Raksti

8.4. Kombinācijas - matemātika


Daudzās skaitīšanas problēmās izkārtojuma vai izvēles kārtībai nav nozīmes. Būtībā mēs atlasām vai veidojam apakškopas.

Piemērs ( PageIndex {1} label {piemēram: combin-01} )

Nosakiet veidu, kā izvēlēties 4 vērtības no 1, 2, 3,…, 20, kurās atlases secībai nav nozīmes.

Risinājums

Ļaujiet (N ) būt 4 skaitļu izvēles veidu skaitam. Tā kā secībai, kādā tiek atlasīti numuri, nav nozīmes, tie ir secības (kurās izskata secībai ir nozīme). Mēs varam mainīt 4 numuru izvēli secībā. 4 ciparus var sakārtot (P (4,4) = 4! ) Veidos. Tāpēc visas šīs četrciparu atlases kopā veido (N cdot4! ) Secības. Četru ciparu secību skaits ir (P (20,4) ). Tādējādi (N cdot4! = P (20,4) ) vai līdzvērtīgi (N = P (20,4) / 4! ).

Definīcija: kombinācijas

(R ) - elementu apakškopu skaits (n ) - elementu kopā tiek apzīmēts ar

[C (n, r) qquad mbox {vai} qquad binom {n} {r}, nonumber ]

kur ({n select r} ) tiek lasīts kā “ (n ) izvēlieties (r ).” Tas nosaka to skaitu kombinācijas no (n ) objektiem, kas paņemti (r ) vienlaikus (bez nomaiņas). Alternatīvus apzīmējumus, piemēram, (_ nC_r ) un (C_r ^ n ), var atrast citās mācību grāmatās. Dariet uzrakstiet to kā (( frac {n} {r}) ); šim apzīmējumam ir pavisam cita nozīme.

Atgādinām, ka ( binom {n} {r} ) saskaita vairāku veidu veidus izvēlēties vai atlasiet (r ) objekti no (n ) objektu kopas, kuros atlases kārtībai nav nozīmes. Tādējādi (r ) - kombinācijas ir (r ) lieluma apakškopas.

Piemērs ( PageIndex {2} label {piemēram: combin-02} )

(S = {a, b, c, d } ) 2 kombinācijas ir

[ {a, b }, quad {a, c }, quad {a, d }, quad {b, c }, quad {b, d }, quad mbox {un} quad {c, d }. nonumber ]

Tāpēc ( binom {4} {2} = 6 ). Kādas ir (S ) 1 un 3 kombinācijas? Ko jūs varat teikt par ( binom {4} {1} ) un ( binom {4} {3} ) vērtībām?

Risinājums

1-kombinācijas ir vienreizējās kopas ( {a } ), ( {b } ), ( {c } ) un ( {d } ). Tādējādi ( binom {4} {1} = 4 ). Trīs kombinācijas ir [ {a, b, c }, quad {a, b, d }, quad {a, c, d }, quad mbox {un} quad {b, c, d }. nonumber ] Tādējādi ( binom {4} {3} = 4 ).

Teorēma ( PageIndex {1} label {thm: combin} )

Visiem veseliem skaitļiem (n ) un (r ), kas atbilst (0 leq r leq n ), mums ir [ binom {n} {r} = frac {P (n, r)} {r!} = frac {n (n-1) cdots (n-r + 1)} {r!} = frac {n!} {r! , (nr)!}. nonumber ]

Pierādījums

Ideja ir līdzīga tai, kuru mēs izmantojām 8.3.2. Teorēmas alternatīvajā pierādījumā. Ļaujiet (A ) būt visu (r ) - permutāciju kopai, bet (B ) - visu (r ) - kombināciju kopai. Definējiet (f: A uz B ) kā funkciju, kas pārveido permutāciju kombinācijā, “atkodējot” tās secību. Tad (f ) ir funkcija (r! ) - viens pret vienu, jo ir (r! ) Veidi, kā sakārtot (vai sajaukt) objektus (vai sajaukt). Tāpēc [| A | = r! cdot | B |. nonumber ] Tā kā (| A | = P (n, r) ) un (| B | = binom {n} {r} ), no tā izriet, ka ( binom {n} {r } = P (n, r) / r! ).

Piemērs ( PageIndex {3} label {piemēram: combin-03} )

Pastāv ( binom {40} {5} ) veidi, kā izvēlēties 5 skaitļus bez atkārtojumiem no veseliem skaitļiem (1,2, ldots, 40 ). Lai aprēķinātu tā skaitlisko vērtību ar roku, ir vieglāk, ja vispirms atceļam skaitītājā un saucējā kopīgos faktorus. Mēs atradām

[ binom {40} {5} = frac {40 cdot39 cdot38 cdot37 cdot36} {5 cdot4 cdot3 cdot2 cdot1} = 13 cdot38 cdot37 cdot36, nonumber ]

kas dod ( binom {40} {5} = 658008 ).

praktiskais vingrinājums ( PageIndex {1} label {he: combin-01} )

Aprēķiniet ( binom {12} {3} ) ar roku.

praktiskais vingrinājums ( PageIndex {2} label {he: combin-02} )

Trīs locekļu izpildkomiteja jāizvēlas no septiņu kandidātu grupas. Cik daudzos veidos komiteju var izveidot?

praktiskais vingrinājums ( PageIndex {3} label {he: combin-03} )

Cik ( {1,2, ldots, 23 } ) apakškopās ir pieci elementi?

Secinājums ( PageIndex {2} )

Par (0 leq r leq n ) mums ir ( binom {n} {r} = binom {n} {n-r} ).

Pierādījums

Saskaņā ar 8.4.1. Teorēmu mums ir [ binom {n} {nr} = frac {n!} {(Nr)! , (N- (nr))!} = Frac {n!} { (nr)! , r!}, nonumber ], kas ir precīzi ( binom {n} {r} ).

