Raksti

2.1. Vienādojumu sistēmas - matemātika


Pētot lineāros vienādojumus, mēs atradām divu līniju krustojumu. Lai arī to mēs to tā laikā nesaucām, mēs risinājām vienādojumu sistēmu. Lai sāktu, mēs izskatīsim iepriekš atrisinātās problēmas veida piemēru.

Piemērs ( PageIndex {1} )

Mazs uzņēmums ražo ziepju un losjonu dāvanu grozus. Darbaspēks, komunālie maksājumi un citi fiksētie izdevumi mēnesī maksā 6000 USD. Katra groza ražošana maksā 8 ASV dolārus, un to pārdod par 20 ASV dolāriem. Cik grozu uzņēmumam katru mēnesi jāpārdod, lai sasniegtu peļņu?

Risinājums

Uzņēmējdarbības izteiksmē "rentabilitāte" nozīmē ieņēmumu (ienākušās naudas) samērīgu samaksu. Lai gan šai problēmai var piekļūt vairākos veidos, mēs šeit pievērsīsimies, vispirms izveidojot divas lineārās funkcijas, vienu - izmaksām un otru - ieņēmumiem.

Definēsim (n ) kā dāvanu grozu skaitu, ko uzņēmums pārdod mēnesī. Katru mēnesi ir fiksētas izmaksas 6000 ASV dolāru apmērā, un izmaksas par katru grozu palielinās par 8 ASV dolāriem, tāpēc izmaksu lineāro funkciju (C ) varam uzrakstīt šādi:

[C (n) = 6000 + 8n skaitlis ]

Katra pārdošana nes 20 USD, tāpēc ieņēmumi (R ) pēc grozu pārdošanas būs:

[R (n) = 20n skaitlis ]

Lai atrastu rentabilitātes punktu, mēs meklējam grozu skaitu, kur ieņēmumi būs vienādi ar izmaksām. Citiem vārdiem sakot, ja mēs uzzīmētu divas lineārās funkcijas, mēs meklējam punktu, kas atrodas uz abām līnijām; risinājums ir punkts, kas apmierina abus vienādojumus.

Šajā gadījumā mēs, iespējams, varētu atrisināt problēmu no paša grafika, bet mēs to varam atrisināt arī algebriski, vienādojot vienādojumus:

[ begin {masīvs} {rclll} R (n) & = & C (n) && 20n & = & 6000 + 8n && text {Atņemt} 8n text {no abām pusēm} 12n & = & 6000 && text {Divide} n & = & frac {6000} {12} = 500 && text {Novērtējiet jebkuru funkciju šajā ievadā} R (500) & = & C (500) = 10 000 && end {array} nonumber ]

Lūzuma punkts ir pie 500 groziem. Uzņēmumam mēnesī jāpārdod 500 grozi, un tad viņu ienākumi 10 000 ASV dolāru apmērā segs viņu kopējās izmaksas 10 000 ASV dolāru apmērā.

Iepriekš minētais piemērs ilustrē viena veida vienādojumu sistēmu, kur abi vienādojumi ir norādīti funkcionālā formā. Kad vienādojumi tiek uzrakstīti šādā veidā, sistēmu ir viegli atrisināt, izmantojot aizstāšanu, nosakot abus izvadus vienādus un risinot ievades. Tomēr daudzas vienādojumu sistēmas problēmas nav rakstītas šādā veidā.

Piemērs ( PageIndex {2} )

Uzņēmums ražo sava produkta pamata un augstākās klases versiju. Pamata versijai nepieciešamas 20 minūtes montāžas un 15 minūtes krāsošanas. Premium versijai ir nepieciešamas 30 minūtes montāžas un 30 minūtes krāsošanas. Ja uzņēmumā katru nedēļu ir personāls 3900 montāžas minūtēm un 3300 krāsošanas minūtēm. Ja uzņēmums vēlas pilnībā izmantot visu personāla darba laiku, cik no katra priekšmeta viņiem vajadzētu ražot?

Risinājums

Vispirms ņemiet vērā, ka šai problēmai ir divi mainīgie vai divi nezināmie - izgatavojamo pamatproduktu un izgatavojamo augstākās kvalitātes produktu skaits. Ir arī divi ierobežojumi - pieejamās montāžas stundas un krāsošanas stundas. Tas dos mums divus vienādojumus divos nezināmos, ko mēs saucam par 2 x 2 vienādojumu sistēmu.

Mēs sāksim, definējot mūsu mainīgos:

(b ): saražoto pamatproduktu skaits

(p ): saražoto augstākās kvalitātes produktu skaits

Tagad mēs varam izveidot savus vienādojumus, pamatojoties uz ierobežojumiem. Katram pamatproduktam ir nepieciešamas 20 minūtes montāžas, tāpēc (b ) priekšmetu ražošanai būs nepieciešamas 20 (b ) minūtes. Katram augstākās klases produktam ir nepieciešamas 30 minūtes montāžas, tāpēc (p ) priekšmetu ražošanai būs nepieciešamas 30 (p ) minūtes. Kopā mums ir pieejamas 3900 minūtes, dodot mums vienādojumu:

[20b + 30p = 3900 nonumber ]

Izmantojot to pašu pieeju krāsošanai, iegūst vienādojumu

[15b + 30p = 3300 nonumber ]

Tie kopā veido mūsu vienādojumu sistēmu. Dažreiz tos raksta kā pāri ar cirtainu iekavu kreisajā pusē, lai norādītu, ka tie jāuzskata par savienotiem vienādojumiem.

