Raksti

1.7: Hiperbolisko funkciju aprēķins - matemātika


Iepriekš mēs iepazīstinājām ar hiperboliskām funkcijām, kā arī dažām to pamatīpašībām. Šajā sadaļā mēs aplūkojam hiperbolisko funkciju un to inversi diferenciācijas un integrācijas formulas.

Hiperbolisko funkciju atvasinājumi un integrāļi

Atgādināsim, ka hiperboliskais sinusīns un hiperboliskais kosinuss ir definēti kā

[ sinh x = dfrac {e ^ x-e ^ {- x}} {2} ]

un

[ cosh x = dfrac {e ^ x + e ^ {- x}} {2}. ]

Pēc tam pārējās hiperboliskās funkcijas tiek definētas kā ( sinh x ) un ( cosh x ). Hiperbolisko funkciju diagrammas ir parādītas attēlā ( PageIndex {1} ).

Hiperbolisko funkciju diferenciācijas formulas ir viegli izstrādāt. Piemēram, aplūkojot ( sinh x ), kas mums ir

[ begin {align *} dfrac {d} {dx} left ( sinh x right) & = dfrac {d} {dx} left ( dfrac {e ^ x − e ^ {- x }} {2} right) & = dfrac {1} {2} left [ dfrac {d} {dx} (e ^ x) - dfrac {d} {dx} (e ^ {- x}) right] & = dfrac {1} {2} [e ^ x + e ^ {- x}] & = cosh x. end {izlīdzināt *} ]

Līdzīgi

[ dfrac {d} {dx} cosh x = sinh x. ]

Mēs apkopojam hiperbolisko funkciju diferenciācijas formulas tabulā ( PageIndex {1} ).

Tabula ( PageIndex {1} ): hiperbolisko funkciju atvasinājumi
(f (x) ) ( dfrac {d} {dx} f (x) )
( sinh x ) ( cosh x )
( cosh x ) ( sinh x )
( tanh x ) ( text {sech} ^ 2 , x )
( text {coth} x ) (- text {csch} ^ 2 , x )
( text {sech} x ) (- text {sech} , x tanh x )
( text {csch} x ) (- text {csch} , x coth x )

Pieņemsim brīdi, lai salīdzinātu hiperbolisko funkciju atvasinājumus ar standarta trigonometrisko funkciju atvasinājumiem. Ir daudz līdzību, bet arī atšķirības. Piemēram, sinusa funkciju atvasinājumi sakrīt:

[ dfrac {d} {dx} sin x = cos x ]

un

[ dfrac {d} {dx} sinh x = cosh x. nonumber ]

Kosinusa funkciju atvasinājumi tomēr atšķiras pēc zīmes:

[ dfrac {d} {dx} cos x = - sin x, nonumber ]

bet

[ dfrac {d} {dx} cosh x = sinh x. nonumber ]

Turpinot hiperbolisko funkciju pārbaudi, mums jāņem vērā to līdzības un atšķirības ar standarta trigonometriskajām funkcijām. Šīs hiperbolisko funkciju diferenciācijas formulas ved tieši uz šādām integrālām formulām.

[ sāciet {izlīdzināt} int sinh u , du & = cosh u + C [5pt] int text {csch} ^ 2 u , du & = - coth u + C [5pt] int coshu , du & = sinh u + C [5pt] int text {sech} u tanh u , du & = - text {sech} u + C− text { csch} u + C [5pt] int text {sech} ^ 2u , du & = tanh u + C [5pt] int text {csch} u coth u , du & = - text {csch} u + C end {izlīdzināt} ]

Piemērs ( PageIndex {1} ): Hiperbolisko funkciju diferencēšana

Novērtējiet šādus atvasinājumus:

  1. ( dfrac {d} {dx} ( sinh (x ^ 2)) )
  2. ( dfrac {d} {dx} ( cosh x) ^ 2 )

Risinājums:

Izmantojot tabulas ( PageIndex {1} ) formulas un ķēdes kārtulu, mēs iegūstam

  1. ( dfrac {d} {dx} ( sinh (x ^ 2)) = cosh (x ^ 2) ⋅2x )
  2. ( dfrac {d} {dx} ( cosh x) ^ 2 = 2 cosh x sinh x )

Vingrinājums ( PageIndex {1} )

Novērtējiet šādus atvasinājumus:

  1. ( dfrac {d} {dx} ( tanh (x ^ 2 + 3x)) )
  2. ( dfrac {d} {dx} pa kreisi ( dfrac {1} {( sinh x) ^ 2} pa labi) )
Padoms

Izmantojiet tabulas ( PageIndex {1} ) formulas un pēc vajadzības lietojiet ķēdes kārtulu.

Atbilde a

( dfrac {d} {dx} ( tanh (x ^ 2 + 3x)) = ( text {sech} ^ 2 (x ^ 2 + 3x)) (2x + 3) )

Atbilde b

( dfrac {d} {dx} left ( dfrac {1} {( sinh x) ^ 2} right) = dfrac {d} {dx} ( sinh x) ^ {- 2} = −2 ( sinh x) ^ {- 3} cosh x )

Piemērs ( PageIndex {2} ): integrāļi, kas ietver hiperboliskas funkcijas

Novērtējiet šādus integrālus:

  1. ( displaystyle int x cosh (x ^ 2) dx )
  2. ( displaystyle int tanh x , dx )

Risinājums:

Abos gadījumos mēs varam izmantot u aizstājēju.

a. Ļaujiet (u = x ^ 2 ). Pēc tam (du = 2xdx ) un

[ begin {izlīdzināt *} int x cosh (x ^ 2) dx & = int dfrac {1} {2} cosh u , du [5pt] & = dfrac {1} { 2} sinh u + C [5pt] & = dfrac {1} {2} sinh (x ^ 2) + C. end {izlīdzināt *} ]

b. Ļaujiet (u = cosh x ). Pēc tam, (du = sinh x , dx ) un

[ begin {izlīdzināt *} int tanh x , dx = int dfrac { sinh x} { cosh x} dx & = int dfrac {1} {u} du [5pt] & = ln | u | + C [5pt] & = ln | cosh x | + C. beigas {izlīdzināt *} ]

Ņemiet vērā, ka ( cosh x> 0 ) visiem (x ), tāpēc mēs varam novērst absolūtās vērtības zīmes un iegūt

[ int tanh x , dx = ln ( cosh x) + C. nonumber ]

Vingrinājums ( PageIndex {2} )

Novērtējiet šādus integrālus:

  1. ( displaystyle int sinh ^ 3x cosh x , dx )
  2. ( displaystyle int text {sech} ^ 2 (3x) , dx )
Padoms

Izmantojiet iepriekš minētās formulas un lietojiet u- aizstāšana pēc nepieciešamības.

