Raksti

5.2: dalīšanas algoritms


Kad pozitīvu veselu skaitli (dividenžu) dalām ar citu pozitīvu veselu skaitli (dalītāju), iegūstam koeficientu. Mēs reizinām koeficientu ar dalītāju un no dividendes atņemam reizinājumu, lai iegūtu atlikušo daļu. Šāds dalījums dod divus rezultātus: koeficientu un atlikumu.

Tā mēs parasti dalām 23 ar 4:

[ pieprasīt {pievienot}
sākt {masīvs} {rll}
5 && [- 3pt]
4 pievienot {longdiv} {23} kern-.2ex [- 3pt]
pasvītrot { fantoms {0} 20} && [- 3pt]
fantoms {00} 3
end {array} nonumber ]

Parasti dalījums (b div a ) ir formā

[ pieprasīt {pievienot}
sākt {masīvs} {rll}
Q && [- 3pt]
a ielikt {longdiv} { fantomu {0} b} kern-.2ex [- 3pt]
pasvītrot { phantom {0} aq} && [- 3pt]
fantoma {00} r
end {array} nonumber ]

tā, ka (r = b-aq ) vai līdzvērtīgi (b = aq + r ). Protams, gan (q ), gan (r ) ir veseli skaitļi. Tomēr šādas “šķelšanās”

[{{pieprasīt {pievienot} sākt {masīvs} {rll}
4 && [- 3pt]
4 pievienot {longdiv} {23} kern-.2ex [- 3pt]
pasvītrot { fantoms {0} 16} && [- 3pt]
fantoms {00} 7
end {masīvs}} { pieprasīt {ielikt}
sākt {masīvs} {rll}
2 && [- 3pt]
4 pievienot {longdiv} {23} kern-.2ex [- 3pt]
pasvītrot { fantoms {0} 8} && [- 3pt]
fantoms {00} 15
end {masīvs}} { pieprasīt {ielikt}
sākt {masīvs} {rll}
6 && [- 3pt]
4 pievienot {longdiv} {23} kern-.2ex [- 3pt]
pasvītrot { fantoms {0} 24} && [- 3pt]
fantoma {00} -1
end {masīvs}} { pieprasīt {ielikt}
sākt {masīvs} {rll}
7 && [- 3pt]
4 pievienot {longdiv} {23} kern-.2ex [- 3pt]
pasvītrot { fantoms {0} 28} && [- 3pt]
fantoms {00} -5
end {array}} nonumber ]

arī izpilda prasību (b = aq + r ), bet to mēs parasti nedarām. Tas nozīmē, ka tikai ar (b = aq + r ) nepietiek, lai noteiktu, kāds ir koeficients un atlikums. Mums nepieciešama stingrāka definīcija.

Teorēma ( PageIndex {1} label {thm: divalgo} )

Ņemot vērā visus skaitļus (a ) un (b ), kur (a> 0 ), pastāv tādi veseli skaitļi (q ) un (r ), ka [b = aq + r, nonumber ] kur (0 leq r

Veselos skaitļus (b ), (a ), (q ) un (r ) sauc par dalāmais, dalītājs, koeficients, un atlikušo, attiecīgi. Ievērojiet, ka (b ) ir (a ) reizinājums tikai tad, ja (r = 0 ).

Dalīšanas algoritms apraksta to, kas notiek garajā dalījumā. Stingri sakot, tas nav algoritms. Algoritms apraksta problēmu risināšanas procedūru. Teorēma mums to nesaka lai atrastu koeficientu un atlikumu. Daži matemātiķi to labāk dēvē par dalīšanas teorēmu. Šeit mēs sekojam tradīcijai un saucam to par dalīšanas algoritmu.

Piezīme

Šis ir pierādījuma izklāsts:

  1. Aprakstiet, kā atrast veselos skaitļus (q ) un (r ) tā, lai (b = aq + r ).
  2. Parādiet, ka mūsu (r ) izvēle atbilst (0 leq r
  3. Nosakiet (q ) un (r ) unikalitāti.

Attiecībā uz pēdējo pierādījuma daļu: lai parādītu, ka noteikts skaitlis (x ) ir unikāli noteikts, tipiska pieeja ir pieņemt, ka (x ') ir vēl viena izvēle, kas atbilst dotajam nosacījumam, un parādiet, ka mums ir ir (x = x ').

Pierādījums

Vispirms mēs parādām (q ) un (r ) esamību. Ļaujiet [S = {b-ax mid x in mathbb {Z} mbox {un} b-ax geq 0 }. nonumber ] Skaidrs, ka (S ) ir nenegatīvu veselu skaitļu kopa. Lai varētu piemērot kārtības principu, mums ir jāpierāda, ka (S ) nav tukšs. Šeit ir konstruktīvs pierādījums.

Tā kā (S ) nav tukša, no kārtības principa izriet, ka (S ) ir mazākais elements. Sauciet to (r ). No definīcijas (S ) pastāv vesels skaitlis (q ) tāds, ka (b - aq = r ).

2. darbība: parādiet, ka r atbilst kritērijam (0 leq r

Tālāk mēs parādām, ka (0 leq r

Tātad (t S ). Tagad (t = r - a

Visbeidzot, mums jānosaka gan (q ), gan (r ) unikalitāte. Ļaujiet (q ') un (r' ) būt tādiem veseliem skaitļiem, ka [b = aq '+ r', qquad 0 leq r '

Tā kā (S ) nav tukšs, no kārtības principa izriet, ka (S ) ir mazākais elements. No definīcijas (S ) pastāv vesels skaitlis (q ) tāds, ka (b-aq = r ).

Tālāk mēs parādām, ka (0 leq r

Jums nevajadzētu būt problēmām dalīt pozitīvu veselu skaitli ar citu pozitīvu veselu skaitli. Tas ir tāds ilgs dalījums, kādu mēs parasti veicam. Ir grūtāk sadalīt negatīvu veselu skaitli ar pozitīvu veselu skaitli. Ja (b ) ir negatīvs, arī koeficients (q ) būs negatīvs, bet atlikušajam (r ) jābūt negatīvs. Savā ziņā (r ) ir izšķirošais faktors: mēs izvēlamies (q ) tā, lai atlikusī daļa (r ) apmierinātu nosacījumu (0 leq r

Parasti jebkuram veselam skaitlim (b ) dalot (b ) ar (a ), tiek iegūts decimālskaitlis. Ja rezultāts nav vesels skaitlis, noapaļojiet to uz leju uz nākamo mazāko veselu skaitli (skat. 6.1.3. piemēru). Tas ir koeficients (q ), ko mēs vēlamies, un atlikumu (r ) iegūst no atņemšanas (r = b-aq ). Piemēram, [ frac {-22} {; ; 7} = -3,1428 ldots ,. nonumber ] Noapaļojot uz leju, tiek iegūts koeficients (q = -4 ), un atlikums ir (r = -22-7 (-4) = 6 ); un mums patiešām ir (- 22 = 7 cdot (-4) +6 ).

praktisks vingrinājums ( PageIndex {1} label {he: divalgo-01} )

Aprēķiniet koeficientus (q ) un atlikumus (r ), ja (b ) dala ar (a ):

  1. (b = 128 ), (a = 7 )
  2. (b = -128 ), (a = 7 )
  3. (b = -389 ), (a = 16 )

Noteikti pārbaudiet, vai (b = aq + r ).

