vingrinājumu komplekta beigās jūs, iespējams, domājat: "Vai nav vieglāk to izdarīt?" Atbilde ir "jā". Matemātiķi meklē modeļus, kad viņi visu laiku dara, lai atvieglotu viņu darbu. Šajā sadaļā mēs atvasināsim un izmantosim formulu, lai atrastu kvadrātvienādojuma risinājumu.

Mēs jau esam redzējuši, kā atrisināt konkrēta mainīgā formulu ‘kopumā’, lai mēs algebriskās darbības veiktu tikai vienu reizi, un pēc tam izmantotu jauno formulu, lai atrastu konkrētā mainīgā lielumu. Tagad mēs veiksim kvadrāta aizpildīšanas darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma vispārīgo formu, lai atrisinātu kvadrātvienādojumu (x ).

Mēs sākam ar kvadrātvienādojuma standarta formu un atrisinām to (x ), aizpildot kvadrātu.

(ax ^ 2 + bx + c = 0, quad a ne 0 )
Izolējiet mainīgos nosacījumus vienā pusē. (ax ^ 2 + bx quad = -c )
Padariet koeficientu (x ^ {2} ) vienādu ar (1 ), dalot ar (a ). ( dfrac {ax ^ 2} {a} + dfrac {b} {a} x quad = - dfrac {c} {a} )
Vienkāršojiet. (x ^ 2 + dfrac {b} {a} x quad = - dfrac {c} {a} )
Lai pabeigtu kvadrātu, atrodiet ( left ( dfrac {1} {2} cdot dfrac {b} {a} right) ^ {2} ) un pievienojiet to vienādojuma abām pusēm.
( left ( dfrac {1} {2} dfrac {b} {a} right) ^ {2} = dfrac {b ^ {2}} {4 a ^ {2}} ) (x ^ 2 + dfrac {b} {a} x + { color {red} { dfrac {b ^ 2} {4a ^ 2}}} { color {black} {= - dfrac {c } {a} , + ,}} { color {red} { dfrac {b ^ 2} {4a ^ 2}}} )
Kreisā puse ir ideāls kvadrāts, ņemiet to vērā. ( left (x + dfrac {b} {2a} right) ^ 2 = - dfrac {c} {a} + dfrac {b ^ 2} {4a ^ 2} )
Atrodiet labās puses kopsaucēju un uzrakstiet līdzvērtīgas daļas ar kopsaucēju. ( left (x + dfrac {b} {2a} right) ^ 2 = dfrac {b ^ 2} {4a ^ 2} - dfrac {c cdot color {red} {4a}} { a cdot color {red} {4a}} )
Vienkāršojiet. ( left (x + dfrac {b} {2a} right) ^ 2 = dfrac {b ^ 2} {4a ^ 2} - dfrac {4ac} {4a ^ 2} )
Apvieno līdz vienai daļai. ( left (x + dfrac {b} {2a} right) ^ 2 = dfrac {b ^ 2-4ac} {4a ^ 2} )
Izmantojiet kvadrātsaknes rekvizītu. (x + dfrac {b} {2a} = pm sqrt { dfrac {b ^ 2-4ac} {4a ^ 2}} )
Vienkāršojiet radikālo. (x + dfrac {b} {2a} = pm dfrac { sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} )
Pievienojiet (- dfrac {b} {2a} ) vienādojuma abām pusēm. (x = - dfrac {b} {2a} pm dfrac { sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} )
Apvienojiet labajā pusē esošos terminus. (x = dfrac {-b pm sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} )

Galīgo vienādojumu sauc par "kvadrātisko formulu".

Definīcija ( PageIndex {1} ): kvadrātiskā formula

Risinājumi a kvadrātvienādojums formas (a x ^ {2} + b x + c = 0 ), kur (a ≠ 0 ) piešķir ar formulu:

Lai izmantotu Kvadrātiskā formula, mēs aizstājam (a, b ) un (c ) vērtības no standarta formas izteiksmē formulas labajā pusē. Tad mēs vienkāršojam izteicienu. Rezultāts ir kvadrāta vienādojuma risinājumu pāris.