Atbilde a

( displaystyle int sinh ^ 3x cosh x , dx = dfrac { sinh ^ 4x} {4} + C )

Atbilde b

( displaystyle int text {sech} ^ 2 (3x) , dx = dfrac { tanh (3x)} {3} + C )

Inverso hiperbolisko funkciju aprēķins

Aplūkojot hiperbolisko funkciju grafikus, mēs redzam, ka ar atbilstošiem diapazona ierobežojumiem visiem tiem ir inversi. Lielāko daļu nepieciešamo diapazona ierobežojumu var noteikt, rūpīgi pārbaudot diagrammas. Apgriezto hiperbolisko funkciju domēni un diapazoni ir apkopoti tabulā ( PageIndex {2} ).

Tabula ( PageIndex {2} ): apgriezto hiperbolisko funkciju domēni un diapazoni
FunkcijaDomēnsDiapazons
( sinh ^ {- 1} x )(−∞,∞)(−∞,∞)
( cosh ^ {- 1} x )(1,∞)[0,∞)
( tanh ^ {- 1} x )(−1,1)(−∞,∞)
( coth ^ {- 1} x )(−∞,1)∪(1,∞)(−∞,0)∪(0,∞)
( text {sech} ^ {- 1} x )(0,1)[0,∞)
( text {csch} ^ {- 1} x )(−∞,0)∪(0,∞)(−∞,0)∪(0,∞)

Apgriezto hiperbolisko funkciju grafiki parādīti nākamajā attēlā.

Lai atrastu apgriezto funkciju atvasinājumus, mēs izmantojam netiešu diferenciāciju. Mums ir

[ sāk {izlīdzināt} y & = sinh ^ {- 1} x sinh y & = x dfrac {d} {dx} sinh y & = dfrac {d} {dx} x cosh y dfrac {dy} {dx} & = 1. end {izlīdzināt} ]

Atgādiniet, ka ( cosh ^ 2y− sinh ^ 2y = 1, ) tāpēc ( cosh y = sqrt {1+ sinh ^ 2y} ). Tad

[ dfrac {dy} {dx} = dfrac {1} { cosh y} = dfrac {1} { sqrt {1+ sinh ^ 2y}} = dfrac {1} { sqrt {1 + x ^ 2}}. ]

Līdzīgi varam atvasināt diferenciācijas formulas pārējām inversi hiperboliskām funkcijām. Šīs diferenciācijas formulas ir apkopotas tabulā ( PageIndex {3} ).

Tabula ( PageIndex {3} ): apgriezto hiperbolisko funkciju atvasinājumi
(f (x) ) ( dfrac {d} {dx} f (x) )
( sinh ^ {- 1} x ) ( dfrac {1} { sqrt {1 + x ^ 2}} )
( cosh ^ {- 1} x ) ( dfrac {1} { sqrt {x ^ 2−1}} )
( tanh ^ {- 1} x ) ( dfrac {1} {1 − x ^ 2} )
( coth ^ {- 1} x ) ( dfrac {1} {1 − x ^ 2} )
( text {sech} ^ {- 1} x ) ( dfrac {−1} {x sqrt {1 − x ^ 2}} )
( text {csch} ^ {- 1} x ) ( dfrac {−1} {| x | sqrt {1 + x ^ 2}} )

Ņemiet vērā, ka ( tanh ^ {- 1} x ) un ( coth ^ {- 1} x ) atvasinājumi ir vienādi. Tādējādi, integrējot (1 / (1 − x ^ 2) ), mums jāizvēlas pareizais antiviels, pamatojoties uz funkciju domēnu un (x ) vērtībām. Integrācijas formulas, kas ietver apgrieztās hiperboliskās funkcijas, ir apkopotas šādi.

[ int dfrac {1} { sqrt {1 + u ^ 2}} du = sinh ^ {- 1} u + C ]

[ int dfrac {1} {u sqrt {1 − u ^ 2}} du = - text {sech} ^ {- 1} | u | + C ]

[ int dfrac {1} { sqrt {u ^ 2−1}} du = cosh ^ {- 1} u + C ]

[ int dfrac {1} {u sqrt {1 + u ^ 2}} du = - text {csch} ^ {- 1} | u | + C ]

[ int dfrac {1} {1 − u ^ 2} du = sākas {gadījumi} tanh ^ {- 1} u + C un ja | u | <1 coth ^ {- 1} u + C & ja | u |> 1 beigu {gadījumi} ]

Piemērs ( PageIndex {3} ): Apgriezto hiperbolisko funkciju diferencēšana

Novērtējiet šādus atvasinājumus:

  1. ( dfrac {d} {dx} ( sinh ^ {- 1} ( dfrac {x} {3})) )
  2. ( dfrac {d} {dx} ( tanh ^ {- 1} x) ^ 2 )

Risinājums

Izmantojot tabulas ( PageIndex {3} ) formulas un ķēdes kārtulu, iegūstam šādus rezultātus:

  1. ( dfrac {d} {dx} ( sinh ^ {- 1} ( dfrac {x} {3})) = dfrac {1} {3 sqrt {1+ dfrac {x ^ 2} { 9}}} = dfrac {1} { sqrt {9 + x ^ 2}} )
  2. ( dfrac {d} {dx} ( tanh ^ {- 1} x) ^ 2 = dfrac {2 (tanh ^ {- 1} x)} {1 − x ^ 2} )

Vingrinājums ( PageIndex {3} )

Novērtējiet šādus atvasinājumus:

  1. ( dfrac {d} {dx} (cosh ^ {- 1} (3x)) )
  2. ( dfrac {d} {dx} (coth ^ {- 1} x) ^ 3 )
Padoms

Izmantojiet tabulas ( PageIndex {3} ) formulas un pēc vajadzības lietojiet ķēdes kārtulu.

Atbilde a

[ dfrac {d} {dx} ( cosh ^ {- 1} (3x)) = dfrac {3} { sqrt {9x ^ 2−1}} nonumber ]

Atbilde b

[ dfrac {d} {dx} ( coth ^ {- 1} x) ^ 3 = dfrac {3 (coth ^ {- 1} x) ^ 2} {1 − x ^ 2} nonumber ]

Piemērs ( PageIndex {4} ): integrāļi, kas iesaistīti apgrieztās hiperboliskās funkcijās

Novērtējiet šādus integrālus:

  1. ( displaystyle int dfrac {1} { sqrt {4x ^ 2−1}} dx )
  2. ( displaystyle int dfrac {1} {2x sqrt {1−9x ^ 2}} dx )

Risinājums:

Mēs varam izmantot u aizstāšana abos gadījumos.

