Raksti

10.1: Pievienojiet un atņemiet polinomus


Prasmes attīstīties

  • Identificējiet polinomus, monomālus, binomālus un trinomus
  • Nosakiet polinomu pakāpi
  • Pievienojiet un atņemiet monomālus
  • Pievienojiet un atņemiet polinomus
  • Novērtējiet polinomu par noteiktu vērtību

esi gatavs!

Pirms sākat, veiciet šo gatavības viktorīnu.

  1. Vienkāršojiet: 8x + 3x. Ja jums pietrūka šīs problēmas, skatiet 2.3.10. Piemēru.
  2. Atņemiet: (5n + 8) - (2n - 1). Ja esat nokavējis šo problēmu, skatiet 7.4.13. Piemēru.
  3. Novērtēt: 4 g2 kad y = 5 Ja esat nokavējis šo problēmu, skatiet 2.3.6. piemēru.

Identificējiet polinomus, mononomus, binomālus un trīsciparus

Sadaļā Izteiksmju novērtēšana, vienkāršošana un tulkošana jūs uzzinājāt, ka termins ir konstante vai konstanta un viena vai vairāku mainīgo reizinājums. Kad tas ir formas cirvism, kur a ir konstante un m ir vesels skaitlis, to sauc par monomālu. Monomālu vai monomālu summu un / vai starpību sauc par polinomu.

Definīcija: Polinomi

polinoms - monomāls vai divi vai vairāki monomāli, apvienoti saskaitot vai atņemot

monomāls - Polinoms ar precīzi vienu terminu

binomāls - Polinoms ar precīzi diviem terminiem

trinomiāls - Polinoms ar precīzi trim terminiem

Ievērojiet saknes:

  • poli- nozīmē daudz
  • mono- nozīmē vienu
  • bi- nozīmē divus
  • tri- nozīmē trīs

Šeit ir daži polinomu piemēri:

Polinomsb + 14g2 - 7 g. + 25x5 - 4x4 + x3 + 8x2 - 9x + 1
Monomāls54.b2-9x3
Binomāls3.a – 7y2 - 917x3 + 14x2
Trinomālsx2 - 5x + 64g2 - 7 g. + 25.a4 - 3.a3 + a

Ievērojiet, ka katrs monomāls, binoms un trinoms ir arī polinoms. Viņi ir īpaši polinomu saimes pārstāvji, tāpēc viņiem ir īpaši vārdi. Atsaucoties uz šiem īpašajiem polinomiem, mēs lietojam vārdus “monomiāls”, “binoms” un “trinoms” un visus pārējos vienkārši saucam par “polinomiem”.

Piemērs ( PageIndex {1} ):

Nosakiet, vai katrs polinoms ir monomāls, binoms, trinoms vai cits polinoms: (a) 8x2 - 7x - 9 (b) −5a4 c) x4 - 7x3 - 6x2 + 5x + 2 (d) 11 - 4g3 e) n

Risinājums

PolinomsTerminu skaitsTips
a) 8x2 - 7x - 93Trinomāls
b) −5a41Monomāls
c) x4 - 7x3 - 6x2 + 5x + 25Polinoms
d) 11 - 4 g32Binomāls
e) n1Monomāls

Vingrinājums ( PageIndex {1} ):

Nosakiet, vai katrs polinoms ir monomāls, binoms, trinoms vai cits polinoms. (a) z (b) 2x3 - 4x2 - x - 8 (c) 6x2 - 4x + 1 (d) 9 - 4g2 e) 3x7

Atbilde a

monomāls

Atbilde b

polinoms

Atbilde c

trinomiāls

Atbilde d

binomāls

Atbilde e

monomāls

Vingrinājums ( PageIndex {2} ):

Nosakiet, vai katrs polinoms ir monomāls, binoms, trinoms vai cits polinoms. a) y3 - 8. b) 9x3 - 5x2 - x (c) x4 - 3x2 - 4x - 7 (d) −y4 e) w

Atbilde a

binomāls

Atbilde b

trinomiāls

Atbilde c

polinoms

Atbilde d

monomāls

Atbilde e

monomāls

Nosakiet polinomu pakāpi

Šajā sadaļā mēs strādāsim ar polinomiem, kuriem katrā termiņā ir tikai viens mainīgais. Polinoma pakāpi un tā termiņu pakāpi nosaka mainīgā lielumi.

Monomāls, kuram nav mainīgā, tikai konstante, ir īpašs gadījums. Konstantes pakāpe ir 0 - tai nav mainīgā.

Definīcija: Polinoma pakāpe

Termina pakāpe ir tā mainīgā eksponents.

Konstantes pakāpe ir 0.

Polinoma pakāpe ir visu to terminu augstākā pakāpe.

Apskatīsim, kā tas darbojas, aplūkojot vairākus polinomus. Mēs to veiksim soli pa solim, sākot ar monomāliem un pēc tam pārejot uz polinomiem ar vairākiem terminiem.

Atcerieties: jebkurai bāzei, kas rakstīta bez eksponenta, ir netiešs eksponents 1.

Piemērs ( PageIndex {2} ):

Atrodiet šādu polinomu pakāpi: (a) 4x (b) 3x3 - 5x + 7 (c) −11 (d) −6x2 + 9x - 3 (e) 8x + 2

Risinājums

a) 4x

X eksponents ir viens. x = x1Pakāpe ir 1.

b) 3x3 - 5x + 7

Visu terminu augstākā pakāpe ir 3.Pakāpe ir 3.

c) -11

Konstantes pakāpe ir 0.Pakāpe ir 0.

d) −6x2 + 9x - 3

Visu terminu augstākā pakāpe ir 2.Pakāpe ir 2.

e) 8x + 2

Visu terminu augstākā pakāpe ir 1.Pakāpe ir 1.

