Raksti

3.9. Aizvietojumi vairākos integrālos - matemātika


Šajā sadaļā ir apspriests grafika tulkojums no (xy ) Dekarta plaknes uz (uv ) Dekarta plakni un definēts jakobietis.

Ievads

Kā novērots citās sadaļās attiecībā uz polārajām koordinātām, daži funkciju integrācija xyz telpā ir vieglāk integrējama, pārveidojot tās dažādās koordinātu sistēmās. Šīs aizstāšanas var padarīt integrandu un / vai integrācijas robežas vieglāk darbināmas, kā to darīja "U" aizstājējs atsevišķiem integrāļiem. Šajā sadaļā mēs pārtulkosim funkcijas no x-y-z Dekarta koordinātu plaknes uz u-v-w Dekarta koordinātu plakni, lai dažas integrācijas būtu vieglāk atrisināt.

Vienu šī tulkojuma galveno sastāvdaļu sauc par Jēkaba ​​noteikto vai vienkārši par Jēkaba, kas mēra, cik daudz mainās tilpums noteiktā brīdī, pārveidojot no vienas koordinātu sistēmas uz citu.

Ir svarīgi atzīmēt, ka, lai gan mēs mainām koordinātu sistēmu, uz kuras mēs attēlojam savu funkciju, vairāku integrālu teorija nav mainījusies. Integrācijas robežas joprojām rada domēnu zem līknes, un integrācija palīdzēs mums atrast sākotnējās funkcijas un domēna radītās figūras apjomu.

Teorētiskā diskusija ar aprakstošo izstrādi

Jebkurai noteiktai funkcijai (f (x, y) ) mēs varam definēt x un y kā citu mainīgo funkciju (g (u, v) ). Lai to izdarītu, vispirms mēs atrodam (u ) un (v ) kā funkciju (x ) un (y ), kas ļaus vieglāk integrēt. Pēc tam atrisiniet (x ) un (y ), lai tulkotu funkciju tā, lai (x = g (u, v) text {un} y = h (u, v) ). Tas tulko are reģionu no R x-y plaknē līdz D u-v plaknē.

Atcerieties:

[I = iint_R f (x, y) dA ]

Tāpēc mums jāatrod (dA ):

(dA ) mainās no (dxdy ) uz (| J (u, v) | dudv ). Katra izmaiņa u ( ( Delta u )) un izmaiņa v ( ( Delta v )) rada paralelogramus, kas ir mazi laukumi ( Delta A ) vai dA. Katra no šiem paralelogramiem (P) mēs varam atrast laukumu, ņemot divu to izveidojošo vektoru šķērsproduktu ( ( Delta u text {un} Delta v )).

[ text {Apgabala P} = sākums {vmatrix} vec {V_1} reizes vec {V_2} end {vmatrix} = J (u, v) ]

[ begin {align *} J (u, v) & = begin {vmatrix} dfrac { daļējs x} { daļējs u} un dfrac { daļējs x} { daļējs v} dfrac { daļējs y} { daļējs u} un dfrac { daļējs y} { daļējs v} end {vmatrix} & = dfrac { daļējs x} { daļējs u} dfrac { daļējs y } { daļējs v} - dfrac { daļējs y} { daļējs u} dfrac { daļējs x} { daļējs v} & = dfrac { daļējs (x, y)} { daļējs ( u, v)} end {izlīdzināt *} ]

(| J (u, v) | ) apzīmē paralelograma laukumu, un tas ir iepriekš parādītās Jēkaba ​​matricas noteicējs. Jakobietis mēra, cik daudz transformācija mainās no reģiona (R ) uz reģionu (G ). Tāpēc (f (x, y) ) integrācijas tulkojumu attēlo

[ iint_R f (x, y) dx dy = iint_G f (g (u, v), h (u, v)) | J (u, v) | du dv. ]

To pašu var piemērot trīskāršajiem integrāļiem, kur tulkojumus attēlo

[x = g (u, v, w), ; y = h (u, v, w), ; z = k (u, v, w) ]