Ļaujiet (u = 2x ). Tad, (du = 2dx ), un mums ir

[ begin {align *} int dfrac {1} { sqrt {4x ^ 2−1}} dx & = int dfrac {1} {2 sqrt {u ^ 2−1}} du [5pt] & = dfrac {1} {2} cosh ^ {- 1} u + C [5pt] & = dfrac {1} {2} cosh ^ {- 1} (2x) + C. end {izlīdzināt *} ]

Ļaujiet (u = 3x. ) Tad (du = 3dx ) un iegūstam

[ begin {align *} int dfrac {1} {2x sqrt {1−9x ^ 2}} dx & = dfrac {1} {2} int dfrac {1} {u sqrt {1 −u ^ 2}} du [5pt] & = - dfrac {1} {2} text {sech} ^ {- 1} | u | + C [5pt] & = - dfrac {1 } {2} text {sech} ^ {- 1} | 3x | + C end {izlīdzināt *} ]

Vingrinājums ( PageIndex {4} )

Novērtējiet šādus integrālus:

  1. ( displaystyle int dfrac {1} { sqrt {x ^ 2−4}} dx, x> 2 )
  2. ( displaystyle int dfrac {1} { sqrt {1 − e ^ {2x}}} dx )
Padoms

Izmantojiet iepriekš minētās formulas un pēc vajadzības lietojiet u aizstāšanu.

Atbilde a

( displaystyle int dfrac {1} { sqrt {x ^ 2−4}} dx = cosh ^ {- 1} ( dfrac {x} {2}) + C )

Atbilde b

( displaystyle int dfrac {1} { sqrt {1 − e ^ {2x}}} dx = - text {sech} ^ {- 1} (e ^ x) + C )

Pieteikumi

Viena fiziska hiperbolisko funkciju izmantošana ietver kabeļu piekāršanu. Ja vienāda blīvuma kabelis ir piekārts starp diviem balstiem bez citas slodzes, izņemot savu svaru, kabelis veido līkni, ko sauc par a kontakttīkls. Augstsprieguma elektropārvades līnijas, ķēdes, kas karājas starp diviem stabiem, un zirnekļa tīkla pavedieni veido kontakttīklus. Šajā attēlā redzamas ķēdes, kas karājas pie stabu rindas.

Hiperboliskās funkcijas var izmantot kontakttīklu modelēšanai. Konkrēti, formas (y = acosh (x / a) ) funkcijas ir kontakttīkli. Attēlā ( PageIndex {4} ) parādīts diagramma (y = 2cosh (x / 2) ).

Piemērs ( PageIndex {5} ): kontakttīkla izmantošana kabeļa garuma noteikšanai

Pieņemsim, ka piekārtajam kabelim ir forma (10 ​​ cosh (x / 10) ) (- 15≤x≤15 ), kur (x ) mēra pēdās. Nosakiet kabeļa garumu (pēdās).

Risinājums

No 6.4. Sadaļas atgādiniet, ka loka garuma formula ir

[ underbrace { int ^ b_a sqrt {1+ [f ′ (x)] ^ 2} dx} _ { text {Loka garums}}. nonumber ]

Mums ir (f (x) = 10 cosh (x / 10) ), tātad (f '(x) = sinh (x / 10) ). Tad loka garums ir

[ int ^ b_a sqrt {1+ [f ′ (x)] ^ 2} dx = int ^ {15} _ {- 15} sqrt {1+ sinh ^ 2 left ( dfrac {x } {10} pa labi)} dx. nonumber ]

Tagad atcerieties to

[1+ sinh ^ 2x = cosh ^ 2x, nonumber ]

tātad mums ir

[ begin {izlīdzināt *} text {Loka garums} & = int ^ {15} _ {- 15} sqrt {1+ sinh ^ 2 left ( dfrac {x} {10} right) } dx [5pt] & = int ^ {15} _ {- 15} cosh left ( dfrac {x} {10} right) dx [5pt] & = left = 10 sinh left ( dfrac {x} {10} right) right | ^ {15} _ {- 15} = 10 left [ sinh left ( dfrac {3} {2} right) - sinh left (- dfrac {3} {2} right) right] = 20 sinh left ( dfrac {3} {2} right) [5pt] & ≈42.586 , ft. end {izlīdzināt *} ]

Vingrinājums ( PageIndex {5} ):

Pieņemsim, ka piekārtajam kabelim ir forma (15 cosh (x / 15) ) (- 20≤x≤20 ). Nosakiet kabeļa garumu (pēdās).

Atbilde

(52,95 pēdas)

Galvenie jēdzieni

  • Hiperboliskās funkcijas tiek definētas kā eksponenciālās funkcijas.
  • Terminālā diferenciācija dod diferenciācijas formulas hiperboliskajām funkcijām. Šīs diferenciācijas formulas savukārt rada integrācijas formulas.
  • Ar atbilstošiem diapazona ierobežojumiem visām hiperboliskajām funkcijām ir inversi.
  • Netiešā diferenciācija dod apgrieztās hiperboliskās funkcijas diferencēšanas formulas, kas savukārt rada integrācijas formulas.
  • Visizplatītākie hiperbolisko funkciju fiziskie pielietojumi ir aprēķini, iesaistot kontakttīklus.

Vārdnīca

kontakttīkls
līkne funkcijas (y = a cosh (x / a) ) formā ir kontakttīkls; vienāda blīvuma kabelis, kas piekārts starp diviem balstiem, iegūst kontakttīkla formu

Atbalstītāji

  • Gilberts Strangs (MIT) un Edvīns “Džeds” Hermans (Hārvijs Muds) ar daudziem līdzautoriem. Šis OpenStax saturs ir licencēts ar CC-BY-SA-NC 4.0 licenci. Lejupielādējiet bez maksas vietnē http://cnx.org.


Tātad jūs zināt, kā $ sin $ un $ cos $ saista taisnstūra trijstūru sānu garumus vienības aplī ar iekšējo leņķi? Nu, $ sinh $ un $ cosh $ dara to pašu, bet tā vietā, lai būtu taisnstūra trīsstūris, kas atrodas uz vienības apļa, mēs gulējam uz vienības hiperbola.

Apļa vienības vienādojums ir,

Lai gan vienības hiperbola vienādojums ir,

The kontakttīkls (vai šainete) ir līknes forma, kuru zem sava svara ir pieņēmusi piekārta ķēde vai troses ar diviem galiem. Tā notiek, ka tās vienādojums ir $ y = a cosh frac xa $, kur konstante $ a $ ir atkarīga no fiziskajiem parametriem (sprieguma un masas uz garuma vienību). To izmanto arhitektūrā un inženierzinātnēs arkām, tiltiem utt.

