Raksti

5.10: Stoksa teorēma - matemātika


Mācību mērķi

  • Paskaidrojiet Stoksa teorēmas nozīmi.
  • Izmantojiet Stoksa teorēmu, lai novērtētu līnijas integrāli.
  • Izmantojiet Stoksa teorēmu, lai aprēķinātu virsmas integrāli.
  • Lai aprēķinātu čokurošanos, izmantojiet Stoksa teorēmu.

Šajā sadaļā mēs pētām Stoksa teorēmu - Grīna teorēmas augstākas dimensijas vispārinājumu. Šī teorēma, tāpat kā līniju integrāļu pamatteorēma un Grīna teorēma, ir aprēķina pamatteorēmas vispārinājums augstākām dimensijām. Stoksa teorēma saista vektora virsmas integrālu virs virsmas (S ) telpā ar līniju, kas ir ap (S ) robežu. Tāpēc, tāpat kā teorēmas pirms tās, Stoksa teorēmu var izmantot, lai samazinātu integrālu virs ģeometriskā objekta (S ) līdz integrālim pār (S ) robežu. Papildus tam, ka Stoksa teorēma ļauj mums tulkot starp līnijas integrāliem un virsmas integrāļiem, tie savieno čokurošanās un cirkulācijas jēdzienus. Turklāt teorēma ir pielietojama šķidruma mehānikā un elektromagnētikā. Mēs izmantojam Stoksa teorēmu, lai atvasinātu Faradeja likumu - svarīgu rezultātu, kas saistīts ar elektriskajiem laukiem.

Stoksa teorēma

Stoksa teorēma saka, ka mēs varam aprēķināt (čokurošanās , vecs {F} ) plūsmu pāri virsmai (S ), zinot informāciju tikai par ( vecs {F} ) vērtībām gar robežu (S ). Un otrādi, mēs varam aprēķināt vektora lauka ( vecs {F} ) līnijas integrālu gar virsmas (S ) robežu, pārveidojot par ( vecs {F} ) čokurošanās dubulto integrālu virs (S ).

Ļaujiet (S ) būt orientētai gludai virsmai ar vienības normālo vektoru ( vecs {N} ). Pieņemsim, ka (S ) robeža ir vienkārša slēgta līkne (C ). (S ) orientācija izraisa pozitīvu (C ) orientāciju, ja, ejot pozitīvā virzienā ap (C ) ar galvu norādot ( vecs {N} ) virzienā , virsma vienmēr ir pa kreisi. Izmantojot šo definīciju, mēs varam paziņot Stoksa teorēma.

Teorēma ( PageIndex {1} ): Stoksa teorēma

Ļaujiet (S ) būt pa daļām gludi orientētai virsmai ar robežu, kas ir vienkārša slēgta līkne (C ) ar pozitīvu orientāciju (attēls ( PageIndex {1} )). Ja ( vecs {F} ) ir vektoru lauks ar komponentu funkcijām, kuru atvērtajā apgabalā ir nepārtraukti daļēji atvasinājumi, kas satur (S ), tad

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_S čokurošanās , vecs {F} cdot d vecs S. label {Stokes1} ]

Pieņemsim, ka virsma (S ) ir plakans apgabals (xy ) plaknē ar orientāciju uz augšu. Tad vienības normālais vektors ir ( vecs {k} ) un virsmas integrālis

[ iint_S čokurošanās , vecs {F} cdot d vecs {S} ]

faktiski ir divkāršais integrālis

[ iint_S čokurošanās , vecs {F} cdot vecs {k} , dA. ]

Šajā īpašajā gadījumā dod Stoksa teorēma

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_S čokurošanās , vecs {F} cdot vecs {k} , dA. ]

Tomēr šī ir Grīna teorēmas plūsmas forma, kas mums parāda, ka Grīna teorēma ir īpašs Stoksa teorēmas gadījums. Grīna teorēma var apstrādāt virsmas tikai plaknē, bet Stoksa teorēma var apstrādāt virsmas plaknē vai telpā.

Pilnīgs Stoksa teorēmas pierādījums ir ārpus šī teksta darbības jomas. Mēs skatāmies intuitīvu teorēmas skaidrojumu un tad redzam teorēmas pierādījumu īpašā gadījumā, ka virsma (S ) ir funkcijas grafika daļa un (S ), (S ) un ( vecs {F} ) visi ir diezgan pieraduši.

Pierādījums

Pirmkārt, mēs aplūkojam teorēmas neoficiālu pierādījumu. Šis pierādījums nav stingrs, bet tas ir paredzēts, lai radītu vispārēju priekšstatu par to, kāpēc teorēma ir patiesa. Ļaujiet (S ) būt virsmai un (D ) ir mazam gabaliņam virsmas, lai (D ) nedalītos nevienā punktā ar (S ) robežu. Mēs izvēlamies (D ) būt pietiekami mazu, lai to varētu tuvināt ar orientētu kvadrātu (E ). Ļaujiet (D ) mantot savu orientāciju no (S ) un piešķiriet (E ) tādu pašu orientāciju. Šim laukumam ir četras malas; apzīmē tos (E_l, , E_r, , E_u ) un (E_d ) attiecīgi kreisajā, labajā, augšējā un apakšējā pusē. Laukumā mēs varam izmantot Grīna teorēmas plūsmas formu:

[ int_ {E_l + E_d + E_r + E_u} vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_E čokurošanās , vecs {F} cdot vecs {N} , d vecs { S} = iint_E čokurošanās , vecs {F} cdot d vecs {S}. ]

Lai tuvinātu plūsmu visā virsmā, mēs pievienojam plūsmas vērtības mazajiem kvadrātiem, kas tuvina mazus virsmas gabalus (attēls ( PageIndex {2} ).

Saskaņā ar Grīna teorēmu plūsma pāri katram aptuvenajam kvadrātam ir taisne, kas ir neatņemama tā robeža. Ļaujiet (F ) būt aptuvenam kvadrātam ar orientāciju, kas mantota no (S ), un ar labo pusi (E_l ) (tātad (F ) atrodas pa kreisi no (E )). Apzīmē (F_r ) (F ) labo pusi; tad (E_l = - F_r ). Citiem vārdiem sakot, (F ) labā puse ir tāda pati līkne kā (E ) kreisā puse, tikai orientēta pretējā virzienā. Tāpēc

[ int_ {E_l} vecs F cdot d vecs r = - int_ {F_r} vecs F cdot d vecs r. nonumber ]

Saskaitot visus plūsmas visos kvadrātos, kas tuvina virsmu (S ), līnijas integrāļi

[ int_ {E_l} vecs {F} cdot d vecs {r} ]

un

[ int_ {F_r} vecs {F} cdot d vecs {r} ]

atcelt viens otru. Tas pats attiecas uz līnijas integrāļiem pār pārējām (E ) pusēm. Šie trīs līniju integrāļi tiek atcelti ar kvadrāta apakšējās malas līnijas integrālu virs (E ), līnijas integrālu virs kvadrāta kreisās puses pa labi no (E ) un līnijas integrālu virs kvadrāta augšējā puse zem (E ) (attēls ( PageIndex {3} )). Pēc tam, kad visa šī atcelšana notiek visos aptuvenos kvadrātos, vienīgie līniju integrāļi, kas izdzīvo, ir līniju integrāļi pāri pusēm, kas tuvina (S ) robežu. Tāpēc visu plūsmu summu (kas pēc Grīna teorēmas ir visu līniju integrāļu summa ap aptuveno kvadrātu robežām) var tuvināt ar līnijas integrālu pāri (S ) robežai. Robežā, kad aptuveno kvadrātu laukumi iet uz nulli, šī aproksimācija patvaļīgi tuvojas plūsmai.

Tagad aplūkosim stingru teorēmas pierādījumu īpašajā gadījumā, ka (S ) ir funkcijas (z = f (x, y) ) grafiks, kur (x ) un (y ) mainīties ierobežotā, vienkārši savienotā apgabalā (D ) ierobežotā apgabalā (attēls ( PageIndex {4} )). Pieņemsim, ka (f ) ir nepārtraukti otrās kārtas daļēji atvasinājumi. Ar (C ) apzīmē (S ) robežu un (C ') apzīmē (D ) robežu. Tad (D ) ir (S ) “ēna” plaknē un (C ') ir (C ) “ēna”. Pieņemsim, ka (S ) ir vērsts uz augšu. (C ) pretēji pulksteņrādītāja kustības virzienam ir pozitīva, tāpat kā (C ') pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Ļaujiet ( vecs F (x, y, z) = langle P, Q, R rangle ) būt vektora laukam ar komponentu funkcijām, kurām ir nepārtraukti daļēji atvasinājumi.

Mēs pieņemam standarta parametru parametru (S ,: , x = x, , y = y, , z = g (x, y) ). Pieskares vektori ir ( vecs t_x = langle 1,0, g_x rangle ) un ( vecs t_y = langle 0,1, g_y rangle ) un tāpēc ( vecs t_x times vecs t_y = langle -g_x, , -g_y, , 1 rangle ).