Dalīšanas algoritmu var vispārināt uz jebkuru nulles veselu skaitli (a ).

Secinājums ( PageIndex {2} label {cor: divalgo} )

Ņemot vērā visus skaitļus (a ) un (b ) ar (a neq 0 ), pastāv unikāli noteikti veseli skaitļi (q ) un (r ) tā, ka (b = aq + r ), kur (0 leq r <| a | ).

Pierādījums

Mums ir jāapsver tikai (a <0 ) gadījums. Tā kā (- a> 0 ), sākotnējais Eiklida algoritms nodrošina, ka pastāv unikāli noteikti veseli skaitļi (q ') un (r ) tā, ka [b = (-a) cdot q' + r, nonumber ] kur (0 leq r <-a = | a | ). Tāpēc mēs varam iestatīt (q = -q ').

piemērs ( PageIndex {1} label {piemēram: divalgo-01} )

Ne katrs kalkulators vai datorprogramma aprēķina (q ) un (r ) tā, kā mēs vēlamies, lai tie tiktu veikti matemātikā. Drošākais risinājums ir aprēķināt (| b | div | a | ) parastajā veidā, pārbaudiet atlikušo daļu, lai pārliecinātos, vai tas atbilst kritērijam (0 leq r <| a | ). Ja nepieciešams, noregulējiet (q ) vērtību tā, lai atlikusī daļa ((r ) atbilstu prasībai (0 leq r <| a | ). Šeit ir daži piemēri: [ begin {masīvs} {| r | r | r @ {; = ;} l | r | r |} hline b & a & b & aq + r & q & r hline 14 & 4 & 14 & 4 cdot3 + 2 & 3 & 2 -14 & 4 & -14 & 4 cdot (-4) +2 & -4 & 2 -17 & -3 & -17 & (-3) cdot6 + 1 & 6 & 1 17 & -3 & 17 & (-3) cdot (-5) +2 & -5 & 2 hline end {masīvs} nonumber ]

Dalījums (q ) var būt pozitīvs vai negatīvs, un atlikušais (r ) vienmēr nav negatīvs.

Definīcija

Dotie veseli skaitļi (a ) un (b ) ar (a neq 0 ) ļaujiet (q ) un (r ) apzīmēt unikālos veselos skaitļus tā, ka (b = aq + r ), kur (0 leq r <| a | ). Definējiet binārs operatori ( mathrm {div} ) un ( bmod ) šādi:

Tāpēc (b ~ mathrm {div} ~ a ) dod koeficientu, un (b bmod a ) iegūst atlikušo skaitļa dalījuma (b div a ) atlikumu. Atgādinām, ka (b ~ mathrm {div} ~ a ) var būt pozitīvs, negatīvs vai pat nulle. Bet (b bmod a ) vienmēr ir nenegatīvs skaitlis, kas ir mazāks par (| a | ).

piemērs ( PageIndex {2} label {piemēram: divalgo-02} )

No pēdējā piemēra mums ir

Neaizmirstiet pārbaudīt aprēķinus un atcerieties, ka (a ) nav jābūt pozitīvam.

praktisks vingrinājums ( PageIndex {2} label {he: divalgo-02} )

Aizpildiet šo tabulu:

[ begin {masīvs} {| r | r | r | r |} hline b & a & b ~ mathrm {div} ~ a & b bmod a hline 334 & 15 & qquad qquad & qquad qquad 334 & -15 & & -334 & 15 & & -334 & -15 & & hline end {array} nonumber ] Neaizmirstiet: (b bmod a ) vienmēr nav negatīvs.

piemērs ( PageIndex {3} label {piemēram: divalgo-03} )

Ļaujiet (n ) būt veselam skaitlim, lai [n ~ mathrm {div} ~ 6 = q, qquad mbox {un} qquad n bmod6 = 4. nonumber ] Nosakiet ( (2n + 5) ~ mathrm {div} ~ 6 ) un ((2n + 5) bmod6 ).

Risinājums

Sniegtā informācija nozīmē, ka (n = 6q + 4 ). Tad [2n + 5 = 2 (6q + 4) +5 = 12q + 13 = 6 (2q + 2) +1. nonumber ] Tāpēc ((2n + 5) ~ mathrm {div} ~ 6 = 2q + 2 ) un ((2n + 5) bmod6 = 1 ).

praktiskais vingrinājums ( PageIndex {3} label {he: divalgo-03} )

Ļaujiet (n ) būt veselam skaitlim, kas [n ~ mathrm {div} ~ 11 = q, qquad mbox {un} qquad n bmod11 = 5. nonumber ] Aprēķiniet vērtību ( (6n-4) ~ mathrm {div} ~ 11 ) un ((6n-4) bmod11 ).

piemērs ( PageIndex {4} label {piemēram: divalgo-04} )

Pieņemsim, ka šodien ir trešdiena. Kura nedēļas diena ir pēc gada?

Risinājums

Atzīmējiet svētdienu, pirmdienu,…, sestdienu attiecīgi par 0., 1.,… 6. dienu. Šodien ir 3. diena. Gads (pieņemot 365 dienas gadā) no šodienas būs 368. diena. Tā kā [368 = 7 cdot52 + 4, nonumber ] tā būs nedēļas 4. diena. Tāpēc gads no šodienas būs ceturtdiena.

praktisks vingrinājums ( PageIndex {4} label {he: divalgo-04} )

Pieņemsim, ka šodien ir piektdiena. Kura nedēļas diena ir 1000 dienas no šodienas?

Jebkurš vesels skaitlis, kas dalīts ar 7, radīs atlikumu starp 0 un 6 ieskaitot. Definējiet [A_i = {x in mathbb {Z} mid x bmod 7 = i } quad mbox {for} 0 leq i leq 6, nonumber ] mēs atrodam [ mathbb {Z} = A_0 kauss A_1 kauss A_2 kauss A_3 kauss A_4 kauss A_5 kauss A_6, skaitlis ], kur atrodas kopas (A_i ). pārī sadalīties. Komplektu [ {A_0, A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6 } nonumber ] kolekciju sauc par nodalījums no ( mathbb {Z} ), jo katrs skaitlis pieder vienai un tikai vienai no šīm septiņām apakškopām. Mēs arī sakām, ka ( mathbb {Z} ) ir a nesavienota savienība no (A_0, A_1, ldots, A_6 ). Tas pats arguments attiecas arī uz dalījumu ar jebkuru veselu skaitli (n geq2 ).