Jūs atradīsit arī atvasinātu līkni izlaižamās virves formā.

The apgriezties hiperboliskās funkcijas ir īpaši noderīgas integrācijā, piemēram, risinot pozitīvas kvadrātiskās funkcijas kvadrātsakņu iekšienē. Lai gan šādus integrāļus var veikt ar trig funkcijām, hiperbolisko funkciju izmantošana tos padara daudz vienkāršākus.

Atrodiet $ int sqrtpiemēram, dx $

Hiperboliskās funkcijas $ sinh $ un $ cosh $ parametrizē hiperbolu $ x ^ 2-y ^ 2 = 1 $, jo $ $ cosh ^ 2 t- sinh ^ 2 t = 1 $ visiem $ t in mathbb$.

Katru reālo funkciju var unikāli attēlot ar pāra un nepāra funkcijas summu. $ f (x) = frac<2> + frac<2> $ Tagad ievietosim $ f (x) = e ^ x $.


Hiperbolisko funkciju atvasinājumi

Zemāk esošais sīklietotne parāda šo funkciju grafikus un to atvasinājumus.

Šī ierīce nevar parādīt Java animācijas. Iepriekš ir statiska attēla aizstājējs
Lietošanas instrukcijas skatiet Par aprēķina sīklietotnēm.

Iepriekš minētajā sīklietotnē augšpusē ir nolaižama izvēlne, lai izvēlētos, kuru funkciju vēlaties izpētīt. Atlasītā funkcija ir uzzīmēta kreisajā logā un tās atvasinājums pa labi.


Pirmā lieta, kas jums jāpatur prātā, ir tas, ka reālā mainīgā reālajām funkcijām visu, ko varat darīt ar hiperboliskām funkcijām, varat darīt arī citos veidos. Jo īpaši integrālu, ko var izstrādāt ar hiperbolisku aizstājēju, var izstrādāt arī ar trigonometrisku aizstāšanu. Tomēr taisnība, ka starp apļiem un trigonometriskām funkcijām, kā arī hiperbolām un hiperboliskām funkcijām ir daži analogi, par kuriem jums vajadzētu izlasīt Wikipedia rakstu par hiperboliskām funkcijām. Bet reālā aina nonāk uzmanības centrā tikai tad, kad jūs zināt par reālām un sarežģītām jaudas sērijām un saprotat $ e ^ = cos ( theta) + isin ( theta) $. Nomainiet $ theta $ ar $ - theta $ un atrisiniet $ cos ( theta) $ un $ sin ( theta) $. Tātad hiperboliskās funkcijas ir tikai neliela interese par reālu aprēķinu, bet ir vitāli svarīgas sarežģītai analīzei.

Mana paša atbilde uz šādu jautājumu ir teikt, ka tāpat kā parastajām trigonometriskajām funkcijām ir nozīme sfēriskajā trigonometrijā, tāpat hiperboliskajām funkcijām ir nozīme hiperboliskajā ģeometrijā. Piemēram, Pitagora teorēma uz sfēras virsmas ir $ cos c = cos a cos b $, kur $ a $ un $ b $ ir taisnās sfēriskās trīsstūra kājas garumi un $ c $ ir hipotenūzes garums. Hiperboliskajā plaknē Pitagora atbilstošā forma ir $ cosh c = cosh a cosh b $.

Diez vai vissvarīgākais fakts par hiperboliskajām funkcijām, bet tas parāda paralēli apļveida funkcijām.


Koordinētais aprēķins

Kāda veida funkcija raksturo līnijas, kas karājas starp diviem stabiem, uzvedību?

Kādas ir funkcijas īpašības, kuras var izmantot, lai aprakstītu līnijas uzvedību starp diviem poliem?

Kāds ir funkcijas atvasinājums, ko var izmantot, lai aprakstītu līnijas uzvedību starp diviem poliem?

Ir svarīga funkciju klase, kas parādās daudzās reālās situācijās: tā sauktās. Hiperboliskās funkcijas var izmantot, lai aprakstītu elektrisko līniju formu, kas brīvi karājas starp diviem stabiem, vai jebkuru idealizētu piekaramo ķēdi vai kabeli, kas atbalstīts tikai tā galos un karājas zem sava svara. Hiperboliskās funkcijas var izmantot arī, lai aprakstītu kosmosa kuģa ceļu, veicot gravitācijas šāvienu manevru.

2.95. Attēls. Brīvi piekārti elektrības kabeļi var veidot kontakttīklu.

Apakšnodaļa Hiperboliskās trigonometriskās funkcijas

Ir divas hiperboliskās trigonometriskās pamatfunkcijas: ( ( sinh )) un ( ( cosh )). Šīs funkcijas ir definētas, ņemot vērā funkcijas (e ^ x ) un (e ^ <-x> text <.> ) Hiperboliskā sinusa un hiperboliskā kosinusa grafiki ir doti zemāk 2.96. Attēlā.

Hiperboliskās funkcijas

2.97. Piemērs

Kabelis, kas karājas starp diviem balstiem, veidos hiperboliska kosinusa formu. Jo īpaši formula

kur (T ) ir spriegums zemākajā punktā un (w ) ir kabeļa svars uz garuma vienību, tad, ja to novērtē ar (x = 0 text <.> ), tiks iegūts kopējais kabeļa sagriezums. Mēs varam aprēķināt kopējo spriegumu elektrolīnijā, kas karājas starp diviem stabiem, kas atrodas 400 pēdu attālumā viens no otra, kur masa uz garuma vienību ir (50 ) lb / pēdas un spriegums zemākajā punktā ir (2025 ) mārciņas. Konkrēti, kopējo sag

Papildus hiperboliskajam sinusam un kosinusam ir arī funkcija, kas ir definēta tā, kā jūs varētu sagaidīt.

Hiperboliskais tangents

Apakšsadaļas identitātes un rekvizīti

Līdzīgi kā parastajām trigonometriskajām funkcijām, hiperboliskajām trigonometriskajām funkcijām ir vairākas svarīgas īpašības. Lai gan mēs nepievērsīsim laiku, lai tieši parādītu, ka šīs īpašības ir derīgas, mēs mudinām lasītāju apstiprināt šīs īpašības, izmantojot formulas un pārbaudot grafikus, kas parādīti iepriekš 2.96. Attēlā.

