Raksti

14.5: Binomiālā teorēma


Mācību mērķi

Šīs sadaļas beigās jūs varēsiet:

  • Izmantojiet Paskala trīsstūri, lai paplašinātu binomu
  • Novērtējiet binomālo koeficientu
  • Izmantojiet binoma teorēmu, lai paplašinātu binomu

Pirms sākat, veiciet šo gatavības viktorīnu.

  1. Vienkāršojiet: ( frac {7 cdot 6 cdot 5 cdot 4} {4 cdot 3 cdot 2 cdot 1} ).
    Ja jums pietrūka šīs problēmas, skatiet 1.25. Piemēru.
  2. Izvērst: ((3 x + 5) ^ {2} ).
    Ja esat nokavējis šo problēmu, skatiet 5.32. Piemēru.
  3. Izvērst: ((x-y) ^ {2} ).
    Ja jums pietrūka šīs problēmas, skatiet 5.32. Piemēru.

Izmantojiet Paskāla trijstūri, lai izvērstu binokli

Iepriekšējā darbā mēs esam kvadrātiņu kvadrāti, vai nu izmantojot FOIL, vai arī izmantojot Binomial Squares Pattern. Varam arī teikt, ka paplašinājām ((a + b) ^ {2} ).

((a + b) ^ {2} = a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} )

Lai paplašinātu ((a + b) ^ {3} ), mēs saprotam, ka tas ir ((a + b) ^ {2} (a + b) ) un reizinām.

((a + b) ^ {3} )
((a + b) ^ {2} (a + b) )
( pa kreisi (a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} pa labi) (a + b) )
(a ^ {3} +2 a ^ {2} b + a b ^ {2} + a ^ {2} b + 2 a b ^ {2} + b ^ {3} )
(a ^ {3} +3 a ^ {2} b + 3 a b ^ {2} + b ^ {3} )
((a + b) ^ {3} = a ^ {3} +3 a ^ {2} b + 3 a b ^ {2} + b ^ {3} )

Lai atrastu mazāk nogurdinošu metodi, kas derēs lielākiem paplašinājumiem, piemēram, ((a + b) ^ {7} ), mēs atkal meklējam modeļus dažos paplašinājumos.

Noteikumu skaitsPirmais termiņšPēdējais termiņš
((a + b) ^ {1} = a + b )(2) (a ^ {1} ) (b ^ {1} )
((a + b) ^ {2} = a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} )(3) (a ^ {2} ) (b ^ {2} )
((a + b) ^ {3} = a ^ {3} +3 a ^ {2} b + 3 a b ^ {2} + b ^ {3} )(4) (a ^ {3} ) (b ^ {3} )
((a + b) ^ {4} = a ^ {4} +4 a ^ {3} b + 6 a ^ {2} b ^ {2} +4 ab ^ {3} + b ^ {4} )(5) (a ^ {4} ) (b ^ {4} )
((a + b) ^ {5} = a ^ {5} +5 a ^ {4} b + 10 a ^ {3} b ^ {2} +10 a ^ {2} b ^ {3} + 5 ab ^ {4} + b ^ {5} )(6) (a ^ {5} ) (b ^ {5} )
((a + b) ^ {n} ) (n ) (a ^ {n} ) (b ^ {n} )
12.4.1. Tabula

Ievērojiet, ka pirmais un pēdējais termins parāda tikai vienu mainīgo. Atgādinām, ka (a ^ {0} = 1 ), tāpēc mēs varētu pārrakstīt pirmo un pēdējo vārdu, lai iekļautu abus mainīgos. Piemēram, mēs varētu izvērst ((a + b) ^ {3} ), lai parādītu katru terminu ar abiem mainīgajiem.

Parasti mēs nerādām nulles eksponentus, tāpat kā parasti rakstām (x ), nevis (1x ).

Piezīme

Raksti ((a + b) ^ {n} ) izvēršanā

  • Terminu skaits ir (n + 1 ).
  • Pirmais apzīmējums ir (a ^ {n} ), bet pēdējais - (b ^ {n} ).
  • Eksponenti uz (a ) samazinās par vienu katrā termiņā, pārejot no kreisās uz labo pusi.
  • Eksponenti uz (b ) palielinās par vienu katrā termiņā, pārejot no kreisās uz labo pusi.
  • Jebkura termiņa eksponentu summa ir (n ).

Apskatīsim piemēru, lai izceltu pēdējos trīs modeļus.

No mūsu identificētajiem modeļiem mēs redzam mainīgos ((a + b) ^ {n} ) paplašinājumā, būtu

((a + b) ^ {n} = a ^ {n} + _ _ _ a ^ {n-1} b ^ {1} + _ _ _ a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + _ _ _ a ^ {1} b ^ {n-1} + b ^ {n} ).

Lai atrastu terminu koeficientus, mēs atkal uzrakstām paplašinājumus, koncentrējoties uz koeficientiem. Mēs pārrakstām koeficientus pa labi, veidojot koeficientu masīvu.

Masīvs pa labi tiek izsaukts Paskāla trīsstūris. Ievērojiet, ka katrs masīva skaitlis ir divu vistuvāko skaitļu summa rindā iepriekš. Mēs varam atrast nākamo rindu, sākot un beidzot ar vienu un pēc tam pievienojot divus blakus esošos skaitļus.

Šis trīsstūris dod terminu koeficientus, kad mēs paplašinām binomālus.

Definīcija ( PageIndex {1} )

Paskāla trīsstūris

Nākamajā piemērā mēs izmantosim šo trijstūri un atpazītos modeļus, lai paplašinātu binomu.

Piemērs ( PageIndex {1} )

Izmantojiet Paskāla trīsstūri, lai izvērstu ((x + y) ^ {6} ).

Risinājums:

Mēs zinām, ka šīs paplašināšanas mainīgie sekos noteiktajam paraugam. Nulles (x ) eksponenti sāksies no sešiem un samazināsies līdz vienam. Nulles eksponenti (y ) sāksies ar vienu un palielināsies līdz sešiem. Eksponentu summa katrā termiņā būs seši. Mūsu modelī (a = x ) un (b = y ).

( begin {masīvs} {l} {(a + b) ^ {n} = a ^ {n} + _ _ _ a ^ {n-1} b ^ {1} + _ _ _a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + _ _ _ a ^ {1} b ^ {n-1} + b ^ {n}} {(x + y) ^ {6 } = x ^ {6} + _ _ _ x ^ {5} y ^ {1} + _ _ _ x ^ {4} y ^ {2} + _ _ _ x ^ {3} y ^ {3} + _ _ _ x ^ {2} y ^ {4} + _ _ _ x ^ {1} y ^ {5} + y ^ {6}} end {masīvs} )

Vingrinājums ( PageIndex {1} )

Izmantojiet Paskāla trīsstūri, lai izvērstu ((x + y) ^ {5} ).

Atbilde

( begin {masīvs} {l} {x ^ {5} +5 x ^ {4} y + 10 x ^ {3} y ^ {2} +10 x ^ {2} y ^ {3}} { +5 xy ^ {4} + y ^ {5}} end {array} )

Vingrinājums ( PageIndex {2} )

Izmantojiet Paskāla trīsstūri, lai izvērstu ((p + q) ^ {7} ).

Atbilde

( begin {masīvs} {c} {p ^ {7} +7 p ^ {6} q + 21 p ^ {5} q ^ {2} +35 p ^ {4} q ^ {3}} { +35 p ^ {3} q ^ {4} +21 p ^ {2} q ^ {5} +7 pq ^ {6} + q ^ {7}} end {masīvs} )

Nākamajā piemērā mēs vēlamies paplašināt binomu ar vienu mainīgo un vienu konstanti. Lai rūpīgi piemērotu modeli, mums jāidentificē (a ) un (b ).

Piemērs ( PageIndex {2} )

Izmantojiet Paskāla trīsstūri, lai izvērstu ((x + 3) ^ {5} ).

Risinājums:

Mēs identificējam modeļa (a ) un (b ).

Mūsu modelī (a = x ) un (b = 3 ).

Mēs zinām, ka šīs paplašināšanas mainīgie sekos noteiktajam paraugam. Eksponentu summa katrā termiņā būs pieci.

((a + b) ^ {n} = a ^ {n} + _ _ _ a ^ {n-1} b ^ {1} + _ _ _ a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + _ _ _ a ^ {1} b ^ {n-1} + b ^ {n} )

((x + 3) ^ {5} = x ^ {5} + _ _ _ x ^ {4} cdot3 ^ {1} + _ _ _ x ^ {3} cdot3 ^ {2 } + _ _ _ x ^ {2} cdot3 ^ {3} + _ _ _ x ^ {1} cdot3 ^ {4} + 3 ^ {5} )

Vingrinājums ( PageIndex {3} )

Izmantojiet Paskāla trīsstūri, lai izvērstu ((x + 2) ^ {4} ).

Atbilde

(x ^ {4} +8 x ^ {3} +24 x ^ {2} +32 x + 16 )

Vingrinājums ( PageIndex {4} )

Izmantojiet Paskāla trīsstūri, lai izvērstu ((x + 1) ^ {6} ).

Atbilde

( begin {masīvs} {l} {x ^ {6} +6 x ^ {5} +15 x ^ {4} +20 x ^ {3} +15 x ^ {2}} {+6 x + 1} beigu {masīvs} )

Nākamajā piemērā binoms ir atšķirība, un pirmajam terminam ir nemainīgs lieluma lielums. Kad esam identificējuši modeļa (a ) un (b ), mums vēlreiz rūpīgi jāpielieto modelis.

Piemērs ( PageIndex {3} )

Izmantojiet Paskāla trīsstūri, lai izvērstu ((3x-2) ^ {4} ).

Risinājums:

Mēs identificējam modeļa (a ) un (b ).

Mūsu modelī (a = 3x ) un (b = -2 ).

((a + b) ^ {n} = a ^ {n} + _ _ _ a ^ {n-1} b ^ {1} + _ _ _ a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + _ _ _ a ^ {1} b ^ {n-1} + b ^ {n} )

((3 x-2) ^ {4} = 81 x ^ {4} +4 left (27 x ^ {3} right) (- 2) +6 left (9 x ^ {2} right) ) (4) +4 (3 x) (- 8) +1 cdot 16 )

Vingrinājums ( PageIndex {5} )

Izmantojiet Paskāla trīsstūri, lai izvērstu ((2x-3) ^ {4} ).