[ pa kreisi { sākums {apkopots} 20b + 30p = 3900 15b + 30p = 3300 beigas {savākts} pa labi. nonumber ]

Tāpat kā iepriekš, mūsu mērķis ir atrast vērtību pāri (b, p ), kas apmierina abus vienādojumus. Mēs atgriezīsimies pie šīs problēmas un drīz to atrisināsim.

Lai gan tas var nebūt skaidrs, vienādojums (20b + 30p = 3900 ), kuru mēs izveidojām iepriekš, ir lineārs vienādojums, tāpat kā lineārie vienādojumi no pirmā piemēra, tas ir vienkārši rakstīts citādi. Ja vēlaties, mēs varētu atrisināt šo vienādojumu (p ), lai to uzrakstītu slīpuma pārtveršanas formā:

[30p = 3900 - 20b, quad text {so} quad p = 130 - frac {2} {3} b nonumber ]

Parasti mēs to nedarām, jo ​​tas bieži padara sistēmu grūtāk atrisināmu, nekā tad, kad tiek izmantotas citas metodes. Lai ienirt šajā tālākajā situācijā, vispirms noskaidrosim, ko nozīmē atrast risinājumu lineāro vienādojumu sistēmai.

Definīcija: lineāro vienādojumu sistēma

Lineāro vienādojumu sistēma sastāv no diviem vai vairākiem lineāriem vienādojumiem, kas sastāv no diviem vai vairākiem mainīgajiem lielumiem tā, ka visi vienādojumi sistēmā tiek ņemti vērā vienlaikus.

Sistēmas risinājums ir skaitlisko vērtību kopums katram sistēmas mainīgajam, kas vienlaikus apmierinās visus sistēmas vienādojumus.

Ne katrai sistēmai būs tieši viens risinājums, bet mēs to sīkāk aplūkosim vēlāk. Lai pārbaudītu, vai sakārtotais pāris ir vienādojumu sistēmas risinājums, jūs:

  1. Katrā sistēmas vienādojumā aizstājiet sakārtoto pāri.
  2. Nosakiet, vai patiesie apgalvojumi rodas aizstāšanas rezultātā abos vienādojumos; ja tā, tad pasūtītais pāris ir risinājums.

Piemērs ( PageIndex {3} )

Nosakiet, vai sakārtotais pāris ((5,1) ) ir atrisinājums dotajai vienādojumu sistēmai.

Risinājums

[ pa kreisi { sākums {apkopots} x + 3y = 8 aizpildījums 2x - 9 = y aizpildījums beigas {savākts} pa labi. nonumber ]

Abos vienādojumos aizstājiet sakārtoto pāri ((5,1) ).

[ begin {izlīdzināt *} (5) + 3 (1) & = 8 & 8 & = 8 & { text {True}} 2 (5) - 9 & = (1) & 1 & = 1 un { text {True}} end {align *} nonumber ]

Sakārtotais pāris ((5,1) ) apmierina abus vienādojumus, tāpēc tas ir sistēmas risinājums.

Ir trīs izplatītas metodes, lai atrisinātu lineāro vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem. Pirmais ir risinājums, izmantojot grafiku. Pirmajā piemērā mēs attēlojām abus vienādojumus, un sistēmas risinājums bija līniju krustojums.

Piemērs ( PageIndex {4} )

Atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu, izmantojot grafiku.

[ sākums {apkopots} 2x + y = - 8 x - y = - 1 beigas {apkopots} beznumurs]

Risinājums

Atrisiniet pirmo vienādojumu (y. )

[ sāciet {izlīdzināt *} 2x + y & = - 8 y & = - 2x - 8 beigas {izlīdzināt *} nonumber ]

Atrisiniet otro vienādojumu (y. )

[ begin {izlīdzināt *} x - y & = - 1 y & = x + 1 beigas {izlīdzināt *} nonumber ]

Uzzīmējiet abus vienādojumus vienā asu kopā. Šķiet, ka līnijas krustojas punktā ((- - 3, - 2) ). Mēs varam pārbaudīt, lai pārliecinātos, ka tas ir sistēmas risinājums, aizstājot sakārtoto pāri abos vienādojumos.

[ sākas {izlīdzināt *} 2 (- 3) + (- 2) & = - 8 & - 8 & = - 8 & teksts {True} (- 3) - (- 2) & = - 1 & - 1 & = - 1 & text {True} end {align *} nonumber ]

Sistēmas risinājums ir sakārtotais pāris ((- - 3, - 2) ).

Vingrinājums ( PageIndex {1} )

Atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu, izmantojot grafiku.

