Raksti

2.5: Laukuma pabeigšana


Šajā sadaļā mēs apspriedīsim citu kvadrātiskās funkcijas rakstīšanas veidu, izmantojot procesu, ko sauc par laukuma pabeigšanu. Tā kā vēlākos kursos tā parādās tik bieži, ieteicams šo prasmi apgūt tagad.

Idejas par metodēm, kuras mēs izmantosim, lai pabeigtu laukumu, balstās uz mūsu ideju paplašināšanos. Mēs apskatījām kopīgus modeļus, un viens no tiem, par kuriem mēs runājām, bija

[(u + v) ^ 2 = u ^ 2 + 2uv + v ^ 2 ]

Mēs izmantosim šo modeli, lai palīdzētu mums mainīt kvadrātiskās (x ) funkcijas formā ((x + a) ^ 2 + b ). Ja mēs izmantojam šo paplašināšanas modeli, mēs to redzam

[(x + a) ^ 2 = x ^ 2 + 2ax + a ^ 2 label {kvadrāts} ]

Mēs izmantosim koeficientu kvadrātiskās funkcijas terminam (x ), lai palīdzētu mums atrast (a ). Kad mums ir (a ), mēs varam aprēķināt (a ^ 2 ) un izmantot to, lai palīdzētu mums noteikt, kādam jābūt (b ), lai ierakstītu kvadrātu formā ((x + a) ^ 2 + b ). Pamēģināsim.

Piemērs ( PageIndex {1} ): Kvadrāta aizpildīšana

Rakstiet (f (x) = x ^ 2 + 4x + 6 ) formā (((x + a) ^ 2 + b ).

Risinājums

Vienādojumā ( eqref {square} ) mēs redzējām, ka ((x + a) ^ 2 = x ^ 2 + 2ax + a ^ 2 ). Mēs izmantosim koeficientu (x ) no savas funkcijas, lai noteiktu (a ).

Vietnē (f (x) ) (x ) koeficients ir (4 ) un izvērstajā modelī (x ) ir koeficients (2a ). Mēs vēlamies, lai šie sakrīt, tāpēc mēs iegūstam (4 = 2a ) vai (a = 2 ). Apskatīsim, kā mūsu modelis izskatās ar (a = 2 ):

[(x + 2) ^ 2 = x ^ 2 + 4x + 4 ]

Tas ir diezgan tuvu tam, kā izskatās (f (x) ); vienīgā atšķirība ir nemainīgais termins. Atcerieties, ka mūsu galīgais mērķis ir rakstīt (f (x) ) formā ((x + a) ^ 2 + b ). Mēs jau esam noskaidrojuši (a ); tagad mums ir jāizdomā (b ). Pievienojot (b ), mēs varam paplašināt mērķa formu, lai to iegūtu

[(x + a) ^ 2 + b = x ^ 2 + 2ax + a ^ 2 + b ]

Tas mums saka, ka (b ) ietekmē mūsu pastāvīgo terminu. Mēs vēlamies, lai pastāvīgie nosacījumi sakristu, tāpēc mums ir (6 = a ^ 2 + b ). Mēs zinām (a = 2 ), tāpēc tiešām mums ir (6 = 4 + b ), dodot mums to (b = 2 ). Tas nozīmē, ka mums ir

[f (x) = (x + 2) ^ {2} +2 ]

Šis piemērs parāda domāšanas līniju, kuru mēs izmantojām šai problēmai, taču tas ir diezgan izteikts izskaidrojums. Matemātiķiem patīk, lai lietas būtu lakoniskas, tāpēc apskatīsim, kā mēs varētu matemātiski parādīt šo darbu, neizmantojot daudz verbāla apraksta. Parasti jūs redzēsiet šādu darbu:

[ sākt {izlīdzināt} sākt {izlīdzināt} f (x) & = x ^ 2 + 4x + 6 & = x ^ 2 + 2 (2x) +6 & = x ^ 2 + 2 (2x ) + (2 ^ 2) - (2 ^ 2) + 6 & = (x + 2) ^ 2 - (2 ^ 2) + 6 & = (x + 2) ^ 2 -4 + 6 & = (x + 2) ^ 2 +2 beigas {izlīdzināts} beigas {izlīdzināt} ]

Šis darbs parāda tās pašas darbības, kuras mēs veicām iepriekš, taču citā formā un skaidri nepasakot, kas ir (a ) un (b ). Tomēr, izmantojot mūsu modeli, jūs varat redzēt, ka šīs darbības virzās uz vēlamo veidlapu. Otrajā rindiņā mēs rakstām (2 (2x) ), nevis (4x ), lai noskaidrotu (a ). Tad, tā kā mēs zinām, ka mums ir (a ^ 2 ) kā daļa no mūsu konstante, mēs tajā pašā solī pievienojam (2 ^ 2 ) un atņemam (2 ^ 2 ). Kāpēc? Tas nodrošina, ka mēs pievienojam nulli, ka nemainām funkcijas nozīmi, tikai tā, kā tā ir uzrakstīta. Tad mums ir pareizs paraugs, lai pirmos trīs vārdus uzrakstītu kā ((x + 2) ^ 2 ). Visbeidzot, mēs vienkāršojam konstantes ārpus iekavām, lai atrastu (b ).

Praksē lielākā daļa matemātiķu var apvienot pāris soļus vienā, bet, kamēr jūs patiešām neapmierināt šo domāšanas veidu, vislabāk ir izrakstīt visas darbības.

Lielākā daļa cilvēku mācās aizpildīt kvadrātu kā algoritmu, soļu kopumu, kas jāveic tieši tā, kā aprakstīts un pareizā secībā, lai iegūtu galīgo atbildi. Mēs šeit apzināti izvairāmies no šāda algoritma; algoritmus var būt grūti iegaumēt, bet tos ir viegli aizmirst. Ja jūs tā vietā domājat par mīklu, kurā jūs izdomājat vienu daļu vienlaikus, visticamāk, ka jūs joprojām varēsiet precīzi pabeigt laukumu vēlākos kursos.

Mēs esam apskatījuši vienu kvadrāta aizpildīšanas piemēru, kurā bija visi "jaukie" numuri, tagad apskatīsim vienu, kas ir nedaudz vienkāršāks.

Piemērs ( PageIndex {2} ): Kvadrāta aizpildīšana

Aizpildiet laukumu (g (t) = t ^ 2 -7t + 10 ).

Risinājums

Starp šo problēmu un mūsu iepriekšējo piemēru ir viena liela atšķirība: mūsu ievades mainīgais ir mainījies. Tas nozīmē, ka tā vietā, lai mūsu mērķis izskatās kā ((x + a) ^ 2 + b ), mūsu mērķis izskatās kā ((t + a) ^ 2 + b ). Neatkarīgi no tā, mēs ievērosim to pašu domāšanas procesu, kuru izmantojām iepriekšējā piemērā. Mēs zinām, ka, paplašinot mērķa formu, iegūstam ((t + a) ^ 2 + b = t ^ 2 + 2at + a ^ 2 + b ). Tāpat kā iepriekš, vispirms mēs noskaidrosim vērtību (a ) un pēc tam vērtību (b ). Lai atrastu (a ), mēs izmantosim terminu (t ). Paplašinātā mērķa formā ir (2at ) un (g (t) ) ir (- 7t ). Tas mums saka, ka (2a = -7 ) vai (a = - frac {7} {2} ). Paplašinātajā mērķa formā nemainīgais termins ir (a ^ 2 + b ); mēs tagad zinām (a ), tāpēc tiešām mums ir ( frac {49} {4} + b ). Ņemiet vērā, ka, kvadrātojot (a ), iegūstam pozitīvu skaitli (padomājiet par neredzamajām iekavām, par kurām runājām iepriekš). (G (t) ), mūsu nemainīgais skaitlis ir (10 ​​). Nemainīgo nosacījumu saskaņošana dod vienādību ( frac {49} {4} + b = 10 ). Ja no abām pusēm atņemsim ( frac {49} {4} ), iegūstam (b = - frac {9} {4} ).