Ievērojiet, ka kvadrātiskā formula (vienādojums ref {quad}) ir vienādojums. Pārliecinieties, ka izmantojat abas vienādojuma puses.

Piemērs ( PageIndex {1} ) Kā atrisināt kvadrātvienādojumu, izmantojot kvadrātisko formulu

Atrisiniet, izmantojot kvadrātisko formulu: (2 x ^ {2} +9 x-5 = 0 ).

Risinājums:

1. solis: Uzrakstiet kvadrātvienādojumu standarta formā. Nosakiet (a, b, c ) vērtības.Šis vienādojums ir standarta formā.
2. solis: Uzrakstiet kvadrātisko formulu. Pēc tam aizstājiet (a, b, c ) vērtības.Aizstāt (a = 2, b = 9, c = -5 ) (x = dfrac {-9 pm sqrt {9 ^ {2} -4 cdot 2 cdot (-5)}} {2 cdot 2} )
3. solis: Vienkāršojiet daļu un atrisiniet (x ).
4. solis: Pārbaudiet risinājumus.Katru atbildi pārbaudiet sākotnējā vienādojumā. Aizstājiet (x = color {red} { dfrac {1} {2}} ) un (x = color {red} {- 5} ).

( begin {aligned} 2 x ^ {2} +9 x-5 & = 0 2 color {black} { left ( color {red} { dfrac {1} {2}} right) } ^ {2} +9 cdot color {red} { dfrac {1} {2}} color {black} {-} 5 & stackrel {?} {=} 0 2 cdot dfrac {1} {4} +0 cdot dfrac {1} {2} -5 & stackrel {?} {=} 0 2 cdot dfrac {1} {4} +9 cdot dfrac {1 } {2} -5 & stackrel {?} {=} 0 dfrac {1} {2} + dfrac {9} {2} -5 & stackrel {?} {=} 0 dfrac { 10} {2} -5 & stackrel {?} {=} 0 5-5 & stackrel {?} {=} 0 0 & = 0 end {aligned} )

( begin {masīvs} {r} {2 x ^ {2} +9 x-5 = 0} {2 ( color {red} {- 5} color {black} {)} ^ {2 } +9 ( color {red} {- 5} color {black} {)} - 5 stackrel {?} {=} 0} {2 cdot 25-45-5 stackrel {?} { =} 0} {50-45-5 stackrel {?} {=} 0} {0 = 0} end {array} )

Vingrinājums ( PageIndex {1} )

Atrisiniet, izmantojot kvadrātisko formulu: (3 y ^ {2} -5 y + 2 = 0 ).

Atbilde

(y = 1, y = dfrac {2} {3} )

Vingrinājums ( PageIndex {2} )

Atrisiniet, izmantojot kvadrātisko formulu: (4 z ^ {2} +2 z-6 = 0 ).

Atbilde

(z = 1, z = - dfrac {3} {2} )

HowTo: Atrisiniet kvadrātisko vienādojumu, izmantojot kvadrātisko formulu

  1. Rakstiet kvadrātvienādojumu standarta formā (a x ^ {2} + b x + c = 0 ). Norādiet (a, b ) un (c ) vērtības.
  2. Uzrakstiet kvadrātisko formulu. Pēc tam aizstājiet (a, b ) un (c ) vērtības.
  3. Vienkāršojiet.
  4. Pārbaudiet risinājumus.

Ja jūs sakāt formulu, kad to rakstāt katrā uzdevumā, jūs to ātri iegaumēsit! Un atcerieties, ka kvadrātiskā formula ir LĪDZEKLIS. Sāciet ar “ (x = )”.

Piemērs ( PageIndex {2} )

Atrisiniet, izmantojot kvadrātisko formulu: (x ^ {2} -6 x = -5 ).

Risinājums:

Uzrakstiet vienādojumu standarta formā, katrā pusē pievienojot (5 ).
Šis vienādojums tagad ir standarta formā.

