Raksti

9.1: Poļi un nulles


Mēs atgādinām jums par šādu terminoloģiju: Pieņemsim, ka (f (z) ) ir analītisks pie (z_0 ) un

[f (z) = a_n (z - z_0) ^ n + a_ {n + 1} (z - z_0) ^ {n + 1} + ..., ]

ar (a_n ne 0 ). Tad mēs sakām, ka (f ) ir nulle ar (n_) pie (z_0 ). Ja (n = 1 ) mēs sakām, ka (z_0 ) ir vienkārša nulle.

Pieņemsim, ka (f ) ir izolēta sigularitāte pie (z_0 ) un Lorāna sērijām

[f (z) = dfrac {b_n} {(z - z_0) ^ n} + dfrac {b_ {n - 1}} {(z - z_0) ^ {n - 1}} + ... + dfrac {b_1} {z - z_0} + a_0 + a_1 (z - z_0) + ... ]

kas saplūst uz (0 <| z - z_0 |

8. tēmas piezīmēs ir vairāki piemēri. Šeit ir vēl viens

Piemērs ( PageIndex {1} )

[f (z) = dfrac {z + 1} {z ^ 3 (z ^ 2 + 1)} skaitlis ]

ir atsevišķas īpatnības pie (z = 0 ), ( pm i ) un nulle pie (z = -1 ). Mēs parādīsim, ka (z = 0 ) ir 3. kārtas pols, (z = pm i ) ir 1. kārtas stabi un (z = -1 ) ir 1. kārtas nulle. Stils arguments katrā gadījumā ir vienāds.

Pie (z = 0 ):

[f (z) = dfrac {1} {z ^ 3} cdot dfrac {z + 1} {z ^ 2 + 1}. nonumber ]

Izsauciet otro koeficientu (g (z) ). Tā kā (g (z) ) ir analītisks pie (z = 0 ) un (g (0) = 1 ), tam ir Teilora sērija

[g (z) = dfrac {z + 1} {z ^ 2 + 1} = 1 + a_1 z + a_2 z ^ 2 + ... nonumber ]

Tāpēc

[f (z) = dfrac {1} {z ^ 3} + dfrac {a_1} {z ^ 2} + dfrac {a_2} {z} + ... nonumber ]

Tas parāda, ka (z = 0 ) ir 3. kārtas stabs.

Pie (z = i ): (f (z) = dfrac {1} {z - i} cdot dfrac {z + 1} {z ^ 3 (z + i)} ). Izsauciet otro koeficientu (g (z) ). Tā kā (g (z) ) ir analītisks pie (z = i ), tam ir Teilora sērija

[g (z) = dfrac {z + 1} {z ^ 3 (z + i)} = a_0 + a_1 (z - i) + a_2 (z - i) ^ 2 + ... nonumber ]

kur (a_0 = g (i) ne 0 ). Tāpēc

[f (z) = dfrac {a_0} {z - i} + a_1 + a_2 (z - i) + ... nonumber ]

Tas parāda, ka (z = i ) ir 1. kārtas stabs.

(Z = -i ) un (z = -1 ) argumenti ir līdzīgi.


9.1: Poļi un nulles

    To var uzskatīt par divu nulļu filtru sekciju, kam seko virkne divu polu filtra sekcijas.

Tas ir ļoti noderīgs tiešās formas I ieviešanas īpašums, ka tas nevar iekšēji pārplūst divu papildinātu fiksēto punktu aritmētikā: kamēr izejas signāls ir diapazonā, filtrā nebūs skaitliskas pārpildes. Lielākajai daļai IIR filtru ieviešanas šo īpašību nav. Lai gan DF-I ir imūna pret iekšēju pārplūdi, nevajadzētu secināt, ka tā vienmēr ir labākā ieviešanas izvēle. Citas izskatāmās formas ietver paralēlas un sērijiskas otrās kārtas sadaļas (& # 1679.2 zemāk) un normalizētas kāpņu formas [32,48,86]. 10.2. Mēs redzēsim, ka transponētā tiešā forma II (9.4. Attēls zemāk) ir arī spēcīgs sāncensis.

Divu papildinājums aptin

Šajā sadaļā mēs sniedzam piemēru, parādot, kā īslaicīga divu komplementa fiksētā punkta pārpilde nerada sliktas sekas.

3 bitu parakstītu fiksēto punktu aritmētikā pieejamie skaitļi ir tādi, kā parādīts 9.1. Tabulā.

Veiksim summu , kas rada īslaicīgu pārplūdi (, kas apvij līdz ), bet gala rezultāts (), kas ir atļautajā diapazonā : 10.3


Tagad darīsim trīs bitu divu papildinājumā:


Abos piemēros starpprodukts pārplūst, bet gala rezultāts ir pareizs. Vēl viens veids, kā paziņot par notikušo, ir tas, ka pozitīvo iesaiņojumu pirmajā papildinājumā atceļ negatīvais aptinums otrajā papildinājumā.


Coral Endurance teleskopiskais pagarinātājs ar jaunāko Flip-Cam fiksatoru 0.9-1.8M / 3-6FT

Vai, strādājot ar grūti sasniedzamām vietām, jums ir nepieciešams pagarinātājs, lai stiprinātu uzticamu instrumentu pagarinājumu? Coral Endurance 0.9-1.8m pagarinātājs ir vienkāršāka izvēle ar spēcīgu berzes bloķēšanas mehānismu, kas ļauj bloķēt jebkurā pozīcijā (ne tikai pakāpeniski, piemēram, vecmodīgi stabi!) Un zīdainu teleskopisko mehānismu. Gludas pozitīvas bloķēšanas mehānisma dēļ jūs saņemsiet uzticamu bloķēšanu un ātras garuma izmaiņas. Tā rezultātā jūs būsiet pārliecināts par izturīgu stabu ar drošu slēdzeni! Izgatavots ar stiklplasta pastiprinātu rāmi ar neslīdošiem putu rokturiem, izturīgām flip-cam slēdzenēm un 3/4 "ACME vītņotu uzgali ar komplektā iekļautu adapteri stumjamiem rokturiem. Jūs saņemsiet 0,9-1,8 m (apm. 3-6 pēdu) pagarinājuma stabs. Neiztiekiet bez šī lieljaudas pagarinājuma statņa nākamajā projektā, kas strādā garumā. Pievienot grozam.

Priekšmeta nosaukums: Koraļļu izturības 0,9 - 1,8 m pagarinājuma stabs
Lietas numurs: 76702
Preces svītrkods: 5053521767025
Iekšējā iepakojuma daudzums: 0
Iekšējā iepakojuma svītrkods: 15053521767022
Ārējā iepakojuma daudzums: 10
Ārējā iepakojuma svītrkods: 25053521767029

Kļūdas un izlaidumi, izņemot (E & ampOE). Produkta iepakojumā un materiālā var būt vairāk un / vai atšķirīga informācija no vietnes, ieskaitot produkta aprakstu un citu informāciju. Pirms produkta lietošanas vienmēr izlasiet etiķetes, brīdinājumus, norādījumus un citu informāciju, kas pievienota produktam. Visi mērījumi ir aptuveni. Krāsas var atšķirties.

