Raksti

4.2: 1 / sin x atvasinājums


Kā ar sinusa funkcijas atvasinājumu? Noteikumi par atvasinājumiem, kas mums ir, nepalīdz, jo ( sin x ) nav algebriska funkcija. Mums jāatgriežas pie atvasinājuma definīcijas, jānosaka limits un jāmēģina to aprēķināt. Šeit ir definīcija:

[{d over dx} sin x = lim _ { Delta x to0} { sin (x + Delta x) - sin x over Delta x}. ]

Izmantojot dažas trigonometriskās identitātes, mēs varam panākt nelielu progresu attiecībā uz koeficientu:

[ eqalign {{ sin (x + Delta x) - sin x over Delta x} & = { sin x cos Delta x + sin Delta x cos x - sin x over Delta x} cr & = sin x { cos Delta x - 1 over Delta x} + cos x { sin Delta x over Delta x}. Cr} ]

Tas izolē sarežģītos bitus abās robežās

[ lim _ { Delta x to0} { cos Delta x - 1 over Delta x} quad hbox {un} quad lim _ { Delta x to0} { sin Delta x virs Delta x}. ]

Šeit mums nedaudz paveicas: izrādās, ka, kad mēs zinām otro robežu, pirmais ir diezgan vienkāršs. Otrais tomēr ir diezgan grūts. Patiešām, tā ir visgrūtākā robeža, kuru mēs faktiski aprēķināsim, un mēs tai veltām sadaļu.


Izmantojiet mūsu tiešsaistes produktu noteikumu atvasinājumu kalkulatoru, lai diferencētu doto funkciju, pamatojoties uz atvasinājumu produkta likumu. Ievadiet funkciju un iesniedziet, lai uzzinātu rezultātu.

Augšējais tiešsaistes produktu noteikumu atvasinājumu kalkulators aprēķina noteiktas funkcijas atvasinājumu attiecībā uz mainīgo x, izmantojot analītisko diferenciāciju. Noteikums tiek piemērots funkcijām, kas izteiktas kā divu citu funkciju reizinājums.

Produkta atvasinājumu noteikums:
Aprēķinā produkta noteikums diferenciācijā ir metode, kā atrast funkcijas atvasinājumu, kas ir divu citu funkciju, kurām pastāv atvasinājumi, reizināšana. Šo noteikumu atklāja vācu matemātiķis Gotfrīds Leibnics. Noteikums par atvasinājumiem ir tiešas diferenciācijas sekas.

Produkta noteikums diferenciācijā:
Atvasinājumu produkta noteikums attiecas uz vairāk nekā divu funkciju reizināšanu. Viens produkta kārtulas īpašs gadījums ir nemainīga daudzkārtēja kārtula, kas nosaka, ka, ja c ir skaitlis un f (x) ir diferenciālā funkcija, tad cf (x) ir arī diferenciālis, un tā atvasinājums ir (cf) '(x ) = cf '(x). Noteikums par daļu integrāciju ir atvasināts no produkta noteikuma. Diferencēšanas kalkulatorā izmantojiet mūsu bezmaksas tiešsaistes produktu likumu, kas jums dinamiski palīdzēs aprēķināt diferenciālvienādojumu.


Atšķirību diferenciācija

The diferenciācijas kalkulators spēj tiešsaistē veikt daudzus aprēķinus: aprēķināt atvasinājumu tiešsaistē gada a atšķirība, vienkārši ierakstiet matemātisko izteiksmi, kurā ir starpība, norādiet mainīgo un lietojiet funkciju derivative_calculator.

Piemēram, lai tiešsaistē aprēķinātu šādu funkciju “cos (x) -2x” starpības atvasinājumu, ievadiet derivāta_kalkulatoru (“cos (x) -2xx”), pēc rezultāta aprēķināšanas “-sin (x) -2” ir atgriezās.

Tiek atzīmēts, ka atvasinājuma apraksts un soļu aprēķini tiek parādīti arī ar funkciju.


  1. Pēdējās divās apmācībās mēs esam redzējuši aplikāciju piemērojošus piemērus. Viena no vissvarīgākajām konvulācijām ir atvasinājumu aprēķināšana attēlā (vai tuvinājums tiem).