Atbilde

(16 x ^ {4} -96 x ^ {3} +216 x ^ {2} -216 x + 81 )

Vingrinājums ( PageIndex {6} )

Izmantojiet Paskāla trīsstūri, lai izvērstu ((2x-1) ^ {6} ).

Atbilde

( begin {masīvs} {l} {64 x ^ {6} -192 x ^ {5} +240 x ^ {4} -160 x ^ {3}} {+60 x ^ {2} -12 x +1} end {array} )

Novērtējiet binomālo koeficientu

Kaut arī Paskāla trīsstūris ir viena metode binomāla paplašināšanai, mēs aplūkosim arī citu metodi. Pirms mēs nonākam pie tā, mums ir jāievieš vēl daži faktoru apzīmējums. Šis apzīmējums tiek izmantots ne tikai binomu paplašināšanai, bet arī varbūtības izpētei un izmantošanai.

Lai atrastu izvērsto binomu terminu koeficientus, mums būs jāspēj novērtēt apzīmējums ( left ( begin {array} {l} {n} {r} end {array} right) ), ko sauc par a binomālais koeficients. Mēs lasījām ( left ( begin {masīvs} {l} {n} {r} end {masīvs} right) ) kā “ (n ) izvēlieties (r )” vai “ (n ) paņemts (r ) vienā reizē ”.

Definīcija ( PageIndex {1} )

Binomālais koeficients ( left ( begin {masīvs} {l} {n} {r} end {masīvs} right) ), kur (r ) un (b ) ir veseli skaitļi ar (0 leq r leq n ), ir definēts kā

( pa kreisi ( begin {masīvs} {l} {n} {r} end {masīvs} right) = frac {n!} {r! (n-r)!} )

Mēs lasījām ( left ( begin {masīvs} {l} {n} {r} end {masīvs} right) ) kā " (n ) izvēlieties (r )" vai " (n ) uzņemts (r ) vienlaikus. "

Piemērs ( PageIndex {4} )

Novērtēt:

  1. ( left ( begin {array} {l} {5} {1} end {array} right) )
  2. ( pa kreisi ( begin {array} {l} {7} {7} end {array} right) )
  3. ( pa kreisi ( begin {array} {l} {4} {0} end {array} right) )
  4. ( pa kreisi ( begin {array} {l} {8} {5} end {array} right) )

Risinājums:

a. Mēs izmantosim binomālā koeficienta definīciju,

( pa kreisi ( begin {masīvs} {l} {n} {r} end {masīvs} right) = frac {n!} {r! (n-r)!} )

( left ( begin {array} {l} {5} {1} end {array} right) )

Izmantojiet definīciju ( left ( stackrel {5} {1} right) = frac {n!} {R! (Nr)!} ), Kur (n = 5, r = 1 ) .

( frac {5!} {1! (5-1)!} )

Vienkāršojiet.

( frac {5!} {1! (4)!} )

Pārrakstīt (5! ) Kā (5 cdot 4! )

( frac {5 cdot 4!} {1! cdot 4!} )

Vienkāršojiet, novēršot izplatītākos faktorus.

( frac {5 cdot cancel {4!}} {1! cdot cancel {4!}} )

Vienkāršojiet.

(5)

( left ( begin {array} {l} {5} {1} end {array} right) = 5 )

b. ( pa kreisi ( begin {array} {l} {7} {7} end {array} right) )

Izmantojiet definīciju ( left ( stackrel {5} {1} right) = frac {n!} {R! (Nr)!} ), Kur (n = 7, r = 7 ) .

( frac {7!} {7! (7-7)!} )

Vienkāršojiet.

( frac {7!} {7! (0)!} )

Vienkāršojiet. Atcerieties (0! = 1 ).

(1)

( pa kreisi ( begin {array} {l} {7} {7} end {array} right) = 1 )

c. ( pa kreisi ( begin {masīvs} {l} {4} {0} end {masīvs} right) )

Izmantojiet definīciju ( left ( stackrel {5} {1} right) = frac {n!} {R! (Nr)!} ), Kur (n = 4, r = 0 ) .

( frac {4!} {0! (4-0)!} )

Vienkāršojiet.

( frac {4!} {0! (4)!} )

Vienkāršojiet.

(1)

( left ( begin {array} {l} {4} {0} end {array} right) = 1 )

d. ( pa kreisi ( begin {array} {l} {8} {5} end {array} right) )

Izmantojiet definīciju ( left ( stackrel {5} {1} right) = frac {n!} {R! (Nr)!} ), Kur (n = 8, r = 5 ) .

( frac {8!} {5! (8-5)!} )

Vienkāršojiet.

( frac {8!} {5! (3)!} )

Pārrakstiet (8! ) Kā (8 cdot 7 cdot 6 cdot 5! ) Un noņemiet izplatītos faktorus.

( frac {8 cdot7 cdot cancel {6} cdot cancel {5!}} { Cancel {5!} cdot cancel {3} cdot cancel {2} cdot1} )

Vienkāršojiet.

(56)

( pa kreisi ( begin {array} {l} {8} {5} end {array} right) = 56 )

Vingrinājums ( PageIndex {7} )

Novērtējiet katru binomālo koeficientu:

  1. ( pa kreisi ( begin {masīvs} {l} {6} {1} end {array} right) )
  2. ( pa kreisi ( begin {array} {l} {8} {8} end {array} right) )
  3. ( pa kreisi ( begin {array} {l} {5} {0} end {array} right) )
  4. ( pa kreisi ( begin {array} {l} {7} {3} end {array} right) )
Atbilde
  1. (6)
  2. (1)
  3. (1)
  4. (35)

Vingrinājums ( PageIndex {8} )

Novērtējiet katru binomālo koeficientu:

  1. ( pa kreisi ( begin {array} {l} {2} {1} end {array} right) )
  2. ( pa kreisi ( begin {array} {l} {11} {11} end {array} right) )
  3. (kreisais ( begin {masīvs} {l} {9} {0} end {masīvs} right) )
  4. ( pa kreisi ( begin {array} {l} {6} {5} end {array} right) )
Atbilde
  1. (2)
  2. (1)
  3. (1)
  4. (6)

Iepriekšējā piemērā ((a) ), ((b) ), ((c) ) parāda dažas binomālo koeficientu īpašās īpašības.

Definīcija ( PageIndex {2} )

Binomālo koeficientu īpašības

( left ( begin {array} {l} {n} {1} end {array} right) = n quad left ( begin {masīvs} {l} {n} { n} end {array} right) = 1 quad left ( begin {array} {l} {n} {0} end {array} right) = 1 )

Izmantojiet Binomial teorēmu, lai izvērstu Binomial

Tagad mēs esam gatavi izmantot alternatīvu binomu paplašināšanas metodi. The Binomāls Teorēma mainīgajiem izmanto to pašu modeli, bet katra termina koeficientam izmanto binomisko koeficientu.

Definīcija ( PageIndex {3} )

Binomālā teorēma

Jebkuriem reāliem skaitļiem (a ) un (b ) un pozitīvam skaitlim (n )

((a + b) ^ {n} = pa kreisi ( begin {array} {c} {n} {0} end {array} right) a ^ {n} + left ( begin {array} {c} {n} {1} end {array} right) a ^ {n-1} b ^ {1} + left ( begin {array} {c} {n} {2} end {array} right) a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} {r} end {masīvs } pa labi) a ^ {nr} b ^ {r} + ldots + pa kreisi ( begin {array} {c} {n} {n} end {array} right) b ^ {n} )

Piemērs ( PageIndex {5} )

Izmantojiet binoma teorēmu, lai izvērstu ((p + q) ^ {4} ).

Risinājums:

Mēs identificējam modeļa (a ) un (b ).

Mūsu modelī (a = p ) un (b = q ).

Mēs izmantojam Binomial Theorem.

((a + b) ^ {n} = pa kreisi ( begin {array} {c} {n} {0} end {array} right) a ^ {n} + left ( begin {array} {c} {n} {1} end {array} right) a ^ {n-1} b ^ {1} + left ( begin {array} {c} {n} {2} end {array} right) a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} {r} end {masīvs } pa labi) a ^ {nr} b ^ {r} + ldots + pa kreisi ( begin {array} {c} {n} {n} end {array} right) b ^ {n} )

Aizstājiet vērtības (a = p, b = q ) un (n = 4 ).

((p + q) ^ {4} = pa kreisi ( begin {array} {c} {4} {0} end {array} right) p ^ {4} + left ( begin {array} {c} {4} {1} end {array} right) p ^ {4-1} q ^ {1} + left ( begin {array} {c} {4} {2} end {array} right) p ^ {4-2} q ^ {2} + left ( begin {masīvs} {c} {4} {3} end {masīvs} pa labi) p ^ {4-3} q ^ {3} + pa kreisi ( begin {array} {c} {4} {4} end {array} right) q ^ {4} )

Vienkāršojiet eksponentus.

((p + q) ^ {4} = pa kreisi ( begin {array} {l} {4} {0} end {array} right) p ^ {4} + left ( begin {array} {c} {4} {1} end {array} right) p ^ {3} q + left ( begin {array} {c} {4} {2} end { masīvs} right) p ^ {2} q ^ {2} + left ( begin {masīvs} {c} {4} {3} end {masīvs} right) pq ^ {3} + pa kreisi ( begin {array} {c} {4} {4} end {array} right) q ^ {4} )

Novērtējiet koeficientus, atcerieties ( left ( begin {array} {l} {n} {1} end {array} right) = n, left ( begin {array} {l} { n} {n} end {array} right) = 1, left ( begin {array} {l} {n} {0} end {array} right) = 1 )

((p + q) ^ {4} = 1 p ^ {4} +4 p ^ {3} q ^ {1} + frac {4!} {2! (2)!} p ^ {2} q ^ {2} + frac {4!} {3! (4-3)!} p ^ {1} q ^ {3} +1 q ^ {4} )
((p + q) ^ {4} = p ^ {4} +4 p ^ {3} q + 6 p ^ {2} q ^ {2} +4 pq ^ {3} + q ^ {4} )

Vingrinājums ( PageIndex {9} )

Izmantojiet binoma teorēmu, lai izvērstu ((x + y) ^ {5} ).