Ņemot vērā dažādos faktorus, kas var ietekmēt produkta lietošanu un veiktspēju, tikai lietotājs ir atbildīgs par produkta novērtēšanu un noteikšanu, vai tas ir piemērots konkrētam mērķim un piemērots lietotāja pielietošanas metodei.


Coral Shurglide teleskopiskais pagarinātājs ar jaunāko Flip-Cam fiksatoru 0.9-1.8M / 3-6FT

Ja meklējat pagarinātāju, Coral Shurglide 0,9-1,8 m pagarinātājs būtu vieglāka izvēle, ja jums ir nepieciešams zīda veida teleskopiskais mehānisms un novērtējat spēcīgu berzes bloķēšanas mehānismu, kas ļauj bloķēt jebkurā pozīcijā (ne tikai pakāpeniski) soli kā vecmodīgi stabi!). Ja vēlaties pārliecināties par izturīgu stabu ar drošu bloķēšanu, vienmērīgs pozitīvās bloķēšanas mehānisms nodrošinās uzticamu slēdzeni un ātri mainīs garumu. Izgatavots ar vieglu, izturīgu un pret rūsu izturīgu anodētu apakšstilbu ar neslīdošām putu satvērieniem, izturīgām flip-cam slēdzenēm un drupinātu 3/4 "ACME vītņotu uzgali ar komplektā iekļautu adapteri, kas paredzēts piespiešanai. saņem 0,9-1,8 m (apmēram 3-6 pēdas) pagarinājuma stabu. Neiztiek bez šī vieglā pagarinātāja nākamajā darba garumā projektā. Pievienot grozam.

Priekšmeta nosaukums: Coral Shurglide 0,9 - 1,8 m pagarinājuma stabs
Lietas numurs: 76502
Preces svītrkods: 5053521765021
Iekšējā iepakojuma daudzums: 0
Iekšējā iepakojuma svītrkods: 15053521765028
Ārējā iepakojuma daudzums: 10
Ārējā iepakojuma svītrkods: 25053521765025

Kļūdas un izlaidumi, izņemot (E & ampOE). Produkta iepakojumā un materiālā var būt vairāk un / vai atšķirīga informācija no vietnes, ieskaitot produkta aprakstu un citu informāciju. Pirms produkta lietošanas vienmēr izlasiet etiķetes, brīdinājumus, norādījumus un citu informāciju, kas pievienota produktam. Visi mērījumi ir aptuveni. Krāsas var atšķirties.

Ņemot vērā dažādos faktorus, kas var ietekmēt produkta lietošanu un veiktspēju, tikai lietotājs ir atbildīgs par produkta novērtēšanu un noteikšanu, vai tas ir piemērots konkrētam mērķim un piemērots lietotāja pielietošanas metodei.


Rezultāta argumenti

B, a & # 8212 Pārsūtīšanas funkcijas koeficienti rindu vektori

Filtra pārsūtīšanas funkciju koeficienti, kas atgriezti kā rindu vektori ar garumu n + 1 zemfrekvences un augstfrekvences filtriem un 2 n + 1 joslas un joslas apstāšanās filtriem.

Digitālajiem filtriem pārsūtīšanas funkcija tiek izteikta kā b un a kā

H (z) = B (z) A (z) = b (1) + b (2) z - 1 + & # x22EF + b (n + 1) z - na (1) + a (2) z - 1 + & # x22EF + a (n + 1) z - n.

Analogajiem filtriem pārsūtīšanas funkcija tiek izteikta kā b un a kā

H (s) = B (s) A (s) = b (1) sn + b (2) sn - 1 + & # x22EF + b (n + 1) a (1) sn + a (2) sn - 1 + & # x22EF + a (n + 1).

Datu veidi: dubultā

Z, p, k & # 8212 Nulles, stabi un pieaugums kolonnu vektori, skalāri

Filtra nulles, stabi un palielinājums atgriezās kā divi kolonnu vektori, kuru garums n (2 n joslu pārejas un joslu apstāšanās modeļiem) un skalārs.

Digitālajiem filtriem pārsūtīšanas funkcija tiek izteikta kā z, p un k kā

H (z) = k (1 - z (1) z - 1) (1 - z (2) z - 1) un # x22EF (1 - z (n) z - 1) (1 - p (1) z - 1) (1 - p (2) z - 1) un # x22EF (1 - p (n) z - 1).

Analogajiem filtriem pārsūtīšanas funkcija tiek izteikta kā z, p un k kā

H (s) = k (s - z (1)) (s - z (2)) un # x22EF (s - z (n)) (s - p (1)) (s - p (2)) & # x22EF (s - p (n)).

Datu veidi: dubultā

A, B, C, D & # 8212 stāvokļa-telpas matricas matricas

Filtra stāvokļa un telpas attēlojums, kas atgriezts kā matricas. Ja m = n zema un augstāka līmeņa konstrukcijām un m = 2 n joslu un joslu filtru filtriem, tad A ir m × m, B ir m × 1, C ir 1 × m, un D ir 1 × 1.

Digitālajiem filtriem stāvokļa-telpas matricas attiecas uz stāvokļa vektoru x, ievadi uun izvadi y cauri

x (k + 1) = A x (k) + B u (k) y (k) = C x (k) + D u (k).

Analogajiem filtriem stāvokļa un telpas matricas attiecas uz stāvokļa vektoru x, ievadi uun izvadi y cauri

Datu veidi: dubultā


9.6 Millera teorēma

Šajā brīdī mēs gatavojamies novirzīties, lai apspriestu Millera teorēmu. Lai gan metodes, kuras mēs izmantojām līdz šim brīdim, ir pilnīgi vispārīgas, ir dažas konfigurācijas, kuras var vienkāršāk analizēt Millera teorēma. Millera teorēma norāda, ka lineārā ķēdē, ja ir atzars, kur pretestība Z, savieno divus mezglus ar mezglu spriegumiem V 1un V 2, šo atzaru var aizstāt ar diviem citiem atzariem, kas savieno atbilstošos mezglus ar zemi ar pretestībām attiecīgi Z / (1-K) un KZ / (K -1), kur pieaugums no 1. mezgla līdz 2. mezglam ir K = V 2 / V 1.

9.6.1. Attēls Millera teorēma

Šajā brīdī mēs iziesim soļus, kas parāda, kā tiek sasniegtas Millera pretestības. Mēs varam izmantot līdzvērtīgu divu ostu tīkla tehniku, lai aizstātu 9.6.1 (a) attēlā attēloto divu portu līdzvērtīgajam 9.6.2. Attēlā.

Nomainot 9.6.2. Attēla sprieguma avotus ar to Norton ekvivalentajiem strāvas avotiem, iegūstam 9.6.3.

Izmantojot avota absorbcijas teorēmu (skat. Pielikumu šīs nodaļas beigās), mēs iegūstam 9.6.4. Attēlu.

Kas dod mums 9.6.5. Attēlu (kas ir 9.6.1. (B) attēls), kad mēs paralēli apvienojam abas pretestības.


Pārskati

1. (ATJAUNINĀTS 2020. gada 29. oktobrī) Personas un darbības ekrānā izveidotajā novērtējuma ziņojumā trūkst datu

Izdevums: Novērtējuma ziņojumā, kas izveidots ekrānā Persona un Darbība, ir mazāk datu nekā tajā pašā pārskatā, kas izveidots cilnes Drukāšana ekrānā Novērtējums. Kļūdas ziņojums “Pārskata parametrs vēl nav izveidots. Lūdzu, pagaidiet kādu laiku un mēģiniet vēlreiz. ” varētu parādīt, kad lietotājs ekrānā Persona un darbības noklikšķina uz pogas “Assmt Rpt”.