[ sākt {izlīdzināt *} J (u, v, w) & = dfrac { daļējs (x, y, z)} { daļējs (u, v, w)} & = sākas {vmatrix } dfrac { daļējs x} { daļējs u} un dfrac { daļējs x} { daļējs v} un dfrac { daļējs x} { daļējs w} dfrac { daļējs y} { daļējs u} & dfrac { daļējs y} { daļējs v} un dfrac { daļējs y} { daļējs w} dfrac { daļējs z} { daļējs u} un dfrac { daļējs z } { daļējs v} un dfrac { daļējs z} { daļējs w} beigas {vmatrix} & = dfrac { daļējs x} { daļējs u} sākas {vmatrix} dfrac { daļējs y} { daļējs v} un dfrac { daļējs y} { daļējs w} dfrac { daļējs z} { daļējs v} un dfrac { daļējs z} { daļējs w} beigas { vmatrix} - dfrac { daļējs x} { daļējs v} sākas {vmatrix} dfrac { daļējs y} { daļējs u} & dfrac { daļējs y} { daļējs w} dfrac { daļējs z} { daļējs u} un dfrac { daļējs z} { daļējs w} end {vmatrix} + dfrac { daļējs x} { daļējs w} sākums {vmatrix} dfrac { daļējs y} { daļējs u} un dfrac { daļējs y} { daļējs v} dfrac { daļējs z} { daļējs u} un dfrac { daļējs z} { daļējs}} beigs { vmatrix} & = df rac { partial x} { daļēja u} pa kreisi ( dfrac { daļējs y} { daļējs v} cdot dfrac { daļējs z} { daļējs w} - dfrac { daļējs z} { daļējs v} cdot dfrac { daļējs y} { daļējs w} pa labi) - dfrac { daļējs x} { daļējs v} pa kreisi ( dfrac { daļējs y} { daļējs u} cdot dfrac { daļējs z} { daļējs w} - dfrac { daļējs z} { daļējs u} cdot dfrac { daļējs y} { daļējs w} pa labi) + dfrac { daļējs x} { daļējs w} pa kreisi ( dfrac { daļējs y} { daļējs u} cdot dfrac { daļējs z} { daļējs v} - dfrac { daļējs z} { daļējs u} cdot dfrac { daļējs y} { daļējs v} pa labi) beigas {izlīdzināt *} ]

Tiek saukta šī metode jakobieša iegūšanai kofaktora paplašināšana.

Lai gan ievadā galvenā uzmanība tika pievērsta Dekarta funkcijas tulkošanai citā Dekarta koordinātu sistēmā, Jakobijas jēdzienu var izmantot arī, lai izskaidrotu, kā darbojas arī tulkošana polārajās koordinātās.

Cilindriskām koordinātām

[x = r text {cos} theta, y = r text {sin} theta, z = z ]

Tādēļ:

[J (u, v, w) = sāk {vmatrix} dfrac { daļējs x} { daļējs u} un dfrac { daļējs x} { daļējs v} un dfrac { daļējs x} { daļējs w} dfrac { daļējs y} { daļējs u} un dfrac { daļējs y} { daļējs v} un dfrac { daļējs y} { daļējs w} dfrac { daļējs z} { daļējs u} un dfrac { daļējs z} { daļējs v} un dfrac { daļējs z} { daļējs w} beigas {vmatrix} = sākums {vmatrix} teksts {cos} theta & -r text {sin} theta & 0 text {sin} & r text {cos} theta & 0 0 & 0 & 1 end {vmatrix} ]

[ iiint_D F (x, y, z) dx dy dz = iiint_G H (r, theta, z) | r | dr d theta dz ]

Sfēriskām koordinātām

[J ( rho, phi, theta) = sākas {vmatrix} dfrac { daļējs x} { daļējs rho} un dfrac { daļējs x} { daļējs phi} & dfrac { daļējs x} { daļējs theta} dfrac { daļējs y} { daļējs rho} un dfrac { daļējs y} { daļējs phi} un dfrac { daļējs y} { daļējs theta} dfrac { daļējs z} { daļējs rho} un dfrac { daļējs z} { daļējs phi} & dfrac { daļējs z} { daļējs theta} beigas {vmatrix } = rho ^ 2 teksts {sin} phi ]

[ iiint_D F (x, y, z) dx dy dz = iiint_G H ( rho, phi, theta) | rho ^ 2 text {sin} phi | d rho d phi d theta ]

Tādējādi (dx , dy , dz ) cilindriskās koordinātās kļūst par (rd , rd , theta ) un ( rho ^ 2 text {sin} phi d rho d phi d theta ) sfēriskās koordinātās.

Piemērs ( PageIndex {1} )

Lai novērtētu integrālu, izmantojiet šādu pārveidojumu.

[u = dfrac {y} {x} text {un} v = xy ]

[ iint_R dfrac {y} {x} dA ]

[ text {Kur R ierobežo:} 1 le u le 2 text {un} 1 le v le 2 ]

Risinājums

Vispirms atrodiet (x ) un (y ) kā (u ) un (v ) funkcijas:

(u = dfrac {y} {x} ) (v = xy )

(y = xu ) ( rightarrow ) (x = dfrac {v} {y} )

(x = dfrac {v} {xu} )

(x ^ 2 = dfrac {v} {u} )

(x = sqrt { dfrac {v} {u}} )

(y = xu )

(y = pa kreisi ( sqrt { dfrac {v} {u}} pa labi) u )

(y = sqrt {vu} )

(x = g (u, v) = sqrt { dfrac {v} {u}} text {un} y = h (u, v) = sqrt {vu} )

Izmantojot (x = g (u, v) text {un} y = h (u, v) ), atrodiet integrandu izteiksmē (u text {un} v ):

[ dfrac {y} {x} = dfrac { sqrt {vu}} { sqrt { dfrac {v} {u}}} = u ]

Un (dA ) mainās no (dx dy ) uz ( pa kreisi | J (u, v) pa labi | du dv ). Jakobietis ir vienāds ar:

[J (u, v) = sākas {vmatrix} dfrac { daļējs x} { daļējs u} un dfrac { daļējs x} { daļējs v} dfrac { daļējs y} { daļēja u} & dfrac { daļēja y} { daļēja v} beigas {vmatrix} = dfrac { daļēja x} { daļēja u} dfrac { daļēja y} { daļēja v} - dfrac { daļējs y} { daļējs u} dfrac { daļējs x} { daļējs v} ]

[ dfrac { daļējs x} { daļējs u} = dfrac {1} {2} u ^ {- dfrac {3} {2}} v ^ { dfrac {1} {2}} dfrac { daļējs x} { daļējs v} = dfrac {1} {2} u ^ {- dfrac {1} {2}} v ^ {- dfrac {1} {2}} dfrac { daļējs y} { daļējs u} = dfrac {1} {2} u ^ {- dfrac {1} {2}} v ^ { dfrac {1} {2}} dfrac { daļējs y} { daļējs v} = dfrac {1} {2} u ^ { dfrac {1} {2}} v ^ {- dfrac {1} {2}} ]

[ begin {align *} J (u, v) & = begin {vmatrix} dfrac {1} {2} u ^ {- dfrac {3} {2}} v ^ { dfrac {1 } {2}} & dfrac {1} {2} u ^ {- dfrac {1} {2}} v ^ {- dfrac {1} {2}} dfrac {1} {2} u ^ {- dfrac {1} {2}} v ^ { dfrac {1} {2}} un dfrac {1} {2} u ^ { dfrac {1} {2}} v ^ {- dfrac {1} {2}} end {vmatrix} & = left (- dfrac {1} {4} u ^ {- 1} - dfrac {1} {4} u ^ {- 1 } pa labi) & = dfrac {1} {2u} beigas {izlīdzināt *} ]

Tāpēc novērtējiet:

[ sākt {izlīdzināt *} & int_1 ^ 2 int_1 ^ 2 u pa kreisi ( dfrac {1} {2u} pa labi) du dv & = int_1 ^ 2 int_1 ^ 2 dfrac {1} {2} du dv & = int_1 ^ 2 pa kreisi. dfrac {1} {2} u right | _1 ^ 2 dv & = int_1 ^ 2 1 - dfrac {1} {2} dv & = left. dfrac {1} {2} v right | _1 ^ 2 & = 1 - dfrac {1} {2} = dfrac {1} {2} end {align *} ]

Piemērs ( PageIndex {2} )

Lai novērtētu integrālu, izmantojiet šādu pārveidojumu.

[u = x- dfrac {1} {2} y text {un} v = y ]

[ int_0 ^ { dfrac {1} {2}} int _ { dfrac {y} {2}} ^ { dfrac {y + 4} {2}} y ^ 3 (2x-y) e ^ {{2x-y} ^ 2} dx dy ]

Risinājums

Vispirms atrisiniet (x ) un (y ):

(u = x- dfrac {1} {2} y ) (v = y )

(u = x- dfrac {1} {2} v ) (y = v )

(x = u + dfrac {1} {2} v ).

Pēc tam aizstājiet (g (u, v) ) un (h (u, v) ) ar (x ) un (y ):

Integrands:

[y ^ 3 (2x-y) e ^ {{2x-y} ^ 2} rightarrow v ^ 3 [2 (u + dfrac {1} {2} v) - v] e ^ {{ [2 (u + dfrac {1} {2} v) - v]} ^ 2} ]

[= v ^ 3 (2u) e ^ {{2u} ^ 2} ]

[= (2uv ^ 3) e ^ {4u ^ 2} ]

Transformācija maina arī integrācijas robežas

( begin {align *} x & = dfrac {y + 4} {2} rightarrow u + dfrac {1} {2} v = dfrac {v +4} {2} [ 4pt] & = dfrac {y} {4} rightarrow u + dfrac {v} {2} = dfrac {v} {2} end {align *} ]

(u = dfrac {4} {2} )

(u = 0 )

(u = 2 )

Un (dx dy ) mainās uz ( pa kreisi | J (u, v) pa labi | du dv ). Jakobietis ir vienāds ar:

[J (u, v) = sākas {vmatrix} dfrac { daļējs x} { daļējs u} un dfrac { daļējs x} { daļējs v} dfrac { daļējs y} { daļējs u} & dfrac { daļējs y} { daļējs u} beigas {vmatrix} = dfrac { daļējs x} { daļējs u} dfrac { daļējs y} { daļējs v} - dfrac { daļējs y} { daļējs u} dfrac { daļējs x} { daļējs v} ]

[= sākums {vmatrix} 1 un 5 0 un 1 beigas {vmatrix} = 1 ]

Tādējādi

[ sākt {izlīdzināt *} iint_R f (x, y) dx dy & = iint_G f (g (u, v), h (u, v)) | J (u, v) | du dv & = int_0 ^ { dfrac {1} {2}} int_0 ^ 2 2uv ^ 3 e ^ {4u ^ 2} (1) dv du & = int_0 ^ { dfrac {1} {2}} pa kreisi. dfrac {ue ^ {4u ^ 2} v ^ 4} {2} right | _0 ^ 2 du & = int_0 ^ { dfrac {1} {2}} 8ue ^ {4u ^ 2} du & = pa kreisi. e ^ {4u ^ 2} pa labi | _0 ^ { dfrac {1} {2}} & = e-1 beigas {izlīdzināt *} ]

Piemērs ( PageIndex {3} )

Atrodiet objekta masu, kuru ierobežo

(1 le x le 2, 0 le xy le 1, 0 le z le 2 )

ar blīvumu, ko var aprakstīt pēc formulas (x ^ 2 y + 2xyz ), izmantojot transformāciju (u = x, v = xy, w = 3z ).