({ color {red} { small {ax ^ 2 + bx + c} = mazs {0}}} )
(x ^ 2 - 6x + 5 = 0 )

Norādiet vērtības ( color {cyan} a ), ( color {red} b ), ( color {limegreen} c ). ({ color {cyan} a = 1} ), ({ color {red} b = -6} ), ({ color {limegreen} c = 5} )
Uzrakstiet kvadrātisko formulu.
Pēc tam aizstājiet (a, b, c ) vērtības.
Vienkāršojiet.

(x = dfrac {6 pm sqrt {36-20}} {2} )

(x = dfrac {6 pm sqrt {16}} {2} )

(x = dfrac {6 pm 4} {2} )

Pārrakstiet, lai parādītu divus risinājumus.

(x = frac {6 + 4} {2}, quad x = frac {6-4} {2} )

Vienkāršojiet.

(x = frac {10} {2}, quad x = frac {2} {2} )

(x = 5, quad x = 1 )

Pārbaudiet:

Vingrinājums ( PageIndex {3} )

Atrisiniet, izmantojot kvadrātisko formulu: (a ^ {2} -2 a = 15 ).

Atbilde

(a = -3, a = 5 )

Vingrinājums ( PageIndex {4} )

Atrisiniet, izmantojot kvadrātisko formulu: (b ^ {2} + 24 = -10 b ).

Atbilde

(b = -6, b = -4 )

Kad mēs atrisinājām kvadrātvienādojumus, izmantojot laukuma saknes īpašumu, mēs dažreiz saņēmām atbildes, kurās bija radikāļi. Tas var notikt arī, lietojot Kvadrātiskā formula. Ja mēs saņemsim a radikāls kā risinājumu galīgajai atbildei ir jābūt vienkāršotajai radikālei.

Piemērs ( PageIndex {3} )

Atrisiniet, izmantojot kvadrātisko formulu: (2 x ^ {2} +10 x + 11 = 0 ).

Risinājums:

Šis vienādojums ir standarta formā.
Identificējiet (a, b ) un (c ) vērtības.
Uzrakstiet kvadrātisko formulu.

(x = dfrac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 a c}} {2 a} )

Pēc tam aizstājiet (a, b ) un (c ) vērtības.
Vienkāršojiet.

(x = dfrac {-10 pm sqrt {100-88}} {4} )

(x = dfrac {-10 pm sqrt {12}} {4} )

Vienkāršojiet radikālo.

(x = dfrac {-10 pm 2 sqrt {3}} {4} )

Izņemiet kopējo koeficientu skaitītājā.

(x = dfrac { color {red} {2} (- 5 pm sqrt {3})} {4} )

Noņemiet izplatītos faktorus.

(x = dfrac {-5 pm sqrt {3}} {2} )

Pārrakstiet, lai parādītu divus risinājumus.

(x = dfrac {-5+ sqrt {3}} {2}, quad x = dfrac {-5- sqrt {3}} {2} )

Pārbaudiet:

Mēs atstājam čeku jums!

Vingrinājums ( PageIndex {5} )

Atrisiniet, izmantojot kvadrātisko formulu: (3 m ^ {2} +12 m + 7 = 0 ).

Atbilde

(m = dfrac {-6+ sqrt {15}} {3}, m = dfrac {-6- sqrt {15}} {3} )

Vingrinājums ( PageIndex {6} )

Atrisiniet, izmantojot kvadrātisko formulu: (5 n ^ {2} +4 n-4 = 0 ).

Atbilde

(n = dfrac {-2 + 2 sqrt {6}} {5}, n = dfrac {-2-2 sqrt {6}} {5} )

Kad mēs aizstājam (a, b ) un (c ) kvadrātiskajā formulā un radicand ir negatīvs, kvadrātvienādojumam būs iedomāti vai sarežģīti risinājumi. Mēs to redzēsim nākamajā piemērā.

Vingrinājums ( PageIndex {7} )

Atrisiniet, izmantojot kvadrātisko formulu: (4 a ^ {2} -2 a + 8 = 0 ).

