Raksti

2.6. Absolūtās vērtības vienādojumu un nevienlīdzību risināšana


Mācību mērķi

  • Pārskatiet absolūtās vērtības definīciju.
  • Atrisiniet absolūtās vērtības vienādojumus.
  • Atrisiniet absolūtās vērtības nevienlīdzības.

Absolūtās vērtības vienādojumi

Atgādināt, ka absolūtā vērtība63 reālā skaitļa skaitlis (a ), apzīmēts (| a | ), tiek definēts kā attālums starp nulli (izcelsmi) un šī reālā skaitļa diagrammu skaitļu rindā. Piemēram, (| | −3 | = 3 ) un (| 3 | = 3 ).

Turklāt reālā skaitļa absolūto vērtību var definēt algebriski kā fragmentu funkciju.

Ņemot vērā šo definīciju, (| | 3 | = 3 ) un (| −3 | = - (−3) = 3 ). Tāpēc vienādojumam (| | x | = 3 ) ir divi risinājumi: x ), proti, ( {± 3 } ). Ņemot vērā jebkuru algebrisko izteiksmi (X ) un jebkuru pozitīvu skaitli (p ):

Citiem vārdiem sakot, absolūtā arguments vērtība64 (X ) var būt pozitīvs vai negatīvs (p ). Izmantojiet šo teorēmu, lai algebriski atrisinātu absolūtās vērtības vienādojumus.

Piemērs ( PageIndex {1} ):

Atrisiniet: (| x + 2 | = 3 ).

Risinājums

Šajā gadījumā absolūtās vērtības arguments ir (x + 2 ), un tam jābūt vienādam ar (3 ) vai (- 3 ).

Tāpēc, lai atrisinātu šo absolūtās vērtības vienādojumu, iestatiet (x + 2 ) vienādu ar (± 3 ) un katru lineāro vienādojumu atrisiniet kā parasti.

Atbilde:

Risinājumi ir (- 5 ) un (1 ).

Lai vizualizētu šos risinājumus, iezīmējiet funkcijas vienādības zīmes abās pusēs tajā pašā koordinātu asu kopā. Šajā gadījumā (f (x) = | x + 2 | ) ir absolūtās vērtības funkcija, kas pārvietota divas vienības horizontāli pa kreisi, un (g (x) = 3 ) ir konstanta funkcija, kuras grafiks ir horizontāla līnija. Nosakiet (x ) - vērtības, kur (f (x) = g (x) ).

No diagrammas mēs varam redzēt, ka abas funkcijas sakrīt, kur (x = −5 ) un (x = 1 ). Risinājumi atbilst krustošanās punktiem.

Piemērs ( PageIndex {2} ):

Atrisiniet: (| 2 x + 3 | = 4 ).

Risinājums

Šeit absolūtās vērtības arguments ir (2x + 3 ) un var būt vienāds ar (- 4 ) vai (4 ).

Pārbaudiet, vai šie risinājumi atbilst sākotnējam vienādojumam.

Pārbaudīt (x = - frac {7} {2} ) Pārbaudīt (x = frac {1} {2} ) ( begin {masīvs} {r} {| 2 x + 3 | = 4 } { left | 2 left ( color {Cerulean} { frac {1} {2}} right) + 3 right | = 4} {| 1 + 3 | = 4} {| 4 | = 4} {4 = 4} : : color {Cerulean} {✓} end {array} ) tabula ( PageIndex {1} )

Atbilde:

Risinājumi ir (- frac {7} {2} ) un ( frac {1} {2} ).

Lai piemērotu teorēmu, absolūtā vērtība ir jāizolē. Absolūtās vērtības vienādojumu risināšanas vispārīgās darbības ir izklāstītas nākamajā piemērā.

Piemērs ( PageIndex {3} ):

Atrisiniet: (2 | 5x - 1 | - 3 = 9 ).

Risinājums

1. solis: Izolējiet absolūto vērtību, lai iegūtu formu (| X | = p ).

2. solis: Iestatiet absolūtās vērtības argumentu, kas vienāds ar (± p ). Šeit arguments ir (5x - 1 ) un (p = 6 ).