Risinājums

Iestatiet integrālis Dekarta koordinātās:

[ int_1 ^ 2 int_0 ^ { dfrac {1} {x}} int_0 ^ 2 x ^ 2y + 2xyz dzdydx. ]

Lai lietotu aizstāšanu, vispirms atrisiniet (x ) un (y ), izmantojot norādītās transformācijas:

[u = x qquad v = xy qquad w = 3z ]

[x = u qquad y = dfrac {v} {x} qquad z = dfrac {w} {3} ]

[y = dfrac {v} {u}. ]

Pēc tam veiciet atbilstošās aizstāšanas integrandā:

[x ^ 2 y + 2xyz rightarrow u ^ 2 left ( dfrac {v} {u} right) + 2u left ( dfrac {v} {u} right) left ( dfrac {w } {3} right) rightarrow uv + dfrac {2vw} {3}. ]

Pēc tam atrodiet jaunās robežas reģionam, kuru mēs vēlamies integrēt:

(1 le x le 2 rightarrow 1 le u le 2 )

(0 le xy le 1 rightarrow 0 le v le 1 )

(0 le z le 2 rightarrow 0 le dfrac {w} {3} le 2 rightarrow 0 le w le 6 ).

Lai pabeigtu pārveidošanu, atrodiet jakobieti:

[ sākt {izlīdzināt *} J (u, v, w) & = dfrac { daļējs (x, y, z)} { daļējs (u, v, w)} = sākas {vmatrix} dfrac { daļējs x} { daļējs u} un dfrac { daļējs x} { daļējs v} un dfraks { daļējs x} { daļējs w} dfrac { daļējs y} { daļējs u} & dfrac { daļējs y} { daļējs v} un dfrac { daļējs y} { daļējs w} dfrac { daļējs z} { daļējs u} un dfrac { daļējs z} { daļējs v} & dfrac { daļējs z} { daļējs w} beigas {vmatrix} & = sākums {vmatrix} 1 & 0 & 0 - dfrac {v} {u ^ 2} & dfrac {1} {u} & 0 0 un 0 & dfrac {1} {3} end {vmatrix} & = dfrac {1} {3u}. end {izlīdzināt *} ]

Ievērojiet zemākas trīsstūrveida matricas jakobianu (vērtības, kas atrodas virs diagonāles, ir nulle), ir diagonālo ierakstu reizinājums. To var apstiprināt ar kofaktora paplašināšanu.

Izmantojot visas aprēķinātās transformācijas, mēs varam aprēķināt jauno integrālu:

[ begin {align *} text {Mass} & = int_0 ^ 6 int_0 ^ 1 int_1 ^ 2 left (uv + dfrac {2vw} {3} right) dfrac {1} {3u } dudvdw & = dfrac {1} {3} int_0 ^ 6 int_0 ^ 1 int_1 ^ 2 v + dfrac {2vw} {3u} dudvdw & = dfrac {1} {2 } int_0 ^ 6 int_0 ^ 1 pa kreisi. vu + dfrac {2vw} {3} ln | u | right | _1 ^ 2 dvdw & = dfrac {1} {3} int_0 ^ 6 int_0 ^ 1 v + dfrac {2vw} {3} ln2 dvdw & = dfrac {1 } {3} int_0 ^ 6 pa kreisi. dfrac {v ^ 2} {2} + dfrac {2w ln2} {3} pa kreisi ( dfrac {v ^ 2} {2} pa labi) pa labi | _0 ^ 1 dw & = dfrac {1} {3} int_0 ^ 6 dfrac {1} {2} + dfrac {w ln2} {3} dw & = dfrac {1} {3} left [ dfrac { 1} {2} w + dfrac {w ^ 2 ln2} {6} right] _0 ^ 6 & = dfrac {1} {3} left [3 + 6 ln2 right] & = 1 + 2 ln2. end {izlīdzināt *} ]


Aprēķins agrīnās transcendentālās vērtības: integrāls un daudzveidīgs aprēķins sociālajām zinātnēm

Lieki piebilst, ka lielākā daļa integrācijas problēmu, ar kurām mēs saskaramies, nebūs tik vienkārši. Tas nozīmē, ka mums būs nepieciešami vairāk nekā pamata integrācijas noteikumi, ko esam redzējuši. Šeit ir nedaudz sarežģītāks piemērs: Atrast