Vingrinājums ( PageIndex {3} ):

Atrodiet šādu polinomu pakāpi: (a) −6y (b) 4x - 1 (c) 3x4 + 4x2 - 8 (d) 2y2 + 3g + 9 (e) −18

Atbilde a

1

Atbilde b

1

Atbilde c

4

Atbilde d

2

Atbilde e

0

Vingrinājums ( PageIndex {4} ):

Atrodiet šādu polinomu pakāpi: (a) 47 (b) 2x2 - 8x + 2 (c) x4 - 16 (d) y5 - 5 g3 + y (e) 9a3

Atbilde a

0

Atbilde b

2

Atbilde c

4

Atbilde d

5

Atbilde e

3

Darbs ar polinomiem ir vienkāršāks, ja terminus uzskaitāt dilstošā pakāpē. Kad polinomu uzraksta šādā veidā, tiek teikts, ka tas ir iekšā standarta veidlapa. Atskatieties uz polinomiem 10.2 piemērā. Ievērojiet, ka tie visi ir rakstīti standarta formā. Pierodiet vispirms rakstīt terminu ar augstāko pakāpi.

Pievienojiet un atņemiet Monomials

Sadaļā Algebras valoda jūs vienkāršojāt izteicienus, apvienojot līdzīgus terminus. Monomālu pievienošana un atņemšana ir tas pats, kas apvienot līdzīgus terminus. Līdzīgiem terminiem jābūt vienam mainīgajam ar vienu un to pašu eksponentu. Atgādinām, ka, apvienojot līdzīgus terminus, tiek apvienoti tikai koeficienti, nekad nav eksponenti.

Piemērs ( PageIndex {3} ):

Pievienot: 17x2 + 6x2.

Risinājums

Vingrinājums ( PageIndex {5} ):

Pievienot: 12x2 + 5x2.

Atbilde

17x2

Vingrinājums ( PageIndex {6} ):

Pievienot: −11y2 + 8g2.

Atbilde

-3g2

Piemērs ( PageIndex {4} ):

Atņemt: 11n - (−8n).

Risinājums

Vingrinājums ( PageIndex {7} ):

Atņemt: 9n - (−5n).

Atbilde

14n

Vingrinājums ( PageIndex {8} ):

Atņemt: −7a3 - (−5a3).

Atbilde

-2a3

Piemērs ( PageIndex {5} ):

Vienkāršojiet: a2 + 4b2 - 7.a2.

Risinājums

Apvienojiet līdzīgus terminus.−6a2 + 4b2

Atcerieties, −6a2 un 4.b2 nav līdzīgi terminiem. Mainīgie lielumi nav vienādi.

Vingrinājums ( PageIndex {9} ):

Pievienot: 3x2 + 3g2 - 5x2.

Atbilde

-2x2 + 3g2

Vingrinājums ( PageIndex {10} ):

Pievienot: 2a2 + b2 - 4a2.

Atbilde

-2a2 + b2

Pievienojiet un atņemiet polinomus

Polinomu saskaitīšanu un atņemšanu var uzskatīt par tikai līdzīgu terminu saskaitīšanu un atņemšanu. Meklējiet līdzīgus terminus - tos, kuriem ir vienādi mainīgie ar vienu un to pašu eksponentu. Komutatīvais īpašums ļauj mums pārkārtot noteikumus, lai tos saliktu. Var būt noderīgi arī pasvītrot, aplīt vai atzīmēt līdzīgus terminus.

Piemērs ( PageIndex {6} ):

Atrodiet summu: (4x2 - 5x + 1) + (3x2 - 8x - 9)

Risinājums

Vingrinājums ( PageIndex {11} ):

Atrodiet summu: (3x2 - 2x + 8) + (x2 - 6x + 2).

Atbilde

4x2 - 8x + 10

Vingrinājums ( PageIndex {12} ):

Atrodiet summu: (7g2 + 4g - 6) + (4g2 + 5g + 1)

Atbilde

11. g2 + 9g - 5

Iekavas ir grupēšanas simboli. Pievienojot polinomus, kā to izdarījām 10.6. Piemērā, mēs varam pārrakstīt izteiksmi bez iekavām un pēc tam apvienot līdzīgus terminus. Bet, atņemot polinomus, mums jābūt ļoti uzmanīgiem ar zīmēm.

Piemērs ( PageIndex {7} ):

Atrodiet atšķirību: (7u2 - 5u + 3) - (4u2 − 2).

Risinājums

Vingrinājums ( PageIndex {13} ):

Atrodiet atšķirību: (6g2 + 3g - 1) - (3g2 − 4).

Atbilde

3g2 + 3g + 3

Vingrinājums ( PageIndex {14} ):

Atrodiet atšķirību: (8u2 - 7u - 2) - (5u2 - 6u - 4).

Atbilde

3u2 - u + 2

Piemērs ( PageIndex {8} ):

Atņemt: (m2 - 3m + 8) no (9m2 - 7m + 4).

Risinājums

Vingrinājums ( PageIndex {15} ):

Atņemt: (4n2 - 7n - 3) no (8n2 + 5n - 3).

Atbilde

4n2 + 12n

Vingrinājums ( PageIndex {16} ):

Atņemt: (a2 - 4a - 9) no (6a2 + 4a - 1).

