Raksti

1: Lineāro vienādojumu sistēmas - matemātika


1: Lineāro vienādojumu sistēmas - matemātika

1.1.1. Apakšiedaļa Līnija, plakne, telpa utt. ¶ pastāvīgā saite

lai apzīmētu visu reālo skaitļu kopu, t.i., skaitļu līniju. Tajā ir tādi skaitļi kā

Definīcija

jābūt pozitīvam veselam skaitlim. Mēs definējam

reālo skaitļu pāra sauc par a punkts gada

ir tikai visu (sakārtoto) sarakstu saraksts

reālie skaitļi. Mēs zīmēsim attēlus

pēc mirkļa, bet paturiet to prātā tā ir definīcija. Piemēram,

Piemērs (ciparu rinda)

Ģeometriski šī ir skaitļu līnija.

Piemērs (Eiklida plakne)

-plakne. Mēs to varam izdarīt, jo katru plaknes punktu var attēlot ar sakārtotu reālo skaitļu pāri, proti, tā

Piemērs (3 atstarpes)

telpa mēs (šķiet) dzīvojam. Mēs varam to izdarīt, jo katru kosmosa punktu var attēlot ar sakārtotu reālu skaitļu trīskāršu, proti, tā

Interaktīvs: punkti 3-kosmosā

Tos ir grūtāk vizualizēt, tāpēc jums jāatgriežas pie definīcijas:

ir visu pasūtīto kopa

Tās joprojām ir “ģeometriskas” atstarpes tādā nozīmē, ka mūsu intuīcija

Mēs izveidosim definīcijas un sakām teorēmas, kas attiecas uz jebkuru

bet mēs zīmēsim tikai attēlus

Šo telpu izmantošanas spēks ir spēja etiķete dažādi interesējošie objekti, piemēram, ģeometriskie objekti un vienādojumu sistēmu risinājumi, izmantojot

Piemērs (krāsu telpa)
Piemērs (satiksmes plūsma)
Piemērs (QR kodi)

Iepriekš minētajos piemēros no psiholoģiskā viedokļa bija lietderīgi četru numuru (kas raksturo satiksmes plūsmu) vai 841 numuru (kas apzīmē QR kodu) sarakstu aizstāt ar vienu datu daļu: punktu dažos

Tas ir spēcīgs jēdziens, sākot ar 2.2. Sadaļu. Šādā veidā gandrīz tikai ierakstīsim lineāro vienādojumu sistēmu risinājumus.


Eliminācijas metode lineāru sistēmu risināšanai

Cits veids, kā atrisināt lineāru sistēmu, ir eliminācijas metodes izmantošana. Eliminācijas metodē jūs vai nu pievienojat, vai atņemat vienādojumus, lai iegūtu vienādojumu vienā mainīgajā.

Kad viena mainīgā koeficienti ir pretstati, jūs pievienojat vienādojumus, lai izslēgtu mainīgo, un, kad viena mainīgā koeficienti ir vienādi, atņemiet vienādojumus, lai izslēgtu mainīgo.

X mainīgo varam novērst, pievienojot abus vienādojumus.

Tagad y vērtību var aizstāt ar kādu no sākotnējiem vienādojumiem, lai atrastu x vērtību

Lineārās sistēmas risinājums ir (0, 2).

Lai izvairītos no kļūdām, pirms izslēgšanas pārliecinieties, vai visi līdzīgie vārdi un vienādības zīmes ir vienās un tajā pašā slejās.

Ja jums nav vienādojumu, kur mainīgo varētu novērst, saskaitot vai atņemot, jūs varat sākt, reizinot vienu vai abus vienādojumus ar konstanti, lai iegūtu līdzvērtīgu lineāru sistēmu, kur jūs varat izslēgt vienu no mainīgajiem, pievienojot vai atņemšana.

