Raksti

3.2: Tiešie pierādījumi - matemātika


Lai parādītu, ka apgalvojums (q ) ir patiess, rīkojieties šādi:

  • Vai nu atrodiet rezultātu, kas norāda (p Rightarrow q ), vai pierāda, ka (p Rightarrow q ) ir taisnība.
  • Parādiet vai pārbaudiet, vai (p ) ir taisnība.
  • Seciniet, ka (q ) jābūt patiesai.

Loģika ir derīga, jo, ja (p Rightarrow q ) ir patiesa un (p ) ir patiesa, tad (q ) jābūt patiesai. Simboliski mēs sakām, ka loģiskā formula [[(p Rightarrow q) wedge p] Rightarrow q ] ir tautoloģija (mēs to varam viegli pārbaudīt ar patiesības tabulu). Simboliski mēs argumentu pasniedzam kā [ begin {masīvs} {cl} & p Rightarrow q & p hline tāpēc & q end {masīvs} ] Šāds arguments tiek saukts modus ponens vai atdalīšanās likums.

Piemērs ( PageIndex {1} label {piemēram: directpf-01} )

Arguments

(b ^ 2> 4ac Rightarrow ax ^ 2 + bx + c = 0 ) ir divi reāli risinājumi.
(x ^ 2-5x + 6 ) atbilst (b ^ 2> 4ac ).
(tāpēc ) (x ^ 2-5x + 6 = 0 ) ir divi reāli risinājumi.

ir modus ponens piemērs.

Ir skaidrs, ka implikācijām ir svarīga loma matemātiskajos pierādījumos. Ja mums ir seku secība, mēs varētu tos savienot “no galvas līdz astei”, lai izveidotu citu implikāciju: [ begin {masīvs} {cl} & p Rightarrow q & q Rightarrow r hline tāpēc & p Rightarrow r end {array} ] To sauc par siloģisma likums.

.

Piemērs ( PageIndex {2} label {piemēram: directpf-02} )

Arguments

Vācu gani ir suņi.
Suņi ir zīdītāji.
Zīdītāji ir mugurkaulnieki.
(tāpēc )Vācu gani ir mugurkaulnieki.

ir derīgs siloģisma likuma dēļ.

Lielais jautājums ir, kā mēs varam pierādīt implikāciju? Pamata pieeja ir tiešs pierādījums:

Pieņemsim, ka (p ) ir taisnība.

No (p ) seciniet, ka (q ) ir taisnība.

Svarīgi atcerēties: izmantojiet informāciju, kas iegūta no (p ), lai parādītu, ka (q ) ir patiesība. Šādi var izskatīties tipisks tiešais pierādījums:

Pierādījums: Pieņemsim, ka ) p ) ir taisnība. Tad. .

(P ) dēļ mēs atrodam. .

. Tāpēc (q ) ir taisnība.

Piemērs ( PageIndex {3} label {piemēram: directpf-03} )

Pierādiet, ka, ja šaha galdu (m reizes n ) var pilnībā nosegt domino, kas nepārklājas, tad (mn ) jābūt vienmērīgam.

Risinājums

Pieņemsim, ka šaha galdiņu var pārklāt ar domino, kas nepārklājas, un norādiet (t ) kā domino skaitu, kas pārklāj šaha galdiņu. Tad šaha galdā jābūt (2t ) kvadrātiem. Tādējādi (mn = 2t ), kas nozīmē, ka (mn ) jābūt pāra skaitlim.

Pirms turpinām ar vairākiem piemēriem, mēs vēlētos ieviest formālu pāra un nepāra veselu skaitļu definīciju.

Definīcija

Vesels skaitlis ir pat ja to var uzrakstīt kā (2q ) kādam veselam skaitlim (q ), un nepāra ja to var uzrakstīt kā (2q + 1 ) kādam veselam skaitlim (q ).

Mums nav jāizmanto (q ), lai apzīmētu veselu skaitli, kas, reizinot ar 2, rada vienmērīgu skaitli. Jebkurš burts darbosies, ja vien minēsim, ka tas ir vesels skaitlis. Piemēram, ja (n ) ir vienmērīgs vesels skaitlis, tad mēs varam rakstīt (n = 2t ) kādam veselam skaitlim (t ). Jēdzienu par veseliem skaitļiem var tālāk vispārināt.

Definīcija

Ļaujiet (m ) būt nulles skaitlim. Vesels skaitlis ir a vairākkārtējs no (m ), ja to var ierakstīt kā (mq ) kādam veselam skaitlim (q ).

Tagad mēs esam gatavi izpētīt vairāk piemēru.

Piemērs ( PageIndex {4} label {piemēram: directpf-04} )

Parādiet, ka nepāra vesela skaitļa kvadrāts ir nepāra.

Risinājums

Ļaujiet (n ) būt nepāra skaitlim. Tad (n = 2t + 1 ) kādam skaitlim (t ) un [n ^ 2 = (2t + 1) ^ 2 = 4t ^ 2 + 4t + 1 = 2 (2t ^ 2 + 2t) +1, ] kur (2t ^ 2 + 2t ) ir vesels skaitlis. Tādējādi (n ^ 2 ) ir nepāra.

praktisks vingrinājums ( PageIndex {1} label {he: directpf-01} )

Ļaujiet (n ) būt veselam skaitlim. Parādiet, ka, ja (n ) ir nepāra, tad (n ^ 3 ) ir nepāra.

Piemērs ( PageIndex {5} label {piemēram: directpf-05} )

Parādiet, ka divu nepāra veselu skaitļu reizinājums ir nepāra.

Risinājums

Ļaujiet (x ) un (y ) būt diviem nepāra veseliem skaitļiem. Mēs vēlamies pierādīt, ka (xy ) ir nepāra. Tad (x = 2s + 1 ) un (y = 2t + 1 ) dažiem veseliem skaitļiem (s ) un (t ), un [xy = (2s + 1) (2t + 1) = 4st + 2s + 2t + 1 = 2 (2st + s + t) +1, ] kur (2.st + s + t ) ir vesels skaitlis. Tāpēc (xy ) ir nepāra.

Šajā pierādījumā mums jāizmanto divi dažādi lielumi (s ) un (t ), lai aprakstītu (x ) un (y ), jo tiem nav jābūt vienādiem. Ja mēs rakstām (x = 2s + 1 ) un (y = 2s + 1 ), mēs faktiski sakām, ka (x = y ). Mums jāuzsver, ka (s ) un (t ) ir veseli skaitļi, jo tikai sakot (x = 2s + 1 ) un (y = 2t + 1 ), netiek garantēta (x ) un (y ) ir nepāra. Piemēram, pāra skaitli 4 var uzrakstīt kā (2 cdot frac {3} {2} +1 ), kura forma ir (2s + 1 ). Ir skaidrs, ka 4 nav dīvaini. Lai arī skaitli varam uzrakstīt formā (2s + 1 ), tas nenozīmē, ka skaitlim jābūt nepāra, ja vien mēs droši zinām, ka (s ) ir vesels skaitlis. Šis piemērs parāda, cik svarīgi ir pievērst uzmanību mūsu rakstītajām detaļām.