Kopumā mums ir (a = - frac {7} {2} ) un (b = - frac {9} {4} ), tāpēc mums ir

[g (t) = pa kreisi (t- frac {7} {2} pa labi) ^ {2} - frac {9} {4} ]

2.5.1: Laukuma pabeigšanas variācija

Visos piemēros, kurus mēs esam apsprieduši šajā sadaļā, kvadrātā izteiktā koeficienta koeficients ir 1. Tomēr dažreiz mēs nonāksim situācijās, kad šis koeficients nav 1, un mums būs jāspēj strādāt ar šīm situācijām. Kad kvadrāta skaitlim (x ) (tas nozīmē kvadrātfunkciju, kuras mainīgais lielums ir (x )) ir vadošais koeficients (koeficients visaugstākajā jaudas termiņā), kas nav 1, mēs to varam ierakstīt kā (c (x + a) ^ 2 + b ). Tas nozīmē, ka mums būs trīs parametri, kas mums jāatrod: (a ), (b ) un (c ). Iepriekšējos piemēros vispirms atradām (a ), jo tikai tas parādījās terminā (x ), un termins (x ^ 2 ) jau bija rūpēts, jo tam automātiski bija koeficients 1. Šeit mēs vispirms vēlēsimies atrast (c ), jo tas parādās kvadrātiskajā un ietekmē lineāro un nemainīgo. Šī ir izplatīta matemātikas risinājumu tehnika: vispirms vispirms strādājiet ar visaugstākās jaudas nosacījumiem un pēc tam pārejiet uz zemākas pakāpes nosacījumiem. Pirms apskatīsim problēmas piemēru, apskatīsim, kā šī modificētā forma izskatās pēc paplašināšanas. Mums ir

[ sākt {izlīdzināt} sākt {izlīdzināt} c (x + a) ^ 2 + b & = c (x ^ 2 + 2ax + a ^ 2) + b & = cx ^ 2 + 2acx + ca ^ 2 + b end {izlīdzināts} label {var} end {align} ]

Ir jāatzīmē dažas galvenās iezīmes, kas būs noderīgas, strādājot ar šāda veida kvadratikiem. Šajā formā (c ) ietekmē (x ^ 2 ), (x ) un nemainīgus nosacījumus. Šajā formā mēs sāksim ar koeficientu “saskaņošanu” ar terminu (x ^ 2 ), pēc tam ar terminu (x ) un pēc tam ar nemainīgu terminu. Apskatīsim:

Piemērs ( PageIndex {3} ): Kvadrāta aizpildīšana - variācija

Rakstiet (f (x) = 4x ^ 2 + 12x-3 ) formā (c (x + a) ^ 2 + b )

Risinājums

Tā kā mēs vēlamies, lai mūsu atbilde būtu formā (c (x + a) ^ 2 + b ), mēs izmantosim vienādojumu ( eqref {var} ). Vienādojumā ( eqref {var} ) mēs redzam, ka izvērstajā formā koeficients (x ^ 2 ) ir (c ). (F (x) ) koeficients (x ^ 2 ) ir (4 ), tāpēc mums ir (c = 4 ).

Pēc tam mēs strādāsim ar terminu (x ). Vienādojumā ( eqref {var} ) termina (x ) koeficients ir (2ac ). Mēs izmantojam (c = 4 ), tāpēc šis koeficients patiešām ir (2a (4) = 8a ). (F (x) ) koeficients (x ) ir (12 ), tāpēc mēs iegūstam (8a = 12 ) vai (a = frac {3} {2} ) .

Visbeidzot, mēs strādāsim ar pastāvīgajiem noteikumiem. Vienādojumā ( eqref {var} ) konstante ir (ca ^ 2 + b ). Tā kā mums ir (a = frac {3} {2} ) un (c = 4 ), šī konstante patiešām ir (4 ( frac {3} {2}) ^ 2 + b = 9 + b ). (F (x) ) konstante ir (- 3 ), tātad mums ir (9 + b = -3 ) vai (b = -12 ).

Tagad mēs esam atraduši visus trīs parametrus, tāpēc tas ir paveikts un tas ir izdarīts

[f (x) = 4 pa kreisi (x + frac {3} {2} pa labi) ^ {2} -12 ]

Šo problēmu mēs varētu atrisināt arī mazliet savādāk. Mēs varētu sākt ar koeficienta noteikšanu koeficientam (x ^ 2 ) un pēc tam aizpildot kvadrātu atlikušajam. Apskatīsim:

Piemērs ( PageIndex {4} ): Kvadrāta aizpildīšana - variācija

Rakstiet (f (x) = 4x ^ 2 + 12x-3 ) formā (c (x + a) ^ 2 + b ).

Risinājums

Sāksim ar koeficienta 4 izslēgšanu no vienādojuma un kvadrāta aizpildīšanu ar atlikušo kvadrātisko koeficientu. Ievērojot 4, (x ^ 2 ) koeficients būs 1, un mēs varam strādāt tāpat kā iepriekšējos piemēros. [ begin {align} begin {izlīdzināts} begin {split} f (x) = 4x ^ 2 + 12x-3 & = 4 Bigg [x ^ 2 + 3x- frac {3} {4} Bigg] & = 4 Bigg [x ^ 2 + 2 bigg ( frac {3} {2} bigg) x + bigg ( frac {3} {2} bigg) ^ 2 - bigg ( frac {3} {2} bigg) ^ 2 - frac {3} {4} Bigg] & = 4 Bigg [ bigg (x + frac {3} {2} bigg) ^ 2 - frac {9} {4} - frac {3} {4} Bigg] & = 4 Bigg [ bigg (x + frac {3} {2} bigg) ^ 2 - frac {12} {4} Bigg] & = 4 Bigg [ bigg (x + frac {3} {2} bigg) ^ 2 - 3 Bigg] end {split} end { izlīdzināts} end {izlīdzināt} ]

Mēs esam tuvu vēlamajai formai, taču mums ir papildu iekavu kopa. Mums vajadzēs pārdalīt 4 pārējā paziņojumā, lai tie būtu pareizā formā. Tas mums dod

[f (x) = 4 pa kreisi (x + frac {3} {2} pa labi) ^ {2} -12 ]

Kā redzat, mēs galu galā saņemam tieši tādu pašu atbildi jebkurā gadījumā, bet izmantojām citu metodi. Ar pirmo metodi mēs paplašinājām vēlamo vispārējo formu un pa vienam atradām a, b un c vērtības. Ar otro metodi mēs sākām ar mūsu specifisko funkciju (f (x) ) un pārkārtojām to, lai tā izskatās pēc vēlamās formas. Izmantojot otro metodi, a, b un c vērtības var noteikt no mūsu galīgās atbildes.

Mēģinot funkciju pārrakstīt citā formā, ir ļoti svarīgi pievērst īpašu uzmanību veidlapas rakstīšanas veidam, it īpaši, ja šī forma tiek izmantota kā noteikuma daļa, kas jums pilnībā jāatrisina problēma, ar kuru strādājat. Parametri ne vienmēr var būt alfabētiskā secībā, un parametru vērtību sajaukšana var krasi mainīt jūsu galīgo atbildi. Turklāt dažās grāmatās ne vienmēr tiek izmantoti vieni un tie paši burti vienādās pozīcijās, pat ja tas ir viens un tas pats noteikums. Daudzi noteikumi atkārtoti izmantos tos pašus burtus kā parametrus, taču tie bieži aizpilda dažādas lomas.


Laukuma pabeigšana

Sveiki, laipni lūdzam šajā videoklipā par Laukuma pabeigšana. Šis algebriskais process ir svarīgs kvadrātvienādojumu un to galveno pazīmju izpētē. Konkrēti, kvadrāta aizpildīšana palīdz mums noteikt kvadrātveida diagrammas virsotni un ļauj mums atrast kvadrātvienādojuma saknes, izmantojot “kvadrātsaknes” metodi. Šajā videoklipā mēs izpētīsim šo procesu un izskatīsim dažus problēmu piemērus, lai sniegtu jums zināmu praksi.

Kā jau minēts, kvadrāta aizpildīšanas process ļauj mums noteikt kvadrāta virsotni, kas ir vai nu funkcijas maksimālā, vai minimālā vērtība. Pirms uzbrūkam procesam, ļaujiet & # 8217 pārskatīt kvadrātisko funkciju pamatus un to diagrammas.

Tiek izsaukti kvadrātfunkciju grafiki parabolas. Parabolas virsotne ir vai nu funkcijas maksimālā, vai minimālā vērtība. Ja parabola atveras “uz augšu”, virsotne ir minimālais funkcijas punkts, un to var vizualizēt kā ielejas dibenu. Ja funkcija tiek atvērta “uz leju”, virsotne ir maksimālais funkcijas punkts, it kā tā būtu kalna galā.

Ir daudzas lietojumprogrammas, kurām nepieciešamas zināšanas par to, kur funkcija ir tās maksimālajā vai minimālajā vērtībā, tāpēc spēja ātri noteikt šo punktu ir svarīga prasme.

Kvadrātvienādojumus parasti raksta standarta formā, (y = ax ^ 2 + bx + c ), kur c ir konstante, kas identificē grafika y pārtveršanu pie (0, c). Šis punkts ir noderīgs funkcijas grafikam, taču tas mums nenorāda, kur diagramma sasniegs maksimālo vai minimālo vērtību. Šeit notiek “kvadrāta aizpildīšanas” process. Kvadrāta aizpildīšanas rezultātā kvadrāts tiek ierakstīts virsotnes formā. Kā norāda nosaukums, tieši identificējamā virsotne, kas apzīmēta (h, k), ir skaidri identificējama: (y = a (x-h) ^ 2 + k ).

Apsveriet šo vizuālo formātu kvadrātveida izteiksmei (x ^ 2 + 6x + 2 ):

Vai redzat, kā tas attiecas uz izteicienu? Vadošais termins ir (x ^ 2 ), kopā ir seši x termini, un ir divi “1” noteikumi.

Pieņemsim, ka mums tika lūgts mainīt šo taisnstūrveida izvietojumu, lai tas iegūtu kvadrāta formu. Tā kā ir seši “x” termini, pusi no tiem mēs varētu pārvietot zem (x ^ 2 ), kā parādīts šeit:

Mēs varam arī pārvietot divus “1” uz vietas, lai aizpildītu laukuma apakšējo labo stūri. Bet nepietiek ar “1” noteikumiem! Lai pabeigtu kvadrāta konfigurāciju, mums būs jāpievieno septiņi papildu “1”, kas parādīti tumši zilā krāsā.