Piemērs ( PageIndex {1} label {piemēram: combin-04} )

Lai aprēķinātu ( binom {50} {47} ) skaitlisko vērtību, tā vietā, lai aprēķinātu definīcijā norādīto 47 faktoru reizinājumu, tas ir daudz ātrāk, ja izmantojam [ binom {50} {47} = binom {50} {3} = frac {50 cdot 49 cdot48} {3 cdot 2 cdot 1}, nonumber ] no kuriem iegūstam ( binom {50} {47} = 19600 ).

praktiskais vingrinājums ( PageIndex {4} label {he: combin-04} )

Ar roku aprēķiniet ( binom {529} {525} ) skaitlisko vērtību.

Tagad mēs esam gatavi aplūkot dažus jauktus piemērus. Visos šajos piemēros dažreiz mums ir jāizmanto permutācija, citreiz - kombinācija. Ļoti bieži mums jāizmanto abi kopā ar saskaitīšanas un reizināšanas principiem. Jūs varat jautāt, kā es varu saprast, ko darīt? Mēs iesakām uzdot sev šādus jautājumus:

  1. Izmantojiet būvniecības pieeju. Ja vēlaties uzskaitīt visas konfigurācijas, kas atbilst prasībai, kā jūs plānojat to darīt sistemātiski?
  2. Vai ir vairāki gadījumi, kas saistīti ar problēmu? Ja jā, mums tie vispirms ir jāuzskaita, pirms mēs ejam cauri katram no tiem pa vienam. Visbeidzot, pievienojiet rezultātus, lai iegūtu galīgo atbildi.
  3. Vai mēs atļaujam atkārtot vai aizstāt? Šis jautājums var izpausties arī tādā veidā, vai objekti ir atšķirami vai neatšķirami.
  4. Vai kārtībai ir nozīme? Ja jā, mums ir jāizmanto permutācija. Pretējā gadījumā izmantojiet kombināciju.
  5. Dažreiz var būt vieglāk izmantot pavairošanas principu, nevis permutāciju, jo atkārtojumi var būt atļauti (tādā gadījumā mēs nevaram izmantot permutāciju, lai gan mēs joprojām varam izmantot pavairošanas principu). Mēģiniet uzzīmēt shematisku shēmu un izlemiet, kas mums no tā ir vajadzīgs. Ja analīze ierosina modeli, kas atbilst paraugam, kas atrodams permutācijā, pēc tam varat izmantot formulu permutācijai.
  6. Neaizmirstiet: var būt vieglāk strādāt ar papildinājumu.

Bieži vien nav skaidrs, kā sākt, jo šķiet, ka ir vairāki veidi, kā sākt būvniecību. Piemēram, kā jūs izplatītu soda kannas studentu grupai? Ir divas iespējamās pieejas:

  1. No studentu viedokļa. Iedomājieties, ka esat viens no studentiem, kuru soda jūs saņemtu?
  2. No soda kannu viedokļa. Iedomājieties, ka jūs rokās esat soda kannā, kam jūs nodotu šo soda?

Atkarībā no faktiskās problēmas parasti derētu tikai viena no šīm divām pieejām.

Piemērs ( PageIndex {5} label {piemēram: combin-05} )

Pieņemsim, ka mums ir jāizplata 10 dažādas sodas kannas 20 studentiem. Ir skaidrs, ka daži studenti var nesaņemt nekādu soda. Patiesībā daži laimīgie studenti varēja saņemt vairāk nekā vienu soda (problēma nenozīmē, ka tas nevar notikt). Tādējādi ir vieglāk sākt no sodas kannu viedokļa.

Risinājums

Pirmo soda mēs varam dot jebkuram no 20 studentiem, un otro soda varam dot arī jebkuram no 20 studentiem. Faktiski mums vienmēr ir 20 izvēles iespējas katrai soda. Tā kā mums ir 10 gāzētie dzērieni, ir ( underbrace {20 cdot20 cdots20} _ {10} = 20 ^ {10} ) sodas izplatīšanas veidi.

Piemērs ( PageIndex {6} label {piemēram: combin-06} )

Cik daudzos veidos var izvēlēties trīs pārstāvju komandu no 885 skolēnu klases? Cik daudzos veidos var izvēlēties triju pārstāvju komandu, kuras sastāvā ir priekšsēdētājs, priekšsēdētāja vietnieks un sekretārs?

Risinājums

Ja mūs interesē tikai trīs pārstāvju atlase, kārtībai nav nozīmes. Tādējādi atbilde būtu ( binom {885} {3} ). Ja mums ir bažas par to, kādus amatus ieņems šie trīs pārstāvji, atbildei jābūt (P (885,3) ).

praktiskais vingrinājums ( PageIndex {5} label {he: combin-05} )

Maikam ir vajadzīgi daži jauni krekli, taču viņam ir tikai pietiekami daudz naudas, lai nopirktu piecus no astoņiem, kas viņam patīk. Cik daudzos veidos viņš var iegādāties piecus kreklus, tos izvēloties nejauši?

praktiskais vingrinājums ( PageIndex {6} label {he: combin-06} )

Marija vēlas iegādāties četrus kreklus četriem brāļiem, un viņa vēlētos, lai katrs no viņiem saņemtu atšķirīgu kreklu. Viņa atrod desmit kreklus, kas, viņuprāt, viņiem patiks. Daudzos veidos viņa var tos atlasīt?

Spēļu kārtis sniedz lieliskus problēmu skaitīšanas piemērus. Gadījumā, ja jūs tos nepārzināt, ļaujiet mums īsi pārskatīt, ko satur spēļu kāršu klājs.

