Raksti

9.4: Vienkāršojiet sarežģītas racionālas izteiksmes - matemātika


Vienkāršojiet sarežģītu racionālu izteiksmi, rakstot to kā dalījumu

Kompleksās frakcijas ir daļas, kurās skaitītājs vai saucējs satur daļu. Iepriekš mēs vienkāršojām šādas sarežģītas frakcijas:

[ dfrac { dfrac {3} {4}} { dfrac {5} {8}} quad quad quad dfrac { dfrac {x} {2}} { dfrac {xy} {6 }} nonumber ]

Šajā sadaļā mēs vienkāršosim sarežģītas racionālas izteiksmes, kas ir racionālas izteiksmes ar racionālām izteiksmēm skaitītājā vai saucējā.

Kompleksa racionāla izteiksme

Šeit ir daži sarežģīti racionāli izteicieni:

[ dfrac { dfrac {4} {y-3}} { dfrac {8} {y ^ {2} -9}} quad quad dfrac { dfrac {1} {x} + dfrac {1} {y}} { dfrac {x} {y} - dfrac {y} {x}} quad quad dfrac { dfrac {2} {x + 6}} { dfrac {4} {x-6} - dfrac {4} {x ^ {2} -36}} nonumber ]

Atcerieties, ka mēs vienmēr izslēdzam vērtības, kas jebkuru saucēju padarītu par nulli.

Mēs izmantosim divas metodes, lai vienkāršotu sarežģītas racionālas izteiksmes.

Šo sarežģīto racionālo izteicienu mēs jau esam redzējuši iepriekš šajā nodaļā.

[ dfrac { dfrac {6 x ^ {2} -7 x + 2} {4 x-8}} { dfrac {2 x ^ {2} -8 x + 3} {x ^ {2} - 5 x + 6}} nonumber ]

Mēs atzīmējām, ka frakciju joslas mums liek dalīties, tāpēc to pārrakstījām kā sadalīšanas problēmu:

[ left ( dfrac {6 x ^ {2} -7 x + 2} {4 x-8} right) div left ( dfrac {2 x ^ {2} -8 x + 3} { x ^ {2} -5 x + 6} pa labi) nonumber ]

Pēc tam mēs reizinājām pirmo racionālo izteicienu ar otrās kārtas otrādi, tāpat kā mēs to darām, sadalot divas daļas.

Šī ir viena metode sarežģītu racionālu izteicienu vienkāršošanai. Mēs pārliecināmies, ka sarežģītā racionālā izteiksme ir tādā formā, kur viena daļa pārsniedz vienu daļu. Pēc tam mēs to uzrakstām tā, it kā mēs dalītu divas daļas.

Piemērs ( PageIndex {1} )

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, ierakstot to kā dalījumu: [ dfrac { dfrac {6} {x-4}} { dfrac {3} {x ^ {2} -16}} nonumber ]

Risinājums

Pārrakstiet sarežģīto daļu kā dalījumu. [ dfrac {6} {x-4} div dfrac {3} {x ^ {2} -16} nonumber ]

Pārrakstiet kā pirmo reizinājumu otrās kārtas otrreizējo. Pārrakstiet kā pirmās reizes reizinājumu par otrās otrreizējo. Pārrakstiet kā pirmās reizes reizinājumu par otrās otrreizējo.

[ dfrac {6} {x-4} cdot dfrac {x ^ {2} -16} {3} nonumber ]

Faktors.

[ dfrac {3 cdot 2} {x-4} cdot dfrac {(x-4) (x + 4)} {3} nonumber ]

Pavairot.

[ dfrac {3 cdot 2 (x-4) (x + 4)} {3 (x-4)} nonumber ]

Noņemiet izplatītākos faktorus.

[ dfrac { cancel {3} cdot 2 cancel {(x-4)} (x + 4)} { cancel {3} cancel {(x-4)}} nonumber ]

Vienkāršojiet.

[2 (x + 4) skaitlis ]

Vai ir kāda vērtība (x ), kuru nedrīkst atļaut? Sākotnējā sarežģītajā racionālajā izteiksmē bija saucēji (x-4 ) un (x ^ 2-16 ). Šī izteiksme nebūtu definēta, ja (x = 4 ) vai (x = -4 ).

Vingrinājums ( PageIndex {1} )

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, ierakstot to kā dalījumu: [ dfrac { dfrac {2} {x ^ {2} -1}} { dfrac {3} {x + 1}} nonumber ]

Atbilde

( dfrac {2} {3 (x-1)} )

Vingrinājums ( PageIndex {2} )

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, ierakstot to kā dalījumu: [ dfrac { dfrac {1} {x ^ {2} -7 x + 12}} { dfrac {2} {x-4}} nonumber ]

Atbilde

( dfrac {1} {2 (x-3)} )

Frakciju joslas darbojas kā grupēšanas simboli. Tātad, lai ievērotu darbību kārtību, mēs pēc iespējas vienkāršojam skaitītāju un saucēju, pirms mēs varam veikt sadalīšanu.

Piemērs ( PageIndex {2} )

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, ierakstot to kā dalījumu: [ dfrac { dfrac {1} {3} + dfrac {1} {6}} { dfrac {1} {2} - dfrac {1} { 3}} nonumber ]

Risinājums

Vienkāršojiet skaitītāju un saucēju. Atrodiet LCD un pievienojiet skaitītājā frakcijas. Atrodiet LCD un atņemiet saucējā frakcijas.

[ dfrac { dfrac {1 cdot { color {red} 2}} {3 cdot { color {red} 2}} + dfrac {1} {6}} { dfrac {1 cdot { color {red} 3}} {2 cdot { color {red} 3}} - dfrac {1 cdot { color {red} 2}} {3 cdot { color {red} 2} }} nonumber ]

Vienkāršojiet skaitītāju un saucēju.

[ dfrac { dfrac {2} {6} + dfrac {1} {6}} { dfrac {3} {6} - dfrac {2} {6}} nonumber ]

Pārrakstiet sarežģīto racionālo izteicienu kā dalīšanas problēmu.

[ dfrac {3} {6} div dfrac {1} {6} nonumber ]

Pirmo reiziniet ar otrreizējo.