3. solis: Atrisiniet katru iegūto lineāro vienādojumu.

4. solis: Pārbaudiet risinājumus sākotnējā vienādojumā.

Pārbaudīt (x = -1 ) Pārbaudīt (x = frac {7} {5} ) Tabula ( PageIndex {2} )

Atbilde:

Risinājumi ir (- 1 ) un ( frac {7} {5} )

Vingrinājums ( PageIndex {1} )

Atrisiniet: (2 - 7 | x + 4 | = - 12 ).

Atbilde

(-6, -2)

www.youtube.com/v/G0EjbqreYmU

Ne visiem absolūtās vērtības vienādojumiem būs divi risinājumi.

Piemērs ( PageIndex {4} ):

Atrisināt: (| 7 x - 6 | + 3 = 3 ).

Risinājums

Sāciet, izolējot absolūto vērtību.

Tikai nullei absolūtā vērtība ir nulle, (| 0 | = 0 ). Citiem vārdiem sakot, (| X | = 0 ) ir viens risinājums, proti, (X = 0 ). Tāpēc iestatiet argumentu (7x - 6 ) vienādu ar nulli un pēc tam atrisiniet parametru (x ).

Ģeometriski viens risinājums atbilst vienam krustošanās punktam.

Atbilde:

Risinājums ir ( frac {6} {7} ).

Piemērs ( PageIndex {5} ):

Atrisiniet: (| x + 7 | + 5 = 4 ).

Risinājums

Sāciet, izolējot absolūto vērtību.

Šajā gadījumā mēs varam redzēt, ka izolētā absolūtā vērtība ir vienāda ar negatīvu skaitli. Atgādinām, ka absolūtā vērtība vienmēr būs pozitīva. Tāpēc mēs secinām, ka risinājuma nav. Ģeometriski nav krustojuma punkta.

Atbilde:

Risinājuma nav, (Ø ).

Ja dots vienādojums ar divām absolūtām vērtībām formā (| a | = | b | ), tad (b ) jābūt vienādam ar (a ) vai pretējam. Piemēram, ja (a = 5 ), tad (b = pm 5 ), un mums ir:

Parasti, ņemot vērā algebriskās izteiksmes (X ) un (Y ):

Citiem vārdiem sakot, ja divas absolūtās vērtības izteiksmes ir vienādas, argumenti var būt vienādi vai pretēji.

Piemērs ( PageIndex {6} ):

Atrisiniet: (| 2 x - 5 | = | x - 4 | ).

Risinājums

Iestatiet (2x-5 ) vienādu ar ( pm (x - 4) ) un pēc tam atrisiniet katru lineāro vienādojumu.

Lai pārbaudītu, mēs aizstājam šīs vērtības sākotnējā vienādojumā.

Pārbaudīt (x = 1 ) Pārbaudīt (x = 3 ) Tabula ( PageIndex {3} )

Kā vingrinājumu izmantojiet grafikas lietderību, lai uz vienas un tās pašas asu kopas attēlotu gan (f (x) = | 2x-5 | ), gan (g (x) = | x-4 | ). Pārbaudiet, vai diagrammas krustojas, kur (x ) ir vienāds ar (1 ) un (3 ).

Atbilde:

Risinājumi ir (1 ) un (3 ).

Vingrinājums ( PageIndex {2} )

Atrisiniet: (| x + 10 | = | 3 x - 2 | ).

Atbilde

(-2, 6)

www.youtube.com/v/CskWmsQCBMU

Absolūtās vērtības nevienlīdzība

Sākumā mēs pārbaudām šādas nevienlīdzības risinājumus:

(| x | leq 3 )

Skaitļa absolūtā vērtība norāda attālumu no izcelsmes. Tāpēc šis vienādojums apraksta visus skaitļus, kuru attālums no nulles ir mazāks vai vienāds ar (3 ). Mēs varam attēlot šo risinājumu kopu, aizēnojot visus šādus skaitļus.