Šis nav “vienkāršs” atvasinājums, taču nedaudz padomājot, atklājas, ka tam noteikti jābūt no ķēdes noteikuma piemērošanas. Reizināts uz “ārpuse” ir (2x text <,> ), kas ir funkcijas “inside” atvasinājums ( ds x ^ 2 text <.> ) Pārbaude:

Apkopojot: ja mums ir aizdomas, ka ar ķēdes kārtulas starpniecību konkrētā funkcija ir citas atvasinājums, mēs ļausim (u ) apzīmēt iespējamo iekšējās funkcijas kandidātu, pēc tam tulkojiet norādīto funkciju tā, lai tā būtu pilnībā uzrakstīta (u text <,> ), izteiksmē nepaliekot (x ). Ja mēs varam integrēt šo jauno funkciju (u text <,> ), sākotnējās funkcijas antivatīvs tiek iegūts, aizstājot (u ) ar ekvivalentu izteiksmi (x text <.> ). rezultāts noved mūs pie šādas teorēmas.

Teorēma 2.1. Nenoteiktu integrāļu aizstāšanas noteikums.

Ja (u = g (x) ) ir diferencējama funkcija, kuras diapazons ir intervāls (I ) un (f ) ir nepārtraukts ieslēgts (I text <,> ), tad

Mēs varam aprakstīt divas metodes, kā aizstāšanas kārtība var parādīties integrācijas procesā.

1. metode: Pat vienkāršos gadījumos jūs varētu vēlēties izmantot šo mehānisko procedūru, jo tā bieži palīdz izvairīties no muļķīgām kļūdām. Piemēram, vēlreiz apsveriet šo vienkāršo problēmu:

Ļaujiet ( ds u = x ^ 2 text <,> ), tad (du / dx = 2x ) vai (du = 2x , dx text <.> ) Tā kā mums ir tieši (2x , dx ) sākotnējā integrālā mēs to varam aizstāt ar (du text <:> )

2. metode: Tas nav vienīgais veids, kā veikt algebru, un parasti pareizajai atbildei ir daudz ceļu. Piemēram, tā kā (du / dx = 2x text <,> ) mums ir tas (dx = du / 2x text <,> ), un tāpēc integrālis kļūst

Norādījumi par aizstāšanas noteikumu.

ar (f ) nepārtrauktu un (g ) diferencējamu, šādās darbībās ir izklāstīts integrācijas (I text <.> )

Ļaujiet (u = g (x) text <,> ), kas parasti ir funkciju sastāva iekšējā funkcija integrandā.

Uzrakstiet integrālu (I ) tikai ar izteiksmi (u ), izmantojot jebkuru no šīm metodēm:

izmantojiet aizstāšanu (u = g (x) ) un (du = g '(x) dx text <> ) vai

aizstāt (dx ) ar (du / g '(x) ) un atcelt (g' (x) text <.> )

Integrēt attiecībā uz (u text <.> )

Nomainiet (u ) ar (g (x) ), lai rezultātu ierakstītu tikai (x ) izteiksmē.

Lai gan risinājuma procesā tiek izmantota aizstāšanas kārtula, svarīga daļa ir tā, ka procesa laikā ir jānovērš visi sākotnējā mainīgā gadījumi, bieži (x text <,> ) un pēc tam rezultāts jānoraksta sākotnējā izteiksmē mainīgais (x text <.> )

Dažreiz integrants ir jāpārkārto, lai redzētu, vai aizstāšanas noteikums ir iespējams integrācijas paņēmiens.

Ja vispirms aizstāšana neizdevās, pēc tam mēģiniet vienkāršot vai pārkārtot integrandu, lai redzētu, vai a savādāk var izmantot aizstāšanu.

Kā vispārēju pamatnostādni aizstāšanas noteikumam mēs meklējam iekšā funkcija (u )

radicand zem saknes: piemēram,

bāze jaudā ar reālu eksponentu: piemēram,

eksponents ar spēku ar reālu bāzi: piemēram,

saucējs daļās: piemēram,

Tomēr dažreiz (u ) var būt kaut kas cits, nekā ieteikts iepriekš, tāpēc esiet atvērts par šo procesu.

2.2. Piemērs. Aizstāšanas noteikums.

Novērtējiet ( ds int (ax + b) ^ n , dx text <,> ) pieņemot, ka (a, b ) ir konstantes, (a not = 0 text <,> ) un (n ) ir pozitīvs vesels skaitlis.