Kāpēc attēla atvasinājumu aprēķins var būt svarīgs? Iedomāsimies, ka mēs vēlamies atklāt malas klāt attēlā. Piemēram:

Jūs to varat viegli pamanīt mala, pikseļu intensitāte izmaiņas bēdīgi slavenā veidā. Labs veids, kā izteikt izmaiņas ir, izmantojot atvasinājumi. Augstas gradienta izmaiņas norāda uz būtiskām attēla izmaiņām.

Lai būtu grafiskāks, pieņemsim, ka mums ir 1D attēls. Malu parāda intensitātes "lēciens" zemāk esošajā grafikā:

Malu "lēcienu" var redzēt vieglāk, ja mēs ņemam pirmo atvasinājumu (patiesībā šeit parādās kā maksimums)

Sobel operators

  1. Sobel operators ir diskrēts diferenciācijas operators. Tas aprēķina attēla intensitātes funkcijas gradienta tuvinājumu.
  2. Sobel Operator apvieno Gausa izlīdzināšanu un diferenciāciju.

Formulējums

Pieņemot, ka izmantojamais attēls ir (I ):

Mēs aprēķinām divus atvasinājumus:

  1. Horizontālās izmaiņas: Tas tiek aprēķināts, savācot (I ) ar kodolu (G_) ar nepāra lielumu. Piemēram, kodola lielumam 3, (G_) tiktu aprēķināts kā:
  1. Vertikālas izmaiņas: Tas tiek aprēķināts, savācot (I ) ar kodolu (G_) ar nepāra lielumu. Piemēram, kodola lielumam 3, (G_) tiktu aprēķināts kā:

Katrā attēla punktā mēs aprēķinām aptuveno vērtību gradients šajā brīdī, apvienojot abus iepriekš minētos rezultātus:

Lai gan dažreiz tiek izmantots šāds vienkāršāks vienādojums:

Plašāku informāciju par šo funkciju varat uzzināt OpenCV uzziņā - Šarrs () . Tālāk redzamajā koda paraugā jūs pamanīsit to virs koda Sobel () funkcijai ir arī kods Šarrs () funkcija komentēja. Ja to nekomentējat (un acīmredzami komentējat Sobel saturu), jums vajadzētu dot priekšstatu par šīs funkcijas darbību.


Atrodiet atvasinātu palīdzību

Diferencēšanas komanda praktiski vai daļēji diferencēs praktiski jebkuru izteicienu.

Pēc noklusējuma komanda diferencēt visus izteiksmes mainīgos lielumus, izņemot tos, pēc kuriem jūs diferencējat, izturas kā konstantes. Varat diferencēt attiecībā uz mainīgo n reizes, mainīgo teksta apgabalā iekļaujot komatu un skaitli n aiz mainīgā. Piemēram, lai izteiksmi diferencētu attiecībā pret x trīs reizes, mainīgo teksta apgabalā ievadiet x, 3.

Uzlabotā diferencēšanas komanda ļauj diferencēt neatkarīgi no mainīgo lieluma un reižu skaita. Vienkārši ievadiet katru mainīgo atsevišķā rindā. Tāpat kā iepriekš, vairākus atvasinājumus norāda, sekojot mainīgajam ar komatu un skaitli. Uzlabotā diferencēšanas komanda ļauj arī norādīt visas funkciju atkarības, kas parādās jūsu izteiksmē. Diferencētā komanda pareizi apstrādā patvaļīgas funkcionālās atkarības, izmantojot ķēdes kārtulu.

Piemēri

Pamata diferencēšanas komanda

Izteiksme Mainīgais (-ie) Rezultāts
x ^ 2 x 2 x
x ^ 3 x
5 x ^ 3 - 7 x ^ 2 + 2 x - 1 x
5 x ^ 3 - 7 x ^ 2 + 2 x - 1 x, 2 -14 + 30 x
5 x ^ 3 - 7 x ^ 2 + 2 x - 1 x, 3 30
grēks (t) t cos (t)
grēks (t) cos (t) t
ln (x) y + 3x ^ 2y ^ 3 x

Opcijas (tikai papildu lapai)

Vērtības: atzīmēta vai nav atzīmēta + tukša virkne vai funkciju saraksts ar to atkarību
Noklusējums: nepārbaudīta + tukša virkne

Funkciju opcija ļauj norādīt visu patvaļīgo funkciju atkarības, kas parādās diferencētajā izteiksmē.