[ sākt {izlīdzināt *} 2x - 5y & = - 25 - 4x + 5y & = 35 beigas {izlīdzināt *} nonumber ]

Atbilde

Sistēmas risinājums ir sakārtotais pāris ((- - 5,3) ).

Lai gan šī metode var darboties pietiekami labi, ja risinājuma vērtības ir abi veseli skaitļi, tā nav ļoti noderīga, ja krustojums nav skaidrā punktā. Turklāt tas prasa atrisināt abus (y ) vienādojumus, kas pievieno papildu darbības. Šo ierobežojumu dēļ risināšana ar grafiku tiek izmantota reti, taču tā var būt noderīga, lai pārbaudītu, vai jūsu algebriskās atbildes ir pamatotas.

Sistēmas risināšana aizvietojot

Vēl viena vienādojumu sistēmas risināšanas metode ir aizstāšanas metode, kurā mēs atrisinām vienu no vienādojumiem vienam mainīgajam un pēc tam rezultātu aizstājam otrajā vienādojumā, lai atrisinātu otro mainīgo.

Sistēmas risināšana, izmantojot aizstāšanu

  1. Atrisiniet vienu no diviem vienādojumiem vienam no mainīgajiem attiecībā uz otru.
  2. Aizstājiet šī mainīgā izteiksmi otrajā vienādojumā, pēc tam atrisiniet atlikušo mainīgo.
  3. Lai atrastu pirmā mainīgā lielumu, aizstājiet šo risinājumu kādā no sākotnējiem vienādojumiem. Ja iespējams, rakstiet risinājumu kā pasūtītu pāri.
  4. Pārbaudiet risinājumu abos vienādojumos.

Problēma, ko mēs izdarījām 1. piemērā, tehniski tika veikta ar aizstāšanu, taču tā tika atvieglota, jo abi vienādojumi jau bija atrisināti vienam mainīgajam (y ). Tālāk parādīts tipiskāka gadījuma piemērs.

Piemērs ( PageIndex {5} )

Atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu ar aizstāšanu.

[ sākt {izlīdzināt *} - x + y & = - 5 2x - 5y & = 1 beigas {izlīdzināt *} nonumber ]

Risinājums

Pirmkārt, mēs atrisināsim pirmo vienādojumu (y ).

[ begin {izlīdzināt *} - x + y & = - 5 y & = x - 5 beigas {izlīdzināt *} nonumber ]

Tagad otrajā vienādojumā mēs varam aizstāt izteiksmi (x - 5 ) (y ).

[ sākt {izlīdzināt *} 2x - y & = - 5y 2x-5 (x-5) & = 1 2x-5x + 25 & = 1 -3x & = -24 x & = 8 end {izlīdzināt *} nonumber ]

Tagad mēs aizstājam (x = 8 ) pirmajā vienādojumā un atrisinām (y. )

[ begin {izlīdzināt *} - (8) + y & = - 5 y & = 3 end {izlīdzināt *} nonumber ]

Mūsu risinājums ir ((8,3) ).

Mēs varam pārbaudīt risinājumu, abos vienādojumos aizstājot ((8,3) ).

[ sākt {izlīdzināt *} - x + y & = - 5 & - (8) + (3) & = -5 & teksts {True} 2x-5 & = 1 & 2 ( 8) -5 (3) & = 1 & text {True} end {align *} nonumber ]

Vingrinājums ( PageIndex {2} )

Atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu ar aizstāšanu.

[ begin {izlīdzināt *} x & = y + 3 4 & = 3x - 2y end {izlīdzināt *} nonumber ]

Atbilde

( (-2, -5) )

Aizstāšanu vienmēr var izmantot, taču tā ir īpaši laba izvēle, ja vienam no mainīgajiem vienā no vienādojumiem ir koeficients 1 vai -1, tādējādi to ir viegli atrisināt šim mainīgajam, neieviešot frakcijas. Tas ir diezgan izplatīts daudzās lietojumprogrammās.

Piemērs ( PageIndex {6} )

Jūlija ir tikko aizgājusi pensijā, un viņas pensijas kontā ir 600 000 USD, kas viņai jāpārdala, lai gūtu ienākumus. Viņa izskata divus ieguldījumus: ļoti drošu garantētu mūža renti, kas nodrošinās 3% procentus, un nedaudz riskantāku obligāciju fondu, kura procentu likme ir vidēji 7%. Viņa vēlētos pēc iespējas mazāk ieguldīt riskantākajā obligāciju fondā, taču, lai dzīvotu, ir jāražo 40 000 USD gadā. Cik viņai jāiegulda katrā kontā?

Risinājums

Ievērojiet, ka šajā problēmā ir divi nezināmi: summa, kas viņai jāiegulda mūža rentē, un summa, kas viņai jāiegulda obligāciju fondā. Mēs varam sākt, definējot mainīgos nezināmajiem:

(a ): summa (dolāros), ko viņa iegulda mūža rentē

(b ): summa (dolāros), ko viņa iegulda obligāciju fondā.