[ dfrac {3} {6} cdot dfrac {6} {1} nonumber ]

Vienkāršojiet.

[3 bez numura ]

Vingrinājums ( PageIndex {3} )

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, ierakstot to kā dalījumu: [ dfrac { dfrac {1} {2} + dfrac {2} {3}} { dfrac {5} {6} + dfrac {1} { 12}} nonumber ]

Atbilde

( dfrac {14} {11} )

Vingrinājums ( PageIndex {4} )

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, ierakstot to kā dalījumu: [ dfrac { dfrac {3} {4} - dfrac {1} {3}} { dfrac {1} {8} + dfrac {5} { 6}} nonumber ]

Atbilde

( dfrac {10} {23} )

Mēs veicam to pašu procedūru, kad sarežģītā racionālā izteiksme satur mainīgos.

Piemērs ( PageIndex {3} ): Kā vienkāršot sarežģītu racionālu izteiksmi, izmantojot sadalījumu

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, ierakstot to kā dalījumu: [ dfrac { dfrac {1} {x} + dfrac {1} {y}} { dfrac {x} {y} - dfrac {y} { x}} nonumber ]

Risinājums

1. solis. Vienkāršojiet skaitītāju.

Mēs vienkāršosim summu un saucēju. skaitītājs un saucēja starpība.

[ dfrac { dfrac {1} {x} + dfrac {1} {y}} { dfrac {x} {y} - dfrac {y} {x}} nonumber ]

Atrodiet kopsaucēju un saskaitiet skaitītājā frakcijas.

[ dfrac { dfrac {1 cdot { color {red} y}} {x cdot { color {red} y}} + dfrac {1 cdot { color {red} x}} { y cdot { color {red} x}}} { dfrac {x cdot { color {red} x}} {y cdot { color {red} x}} - dfrac {y cdot { color {red} y}} {x cdot { color {red} y}}} nonumber ]

[ dfrac { dfrac {y} {xy} + dfrac {x} {xy}} { dfrac {x ^ {2}} {xy} - dfrac {y ^ {2}} {xy}} nonumber ]

Atrodiet kopsaucēju un atņemiet saucējā frakcijas.

[ dfrac { dfrac {y + x} {x y}} { dfrac {x ^ {2} -y ^ {2}} {x y}} nonumber ]

Tagad mums ir tikai viena racionāla izteiksme skaitītājā un viena saucējā.

2. solis. Pārrakstiet sarežģīto racionālo izteicienu kā dalīšanas problēmu.

Mēs rakstām skaitītāju, dalot to ar saucēju.

[ left ( dfrac {y + x} {x y} right) div left ( dfrac {x ^ {2} -y ^ {2}} {x y} right) nonumber ]

3. solis. Sadaliet izteicienus.

Pirmo reiziniet ar otrreizējo.

[ left ( dfrac {y + x} {x y} right) cdot left ( dfrac {x y} {x ^ {2} -y ^ {2}} right) nonumber ]

Ja iespējams, ņemiet vērā izteicienus.

[ dfrac {x y (y + x)} {x y (x-y) (x + y)} nonumber ]

Noņemiet izplatītākos faktorus.

[ dfrac { atcelt {x y} atcelt {(y + x)}} { atcelt {x y} (x-y) atcelt {(x + y)}} bez numura ]

Vienkāršojiet.

[ dfrac {1} {x-y} nonumber ]

Vingrinājums ( PageIndex {5} )

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, ierakstot to kā dalījumu: [ dfrac { dfrac {1} {x} + dfrac {1} {y}} { dfrac {1} {x} - dfrac {1} { y}} nonumber ]

Atbilde

( dfrac {y + x} {y-x} )

Vingrinājums ( PageIndex {6} )

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, ierakstot to kā dalījumu: [ dfrac { dfrac {1} {a} + dfrac {1} {b}} { dfrac {1} {a ^ {2}} - dfrac {1} {b ^ {2}}} nonumber ]

Atbilde

( dfrac {a b} {b-a} )

Šeit apkopojam soļus.

kā vienkāršot sarežģītu racionālu izteicienu, ierakstot to kā dalījumu.

  1. Pārrakstiet sarežģīto racionālo izteicienu kā dalīšanas problēmu.
  2. Sadaliet izteicienus.

Piemērs ( PageIndex {4} )

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, ierakstot to kā dalījumu: [ dfrac {n- dfrac {4 n} {n + 5}} { dfrac {1} {n + 5} + dfrac {1} {n- 5}} nonumber ]

Risinājums

Vienkāršojiet skaitītāju un saucēju. Atrodiet kopsaucējus skaitītājam un saucējam.

[ dfrac { dfrac {n { color {red} (n + 5)}} {1 { color {red} (n + 5)}} - dfrac {4 n} {n + 5}} { dfrac {1 { color {red} (n-5)}} {(n + 5) { color {red} (n-5)}} + dfrac {1 { color {red} (n +5)}} {(n-5) { color {red} (n + 5)}}} nonumber ]

Vienkāršojiet skaitītājus.

[ dfrac { dfrac {n ^ {2} +5 n} {n + 5} - dfrac {4 n} {n + 5}} { dfrac {n-5} {(n + 5) ( n-5)} + dfrac {n + 5} {(n-5) (n + 5)}} numurs #

Atņemiet racionālās izteiksmes skaitītājā un pievienojiet saucējā.

[ dfrac { dfrac {n ^ {2} +5 n-4 n} {n + 5}} { dfrac {n-5 + n + 5} {(n + 5) (n-5)} } nonumber ]

Vienkāršojiet. (Mums tagad ir viena racionāla izteiksme pār vienu racionālu izteicienu.)

[ dfrac { dfrac {n ^ {2} + n} {n + 5}} { dfrac {2n} {(n + 5) (n-5)}} nonumber ]

Pārrakstīt kā daļu dalījumu.

[ dfrac {n ^ {2} + n} {n + 5} div dfrac {2 n} {(n + 5) (n-5)} nonumber ]

Pirmo reizi reiziniet otrās kārtas abpusējo.

[ dfrac {n ^ {2} + n} {n + 5} cdot dfrac {(n + 5) (n-5)} {2 n} nonumber ]

Ja iespējams, ņemiet vērā izteicienus.

