Raksti

Vairāku mainīgo funkcijas (vingrinājumi) - matemātika


13.1: Vairāku mainīgo funkcijas

Turpmākajiem vingrinājumiem novērtējiet katru funkciju norādītajās vērtībās.

1) (W (x, y) = 4x ^ 2 + y ^ 2. ) Atrodiet (W (2, −1), W (−3,6) ).

Atbilde:
(W (2, −1) = 17, quad W (−3,6) = 72 )

2) (W (x, y) = 4x ^ 2 + y ^ 2 ). Atrast (W (2 + h, 3 + h). )

3) Labā apļveida cilindra tilpumu aprēķina, izmantojot divu mainīgo lielumu, (V (x, y) = πx ^ 2y, ), kur (x ) ir labā apļveida cilindra rādiuss un ( y ) apzīmē cilindra augstumu. Novērtējiet (V (2,5) ) un paskaidrojiet, ko tas nozīmē.

Atbilde:
(V (2,5) = 20π , text {units} ^ 3 ) Tas ir skaļums, kad rādiuss ir (2 ) un augstums ir (5 ).

4) Skābekļa tvertne ir izgatavota no labā cilindra ar augstumu (y ) un rādiusu (x ) ar divām puslodes rādiusu (x ), kas piestiprinātas cilindra augšdaļā un apakšā. Izsakiet cilindra tilpumu kā divu mainīgo lielumu (x ) un (y ) funkciju, atrodiet (V (10,2) ) un paskaidrojiet, ko tas nozīmē.

5. - 10. vingrinājumam atrodiet dotās funkcijas domēnu un diapazonu. Norādiet domēnu kopu veidotāja apzīmējumā un intervālu apzīmējumā diapazonu.

5) (V (x, y) = 4x ^ 2 + y ^ 2 )

Atbilde:
Domēns: ( {(x, y) | x in rm I ! R, y in rm I ! R } ) Tas ir, visi (xy ) - plaknes punkti
Diapazons: ([0, infty) )

6) (f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2−4} )

Atbilde:
Domēns: ( {(x, y) | x ^ 2 + y ^ 2 ge 4 } )
Diapazons: ([0, infty) )

7) (f (x, y) = 4 ln (y ^ 2 − x) )

Atbilde:
Domēns: ( {(x, y) | x Diapazons: ((- infty, infty) )

8) (g (x, y) = sqrt {16-4x ^ 2-y ^ 2} )

Atbilde:
Domēns: ( {(x, y) | frac {x ^ 2} {4} + frac {y ^ 2} {16} le 1 } )
Diapazons: ([0, 4] )

9) (z = arccos (y − x) )

Atbilde:
Domēns: ( {(x, y) | x - 1 le y le x + 1 } ) Tas ir, visi punkti starp (y = x -1 ) un (y = x +1 ).
Diapazons: ([0, pi] )

10) (f (x, y) = dfrac {y + 2} {x ^ 2} )

Atbilde:
Domēns: ( {(x, y) | x neq 0 } )
Diapazons: ((- infty, infty) )

Atrodiet funkciju diapazonu.

11) (g (x, y) = sqrt {16−4x ^ 2 – y ^ 2} )

Atbilde:
( {z | 0≤z≤4 } )

12) (V (x, y) = 4x ^ 2 + y ^ 2 )

13) (z = y ^ 2 − x ^ 2 )

Atbilde:
Komplekts ( rm I ! R )

14. - 29. vingrinājumā atrodiet katras funkcijas līmeņa līknes pie norādītajām vērtībām (c ), lai vizualizētu doto funkciju. Ieskicējiet kontūra diagrammu tiem vingrinājumiem, kuros jums tiek pieprasītas vairāk nekā 3 (c ) vērtības.

14) (z (x, y) = y ^ 2 - x ^ 2, quad c = 1 )

15) (z (x, y) = y ^ 2 - x ^ 2, quad c = 4 )

Atbilde:
(y ^ 2 − x ^ 2 = 4, ) hiperbola

16) (g (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2; quad c = 0, 1, 2, 3, 4, 9 )

17) (g (x, y) = 4 − x − y; quad c = 0,1, 2, 3, 4 )

Atbilde:
Līmeņa līknes ir līnijas ar (y = -x + (4 - c) ).
Katrai (c ) vērtībai tie ir:
(c = 0: , y = -x + 4 ),
(c = 1: , y = -x + 3 ),
(c = 2: , y = -x + 2 ),
(c = 3: , y = -x + 1 ),
(c = 4: , y = -x ).
Kontūras diagramma sastāv no paralēlu līniju virknes.

18) (f (x, y) = xy; c = 1; quad c = -1 -1)

19) (h (x, y) = 2x-y; quad c = -2,0,2 )

Atbilde:
(2x − y = 0,2x − y = −2,2x − y = 2; ) trīs līnijas

20) (f (x, y) = x ^ 2 - y; quad c = 1,2 )

21) (g (x, y) = dfrac {x} {x + y}; c = −1,0,1,2 )

Atbilde:
Līmeņa līknes ir līnijas ar formu (y = x left ( frac {1-c} {c} right) ). Pie (c = 0 ) mēs to atrisinām tieši no vienādojuma ( dfrac {x} {x + y} = 0 ), lai iegūtu (x = 0 ).
Katrai (c ) vērtībai tie ir:
(c = -1: , y = -2x ),
(c = 0: , x = 0, text {with} y ne 0 ),
(c = 1: , y = 0, text {with} x ne 0 ),
(c = 2: , y = - frac {1} {2} x ).

22) (g (x, y) = x ^ 3 - y; quad c = −1,0,2 )

23) (g (x, y) = e ^ {xy}; quad c = frac {1} {2}, 3 )

Atbilde:
Līmeņa līknēm ir forma (y = frac { ln c} {x} ).
Katrai (c ) vērtībai tie ir:
(c = frac {1} {2}: , y = frac { ln frac {1} {2}} {x} ), kurus var pārrakstīt kā: (y = - frac { ln 2} {x} )
(c = 3: , y = frac { ln 3} {x} ).