Sāciet, reizinot pirmo vienādojumu ar -4, lai y koeficienti būtu pretēji

Nomainiet x jebkurā no sākotnējiem vienādojumiem, lai iegūtu y vērtību

Lineārās sistēmas risinājums ir (2, 3)


1: Lineāro vienādojumu sistēmas - matemātika

2. Lineāro vienādojumu sistēmas

Nav šaubu, ka studentu karjeras laikā daudzkārt esat saskāries ar lineāriem vienādojumiem. Visticamāk, pats pirmais vienādojums, kas jums bija jāatrisina, bija lineārs. Neskatoties uz vienkāršību, lineāro vienādojumu sistēmām ir ārkārtīgi liela nozīme matemātikā un tās pielietošanā fizisko zinātņu, ekonomikas, inženierzinātņu un daudzās citās jomās. Viens no lineārās algebras mērķiem ir sistemātiski pētīt lineāros vienādojumus. Šajā laboratorijā mēs izmantosim MATLAB, lai atrisinātu lineāro vienādojumu sistēmas. Mēs arī uzzināsim par ļoti noderīgu lineāro vienādojumu sistēmu pielietojumu ekonomikā un datorzinātnēs.

2.2 Lineāro vienādojumu sistēmas

Tagad mēs esam redzējuši, kā lineāro vienādojumu sistēmu var pārveidot par matricas vienādojumu, padarot sistēmu vieglāk atrisināmu. Piemēram, sistēma

var uzrakstīt šādi:

Tagad, palielinot matricu ar vektoru labajā pusē un izmantojot rindas darbības, šo vienādojumu var viegli atrisināt ar roku. Tomēr, ja mūsu sistēmā nebūtu jauku veselu skaitļu ierakstu, sistēmas atrisināšana ar rokām, izmantojot rindu samazināšanu, varētu kļūt ļoti sarežģīta. MATLAB nodrošina mums vienkāršāku veidu, kā saņemt atbildi.

Šāda veida sistēmai ir forma Ax = b, tāpēc mēs varam ievadīt šos numurus MATLAB, izmantojot šādas komandas:

(Ievērojiet, ka kolonnu vektoram b, pēc katra ieraksta mēs iekļaujam semikolus, lai pārliecinātos, ka ieraksti komandā atrodas dažādās rindās

radītu rindas vektoru, kas nav tas pats.)

atradīs mūsu vienādojuma risinājumu (ja tāds pastāv) Ax = b. Šajā gadījumā MATLAB mums to saka

Piezīme 2.1 Lūdzu, uzmanieties, ievadot komandu "A b". Tam ir slīpsvītra "", NAV slīpsvītra uz priekšu "/".

Piezīme 2.2 Iepriekš minētā uzdevuma c) daļas neatbilstība ir saistīta tikai ar noapaļošanas kļūdu. Jūs ievērosiet, ka kļūda ir vektors, kas reizināts ar ļoti mazu skaitli, viens ar lielumu 10-15. Bet kāpēc vispār ir kāda kļūda? Galu galā, risinot ar rindu samazinājumu, tika iegūti ļoti jauki skaitļi, vai ne? Iemesls ir tajā, kā MATLAB glabā numurus. Šajā aprēķinā MATLAB attēlo skaitļus "peldošā komata formā", kas nozīmē, ka tas tos pārstāv zinātniskajā pierakstā ar precizitāti 10 ^ (- 14). Tādējādi, kad aprēķinos redzat iespiestu 10 ^ (- 14), tas ir vienāds ar nulli.

Tomēr vienādojumu sistēmu risināšanā, izmantojot komandu "x = C d", ir trūkums. Ļaujiet mums to izpētīt tālāk.

2.2. Uzdevums Apsveriet šādu vienādojumu sistēmu:

Tāpat kā iepriekšējā vingrinājumā, ievadiet atbilstošo matricu C un kolonnu vektors dMATLAB. Pēc tam ierakstiet

Ievērojiet dīvaino rezultātu. Iekļaujiet to savā pierakstā. Tagad turpiniet un atrisiniet šo sistēmu ar rokām. Cik daudz brīvo mainīgo jums nepieciešams, lai pierakstītu risinājumu? Pamatojoties uz jūsu atbildi, vai varat paskaidrot, kāpēc, mēģinot izmantot komandu "x = C d", tika parādīts kļūdas ziņojums?