[ dfrac {n (n + 1) (n + 5) (n-5)} {(n + 5) 2 n} skaitlis ]

Noņemiet izplatītākos faktorus.

[ dfrac { atcelt {n} (n + 1) atcelt {(n + 5)} (n-5)} { atcelt {(n + 5)} 2 atcelt {n}} bez numura ]

Vienkāršojiet.

[ dfrac {(n + 1) (n-5)} {2} nonumber ]

Vingrinājums ( PageIndex {7} )

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, ierakstot to kā dalījumu: [ dfrac {b- dfrac {3 b} {b + 5}} { dfrac {2} {b + 5} + dfrac {1} {b- 5}} nonumber ]

Atbilde

( dfrac {b (b + 2) (b-5)} {3 b-5} )

Vingrinājums ( PageIndex {8} )

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, ierakstot to kā dalījumu: [ dfrac {1- dfrac {3} {c + 4}} { dfrac {1} {c + 4} + dfrac {c} {3}} nonumber ]

Atbilde

( dfrac {3} {c + 3} )

Vienkāršojiet sarežģītu racionālu izteiksmi, izmantojot LCD

Mēs "notīrījām" frakcijas, reizinot ar LCD, kad atrisinājām vienādojumus ar daļām. Mēs šeit varam izmantot šo stratēģiju, lai vienkāršotu sarežģītas racionālas izteiksmes. Mēs reizināsim skaitītāju un saucēju ar visu racionālo izteicienu LCD.

Apskatīsim sarežģīto racionālo izteiksmi, ko mēs vienā veidā vienkāršojām 7.4.2. Piemērā. Mēs to šeit vienkāršosim, reizinot skaitītāju un saucēju ar LCD. Reizinot ar ( dfrac {LCD} {LCD} ), mēs reizinām ar 1, tāpēc vērtība paliek nemainīga.

Piemērs ( PageIndex {5} )

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, izmantojot LCD: [ dfrac { dfrac {1} {3} + dfrac {1} {6}} { dfrac {1} {2} - dfrac {1} {3 }} nonumber ]

Risinājums

Visu ekspozīcijas frakciju LCD ir 6.

Notīriet frakcijas, reizinot skaitītāju un saucēju ar šo LCD.

[ dfrac {{ color {red} 6} cdot left ( dfrac {1} {3} + dfrac {1} {6} right)} {{ color {red} 6} cdot left ( dfrac {1} {2} - dfrac {1} {3} right)} nonumber ]

Izplatīt.

[ dfrac {6 cdot dfrac {1} {3} +6 cdot dfrac {1} {6}} {6 cdot dfrac {1} {2} -6 cdot dfrac {1} {3}} nonumber ]

Vienkāršojiet.

[ dfrac {2 + 1} {3-2} nonumber ]

[ dfrac {3} {1} nonumber ]

[3 bez numura ]

Vingrinājums ( PageIndex {9} )

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, izmantojot LCD: [ dfrac { dfrac {1} {2} + dfrac {1} {5}} { dfrac {1} {10} + dfrac {1} {5 }} nonumber ]

Atbilde

( dfrac {7} {3} )

Vingrinājums ( PageIndex {10} )

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, izmantojot LCD: [ dfrac { dfrac {1} {4} + dfrac {3} {8}} { dfrac {1} {2} - dfrac {5} {16 }} nonumber ]

Atbilde

( dfrac {10} {3} )

Mēs izmantosim to pašu piemēru kā 7.4.3. Izlemiet, kura metode jums darbojas labāk.

Piemērs ( PageIndex {6} ): Kā vienkāršot sarežģītu racionālu izteiksmi, izmantojot LCD

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, izmantojot LCD: [ dfrac { dfrac {1} {x} + dfrac {1} {y}} { dfrac {x} {y} - dfrac {y} {x }} nonumber ]

Risinājums

1. solis. Atrodiet visu frakciju LCD ir sarežģītā racionālā izteiksmē.

LCD visu frakciju (xy ).

[ dfrac { dfrac {1} {x} + dfrac {1} {y}} { dfrac {x} {y} - dfrac {y} {x}} nonumber ]

2. solis. Reiziniet skaitītāju un saucēju ar LCD.

Reiziniet gan skaitītāju, gan saucēju ar (xy ).

[ dfrac {{ color {red} xy} cdot left ( dfrac {1} {x} + dfrac {1} {y} right)} {{ color {red} xy} cdot left ( dfrac {x} {y} - dfrac {y} {x} right)} nonumber ]

3. solis. Vienkāršojiet izteicienu.

Izplatīt.

[ dfrac {xy cdot dfrac {1} {x} + xy cdot dfrac {1} {y}} {xy cdot dfrac {x} {y} -xy cdot dfrac {y} {x}} nonumber ]

[ dfrac {y + x} {x ^ {2} -y ^ {2}} nonumber ]

Vienkāršojiet.

[ dfrac { cancel {(y + x)}} {(x-y) cancel {(x + y)}} nonumber ]

Noņemiet izplatītākos faktorus.

[ dfrac {1} {x-y} nonumber ]

Vingrinājums ( PageIndex {11} )

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, izmantojot LCD: [ dfrac { dfrac {1} {a} + dfrac {1} {b}} { dfrac {a} {b} + dfrac {b} {a }} nonumber ]

Atbilde

( dfrac {b + a} {a ^ {2} + b ^ {2}} )

Vingrinājums ( PageIndex {12} )

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, izmantojot LCD: [ dfrac { dfrac {1} {x ^ {2}} - dfrac {1} {y ^ {2}}} { dfrac {1} {x} + dfrac {1} {y}} nonumber ]

Atbilde

( dfrac {y-x} {x y} )

kā vienkāršot sarežģītu racionālu izteicienu, izmantojot LCD.

  1. Reiziniet skaitītāju un saucēju ar LCD.
  2. Vienkāršojiet izteicienu.

Sāciet, ieskaitot visus saucējus, lai jūs varētu atrast LCD.

