Raksti

2.5: GKF faktorēšana - matemātika


Reizināšanas sadales īpašību salīdzinājumā ar saskaitīšanu / atņemšanu var mainīt.

(a (b pm c) = ab pm ac ) (labā puse ir vienāda ar kreiso pusi) nozīmē (ab pm ac = a (b pm c) ) (kreisā puse ir vienāda ar labo pusi).

Faktorings ir māksla, kā precē ņemt summu (terminu pievienošana) vai starpību (terminu atņemšana) (faktoru reizināšana).

Piemērs ( PageIndex {1} )

Faktors (15x + 20g ).

Risinājums

[ begin {masīvs} {rcl lll} 15x + 20y & = & 3 cdot 5x + 4 cdot 5y & = & 5 (3x + 4y) end {masīvs} ]


GCF piemērs:

Pirmais solis ir atrast visus katra skaitļa dalītājus. Piemēram, atrodiet gcf (2,5,15).

  • Faktori 2 (visi veselie skaitļi, kas var sadalīt skaitli bez atlikuma) ir 1 un 2
  • Faktori 5 ir 1 un 5
  • Faktori 15 ir 1, 3, 5 un 15.

Otrais solis ir analizēt, kuri ir kopīgi dalītāji. Nav grūti saprast, ka “lielākais kopfaktors” vai “dalītājs” attiecībā uz 2, 5 un 15 ir 1. GKF ir lielākais kopīgais pozitīvais skaitlis, kas visus skaitļus (2,5,15) dala bez atlikuma.

  • Lielākais kopīgais dalītājs (gcd)
  • Augstākais kopīgais faktors (hcf)
  • Lielākais kopīgais mērs (gcm) vai
  • Augstākais kopīgais dalītājs

Lielākais kopējā faktora kalkulators

Lūdzu, izveidojiet saiti uz šo lapu! Vienkārši ar peles labo pogu noklikšķiniet uz iepriekš redzamā attēla, izvēlieties saites kopēšanas kopiju un pēc tam ievietojiet to savā HTML.


Būtībā ir trīs kvadrātvienādojumu atrisināšanas metodes, izmantojot faktoringu:

Izmantojiet Kopsavilkuma metodi kvadrātvienādojumu atrisināšanā, izmantojot faktorizāciju

Šo metodi galvenokārt izmanto studenti, kuriem ir grūti izmantot minēšanas metodi (vai izmēģinājumu un kļūdu metodi). Atšķirībā no izmēģinājumu un kļūdu metodes, produkta summas metodi parasti ir vieglāk pielietot, jo tā identificē vienādojumu, kuru nevar ņemt vērā.

Šai metodei ir dažādas formas, t.i.

1. gadījums

Atrisinot vienādojumu, izmantojot produkta summas metodi, vienkārši izpildiet šīs darbības:

Pirmais solis: atrodiet divus veselus skaitļus, kuru reizinājums ir C.

Otrais solis: norādiet veseliem skaitļiem visas izvēlētās rakstzīmes, piemēram, M un N.

Trešais solis: izveidojiet vienu koeficientu (X + M) un otru (X + N).

1. ilustrācija

Atrodiet x vērtību, izmantojot faktorizāciju.

Atrodiet divus veselus skaitļus, kuru reizinājums ir 15. Zemāk esošajā tabulā ir parādīti skaitļi.

Zemāk ir skaitļu pāri

Pēc tam jūs varat izvēlēties pāri, kura summa ir 16 un produkts 55.

Tāpēc faktori ir X² + 16X +55 = (X +5) (X +11) = 0,

2. ilustrācija

Atrodiet X vērtību X² -16X +60 = 0

Norādiet veselu skaitļu duetu, kura reizinājums ir 60, un pāri ir uzskaitīti zemāk.

Jums var būt tabula ar dažādām vērtībām dažādiem pāriem.

Pēc tam jums vajadzētu izvēlēties pāri, kuram ir summa -16.

2. gadījums

Ja vienādojums AX² + BX + C = 0 un A ≠ 1 jums nepieciešams tikai nedaudz papildu pūļu, lai atrastu faktorus, izmantojot produkta summas metodi.

Tālāk ir norādītas veicamās darbības.

  1. Norādiet divus veselus skaitļus, kuru reizinājums ir maiņstrāva un summa ir B.
  2. Jūs varat nosaukt veselos skaitļus M un N.
  3. Pārrakstiet funkciju kā četru terminu izteiksmi, kā norādīts zemāk AX² + MX + NX + C.
  4. Izmantojiet grupēšanu pa pāriem, lai abos terminos izskaitļotu lielāko kopējo faktoru (GCF), lai iegūtu kopēju iekavu.

Lai ilustrētu šo gadījumu, ņemsim vērā šādus piemērus.

