Raksti

5.7. Atrisiniet kvadrātisko nevienlīdzību


Mācību mērķi

Šīs sadaļas beigās jūs varēsiet:

  • Grafiski atrisiniet kvadrātiskās nevienlīdzības
  • Risināt kvadrātisko nevienlīdzību algebriski

Pirms sākat, veiciet šo gatavības viktorīnu.

  1. Atrisiniet: (2x − 3 = 0 ).
    Ja jums pietrūka šīs problēmas, skatiet 2.2. Piemēru.
  2. Atrisiniet: (2g ^ {2} + y = 15 ).
    Ja jums pietrūka šīs problēmas, skatiet 6.45. Piemēru.
  3. Atrisiniet ( frac {1} {x ^ {2} +2 x-8}> 0 )
    Ja jums pietrūka šīs problēmas, skatiet 7.56. Piemēru.

Iepriekš mēs esam iemācījušies atrisināt lineāro nevienlīdzību un racionālo nevienlīdzību. Daži no paņēmieniem, kurus izmantojām, lai tos atrisinātu, bija vienādi, bet citi - atšķirīgi.

Tagad mēs iemācīsimies novērst nevienlīdzību, kurai ir kvadrātiska izteiksme. Mēs izmantosim dažus paņēmienus, kā atrisināt lineāras un racionālas nevienlīdzības, kā arī kvadrātvienādojumus.

Kvadrātisko nevienlīdzību atrisināsim divos veidos - gan grafiski, gan algebriski.

Grafiski atrisiniet kvadrātiskās nevienlīdzības

A kvadrātvienādojums ir standarta formā, ja to raksta kā (ax ^ {2} + bx + c = 0 ). Ja vienādības zīmi aizstājam ar nevienlīdzības zīmi, mums ir kvadrātiskā nevienlīdzība standarta formā.

Definīcija ( PageIndex {1} )

Kvadrātiskā nevienlīdzība

A kvadrātiskā nevienlīdzība ir nevienlīdzība, kas satur kvadrātisku izteicienu.

Rakstīta kvadrātiskās nevienlīdzības standarta forma:

( begin {masīvs} {ll} {ax ^ {2} + b x + c <0} un {ax ^ {2} + b x + c leq 0} {ax ^ {2} + b x + c> 0} un {ax ^ {2} + b x + c geq 0} end {masīvs} )

Kvadrātiskās funkcijas (f (x) = a x ^ {2} + b x + c = 0 ) diagramma ir parabola. Kad mēs jautājam, kad ir (a x ^ {2} + b x + c <0 ), mēs jautājam, kad ir (f (x) <0 ). Mēs vēlamies uzzināt, kad parabola atrodas zem (x ) ass.

Kad mēs jautājam, kad ir (a x ^ {2} + b x + c> 0 ), mēs jautājam, kad ir (f (x)> 0 ). Mēs vēlamies uzzināt, kad parabola atrodas virs (y ) ass.

Piemērs ( PageIndex {1} ) Kā grafiski atrisināt kvadrātisko nevienlīdzību

Grafiski atrisiniet (x ^ {2} −6x + 8 <0 ). Rakstiet risinājumu intervālu apzīmējumos.

Risinājums:

1. solis: Uzrakstiet kvadrātisko nevienlīdzību standarta formā.

Nevienlīdzība ir standarta formā.

2. solis: Diagramma funkciju (f (x) = a x ^ {2} + b x + c ), izmantojot rekvizītus vai transformācijas.

Mēs attēlosim diagrammu, izmantojot īpašības.

Paskaties (a ) vienādojumā.

( krāsa {sarkana} {a = 1, b = -6, c = 8} )

(f (x) = x ^ {2} -6 x + 8 )

Tā kā (a ) ir pozitīvs, parabola tiek atvērta uz augšu.

Parabola atveras uz augšu.

(f (x) = x ^ {2} -6 x + 8 )

Simetrijas ass ir taisne (x = - frac {b} {2 a} ).

Simetrijas ass

(x = - frac {b} {2 a} )

( begin {masīvs} {l} {x = - frac {(- 6)} {2 cdot 1}} {x = 3} end {masīvs} )

Simetrijas ass ir taisne (x = 3 ).

Virsotne atrodas uz simetrijas ass. Funkcijā aizstājiet (x = 3 ).

Virsotne

Virsotne ir ((3, -1) ).

Mēs atrodam (f (0) )

(y ) - pārtvert

(Y ) - pārtveršana ir ((0,8) ).

Mēs izmantojam simetrijas asi, lai atrastu punktu, kas ir simetrisks (y ) - krustpunktam. (Y ) - pārtveršana ir (3 ) vienības pa kreisi no simetrijas ass, (x = 3 ). Punkta (3 ) vienībām pa labi no simetrijas ass ir (x = 6 ).

Simetrisks punkts pret (y ) - pārtvert

Punkts ir ((6,8) ).

Mēs atrisinām (f (x) = 0 ).

(x ) - pārtver

Mēs varam atrisināt šo kvadrātvienādojumu, izmantojot faktoringu.

(X ) - pārtvertās ir ((2,0) ) un ((4,0) ).

Mēs grafiku virsotni, pārtver un punktu, kas simetrisks pret (y ) - pārtveršanu. Mēs savienojam šos (5 ) punktus, lai ieskicētu parabolu.

3. solis: Nosakiet šķīdumu no diagrammas.

(x ^ {2} -6 x + 8 <0 )

Nevienādība pieprasa vērtības (x ), kas padara funkciju mazāku par (0 ). Kuras (x ) vērtības padara parabolu zem (x ) ass.

Mēs neiekļaujam vērtības (2 ), (4 ), jo nevienlīdzība ir mazāka nekā tikai.

Risinājums intervālu apzīmējumā ir ((2,4) ).

Vingrinājums ( PageIndex {1} )

  1. Grafiski atrisiniet (x ^ {2} +2 x-8 <0 )
  2. Rakstiet risinājumu intervālu apzīmējumos
Atbilde


  1. 9.8.4. Attēls
  2. ((-4,-2))

Vingrinājums ( PageIndex {2} )

  1. Grafiski atrisiniet (x ^ {2} -8 x + 12 geq 0 )
  2. Rakstiet risinājumu intervālu apzīmējumos
Atbilde


  1. 9.8.5. Attēls
  2. ((- infty, 2] cup [6, infty) )

Mēs uzskaitām soļus, kas jāveic, lai grafiski atrisinātu kvadrātisko nevienlīdzību.