Jauki! Mēs esam izveidojuši perfektu laukumu, bet tagad mums ir jāatskaitās par septiņiem “1”, kas mums bija jāpievieno, lai pabeigtu laukumu. Par laimi, tā ir vienkārša korekcija, atņemot septiņus “1” no kvadrāta binomāla, piemēram: ((x + 3) ^ 2-7 ). Citiem vārdiem sakot, mēs pievienotu 7, lai izveidotu perfektu kvadrātu, bet pēc tam mums bija jāatņem 7, lai saglabātu izteiksmes līdzvērtīgas.

Rezultāts ir virsotnes forma kvadrātiskās izteiksmes ((x + 3) ^ 2-7 ).

Lai pārbaudītu mūsu darbu, virsotnes formas izteiksmi vienkāršojam šādi:

1. darbība: izvērsiet kvadrātveida binomiālo terminu. Mūsu virsotnes forma bija: ((x + 3) ^ 2-7 ). Tāpēc mēs vēlamies paplašināt ((x + 3) ^ 2 ), lai būtu ((x + 3) (x + 3) - 7 ).

2. solis: pavairojiet binomālus. Mēs iegūsim (x ^ 2 + 3x + 3x + 9-7 ).

3. darbība: izteiksmē apvienojiet līdzīgus terminus. (x ^ 2 + 3x + 3x + 9-7 )

Šeit mēs varam apvienot mūsu 3x un mūsu 3x, tāpēc mums būs (x ^ 2 + 6x ), un tad 9-7 ir +2.

Šis rezultāts ir sākotnējā standarta formas izteiksme, tāpēc mēs zinām, ka mūsu darbs ir pareizs!

Šeit ir vēl viens vizuāls piemērs, lai pārbaudītu izpratni par kvadrātveida procesa pabeigšanu.

Pirmkārt, mums jāuzraksta standarta formas kvadrātiskā izteiksme, kas atbilst šim vizuālajam.

Tad mums jānoskaidro, cik daudz dzelteno lodziņu ir nepieciešams, lai pabeigtu laukumu. Šajā gadījumā tie ir divi.

Tagad mums jāuzraksta virsotnes formas kvadrātiskā izteiksme. Atcerieties, ka mums būs jāpielāgo izteiksme, lai noņemtu dzeltenos blokus, kas bija nepieciešami, lai pabeigtu laukumu!

Visbeidzot, pārbaudīsim mūsu darbu, reizinot binomālus un apvienojot līdzīgus terminus. Mums ir mūsu ((x + 2) ^ 2-2 ), kuru pēc tam mēs paplašinām kā ((x + 2) (x + 2) -2 ). Mēs FOIL, lai reizinātu šos divus izteicienus.

Un vienkāršojiet. (x ^ 2 ) plus, (2x + 2x ) dod mums 4x, un 4-2 dod mums +2.
(x ^ 2 + 4x + 2 )

Kā redzam, mūsu atbilde patiešām atbilst standarta formas rezultātam.

Tagad pievērsīsimies kvadrāta pabeigšanas algebriskajam darbam. Mērķis ir izveidot “perfektu kvadrātveida trinomu” no kvadrātveida standarta formas koeficientiem. Ideāls kvadrātveida trinomu koeficients ir vai nu ((x + h) ^ 2 ), vai ((x-h) ^ 2 ), kur “h”Ir x termiņa koeficients, dalīts uz pusēm.

Trenēsimies veidot perfektu kvadrātveida trinomu pirms došanās tālāk. Pieņemsim, ka jums ir kvadrātiska izteiksme (x ^ 2 + 6x ). Lai izveidotu perfektu kvadrātveida trinomu, mēs dalām x-term koeficientu ar 2 un rezultātu kvadrātu ( frac <6> <2> ^ 2 ) vērtībai 9. Kad mēs to pievienojam vērtība sākotnējam izteicienam, mums ir ideāls kvadrātveida trinoms, (x ^ 2 + 6x + 9 ), kas tiek izmantots faktoru ((x + 3) ^ 2 ). Atgādinām, ka šī ir tā pati stratēģija, kas tika izmantota, vizuāli attēlojot laukuma pabeigšanu. Mums vajadzēja pievienot deviņus “1”, lai pabeigtu laukuma apakšējo labo stūri.

Tagad par korekciju šo 9 kvadrātu pievienošanai: tāpat kā mēs to darījām iepriekš, vienkārši atņemiet pievienoto vērtību no kvadrāta binomāla ((x + 3) ^ 2-9 ). Jūs tikko konvertējāt standarta formas kvadrātisko izteiksmi virsotnes formā!

Izpētīsim vēl vienu piemēra problēmu.

Pārrakstiet standarta formas kvadrātvienādojumu (y = x ^ 2-4x-7 ) virsotnes formā, aizpildot kvadrātu.

Pirmkārt, identificējiet koeficientus a, b, un konstante, c. a = 1, b = -4, c = -7.

Pagaidām mēs ignorēsim konstanti -7 un izveidosim perfektu kvadrātveida trinomu ar (x ^ 2 ) un (- 4x ) noteikumiem.

Pēc tam nosakiet vērtību, kas nepieciešama, lai izveidotu perfektu kvadrātveida trinomu (( frac <-4> <2>) ^ 2 ), kas vienkāršojas līdz ((- 2) ^ 2 ), kas ir vienāds ar 4.

Tagad, pievienojot četrus pirmos divus vārdus, izveidojiet perfektu kvadrātu: (y = x ^ 2-4x + 4-7 )

Pēc tam aprēķiniet perfektu kvadrātveida trinomu, kuru izveidojāt: (y = (x-2) ^ 2-7 )

Pielāgojiet izteiksmi, atņemot 4: (y = (x-2) ^ 2-7-4 )

Visbeidzot, vienkāršojiet, lai parādītu kvadrātvienādojumu virsotnes formā: (y = (x-2) ^ 2-11 )

Šī virsotnes formas vienādojuma saskaņošana ar vispārējo formu (y = a (xh) ^ 2 + k ) norāda, ka koeficients (a = 1 ) un parabola virsotne atrodas sakārtotajā pārī , ((2, -11) ). Tā kā a> 0, parabola tiek atvērta, un virsotne ir funkcijas minimālā vērtība. Kā jūs droši vien varat uzminēt, kad a Parādi atbildi

Parasti kvadrātvienādojumus redzēsiet standarta formā (y = ax ^ 2 + bx + c ). Tomēr kvadrātvienādojumus var uzrakstīt arī virsotņu formā. Virsotnes formas priekšrocība ir tā, ka parabola virsotne ((h, k) ) ir skaidri identificējama. Virsotnes forma: (y = a (x-h) ^ 2 + k )


Šis kvadrāts ir rakstīts virsotnes formā. Kāda ir parabola virsotne?


5.5 Laukuma pabeigšana

Šodien tika apvienoti abi mūsu pēdējās klases uzdevumi, padarot polinomu faktoru (pievienojot b / 2 kvadrātu) un pēc tam sakņojot kvadrātu. Foršas lietas. Tas ļauj mums atrisināt JEBKURU kvadrātisko vienādojumu. Šeit ir dažas piezīmes un uzdevums Nr. 25. Šī tēma ir 8.2. Etalons, kuru izmantosim NĀKAMĀ pirmdienā.

Tuvojas: etaloni pirmdien

Punktu jautājuma izlikšana:

Īsumā aprakstiet soļus, kas jāatrisina, sacenšoties laukumā ar saviem vārdiem. Sniedziet piemēru, kas atbilst katram solim.

Dalīties ar šo:

Kā šis:

Saistīts

20 atbildes uz & ldquo5.5 Laukuma pabeigšana& rdquo

Darbības laukuma pabeigšanai:
Pirmkārt: pārbaudiet, vai vienādojums ir faktors, ja nē, pārejiet pie nākamajām darbībām

1. pārvietojiet konstanti uz vienādības zīmes otru pusi
x ^ 2 + 6x = 1

2. Daliet ar skaitli, kas apzīmē & # 8220a & # 8221 (ja nekā nav, izlaidiet šo soli)

3. Abām pusēm pievienojiet (b / 2) ^ 2
(6/2)^2 3^2=9
x ^ 2 + 6x + 9 = 1 + 9
x ^ 2 + 6x + 9 = 10

4. Faktors vienādojums
(x + 3) ^ 2 = 10

5. Atrisiniet vienādojumu, sakņojot kvadrātu
(kvadrātsakne no) (x + 3) ^ 2 = (kvadrātsakne no) 10
x = -3 (+ -) (kvadrātsakne no) 10

1) Faktors, ja iespējams
2) Pārliecinieties, ka konstante ir pāri, vienādojums ir šādā formā ax ^ 2 + bx = c
3) Sadaliet & # 8220a & # 8221
4) Pievienojiet (b / 2) ^ 2 katrā pusē
5) Faktors
6) Kvadrātsakne to

1) Pārvietojiet -12 pāri
x ^ 2 + 6x = 12

2) Neviens & # 8220a un # 8221 nav sadalāms, tāpēc turpiniet 3. darbību.