.

Piemērs ( PageIndex {6} label {directpf-06} )

Parādiet, ka, ja (x ^ 3-7x ^ 2 + x-7 = 0 ), tad (x = 7 ).

Risinājums

Pieņemsim, ka (x ^ 3-7x ^ 2 + x-7 = 0 ). Tā kā [x ^ 3-7x ^ 2 + x-7 = x ^ 2 (x-7) + (x-7) = (x ^ 2 + 1) (x-7), ] ja tas ir vienāds ar nulle, mums vajag vai nu (x ^ 2 + 1 = 0 ), vai (x-7 = 0 ). Tā kā (x ^ 2 + 1 ) nekad nevar būt nulle, mums jābūt (x-7 = 0 ); tādējādi (x = 7 ).

praktisks vingrinājums ( PageIndex {2} label {he: directpf-02} )

Parādiet, ka, ja (x ^ 3 + 6x ^ 2 + 12x + 8 = 0 ), tad (x = -2 ).

Pēdējais piemērs parāda tehniku, ko sauc pierādījums pa gadījumiem. Ir divas iespējas, proti, vai nu (i) (x ^ 2 + 1 = 0 ), vai (ii) (x-7 = 0 ). Galīgais secinājums tiek izdarīts pēc tam, kad pētīsim šos divus gadījumus atsevišķi.

Piemērs ( PageIndex {7} label {piemēram: directpf-07} )

Parādiet, ka, ja vesels skaitlis (n ) nav dalāms ar 3, tad (n ^ 2-1 ) jābūt 3 reizinājumam.

Piezīme

Burts (n ) ir izmantots, lai identificētu mūs interesējošo veselu skaitli, un tas parādās implikācijas hipotēzē, kuru mēs vēlamies pierādīt. Neskatoties uz to, daudzi autori pierādījumus sāks ar pazīstamo frāzi “Ļaujiet (n ) būt…”

Atbilde

Ļaujiet (n ) būt veselam skaitlim, kas nedalās ar 3. Kad tas ir dalīts ar 3, atlikums ir 1 vai 2. Tādējādi (n = 3q + 1 ) vai (n = 3q + 2 ) kādam veselam skaitlim (q ).

1. gadījums: Ja (n = 3q + 1 ) kādam skaitlim (q ), tad [n ^ 2-1 = 9q ^ 2 + 6q = 3 (3q ^ 2 + 2q), ] kur (3q ^ 2 + 2q ) ir vesels skaitlis.

2. gadījums: ja (n = 3q + 2 ) kādam skaitlim (q ), tad [n ^ 2-1 = 9q ^ 2 + 12q + 3 = 3 (3q ^ 2 + 4q + 1), ] kur (3q ^ 2 + 4q + 1 ) ir vesels skaitlis.

Abos gadījumos mēs esam parādījuši, ka (n ^ 2-1 ) ir daudzkārtne 3.

praktisks vingrinājums ( PageIndex {3} label {he: directpf-03} )

Parādiet, ka (n ^ 3 + n ) ir pat visiem (n in mathbb {N} ).

praktisks vingrinājums ( PageIndex {4} label {he: directpf-04} )

Parādiet, ka (n (n + 1) (2n + 1) ) ir dalāms ar 6 visiem (n in mathbb {N} ).

Padoms

Vienam no diviem skaitļiem (n ) un (n + 1 ) jābūt vienmērīgam, tāpēc mēs jau zinām, ka reizinājums (n (n + 1) (2n + 1) ) ir 2 reizinājums. Tādējādi atliek parādīt, ka tas ir arī 3. reizinājums. Apsveriet trīs gadījumus: (n = 3q ), (n = 3q + 1 ) vai (n = 3q + 2 ), kur (q ) ir vesels skaitlis.

Mēs noslēdzam savu diskusiju ar diviem izplatītiem kļūdām (loģiskām kļūdām). Pirmais ir apgrieztās kļūdas vai priekšteča noliegšana: [ begin {masīvs} {cl} & p Rightarrow q & overline {p} hline Tāpēc & overline {q} end {array} ] Tas faktiski pierāda apgriezto ( overline {p} Rightarrow overline {q} ), kas mums ir zināms loģiski līdzvērtīgs sākotnējai implikācijai. Tādējādi šī ir nepareiza implikācijas pierādīšanas metode.

.

Piemērs ( PageIndex {8} label {piemēram: directpf-08} )

Vai ir šāds arguments

Vārdnīcas ir vērtīgas.
Šī grāmata nav vārdnīca.
(tāpēc )Šī grāmata nav vērtīga.

derīgs? Kāpēc?

Vēl viena izplatīta kļūda ir pazīstama kā sarunu maldība vai seku apstiprināšana: [ begin {masīvs} {cl} & p Rightarrow q & q hline Tāpēc & p end {masīvs} ] Tas tikai pierāda sarunu (q Rightarrow p ). Tā kā saruna ir loģiski līdzvērtīgs sākotnējai implikācijai, tas ir nepareizs implikācijas pierādīšanas veids.

.

Piemērs ( PageIndex {9} label {piemēram: directpf-09} )

Vai tas ir arguments

Neviena zāle negaršo.
Šis dzēriens garšo slikti.
(tāpēc )Tas noteikti ir zāles.

derīgs arguments? Kāpēc?

  • Lai pierādītu implikāciju (p Rightarrow q ), vispirms pieņemiet, ka (p ) ir taisnība. Izmantojiet šī pieņēmuma informāciju kopā ar citiem zināmiem rezultātiem, lai parādītu, ka arī (q ) jābūt patiesai.
  • Ja nepieciešams, jūs varat sadalīt (p ) vairākos gadījumos (p_1, p_2, ldots , ) un pierādīt katru implikāciju (p_i Rightarrow q ) (atsevišķi, pa vienam), kā norādīts iepriekš .
  • Noteikti skaidri uzrakstiet matemātiskās izteiksmes. Izmantojiet dažādus mainīgos, ja iesaistītie lielumi var nebūt vienādi.
  • Lai sāktu, pierakstiet sniegto informāciju, pieņēmumu un to, ko vēlaties pierādīt.
  • Nākamajā solī, ja nepieciešams, izmantojiet definīciju un pārrakstiet informāciju matemātiskos pierakstos. Lieta ir tāda, ka mēģiniet iegūt dažus matemātiskus vienādojumus vai loģiskus apgalvojumus, ar kuriem mēs varam manipulēt.

.

Exercise ( PageIndex {1} label {ex: directpf-01} )

Pierādīt vai noraidīt: (2 ^ n + 1 ) ir galvenais visiem nenegatīvajiem skaitļiem (n ).

Exercise ( PageIndex {2} label {ex: directpf-02} )

Parādiet, ka jebkuram veselam skaitlim (n geq5 ) veseli skaitļi (n ), (n + 2 ) un (n + 4 ) nevar būt visi sākotnējie skaitļi.