Protams, mēs varam redzēt, ka ir bezgalīgi daudz risinājumu (| x | ≤3 ), kurus ierobežo (- 3 ) un (3 ). Izteikt šo risinājumu kopu, izmantojot kopas apzīmējumu vai intervāla pierakstu šādi:

Šajā tekstā mēs izvēlēsimies izteikt risinājumus intervālu apzīmējumos. Ņemot vērā jebkuru algebrisko izteiksmi (X ) un jebkuru pozitīvu skaitli (p ):

Šī teorēma attiecas arī uz stingru nevienlīdzību. Citiem vārdiem sakot, mēs varam pārveidot jebkuru absolūtās vērtības nevienlīdzību,mazāk nekā"saliktā nevienlīdzībā, kuru var atrisināt kā parasti.

Piemērs ( PageIndex {7} ):

Atrisiniet un uzzīmējiet grafiku risinājumu kopai: (| x + 2 | <3 ).

Risinājums

Saistiet argumentu (x + 2 ) ar (- 3 ) un (3 ) un atrisiniet.

Šeit mēs izmantojam atvērtus punktus, lai grafikā norādītu stingru nevienlīdzību šādi.

Atbilde:

Izmantojot intervālu apzīmējumu, ((- - 5,1) ).

(| X + 2 | <3 ) risinājumu var interpretēt grafiski, ja mēs ļaujam (f (x) = | x + 2 | ) un (g (x) = 3 ) un pēc tam nosakām, kur (f (x)

Risinājums sastāv no visām (x ) vērtībām, kur (f ) grafiks ir zem (g ) diagrammas. Šajā gadījumā mēs varam redzēt, ka (| x + 2 | <3 ), kur (x ) - vērtības ir starp (- 5 ) un (1 ). Lai piemērotu teorēmu, mums vispirms jāizolē absolūtā vērtība.

Piemērs ( PageIndex {8} ):

Atrisināt: (4 | x + 3 | - 7 ≤ 5 ).

Risinājums

Sāciet, izolējot absolūto vērtību.

Pēc tam pielietojiet teorēmu un pārrakstiet absolūtās vērtības nevienlīdzību kā saliktu nevienlīdzību.

Atrisiniet.

Ēnojiet risinājumus uz ciparu līnijas un atbildi uzrādiet intervālu apzīmējumos. Šeit mēs izmantojam slēgtus punktus, lai diagrammā norādītu iekļaujošo nevienlīdzību šādi:

Atbilde:

Izmantojot intervālu apzīmējumu, ([- 6,0] )

Vingrinājums ( PageIndex {3} )

Atrisiniet un uzzīmējiet risinājumu kopu: (3 + | 4 x - 5 | <8 ).

Atbilde

Intervāla apzīmējums: ((0, frac {5} {2}) )

www.youtube.com/v/sX6ppL2Fbq0

Pēc tam mēs pārbaudīsim nevienlīdzības risinājumus, kas ietver "pārāks nekā, "kā šajā piemērā:

(| x | geq 3 )

Šī nevienlīdzība raksturo visus skaitļus, kuru attālums no sākuma ir lielāks vai vienāds ar (3 ). Grafikā mēs varam noēnot visus šādus skaitļus.

Ir bezgalīgi daudz risinājumu, kurus var izteikt, izmantojot kopu un intervālu apzīmējumus šādi:

Ņemot vērā jebkuru algebrisko izteiksmi (X ) un jebkuru pozitīvu skaitli (p ):

Teorēma attiecas arī uz stingru nevienlīdzību. Citiem vārdiem sakot, mēs varam pārveidot jebkuru absolūtās vērtības nevienlīdzību,pārāks nekā”Saliktā nevienlīdzībā, kas apraksta divus intervālus.

Piemērs ( PageIndex {9} ):

Atrisiniet un uzzīmējiet risinājumu kopu: (| x + 2 |> 3 ).

Risinājums

Argumentam (x + 2 ) jābūt mazākam par (- 3 ) vai lielākam par (3 ).

3} {x <- 5} quad quad quad quad quad : x> 1 end {masīvs} )

Atbilde:

Izmantojot intervālu apzīmējumus, ((- -, −5) ∪ (1, ∞) ).