3) Pievienojiet (6/2) ^ 2 katrā pusē
(6/2)^2 = (3)^2 = 9
x ^ 2 + 6x + 9 = 21

5) Kvadrātsakne, kas jāatrisina
x + 3 = (+/-) kvadrātsakne no 21

No katras puses atņemiet 3, lai saņemtu atbildi.
x = -3 (+/-) kvadrātsakne no 21

x ^ 2 + 20x + 104 = 0 & # 8230Atņemiet 104, jo vienādojums nav faktors
x ^ 2 + 20x = -104 & # 8230 Ir jāatrod faktors pēdējā termiņā
20/2 = 10 ^ 2 & # 8230x ^ 2 + 20x + 100 = -104 + 100
(x + 10) ^ 2 = -4 & # 8230Kvadrāta sakne
x + 10 = + vai- 2i
x = -10 + 2i un -10-2i!

Soļi:
0) pārbaudiet, vai to var ņemt vērā
1) pārliecinieties, ka tā ir standarta formā
2) dalīt ar & # 8220A & # 8221
3) pievienojiet (b / 2) ^ abām pusēm
4) faktors
5) atrisināt ar kvadrātveida saknēm

Piemēram) y ^ + 6y-1 = 0 pievienojiet vienu abām pusēm
y ^ + 6y__ = 1 6/2 = (3) ^ = 9
y ^ + 6y + 9 = 10 (y + 3) ^ = kvadrāts rt 10
no abām pusēm atņem 3
+
y = -3 & # 8211 Kvadrātveida rt 10

1. koeficients (ja iespējams)
2. pārvietot nemainīgu over- ax ^ 2 + bx = c
3. daliet ar & # 8220a & # 8221- x ^ 2 + b / a x = c / a
4. pievienojiet (b / 2) ^ 2 abām pusēm
5. faktors
6. atrisināt ar kvadrātveida sakņu palīdzību
7. atrisināt

y6 ^ 2 + 6y-1 = 0
y ^ 2 + 6y ___ = 1 solis2
(6/2) ^ 2 = (3) ^ 2 = 9 nav & # 8220a & # 8221, ar ko dalīt
y ^ 2 + 6y + 9 = 10 4. solis
(y = 3) ^ 2 = 10 solis5
y + 3 = + - kvadrāts 10 solim6
y = -3 + -sq rt 10 solis7

Prestep: pārbaudiet, vai vienādojums ir faktors, = 0

1) Pārvietojiet konstanti pāri - & gt ax ^ 2 + bx = c
Piem.) X ^ 2 + 6x-8 = 0 & # 8212 & gt x ^ 2 + 6x = 8

2) Sadaliet ar & # 8220a & # 8221
Ex) a = 1 nav nepieciešams dalīt

3) Pievienojiet (b / 2) ^ 2 abām pusēm
Piem.) X ^ 2 + 6x + 9 = 8 + 9

5) Kvadrātsakne
Piem.) X + 3 = + / - kvadrātsakne no 17

No abām pusēm atņemiet 3
Atbilde: x = -3 +/- kv sakne no 17

soļi:
1. solis: pārvietojiet nemainīgu over-ax ^ 2 + bx = c
2. solis: daliet ar & # 8220a & # 8221
3. solis: pievienojiet (b / 2) ^ 2 abām pusēm
4. solis: faktors
5. solis: atrisiniet ar kvadrātveida sakņu palīdzību
Piemērs:
y ^ 2 + 6y-1 = 0
pievienojiet 1 abām pusēm
y ^ 2 + 6y + 9 = 1 + 9
(6/2)=3^2=9
kvadrātsakne (y + 3) ^ 2 = kvadrātsakne 10
y = 3 = + / - kvadrātsakne 10
Atbilde: y = -3 +/- kvadrātsakne 10

Laukuma pabeigšana
Soļi:
* Pārbaudiet, vai koeficients ir 0
1) Pārvietojiet konstanti pāri - & gt ax ^ 2 + bx = c
2) Sadaliet ar & # 8220a & # 8221
3) Pievienojiet b / 2 ^ 2 abām pusēm
4) Faktors
5) Atrisiniet kvadrātveida saknes

Problēma:
y ^ 2 + 4y-1 = 0
Problēmu nevar ņemt vērā, jo mūsu galvas augšdaļā nav neviena skaitļa, kas ietu gan četrās, gan vienā.
y ^ 2 + 4x = 1
Es pievienoju 1 un pārnesa to uz otru pusi.
(4/2)^2=4
y ^ 2 + 4y + 4 = 4 + 1
Pievienojiet 4 abām pusēm.
(y + 2) ^ 2 = 5
Kvadrātsakne abās pusēs.
y + 2 = kvadrātsakne no 5
Atņemiet abus.
y = -2 plus vai mīnus radikāls (kvadrātsakne) 5

(pārbaudiet, vai tas ir faktors) ax ^ 2 + bx + c = 0
1. pārvietojiet pēdējo numuru uz otru pusi
x ^ 2 + 2x = 6
2. dalīt ar & # 8220a & # 8221
3. tad pievienojiet (b / 2) ^ 2 abām pusēm
x ^ 2 + 2x + 1 = 7
4. faktors
(x + 1) ^ 2 = 7
5. atrisināt ar kvadrātveida sakņu palīdzību
x + 1 = (+ -) kvadrātsakne no 7
x = -1 (+ -) kvadrātsakne no 7

* pirms problēmas sākšanas pārbaudiet, vai varat ņemt vērā!
1. Pārvietojieties nemainīgi, ja tas vēl nav
(ax ^ 2 + bx = c)
2. Sadaliet ar a
3. Pievienojiet b / 2 ^ 2 katrā pusē
4. Faktors
5. Atrisiniet, iesakņojoties & # 8220laukumā & # 8221

1. x ^ 2 + 6x-3 = 0
x ^ 2 + 6x = 3
2. 2. solis tika izlaists, jo nav klāt & # 8220a un # 8221.
3. x ^ 2 + 6x + (6/2) ^ 2 = 3 + (6/2) ^ 2
x ^ 2 + 6x + 1 = 12
4. x ^ 2 + 6x + 9 = 12
(x + 3) ^ 2 = 12
5. (x + 3) ^ 2 = 12
x + 3 = + - kvadrātsakne no 12
x = -3 + - kvadrāta sakne no 12

1) pārbaudiet, ja iespējams (faktorizēts)
2) dalīt ar & # 8220a & # 8221
3) problēmai pievienojiet -b / 2a
4) faktors
5) kvadrātsakne
piemērs
1) 1/2 (x-3) ^ 2 = 5
2) (x-3) ^ 2 = 10
3) kvadrātsakne no (x-3) = kvadrātsakne no 10
4) x-3 = (- +) kvadrātsakne 10
5) 3 (+ -) kvadrātsakne 10

Es neesmu tik pārliecināts, ka tiešām saprotu, bet mēģināšu.
1. Faktors, ja iespējams.
2. Sadaliet pa & # 8220a & # 8221
3. Pievienojiet -b / 2a
4.Faktors
5. Kvadrātveida sakne.

Es nezinu, kā to izdarīt.

Šeit būtu soļi šādam vienādojumam:
a būtu = 2, b = 4 un c = -3
2x ^ 2 + 4x-3. Vispirms pārbaudiet, vai tas ir faktors. Šajā gadījumā tas nav & # 8217t.
2x ^ 2 + 4x = 3, tagad jūs pārvietojat c uz vienādojuma otru pusi.
x ^ 2 + 4x = 3/2 dalīt ar & # 8220a & # 8221 (šajā gadījumā 2)
x ^ 2 + 4x + 4 = 11/2 ok, tagad jums (b / 2) ^ 2 b ir 4, un jums tas jāpievieno abām pusēm.
(x + 2) ^ 2 = 11/2, tagad jūs ņemat vērā
x + 2 = + un - kvadrātsakne no 11/2
x = 2 + un kvadrātsakne no 11/2

1 * koeficients, ja iespējams
2 * vienādojumam jābūt šādā formā ax ^ 2 + bx = c
3 * daliet a
4 * pievienojiet (b / 2) ^ 2 katrā pusē
5 * faktors
6 * kvadrātsakne

hei, šī kvadrātveida pabeigšana man ir sava veida mulsinoša!

Moodle vietne ir sajaukta, jo, ievietojot pareizo atbildi, tiek teikts, ka tā joprojām ir nepareiza, ja man ir tieši tāda pati atbilde, kā tā saka. Vai jūs varat to pārbaudīt?