Atbilde

(a = dfrac {1} {4} + dfrac { sqrt {31}} {4} i, quad a = dfrac {1} {4} - dfrac { sqrt {31}} { 4} i )

Vingrinājums ( PageIndex {8} )

Atrisiniet, izmantojot kvadrātisko formulu: (5 b ^ {2} +2 b + 4 = 0 ).

Atbilde

(b = - dfrac {1} {5} + dfrac { sqrt {19}} {5} i, quad b = - dfrac {1} {5} - dfrac { sqrt {19} } {5} i )

Atcerieties, ka, lai izmantotu kvadrātisko formulu, vienādojums jāraksta standarta formā (a x ^ {2} + b x + c = 0 ). Dažreiz mums būs jādara kāda algebra, lai iegūtu vienādojumu standarta formā, pirms mēs varam izmantot kvadrātisko formulu.

Piemērs ( PageIndex {5} )

Atrisiniet, izmantojot kvadrātisko formulu: (x (x + 6) + 4 = 0 ).

Risinājums:

Mūsu pirmais solis ir iegūt vienādojumu standarta formā.

Izplatiet, lai iegūtu vienādojumu standarta formā.
Šis vienādojums tagad ir standarta formā.
Identificējiet (a, b, c ) vērtības.
Uzrakstiet kvadrātisko formulu.
Pēc tam aizstājiet (a, b, c ) vērtības.
Vienkāršojiet.
Vienkāršojiet radikālo.
Faktors kopējais koeficients skaitītājā.
Noņemiet izplatītos faktorus.
Rakstiet kā divus risinājumus.

Pārbaudiet:

Mēs atstājam čeku jums!

9.3.6. Tabula

Vingrinājums ( PageIndex {9} )

Atrisiniet, izmantojot kvadrātisko formulu: (x (x + 2) −5 = 0 ).

Atbilde

(x = -1 + sqrt {6}, x = -1- sqrt {6} )

Vingrinājums ( PageIndex {10} )

Atrisiniet, izmantojot kvadrātisko formulu: (3y (y − 2) −3 = 0 ).

Atbilde

(y = 1 + sqrt {2}, y = 1- sqrt {2} )

Kad atrisinājām lineāros vienādojumus, ja vienādojumā bija pārāk daudz frakciju, mēs notīrījām frakcijas, reizinot abas vienādojuma puses ar LCD. Tas deva mums atrisināt līdzvērtīgu vienādojumu - bez daļām. Mēs varam izmantot to pašu stratēģiju ar kvadrātvienādojumiem.

Vingrinājums ( PageIndex {11} )

Atrisiniet, izmantojot kvadrātisko formulu: ( dfrac {1} {4} c ^ {2} - dfrac {1} {3} c = dfrac {1} {12} ).

Atbilde

(c = dfrac {2+ sqrt {7}} {3}, quad c = dfrac {2- sqrt {7}} {3} )

Vingrinājums ( PageIndex {12} )

Atrisiniet, izmantojot kvadrātisko formulu: ( dfrac {1} {9} d ^ {2} - dfrac {1} {2} d = - dfrac {1} {3} ).

Atbilde

(d = dfrac {9+ sqrt {33}} {4}, d = dfrac {9- sqrt {33}} {4} )

Padomājiet par vienādojumu ((x-3) ^ {2} = 0 ). Mēs zinām no Nulles produkta īpašums ka šim vienādojumam ir tikai viens risinājums, (x = 3 ).

Mēs redzēsim nākamajā piemērā, kā izmantot Kvadrātiskā formula lai atrisinātu vienādojumu, kura standarta forma ir ideāls kvadrāts trinomiāls vienāds ar (0 ) dod tikai vienu risinājumu. Ievērojiet, ka pēc radikanda vienkāršošanas tas kļūst par (0 ), kas noved pie tikai viena risinājuma.

Piemērs ( PageIndex {7} )

Atrisiniet, izmantojot kvadrātisko formulu: (4 x ^ {2} -20 x = -25 ).