Padoms

Ja (n ) ir 3 reizinājums, tad pats (n ) ir salikts, un pierādījums būs pilnīgs. Tātad mēs varam pieņemt, ka (n ) nav dalāms ar 3. Tad kā izskatītos (n ) un ko jūs varētu teikt par (n + 2 ) un (n + 4 )?

Exercise ( PageIndex {3} label {ex: directpf-03} )

Ļaujiet (n ) būt veselam skaitlim.

  1. Parādiet, ka, ja (n ) ir nepāra, tad arī (n ^ 2 ) ir nepāra.
  2. Parādiet, ka, ja (n ) ir nepāra, tad (n ^ 4 ) ir arī nepāra.
  3. A sekas ir rezultāts, kuru var viegli iegūt no cita rezultāta. Iegūstiet (b) kā a) seku.
  4. Parādiet, ka, ja (m ) un (n ) ir nepāra, tad ir arī (mn ).
  5. Parādiet, ka, ja (m ) ir pāra un (n ) ir nepāra, tad (mn ) ir pāra.

Exercise ( PageIndex {4} label {ex: directpf-04} )

Pierādiet, ka jebkuram nepāra skaitlim (n ) skaitlim (2n ^ 2 + 5n + 4 ) jābūt nepāra.

Exercise ( PageIndex {5} label {ex: directpf-05} )

Ļaujiet (n ) būt veselam skaitlim.

  1. Pierādiet, ka, ja (n ) ir 3 reizinājums, tad (n ^ 2 ) ir arī 3 reizinājums.
  2. Pierādiet, ka, ja (n ) ir 7 reizinājums, tad (n ^ 3 ) ir arī 7 reizinājums.

Exercise ( PageIndex {6} label {ex: directpf-06} )

Pierādiet, ka, ja (n ) nav 3 reizinājums, tad (n ^ 2 ) arī nav 3 reizinājums.

Padoms

Ja (n ) nav 3 reizinājums, tad (n = 3q + 1 ) vai (n = 3q + 2 ) daži vesels skaitlis (q ).

Exercise ( PageIndex {7} label {ex: directpf-07} )

Izmantojiet faktus, kas

( sqrt {2} ) ir iracionāls, un

ja (x ) iracionāls, tad ( sqrt {x} ) arī iracionāls,

lai pierādītu, ka ( sqrt [8] {2} ) ir iracionāli.

Exercise ( PageIndex {8} label {ex: directpf-08} )

Atgādināsim, ka mēs varam izmantot pretpiemēru, lai atspēkotu implikāciju. Parādiet, ka šādi apgalvojumi ir nepatiesi:

  1. Ja (x ) un (y ) ir veseli skaitļi, kas (x ^ 2> y ^ 2 ), tad (x> y ).
  2. Ja (n ) ir pozitīvs vesels skaitlis, tad (n ^ 2 + n + 41 ) ir galvenais.

Exercise ( PageIndex {9} label {ex: directpf-09} )

Paskaidrojiet, kāpēc šie argumenti nav derīgi:

  1. Ļaujiet (n ) būt veselam skaitlim. Ja (n ^ 2 ) ir nepāra, tad (n ) ir nepāra. Tāpēc (n ) jābūt nepāra.
  2. Ļaujiet (n ) būt veselam skaitlim. Ja (n ) ir pāra, tad arī (n ^ 2 ) ir pāra. Kā vesels skaitlis (n ^ 2 ) varētu būt nepāra. Tādējādi (n ) nevar būt vienmērīgs. Tāpēc (n ) jābūt nepāra.

Exercise ( PageIndex {10} label {ex: directpf-10} )

Analizējiet šādu pamatojumu:

  1. Ļaujiet (S ) būt reālu skaitļu kopai. Ja (x ) ir (S ), tad (x ^ 2 ) ir (S ). Bet (x ) nav (S ), tātad (x ^ 2 ) nav (S ).
  2. Ļaujiet (S ) būt reālu skaitļu kopai. Tāpēc, ja (x ^ 2 ) ir (S ), tad (x ) ir (S ).

Lai manipulētu ar izteiksmēm, mēs varam apsvērt iespēju izmantot Indeksa likumu. Šie likumi attiecas tikai uz izteicieniem ar tā pati bāze, piemēram, ar indeksu likumu var manipulēt ar 3 4 un 3 2, taču mēs nevaram izmantot indeksu likumu, lai manipulētu ar izteiksmēm 3 5 un 5 7, jo to bāze atšķiras (to bāzes ir attiecīgi 3 un 5).

1. noteikums:

Jebkurš skaitlis, izņemot 0, kura indekss ir 0, vienmēr ir vienāds ar 1, neatkarīgi no bāzes vērtības.

2. noteikums:

3. noteikums:

Lai reizinātu izteiksmes ar to pašu bāzi, kopējiet bāzi un pievienojiet indeksus.

Vienkāršojiet : (Piezīme: 5 = 5 1 )

4. noteikums:

Lai sadalītu izteiksmes ar tādu pašu bāzi, kopējiet bāzi un atņemiet indeksus.

Vienkāršojiet :

5. noteikums:

Lai paaugstinātu izteiksmi līdz n-tājam indeksam, kopējiet pamatu un reiziniet indeksus.

6. noteikums:

Jūs tagad esat apguvis svarīgos Indeksa likuma noteikumus un esat gatavs izmēģināt dažus piemērus!

Pārejiet uz nākamo lapu, lai uzzinātu pirmo no daudziem jautājumiem un pilnībā izstrādātu risinājumu, lai jūs varētu praktizēt.


3.2: Tiešie pierādījumi - matemātika

Pagājušajā nedēļā mēs atradām efektīvu veidu, kā aprēķināt D (n), n dalītāju skaitu. Šonedēļ mēs pievēršamies problēmai atrast labāku veidu, kā aprēķināt visu n dalītāju summu S (n).

Piemēram, pieņemsim, ka mēs vēlamies atrast dalītāju summu n = 144.

Tāpat kā pagājušajā nedēļā, mēs sākam, veidojot galveno koeficientu 144:

Jebkuram dalītājam 144 jābūt dažu skaitļu 2 (starp 0 un 4) un dažu 3 skaitļu (starp 0 un 2) reizinājumam. Tātad, šeit ir tabula ar iespējām:

Ievērojiet tabulā, ka pirmās kolonnas summa ir 1 + 3 + 9 = 13. Un pārējās kolonnu summas ir 13. 2, pēc tam 13. 4 un tā tālāk.

Tātad kopsumma ir 1 + 3 + 9 = 13 reizinājums ar 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31.

Ievērojiet, ka mēs varētu uzrakstīt patieso vienādojumu, kas:

S (144) = S (2 4,3 3 2) = S (2 4). S (3 2).