(| X + 2 |> 3 ) risinājumu var interpretēt grafiski, ja mēs ļaujam (f (x) = | x + 2 | ) un (g (x) = 3 ) un pēc tam nosakām, kur (f (x)> g (x) ), uz vienas un tās pašas asu kopas attēlojot gan (f ), gan (g ).

Risinājums sastāv no visām (x ) vērtībām, kur (f ) diagramma atrodas virs (g ) diagrammas. Šajā gadījumā mēs varam redzēt, ka (| x + 2 |> 3 ), kur (x ) - vērtības ir mazākas par (- 5 ) vai ir lielākas par (1 ). Lai piemērotu teorēmu, vispirms jāizolē absolūtā vērtība.

Piemērs ( PageIndex {10} ):

Atrisināt: (3 + 2 | 4x - 7 | ≥ 13 ).

Risinājums

Sāciet, izolējot absolūto vērtību.

Pēc tam pielietojiet teorēmu un pārrakstiet absolūtās vērtības nevienlīdzību kā saliktu nevienlīdzību.

Atrisiniet.

Ēnojiet risinājumus uz ciparu līnijas un uzrādiet atbildi, izmantojot intervālu apzīmējumus.

Atbilde:

Izmantojot intervālu apzīmējumus, ((- - ∞, 12] 3 [3, ∞) )

Vingrinājums ( PageIndex {4} )

Atrisiniet un uzzīmējiet: (3 | 6 x + 5 | - 2> 13 ).

Atbilde

Izmantojot intervālu apzīmējumus, ( left (- infty, - frac {5} {3} right) cup (0, infty) )

www.youtube.com/v/P6HjRz6W4F4

Līdz šim lineāro absolūtās vērtības nevienādību risinājumu kopas sastāvēja no viena ierobežota intervāla vai diviem neierobežotiem intervāliem. Tas ne vienmēr notiek.

Piemērs ( PageIndex {11} ):

Atrisiniet un uzzīmējiet diagrammu: (| 2x − 1 | +5> 2 ).

Risinājums

Sāciet, izolējot absolūto vērtību.

2} {| 2 x - 1 | > - 3} beigu {masīvs} )

Ievērojiet, ka mūsu absolūtā vērtība ir lielāka nekā negatīvs skaitlis. Jebkuram reālam skaitlim x argumenta absolūtā vērtība vienmēr būs pozitīva. Tādējādi jebkurš reāls skaitlis atrisinās šo nevienlīdzību.

Ģeometriski mēs varam redzēt, ka (f (x) = | 2x − 1 | +5 ) vienmēr ir lielāks par (g (x) = 2 ).

Atbilde:

Visi reālie skaitļi, (ℝ ).

Piemērs ( PageIndex {12} ):

Atrisiniet un uzzīmējiet: (| x + 1 | + 4≤3 ).

Risinājums

Sāciet, izolējot absolūto vērtību.

Šajā gadījumā mēs varam redzēt, ka izolētajai absolūtai vērtībai jābūt mazākai vai vienādai ar negatīvu skaitli. Arī šajā gadījumā absolūtā vērtība vienmēr būs pozitīva; līdz ar to mēs varam secināt, ka risinājuma nav.

Ģeometriski mēs varam redzēt, ka (f (x) = | x + 1 | +4 ) nekad nav mazāks par (g (x) = 3 ).

Atbilde: (Ø )

Kopumā absolūtās vērtības vienādojumiem un nevienādībām ir trīs gadījumi. Attiecības (=, <, leq,> ) un (≥ ) nosaka, kuru teorēmu lietot.

1. gadījums: absolūtās vērtības vienādojums:

2. gadījums: absolūtās vērtības nevienlīdzība, kas saistīta ar "mazāk nekā."

3. gadījums: absolūtās vērtības nevienlīdzība, kas saistīta ar "pārāks nekā."