Parasti ierobežotu kopu ( {S_1, S_2, ldots, S_n } ) kolekciju vai saimi sauc par kopas nodalījumu (S ), ja (S ) ir (S_1, S_2, ldots , S_n ). Nodalījums ir ļoti svarīgs jēdziens, jo tas sadala (S ) elementus (n ) klasēs (S_1, S_2, ldots, S_n ) tā, lai katrs (S ) elements piederētu unikāla klase. Izpētot attiecības 7. nodaļā, mēs vēlreiz pārskatīsim sadaļu.

Kopsavilkums un pārskats

  • Veselu skaitļu sadalījumu var attiecināt uz negatīviem veseliem skaitļiem.
  • Ņemot vērā jebkuru veselu skaitli (b ) un jebkuru nulles veselu skaitli (a ), pastāv unikāli noteikti veseli skaitļi (q ) un (r ) tā, ka (b = aq + r ), kur ( 0 leq r <| a | ).
  • Mēs saucam (q ) par koeficientu un (r ) par atlikušo.
  • Iemesls, kāpēc mums ir unikālas izvēles iespējas attiecībā uz (q ) un (r ), ir kritērijs, uz kuru mēs izvirzām (r ). Tam jāatbilst prasībai (0 leq r <| a | ).
  • Faktiski kritērijs (0 leq r <| a | ) ir vissvarīgākais izšķirošais faktors, izvēloties (q ) un (r ).
  • Mēs definējam divas binārās darbības ar veseliem skaitļiem. Operācija ( mathrm {div} ) dod koeficientu, un operācija ( bmod ) rada atlikušo skaitļa dalījuma (b div a ) atlikumu. Citiem vārdiem sakot, (b ~ mathrm {div} ~ a = q ) un (b bmod a = r ).

Vingrinājumi 5.2

izmantot ( PageIndex {1} label {ex: divalgo-01} )

Atrodiet (b ~ mathrm {div} ~ a ) un (b bmod a ), kur

  1. (a = 13 ), (b = 300 )
  2. (a = 11 ), (b = -120 )
  3. (a = -22 ), (b = 145 )

izmantot ( PageIndex {2} label {ex: divalgo-02} )

Atrodiet (b ~ mathrm {div} ~ a ) un (b bmod a ), kur

  1. (a = 19 ), (b = 79 )
  2. (a = 59 ), (b = 18 )
  3. (a = 16 ), (b = -823 )
  4. (a = -16 ), (b = 172 )
  5. (a = - 8 ), (b = - 67 )
  6. (a = -12 ), (b = -134 )

vingrinājums ( PageIndex {3} label {ex: divalgo-03} )

Pierādīt, ka [b bmod a in {0,1,2, ldots, | a | -1 } nonumber ] jebkuram veselam skaitlim (a ) un (b ), kur ( a neq0 ).

izmantot ( PageIndex {4} label {ex: divalgo-04} )

Pierādiet, ka starp trim veseliem skaitļiem pēc kārtas viens no tiem ir 3 reizinājums.

Padoms

Ļaujiet trīs veseliem skaitļiem pēc kārtas būt (n ), (n + 1 ) un (n + 2 ). Kādas ir iespējamās (n bmod3 ) vērtības? Ko tas nozīmē pēc dalīšanas algoritma? Kā katrā gadījumā izskatītos (n ), (n + 1 ) un (n + 2 )?

vingrinājums ( PageIndex {5} label {ex: divalgo-05} )

Pierādiet, ka (n ^ 3-n ) vienmēr ir 3 reizinājums jebkuram skaitlim (n ) ar

  1. Katra gadījuma analīze.
  2. Faktorings (n ^ 3-n ).

izmantot ( PageIndex {6} label {ex: divalgo-06} )

Pierādiet, ka komplektā ( {n, n + 4, n + 8, n + 12, n + 16 } ) jebkuram pozitīvam skaitlim (n ) ir 5 reizinājums.

izmantot ( PageIndex {7} label {ex: divalgo-07} )

Ļaujiet (m ) un (n ) būt tādiem veseliem skaitļiem, ka [m ~ mathrm {div} ~ 5 = s, qquad m bmod5 = 1, qquad n ~ mathrm {div} ~ 5 = t, qquad n bmod5 = 3. nonumber ] Nosakiet

  1. ((m + n) ~ mathrm {div} ~ 5 )
  2. ((m + n) bmod5 )
  3. ((mn) ~ mathrm {div} ~ 5 )
  4. ((mn) bmod5 )

izmantot ( PageIndex {8} label {ex: divalgo-08} )

Ļaujiet (m ) un (n ) būt tādiem veseliem skaitļiem, ka [m ~ mathrm {div} ~ 8 = s, qquad m bmod8 = 3, qquad n ~ mathrm {div} ~ 8 = t, qquad n bmod8 = 6. nonumber ] Nosakiet

  1. ((m + 2) ~ mathrm {div} ~ 8 )
  2. ((m + 2) bmod8 )
  3. ((3mn) ~ mathrm {div} ~ 8 )
  4. ((3mn) bmod8 )
  5. ((5m + 2n) ~ mathrm {div} ~ 8 )
  6. ((5m + 2n) bmod8 )
  7. ((3m-2n) ~ mathrm {div} ~ 8 )
  8. ((3m-2n) bmod8 )

Sadalīšanas algoritms

Viena no vissvarīgākajām un nenovērtētākajām teorēmām ir dalīšanas algoritms. Parasti to var atrast jebkurā skaitļu teorijas grāmatā kā 1. teorēma. Divīzijas algoritma veselajiem skaitļiem pierādījumus var atrast šeit.

Tajā teikts, ka jebkuram norādītajam skaitļa un nulles dalītājam pastāv divi unikāli veseli skaitļi: koeficients un atlikums, kur atlikums ir mazāks par dalītāju.

Varbūt šī teorēma tiek nenovērtēta, jo tā ir tik acīmredzama. Virspusē nešķiet, ka šajā apgalvojumā būtu kaut kas pārsteidzošs. Tāpat pierādījums, kad tas pirmo reizi tiek parādīts, amatierim var parādīties kā vingrinājums acīmredzamajā.

Standarta dalīšanas algoritms racionāliem veseliem skaitļiem (pozitīviem un negatīviem veseliem skaitļiem) ir balstīts uz akas kārtības principu.