Grafiski atrisiniet kvadrātisko nevienlīdzību

  1. Rakstiet kvadrātisko nevienlīdzību standarta formā.
  2. Uzzīmējiet funkciju (f (x) = ax ^ {2} + bx + c ).
  3. Nosakiet šķīdumu no diagrammas.

Pēdējā piemērā parabola atvērās uz augšu, bet nākamajā - uz leju. Abos gadījumos mēs meklējam parabola daļu, kas atrodas zem (x ) ass, taču ņemiet vērā, kā parabola stāvoklis ietekmē risinājumu.

Piemērs ( PageIndex {2} )

Grafiski atrisiniet (- x ^ {2} -8 x-12 leq 0 ). Rakstiet risinājumu intervālu apzīmējumos.

Risinājums:

Kvadrātiskā nevienlīdzība standarta formā.

Attēlojiet funkciju

Parabola atveras uz leju.

Atrodiet simetrijas līniju. ( begin {masīvs} {l} {x = - frac {b} {2 a}} {x = - frac {-8} {2 (-1)}} {x = - 4} beigu {masīvs} )
Atrodiet virsotni.

Virsotne ((- - 4,4) )

Atrodiet pārtverto (x ). Ļaujiet (f (x) = 0 ).
Faktors: izmantojiet nulles produkta īpašumu.
Uzzīmējiet parabolu.

(x ) - pārtver ((- - 6,0), (-2.0) )

Nosakiet šķīdumu no diagrammas. Mēs iekļaujam (x ) - pārtveršanu, jo nevienlīdzība ir "mazāka vai vienāda ar". ((- infty, -6] cup [-2, infty) )
9.8.1. Tabula

Vingrinājums ( PageIndex {3} )

  1. Grafiski atrisiniet (- x ^ {2} -6 x-5> 0 )
  2. Rakstiet risinājumu intervālu apzīmējumos
Atbilde


  1. 9.8.8. Attēls
  2. ((-1,5))

Vingrinājums ( PageIndex {4} )

  1. Grafiski atrisiniet (- x ^ {2} + 10x − 16≤0 )
  2. Rakstiet risinājumu intervālu apzīmējumos
Atbilde


  1. 9.8.9. Attēls
  2. ((- infty, 2] cup [8, infty) )

Risināt kvadrātiskās nevienlīdzības algebriski

Algebriskā metode, kuru izmantosim, ir ļoti līdzīga metodei, kuru izmantojām racionālas nevienlīdzības risināšanai. Mēs atradīsim nevienlīdzības kritiskos punktus, kas būs saistītā kvadrātvienādojuma risinājumi. Atcerieties, ka polinoma izteiksme var mainīt zīmes tikai tad, ja izteiksme ir nulle.

Mēs izmantosim kritiskie punkti sadalīt skaitļu līniju intervālos un pēc tam noteikt, vai kvadrātiskā izteiksme intervālā būs pozitīva vai negatīva. Pēc tam mēs nosakām nevienlīdzības risinājumu.

Piemērs ( PageIndex {3} ) Kā algebriski atrisināt kvadrātisko nevienlīdzību

(X ^ {2} -x-12 geq 0 ) atrisiniet algebriski. Rakstiet risinājumu intervālu apzīmējumos.

Risinājums:

1. solis: Uzrakstiet kvadrātisko nevienlīdzību standarta formā.Nevienlīdzība ir standarta formā.
2. solis: Nosakiet kritiskos punktus - saistītā kvadrātvienādojuma risinājumus.Nomainiet nevienlīdzības zīmi uz vienādības zīmi un pēc tam atrisiniet vienādojumu.
3. solis: Izmantojiet kritiskos punktus, lai skaitļu līniju sadalītu intervālos.Izmantojiet (- 3 ) un (4 ), lai skaitļu līniju sadalītu intervālos.
4. solis: Virs skaitļu līnijas parādiet katras kvadrātiskās izteiksmes zīmi, izmantojot testa punktus no katra intervāla, kas aizstāts ar sākotnējo nevienlīdzību.

Pārbaude:

(x = -5 )

(x = 0 )

(x = 5 )

( begin {masīvs} {ccc} {x ^ {2} -x-12} un {x ^ {2} -x-12} un {x ^ {2} -x-12} {(- 5) ^ {2} - (- 5) -12} un {0 ^ {2} -0-12} un {5 ^ {2} -5-12} {18} un {-12} un { 8} beigu {masīvs} )

5. solis: Nosakiet intervālus, kur nevienlīdzība ir pareiza. Rakstiet risinājumu intervālu apzīmējumos.

Nevienādība ir pozitīva pirmajā un pēdējā intervālā un ir vienāda ar (0 ) punktos (- 4,3 ).

Risinājums intervālu apzīmējumā ir ((- infty, -3] cup [4, infty) ).
9.8.2. Tabula

Vingrinājums ( PageIndex {5} )

(X ^ {2} + 2x − 8≥0 ) atrisināt algebriski. Rakstiet risinājumu intervālu apzīmējumos.

Atbilde

((- infty, -4] cup [2, infty) )

Vingrinājums ( PageIndex {6} )

(X ^ {2} −2x − 15≤0 ) atrisināt algebriski. Rakstiet risinājumu intervālu apzīmējumos.

Atbilde

([-3,5])

Šajā piemērā, tā kā izteiksme (x ^ {2} −x − 12 ) labi ietekmē faktorus, mēs katrā intervālā varam atrast arī zīmi līdzīgi kā mēs, risinot racionālas nevienlīdzības. Mēs atrodam katra faktora zīmi un pēc tam produkta zīmi. Mūsu numuru rinda vēlētos šo:

Rezultāts ir tāds pats kā mēs atradām, izmantojot citu metodi.

Šeit apkopojam soļus.