Ja tas ir sakārtots pāris, jums jābūt atstarpei starp skaitli un komatu, piemēram, šim
(5, 2), nevis (5,2)

1. pārbaudiet, ja iespējams (faktors)
2. dalīt ar “a”
3. problēmai pievienojiet -b / 2a
4. faktors
5. kvadrātsakne
piemērs
1,2 (x-5) ^ 2 = 10
2. (x-5) ^ 2 = 5
3. kvadrātsakne (x-5) = kvadrātsakne 2
4.x-5 = (- +) kvadrātsakne 2
5,5 (+ -) kvadrātsakne 10

Soļi:
1) Pārbaudiet, vai tas ir faktors, un veiciet pārējās šīs darbības.
2) Pārvietojieties nemainīgi.
y ^ 2 + 6y-1 = 0_y ^ 2 + 6y = 1
3) Sadaliet ar & # 8220A & # 8221
y ^ 2 + 6y = 1
4) Pievienojiet (b / 2a) ^ 2 abām pusēm
6/2(1)^2=9
5) Faktors
y ^ 2 + 6y + 9 = 1 + 9
6) Atrisiniet kvadrātveida saknes
kvadrātsakne (y + 3) ^ 2 = kvadrātsakne 1o
y + 3 = kvadrātsakne 10
-3 -3
y = -3 + vai kvadrātsakne 10

1. Faktors, ja varat.
2. Izveidojiet to šajā formā ax ^ 2 + bx = c
3. Sadaliet a abās pusēs.
4. Pievienojiet (b / 2) ^ 2 abām pusēm
5. Faktors
6. Ievietojiet to kvadrātā
piem.
y ^ 2 + 8x-1 = 0
(8/2)^2=16
y ^ 2 + 8x + 16 = 15
(y + 4) ^ 2 = 15
y = -4 & amp; kvadrāta sakne +/- 15


Kvadrāta polinomu kvadrāta aizpildīšana

Viena mainīgā polinoma nulles ir tā mainīgā vērtības, ar kuru polinoms ir vienāds. 0.

Kvadrāta aizpildīšana ir metode, ko mēs varam izmantot, lai atrastu kvadrātveida polinoma nulles.

Vēl viens veids, kā to pateikt, ir tāds, ka kvadrāta aizpildīšana ir metode, kuru mēs varam izmantot, lai atrisinātu atbilstošo kvadrātvienādojumu (vienādojumu, kura kvadrātiskais polinoms atrodas vienā pusē un. 0. otrā pusē).

Es izveidoju tiešsaistes kursus, kas palīdzēs jums izklaidēt matemātikas stundu. Lasīt vairāk.

Jebkura polinoma vienādojuma risinājumus sauc par saknes no šī vienādojuma. Tātad kvadrātiskā polinoma nulles skaitliski ir vienādas ar attiecīgā kvadrātvienādojuma saknēm.

Kvadrāta aizpildīšana ir noderīga metode, ja saknes nav iespējams atrisināt, izmantojot faktoringu, jo, aizpildot kvadrātu, tiek izveidots trinoms, kuru mēs varam aprēķināt kā binomāla kvadrātu.

Formālais veids, kā uzrakstīt kvadrātveida polinomu, ir. cirvis ^ 2 + bx + c. kur. a. ir koeficients. x ^ 2. jēdziens, . b. ir koeficients. x. termiņš un. c. ir nemainīgais termins.

Šīs ir darbības, kuras mēs veiksim katru reizi, kad vēlēsimies pabeigt kvadrātu, lai atrastu kvadrātvienādojuma saknes. ax ^ 2 + bx + c = 0.

Pirms mēs veicam šīs darbības, vispirms vispirms sadalīsim abas vienādojuma puses ar. a. (ja. a ne1.), jo vienādojumu būs vieglāk atrisināt, ja koeficients. x ^ 2. termins ir. 1. Ja mums tas jādara, mēs to nedefinēsim. b. un . c. līdz pēc tam, kad to izdarīsim. Tas ir, . b. būs koeficients jauns . x. termiņš un. c. būs jauns nemainīgs termins. Tātad mēs faktiski sāksim ar formas vienādojumu. x ^ 2 + bx + c = 0.

1. Pārvietojiet nemainīgo terminu vienādojuma labajā pusē, atņemot. c. no abām pusēm.

2. Atrodiet. (b / 2) ^ 2. Ņem koeficientu. x. termins, daliet to ar. 2. un pēc tam rezultātu kvadrātā.

. x ^ 2 + bx + pa kreisi ( frac<2> pa labi) ^ 2 = -c + pa kreisi ( frac<2> pa labi) ^ 2.

3. Faktors kreisajā pusē, kas ir tagad

Lai ņemtu vērā šo kvadrātisko polinomu, mums jāatrod pāris faktori. (b / 2) ^ 2. kura summa ir. b. Vienīgais faktoru pāris ar šo īpašību ir. b / 2. un . b / 2. Tātad vienādojuma kreisā puse kļūst

. pa kreisi (x + frac<2> pa labi) pa kreisi (x + frac<2> pa labi).

Ievērojiet, ka trinoms

faktori kā binoma kvadrāts. x + (b / 2).

. x ^ 2 + bx + pa kreisi ( frac<2> pa labi) ^ 2 = pa kreisi (x + frac<2> pa labi) pa kreisi (x + frac<2> pa labi) = pa kreisi (x + frac<2> pa labi) ^ 2.

Tātad vienādojums, kas mums jāatrisina, ir

. pa kreisi (x + frac<2> pa labi) ^ 2 = -c + pa kreisi ( frac<2> pa labi) ^ 2.

4. Kvadrātsakne abās vienādojuma pusēs. Atcerieties, ka labajā pusē tagad būs a. pm. zīmi.

5. Atrisiniet. x. lai iegūtu sākotnējā kvadrātvienādojuma saknes, atņemot. b / 2. no abām pusēm.


Lane ORCCA (2020–2021): Atvērtie resursi Kopienas koledžas algebrai

Šajā sadaļā mēs uzzināsim, kā “pabeigt laukumu” ar kvadrātisku izteiksmi. Šī tēma ir ļoti noderīga kvadrātvienādojumu risināšanai un kvadrātfunkciju ievietošanai virsotņu formā.

11.2.1. Apakšiedaļa Kvadrātvienādojumu atrisināšana, aizpildot laukumu

Kad mums ir vienādojums, piemēram, ((x + 5) ^ 2 = 4 text <,> ), mēs to varam ātri atrisināt, izmantojot kvadrātsaknes rekvizītu:

Metode ļauj mums atrisināt jebkurš kvadrātvienādojums, izmantojot kvadrātsaknes īpašību. Izaicinājums ir tāds, ka lielākajai daļai kvadrātvienādojumu nav ideāla kvadrāta jau vienā pusē. Izpētīsim, kā to izdarīt, apskatot dažus perfektus kvadrātveida trinomus, lai redzētu modeli.

Šeit ir svarīgs modelis. Ievērojiet, ka ar katru vidējo koeficientu labajā pusē varat to samazināt uz pusēm, lai kreisajā pusē binomālā iegūtu nemainīgu skaitli. Un tad jūs varat kvadrātveida šo skaitli, lai atgrieztu nemainīgo termiņu labajā pusē. Matemātiski tas saka:

Mēs izmantosim šo faktu, lai izgatavotu perfektus kvadrātveida trinomus.

11.2.1. Fakts Termins, kas aizpilda laukumu.

Polinomam (x ^ 2 + bx text <,> ) konstante, kas nepieciešama pilnīga kvadrātveida trinoma veidošanai, ir ( left ( frac<2> pa labi) ^ 2 teksts <.> )

11.2.2. Piemērs.

Atrisiniet kvadrātvienādojumu (x ^ 2 + 6x = 16 ), aizpildot kvadrātu.

Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu (x ^ 2 + 6x = 16 text <,> ) kreisajā pusē, kvadrātu varam pabeigt, pievienojot ( left ( frac<2> pa labi) ^ 2 teksts <> ) ņemiet vērā, ka šajā gadījumā (b = 6 ), kas padara ( left ( frac<2> ight)^2=left(frac<6> <2> right) ^ 2 = 3 ^ 2 = 9 text <.> ) Mēs pievienojam to abām pusēm, lai saglabātu vienlīdzību.

Tagad, kad kvadrāts ir pabeigts, mēs varam atrisināt vienādojumu, izmantojot kvadrātsaknes īpašību.

Tagad redzēsim kvadrāta aizpildīšanas procesu, kad kvadrātvienādojums tiek sniegts standarta formā.

11.2.3. Piemērs.

Atrisiniet (x ^ 2-14x + 11 = 0 ), aizpildot kvadrātu.

Mēs atrisināsim (x ^ 2-14x + 11 = 0 text <.> ) Mēs redzam, ka kreisajā pusē esošais polinoms nav ideāls kvadrātveida trinoms, tāpēc mums kvadrāts jāpabeidz. No abām pusēm mēs atņemam (11 ), lai kreisajā pusē varētu pievienot trūkstošo vārdu.

Nākamais ir kvadrāta izpildes solis. Mums abām vienādojuma pusēm jāpievieno pareizais skaitlis, lai kreisā puse būtu ideāls kvadrāts. Atcerieties, ka fakts 11.2.1 norāda, ka mums jāizmanto ( left ( frac<2> pa labi) ^ 2 ). Mūsu gadījumā (b = -14 text <,> ) tāpēc ( left ( frac<2> ight)^2=kreiss(frac<-14> <2> pa labi) ^ 2 = 49 )

Šeit ir vēl daži piemēri.