Piemēram, ja izteiksmē ir funkcija f, kas ir atkarīga no x, tad funkciju teksta apgabalā ievadiet f (x). Pašu funkciju izteiksmē vajadzētu saukt tikai par f, nevis par f (x), jo QuickMath nevar zināt, vai izteiksmē f (x) ir funkcija vai produkts f * x.

Funkcijas var būt atkarīgas arī no citām funkcijām. Piemēram, pieņemsim, ka f ir atkarīgs gan no x, gan no y, savukārt x un y paši ir atkarīgi no t. Tad jūs ieietu

funkciju teksta apgabalā, bet atsaucas uz funkcijām vienkārši kā f, x un y pašā izteiksmē.

Ja izteiksmē izmantojat patvaļīgas funkcijas, QuickMath atbildē var būt atvasinājumi. Piemēram, termins

atbildē norāda funkcijas f pirmo (parasto) atvasinājumu attiecībā pret x, savukārt z (x, y) pirmo (daļējo) atvasinājumu attiecībā pret x.


Novērtējot y = sin -1 x:

1. piemērs: novērtējiet grēku -1 (1/2)

Lielākajai daļai cilvēku trigonometriskās funkcijas ir labāk pazīstamas (un ērtākas) nekā viņu apgrieztās. Tāpēc pirmais solis šīs izteiksmes novērtēšanā ir teikt, ka, ja y = sin -1 (1/2), tad sin y = 1/2. Šai vienkāršajai trigonometriskajai funkcijai ir bezgalīgi daudz risinājumu:

Pieci no šiem risinājumiem ir norādīti ar vertikālām līnijām diagrammā y = sin x zemāk.

Tātad, vai grēka vērtība -1 (1/2) tiek dota ar iepriekš minētajiem izteicieniem? Nē! Ir ļoti svarīgi paturēt prātā, ka apgrieztā sinusa funkcija ir viena vērtējama funkcija, viens pret vienu. Tikai viens no bezgalīgā daudzuma iepriekš norādītajiem risinājumiem ir vēlamais rezultāts. Kurš? Atcerieties, ka grēka diapazons -1 x ir, kas attēlā ir norādīts zilā krāsā. Tas ir tiešām ir svarīgi zināt apgriezto trigonometrisko funkciju domēnu un diapazonu! (Kāpēc šis zilais intervāls ir atzīmēts uz x ass, ja tas apzīmē grēka -1 x diapazonu? Jo diapazons no apgrieztās funkcijas ir vienāds ar domēns pamatfunkcijas.) Vienīgais y = sin x risinājums, kas ietilpst vajadzīgajā diapazonā, ir (vienmērīgā sarkanā līnija iepriekš redzamajā attēlā). Tāpēc

2. piemērs: Kas ir

Vienības-apļa diagramma ir parādīta labajā pusē. Ievērojiet, ka risinājuma kandidāti ietver:

Tomēr tikai viena no šīm vērtībām ir diapazonā no sin -1 x (), tātad:

Y = sin -1 x atvasinājums:

Y = sin -1 x atvasinājums ir: (Noklikšķiniet šeit, lai iegūtu atvasinājumu.)

Grafiki y = sin -1 x un tā atvasinājums ir parādīti labajā pusē. Y 'domēns ir (-1. 1). Tā kā y = sin -1 x vienmēr palielinās, y '& gt 0 visiem x tā domēnā.


Maxima un Minima no Calculus

Viena no aprēķina lielajām pilnvarām ir funkcijas maksimālās vai minimālās vērtības noteikšana. Ņem f (x) kā x funkciju. Tad x vērtība, kurai f (x) atvasinājums attiecībā pret x ir vienāds ar nulli, atbilst funkcijas f (x) maksimumam, minimumam vai locījuma punktam.

Piemēram, šāviņa, kas tiek izšauts taisni uz augšu, augstumu nosaka kustības vienādojumi:

Ņemot y0 = 0, zemāk ir parādīts augstuma y (t) grafiks.