Mēs ļāvām (u = ax + b ) tā (du = a , dx ) vai (dx = du / a text <.> ) Tad

2.3. Piemērs. Aizstāšanas noteikums.

Novērtējiet ( ds int sin (ax + b) , dx text <,> ), pieņemot, ka (a ) un (b ) ir konstantes un (a not = 0 text < .> )

Atkal mēs ļāvām (u = ax + b ) tā (du = a , dx ) vai (dx = du / a text <.> ) Tad

2.4. Piemērs. Aizstāšana saucējā.

Novērtējiet šādu integrālu: ( ds int frac <2y> < sqrt <1-4y ^ 2 >> , dy text <.> )

Skaitītājā mums ir (2g

dy text <,> ), tāpēc pārrakstot diferenciālo:

2.5. Piemērs. Aizstāšana bāzē.

Novērtējiet šādu integrālu: ( ds int cos x ( sin x) ^ 5 , dx text <.> )

Šajā jautājumā mēs ļausim (u = sin x text <.> ). Tad

Tādējādi integrālis kļūst:

2.6. Piemērs. Aizstāšana.

Novērtējiet šādu integrālu: ( ds int frac < cos ( sqrt x)> < sqrt x> , dx text <.> )

Pārrakstot iegūto diferenciāli:

2.7. Piemērs. Aizstāšana.

Novērtējiet šādu integrālu: ( ds int 2x ^ 3 sqrt, dx teksts <.> )

Šī problēma ir nedaudz atšķirīga no iepriekšējām. Ir jēga ļaut:

Veicot šo aizstāšanu, iegūst:

Tā ir problēma, jo mūsu integrāļos nevar būt divu mainīgo maisījums. Parasti tas nozīmē, ka mēs nepareizi izvēlējāmies savu (u ). Tomēr šajā gadījumā mēs varam izslēgt atlikušos (x ) no mūsu integrāļa, izmantojot:

Tagad mēs turpinām vienkāršot integrandu un pamanīt, ka mums paliek jaudas funkcijas, kuras ir viegli integrētas.


Vai vēlaties uzzināt vairāk par Calculus 2? Man tam ir soli pa solim kurss. :)

Lai novērtētu integrāli, izmantojiet u aizstāšanu.

Tā kā mums ir darīšana ar noteiktu integrālu, mums jāizmanto vienādojums. u = grēks. atrast integrācijas robežas. u. tā vietā . x.

U aizstāšana noteiktos integrālos ir gluži tāpat kā aizstāšana nenoteiktos integrālos, izņemot to, ka, tā kā mainīgais mainās, jāmaina arī integrācijas robežas.

Aizstājot atpakaļ integrālā (ieskaitot mūsu integrācijas robežas), mēs to iegūstam


Integrējiet sekojošo attiecībā uz x

= & # xa0 ∫ gultiņa x / log (sin x) & # xa0 dx & # xa0

Diferencēšana attiecībā pret "x"

gultiņa x / log (sin x) & # xa0 dx & # xa0 = & # xa0 & # xa0 ∫du / u

Integrējiet sekojošo attiecībā uz x

= & # xa0 ∫ [ cosec x / log (iedegums (x / 2))] & # xa0 dx & # xa0

Integrējiet sekojošo attiecībā uz x

= & # xa0 ∫ [ grēks 2x / (a ​​2 & # xa0 + b 2 & # xa0sin 2 x)] & # xa0 dx & # xa0

∫ [ grēks 2x / (a ​​2 & # xa0 + b 2 & # xa0sin 2 x)] & # xa0 dx & # xa0 = & # xa0 & # xa0 ∫ (du / b 2) / u

& # xa0 = & # xa0 & # xa0 (1 / b 2) log u + c

& # xa0 = & # xa0 & # xa0 (1 / b 2) žurnāls ( a 2 & # xa0 + b 2 & # xa0sin 2 x) & # xa0 + c

Integrējiet sekojošo attiecībā uz x

= & # xa0 ∫ [ grēks -1 x / √ (1 - x 2)] & # xa0 dx & # xa0

∫ [ grēks -1 x / √ (1 - x 2)] & # xa0 dx & # xa0 = & # xa0 & # xa0 ∫ u du

& # xa0 = & # xa0 ( grēks -1 x) 2/2 + c

Integrējiet sekojošo attiecībā uz x

& # xa0 = & # xa0 2 [( ∫u du) - 2 & # xa0 ∫ du + & # xa0 ∫ (1 / u) du]

= & # xa0 2 [u 2/2 - 2u + log u] + c

= & # xa0 (1 + & # xa0 √x) 2 & # xa0 - 4 (1 + & # xa0 √x) & # xa0 + 2log & # xa0 (1 + & # xa0 √x) + c

Integrējiet sekojošo attiecībā uz x

= & # xa0 ∫ [ 1 / (x log x log (log x))] & # xa0 dx & # xa0

∫ [ 1 / (x log x log (log x))] & # xa0 dx = & # xa0 1 / (x logx) (log (logx))] & # xa0 dx & # xa0

Pēc tam, kad esat iepazinies ar iepriekš sniegto, mēs ceram, ka studenti būtu sapratuši: "Kā novērtēt integrāļus, izmantojot aizstāšanu"

Papildus tam, kas sniegts sadaļā "Kā novērtēt integrāļus, izmantojot aizstāšanu", & # xa0, ja jums ir nepieciešami citi matemātikas materiāli, lūdzu, izmantojiet mūsu Google pielāgoto meklēšanu šeit.

Ja jums ir atsauksmes par mūsu matemātikas saturu, lūdzu, nosūtiet mums mums pa e-pastu: & # xa0

Mēs vienmēr novērtējam jūsu atsauksmes. & # Xa0

Varat arī apmeklēt šādas tīmekļa lapas ar dažādiem matemātikas jautājumiem. & # Xa0


10 Atbildes 10

Integrācijas "ķēdes noteikums" ir integrācija ar aizstāšanu.