Atbilde

( begin {masīvs} {l} {x ^ {5} +5 x ^ {4} y + 10 x ^ {3} y ^ {2} +10 x ^ {2} y ^ {3}} { +5 xy ^ {4} + y ^ {5}} end {array} )

Vingrinājums ( PageIndex {10} )

Izmantojiet binoma teorēmu, lai izvērstu ((m + n) ^ {6} ).

Atbilde

( begin {masīvs} {l} {m ^ {6} +6 m ^ {5} n + 15 m ^ {4} n ^ {2} +20 m ^ {3} n ^ {3}} { +15 m ^ {2} n ^ {4} +6 mn ^ {5} + n ^ {6}} end {array} )

Ievērojiet, ka, paplašinot ((p + q) ^ {4} ) pēdējā piemērā, izmantojot binoma teorēmu, mēs saņēmām tos pašus koeficientus, kurus mēs iegūtu, izmantojot Paskāla trīsstūris.

Nākamais piemērs - binomāls ir atšķirība. Ja binoms ir atšķirība, mums jābūt uzmanīgiem, nosakot vērtības, kuras izmantosim modelī.

Piemērs ( PageIndex {6} )

Izmantojiet Binomial teorēmu, lai izvērstu ((x-2) ^ {5} ).

Risinājums:

Mēs identificējam modeļa (a ) un (b ).

Mūsu modelī (a = x ) un (b = -2 ).

Mēs izmantojam Binomial Theorem.

((a + b) ^ {n} = pa kreisi ( begin {array} {c} {n} {0} end {array} right) a ^ {n} + left ( begin {array} {c} {n} {1} end {array} right) a ^ {n-1} b ^ {1} + left ( begin {array} {c} {n} {2} end {array} right) a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} {r} end {masīvs } pa labi) a ^ {nr} b ^ {r} + ldots + pa kreisi ( begin {array} {c} {n} {n} end {array} right) b ^ {n} )

Vērtībās (a = x, b = -2 ) un (n = 5 ) aizstājiet.

((x-2) ^ {5} = pa kreisi ( begin {array} {l} {5} {0} end {array} right) x ^ {5} + left ( begin {array} {c} {5} {1} end {array} right) x ^ {5-1} (- 2) ^ {1} + left ( begin {array} {c} { 5} {2} end {array} right) x ^ {5-2} (- 2) ^ {2} + left ( begin {array} {c} {5} {3} end {array} right) x ^ {5-3} (- 2) ^ {3} + left ( begin {array} {c} {5} {4} end {array} right ) x ^ {5-4} (- 2) ^ {4} + pa kreisi ( begin {array} {c} {5} {5} end {array} right) (- 2) ^ { 5} )

Vienkāršojiet koeficientus. Atcerieties, ka ( left ( begin {masīvs} {l} {n} {1} end {masīvs} right) = n, left ( begin {array} {l} {n} {n} end {array} right) = 1, left ( begin {array} {l} {n} {0} end {array} right) = 1 ).

((x-2) ^ {5} = pa kreisi ( begin {array} {l} {5} {0} end {array} right) x ^ {5} + left ( begin {array} {c} {5} {1} end {array} right) x ^ {4} (- 2) + left ( begin {array} {c} {5} {2 } end {array} right) x ^ {3} (- 2) ^ {2} + left ( begin {array} {c} {5} {3} end {array} right) x ^ {2} (- 2) ^ {3} + pa kreisi ( begin {array} {c} {5} {4} end {array} right) x (-2) ^ {4} + pa kreisi ( begin {array} {c} {5} {5} end {array} right) (- 2) ^ {5} )

((x-2) ^ {5} = 1 x ^ {5} +5 (-2) x ^ {4} + frac {5!} {2! cdot 3!} (- 2) ^ { 2} x ^ {3} + frac {5!} {3! 2!} (- 2) ^ {3} x ^ {2} + frac {5!} {4! 1!} (- 2) ^ {4} x + 1 (-2) ^ {5} )

((x-2) ^ {5} = x ^ {5} +5 (-2) x ^ {4} +10 cdot 4 cdot x ^ {3} +10 (-8) x ^ {2 } +5 cdot 16 cdot x + 1 (-32) )

Vingrinājums ( PageIndex {11} )

Izmantojiet Binomial teorēmu, lai izvērstu ((x-3) ^ {5} ).

Atbilde

( begin {masīvs} {l} {x ^ {5} -15 x ^ {4} +90 x ^ {3} -270 x ^ {2}} {+405 x-243} end {masīvs} )

Vingrinājums ( PageIndex {12} )

Izmantojiet binoma teorēmu, lai izvērstu ((y-1) ^ {6} ).

Atbilde

( begin {masīvs} {l} {y ^ {6} -6 y ^ {5} +15 y ^ {4} -20 y ^ {3} +15 y ^ {2}} {-6 y + 1} beigu {masīvs} )

Lietas var kļūt nesakārtotas, ja abiem terminiem ir koeficients un mainīgais.

Piemērs ( PageIndex {7} )

Izmantojiet binoma teorēmu, lai izvērstu ((2x-3y) ^ {4} ).

Risinājums:

Mēs identificējam modeļa (a ) un (b ).

Mūsu modelī (a = 2x ) un (b = -3y ).

Mēs izmantojam Binomial Theorem.

((a + b) ^ {n} = pa kreisi ( begin {array} {c} {n} {0} end {array} right) a ^ {n} + left ( begin {array} {c} {n} {1} end {array} right) a ^ {n-1} b ^ {1} + left ( begin {array} {c} {n} {2} end {array} right) a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} {r} end {masīvs } pa labi) a ^ {nr} b ^ {r} + ldots + pa kreisi ( begin {array} {c} {n} {n} end {array} right) b ^ {n} )

Aizstājiet vērtības (a = 2x, b = -3y ) un (n = 4 ).

Vienkāršojiet eksponentus.

Novērtējiet koeficientus. Atcerieties, ka ( left ( begin {masīvs} {l} {n} {1} end {masīvs} right) = n, left ( begin {array} {l} {n} {n} end {array} right) = 1, left ( begin {array} {l} {n} {0} end {array} right) = 1 )

Vingrinājums ( PageIndex {13} )

Izmantojiet binoma teorēmu, lai izvērstu ((3x-2y) ^ {5} ).

Atbilde

( begin {masīvs} {l} {243 x ^ {5} -810 x ^ {4} y + 1080 x ^ {3} y ^ {2}} {-720 x ^ {2} y ^ {3 } +240 xy ^ {4} -32 y ^ {5}} end {masīvs} )

Vingrinājums ( PageIndex {14} )

Izmantojiet binoma teorēmu, lai izvērstu ((4x-3y) ^ {4} ).

Atbilde

( begin {masīvs} {l} {256 x ^ {4} -768 x ^ {3} y + 864 x ^ {2} y ^ {2}} {-432 xy ^ {3} +81 y ^ {4}} end {masīvs} )

Binomālās teorēmas patiesais skaistums ir tāds, ka tā dod formulu jebkuram konkrētam paplašināšanas termiņam, neaprēķinot visu summu. Meklēsim modeli Binomālā teorēma.

Ievērojiet, ka katrā gadījumā (b ) eksponents ir par vienu mazāks nekā termina skaitlis. Termins ((r + 1) ^ {st} ) ir termins, kurā (b ) eksponents ir (r ). Tātad, lai noteiktu konkrēta termina vērtību, mēs varam izmantot termina ((r + 1) ^ {st} ) formātu.

Piezīme

Atrodiet noteiktu terminu binārā paplašinājumā

Termins ((r + 1) ^ {s t} ) paplašinājumā ((a + b) ^ {n} ) ir

( pa kreisi ( begin {masīvs} {l} {n} {r} end {masīvs} right) a ^ {n-r} b ^ {r} )

Piemērs ( PageIndex {8} )

Atrodiet ceturto terminu ((x + y) ^ {7} ).

Risinājums:

Mūsu modelī (n = 7, a = x ) un (b = y ).

Mēs meklējam ceturto termiņu.

Tā kā (r + 1 = 4 ), tad (r = 3 ).

Uzrakstiet formulu
Vērtībās aizstājiet (n = 7, r = 3, a = x ) un (b = y ).
Vienkāršojiet.
Vienkāršojiet.
12.4.1. Tabula

Vingrinājums ( PageIndex {15} )

Atrodiet trešo terminu ((x + y) ^ {6} ).

Atbilde

(15x ^ {4} y ^ {2} )

Vingrinājums ( PageIndex {16} )

Atrodiet piekto terminu ((a + b) ^ {8} ).

Atbilde

(8ab ^ {7} )

Vingrinājums ( PageIndex {17} )

Atrodiet ((x + 4) ^ {8} ) termina (x ^ {5} ) koeficientu.

Atbilde

(7,168)

Vingrinājums ( PageIndex {18} )

Atrodiet ((x + 2) ^ {7} ) termina (x ^ {4} ) koeficientu.

Atbilde

(280)

Piekļūstiet šiem tiešsaistes resursiem, lai iegūtu papildu instrukcijas un praksi ar secībām.

  • Binoma paplašināšana, izmantojot Paskāla trīsstūri
  • Binomālie koeficienti

Galvenie jēdzieni

  • Raksti paplašināšanās ((a + b) ^ {n} (
    • Terminu skaits ir (n + 1 ).
    • Pirmais apzīmējums ir (a ^ {n} ), bet pēdējais - (b ^ {n} ).
    • Eksponenti uz (a ) samazinās par vienu katrā termiņā, pārejot no kreisās uz labo pusi.
    • Eksponenti uz (b ) palielinās par vienu katrā termiņā, pārejot no kreisās uz labo pusi.
    • Jebkura termina eksponentu summa ir (n ).
  • Paskāla trīsstūris
  • Binomālais koeficients (kreisais ( begin {masīvs} {l} { mathbf {n}} { mathbf {r}} end {masīvs} right) ) : Binomālais koeficients ( pa kreisi ( begin {masīvs} {l} { mathbf {n}} { mathbf {r}} end {masīvs} pa labi) ), kur (r ) un (n ) ir veseli skaitļi ar (0≤r≤n ), tiek definēts kā

( pa kreisi ( begin {masīvs} {l} {n} {r} end {masīvs} right) = frac {n!} {r! (n-r)!} )

Mēs lasījām ( left ( begin {masīvs} {l} {n} {r} end {masīvs} right) ) kā “ (n ) izvēlieties (r )” vai “ (n ) paņemts (r ) vienā reizē ”.