Lai tiktu galā ar nekonsekventām sistēmām vai sistēmām ar bezgalīgi daudziem risinājumiem, dažreiz var būt labāk izmantot MATLAB, lai vienkārši samazinātu matricas rindu un pēc tam nolasītu risinājumus. Mums gadās ļoti paveicies, jo MATLAB ir komanda, kas jums veic Gausa izslēgšanu.

Apsveriet šādu viendabīgu vienādojumu sistēmu:

Ievadiet atbilstošo matricu C un kolonnu vektors dMATLAB. Tagad mēs vēlamies veikt rindas samazināšanu uz paplašinātās matricas [C | d]. Komandu, kas veic rindu samazināšanu MATLAB, sauc par “rref” (tas nozīmē “samazināta rindu ešelona forma”). Pēc tam ierakstiet

1.0000 0 -3.5000 0
0 1.0000 12.0000 0
0 0 0 0

Atgādiniet no klases, ka pēc tam mēs varam izmantot rindas samazināto formu, lai to iegūtu

x3 šeit ir brīvais mainīgais, un to var izvēlēties par jebkuru vērtību. Pēc izvēles abi iepriekš minētie vienādojumi nosaka vērtības x1 un x2. Piemēram, ja mēs izvēlamies x3= 2, tad x1= 7 un x2= 24. Tādā veidā mēs varam pierakstīt visus iepriekšminētās sistēmas risinājumus (kuru ir bezgalīgi daudz).

a) Apsveriet šādu viendabīgu vienādojumu sistēmu:

2.3. Pielietojums ekonomikā: Leontief modeļi

Vasīlijs Leontiefs (1906-1999) bija Krievijā dzimis amerikāņu ekonomists, kurš bez ļoti sarežģītu ekonomikas teoriju izstrādes baudīja arī foreļu makšķerēšanu, baletu un izcilus vīnus. Viņš ieguva 1973. gada Nobela prēmiju ekonomikā par darbu matemātisko modeļu izveidē dažādu ekonomisko parādību aprakstīšanai. Šīs laboratorijas atlikušajā daļā mēs aplūkosim ļoti vienkāršu viņa darba īpašu gadījumu, ko sauc par slēgtas apmaiņas modeli. Šeit ir priekšnoteikums:

Pieņemsim, ka tālā Eigenbazistānas zemē, nelielā lauku pilsētā ar nosaukumu Matrixville, dzīvoja zemnieks, drēbnieks, galdnieks, ogļraktnieks un sliņķis Bobs. Lauksaimnieks ražoja pārtiku, ko veica Drēbnieks, apģērba galdnieku, kurā atradās ogļu kalnraču piegādātā enerģija, un Slacker Bob izgatavoja augstas kvalitātes 100 pierādītu mēness spīdumu, no kura pusi viņš pats dzēra. Pieņemsim šādus pieņēmumus:

Visi pērk no centrālā baseina un pārdod tam (t.i., nav ārēja piedāvājuma un pieprasījuma)

Viss saražotais tiek patērēts

Šo iemeslu dēļ to sauc par a slēgts apmaiņas modelis. Tālāk mums jānorāda, kādu daļu no katras preces patērē katrs cilvēks mūsu pilsētā. Šeit ir tabula ar šo informāciju:

Ēdiens Apģērbs Mājokļi Enerģija Augstas kvalitātes 100 pierādīts mēness spīdums
Zemnieks 0.25 0.15 0.25 0.18 0.20
Drēbnieks 0.15 0.28 0.18 0.17 0.05
Galdnieks 0.22 0.19 0.22 0.22 0.10
Ogļracis 0.20 0.15 0.20 0.28 0.15
Sliņķis Bobs 0.18 0.23 0.15 0.15 0.50

Tā, piemēram, Galdnieks patērē 22% no visas pārtikas, 19% no visām drēbēm, 22% no visa mājokļa, 22% no visas enerģijas un 10% no visiem augstas kvalitātes 100 pierādītajiem Moonshine.

