Raksti

9.1.3. Racionālie un reālie skaitļi - matemātika


Mācību mērķi

  • Identificējiet reālo skaitļu apakškopu (-as), kurai pieder noteikts skaitlis.
  • Atrodiet punktus ciparu līnijā.
  • Salīdziniet racionālos skaitļus.
  • Identificējiet racionālos un iracionālos skaitļus.

Jūs esat strādājis ar daļām un decimāldaļām, piemēram, 3,8 un ( 21 frac {2} {3} ). Šos skaitļus var atrast starp skaitļu rindā esošajiem skaitļiem. Ir arī citi skaitļi, kurus var atrast arī ciparu rindā. Iekļaujot visus skaitļus, kurus var ievietot skaitļu rindā, jums ir reālā skaitļu līnija. Rausimies dziļāk skaitļu līnijā, lai redzētu, kā šie skaitļi izskatās un kur tie nokrīt uz skaitļu līnijas.

Daļa ( frac {16} {3} ), jauktais skaitlis ( 5 frac {1} {3} ) un decimāldaļa 5,33 ... (vai ( 5. Overline {3 } )) visi apzīmē to pašu numuru. Šis numurs pieder skaitļu kopai, ko matemātiķi sauc racionāli skaitļi. Racionālie skaitļi ir skaitļi, kurus var ierakstīt kā divu veselu skaitļu attiecību. Neatkarīgi no izmantotās formas ( 5. Overline {3} ) ir racionāls, jo šis skaitlis var jāraksta kā attiecība 16 virs 3 vai ( frac {16} {3} ).

Racionālu skaitļu piemēri ir šādi.

0,5, jo to var rakstīt kā ( frac {1} {2} )

( 2 frac {3} {4} ), jo to var rakstīt kā ( frac {11} {4} )

( -1.6 ), jo to var rakstīt kā ( -1 ​​ frac {6} {10} = frac {-16} {10} )

( 4 ), jo to var rakstīt kā ( frac {4} {1} )

-10, jo to var rakstīt kā ( frac {-10} {1} )

Visus šos skaitļus var ierakstīt kā divu veselu skaitļu attiecību.

Šos punktus var atrast ciparu līnijā.

Nākamajā attēlā punkti ir parādīti 0,5 vai ( frac {1} {2} ) un 2,75 vai ( 2 frac {3} {4} = frac {11} {4} ).

Kā redzējāt, racionālie skaitļi var būt negatīvi. Katram pozitīvajam racionālajam skaitlim ir pretējs. Piemēram, ( 5. Overline {3} ) pretstats ir ( -5. Overline {3} ).

Esiet uzmanīgs, ievietojot negatīvie skaitļi ciparu rindā. Negatīvā zīme nozīmē, ka skaitlis atrodas pa kreisi no 0, un skaitļa absolūtā vērtība ir attālums no 0. Tātad, lai skaitļu līnijā novietotu -1,6, jūs atrastu punktu, kas ir | -1,6 | vai 1,6 vienības pa kreisi no 0. Tas atrodas vairāk nekā 1 vienības attālumā, bet mazāk nekā 2.

Piemērs

Novietojiet ( - frac {23} {5} ) uz ciparu rindas.

Risinājums

Ir lietderīgi vispirms ierakstīt šo nepareizo daļu kā jauktu skaitli: 23 dalīts ar 5 ir 4 ar atlikumu 3, tāpēc ( - frac {23} {5} ) ir ( -4 frac {3 } {5} ).

Tā kā skaitlis ir negatīvs, varat to uzskatīt par ( 4 frac {3} {5} ) vienību pārvietošanu uz pa kreisi no 0. ( -4 frac {3} {5} ) būs no -4 līdz -5.

Vingrojiet

Kurš no šiem punktiem apzīmē ( -1 ​​ frac {1} {4} )?