[ iint_S čokurošanās , vecs {F} cdot d vecs {S} = iint_D [- (R_y - Q_z) z_x - (P_z - R_x) z_y + (Q_x - P_y)] , dA, nonumber ]

kur visus daļējos atvasinājumus novērtē ar ((x, y, g (x, y)) ), padarot integrandu atkarīgu tikai no (x ) un (y ). Pieņemsim, ka ( langle x (t), , y (t) rangle, , a leq t leq b ) ir parametra (C ') parametri. Tad parametra (C ) parametri ir ( langle x (t), , y (t), , g (x (t), , y (t)) rangle, , a leq t leq b ). Bruņojoties ar šiem parametriem, ķēdes kārtulu un Grīna teorēmu, paturot prātā, ka (P ), (Q ) un (R ) ir visas (x ) un (y ) funkcijas , mēs varam novērtēt līnijas integrālo

[ sākt {izlīdzināt *} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_a ^ b (Px '(t) + Qy' (t) + Rz '(t)) , dt [4pt] & = int_a ^ b left [Px '(t) + Qy' (t) + R left ( dfrac { daļējs z} { daļējs x} dfrac {dx} {dt } + dfrac { daļējs z} { daļējs y} dfrac {dy} {dt} pa labi) pa labi] dt [4pt] & = int_a ^ b pa kreisi [ pa kreisi (P + R dfrac { daļējs z} { daļējs x} pa labi) x '(t) + pa kreisi (Q + R dfrac { daļējs z} { daļējs y} pa labi) y' (t) pa labi] dt [4pt] & = int_ {C '} pa kreisi (P + R dfrac { daļējs z} { daļējs x} pa labi) , dx + pa kreisi (Q + R dfrac { daļējs z } { daļējs y} pa labi) , dy [4pt] & = iint_D pa kreisi [ dfrac { daļējs} { daļējs x} pa kreisi (Q + R dfrac { daļējs z} { daļējs y} pa labi) - dfrac { daļējs} { daļējs y} pa kreisi (P + R dfrac { daļējs z} { daļējs x} pa labi) pa labi] , dA [4pt] & = iint_D left ( dfrac { daļējs Q} { daļējs x} + dfrac { daļējs Q} { daļējs z} dfrac { daļējs z} { daļējs x} + dfrac { daļējs R} { daļējs x} dfrac { daļējs z} { daļējs y} + dfrac { daļējs R} { daļējs z} dfrac { daļējs z} { daļējs x} dfrac { daļējs z} { daļējs y} + R dfrac { daļējs ^ 2 z} { daļējs x daļējs y} pa labi) - pa kreisi ( dfrac { daļējs P} { daļējs y} + dfrac { daļējs P} { daļējs z} dfrac { daļējs z} { daļējs y} + dfrac { daļējs R} { daļējs z} dfrac { daļējs z} { daļējs y} dfrac { daļējs z} { daļējs x} + R dfrac { daļējs ^ 2 z} { daļējs y daļējs x} labais) beigas {izlīdzināt *} ]

Pēc Clairaut teorēmas,

[ dfrac { daļējs ^ 2 z} { daļējs x daļējs y} = dfrac { daļējs ^ 2 z} { daļējs y daļējs x} beznumurs]

Tāpēc četri no terminiem pazūd no šī dubultā integrāļa, un mums tas paliek

[ iint_D [- (R_y - Q_z) Z_x - (P_z - R_x) z_y + (Q_x - P_y)] , dA, skaitlis ]

kas ir vienāds

[ iint_S čokurošanās , vecs {F} cdot d vecs {S}. nonumber ]

( Box )

Mēs esam parādījuši, ka Stoksa teorēma ir taisnība, ja funkcija ir ar domēnu, kas ir vienkārši saistīts ar ierobežota apgabala reģionu. Mēs varam ātri apstiprināt šo teorēmu citam nozīmīgam gadījumam: kad vektora lauks ( vecs {F} ) ir konservatīvs lauks. Ja ( vecs {F} ) ir konservatīva, ( vecs {F} ) čokurošanās ir nulle, tātad

[ iint_S čokurošanās , vecs {F} cdot d vecs {S} = 0. ]

Tā kā (S ) robeža ir slēgta līkne, integrālis

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r}. ]

ir arī nulle.

Piemērs ( PageIndex {1} ): Stoksa teorēmas pārbaude konkrētam gadījumam

Pārbaudiet, vai Stoksa teorēma ir taisnība vektora laukam ( vecs {F} (x, y) = langle -z, x, 0 rangle ) un virsmas (S ), kur ir (S ) puslode, kas orientēta uz āru, ar parametru iestatīšanu ( vecs r ( phi, theta) = langle sin phi , cos theta, , sin phi sin theta, , cos phi rangle, , 0 leq theta leq pi, , 0 leq phi leq pi ), kā parādīts attēlā ( PageIndex {5} ).

Risinājums

Ļaujiet (C ) būt (S ) robežai. Ņemiet vērā, ka (C ) ir 1. rādiusa aplis, kas ir centrēts uz sākumpunktu un atrodas plaknē (y = 0 ). Šim lokam ir parametrizācija ( langle cos t, , 0, , sin t rangle, , 0 leq t leq 2 pi ). vienādojums skalārā virsmas integrāļiem

[ sākt {izlīdzināt *} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_0 ^ {2 pi} langle - sin t, , cos t, , 0 rangle cdot langle - sin t, , 0, , cos t rangle , dt [4pt] & = int_0 ^ {2 pi} sin ^ 2 t , dt [ 4pt] & = pi. end {izlīdzināt *} ]

Ar vektoru līniju integrāļu vienādojumu

[ begin {izlīdzināt *} iint_S , čokurošanās , vecs {F} cdot d vecs S & = iint_D čokurošanās , vecs {F} ( vecs r ( phi, theta)) cdot ( vecs t _ { phi} times vecs t _ { theta}) , dA [4pt] & = iint_D langle 0, -1, 1 rangle cdot langle cos theta , sin ^ 2 phi, , sin theta , sin ^ 2 phi, , sin phi , cos phi rangle , dA [4pt] & = int_0 ^ { pi} int_0 ^ { pi} ( sin phi , cos phi - sin theta , sin ^ 2 phi) , d phi d theta [4pt] & = dfrac { pi} {2} int_0 ^ { pi} sin theta , d theta [4pt] & = pi. end {izlīdzināt *} ]

Tāpēc mēs esam pārbaudījuši šī piemēra Stoksa teorēmu.

Vingrinājums ( PageIndex {1} )

Pārbaudiet, vai Stoksa teorēma ir taisnība vektora laukam ( vecs {F} (x, y, z) = langle y, x, -z rangle ) un virsmas (S ), kur (S ) ir (f (x, y) = x ^ 2 y ) grafika augšupvērstā daļa virs trijstūra (xy ) - plaknē ar virsotnēm ((0,0), , ( 2,0) ) un ((0,2) ).

Padoms

Aprēķiniet dubulto integrāli un līnijas integrālu atsevišķi.

Atbilde

Abi integrāļi dod (- dfrac {136} {45} ):

Curl interpretācija

Papildus tulkošanai starp līnijas integrāļiem un plūsmas integrāļiem, Stoksa teorēmu var izmantot, lai pamatotu mūsu iemācīto čokurošanās fizisko interpretāciju. Šeit mēs pētām čokurošanās un cirkulācijas attiecības, un mēs izmantojam Stoksa teorēmu, lai paziņotu Faradeja likumu - svarīgu elektrības un magnētisma likumu, kas elektriskā lauka čokurošanos saista ar magnētiskā lauka izmaiņu ātrumu.

Atgādinām, ka, ja (C ) ir slēgta līkne un ( vecs {F} ) ir vektora lauks, kas definēts uz (C ), tad ( vecs {F} ) cirkulācija ap ( C ) ir līnijas neatņemama sastāvdaļa

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r}. ]

Ja ( vecs {F} ) apzīmē šķidruma ātruma lauku telpā, tad cirkulācija mēra šķidruma tendenci kustēties (C ) virzienā.

