Raksti

3.7. Vingrinājumi (jēdzieni) - matemātika


  1. Apsveriet svērto balsošanas sistēmu ([q: 7, 3, 1] )
    1. Kuras (q ) vērtības rada diktatoru (uzskaitiet visas iespējamās vērtības)
    2. Kāda ir mazākā (q ) vērtība, kuras rezultātā ir tieši viens spēlētājs ar veto tiesībām, bet nav diktatoru?
    3. Kāda ir mazākā vērtība (q ), kuras rezultātā rodas tieši divi spēlētāji ar veto tiesībām?
  2. Apsveriet svērto balsošanas sistēmu ([q: 9, 4, 2] )
    1. Kuras (q ) vērtības rada diktatoru (uzskaitiet visas iespējamās vērtības)
    2. Kāda ir mazākā (q ) vērtība, kuras rezultātā rodas tieši viens spēlētājs ar veto tiesībām?
    3. Kāda ir mazākā vērtība (q ), kuras rezultātā ir tieši divi spēlētāji ar veto tiesībām?
  3. Vai, izmantojot Shapley-Shubik metodi, manekens var būt galvenais?
  4. Ja īpašai svērtajai balsošanas sistēmai nepieciešams vienbalsīgs balsojums par priekšlikuma pieņemšanu:
    1. Kurš spēlētājs būs galvenais jebkurā secīgajā koalīcijā?
    2. Cik būs uzvarējušo koalīciju?
  5. Apsveriet svērto balsošanas sistēmu ar trim spēlētājiem. Ja 1. spēlētājs ir vienīgais spēlētājs, kuram ir veto tiesības, nav diktatoru un nav manekenu:
    1. Atrodiet Banzhaf enerģijas sadalījumu.
    2. Atrodiet Shapley-Shubik jaudas sadalījumu
  6. Apsveriet svērto balsošanas sistēmu ar trim spēlētājiem. Ja 1. un 2. spēlētājam ir veto tiesības, bet viņi nav diktatori, un 3. spēlētājs ir manekens:
    1. Atrodiet Banzhaf enerģijas sadalījumu.
    2. Atrodiet Shapley-Shubik jaudas sadalījumu
  7. Valdē ir prezidents (P) un trīs viceprezidenti ( left ( mathrm {V} _ {1}, mathrm {V} _ {2}, mathrm {V} _ {3} taisnība)). Lai priekšlikums tiktu pieņemts, tam ir jābūt trim jā balsīm, no kurām vienai jābūt prezidenta. Atrodiet svērto balsošanas sistēmu, lai atspoguļotu šo situāciju.
  8. Koledžas basketbola komandā lēmumu par to, vai studentam atļauts spēlēt, pieņem četri cilvēki: galvenais treneris un trīs treneru palīgi. Lai atļautu spēlēt, studentam ir nepieciešams galvenā trenera un vismaz viena trenera asistenta apstiprinājums. Atrodiet svērto balsošanas sistēmu, lai atspoguļotu šo situāciju.
  9. Korporācijā akcionāri saņem 1 balsi par katru viņiem piederošo akciju daļu, kuras pamatā parasti ir uzņēmumā ieguldītā naudas summa. Pieņemsim, ka mazā korporācijā ir divi cilvēki, kuri ieguldīja katrs 30 000 USD, divi cilvēki, kuri katrs ieguldīja 20 000 USD, un viena persona, kas ieguldīja 10 000 USD. Ja viņi saņem vienu akciju daļu par katru ieguldīto 1000 ASV dolāru un visiem lēmumiem ir nepieciešams balsu vairākums, izveidojiet svērto balsošanas sistēmu, kas pārstāv šīs korporācijas akcionāru balsis.
  10. Līguma sarunu grupā ir 4 darbinieki un 3 vadītāji. Lai priekšlikums tiktu pieņemts, lielākajai daļai darbinieku un vadītāju vairākumam tas ir jāapstiprina. Aprēķiniet Banzhaf jaudas sadalījumu šai situācijai. Kam ir lielāka vara: strādniekam vai vadītājam?
  11. Apvienoto Nāciju Organizācijas Drošības padomē ir 15 locekļi, no kuriem 10 ir ievēlēti, un 5 no tiem ir pastāvīgie locekļi. Lai pieņemtu rezolūciju, 9 locekļiem ir jāatbalsta tā, kurā jāiekļauj visi 5 pastāvīgie locekļi. Izveidojiet svērto balsošanas sistēmu, lai pārstāvētu ANO Drošības padomi un aprēķinātu Banzhaf enerģijas sadalījumu.

3.7. Vingrinājumi (jēdzieni) - matemātika

Mēs esam pielikuši dažas pūles, lai atzīmētu, ka $ Z_n $ nav $ Z $ apakškopa un jo īpaši tas, ka $ Z_n = <[0], [1], ldots, [n-1] > $ nav tas pats, kas $ <0,1, ldots, n-1 > $. Abas kopas noteikti ir cieši saistītas, tomēr $ [a] = [b] $ tikai un vienīgi tad, ja $ a $ un $ b $ atlikums ir vienāds, dalot ar $ n $, un skaitļiem $ <0,1 , ldots, n-1 > $ ir precīzi visi iespējamie atlikumi & mdashtieši tāpēc mēs viņus izvēlējāmies par "standarta" pārstāvjiem, rakstot $ Z_n $. Tas viss ir paredzēts, lai norādītu, ka viss, kas saistīts ar Var uzskatīt, ka $ ir "par" atlikumiem. Galvenais šīs sadaļas rezultāts, ķīniešu atlikuma teorēma, ir interesants fakts par saistību starp $ Z_n $ dažādām $ n $ vērtībām.