  • Ir 52 spēļu kārtis, katra no tām ir atzīmēta ar uzvalku un rangu.
  • Ir četri tērpi: lāpstas ( ( spadesuit )), sirdis ( ( heartsuit )), dimanti ( ( diamondsuit )) un nūjas ( ( clubsuit )).
  • Katram tērpam ir 13 pakāpes ar marķējumu A, 2, 3,…, 9, 10, J, Q un K, kur A nozīmē dūzis, J nozīmē džeks, Q nozīmē karaliene un K nozīmē karalis.
  • Katram rangam ir 4 uzvalki (skat. Iepriekš).

praktiskais vingrinājums ( PageIndex {7} label {he: combin-07} )

Nosakiet piecu kāršu pokera kombināciju skaitu, kuras var izdalīt no 52 kāršu klāja.

Risinājums

Mums rūp tikai tas, kuras piecas kārtis var atrast rokā. Tā ir atlases problēma. Atbilde ir ( binom {52} {5} ).

praktisks vingrinājums ( PageIndex {7} label {piemēram: combin-07} )

Cik daudzos veidos var izdalīt 13 karšu tilta kombināciju no standarta 52 kāršu klāja?

Piemērs ( PageIndex {8} label {piemēram: combin-08} )

Cik daudzos veidos bridža spēlē var tikt sadalīts 52 kāršu klājs? (Bridža spēlē ir četri spēlētāji, kas apzīmēti kā ziemeļi, austrumi, dienvidi un rietumi, un katram no viņiem tiek izdalītas 13 kārtis.)

Risinājums

Atšķirība starp šo problēmu un pēdējo piemēru ir tāda, ka četru tilta roku sadalīšanas secība ir atšķirīga. Šī ir problēma, kas apvieno permutācijas un kombinācijas. Kā mēs jau iepriekš ieteicām, vislabākā pieeja ir sākt no nulles, izmantojot saskaitīšanas un / vai reizināšanas principus, kā arī permutāciju un / vai kombināciju, kad vien tas šķiet piemērots.

Ir 13 ( bin {52} {13} ) veidi, kā nodot 13 spēlētājus pirmajam spēlētājam. Tagad mums ir palikušas 39 kārtis, no kurām mēs atlasām 13, kuras tiks piešķirtas otrajam spēlētājam. Tagad no atlikušajām 26 kārtīm mums ir jādod 13 trešajam spēlētājam. Visbeidzot, pēdējās 13 kārtis tiks piešķirtas pēdējam spēlētājam (to var izdarīt tikai vienā veidā). Tilta spēlē kārtis tiek sadalītas ( binom {52} {13} binom {39} {13} binom {26} {13} ).

Varējām teikt, ka atbilde ir [ binom {52} {13} binom {39} {13} binom {26} {13} binom {13} {13}. nonumber ] Pēdējais faktors ( binom {13} {13} ) ir veidu skaits, kā pēdējās 13 kārtis atdot ceturtajam spēlētājam. Skaitliski ( binom {13} {13} = 1 ), tāpēc abas atbildes ir vienādas. Neatstājiet šo lieko faktoru kā lieku. Šajā atbildē ņemiet vērā jauko modeli. Apakšējie skaitļi ir 13, jo mēs atlasām 13 kārtis, kas jāpiešķir katram spēlētājam. Augšējie skaitļi norāda, cik karšu vēl ir pieejams izplatīšanai katrā izplatīšanas posmā. Risinājuma pamatojums ir pats par sevi saprotams!

Piemērs ( PageIndex {9} label {piemēram: combin-09} )

Nosakiet piecu kāršu pokera kombināciju skaitu, kurās ir trīs karalienes. Cik daudzos no tiem papildus trim karalienēm ir vēl viens kāršu pāris?

Risinājums
  1. Vispirms jāizvēlas trīs karalienes ( binom {4} {3} ) veidos, pēc tam atlikušās divas kartes var izvēlēties ( binom {48} {2} ) veidos. Tāpēc kopumā ir ( binom {4} {3} binom {48} {2} ) rokas, kas atbilst prasībām.
  2. Tāpat kā a) daļā, trīs karalienes var izvēlēties ( binom {4} {3} ) veidos. Tālāk mums jāizvēlas pāris. Mēs varam izvēlēties jebkuru karti no atlikušajām 48 kartēm (tāpēc ir 48 izvēles iespējas), pēc kuras mums jāizvēlas viena no atlikušajām 3 tāda paša ranga kartēm. Tas dod (48 cdot3 ) izvēli pārim, vai ne? Atbilde ir !

Pirmā kartīte, kuru mēs izvēlējāmies, varētu būt ( heartsuit 8 ), un otrā varētu būt ( clubsuit 8 ). Tomēr pirmā karte varēja būt ( clubsuit 8 ), bet otrā ( heartsuit 8 ). Šīs divas izvēles tiek skaitītas kā savādāk atlases, bet tie faktiski ir viens un tas pats pāris! Problēma ir tāda, ka mēs apsveram “pirmās” un “otrās” kārtis, kas faktiski nosaka kārtību starp abām kartēm, tādējādi pārvēršot to par secību vai pasūtīts atlase. Lai pārvarētu dubulto skaitīšanu, atbilde ir jāsadala ar 2. Tāpēc atbilde ir ( frac {48 cdot3} {2} ).

Šeit ir labāks veids, kā saskaitīt pāru skaitu. Svarīgs jautājums ir

Kuru mums vajadzētu izvēlēties vispirms: uzvalku vai rangu?