24) (f (x, y) = x ^ 2; quad c = 4,9 )

25) (f (x, y) = xy − x; quad c = −2,0,2 )

Atbilde:
Līmeņu līknēm ir šāda forma: (y = frac {c} {x} + 1 ).
Šeit (y = frac {-2} {x} + 1, quad y = 1, quad y = frac {2} {x} + 1 ) vai (xy-x = −2, , xy − x = 0, , xy − x = 2 )

26) (h (x, y) = ln (x ^ 2 + y ^ 2); quad c = −1,0,1 )

27) (g (x, y) = ln ( frac {y} {x ^ 2}); quad c = −2,0,2 )

Atbilde:
Līmeņa līknēm ir forma (y = e ^ c x ^ 2 ).
Katrai (c ) vērtībai tie ir:
(c = -2: , y = e ^ {- 2} x ^ 2 ),
(c = 0: , y = x ^ 2 ),
(c = 2: , y = e ^ {2} x ^ 2 ).

28) (z = f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}, quad c = 3 )

29) (f (x, y) = dfrac {y + 2} {x ^ 2}, quad c = ) jebkura konstante

Atbilde:
Līmeņa līknes ir formas parabolas (y = cx ^ 2−2, text {with} x ne 0 ).

30. – 32. Vingrinājumā atrodiet funkciju vertikālās pēdas pie norādītajām vērtībām (x ) un (y ) un uzzīmējiet pēdas.

30) (z = 4 - x - y, četrstūris x = 2)

31) (f (x, y) = 3x + y ^ 3, quad x = 1 )

Atbilde:

(z = 3 + y ^ 3, ) līkne (zy ) - plakne ar rīkiem, kas paralēli (x ) - asij

32) (z = cos sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}, quad x = 1 )

33. - 38. vingrinājumā atrodiet katras funkcijas domēnu un diapazonu.

33) (z = sqrt {100−4x ^ 2−25y ^ 2} )

Atbilde:
Domēns: ( {(x, y) | frac {x ^ 2} {25} + frac {y ^ 2} {4} ≤1 } )
Diapazons: ([0, 10] )

34) (z = ln (x-y ^ 2) )

35) (f (x, y, z) = dfrac {1} { sqrt {36−4x ^ 2−9y ^ 2 − z ^ 2}} )

Atbilde:
Domēns: ( {(x, y, z) | frac {x ^ 2} {9} + frac {y ^ 2} {4} + frac {z ^ 2} {36} <1 } )
Diapazons: ([ frac {1} {6}, infty) )

36) (f (x, y, z) = sqrt {49 − x ^ 2 − y ^ 2 − z ^ 2} )

37) (f (x, y, z) = sqrt [3] {16 − x ^ 2 − y ^ 2 − z ^ 2} )

Atbilde:
Domēns: visi punkti (xyz ) - atstarpē
Diapazons: ( big (- infty, sqrt [3] {16} big] )

38) (f (x, y) = cos sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

39. - 40. vingrinājumā uzzīmējiet funkcijas grafiku.

39) (z = f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

Atbilde:

40) (z = x ^ 2 + y ^ 2 )

41) Izmantojiet tehnoloģiju, lai izveidotu diagrammu (z = x ^ 2y. )

Atbilde:

42. - 46. vingrinājumā ieskicējiet funkciju, atrodot tās līmeņa līknes. Verificējiet diagrammu, izmantojot tehnoloģiju, piemēram, CalcPlot3D.

42) (f (x, y) = sqrt {4 − x ^ 2 − y ^ 2} )

43) (f (x, y) = 2− sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

Atbilde:

44) (z = 1 + e ^ {- x ^ 2 − y ^ 2} )

45) (z = cos sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

Atbilde:

46) (z = y ^ 2 − x ^ 2 )

47) Aprakstiet kontūru līnijas vairākām (c ) vērtībām (z = x ^ 2 + y ^ 2−2x − 2y. )

Atbilde:
Kontūrlīnijas ir koncentriski apļi, kas centrēti punktā ((1, 1) ).
To var redzēt, aizpildot kvadrātu pēc šīs funkcijas iestatīšanas vienādai ar (c ).
Tas ir, mēs rakstām (x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2−2y + 1 = c + 2 ), kurus var pārrakstīt kā, ((x - 1) ^ 2 + (y - 1) ^ 2 = c + 2 ).
Tas dod mums apļus, kuru centrālais punkts ir ((1, 1) ), katrs ar rādiusu ( sqrt {c + 2} ).

48. – 52. Vingrinājumā atrodiet norādītās (c ) vērtības līmeņa virsmu katrai trīs mainīgo funkcijai un aprakstiet to.

48) (w (x, y, z) = x − 2y + z, quad c = 4 )

49) (w (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2, quad c = 9 )

Atbilde:
(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 9 ), sfēra rādiuss (3 )

50) (w (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 − z ^ 2, quad c = −4 )

51) (w (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 − z ^ 2, četrstūris c = 4 )

Atbilde:
(x ^ 2 + y ^ 2 − z ^ 2 = 4, ) vienas lapas hiperboloīds

52) (w (x, y, z) = 9x ^ 2-4y ^ 2 + 36z ^ 2, četrstūris c = 0 )

53. - 55. vingrinājumā atrodiet (f ) līmeņa līknes vienādojumu, kurā ir punkts (P ).

53) (f (x, y) = 1−4x ^ 2 – y ^ 2, quad P (0,1) )

Atbilde:
(4x ^ 2 + y ^ 2 = 1, )

54) (g (x, y) = y ^ 2 arctan x, quad P (1,2) }

55) (g (x, y) = e ^ {xy} (x ^ 2 + y ^ 2), quad P (1,0) )

Atbilde:
(1 = e ^ {xy} (x ^ 2 + y ^ 2) )

56) Elektriskā lauka stiprumu (E ) punktā ((x, y, z) ), ko rada bezgalīgi garš lādēts vads, kas atrodas gar (y ) - asi, izsaka (E ( x, y, z) = k / sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ), kur (k ) ir pozitīva konstante. Vienkāršības labad ļaujiet (k = 1 ) un atrodiet (E = 10 ) un (E = 100. ) Līmeņu virsmu vienādojumus.