Parasti, ja jums ir skaitļa n galvenā faktorizācija, tad, lai aprēķinātu tā dalītāju summu, jūs ņemat katru atšķirīgo pamatfaktoru un saskaitāt visus tā spēkus līdz tam, kas parādās pamatfaktorizācijā, un pēc tam visus reiziniet šīs summas kopā!

Piemērs: Nosakiet S (1800).

Risinājums: 1800 galvenā koeficienta koeficients ir 2 3. 3 2. 5 2. Un

S (2 3) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15
S (3 2) = 1 + 3 + 9 = 13
S (5 2) = 1 + 5 + 25 = 31


3.2: Tiešie pierādījumi - matemātika

Pierādījumu ar pretrunu piemēri

1. piemērs: Pierādiet šo apgalvojumu ar pretrunu.

Nav vislielākā pat vesela skaitļa.

Pieņemsim, ka nē. [Mēs pieņemam teorēmas noliegumu un pieņemam, ka tā ir patiesa.] Pieņemsim, ka pastāv lielākais pat vesels skaitlis N. [Mums jāizdara pretruna.] Tad

Katram pāra skaitlim n, N & # 8805 n.

Tagad pieņemsim, ka M = N + 2. Tad M ir vienmērīgs skaitlis. [Tā kā tā ir veselu skaitļu summa.] Arī M & gt N [kopš M = N + 2]. Tāpēc M ir vesels skaitlis, kas ir lielāks par lielāko veselu skaitli. Tas ir pretrunā ar pieņēmumu, ka N & # 8805 n katram pāra skaitlim n. [Tādējādi pieņēmums ir nepareizs un apgalvojums ir patiess.]

Un tas pabeidz pierādījumu.

2. piemērs: Pierādiet šo apgalvojumu ar pretrunu.

Jebkura racionāla skaitļa un jebkura iracionāla skaitļa atšķirība ir neracionāla.

Pieņemsim, ka nē. [Mēs uzskatām teorēmas noliegumu un pieņemam, ka tā ir patiesa.] Pieņemsim, ka racionāls skaitlis x un iracionāls skaitlis y ir tāds, ka (x & # 8722 y) ir racionāls. [Mums jāgūst pretruna.] Pēc racionālas definīcijas mums ir

x = a / b dažiem skaitļiem a un b ar b & # 8800 0.

un x & # 8722 y = c / d dažiem veseliem skaitļiem c un d ar d & # 8800 0.

Bet (ad & # 8722 bc) ir veseli skaitļi [jo a, b, c, d ir visi veseli skaitļi un produkti, un veselu skaitļu atšķirības ir veseli skaitļi], un bd & # 8800 0 [ar nulles produkta īpašību]. Tāpēc pēc racionāla definīcijas y ir racionāls. Tas ir pretrunā ar pieņēmumu, ka y ir racionāls. [Tādējādi pieņēmums ir nepatiess un teorēma ir patiesa.]

Un tas pabeidz pierādījumu.

3. piemērs: Pierādiet šo apgalvojumu pretrunīgi:

Jebkura iracionāla skaitļa negatīvs ir iracionāls.

Vispirms iztulkojiet izteikumu no neformālās uz oficiālo valodu:

& # 8704 reālie skaitļi x, ja x iracionāls, tad & # 8722x ir iracionāls.

Pieņemsim, ka nē. [mēs pieņemam dotā apgalvojuma noliegumu un pieņemam, ka tas ir patiess.] Pieņemsim, gluži pretēji, to

& # 8707 iracionāls skaitlis x tāds, ka & # 8722x ir racionāls.

[Mums jāsecina pretruna.] Pēc racionālas definīcijas mums ir

& # 8722x = a / b dažiem skaitļiem a un b ar b & # 8800 0.

Reiziniet abas puses ar & # 87221, dod

Bet & # 8722a un b ir veseli skaitļi [jo a un b ir veseli skaitļi] un b & # 8800 0 [ar nulles produkta īpašību.] Tādējādi x ir divu veselu skaitļu & # 8722a un b attiecība ar b & # 8800 0 Tādējādi pēc devas definīcijas x ir racionāls, kas ir pretrunā. [Šī pretruna parāda, ka pieņēmums ir nepatiess un tāpēc dotais apgalvojums ir patiess.]

4. piemērs: Pierādiet šo apgalvojumu pretrunīgi:

Visiem veseliem skaitļiem n, ja n 2 ir nepāra, tad n ir nepāra.

Pieņemsim, ka nē. [Mēs uzskatām, ka dotā apgalvojuma noliegums ir taisnība.] Pieņemsim, gluži pretēji, pieņemsim, ka & # 8707 vesels skaitlis n tāds, ka n 2 ir nepāra un n ir pāra. [Mums jāsecina pretruna.] Pēc pāra definīcijas mums ir

Tātad, ar aizstāšanu mums ir

Tagad (2.k.k) ir vesels skaitlis, jo veselu skaitļu produkti ir vesels skaitlis, un 2 un k ir veseli skaitļi. Tādējādi

un tāpēc pēc definīcijas n 2 ir pat, ir pat.

Tātad secinājums ir tāds, ka n ir pāra, n 2, kas ir n reizinājums ar sevi, ir arī pāra. Tas ir pretrunā ar pieņēmumu, ka n 2 ir nepāra. [Tādējādi pieņēmums ir nepatiess un apgalvojums ir patiess.]


Steka projekts

Šajā sadaļā mēs pierādām fundamentālo faktu, ka sakarīga kūļa augstāki tiešie attēli atbilstošā morfismā ir saskaņoti.

Priekšlikums 30.19.1. Ļaujiet $ S $ būt lokāli Noetherian shēmai. Ļaujiet $ f: X līdz S $ būt pareizam morfismam. Ļaujiet $ mathcal$ ir sakarīgs $ mathcal_ X $ modulis. Tad $ R ^ if _ * mathcal$ ir sakarīgs $ mathcal_ S $ modulis visiem $ i geq 0 $.

Pierādījums. Tā kā problēma ir lokāla $ S $, mēs varam pieņemt, ka $ S $ ir Noetherian shēma. Tā kā pareizs morfisms ir ierobežota tipa, mēs redzam, ka šajā gadījumā $ X $ ir arī Noetherian shēma. Apsveriet īpašumu $ mathcal

$ sakarīgu sheaves uz $ X $, ko nosaka kārtula

Mēs izmantosim Lemma 30.12.6 rezultātu, lai pierādītu, ka $ mathcal

$ turas par katru sakarīgo ķekaru uz $ X $.

jābūt īsai precīzai sakarīgu shēmu secībai uz $ X $. Apsveriet augsto tiešo attēlu garo precīzo secību

[R ^

f _ * mathcal_3 uz R ^ pf _ * mathcal_1 uz R ^ pf _ * mathcal_2 uz R ^ pf _ * mathcal_3 uz R ^

f _ * mathcal_1 ]

Tad ir skaidrs, ka, ja 2 no 3 šķetēm $ mathcal_ i $ ir īpašums $ mathcal

$, tad trešā augstākie tiešie attēli ir iekļauti šajā precīzajā kompleksā starp diviem sakarīgiem skaliņiem. Tādējādi šie augstākie tiešie attēli ir saskaņoti arī ar Lemma 30.9.2 un 30.9.3. Tādējādi īpašums $ mathcal

$ turas arī par trešo.