Šeit mēs vispirms vēlamies izvēlēties rangu. Rangam ir 12 izvēles iespējas (pāris nevar būt karalienes), un starp četrām šī ranga kārtīm mēs varam izvēlēties divas kārtis ( binom {4} {2} ) veidos. Tāpēc atbilde ir (12 binom {4} {2} ). Skaitliski abas atbildes ir identiskas, jo (12 binom {4} {2} = 12 cdot frac {4 cdot3} {2} = frac {48 cdot3} {2} ). Apkopojot: galīgā atbilde ir ( binom {4} {3} cdot12 binom {4} {2} ).

praktiskais vingrinājums ( PageIndex {8} label {he: combin-08} )

Cik tilta rokās ir tieši četras lāpstas?

praktiskais vingrinājums ( PageIndex {9} label {he: combin-09} )

Cik tilta rokās ir tieši četras lāpstas un četras sirsniņas?

praktiskais vingrinājums ( PageIndex {10} label {he: combin-10} )

Cik tilta rokās ir tieši četras lāpstas, trīs sirdis, trīs dimanti un trīs nūjas?

Piemērs ( PageIndex {10} label {piemēram: combin-10} )

Cik daudzos pozitīvajos skaitļos, kas nepārsniedz 99999, ir tieši trīs septiņi skaitļi?

Risinājums

Katru likumīgo veselu skaitli uzskata par piecu ciparu secību, no kuriem katrs ir izvēlēts no 0, 1, 2,…, 9. Piemēram, veselu skaitli 358 var uzskatīt par 00358. Trīs no piecām pozīcijām jāaizņem ar 7. Ir ( binom {5} {3} ) veidi, kā atlasīt šīs trīs vietas. Divas atlikušās pozīcijas var aizpildīt ar jebkuru no pārējiem deviņiem cipariem. Tādējādi ir šādi veseli skaitļi ( binom {5} {3} cdot 9 ^ 2 ).

Piemērs ( PageIndex {11} label {piemēram: combin-11} )

Cik daudz piecciparu pozitīvu skaitļu satur tieši trīs 7?

Risinājums

Atšķirībā no pēdējā piemēra, pirmais no pieciem cipariem nevar būt 0. Tomēr atbilde ir ( binom {5} {3} cdot 9 cdot 8 ). Jā, ir trīs (7) izvietojumu izvēles ( binom {5} {3} ) izvēles iespējas, taču dažas no šīm atlasēm, iespējams, ir iestatījušas 7 pēdējās četrās pozīcijās. Pirmais cipars paliek neaizpildīts. Deviņas izvēles, kas skaitītas ar 9, ļauj nulli ievietot pirmajā pozīcijā. Rezultāts labākajā gadījumā ir četrciparu skaitlis. Pareiza pieeja ir divu gadījumu izskatīšana:

  • 1. gadījums. Ja pirmais cipars nav 7, tad ir astoņi veidi, kā aizpildīt šo slotu. Starp atlikušajām četrām pozīcijām trim no tām jābūt 7, un pēdējā var būt jebkurš cits cipars, izņemot 7. Tātad šajā kategorijā ir (8 cdot binom {4} {3} cdot 9 ) veseli skaitļi .
  • 2. gadījums. Ja pirmais cipars ir 7, mums joprojām ir jāievieto pārējie divi 7 pārējās četrās pozīcijās. Ir ( binom {4} {2} cdot 9 ^ 2 ) šādi veseli skaitļi.

Abi gadījumi kopā dod (8 cdot binom {4} {3} cdot 9 + binom {4} {2} cdot 9 ^ 2 = 774 ) veselus skaitļus.

praktiskais vingrinājums ( PageIndex {11} label {he: combin-11} )

Piecas bumbiņas tiek izvēlētas no maisiņa ar astoņām zilām bumbiņām, sešām sarkanām bumbiņām un piecām zaļām bumbiņām. Cik no šīm piecu bumbiņu izlasēm satur tieši divas zilas bumbiņas?

Piemērs ( PageIndex {12} label {piemēram: combin-12} )

Atrodiet veidu, kā atlasīt piecas bumbiņas no maisa ar sešām sarkanām bumbām, astoņām zilām bumbiņām un četrām dzeltenām bumbiņām tā, lai piecu bumbiņu izlasē būtu tieši divas sarkanās bumbiņas vai divas zilas bumbiņas.

Risinājums

Atslēgvārds “vai” liek domāt, ka šī ir problēma, kas saistīta ar divu kopu apvienošanos, tāpēc problēmas risināšanai mums jāizmanto PIE.

  • Cik atlasēs ir divas sarkanas bumbiņas? Pēc tā paša argumenta, kas izmantots pēdējā piemērā, atbilde ir ( binom {6} {2} binom {12} {3} ).
  • Cik atlasēs ir divas zilas bumbiņas? Atbilde ir ( binom {8} {2} binom {10} {3} ).
  • Saskaņā ar PIE teikto galīgā atbilde ir [ binom {6} {2} binom {12} {3} + binom {8} {2} binom {10} {3} - binom {6} { 2} binom {8} {2} binom {4} {1}. nonumber ] Katrā izteiksmē augšējie skaitļi vienmēr sastāda 18, un apakšējo skaitļu summa vienmēr ir 5. Vai jūs varat paskaidrot, kāpēc?
  • Cik atlases satur divas sarkanās bumbiņas un 2 zilas bumbiņas? Atbilde ir ( binom {6} {2} binom {8} {2} binom {4} {1} ).

Piemērs ( PageIndex {13} label {piemēram: combin-13} )

Mums ir 11 bumbiņas, no kurām piecas ir zilas, trīs no tām ir sarkanas, bet pārējās trīs ir zaļas. Cik daudz četru bumbiņu kolekciju var izvēlēties tā, lai tiktu atlasītas vismaz divas zilas bumbiņas? Pieņemsim, ka vienas krāsas bumbiņas nav atšķiramas.