2.4. Uzdevums Ņemiet vērā, ka visas šīs tabulas slejas ir līdz 1. Paskaidrojiet, kāpēc tas notiek.

Tagad ļaujiet lppF, lppT, lppC, lppCM, lppSBapzīmē attiecīgi lauksaimnieka, drēbnieka, galdnieka, ogļrača un sliņķa Boba ienākumus. Ņemiet vērā, ka katrs no šiem daudzumiem apzīmē ne tikai katra mūsu cienītā pilsoņa ienākumus, bet arī atbilstošo preču izmaksas. Tā, piemēram, lppFir lauksaimnieka ienākumi, kā arī visas pārtikas izmaksas. Tātad, ja zemnieks saražo pārtiku 100 USD vērtībā, tad arī viņa ienākumi būs 100 USD, jo visa šī pārtika tiek izpirkta un peļņa nonāk zemniekam.

Ideja, protams, ir iespēja saprast, kā mums vajadzētu noteikt cenas precēm, lai Matrixville pilsoņi varētu izdzīvot, t.i., mums jāatrod lppF, lppT, lppC, lppCM, un lppSB ievērojot šādus nosacījumus:

0,25pF + 0,15pT + 0,25pC + 0,18pCM + 0,20 lppSB = lppF
0,15pF + 0,28pT + 0,18pC + 0,17pCM + 0.05pSB = lppT
0,22pF + 0,19pT + 0,22pC + 0,22pCM + 0,10pSB = lppC
0,20 lppF + 0,15pT + 0,20 lppC + 0,28pCM + 0,15pSB = lppCM
0,18pF + 0,23pT + 0,15pC + 0,15pCM + 0,50pSB = lppSB

2.5. Vingrinājums Paskaidrojiet, no kurienes radusies šī vienādojumu sistēma un ko tā nozīmē. (Padomājiet, ko nozīmē katra vienādojuma kreisā un labā puse.)

Apzīmēsim kolonnu vektoru (lppF, lppT, lppC, lppCM lppSB) T līdz lpp, un ļaujiet C ir iepriekšminētās sistēmas koeficienta matrica. Tagad mēs varam pārrakstīt šo sistēmu kā

Clpp = lpp

Clpp - lpp = Clpp - Eslpp = (C - I)lpp = 0

kur Es ir 5x5 matrica ar 1 pa diagonāli un 0 visur citur. Matricas īpašība Es mēs to izmantojam Esv= v jebkuram vektoram v.

& gt & gt C = [0,25 0,15 0,25 0,18 0,20
0.15 0.28 0.18 0.17 0.05
0.22 0.19 0.22 0.22 0.10
0.20 0.15 0.20 0.28 0.15
0.18 0.23 0.15 0.15 0.50]

Ievērojiet, ka komanda "acs (n)" izveido n x n matricu ar 1 pa diagonāli un 0 citur.


2.4. Kā darbojas Google meklēšana

Šī stāsta sākums faktiski ir Perrona un Frobeniusa teorēma no 20. gadsimta sākuma, bet mēs to vēlāk apspriedīsim savā pasakā. Tā vietā mēs sākam ar jauku vārdu problēmu, kas ilustrē teorēmu, kas ir uzjautrinājusi lineārās algebras studentus vismaz tālajā 70. gados. Problēma ir: Kurā konkrētā cilvēku grupā ir vispopulārākais?

Viena iespējama pieeja ir lūgt visiem grupas dalībniekiem norādīt savus draugus šajā grupā. Pieņemsim, ka ir 4 cilvēki, vārdā Džeina, Čārlijs, Mērija un Freds, kurus mēs mīļi iesaukām J, C, M un F. Draugu saraksts ir:

Džeina uzskaita C un M
Čārlijs uzskaita J, M un F
Marija uzskaita J, C un F
Freds uzskaita J un M

(Šis eksperiments ir bīstams. Jums nevajadzētu to izmēģināt savā kopmītnē.) Mūsu dati, protams, ir 0 un 1 4x4 matrica:

Daži cilvēki mēdz uzskaitīt katru, ko viņi jebkad ir satikuši, un citi - tikai tuvākos draugus, tāpēc, lai to kompensētu, mēs matricu normalizējam, sadalot katru sarakstu ar tajā esošo cilvēku skaitu:

Mēs to sauksim par sasaistes matrica un apzīmē to ar L
Tagad, kad esam apkopojuši datus, mēs vēlamies noteikt negatīvo skaitli, kas saistīts ar katru personu, ko sauc par viņu popularitāte kopā tie dod popularitātes vektors grupai. Tās pamatīpašība ir

Personas popularitāte ir to cilvēku popularitātes svērtā summa, kuri atsaucas uz šo personu.