57) Plāna plāksne, kas izgatavota no dzelzs, atrodas plaknē (xy ). Temperatūra (T ) Celsija grādos punktā (P (x, y) ) ir apgriezti proporcionāla tās kvadrātam attālums no izcelsmes. Izteikt (T ) kā funkciju (x ) un (y ).

Atbilde:
(T (x, y) = frac {k} {x ^ 2 + y ^ 2} )

58) Skatiet iepriekšējo problēmu. Izmantojot tur atrodamo temperatūras funkciju, nosakiet proporcionalitātes konstanti, ja temperatūra punktā (P (1,2) ) ir (50 ° C.). Izmantojiet šo konstanti, lai noteiktu temperatūru punktā (Q (3, 4). )

59) Skatiet iepriekšējo problēmu. Atrodiet (T = 40 ° C ) un (T = 100 ° C, ) līmeņa līknes un aprakstiet līmeņa līknes.

Atbilde:
(x ^ 2 + y ^ 2 = frac {k} {40}, quad x ^ 2 + y ^ 2 = frac {k} {100} ). Līmeņa līknes attēlo apļus ar rādiusiem ( sqrt {10k} / 20 ) un ( sqrt {k} / 10 )

Atbalstītāji

  • Gilberts Strangs (MIT) un Edvīns “Džeds” Hermans (Hārvijs Muds) ar daudziem līdzautoriem. Šis OpenStax saturs ir licencēts ar CC-BY-SA-NC 4.0 licenci. Lejupielādējiet bez maksas vietnē http://cnx.org.

  • Pols Zēburgers (Monroe Community College) rediģēja LaTeX un pievienoja kontūrtēlus atbildēm uz 17., 21. un 29. problēmu.

24. sesija: divu mainīgo funkcijas: grafiki

Šie attēli parāda šo video fragmentu tāfeles saturu. Noklikšķiniet uz katra attēla, lai to palielinātu.



Vairāku mainīgo funkcijas (vingrinājumi) - matemātika

Šajā sadaļā mēs vēlamies apskatīt dažas pamatidejas par vairāku mainīgo funkcijām.

Vispirms atcerieties, ka divu mainīgo funkciju grafiki (z = f left ( pa labi) ) ir virsmas trīsdimensiju telpā. Piemēram, šeit ir diagramma (z = 2 + 2 - 4).

Tas ir eliptisks paraboloīds un ir kvadrātiskās virsmas piemērs. Vairākus no tiem mēs redzējām iepriekšējā sadaļā. Kvadrālās virsmas mēs diezgan regulāri redzēsim vēlāk Calculus III.

Vēl viens izplatīts grafiks, kuru mēs šajā kursā redzēsim diezgan daudz, ir plaknes diagramma. Mums ir konvencija par lidmašīnu grafiku, kas tās nedaudz atvieglos grafikā un, cerams, vizualizēt.

Atgādināsim, ka plaknes vienādojumu dod

vai, ja mēs to atrisinām (z ), mēs varam to ierakstīt funkciju apzīmējumā. Tas dod,

Lai uzzīmētu plakni, mēs parasti atradīsim krustošanās punktus ar trim asīm un pēc tam uzzīmēsim trīsstūri, kas savieno šos trīs punktus. Šis trijstūris būs daļa no plaknes, un tas mums dos diezgan pienācīgu priekšstatu par to, kā pašai plaknei vajadzētu izskatīties. Piemēram, uzzīmēsim plakni, ko

Lai to attēlotu, iespējams, būtu vieglāk to uzrakstīt kā

[z = 12 - 3x - 4y hspace <0.25in>> Rightarrow hspace <0.25in> , , , , , 3x + 4y + z = 12 ]

Tagad katru no krustošanās punktiem ar trim galvenajām koordinātu asīm nosaka fakts, ka divas no koordinātām ir nulle. Piemēram, krustojumu ar asi (z ) - nosaka (x = y = 0 ). Tātad trīs krustošanās punkti ir,

Šeit ir plaknes grafiks.

Lai to paplašinātu, formas grafiki (w = f left ( pa labi) ) būtu četru dimensiju virsmas. Protams, mēs nevaram tos attēlot, taču tas nenāk par ļaunu to norādīt.

Tālāk mēs vēlamies runāt par vairāku mainīgo funkciju jomām. Atgādināsim, ka viena mainīgā (y = f left (x right) ) funkciju domēni sastāvēja no visām (x ) vērtībām, kuras mēs varējām pievienot funkcijai un atgūt reālu skaitli. Tagad, ja mēs par to domājam, tas nozīmē, ka viena mainīgā funkcijas domēns ir vērtību intervāls (vai intervāli) no skaitļu līnijas vai vienas dimensijas telpas.

Divu mainīgo funkciju domēns (z = f left ( right] ), ir reģioni no divdimensiju telpas un sastāv no visiem koordinātu pāriem, ( left ( pa labi) ), ka mēs varētu pievienot funkciju un atgūt reālo skaitli.

  1. (f pa kreisi ( labi) = sqrt )
  2. (f pa kreisi ( pa labi) = sqrt x + sqrt y )
  3. (f pa kreisi ( pa labi) = ln pa kreisi (<9 - - 9> pa labi) )

Šajā gadījumā mēs zinām, ka mēs nevaram ņemt negatīvā skaitļa kvadrātsakni, tāpēc tas nozīmē, ka mums ir jāpieprasa,

Šeit ir šī reģiona diagrammas skice.

Šī funkcija atšķiras no iepriekšējās daļas funkcijas. Šeit mums tas ir jāpieprasa,

un tām tiešām ir jābūt atsevišķām nevienlīdzībām. Katram kvadrātsaknei funkcijā ir viens. Šeit ir šī reģiona skice.

Šajā pēdējā daļā mēs zinām, ka mēs nevaram ņemt negatīva skaitļa vai nulles logaritmu. Tāpēc mums tas ir jāpieprasa,

un, pārkārtojot, mēs redzam, ka šai funkcijai mums jāpaliek elipses iekšienē. Šeit ir šī reģiona skice.