Risinājums

Atslēgvārdi “vismaz” nozīmē, ka mums varētu būt divas, trīs vai četras zilas bumbiņas. Ir [ binom {5} {2} binom {6} {2} + binom {5} {3} binom {6} {1} + binom {5} {4} binom {6 } {0} nonumber ] veidi, kā atlasīt četras bumbiņas, no kurām vismaz divas ir zilas.

praktiskais vingrinājums ( PageIndex {12} label {he: combin-12} )

Džerijs nopirka astoņas Pepsi, septiņas Sprite, trīs Dr Pepper un sešas Mountain Dew kannas. Viņš vēlas atvest 10 bundžas uz sava drauga māju, kad viņi šovakar skatās basketbola spēli. Pieņemot, ka kannas ir atšķiramas, teiksim, ar dažādiem derīguma termiņiem, cik daudz izvēles viņš var izdarīt, ja vēlas atvest

  1. Tieši četras Pepsi kannas?
  2. Vismaz četras Pepsi kannas?
  3. Maksimāli četras Pepsi kannas?
  4. Tieši trīs Pepsi kannas un ne vairāk kā trīs Sprite kannas?

Nākamā rezultāta pierādījums izmanto to, ko mēs saucam par kombinatorisku vai skaitīšanas argumentu. Kopumā kombinatoriskais arguments nav balstīts uz algebrisko manipulāciju. Drīzāk problēmas risināšanai tā izmanto situāciju kombinatorisko nozīmi.

Teorēma ( PageIndex {3} )

Pierādiet, ka ( sum_ {r = 0} ^ n binom {n} {r} = 2 ^ n ) visiem nenegatīvajiem skaitļiem (n ).

Pierādījums

Tā kā ( binom {n} {r} ) saskaita (r ) - elementu apakškopu skaitu, kas atlasītas no (n ) - elementu kopas (S ), kreisajā pusē esošais summējums ir summa visu iespējamo kardinālu (S ) apakškopu skaita. Citiem vārdiem sakot, tas ir kopējais apakškopu skaits (S ). Mēs iepriekš uzzinājām, ka (S ) ir (2 ^ n ) apakškopas, kas nekavējoties nosaka identitāti.

Kopsavilkums un pārskats

  • Izmantojiet permutāciju, ja ir nozīme pasūtījumam, pretējā gadījumā izmantojiet kombināciju.
  • Atslēgvārdu izvietojums, secība un secība iesaka izmantot permutāciju.
  • Atslēgvārdu atlase, apakškopa un grupa iesaka izmantot kombināciju.
  • Vislabāk ir sākt ar celtniecību. Iedomājieties, ka vēlaties uzskaitīt visas iespējas, kā jūs sāktu?
  • Mums var būt nepieciešams izmantot gan permutāciju, gan kombināciju, un ļoti iespējams, ka mums būs jāizmanto arī saskaitīšanas un reizināšanas principi.

Exercise ( PageIndex {1} label {ex: combin-01} )

Ja Bufalo Bills un Klīvlendas Browns ir pieejami attiecīgi astoņi un seši spēlētāji, cik daudzos veidos viņi var nomainīt trīs spēlētājus pret trim spēlētājiem?

Exercise ( PageIndex {2} label {ex: combin-02} )

Mastermind spēlē viens spēlētājs, koda veidotājs, izvēlas četru krāsu secību (“kods”), kas izvēlētas no sarkanās, zilās, zaļās, baltās, melnās un dzeltenās krāsas.

  1. Cik daudz dažādu kodu var izveidot?
  2. Cik kodos tiek izmantotas četras dažādas krāsas?
  3. Cik kodos tiek izmantota tikai viena krāsa?
  4. Cik kodos tiek izmantotas tieši divas krāsas?
  5. Cik kodos tiek izmantotas tieši trīs krāsas?

Exercise ( PageIndex {3} label {ex: combin-03} )

Bekijam patīk katru vakaru skatīties DVD diskus. Cik viņai jābūt DVD, ja viņa ziemas pārtraukumā var 24 vakarus pēc kārtas skatīties katru vakaru?

  1. Cita DVD apakškopa?
  2. Atšķirīga trīs DVD disku apakškopa?

Exercise ( PageIndex {4} label {ex: combin-04} )

Bridžetai ir (n ) draugi no bridža kluba. Katru ceturtdienas vakaru viņa uzaicina trīs draugus uz savām mājām uz tilta spēli. Viņa vienmēr sēž ziemeļu stāvoklī, un viņa izlemj, kuri draugi sēdēs austrumu, dienvidu un rietumu pozīcijās. Viņa to var izdarīt 200 nedēļas, neatkārtojot sēdvietu izvietojumu. Kāda ir minimālā (n ) vērtība?

Exercise ( PageIndex {5} label {ex: combin-05} )

Bridžetai ir (n ) draugi no bridža kluba. Viņa katru nedēļu ceturtdienas vakarā 100 nedēļu garumā var uzaicināt savās mājās citu trīs apakškopu. Kāda ir minimālā (n ) vērtība?

Exercise ( PageIndex {6} label {ex: combin-06} )

Cik daudz piecciparu skaitļu var veidot no 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7. cipara? Cik no tiem nav atkārtotu ciparu?

Exercise ( PageIndex {7} label {ex: combin-07} )

Nelielas koledžas Matemātikas nodaļā ir trīs pilntiesīgi profesori, septiņi asociētie profesori un četri docenti. Cik daudzos veidos var izveidot četru locekļu komiteju saskaņā ar šiem ierobežojumiem:

  1. Nav nekādu ierobežojumu.
  2. Tiek izvēlēts vismaz viens pilns profesors.
  3. Komitejā jābūt profesoram no katra ranga.

Exercise ( PageIndex {8} label {ex: combin-08} )

Universālveikala vadītājs no uzņēmuma galvenās mītnes saņem 12 futbola biļetes uz vienu un to pašu spēli (līdz ar to tās var uzskatīt par “identiskām”). Cik daudzos veidos viņa var tos izplatīt 20 darbiniekiem, ja neviens nesaņem vairāk par vienu biļeti? Ko darīt, ja biļetes ir uz 12 dažādām spēlēm?