1. piemērs

Atrodiet X vērtību, ņemot vērā, ka 2X² + X -10 = 0

Risinājums

Atrodiet divus veselus skaitļus, kuru reizinājums AC = (2) × (-10) = - 20. Pēc tam uz darba papīra vajadzētu uzzīmēt tabulu, lai izdomātu vairākus pārus.

Tagad jūs varat izvēlēties pāri, kura summa B = 1. Šis pāris ir - 4 un 5.

Pārrakstiet izteicienu kā 2X²-4X + 5x - 10 = 0

Izņemot GCF, mēs iegūstam 2X (X-2) 5 (x-2).

Tagad mums ir kopējās iekavas, kas ir X-2.

Tāpēc (2X +5) (X-2) = 0, kur X = 2 vai X = -5/2

2. piemērs

Aprēķiniet X vērtību, ņemot vērā, ka 3X² + X-2 = 0

Risinājums

Atrodiet divus veselus skaitļus, kuru reizinājums ir AC = 3 × -2 = -6

Pēc tam uzskaitiet pārus tabulas formā.

Atlasiet pāri, kura summa ir B = 1. Šis pāris ir 3 un -2

Pēc tam funkcija jāpārraksta kā 3X² + 3X-2X-2 = 0.

Tagad parastā iekava ir X + 1

Kā atrisināt kvadrātvienādojumu, izmantojot faktorēšanu, izmantojot grupēšanas metodi

Šī metode ietver terminu sakārtošanu mazākās grupās ar kopīgiem faktoriem. Izmantojiet faktoringa grupēšanas metodi, ja nevarat atrast kopīgo koeficientu visiem terminiem.

Turklāt, lietojot divus terminus vienlaikus, jūs varat iegūt kaut ko, kas tos sadalītu.

Izmantojiet šo vienkāršo procedūru, lai atrisinātu vienādojumu, izmantojot faktorizāciju, izmantojot grupēšanas metodi.

Pieņemsim, ka jums ir piešķirts vispārējs vienādojums AX² + BX + C

  1. Atrodiet maiņstrāvas produktu.
  2. Iedomājieties divus skaitļus, sakiet Q un P tā, lai QP = AC un Q + P = B
  3. Pārrakstiet izteicienu kā AX² + QX + PX + C
  4. Grupējiet izteiksmi divos pāros, kuriem ir kopīgs faktors, un vienkāršojiet šādi:

Atkarībā no jūsu izvēlētās P un Q, otrajā iekavā tiks aprēķināta konstante, paliekot ar divām identiskām izteiksmēm, kā parādīts zemāk esošajā piemērā:

1. piemērs

Atrodiet X vērtību, ņemot vērā 5X² + 11X + 2 = 0

Risinājums

Vispirms atrodiet produktu AC

Tad padomājiet par diviem faktoriem no 10, kas var sasniegt 11

Pēc tam 10 un 1 reizinājumā ierakstiet 11X.

Tagad jums vajadzētu sagrupēt pārus divās grupās.

Pēc grupēšanas izņemiet kopīgo faktoru.

2. piemērs

Aprēķiniet X vērtību, ņemot vērā, ka X² + 2X-24 = 0

Risinājums

Vispirms atrodiet produktu AC = 1 × -24 = -24

Iedomājieties divus faktorus, piemēram, ka viņu reizinājums ir -24 un summa ir 2.

Ļaujiet koeficientiem būt -4 un +6

Pēc tam rakstiet + 2X formā -4X un 6X

Tāpēc izteiksme kļūst par X²-4X + 6X-24 = 0

Savienojiet vienādojumu divos terminos, tādējādi:

Pēc tam izņemiet kopīgo faktoru.

Tagad X-4 kļūst par parasto iekavu.

Kvadrātvienādojumu atrisināšana, izmantojot faktorēšanu, izmantojot īpašo produktu metodi

Īpašās produkcijas metodei ir nepieciešami īpaši gadījumi, kurus var ņemt vērā ātrāk. To var izdarīt, izmantojot divus īpašus kvadrātiņus:

1. gadījums: perfekta kvadrātveida izteiksme

  1. Pārbaudiet, vai pirmais un pēdējais apzīmējums ir ideāli kvadrāti
  2. Pārbaudiet, vai vidējais apzīmējums ir 2 reizes lielāks par citu terminu sakņu reizinājumu.

Ilustrācija

Identificējiet X vērtību, ņemot vērā, ka X² + 14X + 49 = 0

Risinājums

Pirmais apzīmējums ir X², bet pēdējais ir 49 - gan X², gan 49 ir ​​ideāli kvadrāti, kuru saknes ir attiecīgi X un 7.

Vidējais termins 14X divas reizes pārsniedz citu terminu saknes.