NB (latīņu valoda ir “Pievērsiet uzmanību!”): Nākamajās divās sadaļās $ (,) $ apzīmē sakārtotu pāri, nevis gcd.

3.7.1. Piemērs. Gan $ Z_ <12> $, gan $ Z_3 times Z_4 $ ir 12 elementi. Faktiski ir dabisks veids, kā saistīt $ Z_ <12> $ un $ Z_3 times Z_4 $ elementus, ko sniedz šādi: $ begin [0] & leftrightarrow & ([0], [0]) && [6] & leftrightarrow & ([6], [6]) = ([0], [2]) [1] & leftrightarrow & ( [1], [1]) && [7] & kreisā taisnstūra & ([7], [7]) = ([1], [3]) [2] & kreisā bulta & ([2], [2] ) && [8] & kreisā bultiņa & ([8], [8]) = ([2], [0]) [3] un kreisā bultiņa & ([3], [3]) = ([0], [3]) && [9] & kreisā bultiņa & ([9], [9]) = ([0], [1]) [4] & kreisā bultiņa & ([4], [4]) = ([ 1], [0]) && [10] & kreisā taisnstūra & ([10], [10]) = ([1], [2]) [5] & kreisā bulta & ([5], [5]) = ([2], [1]) && [11] & kreisā bultiņa & ([11], [11]) = ([2], [3]) beigas $ Šeit izmantotās attiecības, $ [x] leftrightarrow ([x], [x]) $, ir par visvienkāršāko, kādu var iedomāties, un tas ir viens no tiem laimīgajiem apstākļiem, kuros vienkārša, acīmredzama izvēle ir tā, kuru darbojas. Pārliecinieties, ka saprotat, ka visa šī piemēra būtība ir pamanīt, ka katrs pāris parādās $ Z_3 reizes Z_4 $ precīzi vienreiz. Kad šādā veidā tiek sapāroti divi komplekti, lai katrs kopas elements būtu tieši vienā pārī, mēs sakām, ka pastāv sarakste viens pret vienu starp komplektiem. Ņemiet vērā arī to, ka izteiksmē $ [x] leftrightarrow ([x], [x]) $ simbols $ [x] $ nozīmē trīs dažādas lietas trijās parādītajās vietās, proti, $ [x] in Z_ <12> $, $ [x] in Z_ <3> $ un $ [x] in Z_ <4> $. Šis ir vispārīgas parādības piemērs. $ square $

3.7.2. Teorēma (ķīniešu atlikuma teorēma) Pieņemsim, ka $ n = ab $, ar $ a $ un $ b $ relatīvi galveno. Ja $ x = 0,1, & hellip, n-1 $, saistiet $ [x] ar Z_$ ar $ ([x], [x]) pēc Z_a reizes Z_b $ (ņemiet vērā, ka simbols $ [x] $ nozīmē dažādas lietas $ $ Z_n $, $ Z_a $ un $ Z_b $) . Tādējādi tiek nodrošināta savstarpēja korespondence starp $ Z_n $ un $ Z_a times Z_b $.

Pierādījums. Ievērojiet, ka abām kopām ir vienāds elementu skaits. Ja mēs varam parādīt, ka $ [x] $ saistīšana ar $ ([x], [x]) $ nesaista divus atšķirīgus $ Z_n $ elementus ar vienu un to pašu pasūtīto pāri $ Z_a times Z_b $, tad katram $ Z_n $ elementam būs jābūt saistītam ar tieši vienu $ Z_a times Z_b $ elementu un otrādi.

Pieņemsim, ka $ [x_1] $ un $ [x_2] $ tiek piešķirti vienam un tam pašam pārim $ Z_a times Z_b $. Mēs vēlamies parādīt, ka $ [x_1] = [x_2] $. Mums ir $ <> equiv x_2 pmod a quad un quad <> equiv x_2 pmod b, $ citiem vārdiem sakot, gan $ a $, gan $ b $ ir jāsadala $ <> -x_2 $. Tā kā $ a $ un $ b $ ir salīdzinoši galvenie, viņu produkts $ n $ arī sadala $ <> -x_2 $. (Skat. 3. vingrinājumu.) Tas ir, $ <> equiv x_2 pmod n $ tātad $ [x_1] = [x_2] $. $ qed $

3.7.3. Piemērs. Teorēma rada korespondenci starp $ Z_ <168> $ un $ Z_8 times Z_ <21> $. Piemēram, šī sarakste $ [97] $ noved līdz $ ([97], [97]) = ([1], [13]) $. $ square $

Ņemot vērā elementu $ Z_n $, ir viegli atrast atbilstošo elementu $ Z_a times Z_b $: vienkārši samaziniet modulo $ a $ un $ b $. Vai ir veids, kā to mainīt? Citiem vārdiem sakot, ņemot vērā $ ([y], [z]) Z_a times Z_b $, vai mēs varam atrast $ Z_n $ elementu, kuram tas atbilst? Patiesībā, izmantojot visuresošo paplašinātā eikalīda algoritmu, tas ir viegli.