Hiperbolisko funkciju īpašības

Ir arī lietderīgi apspriest hiperbolisko trigonometrisko funkciju ilgtermiņa uzvedību. Arī iepriekš 2.96. Attēla pārbaude liecina, ka kā (x rightarrow infty text <,> ) ( cosh (x) ) grafiks atgādina ( frac12e ^ x text ) Līdzīgi šķiet, ka kā (x rightarrow- infty text <,> ) ( cosh (x) ) diagramma atgādina ( frac12e ^ <-x> diagrammu text <.> ) Šī darbība ir sīkāk izskaidrota, izmantojot ( cosh (x) ) un ( sinh (x) ) formulas un faktus, kas (e ^ <-x> rightarrow0 ) kā (x rightarrow infty text <,> ) un (e ^ rightarrow0 ) kā (x rightarrow- infty text <.> )

Atgādināsim, ka trigera funkcijas tika noteiktas vienības lokā, dodot mums Pitagora identitāti: ja mēs iestatīsim (x = cos ( theta) ) un (y = sin ( theta) text <,> ), tad punkts ((x, y) ) atrodas uz vienības apļa, un mums ir

Faktiski līdzīga identitāte ir hiperboliskām trigonometriskām funkcijām.

Hiperboliska identitāte

Šī identitāte parāda, kā hiperboliskās funkcijas ieguva savu vārdu. Pieņemsim, ka ((x, y) ) ir punkts plaknē un (x = cosh theta ) un (y = sinh theta ) dažiem ( theta text <.> ) Tad punkts ((x, y) ) atrodas uz hiperbola (x ^ 2-y ^ 2 = 1 teksts <.> )

Hiperbolisko funkciju apakšsadaļas atvasinājumi

Tagad mēs turpinām aprēķināt katras hiperboliskās funkcijas atvasinājumus.

2.98. Piemērs

Aprēķiniet atvasinājumus

Hiperbolisko trigonometrisko funkciju atvasinājumi

Hiperboliskās trigonometrijas apakšsadaļas lietojumi

Uzņēmums vēlas uzbūvēt piekaramo tiltu, kas stiepjas starp basketbola arēnu un beisbola stadionu dzelzceļa līniju otrā pusē noteiktā pilsētā. Tilta centrālā daļa tiks piekārta starp diviem betona stabiem, kas atrodas 280 pēdu attālumā un 80 pēdu augstumā. Kabelim, kas tur tiltu, jābūt tieši 30 pēdas virs dzelzceļa sliedēm tilta vidū, t.i., tas nokarājas tieši 50 pēdas.

1691. gadā Gotfrīds Leibnics un Kristians Huigenss noteica, ka jebkuram kabelim, kas karājas zem gravitācijas spēka, ir jābūt

Šī forma ir pazīstama kā a kontakttīkls. Parametrs (a ) ir kabeļa sprieguma un kabeļa blīvuma attiecība. Vienīgais parametrs (b ) tiek izmantots, lai vajadzības gadījumā nodrošinātu vertikālu nobīdi.

Mēs varam uzdot divus svarīgus jautājumus. Pirmkārt, kādām vērtībām jābūt (a ) un (b ), lai kontakttīkls atbilstu ierobežojumiem, ko nodrošina betona stabu izvietojums un kabeļa zemākais punkts?

Lai atrastu (a ) un (b ), mums jāatrisina divi atsevišķi vienādojumi. Mēs zinām, ka (y (0) = 30 ), lai nodrošinātu pietiekamu atstarpi virs dzelzceļa sliedēm. Mēs arī zinām, ka (y (140) = 80 ), jo kabelis piestiprinās 80 pēdu augstam stabam 140 pēdas no zemākā punkta (centra). Tāpēc mums ir

Izmantojot (a apm. 203,82 ) vērtību kopā ar (30 = a + b ), mums ir (b = -173,82 text <.> ). Tāpēc tilta augstumu var modelēt ar vienādojums

Apakšsadaļas kopsavilkums

Hiperboliskās funkcijas ir noderīgas, lai modelētu kabeļa formu, kas karājas starp diviem stabiem.

Hiperboliskās funkcijas ir definētas kā eksponenciālās pamatfunkcijas:

Hiperboliskais sinusīns un hiperboliskais kosinuss apmierina identitāti, kas līdzīga Pitagora identitātei: ( cosh ^ 2 (x) - sinh ^ 2 (x) = 1 ) jebkuram reālam skaitlim (x text <.> )

Hiperbolisko funkciju atvasinājumi atgādina arī parastos trigonometriskos atvasinājumus:


1.7: Hiperbolisko funkciju aprēķins - matemātika

173. matemātika: I aprēķins 2015. gada pavasaris
CRN 395 02. sadaļa

Grafiks: MWRF 13: 00-13: 50
Atrašanās vieta: Ficelas zāle 207
Teksts: Rēķins Agrīnie pārpasaulīgie, autors Stjuarts (7. izdevums).

Profesors: Džonatans Brauns
Birojs: Ficelas zāle 260
E-pasts: [email protected]
Tālrunis: 436-3720
Darba laiks: Pirmdien 11: 00-12: 00, ceturtdien 2: 00-3: 00, piektdien 11: 00-12: 00, vai pēc pieraksta
Kursa vietne: http://employees.oneonta.edu/brownjs/s15/173

Kataloga apraksts: MATH 173 un 174 veido pirmās divas trešdaļas no standarta 12 kredītu aprēķina secības 173-174-276. Tēmas ietver funkcijas un to grafikus, robežas, diferenciāciju, integrāciju, elementāro funkciju atvasinājumus un integrālus, polārās koordinātas, parametru vienādojumus, bezgalīgas sērijas.

Priekšnosacījums: Pass Math 105 ar a C vai labāk.

Kursa mērķi un mērķi: Matemātika 173 sniedz ievadu viena mainīgā aprēķinam. Kursam ir divi galvenie mērķi:
(1) Analizēt viena mainīgā polinomas un transcendentālās funkcijas attiecībā uz robežu esamību, nepārtrauktību un atšķirīgumu.
(2) Lai parādītu sapratni par atvasinājuma un integrāļa izmantošanu maksimuma un minimuma punktos, palielinošām un samazinošām funkcijām, ieliekumu, vidējās vērtības teorēmu, nulles novērtēšanu transcendentālajām un polinomālajām funkcijām, saistītajiem ātrumiem, ātrumu un paātrinājumu piemērojot pamatrēķina teorēmu un aprēķinot laukumus un apjomus.

Kursa saturs: Mēs aplūkosim 2. nodaļu (Limiti), 3. nodaļu (Atvasinājumi), 4. nodaļu (Atvasinājumu pielietošana) un 5. nodaļu (Integrācija).