Ļaujiet ( vecs {F} ) būt nepārtrauktam vektora laukam un ļaujiet (D _ { tau} ) būt nelielam rādiusa (r ) diskam ar centru (P_0 ) (attēls ( PageIndex {7} )). Ja (D _ { tau} ) ir pietiekami mazs, tad ((čokurošanās , vecs {F}) (P) apm (čokurošanās , vecs F) (P_0) ) visiem punktiem ( P ) in (D _ { tau} ), jo čokurošanās ir nepārtraukta. Ļaujiet (C _ { tau} ) būt (D _ { tau} ) robežas lokam: pēc Stoksa teorēmas

[ int_ {C _ { tau}} vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_ {D _ { tau}} čokurošanās , vecs {F} cdot vecs {N} , d vecs S apm iint_ {D _ { tau}} (čokurošanās , vecs {F}) (P_0) cdot vecs {N} (P_0) , d vecs S. ]

Daudzums ((čokurošanās , vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0) ) ir nemainīgs, un tāpēc

[ iint_ {D _ { tau}} (čokurošanās , vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0) , d vecs S = pi r ^ 2 [(čokurošanās , vecs F ) (P_0) cdot vecs N (P_0)]. nonumber ]

Tādējādi

[ int_ {C _ { tau}} vecs F cdot d vecs r apm pi r ^ 2 [(čokurošanās , vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0)], nonumber ]

un tuvinājums patvaļīgi tuvojas, kad rādiuss samazinās līdz nullei. Tāpēc Stoksa teorēma to nozīmē

[(čokurošanās , vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0) = lim_ {r rightarrow 0 ^ +} dfrac {1} { pi r ^ 2} int_ {C _ { tau}} vecs F cdot d vecs r. nonumber ]

Šis vienādojums saista vektora lauka čokurošanos ar cirkulāciju. Tā kā diska laukums ir ( pi r ^ 2 ), šis vienādojums saka, ka čokurošanos (robežās) mēs varam apskatīt kā apgrozību laukuma vienībā. Atgādinām, ka, ja ( vecs F ) ir šķidruma ātruma lauks, tad cirkulācija [ zied_ {C _ { tau}} vecs F cdot d vecs r = zied_ {C _ { tau}} vecs F cdot vecs T , ds ] ir šķidruma tieksmes mērīšanas mērs (C _ { tau} ): Iemesls tam ir tāds, ka ( vecs F cdot vecs T ) ir ( vecs F ) sastāvdaļa ( vecs T ) virzienā, un jo tuvāk ( vecs F ) virziens ir ( vecs T ), lielāka ( vecs F cdot vecs T ) vērtība (atcerieties, ka, ja ( vecs a ) un ( vecs b ) ir vektori un ( vecs b ) ir fiksēts, tad punktu produkts ( vecs a cdot vecs b ) ir maksimāls, ja ( vecs a ) norāda vienā virzienā ar ( vecs b )). Tāpēc, ja ( vecs F ) ir šķidruma ātruma lauks, tad (čokurošanās , vecs F cdot vecs N ) ir mērījums tam, kā šķidrums griežas ap asi ( vecs N ). Čokurošanās ietekme ir vislielākā ap asi, kas norāda ( vecs N ) virzienā, jo šajā gadījumā (čokurošanās , vecs F cdot vecs N ) ir pēc iespējas lielāka.

Lai redzētu šo efektu konkrētāk, iedomājieties, ka punktā (P_0 ) ievietojat nelielu lāpstiņu (attēls ( PageIndex {8} )). Lāpstiņa sasniedz maksimālo ātrumu, kad riteņa ass ir vērsta čokurošanās virzienā ( vecs F ). Tas attaisno iemācītās čokurošanās interpretāciju: čokurošanās ir vektora lauka rotācijas mērs ap asi, kas norāda normālā vektora ( vecs N ) virzienā, un Stoksa teorēma attaisno šo interpretāciju.

Tagad, kad esam uzzinājuši par Stoksa teorēmu, mēs varam apspriest pielietojumu elektromagnētisma jomā. Jo īpaši mēs pārbaudām, kā mēs varam izmantot Stoksa teorēmu, lai tulkotu starp divām līdzvērtīgām Faradeja likuma formām. Pirms mēs izsakām abas Faradejas likuma formas, mums ir nepieciešama zināma pamatterminoloģija.

Ļaujiet (C ) būt slēgtai līknei, kas modelē plānu vadu. Elektrisko lauku kontekstā vads laika gaitā var pārvietoties, tāpēc mēs rakstām (C (t) ), lai attēlotu vadu. Noteiktā laikā (t ) līkne (C (t) ) var atšķirties no sākotnējās līknes (C ) stieples kustības dēļ, taču mēs pieņemam, ka (C (t) ) ir slēgta visu laiku līkne (t ). Ļaujiet (D (t) ) būt virsmai, kuras robeža ir (C (t) ), un orientējiet (C (t) ), lai (D (t) ) būtu pozitīva orientācija. Pieņemsim, ka (C (t) ) atrodas magnētiskajā laukā ( vecs B (t) ), kas laika gaitā var arī mainīties. Citiem vārdiem sakot, ( vecs {B} ) ir forma

[ vecs B (x, y, z) = langle P (x, y, z), , Q (x, y, z), , R (x, y, z) rangle, ]

kur (P ), (Q ) un (R ) visi laika gaitā var pastāvīgi mainīties. Mēs varam radīt strāvu pa vadu, mainot lauku ( vecs B (t) ) (tas ir Ampere likuma sekas). Flux ( displaystyle phi (t) = iint_ {D (t)} vecs B (t) cdot d vecs S ) rada elektrisko lauku ( vecs E (t) ), kas darbojas. Faradejas likuma neatņemama forma norāda, ka

[Darbs = int_ {C (t)} vecs E (t) cdot d vecs r = - dfrac { daļējs phi} { daļējs t}. ]

Citiem vārdiem sakot, ( vecs {E} ) paveiktais darbs ir līnijas integrālis ap robežu, kas ir vienāds arī ar plūsmas izmaiņu ātrumu attiecībā pret laiku. Faradejas likuma diferenciālā forma apgalvo, ka

[čokurošanās , vecs {E} = - dfrac { daļējs vecs B} { daļējs t}. ]

Izmantojot Stoksa teorēmu, mēs varam parādīt, ka Faradeja likuma diferenciālā forma ir integrālās formas sekas. Pēc Stoksa teorēmas integrālo formu integrālo līniju mēs varam pārveidot par virsmas integrāli

[- dfrac { daļējs phi} { daļējs t} = int_ {C (t)} vecs E (t) cdot d vecs r = iint_ {D (t)} čokurošanās , vecs E (t) cdot d vecs S. ]

Tā kā [ phi (t) = iint_ {D (t)} B (t) cdot d vecs S, ], kamēr virsmas integrācija laika gaitā nemainās, mums ir arī

[- dfrac { daļējs phi} { daļējs t} = iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { daļējs vecs B} { daļējs t} cdot d vecs S. ]

Tāpēc

[ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { daļējs vecs B} { daļējs t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} čokurošanās , vecs E cdot d vecs S. ]

Lai atvasinātu Faradeja likuma diferenciālo formu, mēs vēlētos secināt, ka (čokurošanās , vecs E = - dfrac { daļējs vecs B} { daļējs t} ): parasti vienādojums

[ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { daļējs vecs B} { daļējs t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} čokurošanās , vecs E cdot d vecs S ]

nepietiek, lai secinātu, ka (čokurošanās , vecs E = - dfrac { daļējs vecs B} { daļējs t} ): integrālie simboli ne tikai "atceļ", atstājot integrandu vienlīdzību. Lai saprastu, kāpēc integrālā simbols vispār neatceļas, apsveriet divus viena mainīgā integrālus ( displaystyle int_0 ^ 1 x , dx ) un ( displaystyle int_0 ^ 1 f (x) , dx ), kur

[f (x) = sākas {gadījumi} 1, & text {if} 0 leq x leq 1/2 0, & text {if} 1/2 leq x leq 1. beigt {gadījumus} ]

Abi šie integrāļi ir vienādi ( dfrac {1} {2} ), tātad ( displaystyle int_0 ^ 1 x , dx = int_0 ^ 1 f (x) , dx ).

Tomēr (x neq f (x) ). Līdzīgi ar mūsu vienādojumu [ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { daļējs vecs B} { daļējs t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} čokurošanās , vecs E cdot d vecs S, ] mēs nevaram vienkārši secināt, ka (čokurošanās , vecs E = - dfrac { daļējs vecs B} { daļējs t} ) tikai tāpēc, ka viņu integrāļi ir vienādi. Tomēr mūsu kontekstā vienādojums

[ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { daļējs vecs B} { daļējs t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} čokurošanās , vecs E cdot d vecs S ]

attiecas uz jebkurš reģions, lai arī neliels (tas ir pretstatā tikko apspriestajiem viena mainīgā integrāļiem). Ja ( vecs F ) un ( vecs G ) ir trīsdimensiju vektoru lauki, tādi kā

[ iint_S vecs F cdot d vecs S = iint_S vecs G cdot d vecs S ]

jebkurai virsmai (S ), tad ir iespējams parādīt, ka ( vecs F = vecs G ), samazinot (S ) laukumu līdz nullei, ņemot ierobežojumu (jo mazāks (S ), jo tuvāka ( displaystyle iint_S vecs F cdot d vecs S ) vērtība ( vecs F ) vērtībai punktā iekšpusē (S )). Tāpēc mēs varam ļaut apgabalam (D (t) ) sarukt līdz nullei, ņemot ierobežojumu un iegūstot Faradeja likuma diferencēto formu:

[čokurošanās , vecs E = - dfrac { daļējs vecs B} { daļējs t}. ]

Elektrisko lauku kontekstā elektriskā lauka čokurošanos var interpretēt kā attiecīgā magnētiskā lauka izmaiņu ātruma negatīvo attiecībā pret laiku.

Piemērs ( PageIndex {4} ): izmantojot Faradejas likumu

Aprēķiniet elektriskā lauka krokojumu ( vecs {E} ), ja atbilstošais magnētiskais lauks ir nemainīgs lauks ( vecs B (t) = langle 1, -4, 2 rangle ).

Risinājums

Tā kā magnētiskais lauks nemainās attiecībā pret laiku, (- dfrac { daļējs vecs B} { daļējs t} = vecs 0 ). Tādējādi saskaņā ar Faradeja likumu elektriskā lauka čokurošanās ir arī nulle.