Un tomēr attiecībā uz šo teorēmu ir smalkumi, kuriem ir svarīga ietekme uz skaitļu teoriju. Apsveriet situāciju, kur mēs pievienojam iedomātus skaitļus (skaitļus, kuros -1 ir kvadrātsakne, kas pazīstama kā i, tas ir, i 2 = -1.

Kad matemātiķis aplūko tādu problēmu kā x 2 + y 2, tas būtu patiešām ērti, ja būtu vienkāršs veids, kā to ņemt vērā. Ja mēs paplašinām veselos skaitļus, iekļaujot Z [i], tad mēs varam. Šajā gadījumā mums ir šāds faktors (piezīme: Z [i] tiek izmantots, lai definētu paplašinātu veselu skaitļu kopu. Tie ir veseli skaitļi, kuru forma ir a + bi, kur a, b ir racionāli veseli skaitļi):

Un tad rodas jautājums, vai Z [i] tipa veselos skaitļus raksturo dalīšanas algoritms? Ja tādi ir, mums ir nepieciešams jauns pierādījums, jo Labas kārtības princips attiecas tikai uz racionāliem veseliem skaitļiem.

Ceļam uz sadalīšanas algoritmu nepieciešams ieviest īpašu funkciju, kas pazīstama kā norma. Tas attiecas uz jebkuru Z [α] vērtību, kur α 2 ir racionāls vesels skaitlis (piemēram, i). Tās pamatā ir ļoti vienkārša identitāte:

Tā kā mēs zinām, ka α 2 ir racionāls vesels skaitlis, mēs zinām, ka pastāv vērtība c, ka c = α 2.

Pieņemsim, ka mums ir vesels skaitlis no formas a + bα. Ja mēs to reizinām ar konjugātu (ekvivalenta vērtība, kur mēs mainām zīmi), tad mēs iegūstam:

Ja mums būtu vērtība a - bα, tad tā konjugāts būtu a + bα. Jebkurā gadījumā mēs esam atraduši funkciju, kas jebkuru Z [α] veselu skaitli piesaista racionālam skaitlim.

Izmantojot šo funkciju, mēs varam pierādīt, ka, ņemot vērā jebkuru Gausa skaitļa skaitli un dalītāju bez nulles, pastāv divas unikālas vērtības: koeficients un atlikums, kur atlikuma absolūtā norma ir mazāka par dalītāja absolūto normu. Šeit ir pierādījums.

Mēs varētu jautāt, vai mēs vienmēr atradīsim dalīšanas algoritmu visām iespējamām α vērtībām.

Apsvērsim šo jautājumu attiecībā uz kvadrātiskiem veseliem skaitļiem. Tie ir Z [α] formas veseli skaitļi, kur α ir iracionāls risinājums formas 2 x + bx + c = 0 vienādojumam, kur x = α un b, c ir racionāli veseli skaitļi (iracionāls skaitlis ir jebkurš skaitlis, kas ir nav vienāds ar racionālu daļu. Piemēram, -3/4 ir racionāls, jo tas ir attiecība no -3 līdz 4. i, no otras puses, nav racionāla).

Šajā situācijā izrādās, ka ir tikai 21 dažādas kvadrāta vērtības, kur Z [α] ir dalīšanas algoritms (pēc nonesquare es izslēdzu tādas vērtības kā Z [& # 8730 -4], jo 4 ir kvadrāts 2 un & # 8730 -4 = 2i.

21 vērtības pamatā ir: -11, -7, -3, -2, -1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37,41, 57. un 73. lpp.

Šeit ir vēl viens no smalkumiem. Izrādās, ka šī skaitļa forma ir atkarīga no atlikuma, kad skaitlis tiek dalīts ar 4. Ja atlikusī vērtība ir jebkura vērtība, bet 1, tad forma ir vienkārša: Z [& # 8730 -2], Z [i], Z [& # 8730 2], Z [& # 8730 3], Z [& # 8730 6], Z [& # 8730 7], Z [& # 8730 11], Z [& # 8730 19].

Ja atlikums ar 4 ir 1, tad vērtība iegūst svešu formu: Z [(- 1 + & # 8730 -11) / 2], Z [(- 1 + & # 8730 -7) / 2], Z [ (-1 + & # 8730 -3) / 2], Z [(- 1 + & # 8730 5) / 2], Z [(- 1 + & # 8730 13) / 2], Z [(- 1 + & # 8730 17) / 2],
Z [(- 1 + & # 8730 21) / 2], Z [(- 1 + & # 8730 29) / 2], Z [(- 1 + & # 8730 33) / 2]. Sīkāka informācija par to, kāpēc šīm vērtībām ir šī forma, ir atrodama šeit.

Pierādījumu, ka daudzas no šīm vērtībām raksturo dalīšanas algoritms, atrodams šeit.


Reālās pasaules lietojumprogrammas

Tagad, kad jums ir izpratne par dalīšanas algoritmu, varat izmantot savas zināšanas, lai atrisinātu problēmas, kas saistītas ar dalīšanas algoritmu. Sāksim ar piemēra izstrādi šīs lapas augšdaļā:

Apskatīsim citus interesantus piemērus un problēmas, lai labāk izprastu jēdzienus:

Vienā pilnā dienā ir 24 stundas. Cik pilnas dienas ir ietvertas 2500 stundās?

Lai iegūtu dienu skaitu 2500 stundās, mums 2500 jāsadala ar 24. Tādējādi, izmantojot dalīšanas algoritmu, mēs varam teikt, ka

2500 = 24 × 104 + 4. 2500 = 24 reizes 104 + 4. 2 5 0 0 = 2 4 × 1 0 4 + 4.

Tā kā koeficients šeit ir 104, mēs varam teikt, ka 2500 stundas ir 104 pilnas dienas. □ _ kvadrāts □

Gudrs vīrs sacīja: "Unces prakse ir vairāk nekā tonna sludināšanas vērts!" Tāpēc pieņemsim nedaudz prakses un atrisināsim šādas problēmas:

(Pieņemsim, ka) Šodien ir piektdiena. Kalvina dzimšanas diena ir pēc 123 dienām. Cik svētdienu ir starp šodienu un Kalvina dzimšanas dienu?

Cik daudzkārtņi no 7 ir no 345 līdz 563 ieskaitot?


Līdzīgi jautājumi

Pseidokods

Uzrakstiet algoritmu un pseidokodu, kas apzīmē programmu, kas ļauj lietotājam ievadīt divus skaitļus. Jūsu programmai jāaprēķina abu skaitļu summa, starpība (abi virzieni), reizinājums un koeficients (abi virzieni).