Ņemiet vērā, ka trīs mainīgo funkciju domēni (w = f left ( pa labi) ), būs reģioni trīsdimensiju telpā.

Šajā gadījumā mums ir jārisina kvadrātsakne un dalīšana ar nulli. Tas prasīs,

Tātad šīs funkcijas domēns ir punktu kopums, kas atrodas pilnīgi ārpus sfēras ar rādiusu 4, kura centrā ir izcelsme.

Nākamā tēma, kas mums būtu jāaplūko, ir līmeņa līknes vai kontūru līknes. Funkcijas (z = f pa kreisi ( right) ) ir divu dimensiju līknes, kuras iegūstam, iestatot (z = k ), kur (k ) ir jebkurš skaitlis. Tātad līmeņa līkņu vienādojumi ir (f left ( pa labi) = k ). Ņemiet vērā, ka dažreiz vienādojums būs formā (f left ( right) = 0 ) un šajos gadījumos līmeņu līkņu vienādojumi ir (f left ( pa labi) = 0 ).

Jūs, iespējams, jau iepriekš esat redzējis līmeņa līknes (vai kontūru līknes, lai kā jūs tās sauktu). Ja esat kādreiz redzējis zemes gabala pacēluma karti, tas nav nekas cits kā funkcijas kontūras līknes, kas dod zemes augstumu šajā apgabalā. Protams, mums, iespējams, nav funkcijas, kas piešķir augstumu, taču mēs vismaz varam grafiski attēlot kontūru līknes.

Izdarīsim to ātru piemēru.

Pirmkārt, prakses nolūkos noskaidrosim, ko šī virsma dod (f left ( pa labi) ) ir. Lai to izdarītu, pārrakstīsim to kā

Atgādiniet no sadaļas Kvadrālās virsmas, ka šī “konusa” (vai stundas stikla formas virsmas) augšējā daļa.

Ņemiet vērā, ka tas nebija nepieciešams šīs problēmas risināšanai. Tas tika darīts, lai noteiktu virsmu, un tas var noderēt pa ceļu.

Tagad par reālo problēmu. Šīs virsmas līmeņa līknes (vai kontūru līknes) dod vienādojums, kas atrodams, aizstājot (z = k ). Mūsu piemērā tas ir:

kur (k ) ir jebkurš skaitlis. Tātad šajā gadījumā līmeņa līknes ir rādiusa (k ) apļi ar centru sākumā.

Mēs varam tos attēlot vienā no diviem veidiem. Mēs tos varam vai nu uzzīmēt uz pašas virsmas, vai arī diagrammas divdimensiju ass sistēmā. Šeit ir katra diagramma dažām (k ) vērtībām.

Ņemiet vērā, ka kontūras varam domāt par virsmas krustojumu, ko piešķir (z = f left ( pa labi) ) un plakne (z = k ). Kontūra attēlos virsmas un plaknes krustojumu.

Veidlapas (f left ( labi) ) mēs laiku pa laikam apskatīsim līdzenas virsmas. Līmeņu virsmu vienādojumus izsaka (f left ( right) = k ) kur (k ) ir jebkurš skaitlis.

Šīs sadaļas pēdējā tēma ir pēdas. Dažos veidos tie ir līdzīgi kontūrām. Kā jau minēts iepriekš, kontūras varam domāt kā par (z = f left ( pa labi) ) un plakne (z = k ). Virsmu pēdas ir līknes, kas attēlo virsmas un plaknes krustojumu, ko piešķir (x = a ) vai (y = b ).

Apskatīsim pēdu piemēru.

Mēs sāksim ar (x = 1 ). Mēs varam iegūt izsekošanas vienādojumu, savienojot (x = 1 ) vienādojumā. To darot,

un tas tiks attēlots (x = 1 ) norādītajā plaknē.

Zemāk ir divi grafiki. Kreisajā pusē esošais grafiks ir grafiks, kas parāda virsmas un plaknes krustojumu, ko sniedz (x = 1 ). Labajā pusē ir virsmas un pēdas grafiks, pēc kura mēs šajā daļā sekojam.

(Y = 2 ) mēs darīsim gandrīz to pašu, ko mēs darījām ar pirmo daļu. Šeit ir pēdas vienādojums,


Vairāku mainīgo funkcijas (vingrinājumi) - matemātika

Atrisiniet divu lineāro vienādojumu sistēmu un pārbaudiet risinājumu:

Atrisiniet divu lineāru vienādojumu sistēmu ar mainīgajiem skaitītājā un saucējā, pārbaudiet risinājumu un nosakiet šķīdības nosacījumus:

Atrisiniet trīs lineāro vienādojumu sistēmu un pārbaudiet risinājumu:

Atrisiniet četru lineāro vienādojumu sistēmu un pārbaudiet risinājumu:

Atrisiniet lineārā un kvadrātiskā vienādojuma sistēmu:

Atrisiniet lineāro nevienlīdzību sistēmu ar vienu mainīgo:

Atrisiniet lineāro nevienlīdzību sistēmu ar diviem mainīgajiem:


Vairāku mainīgo funkcijas (vingrinājumi) - matemātika

Lūdzu, atzīmējiet šo lapu kā grāmatzīmi, http://aleph0.clarku.edu/

djoyce / ma131 /, lai jūs tam varētu viegli piekļūt.

    Vispārīgs apraksts. Daudzfaktoru aprēķins izmanto lineāru algebru, lai svarīgos viena mainīgā aprēķina jēdzienus paplašinātu ar augstākas dimensijas iestatījumiem. Tēmas ietver skalārvērtības un vektoru novērtētas funkcijas, grafikus, līmeņu kopas, robežas un nepārtrauktības daļējos atvasinājumus, gradientus, pieskares plaknes, diferencējamību, kopējos atvasinājumus, virziena atvasinājumu ceļus, ātrumu, paātrinājumu, arclength, izliekumu, vektoru laukus, divergenci, čokurošanos ekstrēma, hesieši, Lagranža reizinātāji, vairāki integrāļi, mainīgo lielumu maiņa, jakobiešu līnijas integrāļi, Green & rsquos teorēmas virsmas integrāļi, Stokes & rsquo teorēma un Gauss & rsquo teorēma.
    Skatīt arī Clark & ​​rsquos Akadēmiskais katalogs.