  • Binomālo koeficientu īpašības

( left ( begin {array} {l} {n} {1} end {array} right) = n quad left ( begin {masīvs} {l} {n} { n} end {array} right) = 1 quad left ( begin {array} {l} {n} {0} end {array} right) = 1 )

  • Binomālā teorēma:

Jebkuriem reāliem skaitļiem (a ), (b ) un pozitīvam skaitlim (n )

((a + b) ^ {n} = pa kreisi ( begin {array} {c} {n} {0} end {array} right) a ^ {n} + left ( begin {array} {c} {n} {1} end {array} right) a ^ {n-1} b ^ {1} + left ( begin {array} {c} {n} {2} end {array} right) a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} {r} end {masīvs } pa labi) a ^ {nr} b ^ {r} + ldots + pa kreisi ( begin {array} {c} {n} {n} end {array} right) b ^ {n} )


14.5: Binomiālā teorēma

Audio / video matemātikai 102

Flash audio / video lekcijas matemātikai 102 (nav domātas MDEV 102.)

Piezīmes. Palaižot videoklipu, satura rādītājā noklikšķinot uz tēmas, varat izvēlēties tēmu, kuru vēlaties skatīties. Katram no tiem ir arī audio, tāpēc izmantojiet austiņas vai datoru ar skaļruņiem. Lielākā daļa videoklipu ir no 3 līdz 7 minūtēm. Ja videoklips ir garāks par 7 minūtēm, laiks tiek norādīts malā.

Kursa ievads

Pirmā un otrā nodaļa

1.1 Polya četrpakāpju pieeja 2.3 Komplektu krustojums
1.1 Rokasspiediena problēma (8,5 minūtes) 2.3 Komplektu savienība
2.3 Komplekta papildinājums
1.2. Novērtēšana, noapaļošana un apzīmēšana 2.3 Iestatiet atšķirību / relatīvo papildinājumu
2.3 Komplektu savienības kardinālitāte
2.1 Kas ir komplekts? 2.3. DeMorgana likumi
2.1. Komplekta apraksts 2.3. Simboliski piemēri
2.1. Pamatnoteikumi un noteikumi 2.3 Venna diagrammas un izplatīšanas īpašības
2 .2 Vienādība, apakškopa un pareiza apakškopa 2.4. 1. apsekojuma problēma (pamata)
2.2. Komplekta apakškopu skaits 2.4. 2. apsekojuma problēma (vai)
2.2 Līdzvērtīgi komplekti 2.4. 3. apsekojuma problēma (pretrunīga)
2.2. Individuālo sarakstu skaits
2.2 Paskāla trīsstūris (apakškopu skaits)

Trešā nodaļa Loģika

1.3 Induktīvā pamatošana 3.3 Patiesības tabulas - nosacītas un divkosīgas
1.3. Deduktīvais pamatojums 3.3. Nosacījuma paziņošanas veidi
3.3 Definējiet Converse, Inverse un Contrapositive
3.1 Paziņojumi 3.3. Līdzvērtība - Con., Inv. & amp; Kontra. (1. metode) (2. metode)
3.1 Savienojumi 3.3. Vairāk konversu, apgrieztu un kontrapozitīvu piemēru
3.1. Vairāk paraugu ar savienojumiem 3.3. Nosacījumi un līdzvērtība (1. metode) (2. metode)
3.1. Kvantifikatori 3.3. Ietekmes īpašība (1. metode) (2. metode)
3.1 Kvantificētu paziņojumu noliegšana 3.3. Par pietiekamu un nepieciešamu atteikšanos
3.1. Kvantificētu paziņojumu konsekvence
3.4. Atslāņošanās likums un konvertēšanas kļūdas (Md1) (Md2)
3.2 Patiesības tabulas - noliegums, savienojums, disjunkcija 3.4. Kontrakcijas likums un apgrieztās vērtības kritums (Md1) (Md2)
3.2. Patiesības tabulu veidošana (1. metode) (2. metode) 3.4. Disjunkcionāls siloģisms (1. metode) (2. metode)
3.2. Patiesības tabulas gadījumu skaits 3.4. Hipotētiskais siloģisms (1. metode) (2. metode)
3.2 Tautoloģija un pretrunas (1. metode) (2. metode) 3.4. Patiesības tabula kompleksiem argumentiem (1. metode) (2. metode)
3.2. Līdzvērtība - izplatīšana (1. metode) (2. metode) 3.4 Argumenta T-pierādījums
3.2. DeMorgana likumi (1. metode) (2. metode) 3.4 Vēl viens T-pierādījums argumentam
3.5 Siloģijas ar universāliem un eksistenciāliem kvantoriem
Kopsavilkums - & quotReal & quot Argumenti 3.5. Vairāk siloģijas ar universāliem un eksistenciāliem kvantoriem

Trīspadsmitā nodaļa Skaitīšana

13.1. Ievads skaitīšanas metodēs 13.3. Permutācijas
13.3. Permutācijas formulas
13.2. Pamatskaitīšanas princips 13.3. Permutācijas ar atkārtojumiem
13.2. Pamatskaitīšanas princips (vairāk piemēru) 13.3 Kombinācijas
13.3. Permutācijas un kombinācijas
13.4 Pokers
13.4 Powerball

Četrpadsmitā nodaļa Varbūtība

Piecpadsmitā nodaļa Aprakstošā statistika

15.1. Aptaujas un datu vākšana 15.3 Dispersijas mērījumi
15.1. Statistikas pamatdefinīcijas 15.3 Vairāk izkliedes mērījumu
15.1 Biežuma un relatīvās frekvences tabulas (7:20) 15.3. Variācijas koeficients
15.1 Joslu diagrammas un histogrammas
15.1 Histogrammu interpretēšana 15.4 Ievads normālajā līknē (7:11)
15.1 Stumbra un lapas displeji 15.4. Ievads z vērtībā
15.4 Vairāk z-score piemēru
15.2 Kas ir & quot; vidējais vērtējums & quot; 15.4 Vairāk z-score lietojumprogrammu
15.2. Vidējo vērtību priekšrocības un trūkumi
15.2. Aprēķiniet vidējo, vidējo, režīmu un vidējo diapazonu 15.5 Labākās atbilstības līnija - Motivācija - Mile Run
15.2. Secinājumi, zinot vidējo un vairāk informācijas (7:18) 15.5. Aprēķiniet līniju Best Fit
15.2 Piecu skaitļu kopsavilkums un kaste un ūsas 15.5. Aprēķiniet lineārās korelācijas koeficientu
15.5. Lineārās korelācijas koeficienta īpašības
15.5. Kopsavilkuma piemērs - pirmās klases zīmogi

Microsoft Excel 2003 statistikai

Microsoft Excel 2007 statistikai

Autortiesības 200 6–200 7 Timotejs Peils

Ja nav norādīts citādi, iepriekšminētos videoklipus sagatavoja Timotijs Peils. Tos var izmantot bez autora atļaujas tikai mājas un / vai izglītības (bezpeļņas) mērķiem. Jebkura cita lietošana ir jāapstiprina autoram.


5 Binomiālais tests

Binomiālo testu izmanto, lai meklētu pierādījumus tam, ka Binomial sadalītā nejaušā mainīgā īpatsvars var atšķirties no izvirzītās (vai iepriekš novērotās) vērtības.

5.1.1. Testa statistika

Binomiālā testa testa statistika ir novērotā eksperimentālo priekšmetu biežums, kuriem piemīt interesējošā iezīme.

5.1.2. Definīcijas

Ļaujiet (X ) būt nejaušam mainīgajam lielumam pēc binomālā sadalījuma ar parametriem (n ) un ( pi ). Ļaujiet (x ) būt novērotajam eksperimentālo subjektu biežumam, kam piemīt interesējošā iezīme.

5.1.3 Hipotēzes

Binomial testa hipotēzes var būt šādas:

[ sākas H_0: pi = pi_0 H_a: pi neq pi_0 beigas]

[ sākas H_0: pi & lt pi_0 H_a: pi geq pi_0 beigas]

[ sākas H_0: pi & gt pi_0 H_a: pi leq pi_0 beigas]

5.1.4 Lēmuma noteikums

Lēmums noraidīt nulles hipotēzi tiek pieņemts, ja novērotā (x ) vērtība atrodas kritiskajā reģionā, kas norāda, ka šī novērojuma varbūtība ir zema. Mēs definējam kritisko reģionu kā augšējo robežu, kuru esam gatavi pieņemt attiecībā uz ( alpha ), I tipa kļūdu.

Divpusējā testā augšējā robeža ir vienādi sadalīta abās astēs. Sadalījuma diskrētā rakstura dēļ kopējā varbūtība astēs var nebūt vienāda ar ( alfa ). Zemāk redzamajos attēlos attēloti noraidījumu reģionu piemēri atlasītajām binomālā sadalījuma parametru vērtībām. Lēmuma noteikums ir šāds:

Noraidīt (H_0 ), ja (x & lt Binomial ( alfa / 2, n, pi_0) ) vai (x & gt Binomial (1 - alfa / 2, n, pi_0) )

5.1. Attēls. Parādītajos piemēros tiek izmantots (n = 20 ). Augšējā, vidējā un apakšējā piemērā ( pi ) ir iestatīts attiecīgi uz 0,3, 0,5 un 0,75. Ievērojiet, ka dažos gadījumos ( alpha = 0.10 ) un ( alpha = 0.05 ) noraidīšanas reģioni ir identiski.

Vienpusējā pārbaudē ( alfa ) tiek ievietots tikai vienā astē. Zemāk redzamajos attēlos attēloti noraidījumu reģionu piemēri atlasītajām binomālā sadalījuma parametru vērtībām. Katrā ziņā ( alpha ) ir apgabals figūras astē. No tā izriet, ka lēmums par zemākas astes pārbaudi ir šāds:

Noraidīt (H_0 ), kad (x leq Binomial ( alfa, n, pi_0) )

Attiecībā uz augšējās astes testu lēmuma noteikums ir šāds:

Noraidīt (H_0 ), kad (x geq Binomial (1 - alfa, n, pi_0) )

5.2. Attēls. Parādītajos piemēros tiek izmantots (n = 20 ). Augšējā, vidējā un apakšējā piemērā ( pi ) ir iestatīts attiecīgi uz 0,3, 0,5 un 0,75.