3.7.4. Piemērs, kurš $ Z_ <168> $ elements atbilst pārim $ ([7], [5]) in Z_8 reizes Z_ <21> $? Ja paplašinātajam Eiklida algoritmam piemērosim 8. un 21. punktu, iegūstam $ 1 = 8 cdot 8 + (-3) cdot 21 $. Ņemiet vērā, ka $ 8 cdot 8 = 64 $ ir vienādi ar 0 mod 8 un 1 mod 21, un $ (- 3) cdot 21 = -63 $ ir vienādi ar 1 mod 8 un 0 mod 21. Tāpēc $ eqalign <5 cdot 64+ 7 ​​ cdot (-63) equiv 5 cdot 0 +7 cdot 1 & = 7 pmod 8, cr 5 cdot 64+ 7 ​​ cdot (-63) equiv 5 cdot 1 +7 cdot 0 & = 5 pmod <21>, cr> $ so $ 5 cdot 64+ 7 ​​ cdot (-63) = - 121 equiv 47 pmod <168> $ darbojas, tas ir, $ [47] kreisā taisnā bulta ([7], [5]) $. $ square $

Šo pēdējo piemēru var formulēt nedaudz savādāk. Ņemot vērā $ 7 $ un $ 5 $, mēs jautājam, vai abas vienlaicīgās kongruences $ x equiv 7 pmod 8 $ un $ x equiv 5 pmod <21> $ var atrisināt, tas ir, vai ir vesels skaitlis $ x $ ka atlikušais $ 7 $ dalīts ar $ 8 $ un atlikušais $ 5 $, dalot ar $ 21 $. Tādējādi nosaukums "Ķīniešu atlikuma teorēma" šķiet mazliet piemērotāks.

Ķīniešu atlikuma teorēma ir noderīgs skaitļu teorijas rīks (mēs to izmantosim 3.8. Sadaļā), un tas ir izrādījies noderīgs arī mūsdienu kriptogrāfisko sistēmu izpētē un izstrādē.


Mēroga faktors

Skaitlis, ko izmanto, lai reizinātu figūras garumus, lai izstieptu vai samazinātu to līdzīgā attēlā.

Mēroga koeficients, kas lielāks par 1, palielinās skaitli. Mēroga koeficients starp 0 un 1 samazinās skaitli.

Divu līdzīgu skaitļu mēroga koeficientu izsaka attiecība, kas salīdzina attiecīgās puses:
sānu garums attēlā / sānu garums oriģinālā.

Piemērs

Ja izmantojam mēroga koeficientu 1 /2, visi attēlu garumi ir 1 /2 kamēr oriģinālā ir atbilstošie garumi.

Sākotnējā trijstūra pamatne ir 3 vienības.

Attēla pamats ir 1,5 vienības.


Selina risinājumi kodolīgai matemātikas 7. klasei ICSE 11. nodaļa (Pamatjēdzieni (ieskaitot pamatdarbības)) ietver visus jautājumus ar risinājumu un detalizētu skaidrojumu. Tas atbrīvos studentus no šaubām par jebkuru jautājumu un uzlabos pieteikšanās prasmes, gatavojoties dēļa eksāmeniem. Detalizēti, soli pa solim sniegtie risinājumi palīdzēs labāk izprast jēdzienus un novērst neskaidrības, ja tādas ir. Vietnē Shaalaa.com ir CISCE kodolīgi matemātikas 7. klases ICSE risinājumi tādā veidā, kas palīdz studentiem labāk un ātrāk izprast pamatjēdzienus.

Turklāt mēs vietnē Shaalaa.com piedāvājam šādus risinājumus, lai studenti varētu sagatavoties rakstiskiem eksāmeniem. Selina mācību grāmatu risinājumi var būt galvenā palīdzība pašmācībai un darbojas kā perfekta pašpalīdzības vadība studentiem.

Koncepcijas, kas ietvertas kodolīgas matemātikas 7. klases ICSE 11. nodaļā. Pamatjēdzieni (ieskaitot pamatdarbības) ir pamatjēdzieni, veic operācijas (saskaitīšana un atņemšana) ar algebriskām izteiksmēm tikai ar integrālajiem koeficientiem., Izteiksmes nosacījumi, faktori un koeficienti, algebriskās izteiksmes.

Izmantojot Selina 7. klases risinājumus, studentu vingrinājumi Pamatjēdzieni (ieskaitot pamatdarbības) ir vienkāršs veids, kā sagatavoties eksāmeniem, jo ​​tie ietver risinājumus, kas sakārtoti pa nodaļām, arī pa lappusēm. Jautājumi, kas saistīti ar Selina Solutions, ir svarīgi jautājumi, kurus var uzdot gala eksāmenā. Maksimālais CISCE 7. klases skolēnu skaits dod priekšroku Selina Textbook Solutions, lai vairāk iegūtu eksāmenā.


Trijstūri

Ešera darbā lielākā daļa matemātikas ir saistīta ar ģeometriju. Viens no ģeometrijas pamatobjektiem ir trīsstūris, un šajā sadaļā mēs izpētīsim dažādus trīsstūru klasifikācijas veidus.

Pirmkārt, mēs ieviešam trīs jēdzienus "vienādība" trijstūriem:

Kongruentie trīsstūri ir divi trīsstūri saskanīgs ja tiem ir vienādi sānu garumi un leņķa mēri. Tie ir vienāda izmēra un formas. Līdzīgi trijstūri Divi trīsstūri ir līdzīgi ja tiem ir vienādi leņķa mērījumi. Tie ir vienādas formas, bet var būt dažādi izmēri.