Analīze

Faradejas likuma sekas ir tādas, ka elektriskā lauka čokurošanās, kas atbilst pastāvīgam magnētiskajam laukam, vienmēr ir nulle.

Vingrinājums ( PageIndex {4} )

Aprēķiniet elektriskā lauka krokojumu ( vecs {E} ), ja atbilstošais magnētiskais lauks ir ( vecs B (t) = langle tx, , ty, , -2tz rangle, , 0 leq t < infty. )

Padoms
  • Izmantojiet Faradeja likuma diferencēto formu.
  • Ievērojiet, ka elektriskā lauka čokurošanās laika gaitā nemainās, kaut arī magnētiskais lauks laika gaitā mainās.
Atbilde

(čokurošanās , vecs {E} = langle x, , y, , -2z rangle )

Galvenie jēdzieni

  • Stoksa teorēma attiecina plūsmas integrālu virs virsmas uz līnijas integrālu ap virsmas robežu. Stoksa teorēma ir Grīna teorēmas augstākas dimensijas versija, un tāpēc tā ir vēl viena Kalkulācijas pamatteorēmas versija augstākās dimensijās.
  • Stoksa teorēmu var izmantot, lai sarežģītu virsmas integrālu pārveidotu par vieglāku līnijas integrālu vai sarežģītu līnijas integrālu par vieglāku virsmas integrālu.
  • Izmantojot Stoksa teorēmu, līnijas integrālus var novērtēt, izmantojot vienkāršāko virsmu ar robežu (C ).
  • Faradejas likums elektriskā lauka čokurošanos saista ar attiecīgā magnētiskā lauka izmaiņu ātrumu. Stoksa teorēmu var izmantot Faradeja likuma atvasināšanai.

Galvenie vienādojumi

  • Stoksa teorēma

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_S čokurošanās , vecs {F} cdot d vecs {S} nonumber ]

Vārdnīca

Stoksa teorēma
saista plūsmas integrālu virs virsmas (S ) ar līnijas integrālu ap virsmas (C ) robežu (S )
neatkarīga no virsmas
čokurošanās vektoru lauku plūsmas integrāļi nav neatkarīgi no virsmas, ja to novērtējums nav atkarīgs no virsmas, bet tikai no virsmas robežas

Stoksa un # 39 teorēmas ģeometriskā interpretācija

Pirmkārt, kāds varētu, lūdzu, paskaidrot manu pārpratumu par Stoksa teorēmas piemēru:

Piemērs (Lee, SM, 414. lpp.): Ļaujiet $ M $ būt vienmērīgam kolektoram un pieņemsim, ka $ gamma: [a, b] līdz M $ ir vienmērīga iegulšana, tāpēc, ka $ S = gamma ([a, b]) $ ir iegults 1-apakšmanifolds ar robeža $ M $. Ja $ S $ piešķiram tādu orientāciju, ka $ gamma $ saglabā orientāciju, tad jebkurai vienmērīgai funkcijai $ f C ^ infty (M) $, Stoksa teorēma saka, ka $ int_ gamma df = int _ <[a, b]> gamma ^ *= int_df = int _ < daļēja S> f = f ( gamma (b)) - f ( gamma (a)). $

Q1: Kāda ir atšķirība starp $ S $ un $ gamma $ darbībā? Vai $ gamma $ nenozīmē $ gamma ([a, b]) $ pirmajā integrālī?

Q2: Kāda ir Stoksa teorēmas ģeometriskā interpretācija?

Ar otro jautājumu es nedomāju aprēķina un fizikas tipa interpretāciju. Es nedomāju skaidrot arī ar De Rema kohomoloģiju (precīzās un slēgtās formas). Es tikai vēlos uzzināt, kā ir iespējams, ka integrāciju visā kolektorā var aprēķināt, vienkārši integrējoties pāri tās robežai.

Varbūt atbilde uz Q2 ir šāds jautājums:

Q3: Ko nozīmē $ int_ gamma df $? Vai tas ir sava veida $ gamma $ garuma mērījums? Ja jā, kāpēc tā vērtība nav atkarīga no nevienas līknes ar vienādiem $ gamma $ galapunktiem?

Atvainojiet, ja mani jautājumi kaut kā bija saistīti ar teorēmas pierādīšanu.


Provizoriska programma

5 1. eksāmens ceturtdien, 22. februāris laikā regulārs nodarbību laiks.

IV.10. Nodaļa Problēmas 1 (katra 2. funkcija), 4, 5, 7, 9b, 10, 14
IV.12. Nodaļa Problēmas 2, 5c, 7
termiņš 2/26

IV.12. Nodaļa Problēmas 11

V.3. Nodaļa Problēmas 2, 3
V.6. Nodaļa Problēmas 1acegioq, 2, 4, 7ac
termiņš 3/5

V.10 nodaļa. Problēmas 2bdf, 3aceg, 5cgiq, 7bd
V.13. Nodaļa Problēmas 3, 10, 14
termiņš 3/12

VI.3. Nodaļa Problēmas 1acef, 3,5acegik, 6acg, 9
termiņš 19/19

VI.7. Nodaļa Problēmas 1ad, 2a, 6, 7ace, 8, 11, 13, 15, 17, 18, 22, 24
papildu problēmas,
termiņš 4/2

10 2. eksāmens ceturtdien, 5. aprīlis Regulārā nodarbību laikā

VII.4. Nodaļa Problēmas 1, 3, 4
papildu problēmas,
termiņš 4/9

IV.15. Nodaļa. Problēmas 12, 13

VII.8. Nodaļa Problēmas 2, 4
termiņš 4/16

VII.12. Nodaļa Problēmas 1, 2, 3, 5acegil (veiciet 5.a uzdevumu, izmantojot un neizmantojot Grīna teorēmu, veiciet visas pārējās 5. uzdevuma daļas, izmantojot Grīna teorēmu)

Fināls ceturtdien, 5/10, 12:25 14:25 Ag 125 (ja jūs esat 11:00 lekcijā) un Biochem 1125 (13:00 lekcijai)


Saturs

  • 1 Vairāk nekā viena mainīgā funkcijas
    • 1.1. Ievads
    • 1.2. Robežas un nepārtrauktība
    • 1.3 Daļēji atvasinājumi
    • 1.4. Diferencējamība, diferenciāļi un lokālā lineārā tuvināšana
    • 1.5. Ķēdes likums
    • 1.6 Virziena atvasinājumi un gradienti
    • 1.7. Divu mainīgo funkciju relatīvā ekstrēma
    • 1.8. Vairāku mainīgo funkciju absolūtās ekstrēmas
    • 1.9 Parametriskās virsmas
    • 2.1. Divkāršie integrāļi virs taisnstūra reģioniem
    • 2.2. Divkāršie integrāļi virs vispārējiem reģioniem
    • 2.3. Dubultie integrāļi polārajās koordinātās
    • 2.4. Double Integrals lietojumi
    • 2.5 Trīskārši integrāļi
    • 2.6 Trīskārši integrāļi cilindriskās koordinātās
    • 2.7 Trīskārši integrāļi sfēriskās koordinātās
    • 2.8 Trīskāršu integrālu lietojumi
    • 3.1. Skalāru un vektoru lauki
    • 3.2 Atšķirība un čokurošanās
    • 3.3. Konservatīvo vektoru lauki
    • 3.4 Skalāru lauku līniju integrāļi
    • 3.5. Vektoru lauku līniju integrāļi
    • 3.6 Līnijas integrāļu pamatteorēma
    • 3.7 Grīna teorēma
    • 3.8. Skalāru lauku virsmas integrāļi
    • 3.9 Vektoru lauku virsmas integrāļi
    • 3.10 Stoksa teorēma un Gausa divergences teorēma
    2 1. NODAĻA. FUNKCIJAS, KURAS IR VAIRĀK VIENAS

    Fizisks ierobežojums šiem mainīgajiem ir tas, ka tiem jābūt pozitīviem. Tādējādi domēns ir <(l, w, h) 3R 3: l & ampgt 0, w & ampgt 0, h & ampgt 0>.

    1.1.3. Piemērs. Letf (x, y) = x 2 + √ 3 xy. Findf (2, −4), f (1,0), f (t, t 2) unf (2y2, 4 y).

    Risinājums: Aizvietojot, mēs iegūstam

    2(−4) = 4−2 = 2
    1(0) = 1

    Ņemiet vērā, ka domēnā atrodas visa seksuālā plakne.

    1.1. Piemērs. Identificējiet un ieskicējiet domēnu (x, y) = √ 1 x 2 −y

    Risinājums: lai izteiksme būtu reāls skaitlis, radikāļa lielumam nominālvērtībā jābūt pozitīvam. Tas ir, x 2 un amp y. Tādējādi domēns ir

    Parabolay = x 2 sadala plakni divos, visos punktos virs tā vai virs tā, un visos punktos zem tās. Punkts (0, −1), kas ir punkts zem parabola, apmierina & ampt x 2. Tādējādi domēns ietver visus punktus, kas atrodas zem parabolas. Parabola, kas ir adashedcurve, norāda, ka tajā esošie punkti nav domēna daļa.