Algebriski atrisiniet kvadrātisko nevienlīdzību

  1. Rakstiet kvadrātisko nevienlīdzību standarta formā.
  2. Nosakiet kritiskos punktus - saistītā kvadrātvienādojuma risinājumus.
  3. Izmantojiet kritiskos punktus, lai skaitļu līniju sadalītu intervālos.
  4. Virs ciparu līnijas parādiet katras kvadrātiskās izteiksmes zīmi, izmantojot testa punktus no katra intervāla, kas aizstāts ar sākotnējo nevienlīdzību.
  5. Nosakiet intervālus, kur nevienlīdzība ir pareiza. Rakstiet risinājumu intervālu apzīmējumos.

Piemērs ( PageIndex {4} )

(X ^ {2} + 6x − 7 ≥0 ) atrisināt algebriski. Rakstiet risinājumu intervālu apzīmējumos.

Risinājums:

Rakstiet kvadrātisko nevienlīdzību standarta formā.
Reiziniet nevienlīdzības abas puses ar (- 1 ). Atcerieties mainīt nevienlīdzības zīmi.
Nosakiet kritiskos punktus, atrisinot saistīto kvadrātvienādojumu.
Uzrakstiet kvadrātisko formulu.
Pēc tam aizstājiet (a, b, c ) vērtības.
Vienkāršojiet. (x = frac {6 pm sqrt {8}} {2} )
Vienkāršojiet radikālo. (x = frac {6 pm 2 sqrt {2}} {2} )
Noņemiet kopējo faktoru (2 ). ( begin {masīvs} {l} {x = frac {2 (3 pm sqrt {2})} {2}} {x = 3 pm sqrt {2}} {x = 3 + sqrt {2}} quad x = 3- sqrt {2} {x apm 1,6} quad quad : : : x apm 4,4 end {masīvs} )
Izmantojiet kritiskos punktus, lai skaitļu līniju sadalītu intervālos. Testa numuri no katra intervāla sākotnējā nevienlīdzībā.
Nosakiet intervālus, kur nevienlīdzība ir pareiza. Rakstiet risinājumu intervālu apzīmējumos.
9.8.3. Tabula

Vingrinājums ( PageIndex {7} )

(- x ^ {2} + 2x + 1 ≥0 ) atrisināt algebriski. Rakstiet risinājumu intervālu apzīmējumos.

Atbilde

([- 1- sqrt {2}, - 1+ sqrt {2}] )

Vingrinājums ( PageIndex {8} )

(- x ^ {2} + 8x − 14 <0 ) atrisināt algebriski. Rakstiet risinājumu intervālu apzīmējumos.

Atbilde

((- infty, 4- sqrt {2}) cup (4+ sqrt {2}, infty) )

Kvadrātiskās nevienlīdzības katrā no iepriekšējiem piemēriem bija vai nu intervāls, vai divu intervālu savienojums. Tas izrietēja no tā, ka katrā gadījumā mēs atradām divus risinājumus atbilstošajam kvadrātvienādojumam (ax ^ {2} + bx + c = 0 ). Šie divi risinājumi mums deva vai nu abus (x )-pārtver grafiku vai divus kritiskos punktus, lai skaitļu līniju sadalītu intervālos.

Tas korelē ar mūsu iepriekšējo diskusiju par kvadrātvienādojuma risinājumu skaitu un veidu, izmantojot diskriminantu.

Kvadrātiskajam vienādojumam formā (ax ^ {2} + bc + c = 0, a ≠ 0 ).

Pēdējā tabulas rinda parāda, kad parabolas nekad nekrustojas ar (x ) asi. Izmantojot kvadrātisko formulu kvadrātvienādojuma atrisināšanai, radikāls ir negatīvs. Mēs iegūstam divus sarežģītus risinājumus.

Nākamajā piemērā kvadrātiskās nevienlīdzības risinājumi izrietēs no tā, ka kvadrātiskā vienādojuma risinājums būs sarežģīts.

Piemērs ( PageIndex {5} )

Atrisiniet, rakstot jebkuru risinājumu intervāla apzīmējumā:

  1. (x ^ {2} -3 x + 4> 0 )
  2. (x ^ {2} -3 x + 4 leq 0 )

Risinājums:

a.

Rakstiet kvadrātisko nevienlīdzību standarta formā.0)
Nosakiet kritiskos punktus, atrisinot saistīto kvadrātvienādojumu.
Uzrakstiet kvadrātisko formulu.
Pēc tam aizstājiet (a, b, c ) vērtības.
Vienkāršojiet. (x = frac {3 pm sqrt {-7}} {2} )
Vienkāršojiet radicand. (x = frac {3 pm sqrt {7 i}} {2} )
Sarežģītie risinājumi mums norāda
parabola neuztver (x ) ass.
Arī parabola atveras uz augšu. Šis
stāsta mums, ka parabola atrodas pilnīgi virs (x ) ass.

Kompleksi risinājumi

9.8.4. Tabula

Mums jāatrod risinājums (x ^ {2} −3x + 4> 0 ). Tā kā visām (x ) vērtībām grafiks atrodas virs (x ) - ass, visas (x ) vērtības padara nevienlīdzību patiesu. Intervāla apzīmējumā mēs rakstām ((- - ∞, ∞) ).

b. Rakstiet kvadrātisko nevienlīdzību standarta formā.

Nosakiet kritiskos punktus, atrisinot saistīto kvadrātvienādojumu.

Tā kā atbilstošais kvadrātvienādojums ir tāds pats kā a) daļā, parabola būs vienāda. Parabola atveras uz augšu un atrodas pilnīgi virs (x ) ass - neviena tās daļa nav zem (x ) - ass.

Mums jāatrod risinājums (x ^ {2} −3x + 4≤0 ). Tā kā visām (x ) vērtībām diagramma nekad nav zem (x ) - ass, neviena (x ) vērtība nepadara nevienlīdzību patiesu. Nevienlīdzībai nav risinājuma.