Apsverot leņķus, nāk viena vienkārša klasifikācija:

Nav grūti saprast, ka katrs trīsstūris ietilpst tieši vienā no šīm trim klasēm. Katrs trīsstūris ir vai nu akūts, neass vai taisns.

Ņemot vērā sānu garumus, rodas citas trijstūra klases:

Vienādmalu trijstūris An vienādmalu trīsstūris ir tāda, kurā visām trim pusēm ir vienāds garums. Izoceles trīsstūris An izoceles trīsstūris ir tāda, kurā abām pusēm ir vienāds garums. Scalene trīsstūris A skalēna trīsstūris ir tāda, kurā visām trim pusēm ir atšķirīgs garums.

Šai klasifikācijai ir atšķirīgs raksturs nekā leņķa klasifikācijai, jo vienādmalu trijstūri arī tiek uzskatīti par izocelām. Tas ir, vienādmalu trijstūru klase ir ietverta izoceļu trijstūru klasē. Šajā klasifikācijā ne katrs trīsstūris ietilpst tieši vienā no klasēm.

Kā blakus piezīmi, trijstūrim ar diviem vienādiem leņķiem jābūt izocelām un trīsstūrim ar trim vienādiem leņķiem (vienstūrveida) jābūt vienādam.


Papildinājuma varbūtība

Laiks maksāt papildinājumu: The papildināt A ’ kopas ir vienkārši visi elementi parauga telpā, kas NAV komplektā A.

(Piezīme: Es jokoju iepriekš. Ņemiet vērā, ka pareizrakstība atšķiras no komplimentiem un papildinājumiem.)

1) divi metami kauliņi. Cik liela ir varbūtība, ka kauliņi būs dažādi skaitļi?

A = notikums, kurā abi kauliņi ir atšķirīgi.

A ’= notikums, kurā abi kauliņi neatšķiras (tiem jābūt vienādiem)

2) Pieņemsim, ka tiek ripināti divi taisnīgi kauliņi. Atrodiet varbūtību, ka velmēto skaitļu summa ir lielāka par 3.

A = notikums, kura summa ir lielāka par 3.

A ’= notikums, kura summa nav lielāka par 3. <(1,1), (1,2), (2,1)>, n (A’) = 3

P (A) = 1-3 / 36 = 33/36 = 11/12

3) Iepriekšējos piemērus varēja atrisināt, neizmantojot papildinājumu. Šī problēma liek jums izmantot papildinājumu. Pretējā gadījumā jums ir jāveic daudz, daudz aprēķinu. Astoņas kartes tiek izvilktas no standarta kāršu klāja. Kāda ir vismaz vienas sejas kartes varbūtība?

Risinājums: n (S) = 52C8

E ir gadījums, kad tiek iegūta vismaz 1 sejas karte

E ’ir gadījums, kad netiek iegūta sejas karte.

P (E & # 8217) var aprēķināt, izmantojot kombinācijas (tās nāk vēlāk). Kad esat atradis P (E & # 8217), tad P (E) ir 1-P (E & # 8217)

Mēs to varam izdarīt vēlāk.

Šeit ir vēl viens interesants papildinājuma pielietojums.

Dzimšanas dienas problēma: izlasiet dzimšanas dienas problēmu tekstā. Ievērojiet, kā tiek izmantots papildinājums.

Cik cilvēku jūs nejauši izvēlētos, lai sagaidītu, ka pastāv 97% varbūtība, ka divām vai vairāk ir viena un tā pati dzimšanas diena? (izņemot dvīņus utt.)

A = divu vai vairāku dienu dzimšanas diena. A & # 8217 = nevienam notikumam nav tādas pašas dzimšanas dienas.

P (A & # 8217) ir daudz vieglāk atrast nekā P (A). Tad mēs varam atrast P (A) = 1 & # 8211 P (A & # 8217)

Mēs to varam izdarīt vēlāk.


Vingrinājumi 4.3

Ex 4.3.1 Izlemiet, vai šīs funkcijas no $ R $ līdz $ R $ ir injekcijas, aizkavēšanas gadījumi vai abi.

a) $ 2x + 1 $d) $ (x + 1) ^ 3 $
b) $ 1/2 ^ x $e) $ x ^ 3-x $
c) $ sin x $f) $ | x | $

a) Atrodiet piemēru injekcijai $ f kols A uz B $ un aizdari $ g , kols B līdz C $ tā, ka $ g circ f $ nav ne injicējams, ne surjektīvs.

b) Atrodiet piemēru pārspīlēšanai $ f kols A no B $ un injekcijai $ g , kols B uz C $ tā, ka $ g circ f $ nav ne injicējams, ne surjektīvs.

a) Pieņemsim, ka $ A $ un $ B $ ir ierobežotas kopas, un $ f kols A A līdz B $ ir injicējošs. Kāds secinājums ir iespējams attiecībā uz elementu skaitu $ A $ un $ B $? Pamatojiet savu atbildi.

b) Ja injekcijas vietā mēs pieņemam, ka $ f $ ir surjektīvs, kāds secinājums ir iespējams? Pamatojiet savu atbildi.

Ex 4.3.4 Pieņemsim, ka $ A $ ir ierobežots kopums. Vai mēs varam konstruēt funkciju $ f kolona A līdz A $, kas ir injektīva, bet ne surjektīva? Surjektīvs, bet ne injicējošs?

a) Atrodiet funkciju $ f colon N to N $, kas ir injektīva, bet ne surjektīvā.

b) Atrodiet funkciju $ g , colon N to N $, kas ir surjektīvs, bet nav injicējošs.