5.1.5 Jauda

Turpmākajos atvasinājumos tiek izmantoti šādi simboli:

  • (x ): novērotā eksperimentālo vienību biežums, kam piemīt interesējošā iezīme.
  • (n ): kopējais eksperimentālo vienību skaits.
  • ( pi_0 ): to iedzīvotāju īpatsvars, kuriem saskaņā ar nulles hipotēzi piemīt interesējošā iezīme.
  • ( pi_a ): to iedzīvotāju īpatsvars, kuriem alternatīvās hipotēzes laikā piemīt interesējošā iezīme.
  • ( alfa ): nozīmīguma līmenis.
  • ( gamma ( pi) ): parametra ( pi ) testa jauda.
  • (Binomial ( alfa, n, pi) ): Binomial sadalījuma kvantile ar varbūtību ( alfa ) un parametriem (n ) un ( pi ).
  • (C ): kritiskais reģions.

Divpusējs tests

[ sākas gamma ( pi_a) & amp = P _ < pi_a> (x in C) & amp = P _ < pi_a> (Binomiāls ( alfa / 2, n, pi_0) leq Binomial ( alfa / 2, n, pi_a)) + & amp P _ < pi_a> (Binoms (1 - alfa / 2, n, pi_0) geq Binomial (1 - alfa / 2, n, pi_a)) beigas]

Kreisās puses tests

[ sākas gamma ( pi_a) & amp = P _ < pi_a> (x in C) & amp = P _ < pi_a> (binomiāls ( alfa, n, pi_0) leq binomiāls ( alfa, n, pi_a )) beigas]

Labās puses pārbaude

[ sākas gamma ( pi_a) & amp = P _ < pi_a> (x in C) & amp = P _ < pi_a> (binomāls (1 - alfa, n, pi_0) geq divdaļīgs (1 - alfa, n, pi_a)) beigas]

Tā kā binomālais sadalījums ir diskrēts, jaudas līknei ir interesanta iezīme, ka tā nav vienmuļa. Dažreiz to raksturo kā “zāģveida” izskatu. Šī rīcība nozīmē, ka ne vienmēr priekšroka tiek dota lielākam izlases lielumam. Piemēram, nākamajā attēlā parauga lielumam 10 ir lielāka jauda nekā 12 parauga lielumam.

5.3. Attēls. Binomiālā testa jauda ar ( pi_0 = .15 ) un ( pi_a = 0,25 )


Par autoru

CARLOS A. BRAUMANN ir Matemātikas katedras profesors un Matemātikas un lietojumprogrammu izpētes centra loceklis Universidade de & # 201vora, Portugālē. Viņš ir ievēlēts Starptautiskā statistikas institūta & # 40 kopš 1992. un 41. loceklis, bijušais Eiropas Matemātiskās un teorētiskās bioloģijas biedrības & # 402009 & # 4512 & # 41 un Portugāles statistikas biedrības & # 402006 & # 4509 un 2009 & # priekšsēdētājs. 4512 & # 41, un bijušais Bernulli biedrības Eiropas reģionālās komitejas loceklis & # 402008 & # 4512 & # 41. Viņš ir nodarbojies ar stohastisko diferenciālo vienādojumu & # 40SDE & # 41 modeļiem un pielietojumiem & # 40 galvenokārt bioloģisko & # 41.


33.4. Iepriekšējie rezultāti reālo skaitļu jomā

33.4.1. Teorēma: identitāšu unikalitāte

Identitātes elementi ir unikāli.

Pierādījums: Pieņemsim, ka (u zvaigzne a = a zvaigzne u = a ) un (e zvaigzne a = a zvaigzne e = a, visi ir iekš Re ). Tad (u = u zvaigzne e = e ).

33.4.2. Teorēma: Apgriezto vienreizīgums

Ja ( zvaigzne ) ir asociatīva darbība, ( zvaigzne ) apgrieztie elementi ir unikāli.

Pieņemsim, ka (a zvaigzne a_1 = a_1 zvaigzne a = e ) un (a zvaigzne a_2 = a_2 zvaigzne a = e ), kur (e ) ir operācijas ( zvaigzne) identitātes elements ).

Tad (a_1 = a_1 zvaigzne e = a_1 zvaigzne (a zvaigzne a_2) = (a_1 zvaigzne a) zvaigzne a_2) = e zvaigzne a_2 = a_2 ).

33.4.3. Teorēma: Likums par kreiso atcelšanu

Ja (a ) ir apgriezts (a ^ prime ) attiecībā uz asociatīvo darbību ( zvaigzne ) un (a zvaigzne b = a zvaigzne c ), tad (b = c ).

Pieņemsim, ka ((zvaigzne b = a, zvaigzne c). Tad

[ sākas a ^ prime star (a star b) & amp = a ^ prime star (a star c) Rightarrow (a ^ prime star a) star b & amp = (a ^ prime zvaigzne a) zvaigzne c Rightarrow e star b & amp = e zvaigzne c Rightarrow b & amp = c end]

33.4.4. Secinājums: pareiza atcelšana

Laukā (( Re, +, cdot) a + b = a + c Rightarrow b = c ) un ja (a neq 0 ) un (ab = ac ), tad (b = c ).

Pierādījums: Secinājums tiek pierādīts, izmantojot komutativitāti un kreiso atcelšanu.

33.4.5. Lemma

Pēc 4. aksiomas (- 0 + 0 = 0 ). Tā kā 0 ir piedevas identitāte, (- 0 + 0 = -0 ). Tāpēc (- 0 = -0 + 0 = 0 ).

33.4.6. Teorēma

( forall in Re, a & gt0 ) tikai tad, ja (a iekš Re ^ + ).

Pierādījums: Pieņemsim, ka (0 & lta ). Tad (a-0 in Re ^ + ), bet (a-0 = a ), tātad (a in Re ^ + ). Turpretī pieņemsim, ka (a iekš Re ^ + ). Tad (a-0 = a iekš Re ^ + ), tātad (0 & lta ).

33.4.7. Teorēma

[ sākas 0 + x cdot 0 & amp = x cdot 0 & amp = x cdot (0 + 0) & amp = x cdot 0 + x cdot 0 Rightarrow 0 & amp = x cdot 0 end]


4.3. Paredzamās vērtības

  1. (q = (1 - pi) )
  2. Ļaujiet (y = x - 1 ) un (n = m + 1 )
    ( Rightarrow ) (x = y + 1 ) un (m = n - 1 )
  3. ( summa ierobežojumi_^y pi ^ yq ^) ir paredzamās vērtības formātā (Y ) un (E (Y) = m pi = (n-1) pi ). ( summa ierobežojumi_^ pi ^ yq ^) ir visu varbūtību summa (Y ) domēnā, kas ir 1.

[ sākas mu & amp = E (X) & amp = n pi sigma ^ 2 & amp = E (X ^ 2) - E (X) ^ 2 & amp = n ^ 2 pi ^ 2 - n pi ^ 2 + n pi - n ^ 2 pi ^ 2 & amp = -n pi ^ 2 + n pi & amp = n pi (- pi-1) & amp = n pi (1- pi) beigas]


Par statistikas pamatpraksi 8. izdevums Pdf Free

Deivids Mūrs bija pionieris & # 8220datu analīzes & # 8221 (konceptuālā) pieejai statistikas pamatprakses 8. izdevuma Mūra Pdf. Mūrs & # 8217s Statistikas pamatprakse Pdf kļuva par tirgus vadošo bestselleru, koncentrējoties uz to, kā statistika tiek apkopota, analizēta un piemērota reālām problēmām un situācijām, un stājoties pretī studentu raizēm par kursa atbilstību un grūtībām.

Šis statistikas pamatprakses Pdf jaunais astotais izdevums piedāvā tādu pašu kristāldzidru reālu datu rakstīšanu un izmantošanu kā iepriekšējie izdevumi, vienlaikus iekļaujot jaunus un atjauninātus piemērus un vingrinājumus, kā arī parādot jaunas funkcijas, lai atbalstītu mācīšanās un mācīšanas mērķus mūsdienās studentu paaudze.

Statistikas pamatprakse 8. izdevums Moore Pdf ir īpaši uzrakstīts, lai pievērstos Koledžas padomes AP® Statistikas kursu aprakstam. Tagad pārliecinošais kursa bestsellers atgriežas iespaidīgā jaunā izdevumā. Šajā izdevumā Džošs Tabors pievienojas AP® skolotāju veterānu autoru komandai, kuri pilnībā saprot, kā iesaistīties un mācīt vidusskolas skolēnus. Ar jaunajām problēmu risināšanas un testu sagatavošanas funkcijām un dramatiski uzlaboto multivides rīku komplektu piektais izdevums nodrošina visu, kas skolotājiem un studentiem nepieciešams, lai gūtu panākumus kursā un AP® Statistics eksāmenā.


Jūsu studentiem bez papildu maksas ir atļauta neierobežota piekļuve WebAssign kursiem, kuros tiek izmantots šis mācību grāmatas izdevums.

Mācību grāmatā ir pieejami papildu mācību un mācību resursi, un tie var ietvert testbankas, slaidu prezentācijas, tiešsaistes simulācijas, videoklipus un dokumentus.

Piekļuve ir atkarīga no šīs mācību grāmatas lietošanas instruktora klasē.