    1.1.5. Piemērs. Identificējiet domēnu un ieskicējiet to (x, y) = sin− 1 (x − 1).

    Risinājums: apgrieztā sinusa funkcija ir definēta tikai vērtībām intervālā [- 1, 1]. Tādējādi - 16 x− 16 1 vai ka 0 6 x 6 2. Tādējādi domēns ir

    1.1. IEVADS 3

    Grafiski domēns sastāv no punktiem starp līnijām x = 0 un x = 2, ieskaitot šīs līnijas.

    1.2. Attēls: Domēns izslēgts (x, y) = sin− 1 (x − 1)

    1.1.6. Piemērs. Identificējiet domēnu g (x, y, z) = ln (1 − x 2 −y 2 −z 2).

    Risinājums: dabiskais logaritms ir definēts tikai pozitīvām vērtībām. Tādējādi 1 − x 2 −y 2 −z 2 & ampgt0 vai thatx 2 + y 2 + z 2 & amplt1. Tādējādi domēns ir

    Grafiski domēns ir punktu kopa sfēras vienībā, kas centrēta uz sākumpunktu, izņemot pašu sfēru.

    Divu mainīgo funkciju grafiki

    Pieņemsim, ka funkcija ir divi mainīgiexandy. Thegraphoff ir visu punktu (x, y, z) kopa trīsdimensiju telpā tā, ka (x, y) ∈domfandz = f (x, y).

    1.1.7. Piemērs. Ieskicējiet šo funkciju diagrammu.

    1. f (x, y) = 2–2 x – y. Risinājums: Izslēgtais grafiks ir vienādojuma z = 2−2 x − y grafiks, kas ir plakne ar normālu vektoru 〈2, 1, 1〉.

    1.3. Attēls: Grafiks izslēgts (x, y) = 2−2 x – y

    1.1. IEVADS 5

    1.1.8. Piemērs. Ieskicējiet kontūru karti (x, y) = y 2 −x 2 forz = −10, −5, 0, 5 un 10.

    Risinājums: Zemāk parādīti virsmas šķērsgriezumi ar planesz = −10, −5, 0, 5 un 10 un kontūru karti.

    k = 10: y 2 −x 2 = 10 k = 5: y 2 −x 2 = 5 k = 0: x 2 −y 2 = 0 k = −5: x 2 −y 2 = 5 k = −10: x 2 −y 2 = 10

    1.6. Attēls: Līknes līknes izslēgtas (x, y) = y 2 −x 2

    1.1.9. Piemērs. Surfef (x, y) = sin 2 x + 14 y 2 ir šāds grafiks.

    1.7. Attēls: Grafiks izslēgts (x, y) = sin 2 x + 14 y 2

    Tālāk ir norādīti virsmas šķērsgriezumi ar vairākām horizontālām plaknēm.

    1.8. Attēls: šķērsgriezumi izslēgti (x, y) = sin 2 x + 14 y 2

    6 1. NODAĻA. FUNKCIJAS, KAS VAIRĀK PAR VIENU MAINĪGU

    Pēc tam ir virsmas kontūras diagramma

    1.9. Attēls: Kontūras diagramma izslēgta (x, y) = sin 2 x + 14 y 2

    Trīs mainīgo funkcijām nav viegli vizualizēt to grafikus, jo grafi atradīsies četrdimensionālā telpā. Bet tā līmeņa virsmas tiek iegūtas, ņemot vērā vairākas k∈Rsuch thatf (x, y, z) = k vērtības, un, cerams, tās mums sniedz zināmu ģeogrāfisku ieskatu funkcijā.

    1.1.10. Piemērs. Letf (x, y, z) = x + y + z. Līmeņu virsmas ir formas vienādojumi

    kuras ir plaknes ar normālu vektoru 〈1, 1, 1〉. Zemāk ilustrētas izslēgtas līmeņa virsmas (x, y, z).

    1.10. Attēls: Izlīdzinātas virsmas (x, y, z) = x + y + z

    Piezīme. Līmeņu līkņu kopa dod mums priekšstatu par to, cik ātri mainās funkcijas vērtība.

    1.1.11. Piemērs. Zemāk ir parādīta kontūru karte forf (x, y) = 4x 2 + y 2, kur līmeņa līknes f (x, y) = kare, kas ņemtas ar vienādām k pakāpēm. Ievērojiet, ka askkļūst lielāks, līdz ar to arī elipsveida pēdas, un līmeņa līknes tuvojas viena otrai. Sof (x, y) straujāk mainās kontūras kartes punktos (x, y), kur līmeņa līknes atrodas tuvāk viena otrai.

    8 1. NODAĻA. FUNKCIJAS, KAS VAIRĀK PAR VIENU MAINĪGU

    x 2 + y 2 −z 11. f (x, y, z) = xzcos− 1 (y 2 −1) 12. f (x, y, z) = cos− 1 (x − 1) sin− 1 (x y 2 −1)

    V. Ieskicējiet šādu funkciju grafiku.

    VI. Ieskicējiet kontūru karti šādām virsmām.

    1.2. Robežas un nepārtrauktība

    Atgādināsim, ka esam iepazinušies ar viena mainīgā funkciju robežām un nepārtrauktību. Mēs paplašinām šos jēdzienus, iekļaujot divu vai vairāku mainīgo funkcijas.

    Izpētīsim vērtības off (x, y) = 3 x

    2 y x 2 + y 2, tuvojoties (x, y) (0,0). Zemāk redzamā tabula

    parāda vērtības off (x, y), kas atbilst x- un y-vērtībām attiecīgi pirmajā kolonnā un pirmajā rindā.

    1.1. Tabula. Vērtības izslēgtas (x, y) = 3 x 2 yx 2 + y 2, tuvojoties (x, y) (0,0) x y - 0, 05 - 0, 01 - 0, 001 0 0, 001 0. 01 0. 05 - 0. 050 - 0. 07500 - 0. 02885 - 0. 00300 0 0. 00300 0. 02885 0. 07500 - 0. 010 - 0. 00577 - 0. 01500 - 0. 00297 0 0 . 00297 0. 01500 0. 00577 - 0. 001 - 0. 00006 - 0. 00030 - 0. 00150 0 0. 00150 0. 00030 0. 00006 0. 000 0 0 0 nav definēts 0 0 0 0. 001 - 0. 00006 - 0. 00030 - 0. 00150 0 0. 00150 0. 00030 0. 00006 0. 010 - 0. 00577 - 0. 01500 - 0. 00297 0 0. 00297 0. 01500 0. 00577 0. 050 - 0. 07500 - 0. 02885 - 0. 00300 0 0. 00300 0. 02885 0. 07500

    Tuvojoties (x, y) (0,0), šķiet, ka f (x, y) tuvojas 0. Kā izrādīsies vēlāk, šis novērojums ir pareizs. Teiksim, ka kā (x, y) → (0,0) izslēgtā (x, y) robeža ir 0. Mēs to ierakstām kā

    1.2. Robežas un nepārtrauktība 9

    Definition.Letfbe a function of two variables whose domainDis an open subset ofR 2 which contains points arbitrarily close to (a,b). Thelimit of f(x,y) as (x,y) approaches (a,b) isL, written as lim (x,y)→(a,b) f(x,y) =L,

    if for every small numberε &gt0, there is a corresponding small numberδ &gt0 such that

    Remark. In the definition, by “Dcontains points arbitrarily close to (a,b)”, we mean for any δ &gt0, there is at least one point (x,y)∈Dsuch that 0&lt

    Example 1.2.1.Prove that lim (x,y)→(1,−1) (3x+ 2y) = 1.

    Solution: Letf(x,y) = 3x+ 2y, andL= 1. For any small numberε &gt0 we choose, we want to find a small numberδ &gt0, such that

    whenever the distance between (x,y) and (1,−1) is less thanδ. Note that| 3 x+ 2y− 1 |=|3(x−1) + 2(y+ 1)| 63 |x− 1 |+ 2|y+ 1|, and we want this to be less thanε. Also, notice that

    Thus, | 3 x+ 2y− 1 |≤ 3 |x− 1 |+ 2|y+ 1|&lt 3 δ+ 2δ= 5δ.

    Hence, by takingδ=ε 5 ,we have

    Therefore, lim (x,y)→(1,−1) (3x+ 2y) = 1.

    Remark.If the limit off(x,y) as (x,y) approaches (a,b) exists, then that limit is unique.

    Recall that on the real number line, one can approach a number from two directions, from the right and from the left. On thexy-plane, there are infinitely many ways one can approach a point (a,b). Hence, we extend the notion of one-sided limits for functions of one variable. Instead, we

    1.2. LIMITS AND CONTINUITY 11

    Example 1.2.3.Show that lim (x,y)→(0,0)

    x 2 −y 2 x 2 +y 2 does not exist.

    Solution: Let us consider the limit off(x,y) = x

    2 −y 2 x 2 +y 2 along thex-axis (y = 0), which passes

    through the origin. The limit is

    Also, let us consider the limit off(x,y) along they-axis (x= 0). The limit is

    Since the limits along different curves are not equal, then

    x 2 −y 2 x 2 +y 2 does not exist.

    Example 1.2.4.Show that lim (x,y)→(0,0)

    xy 2 x 2 +y 4 does not exist.