  • Nodrošināt studentiem labu izpratni par daudzveidīgo aprēķinu jēdzieniem un metodēm, kas sīki aprakstītas mācību programmā.
  • Palīdzēt studentiem attīstīt spēju risināt problēmas, izmantojot daudzveidīgo aprēķinu.
  • Savienot daudzveidīgo aprēķinu ar citiem laukiem gan matemātikā, gan bez tās.
  • Izstrādāt abstraktu un kritisku pamatojumu, pētot pierādījumus, kas piemēroti daudzveidīgajiem aprēķiniem.

Ne visas tālāk uzskaitītās tēmas tiks aplūkotas vienā dziļumā. Daži no tiem ir fundamentāli un tiks detalizēti aplūkoti, citi norāda uz turpmākajiem studiju virzieniem un tiks uzskatīti par apsekojumiem. Vienīgie fizikas jēdzieni, kurus mēs pētīsim padziļināti, ir ātrums, paātrinājums, leņķa ātrums un leņķiskais paātrinājums, taču tiks minēti daži citi, piemēram, spēks.

Iespējams, ir vairāk tēmu, nekā mēs varam apspriest vienā semestrī, tāpēc dažas būs jālikvidē laika dēļ. Iespējams, ka kandidāti ir iekavās esošie.

Uzskaitītie vingrinājumi ir provizoriski. Kursa gaitā tie var tikt mainīti.

    Liela daļa 1. nodaļas ir materiāla pārskats, kuru jūs jau redzējāt matemātikā 122 vai matemātikā 130, taču daļa no tā būs jauna.

  • R 2 , R 3, vektoru apzīmējumi, skalāri
  • Vektoru saskaitīšana, nulles vektors, skalārā reizināšana un to īpašības
  • Vektoru ģeometriskā interpretācija, paralelograma likums pievienošanai
  • Vingrinājumi: 1 & ndash11 nepāra, 15, 23, 25
  • Standarta bāzes vektori i, j, k
  • Parametriskie vienādojumi līnijām
  • Simetriskas formas vienādojumi līnijai R 3
  • Līkņu parametru vienādojumi x : R & rarr R 2
  • Ātrums, ātrums un paātrinājums
  • Vingrinājumi: 1 & ndash7 nepāra, 13, 15, 17, 35, 44
  • Vektoru punktu reizinājumi, vektoru garumi, kosinusu likums un leņķi
  • Vektoru projekcijas
  • Vektoru normalizēšana
  • Vingrinājumi: 1 & ndash13 nepāra, 17, 21, 29, 30
  • Vektoru pāru krustojumi R 3
  • Paralelogramu un trijstūru laukumi
  • Matricas, noteicošie faktori
  • Trīskāršais skalārais rezultāts, paralēlskaldņa tilpums
  • Rotācija, leņķa ātrums
  • Vingrinājumi: 1, 3, 5, 11 un ndash19 nepāra, 25
  • Plakņu vienādojumi, plakņu parametru vienādojumi
  • Attālums starp punktu un līniju
  • Attālums starp paralēlajām plaknēm
  • Attālums starp šķībajām līnijām
  • Vingrinājumi: 1, 3, 5, 13, 23, 25, 27, 31
  • Cauchy nevienlīdzība, trijstūra nevienlīdzība
  • Standarta bāze
  • Lineārās funkcijas atbilst matricām, un funkciju sastāvs atbilst matricu reizināšanai
  • Hiperlidmašīnas
  • Noteicošie faktori, nepilngadīgie un kofaktori
  • Vingrinājumi: 3, 5, 7, 16 un 19, 21 un 23, 25, 27, 28a, 30a
  • Taisnstūra koordinātas
  • Lidmašīnu polārās koordinātas
  • Cilindriskas un sfēriskas kosmosa koordinātas
  • Vingrinājumi: 1 & ndash8, 11, 12, 15 & ndash17
    Jūs redzēsiet, kā ierobežojuma, nepārtrauktības un atvasinājumu jēdzieni vispārinās no viena mainīgā gadījuma, ko redzējāt pirmā gada aprēķinā, uz daudziem mainīgajiem.