Mēs redzam, kādi ir svari un ko tas nozīmē ar piemēru,

kas šķiet saprātīgi, ja uzskata, ka Čārlija ieguldījums ir Džeinas popularitātē, jo Džeina ir viena trešdaļa Čārlija draugu un tā ir Čārlija popularitāte. Matricas vektora formā šie vienādojumi ir precīzi

Lr = r (A.1. Vienādojums)

kur Es ir 4x4 identitātes matrica. Atrisinot šo vienādojumu, mēs varam noteikt Džeinas, Čārlija, Marijas un Fredas relatīvo "popularitāti". Mēs palaidām MATLAB, izmantojot komandu rref kā 2.6. Uzdevumā, un iestatījām (protams, patvaļīgi) rF = 1, lai iegūtu r = 1.5, rC = 1.3125, rM = 1,6875, un rF = 1. Tādējādi popularitātes secība no augstākās līdz zemākajai ir: Marija, Džeina, Čārlijs un visbeidzot Freds.

Dažiem Stenfordas maģistrantiem radās ideja, ka šāda veida metodi varētu izmantot, lai sarindotu tīmekļa lapu grupu. Jūs ierakstāt dažus atslēgas vārdus (kurus mēs apzīmēsim ar kopu K) un programmatūra identificē lielu skaitu vietņu WK (no kuriem lielākā daļa ir atkritumi, ciktāl jūs skarat), kas satur vārdus K. Lielais izaicinājums ir automātiski atrast dažas labas (populāras) tīmekļa lapas. Ko Google dibinātāji darīja, programmatūra izskatīja katru vietni w iekšā WK un noteikt, kuras citas tīmekļa lapas iekš WK lapu w saites uz, tādējādi saistoties ar katru vietni w vektors Lw no 0 un 1, tāpat kā mēs to darījām iepriekš ar studentu sarakstu. Tālāk tas veido matricu L kuru kolonnas ir normalizētie vektori Lw un turpina darboties tāpat kā mēs ar popularitātes problēmu. Google aprēķina r ļoti ātri, un jums, lietotājam, tīmekļa lapas tiek uzskaitītas pēc augstākās vai zemākās popularitātes.

Izklausās kā labs plāns, taču, ja jūs gatavojaties uz to balstīt uzņēmumu un ieguldīt daudz naudas, lai to atbalstītu, ir dažas lietas, kuras noteikti vēlaties uzzināt:
a) Vai vienādojums Lr = r iepriekšminētajiem vienmēr ir risinājums (ko jūs zināt no līdzšinējā kursa, jūs domājat, ka tas reti notiks?)
b) Vai risinājumā būs ieraksti, kas nav negatīvi?
c) Vai risinājums ir unikāls? Ja nē, mums būs pretrunīgi vērtējumi.

Par laimi, Google dibinātāji to zināja

Teorēma (Perron-Frobenious) Jebkurai matricai L visi ieraksti nav negatīvi un katra kolonna summējas ar 1, vienādojums Lr = r ir negatīvs risinājums r.

Tādējādi Perrona-Frobeniusa teorēma mums saka, ka popularitātes problēmai vienmēr ir risinājums. Lai gan mēs to neiedziļināmies, teorija mums arī saka, ka unikalitāte parasti ir patiesa, un izskaidro apstākļus, kad tā nav.

Deviņdesmito gadu beigās vadošais interneta portāls bija Yahoo, kas nodarbināja pilnas noliktavas ar cilvēkiem, lai apskatītu tīmekļa lapas un tās vērtētu. Izmantojot šo vienkāršo matemātikas modeli (pievienojot dažus zvaniņus un svilpes), Google ātri nomainīja Yahoo. Tikko redzēto rangu bieži sauc par Page Rank pēc tam, kad pēc Google dibinātāja Lerija Peidža, kurš pēc dažiem gadiem ir kļuvis par vienu no 10 bagātākajiem amerikāņiem. Tas viss patiešām ir galvenais piemērs strauji augošai tīklu analīzes jomai.