Rēķins

Izmantojiet līknes skicēšanas algoritmu, lai ieskicētu katras funkcijas grafiku. a) f (x) 4x ^ 3 + 6x ^ 2-24x-2 1. Vispirms atrodiet pārtveršanas punktus y = 0 0 = 4x ^ 3 + 6x ^ 2-24x-2 = 2 (2x ^ 3 + 3x ^ 3- 12x-1) Es nezinu, kā atrast x krustojumu. Es nevaru izmantot

Kāds skaitlis jāievieto lodziņā, lai palīdzētu pabeigt sadalījuma aprēķinu? Gara sadalījuma iestatīšana, kas parāda nepilnīgu aprēķinu. 12 ir dalītājā, 6839 ir dividendē, un 5 simti un 6 desmiti ir ierakstīti

dalot veselu skaitli N ar 13, tiek iegūts koeficients 15 un atlikums - 2. Atrodiet N.

Algerbra 1

Cikla skaitlis ir 6 reizes skaitlis un 16? "Quotient" ir tas, ko mēs saucam par dalīšanas rezultātu, reizināšanas rezultātu sauc par produktu. Jūs izmantojāt vārdu "reizes", kas parāda reizināšanu. BTW, es atsakos jums pateikt, ko

Pirms aprēķina

12. Izmantojiet atlikušo teorēmu, lai atrastu P (-2) P (x) = x ^ 3 + 2x ^ 2-x-7. Konkrēti, norādiet saistītā dalījuma koeficientu un atlikumu un P (-2) vērtību. Quotient =? Atlikušais =? P (-2) =?

Ekonomika

Lielai firmai ir divas nodaļas: augšējā posma nodaļa, kas ir izejvielu monopola piegādātājs, kuras vienīgais tirgus ir pakārtotā nodaļa, kas ražo gala produkciju. Lai saražotu vienu vienību, gala produkcija ir pakārtota

Algebra

Izmantojiet sintētisko dalījumu, lai atrastu koeficientu un atlikumu: (x ^ 3-7x ^ 2 + 13x + 3) / (x-2)

Pseidokoda algoritms

Uzrakstiet pseidokoda algoritmu, kas: • nosaka cilvēka vidējo svaru noteiktā gadā. • Katram mēnesim jūsu algoritmā jāievada personas svars attiecīgajam mēnesim (pozitīvs reālais skaitlis). Jūsu algoritms

Datori

Man ir nepieciešams algoritms, kas saņems divus veselā skaitļa vienumus no termināla operatora un ekrānā parādīs to summu, starpību, reizinājumu un koeficientu Kā to izdarīt?

Pirmsrēķins

Tiek doti divi polinomi P un D. Izmantojiet vai nu sintētisko, vai garo dalījumu, lai dalītu P (x) ar D (x), un izsakiet koeficientu P (x) / D (x) formā P (x) D (x) = Q (x) + R ( x) D (x). P (x) = 6x4 - 3x3 + 29x2, D (x) = 3x2 + 13

Izmantojiet polinoma garo dalījumu, lai atrastu koeficientu un atlikumu, kad 4x 3 −3x 2 −x − 2 dala ar x − 4:


5.2: dalīšanas algoritms

Jums tiek piešķirti veseli skaitļi K, M un tukšs masīvs A, kas sastāv no N veseliem skaitļiem. Katrs masīva elements nav lielāks par M.

Jums vajadzētu sadalīt šo masīvu K secīgu elementu blokos. Bloka lielums ir jebkurš vesels skaitlis starp 0 un N. Katram masīva elementam jāpieder kādam blokam.

Bloka summa no X līdz Y ir vienāda ar A [X] + A [X + 1] +. + A [Y]. Tukšā bloka summa ir vienāda ar 0.

The liela summa ir jebkura bloka maksimālā summa.

Piemēram, jums tiek piešķirti veseli skaitļi K = 3, M = 5 un masīvs A šādi:

A [0] = 2 A [1] = 1 A [2] = 5 A [3] = 1 A [4] = 2 A [5] = 2 A [6] = 2

Masīvu var sadalīt, piemēram, šādos blokos:

  • [2, 1, 5, 1, 2, 2, 2], [], [] ar lielu summu 15
  • [2], [1, 5, 1, 2], [2, 2] ar lielu summu 9
  • [2, 1, 5], [], [1, 2, 2, 2] ar lielu summu 8
  • [2, 1], [5, 1], [2, 2, 2] ar lielu summu 6.

Mērķis ir samazināt lielo summu. Iepriekš minētajā piemērā 6 ir minimālā lielā summa.

ka, ņemot vērā veselos skaitļus K, M un neiztukšotu masīvu A, kas sastāv no N veseliem skaitļiem, atgriež minimālo lielo summu.

Piemēram, ņemot vērā K = 3, M = 5 un masīvu A tā, ka:

A [0] = 2 A [1] = 1 A [2] = 5 A [3] = 1 A [4] = 2 A [5] = 2 A [6] = 2

funkcijai jāatgriež 6, kā paskaidrots iepriekš.

Uzrakstiet efektīvs algoritms šādiem pieņēmumiem:


5.2: dalīšanas algoritms

Šajā rakstā mēs apspriedīsim, kā sadalīšanas un iekarošanas tehnika ir noderīga un kā mēs varam atrisināt problēmu ar DAC tehnikas pieeju. Šajā sadaļā mēs apspriedīsim šādas tēmas.

  1. Sadalīt: Tas ietver problēmas sadalīšanu kādā apakšproblēmā.
  2. Iekarot: Apakšproblēma, zvanot rekursīvi, līdz apakšproblēma ir atrisināta.
  3. Apvienot: Apakšproblēma ir atrisināta, lai mēs atrastu problēmas risinājumu.
    ir šķirošanas algoritms. Algoritms izvēlas šarnīra elementu, pārkārto masīva elementus tā, lai visi elementi, kas ir mazāki par izvēlēto šarnīra elementu, pārvietotos uz šarnīra kreiso pusi, bet visi lielākie elementi - uz labo pusi. Visbeidzot, algoritms rekursīvi kārto apakšgrupas šarnīra elementa kreisajā un labajā pusē. ir arī šķirošanas algoritms. Algoritms masīvu sadala divās pusēs, rekurzīvi tos sašķiro un visbeidzot apvieno abas sašķirotās puses. Problēma ir atrast tuvāko punktu pāri punktu kopā x-y plaknē. Uzdevumu var atrisināt O (n ^ 2) laikā, aprēķinot katra punktu pāra attālumus un salīdzinot attālumus, lai atrastu minimālo. Dalīt un iekarot algoritms atrisina problēmu O (nLogn) laikā. ir efektīvs algoritms divu matricu reizināšanai. Vienkāršai divu matricu reizināšanas metodei ir nepieciešamas 3 ligzdotas cilpas, un tā ir O (n ^ 3). Štrasena & # 8217s algoritms reizina divas matricas O (n ^ 2,8974) laikā. ir visizplatītākais FFT algoritms. Tas ir dalīšanas un iekarošanas algoritms, kas darbojas O (nlogn) laikā. tas reizina divus n-ciparu skaitļi ne vairāk kā

vienciparu reizinājumi kopumā (un tieši

kad n ir spēks 2). Tāpēc tas ir ātrāks nekā klasiskais algoritms, kas prasa n 2 vienciparu produkti. Ja n = 2 10 = 1024, jo īpaši precīzie skaitļi ir attiecīgi 3 10 = 59, 049 un (2 10) 2 = 1, 048, 576.

