Raksti

3.5.: Nelineāro vienādojumu risinājumu esamība un unikalitāte - matemātika


Lai gan ir metodes, kā atrisināt dažus nelineārus vienādojumus, vairumam risinājumu nav iespējams atrast noderīgas formulas. Šajā sadaļā mēs nosakām šādu nosacījumu un ilustrējam to ar piemēriem.

Daži terminoloģija: an atvērts taisnstūris (R ) ir punktu kopums ((x, y) ) tāds, ka

[a

(Attēls ( PageIndex {1} ). Šo kopu apzīmēsim ar (R: {a

Nākamā teorēma dod pietiekamus nosacījumus sākotnējās vērtības problēmu risinājumu esamībai un unikalitātei pirmās kārtas nelineārajiem diferenciālvienādojumiem. Mēs izlaižam pierādījumus, kas ir ārpus šīs grāmatas darbības jomas.

Teorēma ( PageIndex {1} ): esamība un unikalitāte

  1. Ja (f ) ir nepārtraukts uz atvērta taisnstūra [R: {a
  2. Ja gan (f ), gan (f_y ) ir nepārtraukti ieslēgti (R ), tad vienādojumam ref {eq: 3.5.1} ir unikāls risinājums kādā atvērtā ((a, b) ) apakšintervālā. kas satur (x_0 )

Ir svarīgi precīzi saprast, ko saka teorēma ( PageIndex {1} ).

  • a) ir eksistences teorēma. Tas garantē, ka risinājums pastāv kādā atvērtā intervālā, kas satur (x_0 ), bet nesniedz informāciju par to, kā atrast risinājumu vai noteikt atvērto intervālu, kurā tas pastāv. Turklāt a) apakšpunktā nav sniegta informācija par risinājumu skaitu, kas varētu būt vienādojumam ref {eq: 3.5.1}. Tas atstāj iespēju, ka vienādojumam ref {eq: 3.5.1} var būt divi vai vairāki risinājumi, kas atšķiras ar (x ) vērtībām, kas patvaļīgi tuvu (x_0 ). Piemērā ( PageIndex {6} ) redzēsim, ka tas var notikt.

  • b) ir a unikalitātes teorēma. Tas garantē, ka vienādojumam ref {eq: 3.5.1} noteiktā atvērtā intervālā (a, b) ir unikāls risinājums, kas satur (x_0 ). Tomēr, ja ((a, b) ne (- infty, infty) ), vienādojumā ref {eq: 3.5.1} var būt vairāki risinājumi lielākos intervālos, kas satur ((a, b) ). Piemēram, var gadīties, ka (b < infty ) un visiem risinājumiem ir vienādas vērtības uz ((a, b) ), bet divi risinājumi (y_1 ) un (y_2 ) ir definēti daži intervāli ((a, b_1) ) ar (b_1> b ), un tiem ir atšķirīgas vērtības (b

[ label {eq: 3.5.2} y = f (x, y), quad y (b) = overline {y} ]

kas atšķiras katrā atvērtajā intervālā, kurā ir (b ). Tāpēc (f ) vai (f_y ) katrā atvērtajā taisnstūrī, kurā ir ((b, y) ), kādā brīdī jābūt nepārtrauktībai, jo, ja tas tā nebūtu, ref {eq: 3.5.2 } būtu unikāls risinājums dažos atvērtajos intervālos, kas satur (b ). Mēs atstājam jums sniegt līdzīgu analīzi par gadījumu, kad (a> −∞ ).

Piemērs ( PageIndex {1} )

Apsveriet sākotnējās vērtības problēmu

[ label {eq: 3.5.3} y '= {x ^ 2-y ^ 2 over 1 + x ^ 2 + y ^ 2}, quad y (x_0) = y_0. ]

Kopš

[f (x, y) = {x ^ 2-y ^ 2 virs 1 + x ^ 2 + y ^ 2} quad text {un} quad f_y (x, y) = - {2y (1 + 2x ^ 2) over (1 + x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2} nonumber ]

ir nepārtraukti visiem ((x, y) ), teorēma ( PageIndex {1} ) nozīmē, ka, ja ((x_0, y_0) ) ir patvaļīgs, tad vienādojums ref {eq: 3.5.3} ir unikāls risinājums kādā atvērtā intervālā, kurā ir (x_0 ).