Ex 4.3.6 Pieņemsim, ka $ A $ un $ B $ nav tukšas kopas ar attiecīgi $ m $ un $ n $ elementiem, kur $ m le n $. Cik ir injekcijas funkciju no $ A $ līdz $ B $?

Ex 4.3.7 Atrodiet injekciju $ f kols N reizes N uz N $. (Padoms: izmantojiet galvenās faktorizācijas.)

Ex 4.3.8 Ja $ f kols A A līdz B $ ir funkcija, tad $ A = X cup Y $ un $ f vert_X $ un $ f vert_Y $ abi ir injicējoši, vai mēs varam secināt, ka $ f $ ir injektīvs?


3.2. Papildinājumi, krustojumi un savienības

Pamata

  1. Parauga vietai (S = ) identificē katra norādītā notikuma papildinājumu.
    1. (A = )
    2. (B = )
    3. (S )
    1. (R = )
    2. (T = )
    3. ( varnothing ) (& ldquoempty & rdquo kopa, kurai nav elementu)
    1. Uzskaitiet rezultātus, kas ietver (H ) un (M ).
    2. Uzskaitiet rezultātus, kas ietver (H cap M ), (H cup M ) un (H ^ c ).
    3. Pieņemot, ka visi rezultāti ir vienlīdz ticami, atrodiet (P (H cap M) ), (P (H cup M) ) un (P (H ^ c) ).
    4. Nosakiet, vai (H ^ c ) un (M ) savstarpēji izslēdz. Paskaidrojiet, kāpēc vai kāpēc ne.
    1. Uzskaitiet rezultātus, kas ietver (T ) un (G ).
    2. Uzskaitiet rezultātus, kas ietver (T cap G ), (T cup G ), (T ^ c ) un ((T cup G) ^ c ).
    3. Pieņemot, ka visi rezultāti ir vienlīdz ticami, atrodiet (P (T cap G) ), (P (T cup G) ) un (P (T ^ c) ).
    4. Nosakiet, vai (T ) un (G ) savstarpēji izslēdz. Paskaidrojiet, kāpēc vai kāpēc ne.
    1. Uzskaitiet rezultātus, kas ietver (B ), (R ) un (N ).
    2. Uzskaitiet rezultātus, kas ietver (B cap R ), (B cup R ), (B cap N ), (R cup N ), (B ^ c ) un ((B glāze R) ^ c ).
    3. Pieņemot, ka visi rezultāti ir vienlīdz ticami, atrodiet notikumu varbūtības iepriekšējā daļā.
    4. Nosakiet, vai (B ) un (N ) savstarpēji izslēdz. Paskaidrojiet, kāpēc vai kāpēc ne.
    1. Uzskaitiet rezultātus, kas ietver (Y ), (I ) un (J ).
    2. Uzskaitiet rezultātus, kas ietver (Y cap I ), (Y cup J ), (I cap J ), (I ^ c ) un ((Y cup J) ^ c ).
    3. Pieņemot, ka visi rezultāti ir vienlīdz ticami, atrodiet notikumu varbūtības iepriekšējā daļā.
    4. Nosakiet, vai (I ^ c ) un (J ) ir savstarpēji izslēdzoši. Paskaidrojiet, kāpēc vai kāpēc ne.

    1. (P (A) ).
    2. (P (B) ).
    3. (P (A ^ c) ). Divos veidos: (i) meklējot rezultātus (A ^ c ) un pievienojot to varbūtības, un (ii) izmantojot varbūtību likumu papildinājumiem.
    4. (P (A vāciņš B) ).
    5. (P (A cup B) ) Divos veidos: (i) meklējot rezultātus (A cup B ) un pievienojot to varbūtības, un (ii) izmantojot varbūtības piedevu likumu.
    1. Piedāvātā Venna diagramma parāda vietas paraugu un divus notikumus (A ) un (B ). Pieņemsim, ka (P (a) = 0,32, P (b) = 0,17, P (c) = 0,28, teksts P (d) = 0,23 ). Pārliecinieties, ka rezultātu varbūtības ir vienādas ar (1 ), pēc tam aprēķiniet šādas varbūtības.

    1. (P (A) ).
    2. (P (B) ).
    3. (P (A ^ c) ). Divos veidos: (i) meklējot rezultātus (A ^ c ) un pievienojot to varbūtības, un (ii) izmantojot varbūtību likumu papildinājumiem.
    4. (P (A vāciņš B) ).
    5. (P (A cup B) ) Divos veidos: (i) meklējot rezultātus (A cup B ) un pievienojot to varbūtības, un (ii) izmantojot varbūtības piedevu likumu.
    1. Pārliecinieties, ka varbūtības divvirzienu neparedzēto gadījumu tabulā ir vienādas ar (1 ), pēc tam izmantojiet to, lai atrastu norādīto notikumu varbūtību.
    1. (P (A), P (B), P (A vāciņš B) ).
    2. (P (U), P (W), P (U vāciņš W) ).
    3. (P (U glāze W) ).
    4. (P (V ^ c) ).
    5. Nosakiet, vai notikumi (A ) un (U ) savstarpēji izslēdz notikumus (A ) un (V ).
    1. Pārliecinieties, ka varbūtības divvirzienu neparedzēto gadījumu tabulā ir vienādas ar (1 ), pēc tam izmantojiet to, lai atrastu norādīto notikumu varbūtību.
    1. (P (R), P (S), P (R vāciņš S) ).
    2. (P (M), P (N), P (M vāciņš N) ).
    3. (P (R tase S) ).
    4. (P (R ^ c) ).
    5. Nosakiet, vai notikumi (N ) un (S ) savstarpēji izslēdz notikumus (N ) un (T ).