Apiet: Novērtējuma ziņojums ir jāizveido tikai no vērtējuma cilnes Drukāt.

2. Dažu pārskatu drukāšanas grūtības Microsoft Silverlight problēmas dēļ

Izdevums: Kad lietotāji mēģina ģenerēt pārskatus, Silverlight dažreiz pārvērš pārskatus attēlos, kas var izmantot ievērojami vairāk datu nekā citi formāti. Lieli datu faili rada nepatikšanas printeriem atkarībā no tā, kas notiek sistēmā un tīklā drukāšanas darba nosūtīšanas brīdī. Rezultātā pārskati netiek vienmēr pareizi izdrukāti.

1. risinājums: Pirms atskaites drukāšanas pagaidiet apmēram 5 minūtes. Ja problēma joprojām pastāv, pārstartējiet sistēmu.

2. risinājums: Iestatiet printeri / kopētāju kā vietējo IP printeri.

3. risinājums: Pievienojiet datoru tieši printerim.

4. risinājums: Palieliniet atmiņas vietu:


Ja vēlaties kodēt savu lietojumprogrammu, kas uzrāda atbildes lielumu, vispirms ir jāizvelk stabi un nulles no pārsūtīšanas funkcijas domēnā $ Z $. Sekojošais process var būt vai nu analītisks, vai grafisks. Es centīšos aptvert abus, sākot ar analītisko pieeju, pēc tam ar grafisko.

Izvelk stabus un nulles

Laika domēna vienādojuma ņemšana. : $ y [n] = 0.0976⋅x [n] + 0.1952⋅x [n − 1] + 0.0976⋅x [n − 2] + 0.9429⋅y [n − 1] −0.3334⋅y [n − 2] $ Pārsūtīšanas funkcija Z domēnā ir $ H (z) = frac= frac <0.0976 + 0.1952z ^ <-1> + 0.0976z ^ <-2>> <1-0.9429z ^ <-1> + 0.3334z ^ <-2>> = frac <0.0976 (1 + 2z ^ <-1> + 1z ^ <-2>)> <1-0.9429z ^ <-1> + 0.3334z ^ <-2>> $

Atrodot skaitītāju un saucēju $ z = 0 $, tiks iegūti daži stabi, nulles un ieguvumi. Es neskaidrošu šo soli, jo šī tēma ir plaši apskatīta. Jūsu gadījumā atradīsit: $ nulles = <- 1, -1 > $ $ stabi = <(0.4746 + 0.3289j), (0.4746 - 0.3289j) > $ $ K_= 0,0976 $ $ K_=1$ Analītiskā pieeja

Kad jums ir stabi un nulles, varat pārrakstīt pārsūtīšanas funkciju šajā citā formā:

Filtra lieluma reakcija būtībā ir jūsu pārsūtīšanas funkcijas lielums, kad $ z = e ^$. Mēs varam definēt $ | H (z) | biggr rvert_<>>$

Tulkojiet to kodā, un jūs saņemsiet kaut ko līdzīgu: (matlab piemērs)

Grafiskā pieeja

Tas, ko mēs šeit redzēsim, ir tieši tas, ko mēs tikko redzējām analītiskajā pieejā, bet mēs centīsimies to nedaudz vizualizēt. Uzzīmēsim jums polus un nulles plaknē $ Z $:

Vienības aplis vai $ z = e ^$, satur visas frekvences no $ omega = 0 $ līdz $ omega = Nyquist = frac <2 pi f_><2>$

Lai uzzinātu sava filtra frekvences reakciju ar noteiktu vērtību $ omega $. No katra pola / nulles novilkt līniju līdz attiecīgajam vienības apļa punktam.

Ņem līnijas garuma produktus, kuru izcelsme ir nulle, un dala ar līnijas garuma reizinājumu, kas radies no stabiem. Jūs saņemsiet filtra atbildes lielumu.

Veltiet dažas sekundes, lai saprastu, ko mēs tikko tur darījām, un jūs redzēsiet, ka tieši to iesaka analītiskā pieeja.

Es ne tik sen uzrakstīju matlab kodu, lai uzzīmētu filtra frekvences reakciju, un es ievietoju šo jautājumu, lai saņemtu palīdzību, kā to izdarīt. Tas varētu arī jums palīdzēt.


Saturs

Riemann zeta funkcija ζ(s) ir kompleksa mainīgā funkcija s = σ + to . (Apzīmējumus s, σ un t tradicionāli lieto, pētot zetas funkciju, ievērojot Rīmanu.) Kad Re (s) = σ & gt 1, funkciju var uzrakstīt kā saplūstošu summējumu vai integrālu:

ir gamma funkcija. Riemana zeta funkcija ir definēta citām sarežģītām vērtībām, analītiski turpinot noteikto funkciju σ & gt 1.

Leonhards Eulers aplūkoja iepriekšminētās sērijas 1740. gadā, lai iegūtu pozitīvas s veselas skaitļa vērtības, un vēlāk Čebiševs paplašināja definīciju līdz Re ⁡ (s) & gt 1. (s) & gt1.> [3]

Iepriekš minētā sērija ir prototipiska Dirichlet sērija, kas absolūti saplūst ar s analītisko funkciju tā, ka σ & gt 1 un atšķiras no visām pārējām s vērtībām. Rīmans parādīja, ka virknes definēto funkciju konverģences puslīmenī var turpināt analītiski visām sarežģītajām vērtībām s ≠ 1. Priekš s = 1, sērija ir harmoniskā virkne, kas atšķiras no + to un

Tādējādi Rīmaņa zeta funkcija ir meromorfiska funkcija visā kompleksajā s plaknē, kas ir holomorfiska visur, izņemot vienkāršu polu pie s = 1 ar atlikumu 1.

Jebkuram pozitīvam pāra skaitlim 2n :

kur B2n ir 2n -th Bernoulli numurs.

Par nepāra pozitīviem veseliem skaitļiem šāda vienkārša izteiksme nav zināma, lai gan tiek uzskatīts, ka šīs vērtības ir saistītas ar veselu skaitļu algebrisko K teoriju, skatiet L funkciju īpašās vērtības.

Nepozitīviem veseliem skaitļiem viens ir

priekš n ≥ 0 (izmantojot konvenciju, ka B1 = − 1 / 2 ).

Konkrēti, ζ pazūd pie pat negatīviem veseliem skaitļiem, jo Bm = 0 visiem nepāra m, izņemot 1. Tie ir tā saucamie zeta funkcijas "triviālie nulles".