    Solution: LetC 1 be the liney=x. Tad

    LetC 2 be the parabolax=y 2. Then

    Since the limits along different curves are distinct, lim (x,y)→(0,0)

    xy 2 x 2 +y 4 does not exist.

    Example 1.2.5.Determine lim (x,y)→(0,0)

    Solution: LetC 1 be a non-vertical line through the origin. That is,C 1 : y=mx, for somem∈R. Tad

    3 x 2 (mx) x 2 +m 2 x 2 = limx→ 0

    Along the curvesC 2 :y=x 2 ,C 3 :x=y 2 ,C 4 :y=x 3 ,C 5 :x=y 3 , it can easily be verified that the limits of the function as (x,y)→(0,0) are also zero.

    The above computations seem to indicate that the limit is zero. However, this is not enough to say that the limit is zero. We need to prove that it is so by definition.


    5.10: Stokes' Theorem - Mathematics

    Instructor: Nikola Petrov, 802 PHSC, (405)325-4316, npetrov AT math.ou.edu

    Office Hours: Tue 3:00-4:00 p.m., Wed 2:00-3:00 p.m., or by appointment.

    Prerequisite: MATH 2433 (Calculus and Analytic Geometry III).

    Course catalog description: Vector calculus functions of several variables partial derivatives gradients, extreme values and differentials of multivariate functions multiple integrals line and surface integrals (F, Sp, Su)

    Text: J. Stewart, Calculus, 6th edition, Brooks/Cole, 2007. The course will cover major parts of chapters 15-17.

    Check out the OU Math Blog! It is REALLY interesting!

    The OU Math Club will meet on Wednesday, September 16, in PHSC 1105, at 5 p.m. - yours truly will give a talk titled Physics and Math for lazy people: From the non-existence of Godzilla to the energy of a nuclear explosion there will be pizza, az always! -->

    1. Click on the following link: http://eval.ou.edu (or you can cut and paste this address into your web browser).
    2. Type your OUNet ID (4+4) and your password into the login form and click Log In. This is the same login information that you would use to check your OU email or log into Desire to Learn.
    3. After your login information has been authenticated, you will see a list of all your A&S courses for Spring 2008. Click the Available link next to each course to evaluate it.
    4. When you are finished evaluating the course, click Submit Evaluation at the bottom of the evaluation form to save it.
    5. You will then be returned to the course list page. From here you can evaluate another course or log out.
    • Homework 1 (problems given on Aug 25, 27, Sep 1, 3), due Sep 8 (Tue).
    • Homework 2 (problems given on Sep 8, 10, 15, 17), due Sep 22 (Tue).
    • Homework 3 (problems given on Sep 22, 24, 29, Oct 1), due Oct 8 (Thu).
    • Homework 4 (problems given on Oct 6, 8, 13), due Oct 15 (Thu).
    • Homework 5 (problems given on Oct 15, 20, 27, 29), due Nov 3 (Tue).
    • Homework 6 (problems given on Nov 3, 5, 10, 12), due Nov 17 (Tue).
    • Homework 7 (problems given on Nov 17, 19, 24), due in class on Dec 1 (Tue).

      Lecture 1 (Tue, Aug 25):Functions of several variables: functions of two variables, independent variables, dependent variable, domain, range, graph, level curves, examples functions of three or more variables (Sec. 15.1).
      Mājasdarbs: Vingrinājumi 15.1/13 (hint), 16, 18, 27, 26, 42, 66.

    Attendance: You are required to attend class on those days when an examination is being given attendance during other class periods is also expected. You are fully responsible for the material covered in each class, whether or not you attend. Periodically I will collect it to be graded (these days will be announced in advance). Make-ups for missed exams will be given only if there is a compelling reason for the absence, which I know about beforehand and can document independently of your testimony (for example, via a note or a phone call from a doctor or a parent).

    Homework: It is absolutely essential to solve a large number of problems on a regular basis!
    Homework will be assigned and due every class period. You should be prepared to present any of the homework problems due on a given day. Periodically I will collect it to be graded (these days will be announced in advance).
    You are allowed (and encouraged) to work in small groups. However, each of you will need to prepare individual solutions written in your own words - this is the only way to achieve real understanding! Please write the problems in the same order in which they are given in the assignment.
    All homework should be written on a 8.5"×11" paper with your name clearly written, and should be stapled. No late homework will be accepted!

    Exams: There will be three in-class midterms and a (comprehensive) final.
    Tentative dates for the midterms are September 24 (Thursday), October 27 (Tuesday), December 3 (Thursday).
    The final is scheduled for December 14 (Monday), 1:30-3:30 p.m.
    All tests must be taken at the scheduled times, except in extraordinary circumstances.
    Please do not arrange travel plans that prevent you from taking any of the exams at the scheduled time.

    Novērtēšana: Your grade will be determined by your performance on the following coursework:

    Coursework Weight
    Homework 10%
    Exam 1 20%
    Exam 2 20%
    Exam 3 20%
    Gala eksāmens 30%

    Academic calendar for Fall 2009.

    Course schedule for Fall 2009.

    Policy on W/I Grades : Through October 2 (Friday), you can withdraw from the course with an automatic "W". In addition, from October 5 (Monday) to December 11 (Friday), you may withdraw and receive a "W" or "F" according to your standing in the class. Dropping after November 30 (Monday) requires a petition to the Dean. (Such petitions are not often granted. Furthermore, even if the petition is granted, I will give you a grade of "Withdrawn Failing" if you are indeed failing at the time of your petition.) Please check the dates!

    The grade of "I" (Incomplete) is intended to serve as a benign substitute for the grade of "F". I only give the "I" grade if a student has completed the majority of the work in the course (for example everything except the final exam), the coursework cannot be completed because of compelling and verifiable problems beyond the student's control, and the student expresses a clear intention of making up the missed work as soon as possible.

    Academic Misconduct: All cases of suspected academic misconduct will be referred to the Dean of the College of Arts and Sciences for prosecution under the University's Academic Misconduct Code. The penalties can be quite severe. Don't do it!
    For details on the University's policies concerning academic integrity see the A Student's Guide to Academic Integrity. For information on your rights to appeal charges of academic misconduct consult the Rights and Responsibilities Under the Academic Misconduct Code. Students are also bound by the provisions of the OU Student Code.

    Students With Disabilities: The University of Oklahoma is committed to providing reasonable accommodation for all students with disabilities. Students with disabilities who require accommodations in this course are requested to speak with the instructor as early in the semester as possible. Students with disabilities must be registered with the Office of Disability Services prior to receiving accommodations in this course. The Office of Disability Services is located in Goddard Health Center, Suite 166: phone 405-325-3852 or TDD only 405-325-4173.


    5.10: Stokes' Theorem - Mathematics

    Syllabus [PDF updated 1/22/07 4:00 PM]
    Lectures: Tue/Thu 11:00 AM--12:15 PM, 301 Snow Hall
    Instruktors: Jeremy Martin

    Office: 541 Snow Hall
    Office hours during finals week: Thursday 5/17, 1:00--4:30 PM, or by appointment
    KU course line number: 63722
    Mācību grāmata: Vector Calculus, 3rd edn., by Susan Jane Colley

    Announcements

    • Final grades have been posted on Enroll & Pay. (5/20/07) is now available. (5/14/07)
    • My office hours on Tuesday 5/8 and Thursday 5/10 will be from 2:30--3:30 PM, instead of the usual 1:30--2:30. (5/4/07)
    • I have scheduled two review sessions during final exam week see below for dates, times and details. (5/4/07)
    • The due date on HW #12 has been postponed from Tuesday 5/8 to Thursday 5/10. (5/1/07)
    • The due date on HW #11 has been postponed from Tuesday 5/1 to Thursday 5/3. (5/1/07) is now available. (4/5/07)
    • I will hold an office hour on Wednesday 2/28, 11 AM - noon. My regular office hour on Thursday 3/1 is cancelled. (2/26/07) is now available. (2/26/07)
    • I have posted some hints on HW #4. (2/19/07)
    • My office hours on Thursday 2/8 will be 2:30--3:30 PM (instead of the usual 1:30--2:30). (2/6/07)
    • My office hours during the week of 1/29 - 2/2 will be normal. (1/29/07)
    • My office hours on Tuesday 1/23 and Thursday 1/25 are cancelled. Instead, I will hold office hours from 10:00--11:00 AM on Wednesday 1/24 and Friday 1/26, and by appointment. (1/22/07)
    • The syllabus is now available. (1/18/07)
    • Both sections of Math 223 are full or almost full. If you want to take the course but you are unable to enroll, contact me immediately. (1/17/07)

    Schedule

    The following is an approximate schedule for the topics to be covered in each lecture. Future days are subject to change.

    Mājas uzdevumi

    Homework is due at 5:00 PM every Tuesday (except days after midterm tests), starting January 30. This makes a total of 12 homework assignments your two lowest scores (including assignments not turned in) will be dropped. Only turn in the required problems. Not every problem will necessarily be graded, but part of your homework score will be for doing all the assigned problems. The homework is worth 20% of your grade. You can turn in homework in class, leave it in my mailbox in the Math Department office, 405 Snow, or bring it to my office, 541 Snow (if I am not around, you can leave it in the wall box or slip it under my door). Your homework should be as neat and legible as if it were typed, and all sheets should be stapled together.