Risinājums:

Pievienojiet (25 ), lai iegūtu vienādojumu standarta formā.
Norādiet (a, b ) un (c ) vērtības.
Uzrakstiet kvadrātisko formulu.
Pēc tam aizstājiet (a, b ) un (c ) vērtības.
Vienkāršojiet.
Vienkāršojiet radikālo.
Vienkāršojiet daļu.

Pārbaudiet:

Mēs atstājam čeku jums!

9.3.8. Tabula

Vai jūs atzinājāt, ka (4 x ^ {2} -20 x + 25 ) ir ideāls kvadrātveida trinoms. Tas ir ekvivalents ((2 x-5) ^ {2} )? Ja jūs atrisināt (4 x ^ {2} -20 x + 25 = 0 ), izmantojot faktoringu un pēc tam izmantojot kvadrātsaknes īpašumu, vai iegūstat tādu pašu rezultātu?

Vingrinājums ( PageIndex {13} )

Atrisiniet, izmantojot kvadrātisko formulu: (r ^ {2} +10 r + 25 = 0 ).

Atbilde

(r = -5 )

Vingrinājums ( PageIndex {14} )

Atrisiniet, izmantojot kvadrātisko formulu: (25 t ^ {2} -40 t = -16 ).

Atbilde

(t = dfrac {4} {5} )

Izmantojiet diskriminantu, lai prognozētu kvadrātvienādojuma risinājumu skaitu un veidu

Kad iepriekšējos piemēros mēs atrisinājām kvadrātvienādojumus, dažreiz mēs saņēmām divus reālus risinājumus, vienu reālu risinājumu un dažreiz divus sarežģītus risinājumus. Vai ir veids, kā prognozēt kvadrātvienādojuma risinājumu skaitu un veidu, faktiski neatrisinot vienādojumu?

Jā, izteiciens zem kvadrātiskās formulas radikāla ļauj mums viegli noteikt risinājumu skaitu un veidu. Šo izteicienu sauc par diskriminējošs.

Definīcija ( PageIndex {2} )

Diskriminējošs

Apskatīsim dažu piemēru vienādojumu atšķirīgo un šo kvadrātvienādojumu risinājumu skaitu un veidu.

Kvadrātvienādojums (standarta formā)Discriminat (b ^ {2} -4ac )Diskriminanta vērtībaRisinājumu skaits un veids
(2 x ^ {2} +9 x-5 = 0 ) ( begin {izlīdzināts} 9 ^ {2} - & 4 cdot 2 (-5) & 121 end {izlīdzināts} )(+) (2 ) reāls
(0)(0) (1 ) reāls
(3 p ^ {2} +2 p + 9 = 0 )(-104)(-) (2 ) komplekss
9.3.9. Tabula

Izmantojot diskriminantu (b ^ {2} -4ac ), lai noteiktu kvadrātvienādojuma vienādojumu risinājumu skaitu un veidu

Kvadrāta vienādojumam formā (ax ^ {2} + bx + c = 0 ), (a neq 0 ),

  • Ja (b ^ {2} -4 a c> 0 ), vienādojumam ir reāli (2 ) risinājumi.
  • ja (b ^ {2} -4 a c = 0 ), vienādojumam ir reāls risinājums (1 ).
  • ja (b ^ {2} -4 a c <0 ), vienādojumam ir (2 ) kompleksi risinājumi.

Piemērs ( PageIndex {8} )

Nosakiet katra kvadrātvienādojuma risinājumu skaitu.

  1. (3 x ^ {2} +7 x-9 = 0 )
  2. (5 n ^ {2} + n + 4 = 0 )
  3. (9 y ^ {2} -6 y + 1 = 0 )

Risinājums:

Lai noteiktu katra kvadrātvienādojuma risinājumu skaitu, mēs aplūkosim tā diskriminantu.

a.

(3 x ^ {2} +7 x-9 = 0 )

Vienādojums ir standarta formā, identificējiet (a, b ) un (c ).

(a = 3, quad b = 7, quad c = -9 )

Uzrakstiet diskriminantu.

Aizstāj vērtības (a, b ) un (c ).

Vienkāršojiet.