Ļaujiet $ Z apakškopa X $ būt neatņemamai slēgtai apakšshēmai. Mums jāatrod sakarīgs shea $ mathcal$ uz $ X $, kura atbalsts ir $ Z $, kura kātiņš $ Z $ vispārīgajā punktā $ xi $ ir $ 1 $ dimensiju vektora telpa virs $ kappa ( xi) $ tā, ka $ mathcal

$ tur $ $ mathcal$. Apzīmē $ g = f | _ Z: Z līdz S $ ierobežojumu $ f $. Pieņemsim, ka mēs varam atrast sakarīgu shea $ mathcal$ uz $ Z $ tā, ka (a) $ mathcal_ xi $ ir $ 1 $ -dimensiju vektora telpa virs $ kappa ( xi) $, (b) $ R ^ pg _ * mathcal = 0 $ par $ p> 0 $ un (c) $ g _ * mathcal$ ir saskaņots. Tad mēs varam apsvērt $ mathcal = (No Z līdz X) _ * mathcal$. Tā kā $ Z līdz X $ ir slēgta iegremdēšana, mēs redzam, ka $ (Z līdz X) _ * mathcal$ sakrīt ar $ X $ un $ R ^ p (Z līdz X) _ * mathcal = 0 $ par $ p> 0 $ (Lemma 30.9.9). Tādējādi, izmantojot relatīvo Leray spektrālo secību (Cohomology, Lemma 20.13.8), mums būs $ R ^ pf _ * mathcal = R ^ pg _ * mathcal = 0 $ par $ p> 0 $ un $ f _ * mathcal = g _ * mathcal$ ir saskaņots. Visbeidzot $ mathcal_ xi = ((no Z līdz X) _ * mathcal) _ xi = mathcal_ xi $, kas pārbauda kātiņa stāvokli pie $ xi $. Tādējādi viss ir atkarīgs no tā, kā atrast sakarīgu shea $ mathcal$ uz $ Z $, kam ir īpašības (a), (b) un (c).

Mēs varam piemērot Čova Lemma 30.18.1 morfismam $ Z uz S $. Tādējādi mēs iegūstam diagrammu

kā Čau lemmas paziņojumā. Pieņemsim, ka $ U apakškopa Z $ ir blīva atvērtā apakšshēma tā, ka $ pi ^ <-1> (U) līdz U $ ir izomorfisms. Pēc diskusijas piezīmē Remark 30.18.2 mēs redzam, ka $ i '= (i, pi): Z' to mathbf

^ n_ Z $ ir slēgta iegremdēšana. Tādējādi

ir $ g '$ - salīdzinoši plašs un $ pi $ - salīdzinoši plašs (piemēram, Morphisms, Lemma 29.39.7). Līdz ar Lemma 30.16.2 pastāv $ n geq 0 $ tāds, ka gan $ R ^ p pi _ * mathcal^ < otimes n> = 0 $ visiem $ p> 0 $ un $ R ^ p (g ') _ * mathcal^ < otimes n> = 0 $ visiem $ p> 0 $. Iestatiet $ mathcal = pi _ * mathcal^ < otimes n> $. Īpašums (a) ir spēkā, jo $ pi _ * mathcal^ < otimes> | _ U $ ir apgriezts ķekars (jo $ pi ^ <-1> (U) uz U $ ir izomorfisms). Īpašības (b) un (c) ir spēkā, jo relatīvā Leray spektrālā secība (Cohomology, Lemma 20.13.8) mums ir

un, izvēloties $ n $, vienīgie vienumi, kas nav nulle, ir $ E_2 ^$ ir tie, kuru $ q = 0 $ un vienīgie bez nulles $ R ^ nosacījumi

(g ') _ * mathcal^ < otimes n> $ ir tie, kuru $ p = q = 0 $. Tas nozīmē, ka $ R ^ pg _ * mathcal = 0 $ par $ p> 0 $ un šo $ g _ * mathcal = (g ') _ * mathcal^ < otimes n> $. Visbeidzot, piemērojot iepriekšējo Lemma 30.16.3, mēs redzam, ka $ g _ * mathcal = (g ') _ * mathcal^ < otimes n> $ ir saskaņots pēc vēlēšanās. $ square $

Lemma 30.19.2. Ļaujiet $ S = mathop < mathrm> (A) $ ar $ A $ a Noetherian gredzenu. Ļaujiet $ f: X līdz S $ būt pareizam morfismam. Ļaujiet $ mathcal$ ir sakarīgs $ mathcal_ X $ modulis. Tad $ H ^ i (X, mathcal) $ ir ierobežots $ A $ modulis visiem $ i geq 0 $.

Pierādījums. Šis ir tikai afināls 30.19.1. Ierosinājuma gadījums. Proti, ar Lemmas 30.4.5 un 30.4.6 mēs zinām, ka $ R ^ if _ * mathcal$ ir gandrīz saskaņots ķekars, kas saistīts ar $ A $ moduli $ H ^ i (X, mathcal) $ un Lemma 30.9.1. Tas ir sakarīgs kūlis tikai tad, ja $ H ^ i (X, mathcal) $ ir $ A $ modulis ar ierobežotu tipu. $ square $

Lemma 30.19.3. Ļaujiet $ A $ būt Noetherian gredzenam. Ļaujiet $ B $ būt galīgi ģenerētam novērtētam $ A $ -algebrai. Ļaujiet $ f: X uz mathop < mathrm> (A) $ jābūt pareizam morfismam. Iestatiet $ mathcal = f ^ * widetilde B $. Ļaujiet $ mathcal$ ir gandrīz saskaņots vērtējums $ mathcal$ -modulis ar ierobežotu tipu.

Par katru $ p geq 0 $ novērtēto $ B $ moduli $ H ^ p (X, mathcal) $ ir ierobežots $ B $ modulis.

Ja $ mathcal$ ir pietiekami daudz invertējams $ mathcal_ X $ -modulis, tad pastāv vesels skaitlis $ d_0 $ tāds, ka $ H ^ p (X, mathcal otimes mathcal^ < otimes d>) = 0 $ visiem $ p> 0 $ un $ d geq d_0 $.