Mūsu pirmais vienādojums rodas, atzīmējot, ka viņa kopā ieguldīs 600 000 USD:

[a + b = 600 000 skaitlis ]

Mūsu otrais vienādojums radīsies no intereses. Viņa nopelna 3% no mūža rentes, tāpēc gadā nopelnītie procenti būtu (0,03a ). Tāpat no obligāciju fonda nopelnītie procenti gadā būtu (0,07b ). Kopā to kopsumma ir 40 000 USD, dodot vienādojumu:

[0,03a + 0,07b = 40 000 skaitlis ]

Šie abi vienādojumi kopā veido mūsu sistēmu. Pirmais vienādojums ir ideāls kandidāts pirmajam aizstāšanas solim - mēs varam viegli atrisināt vienādojumu (a ) vai (b ):

[a = 600 000 - b skaitlis ]

Tad mēs varam aizstāt šo izteicienu a otrajā vienādojumā un atrisināt.

[ sākt {izlīdzināt *} 0,03 (600 000 - b) + 0,07 b & = 30 000 18 000 - 0,03 b + 0,07 b un = 40 000 0,04 b & = 22 000 b & = 550 000 beigas {izlīdzināt * } nonumber ]

Tagad aizstājiet to atpakaļ vienādojumā (a = 600 000 - b ), lai atrastu (a )

[ sāciet {izlīdzināt *} a & = 600 000 - 550 000 a & = 50 000 beigas {izlīdzināt *} nonumber ]

Lai sasniegtu savu mērķi, Jūlijai obligāciju fondā būs jāiegulda 550 000 USD un mūža rentē 50 000 USD.

Sistēmas risināšana ar pievienošanas metodi

Trešā lineāro vienādojumu sistēmu risināšanas metode ir pievienošanas metode, ko sauc arī par eliminācijas metodi. Šajā metodē mēs pievienojam divus terminus ar vienādu mainīgo, bet pretējos koeficientus, lai summa būtu nulle. Protams, ne visas sistēmas ir izveidotas tā, ka viena mainīgā diviem terminiem ir pretēji koeficienti. Bieži vien mums jāpielāgo viens vai abi vienādojumi, reizinot, lai viens mainīgais tiktu izslēgts, pievienojot.

Sistēmas risināšana ar pievienošanas metodi

  1. Rakstiet abus vienādojumus ar (x ) un (y ) - mainīgajiem vienādības zīmes kreisajā pusē un konstantēm labajā pusē.
  2. Uzrakstiet vienu vienādojumu virs otra, sakārtojot atbilstošos mainīgos. Ja vienam no augšējā vienādojuma mainīgajiem ir pretējs tā paša mainīgā koeficients apakšējā vienādojumā, pievienojiet vienādojumus kopā, izslēdzot vienu mainīgo. Ja nē, izmantojiet reizināšanu ar nulles skaitli tā, lai vienam no augšējā vienādojuma mainīgajiem būtu pretējs tā paša mainīgā koeficients apakšējā vienādojumā, pēc tam pievienojiet vienādojumus, lai izslēgtu mainīgo.
  3. Atrisiniet iegūto vienādojumu atlikušajam mainīgajam.
  4. Aizstājiet šo vērtību vienā no sākotnējiem vienādojumiem un atrisiniet otro mainīgo.
  5. Pārbaudiet risinājumu, vērtības aizstājot ar citu vienādojumu.

Bieži vien, izmantojot pievienošanas metodi, būs nepieciešams reizināt vienu vai abus vienādojumus ar konstanti, lai termini to novērstu. Izmantojot šīs pieejas, mēs varam pārskatīt vienādojumu no 2. piemēra.

Piemērs ( PageIndex {7} )

2. piemērā mēs izveidojām sistēmu zemāk. Atrisināt to.

[ pa kreisi {{ begin {masīvs} {c} {20b + 30p = 3900} {15b + 30p = 3300} end {masīvs}} pa labi. nonumber ]

Risinājums

Pievienojot vienādojumus, mainīgais netiks izslēgts, taču mēs pamanām, ka koeficienti uz (p ) ir vienādi, tāpēc reizinot vienu no vienādojumiem ar (- 1 ), mainīsies koeficientu zīme. Reizinot otro vienādojumu ar (- 1 ), iegūst sistēmu

[ begin {masīvs} {c} {20b + 30p = 3900} {- 15b - 30p = - 3300} end {masīvs} nonumber ]

Pievienojot šos vienādojumus, iegūst

[ sākt {savākts} 5b = 600 hfill b = 120 hfill end {apkopots} nonumber ]

Aizstājot (b = 30 ) pirmajā vienādojumā,

[ begin {izlīdzināt *} 20 (120) + 30p & = 3900 2400 + 30p & = 3900 30p & = 1500 p & = 50 end {izlīdzināt *} nonumber ]

Risinājums ir (b = 120, p = 50 ), tas nozīmē, ka uzņēmumam vajadzētu ražot 120 pamatproduktus un 50 augstākās kvalitātes produktus, lai pilnībā izmantotu darbinieku stundas.