  • ζ (- 1) = - 1 12 < displaystyle zeta (-1) = - < tfrac <1> <12> >>
  • ζ (0) = - 1 2 < displaystyle zeta (0) = - < tfrac <1> <2> >>
  • ζ (1 2) ≈ < displaystyle zeta < bigl (> < tfrac <1> <2>> < bigr)> apm> −1,460 354 508 809 586 812 88. (OEIS: A059750)
  • ζ (1) = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ = ∞ < displaystyle zeta (1) = 1 + < tfrac <1> <2>> + < tfrac <1> <3>> + cdots = infty>
  • ζ (3 2) ≈ < displaystyle zeta < bigl (> < tfrac <3> <2>> < bigr)> aptuveni> 2,612 375 348 685 488 343 348. (OEIS: A078434)
  • ζ (2) = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ = π 2 6 ≈ < displaystyle zeta (2) = 1 + < frac <1> <2 ^ <2> >> + < frac <1> <3 ^ <2> >> + cdots = < frac < pi ^ <2>> <6>> aptuveni> 1,644 934 066 848 226 436 472. (OEIS: A013661)
  • ζ (3) = 1 + 1 2 3 + 1 3 3 + ⋯ ≈ < displaystyle zeta (3) = 1 + < frac <1> <2 ^ <3> >> + < frac <1> < 3 ^ <3> >> + cdots aptuveni> 1,202 056 903 159 594 285 399. (OEIS: A002117)
  • ζ (4) = 1 + 1 2 4 + 1 3 4 + ⋯ = π 4 90 ≈ < displaystyle zeta (4) = 1 + < frac <1> <2 ^ <4> >> + < frac <1> <3 ^ <4> >> + cdots = < frac < pi ^ <4>> <90>> aptuveni> 1,082 323 233 711 138 191 516. (OEIS: A013662)

1737. gadā saikni starp zeta funkciju un primārajiem skaitļiem atklāja Eulers, kurš pierādīja identitāti

kur pēc definīcijas ir kreisā puse ζ(s) un labajā pusē esošais bezgalīgais produkts sniedzas pāri visiem primārajiem skaitļiem p (šādus izteicienus sauc par Eulera produktiem):

Zeta funkcija apmierina funkcionālo vienādojumu

Funkcionālā vienādojuma pierādījums notiek šādi: mēs novērojam, ka, ja σ & gt 0 < displaystyle sigma & gt0>, tad

Ar ierobežojošo procesu inversiju, ko pamato absolūtā konverģence (tāpēc stingrāka prasība attiecībā uz σ < displaystyle sigma>)

kas visiem ir konverģents s, tā tas ir ar analītisko turpinājumu. Turklāt RHS nemainās, ja s tiek mainīts uz 1 - s. Tādējādi

kas ir funkcionālais vienādojums. E. C. Titchmarsh (1986). Rīmana Zeta funkcijas teorija (2. izdev.). Oksforda: Oksfordas zinātnes publikācijas. 21. – 22. ISBN 0-19-853369-1. Attiecināts uz Bernhardu Rīmanu.

Funkcionālo vienādojumu Rīmans izveidoja savā 1859. gada rakstā "Par sākotnējo skaitļu skaitu, kas mazāks par noteiktu lielumu", un vispirms to izmantoja analītiskā turpinājuma izveidošanai. Vairāk nekā simts gadus iepriekš, 1749. gadā, Eulers bija izdomājis līdzvērtīgas attiecības Dirichlet eta funkcijai (mainīgā zeta funkcija):

Starp citu, šī saistība dod vienādojumu aprēķināšanai ζ(s) reģionā 0 & lt Re (s) & lt 1, t.i.

kur η-sērija ir konverģenta (lai arī ne absolūti) lielākā pusplaknē s & gt 0 (detalizētāku funkcionālā vienādojuma vēstures apskatu skat., piemēram, Blagušins [8] [9]).

Rīmans atrada arī simetrisku funkcionālā vienādojuma versiju, kas attiecas uz xi-funkciju:

Pirmās dažas neaktīvās nulles [10] [11]
Nulle
1/2 ± 14.134725 i
1/2 ± 21.022040 i
1/2 ± 25.010858 i
1/2 ± 30.424876 i
1/2 ± 32.935062 i
1/2 ± 37.586178 i

Hardija – Litvudas minējumi Rediģēt

Šie divi pieņēmumi pavēra jaunus virzienus Rīmaņa zeta funkcijas izpētē.

Reģions bez nulles Rediģēt

Skaitļu teorijā liela nozīme ir Rīmaņa zetas funkcijas nullēm. Pirmā skaitļa teorēma ir līdzvērtīga faktam, ka Re (s) = 1 līnija. [13] Labāks rezultāts [14], kas izriet no Vinogradova vidējās vērtības teorēmas efektīvas formas, ir tāds, ka ζ (σ + to) ≠ 0 vienmēr | t | ≥ 3 un

Spēcīgākais šāda veida rezultāts, uz kuru var cerēt, ir Rīmana hipotēzes patiesums, kam skaitļu teorijā būtu daudz dziļu seku.

Citi rezultāti Rediģēt

Ir zināms, ka kritiskajā līnijā ir bezgalīgi daudz nulles. Litvuds parādīja, ka, ja secība ( γn ) satur visu nulles iedomātās daļas augšējā pusplaknē augošā secībā

Kritiskās līnijas teorēma apgalvo, ka pozitīvā daļa no neaktīvajām nullēm atrodas uz kritiskās līnijas. (Rīmaņa hipotēze nozīmētu, ka šī proporcija ir 1.)

Apkopojot summas, kurās zeta funkcija ir vesels skaitlis un pusskaitlis, skatiet racionālas zetas sērijas.

Abpusēja rediģēšana

Zetas funkcijas savstarpējo vērtību var izteikt kā Dirihleta sēriju virs Mēbiusa funkcijas μ(n) :

katram kompleksam skaitlim s, kura reālā daļa ir lielāka par 1. Pastāv vairākas līdzīgas sakarības, kas saistītas ar dažādām labi zināmām multiplikatīvām funkcijām, kuras ir dotas Dirichlet sērijas rakstā.

Rediģēt universālumu

Funkcijas Riemann zeta kritiskajai joslai ir ievērojams īpašums universālums. Šī zeta funkcijas universālums norāda, ka kritiskajā joslā pastāv kāda vieta, kas patvaļīgi labi tuvina jebkuru holomorfo funkciju. Tā kā holomorfās funkcijas ir ļoti vispārīgas, šis īpašums ir diezgan ievērojams. Pirmo universāluma pierādījumu sniedza Sergejs Mihailovičs Voroņins 1975. gadā. [15] Jaunākā darbā ir ietvertas efektīvas Voroņina teorēmas versijas [16] un paplašinātas līdz Dirichlet L funkcijām. [17] [18]

Zeta funkcijas moduļa maksimuma aprēķini Rediģēt

Ļaujiet funkcijām F(TH) un G(s0Δ) nosaka pēc vienādībām

Lieta H ≫ ln ln T pētīja Kanakanahalli Ramachandra gadījums Δ & gt c , kur c ir pietiekami liela konstante, ir niecīga.

Anatolijs Karatsuba jo īpaši pierādīja [19] [20], ka, ja vērtības H un Δ pārsniedz noteiktas pietiekami mazas konstantes, tad aplēses

turēt, kur c1 un c2 ir noteiktas absolūtas konstantes.

Funkcijas Riemann zeta arguments Edit

Ir dažas teorēmas par funkcijas īpašībām S(t). Starp šiem rezultātiem [21] [22] ir vidējās vērtības teorēmas S(t) un tā pirmais neatņemamais elements

reālās līnijas intervālos, kā arī teorēma, apgalvojot, ka katrs intervāls (T, T + H] priekš

punkti, kur funkcija S(t) maina zīmi. Iepriekš līdzīgus rezultātus šajā lietā ieguva Atle Selberga

Dirichlet sērija Rediģēt

Konverģences laukuma paplašinājumu var iegūt, pārkārtojot sākotnējo sēriju. [23] Sērija

saplūst Re (s) un gt 0, kamēr

saplūst pat Re (s) & gt −1. Tādā veidā konverģences apgabalu var attiecināt uz Re (s) & gt -k jebkuram negatīvajam skaitlim -k .