Pierādījums. Lai to pierādītu, mēs ņemam vērā šķiedru izstrādājumu diagrammu

Ņemiet vērā, ka $ f '$ ir pareizs morfisms, skat. Morfisms, Lemma 29.41.5. Arī $ B $ ir galīgi ģenerēts $ A $ -algebra un līdz ar to Noetherian (Algebra, Lemma 10.31.1). Tas nozīmē, ka $ X '$ ir Noetherian shēma (Morfismi, Lemma 29.15.6). Ņemiet vērā, ka $ X '$ ir kvazi saskaņota $ mathcal relatīvais spektrs_ X $ -algebra $ mathcal$ ar Constructions, Lemma 27.4.6. Tā kā $ mathcal$ ir gandrīz saskaņots $ mathcal$ -module mēs redzam, ka pastāv unikāls gandrīz saskaņots $ mathcal_$ -module $ mathcal'$ tāds, ka $ pi _ * mathcal'= mathcal$, skat. Morfismi, Lemma 29.11.6. Tā kā $ mathcal$ ir ierobežots veids kā $ mathcal$ -module secinām, ka $ mathcal'$ ir ierobežots tips $ mathcal_$ -module (informācija ir izlaista). Citiem vārdiem sakot, $ mathcal'$ ir sakarīgs $ mathcal_$ -modulis (30.9.1. lemma). Tā kā morfisms no $ pi: X ' uz X $ ir saistīts ar mums

pēc Lemmas 30.2.4. Tādējādi (1) izriet no Lemmas 30.19.2. Ņemot vērā $ mathcal$ tāpat kā (2) mēs iestatījām $ mathcal'= pi ^ * mathcal$. Ņemiet vērā, ka $ mathcal'$ ir pietiekami daudz par $ X' $ ar morfismu, Lemma 29.37.7. Pēc projekcijas formulas (Cohomology, Lemma 20.50.2) mums ir $ pi _ * ( mathcal' otimes mathcal') = mathcal otimes mathcal$. Tādējādi 2. daļai ir tāds pats pamatojums kā iepriekš Lemma 30.16.2. $ square $


Vektoru virziena leņķi

1. attēlā parādīts vienības vektors u, kas veido leņķi & # 952 ar pozitīvo x asi. Leņķi & # 952 sauc par virziena leņķis vektora u.

Vektora u gala punkts atrodas uz vienības apļa un tādējādi u var apzīmēt ar:

Jebkuru vektoru, kas veido leņķi & # 952 ar pozitīvo x asi, var uzrakstīt kā vektora vienību un vektora lielumu.

Tāpēc jebkura vektora & # 952 virziena leņķi var aprēķināt šādi:

Apskatīsim dažus piemērus.

1. darbība: identificējiet a un b vērtības un aprēķiniet & # 952.

2. solis: nosakiet kvadrantu, kurā atrodas vektors.

Tā kā vektora gala ir (-2, 9), tas iekritīs II kvadrantā un līdz ar to arī & # 952.

3. solis: Veiciet visus nepieciešamos pielāgojumus, lai atrastu virziena leņķi & # 952 no pozitīvās x ass.

Tā kā atskaites leņķis ir 78 & # 176, virziena leņķis no pozitīvās x ass ir 180 & # 176 - 78 & # 176 = 102 & # 176.

1. solis: vienkāršojiet vektoru v, izmantojot skalāru reizināšanu.

k v = k v 1, v 2 = k v 1, k v 2 & # x2192 S c a l a r & # x00A0 M u l t i p l i c a t i o n

v = 3 (cos 60 & # x00B0 i + sin 60 & # x00B0 j)

v = 3 & # 183 cos 60 & # x00B0 i + 3 & # x00A0 & # 183 sin 60 & # x00B0 j

2. darbība: identificējiet a un b vērtības un aprēķiniet & # 952.

iedegums & # x03B8 = b a = 3 3 2 3 2 = 3 3 2 & # x00A0 & # 183 2 3 = 3

3. solis: nosakiet vektora kvadrantu.

Tā kā vektora gala ir (3 2, & # x00A0 3 3 2) = (1,5, 2,6) un abi komponenti ir pozitīvi, vektors nokritīs I kvadrantā un līdz ar to arī & # 952.

4. solis: Veiciet visus nepieciešamos pielāgojumus, lai atrastu virziena leņķi & # 952 no pozitīvās x ass.

Tā kā atskaites leņķis ir 60 & # 176, virziena leņķis no pozitīvās x ass ir 60 & # 176 - 0 & # 176 = 60 & # 176.

Lai to saistītu Vektoru virziena leņķi lapā nokopējiet šādu kodu uz savu vietni:


3.2: Tiešie pierādījumi - matemātika

Katra no tiem pierādījums izriet no trigonometrisko funkciju definīcijām, 15. tēma.

Savstarpējo attiecību pierādījums

Tāpēc grēks un teta ir csc un teta atgriezeniskais elements:

kur viens pāri jebkuram daudzumam ir tā abpusējās Algebras 5. nodarbības simbols. Līdzīgi arī pārējām funkcijām.

Pieskares un kotangenta identitātes pierādījums

iedegums un teta = grēks un teta
cos & teta
un gultiņa & teta = cos & teta
grēks un teta
.

Tāpēc, dalot gan skaitītāju, gan saucēju ar r,

iedegums un teta = y / r
x / r
= grēks un teta
cos & teta
.
gultiņa un teta = 1
iedegums un teta
= cos & teta
grēks un teta
.

Tās ir divas identitātes.

Pitagora identitāšu pierādījums

a) grēks 2 & teta + cos 2 un teta = 1
b) 1 + iedegums 2 un teta = 2. un teta
c) 1 + gultiņa 2 un teta = csc 2 un teta

Pierādījums 1. Saskaņā ar Pitagora teorēmu,

Tāpēc, dalot abas puses ar r 2,

x 2
r 2
+ y 2
r 2
= r 2
r 2
= 1.

Bez terminu secības šī ir pirmā Pitagora identitāte, a).

Lai atvasinātu b), daliet līniju (1) ar x 2, lai iegūtu c), daliet ar y 2.

Vai arī mēs varam atvasināt gan b), gan c) no a), vispirms dalot to ar cos 2 & theta un pēc tam ar sin 2 & theta. 2. dalījuma līnijā) ar cos 2 & theta mums ir


Pierādījums pēc pretrunām

Dažreiz ir grūti (vai neiespējami) pierādīt, ka minējumi ir patiesi, izmantojot tiešas metodes. Piemēram, lai parādītu, ka divu kvadrātsakne ir iracionāla, mēs nevaram tieši pārbaudīt un noraidīt bezgalīgu skaitu racionālu skaitļu, kuru kvadrāts varētu būt divi. Tā vietā mēs parādām, ka pieņēmums, ka otrā sakne ir racionāla, noved pie pretrunām. Pasākumi, kas veikti, lai pierādītu pretrunīgi (saukti arī par netiešs pierādījums) ir:

  1. Pieņemiet, ka jūsu secinājums ir pretējs.
    1. Jo & # 147primonu skaits ir bezgalīgs, un # 148 pieņem, ka primes ir ierobežots lieluma kopums n.
    2. Lai pierādītu apgalvojumu & # 147, ja trīsstūris ir mērogots, tad divi tā leņķi nav vienādi, & # 148 pieņem, ka vismaz divi leņķi ir vienādi.
    1. ka pastāv galvenā daļa, kas nav ieskaitīta sākotnējā n primes.
    2. ka trijstūris nevar būt skalēns.