    & sadaļa 2.1 Vairāku mainīgo funkcijas
    • Funkcijas f : X & rarr , domēns X, koda domēns , diapazons R(f)
    • Uz (surjektīvām un viens pret vienu (injekcijas) funkcijām
    • Individuālās atbilstības (bijektīvās funkcijas) un to apgrieztie parametri
    • Skalāri novērtētas funkcijas f : R n & rarr R, ko sauc arī par skalārajiem laukiem
    • Vektoru vērtētas funkcijas f : R n & rarr R m , un to komponentu funkcijas fi : R & rarr R m
    • Funkciju grafiki R 2 & rarr R kā virsmas R 3, un to līmeņa līknes
    • Virsmas iekšā R 3, hipersegas iekšā R n
    • [Kvadrātiskās virsmas]
    • Vingrinājumi: 1 & ndash7, 10, 15 & ndash21 nepāra, 31, 39
    • Intuitīvs jēdziens un formāla robežu noteikšana daudzveidīgo funkcijām
    • Topoloģiskie jēdzieni: atvērtas un slēgtas apakškopas, apakškopu robežas, punktu apkaimes
    • Limitu īpašības
    • Daudzveidīgie polinomi
    • Nepārtrauktas funkcijas
    • Vingrinājumi: 7 & ndash13, 29, 30, 38 & ndash43, 47, 48
    • Daļēji atvasinājumi skalāri vērtētām funkcijām (skalāri lauki)
    • Diferencējamība un plaknes, kas pieskaras funkciju virsmas grafikiem R 2 & rarr R
    • Diferencējamība un hiperplaknes, kas pieskaras funkciju hipervirsmas grafikiem R n & rarr R
    • Diferencējamība ar vektoru vērtētām funkcijām
    • Gradienta vektori skalāri novērtētām funkcijām
    • Atvasinātā matrica vektoru vērtētām funkcijām
    • Vingrinājumi: 1 & ndash7, 12 & ndash14, 19 & ndash21, 29, 30, 34 & ndash36
    • Linearitāte: summa, starpība un pastāvīgi vairāki likumi vektora vērtētām funkcijām R n & rarr R m
    • Produkta un koeficienta noteikumi skalāri novērtētām funkcijām R n & rarr R
    • Daļēji augstākas kārtas atvasinājumi
    • Vingrinājumi: 1, 2, 9 & ndash11, 20, 28, 29a
    • Ķēdes noteikums sastāvam f o g kur g : R & rarr R n un f : R n & rarr R
    • Ķēdes likums kompozīcijai f o g kur g : R n & rarr R m un f : R m & rarr R lpp
    • Polārā taisnstūra pārveidošana
    • Vingrinājumi: 1, 2, 5, 8, 11, 15, 19, 22, 23
    • Skalāra lauka gradienta vektora lauks
    • Virziena atvasinājumi, definīcija un novērtējums gradienta izteiksmē
    • Stāvākais kāpums
    • Tangentu plaknes un hiperplaknes
    • Vingrinājumi: 2, 3, 12, 13, 15, 16
      & sadaļa 3.1 Parametrētas līknes Keplera un rsquos planētu kustības likumi
      • Funkcijas x : R & rarr R n kā ceļi vai parametrizētas līknes
      • Ātrums, ātrums un paātrinājums
      • Keplera un rsquos planētu kustības likumi
      • Vingrinājumi: 1 & ndash4, 7, 8, 15, 16
      • Ceļa garums kā neatņemama sastāvdaļa
      • Vienības pieskares vektors, ceļa vai līknes izliekums
      • Vingrinājumi: 1, 2, 4, 10, 16, 22a
      • Funkcijas f : R n & rarr R kā skalāri lauki
      • Funkcijas F : R n & rarr R n kā vektoru lauki
      • Gradienta lauks (vektoru lauks), kas saistīts ar potenciālo funkciju (skalārais lauks)
      • Ekvipotenciālo kopu
      • Vektoru lauku plūsmas līnijas
      • Vingrinājumi: 1, 4, 9, 10, 19 & ndash21, 24, 26
      • Del operatori un gradienti
      • Del operators un vektora lauka novirze
      • Vektora lauka čokurošanās R 3
      • Gradientu lauki ir irrotiski, tas ir, čokurošanās (grad f) = 0
      • Div (čokurošanās F) = 0
      • Vingrinājumi: 1 & ndash4, 7 & ndash10, 13, 28a
        & 4.1. sadaļa Diferenciāļi un Teilora & rsquos teorēma
        • Teilora un rsquos teorēma atsevišķām mainīgajām funkcijām kā vidējās vērtības teorēmas pagarinājums
        • Teilora polinomi, atlikušais termins
        • Pirmās kārtas formula daudzveidīgo Taylor & rsquos teorēmai
        • Kopējie diferenciāļi
        • Otrās kārtas formula un hesietis
        • Augstākas kārtas Teilora polinomi
        • Vingrinājumi: 1, 2, 8, 9, 11, 19, 20, 24
        • Vietējie minimumi un maksimumi skalārajiem laukiem
        • Kritiskie punkti un Hesenes kritērijs
        • Kvadrātiskās formas, pozitīvas noteiktas formas
        • Otrais atvasinātais tests skalāri novērtētu funkciju ekstrēmiem
        • Kompakti komplekti, galējās vērtības teorēma (EVT)
        • Vingrinājumi: 3 & ndash6, 13 & ndash16
        • Vienādojuma ierobežojumi
        • Lagrange reizinātāji ekstrēmiem, ievērojot ierobežojumus
        • Vingrinājumi: 3, 4, 5, 9
        • [Mazāko kvadrātu aproksimācija]
        • [Pielietojumi ekonomikā]
          & sadaļa 5.1 Platības un apjomi
          • Apjomi taisnstūros kā divkārši integrāļi
          • Vingrinājumi: 1, 2, 3, 6, 9
          • Divkārši integrāļi pāri taisnstūriem, kas definēti kā Rīmana summas, integrējamība
          • Integrējamības nosacījumi
          • Fubini & rsquos teorēma, integrāļu linearitāte, citas pamatīpašības
          • Divkārši integrāļi pār vispārējiem reģioniem
          • Vingrinājumi: 5 & ndash7, 10, 16
          • Vingrinājumi: 3 & ndash6, 15, 17
          • Trīskārši integrāļi virs kastēm
          • Trīskāršu integrāļu īpašības
          • Trīskārši integrāļi pār vispārējiem reģioniem
          • Vingrinājumi: 1, 2, 5, 6, 11, 13, 17
          • Plaknes transformācijas R 2 & rarr R 2
          • Lineārās transformācijas un to izplešanās faktori
          • Mainīgo mainība viena mainīgā noteiktos integrālos
          • Mainīgo mainīšana divkāršajiem integrāļiem, Jēkaba
          • Dubultie integrāļi polārajās koordinātās
          • Mainīgo lielumu maiņa trīskāršajiem integrāļiem
          • Vingrinājumi: 1, 3, 9, 13, 17
          • [Skalāra vērtības funkcijas vidējā vērtība (vidējā vērtība)]
          • [Smaguma centrs]
            & sadaļa 6.1 Skalāru un vektoru līniju integrāļi
            • Skalārā līnijas integrāļi
            • Vektoru līniju integrāļi
            • Reparameterization
            • Vingrinājumi: 1 & ndash3, 9, 16, 17, 34
            • Zaļā & rsquos teorēma
            • Divergences teorēma plaknē
            • Vingrinājumi: 1 & ndash3, 7, 9, 15, 17
            • Vektoru lauki ar no ceļa neatkarīgiem līniju integrāļiem
            • Gradientu lauki un līniju integrāļi, konservatīvi vektoru lauki
            • Vingrinājumi: 3 & ndash6
              & sadaļa 7.1 Parametrētas virsmas
              • Koordinātu līknes, normālvektori, pieskares plaknes
              • Gludas un pa daļām gludas virsmas
              • Virsmu laukumi
              • Vingrinājumi: 1, 3, 24, 26
              • Skalārā virsmas integrāļi
              • Vektoru virsmas integrāļi
              • Virsmu atkārtota mērīšana
              • Vingrinājumi: 1, 3, 7, 11
              • Stoksa un rsquo teorēma
              • Gausa un rsquo teorēma
              • Atšķirība un čokurošanās
              • Vingrinājumi: 1, 3, 7, 9