Mellīna tipa integrāļi Rediģēt

Funkcijas Mellin transformācija f(x) ir definēts kā

reģionā, kur noteikts integrālis. Zeta funkcijai ir dažādas izteiksmes kā Mellin pārveidojumam līdzīgi integrāļi. Ja reālā s daļa ir lielāka par vienu, mums ir

kur Γ apzīmē gamma funkciju. Pārveidojot kontūru, Rīmans to parādīja

visiem s (kur H apzīmē Hankel kontūru).

Sākot ar integrālo formulu ζ (n) Γ (n) = ∫ 0 ∞ xn - 1 ex - 1 dx, < displaystyle zeta (n) < Gamma (n)> = int _ <0> ^ < infty> < frac <>><>-1 >> mathrm x,> var parādīt [24] ar aizstāšanu un atkārtotu diferenciāciju dabiskajam k ≥ 2

Mēs varam atrast arī izteicienus, kas attiecas uz primārajiem skaitļiem un primārā skaitļa teorēmu. Ja π(x) ir galvenā skaitīšanas funkcija

vērtībām ar Re (s) & gt 1.

Šīs izteiksmes var izmantot, lai pierādītu primārā skaitļa teorēmu, izmantojot apgriezto Mellina transformāciju. Ar Rīmana galveno skaitīšanas funkciju ir vieglāk strādāt, un π(x) no tā var atgūt, veicot Mēbiusa inversiju.

Teta funkcijas Rediģēt

Rīmana zeta funkciju var piešķirt ar Mellina transformāciju [25]

Tomēr šis integrālis saplūst tikai tad, ja s reālā daļa ir lielāka par 1, bet to var regulēt. Tas dod šādu izteicienu funkcijai zeta, kas ir labi definēta visiem s, izņemot 0 un 1:

Lorāna sērija Rediģēt

Rīmaņa zeta funkcija ir meromorfiska, ar vienu vienības polu ir viens s = 1. Tāpēc to var paplašināt kā Laurent sēriju s = 1 sērijas attīstība ir tad

Konstantes γn šeit tos sauc par Stieltjes konstantēm, un tos var definēt pēc robežas

Neatņemama rediģēšana

Visiem sC , s ≠ 1, integrālā saikne (sal. Abela – Plāna formula)

ir taisnība, ko var izmantot zetas funkcijas skaitliskai novērtēšanai.

Augošā faktoriālā rediģēšana

Vēl viena sērijas izstrāde, izmantojot pieaugošo faktoriālu, kas derīga visai kompleksajai plaknei, ir [ nepieciešama atsauce ]

To var izmantot rekursīvi, lai Dirichlet sērijas definīciju attiecinātu uz visiem kompleksiem skaitļiem.

Riemana zeta funkcija parādās arī formā, kas ir līdzīga Mellina transformācijai integrālā pār operatora Gauss – Kuzmin – Wirsing darbību, x s - 1 ka konteksts rada virknes paplašināšanos attiecībā uz krītošo faktoriālo. [26]

Hadamard produkta rediģēšana

kur reizinājums ir virs triviālām nullēm ρ no ζ un burts γ atkal apzīmē Eulera – Masčeroni konstanti. Vienkāršāka bezgalīga produkta paplašināšana ir

Šī veidlapa skaidri parāda vienkāršo stabu s = 1, triviālās nulles pie −2, −4,. sakarā ar gamma funkcijas terminu saucējā, un nebūtiskām nullēm pie s = ρ . (Lai nodrošinātu konverģenci pēdējā formulā, produkts jāpārņem nulles "atbilstošie pāri", t.i. koeficienti nulles pārim formā ρ un 1 - ρ jāapvieno.)

Visā pasaulē konverģējoša sērija Edit

Sērija parādījās Hases darba pielikumā, un otro reizi to publicēja Džonatans Sondovs 1994. gadā. [29]

Hasse pierādīja arī globāli saplūstošo sēriju

tajā pašā publikācijā. [28] Iaroslava Blagušaina [30] [27] pētījumi atklāja, ka līdzīgu, līdzvērtīgu sēriju 1926. gadā publicēja Džozefs Sers. [31] Citas līdzīgas globāli konverģences sērijas ietver

Sērijas attēlojums ar pozitīviem skaitļiem, izmantojot primāro rediģēšanu

Sērijas attēlojums ar nepilnīgiem poli-Bernulli numuriem Rediģēt

Funkciju ζ var attēlot Re (s) un gt 1, ar bezgalīgu sēriju

kur k ∈ <−1, 0>, Wk ir Lamberta W-funkcijas k filiāle un B (μ)
n, ≥2 ir nepilnīgs poli-Bernulli skaitlis. [34]

Engel kartes Mellin transformācija Rediģēt

Sērijas attēlojums kā ģeometrisko virkņu summa Edit

Pēc analoģijas ar Euler produktu, ko var pierādīt, izmantojot ģeometriskās sērijas, Re zeta funkcija (s) & gt1 var attēlot kā ģeometrisko virkņu summu:

Klasiskais algoritms, kas tika izmantots pirms aptuveni 1930. gada, darbojas, izmantojot Eulera-Maklaurina formulu, lai iegūtu n un m pozitīvi veseli skaitļi,

Mūsdienu skaitliskais algoritms ir Odlyzko – Schönhage algoritms.

Zeta funkcija rodas lietišķajā statistikā (skat. Zipf likumu un Zipf – Mandelbrot likumu).

Zetas funkciju regulēšana tiek izmantota kā viens no iespējamajiem līdzekļiem divergentu virkņu un divergentu integrālu sakārtošanai kvantu lauka teorijā. Vienā ievērojamā piemērā viena no Kazimira efekta aprēķināšanas metodēm ir skaidri parādīta funkcija Riemann zeta. Zeta funkcija ir noderīga arī dinamisko sistēmu analīzei. [38]

Bezgalīgas sērijas Rediģēt

Zeta funkcija, kas novērtēta vienādos attālumos ar pozitīviem veseliem skaitļiem, tiek parādīta bezgalīgā virknē virknes konstantu. [39]

Patiesībā pāra un nepāra termini dod abas summas

Iepriekš minēto summu parametrizētās versijas sniedz

tie visi ir nepārtraukti pie t = 1 < displaystyle t = 1>. Citas summas ietver

kur Im apzīmē iedomātu kompleksa skaitļa daļu.

Rakstā Harmoniskā numurs ir vēl vairāk formulu.

Ir vairākas saistītas zetas funkcijas, kuras var uzskatīt par Rīmaņa zetas funkcijas vispārinājumiem. Tie ietver Hurwitz zeta funkciju

(konverģences sērijas attēlojumu 1930. gadā sniedza Helmuts Hasse [28], sk. Hurwitz zeta funkciju), kas sakrīt ar Riemann zeta funkciju, kad q = 1 (Hurvica zetas funkcijas sasummēšanas apakšējā robeža ir 0, nevis 1), Dirichlet L funkcijas un Dedekind zeta funkcijas. Citas saistītās funkcijas skatiet rakstos Zeta funkcija un L funkcija.

kas sakrīt ar Riemann zeta funkciju, kad z = 1 .

kas sakrīt ar Riemann zeta funkciju, kad z = 1 un q = 1 (apakšējā summēšanas robeža Lerha transcendentā ir 0, nevis 1).