    Kāpēc šai metodei ir jēga? Viens veids, kā to saprast, ir atzīmēt, ka jūs veidojat tiešu pierādījumu sava sākotnējā paziņojuma pretrunīgumam (jūs pierādāt jaB, pēc tamA). Tā kā pretrunīgi izteikumi vienmēr ir loģiski līdzvērtīgi, tad seko oriģināls.

    Ņemiet vērā, ka pretruna liek mums noraidīt mūsu pieņēmumu, jo citi mūsu soļi, kas balstās uz šo pieņēmumu, ir loģiski un pamatoti. Vienīgais, ko mēs varējām izdarīt, bija pats pieņēmums. Netiešs pierādījums pierāda, ka pretējs secinājums nav saderīgs ar pieņēmumu un tāpēc sākotnējam secinājumam ir jābūt patiesam.

    Pretstati

    Tā kā republikāņi ir pie varas, cilvēks ēd cilvēku. Ar demokrātiem ir tieši otrādi. & # 151 Bufera uzlīme.

    Dažreiz tas var būt izaicinājums, nosakot, kas ir pretējs secinājumam. Pretējs & # 147 visiem X ir & # 148 nav & # 147viss X nav , & # 148, bet & # 147 vismaz viens X nav . & # 148 Tāpat, ja mums ir salikts secinājums, mums jābūt uzmanīgiem. Apsveriet šos divus piemērus:

    Sākotnējā minēšana Secinājuma pretstats
    Ja m un n ir veseli skaitļi un mn tad ir nepāra m ir nepāra un n ir nepāra. m ir pat vai n ir pat
    Ja m + n ir iracionāls m ir neracionāls vai n ir neracionāls. m ir racionāls un n ir racionāls

    Resursi

    Skatiet Trīsstūris ar ierobežotu leņķa summu, lai uzzinātu prakses problēmu un Pierādījums pēc pretrunām klases nodarbību plānā, kas ievieš pierādījumus ar pretrunām.

    Tīmekļa displeja matemātisko formulu tulkojumus izveidoja tex4ht.


    3.2: Tiešie pierādījumi - matemātika

    Šo eseju iedvesmoja klase, kuru es apmeklēju šajā ceturksnī. Nodarbība ir matemātikas vēsture. Šajā klasē mēs mācāmies iekļaut matemātikas vēsturi matemātikas mācīšanā. Viens no veidiem, kā savā klasē iekļaut matemātikas vēsturi, ir seno matemātikas problēmu iekļaušana mācībās. Vēl viens veids ir ieviest jaunu tēmu ar zināmu tēmas vēsturi. Cerams, ka šī eseja dos jums dažas idejas par to, kā iekļaut Pitagora teorēmas vēsturi tās mācīšanā un apguvē.

    Mēs esam apsprieduši dažādas tēmas, kas tika izstrādātas senajās civilizācijās. Pitagora teorēma ir viena no šīm tēmām. Šī teorēma ir viena no senākajām seno civilizāciju zināmajām teorēmām. Tas tika nosaukts grieķu matemātiķa un filozofa Pitagora vārdā. Teorēma nes viņa vārdu, lai gan mums ir pierādījumi, ka babilonieši šīs attiecības zināja apmēram 1000 gadus agrāk. Plimpton 322, Babilonijas matemātiskā tablete, kas datēta ar 1900. gadu p.m.ē., satur Pitagoras trīskāršu tabulu. Chou-pei, senais ķīniešu teksts, arī dod mums pierādījumus tam, ka ķīnieši par Pitagora teorēmu zināja daudzus gadus pirms Pitagora vai kāds no viņa kolēģiem Pitagoras sabiedrībā to atklāja un pierādīja. Tas ir iemesls, kāpēc teorēma ir nosaukta Pitagora vārdā.

    Pitagors dzīvoja sestajā vai piektajā gadsimtā pirms mūsu ēras. Viņš Krotonā nodibināja Pitagora skolu. Šī skola bija matemātikas, filozofijas un dabaszinātņu studiju akadēmija. Pitagora skola bija vairāk nekā skola, kas bija cieši saistīta ar brālību ar slepeniem rituāliem un svinībām (Īvs 75). Tāpēc Itālijas demokrātiskie spēki iznīcināja skolu. Lai arī brālība bija izkaisīta, tā turpināja pastāvēt vēl divus gadsimtus. Pitagoram un viņa kolēģiem tiek piešķirts liels ieguldījums matemātikā.

    Šis ir pētījums par to, kā gadu gaitā ir pierādīta Pitagora teorēma.

    Kvadrāts taisnstūra trīsstūra hipotenūzā ir vienāds ar kvadrātu summu uz abām kājām & quot (Ieva 80–81).


    Šī teorēma runā par kvadrātu laukumu, kas ir uzbūvēti katrā taisnstūra trīsstūra pusē.

    Attiecīgi mēs iegūstam šādus laukumus kvadrātiem, kur zaļie un zilie kvadrāti atrodas uz taisnstūra trijstūra kājām un sarkanais kvadrāts ir uz hipotenūzas.

    zaļā laukuma platība ir
    zilā laukuma platība ir
    sarkanā laukuma platība ir

    No mūsu teorēmas mums ir šādas attiecības:

    zaļā kvadrāta laukums + zilā kvadrāta laukums = sarkanā kvadrāta laukums vai

    Kā jau teicu iepriekš, šī teorēma tika nosaukta Pitagora vārdā, jo viņš to pierādīja pirmais. Lai pierādītu šo teorēmu, viņš, iespējams, izmantoja pierādījumu sadalīšanas veidu, kas līdzīgs šādam.

    Ļaujiet a, b, c apzīmēt norādītā taisnstūra trijstūra kājas un hipotenūzu, kā arī aplūkojiet divus blakus esošajā attēlā redzamos kvadrātus, no kuriem katram ir s + b. Pirmais kvadrāts tiek sadalīts sešos gabalos, proti, divi kvadrāti uz kājām un četri taisnstūra trīsstūri ir vienādi ar doto trijstūri. The second square is dissected into five pieces-namely, the square on the hypotenuse and four right triangles congruent to the given triangle. By subtracting equals from equals, it now follows that the square on the hypotenuse is equal to the sum of the squares on the legs" (Eves 81).

    Consider the following figure.

    The area of the first square is given by (a+b)^2 or 4(1/2ab)+ a^2 + b^2.
    The area of the second square is given by (a+b)^2 or 4(1/2ab) + c^2.
    Since the squares have equal areas we can set them equal to another and subtract equals. The case (a+b)^2=(a+b)^2 is not interesting. Let's do the other case.
    4(1/2ab) + a^2 + b^2 = 4(1/2ab)+ c^2
    Subtracting equals from both sides we have

    concluding Pythagoras' proof.
    Over the years there have been many mathematicians and non-mathematicians to give various proofs of the Pythagorean Theorem. Following are proofs from Bhaskara and one of our former presidents, President James Garfield. I have chosen these proofs because any of them would be appropriate to use in any classroom.