Vingrinājums ( PageIndex {9} )

Atrisiniet un rakstiet jebkuru risinājumu intervālu apzīmējumā:

  1. (- x ^ {2} +2 x-4 leq 0 )
  2. (- x ^ {2} +2 x-4 geq 0 )
Atbilde
  1. ((- infty, infty) )
  2. risinājuma nav

Vingrinājums ( PageIndex {10} )

Atrisiniet un rakstiet jebkuru risinājumu intervālu apzīmējumā:

  1. (x ^ {2} +3 x + 3 <0 )
  2. (x ^ {2} +3 x + 3> 0 )
Atbilde
  1. risinājuma nav
  2. ((- infty, infty) )

Galvenie jēdzieni

  • Grafiski atrisiniet kvadrātisko nevienlīdzību
    1. Rakstiet kvadrātisko nevienlīdzību standarta formā.
    2. Izmantojot īpašības vai transformācijas, noformējiet funkciju (f (x) = ax ^ {2} + bx + c ).
    3. Nosakiet šķīdumu no diagrammas.
  • Kā algebriski atrisināt kvadrātisko nevienlīdzību
    1. Rakstiet kvadrātisko nevienlīdzību standarta formā.
    2. Nosakiet kritiskos punktus - saistītā kvadrātvienādojuma risinājumus.
    3. Izmantojiet kritiskos punktus, lai skaitļu līniju sadalītu intervālos.
    4. Virs ciparu līnijas parādiet katras kvadrātiskās izteiksmes zīmi, izmantojot testa punktus no katra intervāla, kas aizstāts ar sākotnējo nevienlīdzību.
    5. Nosakiet intervālus, kur nevienlīdzība ir pareiza. Rakstiet risinājumu intervālu apzīmējumos.

Vārdnīca

kvadrātiskā nevienlīdzība
Kvadrātiskā nevienlīdzība ir nevienlīdzība, kas satur kvadrātisku izteicienu.

Kvadrātiskas nevienlīdzības risināšana - skaidrojums un piemēri

Tāpat kā vienādojumiem ir dažādas formas, nevienlīdzība pastāv arī dažādās formās un kvadrātiskā nevienlīdzība ir viens no tiem.

Kvadrātiskā nevienlīdzība ir otrās pakāpes vienādojums, kurā vienādības zīmes vietā tiek izmantota nevienlīdzības zīme.

The kvadrātiskās nevienlīdzības risinājumi vienmēr dod divas saknes. Sakņu raksturs var atšķirties, un to var noteikt atšķirīgs (b 2 - 4ac).

Kvadrātiskās nevienlīdzības vispārīgās formas ir:

Kvadrātiskās nevienlīdzības piemēri ir:

x 2 & # 8211 6x & # 8211 16 ≤ 0, 2x 2 & # 8211 11x + 12 & gt 0, x 2 + 4 & gt 0, x 2 & # 8211 3x + 2 ≤ 0 utt.


Kvadrātiskās nevienlīdzības risināšana

Tālāk mēs ieskicējam paņēmienu, ko izmanto kvadrātiskās nevienlīdzības atrisināšanai, neparādot parabolu. Lai to izdarītu, mēs izmantojam zīmju diagrammu. Funkcijas modelis, izmantojot ciparu līniju un zīmes (+ vai -), norāda domēna reģionus, kuros funkcija ir pozitīva vai negatīva. kas modelē funkciju, izmantojot skaitļa līniju, kas apzīmē x-aksi un zīmes (+ vai -), lai norādītu, kur funkcija ir pozitīva vai negatīva. Piemēram,

Plus zīmes norāda, ka funkcija ir pozitīva reģionā. Negatīvās zīmes norāda, ka funkcija reģionā ir negatīva. Robežas šajā gadījumā ir kritiskie skaitļi, −2 un 3. Zīmju diagrammas ir noderīgas, ja nav nepieciešams detalizēts grafika attēls, un tās tiek plaši izmantotas augstākā līmeņa matemātikā. Darbības kvadrātiskās nevienlīdzības risināšanai ar vienu mainīgo ir izklāstītas nākamajā piemērā.

3. piemērs

Ir svarīgi atzīmēt, ka šī kvadrātiskā nevienlīdzība ir standarta formā, un nevienlīdzības vienā pusē ir nulle.

1. solis: Nosakiet kritiskos skaitļus. Kvadrātiskai nevienlīdzībai standarta formā saknes ir kritiskie skaitļi. Tāpēc iestatiet funkciju vienāda ar nulli un atrisiniet.

- x 2 + 6 x + 7 = 0 - (x 2 - 6 x - 7) = 0 - (x + 1) (x - 7) = 0 x + 1 = 0 vai x - 7 = 0 x = - 1 x = 7

Kritiskie skaitļi ir −1 un 7.

2. solis: Izveidojiet zīmju diagrammu. Tā kā kritiskie skaitļi saistīja reģionus, kuros funkcija ir pozitīva vai negatīva, katrā reģionā mums jāpārbauda tikai viena vērtība. Šajā gadījumā kritiskie skaitļi sadala skaitļu līniju trīs reģionos, un mēs izvēlamies testa vērtības x = - 3, x = 0 un x = 10.

Testa vērtības var atšķirties. Faktiski mums ir jānosaka tikai rezultāta zīme (+ vai -), novērtējot f (x) = - x 2 + 6 x + 7 = - (x + 1) (x - 7). Šeit mēs novērtējam, izmantojot faktorēto veidlapu.

f (- 3) = - (- 3 + 1) (- 3 - 7) = - (- 2) (- 10) = - N egativef (0) = - (0 + 1) (0 - 7) = - (1) (- 7) = + P ositīvsf (10) = - (10 + 1) (10-7) = - (11) (3) = - N

Tā kā −3 novērtēšanas rezultāts bija negatīvs, mēs negatīvās zīmes novietojam virs pirmā reģiona. Novērtējot 0, rezultāts bija pozitīvs, tāpēc pozitīvas zīmes novietojam virs vidējā reģiona. Visbeidzot, novērtējot 10, rezultāts bija negatīvs, tāpēc mēs novietojam negatīvas zīmes virs pēdējā reģiona, un zīmju diagramma ir pilnīga.

3. solis: Lai atbildētu uz jautājumu, izmantojiet zīmju diagrammu. Šajā gadījumā mums tiek lūgts noteikt, kur f (x) ≥ 0 vai kur funkcija ir pozitīva vai nulle. No zīmju diagrammas mēs redzam, ka tas notiek, kad x-vērtības ir starp −1 un 7.