Key Takeaways

  • Lai atrisinātu absolūtās vērtības vienādojumu, piemēram, (| X | = p ), aizstājiet to ar diviem vienādojumiem (X = −p ) un (X = p ) un pēc tam atrisiniet katru kā parasti. Absolūtās vērtības vienādojumiem var būt līdz diviem risinājumiem.
  • Lai atrisinātu absolūtās vērtības nevienlīdzību, kas saistīta ar “mazāk nekā”, piemēram, (| | X | ≤ p ), aizstājiet to ar salikto nevienlīdzību (- p ≤ X ≤ p ) un pēc tam atrisiniet kā parasti.
  • Lai atrisinātu absolūtās vērtības nevienlīdzību, kas saistīta ar “lielāks par”, piemēram, (| | X | ≥ p ), aizstājiet to ar salikto nevienlīdzību (X ≤ −p ) vai (X ≥ p ) un pēc tam atrisiniet kā kā parasti.
  • Pirms šo teorēmu piemērošanas atcerieties izolēt absolūto vērtību.

Vingrinājums ( PageIndex {5} )

  1. (| x | = 9 )
  2. (| x | = 1 )
  3. (| x - 7 | = 3 )
  4. (| x - 2 | = 5 )
  5. (| x + 12 | = 0 )
  6. (| x + 8 | = 0 )
  7. (| x + 6 | = −1 )
  8. (| x - 2 | = −5 )
  9. (| 2g - 1 | = 13 )
  10. (| 3g - 5 | = 16 )
  11. (| −5t + 1 | = 6 )
  12. (| −6t + 2 | = 8 )
  13. ( left | frac {1} {2} x - frac {2} {3} right | = frac {1} {6} )
  14. ( left | frac {2} {3} x + frac {1} {4} right | = frac {5} {12} )
  15. (| 0,2x + 1,6 | = 3,6 )
  16. (| 0,3x - 1,2 | = 2,7 )
  17. (| 5 (y - 4) + 5 | = 15 )
  18. (| 2 (y - 1) - 3y | = 4 )
  19. (| 5x - 7 | + 3 = 10 )
  20. (| 3x - 8 | - 2 = 6 )
  21. (9 + | 7x + 1 | = 9 )
  22. (4 - | 2x - 3 | = 4 )
  23. (3 | x - 8 | + 4 = 25 )
  24. (2 | x + 6 | - 3 = 17 )
  25. (9 + 5 | x - 1 | = 4 )
  26. (11 + 6 | x - 4 | = 5 )
  27. (8 - 2 | x + 1 | = 4 )
  28. (12 - 5 | x - 2 | = 2 )
  29. ( frac {1} {2} | x - 5 | - frac {2} {3} = - frac {1} {6} )
  30. ( frac {1} {3} pa kreisi | x + frac {1} {2} pa labi | + 1 = frac {3} {2} )
  31. (- 2 | 7x + 1 | - 4 = 2 )
  32. (- 3 | 5x - 3 | + 2 = 5 )
  33. (1,2 | t - 2,8 | - 4,8 = 1,2 )
  34. (3,6 | t + 1,8 | - 2,6 = 8,2 )
  35. ( frac {1} {2} | 2 (3x - 1) - 3 | + 1 = 4 )
  36. ( frac {2} {3} | 4 (3x + 1) - 1 | - 5 = 3 )
  37. (| 5x - 7 | = | 4x - 2 | )
  38. (| 8x - 3 | = | 7x - 12 | )
  39. (| 5g + 8 | = | 2g + 3 | )
  40. (| 7g + 2 | = | 5g-2 | )
  41. (| 5 (x - 2) | = | 3x | )
  42. (| 3 (x + 1) | = | 7x | )
  43. ( left | frac {2} {3} x + frac {1} {2} right | = left | frac {3} {2} x - frac {1} {3} right | )
  44. ( left | frac {3} {5} x - frac {5} {2} right | = left | frac {1} {2} x + frac {2} {5} right | )
  45. (| 1,5 t - 3,5 | = | 2,5 t + 0,5 | )
  46. (| 3,2 t - 1,4 | = | 1,8 t + 2,8 | )
  47. (| 5 - 3 (2x + 1) | = | 5x + 2 | )
  48. (| 3 - 2 (3x - 2) | = | 4x - 1 | )
Atbilde