Funkcijas atvasinājumu var ģeometriski interpretēt kā matemātiskās funkcijas y (t) līknes slīpumu, kas uzzīmēts kā t funkcija. Atvasinājums ir pozitīvs, ja funkcija palielinās pret maksimumu, nulle (horizontāli) pie maksimuma un negatīva tieši pēc maksimuma. Otrais atvasinājums ir atvasinājuma maiņas ātrums, un tas ir negatīvs iepriekš aprakstītajam procesam, jo ​​pirmais atvasinājums (slīpums) vienmēr kļūst mazāks. Otrais atvasinājums vienmēr ir negatīvs funkcijas "kuprim", kas atbilst maksimumam.

Piemērā izmantotajai vienkāršajai funkcijai ir tikai viens maksimums. Sarežģītākām funkcijām var būt vairāki maksimumi un minimumi, un otrā atvasinājuma novērtējums nodrošina veidu, kā tos atšķirt.


Izmantojot pirmo atvasinājumu, atrodiet dy / dx vērtību.

Šeit dy / dx nozīmē pieskares līnijas slīpumu jebkurā punktā. Lai atrastu pieskares līnijas slīpumu noteiktā punktā, mums jāpielieto dotais punkts vispārējā slīpumā.

Aplūkosim doto punktu kā (x1, y1)

Pielietojot slīpuma vērtību mainīgā "m" vietā un pielietojot (x1 , y1) zemāk dotajā formulā atrodam pieskares līnijas vienādojumu.

Apskatīsim dažus problēmu piemērus, lai saprastu iepriekš minēto jēdzienu.

Atrodiet parabolas pieskāriena vienādojumu y 2 = 12x punktā (3, -6).

Diferencēt attiecībā pret "x",

Atrodiet parabolas pieskāriena vienādojumu x 2 + 2x - 4y + 4 = 0 punktā (0, 1).

Līknes vienādojums ir & # xa0 x 2 & # xa0 + 2x - 4y + 4 & # xa0 = & # xa0 0

Diferencēt attiecībā pret "x",

Papildus šajā sadaļā sniegtajam materiālam, ja jums ir nepieciešami citi matemātikas materiāli, lūdzu, izmantojiet mūsu google pielāgoto meklēšanu šeit.

Ja jums ir atsauksmes par mūsu matemātikas saturu, lūdzu, nosūtiet mums mums pa e-pastu: & # xa0

Mēs vienmēr novērtējam jūsu atsauksmes. & # Xa0

Varat arī apmeklēt šādas tīmekļa lapas ar dažādiem matemātikas jautājumiem. & # Xa0


Tan ^ -1 (sin x / 1 + cos x) w.r.t tan ^ -1 (cos x / 1 + sin x) atvasinājums ir

Personalizēts AI pasniedzējs un adaptīvais laika grafiks, pašmācības materiāls, neierobežoti izspēles testi un personalizēti analīzes pārskati, diennakts atbalsta dienests Doubt Chat ,.

Nokauts NEET 2025

Personalizēts AI pasniedzējs un adaptīvais laika grafiks, pašmācības materiāls, neierobežoti izspēles testi un personalizēti analīzes pārskati, diennakts atbalsta dienests Doubt Chat ,.

NEET fonds + Nokauts NEET 2024

Personalizēts AI pasniedzējs un adaptīvais laika grafiks, pašmācības materiāls, neierobežoti izspēles testi un personalizēti analīzes pārskati, diennakts atbalsta dienests Doubt Chat ,.

NEET fonds + Nokauts NEET 2024 (vienkārša iemaksa)

Personalizēts AI pasniedzējs un adaptīvais laika grafiks, pašmācības materiāls, neierobežoti izspēles testi un personalizēti analīzes pārskati, diennakts atbalsta dienests Doubt Chat ,.

NEET fonds + Nokauts NEET 2025 (vienkārša iemaksa)

Personalizēts AI pasniedzējs un adaptīvais laika grafiks, pašmācības materiāls, neierobežoti izspēles testi un personalizēti analīzes pārskati, diennakts atbalsta dienests Doubt Chat ,.


Skatīties video: Differential Equations: Systems of Differential Equations. Basics, Verifying Solutions to ODE (Decembris 2021).