Atbilde

5.a2 + 8a + 8

Novērtējiet polinomu par noteiktu vērtību

Grāmatā Algebra valoda mēs novērtējām izteicienus. Tā kā polinomi ir izteiksmes, mēs ievērosim tās pašas procedūras, lai novērtētu polinomus - aizstājiet mainīgā lieluma norādīto vērtību polinomā un pēc tam vienkāršojiet.

Piemērs ( PageIndex {9} ):

Novērtējiet 3x 2 - 9x + 7, kad (a) x = 3 (b) x = −1

Risinājums

a) x = 3

Aizvietojiet x ar 3. punktu.3(3)2 − 9(3) + 7
Vienkāršojiet izteicienu ar eksponentu.3 • 9 − 9(3) + 7
Pavairot.27 − 27 + 7
Vienkāršojiet.7

(b) x = -1

X aizstāj ar -1.3(-1)2 − 9(-1) + 7
Vienkāršojiet izteicienu ar eksponentu.3 • 1 − 9(-1) + 7
Pavairot.3 + 9 + 7
Vienkāršojiet.19

Vingrinājums ( PageIndex {17} ):

Novērtēt: 2x2 + 4x - 3, kad (a) x = 2 (b) x = −3

Atbilde a

13

Atbilde b

3

Vingrinājums ( PageIndex {18} ):

Novērtēt: 7 g2 - y - 2, kad (a) y = −4 (b) y = 0

Atbilde a

114

Atbilde b

-2

Piemērs ( PageIndex {10} ):

Polinoms −16t 2 + 300 norāda objekta augstumu t sekundes pēc tam, kad tas tiek nomests no 300 pēdu gara tilta. Atrodiet augstumu pēc t = 3 sekundēm.

Risinājums

T aizstāj 3. t.-16(3)2 + 300
Vienkāršojiet izteicienu ar eksponentu.-16 • 9 + 300
Pavairot.-144 + 300
Vienkāršojiet.156

Vingrinājums ( PageIndex {19} ):

Polinoms −8t2 + 24t + 4 dod bumbas augstumu pēdās t sekundes pēc tam, kad tā tiek izmesta gaisā, no sākotnējā augstuma 4 pēdas. Atrodiet augstumu pēc t = 3 sekundēm.

Atbilde

4 pēdas

Vingrinājums ( PageIndex {20} ):

Polinoms −8t2 + 24t + 4 dod bumbas augstumu pēdās x sekundes pēc tam, kad tā tiek izmesta gaisā, no sākotnējā augstuma 4 pēdas. Atrodiet augstumu pēc t = 2 sekundēm.

Atbilde

20 pēdas

Prakse padara perfektu

Identificējiet polinomus, mononomus, binomālus un trīsciparus

Turpmākajos vingrinājumos nosakiet, vai katrs no polinomiem ir monomāls, binoms, trinoms vai cits polinoms.

  1. 5x + 2
  2. z2 - 5z - 6
  3. a2 + 9a + 18
  4. −12p4
  5. y3 - 8 g2 + 2g - 16
  6. 10 - 9x
  7. 23g2
  8. m4 + 4m3 + 6m2 + 4m + 1

Nosakiet polinomu pakāpi

Turpmākajos vingrinājumos nosakiet katra polinoma pakāpi.

  1. 8.a5 - 2a3 + 1
  2. 5.c3 + 11c2 - c - 8
  3. 3x - 12
  4. 4y + 17
  5. −13
  6. −22

Pievienojiet un atņemiet Monomials

Turpmākajos vingrinājumos pievienojiet vai atņemiet monomālus.

  1. 6x2 + 9x2
  2. 4g3 + 6 g3
  3. −12u + 4u
  4. −3m + 9m
  5. 5.a + 7.b
  6. 8g. + 6z
  7. Pievienot: 4a, - 3b, - 8a
  8. Pievienot: 4x, 3y, - 3x
  9. 18x - 2x
  10. 13.a – 3a
  11. Atņemiet 5x6 no - 12x6
  12. Atņemiet 2p4 no - 7p4

Pievienojiet un atņemiet polinomus

Turpmākajos vingrinājumos pievienojiet vai atņemiet polinomus.

  1. (4g2 + 10g. + 3) + (8g2 - 6g + 5)
  2. (7x2 - 9x + 2) + (6x2 - 4x + 3)
  3. (x2 + 6x + 8) + (−4x2 + 11x - 9)
  4. (y2 + 9g + 4) + (−2g2 - 5 g. - 1)
  5. (3.a2 + 7) + (a2 - 7.a - 18)
  6. (lpp2 - 5p - 11) + (3p2 + 9)
  7. (6m2 - 9m - 3) - (2m2 + m - 5)
  8. (3n2 - 4n + 1) - (4n2 - n - 2)
  9. (z2 + 8z + 9) - (z2 - 3z + 1)
  10. (z2 - 7z + 5) - (z2 - 8z + 6)
  11. (12s2 - 15 s) - (s - 9)
  12. (10r2 - 20r) - (r - 8)
  13. Atrodiet summu (2p3 - 8) un (lpp2 + 9p + 18)
  14. Atrodiet (q2 + 4q + 13) un (7q3 − 3)
  15. Atņemt (7x2 - 4x + 2) no (8x2 - x + 6)
  16. Atņemt (5x2 - x + 12) no (9x2 - 6x - 20)
  17. Atrodiet (w2 + w - 42) un (w2 - 10w + 24)
  18. Atrodiet starpību (z2 - 3z - 18) un (z2 + 5z - 20)

Novērtējiet polinomu par noteiktu vērtību

Turpmākajos vingrinājumos novērtējiet katru polinomu par norādīto vērtību.