Kas nav kvalificējams kā dalīt un iekarot:

Binārā meklēšana ir meklēšanas algoritms. Katrā solī algoritms salīdzina ievades elementu x ar masīva vidējā elementa vērtību. Ja vērtības sakrīt, atgrieziet vidējā rādītāju. Pretējā gadījumā, ja x ir mazāks par vidējo elementu, tad algoritms atkārtojas vidējā elementa kreisajai pusei, citādi - vidējā elementa labajai pusei. Pretēji izplatītajam uzskatam, tas nav sadalīšanas un iekarošanas piemērs, jo katrā solī ir tikai viena apakšproblēma (sadalīšana un iekarošana prasa, lai būtu divas vai vairākas apakšproblēmas), un līdz ar to tas ir samazināšanas un samazināšanas gadījums Iekarot.

Dalīt un iekarot algoritms:

DAC algoritma atkārtošanās saistība:
Šī ir iepriekšējās programmas atkārtošanās saistība.

Piemērs:
Lai atrastu maksimālo un minimālo elementu dotajā masīvā.

Pieeja: Maksimālā un minimālā elementa atrašana no dotā masīva ir sadalīšanas un iekarošanas programma. Šajā problēmā mēs atradīsim maksimālo un minimālo elementu dotajā masīvā. Šajā problēmā mēs izmantojam dalīšanas un iekarošanas pieeju (DAC), kurai ir trīs sadalīšanas, iekarošanas un apvienošanas darbības.

Maksimāli:
Šajā problēmā mēs izmantojam rekursīvo pieeju, lai atrastu maksimumu, kur redzēsim, ka ir palikuši tikai divi elementi, un tad mēs varam viegli izmantot nosacījumu, t.i., ja (a [index]> a [index + 1].)
Programmas rindā nosacījums [rādītājs] un [rādītājs + 1]) nodrošinās tikai divus elementus pa kreisi.

ja (indekss> = l-2)
<
ja (a [rādītājs]> a [rādītājs + 1])
<
// ([rādītājs]
// Tagad mēs varam teikt, ka pēdējais elements būs maksimāls dotajā masīvā.
>
cits
<
// (a [rādītājs + 1]
// Tagad mēs varam teikt, ka pēdējais elements būs maksimāls dotajā masīvā.
>
>

Iepriekš minētajā stāvoklī mēs esam pārbaudījuši kreisās puses stāvokli, lai uzzinātu maksimālo. Tagad mēs redzēsim labās puses stāvokli, lai atrastu maksimālo.
Rekursīvā funkcija, lai pārbaudītu labo pusi pie pašreizējā masīva indeksa.

Tagad mēs salīdzināsim stāvokli un pārbaudīsim labo pusi pašreizējā masīva indeksā.
Dotajā programmā mēs īstenosim šo loģiku, lai pārbaudītu stāvokli labajā pusē pie pašreizējā indeksa.

// Labais elements būs maksimālais.
ja (a [rādītājs]> max)
atgriezt [rādītāju]
// max būs maksimālais elements attiecīgajā masīvā.
cits
atdeve maks
>

Par minimumu:
Šajā problēmā mēs īstenosim rekursīvo pieeju, lai atrastu minimālo Nr. dotajā masīvā.

int DAC_Min (int a [], int indekss, int l)
// Rekursīvā zvana funkcija, lai atrastu minimālo nr. dotajā masīvā.
ja (indekss> = l-2)
// lai pārbaudītu nosacījumu, ka kreisajā pusē būs divi elementi
tad mēs varam viegli atrast minimālo elementu dotajā masīvā.
<
// šeit mēs pārbaudīsim stāvokli
ja (a [rādītājs] & lta [indekss + 1])
atgriezt [rādītāju]
cits
atgriezt [indekss + 1]
>

Tagad mēs pārbaudīsim stāvokli labajā pusē dotajā masīvā.

// Rekursīvs zvans labajā pusē dotajā masīvā.
min = DAC_Min (a, indekss + 1, l)


Tagad mēs pārbaudīsim stāvokli, lai labajā pusē atrastu minimālo.

// Labais elements būs minimāls
ja (a [rādītājs] & ltmin)
atgriezt [rādītāju]
// Šeit minētā masīva vērtība būs minimāla.
cits
atgriešanās min


Kāpēc darbojas kvadrātsaknes algoritms - loģika aiz tā

Šajā rakstā ir paskaidrots, kāpēc darbojas kvadrātsaknes algoritms.

Pieņemsim, ka mēs vēlamies atrast kvadrātsakni a. Katru reizi, kad tiek izmantots algoritms, tas atrod vēl vienu ciparu kvadrātsaknei. Tas nozīmē, ka mēs tuvojamies kvadrātsaknes faktiskajai vērtībai no apakšas, citiem vārdiem sakot, ka katrā solī aproksimācija vienmēr ir mazāka vai vienāda ar kvadrātsaknes faktisko vērtību.

Ja x ir tuvinājums, kas atrasts noteiktā brīdī, nākamajā kārtā mēs vēlamies atrast labāku tuvinājumu x + r tā ka x + r & le & radic a . No šīs nevienlīdzības izriet:

Pēdējā rinda atbilst algoritma darbībai, kurā lietotājs izmēģina dažādas vērtības r uz tukšās rindas tā, lai 2x un kaut ko reizes kaut ko ir mazāks par atņemšanas rezultātu.

Pieņemsim, ka mēs mēģinām atrast & radic 3150 ar kvadrātsaknes algoritmu, kas atgādina garu dalījumu. Katrā algoritma kārtā mēs izmantojam ciparu pāri no skaitļa un atbildei atradīsim vienu ciparu. Katrā kārtā mēs iegūstam precīzāku faktiskās kvadrātsaknes tuvinājumu.

No kalkulatora mēs atklājam, ka & radic 3150 = 56.12 līdz divām zīmēm aiz komata. Pirmajā algoritma izmantošanas kārtā tiks iegūts cipars 5, kas mums pateiks, ka & radic 3150 ir starp 50 un 60. Otrajā kārtā mēs atradīsim ciparu 6 vai, citiem vārdiem sakot, mēs zinātu, ka & radic 3150 ir starp 56 un 57. Trešajā kārtā mēs saņemtu decimālzīmi 1, informējot mūs, ka & radic 3150 ir starp 56.1 un 56.2 utt.