Klauzena funkcija Cls(θ), kuru var izvēlēties kā reālo vai iedomāto Li daļus(e ) .

Var analītiski turpināt šīs funkcijas n-dimensiju kompleksā telpā. Īpašās vērtības, ko šīs funkcijas iegūst pozitīvu veselu skaitļu argumentos, pēc skaitļu teorētiķiem sauc par vairākām zetas vērtībām un ir saistītas ar daudzām dažādām matemātikas un fizikas nozarēm.

  1. ^
  2. "Jupyter piezīmju grāmatiņu skatītājs". Nbviewer.ipython.org . Skatīts: 2017. gada 4. janvāris.
  3. ^ Šajā rakstā bija arī Rīmana hipotēze, minējums par Rīmena zetas funkcijas sarežģīto nulļu sadalījumu, ko daudzi matemātiķi uzskata par vissvarīgāko neatrisināto problēmu tīrajā matemātikā.
  4. Bombieri, Enriko. "Rīmana hipotēze - oficiāls problēmas apraksts" (PDF). Māla matemātikas institūts. Skatīts: 2014. gada 8. augustā.
  5. ^
  6. Devlins, Kīts (2002). Tūkstošgades problēmas: septiņas lielākās mūsu laika neatrisinātās matemātiskās mīklas. Ņujorka: Bārnss un Ampls. 43. – 47. ISBN978-0-7607-8659-8.
  7. ^
  8. Polčinskis, Džozefs (1998). Ievads Bosonisko stīgu. Stīgu teorija. Es. Kembridžas universitātes prese. lpp. 22. ISBN978-0-521-63303-1.
  9. ^
  10. Keins, A. J. Titulaers, U. M. (1992). "Precīza divu plūsmu momenta metode lineāro kinētisko vienādojumu kinētiskā robežslāņa problēmām". J. Fiz. A: Matemātika. Ģen. 25 (7): 1855–1874. Bībeles kods: 1992JPhA. 25.1855K. doi: 10.1088 / 0305-4470 / 25/7/026.
  11. ^
  12. Ogilvy, C. S. Anderson, J. T. (1988). Ekskursijas skaitļu teorijā. Dover publikācijas. 29. – 35. ISBN0-486-25778-9.
  13. ^
  14. Sandifers, Čārlzs Edvards (2007). Kā Eulers to izdarīja. Amerikas Matemātikas asociācija. lpp. 193. ISBN978-0-88385-563-8.
  15. ^I. V. Blagušaina Zeta funkcijas funkcionālā vienādojuma vēsture. Seminārs par matemātikas vēsturi, Steklova Matemātikas institūts Sanktpēterburgā, 2018. gada 1. marts. PDF
  16. ^I. V. Blagušaina Malmstena integrāļu atkārtota atklāšana, to novērtēšana ar kontūru integrācijas metodēm un daži saistītie rezultāti. The Ramanujan Journal, sēj. 35, Nr. 1, 2014., 21. – 110. Lpp. Papildinājums: sēj. 42, 777. – 781. Lpp., 2017. PDF
  17. ^
  18. Ēriks Veisšteins. "Riemann Zeta Function Nulles". Skatīts: 2021. gada 24. aprīlī.
  19. ^
  20. L funkciju un moduļu formu datu bāze. "Nulles no ζ (s)".
  21. ^
  22. Hārdijs, G. H. Fekete, M. Litvuds, J. E. (1921. gada 1. septembris). "Rīmaņa Zeta-funkcijas nulles uz kritiskās līnijas". doi: 10.1112 / jlms / s1-1.1.15. Citēt žurnālu nepieciešams | žurnāls = (palīdzība)
  23. ^
  24. Dimants, Harolds G. (1982). "Elementārmetodes sākotnējo skaitļu sadalījuma izpētē". Amerikas Matemātikas biedrības biļetens. 7 (3): 553–89. doi: 10.1090 / S0273-0979-1982-15057-1. MR0670132.
  25. ^
  26. Fords, K. (2002). "Vinogradova integrālis un robežas Rīmaņa zetas funkcijai". Proc. Londonas matemātika. Soc. 85 (3): 565–633. arXiv: 1910.08209. doi: 10.1112 / S0024611502013655. S2CID121144007.
  27. ^
  28. Voroņins, S. M. (1975). "Teorēma par Rīmana Zeta funkcijas universālumu". Izv. Akad. Nauk SSSR, ser. Matem. 39: 475–486. Atkārtoti izdrukāts Matemātika. PSRS Izv. (1975) 9: 443–445.
  29. ^
  30. Ramūnas Garunkštis Antanas Laurinčikas Kohji Matsumoto Jörn Steuding Rasa Steuding (2010). "Efektīva vienveidīga aproksimācija ar Rīmana zeta funkciju". Publicacions Matemàtiques. 54 (1): 209–219. doi: 10.1090 / S0025-5718-1975-0384673-1. JSTOR43736941.
  31. ^
  32. Bhaskars Bagči (1982). "Kopīga universāluma teorēma Dirichlet L funkcijām". Mathematische Zeitschrift. 181 (3): 319–334. doi: 10.1007 / bf01161980. ISSN0025-5874. S2CID120930513.
  33. ^
  34. Steuding, Jörn (2007). L-funkciju vērtības sadalījums. Lekciju konspekti matemātikā. 1877. Berlīne: Springer. lpp. 19. arXiv: 1711.06671. doi: 10.1007 / 978-3-540-44822-8. ISBN978-3-540-26526-9.
  35. ^
  36. Karatsuba, A. A. (2001). "Zemākās robežas maksimālajam modulim ζ(smazos kritiskās joslas apgabalos ". Paklājs. Zametki. 70 (5): 796–798.
  37. ^
  38. Karatsuba, A. A. (2004). "Zemākas robežas Rīmaņa zetas funkcijas maksimālajam modulim īsos kritiskās līnijas segmentos". Izv. Ross. Akad. Nauk, ser. Paklājs. 68 (8): 99–104. Bībeles kods: 2004IzMat..68.1157K. doi: 10.1070 / IM2004v068n06ABEH000513.
  39. ^
  40. Karatsuba, A. A. (1996). "Blīvuma teorēma un Rīmana zeta funkcijas argumenta uzvedība". Paklājs. Zametki (60): 448–449.
  41. ^
  42. Karatsuba, A. A. (1996). "Par funkciju S(t) ". Izv. Ross. Akad. Nauk, ser. Paklājs. 60 (5): 27–56.
  43. ^
  44. Knops, Konrāds (1947). Funkciju teorija, otrā daļa. Ņujorka, Doveras publikācijas. 51. – 55.lpp.
  45. ^
  46. "Novērtējot noteiktu integrālu."math.stackexchange.com.
  47. ^
  48. Neukirch, Jürgen (1999). Algebriskā skaitļu teorija. Springer. lpp. 422. ISBN3-540-65399-6.
  49. ^
  50. "Riemann Zeta sērijas attēlojums, kas iegūts no operatora Gauss-Kuzmin-Wirsing" (PDF). Linas.org . Skatīts: 2017. gada 4. janvāris.
  51. ^ abc
  52. Blagušaina, Iaroslavs V. (2018). "Trīs piezīmes par Ser un Hasse pārstāvniecību Zeta funkcijās". INTEGERS: elektroniskais žurnāls par kombinatorisko skaitļu teoriju. 18A: 1–45. arXiv: 1606.02044. Bībeles kods: 2016arXiv160602044B.
  53. ^ abc
  54. Hasse, Helmuts (1930). "Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ -Reihe" [summēšanas metode sērijai Riemann ζ]. Mathematische Zeitschrift (vāciski). 32 (1): 458–464. doi: 10.1007 / BF01194645. S2CID120392534.
  55. ^
  56. Sondovs, Džonatans (1994). "Rīmaņa zetas funkcijas un vērtību analītisks turpinājums pie negatīviem veseliem skaitļiem, izmantojot Eulera sēriju transformāciju" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 120 (2): 421–424. doi: 10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7 .
  57. ^
  58. Blagouchine, Iaroslav V. (2016). "Expansions of generalized Euler's constants into the series of polynomials in π −2 and into the formal enveloping series with rational coefficients only". Journal of Number Theory. 158: 365–396. arXiv: 1501.00740 . doi:10.1016/j.jnt.2015.06.012.