  1. Novērtējiet 8. gadu2 - 3 g. + 2
    1. y = 5
    2. y = −2
    3. y = 0
  2. Novērtējiet 5 gadu2 - y - 7, ja:
    1. y = −4
    2. y = 1
    3. y = 0
  3. Novērtējiet 4 - 36x, ja:
    1. x = 3
    2. x = 0
    3. x = −1
  4. Novērtējiet 16 - 36x2 kad:
    1. x = −1
    2. x = 0
    3. x = 2
  5. Logu mazgāšanas mašīna nomet rakeču no platformas, kuras augstums ir 275 pēdas. Polinoms −16t2 + 275 norāda rakeļa augstumu t sekundes pēc tam, kad tas tika nomests. Atrodiet augstumu pēc t = 4 sekundēm.
  6. Mikroviļņu krāsniņu ražotājs ir noskaidrojis, ka ieņēmumus, kas iegūti no mikroviļņu pārdošanas par p dolāriem, dod polinoms −5p2 + 350p. Atrodiet saņemtos ieņēmumus, kad p = 50 dolāri.

Ikdienas matemātika

  1. Degvielas efektivitāte Degvielas patēriņa efektivitāti (jūdzēs uz galonu) autobusam, kurš brauc ar ātrumu x jūdzes stundā, nosaka polinoms (- dfrac {1} {160} x ^ {2} + dfrac {1} {2 } x ). Atrodiet degvielas patēriņa efektivitāti, kad x = 40 jūdzes stundā.
  2. Apstāšanās attālums To pēdu skaitu, kas nepieciešams automašīnai, kas brauc ar ātrumu x jūdzes stundā, apstājoties uz sausa, līdzena betona, nosaka polinoms 0,06x2 + 1,1x. Atrodiet bremzēšanas ceļu, kad x = 60 jūdzes stundā.

Rakstīšanas vingrinājumi

  1. Izmantojot savus vārdus, paskaidrojiet atšķirību starp monomālu, binomu un trinomu.
  2. Eloise domā summu 5x2 + 3x4 ir 8x6. Kas ir nepareizs viņas argumentācijā?

Pašpārbaude

a) Pēc vingrinājumu izpildīšanas izmantojiet šo kontrolsarakstu, lai novērtētu šīs sadaļas mērķu apguvi.

b) Ja lielākā daļa jūsu pārbaužu bija:

…pārliecinoši. Apsveicam! Jūs esat sasniedzis šīs sadaļas mērķus. Pārdomājiet izmantotās mācību prasmes, lai jūs varētu tās turpināt izmantot. Ko jūs darījāt, lai pārliecinātos par spēju veikt šīs lietas? Esi konkrēts.

... ar nelielu palīdzību. Tas ir ātri jārisina, jo tēmas, kuras jūs neapgūstat, kļūst par bedrēm ceļā uz panākumiem. Matemātikā katra tēma balstās uz iepriekšējo darbu. Pirms doties tālāk, ir svarīgi pārliecināties, ka jums ir spēcīgs pamats.

Kam jūs varat lūgt palīdzību? Jūsu klases biedri un instruktori ir labi resursi. Vai pilsētiņā ir kāda vieta, kur ir pieejami matemātikas pasniedzēji? Vai jūsu studiju prasmes var uzlabot?

... nē - es to nesaprotu! Šī ir brīdinājuma zīme, un to nedrīkst ignorēt. Jums nekavējoties jāsaņem palīdzība, pretējā gadījumā jūs ātri nomocīsit. Pēc iespējas ātrāk apmeklējiet savu instruktoru, lai pārrunātu savu situāciju. Kopā jūs varat nākt klajā ar plānu, lai sniegtu jums nepieciešamo palīdzību.


Polinomu pievienošana un atņemšana - paskaidrojums un piemēri

Polinoms ir izteiksme, kas satur mainīgos un koeficientus.

Piemēram, ax + b, 2x 2 - 3x + 9 un x 4 - 16 ir polinomi.

Vārds “polinoms” ir atvasināts no vārdiem “poli" un "nominālais, Kas nozīmē attiecīgi daudzus un terminus. Polinomā var būt mainīgie, konstantes un eksponenti, bet izteiksme nav polinoma, ja mainīgais atrodas saucējā, piemēram, 2 / x + 3, 9xy -2 utt.

Tāpat kā skaitļi, viņiem var veikt tāda paša veida darbības. Polinomu saskaitīšanas un atņemšanas darbība ir tikpat vienkārša kā pīrāgs. Jums jāpārzina tikai līdzīgu terminu un darbību secības apvienošana jautājumā. Pirms mēs varam sākt, atcerēsimies, kādi ir termini.

Matemātikā līdzīgi termini ir termini, kas satur identiskus mainīgos un eksponentus neatkarīgi no to koeficientiem. Jūs varat vienkāršot izteiksmi, pievienojot vai atņemot atkarībā no zīmēm pirms noteikumiem.

Piemēram , 7xy + 6y + 6xy ir polinoms, kura termini ir 7xy un 6xy. Tāpēc mēs varam vienkāršot šo polinomu, apvienojot līdzīgus terminus kā 7xy + 6xy + 6y = 13xy + y. Kombinējot līdzīgus terminus, mēs saskaitām vai atņemam tikai identisko mainīgo koeficientus.

No otras puses, atšķirībā no terminiem ir termini, kas nav identiski ne mainīgo, ne eksponentu ziņā.