Izmantojot intervālu apzīmējumus, ēnoto apgabalu izsaka kā [- 1, 7]. Diagramma nav nepieciešama, tomēr pilnības labad tā ir sniegta zemāk.

Patiešām funkcija ir lielāka vai vienāda ar nulli, virs vai uz x- ass, par x-vērtības norādītajā intervālā.

4. piemērs

Sāciet ar kritisko skaitļu atrašanu, šajā gadījumā f (x) = 2 x 2 - 7 x + 3 saknes.

2 x 2 - 7 x + 3 = 0 (2 x - 1) (x - 3) = 0 2 x - 1 = 0 vai x - 3 = 0 2 x = 1 x = 3 x = 1 2

Kritiskie skaitļi ir 1 2 un 3. Stingras nevienlīdzības un gt dēļ mēs izmantosim atvērtus punktus.

Pēc tam katrā reģionā izvēlieties testa vērtību un pēc f (x) = 2 x 2 - 7 x + 3 = (2 x - 1) (x - 3) novērtēšanas nosakiet zīmi. Šeit mēs izvēlamies testa vērtības −1, 2 un 5.

f (- 1) = [2 (- 1) - 1] (- 1 - 3) = (-) (-) = + f (2) = [2 (2) - 1] (2 - 3) = ( +) (-) = - f (5) = [2 (5) - 1] (5 - 3) = (+) (+) = +

Un mēs varam pabeigt zīmju diagrammu.

Jautājums liek mums atrast x-vērtības, kas dod pozitīvus rezultātus (lielākas par nulli). Tāpēc ēnojiet reģionos ar + +. Tas ir risinājumu kopums.

Dažreiz kvadrātiskā funkcija nefaktē. Šajā gadījumā mēs varam izmantot kvadrātisko formulu.

5. piemērs

Atrodiet kritiskos skaitļus.

Identificēt a, b, un c izmantošanai kvadrātiskajā formulā. Šeit a = 1, b = - 2 un c = - 11. Aizstājiet atbilstošās vērtības kvadrātiskajā formulā un pēc tam vienkāršojiet.

x = - b ± b 2 - 4 ac 2 a = - (- 2) ± (- 2) 2 - 4 (1) (- 11) 2 (1) = 2 ± 48 2 = 2 ± 4 3 2 = 1 ± 2 3

Tāpēc kritiskie skaitļi ir 1 - 2 3 ≈ - 2,5 un 1 + 2 3 ≈ 4,5. Izmantojiet slēgtu punktu skaitlim, lai norādītu, ka šīs vērtības tiks iekļautas risinājumu komplektā.

Šeit mēs izmantosim testa vērtības −5, 0 un 7.

f (- 5) = (- 5) 2 - 2 (- 5) - 11 = 25 + 10 - 11 = + f (0) = (0) 2 - 2 (0) - 11 = 0 + 0 - 11 = - f (7) = (7) 2 - 2 (7) - 11 = 49 - 14 - 11 = +

Pēc zīmju diagrammas nokrāsas pabeigšanas vērtībās, kur funkcija ir negatīva, kā norādīts jautājumā (f (x) ≤ 0).

Izmēģiniet šo! Atrisināt: 9 - x 2 & gt 0.

Var gadīties, ka nav kritisku skaitļu.

6. piemērs

Lai atrastu atrisinātos kritiskos skaitļus,

Kvadrātiskajā formulā aizstājiet a = 1, b = - 2 un c = 3 un pēc tam vienkāršojiet.

x = - b ± b 2 - 4 ac 2 a = - (- 2) ± (- 2) 2 - 4 (1) (3) 2 (1) = 2 ± - 8 2 = 2 ± 2 i 2 2 = 1 + i 2

Tā kā risinājumi nav reāli, mēs secinām, ka patiesu sakņu nav, līdz ar to nav kritisku skaitļu. Tādā gadījumā diagrammā nav x-intercepts un ir pilnīgi virs vai zem x- ass. Mēs varam pārbaudīt jebkuru vērtību, lai izveidotu zīmju diagrammu. Šeit mēs izvēlamies x = 0.

Tā kā testa vērtība deva pozitīvu rezultātu, zīmju diagramma izskatās šādi:

Mēs meklējam vērtības, kur f (x) & gt 0 zīmju diagramma nozīmē, ka jebkurš reālais skaitlis x apmierinās šo nosacījumu.

Funkcija iepriekšējā piemērā ir attēlota zemāk.

Mēs varam redzēt, ka tam nav x-intercepts un vienmēr ir virs x-asis (pozitīvs). Ja jautājums būtu atrisināt x 2 - 2 x + 3 & lt 0, tad atbilde nebūtu bijusi risinājums. Funkcija nekad nav negatīva.

Izmēģiniet šo! Atrisināt: 9 x 2 - 12 x + 4 ≤ 0.

7. piemērs

Atrodiet domēnu: f (x) = x 2 - 4.

Atgādināsim, ka kvadrātsaknes funkcijas argumentam nav jābūt negatīvam. Tāpēc domēns sastāv no visiem reālajiem skaitļiem domēnam x tāds, ka x 2 - 4 ir lielāks vai vienāds ar nulli.

Jābūt skaidram, ka x 2 - 4 = 0 ir divi risinājumi x = ± 2, šīs ir kritiskās vērtības. Katrā intervālā izvēlieties testa vērtības un novērtējiet f (x) = x 2 - 4.

f (- 3) = (- 3) 2 - 4 = 9 - 4 = + f (0) = (0) 2 - 4 = 0 - 4 = - f (3) = (3) 2 - 4 = 9 - 4 = +

Ēna x-vērtības, kas dod pozitīvus rezultātus.