  59. ^
  60. Ser, Joseph (1926). "Sur une expression de la fonction ζ(s) de Riemann" [Upon an expression for Riemann's ζ function]. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (franciski). 182: 1075–1077.
  61. ^
  62. Borwein, Peter (2000). "An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function" (PDF) . In Théra, Michel A. (ed.). Constructive, Experimental, and Nonlinear Analysis. Conference Proceedings, Canadian Mathematical Society. 27. Providence, RI: American Mathematical Society, on behalf of the Canadian Mathematical Society. pp. 29–34. ISBN978-0-8218-2167-1 .
  63. ^
  64. Mező, István (2013). "The primorial and the Riemann zeta function". The American Mathematical Monthly. 120 (4): 321.
  65. ^
  66. Komatsu, Takao Mező, István (2016). "Incomplete poly-Bernoulli numbers associated with incomplete Stirling numbers". Publicationes Mathematicae Debrecen. 88 (3–4): 357–368. arXiv: 1510.05799 . doi:10.5486/pmd.2016.7361. S2CID55741906.
  67. ^
  68. "A220335 - OEIS". oeis.org . Retrieved 17 April 2019 .
  69. ^
  70. Munkhammar, Joakim (2020). "The Riemann zeta function as a sum of geometric series". The Mathematical Gazette. 104 (561): 527–530. doi:10.1017/mag.2020.110.
  71. ^
  72. Odlyzko, A. M. Schönhage, A. (1988), "Fast algorithms for multiple evaluations of the Riemann zeta function", Tulk. Amer. Matemātika. Soc., 309 (2): 797–809, doi: 10.2307/2000939 , JSTOR2000939, MR0961614 .
  73. ^
  74. "Work on spin-chains by A. Knauf, et. al". Empslocal.ex.ac.uk . Retrieved 4 January 2017 .
  75. ^ Most of the formulas in this section are from § 4 of J. M. Borwein et al. (2000)
  • Apostol, T. M. (2010), "Zeta and Related Functions", in Olver, Frank W. J. Lozier, Daniel M. Boisvert, Ronald F. Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN978-0-521-19225-5 , MR2723248
  • Borwein, Jonathan Bradley, David M. Crandall, Richard (2000). "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function" (PDF) . J. Comp. App. Matemātika. 121 (1–2): 247–296. Bibcode:2000JCoAM.121..247B. doi: 10.1016/S0377-0427(00)00336-8 .
  • Cvijović, Djurdje Klinowski, Jacek (2002). "Integral Representations of the Riemann Zeta Function for Odd-Integer Arguments". J. Comp. App. Matemātika. 142 (2): 435–439. Bibcode:2002JCoAM.142..435C. doi: 10.1016/S0377-0427(02)00358-8 . MR1906742.
  • Cvijović, Djurdje Klinowski, Jacek (1997). "Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms". Proc. Amer. Matemātika. Soc. 125 (9): 2543–2550. doi: 10.1090/S0002-9939-97-04102-6 .
  • Edwards, H. M. (1974). Riemann's Zeta Function . Akadēmiskā prese. ISBN0-486-41740-9 . Has an English translation of Riemann's paper.
  • Hadamard, Jacques (1896). "Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques". Bulletin de la Société Mathématique de France. 14: 199–220. doi: 10.24033/bsmf.545 .
  • Hardy, G. H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press, Oxford.
  • Hasse, Helmut (1930). "Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ -Reihe". Matemātika. Z. 32: 458–464. doi:10.1007/BF01194645. MR1545177. S2CID120392534. (Globally convergent series expression.)
  • Ivic, A. (1985). The Riemann Zeta Function. John Wiley & Sons. ISBN0-471-80634-X .
  • Motohashi, Y. (1997). Spectral Theory of the Riemann Zeta-Function. Kembridžas universitātes prese. ISBN0521445205 .
  • Karatsuba, A. A. Voronin, S. M. (1992). The Riemann Zeta-Function. Berlin: W. de Gruyter.
  • Mező, István Dil, Ayhan (2010). "Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function". Journal of Number Theory. 130 (2): 360–369. doi:10.1016/j.jnt.2009.08.005. hdl: 2437/90539 . MR2564902.
  • Montgomery, Hugh L. Vaughan, Robert C. (2007). Multiplicative number theory. I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. Kembridžas universitātes prese. Č. 10. ISBN978-0-521-84903-6 .
  • Newman, Donald J. (1998). Analītiskā skaitļu teorija. Graduate Texts in Mathematics. 177. Springer-Verlag. Č. 6. ISBN0-387-98308-2 .
  • Raoh, Guo (1996). "The Distribution of the Logarithmic Derivative of the Riemann Zeta Function". Proceedings of the London Mathematical Society. s3–72: 1–27. arXiv: 1308.3597 . doi:10.1112/plms/s3-72.1.1.
  • Riemann, Bernhard (1859). "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse". Monatsberichte der Berliner Akademie. . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
  • Sondow, Jonathan (1994). "Analytic continuation of Riemann's zeta function and values at negative integers via Euler's transformation of series" (PDF) . Proc. Amer. Matemātika. Soc. 120 (2): 421–424. doi: 10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7 .
  • Titchmarsh, E. C. (1986). Heath-Brown (ed.). The Theory of the Riemann Zeta Function (2nd rev. ed.). Oksfordas Universitātes izdevniecība.
  • Whittaker, E. T. Watson, G. N. (1927). A Course in Modern Analysis (4. izdev.). Kembridžas universitātes prese. Č. 13.
  • Zhao, Jianqiang (1999). "Analytic continuation of multiple zeta functions". Proc. Amer. Matemātika. Soc. 128 (5): 1275–1283. doi: 10.1090/S0002-9939-99-05398-8 . MR1670846.
    Media related to Riemann zeta function at Wikimedia Commons
  • "Zeta-function", Matemātikas enciklopēdija, EMS Press, 2001 [1994] — an explanation with a more mathematical approach A general, non-technical description of the significance of the zeta function in relation to prime numbers. Visually oriented investigation of where zeta is real or purely imaginary. functions.wolfram.com , section 23.2 of Abramowitz and Stegun
  • Frenkel, Edward. "Million Dollar Math Problem" (video) . Brady Haran . Retrieved 11 March 2014 . —Computational examples of Mellin transform methods involving the Riemann Zeta Function