Piemēram , izteiksme 4x + 9y 2 satur atšķirīgus terminus, jo mainīgais x un y ir atšķirīgs un netiek paaugstināts vienā un tajā pašā jaudā.


10.1: Pievienojiet un atņemiet polinomus

Šeit ir norādītas darbības, kas nepieciešamas, lai pievienotu un samazinātu polinomus:

1. solis: Noņemiet visas iekavas. Es iesaku problēmu rakstīt vertikāli, nevis horizontāli, jo tas atvieglo nākamo soli. Pievienojot, izdaliet pozitīvo (vai pievienoto) zīmi, kas nemaina nevienu no zīmēm. Atņemot, izdaliet negatīvo (vai atņemšanas) zīmi, kas katru zīmi maina pēc atņemšanas zīmes.
2. solis: Apvienojiet līdzīgus terminus. Šis solis ir daudz vienkāršāks, ja lietas tiek rakstītas vertikāli, jo līdzīgi termini ir rakstīti viens virs otra. Atcerieties, ka, lai apvienotu līdzīgus vārdus, mainīgajam un katra mainīgā jaudai jābūt tieši vienādai.

1. piemērs & ndash Vienkāršojiet: (3x 3 & # 8211 5x + 9) + (6x 3 + 8x & # 8211 7)

2. piemērs & ndash Vienkāršojiet: (& # 82113x 2 + 9xy & # 8211 5y 2) & # 8211 (4x 2 + 7xy & # 8211 8y 2)

3. piemērs & ndash Vienkāršojiet: (5x 3 & # 8211 7x 2 & # 8211 8) & # 8211 (4x 2 + 5x & # 8211 6)

4. piemērs & ndash Pievienojiet 4x 3 & # 8211 9x + 3 un 5x 2 & # 8211 4x + 7.

5. piemērs & ndash Atņemiet 4x 2 & # 8211 7x + 5 no 3x 2 & # 8211 2x + 6.


Polinomu saskaitīšana un atņemšana

Pirms apvienojat līdzīgus terminus, noteikti nomainiet atņemšanu uz saskaitīšanu.

2. piemērs: Atņemiet polinomus.

(4x - 5g 2 + 2 - x 2) - (- 2g + 2x 2 - 3x + 7)

Mainiet dalījumu papildinājumā, izdalot negatīvo caur 2. iekavu kopu. Katra termina zīme 2. iekavās mainās.

(4x −5y 2 + 2 - x 2) - (- 2y + 2x 2 - 3x + 7)

= 4x ​​−5y 2 + 2 - x 2 + 2y - 2x 2 + 3x - 7

Pārrakstiet izteicienu tā, lai līdzīgie termini tiktu sagrupēti:

(4x + 3x) + (- x 2 - 2x 2) + (2 - 7) −5 g. 2 + 2 g.

Apvienojiet līdzīgus terminus, pievienojot koeficientus.

Vienkāršotā forma (4x - 5y 2 + 2 - x 2) - (- 2y + 2x 2 - 3x + 7) ir
7x −3x 2 - 5 −5y 2 + 2g.


Pievienojiet un atņemiet polinomus

Videoklipi, darblapas, risinājumi un darbības, lai palīdzētu Algebra studentiem uzzināt par polinomu pievienošanu un atņemšanu.

Polinomi (2. daļa no 4) - apvienojot līdzīgus terminus polinomos

Izmēģiniet zemāk esošo bezmaksas Mathway kalkulatoru un problēmu risinātāju, lai praktizētu dažādas matemātikas tēmas. Izmēģiniet sniegtos piemērus vai ierakstiet savu problēmu un pārbaudiet atbildi, izmantojot detalizētus paskaidrojumus.

Mēs priecājamies par jūsu atsauksmēm, komentāriem un jautājumiem par šo vietni vai lapu. Lūdzu, iesniedziet atsauksmes vai jautājumus, izmantojot mūsu atsauksmju lapu.


Ievads polinomos

Izteiksmes, kas pazīstamas kā polinomi, algebrā tiek plaši izmantotas. Šo izteicienu pielietošana ir būtiska daudzām karjerām, tostarp ekonomistiem, inženieriem un zinātniekiem. Šajā nodaļā mēs uzzināsim, kas ir polinomi un kā ar tiem manipulēt, izmantojot pamata matemātiskas darbības.

Kā Amazon Associate mēs nopelnām no kvalificētiem pirkumiem.

Vai vēlaties citēt, kopīgot vai pārveidot šo grāmatu? Šī grāmata ir Creative Commons attiecinājuma licence 4.0, un jums jāpiešķir OpenStax.

    Ja jūs visu grāmatu vai tās daļu pārdalāt drukas formātā, tad katrā fiziskajā lapā jāiekļauj šāds attiecinājums:

  • Izmantojiet zemāk esošo informāciju, lai ģenerētu citātu. Mēs iesakām izmantot citēšanas rīku, piemēram, šo.
    • Autori: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith
    • Izdevējs / vietne: OpenStax
    • Grāmatas nosaukums: Prealgebra
    • Publicēšanas datums: 2015. gada 25. septembris
    • Atrašanās vieta: Hjūstona, Teksasa
    • Grāmatas URL: https://openstax.org/books/prealgebra/pages/1-introduction
    • Sadaļas URL: https://openstax.org/books/prealgebra/pages/10-introduction-to-polynomials

    © 2020. gada 16. septembris OpenStax. Mācību grāmatu saturs, ko ražo OpenStax, tiek licencēts saskaņā ar Creative Commons Attribution License 4.0 licenci. Uz OpenStax nosaukumu, OpenStax logotipu, OpenStax grāmatu vākiem, OpenStax CNX nosaukumu un OpenStax CNX logotipu neattiecas Creative Commons licence, un tos nevar reproducēt bez Rīsu universitātes iepriekšējas un skaidras rakstiskas piekrišanas.