    Pieteikumi

    1. Sniedziet paziņojumu parastā angļu valodā, aprakstot katra notikuma papildinājumu (neievietojiet vienkārši vārdu & ldquonot & rdquo).
      1. Štancēšanas rullī: & ldquofive vai vairāk. & Rdquo
      2. Formas rullī: & ldquoan pāra skaitlis. & Rdquo
      3. Divās monētas lozēs: & ldquoat vismaz vienu galvu. & Rdquo
      4. Koledžas studenta izlases veidā: & ldquoNav pirmkursnieks. & Rdquo
      1. Formas rullī: & ldquotwo vai mazāk. & Rdquo
      2. Formas rullī: & ldquoone, trīs vai četri. & Rdquo
      3. Divās monētas lozēs: & ldquoat visvairāk viena galva. & Rdquo
      4. Koledžas studenta izlases veida atlasē: & ldquoNe ne pirmkursnieks, ne vecākais. & Rdquo
      1. Vismaz viens bērns ir meitene.
      2. Maksimāli viens bērns ir meitene.
      3. Visi bērni ir meitenes.
      4. Tieši divi no bērniem ir meitenes.
      5. Pirmā piedzimusi ir meitene.
      1. Persona ir vīrietis.
      2. Persona nav par.
      3. Persona ir vai nu vīrietis, vai par.
      4. Persona ir sieviete un neitrāla.

      Daļas ieraksts tiek izvēlēts nejauši. Atrodiet katra no šiem notikumiem varbūtību.

      1. Daļa bija bojāta.
      2. Daļa bija vai nu augstas kvalitātes, vai arī vismaz izmantojama divos veidos: (i) tabulā pievienojot skaitļus un (ii) izmantojot atbildi uz (a) un papildinājumu varbūtības likumu.
      3. Daļa bija bojāta un nāca no piegādātāja (B ).
      4. Daļa bija bojāta vai nāca no piegādātāja (B ) divos veidos: tabulā atrodot šūnas, kas atbilst šim notikumam, un pievienojot to varbūtības, un (ii) izmantojot varbūtības piedevu likumu.
      1. Personas ar noteiktu veselības stāvokli tika klasificētas pēc potenciālā toksīna klātbūtnes ( (T )) vai neesamības ( (N )) asinīs un stāvokļa sākuma ( ( text)). Sadalījums pēc šīs klasifikācijas ir parādīts divvirzienu ārkārtas situāciju tabulā.

      Viena no šīm personām tiek izvēlēta nejauši. Atrodiet katra no šiem notikumiem varbūtību.

      1. Persona piedzīvoja agrīnu stāvokļa sākumu.
      2. Stāvokļa sākums bija vai nu vidēja, vai vēlīna divos veidos: (i) tabulā pievienojot skaitļus un (ii) izmantojot atbildi uz (a) un papildinājumu varbūtības likumu.
      3. Toksīns atrodas cilvēka asinīs.
      4. Persona piedzīvoja agrīnu stāvokļa sākumu, un toksīns atrodas cilvēka asinīs.
      5. Persona, kurai agri iestājies stāvoklis, vai toksīns ir cilvēka asinīs divos veidos: (i) tabulā atrodot šūnas, kas atbilst šim notikumam, un pievienojot to varbūtības, un (ii) izmantojot piedevas likumu varbūtības.
      1. Universitātes kursos uzņemto studentu sadalījums pa klasēm ( ( text)) un akadēmiskais pamats ( ( teksts)) ir parādīts divvirzienu klasifikācijas tabulā.

      Kursā uzņemto studentu izvēlas nejauši. Pievienojiet tabulas rindu un kolonnu kopsummas un izmantojiet izvērsto tabulu, lai atrastu katra no šiem notikumiem varbūtību.

      1. Students ir pirmkursnieks.
      2. Students ir liberālās mākslas specialitāte.
      3. Students ir pirmkursnieks brīvās mākslas maģistrs.
      4. Students ir vai nu pirmkursnieks, vai arī brīvās mākslas maģistrs.
      5. Students nav liberālās mākslas specialitāte.
      1. Tabulā ir atsauce uz koledžas aicinājumu piesaistīt līdzekļus savam absolventam par gadu skaitu kopš skolas beigšanas.

      Absolventu izvēlas nejauši. Pievienojiet tabulas rindu un kolonnu kopsummas un izmantojiet izvērsto tabulu, lai atrastu katra no šiem notikumiem varbūtību.

      1. Absolvents atbildēja.
      2. Absolvents neatbildēja.
      3. Absolvents absolvējis vismaz pirms (21 ) gadiem.
      4. Absolvents absolvējis vismaz pirms (21 ) gadiem un atbildējis.