Exercise ( PageIndex {9} label {ex: combin-09} )

Dambretei ir 64 atšķirīgi kvadrāti, kas sakārtoti astoņās rindās un astoņās kolonnās.

  1. Cik daudzos veidos uz kuģa var ievietot astoņus identiskus dambretē, lai divi dambrete nevarētu aizņemt vienu un to pašu rindu vai kolonnu?
  2. Cik daudzos veidos uz kuģa var ievietot divas vienādas sarkanās un divas identiskas melnās dambretes, lai divi vienas krāsas pārbaudītāji nevarētu aizņemt vienu un to pašu rindu vai kolonnu?

Exercise ( PageIndex {10} label {ex: combin-10} )

Nosakiet ( {A, B, C, D, E } ) permutāciju skaitu, kas atbilst šādiem nosacījumiem:

  1. (A ) ieņem pirmo pozīciju.
  2. (A ) ieņem pirmo pozīciju, bet (B ) otro.
  3. (A ) parādās pirms (B ).

Exercise ( PageIndex {11} label {ex: combin-11} )

Binārā virkne ir ciparu secība, kas izvēlēta no 0 un 1. Cik daudzās binārajās virknēs 16 ir tieši septiņas 1?

Exercise ( PageIndex {12} label {ex: combin-12} )

Cik daudzos veidos no astoņiem vīriešiem un astoņām sievietēm var izvēlēties neapgrūtinātu cilvēku apakškopu, lai katrā apakšgrupā būtu vienāds skaits vīriešu un sieviešu?

Exercise ( PageIndex {13} label {ex: combin-13} )

Pokera kombinācija ir piecu kāršu izvēle, ko izvēlas no standarta 52 kāršu klāja. Cik daudz pokera roku atbilst šādiem nosacījumiem?

  1. Nav nekādu ierobežojumu.
  2. Rokā ir vismaz viena karte no katra uzvalka.
  3. Rokā ir precīzi viens pāris (pārējās trīs kārtis, kurām ir dažādas pakāpes).
  4. Rokā ir trīs pakāpes (abas pārējās kārtis ir dažādas).
  5. Roka ir pilna māja (trīs no viena ranga un pāris ar otru).
  6. Roka ir taisna (rindas pēc kārtas, kā 5., 6., 7., 8., 9. rindā, bet ne visas no viena uzvalka).
  7. Roka ir flush (viss vienāds uzvalks, bet ne taisns).
  8. Roka ir taisna flush (gan taisna, gan flush).

Exercise ( PageIndex {14} label {ex: combin-14} )

Vietējais picu restorāns piedāvā šādas siera picu piedevas: papildu siers, pepperoni, sēnes, zaļie pipari, sīpoli, desa, šķiņķis un anšovi.

  1. Cik daudz picu var pasūtīt?
  2. Cik daudz picu var pasūtīt tieši ar trim piedevām?
  3. Cik daudz veģetāro picu (bez pepperoni, desas vai šķiņķa) var pasūtīt?

Kombinācijas - 15 monētu kolekcijas rezultātu aprēķināšana

Es daudz meklēju, lai atrastu sava veida norādījumus par to, kā pieiet šīs problēmas risināšanai, bet es nekur nevarēju atrast atbildi. Lasiet grāmatu daudzas reizes, tomēr neveicas. Problēma ir šāda:

Sesilam ir 15 monētu kolekcija. Četras monētas ir ceturtdaļas, septiņas monētas ir dimetānnaftalīnas, trīs ir niķeļi un viena ir penss. Katram scenārijam aprēķiniet kopējos iespējamos rezultātus, ja Sesils nejauši izvēlas piecas monētas.

Vai manas atbildes uz katru scenāriju ir pareizas? Ja nē, kas man pietrūkst? Jau iepriekš pateicos par atbildēm.


Cik dažādos veidos mēs varam atlasīt 3 vienumus no 8 komplekta?

K kombināciju skaits

To skaits k-kombinācijas no noteiktā komplekta S gada n elementus var apzīmēt ar

Kombināciju skaita aprēķināšana

Izmantojot viegli atceramo simetrisko formulu

Aizstājot mūsu vērtības n = 8 un k = 3, mēs iegūstam

Izdevumi par faktoriālu un anulēšana

Galīgais rezultāts: 56

Lai izvēlētos 3 vienumus no 8 komplektiem, ir 56 (piecdesmit seši) kombinācijas


A vienādojumu sistēma ir 2 (vai vairāk) vienādojumu kopa, kur mainīgie atspoguļo tās pašas nezināmās vērtības. Piemēram, pieņemsim, ka vienlaikus tiek stādīti divi dažādi bambusa veidi. A augs sākas ar 6 pēdu garumu un katru dienu aug ar nemainīgu ātrumu frac14 pēdas. B augs sākas ar 3 pēdu garumu un katru dienu aug ar nemainīgu ātrumu frac12 pēdas. Mēs varam uzrakstīt vienādojumus y = frac14 x + 6 augam A un y = frac12 x +3 augam B, kur x apzīmē dienu skaitu pēc stādīšanas un y ir augstums. Mēs varam uzrakstīt šo vienādojumu sistēmu.

sākas y = frac14 x + 6 y = frac12 x +3 beigas

Vienādojumu sistēmas atrisināšana nozīmē atrast x un y vērtības, kas vienlaikus padara patiesus abus vienādojumus. Viens no veidiem, kā mēs esam redzējuši, lai atrastu vienādojumu sistēmas risinājumu, ir abu līniju grafiskais attēlojums un krustošanās punkta atrašana. Krustošanās punkts apzīmē x un y vērtību pāri, kas padara vienādus patiesus. Šeit ir bambusa piemēra diagramma:

Šīs vienādojumu sistēmas risinājums ir (12,9), kas nozīmē, ka abi bambusa augi pēc 12 dienām būs 9 pēdas gari.