Pārbaudot mūsu atbildi otrajā vienādojumā:

[ begin {izlīdzināt *} 15 (120) + 30 (50) & = 3300 1800 + 1500 & = 3300 3300 & = 3300 end {izlīdzināt *} nonumber ]

Vingrinājums ( PageIndex {3} )

Atrisiniet vienādojumu sistēmu, pievienojot.

[ sāciet {izlīdzināt *} 2x - 7y & = 2 3x + y & = - 20 beigas {align *} nonumber ]

Atbilde

( (-6, -2) )

Piemērs ( PageIndex {8} )

Atrisiniet doto vienādojumu sistēmu divos mainīgajos, pievienojot.

[ sākt {izlīdzināt *} 2x + 3y & = -16 5x - 10y & = 30 beigas {izlīdzināt *} ]

Risinājums

Vienam vienādojumam ir (2x ), bet otram ir (5x. ) Vismazāk kopējais vairākkārtējs ir (10x ), tāpēc mums būs jāreizina abi vienādojumi ar konstanti, lai izslēgtu vienu mainīgo. Novērsim (x ), reizinot pirmo vienādojumu ar (- 5 ) un otro vienādojumu ar (2 ).

[ sākas {izlīdzināt *} -5 (2x + 3g) & = - 5 (- 16) - 10x - 15y & = 80 2 (5x - 10y) & = 2 (30) 10x - 20.gads un = 60 beigas {izlīdzināt *} nonumber ]

Tad mēs saskaitām abus vienādojumus kopā.

[ sākt {izlīdzināt *} - 10x - 15y & = 80 10x - 20y & = 60 hline - 35y & = 140 y & = - 4 end {izlīdzināt *} nonumber ]

Aizstājiet sākotnējā pirmajā vienādojumā (y = - 4 ).

[ sāk {izlīdzināt *} 2x + 3 (- 4) & = - 16 2x - 12 & = - 16 2x & = - 4 x & = - 2 beigas {izlīdzināt *} nonumber ]

Risinājums ir ((- 2, - 4) ). Pārbaudiet to citā vienādojumā.

[ sāciet {izlīdzināt *} 5x - 10y & = 30 5 (- 2) - 10 (- 4) & = 30 -10 + 40 & = 30 30 & = 30 end { izlīdzināt *} nonumber ]

Vingrinājums ( PageIndex {4} )

Atrisiniet vienādojumu sistēmu, pievienojot.

[ sāk {izlīdzināt *} 2x + 3y & = 8 3x + 5y & = 10 beigas {izlīdzināt *} ]

Atbilde

((10, -4))

Atkarīgās un nekonsekventās sistēmas

Līdz šim mēs esam apsvēruši tikai gadījumus, kad sistēmai ir tieši viens risinājums. Mēs varam kategorizēt lineāro vienādojumu sistēmas pēc risinājumu skaita. A konsekventa sistēma vienādojumam ir vismaz viens risinājums. Konsekventa sistēma tiek uzskatīta par neatkarīga sistēma ja tam ir viens risinājums, piemēram, tikko izpētītie piemēri. Abām līnijām ir atšķirīgas nogāzes un tās krustojas vienā plaknes punktā.

Konsekventa sistēma tiek uzskatīta par a atkarīgs sistēmā ja vienādojumiem ir vienāds slīpums un vienāds y-pārtver. Citiem vārdiem sakot, līnijas sakrīt, tāpēc vienādojumi apzīmē to pašu līniju. Katrs līnijas punkts apzīmē koordinātu pāri, kas apmierina sistēmu. Tādējādi risinājumu ir bezgalīgi daudz.

Cits lineāro vienādojumu sistēmas veids ir nekonsekventa sistēma, kurā vienādojumi apzīmē divas paralēlas līnijas. Līnijām ir vienāds slīpums un atšķirība y-pārtver. Abām līnijām nav kopīgu punktu; līdz ar to sistēmai nav risinājuma.

Lineāro sistēmu veidi

  • An neatkarīga sistēma ir tieši viens risinājumu pāris ((x, y) ). Punkts, kur divas līnijas krustojas, ir vienīgais risinājums.
  • An nekonsekventa sistēma nav risinājuma. Ievērojiet, ka abas līnijas ir paralēlas un nekad nekrustosies.
  • A atkarīgā sistēma ir bezgalīgi daudz risinājumu. Rindas sakrīt. Tie ir viena un tā pati līnija, tāpēc katrs līnijas koordinātu pāris ir abu vienādojumu risinājums.

    Neatkarīga sistēma

    Nekonsekventa sistēma

    Atkarīgā sistēma

Mēs varam izmantot aizstāšanu vai papildināšanu, lai identificētu nekonsekventas sistēmas. Atgādināsim, ka nekonsekventa sistēma sastāv no paralēlām līnijām, kurām ir vienāds slīpums, bet atšķirīgas y-jēdzieni. Viņi nekad nekrustosies. Meklējot nekonsekventas sistēmas risinājumu, mēs nāksim ar nepatiesu paziņojumu, piemēram, (12 = 0 ).

Piemērs ( PageIndex {9} )

Atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu.