Tātad jūsu gadījumā mums ir $ f (x) = x ^ 5 $ un $ varphi (t) = 2t + 3 $:

$ int (2t + 3) ^ 5 text t = int <1 over 2> left ((2t + 3) ^ 5 cdot2 right) text t = <1 virs 2> int x ^ 5 text x = <1 over 12> x ^ 6 + C = <1 over 12> (2t + 3) ^ 6 + C $

Ja mēs zinām katras no divām funkcijām neatņemamo sastāvdaļu, tas nenozīmē, ka no šīs informācijas mēs varam aprēķināt viņu saliktā integrālu.

Piemērs
$ int e ^ <-x> dx = -e ^ <-x> + C int x ^ 2 dx = frac <3> + C $, bet $ int e ^ <- x ^ 2> dx = frac < sqrt < pi >> <2> mathrm(x) + C $ nav pamatfunkcija.

Es domāju, ka jūs jautājat, kā to izdarītintegrāls

Tad jūs aizstājat $ u $ ar sākotnējo $ 2x + 3 $, lai iegūtu

Ja vēlaties uzzināt, kā tas ir saistīts ar ķēdes likumu, ņemiet savas atbildes atvasinājumu, un tam vajadzētu iegūt funkciju sākotnējā integrāla iekšpusē.

Izmantojot ķēdes likumu, ko mēs iegūstam

Atvainojiet, ka šeit ierados vēlu, bet es domāju, ka pārējās (izcilās) atbildes garām galvenajam punktam. Integrācijā nav tieša, visvarena diferenciālās ķēdes noteikuma ekvivalenta. Ķēdes noteikuma esamība diferencēšanai būtībā ir tā, kas padara diferenciāciju par tik plašu funkciju klāstu, jo jūs vienmēr varat samazināt sarežģītību. Integrācijas ekvivalenta neesamība padara integrāciju par tādu tehnikas un triku pasauli.

Tāpēc galvenais punkts, par kuru es runāju, ir tāds diez vai var integrēt kādas funkcijas! Ņemot vērā jebkuras sarežģītības funkciju, izredzes, ka tā antivielāmais līdzeklis būs pamatfunkcija, ir ļoti maza.

Tas ir dziļi pretrunā ar cerībām, kuras jūs izvirzāt, mācoties integrāciju, bet tas ir tāpēc, ka nodarbības ir vērstas uz jūsu funkcijām var integrēt, kas, par laimi, cieši pārklājas ar dažāda veida pamata funkcijām, kuras jūs būtu iemācījušies šajā posmā: trig, exp, polinomi, inversi. Viņi nekoncentrējas uz to, ka nav integrējamu funkciju paņēmienu, jo nav daudz ko teikt, un tas atstāj iespaidu, ka elementāras antivielas lietošana ir norma. Kad jūs to domājat, integrācijas galvenais paņēmiens ir noteikt, kā iegūto pārvērst diferenciācijas rezultātā, lai jūs varētu palaist to atpakaļ.

Par laimi, daudzas integrējamās funkcijas ir kopīgas un noderīgas, tāpēc tas nebūt nav zaudēta kauja. Analītisko triku raktuves ir diezgan dziļas. Un, kad tas beigsies, ir aptuvenas un skaitliskas metodes - Teilora sērijas, Simpsonu likums un tamlīdzīgi, vai, kā mēs mūsdienās sakām, “datori” - kaut kā noteikta atrisināšanai. Vai arī mēs vienkārši piešķiram rezultātam jauku nosaukumu (piemēram, erf) un atstājam to.


Kā veikt U aizstāšanu? Viegli izskaidrojams ar 11 spēcīgiem piemēriem

Iepriekšējā nodarbībā “Aprēķina fundamentālā teorēma” mēs izpētījām integrācijas īpašības, kā novērtēt noteiktu integrālu (FTC # 1), kā arī to, kā ņemt integrāla atvasinājumu (FTC # 2).

Šajā nodarbībā mēs iemācīsimies U-aizvietošanu, kas pazīstama arī kā integrācija ar aizstāšanu vai vienkārši īsi sakot u-sub.

Salikto funkciju apzīmējums

U-aizstāšana ir metode, kuru mēs izmantojam, kad integrands ir salikta funkcija.

Kas atkal ir salikta funkcija?

Funkciju sastāvs pielieto vienu funkciju otras funkcijas rezultātiem.

Labi, bet kā tas mums palīdz integrēties?

Pirmā lieta, kas mums jādara, ir atzīt, ka mums tiek lūgts integrēt funkcijas produktu un tā atvasinājumu, un tas izpaužas kā salikta funkcija. Šai idejai tagad vajadzētu izskatīties jums pazīstamai & # 8230

Atcerieties, kad mēs pētījām ķēdes likumu, vienlaikus ņemot atvasinājumus?

Nu, U-Sub nav nekas cits kā ķēdes likuma reverss!