Atbilde: Domēns: (- ∞, - 2] ∪ [2, ∞)

Key Takeaways

  • Kvadrātiskai nevienlīdzībai var būt bezgalīgi daudz risinājumu, viens risinājums vai nav risinājuma.
  • Kvadrātisko nevienlīdzību mēs varam atrisināt grafiski, vispirms pārrakstot nevienlīdzību standarta formā ar nulli vienā pusē. Uzzīmējiet kvadrātisko funkciju un nosakiet, kur tā atrodas virs vai zem x- ass. Ja nevienlīdzība ir saistīta ar “mazāk nekā”, tad nosakiet x-vērtības, ja funkcija ir zemāk par x- ass. Ja nevienlīdzība ir saistīta ar “lielāka par”, tad nosakiet x-vērtības, ja funkcija ir virs x- ass.
  • Mēs varam pilnveidot kvadrātiskās nevienlīdzības risināšanas procesu, izmantojot zīmju diagrammu. Zīmju diagramma dod mums vizuālu norādi, kas norāda, kur funkcija atrodas virs x- asi, izmantojot pozitīvas pazīmes vai zemāk, x-taksis, izmantojot negatīvas pazīmes. Ēnā atbilstošais x-vērtības atkarībā no sākotnējās nevienlīdzības.
  • Lai izveidotu zīmju diagrammu, izmantojiet funkciju un testa vērtības katrā reģionā, ko ierobežo saknes. Mēs esam noraizējušies tikai tad, ja funkcija ir pozitīva vai negatīva, un tāpēc pilnīgs aprēķins nav nepieciešams.

Tēmas vingrinājumi

A daļa: kvadrātiskās nevienlīdzības risinājumi

Nosakiet, vai norādītā vērtība ir vai nav risinājums.

4 x 2 - 12 x + 9 ≤ 0 x = 3 2

5 x 2 - 8 x - 4 & lt 0 x = - 2 5

Ņemot vērā grafiku f noteikt risinājumu kopu.


Kaskadieris nolec no 20 m ēkas.

Ātrgaitas kamera ir gatava viņu filmēt 15 m līdz 10 m virs zemes.

Kad kamerai vajadzētu viņu filmēt?

Mēs varam izmantot šo formulu attālumam un laikam:

(Piezīme: ja jūs interesē formula, tā ir vienkāršota no d = d0 + v0t + & frac12a0t 2 , kur d0=20, v0=0, un a0= & mīnus9,81, paātrinājums gravitācijas dēļ.)

Pirmkārt, ieskicēsim jautājumu:

Attālums, no kura mēs vēlamies, ir 10 m uz 15 m:

Un mēs zinām formulu d:

Tagad atrisināsim to!

Vispirms atņemsim 20 no abām pusēm:

Tagad reiziniet abas puses ar & mīnus (1/5). Bet, tā kā mēs reizinām ar negatīvu skaitli, nevienlīdzība mainīs virzienu. izlasiet Nevienlīdzību risināšana, lai uzzinātu, kāpēc.

Lai tas būtu veikls, mazākajam skaitlim jābūt kreisajā pusē, bet lielākajam - labajā pusē. Tāpēc apmainīsim tos (un pārliecinieties, ka nevienlīdzība joprojām ir pareiza):

Visbeidzot, mēs varam droši ņemt kvadrātsaknes, jo visas vērtības ir lielākas par nulli:

Mēs varam pateikt filmēšanas grupai:

& quot; Filma no 1,0 līdz 1,4 sekundēm pēc lēciena & quot


Darbojies 19. piemērs: kvadrātiskās nevienlīdzības atrisināšana ar daļām

Vienādojuma atrisināšana

Lai atrisinātu šo vienādojumu, reizinām abas vienādojuma puses ar ((x + 3) (x-3) ) un vienkāršojam: begin frac <2> reizes (x + 3) (x-3) & amp = frac <1> reizes (x + 3) (x-3) 2 (x-3) & amp = x + 3 2x-6 & amp = x + 3 x & amp = 9 beigas

Nevienlīdzības risināšana

Ir ļoti svarīgi atzīt, ka nevienlīdzības novēršanai mēs nevaram izmantot to pašu metodi kā iepriekš. Ja reizinām vai dalām nevienlīdzību ar negatīvu skaitli, tad nevienlīdzības zīme maina virzienu. Mums drīzāk jāvienkāršo nevienlīdzība, lai būtu mazākais kopsaucējs, un jāizmanto zīmju tabula, lai noteiktu nevienlīdzību apmierinošās vērtības.

Atņemt ( dfrac ) no nevienlīdzības abām pusēm

Nosakiet zemāko kopsaucēju un vienkāršojiet daļu

Saglabājiet saucēju, jo tas ietekmē galīgo atbildi.

Nosakiet (x ) kritiskās vērtības

No faktorizētās nevienlīdzības mēs redzam, ka kritiskās vērtības ir (x = -3 ), (x = 3 ) un (x = 9 ).

Aizpildiet zīmju tabulu

No tabulas mēs redzam, ka funkcija (x & lt -3 ) vai (3 & lt x leq 9 ) ir mazāka vai vienāda ar nulli. Mēs neiekļaujam risinājumā (x = -3 ) vai (x = 3 ), jo saucējam ir noteikti ierobežojumi.

Uzrakstiet galīgo atbildi un attēlojiet skaitļu rindā

[x & lt -3 quad teksts quad 3 & lt x le 9 ]

Kvadrātiskās nevienlīdzības darblapas

Papildiniet savu vidusskolēnu prasmes risināt, izmantojot mūsu izdrukājamās kvadrātiskās nevienlīdzības darblapas. Pārstāviet nevienlīdzību kā vienādojumu, pārvietojot noteikumus uz vienu pusi un pielīdzinot to nullei, faktoru vienādojumam un atrodiet nulles, lai iegūtu pārtraukuma punktus vai kritiskos punktus, uzzīmējiet tos skaitļu līnijā un nosakiet intervālu. Kvadrātu nevienlīdzību atrisināšana algebriski, grafiski un zīmju tabulas aizpildīšana, parabolas grafika veidošana un risinājuma reģiona ēnošana, pamatojoties uz nevienlīdzību, ir vingrinājumi, kas sniegti šajos pdf failos. Tagad jums ir iespēja pārbaudīt savas prasmes, izmantojot mūsu bezmaksas kvadrātiskās nevienlīdzības darblapas.

Palīdzības drukāšana - lūdzu, nedrukājiet kvadrātiskās nevienlīdzības darblapas tieši no pārlūkprogrammas. Lūdzu, lejupielādējiet tos un izdrukājiet.