Atbilde
  1. Nepareizi. Šis punkts ir nedaudz virs 2 vienībām pa kreisi no 0. Punktam jābūt 1,25 vienībām pa kreisi no 0. Pareizā atbilde ir punkts B.
  2. Pareizi. Negatīvie skaitļi atrodas pa kreisi no 0, un ( -1 ​​ frac {1} {4} ) jābūt 1,25 vienībām pa kreisi. B punkts ir vienīgais punkts, kurā ir vairāk nekā 1 vienība un mazāk nekā 2 vienības pa kreisi no 0.
  3. Nepareizi. Ievērojiet, ka šis punkts ir starp 0 un pirmās vienības atzīmi pa kreisi no 0, tāpēc tas apzīmē skaitli no -1 līdz 0. Punktam ( -1 ​​ frac {1} {4} ) jābūt 1,25 vienības pa kreisi no 0. Iespējams, ka esat pareizi atradis 1 vienību pa kreisi, bet tā vietā, lai turpinātu pa kreisi vēl 0,25 vienības, jūs pārvietojāties pa labi. Pareizā atbilde ir B punkts.
  4. Nepareizi. Negatīvie skaitļi atrodas pa kreisi no 0, nevis pa labi. Vietai ( -1 ​​ frac {1} {4} ) jābūt 1,25 vienībām pa kreisi no 0. Pareizā atbilde ir punkts B.
  5. Nepareizi. Šis punkts ir 1,25 vienības pa labi no 0, tāpēc tam ir pareizs attālums, bet nepareizā virzienā. Negatīvie skaitļi ir pa kreisi no 0. Pareizā atbilde ir punkts B.

Kad divi veseli skaitļi ir attēloti uz ciparu līnijas, skaitļa līnijā pa labi esošais skaitlis vienmēr ir lielāks par skaitli kreisajā pusē.

Tas pats sakāms, salīdzinot divus veseli skaitļi vai racionāli skaitļi. Numurs pa labi ciparu rindā vienmēr ir lielāks nekā kreisajā pusē esošais.

Šeit ir daži piemēri.

Salīdzināmie numuriSalīdzinājumsSimboliskā izteiksme
( -2 teksts {un} -3 )-2 ir lielāks par -3, jo -2 atrodas pa labi no -3 ( -2> -3 teksts {vai} -3 <-2 )
( 2 text {un} 3 )3 ir lielāks par 2, jo 3 ir pa labi no 2 ( 3> 2 teksts {vai} 2 <3 )
( -3,5 text {un} -3,1 )-3,1 ir lielāks par -3,5, jo -3,1 atrodas pa labi no -3,5 (skatīt zemāk) ( sākas {masīvs} {l}
-3,1> -3,5 teksts {vai}
-3.5<-3.1
end {masīvs} )

Vingrojiet

Kuras no šīm ir patiesas?

Opcija ( text {1.} -4,1> 3,2 )

Opcija ( text {2.} -3.2> -4.1 )

Opcija ( text {3.} 3 .2> 4.1 )

Opcija ( text {4.} -4.6 <-4.1 )

  1. 1. un 4. variants
  2. 1. un 2. variants
  3. 2. un 3. variants
  4. 2. un 4. variants
  5. 1., 2. un 3. opcija
Atbilde
  1. 1. un 4. variants

    Nepareizi. -4,6 ir pa kreisi no -4,1, tātad -4,6 <-4,1. Tomēr pozitīvie skaitļi, piemēram, 3,2, vienmēr atrodas pa labi no negatīviem skaitļiem, piemēram, -4,1, tātad 3,2> -4,1 vai -4,1 <3,2. Pareizā atbilde ir ii un iv, -3,2> -4,1 un -4,6 <-4,1.

  2. 1. un 2. variants

    Nepareizi. -3,2 atrodas pa labi no -4,1, tātad -3,2> -4,1. Tomēr pozitīvie skaitļi, piemēram, 3,2, vienmēr atrodas pa labi no negatīviem skaitļiem, piemēram, -4,1, tātad 3,2> -4,1 vai -4,1 <3,2. Pareizā atbilde ir ii un iv, -3,2> -4,1 un -4,6 <-4,1.

  3. 2. un 3. variants

    Nepareizi. -3,2 atrodas pa labi no -4,1, tātad -3,2> -4,1. Tomēr 3,2 ir pa kreisi no 4.1, tātad 3,2 <4,1. Pareizā atbilde ir ii un iv, -3,2> -4,1 un -4,6 <-4,1.

  4. 2. un 4. variants

    Pareizi. -3,2 atrodas pa labi no -4,1, tātad -3,2> -4,1. Arī -4,6 ir pa kreisi no -4,1, tātad -4,6 <-4,1.