  • 1. nodaļa: Izplatījumu attēlošana ar grafikiem
    • 1.1. Indivīdi un mainīgie (1)
    • 1.2.: Kategoriskie mainīgie: sektoru diagrammas un joslu diagrammas (3)
    • 1.3. Kvantitatīvie mainīgie: histogrammas (1)
    • 1.4. Histogrammu interpretēšana
    • 1.5. Kvantitatīvie mainīgie: cilmes diagrammas (2)
    • 1.6: Laika grafiki (1)
    • 1: pārbaudiet savas prasmes (10)
    • 1: vingrinājumi (19)
    • 1: Tīmekļa izpēte
    • 1: papildu problēmas (4)
    • 2.1. Mērīšanas centrs: vidējais (2)
    • 2.2. Mērīšanas centrs: mediāna
    • 2.3: Comparing the mean and the median (3)
    • 2.4: Measuring variability: the quartiles
    • 2.5: The five-number summary and boxplots (2)
    • 2.6: Spotting suspected outliers and modified boxplots (2)
    • 2.7: Measuring variability: the standard deviation
    • 2.8: Choosing measures of center and variability (3)
    • 2.9: Using technology
    • 2.10: Organizing a statistical problem (2)
    • 2: Check Your Skills (10)
    • 2: Exercises (18)
    • 2: Exploring the Web
    • 2: Extra Problems (12)
    • 3.1: Density curves (2)
    • 3.2: Describing density curves (2)
    • 3.3: Normal distributions
    • 3.4: The 68&ndash95&ndash99.7 rule (2)
    • 3.5: The standard Normal distribution (2)
    • 3.6: Finding Normal proportions
    • 3.7: Using the standard Normal table (3)
    • 3.8: Finding a value given a proportion (2)
    • 3: Check Your Skills (10)
    • 3: Exercises (27)
    • 3: Exploring the Web
    • 3: Extra Problems (19)
    • 4.1: Explanatory and response variables (3)
    • 4.2: Displaying relationships: scatterplots (1)
    • 4.3: Interpreting scatterplots (1)
    • 4.4: Adding categorical variables to scatterplots
    • 4.5: Measuring linear association: correlation (1)
    • 4.6: Facts about correlation (2)
    • 4: Check Your Skills (10)
    • 4: Exercises (18)
    • 4: Exploring the Web
    • 4: Extra Problems (4)
    • 5.1: Regression lines (3)
    • 5.2: The least-squares regression line
    • 5.3: Using technology (2)
    • 5.4: Facts about least-squares regression (1)
    • 5.5: Residuals (3)
    • 5.6: Influential observations (3)
    • 5.7: Cautions about correlation and regression (3)
    • 5.8: Association does not imply causation (3)
    • 5: Check Your Skills (10)
    • 5: Exercises (26)
    • 5: Exploring the Web
    • 5: Extra Problems
    • 6.1: Marginal distributions (2)
    • 6.2: Conditional distributions (3)
    • 6.3: Simpson's paradox (2)
    • 6: Check Your Skills (7)
    • 6: Exercises (14)
    • 6: Exploring the Web
    • 6: Extra Problems
    • 7: Test Yourself (33)
    • 7: Supplementary Exercises (15)
    • 7: Extra Problems (1)
    • 8.1: Population versus sample (3)
    • 8.2: How to sample badly (2)
    • 8.3: Simple random samples (3)
    • 8.4: Inference about the population (1)
    • 8.5: Other sampling designs (2)
    • 8.6: Cautions about sample surveys (1)
    • 8.7: The impact of technology (1)
    • 8: Check Your Skills (7)
    • 8: Exercises (16)
    • 8: Exploring the Web
    • 8: Extra Problems (5)
    • 9.1: Observation versus experiment (3)
    • 9.2: Subjects, factors, and treatments (3)
    • 9.3: How to experiment badly (1)
    • 9.4: Randomized comparative experiments (2)
    • 9.5: The logic of randomized comparative experiments (2)
    • 9.6: Cautions about experimentation (2)
    • 9.7: Matched pairs and other block designs (3)
    • 9: Check Your Skills (9)
    • 9: Exercises (19)
    • 9: Exploring the Web
    • 9: Extra Problems (1)
    • 10.1: Institutional review boards (1)
    • 10.2: Informed consent (1)
    • 10.3: Confidentiality (1)
    • 10.4: Clinical trials
    • 10.5: Behavioral and social science experiments (1)
    • 10: Check Your Skills
    • 10: Exercises (6)
    • 10: Exploring the Web
    • 10: Extra Problems
    • 11: Test Yourself (14)
    • 11: Supplementary Exercises (6)
    • 11: Extra Problems (1)
    • 12.1: The idea of probability
    • 12.2: The search for randomness (3)
    • 12.3: Probability models (3)
    • 12.4: Probability rules (4)
    • 12.5: Finite and discrete probability models (3)
    • 12.6: Continuous probability models (3)
    • 12.7: Random variables (2)
    • 12.8: Personal probability (2)
    • 12: Check Your Skills (10)
    • 12: Exercises (25)
    • 12: Exploring the Web
    • 12: Extra Problems (28)
    • 13.1: Independence and the multiplication rule (3)
    • 13.2: The general addition rule (2)
    • 13.3: Conditional probability (3)
    • 13.4: The general multiplication rule (3)
    • 13.5: Independence again (1)
    • 13.6: Tree diagrams (4)
    • 13.7: Bayes' rule
    • 13: Check Your Skills (10)
    • 13: Exercises (30)
    • 13: Exploring the Web
    • 13: Extra Problems (15)
    • 14.1: The binomial setting and binomial distributions
    • 14.2: Binomial distributions in statistical sampling (4)
    • 14.3: Binomial probabilities
    • 14.4: Using technology (3)
    • 14.5: Binomial mean and standard deviation (2)
    • 14.6: The Normal approximation to binomial distributions (3)
    • 14: Check Your Skills (9)
    • 14: Exercises (22)
    • 14: Exploring the Web
    • 14: Extra Problems (8)
    • 15.1: Parameters and statistics (2)
    • 15.2: Statistical estimation and the law of large numbers
    • 15.3: Sampling distributions (2)
    • 15.4: The sampling distribution of (3)
    • 15.5: The central limit theorem (2)
    • 15.6: Sampling distributions and statistical significance
    • 15: Check Your Skills (7)
    • 15: Exercises (19)
    • 15: Exploring the Web
    • 15: Extra Problems (16)
    • 16.1: The reasoning of statistical estimation (2)
    • 16.2: Margin of error and confidence level (1)
    • 16.3: Confidence intervals for a population mean (3)
    • 16.4: How confidence intervals behave (3)
    • 16: Check Your Skills (8)
    • 16: Exercises (7)
    • 16: Exploring the Web
    • 16: Extra Problems (8)
    • 17.1: The reasoning of tests of significance (1)
    • 17.2: Stating hypotheses (5)
    • 17.3: P-value and statistical significance (3)
    • 17.4: Tests for a population mean (2)
    • 17.5: Significance from a table (3)
    • 17.6: Resampling: significance from a simulation
    • 17: Check Your Skills (9)
    • 17: Exercises (13)
    • 17: Exploring the Web
    • 17: Extra Problems (8)
    • 18.1: Conditions for inference in practice (3)
    • 18.2: Cautions about confidence intervals (4)
    • 18.3: Cautions about significance tests (4)
    • 18.4: Planning studies: sample size for confidence intervals (2)
    • 18.5: Planning studies: the power of a statistical test (4)
    • 18: Check Your Skills (9)
    • 18: Exercises (25)
    • 18: Exploring the Web
    • 18: Extra Problems (11)
    • 19: Test Yourself (38)
    • 19: Supplementary Exercises (16)
    • 19: Extra Problems
    • 20.1: Conditions for inference about a mean (2)
    • 20.2: The t distributions (2)
    • 20.3: The one-sample t confidence interval (2)
    • 20.4: The one-sample t test (2)
    • 20.5: Using technology
    • 20.6: Matched pairs t procedures (1)
    • 20.7: Robustness of t procedures (2)
    • 20.8: Resampling and standard errors
    • 20: Check Your Skills (9)
    • 20: Exercises (18)
    • 20: Exploring the Web
    • 20: Extra Problems (12)
    • 21.1: Two-sample problems (1)
    • 21.2: Comparing two population means
    • 21.3: Two-sample t procedures (1)
    • 21.4: Using technology (1)
    • 21.5: Robustness again (4)
    • 21.6: Details of the t approximation (1)
    • 21.7: Avoid the pooled two-sample t procedures
    • 21.8: Avoid inference about standard deviations
    • 21.9: Permutation tests
    • 21: Check Your Skills (9)
    • 21: Exercises (23)
    • 21: Exploring the Web
    • 21: Extra Problems (8)
    • 22.1: The sample proportion (2)
    • 22.2: Large-sample confidence intervals for a proportion (2)
    • 22.3: Choosing the sample size (2)
    • 22.4: Significance tests for a proportion (3)
    • 22.5: Plus four confidence intervals for a proportion (3)
    • 22: Check Your Skills (7)
    • 22: Exercises (6)
    • 22: Exploring the Web
    • 22: Extra Problems (17)
    • 23.1: Two-sample problems: proportions
    • 23.2: The sampling distribution of a difference between proportions
    • 23.3: Large-sample confidence intervals for comparing proportions
    • 23.4: Using technology
    • 23.5: Significance tests for comparing proportions (3)
    • 23.6: Plus four confidence intervals for comparing proportions (1)
    • 23: Check Your Skills (6)
    • 23: Exercises (16)
    • 23: Exploring the Web
    • 23: Extra Problems (7)
    • 24: Test Yourself (24)
    • 24: Supplementary Exercises (15)
    • 24: Extra Problems (14)
    • 25.1: Two-way tables (1)
    • 25.2: The problem of multiple comparisons (1)
    • 25.3: Expected counts in two-way tables (1)
    • 25.4: The chi-square test statistic
    • 25.5: Cell counts required for the chi-square test
    • 25.6: Using technology (2)
    • 25.7: Uses of the chi-square test: independence and homogeneity (1)
    • 25.8: The chi-square distributions (1)
    • 25.9: The chi-square test for goodness of fit (5)
    • 25: Check Your Skills (10)
    • 25: Exercises (11)
    • 25: Exploring the Web
    • 25: Extra Problems (11)
    • 26.1: Conditions for regression inference
    • 26.2: Estimating the parameters (1)
    • 26.3: Using technology (2)
    • 26.4: Testing the hypothesis of no linear relationship (3)
    • 26.5: Testing lack of correlation (2)
    • 26.6: Confidence intervals for the regression slope (3)
    • 26.7: Inference about prediction (2)
    • 26.8: Checking the conditions for inference (2)
    • 26: Check Your Skills (9)
    • 26: Exercises (23)
    • 26: Exploring the Web
    • 26: Extra Problems (13)
    • 27.1: Comparing several means
    • 27.2: The analysis of variance F test (1)
    • 27.3: Using technology (1)
    • 27.4: The idea of analysis of variance
    • 27.5: Conditions for ANOVA (2)
    • 27.6: F distributions and degrees of freedom (2)
    • 27.7: Some details of ANOVA (3)
    • 27: Check Your Skills (2)
    • 27: Exercises (11)
    • 27: Exploring the Web
    • 27: Extra Problems (20)
    • 28.1: Comparing two samples: the Wilcoxon rank sum test
    • 28.2: The Normal approximation for W
    • 28.3: Using technology
    • 28.4: What hypotheses does Wilcoxon test?
    • 28.5: Dealing with ties in rank tests (2)
    • 28.6: Matched pairs: the Wilcoxon signed rank test
    • 28.7: The Normal approximation for W + (3)
    • 28.8: Dealing with ties in the signed rank test
    • 28.9: Comparing several samples: the Kruskal&ndashWallis test
    • 28.10: Hypotheses and conditions for the Kruskal&ndashWallis test
    • 28.11: The Kruskal&ndashWallis test statistic
    • 28: Check Your Skills (8)
    • 28: Exercises
    • 28: Exploring the Web
    • 28: Extra Problems
    • 29.1: Parallel regression lines (2)
    • 29.2: Estimating parameters
    • 29.3: Using technology
    • 29.4: Inference for multiple regression
    • 29.5: Interaction (4)
    • 29.6: The general multiple linear regression model (1)
    • 29.7: The woes of regression coefficients
    • 29.8: A case study for multiple regression
    • 29.9: Inference for regression parameters (1)
    • 29.10: Checking the conditions for inference (2)
    • 29: Check Your Skills (10)
    • 29: Exercises
    • 29: Exploring the Web
    • 29: Extra Problems
    • 30.1: Beyond one-way ANOVA
    • 30.2: Follow-up analysis: Tukey pairwise multiple comparisons
    • 30.3: Follow-up analysis: contrasts
    • 30.4: Two-way ANOVA: conditions, main effects, and interaction
    • 30.5: Inference for two-way ANOVA
    • 30.6: Some details of two-way ANOVA
    • 30: Check Your Skills
    • 30: Exercises
    • 30: Exploring the Web
    • 30: Extra Problems
    • 31.1: Processes
    • 31.2: Describing processes (2)
    • 31.3: The idea of statistical process control (1)
    • 31.4: charts for process monitoring (1)
    • 31.5: s charts for process monitoring
    • 31.6: Using control charts (1)
    • 31.7: Setting up control charts
    • 31.8: Comments on statistical control (2)
    • 31.9: Don't confuse control with capability
    • 31.10: Control charts for sample proportions
    • 31.11: Control limits for lpp charts (4)
    • 31: Check Your Skills (4)
    • 31: Exercises (3)
    • 31: Exploring the Web
    • 31: Extra Problems