Jāvelk vairākas morāles. Teorēmas ir efektīvs veids, kā atcerēties galvenās idejas. Tas, ko matemātiķis sauc par pierādījumu, nozarei var noderēt kā kvalitātes kontrole. Visbeidzot, ja jūs labi iemācīsities lineāro algebru, tad jūs, iespējams, kļūsit bagāts.

Tagad ir pienācis laiks nedaudz praktizēt ar PageRank algoritmu. Pieņemsim, ka mums ir piecas vietnes, proti, jūsu labo draugu Alana, Betas, Čārlija, Danas un Eleanoras vietnes, kuras mēs vienkārši apzīmēsim kā A, B, C, D un E. Pieņemsim arī, ka saites starp dažādām vietnēm ir norādīts zemāk redzamajā diagrammā:

Bultiņa, kas norāda no C uz D, nozīmē, ka Čārlija vietne ir saistīta ar Danas vietnēm utt. Mazām objektu kolekcijām šādi grafiki ir efektīvs līdzeklis, lai parādītu saites starp vietnēm.

2.7. Uzdevums
a) Izveidojiet saistošo matricu L, kurā ir informācija par to, kuras vietnes saites uz kuru tāpat kā mēs to darījām popularitātes piemērā. Neaizmirstiet normalizēt un pārliecinieties, vai ievadītā informācija ir precīza (piemēram, pārliecinieties, vai ievadāt 1/3, nevis .333 - tas ir svarīgi b daļai, jo mūsu slejām jāsummējas līdz 1). Iekļaujiet visu Matlab ievadi un izvadi.
b) Izmantojiet komandu rref, lai atrastu visus risinājumus x uz matricas vienādojumu (L - I)x = 0. Iekļaujiet visu Matlab ievadi un izvadi (ja saņemat kaut ko līdzīgu "Tukšā matrica: 5 līdz 0", pārliecinieties, ka esat vēlreiz pārbaudījis atbildi uz A daļu!).
c) Kura vietne ir ar augstāko PageRank? Paskaidrojiet savu atbildi, īpaši ņemot vērā visus negatīvos skaitļus, kas varētu būt radušies b) daļā. Uzskaitiet pārējās vietnes saraksta PageRank sarukuma secībā.

Praksē L bieži ir milzīgs. Tāpēc jautājums, par ko pārdomāt, ir tas, kā mēs to varam atrisināt Lr = r milzīga izmēra problēmām? Darbs mūsu labā ir fakts, ka lielākā daļa L ir 0. Šāda an L sauc par retu matricu, un galvenā matemātikas pētījumu nozare to izmanto, lai atrastu risinājumu. Ko mēs darām? Padoms: Gausa izslēgšana (rindas samazināšana) nedarbosies. Vēlāk šajos uzdevumos mēs ieskatīsimies kaut ko darāmā.

Mēs esam gandrīz pabeiguši, taču pirms darba pabeigšanas mēs vēlētos saņemt no jums dažas (pēc izvēles) atsauksmes, lai mēs varētu uzlabot šo laboratoriju. Ja jums ir kādi komentāri, rakstiet tos (ja vēlaties, ar roku) uz a atsevišķa lapa jūsu uzdevuma beigās, lai mēs to varētu noraut, pirms atdodam jūsu uzdevumu.


Prieka pēc . Izdari to vēlreiz!

Lai izklaidētos (un lai palīdzētu jums mācīties), darīsim to visu vēlreiz, bet vispirms ievietojiet matricu & quotX & quot.

Es vēlos jums parādīt šo ceļu, jo daudzi cilvēki domā, ka iepriekš minētais risinājums ir tik veikls, ka tam jābūt vienīgajam.