1. (−9, 9)

3. (4, 10)

5. (−12)

7. (Ø )

9. (−6, 7)

11. (- 1, frac {7} {5} )

13. (1, frac {5} {3} )

15. (−26, 10)

17. (0, 6)

19. (0, frac {14} {5} )

21. (- frac {1} {7} )

23. (1, 15)

25. (Ø )

27. (−3, 1)

29. (4, 6)

31. (Ø )

33. (−2.2, 7.8)

35. (- frac {1} {6}, frac {11} {6} )

37. (1, 5)

39. (- frac {5} {3}, - frac {11} {7} )

41. ( frac {5} {4}, 5 )

43. (- frac {1} {13}, 1 )

45. (−4, 0.75)

47. (0, 4)

Vingrinājums ( PageIndex {6} )

Atrisiniet un uzzīmējiet risinājumu kopu. Turklāt norādiet šķīduma kopu intervālā.

  1. Atrisiniet (x: p | ax + b | - q = 0 )
  2. Atrisiniet (x: | ax + b | = | p + q | )
Atbilde

1. (x = frac {- b q pm q} {a p} )

Vingrinājums ( PageIndex {7} )

Atrisiniet un uzzīmējiet risinājumu kopu. Turklāt norādiet šķīduma kopu intervālā.

  1. (| x | <5 )
  2. (| x | ≤ 2 )
  3. (| x + 3 | ≤ 1 )
  4. (| x - 7 | <8 )
  5. (| x - 5 | <0 )
  6. (| x + 8 | <−7 )
  7. (| 2x - 3 | ≤ 5 )
  8. (| 3x - 9 | <27 )
  9. (| 5x - 3 | ≤ 0 )
  10. (| 10x + 5 | <25 )
  11. ( left | frac {1} {3} x - frac {2} {3} right | leq 1 )
  12. ( left | frac {1} {12} x - frac {1} {2} right | leq frac {3} {2} )
  13. (| x | ≥ 5 )
  14. (| x |> 1 )
  15. (| x + 2 |> 8 )
  16. (| x - 7 | ≥ 11 )
  17. (| x + 5 | ≥ 0 )
  18. (| x - 12 |> −4 )
  19. (| 2x - 5 | ≥ 9 )
  20. (| 2x + 3 | ≥ 15 )
  21. (| 4x - 3 |> 9 )
  22. (| 3x - 7 | ≥ 2 )
  23. ( left | frac {1} {7} x - frac {3} {14} right |> frac {1} {2} )
  24. ( left | frac {1} {2} x + frac {5} {4} right |> frac {3} {4} )
Atbilde

1. (( - 5,5 ));

3. ([ - 4 , - 2 ]);

5. ( tukšot );

7. ([ - 1,4 ]);

9. ( left { frac {3} {5} right } );

11. ([ - 1,5 ]);

13. ((- infty, - 5] cup [5, infty) );

15. ((- infty, - 10) cup (6, infty) );

17. ( mathbb {R} );

19. ((- infty, - 2] cup [7, infty) );

21. (kreisais (- infty, - frac {3} {2} right) cup (3, infty) );

23. ((- infty, - 2) cup (5, infty) );

Vingrinājums ( PageIndex {8} )

Atrisiniet un uzzīmējiet risinājumu kopu.