    Bhaskara's First Proof

    Bhaskara's proof is also a dissection proof. It is similar to the proof provided by Pythagoras. Bhaskara was born in India. He was one of the most important Hindu mathematicians of the second century AD. He used the following diagrams in proving the Pythagorean Theorem.

    In the above diagrams, the blue triangles are all congruent and the yellow squares are congruent. First we need to find the area of the big square two different ways. First let's find the area using the area formula for a square.
    Thus, A=c^2.
    Now, lets find the area by finding the area of each of the components and then sum the areas.
    Area of the blue triangles = 4(1/2)ab
    Area of the yellow square = (b-a)^2
    Area of the big square = 4(1/2)ab + (b-a)^2
    = 2ab + b^2 - 2ab + a^2
    = b^2 + a^2

    Since, the square has the same area no matter how you find it
    A = c^2 = a^2 + b^2,
    concluding the proof.


    Bhaskara's Second Proof of the Pythagorean Theorem

    In this proof, Bhaskara began with a right triangle and then he drew an altitude on the hypotenuse. From here, he used the properties of similarity to prove the theorem.

    Now prove that triangles ABC and CBE are similar.
    It follows from the AA postulate that triangle ABC is similar to triangle CBE, since angle B is congruent to angle B and angle C is congruent to angle E. Thus, since internal ratios are equal s/a=a/c.
    Multiplying both sides by ac we get
    sc=a^2.

    Now show that triangles ABC and ACE are similar.
    As before, it follows from the AA postulate that these two triangles are similar. Angle A is congruent to angle A and angle C is congruent to angle E. Thus, r/b=b/c. Multiplying both sides by bc we get
    rc=b^2.

    Now when we add the two results we get
    sc + rc = a^2 + b^2.
    c(s+r) = a^2 + b^2
    c^2 = a^2 + b^2,
    concluding the proof of the Pythagorean Theorem.

    Garfield's Proof

    The twentieth president of the United States gave the following proof to the Pythagorean Theorem. He discovered this proof five years before he become President. He hit upon this proof in 1876 during a mathematics discussion with some of the members of Congress. It was later published in the New England Journal of Education .. The proof depends on calculating the area of a right trapezoid two different ways. The first way is by using the area formula of a trapezoid and the second is by summing up the areas of the three right triangles that can be constructed in the trapezoid. He used the following trapezoid in developing his proof.

    First, we need to find the area of the trapezoid by using the area formula of the trapezoid.
    A=(1/2)h(b1+b2) area of a trapezoid

    In the above diagram, h=a+b, b1=a, and b2=b.

    Now, let's find the area of the trapezoid by summing the area of the three right triangles.
    The area of the yellow triangle is
    A=1/2(ba).

    The area of the red triangle is
    A=1/2(c^2).

    The area of the blue triangle is
    A= 1/2(ab).

    The sum of the area of the triangles is
    1/2(ba) + 1/2(c^2) + 1/2(ab) = 1/2(ba + c^2 + ab) = 1/2(2ab + c^2).

    Since, this area is equal to the area of the trapezoid we have the following relation:
    (1/2)(a^2 + 2ab + b^2) = (1/2)(2ab + c^2).


    Proving A Quadrilateral is a Parallelogram

    Take a look at this quadrilateral:

    [insert drawing of quadrilateral where opposite sides are very slightly not parallel and of equal length, so it is really hard to see if it is a parallelogram]

    Is this quadrilateral a parallelogram? Can you be certain? Only by mathematically proving that the shape has the identifying properties of a parallelogram can you be sure. You can prove this with either a two-column proof or a paragraph proof.

    Six Ways

    Here are the six ways to prove a quadrilateral is a parallelogram:

    1. Prove that opposite sides are congruent
    2. Prove that opposite angles are congruent
    3. Prove that opposite sides are parallel
    4. Prove that consecutive angles are supplementary (adding to 180°)
    5. Prove that an angle is supplementary to both its consecutive angles
    6. Prove that the quadrilateral's diagonals bisect each other

    Two-Column Proof

    We can use one of these ways in a two-column proof. Bear in mind that, to challenge you, most problems involving parallelograms and proofs will give you all the information about the presented shape. Here, for example, you are given a quadrilateral and told that its opposite sides are congruent.

    [insert drawing of quadrilateral GOAT with sides GO &cong TA and TG &cong OA]

    • GO &cong TA and TG &cong OA (Given)
    • Construct segment TO Construct a diagonal
    • TO &cong TO Reflexive Property
    • △GOT &cong △ TOA Side-Side-Side Postulate: If three sides of one △
    • are congruent to three sides of another △, then the two △ are congruent
    • &angGTO &cong &ang TOA CPCTC: Corresponding parts of congruent △ are
    • &angGOT &cong &ang OTA congruent
    • GO ∥ TA and TG ∥ OA Converse of the Alternate Interior Angles

    Theorem: If a transversal cuts across two lines and the alternate interior angles are congruent, then the lines are parallel

    ▱ GOAT Definition of a parallelogram: A quadrilateral

    with two pairs of opposite sides parallel

    The two-column proof proved the quadrilateral is a parallelogram by proving opposite sides were parallel.

    Paragraph Proof

    You can also use the paragraph proof form for any of the six ways. Paragraph proofs are harder to write because you may skip a step or leave out an explanation for one of your statements. You may wish to work very slowly to avoid problems.

    Always start by making a drawing so you know exactly what you are saying about the quadrilateral as you prove it is a parallelogram.

    Here is a proof still using opposite sides parallel, but with a different set of given facts. You are given a quadrilateral with diagonals that are identified as bisecting each other.

    [insert drawing of quadrilateral FISH with diagonals HI and FS, but make quadrilateral clearly NOT a parallelogram show congruency marks on the two diagonals showing they are bisected]

    Given a quadrilateral FISH with bisecting diagonals FS and HI, we can also say that the angles created by the intersecting diagonals are congruent. They are congruent because they are vertical angles (opposite angles sharing a vertex point).

    Notice that we have two sides and an angle of both triangles inside the quadrilateral. So, we can use the Side-Angle-Side Congruence Theorem to declare the two triangles congruent.

    Corresponding parts of congruent triangles are congruent (CPCTC), so &angIFS and &ang HSF are congruent. Those two angles are alternate interior angles, and if they are congruent, then sides FI and SH are parallel.

    You can repeat the steps to prove FH and IS parallel, which means two pairs of opposite sides are parallel. Thus, you have a parallelogram.

    In both proofs, you may say that you already were given a fact that is one of the properties of parallelograms. That is true with both proofs, but in neither case was the given information mathematically proven. You began with the given and worked through the problem, but if your proof "fell apart," then the given may have been wrong.

    Since neither our two-column proof or paragraph proof "fell apart," we know the givens were true, and we know the quadrilaterals are parallelograms.


    Skatīties video: Latvijas Universitātes padomi matemātikā (Novembris 2021).