380 ms 13.2% Scribunto_LuaSandboxCallback::callParserFunction 280 ms 9.7% type 160 ms 5.6% (for generator) 120 ms 4.2% Scribunto_LuaSandboxCallback::find 100 ms 3.5% Scribunto_LuaSandboxCallback::gsub 80 ms 2.8% 80 ms 2.8% dataWrapper 80 ms 2.8% [others] 700 ms 24.3% Number of Wikibase entities loaded: 1/400 -->


OK, we have gathered lots of info. We know all this:

  • positive roots: 2vai 0
  • negative roots: 1
  • total number of roots: 5

So, after a little thought, the overall result is:

  • 5 roots: 2 positive, 1 negative, 2 complex (one pair), vai
  • 5 roots: 0 positive, 1 negative, 4 complex (two pairs)

And we managed to figure all that out just based on the signs and exponents!


9.7. Anotācijas

An annotation is a modifier consisting of the name of an annotation type (§9.6) and zero or more element-value pairs, each of which associates a value with a different element of the annotation type.

The purpose of an annotation is simply to associate information with the annotated program element.

Annotations must contain an element-value pair for every element of the corresponding annotation type, except for those elements with default values, or a compile-time error occurs.

Annotations may, but are not required to, contain element-value pairs for elements with default values.

Annotations may be used as modifiers in any declaration, whether package (§7.4.1), class (§8.1.1) (including enums (§8.9)), interface (§9.1.1) (including annotation types (§9.6)), field (§8.3.1, §9.3), method (§8.4.3, §9.4), formal parameter (§8.4.1), constructor (§8.8.3), or local variable (§14.4.1).

Annotations may also be used on enum constants. Such annotations are placed immediately before the enum constant they annotate.

It is a compile-time error if a declaration is annotated with more than one annotation for a given annotation type.

Annotations are conventionally placed before all other modifiers, but this is not a requirement they may be freely intermixed with other modifiers.


Annotations:
Annotation
Annotations Annotation

Annotation:
NormalAnnotation
MarkerAnnotation
SingleElementAnnotation

There are three kinds of annotations. The first (normal annotation) is fully general. The others (marker annotation and single-element annotation) are merely shorthands.

9.7.1. Normal Annotations

A normal annotation is used to annotate a program element.


NormalAnnotation:
@ TypeName ( ElementValuePairsopt )

ElementValuePairs:
ElementValuePair
ElementValuePairs , ElementValuePair

ElementValuePair:
Identifier = ElementValue

ElementValue:
ConditionalExpression
Annotation
ElementValueArrayInitializer

ElementValues:
ElementValue
ElementValues , ElementValue

The TypeName names the annotation type corresponding to the annotation.

Note that the at-sign ( @ ) is a token unto itself. Technically it is possible to put whitespace between it and the TypeName , but this is discouraged as a matter of style.

It is a compile-time error if TypeName does not name an annotation type that is accessible (§6.6) at the point where the annotation is used.

The Identifikators an ElementValuePair must be the simple name of one of the elements (i.e. methods) of the annotation type identified by TypeName otherwise, a compile-time error occurs.

The return type of this method defines the element type of the element-value pair.

An ElementValueArrayInitializer is similar to a normal array initializer (§10.6), except that annotations are permitted in place of expressions.

An element type T is commensurate with an element value V if and only if one of the following conditions is true:

T is an array type E [] and either:

V is an ElementValueArrayInitializer and each ElementValue (analogous to a VariableInitializer in an array initializer) in V is commensurate with E or

V is an ElementValue that is commensurate with E .

The type of V is assignment compatible (§5.2) with T , and furthermore:

If T is a primitive type or String , and V is a constant expression (§15.28).

If T is Class , or an invocation of Class , and V is a class literal (§15.8.2).

If T is an enum type, and V is an enum constant.

Note that null is not a legal element value for any element type.

It is a compile-time error if the element type is not commensurate with the ElementValue .

If the element type is not an annotation type or an array type, ElementValue must be a ConditionalExpression (§15.25).

A ConditionalExpression is simply an expression without assignments, and not necessarily an expression involving the conditional operator ( ? : ). ConditionalExpression is preferred over Expression iekšā ElementValue because an element value has a simple structure (constant expression or class literal or enum constant) that may easily be represented in binary form.

If the element type is an array type and the corresponding ElementValue nav ElementValueArrayInitializer , then an array value whose sole element is the value represented by the ElementValue is associated with the element. Otherwise, if the corresponding ElementValue ir ElementValueArrayInitializer , then the array value represented by the ElementValueArrayInitializer is associated with the element.

In other words, it is permissible to omit the curly braces when a single-element array is to be associated with an array-valued annotation type element.

Note that the array's element type cannot be an array type. That is, nested array types are not permitted as element types. (While the annotation syntax would permit this, the annotation type declaration syntax would not.)

An ElementValue is always FP-strict (§15.4).

An annotation on an annotation type declaration is known as a meta-annotation .

An annotation type may be used to annotate its own declaration. More generally, circularities in the transitive closure of the "annotates" relation are permitted.

For example, it is legal to annotate an annotation type declaration with another annotation type, and to annotate the latter type's declaration with the former type. (The pre-defined meta-annotation types contain several such circularities.)

Example 9.7.1-1. Normal Annotations

Here is an example of a normal annotation.

Here is an example of a normal annotation that takes advantage of default values.

Note that the types of the annotations in the examples in this section are the annotation types defined in the examples in §9.6. Note also that the elements are in the above annotation are in the same order as in the corresponding annotation type declaration. This is not required, but unless specific circumstances dictate otherwise, it is a reasonable convention to follow.

9.7.2. Marker Annotations

The second form of annotation, marker annotation , is a shorthand designed for use with marker annotation types.

It is shorthand for the normal annotation:

It is legal to use the marker annotation form for annotation types with elements, so long as all the elements have default values.

Example 9.7.2-1. Marker Annotations

Here is an example using the Preliminary marker annotation type from §9.6.1:

9.7.3. Single-Element Annotations

The third form of annotation, single-element annotation , is a shorthand designed for use with single-element annotation types.


SingleElementAnnotation:
@ Identifier ( ElementValue )

It is shorthand for the normal annotation:

It is legal to use single-element annotations for annotation types with multiple elements, so long as one element is named value , and all other elements have default values.

Example 9.7.3-1. Single-Element Annotations

Here is an example of a single-element annotation.

Here is an example of an array-valued single-element annotation.

Here is an example of a single-element array-valued single-element annotation. Note that the curly braces are omitted.

Here is an example with of a single-element annotation that contains a normal annotation.

Here is an example of a single-element annotation with a Class element whose value is restricted by the use of a bounded wildcard.

Here is an example of a single-element annotation using an enum type defined inside the annotation type.


Skatīties video: Polijas un poļu valodas popularizēšanas kampaņa. Sporta sižets. (Novembris 2021).