    Moore's data analysis approach in The Basic Practice of Statistics 7th edition moves students away from formulas and number-crunching, focusing instead on how working statisticians in a variety of fields collect and analyze data, and use the results to tackle real-world problems. The WebAssign component for this text engages students with immediate feedback, an interactive eBook with online resources, and a question bank of end-of-section exercises.

    • Every WebAssign question links to applicable chapters in a fully integrated eBook.
    • Learning Curve adaptive quizzing available for every chapter.
    • StatTutors provide multimedia tutorials with built-in assessments that explore important statistics concepts and procedures.
    • Video Technology Manuals provide brief instructions for using specific statistical software (over 50 topics/videos per software) and are available for TI-83/84 calculators, JMP, Excel, Minitab, SPSS, R, and RCmdr.
    • Statistical Videos consist of StatClips, StatClips Examples, Statistically Speaking "Snapshots," and StatBoards, including animated lecture videos, whiteboard lessons, and documentary-style footage that illustrate key statistical concepts and help students visualize statistics in real-world scenarios.
    • Associated data files from the textbook are available to use for appropriate exercises, formatted for TI-83/84 calculators, JMP, Excel, Minitab, SPSS, R, and RCmdr.
    • Downloadable test banks and practice quizzes for each chapter.
    • Book specific PowerPoint lecture slides un iClicker slides.
    • Instructor and student solution manuals.
    • Extra Problems from the previous edition and available open source content can be used for extra practice and enriching assignments.

    14.2 Bernoulli’s Solution

    The St. Petersburg game was invented by the mathematician Nicolaus Bernoulli in the (18) th Century. He discussed it with his cousin Daniel Bernoulli, who published a famous solution in the St. Petersburg Academy Proceedings. (Hence the name of the game.)

    His solution: replace monetary value with real value, utility in other words. Recall that the more money you have, the less value additional money brings. So even though the payoffs in the St. Petersburg game double from ($2) to ($4) to ($8) etc., the real value doesn’t double. It grows more slowly.

    Figure 14.3: Bernoulli’s logarithmic utility function

    What is the real value of money then? How much utility does a gain of ($x) bring? Bernoulli proposed that utility increases “logarithmically” with money. In terms of dollars, (u($x)=log(x)) . Look at Figure 14.3 to see what this looks like.

    Notice how, for example, ($16) doesn’t have twice the utility of ($8) . In fact you have to go all the way up to ($64) to get twice the utility of ($8) . That’s because (64 = 8^2) , and logarithms have the property that (log(a^b) = b imes log(a)) .

    The difference this makes to the St. Petersburg game is displayed in Figure 14.4. The rectangles don’t all have the same area of (1) anymore, they get smaller instead. In fact, Bernoulli showed that the total area of all the rectangles is only about (1.39) . In other words, the expected utility of the St. Petersburg game is about (1.39) , the equivalent of a ($4) gain (because (log(4) approx 1.39) ).

    Figure 14.4: Dollars vs. utils in the St. Petersburg game

    So if Bernoulli is right about the utility of money, the fair price for the St. Petersburg game is only about ($4) . And in fact that’s about what most people say they would pay.


    Introduction to Probability - MATH/STATS 425, Winter 2012

    Class meets: Section 3 MWF 1:10 - 2:00 in 1068 East Hall Section 7 MWF 2:10 - 3:00 in 1084 East Hall.

    Office Hours: Tu 3:30-5:00 pm, W 10:30 - 12:00 am, F 10:00 - 11:00 am in 4844 East Hall.

    Prerequisites: This course makes serious use of the material from the Calculus sequence (Math 215, 255 or 285). You should have solid knowledge of differentiation un integration, in particular of the geometric ideas behind these concepts (tangent lines, local extrema, areas, volumes). This course requires a working knowledge of multivariate differentiation and integration (including change of variables). If you do not have a strong background in Calculus, please do not take this course we do not want you to fail because of your inadequate background.

    Previous exposure to basic combinatorics (combinations and permutations) is generally expected. If you do not have this background and wish to take this course, please carefully study Sections 1.1-1.4 of the textbook and the self-test problems at the end of Chapter 1.

    Course Description: Basic concepts of probability are introduced, and applications to other sciences are noted. The emphasis is on concepts, calculations, derivations and problem-solving. Topics include methods of both discrete and continuous probability, conditional probability, independence, random variables, joint distributions, expectations, variances, covariances, and limit laws.

    Text: Sheldon Ross, A first course in probability. Pearson Prentice Hall, 8th ed. (2010). ISBN: 9780136033134.
    The course covers most of Chapters 1--7 and a part of Chapter 8.

    • Homework (20%). Scroll down to see it. One lowest homework will be dropped. To form study groups and for online collaboration, feel free to use the chat room and forums on the Ctools class page.
    • Quizzes (20%). One lowest quiz will be dropped.
    • Midterm Exam (25%). Wednesday, February 22, in class. Covers Chapters 1 - 4.
    • Final Exam (35%). Both sections: Friday, April 20, 1:30-3:30 pm, in 1400 CHEM. Covers the whole course.

    Missing/late work: There will be no make-up for the quizzes or exams for any reason. A missed exam counts as zero points, with the following exception. If you miss a midterm exam due to a documented medical or family emergency, the exam's weight will be added to the final exam. Late homework will not be accepted. In case of a medical or road emergency that prevents you from attending the class, you can e-mail me your scanned or typed homework as a single pdf file, along with short explanation of what happened, on the day when the homework is collected by 5 pm.

    Course Schedule: It is a useful practice to read ahead the sections to be covered. To see what material is coming next, have a look at my previous Math/Stats 425 course. After each class, the schedule will be updated with the description of the material we covered in class, examples and self-test problems, and new homework. It is a useful practice to work on the examples and self-test problems. Their solutions are included in the back of the textbook do not turn them in as a part of homework.