Mēs esam redzējuši vienādojumu sistēmas, kurām nav risinājumu, viena risinājuma un bezgalīgi daudz risinājumu.

  • Kad līnijas nekrustojas, risinājuma nav. (Līnijas, kas nekrustojas, ir paralēli.)
  • Kad līnijas vienreiz krustojas, ir viens risinājums.
  • Kad līnijas atrodas tieši viena virs otras, ir bezgalīgi daudz risinājumu.

Nākamajās nodarbībās mēs redzēsim, ka dažas sistēmas nevar viegli atrisināt, izmantojot grafiku, bet tās var viegli atrisināt, izmantojot algebru.


Binomālā teorēma

  • Jums bieži nākas paplašināt šādus polinomus: [ sākt (x + y) ^ 4 & amp = (x + y) (x + y) (x + y) (x + y) & amp = (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) (x + y) ( x + y) & amp = (x ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + y ^ 3) (x + y) & amp = x ^ 4 + 4x ^ 3y + 6x ^ 2y ^ 2 + 4xy ^ 3 + y ^ 4 beigas]
    • & hellip, un tas bija nedaudz sāpīgi.

    Teorēma: Ja skaitlis nav negatīvs (n ), [(x + y) ^ n = summa_^ binomx ^y ^ i ,. ] Atgādiniet, ka ( binom) ir vēl viens apzīmējums (C (n, i) ).

    Pierādījuma ideja: (X ^. Koeficientsy ^ i ) termins nāk no vairākiem veidiem, kā paplašināšanas laikā ir iespējams izvēlēties pirmo terminu (n-i ) laiku un otro terminu (i ) reizes. Mums ir (n ) termini, ar kuriem strādāt, un mums ir jāizvēlas (i ) no tiem, lai reizinātu (y ). Ir ( binom) veidi, kā to izdarīt.

    Secinājums: Ja skaitlis nav negatīvs (n ), [ summa_^ binom= 2 ^ n ,. ]

    Pierādījums: Pielietojiet binomiālo teorēmu ar (x = y = 1 ). ∎

    • Vienādojuma kreisajā pusē ir bitu virkņu skaits, kuru garums ir (n ) ar 0, plus bitu virknes ar 1, ar 2, & hellip, (n ).
    • Labajā pusē ir bitu virkņu skaits garumā (n ).
    • Tie rēķina vienu un to pašu, tāpēc viņiem jābūt vienādiem.

    Kā rīkoties ar GMAT matemātikas jautājumiem par kombinācijām un varbūtību

    GMAT kvantitatīvās (matemātikas) sadaļā bieži ir jautājumi, kas saistīti ar kombināciju un / vai varbūtības jēdzieniem. GMAT sagatavošanās sērija par MBA Crystal Ball turpinās, jo GoGMAT komanda aptver jautājumus, kas attiecas uz gan Kombinācijas un varbūtība.

    GMAT matemātika: kombinācijas un varbūtība

    GMAT eksāmens ir paredzēts, lai jūs pārsteigtu. Nav grāmatu, kurās būtu sīki aprakstīti visi precīzi jautājumi, ar kuriem jūs varētu saskarties, un nav neviena, kurš varētu ieiet testu centrā ar pilnu pārliecību par 800 punktu iegūšanu.

    Daži GMAT matemātikas jautājumi ir vienkārši un pārbauda vienu matemātikas jēdzienu. Tomēr grūtāki jautājumi, un tie ir tie, kas visvairāk ietekmē jūsu rezultātu, mēdz sajaukt dažādas matemātikas tēmas. Jautājumi, kas sajauc kombinācijas un varbūtību, ir lielisks piemērs. Ir gandrīz neierobežoti piemēri, tomēr, apgūstot pamatprincipus, jums jāspēj ātri saprast, kas ir vajadzīgs jautājums.

    Diemžēl šķiet, ka arī šāda veida jautājumi ir visvārdīgākie. Mums jāiemācās atkāpties no formulējuma un ātri noteikt svarīgo informāciju. Par laimi tas ir vieglāk, tad izskatās, kad jums ir laba metodika.

    Sāksim, atgādinot sev varbūtības formulas un kombinācijas / permutācijas.

    Vienkāršas varbūtības formula:

    Notikuma A iespējamība = (reižu skaits A var notikt) / (laika skaits jebkurš var rasties iznākums)

    Permutāciju formula:

    Kombināciju formula:

    Atcerieties: sadaļā Permutācijas ir svarīga kārtība. Kombinācijās - tā nav.

    Metodoloģija:

    Ir divi soļi, kas palīdzēs efektīvi tikt galā ar GMAT varbūtību un kombināciju / permutāciju jautājumiem.

    1) Noskaidrojiet, vai jautājums prasa kombinācijas vai permutācijas

    2) Uzrakstiet vienādojumu un aizpildiet nepieciešamo.

    Jūs vienkārši iedziļināties formulējumos un izņemt nepieciešamo informāciju, lai ātri nonāktu pie atbildes.

    Rit divi kauliņi. Cik liela ir varbūtība, ka summa būs lielāka par 10?

    No pirmā acu uzmetiena mēs varam redzēt, ka šis jautājums ir saistīts ar varbūtību un to skaitļu aprēķināšanu, kā jebkuru skaitli var velmēt. Apskatīsim mūsu metodoloģijas pirmo soli:

    1) Noskaidrojiet, vai jautājums prasa kombinācijas vai permutācijas

    Šajā jautājumā ir svarīga izvēlēto skaitļu secība. Ja mēs metam 6 uz viena un 4 pret diviem, tad tas atšķiras no 4 pret vienu un no 6 uz diviem, tie ir divi dažādi rezultāti, kas, protams, ietekmē mūsu varbūtības aprēķinu. Tāpēc šis jautājums attiecas uz permutācijām.