Piemērs ( PageIndex {2} )

Apsveriet sākotnējās vērtības problēmu

[ label {eq: 3.5.4} y '= {x ^ 2-y ^ 2 over x ^ 2 + y ^ 2}, quad y (x_0) = y_0. ]

Šeit

[f (x, y) = {x ^ 2-y ^ 2 virs x ^ 2 + y ^ 2} quad text {un} quad f_y (x, y) = - {4x ^ 2y over (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2} skaitlis ]

ir nepārtraukti visur, izņemot ((0,0) ). Ja ((x_0, y_0) ne (0,0) ), ir atvērts taisnstūris (R ), kas satur ((x_0, y_0) ), kas nesatur ((0,0) ). Tā kā (f ) un (f_y ) ir nepārtraukti uz (R ), teorēma ( PageIndex {1} ) nozīmē, ka, ja ((x_0, y_0) ne (0,0) ) tad vienādojumam ref {eq: 3.5.4} ir unikāls risinājums dažos atvērtajos intervālos, kas satur (x_0 ).

Piemērs ( PageIndex {3} )

Apsveriet sākotnējās vērtības problēmu

[ label {eq: 3.5.5} y '= {x + y over x-y}, quad y (x_0) = y_0. ]

Šeit

[f (x, y) = {x + y pār x-y} quad text {un} quad f_y (x, y) = {2x over (x-y) ^ 2} nonumber ]

ir nepārtraukti visur, izņemot līniju (y = x ). Ja (y_0 ne x_0 ), ir atvērts taisnstūris (R ), kas satur ((x_0, y_0) ), kas nekrustojas ar līniju (y = x ). Tā kā (f ) un (f_y ) ir nepārtraukti uz (R ), teorēma ( PageIndex {1} ) nozīmē, ka, ja (y_0 ne x_0 ), vienādojums ref {eq: 3.5 .5} ir unikāls risinājums dažos atvērtajos intervālos, kas satur (x_0 ).

Piemērs ( PageIndex {4} )

Piemērā 2.2.4 mēs redzējām, ka

[ label {eq: 3.5.6} y '= 2xy ^ 2 ]

ir

[y equiv0 quad text {un} quad y = - {1 over x ^ 2 + c}, nonumber ]

kur (c ) ir patvaļīga konstante. Tas jo īpaši nozīmē, ka neviens vienādojuma ref {eq: 3.5.6} risinājums, izņemot (y equiv0 ), nevar būt vienāds ar nulli jebkurai (x ) vērtībai. Parādiet, ka teorēma ( PageIndex {1b} ) to nozīmē.

Mēs iegūsim pretrunu, pieņemot, ka vienādojumam ref {eq: 3.5.6} ir risinājums (y_1 ), kas dažām (x ) vērtībām ir vienāds ar nulli, bet nav identiski nulle. Ja (y_1 ) ir šis rekvizīts, ir punkts (x_0 ), kas (y_1 (x_0) = 0 ), bet (y_1 (x) ne0 ) kādai vērtībai (x ) katrā atvērtajā intervālā, kurā ir (x_0 ). Tas nozīmē, ka sākotnējās vērtības problēma

[ label {eq: 3.5.7} y '= 2xy ^ 2, quad y (x_0) = 0 ]

ir divi risinājumi (y equiv0 ) un (y = y_1 ), kas atšķiras dažām (x ) vērtībām katrā atvērtajā intervālā, kurā ir (x_0 ). Tas ir pretrunā ar teorēmu ( PageIndex {1} ) (b), jo vienādojumā ref {eq: 3.5.6} funkcijas

[f (x, y) = 2xy ^ 2 quad text {un} quad f_y (x, y) = 4xy. nonumber ]

abi ir nepārtraukti visiem ((x, y) ), kas nozīmē, ka vienādojumam ref {eq: 3.5.7} ir unikāls risinājums kādā atvērtā intervālā, kurā ir (x_0 ).

Piemērs ( PageIndex {5} )

Apsveriet sākotnējās vērtības problēmu

[ label {eq: 3.5.8} y '= {10 virs 3} xy ^ {2/5}, quad y (x_0) = y_0. ]

  1. Kuriem punktiem ((x_0, y_0) ) teorēma ( PageIndex {1a} ) nozīmē, ka vienādojumam ref {eq: 3.5.8} ir risinājums?
  2. Kādiem punktiem ((x_0, y_0) ) teorēma ( PageIndex {1b} ) nozīmē, ka vienādojumam ref {eq: 3.5.8} ir unikāls risinājums kādā atvērtā intervālā, kurā ir (x_0 ) ?