    Turn in only the problems marked "Required". The problems marked "Practice" are mostly drill-type problems and/or similar to one of the required problems, and are not to be turned in.

    Each week, I'll choose four or five problems from the "Required" list to be graded for correctness and clarity. About three-quarters of your homework grade will be based on those problems the remaining one-quarter will be based on completeness -- that is, making at least a reasonable attempt to solve each of the required problems.

    Homework turned in late will not be accepted.
    Additional problems may be added up to one week before the due date.

    Tests

    There will be a 30-minute quiz in class on Tuesday, February 6, worth 10% of your grade. The quiz will cover material from Chapter 1 of the textbook. This is intended partly as a diagnostic, to give you some idea of how you're doing before the first drop date.

    There will be two in-class tests ieslēgts Thursday, March 1 un Thursday, April 12. Each test is worth 20% of your final grade. Some or all of the Tuesday before each test will be devoted to a review session.

    • Date/time: Thursday, March 1, in class
    • The mean score was 111/200 and the median was 112/200. Approximate letter grades are as follows:
      • A: 144--200
      • B: 112--143
      • C: 80--111
      • D: 60--79
      • F: <60
      • Date/time: Thursday, April 12, in class
      • The mean score was 147/200 and the median was 159/200. Approximate letter grades are as follows:
        • A: 180--200
        • B: 160--179
        • C: 140--159
        • D: 110--139
        • F: <110

        Gala eksāmens

        The final exam is scheduled for Friday, May 18, 10:30 AM--1:00 PM, Snow 301. The exam will cover the entire semester's worth of material, with emphasis on the material not covered on the two midterm tests (starting approximately with Section 5.4). The exam is worth 30% of your final grade.

        Here is a review handout, including lists of practice problems.

        • Tuesday, May 15, 1:00--2:30 PM, Snow 306. ("If you were writing a Math 223 final exam, what would you put on it?")
        • Wednesday, May 16, 12:30--2:00 PM, Snow 306. (This will be a Q&A session: you bring the Q's, I'll supply the A's.)

        The average score on the final exam was 209/300 (70%) and the median was 213/300 (71%). Contact the instructor for more information.

        Links


        Last updated Sun 5/27/07 7:00 AM


        Analysis in Vector Spaces

        The first time I encountered analysis was in graduate school taking a course in real analysis. Such a course would teach students, as one friend put it, “how to write a proof.” That was quite true. From this book I found that what I was really taught might better be called scalar analysis because we worked only with scalar functions. It didn’t occur to me that the same analysis techniques of scalars would apply to vector functions. There is much more to analysis than scalars, as this book can attest.

        For those of us who seek to expand our experiences, and to learn analysis on vector spaces, this book is a good start. The format is “classic analysis textbook”: definitions lemmas and proofs and theorems (sometimes built from lemmas) and proofs. If that appeals to you, you won’t be disappointed.

        The authors begin with a review of sets, numbers, and functions. The discussion is basic but it familiarizes the reader to the authors’ notation and is well worth the time. We then explore real numbers, convergent sequences, and linear transformations. It is with linear transformations that we begin to get to vector spaces and functions in vector spaces. I won’t go through the many sections because MAA provides the table of contents, please see the link above.

        The book covers all its topics thoroughly and with examples that beautifully illustrate the ideas. For example, the authors define and explain rigid motion, trajectories, and the Frenet formulas (unit tangent vector, unit principal normal vector, and binormal vector) so that we can explore curvature and torsion. As with much of the book, the discussion is theoretical within the text, but the problems provide the reader with concrete insights. The problems take the material to a higher level.

        If you haven’t studied these topics in vector spaces before, this book will serve you well.

        David S. Mazel received his Ph. D. from Georgia Tech in electrical engineering and is a practicing engineer in Washington, DC. His research interests are in the dynamics of billiards, signal processing, and cellular automata.


        Exercises 6.5

        Ex 6.5.1 Let $ds f(x) = x^2$. Find a value $cin (-1,2)$ so that $f'(c)$ equals the slope between the endpoints of $f(x)$ on $[-1,2]$. (answer)

        Ex 6.5.2 Verify that $f(x) = x/(x+2)$ satisfies the hypotheses of the Mean Value Theorem on the interval $[1,4]$ and then find all of the values, $c$, that satisfy the conclusion of the theorem. (answer)

        Ex 6.5.3 Verify that $f(x) = 3x/(x+7)$ satisfies the hypotheses of the Mean Value Theorem on the interval $[-2 , 6]$ and then find all of the values, $c$, that satisfy the conclusion of the theorem.

        Ex 6.5.4 Let $f(x) = an x $. Show that $f(pi ) = f(2pi)=0$ but there is no number $cin (pi,2pi)$ such that $f'(c) =0$. Why does this not contradict Rolle's theorem?

        Ex 6.5.5 Let $ds f(x) = (x-3)^<-2>$. Show that there is no value $cin (1,4)$ such that $f'(c) = (f(4)-f(1))/(4-1)$. Why is this not a contradiction of the Mean Value Theorem?

        Ex 6.5.6 Describe all functions with derivative $ds x^2+47x-5$. (answer)

        Ex 6.5.7 Describe all functions with derivative $sin(2x)$. (answer)

        Ex 6.5.8 Show that the equation $ds 6x^4 -7x+1 =0$ does not have more than two distinct real roots.

        Ex 6.5.9 Let $f$ be differentiable on $R$. Suppose that $f'(x) eq 0$ for every $x$. Prove that $f$ has at most one real root.

        Ex 6.5.10 Prove that for all real $x$ and $y$ $|cos x -cos y | leq |x-y|$. State and prove an analogous result involving sine.


        Syllabus

        Multivariable calculus is a fundamental pillar for many other things:

        It extends single variable calculus to higher dimensions. You will see that the structures are much richer than in single variable and that the fundamental theorem of calculus generalizes to higher dimensions.
        It provides vocabulary for understanding fundamental processes and phenomena. Examples are planetary motion, economics, waves, heat, finance, epidemiology, quantum mechanics or optimization.
        It teaches important background needed in social sciences, life sciences and economics. But it is rigorous enough that it is also suited for students in core sciences like physics, mathematics or computer science.
        It builds tools for describing geometrical objects like curves, surfaces, solids and intuition which is needed in other fields like linear algebra or data analysis. Geometry is currently extremely hot: tomography methods in medicine, computer games, google earth, social network analysis all use geometry.
        It relates to culture and history. The quest for answering questions like "where do we come from", "what will future bring us", "how can we optimize quantities" all use calculus. They were the motor to develop it. Euler, the inventor graph theory for example knew geometry and calculus well. The history of calculus contains fascinating stories, starting from Archimedes, 2300 years ago up to the modern times, where new branches of multivariable calculus are developed to understand the structure of nature.
        It develops problem solving methods. Examples are optimization problems with and without constraints (which is the bread and butter for exconomics), geometric problems, computations with scalar and vector fields, area and volume computations.
        It makes you acquainted with a powerful computer algebra system which allows you to see the mathematics from a different perspective. Such systems are more and more needed for visualization, experimentation and to build laboratories for your own research. No programming experience is required however. We will provide templates and get you started with a workshop.
        It prepares you for further study in other fields. Not only in mathematics and its applications, but also in seemingly unrelated fields like game theory, probability theory, discrete mathematics, sociology, or number theory, where similar structures and problems appear, even in a discrete setting. Without geometric intuition and paradigms learned in calculus, it is rather hard to work in those fields.
        It improves thinking skills, problem solving skills, visualization skills as well as computing skills. You will see the power of logical thinking and deduction and why mathematics is timeless.


        CALCULUS AND OPTIMIZATION

        1. Generalities on functions in R^n, Tangential and Normal vectors
        2. Eigenvalues and Eigenvectors
        3. Derivatives and Directional Derivatives
        4. Differentiation and the Chain Rule
        5. The Taylor expansion
        6. Implicit Function Theorem
        7. Fubini’s Theorem
        8. Exact differentials, Multiple Integration and the role of the Jacobian
        9. Green’s Theorem and Line Integrals
        10. Stokes’ Theorem

        ● Local/Global Minima/Maxima
        ● Karush-Kuhn-Tucker conditions
        ● Convexity (necessary/sufficient conditions)
        ● Mean Value Theorems
        ● Optimization methods for unconstrained/constrained problems
        ○ Gradient methods and Projected Gradient method
        ○ Linesearch procedures
        ○ Conjugate Gradient methods and Quasi Newton methods
        ○ Active set methods
        ○ Penalty/Barrier methods
        ○ Lagrangian and Augmented Lagrangian methods
        ○ Quadratic Programming
        ○ Applications with Rayleigh quotient

        Afternotes by the teacher. In addition, for some subjects in the program the students can consider the following textbooks.

        M.S.BAZARAA, H.D.SHERALI, C.M.SHETTY (1993) "Nonlinear Programming - Theory and Algorithms (2nd edition", John Wiley & Sons.

        D.P.BERTSEKAS (1982) "Constrained Optimization and Lagrange Multiplier Methods", Academic Press.

        D.P.BERTSEKAS (1995) "Nonlinear Programming", Athena Scientific, Belmont, Massachusetts, USA.