Piemērs ( PageIndex {7} )

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, izmantojot LCD: [ dfrac { dfrac {2} {x + 6}} { dfrac {4} {x-6} - dfrac {4} {x ^ {2} - 36}} nonumber ]

Risinājums

Atrodiet visu frakciju LCD sarežģītajā racionālajā izteiksmē. LCD ir:

[x ^ {2} -36 = (x + 6) (x-6) skaitlis ]

Reiziniet skaitītāju un saucēju ar LCD.

[ dfrac {(x + 6) (x-6) dfrac {2} {x + 6}} {(x + 6) (x-6) left ( dfrac {4} {x-6} - dfrac {4} {(x + 6) (x-6)} labi)} nonumber ]

Vienkāršojiet izteicienu.

Izplatiet saucējā.

[ dfrac {(x + 6) (x-6) dfrac {2} {x + 6}} {{ color {red} (x + 6) (x-6)} left ( dfrac { 4} {x-6} right) - { color {red} (x + 6) (x-6)} left ( dfrac {4} {(x + 6) (x-6)} right )} nonumber ]

Vienkāršojiet.

[ dfrac { cancel {(x + 6)} (x-6) dfrac {2} { cancel {x + 6}}} {{ color {red} (x + 6) Cancel {( x-6)}} left ( dfrac {4} {x-6} right) - { color {red} Cancel {(x + 6) (x-6)}} left ( dfrac { 4} { atcelt {(x + 6) (x-6)}} pa labi)} bez numura ]

Vienkāršojiet.

[ dfrac {2 (x-6)} {4 (x + 6) -4} nonumber ]

Lai vienkāršotu saucēju, izplatiet un apvienojiet līdzīgus terminus.

[ dfrac {2 (x-6)} {4 x + 20} nonumber ]

Faktors saucējs.

[ dfrac {2 (x-6)} {4 (x + 5)} nonumber ]

Noņemiet izplatītākos faktorus.

[ dfrac { cancel {2} (x-6)} { cancel {2} cdot 2 (x + 5)} nonumber ]

Vienkāršojiet.

[ dfrac {x-6} {2 (x + 5)} nonumber ]

Ievērojiet, ka skaitītājam un saucējam vairs nav kopēju faktoru.

Vingrinājums ( PageIndex {13} )

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, izmantojot LCD: [ dfrac { dfrac {3} {x + 2}} { dfrac {5} {x-2} - dfrac {3} {x ^ {2} - 4}} nonumber ]

Atbilde

( dfrac {3 (x-2)} {5 x + 7} )

Vingrinājums ( PageIndex {14} )

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, izmantojot LCD: [ dfrac { dfrac {2} {x-7} - dfrac {1} {x + 7}} { dfrac {6} {x + 7} - dfrac {1} {x ^ {2} -49}} nonumber ]

Atbilde

( dfrac {x + 21} {6 x-43} )

Vispirms noteikti ņemiet vērā saucējus. Rīkojieties uzmanīgi, jo matemātika var kļūt nesakārtota!

Piemērs ( PageIndex {8} )

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, izmantojot LCD: [ dfrac { dfrac {4} {m ^ {2} -7 m + 12}} { dfrac {3} {m-3} - dfrac {2} {m-4}} nonumber ]

Risinājums

Atrodiet visu frakciju LCD sarežģītajā racionālajā izteiksmē.

LCD ir ((m − 3) (m − 4) ).

Reiziniet skaitītāju un saucēju ar LCD.

[ dfrac {(m-3) (m-4) dfrac {4} {(m-3) (m-4)}} {(m-3) (m-4) pa kreisi ( dfrac { 3} {m-3} - dfrac {2} {m-4} right)} nonumber ]

Vienkāršojiet.

[ dfrac { cancel {(m-3) (m-4)} dfrac {4} { cancel {(m-3) (m-4)}}} { Atcelt {(m-3) } (m-4) left ( dfrac {3} { cancel {m-3}} right) - (m-3) cancel {(m-4)} left ( dfrac {2} { atcelt {m-4}} labi)} nonumber ]

Vienkāršojiet.

[ dfrac {4} {3 (m-4) -2 (m-3)} nonumber ]

Izplatīt.

[ dfrac {4} {3m-12-2m + 6} nonumber ]

Apvienojiet līdzīgus terminus.

[ dfrac {4} {m-6} nonumber ]

Vingrinājums ( PageIndex {15} )

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, izmantojot LCD: [ dfrac { dfrac {3} {x ^ {2} +7 x + 10}} { dfrac {4} {x + 2} + dfrac {1} {x + 5}} nonumber ]

Atbilde

( dfrac {3} {5 x + 22} )

Vingrinājums ( PageIndex {16} )

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, izmantojot LCD: [ dfrac { dfrac {4 y} {y + 5} + dfrac {2} {y + 6}} { dfrac {3 y} {y ^ {2 } +11 y + 30}} nonumber ]

Atbilde

( dfrac {2 pa kreisi (2 y ^ {2} +13 y + 5 pa labi)} {3 y} )

Piemērs ( PageIndex {9} )

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, izmantojot LCD: [ dfrac { dfrac {y} {y + 1}} {1+ dfrac {1} {y-1}} nonumber ]

Risinājums

Atrodiet visu frakciju LCD sarežģītajā racionālajā izteiksmē.

LCD ir ((y + 1) (y − 1) ).

Reiziniet skaitītāju un saucēju ar LCD.

[ dfrac {(y + 1) (y-1) dfrac {y} {y + 1}} {(y + 1) (y-1) pa kreisi (1+ dfrac {1} {y- 1} labi)} nonumber ]

Izplatiet saucējā un vienkāršojiet.

[ dfrac { Atcelt {(y + 1)} (y-1) dfrac {y} { Atcelt {y + 1}}} {(y + 1) (y-1) (1) + ( y + 1) Atcelt {(y-1)} pa kreisi ( dfrac {1} { atcelt {(y-1)}} pa labi)} nonumber ]

Vienkāršojiet.

[ dfrac {(y-1) y} {(y + 1) (y-1) + (y + 1)} nonumber ]

Vienkāršojiet saucēju un atstājiet skaitītāju ņemtu vērā.

[ dfrac {y (y-1)} {y ^ {2} -1 + y + 1} nonumber ]

[ dfrac {y (y-1)} {y ^ {2} + y} nonumber ]

Faktors saucēju un noņem faktorus, kas kopīgi ar skaitītāju.