Tāpēc mēs to atrisināsim šādi:

Tā kā matricas tiek reizinātas, tagad matricas ir jāiestata citādi. Rindas un kolonnas ir jāpārslēdz (& quot; transponēts & quot):

XA = B izskatās šādi:


1: Lineāro vienādojumu sistēmas - matemātika

Lineāro vienādojumu sistēmas: definīcijas (1. lpp. no 7)

Vienādojumu & quotsystem & quot ir vienādojumu kopums vai kopums, ar kuriem jūs vienlaikus nodarbojaties. Lineārie vienādojumi (tie, kas grafiko kā taisnas līnijas) ir vienkāršāki nekā nelineāri vienādojumi, un vienkāršākā lineārā sistēma ir viena ar diviem vienādojumiem un diviem mainīgajiem.

Padomājiet par lineārajiem vienādojumiem. Piemēram, ņemiet vērā lineāro vienādojumu y = 3x & ndash 5. Šim vienādojumam & quotsolution & quot bija jebkurš x, y -vienojiet šo & quot; apstrādāto & quot; vienādojumā. Tātad (2, 1) bija risinājums, jo, pievienojot kontaktligzdai 2 domēnu x:

3x & ndash 5 = 3 (2) & ndash 5 = 6 & ndash 5 = 1 = y

No otras puses, (1, 2) nebija risinājums, jo, pieslēdzot 1 domēnam x :

. kas nebija vienāds y (kas bija 2, šim punktam). Protams, praktiski jūs neatradāt vienādojuma risinājumus, izvēloties nejaušus punktus, pievienojot tos un pārbaudot, vai tie "darbojas" vienādojumā. Tā vietā jūs izvēlējāties x -vērtībām un pēc tam aprēķināja atbilstošo y -vērtības. Un jūs izmantojāt šo pašu procedūru, lai attēlotu vienādojumu. Tas norāda uz svarīgu faktu: katrs grafika punkts bija vienādojuma risinājums, un jebkurš vienādojuma risinājums bija punkts grafikā.

Tagad apsveriet šādu divu mainīgo lineāro vienādojumu sistēmu:

y = 3 x & ndash 2
y = & ndash x & ndash 6


Tā kā abi iepriekš minētie vienādojumi ir sistēmā, mēs tos vienlaikus izskatām kopā. Jo īpaši mēs tos varam attēlot vienā un tajā pašā ass sistēmā šādi:


Risinājums a viens vienādojums ir jebkurš punkts, kas atrodas uz šī vienādojuma līnijas. Risinājums a sistēmā vienādojums ir jebkurš punkts, kas atrodas uz katras sistēmas līnijas. Piemēram, sarkanais punkts labajā pusē nav sistēmas risinājums, jo tas nav nevienā no līnijām:


Labais zilais punkts nav sistēmas risinājums, jo tas atrodas tikai vienā no līnijām, nevis uz gan no viņiem:


Labajā pusē esošais purpursarkanais punkts ir sistēmas risinājums, jo tas atrodas uz abām līnijām:

Īpaši šis purpursarkanais punkts iezīmē abu līniju krustojumu. Tā kā šis punkts atrodas uz abām līnijām, tas tādējādi atrisina abus vienādojumus, tātad visu vienādojumu sistēmu. Un šī sakarība vienmēr ir patiesa: Vienādojumu sistēmām & quotolutions & quot ir & quotintersections & quot. Jūs varat apstiprināt risinājumu, pievienojot to vienādojumu sistēmai un apstiprinot, ka risinājums darbojas katrā vienādojumā.

    Nosakiet, vai kāds no punktiem(& ndash1, & ndash5)un(0, & ndash2)ir dotās vienādojumu sistēmas risinājums.

y = 3 x & ndash 2
y = & ndash x & ndash 6

Lai pārbaudītu dotos iespējamos risinājumus, es vienkārši pievienoju x - un y -koordinē vienādojumos un pārbauda, ​​vai tie darbojas. Autortiesības un kopēt Elizabetes Stapel 2003. – 2011. Visas tiesības aizsargātas

Tā kā dotais punkts darbojas katrā vienādojumā, tas ir sistēmas risinājums. Tagad es pārbaudīšu otru punktu (ko mēs jau zinām, skatoties uz diagrammu, nav risinājums):

Tātad risinājums darbojas vienā no vienādojumiem. Bet, lai atrisinātu sistēmu, tai jādarbojas abos vienādojumos. Turpinot pārbaudi:

Bet & ndash2 nav vienāds ar & ndash6, tāpēc šo & quotsolution & quot nepārbauda. Tad atbilde ir:

tikai punkts (& ndash1, & ndash5) ir sistēmas risinājums


Lineāro vienādojumu sistēmas - divi mainīgie (A)

Skolotājs s var izmantot matemātikas darblapas kā pārbaudi, prakses uzdevumus vai mācību līdzekļus (piemēram, grupas darbā, sastatnēs vai mācību centrā). Vecāks s var strādāt ar saviem bērniem, lai dotu viņiem papildu praksi, palīdzētu viņiem apgūt jaunas matemātikas prasmes vai saglabātu savas prasmes svaigas skolas pārtraukumos. Studentu s var izmantot matemātikas darblapas, lai apgūtu matemātikas prasmes praksē, mācību grupā vai vienaudžu apmācībā.

Izmantojiet zemāk esošās pogas, lai drukātu, atvērtu vai lejupielādētu programmatūras PDF versiju Lineāro vienādojumu sistēmas - divu mainīgo (A) matemātikas darblapa. PDF faila lielums ir 40702 baiti. Tiek parādīti pirmās un otrās (ja tāda ir) lapu priekšskatījuma attēli. Ja ir vairāk šīs darblapas versiju, pārējās versijas būs pieejamas zem priekšskatījuma attēliem. Lai iegūtu vairāk šāda veida, izmantojiet meklēšanas joslu, lai meklētu dažus vai visus šos atslēgvārdus: algebra, matemātika, matemātika, vienādojumu sistēmas, lineāri vienādojumi .

The Drukāt poga sāks pārlūkprogrammas drukas dialogu. The Atvērt poga atvērs pilnīgu PDF failu jaunā pārlūkprogrammas cilnē. The Skolotājs ar pogu tiks sākta pilnīga PDF faila lejupielāde, ieskaitot jautājumus un atbildes (ja tādas ir). Ja Students poga ir klāt, tā sāks lejupielādēt tikai jautājuma lapu (-as). Papildu opcijas var būt pieejamas, ar peles labo pogu noklikšķinot uz pogas (vai turot pieskārienu skārienekrānā). Es neredzu pogas!

Lineāro vienādojumu sistēmas - divi mainīgie (A) matemātikas darblapa 1. lapa Lineāro vienādojumu sistēmas - divi mainīgie (A) matemātikas darblapa 2. lpp

Lineāro nevienlīdzību sistēmas

Lineāro nevienlīdzību sistēma divos mainīgajos sastāv no vismaz divām lineārām nevienādībām tajos pašos mainīgajos. Lineārās nevienlīdzības risinājums ir sakārtots pāris, kas ir visu sistēmas nevienlīdzību risinājums, un lineārās nevienlīdzības grafiks ir visu sistēmas risinājumu grafiks.

Attēlojiet nevienlīdzību sistēmu

Vienā koordinātu plaknē vienā laikā noformējiet vienu līniju un noēnojiet pusplakni, kas apmierina nevienlīdzību.

Šķīduma reģions, kas ir pusplakņu krustojums, ir parādīts tumšākā tonī

Parasti ēnojums ir tikai risinājuma reģions, kas ļauj vieglāk redzēt, kurš reģions ir risinājuma reģions


Lineāru vienādojumu sistēmas diagramma

Lineāro vienādojumu sistēmas risinājumu var noteikt grafiski. Vienīgais, kas jums jādara, ir uzzīmēt līnijas, pamatojoties uz dotajiem vienādojumiem, un pēc tam vizuāli noteikt punktu, kurā līnijas krustojas. To var iemācīties izdarīt, noklikšķinot uz saites uz mūsu rakstu par lineāro vienādojumu grafiku.


Ja vēlaties praktizēt lineāro vienādojumu sistēmu risināšanu un grafikus, lūdzu, izmantojiet zemāk redzamās matemātikas darblapas.


Skatīties video: Lineāru vienādojumu sitstēmu risināšanas metodes Matlab vidē (Decembris 2021).