  1. (| 3 (2x - 1) |> 15 )
  2. (| 3 (x - 3) | ≤ 21 )
  3. (- 5 | x - 4 |> −15 )
  4. (- 3 | x + 8 | ≤ −18 )
  5. (6 - 3 | x - 4 | <3 )
  6. (5 - 2 | x + 4 | ≤ −7 )
  7. (6 - | 2x + 5 | <−5 )
  8. (25 - | 3x - 7 | ≥ 18 )
  9. (| 2x + 25 | - 4 ≥ 9 )
  10. (| 3 (x - 3) | - 8 <−2 )
  11. (2 | 9x + 5 | + 8> 6 )
  12. (3 | 4x - 9 | + 4 <-1 -1)
  13. (5 | 4 - 3x | - 10 ≤ 0 )
  14. (6 | 1 - 4x | - 24 ≥ 0 )
  15. (3 - 2 | x + 7 |> −7 )
  16. (9 - 7 | x - 4 | <−12 )
  17. (| 5 (x - 4) + 5 |> 15 )
  18. (| 3 (x - 9) + 6 | ≤ 3 )
  19. ( left | frac {1} {3} (x + 2) - frac {7} {6} right | - frac {2} {3} leq - frac {1} {6} )
  20. ( left | frac {1} {10} (x + 3) - frac {1} {2} right | + frac {3} {20}> frac {1} {4} )
  21. (12 + 4 | 2x - 1 | ≤ 12 )
  22. (3 - 6 | 3x - 2 | ≥ 3 )
  23. ( frac {1} {2} | 2x - 1 | + 3 <4 )
  24. 2 | frac {1} {2} x + frac {2} {3} | - 3 ≤ −1 )
  25. (7 - | −4 + ​​2 (3 - 4x) |> 5 )
  26. (9 - | 6 + 3 (2x - 1) | ≥ 8 )
  27. ( frac {3} {2} - left | 2 - frac {1} {3} x right | < frac {1} {2} )
  28. ( frac {5} {4} - pa kreisi | frac {1} {2} - frac {1} {4} x right | < frac {3} {8} )
Atbilde

1. ((- infty, - 2) cup (3, infty) );

3. (( 1,7 ));

5. ((- infty, 3) cup (5, infty) );

7. ((- infty, - 8) cup (3, infty) );

9. ((- infty, - 19] cup [- 6, infty) );

11. ( mathbb {R} );

13. ( pa kreisi [ frac {2} {3}, 2 pa labi] );

15. (( - 12 , - 2 ));

17. ((- infty, 0) cup (6, infty) );

19. ([ 0,3 ]);

21. ( frac {1} {2} );

23. ( pa kreisi (- frac {1} {2}, frac {3} {2} pa labi) );

25. (pa kreisi (0, frac {1} {2} pa labi) );

27. ((- infty, 3) cup (9, infty) );

Vingrinājums ( PageIndex {9} )

Pieņemsim, ka visi saucēja mainīgie nav nulle.

  1. Atrisiniet (x ), kur (a, p> 0: p | ax + b | - q ≤ 0 )
  2. Atrisiniet (x ), kur (a, p> 0: p | ax + b | - q ≥ 0 )
Atbilde

1. ( frac {- q - b p} {a p} leq x leq frac {q - b p} {a p} )

Vingrinājums ( PageIndex {10} )

Ņemot vērā (f ) un (g ) grafiku, nosakiet (x ) vērtības, kur:

(a) (f (x) = g (x) )

(b) (f (x)> g (x) )

(c) (f (x)

1.

2.

3.

4.

Atbilde

1. a) (- 6, 0 ); (b) ((- ∞, −6) ∪ (0, ∞) ); (c) ((- - 6, 0) )

3. a) (Ø ); b) (ℝ ); c) (Ø )

Vingrinājums ( PageIndex {11} )

  1. Izgatavojiet trīs piezīmju kartītes, pa vienai katram no trim šajā sadaļā aprakstītajiem gadījumiem. Vienā pusē uzrakstiet teorēmu, bet otrā - pilnīgu risinājumu reprezentatīvam piemēram. Dalieties ar savu stratēģiju absolūtās vērtības vienādojumu un nevienlīdzību identificēšanai un risināšanai diskusiju panelī.
  2. Sastādiet savus absolūtās vērtības vienādojumu un nevienlīdzību piemērus, kuriem nav risinājuma, vismaz vienu katrā šajā sadaļā aprakstītajā gadījumā. Ilustrējiet savus piemērus ar diagrammu.
Atbilde

1. Atbilde var atšķirties

Zemsvītras piezīmes

63Attālums no skaitļa (a ) grafika līdz nullei skaitļu rindā, apzīmēts (| a | ).

64Skaits vai izteiksme absolūtās vērtības iekšpusē.