              1. Pirmdien, 2014. gada 13. janvārī. Laipni lūdzam nodarbībā! Kursa izklāsts.
                Lietas, kas jums jāzina par lineāro algebru
                Priekšskatījums. Mēs pētām funkcijas R n & rarr R m kur ne abi n un m ir 1. Trīs svarīgi to veidi.
                • Kad m = 1, f : R n & rarr R, ir skalāra vērtība vai skalārais lauks.
                • Kad n = 1, x : R & rarr R n parametrizē līkni n-telpa, tas ir, kustīgā punkta ceļš.
                • Kad m = n, F : R n & rarr R n apraksta vektora lauku R n .


              Papildu piezīmes par daudzveidīgo mainīgo, I līdz V daļas

              Papildu piezīmēs iekļauti priekšnoteikumi, detalizēti pierādījumi un padziļināta izvēlēto tēmu apstrāde.

              • 1. nodaļa: Ievads matemātiskajā struktūrā (PDF - 3,4 MB)
              • 2. nodaļa: Ievads vektoru aritmētikā (PDF - 2,1 MB)
              • 3. nodaļa: Ievads vektora aprēķināšanā (PDF - 2,6 MB)
              • 4. nodaļa: Ievads vairāku reālo mainīgo funkcijās (PDF - 5,4 MB)
              • 5. nodaļa: Atvasinājumi n-dimensiju telpās (PDF - 3,0 MB)
              • 6. nodaļa: Matricas algebra vairāku mainīgo funkciju pētījumā (PDF - 7,6 MB)
              • 7. nodaļa: Lineārās algebras pielietošana nelineārajām funkcijām (PDF - 2,1 MB)

              Mācību grāmata: Kursā ir atsauce uz zemāk minēto bezdrukas mācību grāmatu, taču ar jebkuru jaunāku mācību grāmatu pietiks, lai izvērstu video lekcijās aplūkotās tēmas.

              Tomass, Džordžs B. Rēķins un analītiskā ģeometrija. Addison-Wesley, 1968. ISBN: 9780201075250.


              Vairāku mainīgo funkcijas (vingrinājumi) - matemātika

              Viena mainīgā funkciju var attēlot ar vienkāršu grafiku. Horizontālā ass atbilst neatkarīgajam mainīgajam, bet vertikālā ass - atkarīgajam mainīgajam. Funkcijas vērtība atbilst augstumam virs horizontālās ass. Zemāk redzamais grafiks ir funkcija f (x) = x ^ 4 + x ^ 3-18x ^ 2-16x + 32.

              Vairāku mainīgo funkcijas

              Vairāku mainīgo funkcijai ir vairāki neatkarīgi mainīgie. Piemērs ir temperatūra uz zemes virsmas. Pieņemsim, ka mēs vēlamies aprakstīt temperatūru noteiktā laika momentā. Temperatūra ir atkarīga no stāvokļa. Lai attēlotu stāvokli uz zemes virsmas, garumu un platumu, nepieciešamas divas koordinātas. Ļaujiet mainīgajiem x un y attiecīgi norādīt šos lielumus. Tad mēs varam definēt T (x, y) kā temperatūras funkciju. Ņemot vērā x un y, mēs varam noteikt temperatūru. Šī ir 2 mainīgo funkcija.

              2 mainīgo funkciju grafiski attēlo virsma trīsdimensiju telpā. Lai veiktu temperatūras funkciju iepriekš, stāvokli uz zemes virsmas attēlo punkts xy plaknē. Temperatūru šajā stāvoklī attēlo virsmas augstums virs xy plaknes. Zemāk redzamais attēls attēlo virsmu, kas atbilst funkcijai f (x, y) = x ^ 4 + x ^ 3-18x ^ 2-16x + 32-y ^ 2.

              • Temperatūras funkcijas T (x, y, t), kur x un y apzīmē
                pozīcija un t apzīmē laiku
              • Blīvuma funkcijas p (x, y, z) trīsdimensiju cietvielai, kur
                x, y un z apzīmē pozīcijas koordinātas un p (x, y, z) ir
                blīvums kg / m ^ 3
              • Koncentrācijas funkcijas C (x, y, z ,, t), kur x, y un z apzīmē
                pozīcija, t ir laiks, un C (x, y, z, t) ir a koncentrācija
                vielas šķīdumā.

              Zemāk ir parādīti divu mainīgo funkciju piemēru grafiki. Kreisajā pusē ir funkcijas z = x ^ 2 + y ^ 2 grafiks un labajā pusē funkcijas z = sin (sqrt (x ^ 2 + y ^ 2)) grafiks.

              Grafiski ir grūti pilnībā attēlot vairāk nekā 2 mainīgo funkciju, jo n mainīgo funkcijai ir nepieciešama n + 1 dimensiju telpa.


              Vairāku mainīgo funkcijas (vingrinājumi) - matemātika

              Rēķins ir funkciju izpēte.

              Trīs mainīgo funkcijas daudzos aspektos ir līdzīgas divu mainīgo funkcijām. Viena galvenā atšķirība ir tā, ka vairāk nekā divu mainīgo funkciju grafikus nevar tieši vizualizēt, jo to dimensija ir lielāka par trim. Tomēr mēs joprojām varam izmantot šķēles līknes, šķēles virsmas, kontūras un līmeņu kopas, lai pārbaudītu šīs augstākās dimensijas funkcijas.

              Vienkāršākās funkcijas ir nemainīgas un lineāras funkcijas.