11.2.4. Piemērs.

Aizpildiet kvadrātu, lai atrisinātu (y ) (y ^ 2-20y-21 = 0 text <.> )

Lai pabeigtu kvadrātu, mēs vispirms pārvietosim nemainīgo terminu uz vienādojuma labo pusi. Tad mēs izmantosim faktu 11.2.1, lai atrastu ( left ( frac<2> pa labi) ^ 2 ), lai pievienotu abām pusēm.

Mūsu gadījumā (b = -20 text <,> ) tāpēc ( left ( frac<2> ight)^2=kreisais(frfr<-20> <2> pa labi) ^ 2 = 100 )

Līdz šim (b ) vērtība katru reizi ir bijusi vienmērīga, kas padara ( frac<2> ) vesels skaitlis. Kad (b ) ir nepāra, mēs abām pusēm pievienosim daļu. Šeit ir piemērs.

11.2.5. Piemērs.

Aizpildiet kvadrātu, lai atrisinātu (z ) (z ^ 2-3z-10 = 0 text <.> )

Vispirms mēs pārvietosim konstanto terminu uz vienādojuma labo pusi:

Tālāk, lai pabeigtu laukumu, mums būs jāatrod pareizais skaitlis, ko pievienot abām pusēm. Saskaņā ar faktu 11.2.1 mums ir jāsadala (b ) vērtība ar (2 ) un pēc tam rezultāts jānosaka kvadrātā, lai atrastu pareizo skaitli. Vispirms daliet ar (2 text <:> )

un tad mēs rezultātu izlīdzinām:

Tagad mēs varam pievienot ( frac <9> <4> ) no vienādojuma (11.2.2) abām vienādojuma pusēm, lai pabeigtu kvadrātu.

Lai ņemtu vērā šķietami sarežģīto izteicienu kreisajā pusē, vienkārši ziniet, ka tam vienmēr jāņem vērā skaitlis, izmantojot kvadrāta procesa pabeigšanas pirmā soļa vienādojumu (11.2.1).

Katrā no iepriekšējiem piemēriem (a ) vērtība bija vienāda ar (1 text <.> ). Tas ir nepieciešams, lai darbotos trūkstošā termina formula. Ja (a ) nav vienāds ar (1 ), abas puses sadalīsim ar (a text <.> ). Apskatīsim tā piemēru.

11.2.6. Piemērs.

Atrisiniet (r ) vietā (2r ^ 2 + 2r = 3 ), aizpildot kvadrātu.

Tā kā ir vadošais koeficients (2 text <,> ), mēs abas puses sadalīsim ar (2 text <.> )

Tālāk mēs pabeigsim laukumu. Tā kā vispirms ir (b = 1 text <,> ),

un nākamais, to sakārtojot kvadrātā, mums ir

Tātad abām vienādojuma pusēm mēs pievienosim ( frac <1> <4> ) no vienādojuma (11.2.4):

Šeit atcerieties, ka mēs vienmēr ņemam vērā skaitli, kas atrodams kvadrāta aizpildīšanas pirmajā solī, Vienādojums (11.2.3).

Apakšnodaļa 11.2.2. Virsotnes un kvadrātiskās formulas atvasināšana, aizpildot laukumu

9.6. Sadaļā mēs uzzinājām formulu virsotnes atrašanai. 9.3. Sadaļā mēs uzzinājām kvadrātisko formulu. Iespējams, jūs esat domājis, no kurienes viņi nāca, un tagad, kad mēs zinām, kā pabeigt laukumu, mēs varam tos atvasināt. Mēs atrisināsim formas formas vienādojumu (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) (x text <.> )

Pirmkārt, no abām pusēm atņemam (c ) un abas puses dalām ar (a text <.> )

Tālāk mēs pabeigsim kvadrātu, ņemot pusi no vidējā koeficienta un kvadrātā. Pirmkārt,

un tad kvadrātu, kas mums ir

Pievienojam ( frac<4a ^ 2> ) no vienādojuma (11.2.6) uz vienādojuma abām pusēm:

Remember that the left side always factors with the value we found in the first step of the completing the square process from Equation (11.2.5). So we have:

To find a common denominator on the right, we multiply by (4a) in the numerator and denominator on the second term.

Now that we have completed the square, we can see that the (x)-value of the vertex is (-frac<2a> ext<.>) That is the vertex formula. Next, we will solve the equation using the square root property to find the Quadratic Formula.

Note on the (pm) Form.

Because of the complexity of the formula we choose to use the (pm) symbol rather than write out each solution separately. An expression of the form (x=Apm B) really means “either (x=A-B) or (x=A+B ext<.>)”

This shows us that the solutions to the equation (ax^2+bx+c=0) are (frac<-bpmsqrt><2a> ext<.>)

Subsection 11.2.3 Putting Quadratic Functions in Vertex Form

In Section 11.1, we learned about the vertex form of a parabola, which allows us to quickly read the coordinates of the vertex. We can now use the method of completing the square to put a quadratic function in vertex form. Completing the square with a function is a little different than with an equation so we will start with an example.

Example 11.2.7 .

Write a formula in vertex form for the function (q) defined by (q(x)=x^2+8x)

The formula is in the form (x^2+bx ext<,>) so we will need to add (left(frac<2> ight)^2) to complete the square by Fact 11.2.1. When we had an equation, we could add the same quantity to both sides. But now we do not wish to change the left side, since we are trying to end up with a formula that still says (q(x)=ldots ext<.>) Instead, we will add and subtract the term from the right side in order to maintain equality. In this case,

To maintain equality, we will both add un subtract (16) on the same side of the equation. It is functionally the same as adding (0) on the right, but the (16) makes it possible to factor the expression in a particular way:

Now that we have completed the square, our function is in vertex form. The vertex is ((-4,-16) ext<.>) One way to verify that our work is correct is to graph the original version of the function and check that the vertex is where it should be.

Let's look at a function that has a constant term and see how to complete the square.

Example 11.2.9 .

Write a formula in vertex form for the function (f) defined by (f(x)=x^2-12x+3)

To complete the square, we need to add and subtract (left(-frac<12><2> ight)^2=(-6)^2=36) on the right side.

In the first two examples, (a) was equal to (1 ext<.>) When (a) is not equal to one, we have an additional step. Since we are working with an expression where we intend to preserve the left side as (f(x)=ldots ext<,>) we cannot divide both sides by (a ext<.>) Instead we will factor (a) out of the first two terms. Let's look at an example of that.

Example 11.2.10 .

Write a formula in vertex form for the function (g) defined by (g(x)=5x^2+20x+25)

Before we can complete the square, we will factor the (highlight<5>) out of the first two terms.

Now we will complete the square inside the parentheses by adding and subtracting (left(frac<4><2> ight)^2=2^2=4 ext<.>)

Notice that the constant that we subtracted is inside the parentheses, but it will not be part of our perfect square trinomial. In order to bring it outside, we need to multiply it by (5 ext<.>) We are distributing the (5) to that term so we can combine it with the outside term.

Here is an example that includes fractions.

Example 11.2.11 .

Write a formula in vertex form for the function (h) defined by (h(x)=-3x^2-4x-frac<7><4>)

First, we will factor the leading coefficient out of the first two terms.

Next, we will complete the square for (x^2+frac<4><3>x) inside the grouping symbols by adding and subtracting the right number. To find that number, we divide the value of (b) by two and square the result. That looks like:

Adding and subtracting the value from Equation (11.2.8), we have:

Remember that when completing the square, the expression should always factor with the number found in the first step of the completing-the-square process, Equation (11.2.7).

The vertex is (left(-frac<2><3>,-frac<5><12> ight) ext<.>)

Completing the square can also be used to find a minimum or maximum in an application.

Example 11.2.12 .

In Example 6.5.18, we learned that artist Tyrone's annual income from paintings can be modeled by (I(x)=-100x^2+1000x+20000 ext<,>) where (x) is the number of times he will raise the price per painting by ($20.00 ext<.>) To maximize his income, how should Tyrone set his price per painting? Find the maximum by completing the square.

To find the maximum is essentially the same as finding the vertex, which we can find by completing the square. To complete the square for (I(x)=-100x^2+1000x+20000 ext<,>) we start by factoring out the (-100) from the first two terms:

Next, we will complete the square for (x^2-10x) by adding and subtracting (left(-frac<10><2> ight)^2=(-5)^2=highlight<25> ext<.>)

egin I(x)amp=-100left(x^2-10xaddright<25>subtractright<25> ight)+20000 amp=-100left(highlight ight)>-25 ight)+20000 amp=-100highlight ight)>-left(100cdot-25 ight)+20000 amp=-100(x-5)^2+2500+20000 amp=-100(x-5)^2+22500 end

The vertex is the point ((5,22500) ext<.>) This implies Tyrone should raise the price per painting (substitute<5>) times, which is (substitute<5>cdot20=100) dollars. He would sell (100-5(substitute<5>)=75) paintings. This would make the price per painting (200+100=300) dollars, and his annual income from paintings would become ($22500) by this model.

Subsection 11.2.4 Graphing Quadratic Functions by Hand

Now that we know how to put a quadratic function in vertex form, let's review how to graph a parabola by hand.

Example 11.2.13 .

Graph the function (h) defined by (h(x)=2x^2+4x-6) by determining its key features algebraically.