Ja kā koeficienti un veselu skaitļu pārtraukuma punkti ir vai nu -1, vai 1, šīs izdrukājamās kvadrātiskās nevienlīdzības darblapas liek vidusskolēniem kvadrātisko nevienādību pārveidot kvadrātiskajos vienādojumos un faktorizēt tos nevienlīdzības novēršanai.

Triumfs, risinot kvadrātiskās nevienlīdzības, kuru vadošie koeficienti ir veseli skaitļi, atrodot faktorus, pielīdzinot tos nullei, nosakot to saknes un atrodot risinājumu diapazonu šajā kvadrātiskās nevienlīdzības darba lapas PDF apkopojumā.

Uzdod vidusskolēniem izteikt kvadrātisko nevienlīdzību standarta formā, pārvietojot izteicienus vienā pusē un pielīdzinot 0, tos faktorizējot, nosakot viņu saknes, lai atrastu kritisko punktu un noskaidrotu risinājuma intervālu.

Veiciet kvadrātisko nevienlīdzību koeficientu un uzskaitiet intervālus zīmju tabulā. Katrā intervālā ņemiet testa vērtību un izmantojiet abus faktorus. Aizpildiet tabulu ar iegūto plus vai mīnus zīmi. Izvēlieties risinājumu diapazonu, kas apmierina nevienlīdzību.

Pārbaudiet, vai kvadrātiskā nevienlīdzība ir iekļaujoša vai stingra. Parafola y = f (x) diagramma kvadrātiskajai nevienādībai f (x) & le 0 vai f (x) & ge 0. Atrodiet virsotni un identificējiet x vērtības, kurām parabola daļa būs vai nu negatīva, vai pozitīva par nevienlīdzību.

Vidusskolēni uzzīmē x-pārtveršanas punktus, izdomā simetrijas asi un parabola virsotni, nosaka virzienu un ilustrē nevienlīdzību, izmantojot punktētas vai vienlaidu līnijas. Ēnojiet parabolu zem vai virs x ass, parabola iekšpusē vai ārpusē, pamatojoties uz risinājumu.


Nodarbība Kvadrātiskās nevienlīdzības risināšana

SOLI KVADRATISKĀS Nevienlīdzības risināšanā. Ir 4 soļi.

1. SOLIS. Pārveidojiet norādīto nevienlīdzību standarta formā: f (x) = ax ^ 2 + bx + c 0).
Piemērs: Atrisiniet (2x - 3) (x + 4)> -5.
1. solī pārveidojiet to standarta formā: f (x) = 2x ^ 2 + 5x - 7 5.
1. solī pārveidojiet to standarta formā f (x) = 3x ^ 2 - 7x - 5> 0.

2. SOLIS. Atrisiniet kvadrātvienādojumu f (x) = 0, lai iegūtu 2 reālās saknes x1 un x2. Jūs varat izmantot jebkuru no
4 metodes (faktorings, kvadrāta aizpildīšana, kvadrātiskā formula un grafiks) vai jaunā Diagonālās summas metode (Amazon e-book 2010).
Pirms turpināt risināt, pārliecinieties, ka kvadrātvienādojumam ir 2 reālas saknes. Kā? Uzziniet, vai diskriminējošais D = b ^ 2 - 4ac ir pozitīvs (> 0). Nav nepieciešams aprēķināt precīzu D. vērtību. Vienkārši izmantojiet garīgo matemātiku, lai pārliecinātos, ka D> 0. Ja D 0), pamatojoties uz 2 reālajām saknēm, kas iegūtas no 2. darbības. kvadrātiskā nevienlīdzība:
1. Izmantojot skaitļu līnijas un testa punktu metodi
2. Izmantojot algebrisko metodi.
3. Izmantojot grafiku veidošanas metodi.

4. SOLIS. Atbildes vai risinājumu kopu izsakiet intervālos. Jums jāapgūst, kā rakstīt intervāla simbolus. Piemēri:
(a, b): atvērtais intervāls starp a un b, divi gala punkti nav iekļauti risinājumu komplektā.
[a, b]: slēgtais intervāls gala punkti a un b ir iekļauti risinājumu komplektā.
(-beidzamība, b]: puse slēgta intervāla: beigu punkts b ir iekļauts šķīduma komplektā.

METODE Kvadrātiskās nevienlīdzības risināšanai.

1. Skaitļu līnijas un testa punkta metode.
2 reālās saknes x1 un x2, kas iegūtas no 2. soļa, ir uzzīmētas uz skaitļu līnijas. Viņi sadala skaitļu līniju vienā segmentā un 2 staros. Par testa punktu vienmēr izmantojiet izcelsmi O. Standarta formā kvadrātiskajā nevienādībā aizstāj x = 0. Ja tā ir taisnība, tad izcelsme atrodas patiesajā segmentā (vai patiesajā starā). Ja viens stars ir daļa no risinājumu kopas, tad otrs stars ir arī daļa no risinājumu kopas parabola grafa simetriskās īpašības dēļ.
1. piemērs. Atrodiet: 5x ^ 2 - 34x 0, ja a ir negatīva (-) un f (x) 0), pretēji a = -6 zīmei, starp 2 reālajām saknēm 1/2 un 1.
4. piemērs: Trinomiāls f (x) = 3x ^ 2 - 4x - 7 ir negatīvs (0) šajā intervālā, pretstatā konstantei a.

3. GRAFISKĀ METODE.
Jūs varat atrisināt kvadrātisko nevienlīdzību f (x) 0), grafiski noformējot kvadrātisko funkciju f (x). Kad f (x) parabola grafiks atrodas virs x ass, f (x) ir pozitīvs. Kad parabola atrodas virs x ass, f (x) ir negatīvs.
Jums nav precīzi jāgrafo parabola. Pamatojoties uz 2 reālajām saknēm, kas iegūtas, risinot vienādojumu f (x) = 0, jūs varat tikai aptuveni ieskicēt parabolu. Pievērsiet uzmanību tam, vai parabola ir uz augšu (pozitīva) vai uz leju (negatīva).
Izmantojot šo metodi, jūs varat atrisināt 2 (vai 3) kvadrātiskas nevienlīdzības sistēmu, ja iespējams, attēlojot divas (vai 3) parabolas vienā un tajā pašā koordinātu tīklā.