2. gadījums: divu kvadrātu izteiksmes atšķirība

Šeit tiek izmantota īpaša produkta metode, jo:

  1. Nav kopīgu faktoru
  2. Trūkst tipiskā vidējā termiņa
  3. Klātesošie termini ir ideāli kvadrāti un tiek atņemti.

1. piemērs

Identificējiet X vērtību, ņemot vērā, ka X²-16 = 0

Risinājums

Ņemiet vērā, ka iepriekš minētajā kvadrātvienādojumā:

  1. Trūkst vidējā termiņa.
  2. Termini tagadne2 un 16 ir ideāli kvadrāti un tiek atņemti.

2. piemērs

Atrodiet X vērtību, ņemot vērā, ka X2-64 = 0

Termini X² un 64 ir ideāli kvadrāti, un tie tiek atņemti.

Spriedums

Kvadratika tiek uzskatīta par vienu no visizaicinošākajiem matemātikas jēdzieniem.

Neatkarīgi no tā, pareizu metožu iegūšana un jēdzienu pielietošanas iemācīšanās var padarīt matemātikas mācīšanu un mācīšanos jautru!

Līdz ar to zināšanas par kvadratiku ir svarīgas ikdienas dzīvē.

Piemēram, kvadrāti izmanto peļņas noteikšanai vai pat objekta ātruma un ātruma formulēšanai.

Turklāt kvadratika ir piemērota tādām sportiskām aktivitātēm kā šāviens un šķēps. Veltiet laiku, lai uzzinātu dažādas kvadrātvienādojumu atrisināšanas metodes, izmantojot Factorizing metodi, un jūs to iemīlēsiet!


Vairāk faktoringa un galveno faktoru darblapas

Izpētiet visas mūsu faktoringa darblapas, sākot no faktoringa skaitļiem, kas ir mazāki par 50, līdz pamatfaktoru kokiem, GCF un LCM.

K5 Learning piedāvā bezmaksas darblapas, zibatmiņas un lētas darbgrāmatas bērniem no bērnudārza līdz 5. klasei. Mēs palīdzam jūsu bērniem veidot labus mācību ieradumus un gūt panākumus skolā.

K5 Learning piedāvā bezmaksas darblapas, zibatmiņas un lētas darbgrāmatas bērniem no bērnudārza līdz 5. klasei. Mēs palīdzam jūsu bērniem veidot labus mācību ieradumus un gūt panākumus skolā.


Lielākais kopējā faktora kalkulators (GCF vai GCD)

Šajā lapā ir visizplatītākais faktora kalkulators, bieži saīsināts kā GCF. Šo terminu sauc daudzos nosaukumos - to sauc arī par lielāko kopīgo dalītāju (GCD) un augstāko kopīgo faktoru (HCF).

Ievadiet skaitļu kopu, un GCF rīks atgriezīs lielāko kopējo faktoru. Lai gan rīks pieņems negatīvus un ciparus aiz komata, jums vajadzētu izmantot pozitīvos skaitļus.

Vai meklējat līdzīgu rīku? Tā vietā izmēģiniet kādu no šīm iespējām:


2.5: GKF faktorēšana - matemātika

Pētera, studenta jautājums:

Man jāzina atšķirības starp GCF un LCD.

Vismazāk lietojamais divu frakciju LCD ir saucēju vismazāk izplatītais daudzkārtējais LCM. Tāpēc es salīdzināšu lielāko kopējo faktoru GCF un LCM no diviem pozitīviem skaitļiem. Vārdi paši saka, ka vēlaties

lielākais kopīgais faktors
vismazāk izplatīts vairākkārtējs

Ļaujiet vispirms apskatīt GCF (dažreiz to sauc par lielāko kopīgo dalītāju GCD). Apsveriet skaitļus 36 un 60. Es meklēju šo divu skaitļu kopīgos faktorus, proti, pozitīvos veselos skaitļus, kas abus dala. 1 sadala abus, tāpat dala 2, 3 un 6, bet kāds ir lielākais pozitīvais skaitlis, kas abus dala? Es uz to varu atbildēt, ja es uzrakstu galveno koeficientu gan 36, gan 60.

Tātad 2 2 dala abus, 3 dala abus, bet ne 3 2. 5 dala 60, bet ne 36. Neviens cits galvenais skaitlis tos nedala. Tādējādi lielākais pozitīvais skaitlis, kas abus dalīja, ir 2 2 un reizes 3 = 12. Tādējādi

Kā ir ar vismazāk izplatīto daudzkārtējo LCM, teiksim, 12. un 9.? Šoreiz mēs vēlamies 12 un 9 reizinājumu. Noteikti 12 un reizes 9 = 108 ir viņu abu reizinājums, bet mēs vēlamies vismazāk kopīgo vairākkārtēju, tāpēc vai ir daudzkārtne, kas ir mazāka par 108? Atkal aplūkojiet galvenās faktorizācijas.