    Pievienojiet un atņemiet polinomus

      Vienkāršojiet:

    Nosakiet polinomu pakāpi

    Mēs esam iemācījušies, ka a jēdziens ir konstante vai konstanta un viena vai vairāku mainīgo lielumu reizinājums. Monomāls ir algebriska izteiksme ar vienu terminu. Kad tas ir formā kur a ir nemainīgs un m ir vesels skaitlis, to vienā mainīgajā sauc par monomālu. Daži monomāla piemēri vienā mainīgajā ir. Monomāliem var būt arī vairāki mainīgie, piemēram, un

    A monomāls ir algebriska izteiksme ar vienu terminu.

    Monomāls vienā mainīgajā ir formas termins kur a ir nemainīgs un m ir vesels skaitlis.

    Monomāls vai divi vai vairāki monomāli, kas apvienoti saskaitot vai atņemot, ir polinoms. Dažiem polinomiem ir īpaši nosaukumi, pamatojoties uz terminu skaitu. Monomāls ir polinoms ar precīzi vienu terminu. Binomiālā ir precīzi divi termini, un trinomālā ir precīzi trīs termini. Polinomiem ar vairāk nekā trim apzīmējumiem nav īpašu nosaukumu.

    polinoms- monomāls vai divi vai vairāki algebriskie termini, kas apvienoti ar saskaitīšanu vai atņemšanu, ir polinoms.

    monomāls—Polinomu ar precīzi vienu terminu sauc par monomālu.

    binomāls—Polinomu ar precīzi diviem terminiem sauc par binomu.

    trinomiāls—Polinomu ar precīzi trim terminiem sauc par trinomu.

    Šeit ir daži polinomu piemēri.

    Polinoms
    Monomāls 14
    Binomāls
    Trinomāls

    Ievērojiet, ka katrs monomāls, binoms un trinoms ir arī polinoms. Viņi ir tikai īpašie polinomu “ģimenes” pārstāvji, tāpēc viņiem ir īpaši vārdi. Mēs izmantojam vārdus monomāls, binomāls, un trinomiāls atsaucoties uz šiem īpašajiem polinomiem, un vienkārši piezvaniet visiem pārējiem polinomi.

    Polinoma pakāpi un tā termiņu pakāpi nosaka mainīgā lielumi.

    Monomāls, kuram nav mainīgā, tikai konstante, ir īpašs gadījums. Konstantes pakāpe ir 0.

    The termina pakāpe ir tā mainīgo eksponentu summa.

    The konstantes pakāpe ir 0.

    The polinoma pakāpe ir visaugstākā pakāpe no visiem tās noteikumiem.

    Apskatīsim, kā tas darbojas, aplūkojot vairākus polinomus. Mēs to veiksim soli pa solim, sākot ar monomāliem un pēc tam pārejot uz polinomiem ar vairākiem terminiem.

    Sāksim skatīties monomālu. Monomāls ir divi mainīgie a un b. Lai atrastu pakāpi, mums jāatrod eksponentu summa. Mainīgajam a nav eksponenta, bet atcerieties, ka tas nozīmē, ka eksponents ir 1. b ir 2. Eksponentu summa, ir 3, tātad grāds ir 3.

    Šeit ir daži papildu piemēri.

    Darbs ar polinomiem ir vienkāršāks, ja terminus uzskaitāt dilstošā pakāpē. Kad polinomu raksta šādā veidā, tiek teikts, ka tas ir polinoma standarta formā. Pierodiet vispirms rakstīt terminu ar augstāko pakāpi.

    Nosakiet, vai katrs polinoms ir monomāls, binoms, trinoms vai cits polinoms. Pēc tam atrodiet katra polinoma pakāpi.

    ⓔ 15

    Polinoms Terminu skaits Tips Terminu pakāpe Polinoma pakāpe
    3 Trinomāls 2, 1, 0 2
    1 Monomāls 4, 2 6
    5 Polinoms 5, 3, 2, 1, 0 5
    2 Binomāls 1, 4 4
    15 1 Monomāls 0 0

    Nosakiet, vai katrs polinoms ir monomāls, binoms, trinoms vai cits polinoms. Pēc tam atrodiet katra polinoma pakāpi.

    Yn polinoms, 3 ⓒ trinoms, 3

    Nosakiet, vai katrs polinoms ir monomāls, binoms, trinoms vai cits polinoms. Pēc tam atrodiet katra polinoma pakāpi.

    Ⓐ binomāls, 3 ⓑ trinoms, 3 ⓒ monomāls, 0 ⓓ polinoms, 4 ⓔ monomāls, 7

    Pievienojiet un atņemiet polinomus

    Mēs esam iemācījušies vienkāršot izteicienus, apvienojot līdzīgus terminus. Atcerieties, ka līdzīgiem terminiem ir jābūt vienādiem mainīgajiem ar vienu un to pašu eksponentu. Tā kā monomāli ir termini, monomālu pievienošana un atņemšana ir tas pats, kas kombinēt līdzīgus terminus. Ja monomāli ir līdzīgi termini, mēs tos vienkārši apvienojam, saskaitot vai atņemot koeficientus.