[ dfrac { cancel {y} (y-1)} { cancel {y} (y + 1)} nonumber ]

Vienkāršojiet.

[ dfrac {y-1} {y + 1} nonumber ]

Vingrinājums ( PageIndex {17} )

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, izmantojot LCD: [ dfrac { dfrac {x} {x + 3}} {1+ dfrac {1} {x + 3}} nonumber ]

Atbilde

( dfrac {x} {x + 4} )

Vingrinājums ( PageIndex {18} )

Vienkāršojiet sarežģīto racionālo izteiksmi, izmantojot LCD: [ dfrac {1+ dfrac {1} {x-1}} { dfrac {3} {x + 1}} nonumber ]

Atbilde

( dfrac {x (x + 1)} {3 (x-1)} )

Piekļūstiet šim tiešsaistes resursam, lai iegūtu papildu instrukcijas un praksi ar sarežģītām daļām.

  • Sarežģītas frakcijas

9-4 Racionālo izteicienu reizināšana un dalīšana (1. diena) - PowerPoint PPT prezentācija

Nosaukums: Algebrisko frakciju vienkāršošana Autors: Angel Pēdējoreiz modificēja: Angel Izveidošanas datums: 2007.04.10. 23:53:16 Dokumenta prezentācijas formāts: Rādīt ekrānā & ndash PowerPoint PPT prezentācija

PowerShow.com ir vadošā prezentāciju / slaidrāžu koplietošanas vietne. Neatkarīgi no tā, vai jūsu pieteikums ir bizness, apmācība, izglītība, medicīna, skola, baznīca, pārdošana, mārketings, tiešsaistes apmācība vai tikai izklaidei, PowerShow.com ir lielisks resurss. Un pats labākais, ka lielākā daļa tā atdzist funkciju ir bezmaksas un viegli lietojamas.

Varat izmantot programmu PowerShow.com, lai atrastu un lejupielādētu tiešsaistes PowerPoint ppt prezentāciju piemērus par jebkuru tēmu, kuru varat iedomāties, lai jūs varētu uzzināt, kā bez maksas uzlabot savus slaidus un prezentācijas. Vai arī izmantojiet to, lai atrastu un lejupielādētu augstas kvalitātes PowerPoint ppt prezentācijas ar ilustrētiem vai animētiem slaidiem, kas iemācīs jums darīt kaut ko jaunu, arī bez maksas. Vai arī izmantojiet to, lai augšupielādētu savus PowerPoint slaidus, lai jūs varētu tos kopīgot ar skolotājiem, klasi, studentiem, priekšniekiem, darbiniekiem, klientiem, potenciālajiem investoriem vai pasauli. Vai arī izmantojiet to, lai izveidotu ļoti foršas fotoattēlu slaidrādes - ar 2D un 3D pārejām, animāciju un jūsu izvēlēto mūziku - kuras varat kopīgot ar saviem Facebook draugiem vai Google+ lokiem. Arī tas viss ir bez maksas!

Par nelielu samaksu jūs varat iegūt nozares labāko tiešsaistes privātumu vai publiski reklamēt savas prezentācijas un slaidrādes ar augstāko rangu. Bet bez tā tas ir bez maksas. Mēs pat pārveidosim jūsu prezentācijas un slaidrādes universālajā Flash formātā ar visu to sākotnējo multimediju krāšņumu, ieskaitot animāciju, 2D un 3D pārejas efektus, iegultu mūziku vai citu audio vai pat slaidos ievietotu video. Viss bez maksas. Lielāko daļu PowerShow.com sniegto prezentāciju un slaidrāžu var bez maksas apskatīt, daudzas pat bez maksas var lejupielādēt. (Jūs varat izvēlēties, vai ļaut cilvēkiem lejupielādēt jūsu oriģinālās PowerPoint prezentācijas un fotoattēlu slaidrādes par maksu vai bez maksas vai vispār.) Apskatiet PowerShow.com šodien - BEZ MAKSAS. Katram ir patiešām kaut kas!

prezentācijas bez maksas. Vai arī izmantojiet to, lai atrastu un lejupielādētu augstas kvalitātes PowerPoint ppt prezentācijas ar ilustrētiem vai animētiem slaidiem, kas iemācīs jums darīt kaut ko jaunu, arī bez maksas. Vai arī izmantojiet to, lai augšupielādētu savus PowerPoint slaidus, lai jūs varētu tos kopīgot ar skolotājiem, klasi, studentiem, priekšniekiem, darbiniekiem, klientiem, potenciālajiem investoriem vai pasauli. Vai arī izmantojiet to, lai izveidotu ļoti foršas fotoattēlu slaidrādes - ar 2D un 3D pārejām, animāciju un jūsu izvēlēto mūziku - kuras varat kopīgot ar saviem Facebook draugiem vai Google+ lokiem. Arī tas viss ir bez maksas!


9.4: Vienkāršojiet sarežģītas racionālas izteiksmes - matemātika

Sāciet risināt savas algebras problēmas nākamajās 5 minūtēs!

Algebras palīgs
Lejupielādēt (un izvēles kompaktdisku)

Uzmanību: mēs pašlaik piedāvājam īpašu reklāmas piedāvājumu Algebra-Answer.com apmeklētājiem - ja jūs pasūtīsit Algebra Helper līdz 4. jūlija pusnaktij, jums būs jāmaksā tikai 39,99 USD, nevis mūsu parastā cena 74,99 USD - tas ir $35 ietaupījumos! Lai izmantotu šo piedāvājumu, jums jāpasūta, noklikšķinot uz vienas no pogām kreisajā pusē, nevis caur mūsu parasto pasūtījumu lapu.

Ja pasūtīsit tagad, jūs saņemsiet arī 30 minūšu tiešraides sesiju no tutor.com par 1 $!

Jūs iemācīsities algebru labāk - garantēts!

Vienkārši ieskatieties, cik neticami vienkārša ir Algebra Helper:

1. darbība: ievadiet mājasdarba problēmu vienkāršā WYSIWYG (ko redzat, tas ir tas, ko jūs saņemat) algebras redaktorā:

2. solis: ļaujiet algebras palīgam to atrisināt:

3. solis: jautājiet paskaidrojumus par nesaprotamām darbībām:


Racionālo izteicienu vienkāršošana

& # 8226 Studenti iemācīsies definēt un identificēt racionālas izteiksmes.