Turpmāk mēs koncentrēsimies uz VIENU vienu algoritma pielietošanas kārtu. Pieņemsim, ka mēs jau esam atraduši kvadrātsaknes ciparu 5 un izmantojam algoritmu nākamā cipara atrašanai r. Pieraksti to r ir starp 0 un 9 un ka cipars 5 nozīmē, ka & radic 3150 ir 50 + kaut kas. Mēs varam teikt, ka & radic 3150 ir starp 50 + r un nākamais vesels skaitlis, kas ir 50 + r + 1. Tātad mēs zinām, ka 50 + r & le & radic 3150, un no tā tas arī izriet


1 Atbilde 1

Eiklida domēnu parasti definē kā integrālu domēnu, kurā ir dalīšanas algoritms. Lai kāda būtu jūsu definīcija, tam vajadzētu būt līdzvērtīgam. Izrādās, ka katrs eiklida domēns ir primitīvs ideālais domēns un katrs primitīvais ideālais domēns ir unikāls faktorizācijas domēns, taču otrais virziens abiem apgalvojumiem ir maldīgs.

Vienam komentētājam radās iespaids, ka jūs jautājat: "Ļaujiet $ R $ būt gredzenam. Kādi nosacījumi attiecībā uz $ R $ nodrošina, ka $ R [x] $ ir dalīšanas algoritms." Uz šo jautājumu atbilde ir tāda, ka tas ir nepieciešams un pietiekams, lai $ R $ būtu lauks.

Būtībā jums jāspēj samazināt polinoma pakāpi, izmantojot dalīšanas algoritmu, taču, tā kā atlikušais termiņš nevar ietekmēt vadošo koeficientu, tas nozīmē, ka vadošajam koeficientam $ f (x) $ jābūt vienādam ar vadošo koeficientu $ q (x) g (x) $. Būtu skaidrs, ka tas vienmēr ir iespējams tikai tad, ja lauks ir $ R $. Pretējā gadījumā jūs varat izvēlēties vadošo koeficientu $ f (x) $, lai tas būtu nemaināms, un vadošo koeficientu $ g (x) $ kā elementu, kas nedalās vadošo koeficientu $ f (x) $ .

Tas vienkārši prasa dažus novērojumus par normām un grādiem, lai to pārvērstu par pierādījumu.


11 padomi darbam ar Facebook algoritmu

Atbildiet savai auditorijai

While your branded content will never truly be able to compete with anyone’s sister’s new puppy, it’s still very important to prioritize building connections with each person in your audience.

Kāpēc? Because the algorithm prioritizes posts from Pages that a user has interacted with in the past. This means that bumping up your reply game is key, whether that’s in Messenger or the comments.

If a person has taken the time to talk to your brand, don’t waste the opportunity: make them feel heard, make them smile, or inspire them to screencap it and send it to their groupchat with the single-tear smile emoji.

Pro tip: Whether you’re a solopreneur or you have a whole team of community managers in place, Hootsuite Inbox makes managing these conversations at scale a lot easier.

Get your audience replying to each other

This tip comes from Facebook itself. Apparently, if a post has triggered a lot of conversation among a user’s friends, the algorithm applies “action-bumping logic” to show that post to the user again.

That means that the most interesting conversation-starters get more reach, in the form of second chances.

The algorithm values content that people want to share and discuss with their friends. (Note that this does not mean that the algorithm wants you to inspire strangers to get into flame wars.)

Aim for love more than likes

For the last few years the algorithm has weighed reaction buttons more heavily than a simple Like. So target emotional reactions in your posts: love, caring, laughter, sadness, anger.

If you’re not sure what’s going to resonate with your audience, a social media sentiment analysis is a great place to start.

Post when your audience is online

You’ve heard this one a thousand times, but we have to stress it again, because Facebook keeps stressing it.

Recency is a key signal. The newest posts go to the top of the news feed.

Of course, all is not lost if a user misses a post (for instance, if they load their newsfeed, but then their boss walks by so they close it) there’s still a chance that they’ll see that post when they log in next: the algorithm’s “unread bumping logic” means that unseen posts will be “added to eligible inventory for this session.”

That said, the easiest win on this list is to schedule your posts to go up at the best time for your Facebook audience.

Skip the algorithm using Facebook Stories

The thing about Facebook Stories is that they aren’t part of the newsfeed. They float above it (literally and figuratively) and they aren’t governed by the algorithm. According to Facebook, they’re also effective at driving traffic: 58% of people say they’ve visited a brand’s website for more information after watching a Story.

What kind of Facebook Stories should you post? According to a study by Facebook, people say they want the following from branded Stories:

  • 52% want Stories that are easy to understand
  • 50% want to see new products
  • 46% want tips or advice

Tend to your branded Facebook Group

The advantage of running a business Facebook Group is that, while it does take some care and feeding, it opens another channel for you to connect with your customers, fans, and community.

It’s also a second channel for important content to reach your audience’s eyes. The Facebook algorithm prioritizes posts from Groups users care about, so a post that gets amplified in a popular Group by enthusiasts and fans is likelier to earn more reach.

Go Live on Facebook

In 2020 everyone was stuck at home and Live video on Facebook in the U.S. jumped by 50%.

Because Live video receives 6x more engagement than regular video, the algorithm really, really likes it. For brands, it takes a bit of know-how, but given the fact that virtual events don’t seem to be going away anytime soon, Live video effectively feeds two birds with one scone.

Become a fave

Did you know that every Facebook user has thirty slots for their favourite Pages and people? Those thirty lucky ducks get an automatic free pass from the algorithm.

This is part of Facebook’s push to let people have more control over what they see. Let your followers know that they can prioritize your content in their own timelines, if they want to.

Pro Tip: This is what is known as a “giant freaking ask,” so approach it with sensitivity. There should be a solid reason for people to prioritize your content, whether that’s because it’s really entertaining, or because it’s truly important they stay informed.

Make longform video that people want to watch

Watch time and completion rate are both crucial ranking signals for video because they indicate that the viewer enjoyed the video enough to watch the whole thing.

In short, the longer you keep people interested, the higher your video post will be scored by the algorithm, and the higher up in the Facebook newsfeed it will appear.

As of 2019, Facebook also scores and prioritizes the following signals for video:

  • Loyalty and intent: videos that people search for and return to
  • Video length and view duration: videos that people watch past the 1-minute mark, and that are longer than 3 minutes
  • Originality: videos that aren’t repurposed from other sources and that have plenty of added value.