              Aprakstot hiperplakni kā lineārās funkcijas f (x, y, z) = px + qy + rz + k grafiku, mēs piešķiram īpašu lomu izcelsmei. Bieži vien ērtāk ir ņemt vērā plaknes caur konkrētu punktu (x0, y0, z0, w0) telpā, un mēs varam aprakstīt šādu plakni ar x-slīpumu p, y-slīpumu q un z-slīpumu r ar nosacījumu w-w0 = p (x-x0) + q (y-y0) + r (z-z0). Izvēloties dažādas nogāžu p, q un r vērtības, mēs iegūstam visas vertikālās hiperplaknes caur (x0, y0, z0, w0).

              Visvienkāršākā funkcija ir nulles funkcija, ko definējis f (x, y, z) = 0 visiem x, y, z. Šo funkciju var definēt jebkuram domēnam, un diapazons vienmēr būs viens punkts .

              Nākamā vienkāršākā funkciju klase ir nemainīgas funkcijas definēja f (x, y, z) = k visiem x, y, z. Jebkuram domēnam var noteikt nemainīgu funkciju, un diapazons vienmēr būs viens punkts .

              Lineārās funkcijas ir nākamā vienkāršākā funkciju klase, ko definē L (x, y, z) = px + qy + rz + k konstantēm p, q, r, un k. Cipari p, q un r tiek saukti par x-slīpums, y-slīpumsun z-slīpums lineārās funkcijas un k tiek saukts par tā w-intercept. Lineārās funkcijas dabiskais apgabals L ir viss trīskāršais (x, y, z) reālo skaitļu. Ja p & # 8800 0 vai Q & # 8800 0 vai r & # 8800 0, tad diapazons L ir visi reālie skaitļi.

              Trīs mainīgais aprēķins ņem vērā trīs reālo mainīgo funkcijas.

              The domēns trīs mainīgo lieluma funkcija ir koordinātu 3-telpas apakškopa <(x, y, z) | x, y, z & # 8712 >.

              The diapazons reāli novērtētas funkcijas f ir visu reālo skaitļu kolekcija f (x, y, z) kur (x, y, z) ir domēna f.

              Vienkāršākais funkcijas piemērs ir pastāvīga funkcija kas piešķir reālo skaitli k visiem (x, y, z) domēnā. Šīs funkcijas diapazons ir iestatīts satur vienu punktu. Nākamais vienkāršākais piemērs ir a lineārs ar formulu definētā funkcija f (x, y, z) = px + qy + rz + k kur p, q, un r ir daļējas nogāzes lineārās funkcijas un k apzīmē tā w-intercept.. Šīs funkcijas diapazons ir visi reālie skaitļi, ja lpp, q, un r nav visi nulle, un tikai vērtība ja p = 0, q = 0, un r = 0.

              Kā jau minēts iepriekš, 3 mainīgo funkcijas grafiks ir trīsdimensiju hiperplakne, kas atrodas 4-telpā. Tāpēc grafiku nevar tieši vizualizēt, pats domēns jau ir trīsdimensiju.


              Par katru punktu (x0, y0, z0) funkcijas f apgabalā f grafika krustpunkts ar vertikālo plakni x = x0, y = y0 būs (x0, y0) šķēles līkne (x0, y0, z, f (x0, y0, z)). X domēns0šķēles līkne ir z kopa, kurai (x0, y0, z) atrodas f domēnā.

              Līdzīgi mēs definējam (y0, z0) šķēles līkne būt (x, y0, z0, f (x, y0, z0) visiem x, lai (x, y0, z0) atrodas f domēnā, un mēs definējam (x0, z0) šķēles līkne būt (x0, y, z0, f (x0, y, z0)) visiem y tā, lai (x, y0, z0) ir f domēnā.


              Par katru punktu (x0, y0, z0) funkcijas f apgabalā f grafika krustpunkts ar vertikālo hiperplakni z = z0, būs z0šķēles virsma (x, y, z0, f (x, y, z0)). Z domēns0šķēles virsma ir (x, y) kopa, kurai (x, y, z0) ir f domēnā.

              Līdzīgi mēs definējam y0šķēles virsma (x, y0, z, f (x, y0, z)) visiem (x, z) tā, lai (x, y0,z) is in the domain of f, and we define the x0-slice surface to be (x0,y,z,f(x0,y,z)) for all (y, z) such that (x0,y,z) is in the domain of f.



              The collection of all points (x,y,z) in the domain of a function f par kuru f (x,y,z) = k is called the level set of f at level k.

              The set of points (x,y,z,f(x,y,z)) in the graph of f in four-dimensional space for which f(x,y,z) = k is called the contour of f at height k.

              A curve (x(t),y(t),z(t)) in the domain of f tāds, ka f(x(t),y(t),z(t)) = k is called a level curve of f at level k. A surface (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) tāds, ka f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) = k is called a level surface of f at level k.


              We can also construct a color graph of the function f by assigning to each point (x,y,z) in the domain a color that corresponds to the value f(x,y,z).


              One of the most important properties of functions of two real variables is continuity . The basic intuition for continuity is that the range of a function f(x,y,z) will lie in an arbitrarily small interval centered at f(x0,y0,z0) if (x,y,z) is restricted to lie in a sufficiently small ball centered at (x0,y0,z0). Geometrically, this means that the graph of f(x,y,z) will lie between a pair of parallel hyperplanes z = f(x0,y0,z0) + ε and z = f(x0,y0,z0) – ε if (x,y,z) is required to lie in the ball of radius δ centered at f(x0,y0,z0) i.e. √((x – x0) 2 + (y – y0) 2 + (z – z0) 2 ) < δ.

              According to the epsilon-delta definition, a function f of three real variables is said to be continuous plkst (x0,y0,z0) if for any ε > 0 there exists a δ tāds, ka | f(x,y,z) - f(x0,y0,z0) | < ε whenever | (x,y,z) - (x0,y0,z0) | < δ.

              A function f of three real variables is said to be continuous if it is continuous at all points (x0,y0,z0) in its domain.


              Functions of Multiple Variables (Exercises) - Mathematics

              Find the limit of a function :

              Find the limit of a function :

              Find the limit of a function :

              Find the limit of a function :

              Find the limit of a function :

              Find the limit of a function :

              By using the L'Hospital's rule find the limit of a function :


              Skatīties video: Section, Week 5 (Decembris 2021).