SUNY mācību rezultāti:
Studenti parādīs prasmi šādās kvantitatīvās spriešanas prasmēs: aritmētikā, algebrā, ģeometrijā, datu analīzē un kvantitatīvā pamatojumā.

1. mācību rezultāts: Studenti parādīs spēju interpretēt un izdarīt secinājumus no matemātiskiem modeļiem, piemēram, formulām, grafikiem, tabulām un shēmām.

2. mācību rezultāts: Studenti demonstrēs spēju simboliski, vizuāli, skaitliski un mutiski attēlot matemātisko informāciju.

3. mācību rezultāts: Studenti parādīs prasmi problēmu risināšanai izmantot tādas kvantitatīvas metodes kā aritmētika, algebra, ģeometrija vai statistika.

4. mācību rezultāts: Studenti parādīs spēju novērtēt un pārbaudīt matemātisko rezultātu pamatotību.

5. mācību rezultāts: Studenti parādīs spēju atpazīt matemātisko un statistisko metožu robežas.

Novērtējumi:
Mājas darbs: 10%
Viktorīnas: 15%
3 klases eksāmenos: katrs 15%
Fināls: 30%

Jūsu burtu pakāpe tiks noteikta pēc šādas heiristikas:
A: 93 - 100
A-: 90 - 92,99
B +: 87 - 89,99
B: 83 - 86,99
B-: 80 - 82,99
C +: 77 - 79,99
C: 73 - 76,99
C-: 70 - 72,99
D +: 67 - 69,99
D: 63 - 66,99
D-: 60 - 62,99
E: 0 - 59,99

Viktorīnas: Nodarbības pēdējās 10 minūtēs lielākajā daļā piektdienu notiks viktorīna. Es atmetīšu jūsu zemāko viktorīnas punktu skaitu.

Mājasdarbs: Katru nedēļu es piešķiršu divu veidu mājas darbus: praktiskās problēmas no teksta un WeBWork problēmas. Šī kursa saiti uz WebWork vietni var atrast kursa vietnē. Par WeBWork problēmām jūs sniegsit atbildes WeBWork vietnē, un jūsu darbs tiks automātiski novērtēts.

Prakses problēmas radīsies no teksta, un tās netiks apkopotas vai vērtētas. Prakses problēmu saraksts ir atrodams zemāk. Ņemiet vērā, ka nepāra skaitļa problēmām ir atbildes grāmatas aizmugurē. Ir svarīgi, lai šīs problēmas tiktu veiktas papildus WeBWork problēmām. Mācīšanās, attīstība un izaugsme prasa laiku un ilgstošas ​​pūles. Lielākā daļa no zināšanām un prasmēm, ko iegūsiet šajā kursā, iegūs no laika, ko pavadīsit ar šīm problēmām. Turklāt viktorīnas problēmas bieži līdzinās (vai pat tiks kopētas) problēmas no teksta.

Provizorisko eksāmenu grafiks:
1. eksāmens: 2/20
2. eksāmens: 3/27
3. eksāmens: 4/24

Gala eksāmens:
Gala eksāmens notiks piektdien, 8. maijā, pulksten 14:00 - 16:30.
Gala eksāmens ir kumulatīvs.

Kalkulatori: Kaut arī kalkulatori laiku pa laikam var būt noderīgi, veicot mājasdarbus, tie ir atļauts izmantot viktorīnu un eksāmenu laikā (ja vien jums nav studentu invaliditātes dienestu piezīmes).

Apmeklēšanas politika: Klases trūkums ir ļoti slikta ideja. Ikviens, kurš nokavējis vairāk nekā 25% nodarbību, sākot ar 2. nedēļu, var tikt noņemts no kursa.

Palīdzības saņemšana
Paredzams, ka jūs pavadīsit 6 līdz 12 stundas nedēļā ārpus klases uz materiāla. Laiks, kas nepieciešams, lai nokārtotu vai iegūtu gaidīto atzīmi, ir ļoti atkarīgs no cilvēka uz cilvēku. Parasti studentam, kurš ārpus stundas pavada mazāk nekā 6 stundas nedēļā, vajadzētu sagaidīt, ka nopelnīs "C" vai sliktāk.

Ja jūs cīnāties ar materiālu, ņemiet vērā, ka jums ir iespējas:
(1) Cīnieties mazliet. Daļa no mācību procesa ir iekšēja cīņa, cenšoties saprast, kā visi gabali sader kopā. Tas var būt nomākta, bet tas var būt arī noderīgs. Ja jūs gūstat panākumus, lai arī cik lēni, tad tas ir labi pavadīts laiks. Ja jums šķiet, ka jūsu laiks nav produktīvs, jums jārunā ar mani vai citiem studentiem par to, kā labāk izmantot mācību laiku.
(2) Apmeklējiet manu darba laiku. Tas ir daļa no mana darba lai būtu pieejama materiāla izpratnē. Klasē nav pietiekami daudz laika, lai visu dabūtu cauri, un nav paredzēts, ka jūs to visu izdarīsit pats.
(3) Atrodiet alternatīvus mācību materiālus tiešsaistē. Dažādiem cilvēkiem ir atšķirīgs stils, un, lai arī jūs, iespējams, esat atradis mulsinošu veidu, kā kaut ko apspriest, tur var būt kāds cits, kurš to var apspriest prom, kas jums ir jēga. Tiešsaistē ir pieejamas vairākas bezmaksas mācību grāmatas, nodarbības un video lekcijas. Jautājiet man brīvi par citiem avotiem.
(4) Apmeklējiet pasniedzējus CADE. Viņiem ir samazinājies šī kursa apmācību skaits 3 naktis nedēļā.
(5) Runājiet ar saviem studentiem, kuri mācās vai ir apmeklējuši klasi. Mācīšanās ir sabiedriska darbība, no kuras nav paredzēts, ka jūs to visu darīsit pats.
(6) Ja, izmantojot iepriekš minētās iespējas, jūs joprojām atklājat, ka regulāri cenšaties saprast materiālu, atrodiet parastu pasniedzēju. Ja jūs nonākat šajā situācijā, jums, visticamāk, būs jāpavada ievērojams papildu laiks materiālam, lai nodrošinātu sekmīgu atzīmi.

ADA (Amerikas invalīdu likums): Studenti, kuriem diagnosticēta invaliditāte, visas personas, kurām diagnosticēta invaliditāte, ir aizsargātas saskaņā ar Amerikas amerikāņu ar invaliditāti likumu un 1973. gada Rehabilitācijas likuma 504. pantu. Tādējādi jums var būt tiesības uz noteiktu izmitināšanu šajā klasē. Ja jums ir diagnosticēta invaliditāte, lūdzu, pierakstieties un norunājiet tikšanos ar Studentu invaliditātes dienestiem, Absolventu zāles 209, ext. 2137. Visiem studentiem ar nepieciešamo attaisnojošo dokumentāciju tiks nodrošinātas atbilstošas ​​naktsmītnes, kā noteiks SDS birojs.