(49+108)
(157)

Tā kā diskriminants ir pozitīvs, vienādojumam ir reāli ((2)) risinājumi.

b.

(5 n ^ {2} + n + 4 = 0 )

Vienādojums ir standarta formā, identificējiet (a, b ) un (c ).

(a = 5, quad b = 1, quad c = 4 )

Uzrakstiet diskriminantu.

Aizstāj vērtības (a, b ) un (c ).

Vienkāršojiet.

(1-80)
(-79)

Tā kā diskriminants ir negatīvs, vienādojumam ir (2 ) kompleksi risinājumi.

c.

Vienādojums ir standarta formā, identificējiet (a, b ) un (c ).

(a = 9, quad b = -6, quad c = 1 )

Uzrakstiet diskriminantu.

Aizstāj vērtības (a, b ) un (c ).

Vienkāršojiet.

(36-36)
(0)

Tā kā diskriminants ir (0 ), vienādojumam ir reāls risinājums.

Vingrinājums ( PageIndex {15} )

Nosakiet katra kvadrātvienādojuma risinājumu skaitu un veidu.

  1. (8 m ^ {2} -3 m + 6 = 0 )
  2. (5 z ^ {2} +6 z-2 = 0 )
  3. (9 w ^ {2} +24 w + 16 = 0 )
Atbilde
  1. (2 ) kompleksi risinājumi
  2. (2 ) reāli risinājumi
  3. (1 ) reāls risinājums

Vingrinājums ( PageIndex {16} )

Nosakiet katra kvadrātvienādojuma risinājumu skaitu un veidu.

  1. (b ^ {2} +7 b-13 = 0 )
  2. (5 a ^ {2} -6 a + 10 = 0 )
  3. (4 r ^ {2} -20 r + 25 = 0 )
Atbilde
  1. (2 ) reāli risinājumi
  2. (2 ) kompleksi risinājumi
  3. (1 ) reāls risinājums

Nosakiet vispiemērotāko metodi kvadrātvienādojuma atrisināšanai

Zemāk mēs apkopojam četras metodes, kuras esam izmantojuši kvadrātvienādojumu atrisināšanai.

Kvadrātvienādojumu risināšanas metodes

  1. Faktorings
  2. Kvadrātsaknes īpašums
  3. Laukuma pabeigšana
  4. Kvadrātiskā formula

Ņemot vērā to, ka kvadrātvienādojuma atrisināšanai mums jāizmanto četras metodes, kā jūs izlemjat, kuru izmantot? Faktorings bieži ir ātrākā metode, tāpēc mēs vispirms to izmēģinām. Ja vienādojums ir (ax ^ {2} = k ) vai (a (x − h) ^ {2} = k ), mēs izmantojam rekvizītu Kvadrātsakne. Attiecībā uz jebkuru citu vienādojumu, iespējams, vislabāk ir izmantot kvadrātisko formulu. Atcerieties, ka jebkuru kvadrātvienādojumu var atrisināt, izmantojot kvadrātisko formulu, taču tā ne vienmēr ir vieglākā metode.

Kā ir ar laukuma pabeigšanas metodi? Lielākajai daļai cilvēku šī metode šķiet apgrūtinoša un nevēlas to izmantot. Mums tas bija jāiekļauj metožu sarakstā, jo mēs kopumā aizpildījām kvadrātu, lai iegūtu kvadrātisko formulu. Kvadrāta pabeigšanas procesu jūs izmantosiet arī citās algebras jomās.

Nosakiet vispiemērotāko kvadrātvienādojuma atrisināšanas metodi

  1. Izmēģiniet Faktorings vispirms. Ja kvadrātiskie faktori ir viegli, šī metode ir ļoti ātra.
  2. Izmēģiniet Kvadrātsaknes īpašums Nākamais. Ja vienādojums atbilst formai (ax ^ {2} = k ) vai (a (x − h) ^ {2} = k ), to var viegli atrisināt, izmantojot rekvizītu Kvadrātsakne.
  3. Izmantojiet Kvadrātiskā formula. Jebkuru citu kvadrātvienādojumu vislabāk var atrisināt, izmantojot kvadrātisko formulu.