      Papildu vingrinājumi

      1. Vieta paraugam trīs monētu mešanai ir (S = )
        1. Uzskaitiet rezultātus, kas atbilst apgalvojumam & ldquoVisas monētas ir galvas. & Rdquo
        2. Uzskaitiet rezultātus, kas atbilst apgalvojumam & ldquoNav visas monētas ir galvas. & Rdquo
        3. Uzskaitiet rezultātus, kas atbilst apgalvojumam & ldquoVisas monētas nav galvas. & Rdquo

        Atbildes

          1. ()
          2. ()
          3. ( lakošana )
          1. (H = , M = )
          2. (H vāciņš M = , H kauss M = H, H ^ c = )
          3. (P (H vāciņš M) = 4/8, P (H glāze M) = 7/8, P (H ^ c) = 1/8 )
          4. Abpusēji izslēdzoši, jo tiem nav kopīgu elementu.
          1. (B = , R = , N = )
          2. (B vāciņš R = lakošana, B glāze R = , B vāciņš N = , R kauss N = , B ^ c = , (B kauss R) ^ c = )
          3. (P (B cap R) = 0, P (B cup R) = 8/16, P (B cap N) = 2/16, P (R cup N) = 10/16 , P (B ^ c) = 12/16, P ((B cup R) ^ c) = 8/16 )
          4. Nav savstarpēji izslēdzoši, jo tiem ir kopīgs elements.
          1. (0.36)
          2. (0.78)
          3. (0.64)
          4. (0.27)
          5. (0.87)
          1. (P (A) = 0,38, P (B) = 0,62, P (A vāciņš B) = 0 )
          2. (P (U) = 0,37, P (W) = 0,33, P (U vāciņš W) = 0 )
          3. (0.7)
          4. (0.7)
          5. (A ) un (U ) nav savstarpēji izslēdzoši, jo (P (A cap U) ) ir skaitlis, kas nav nulle {(0,15 ). (A ) un (V ) izslēdz viens otru, jo (P (A cap V) = 0 ).
          1. & ldquofour vai mazāk & rdquo
          2. & ldquoan nepāra skaitlis & rdquo
          3. & ldquono galvas & rdquo vai & ldquoall astes & rdquo
          4. & ldquoa pirmkursnieks & rdquo
          1. & ldquoVisi bērni ir zēni. & rdquo Notikums: (), Papildinājums: ()
          2. Vismaz divi bērni ir meitenes & ldquo vai & ldquoIr divas vai trīs meitenes. & rdquo Notikums: (), Papildinājums: ()
          3. Vismaz viens bērns ir zēns. & rdquo Notikums: (), Papildinājums: ()
          4. & ldquo Nav vai nu meiteņu, tieši viena meitene vai trīs meitenes. & rdquo Notikums: (), Papildinājums: ()
          5. Pirmais dzimušais ir zēns. & rdquo Notikums: (), Papildinājums: ()
          1. (0.0023)
          2. (0.9977)
          3. (0.0009)
          4. (0.3014)
          1. (920/1671)
          2. (668/1671)
          3. (368/1671)
          4. (1220/1671)
          5. (1003/1671)
          1. ()
          2. ()
          3. ()

          Āra matemātikas idejas

          Skaitīšana, skaitļu atpazīšana, sarakste viens pret vienu & # 8211

          Saskaitiet priežu čiekurus

          Zem mūsu priedēm mums ir tūkstošiem sīku priežu čiekuru. Tāpēc, vadoties pēc mierīgas vecāku idejas, es pie nobrauktuves uzzīmēju kastes ar skaitļiem 1-20. Tad mans tikko pagrieztais četrinieks strādāja, aizpildot skaitļus līdz 10, un pieci skaitīja priežu čiekurus lielākiem skaitļiem.

          Kārtošana, mērīšana un # 8211 nūju kārtošana pēc izmēra

          Neskatoties uz manu nervozitāti ap mazajiem zēniem un ļoti garajām nūjām, mani četri un pieci mīl kolekcionēt lielās nūjas, kuras viņi atrod mūsu pagalmā, un mazo meža zonu aizmugurē. Viņi piezvanīja pie durvīm, lai parādītu man visas nūjas, kuras viņi bija savākuši & # 8230 un sašķirojuši pēc izmēra. Jūs varētu arī likt savam bērnam salikt nūjas kārtībā no īsākā līdz garākajam. Jūs varētu darīt to pašu ar lapām vai savvaļas ziediem.

          Mērījumi & # 8211 Ļoti lielas un ļoti mazas medības

          Pagājušajā pavasarī es izdrukāju šo rīcības karšu komplektu un liku, lai mani bērni (tajā laikā 2,4 un 5 gadus veci) medīja priekšmetus pagalmā. Viņiem patika šīs ļoti aktīvās atkritumu medības, un tas bija lieliski, lai mācītu manu gandrīz trīs gadus veco bērnu par izmēru. Es domāju, ka mums tas būs jāizvelk arī šogad! Uzziniet vairāk un iegūstiet savas bezmaksas izdrukājamās darbības kartītes šajā ierakstā.

          Raksti & # 8211 Izveidojiet dabas modeļus

          Saskaitīšana, atņemšana, skaitļu atpazīšana & # 8211

          Ūdens balonu matemātika

          Šo spēli var mainīt tik dažādos veidos. Sagatavojiet dažus ūdens balonus un uz katra uzrakstiet vai nu vienu skaitli, vai saskaitīšanas vai atņemšanas faktu. Pēc tam uz ceļa vai ietves uzrakstiet atbilstošus skaitļus (vai atbildes uz saskaitīšanas un atņemšanas problēmām). Kad jūsu bērns izvēlas balonu, viņš to iemet uz atbilstošā numura vai atbildes.

          Maniem bērniem patika vienlaikus mācīties un palikt vēsā stāvoklī!