[ sākt {izlīdzināt *} x & = 9 - 2g x + 2y & = 13 beigas {izlīdzināt *} ]

Risinājums

Mēs varam pieiet šai problēmai divos veidos. Tā kā viens vienādojums jau ir atrisināts (x, ), visredzamākais solis ir aizstāšanas izmantošana.

[ sāciet {izlīdzināt *} x + 2y & = 13 (9 - 2y) + 2y & = 13 9 + 0y & = 13 9 & = 13 end {izlīdzināt *} nonumber ]

Skaidrs, ka šis apgalvojums ir pretruna (nepareizs apgalvojums), jo (9 ne 13 ). Tāpēc sistēmai nav risinājuma, un sistēma ir pretrunīga.

Atgādināsim, ka divu mainīgo atkarīgā vienādojumu sistēma ir sistēma, kurā abi vienādojumi apzīmē to pašu līniju. Atkarīgajām sistēmām ir bezgalīgi daudz risinājumu, jo visi vienas līnijas punkti atrodas arī otrā līnijā. Pēc aizstāšanas vai pievienošanas iegūtais vienādojums būs identitāte, piemēram, (0 = 0. )

Piemērs ( PageIndex {10} )

Izmantojot pievienošanas metodi, atrodiet vienādojumu sistēmas risinājumu.

[ sāciet {izlīdzināt *} x + 3y & = 2 3x + 9y & = 6 beigas {izlīdzināt *} nonumber ]

Risinājums

Ar pievienošanas metodi mēs vēlamies izslēgt vienu no mainīgajiem, pievienojot vienādojumus. Šajā gadījumā koncentrēsimies uz (x. ) Novēršanu. Ja reizināsim pirmā vienādojuma abas puses ar (- 3 ), tad mēs varēsim novērst (x )-mainīgais.

[x + 3g = 2 ]

Reiziniet abas vienādojuma puses ar - 3,

[ sākt {izlīdzināt *} (- 3) (x + 3y) & = (- 3) (2) - 3x - 9y & = - 6 beigas {izlīdzināt *} nonumber ]

[ sākt {izlīdzināt *} - 3x - 9y & = - 6 3x + 9y & = 6 hline 0 & = 0 hfill end {izlīdzināt *} nonumber ]

Mēs varam redzēt, ka būs bezgalīgi daudz risinājumu, kas apmierina abus vienādojumus. Dažos gadījumos pietiek ar to, ka saprotam bezgalīgi daudz risinājumu, un mēs varam pie tā apstāties. Citos gadījumos mēs vēlamies aprakstīt risinājumu kopumu.

Viens veids ir vienkārši pateikt, ka tas ir punktu kopums, kas apmierina (x + 3y = 2 ), taču bieži vien mēs atrisinātu šo vienādojumu (y ) un aprakstītu risinājumu kā punktu kopu ( left (x , - frac {1} {3} x + frac {2} {3} pa labi) ).

Vingrinājums ( PageIndex {5} )

Atrisiniet sistēmas:

a. [ sākt {izlīdzināt *} 2g - 2x & = 2 2g - 2x & = 6 beigas {izlīdzināt *} ]

b. [ sāk {izlīdzināt *} y - 2x & = 5 - 3y + 6x & = - 15 beigas {izlīdzināt *} ]

Atbilde

a. Nav risinājuma. Sistēma ir nekonsekventa.

b. Sistēma ir atkarīga, tāpēc ir bezgalīgi formas risinājumi ((x, 2x + 5). )

Sistēmas ar 3 mainīgajiem 3 nezināmos

Divu mainīgo sistēmās risinājums bija sakārtots pāris ((x, y) ), kas apmierināja abus vienādojumus. The risinājumu komplekts sistēmai trīs pa trim ir sakārtots trīskāršais ((x, y, z) ). Grafiski sakārtotais trīskāršais definē punktu, kas ir trīs plakņu krustojums telpā. Jūs varat vizualizēt šādu krustojumu, iztēlojoties jebkuru stūri taisnstūrveida telpā. Stūri nosaka trīs plaknes: divas blakus esošās sienas un grīda (vai griesti). Jebkurš punkts, kur divas sienas un grīda saskaras, apzīmē trīs plakņu krustojumu.

Piemērs ( PageIndex {11} )

Nosakiet, vai sakārtotais trīskāršais ((3, - 2,1) ) ir sistēmas risinājums.

[ sākt {izlīdzināt *} x + y + z & = 2 6x - 4y + 5z & = 31 5x + 2y + 2z & = 13 beigas {izlīdzināt *} ]

Risinājums

Mēs pārbaudīsim katru vienādojumu, aizstājot sakārtotā trīskāršā vērtību (x, ) (y, ) un (z. )

[ sāciet {izlīdzināt *} x + y + z & = 2 (3) + (-2) + (1) & = 2 teksts {True} & end {izlīdzināt *} ]

[ sāciet {izlīdzināt *} 6x - 4y + 5z & = 31 6 (3) - 4 (-2) + 5 (1) & = 31 18 + 8 + 5 & = 31 teksts {True} un end {izlīdzināt *} ]

[ sāciet {izlīdzināt *} 5x + 2y + 2z & = 13 5 (3) + 2 (-2) + 2 (1) & = 13 15 - 4 + 2 & = 13 text {True} un end {izlīdzināt *} ]

Sakārtotais trīskāršais ((3, - 2,1) ) patiešām ir sistēmas risinājums.