    Saskaitīt vai atņemt: ⓐ

    Saskaitīt vai atņemt: ⓐ

    Saskaitīt vai atņemt: ⓐ

    Atcerieties, ka līdzīgiem terminiem jābūt vienādiem mainīgajiem ar vienādiem eksponentiem.

    Vienkāršojiet: ⓐ

    Pievienojiet: ⓐ

    Pievienojiet: ⓐ

    Mēs varam iedomāties polinomu saskaitīšanu un atņemšanu kā tikai monomālu sēriju saskaitīšanu un atņemšanu. Meklējiet līdzīgus terminus - tos, kuriem ir vienādi mainīgie un viens un tas pats eksponents. Komutatīvais īpašums ļauj mums pārkārtot noteikumus, lai tos saliktu.

    Atrodiet summu:

    Atrodiet summu:

    Atrodiet summu:

    Esiet piesardzīgs ar zīmēm, kad jūs izplatāt, atņemot polinomus nākamajā piemērā.

    Atrodiet atšķirību:

    Atrodiet atšķirību:

    Atrodiet atšķirību:

    Lai atņemtu no mēs to rakstām kā ievietojot vispirms.

    Atņemt no

    Atņemt no

    Atņemt no

    Atrodiet summu:

    Atrodiet summu:

    Atrodiet summu:

    Kad mēs saskaitām un atņemam vairāk nekā divus polinomus, process ir vienāds.

    Vienkāršojiet:

    Vienkāršojiet:

    Vienkāršojiet:

    Novērtējiet polinoma funkciju noteiktai vērtībai

    Polinoma funkcija ir funkcija, ko nosaka polinoms. Piemēram, un ir polinoma funkcijas, jo un ir polinomi.

    A polinoma funkcija ir funkcija, kuras diapazona vērtības nosaka polinoms.

    Grafikos un funkcijās, kur mēs vispirms ieviesām funkcijas, mēs uzzinājām, ka funkcijas novērtēšana nozīmē atrast vērtību par norādīto vērtību x. Lai novērtētu polinoma funkciju, mainīgajam aizstāsim norādīto vērtību un pēc tam vienkāršosim, izmantojot darbību secību.

    Funkcijai atrast: ⓐ

    Vienkāršojiet eksponentus.
    Pavairot.
    Vienkāršojiet.
    Vienkāršojiet eksponentus.
    Pavairot.
    Vienkāršojiet.
    Vienkāršojiet eksponentus.
    Pavairot.
    Vienkāršojiet.

    Funkcijai atrast ⓐ

    ⓐ 18 ⓑ 50 ⓒ

    Funkcijai atrast ⓐ

    ⓐ 20 ⓑ 2 ⓒ

    Polinoma funkcijas, kas ir līdzīgas nākamajā piemērā redzamajai, tiek izmantotas daudzos laukos, lai noteiktu objekta augstumu kādu laiku pēc tā projicēšanas gaisā. Nākamās funkcijas polinoms tiek īpaši izmantots, lai nomestu kaut ko no 250 pēdām.

    Polinoma funkcija dod bumbas augstumu t sekundes pēc tam, kad tas tiek nomests no 250 pēdu augstas ēkas. Atrodiet augstumu pēc sekundes.

    Polinoma funkcija dod akmens augstumu t sekundes pēc tam, kad tas tiek nomests no 150 pēdu garas klints. Atrodiet augstumu pēc sekundes (objekta sākotnējais augstums).

    Augstums ir pēdas.

    Polinoma funkcija dod bumbas augstumu t sekundes pēc tam, kad tas tiek nomests no 175 pēdu gara tilta. Atrodiet augstumu pēc sekundes.

    Polinomu funkciju saskaitīšana un atņemšana

    Tāpat kā var saskaitīt un atņemt polinomus, var saskaitīt un atņemt arī polinomu funkcijas.

    Funkcijām un

    Funkcijām un atrast:

    Pārrakstiet bez iekavām.
    Salikt kā terminus kopā.
    Apvienojiet līdzīgus terminus.

    Ⓑ Daļā (a) mēs atradām un tagad tiek lūgts atrast

    Ievērojiet, ka mēs būtu varējuši atrast vispirms atrodot un atsevišķi un pēc tam pievienojot rezultātus.

    Atrodiet
    Atrodiet
    Atrodiet

    Pārrakstiet bez iekavām.
    Salikt kā terminus kopā.
    Apvienojiet līdzīgus terminus.

    Funkcijām un atrast: ⓐ

    Funkcijām un atrast ⓐ

    Piekļūstiet šim tiešsaistes resursam, lai iegūtu papildu instrukcijas un praksi, pievienojot un atņemot polinomus.

    Galvenie jēdzieni

    • Monomāls
      • A monomāls ir algebriska izteiksme ar vienu terminu.
      • Monomāls vienā mainīgajā ir formas termins kur a ir nemainīgs un m ir vesels skaitlis.
      • Polinoms- monomāls vai divi vai vairāki algebriskie termini, kas apvienoti ar saskaitīšanu vai atņemšanu, ir polinoms.
      • monomāls —Polinomu ar precīzi vienu terminu sauc par monomālu.
      • binomāls - Polinomu ar precīzi diviem terminiem sauc par binomu.
      • trinomiāls —Polinomu ar precīzi trim terminiem sauc par trinomu.
      • The termina pakāpe ir tā mainīgo eksponentu summa.
      • The konstantes pakāpe ir 0.
      • The polinoma pakāpe ir visaugstākā pakāpe no visiem tās noteikumiem.