PIEZĪME 1. Kad nevienlīdzībai ir papildu vienādības zīme (lielāka, mazāka vai vienāda ar), gala punkti automātiski tiek iekļauti risinājumu komplektā.

PIEZĪME 2. Ja Diskriminants D = b ^ 2 - 4ac ir negatīvs (D 0.
Risinājums. Diskriminants D = 64 - 460 0), neatkarīgi no x vērtībām. Nevienlīdzība vienmēr ir patiesa.
6. piemērs. Atrisiniet: f (x) = -4x ^ 2 + 9x - 7> 0.
Risinājums. D = 81 - 112 0.
Risinājums. Izmantojiet diagonālās summas metodi, lai atrisinātu f (x) = 0. Saknēm ir pretējas zīmes. Ir 2 iespējamie sakņu pāri: (-1/5, 9/1), (- 3/1, 3/5). Otrā pāra diagonāles summa ir: -15 + 3 = -12 = -b. 2 īstās saknes ir -3 un 3/5. Izmantojiet sākumpunktu O kā testa punktu, lai atrisinātu f (x)> 0. Nevienlīdzībā aizstājiet x = o. Tas parāda: -9> 0. Tā nav taisnība, tad izcelsme O neatrodas uz risinājumu kopas. Šķīduma kopai jābūt 2 stariem, kas izteikti ar 2 atvērtajiem intervāliem (-infinity, -3) un (3/5, + bezgalība).
8. piemērs. Atrisiniet: f (x) = 8x ^ 2 - 42x - 11


Mērķi

Pēc šīs nodarbības apgūšanas jūs varēsiet:

  • Atrisiniet kvadrātvienādojumu ar reāliem koeficientiem, izmantojot faktorizāciju un izmantojot kvadrātisko formulu
  • Atrodiet saknes un koeficientu saistību
  • Kad saknes ir dotas, izveidojiet kvadrātvienādojumu
  • Diferencējiet lineāro vienādojumu no lineārās nevienlīdzības
  • Norādiet, ka planl reģions ir lineāras nevienlīdzības risinājums
  • Grafiski attēlojiet lineāru nevienlīdzību divos mainīgajos
  • Parādiet nevienlīdzības risinājumu, aizēnojot atbilstošo reģionu
  • Grafiski atrisiniet divu vai trīs lineāru nevienādību sistēmu divos mainīgajos

4. Uzzīmējiet kvadrātiskajai funkcijai atbilstošo parabolu.

Kvadrātiskās formulas diagramma

4. Uzzīmējiet kvadrātiskajai funkcijai atbilstošo parabolu.

Jums nav jāveido precīzs sižets, kā es to darīju šeit. Lai noteiktu risinājumu, pietiks ar skici. Svarīgi ir tas, ka jūs varat viegli noteikt, kurām vērtībām x grafiks ir zem nulles un kuram tas ir virs. Tā kā šī ir augšupvērstā parabola, mēs zinām, ka grafiks ir zem nulles starp abām tikko atrastajām saknēm un ir virs nulles, kad x ir mazāks par mazāko sakni, kuru atradām, vai kad x ir lielāks par lielāko sakni, kuru atradām.

Kad esat to izdarījis pāris reizes, redzēsiet, ka šī skice jums vairs nav nepieciešama. Tomēr tas ir labs veids, kā iegūt skaidru priekšstatu par to, ko jūs darāt, un tāpēc ieteicams izveidot šo skici.

5. Nosakiet nevienlīdzības risinājumu.

Tagad mēs varam noteikt risinājumu, aplūkojot tikko uzzīmēto grafiku. Mūsu nevienlīdzība bija x ^ 2 + 4x -5 & gt 0.

Mēs to zinām x = -5 un x = 1 izteiksme ir vienāda ar nulli. Mums ir jābūt, ka izteiksme ir lielāka par nulli, un tāpēc mums ir vajadzīgi reģioni, kas palikuši no mazākās saknes un lielākās saknes pa labi. Tad mūsu risinājums būs:

Pārliecinieties, ka rakstāt & quotor & quot, nevis & quotand & quot, jo tad jūs ieteiktu, ka risinājumam jābūt x, kas vienlaikus ir mazāks par -5 un lielāks par 1, kas, protams, nav iespējams.

Ja tā vietā mums tas būtu jāatrisina x^2 +4x -5 < 0 we would have done the exact same until this step. Then our conclusion would be that x has to be in the region between the roots. This means:

Here we have only one statement because we only have one region of the plot we want to describe.

Remember that a quadratic function does not always have two roots. It might happen that it has only one, or even zero roots. In that case we are still able to solve the inequality.

What If the Parabola Has No Roots?

In the case that the parabola does not have any roots there are two possibilities. Either it is an upwards opening parabola that lies entirely above the x-axis. Or it is a downwards opening parabola that lies entirely under the x-axis. Therefore the answer to the inequality will either be that it is satisfied for all possible x, or that there is no x such that the inequality is satisfied. In the first case every x is a solution, and in the second case there is no solution.

If the parabola has only one root we are basically in the same situation with the exception that there is exactly one x for which equality holds. So if we have an upwards opening parabola and it has to be larger than zero still every x is a solution except for the root, since there we have equality. This means that if we have a strict inequality the solution is all x, except for the root. If we do not have a strict inequality the solution is all x.

If the parabola has to be smaller than zero and we have strict inequality there is no solution, but if the inequality is not strict there is exactly one solution, which is the root itself. This is because there is equality in this point, and everywhere else the constraint is violated.

Analogously, for a downward opening parabola we have that still all x are a solution for a non-strict inequality, and all x except for the root when the inequality is strict. Now when we have a larger than constraint, there is still no solution, but when we have a larger than or equal to statement, the root is the only valid solution.

These situations might seem difficult, but this is where plotting the parabola can really help you to understand what to do.

In the picture, you see an example of an upward opening parabola that has one root in x=0. If we call the function f(x), we can have four inequalities:

Inequality 1 does not have a solution, since in the plot you see that everywhere the function is at least zero.

Inequality 2, however, has as solution x=0, since there the function is equal to zero, and inequality 2 is a non-strict inequality that allows equality.