    Wednesday, January 4 Multiplication Principle (a.k.a. the basic principle of counting) (1.1). Permutations (1.3). Combinations (1.4 begin). Lecture notes All examples in Sections 1.2 Examples 3a, 3b, 3c 4a, 4b, 4c. Self-test problems (p.20-21): 1, 2, 3, 4, 6. Homework 1, due January 11 (p. 16-17): 3, 5, 7(a,b), 15, 17, 21. Friday, January 6 Combinations contd. (1.4). Binomial theorem. Multinomial coefficients (1.5). Lecture notes Examples 4d, 4e 5a, 5b, 5c. Self-test problems (p. 20-21):5, 8, 9, 10, 11, 12. Homework 1, due January 11 (p. 16-17): 9, 13, 28. Monday, January 9 Sample space and events. Operatoins on events (2.1-2.2). Lecture notes All Examples in 2.1-2.2. Self-test problems (p. 56-57): 1. Homework 2, due January 18 (p. 50-54): 1, 3, 6. Wednesday, January 11 Quiz 1 Axioms of probability (2.3). Properties of probability. Inclusion-Exclusion Principle (2.4 up to Example 4a). Lecture notes All examples in those sections. Self-test problems (p. 56-57): 2, 4, 14, 15. Homework 2, due January 18 (p. 50-54): 9, 11, 12 (hint: use Venn diagram for this last problem). (Do not do Problem 14 at this time it will be assigned later in Homework 3.) --> Friday, January 13 Inclusion-Exclusion Principle continued. Sample spaces having equally likely ourcomes (2.5 begins). Lecture notes Examples 5a-d, recall the Birthday Problem (Example 5i). Self-test problems (p. 56-57): 5, 6, 7, 8. Homework 2, due January 18 (p. 50-54): 8, 17, 21. Monday, January 16: no class (Martin Luther King Jr. Day) Wednesday, January 18 Quiz 2 Generalized Inclusion-Exclusion Principle (Proposition 4.4). The Matching Problem (Example 5m). More problems on equally likely outcomes. Lecture notes Examples 5e, l, n. Self-test problems (p.56-57): 10, 12, 13, 17, 18, 20. Homework 3, due January 25 (p. 50-54): 14, 23, 25, 28, 32. Friday, January 20 Conditional Probabilities. The Law of Total Probability (3.1-3.2). Lecture notes Examples 2b, e, f, the first example on p.21 of the lecture notes. Self-test problems (p.114-116): 2, 3, 5, 9a. Homework 3, due January 25 (p.102-110): 16, 19b, 21. Monday, January 23 Bayes Formula (3.3). Lecture notes Examples 3a, c, d (covered in class), e, f, k (covered in class), n. Homework 4, due February 1 (p.102-110): 15, 18, 19a, 26, 35, 90 (pass to the complement, use the inclusion-exclusion principle). Wednesday, January 25 Quiz 3 Independent events (3.4). Simple random walk. Lecture notes Examples 4b, c, g, h, i. Self-test problems (p.114-116): 4, 9b, 10, 11, 12, 15, 16 (should refer to problem 3.66b), 21, 23. Homework 4, due February 1 (p.102-110): 50, 57(a,b), 64, 66(a) (in some editions there is a typo -- this problem should refer to Figure 3.4). Friday, January 27 Random variables (4.1). Discrete random variables (4.2). Probability mass function (pmf) and cumulative distribution function (cdf). Lecture notes Examples 4a, b, c, d. No additional homework. Monday, January 30 Expected value (4.3). Examples: lottery group testing. Lecture notes Examples 3a, b, c, d. Self-test problems (p.183-185): 1, 2, 3, 4 (if you dare), 6. Homework 5, due February 8 (p.172-179): 1, 13, 17, 19. Note: the textbook often calls CDF "the distribution function". Wednesday, February 1 Quiz 4 Expected value of a function of a random variable (4.4). Variance (4.5). Lecture notes Examples 4a, 5a. Self-test problems (p.183-185): 5. Homework 5, due February 8 (p.172-179): 21, 25, 30, 35, 37. Friday, February 3 Example: the matching problem (expectation and variance). Bernoulli and binomial random variables (4.6). Lecture notes Examples 6a, b, c, e, f. Self-test problems (p.183-185): 9, 10, 11a, 12, 13. Homework 5, due February 8 (p.172-179): 42, 43, 48. Monday, February 6 Poisson distribution (4.7). Example: People vs. Collins trial. Lecture notes Examples 7a, b, c. Self-test problems (p.183-185): 14, 15. More examples are added for Feb.3 class above Homework 6, due February 15 (p.172-179): 45, 52, 53, 54, 59. Wednesday, February 8 Quiz 5 Binomial and Poisson distributions (continued). Example: jury duty letters. Lecture notes Self-test problems (p.384-387): 3, 4. Homework 6, due February 15 (p.172-179): 64(a,b) (p.373-379): 7 (express the number of chosen objects as a sum of 10 indicators), 8. Friday, February 10 Computing expectations by conditioning (from 7.5). Geometric distribution (4.8.1). Lecture notes Examples: from Section 7.5: 5c, h from section 4.8: 8a, b. Self-test problems (p.384-387): 17 (p.183-185): 22. Homework 6, due February 15 (p.373-379): 48(a,b), 53, 58 (condition on the outcome of the first flip). Monday, February 13 Continuous distributions (5.1). Uniform distribution (5.3). Lecture notes Examples: 1a, b, c (all very useful), 3c. Self-test problems (p.229-213): 1, 2, 7. Homework 7, due February 22 (p.224-227): 1, 4, 11, 13. Wednesday, February 15 Quiz 6 Transformations of random variables. Lecture notes Example from Section 5.2: 1d. Homework 7, due February 22: additional problems. Friday, February 17 Expectation of continuous random variables (5.2). Expectation and variance of the uniform distribution (Ex.3a). Lecture notes Self-test problems (p.229-231): 3, 4, 5, 6. Homework 7, due February 22 (p.224-227): 7, 14. Monday, February 20 Standard normal distribution (5.4). Lecture notes Wednesday, February 22 Midterm Exam. In class. Covers Chapters 1 - 4. Sample problems: Practice Exam (due to Prof. Montgomery): problems 1, 5. Solutions. More exam problems (due to Prof. Montgomery): try problems 1(a), 2, 3, 5, 6, 9, 10, 12. Practice Exam (due to Prof. Derksen): problems 1, 2, 4, 5. Practice Exam (due to Prof. Montgomery): problems 3(except b), 4(except d,f). Solutions. Practice Exam (due to Prof. Khoury): problems 1, 5, 8, 9, 11. Practice Exam (due to Prof. Khoury): problems 3, 4a, 5, 9, 10, 11. Practice Exam (due to Prof. Khoury): problems 2, 3, 7. Practice Exam (due to Prof. Khoury): problems 2, 8(a,b). Practice Exam (due to Prof. Khoury): problems 1, 6, 9. Practice Exam (due to Prof. Khoury): problems 1, 3, 8. Homework 1: all problems, Homework 2: 9, 11, 8, 21 Homework 3: 14, 28, 32, 16, 19, 21 Homework 4: 15, 35, 57, 66a Homework 5: 17, 19, 43, 37 Homework 6: all problems. Friday, February 24 Normal distribution with general mean and varaince (5.4). Lecture notes Examples: 4b, c, d, e. Self-test problems (p.229-231): 8, 9, 10, 11. Homework 8, due March 7 (p.224-227): 15, 16, 17, 18, 22. Winter break: February 27 - March 2 Monday, March 5 Normal approximation to the binomial distribution (5.4.1). Lecture notes Examples 4f, g, h, i. Self-test problems (p.229-231): 12, 17. Homework 9, due March 14 (p.224-227): 20, 27, 28. Wednesday, March 7 Quiz 7 Exponential distribution (5.5). Lecture notes Examples 5a, b, c, d. Self-test problems (p.229-231): 18, 19. Homework 9, due March 14 (p.224-227): 31, 32, 34, 39. Friday, March 9 Joint distributions (6.1). Lecture notes Examples 1a, b, c, d, e. Self-test problems (p.293-296): 6.2, 6.3, 6.6(a,c), 6.7(b,c,d,e,f). Homework 9, due March 14 (p.287-291):6, 8, 9(a,b,c,e), 10. Monday, March 12 Independent random variabes (6.2). Lecture notes Examples 2a, d, f. Homework 10, due March 21 (p.287-291): 15, 16, 20, 22, 23, 27. Wednesday, March 14 Quiz 8 Sums of independent random variables (6.3). Lecture notes No additional homework problems today. Friday, March 16 Sums of independent random variables (6.3). Convolutions. Sums of independent normal random variables. Lecture notes Homework 10, due March 21 (p.287-291): 29, 30, 31. Monday, March 19 Sums of independent random variables (Bimonial, Poisson, exponential). Gamma distribution (6.3 continued). Lecture notes Homework 11, due March 28 (p.287-291): 28, 33(a,b). Wednesday, March 21 Quiz 9 Conditional distributions (6.4-6.5). Lecture notes Homework 11, due March 28 (p.287-291): 40, 41, 42 (compute the conditional pdf of Y given X=x). Friday, March 23 Conditional distributions (6.4-6.5 continued). Lecture notes Homework 11, due March 28 (p.287-291): 48, and an additional problem. Monday, March 26 Transformations of joint distributions (6.7). Lecture notes Homework 12, due April 4 (p.287-291): 52, 54, 55, 56(a). Wednesday, March 28 Quiz 10 Properties of expectation (7.1). Expectation of sums of random variables (7.2-7.3). Lecture notes Homework 12, due April 4 (p.373-379): 4, 5, 11, 21. Friday, March 30 Coupon collector's problem (Section 7, Examples 3d, 2i). Expectation of product of independent random variables (Proposition 4.1). Lecture notes Homework 12, due April 4 (p.373-379): 19(a). Monday, April 2 Covariance, correlation (7.3). Lecture notes Homework 13, due April 11 (p.373-379): 50, 38, 40. Additional problem. Wednesday, April 4 Quiz 11 Properties of covariance. Variance of a sum. Lecture notes Homework 13, due April 11 (p.373-379): 6, 31, 36, 37, 42, 45, 63(a). Friday, April 6 Applications to statistics: sample mean and sample variance (Ex. 4a). Lecture notes Homework 13, due April 11 (p.373-379): 65. Monday, April 9 Moment generating functions (7.7). Lecture notes Wednesday, April 11 Quiz 12 Central Limit Theorem (8.3). Lecture notes Homework 14, will not be collected (p.413-414): 5, 7, 8, 14. Friday, April 13 Markov's and Chebyshev's inequalities. Weak law of large numbers. Monday, April 16 Review. Practice Exam 0 Practice Exam 1 Practice Exam 2 Practice Exam 3 Homework 7: 4, 7, 13, 14, additional problems 1, 2. Homework 8: 16, 22. Homework 9: 28, 32, 8, 9, 10. Homework 10: 16, 20, 22, 27, 31. Homework 11: 28, 41, 42, 48. Homework 12: 54, 56(a), 4, 5, 11, 21. Homework 13: 50, 31, 36, 37, 42, 63(a). Homework 14: 5, 7, 8, 14.
    This formula sheet will be available during the exam. In addition, you may bring two index cards (3x5 in) to the exam. You may write whatever you like on viens side of each card. Please only write by hand on the cards photocopyied or printed cards are not allowed. Friday, April 20 Final Exam. 1:30-3:30 pm, in 1400 CHEM. Covers the whole course.

    Course webpage: http://www-personal.umich.edu/

    romanv/teaching/2011-12/425/425.html
    Also see the Ctools class page which contains the archive of e-mail messages to the class, forums and chat room.