To start, we'll note that this function opens upward because the leading coefficient, (2 ext<,>) is positive.

Now we will complete the square to find the vertex. We will factor the (2) out of the first two terms, and then add and subtract (left(frac<2><2> ight)^2=1^2=highlight<1>) on the right side.

The vertex is ((-1,-8)) so the axis of symmetry is the line (x=-1 ext<.>)

To find the (y)-intercept, we'll replace (x) with (0) or read the value of (c) from the function in standard form:

The (y)-intercept is ((0,-6)) and we will find its symmetric point on the graph, which is ((-2,-6) ext<.>)

Next, we'll find the horizontal intercepts. We see this function factors so we will write the factored form to get the horizontal intercepts.

The (x)-intercepts are ((1,0)) and ((-3,0) ext<.>)

Now we will plot all of the key points and draw the parabola.

Example 11.2.15 .

Write a formula in vertex form for the function (p) defined by (p(x)=-x^2-4x-1 ext<,>) and find the graph's key features algebraically. Then sketch the graph.

In this function, the leading coefficient is negative so it will open downward. To complete the square we first factor (-1) out of the first two terms.

Now, we add and subtract the correct number on the right side of the function: (left(frac<2> ight)^2=left(frac<4><2> ight)^2=2^2=highlight<4> ext<.>)

The vertex is ((-2,3)) so the axis of symmetry is the line (x=-2 ext<.>)

We find the (y)-intercept by looking at the value of (c ext<,>) which is (-1 ext<.>) So, the (y)-intercept is ((0,-1)) and we will find its symmetric point on the graph, ((-4,-1) ext<.>)

The original expression, (-x^2-4x-1 ext<,>) does not factor so to find the (x)-intercepts we need to set (p(x)=0) and complete the square or use the quadratic formula. Since we just went through the process of completing the square above, we can use that result to save several repetitive steps.

The (x)-intercepts are approximately ((-3.7,0)) and ((-0.3,0) ext<.>) Now we can plot all of the points and draw the parabola.


DMCA sūdzība

Ja uzskatāt, ka ar Vietnes starpniecību pieejamais saturs (kā noteikts mūsu pakalpojumu sniegšanas noteikumos) pārkāpj vienu vai vairākas jūsu autortiesības, lūdzu, informējiet mūs, nosūtot rakstisku paziņojumu (“Paziņojums par pārkāpumu”), kas satur tālāk aprakstīto informāciju, norādītajam aģents norādīts zemāk. Ja Varsity Tutors rīkojas, reaģējot uz paziņojumu par pārkāpumu, tas labticīgi mēģinās sazināties ar pusi, kas šādu saturu darījis pieejamu, izmantojot jaunāko e-pasta adresi, ja tāda ir, ko šī puse ir sniegusi Varsity Tutors.

Jūsu paziņojums par pārkāpumu var tikt pārsūtīts pusei, kura saturu ir padarījusi pieejamu, vai trešām personām, piemēram, ChillingEffects.org.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka jūs būsiet atbildīgs par zaudējumiem (ieskaitot izmaksas un advokātu honorārus), ja būtiski maldinot, ka kāds produkts vai darbība pārkāpj jūsu autortiesības. Tādējādi, ja neesat pārliecināts, ka saturs, kas atrodas Vietnē vai uz kuru ir saistīta vietne, pārkāpj jūsu autortiesības, vispirms apsveriet iespēju sazināties ar advokātu.

Lai iesniegtu paziņojumu, lūdzu, veiciet šīs darbības:

Jums jāiekļauj:

Autortiesību īpašnieka vai personas, kas ir pilnvarota rīkoties viņu vārdā, fizisks vai elektronisks paraksts To autortiesību identifikācija, par kuriem tiek apgalvots, ka ir pārkāptas informācija, lai ļautu Varsity pasniedzējiem atrast un pozitīvi identificēt šo saturu, piemēram, mums ir nepieciešama saite uz konkrēto jautājumu (ne tikai jautājuma nosaukumu), kas satur saturu un aprakstu par to, kuras konkrētās jautājuma daļas - attēlu, attēlu saite, teksts utt. - jūsu sūdzība attiecas uz jūsu vārdu, adresi, tālruņa numuru un e-pasta adresi un jūsu paziņojumu: (a) ka jūs ticat godprātīgi, ka satura izmantošana, par kuru jūs apgalvojat, ka tā pārkāpj jūsu autortiesības, ir nav atļauts ne ar likumu, ne autortiesību īpašnieka vai šāda īpašnieka pārstāvja starpniecību (b) ka visa jūsu paziņojumā par pārkāpumu ietvertā informācija ir pareiza, un (c) sodot par nepatiesu liecību, ka jūs esat vai nu autortiesību īpašnieks vai persona, kas ir pilnvarota rīkoties viņu vārdā.

Nosūtiet sūdzību mūsu izraudzītajam aģentam uz:

Čārlza Kohna Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Sentluisa, MO 63105


2.5: Completing the Square

In this section, we will devise a method for rewriting any quadratic equation of the form

This process is called completing the square The process of rewriting a quadratic equation in the form ( x − p ) 2 = q . . As we have seen, quadratic equations in this form can easily be solved by extracting roots. We begin by examining perfect square trinomials:

The last term, 9, is the square of one-half of the coefficient of x. In general, this is true for any perfect square trinomial of the form x 2 + b x + c .

In other words, any trinomial of the form x 2 + b x + c will be a perfect square trinomial if

It is important to point out that the leading coefficient must be equal to 1 for this to be true.

1. piemērs: Complete the square: x 2 + 8 x + ? = ( x + ? ) 2 .

Risinājums: In this example, the coefficient of the middle term b = 8, so find the value that completes the square as follows:

The value that completes the square is 16.

Answer: x 2 + 8 x + 16 = ( x + 4 ) 2

2. piemērs: Complete the square: x 2 + 3 x + ? = ( x + ? ) 2 .

Risinājums: Šeit b = 3, so find the value that will complete the square as follows:

The value 9/4 completes the square:

Answer: x 2 + 3 x + 9 4 = ( x + 3 2 ) 2

We can use this technique to solve quadratic equations. The idea is to take any quadratic equation in standard form and complete the square so that we can solve it by extracting roots. The following are general steps for solving a quadratic equation with a leading coefficient of 1 in standard form by completing the square.

3. piemērs: Solve by completing the square: x 2 + 14 x + 46 = 0 .

1. darbība: Add or subtract the constant term to obtain the equation in the form x 2 + b x = c . In this example, subtract 46 to move it to the right side of the equation.

2. darbība: Use ( b 2 ) 2 to determine the value that completes the square. Šeit b = 14:

3. solis: Add ( b 2 ) 2 to both sides of the equation and complete the square.

4. solis: Solve by extracting roots.

Answer: The solutions are − 7 − 3 or − 7 + 3 . Pārbaude nav obligāta.

4. piemērs: Solve by completing the square: x 2 − 18 x + 72 = 0 .

Risinājums: Begin by subtracting 72 from both sides.

Next, find the value that completes the square using b = −18.

To complete the square, add 81 to both sides, complete the square, and then solve by extracting the roots.

At this point, separate the “plus or minus” into two equations and solve each.

Answer: The solutions are 6 and 12.

Note that in the previous example the solutions are integers. If this is the case, then the original equation will factor.

If it factors, we can solve it by factoring. However, not all quadratic equations will factor.

Example 5: Solve by completing the square: x 2 + 10 x + 1 = 0 .

Risinājums: Begin by subtracting 1 from both sides of the equation.

Šeit b = 10, and we determine the value that completes the square as follows:

To complete the square, add 25 to both sides of the equation.

Factor and then solve by extracting roots.

Answer: The solutions are − 5 − 2 6 and − 5 + 2 6 .

Sometimes quadratic equations do not have real solutions.

6. piemērs: Solve by completing the square: x 2 − 2 x + 3 = 0 .

Risinājums: Begin by subtracting 3 from both sides of the equation.

At this point we see that extracting the root leads to the square root of a negative number.

Try this! Solve by completing the square: x 2 − 2 x − 27 = 0 .

Video Solution

The coefficient of x is not always divisible by 2.

7. piemērs: Solve by completing the square: x 2 + 3 x − 2 = 0 .

Risinājums: Begin by adding 2 to both sides.

Izmantot b = 3 to find the value that completes the square:

To complete the square, add 9/4 to both sides of the equation.

Solve by extracting roots.

Answer: The solutions are − 3 ± 17 2 .

So far, all of the examples have had a leading coefficient of 1. The formula ( b 2 ) 2 determines the value that completes the square only if the leading coefficient is 1. If this is not the case, then simply divide both sides by the leading coefficient.

Example 8: Solve by completing the square: 2 x 2 + 5 x − 1 = 0 .

Risinājums: Notice that the leading coefficient is 2. Therefore, divide both sides by 2 before beginning the steps required to solve by completing the square.

Begin by adding 1/2 to both sides of the equation.

Šeit b = 5/2, and we can find the value that completes the square as follows:

To complete the square, add 25/16 to both sides of the equation.

Next, solve by extracting roots.

Answer: The solutions are − 5 ± 33 4 .