& # 8226 Studenti iemācīsies vienkāršot racionālas izteiksmes ar polinomiem.

& # 8226 Studenti iemācīsies izmantot GCF kā vienkāršošanas rīku.

& # 8226 Studenti praktizēs visas šīs prasmes.

Ieteicamās pakāpes:

Septītā pakāpe - astotā pakāpe - devītā pakāpe - desmitā pakāpe - ieskaitot speciālās izglītības audzēkņus

Nodarbības procedūra:

Izdrukājiet klases stundu plānu un darblapas jautājumus (skatīt zemāk).

Nodarbības fragments:

- "Šodien mēs sāksim strādāt ar racionālām izteiksmēm. Ja jūs domājat atpakaļ uz racionāliem skaitļiem, mēs zinām, ka racionāls skaitlis tiek rakstīts frakciju formā, kur a / b un b nekad nevar būt 0. Tātad mēs zinām, ka frakcijas , decimāldaļas un jaukti skaitļi, gan pozitīvi, gan negatīvi, ir racionāli skaitļi. "
- "Tagad mēs pārietam pie racionālām izteiksmēm. Algebrā racionāla izteiksme tiek uzrakstīta daļās. Gan skaitītājs, gan saucējs ir polinomi. Kopējiet šīs piezīmes piezīmju grāmatiņās."
- Bortā: Racionāla izteiksme, kas rakstīta frakciju formā, kur skaitītājs un saucējs ir gan polinomi. Saucējs nekad nav 0. Frakcijas josla nozīmē, ka dalījums ir darbība.
- "Tāpat kā tad, kad mēs strādājām ar racionāliem skaitļiem, ar racionālām izteiksmēm, saucējs nekad nevar būt 0. Arī frakcijas josla nozīmē, ka darbība ir 0."


RĀCIJAS IZTEIKUMU VIENKĀRŠOŠANA

Pari vajag 4 stundas, lai pabeigtu darbu. Viņa draugam Yuvanam ir vajadzīgas 6 stundas, lai pabeigtu to pašu darbu. Cik ilgs laiks būs jāpabeidz, ja viņi strādā kopā?

Stundu skaits, ko veica pari & # xa0 = & # xa0 4 stundas

Stundu skaits, ko veica Yuvan & # xa0 = & # xa0 6 stundas

Darbs, ko vienā stundā veica Pari & # xa0 = & # xa0 1/4

Darbs, ko vienā stundā veica Pari & # xa0 = & # xa0 1/6

kopā paveiktais darbs vienā stundā & # xa0 = & # xa0 (1/4) + (1/6)

Stundu skaits, ko veikuši abi & # xa0 = & # xa0 12/5

Konvertēsim minūtēs & # xa0 = & # xa0 (12/5) 60 & # xa0 = & # xa0 144 minūtes

Inija nopirka 50 kg augļu, kas sastāvēja no āboliem un banāniem. Par ābolu viņa maksāja divreiz vairāk par kg, nekā par banānu. Ja Inija nopirka ₹ 1800 vērtu ābolu un ₹ 600 banānu vērtībā, tad cik kg katra augļa viņa nopirka?

Lai "x" ir kilogramu banānu skaits un "2x" ir ābolu kilogramu skaits.

Ābolu kg skaits (maksa par kg) & # xa0 = & # xa0 1800

Ābolu kg skaits (2x) & # xa0 = & # xa0 1800

Banānu kilogramu skaits (maksa par kg) & # xa0 = & # xa0 600

Banānu kilogramu skaits (x) & # xa0 = & # xa0 600

Ābolu kg skaits & # xa0 = & # xa0 600 / x & # xa0 ----- (2)

Piemērojot x = 30 (1), mēs iegūstam & # xa0

Piemērojot x = 30 (2), mēs iegūstam & # xa0

Papildus iepriekš norādītajām lietām, ja jums ir nepieciešamas citas lietas matemātikā, lūdzu, izmantojiet mūsu google pielāgoto meklēšanu šeit.

Ja jums ir atsauksmes par mūsu matemātikas saturu, lūdzu, nosūtiet mums e-pastu: & # xa0

Mēs vienmēr novērtējam jūsu atsauksmes. & # Xa0

Varat arī apmeklēt šādas tīmekļa lapas ar dažādiem matemātikas jautājumiem. & # Xa0


Algebrisko izteicienu darblapu vienkāršošana

Izmantojiet šo kodolīgo bezmaksas izdrukājamo darblapu komplektu, kas aptver visas būtiskās tēmas, vienkāršojot algebriskās izteiksmes. Iekļautas tādas tēmas kā lineāro izteiksmju vienkāršošana un polinomu izteiksmes, kas vienkāršo izteicienus, kas satur daudzveidīgos un eksponentus.

Darba lapas ir ļoti ieteicamas 6. klases, 7. klases un 8. klases skolēniem.

Apvienojiet līdzīgos terminus, veiciet darbību secību un pielietojiet izplatīšanas rekvizītus visur, kur nepieciešams, lai vienkāršotu šajā PDF darblapās sniegtās lineārās izteiksmes.

Apvienojiet līdzīgos terminus, lai vienkāršotu šo polinomu izteicienu kopu.

Izmantojiet eksponentu likumu, lai vienkāršotu katru izteicienu, kas ietver pozitīvos un negatīvos eksponentus.

Izmantojiet šo 7. klases bezmaksas PDF darblapu, lai atrastu četrstūru perimetru ar izmēriem, kas izteikti algebriskās izteiksmēs. Pievienojiet sānu garumus, vienkāršojiet algebriskās izteiksmes un izteikt perimetru izteiksmē.

Šajā 7. un 8. pakāpes darblapā izteiksmē ir iekļauti divi vai vairāki mainīgie. Vienkāršojiet katru izteiksmi ar vairākiem mainīgajiem, apvienojot līdzīgos terminus.


9.4: Vienkāršojiet sarežģītas racionālas izteiksmes - matemātika

Darbības ar kompleksiem skaitļiem

· Atrodiet sarežģītu skaitļu konjugātus.