Mums būs jāmaina mainīgie.

Saskaņā ar Paul & # 8217s Online piezīmēm, aizstāšanas noteikuma būtība ir ņemt integrālu X izteiksmē un pārveidot vai mainīt U izteiksmē.

U mainīšanas mainīgo mainīšana

Nu, galvenais ir atrast ārējo un iekšējo funkciju, kur ārējā funkcija ir iekšējās funkcijas atvasinājums!

Tad mēs veiksim piemērotu aizstājēju, kas vienkāršos mūsu integrantu, lai mēs varētu integrēties, kā parādīts trīs vienkāršos soļos:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka neatkarīgi no izmantotās tehnikas mērķis vienmēr ir viens un tas pats & # 8230

& # 8230 mēs atrodam integranta antivielu!

Kopā redzēsim 11 integrācijas piemērus, aizstājot gan nenoteiktus, gan noteiktus integrāļus.


"Grūtākais ceļš" šajā daudzveidīgajā integrālē izskatās šādi:

Iekšējam integrālim ir vērtība $ sqrt$. Nākamais integrālis, ar kuru mēs saskaramies, ir $ I (x): = int_0 ^ < sqrt> sqrt dy . $ Integrācijas laikā $ x $ ir nemainīgs. "Trigonometriskā aizstāšana" šeit nozīmē, ka mums kaut kā jāizmanto $ 1- sin ^ 2 t equiv cos ^ 2 t $, lai atbrīvotos no kvadrātsaknes. Tāpēc mēs aizstājam $ y: = sqrt sin t , quad dy = sqrt cos t dt qquad (0 leq t leq < pi over2>) , $ un $ I (x) $ kļūst par $ I (x) = (r ^ 2-x ^ 2) int_0 ^ < pi / 2> cos ^ 2 t dt . $ Tagad izmantojiet kārtulu "$ cos ^ 2 ( omega t) $ vai $ sin ^ 2 ( omega t) $, kas integrēts virs vesela skaitļa no ceturkšņa periodiem dod pusi no integrācijas intervāla garuma "un iegūst $ I (x) = < pi over4> (r ^ 2-x ^ 2) $.

Atliek aprēķināt attālāko integrāli: $ < rm vol> (B_r) = 8 int_0 ^ r I (x) dx = 2 pi int_0 ^ r (r ^ 2-x ^ 2) dx = 2 pi (r ^ 2x-) Bigr | _0 ^ r = <4 pi over3> r ^ 3 . $


Mainīgo izmantošana pakāpju definīcijās

Saistošo sintaksi var izmantot, lai dinamiski mainītu izvietošanas soļa iestatījumu vērtības. Ja tiek mainīti mainīgie, tas ļauj patiešām viegli mainīt izvietošanas posma iestatījumus, pamatojoties uz mērķa vidi.

Lielākajai daļai teksta lauku, kas atbalsta piesaistīšanu mainīgajiem, būs mainīgā ievietošanas poga:

Iestatījumiem, kas atbalsta mainīgos, bet nav teksts (piemēram, nolaižamās izvēlnes vai izvēles rūtiņas), tiek parādīta poga, lai pārslēgtu pielāgotos izteiksmes režīmus:


Lai viss būtu vienkārši, mēs pieņemsim, ka sākotnējais mainīgais ir x. Protams, tās pašas darbības derēs jebkuram integrācijas mainīgajam.

Nenoteiktie integrāļi Noteikti integrāļi
1 Definēt u mainīgo mainīšanai. (Parasti u būs saliktās funkcijas iekšējā funkcija.)
2 Diferencēt u atrast du, un atrisināt dx.
3 Aizstāt integrandā un vienkāršot.
4 (nav ko darīt) Izmantojiet aizstāšanu, lai mainītu integrācijas robežas. Esiet piesardzīgs, lai nemainītu secību. Piemērs: ja u = 3 & # x2212xTad kļūst.
5 Ja x joprojām pastāv jebkur integrandā, ņemiet savu definīciju u no 1. darbības atrisiniet x ziņā u, aizstāt integrandā un vienkāršot.
6 Integrēt.
7 Aizstāt aizmuguri u, lai jūsu atbilde būtu x. Novērtējiet ar u augšējā un apakšējā daļā jauns robežas un atņemt. No konvertēšanas nav nepieciešams u atpakaļ uz x.

Algoritmi

Lietojot IgnoreAnalyticConstraints, int piemēro šādus noteikumus:

žurnāls (a) + žurnāls (b) = žurnāls (a·b) visām a un b. Šī vienādība ir derīga visām vērtības a, b, un c:

žurnāls (a b ) = b· Žurnāls (a) visām a un b. Šī vienādība ir derīga visām vērtības a, b, un c:

Ja f un g ir standarta matemātiskās funkcijas un f(g(x)) = x tad visiem mazajiem pozitīvajiem skaitļiem f(g(x)) = x tiek pieņemts, ka tas ir derīgs visām sarežģītajām vērtībām x. It īpaši:


Skatīties video: Laukuma aprēķināšana, izmantojot integrāli (Novembris 2021).