Nākamais piemērs izmanto šo stratēģiju, lai izlemtu, kā atrisināt katru kvadrātvienādojumu.

Piemērs ( PageIndex {9} )

Norādiet vispiemērotāko metodi, ar kuras palīdzību atrisināt katru kvadrātvienādojumu.

  1. (5 z ^ {2} = 17 )
  2. (4 x ^ {2} -12 x + 9 = 0 )
  3. (8 u ^ {2} +6 u = 11 )

Risinājums:

a.

(5z ^ {2} = 17 )

Tā kā vienādojums ir (ax ^ {2} = k ), vispiemērotākā metode ir rekvizīta Kvadrātsakne izmantošana.

b.

Mēs atzīstam, ka vienādojuma kreisā puse ir nevainojams kvadrātveida trinoms, un faktorings būs vispiemērotākā metode.

c.

(8 u ^ {2} +6 u = 11 )

Ievietojiet vienādojumu standarta formā.

(8 u ^ {2} +6 u-11 = 0 )

Lai gan mūsu pirmā doma varētu būt izmēģināt faktoringu, domājot par visām izmēģinājumu un kļūdu metodes iespējām, mēs izvēlamies kvadrātisko formulu kā vispiemērotāko metodi.

Vingrinājums ( PageIndex {17} )

Norādiet vispiemērotāko metodi, ar kuras palīdzību atrisināt katru kvadrātvienādojumu.

  1. (x ^ {2} +6 x + 8 = 0 )
  2. ((n-3) ^ {2} = 16 )
  3. (5 p ^ {2} -6 p = 9 )
Atbilde
  1. Faktorings
  2. Kvadrātsakņu īpašums
  3. Kvadrātiskā formula

Vingrinājums ( PageIndex {18} )

Norādiet vispiemērotāko metodi, ar kuras palīdzību atrisināt katru kvadrātvienādojumu.

  1. (8 a ^ {2} +3 a-9 = 0 )
  2. (4 b ^ {2} +4 b + 1 = 0 )
  3. (5 c ^ {2} = 125 )
Atbilde
  1. Kvadrātiskā formula
  2. Faktoringa vai kvadrātsaknes īpašums
  3. Kvadrātsakņu īpašums

Piekļūstiet šiem tiešsaistes resursiem, lai iegūtu papildu instrukcijas un praksi, izmantojot kvadrātisko formulu.

  • Izmantojot kvadrātisko formulu
  • Atrisiniet kvadrātvienādojumu, izmantojot kvadrātisko formulu ar kompleksiem risinājumiem
  • Diskriminants kvadrātiskajā formulā

Galvenie jēdzieni

  • Kvadrātiskā formula
    • Formas (a x ^ {2} + b x + c = 0, a neq 0 ) kvadrātvienādojuma risinājumus sniedz formula:
  • Kā atrisināt kvadrātvienādojumu, izmantojot kvadrātisko formulu.
    1. Rakstiet kvadrātvienādojumu standarta formā (a x ^ {2} + b x + c = 0 ). Identificējiet (a, b, c ) vērtības.
    2. Uzrakstiet kvadrātisko formulu. Pēc tam aizstājiet (a, b, c ) vērtības.
    3. Vienkāršojiet.
    4. Pārbaudiet risinājumus.
  • Izmantojot diskriminantu (b ^ {2} -4 a c ), lai noteiktu kvadrātvienādojuma vienādojumu risinājumu skaitu un veidu
  • Kvadrāta vienādojumam formā (a x ^ {2} + b x + c = 0, a neq 0 ),
    • Ja (b ^ {2} -4 a c> 0 ), vienādojumam ir reāli risinājumi (2 ).
    • Ja (b ^ {2} -4 a c = 0 ), vienādojumam ir reāls risinājums (1 ).
    • Ja (b ^ {2} -4 a c <0 ), vienādojumam ir (2 ) kompleksi risinājumi.


Skatīties video: How To Put Back Or Remove 50ccm Scooter Speed Restrictor (Novembris 2021).