Mēs varam izmantot pēdējā sadaļā apgūtos paņēmienus, lai atrisinātu (3 reizes 3 ) vienādojumu sistēmas, samazinot problēmu līdz tādai, kuru mēs jau zinām, kā atrisināt.

Ņemot vērā lineāru trīs vienādojumu sistēmu, atrisiniet trīs nezināmus

1. Izvēlieties jebkuru vienādojumu pāri un atrisiniet vienu mainīgo.

2. Izvēlieties citu vienādojumu pāri un atrisiniet to pašu mainīgo.

3. Jūs esat izveidojis divu vienādojumu sistēmu divos nezināmos. Atrisiniet iegūto sistēmu pa diviem.

4. Aizstājiet zināmos mainīgos lielumus vienā no sākotnējiem vienādojumiem un atrisiniet trūkstošo mainīgo.

Piemērs ( PageIndex {12} )

Atrodiet šīs sistēmas risinājumu. Vienādojumi ir numurēti, lai mēs varētu uz tiem vieglāk atsaukties.

[ sāk {izlīdzināt *} x - 2y + 3z & = 9 & (1) - x + 3y - z & = - 6 & (2) 2x - 5y + 5z & = 17 & (3) end {izlīdzināt *} nonumber ]

Risinājums

Vienmēr būs vairākas izvēles iespējas, ar ko sākt, taču visredzamākais pirmais solis šeit ir novērst (x ), pievienojot vienādojumus (1) un (2).

[ sāk {izlīdzināt *} x - 2y + 3z & = 9 & (1) - x + 3y - z & = - 6 & (2) hline y + 2z & = 3 & (4) end {izlīdzināt *} nonumber ]

Otrais solis reizina vienādojumu (1) ar (- 2 ) un rezultātu pievieno vienādojumam (3). Šīs divas darbības novērsīs mainīgo (x. )

[ sākas {izlīdzināt *} - 2x + 4y - 6z & = - 18 & (1) text {reizināts ar -2} 2x - 5y + 5z & = 17 & (3) hline - y - z & = - 1 & (5) hfill end {align *} nonumber ]

(4) un (5) vienādojumā mēs esam izveidojuši jaunu sistēmu pa diviem. Mēs varam atrisināt (z ), pievienojot abus vienādojumus.

[ sāciet {izlīdzināt *} y + 2z & = 3 & (4) - y - z & = - 1 & (5) hline z & = 2 & (6) end {izlīdzināt *} nonumber ]

Izvēloties vienu vienādojumu no katras jaunās sistēmas, mēs iegūstam augšējo trīsstūra formu:

[ sāk {izlīdzināt *} x - 2y + 3z & = 9 & (1) y + 2z & = 3 & (4) z & = 2 & (6) beigas {izlīdzināt *} nonumber ]

Pēc tam mēs aizstājam (z = 2 ) vienādojumā (4) un atrisinājam (y ).

[ sākas {izlīdzināt *} y + 2 (2) & = 3 y + 4 & = 3 y & = -1 beigas {izlīdzināt *} nonumber ]

Visbeidzot, mēs varam aizstāt (z = 2 ) un (y = - 1 ) vienādojumā (1). Tādējādi tiks iegūts risinājums (x ).

[ sākt {izlīdzināt *} x - 2 (- 1) + 3 (2) & = 9 x + 2 + 6 & = 9 x & = 1 beigas {izlīdzināt *} nonumber ]

Risinājums ir sakārtots trīskāršais ((1, - 1,2) ).

Vingrinājums ( PageIndex {6} )

Atrisiniet vienādojumu sistēmu trīs mainīgajos.

[ sākt {izlīdzināt *} 2x + y - 2z & = - 1 3x - 3y - z & = 5 x - 2y + 3z & = 6 beigas {izlīdzināt *} nonumber ]

Atbilde

((1, -1, 1))

Daudzas problēmas reālajā dzīvē ir atkarīgas no vairāk nekā diviem nezināmiem.

Piemērs ( PageIndex {13} )

Čada mēģina plānot maltīti, lai sasniegtu noteiktus uztura mērķus. Viņš vēlas uzbūvēt trauku, kurā būtu rīsi, tofu un zemesrieksti, kas nodrošinās 30 g olbaltumvielu, 14 g tauku un 50 g ogļhidrātu. Cik daudz no katras sastāvdaļas viņam vajadzētu lietot?