Katru reizi, kad tiek ieviesti jauna veida numuri, viens no pirmajiem jautājumiem, kas jārisina, ir “Kā tos pievienot?” Šajā tēmā uzzināsiet, kā pievienot sarežģītus skaitļus, kā arī to, kā tos atņemt, reizināt un sadalīt.

Sarežģītu skaitļu saskaitīšana un atņemšana

Vispirms apsveriet šādu izteicienu.

Lai vienkāršotu šo izteicienu, jūs apvienojat līdzīgus terminus 6x un 4x. Tie ir līdzīgi termini, jo tiem ir viens un tas pats mainīgais ar vienādiem eksponentiem. Tāpat 8 un 2 ir līdzīgi termini, jo tie abi ir konstantes, bez mainīgajiem.

(6x + 8) + (4x + 2) = 10x + 10

Tādā pašā veidā jūs varat vienkāršot izteicienus ar radikāļiem.

Jūs varat pievienot, jo abiem terminiem ir viens un tas pats radikāls, tāpat kā 6x un 4x ir viens un tas pats mainīgais un eksponents.

Numurs i izskatās kā mainīgais, taču atcerieties, ka tas ir vienāds ar. Lieliski ir tas, ka jums nav jaunu noteikumu, par kuriem būtu jāuztraucas - neatkarīgi no tā, vai jūs to traktējat kā mainīgo vai radikālu, tieši tie paši noteikumi attiecas uz saskaitīšanu un atņemšanu kompleksie skaitļi. Jūs apvienojat iedomātās daļas (terminus ar i), un jūs apvienojat reālās daļas.

Pievienot. (−3 + 3i) + (7 – 2i)

Pārkārtojiet summas, lai saliktu līdzīgus terminus.

3i – 2i = (3 – 2)i = i

(−3 + 3i) + (7 – 2i) = 4 + i

Atņemt. (−3 + 3i) – (7 – 2i)

Noteikti sadaliet atņemšanas zīmi visiem apzīmējumiem, kas atrodas zemapziņā.

Pārkārtojiet noteikumus, lai tos saliktu.

3i + 2i = (3 + 2)i = 5i

(−3 + 3i) – (7 – 2i) = 10 + 5i

Atņemt. (5 + 3i) – (3 – i)

Pareizi. Sadalījuma atdalīšana otrajā kompleksajā skaitlī dod 5 + 3i – 3 + i. Pārkārtojot līdzīgu terminu salikšanu, iegūst 5 - 3 + 3i + i, un, apvienojot līdzīgus terminus, iegūst 2 + 4i.

Nepareizi. Iespējams, ka esat apvienojis 5 + 3 no pirmā numura (ignorējot i) un 3 - 1 no otrā numura (ignorējot i), dodot rezultātu 8 - 2 = 6. Tā vietā jums vajadzētu sadalīt atņemšanu pa otro komplekso skaitli, lai iegūtu 5 + 3i – 3 + i. Pārkārtojot līdzīgu terminu salikšanu, iegūst 5 - 3 + 3i + i, un līdzīgu terminu apvienošana dod pareizo atbildi 2 + 4i.

Nepareizi. Jūs, iespējams, esat aizmirsis sadalīt atņemšanu otrā kompleksa skaitļa iedomātajā daļā, atstājot to kā - i + vietā i. Sadalījuma atdalīšana otrajā kompleksajā skaitlī dod 5 + 3i – 3 + i. Pārkārtojot līdzīgu terminu salikšanu, iegūst 5 - 3 + 3i + i, un līdzīgu terminu apvienošana dod pareizo atbildi 2 + 4i.

Nepareizi. Iespējams, ka esat pievienojis, nevis atņēmis. Sadalījuma atdalīšana otrajā kompleksajā skaitlī dod 5 + 3i – 3 + i. Pārkārtojot līdzīgu terminu salikšanu, iegūst 5 - 3 + 3i + i, un līdzīgu terminu apvienošana dod pareizo atbildi 2 + 4i.

Sarežģītu skaitļu reizināšana

Vēlreiz apsveriet šādu izteicienu. Pirms lasāt tālāk, apsveriet, kā jūs to vienkāršotu.

Jūs varat vienkāršot, reizinot koeficientus kopā, pēc tam mainīgos.

Divu iedomātu (bet ne sarežģītu!) Skaitļu reizināšana kopā darbojas līdzīgi, taču ir vēl viens solis. Sāciet ar to pašu metodi, lai reizinātu 5i un - 3i.

Tas līdz šim šķiet labi, bet i 2 var vienkāršot tālāk.

Kad jūs reizināt kvadrātsakni ar sevi, jūs saņemat skaitli zem radikāla. To nozīmē kvadrātsakne.

Nu, i ir arī kvadrātsakne. Tas ir vienāds ar.

Tātad pēdējais solis vienkāršošanai (5i)( − 3i) = − 15i 2 ir jāaizstāj i 2 ar - 1.


Iedomātu skaitļu vienkāršošana

Mūsdienās atrisināto problēmu raksturs ir palielinājis izredzes risinājumos sastapties ar sarežģītiem skaitļiem. Tā kā iedomātie skaitļi nav fiziski reāli skaitļi, to vienkāršošana ir svarīga, ja vēlaties ar tiem strādāt. Mēs apsvērsim dažādus veidus, kā jūs varat vienkāršot iedomātus skaitļus.

Iedomātās vienības pilnvaras

Iedomātā vienība, j, ir -1 kvadrātsakne. Tādējādi iedomātās vienības kvadrāts ir -1. No tā izriet, ka:

  1. j0 = 1
  2. j1 = j
  3. j2 = -1
  4. j3 = j2 x j = -1 x j = -j
  5. j4 = j2 x j2 = -1 x -1 = 1
  6. j5 = j4 x j = 1 x j = j
  7. j6 = j4 x j2 = 1 x -1 = -1

Iedomātās vienības spēku izpratne ir būtiska, lai saprastu iedomātus skaitļus. Sekojot iepriekš minētajiem piemēriem, var redzēt, ka ir iedomātas vienības spēku modelis. Tas vienmēr tiek vienkāršots līdz -1, -j, 1 vai j. Vienkāršs īsceļš, lai vienkāršotu iedomātu vienību, kas paaugstināta līdz jaudai, ir sadalīt jaudu ar 4 un pēc tam iedomāto vienību palielināt līdz atgādinājuma jaudai.