  5. 1., 2. un 3. opcija

    Nepareizi. -3,2 atrodas pa labi no -4,1, tātad -3,2> -4,1. Tomēr pozitīvie skaitļi, piemēram, 3,2, vienmēr atrodas pa labi no negatīviem skaitļiem, piemēram, -4,1, tātad 3,2> -4,1 vai -4,1 <3,2. Arī 3.2 ir pa kreisi no 4.1, tātad 3.2 <4.1. Pareizā atbilde ir ii un iv, -3,2> -4,1 un -4,6 <-4,1.

Ir arī skaitļi, kas nav racionāli. Iracionāli skaitļi nevar rakstīt kā divu veselu skaitļu attiecību.

Jebkura skaitļa kvadrātsakne, kas nav ideāls kvadrāts, piemēram, ( sqrt {2} ), iracionāla. Iracionālie skaitļi visbiežāk tiek rakstīti vienā no trim veidiem: kā sakne (piemēram, kvadrātsakne), izmantojot īpašu simbolu (piemēram, ( pi )) vai kā neatkārtojama, nepārtraukta decimāldaļa.

Skaitļi ar decimāldaļu var būt vai nu aiz komata vai nebeidzami cipari aiz komata. Pārtraukšana nozīmē, ka cipari galu galā apstājas (lai gan beigās vienmēr varat rakstīt nulles). Piemēram, beidzas 1.3, jo ir pēdējais cipars. ( Frac {1} {4} ) decimāldaļa ir 0,25. Decimāldaļu izbeigšana vienmēr ir racionāla.

Neizbeidzamajiem cipariem aiz komata ir cipari (izņemot 0), kas turpinās mūžīgi. Piemēram, ņemiet vērā decimāldaļu ( frac {1} {3} ), kas ir 0,3333 ... 3 turpinās bezgalīgi. Vai decimāldaļa ( frac {1} {11} ), kas ir 0.090909 ...: secība "09" turpinās uz visiem laikiem.

Papildus tam, ka šie divi skaitļi ir nebeidzami, tie ir arī atkārtojot decimāldaļas. Viņu decimāldaļas veido skaitlis vai skaitļu secība, kas atkārtojas atkal un atkal. A neatkārtojas decimālskaitlis ir cipari, kas nekad neveido atkārtotu modeli. Piemēram, ( sqrt {2} ) vērtība ir 1,414213562 ... Neatkarīgi no tā, cik tālu jūs veicat ciparus, cipari nekad neatkārtos iepriekšējo secību.

Ja skaitlis tiek pārtraukts vai atkārtojas, tam jābūt racionālam; ja tas abus neizbeidz un neatkārtojas, skaitlis ir neracionāls.

Decimāldaļas tipsRacionāls vai iracionālsPiemēri
PārtraucRacionāls

( left.0.25 text {(vai} frac {1} {4} right) )

( left.1.3 text {(vai} frac {13} {10} right) )

Netraucē un atkārtoRacionāls

( kreisais.0.66 ldots text {(vai} frac {2} {3} right) )

( 3.242424 ldots text {(vai)} )

( frac {321} {99} = frac {107} {33} )

Nepārtraucošs un neatkārtojamsIracionāls

( pi text {(vai 3.14159 ...)} )

( sqrt {7} text {(vai} 2.6457 ldots) )

Piemērs

Vai -82,91 ir racionāls vai iracionāls?

Risinājums

-82,91 ir racionāls.Skaitlis ir racionāls, jo tas ir a izbeidzot aiz komata.

The komplekts gada reālie skaitļi tiek veikts, apvienojot racionālo skaitļu kopumu un iracionālo skaitļu kopu. Reālie skaitļi ietver dabiskie skaitļi vai skaitļu skaitīšana, veseli skaitļi, veseli skaitļi, racionāli skaitļi (frakcijas un decimāldaļu atkārtošana vai pārtraukšana) un iracionāli skaitļi. Reālo skaitļu kopa ir visi skaitļi, kuriem skaitļu rindā ir atrašanās vieta.

Skaitļu kopas

Dabiskie skaitļi 1, 2, 3, ...

Veseli skaitļi 0, 1, 2, 3, ...

Veseli skaitļi ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Racionālie skaitļi: skaitļi, kurus var ierakstīt kā attiecību pret diviem veseliem skaitļiem - racionālie skaitļi tiek pārtraukti vai atkārtojas, ja tie tiek uzrakstīti decimāldaļā

Iracionāli skaitļi: skaitļi, kurus nevar ierakstīt kā divu skaitļu attiecību - neracionālie skaitļi ir nebeidzami un neatkārtojas, rakstot decimāldaļās.