    Daudzu līdzīgu objektu, piemēram, kauliņu, permutāciju izstrāde ir vienkārša un neprasa formulas izmantošanu.

    Vienā matricā ir sešas dažādas iespējas, jo mēs varam mest 1, 2, 3, 4, 5 vai 6. Ja mums ir divi kauliņi, tad permutāciju skaits ir vienkārši:

    6 iespējamie rezultāti vienā miršanas reizē X 6 iespējamie iznākumi otrajā miršanā

    6 X 6 = 36 kopējās permutācijas

    Tagad mēs varam pāriet uz 2. darbību:

    2) Uzrakstiet vienādojumu un aizpildiet nepieciešamo.

    Mūsu varbūtības vienādojums izskatīsies šādi:

    Ritēšanas varbūtība ir lielāka par 10 = (rezultātu skaits virs 10) / (kopējais rezultātu skaits)

    Līdz šim saucēju mēs zinām tikai tad, kad pirmajā solī mēs izstrādājām kopējo permutāciju skaitu. Tagad mums ir jānosaka, cik reižu mēs varam rādīt skaitli virs desmit. Šis solis prasa zināmu matemātiku un loģisko domāšanu. Ja mums ir jāpārsniedz desmit ar tikai diviem kauliņiem, tad samesto skaitlim jābūt vai nu 11, vai 12. Tātad tagad mums jāaprēķina to, cik daudz mēs varam ripot 11 vai 12.

    Mēs varam to paveikt tālu, aprēķinot katru permutāciju un tās vērtību:


    8.4. Vektora izteikšana kā dažu vektoru lineārā kombinācija



    2.
    Uz pierādīt, ka divi vektori ir paralēli , mums viens no vektoriem jāizsaka kā a skalārs daudzkārtējs otra vektora.


    3.
    Lai to pierādītu punkti P, J un R ir kolinārs , pierādīt vienu no šīm darbībām.

    • P Q → = k Q R → vai Q R → = h P Q → • P R → = k P Q → vai P Q → = h P R → • P R → = k Q R → vai Q R → = h P R →

    (a) (i) AS → = AD → + DS → = AD → + AQ → ← AQ: QB = 3: 1 un DS: SC = 3: 1 ∴ AQ → = DS → = b ˜ + 6 a ˜ = 6 a ˜ + b ˜


    (a) (ii) QC → = QB → + BC → = 1 3 AQ → + AD → ← AQ: QB = 3: 1 AQQB = 3 1 ⇒ QB = 1 3 AQ un paralelogramam BC / / AD, BC = AD = 1 3 (6 a ˜) + b ˜ = 2 a ˜ + b ˜


    (b) QT → = QA → + AT → = QA → + 3 2 AS → ← AS = 2 STAT = 3 ST = 3 2 AS = - 6 a ˜ + 3 2 (6 a ˜ + b ˜) = 3 a ˜ + 3 2 b ˜ = 3 2 (2 a ˜ + b ˜) = 3 2 QC → ∴ Punkti Q, C un T ir kolināri.


    2018. gada aprīļa (A09) matemātikas jautājums 36

    Jūs neesat pieteicies.

    Pieteikties | Sign Up and pay $59 now to view all explanations.


    Combinations without repetition

    The combinations without repetition of $n$ elements taken $k$ in $k$ are the different groups of $k$ elements that can be formed by these $n$ elements, so that two groups differ only if they have different elements (that is to say, the order does not matter). They are represented as $C_$.

    Let's consider the set $A=$ of $5$ elements. Let's observe first of all that, for example, the groups $abc$ and $cba$ are considered to be equal, since as has been said the order does not matter while the elements are the same.

    We are going to see what the different combinations without repetition of these $5$ elements are:

    • Combinations without repetition of $5$ elements taken $1$ at a time: $a$, $b$, $c$, $d$ and $e$.
    • Combinations without repetition of $5$ elements taken $2$ at a time: $ab$, $ac$, $ad$, $ae$, $bc$, $bd$, $be$, $cd$, $ce$ and $de$.
    • Combinations without repetition of $5$ elements taken $3$ at a time: $abc$, $abd$, $abe$, $acd$, $ace$, $ade$, $bcd$, $bce$, $bde$ and $cde$.
    • Combinations without repetition of $5$ elements taken $4$ at a time: $abcd$, $abce$, $abde$, $acde$ and $bcde$.
    • Combinations without repetition of $5$ elements taken $5$ at a time: The only group of $5$ elements that it is possible to form from the elements of $A$ is $abcde$.

    In this example all of the combinations could have been written. However, if $A$ had had many more elements, this would have been much more complicated.

    The following formula allows us to know how many combinations without repetition of $n$ elements taken $k$ in $k$ there are: $$displaystyle C_=inom = frac$$

    In the previous example, $n = 5$. Now, if we want to know how many combinations of $5$ elements, taken $3$ at a time there are, we use the formula and we obtain: $$displaystyle C_<5,3>=inom<5> <3>= frac<5!><3!(5-3)!>=10$$ We can check in the previous list that there are $10$ sets of $3$ elements, indeed.


    Features

    Extend students’ mathematical maturity and ability to deal with abstraction

    • Strong emphasis on reading and writing proofs – Illustrates most proofs of theorems with annotated figures to provide additional explanation and insight into the proofs.
      • EXPANDED! More than 100 new exercises have been added to the first three chapters: Sets and Logic, Proofs, and Functions, Sequences, and Relations. There are now more than 1,750 worked examples and exercises in these chapters.
      • Problem Solving Corners, a hallmark feature that helps students attack and solve problems and show them how to do proofs.

      Breadth of examples and exercises help students master introductory discrete mathematics