Risinājums a

Kopš

[f (x, y) = {10 virs 3} xy ^ {2/5} nonumber ]

ir nepārtraukts visiem ((x, y) ), teorēma ( PageIndex {1} ) nozīmē, ka vienādojumam ref {eq: 3.5.8} ir risinājums katram ((x_0, y_0) ) .

Risinājums b

Šeit

[f_y (x, y) = {4 virs 3} xy ^ {- 3/5} nonumber ]

ir nepārtraukts visiem ((x, y) ) ar (y ne 0 ). Tāpēc, ja (y_0 ne0 ) ir atvērts taisnstūris, kurā gan (f ), gan (f_y ) ir nepārtraukti, un Theorem ( PageIndex {1} ) nozīmē, ka vienādojums ref {eq: 3.5.8} ir unikāls risinājums dažos atvērtajos intervālos, kas satur (x_0 ).

Ja (y = 0 ), tad (f_y (x, y) ) nav definēts un tāpēc ir pārtraukts; tāpēc teorēma ( PageIndex {1} ) neattiecas uz vienādojumu ref {eq: 3.5.8}, ja (y_0 = 0 ).

Piemērs ( PageIndex {6} )

Piemērs ( PageIndex {5} ) ļauj atvērt sākotnējās vērtības problēmu

[ label {eq: 3.5.9} y '= {10 virs 3} xy ^ {2/5}, quad y (0) = 0 ]

katrā atvērtajā intervālā ir vairāki risinājumi, kas satur (x_0 = 0 ). Parādiet, ka tā ir taisnība.

Risinājums

Pārbaudot, (y equiv0 ) ir diferenciālvienādojuma risinājums

[ label {eq: 3.5.10} y '= {10 virs 3} xy ^ {2/5}. ]

Tā kā (y equiv0 ) atbilst sākotnējam nosacījumam (y (0) = 0 ), tas ir vienādojuma ref {eq: 3.5.9} risinājums.

Tagad pieņemsim, ka (y ) ir vienādojuma ref {eq: 3.5.10} risinājums, kas nav identiski nulle. Atdalot mainīgos vienādojumā ref {eq: 3.5.10}, iegūst

[y ^ {- 2/5} y '= {10 vairāk nekā 3} x skaitlis ]

jebkurā atvērtajā intervālā, kur (y ) nav nulles. To integrējot un patvaļīgo konstanti pārrakstot, iegūstot (5c / 3 )

[{5 over 3} y ^ {3/5} = {5 over 3} (x ^ 2 + c). nonumber ]

Tāpēc

[ label {eq: 3.5.11} y = (x ^ 2 + c) ^ {5/3}. ]

Tā kā mēs dalījāmies ar (y ), lai atdalītu mainīgos vienādojumā ref {eq: 3.5.10}, mūsu vienādojuma ref {eq: 3.5.11} atvasinājums ir likumīgs tikai ar atvērtiem intervāliem, kur (y ) ir nav nulles. Tomēr vienādojums ref {eq: 3.5.11} faktiski definē (y ) visiem (x ), un diferencējot vienādojumu ref {eq: 3.5.11}, redzams, ka

[ begin {aligned} y '= {10 over 3} x (x ^ 2 + c) ^ {2/3} = {10 over 3} xy ^ {2/5}, , - infty end {izlīdzināts} ]

Tāpēc vienādojums ref {eq: 3.5.11} apmierina vienādojumu ref {eq: 3.5.10} vietnē ((- infty, infty) ) pat tad, ja (c le 0 ), lai ( y ( sqrt {| c |}) = y (- sqrt {| c |}) = 0 ). Konkrēti, iegūstot (c = 0 ) vienādojumā ref {eq: 3.5.11}, iegūst

[y = x ^ {10/3} nonumber ]

kā vienādojuma ref {eq: 3.5.9} otro risinājumu. Abi risinājumi ir definēti uz ((- infty, infty) ), un tie atšķiras katrā atvērtajā intervālā, kurā ir (x_0 = 0 ) (attēls ( PageIndex {2} )). Patiesībā ir četri atšķirīgi vienādojuma ref {eq: 3.5.9} risinājumi, kas definēti uz ((- - infty, infty) ), kas atšķiras viens no otra katrā atvērtajā intervālā, kurā ir (x_0 = 0 ). Vai jūs varat noteikt pārējos divus?