        R.WALTER (1976) "Principles of Mathematical Analysis", McGraw-Hill.

        C.H.Edwards, “Advanced Calculus of Several Variables”, Dover Publications, 2003

        B.T.M. Apostol “Calculus: Multivariable Calculus and Linear Algebra, with Applications to Differential Equations and Probability, vol. II, Second Edition”, John Wiley and Sons, Inc., 1973

        J.Nocedal, S.J.Wright, “Numerical Optimization, Second Edition”, Springer, 2006.

        S.Boyd, L.Vandenberghe “Convex Optimization”, Cambridge University Press, 2009.

        • Course with sustainable contents
        • University credits of sustainability: 3
        • Lecture notes, material for reference or for self-assessment available online or as e-book
        • E-learning, moodle platforms
        • Use of open-source software
        This website uses cookies

        We use technical cookies to analyse our traffic on the Ca' Foscari University websites. We also use third-party cookies to personalize different content and to provide some features of the University's institutional social media. We also share information on how you use our website with our partners responsible for web analytics, advertising and social media, who may combine it with other information that you have provided to them or that they have collected from your use of their services.

        Cookies Policy

        Cookie Policy - pursuant to art. 13 of Regulation (EU) 2016/679

        Below, we provide you with transparent information on the use of cookies on this website (hereinafter “Site”) in compliance with Directive 2009/136/EC and related provision of the Italian Data Protection Authority no. 229/2014.

        Data Controller and Data Protection Officer (DPO)

        The Data Controller is: Ca' Foscari University of Venice - Dorsoduro 3246, 30123 Venice (Italy) - www.unive.it.

        Definition of “cookies”

        Cookies are short text strings (letters and/or numbers) sent from the Site and stored by your browser on the specific device you use (computer, tablet, smartphone) and contain information to be reused during the same visit to the site or a future visit, even days later. Cookies are stored on the basis of user preferences.

        Furthermore, with the introduction of HTML5, various forms of local storage and similar technologies are available, such as web beacons, tracking pixels and transparent GIFs, which can be used to collect information on user behaviour and choices and on the use of the services.

        In this document, to simplify, we will use the term “cookie” to refer to cookies and all similar technologies.

        Types of cookies

        Based on the characteristics and use of cookies, we can divide them into two macro-categories:

        • Technical or session cookies. These are cookies essential for the correct functioning of the site and are used to manage the login and access to the reserved functions of the site. The duration of cookies is strictly limited to the work session (once the browser is closed, they are deleted), with the exception of cookies with a longer duration used exclusively to recognise, for a limited period, the visitor's computer/device - through an alpha-numeric code generated at the first login session. Disabling these cookies compromises the use of services accessed by logging in. The public area of the site can still be used as normal.
          This category also includes what are known as “cookie analytics”, only if used in aggregate form to collect and analyse traffic and monitor the performance and use of the site anonymously. These cookies, even without identifying the user, detect, for example, whether the same user returns to the site at different times. They also monitor the system and improve its performance and usability. These cookies can be disabled without any loss of functionality.
          These cookies can be used even without the consent of the person concerned.
        • Profilingand marketing cookies. These are permanent cookies used to identify (anonymously and non) user preferences and to improve their browsing experience by creating specific profiles and they are used to send advertising messages in line with the choices made by the user whilst browsing online.

        The sites of the Ca' Foscari University of Venice use this type of third-party cookie only anonymously.

        Pursuant to article 122, paragraph 1 of Legislative Decree 196/03 (“Privacy Code”), (in the formulation in force following the entry into force of Legislative Decree 69/2012), profiling and marketing cookies can be used only on condition that the user has expressed his consent after being informed using the simplified methods referred to in article 13 of the Privacy Code and of Regulation (EU) 2016/679.

        Third party cookies

        By visiting a website, you can receive cookies both from the visited site (“proprietary cookies”), and from sites managed by other organizations (“third parties”). Information collected by “third parties” is managed according to the relative privacy policies to which we recommend you refer. To ensure greater transparency and convenience, the web addresses of the various privacy policies and the procedures adopted for managing third-party cookies are shown in the table in the banner displayed when accessing the site.

        Social networks

        The site uses special cookies called Third Party “pixels” or “beacons”, for example from Facebook, Twitter, Instagram or Youtube or other providers of social web services. These cookies allow Third Parties to acquire data on visits by users who are browsing the Ca' Foscari sites and to interact with these users directly on their preferred social networks. The University will not share any user browser information or data acquired through its website with social networks and web services.

        Cookie duration

        Some cookies (session cookies) remain active only until the browser is closed or the logout command is executed. Other cookies “survive” closing the browser and are also available on subsequent visits by the user. These cookies are called persistent cookies and their duration is set by the server when they are created. In some cases, an expiry date is set in other cases the duration is unlimited. With the exception of cookies whose information is stored exclusively for technical purposes, Ca' Foscari University of Venice uses persistent cookies for technical and preference purposes.

        However, by browsing the pages of our websites, you can interact with sites managed by third parties, who can create or modify permanent and profiling cookies.

        Cookie management

        • Preventively, via the banner displayed on first visiting the University website
        • Subsequently, by changing their preferences via the specific area of the Cookie Policy site
        • In general, via the browser settings.

        Different browser settings can be applied for different websites and web applications. Furthermore, the best browsers allow you to apply different settings for “proprietary” and “third party” cookies. The options menu of the browser lets you manage the different types of cookies and eliminate existing cookies.

        Warning: the total or partial disabling of technical cookies can compromise the use of the functions in the areas of the site reserved for registered users. On the contrary, public content can be used even if the cookies are completely disabled. Disabling “third party” cookies does not affect browsing in any way.
        We also remind you that completely disabling cookies in the browser may mean the user is unable to use all the interactive features.

        • Internet Explorer: http://windows.microsoft.com/it-it/internet-explorer/delete-manage-cookies#ie=ie-11
        • Google Chrome: https://support.google.com/chrome/answer/95647?co=GENIE.Platform%3DDesktop&hl=en-GB
        • Apple Safari: https://support.apple.com/en-gb/guide/safari/sfri11471/mac
        • Mozilla Firefox: https://support.mozilla.org/en-US/kb/cookies-information-websites-store-on-your-computer#w_cookie-settings
        • Opera: http://help.opera.com/Windows/10.00/it/cookies.html

        Check your behavioural or profiling cookies

        It is possible to view the profiling / behavioral cookies present on your browser for tracking activities by visiting the address http://www.youronlinechoices.com.

        Disclosure and dissemination of data

        The data collected using cookies can only be processed by specifically authorised personnel. Furthermore, such data may be disclosed to third parties only if specifically appointed as Data Processors, for the execution of certain services connected to existing relationships (e.g. consultants, service companies, web agencies).

        The data collected using own cookies shall not be disseminated and will not be transferred to third parties. The data collected using third-party cookies may be transferred outside the European Economic Area (EEA), for the purpose of technical or statistical management of the data collected this will only be performed in full compliance with Regulation (EU) 2016/679 (“GDPR”), to third countries for which the European Commission has recognised specific guarantees of adequacy or adequate guarantees of protection of personal data have been provided by means of agreements or contractual clauses (including the Binding Corporate Rules - BCRs- and standard contractual clauses).

        Further information about social networking platforms

        Ca’ Foscari University of Venice, as Data Controller pursuant to art. 13 of Regulation (EU) 2016/679 in the privacy policy published here, must inform users who may access institutional and/or official pages of Ca’ Foscari on the social networking platforms used by the University (e.g. Facebook, Instagram) or on other channels. The University and each social network provider (“SN Provider”) are joint Data Controllers of statistical data processed by the SN Provider, in accordance with the provisions set forth in Case C-210/16: Judgment of the Court (Grand Chamber) of 5 June 2018 of the European Union.

        The tools made available by social networking platforms for the visualisation of statistics (e.g. Facebook Insights) provide anonymised and aggregated data. The Data Controller nominated in the above-mentioned policy, despite being a joint Data Controller with the SN Provider, cannot access user details, as outlined in the information published by the SN Provider regarding the use of statistical data (e.g. Facebook’s Page Insights Controller Addendum).

        Rights of the data subject

        You can exercise your rights towards the Data Controller at any time, pursuant to articles 15-22 of the Regulation (EU) 2016/679, and in particular the rights of access, rectification, completion and, in the cases allowed, the right to data portability, in addition to the right to erasure, restriction of processing or to object to the processing of data for legitimate reasons and to oppose the automated decision-making process, including profiling, by contacting the Data Controller at the above address or by sending an email to the appointed DPO at [email protected]

        In order to guarantee the protection of the personal data of the data subject, we may need to request further specific information to confirm the identity of the data subject and thus guarantee their right of access to the information (or to exercise any of the other rights) only to persons entitled to receive such communications. This is another security measure used to protect your personal data.

        The request for access to your personal data (or to exercise one of the aforementioned rights) is free of charge. However, if the request is clearly unfounded or excessive, we may charge a reasonable expenses fee, taking into account the administrative costs incurred to provide the information, or refuse to fulfil the request in such circumstances.

        Updating the Policy

        Ca' Foscari University of Venice shall keep this information constantly updated and shall ensure that the updated policy is published on the websites concerned.