Which brings us to our next point:

Don’t post clickbait or misinformation or other evil things

Don’t do it!! Don’t do any of these things, or the algorithm will spite you, and also we at Hootsuite will be really disappointed in you.

  • Links to sites that use scraped or stolen content with no added value
  • Borderline content (a.k.a content that is not quite prohibited but probably should be)
  • Misinformation and fake news and dangerous “cures” or manipulated videos flagged as false by third-party fact-checkers

Expand your reach via your best advocates

Your employees have more credibility and authority with the Facebook algorithm than your brand page does. This is because they have more credibility and authority with their own followers and friends.

Plus, they know the inside scoop on your brand, so what they say can be a lot more meaningful than anything your copywriter comes up with. (Sorry, fellow copywriters.)

Here’s a calculator that crunches the numbers on your employees’ potential reach when they’re empowered to share your brand’s content to their own circles.

Manage your Facebook presence alongside your other social media channels using Hootsuite. From a single dashboard you can schedule posts, share video, engage your audience, and measure the impact of your efforts. Try it free today.


EchoLisp [ edit ]

The plan [ edit ]

The basic idea comes from noting that operands and operators alternate, so the plan is to flip-flop between two states. Similarly, the "shunting" aspect comes from shunting incoming operators to a stack providing that higher-precedence operators already in the stack are passed on first. Notice that stacked operators are sent forth if their precedence is greater than or equal to the incoming operator. This means that a sequence such as 1 + 2 + 3 will be handled as (1 + 2) + 3 rather than first stacking up all the adds. In other words, this is the tie-breaker rule of left-to-right for sequences of equal precedence. Similarly, when the end of the expression is reached, a space is treated as if it were an operator but one with very low precedence so that all stacked operators are rolled forth. Otherwise, the scan would have to be followed by code to flush the stack, an annoying duplication.

To handle the special behaviour for exponentiation whereby 1^2^3 is evaluated right-to-left as 1^(2^3) - contrary to the tiebreaker rule - when the ^ operator is stacked its stacked precedence is made one lower than its precedence when encountered. Thus, if a second ^ is encountered it will not cause its predecessor to be sent forth by the "greater than or equal to" scheme only later, lesser operators will do that. Unfortunately this means that the stack of deferred operators can grow without limit, as for the case of 1^2^3^4^. since the left-to-right rule will not be keeping it down. Otherwise, the height of the stack would be limited by the number of different precedences involved - were it not for bracketing: a sequence such as <[(. )]>will cause escalation too. A different approach to evaluation, and one often followed by humans (especially by those who have used a HP calculator) is to dive into the deepest part of the expression first then back out. For the example 3 + 4*2/(1 - 5)^2^3 that would mean starting with the (1 - 5) and not having the early + waiting on a stack - and, when actually evaluating, the 3 being in the data stack with a long wait for its use. This can be useful on computers calculating with a hardware stack where say the top two elements are in registers (as with the B6700) because less up&down means that more can be done via the registers without the delays of memory access. In doing this it is helpful to have divide-reverse and subtract-reverse operations, or an operation to exchange the top two stack elements. But the resulting sequence of actions would not be RPN style.

A similar trick with the precedences attends the stacking of open brackets as a pseudo-operator with a lower stacked precedence so that when later a closing bracket is found all subsequent operators on the stack (genuine ones, such as +-*/^) will be rolled, and then BALANCEBRA can compare the closing bracket to the possibly long-ago opening bracket. If all is well, the stacked operator will be vanished and the incoming closing bracket not stacked, nor will EMIT be invoked. Further, neither the opening nor closing bracket (encountered when expecting an operand), change the state of expecting an operand next: there is to be no alternation for them.

The task specification is that each token in the text is bounded by spaces. This means that a sequence such as -6 cannot appear so there is no confusion over unary minus versus dyadic minus (as in a - b) and whether or not the hyphen used for both should be interpreted as a part of the number or as an operator applied to a number. Thus, -6^2 might be (-6)^2 or -(6^2) instead. Following the source style of Fortran, this scanner disregards all spaces nor does it require spaces between tokens.

The example expression uses only single-digit numbers, so there was a temptation to employ a DO-loop stepping through the text, but that would require a special flush stage after reaching the end of the text. This could be avoided by having the loop run DO L = 1,LEN(TEXT) + 1 for the extra step, but that would require annoying checks within the loop for L > LEN(TEXT) to prevent out-of-bounds accessing. So, abandon the DO-loop approach and instead allow for surges forward such as for multi-digit numbers - or for multi-character operators (such as <=) or even, for names of variables. However, only integers are allowed for here. The syntax of allowable floating-point numbers is quite complex and a logical function EATREAL(V) requires over a hundred lines, which would swamp the source more directly devoted to the project. It would of course be smaller if no errors were checked for nor complaints made, but testing the backwards logic of the algorithm is quite tricky when it is not working correctly because of mistakes or omissions, so statements of affront were helpful, and would belong in a "production" version anyway.

Having abandoned the idea of a scan-in-place via the introduction of FORASIGN to span the next token, having two calls is not troublesome so the token processing can be done in two successive stages: one for operands, then after the second FORASIGN, another for operators. This in turn allows a GO TO to retry the appropriate stage should bracketing be encountered. Alternatively, the GO TO could be avoided by having a state WANTOPERAND plus a test to select which of the two states is required, followed by a state flip. And for brackets, the state would have to be flipped so that the subsequent flip would not change it. This is too much to pay for the approval of those disliking GO TO statements.

F90 style has been used, in part because of the convenience of shared data and data aggregates such as SYMBOL however, these could be replaced by suitable COMMON statements and data structures can be replaced by a collection of separate variables whose names are structured. The ability to place a subroutine inside another subroutine so as to share local context is likewise a mere convenience.

Source [ edit ]

Results [ edit ]

So that spaces can be seen, texts are marked off via >. < The operator stack is shown as a list of elements upwards, each element being the operator followed by its precedence. Notably, the ( has precedence 3, while ) has 4, while ^ in-the-text has precedence 14 but once on the stack it has precedence 13.

A fuller symbol table [ edit ]

The odd values for the precedences of the operators is driven by the model source being for a compiler able to handle much more complex arithmetic statements involving logical operations, variables, functions (some, like Max(a,b,c. ) with an arbitrary number of parameters), assignment within an expression, and conditionals such as IF condition THEN exp1 ELSE exp2 OWISE exp3 FI - a three-value logic is employed. Similarly, ? stands for a "not a number" and ! for "Infinity". The fuller symbol table is.

The USAGE field is for when there is a request for help, and the response uses the scanner's actual symbol table entries to formulate its assistance, rather than roll forth a separately-prepared wad of text.


Skatīties video: Supersection 1, Less Comfortable (Novembris 2021).