Piemēram: vienkāršot j23, vispirms daliet 23 ar 4.

23/4 = 5 atlikušais 3. Tātad j23 = j3 = -j ... ... kā jau parādīts iepriekš.

Konjugāti

Vienkārši sakot, konjugāts ir tad, kad vienādojumā pārslēdzat zīmi starp abām vienībām. Kompleksā skaitļa konjugāts būtu vēl viens komplekss skaitlis, kuram būtu arī reālā daļa, iedomātā daļa, tāda pati lieluma. Tomēr tam ir pretēja zīme no iedomātās vienības.

Piemēram, ja x un y ir reāli skaitļi, pēc tam piešķirot kompleksu skaitli, z = x + yj, kompleksais konjugāts z ir x - yj.

Kompleksie konjugāti ir ļoti svarīgi kompleksos skaitļos, jo komplekso konjugātu produkts ir reāls formas skaitlis x2 + y2. Tie ir svarīgi polinomu sakņu atrašanā.

Lai turpinātu ilustrēt šo koncepciju, novērtēsim divu kompleksu konjugātu produktu.

Vienkāršojiet izteicienu 2 / (1 + 3j)

Iepriekš minētā izteiksme ir sarežģīta daļa, kur saucējs ir komplekss skaitlis. Patlaban mēs to vairs nevaram vienkāršot, ja vien racionalizējam saucēju. Konjugātu jēdziens šajā situācijā būtu noderīgs.

Risinot frakcijas, ja skaitītājs un saucējs ir vienādi, daļa ir vienāda ar 1.

Turklāt, reizinot daļu ar 1, frakcija nemainās. Tātad mēs reizināsim komplekso daļu 2 / (1 + 3j) līdz (1 - 3j) / (1 – 3j) kur (1 - 3j) ir (1 + 3j).

Tagad frakcijas saucējs ir divu konjugātu produkts. Kā minēts iepriekš, divu konjugātu reizinājums vienkāršosies līdz divu kvadrātu summai.

Mēs esam spējuši vienkāršot daļu, pielietojot saucēja komplekso konjugātu.

De Moivre teorēma

Kompleksus skaitļus var rakstīt arī polārā formā. Agrākā x + yj ir komplekso skaitļu taisnstūrveida forma. Dots komplekss skaitlis z = x + yj, tad kompleksa skaitli var uzrakstīt kā z = r (cos (n) + jgrēks (n))

Šis piemērs var palīdzēt izskaidrot šo teoriju.

Piemērs

Konvertēsim kompleksa skaitli polārā formā.

Tātad z polārā formā ir z = sqrt (2) (cos (45) + jgrēks (45)).

Jūs varat redzēt, kas notiek, kad mēs izmantojam De Moivre teorēmu:

sqrt (2) (cos (45) + jgrēks (45)) 2 = (kvrt (2)) 2 (cos (2 x 45) + jgrēks (2 x 45))

Atbildi varat pārbaudīt, paplašinot kompleksa numuru taisnstūra formā.


3 soļi racionālu izteicienu vienkāršošanai

  1. Faktors pilnībā skaitītājs un saucējs atsevišķi.
  2. Meklējiet faktorus, kas kopīgi skaitītājam un # 038 saucējam. Un vienmēr atcerieties, ka mēs varam atcelt tikai faktorus, nevis noteikumus!
  3. Atcelt visus izplatītos faktorus.

Algebrisko frakciju vienkāršošanas piemērs

Mēs paļausimies uz savām zināšanām par to, kā samazināt frakcijas, uz mūsu eksponenta likumiem un faktoringa stratēģijām, kā arī atklāsim jaunu prasmi, kurā mēs iemācīsimies ņemt vērā mīnus izrakstīšanos.

Kopā mēs atklāsim, ka racionālu izteicienu vienkāršošana var sagādāt daudz prieka!

Pirms mēs dodamies uz nodarbību, ir jānorāda tikai vēl viena lieta & # 8230

Kā Pāvila & # 8217s tiešsaistes piezīmes tik precīzi norāda, mēs zinām, ka mēs nekad nevaram dalīt ar nulli.

Tāpēc, strādājot ar racionālām izteiksmēm, pastāv neizteikts noteikums: mēs vienmēr pieņemsim, ka vienmēr, kad saucējā ir mainīgais, tas nedos dalījumu ar nulli.


Racionālo izteicienu vienkāršošana: piemēri

Tagad, kad esat sapratis racionālo izteicienu vienkāršošanas procesu, ir pienācis laiks aplūkot pāris piemērus.

1. piemērs: Vienkāršojiet racionālo izteicienu (x 2 - 4) / (x 2 + 4x + 4)

Šeit nav neviena līdzīga termina, ko apvienot, tāpēc varat izlaist šo pirmo soli. Pēc tam ar savām uzmanīgajām acīm un nelielu praksi jūs varat pamanīt, ka skaitītājs un saucējs ir viegli ieskaitāmi:

(x + 2) (x - 2) / (x + 2) (x + 2)

Varbūt jūs to arī pamanīsit (x + 2) ir koeficients gan skaitītājā, gan saucējā. Kad esat atcēlis koplietojamo faktoru, jums paliek:

You've simplified your rational expression as far as you can, but there's one more thing to do: Identify any "zeroes" or roots that would result in an undefined fraction, so you can exclude those from the domain. In this case, it's easy to see by examination that when x = -2, the factor on the bottom will equal zero. So your simplified rational expression is actually:

(x - 2) / (x + 2), x ≠ -2

Example 2: Simplify the rational expression x / (x 2 - 4x)

There are no like terms to combine, so you can go straight to factoring by examination. It's not too hard to spot that you can factor an x out of the bottom term, which gives you:

You can cancel the x factor from both numerator and denominator, which leaves you with:

Now your rational expression is simplified, but you also need to note any x values that would result in an undefined fraction. In this case, x = 4 would return a value of zero in the denominator. So your answer is:


Skatīties video: Reizināšana. Reizināšanas darbība. (Novembris 2021).