Reālie skaitļi: jebkurš skaitlis, kas ir racionāls vai iracionāls

Piemērs

Kādām skaitļu kopām pieder 32?

Risinājums

Skaitlis 32 pieder visām šīm skaitļu kopām:

Dabiski skaitļi

Veseli skaitļi

Veseli skaitļi

Racionālie skaitļi

Reālie skaitļi

Katrs dabiskais vai skaitīšanas skaitlis pieder visiem šiem kopumiem!

Piemērs

Kādām skaitļu kopām pieder ( 382. Overline {3} )?

Risinājums

( 382. Overline {3} ) pieder šīm skaitļu kopām:

Racionālie skaitļi

Reālie skaitļi

Skaitlis ir racionāls, jo tas atkārtojas aiz komata. Tas ir vienāds ar ( 382 frac {1} {3} ) vai ( frac {1,147} {3} ) vai ( 382. Overline {3} ).

Piemērs

Kādām skaitļu kopām pieder ( - sqrt {5} )?

Risinājums

( - sqrt {5} ) pieder šīm skaitļu kopām:

Iracionāli skaitļi

Reālie skaitļi

Skaitlis iracionāls, jo to nevar uzrakstīt kā divu veselu skaitļu attiecību. Kvadrātveida saknes, kas nav ideāli kvadrāti, vienmēr ir iracionālas.

Vingrojiet

Kurai no šīm kopām pieder ( frac {-33} {5} )?

veseli skaitļi

veseli skaitļi

racionāli skaitļi

iracionāli skaitļi

reālie skaitļi

  1. tikai racionāli skaitļi
  2. tikai iracionāli skaitļi
  3. racionāli un reāli skaitļi
  4. iracionālie un reālie skaitļi
  5. veseli skaitļi, racionāli skaitļi un reāli skaitļi
  6. veseli skaitļi, veseli skaitļi, racionāli skaitļi un reāli skaitļi
Atbilde
  1. tikai racionāli skaitļi

    Nepareizi. Skaitlis ir racionāls (tas ir rakstīts kā divu veselu skaitļu attiecība), bet tas ir arī reāls. Visi racionālie skaitļi ir arī reālie skaitļi. Pareizā atbilde ir racionāli un reāli skaitļi, jo visi racionālie skaitļi ir arī reāli.

  2. tikai iracionāli skaitļi

    Nepareizi. Iracionālus skaitļus nevar ierakstīt kā divu veselu skaitļu attiecību. Pareizā atbilde ir racionāli un reāli skaitļi, jo visi racionālie skaitļi ir arī reāli.

  3. racionāli un reāli skaitļi

    Pareizi. Skaitlis ir starp veseliem skaitļiem, tāpēc tas nevar būt vesels skaitlis vai vesels skaitlis. Tas ir rakstīts kā divu veselu skaitļu attiecība, tāpēc tas ir racionāls skaitlis un nav iracionāls. Visi racionālie skaitļi ir reāli skaitļi, tāpēc šis skaitlis ir racionāls un reāls.

  4. iracionālie un reālie skaitļi

    Nepareizi. Pareizā atbilde ir racionāli un reāli skaitļi, jo visi racionālie skaitļi ir arī reāli.

  5. veseli skaitļi, racionāli skaitļi un reāli skaitļi

    Nepareizi. Skaitlis ir starp veseliem skaitļiem, nevis pats vesels skaitlis. Pareizā atbilde ir racionāli un reāli skaitļi.

  6. veseli skaitļi, veseli skaitļi, racionāli skaitļi un reāli skaitļi

    Nepareizi. Pareizā atbilde ir racionāli un reāli skaitļi.

Reālo skaitļu kopa ir visi skaitļi, kurus var parādīt ciparu rindā. Tas ietver dabiskos vai skaitīšanas skaitļus, veselos skaitļus un veselos skaitļus. Tas ietver arī racionālus skaitļus, kas ir skaitļi, kurus var ierakstīt kā divu veselu skaitļu attiecību, un iracionālus skaitļus, kurus nevar ierakstīt kā attiecību starp diviem veseliem skaitļiem. Salīdzinot divus skaitļus, ciparu rindā pa labi no tā, kura vērtība ir mazāka, parādīsies skaitlis ar lielāku vērtību.


Skatīties video: atnemsana rakstos (Decembris 2021).