          Frakcijas & # 8211 Milzu frakcijas uz ceļa

          Frakcijas var būt grūts jēdziens, taču šķita, ka šī īsa nodarbība ir triks manam piecniekam. Uz piebraucamā ceļa uzzīmēju lielu taisnstūri. Mēs runājām par to, kā tas bija viens vesels taisnstūris. Tad es to sadalīju divās vienādās daļās (labi, viņi nebija precīzi vienādi, bet bērni to nemanīja). Man bija pieci stendi vienā daļā, lai parādītu & # 8220vienu pusi. & # 8221 Tad viņa māsa stāvēja otrajā pusē, lai parādītu & # 8220vienu pusi. & # 8221 Mēs runājām par to, kā divas pusītes veido veselu.

          Tad mēs strādājām kopā, lai parādītu dažādas frakcijas. Iepriekš redzamajā attēlā mēs izveidojām & # 82203/4. & # 8221

          Bērniem patika atrast veidus, kā pašiem padarīt frakcijas. Šeit mans Septiņi rāda & # 82204/4. & # 8221. Tas arī deva mums iespēju runāt par līdzvērtīgām daļām. & # 82204/4 & # 8221 ir tas pats, kas & # 8220viens. & # 8221

          Maniem pieciniekiem patīk atrast jebkuru iespēju, ko viņš var demonstrēt, stāvot uz galvas. Tas labi darbojās & # 82201/4. & # 8221

          Skaitļu atpazīšana, skaitīšana & # 8211

          Vilka kungs, cik ir pulkstenis?

          Šī spēle bija paredzēta manam tikko kļuvušajam četriniekam, taču tā nebūtu bijusi jautra bez viņa vecākajiem brāļiem un māsām. Es biju uzrakstījis ciparus 1-12 uz celtniecības papīra gabaliem. Es biju Vilks un stāvēju pagalma galā. Bērni stāvēja man pretī pagalma otrajā galā.

          Viņi piezvanīja, & # 8220Mr. Vilk, cik ir pulkstenis? & # 8221 Tad es parādīju skaitli, un viņi pēc kārtas to lasīja. Kad es parādīju, piemēram, & # 82202, & # 8221, viens no viņiem teica: & # 82202: 00! & # 8221. Tad viņi soļoja man pretī tik daudz soļu.

          Periodiski es noliku lapas un izsaucu & # 8220Pusdienu laiku! & # 8221 Tajā brīdī bērni mēģināja sasniegt koku aiz manis vai skriet atpakaļ, lai sāktu, kur viņi bija & # 8220droši. mēģināt viņus noķert. Ja viņi droši sasniegtu koku aiz manis, viņi varētu būt nākamais Vilks.

          Padoms: valkājiet kurpes, kurās varat ieskriet. Tas ir lielisks vingrinājums mammai.

          Vai jums ir mūsu pirmsskolas matemātikas mācību programma?

          Šajā mācību programmā ir plaša matemātikas aktivitāšu izvēle bez sagatavošanās / neuztraucieties mūsu jaunākajiem izglītojamajiem!


          Rēķins III

          Šeit ir manas tiešsaistes piezīmes par manu Calculus III kursu, kuru es pasniedzu šeit, Lamara universitātē. Neskatoties uz to, ka šīs ir manas “klases piezīmes”, tām jābūt pieejamām ikvienam, kurš vēlas iemācīties Calculus III vai kam nepieciešams atsvaidzinājums dažās klases tēmās.

          Šajās piezīmēs tiek pieņemts, ka lasītājam ir labas zināšanas par I aprēķina tēmām, ieskaitot ierobežojumus, atvasinājumus un integrāciju. Tas arī pieņem, ka lasītājam ir labas zināšanas par vairākām Calculus II tēmām, ieskaitot dažas integrācijas metodes, parametru vienādojumus, vektorus un zināšanas par trīsdimensiju telpu.

          Šeit ir pāris brīdinājumi maniem studentiem, kuri, iespējams, ir šeit, lai iegūtu kopiju par notikušo dienā, kuru jūs nokavējāt.

            Tā kā es gribēju izveidot diezgan pilnīgu piezīmju kopumu ikvienam, kurš vēlas apgūt III aprēķinu, ir iekļauti daži materiāli, kurus man klasē parasti nav laika aplūkot, un tāpēc, ka tas mainās no semestra uz semestri, šeit tas nav atzīmēts. Jums būs jāatrod kāds no klases biedriem, lai redzētu, vai šajās piezīmēs ir kaut kas tāds, kas stundā netika atspoguļots.

          Šeit ir saraksts (un īss apraksts) par materiāliem, kas ir šajā piezīmju komplektā.

          Trīsdimensiju telpa - šajā nodaļā mēs sāksim aplūkot trīsdimensiju telpu. Šī nodaļa parasti ir Calculus III sagatavošanās darbs, tāpēc mēs aplūkosim standarta 3D koordinātu sistēmu, kā arī pāris alternatīvas koordinātu sistēmas. Mēs arī apspriedīsim, kā atrast līniju un plakņu vienādojumus trīsdimensiju telpā. Mēs aplūkosim dažas standarta 3D virsmas un to vienādojumus. Turklāt mēs iepazīstināsim ar vektoru funkcijām un dažiem to pielietojumiem (pieskares un normālvektori, loka garums, izliekums, ātrums un paātrinājums).


          Skatīties video: Ievads par parastajām daļām. Pamatdaļas. - matemātika (Novembris 2021).