Lielākie kopējie faktori

Dažreiz mums jāspēj atrast skaitļu kopas lielāko kopfaktoru. Vislielākais kopējais jeb GCF ir lielākais skaitlis, kas vienmērīgi sadalīsies katrā no kopas numuriem.

Atrodiet GCF skaitļu kopai: 10, 12, 20

Lielākais skaitlis, kas iekļausies katrā no šiem skaitļiem, ir 2.

Atrodiet GCF skaitļu kopai: 6, 18, 36

Lielākais skaitlis, kas iekļausies katrā no šiem skaitļiem, ir 6.

Atrodiet GCF skaitļu kopai: 4, 8, 10

Lielākais skaitlis, kas iekļausies katrā no šiem skaitļiem, ir 2.

Atrodiet GCF skaitļu kopai: 8a 2 b, 18a 2 b 2 c

Pirmā lieta, ko mēs darām, ir atrast GCF koeficientiem tāpat kā mēs to darījām. Vislielākais koeficientu skaits būs 2.

Tā kā mums ir mainīgie, mums jāatrod arī to GKF. Lai mainīgo varētu iekļaut GCF, katram vārdam ir jābūt mainīgam. Ja mainīgais ir katrā termiņā, mēs ņemam mainīgo zemāko eksponentu un iekļaujam to GCF.

Šajā gadījumā abiem terminiem ir a un abiem terminiem ir b. Ietver 2, jo tā ir a zemākā jauda. Mēs iekļausim b, jo tā ir b zemākā jauda.

Atrodiet GCF skaitļu kopai: 3x 2 y, 12x 4 y 2, 9x 2 y

Pirmā lieta, ko mēs darām, ir atrast koeficientu GCF. Lielākais skaitlis, kas tiks iekļauts katrā no koeficientiem, ir 3.

Tā kā mums ir mainīgie, mums jāatrod arī to GKF. Lai mainīgo varētu iekļaut GCF, katram vārdam ir jābūt mainīgam. Ja mainīgais ir katrā termiņā, mēs ņemam mainīgo zemāko eksponentu un iekļaujam to GCF.

Šajā gadījumā abiem terminiem ir x, bet abiem - y. Ietver x 2, jo tā ir mazākā x jauda. Mēs iekļausim y, jo tas ir y zemākais spēks.


Kā GCF var izmantot reālajā dzīvē?

Mēs ar frakcijām visu laiku izmantojam lielākos kopīgos faktorus, un, tā kā frakcijas tiek daudz lietotas ikdienas dzīvē, tas padara GCF ļoti noderīgu!

Atrodot saucēja un skaitītāja GCF, jūs varat veiksmīgi vienkāršot daļu vai attiecību.

Piem., Mēs varam vienkāršot # 30/45 #, zinot, ka tā HCF ir # 15 #.
Pēc tam abas daļas dalām ar HCF, lai vienkāršotu.
#(30/15)/(45/15) = 2/3#

Tas darbojas arī attiecībā uz attiecībām, kur jūs varat vienkāršot katru pusi, izmantojot HCF, lai uzzinātu # 1: X # attiecību. Tas var būt noderīgi, ja receptei vai pasūtījumam izmantojat attiecību, jo varat izmantot vienu informācijas daļu, lai uzzinātu pareizo attiecību jebkurai kombinācijai.

Tātad, lai to ievietotu situācijā, sakiet, ka zināt, ka uz katriem 5 cilvēkiem ballītē ir nepieciešamas 15 sviestmaizes. Šo divu skaitļu HCF ir 5, tāpēc katrai personai, kas jums nepieciešama:

3 sviestmaizes.
Tagad, ja uz jūsu ballīti nāk 16 cilvēki, jūs zināt, ka jums ir jāsagatavo # 16xx3 = 48 # sviestmaizes.

Pēdējais piemērs ir ar receptēm.
Šis ir ļoti noderīgs laiks matemātikas iesaistīšanai!

Šeit ir recepte 10 cupcakes un to attiecībām, kas saistītas ar porcijas lielumu:
100g miltu = 10 cilvēki: 100g = 1:10
80 g cukura = 10 cilvēki: 80 g = 1: 8
50g sviesta = 10 cilvēki: 50g = 1: 5
2 olas = 10 cilvēki: 2 olas = 1: 0,2 olas

Tātad, ja mēs vēlamies dāvināt kūkas visiem mūsu draugiem un mums vajag 25 cupcakes (kāds ir populārs matemātiķis!), Jūs varat vienkārši pavairot šo attiecību.

Milti = 1:10 = 25: 250
80 g cukura = 1: 8 = 1: 200
50 g sviesta = 1: 5 = 25: 125
2 olas = 1: 0,2 olas = 25: 5


Skatīties video: PIKENROLAS. Marijonas Petravičius apie auksinį Rytą, keistą ligą ir gyvenimą Amerikoje (Novembris 2021).