1.7: Hiperbolisko funkciju aprēķins - matemātika

Matemātika 1000 ir ievads aprēķināšanā. Tas izstrādā svarīgus jēdzienus, piemēram, robežas, nepārtrauktību un atvasinājumus, izmantojot dažādas funkcijas: algebriskās, trigonometriskās, eksponenciālās un logaritmiskās funkcijas ir ļoti raksturīgas, savukārt tiek ieviestas apgrieztās trigonometriskās un hiperboliskās funkcijas. Kursa pamatā ir skaitļošanas pieeja, uzsvaru liekot uz tādām problēmām kā saistītie ātrumi, optimizācija, kinemātika un līknes skicēšana. Paredzams, ka studenti iekļūs matemātikā 1000, labi pārzinot algebru un trigonometriju, taču netiek pieņemts, ka viņiem būtu iepriekšēja pieredze ar aprēķiniem.

Šajā lapā jūs varēsiet lejupielādēt kursu izdales materiālus (ieskaitot uzdevumus, testus un risinājumus). Ja nodarbību grafikā rodas traucējumi, piemēram, laika apstākļu dēļ, jums jāpārbauda, ​​vai šajā lapā nav ziņu par mainītiem termiņiem un tamlīdzīgi. Šeit tiks publicēti arī kļūdu labojumi uzdevumos vai darblapās. lai gan es centīšos visu iespējamo neveidot!


Hiperbolisko trigonometrisko funkciju atvasinājumi

Lai arī daudzi cilvēki tās diskreditē, hiperboliskās trigera funkcijas faktiski var būt ļoti noderīgas. Tiesa, fiziskajā pasaulē ir daži izteikti hiperbolisku funkciju piemēri. Tomēr, izmantojot hiperboliskas funkcijas, eksponenciāli var likties rīkoties kā trigonometriskas funkcijas - analoģija, kas var sniegt daudz intuīcijas.

Jebkurā gadījumā mēs joprojām vēlamies uzzināt hiperbolisko funkciju atvasinājumus. Mēs atradīsim sinh un cosh atvasinājumus no to definīcijām eksponenciālu izteiksmē:

Labi, apskatīsim to. Šķiet, ka sinh un cosh atvasinājumi darbojas tāpat kā grēka un cos atvasinājumi, izņemot to, ka kaitinošās negatīvās zīmes ir izzudušas. (Atcerieties: Dxgrēks (x) = cos (x), Dxcos (x) = -sin (x)) Mēs varam atrast citu hiperbolisko trigeru funkciju atvasinājumus, izmantojot koeficientu likumu, ķēdes kārtulu un tikko atvasinātos atvasinājumus:

d dx tanh (x) & sp = & sp d dx sinh (x) cosh (x) & sp = & sp cosh ^ 2 ^ (x) & thinsp- & thinsp sinh ^ 2 ^ (x) cosh ^ 2 ^ (x) & sp = & sp 1 cosh ^ 2 ^ (x) & sp = & sp sech ^ 2 ^ (x)

d dx coth (x) & sp = & sp d dx cosh (x) sinh (x) & sp = & sp cosh ^ 2 ^ (x) & thinsp- & thinsp sinh ^ 2 ^ (x) sinh ^ 2 ^ (x) & sp = & sp - 1 sinh ^ 2 ^ (x) & sp = & sp - csch ^ 2 ^ (x)

d dx sech (x) & sp = & sp d dx (cosh x) ^ - 1 ^ & sp = & sp (-1) (cosh x) ^ - 2 ^ (sinh x) & sp = & sp - sech (x) tanh (x)

d dx csch (x) & sp = & sp d dx (sinh x) ^ - 1 ^ & sp = & sp (-1) (sinh x) ^ - 2 ^ (cosh x) & sp = & sp - csc (x) coth (x)

Tātad, tāpat kā ar sinh un cosh, arī citu hiperbolisko trig funkciju atvasinājumi ir ļoti līdzīgi parastajām trig funkcijām, ar dažām neatbilstībām pār negatīvām zīmēm. Tomēr esiet piesardzīgs - šīs negatīvās pazīmes var viegli izraisīt lielas kļūdas!

Daži piemēri:

Tas ir rezultāts, ko mēs sagaidām, jo ​​sinh ^ 2 ^ x & thinsp- & thinsp cosh ^ 2 ^ & sp = & sp 1


Kalkulators ļauj izmantot visvairāk hiperboliskas funkcijas, ir iespējams aprēķināt hiperbolisko kosinusu (atzīmēts ch vai cosh), hiperbolisko sinusu (atzīmēts sh vai sinh), hiperbolisko tangensu (atzīmēts th vai tanh) un hiperbolisko kotangentu (atzīmēts coth vai kotanh).

The hiperbolisks kotangents funkcija ir rakstīta coth, to nosaka šāda formula:

The hiperboliskā kotangenta kalkulators ļauj caur coth funkciju aprēķināt tiešsaistē hiperbolisks kotangents no numura.

Uz aprēķiniet hiperbolisko kotangentu numuru, ievadiet numuru un, lai lietotu coth funkciju. Priekš aprēķinot hiperbolisks kotangents no šī skaitļa 2 ievadiet coth ("2") vai tieši 2, ja poga coth jau parādās, tiek atgriezts rezultāts 1.03731472073.

    Hiperboliskā kotangenta robežas pastāv pie “-oo” (mīnus bezgalība) un “+ oo” (plus bezgalība): Hiperboliskās kotangentās funkcijas “-oo” robeža ir “-1”.
      "lim_ (x -> - oo) coth (x) = - 1"
      "lim_ (x -> + oo) coth (x) = 1"

    Sintakse:

    coth (x), kur x ir skaitlis.

    Dažreiz tiek izmantoti citi apzīmējumi: cotanh

    Piemēri:

    Atvasinātais hiperboliskais kotangents:

    Lai diferencētu funkcijas hiperbolisko kotangentu tiešsaistē, ir iespējams izmantot atvasinājumu kalkulatoru, kas ļauj aprēķināt hiperboliskās kotangenta funkcijas atvasinājumu

    Antidivatīvs hiperbolisks kotangents:

    Antidivatīvs kalkulators ļauj aprēķināt hiperboliskās kotangenta funkcijas antivielu.