Piemērs ( PageIndex {7} )

Sākotnējās vērtības problēma no piemēra ( PageIndex {5} )

[ label {eq: 3.5.12} y '= {10 virs 3} xy ^ {2/5}, quad y (0) = - 1 ]

ir unikāls risinājums kādā atvērtā intervālā, kurā ir (x_0 = 0 ). Atrodiet risinājumu un nosakiet lielāko atvērto intervālu ((a, b) ), kurā tas ir unikāls.

Risinājums

Ļaujiet (y ) būt jebkuram vienādojuma ref {eq: 3.5.12} risinājumam. Sākotnējā nosacījuma (y (0) = - 1 ) un (y ) nepārtrauktības dēļ pastāv atvērts intervāls (I ), kas satur (x_0 = 0 ), uz kura (y ) nav nulles un līdz ar to ir formas vienādojums ref {eq: 3.5.11}. Iestatot (x = 0 ) un (y = -1 ) vienādojumā ref {eq: 3.5.11}, iegūst (c = -1 ), tātad

[ label {eq: 3.5.13} y = (x ^ 2-1) ^ {5/3} ]

par (x ) iekš (I ). Tāpēc katrs vienādojuma ref {eq: 3.5.12} risinājums atšķiras no nulles un tiek dots ar ((- 1,1) ) vienādojumu ref {eq: 3.5.13}; tas ir, vienādojums ref {eq: 3.5.13} ir vienādojums ref {eq: 3.5.12} vienādojumā ((- 1,1) ). Šis ir lielākais atvērtais intervāls, kurā vienādojumam ref {eq: 3.5.12} ir unikāls risinājums. Lai to redzētu, ņemiet vērā, ka vienādojums ref {eq: 3.5.13} ir vienādojuma ref {eq: 3.5.12} risinājums vietnē ((- - infty, infty) ). No 2.2.15. Uzdevums, ir bezgalīgi daudz citu vienādojuma ref {eq: 3.5.12} risinājumu, kas atšķiras no vienādojuma ref {eq: 3.5.13} katrā atvērtajā intervālā, kas lielāks par ((- 1,1) ). Viens no šādiem risinājumiem ir

[y = pa kreisi { sākas {masīvs} {cl} (x ^ 2-1) ^ {5/3}, & -1 le x le 1, [6pt] 0 un | x |> 1. end {array} right. nonumber ]

Piemērs ( PageIndex {8} )

Sākotnējās vērtības problēma no piemēra ( PageIndex {5} ))

[ label {eq: 3.5.14} y '= {10 virs 3} xy ^ {2/5}, quad y (0) = 1 ]

ir unikāls risinājums kādā atvērtā intervālā, kurā ir (x_0 = 0 ). Atrodiet risinājumu un nosakiet lielāko atvērto intervālu, kurā tas ir unikāls.

Risinājums

Ļaujiet (y ) būt jebkuram vienādojuma ref {eq: 3.5.14} risinājumam. Sākotnējā nosacījuma (y (0) = 1 ) un (y ) nepārtrauktības dēļ pastāv atvērts intervāls (I ), kas satur (x_0 = 0 ), uz kura (y ) nav nulles, un līdz ar to ir vienādojuma ref {eq: 3.5.11} formā. Iestatot (x = 0 ) un (y = 1 ) vienādojumā ref {eq: 3.5.11} iegūst (c = 1 ), tātad

[ label {eq: 3.5.15} y = (x ^ 2 + 1) ^ {5/3} ]

par (x ) iekš (I ). Tāpēc katrs vienādojuma ref {eq: 3.5.14} risinājums atšķiras no nulles un tiek dots ar ((- infty, infty) ) vienādojumu ref {eq: 3.5.15}; tas ir, vienādojums ref {eq: 3.5.15} ir unikāls vienādojuma ref {eq: 3.5.14} risinājums vietnē ((- - infty, infty) ). Attēlā ( PageIndex {4} )) parādīts šī risinājuma grafiks.


Skatīties video: Lineāra funkcija un tās īpašības (Novembris 2021).