Risinājums

Pirmkārt, mēs pieņemam, ka citas receptē izmantotās sastāvdaļas nav pietiekami nozīmīgas, lai uzturs būtu jāņem vērā. Lai atbildētu uz šo jautājumu, mums vispirms jāzina sastāvdaļu uzturvērtība. To meklēšana:

Baltie rīsi: 1 glāze nodrošina: 0g tauku, 44g ogļhidrātu, 4g olbaltumvielu

Tofu: 1 glāze nodrošina: 10g tauku, 5g ogļhidrātu, 20g olbaltumvielu

Zemesrieksti: 1 glāze nodrošina: 72 g tauku, 31 g ogļhidrātu, 35 g olbaltumvielu

Tagad mēs varam definēt savus mainīgos. Mūs interesē katras izmantojamās sastāvdaļas daudzums, tāpēc mēs definēsim savus mainīgos lielumus kā katras sastāvdaļas daudzumu:

(r ): rīsu tases, (t ): tases tofu, (p ): tases zemesriekstu.

Tagad par katru barības vielu mēs varam izveidot vienādojumu. Tā kā 1 glāze rīsu nodrošina 44 g ogļhidrātu, (r ) tases nodrošinās (44r ) gramus ogļhidrātu. Tāpat t tases tofu nodrošinās (5t ) gramus, un (p ) tases zemesriekstu sniegs (31p ) gramus. Kopā mēs vēlamies, lai mūsu receptē būtu 50 g ogļhidrātu, norādot vienādojumu:

[44r + 5t + 31p = 50 skaitlis ]

Darot to pašu taukiem un olbaltumvielām, tiek iegūta visa sistēma:

[ sākt {izlīdzināt *} 44r + 5t + 31p & = 50 10t + 72p & = 14 4r + 20t + 35p & = 30 beigas {izlīdzināt *} nonumber ]

Tagad mēs varam atrisināt sistēmu.

1. solis. Ievērojiet, ka sadaļu vienādojums jau neietver mainīgo (r ). lai padarītu lietas vienkāršākas, pirmais solis varētu būt divu pēdējo vienādojumu apmaiņa, lai divi vienādojumi ar trim mainīgajiem sakristu.

[ sākt {izlīdzināt *} 44r + 5t + 31p & = 50 & (1) 4r + 20t + 35p & = 30 & (2) 10t + 72p & = 14 & (3) beigas {izlīdzināt *} ]

2. solis. Tā kā pēdējā vienādojumā (r ) jau ir izslēgts, mēs no pirmajiem diviem vienādojumiem izslēgsim (r ). Reiziniet (2) vienādojumu ar -11.

[ sākt {izlīdzināt *} 44r + 5t + 31p & = 50 & (1) - 44r - 220t - 385p & = -330 & (2) 10t + 72p & = 14 & (3) end {izlīdzināt *} nonumber ]

3. solis. Pievienojiet vienādojumus (1) un (2), rezultātu ierakstot kā 2. rindu.

[ sākt {izlīdzināt *} 44r + 5t + 31p & = 50 & (1) - 215t - 384p & = -280 & (2) 10t + 72p & = 14 & (3) beigas {izlīdzināt *} ]

4. solis. Reiziniet (2) vienādojumu ar 2 un (3) vienādojumu ar 43

[ begin {izlīdzināt *} 44r + 5t + 31p & = 50 & (1) -430t - 708p & = -560 & (2) 430t + 3096p & = 602 & (3) end {izlīdzināt *} ]

5. solis. Pievienojiet vienādojumus (2) un (3), rezultātu ierakstot 3. rindā

[ sākt {izlīdzināt *} 44r + 5t + 31p & = 50 & (1) - 430t - 708p & = - 560 & (2) 2388p & = 42 & (3) beigas {izlīdzināt *} nonumber ]

6. solis. Atrodiet (p ) 3. vienādojumā. Šādai reālās dzīves problēmai, iespējams, ir decimālie tuvinājumi.

[ begin {align *} 2388p & = 42 p & = frac {42} {2388} apm. 0,0176 end al {align *} nonumber ]

7. solis. Atpakaļ aizstājiet (p ) vērtību vienādojumā (2), lai atrisinātu (t ).

[ begin {izlīdzināt *} - 430t - 708 (0.0176) & = - 560 - 430t - 12.4608 & = - 560 - 430t & = - 547.5392 t & = frac {- 547.5392} {- 430} aptuveni 1,273 end {izlīdzināt *} nonumber ]

8. solis. Atpakaļ aizstājiet (p ) un (t ) vērtības un vienādojumu (1) un atrisiniet vērtību (r ).

[ sākt {izlīdzināt *} 44r + 5 (1,273) + 31 (0,0176) & = 50 44r & = 43,0894 r & aptuveni 0,979 beigas {izlīdzināt *} ]

Lai sasniegtu savus uztura mērķus, Čadai jāizmanto 0,979 tases rīsu, 1,273 tases tofu un 0,0176 tases zemesriekstu.

Šo konkrēto sistēmu bija diezgan nepatīkami atrisināt. Pārējā nodaļā mēs uzzināsim dažas citas metodes sarežģītu sistēmu risināšanai.

Svarīgas šīs sadaļas tēmas

Sistēmu risināšana

Grafiks

Novēršana

Papildinājums

Vienādojumu sistēmu iestatīšana

Nekonsekventas un atkarīgas sistēmas

3 līdz 3 sistēmu risināšana


Skatīties video: Vienādojumu sistēmu rēķināšana (Novembris 2021).