Try this! Solve: 2 x 2 − 2 x − 3 = 0 .

Video Solution

Key Takeaways

  • Solve any quadratic equation by completing the square.
  • You can apply the square root property to solve an equation if you can first convert the equation to the form ( x − p ) 2 = q .
  • To complete the square, first make sure the equation is in the form x 2 + b x = c . Then add the value ( b 2 ) 2 to both sides and factor.
  • The process for completing the square always works, but it may lead to some tedious calculations with fractions. This is the case when the middle term, b, is not divisible by 2.

Topic Exercises

Part A: Completing the Square

Solve by factoring and then solve by completing the square. Check answers.

Solve by completing the square.

63. x ( x + 1 ) − 11 ( x − 2 ) = 0

64. ( x + 1 ) ( x + 7 ) − 4 ( 3 x + 2 ) = 0

65. y 2 = ( 2 y + 3 ) ( y − 1 ) − 2 ( y − 1 )

66. ( 2 y + 5 ) ( y − 5 ) − y ( y − 8 ) = − 24

68. ( 3 t + 2 ) ( t − 4 ) − ( t − 8 ) = 1 − 10 t

Solve by completing the square and round off the solutions to the nearest hundredth.

71. ( 2 x + 1 ) ( 3 x + 1 ) = 9 x + 4

72. ( 3 x + 1 ) ( 4 x − 1 ) = 17 x − 4

73. 9 x ( x − 1 ) − 2 ( 2 x − 1 ) = − 4 x

74. ( 6 x + 1 ) 2 − 6 ( 6 x + 1 ) = 0

75. Research and discuss the Hindu method for completing the square.

76. Explain why the technique for completing the square described in this section requires that the leading coefficient be equal to 1.


Unfortunately, most quadratics don't come neatly squared like this. For your average everyday quadratic, you first have to use the technique of "completing the square" to rearrange the quadratic into the neat "(squared part) equals (a number)" format demonstrated above. Piemēram:

Atrodi x -intercepts of y = 4x 2 &ndash 2x & ndash 5.

First off, remember that finding the x-intercepts means setting y equal to zero and solving for the x -values, so this question is really asking you to "Solve 4x 2 &ndash 2x &ndash 5 = 0 ".

Now, let's start the completing-the-square process. To begin, we have the original equation (or, if we had to solve first for " = 0 ", the "equals zero" form of the equation). In this case, we were asked for the x -intercepts of a quadratic function, which meant that we set the function equal to zero. So we're good to go. Our starting point is this equation:

Now, contrary to everything we've learned before, we're going to move the constant (that is, the number that is with a variable) over to the other side of the "equals" sign:

When solving by completing the square, we'll want the x 2 to be by itself, so we'll need to divide through by whatever is multiplied on this term. In this case, we've got a 4 multiplied on the x 2 , so we'll need to divide through by 4 to get rid of this. Our result is:

Now we're going to do some work off on the side. Looking at the quadratic above, we have an x 2 term and an x term on the left-hand side. We're going to work with the coefficient of the x jēdziens. In our present case, this value, along with its sign, ir:

To created our completed square, we need to divide this numerical coefficient by 2 (or, which is the same thing, multiply it by one-half). In our case, we get:

Now we'll square this derived value. (Of course, this will give us a positive number as a result.)

Okay now we go back to that last step before our diversion:

. and we add that " " to either side of the equation:

We can simplify the strictly-numerical stuff on the right-hand side:

At this point, we're ready to convert to completed-square form because, by adding that to either side, we had rearranged the left-hand side into a quadratic which is a perfect square. In other words, we can convert that left-hand side into a nice, neat squared binomial. Bet kā?

The simplest way is to go back to the value we got after dividing by two (or, which is the same thing, multipliying by one-half), and using this, along with its sign, to form the squared binomial. In other words, in this case, we get:

Jā! Completed-square form! Now we can square-root either side (remembering the "plus-minus" on the strictly-numerical side):

Now we can solve for the values of the variable:

The "plus-minus" means that we have divi solutions:

The solutions can also be written in rounded form as , or rounded to some reasonable number of decimal places (such as two).

You will need probably rounded forms for "real life" answers to word problems, and for graphing. For instance, for the above exercise, it's a lot easier to graph an intercept at x = -0.9 than it is to try to graph the number in square-root form with a "minus" in the middle. But (warning!) in most other cases, you should pieņemt that the answer should be in "exact" form, complete with all the square roots.

When you complete the square, make sure that you are careful with the sign on the numerical coefficient of the x -term when you multiply that coefficient by one-half. If you lose the sign from that term, you can get the wrong answer in the end because you'll forget which sign goes inside the parentheses in the completed-square form.

Also, don't be sloppy and wait to do the plus/minus sign until the very end. On your tests, you won't have the answers in the back to "remind" you that you "meant" to use the plus-minus, and you will likely forget to put the plus-minus into the answer. Besides, there's no reason to go ticking off your instructor by doing something wrong when it's so simple to do it right.

On the same note, make sure you draw in the square root sign, as necessary, when you square root both sides. Don't wait until the answer in the back of the book "reminds" you that you "meant" to put the square root symbol in there.

If you get in the habit of being sloppy, you'll only hurt yourself!

Solve x 2 + 6x &ndash 7 = 0 by completing the square.

I'll do the same procedure as in the first exercise, in exactly the same order. (Study tip: Always working these problems in exactly the same way will help you remember the steps when you're taking your tests.)

First, I write down the equation they've given me.

I move the constant term (the loose number) over to the other side of the "equals".

The leading term is already only multiplied by 1 , so I don't have to divide through by anything. So that step is done.

Now I'll grab some scratch paper, and do my computations. First, the coefficient of the "linear" term (that is, the term with just x , not the x 2 term), with its sign, ir:

My next step is to square this derived value:

square of derived value: ( +3 ) 2 = 9

Now I go back to my equation, and add this squared value to either side:

I'll simplify the strictly-numerical stuff on the right-hand side:

And now I'll convert the left-hand side to completed-square form, using the derived value (which I circled in my scratch-work, so I wouldn't lose track of it), along with its sign:

Now that the left-hand side is in completed-square form, I can square-root each side, remembering to put a "plus-minus" on the strictly-numerical side:

. and then I'll solve for my two solutions:

Please take the time to work through the above two exercise for yourself, making sure that you're clear on each step, how the steps work together, and how I arrived at the listed answers. And then take the time to practice extra exercises from your book. With practice, this process can become fairly easy, especially if you're careful to work the exact same steps in the exact same order. Yes, "in real life" you'd use the Quadratic Formula or your calculator, but you should expect at least one question on the next test (and maybe the final) where you're required to show the steps for completing the square.

Note: Because the solutions to the second exercise above were integers, this tells you that we varēja have solved it by factoring.

Warning: If you are not consistent with remembering to put your plus/minus in as soon as you square-root both sides, then this is an example of the type of exercise where you'll get yourself in trouble. You'll write your answer for the second exercise above as " x = &ndash3 + 4 = 1 ", and have no idea how they got " x = &ndash7 ", because you won't have a square root symbol "reminding" you that you "meant" to put the plus/minus in. In other words, if you're sloppy, these vieglāk problems will embarrass you!

On the next page, we'll do another example, and then show how the Quadratic Formula can be derived from the completing-the-square procedure.


Completing the Square and Solving Quadratic Equations

You transformed the quadratic equation y =4 x 2 &minus 20 x + 24 y equals 4 x squared minus 20 x plus 24 into its vertex form y =4( x &minus 2.5 ) 2 &minus1 y equals 4 times the quantity x minus 2 and 5 tenths squared minus 1 . Fill in the blanks to find the zeros of the quadratic equation. Use decimals or fractions as needed.

Answer: Correct! Go to question 3. Incorrect. Atbilde ir:

y =4( x &minus 2.5 ) 2 &minus1 y equals 4 times the quantity x minus 2 and 5 tenths squared minus 1

Set the equation equal to zero ( y =0) y equals zero :
4( x &minus 2.5 ) 2 &minus1= 0 4 times the quantity x minus 2 and 5 tenths squared minus 1 equals zero

Add 1 to both sides of the equation:
4( x &minus 2.5 ) 2 = 1 4 times the quantity x minus 2 and 5 tenths squared equals 1

Divide both sides of the equation by 4:
( x &minus 2.5 ) 2 = 1 4 the quantity x minus 2 and 5 tenths squared equals 1 divided by 4

Square root both sides of the equation:
&radic ( x &minus 2.5 ) 2 =± &radic 1 4 The square root of the quantity x minus 2 and 5 tenths squared equals plus or minus the square root of 1 divided by 4

Simplify:
x &minus2.5=± 1 2 x minus 2 and 5 tenths equals plus or minus one half

Solve for x :
x = 2.5 ± 1 2 x equals 2 and 5 tenths plus or minus one half
[using fraction: x = 5 2 ± 1 2 ] x equals five halves plus or minus one half

Go to question 3. Incorrect. Refer to the ‘Steps for Solving Quadratic Equations in Vertex Form’ to help you, and try again.


Skatīties video: Volvo S60 V70 Transmission Solenoids Replacement + Adaptation Relearn 2001-2009 (Novembris 2021).