      Prakse padara perfektu

      Nosakiet polinomu veidu

      Turpmākajos vingrinājumos nosakiet, vai polinoms ir monomāls, binoms, trinoms vai cits polinoms.

      In trinomiāls, 5 ⓑ polinoms, 3 ⓒ binoms, 1 ⓓ monomāls, 1


      Pievienojiet un atņemiet polinomus



      Piemēri, videoklipi un risinājumi, lai palīdzētu Algebra I studentiem uzzināt, kā pievienot un atņemt polinomus.

      Ņujorkas štata matemātikas algebra I, 1. modulis, 8. nodarbība

      Studenti saprot, ka divu polinomu summa vai starpība rada vēl vienu polinomu un saista polinomus ar veselu skaitļu sistēmu, ko studenti saskaita un atņem polinomus.

      A monomāls ir polinoma izteiksme, kas ģenerēta, izmantojot tikai reizināšanas operatoru (__ & reizes__). Tādējādi tajā nav operatoru + vai & ndash. Monomāli tiek rakstīti, skaitliskos faktorus reizinot kopā, un mainīgos vai citus simbolus, kas katrs notiek vienu reizi (izmantojot eksponentus, lai kondensētu vairākus viena mainīgā gadījumus)

      A polinoms ir monomālu summa (vai starpība).

      The monomāla pakāpe ir mainīgo simbolu eksponentu summa, kas parādās monomālā.

      The polinoma pakāpe ir monomālā termina pakāpe ar visaugstāko pakāpi.

      1. Vai trīs polinomu summai atkal jābūt polinomai?

      Izmēģiniet zemāk esošo bezmaksas Mathway kalkulatoru un problēmu risinātāju, lai praktizētu dažādas matemātikas tēmas. Izmēģiniet sniegtos piemērus vai ierakstiet savu problēmu un pārbaudiet atbildi, izmantojot detalizētus paskaidrojumus.

      Mēs priecājamies par jūsu atsauksmēm, komentāriem un jautājumiem par šo vietni vai lapu. Lūdzu, iesniedziet atsauksmes vai jautājumus, izmantojot mūsu atsauksmju lapu.


      (7.1.2) & # 8211 Novērtējiet polinomu dotajām vērtībām

      Jūs varat novērtēt polinomus tāpat kā jūs visu laiku vērtējāt izteicienus. Lai novērtētu mainīgā lieluma izteiksmi, mainīgā vērtību aizstāj ar vērtību katru reizi izrādās. Pēc tam izmantojiet darbību secību, lai atrastu iegūto izteiksmes vērtību.

      Piemērs

      Novērtējiet [lateksu] 3x ^ <2> -2x + 1 [/ lateksu] attiecībā uz [lateksu] x = -1 [/ lateksu].

      Pēc operāciju kārtības vispirms novērtējiet eksponentus.

      Reiziniet 3 reizes 1 un pēc tam reiziniet [latekss] -2 [/ latekss] reizes [latekss] -1 [/ latekss].

      Mainiet atņemšanu uz pretējā pievienošanu.

      Atbilde

      [latekss] 3x ^ <2> -2x + 1 = 6 [/ latekss], [lateksam] x = -1 [/ lateksam]

      Piemērs

      Novērtējiet [lateksa] displaystyle - frac <2> <3> p ^ <4> + 2 ^ <3> -p [/ lateksu] attiecībā uz [lateksu] p = 3 [/ lateksu].

      [latekss] displaystyle - frac <2> <3> pa kreisi (3 pa labi) ^ <4> +2 pa kreisi (3 pa labi) ^ <3> -3 [/ latekss]

      Pēc operāciju kārtības vispirms novērtējiet eksponentus un pēc tam reiziniet.

      [latekss] displaystyle - frac <2> <3> pa kreisi (81 pa labi) +2 pa kreisi (27 pa labi) -3 [/ latekss]

      Pievienojiet un pēc tam atņemiet, lai iegūtu [lateksu] -3 [/ lateksu].

      Atbilde

      [latekss] displaystyle - frac <2> <3> p ^ <4> + 2p ^ <3> -p = -3 [/ latekss], [lateksam] p = 3 [/ lateksam]

      Šajā videoklipā mēs parādīsim vairāk polinomu novērtēšanas piemēru norādītajām mainīgā vērtībām.


      Polinomu saskaitīšana / atņemšana

      Ir vienkārši pievienot vai atņemt divus polinomus. Mēs vienkārši saskaitām vai atņemam vienādas pakāpes nosacījumus. Piemēram:

      Apsveriet divus grādu polinomus m un n. Pieņemsim, ka mēs saskaitām vai atņemam abus polinomus. Tagad rodas divi gadījumi:

      Ja m un n ir nevienlīdzīgi, iegūtā polinoma pakāpe būs vienāda ar lielāko no m un n.

      Ja m un n ir vienādi, iegūtajam polinomam būs pakāpe, kas ir maksimāli vienāda ar m un n, bet tam varētu būt arī grāds, kas ir mazāks par m un n.

      Ļaujiet & rsquos saprast šos faktus, izmantojot šādus piemērus:

      Tādējādi, ja abiem polinomiem ir vienādi grādi, mēs redzam, ka pastāv iespēja, ka visaugstākās pakāpes nosacījumi atceļ viens otru pēc saskaitīšanas vai atņemšanas, un tādējādi iegūtajam polinomam varētu būt pakāpe, kas ir mazāka par sākotnējās pakāpes divi polinomi.


      Skatīties video: . Polinomu reizināšana un dalīšana ar monomu (Novembris 2021).