    An coth (x) novēršanas līdzeklis is antiderivative_calculator(`"coth"(x)`)=`ln(sh(x))`

    Limit hyperbolic cotangent :

    The limit calculator allows the calculation of limits of the hyperbolic cotangent function.


    40 Advanced Calculus Calculators

    Riemann Sums

    As MathOpenRef.com explains, a Riemann sum is &ldquoa method for approximating the total area underneath a curve on a graph, otherwise known as an integral.&rdquo Below is a collection of resources to help you better understand Riemann sums.

    MathWorld.Wolfram.com's Riemann Sum – Input your data to see your Riemann Sum on a graph. Play around with the inputted data to see how the graph changes.

    EMathHelp.net's Riemann Sum – Easy to use and includes a step-by-step explanation with your results.

    IntMath.com's Riemann Sums Applet – Tutorial information is provided. Choose a function from the drop down menu to see how it appears on the graph. Adjust the sliders to see how the graphed Riemann Sum changes on the graph.

    Trapezoidal Rule

    MathWords.com explains that the trapezoidal rule is &ldquoa method for approximating a definite integral using linear approximations of f.&rdquo The tools below will help you learn how to use the trapezoidal rule.

    NastyAccident.com's Trapezoidal Rule – Follow the instructions to enter your data. Results include a step-by-step explanation.

    EMathHelp.net's Trapezoidal Rule – Provides a step-by-step explanation with your results.

    EasyCalculation.com's Trapezoidal Rule – Learn more about the trapezoidal rule from the provided tutorial information. Follow the instructions provided to ensure you enter your data correctly.

    Partial Fraction Decomposition

    As PurpleMath.com explains, partial fraction decomposition is &ldquothe process of starting with the simplified answer and taking it back apart, or &lsquodecomposing' the final expression into its initial polynomial fractions.&rdquo Below is a collection of resources to help you better understand partial fraction decomposition.

    WolframAlpha.com's Partial Fraction Decomposition – Simple and straightforward, just enter the numerator and denominator to get your result.

    Calc101.com's Step-by-Step Partial Fractions – Enter your expression (or use the example provided) and then a step-by-step explanation for finding the partial fraction will be provided.

    QuickMath.com's Partial Fractions – Quick and easy to use, just enter your function to find the partial fraction. A Basic and Advanced version are provided.

    Symbolab.com's Partial Fractions – Enter your expression or use one of the examples provided. A step-by-step explanation will be provided with the results.

    Inverse Functions

    As Wikipedia.org explains, an inverse function &ldquois a function that &lsquoreverses' another function.&rdquo Below is a collection of tools to help you strengthen your understanding of inverse functions.

    Symbolab.com's Inverse Function – Cleanly designed, easy to use, and provides a step-by-step explanation with results. Click &ldquoGraph&rdquo to see your inverse function on a graph.

    WolframAlpha.com's Inverse Function – Simple enough to illustrate the fundamentals, the results include your graphed inverse function.

    NumberEmpire.com's Inverse Function – Choose one of the four examples or enter your own function to get the inverse function.

    AnalyzeMath.com's Inverse Function – Click the &ldquoShow Me&rdquo button and this resource will guide you through the four-step process for finding the inverse function.

    CalculatorSoup.com's Inverse Function – Use the drop down menu to choose which function you'd like to find. Then, enter the value of &ldquox&rdquo to get your results.

    Keisan.Casio.com's Inverse Function – Enter the value of &ldquox&rdquo and the inverse hyperbolic functions will be provided.

    Gyplan.com's Inverse Function – Use the drop down menu to choose the type of inverse function you'd like to find and then enter the value of &ldquox&rdquo to get your results.

    Differential Equation

    As Wolfram MathWorld explains, a differential equation is &ldquoan equation that involves the derivatives of a function as well as the function itself.&rdquo Below are several tools to help you learn more about differential equations:

    WolframAlpha.com's Differential Equations – Use to solve several different kinds of differential equations. Results include the solution, plots of sample individual solutions, the graphed sample solution family, and more.

    Symbolab.com's Ordinary Differential Equations – Cleanly designed and easy to use, the results include a step-by-step explanation. Enter your own equation or experiment using the provided examples.

    MathScoop.com's Euler Method – Uses the Euler Method to solve your equation. The results include a Euler Table and a graph of the Euler points.

    Keisan.Casio.com's Euler's Method – The needed formula is included, and an Euler table is created with your results.

    Had2Know.com's Second Order Differential Equation Solver – Learn more about solving differential equations from the provided tutorial information and explained cases.

    Arc Length

    MathWords.com teaches that arc length is thelength of a curve or line. Below is a collection of resources to help you find arc length.

    1728.org's Arc Length – Choose what you'd like to solve for then enter your known values. Your result will be provided.

    HandyMath.com's Complete Circular Arc – Input two known values to find the radius, length, width, height, apothem, angle, and area of an arc or circle segment.

    AJDesigner.com's Circle Arc – A labeled circle diagram and the arc length formula are given. Enter the radius and central angle to get your result.

    WolframAlpha.com's Arc Length – This resource will perform several functions related to finding arc length, and it provides an example for each to help you get started.

    TutorVista.com's Arc Length – A step-by-step explanation for how to find the arc length and examples with explanations and results are provided.

    MathOpenRef.com's Interactive Arc Length – Drag point A or point B to see how the arc length adjusts.

    Flexibility.com's Arc Length – Choose which option to use for finding arc length based on your known values. A labeled circle diagram is given as a visual aid.

    PlanetCalc.com's Arc Length – A labeled circle diagram and formulas are provided. Enter the radius and angle to find the arc length and other properties, such as area, chord length, and perimeter.

    EasyCalculation.com's Arc Length – Enter your radius and angle and the arc length will be provided.

    Center of Mass

    MathWords.com provides the formulas for finding Center of Mass. Below is a collection of tools to help strengthen your understanding of center of mass.

    TutorVista.com's Center of Mass – Enter the &ldquodifferent value of masses&rdquo and the &ldquodistance of the respective masses&rdquo to find the center of mass.

    Calculator.Swiftutors.com's Center of Mass – Provides tutorial information, very uncomplicated and easy for any student to navigate.

    LearningAboutElectronics.com's Center of Mass – Tutorial information, a labeled diagram and instructions on using the tool are provided. Enter all known masses and their respective distances to find the center of mass.

    Sequences

    As Paul's Online Math Notes explains, a sequence is &ldquoa list of numbers written in a specific order.&rdquo The tool below will help you learn more about sequences:


    Skatīties video: LINEĀRA FUNKCIJA (Novembris 2021).