Raksti

5.10.E: Regulēto funkciju problēmas - matemātika


Vingrinājums ( PageIndex {1} )

Aizpildiet visu informāciju teorēmu pierakstā (1-3 ).

Vingrinājums ( PageIndex {1 '} )

Paskaidrojiet piemērus ((a) - (g) ).

Vingrinājums ( PageIndex {2 *} )

Pierādīt piezīmi (2. ) Vispārīgāk, pieņemot, ka (T ) ir pilnīgs, pierādiet, ka, ja
[
g_ {n} rightarrow f ( text {vienmērīgi}) text {on} I = [a, b]
]
un, ja (g_ {n} ) regulē (I, ), tas ir (f ).
[Padoms: Labot (p in (a, b]. ) Izmantojiet (4, §11 ) nodaļas 2. teorēmu ar
[
X = [a, p], Y = N kauss {+ infty }, q = + infty, text {un} F (x, n) = g_ {n} (x).
]
Tad parādi to
[
f left (p ^ {-} right) = lim _ {x rightarrow p ^ {-}} lim _ {n rightarrow infty} g_ {n} (x) text {pastāv; }
]
( left. text {līdzīgi kā} f left (p ^ {+} right). right] )

Vingrinājums ( PageIndex {3} )

Ņemot vērā (f, g: E ^ {1} rightarrow E ^ {1}, ) definējiet (f vee g ) un (f wedge g ), kā norādīts nodaļas (4, §8. ) Izmantojot tur sniegto mājienu, parādiet, ka (f vee g ) un (f wedge g ) tiek regulēti, ja (f ) un (g ) ir.

Vingrinājums ( PageIndex {4} )

Parādiet, ka funkcija (g circ f ) nav jāregulē, pat ja (g ) un (f ) ir.
[Padoms: Ļaujiet
[
f (x) = x cdot sin frac {1} {x}, g (x) = frac {x} {| x |}, text {un} f (0) = g (0) = 0 teksts {ar} I = [0,1].
]
Turpināt.]

Vingrinājums ( PageIndex {5} )

( Rightarrow ) Dots (f: E ^ {1} rightarrow (T, rho), ) regulēts ar (I, ) put
[
j (p) = max kreisais { rho left (f (p), f left (p ^ {-} right) right), rho left (f (p), f left (p ^ {+} right) right), rho left (f left (p ^ {-} right), f left (p ^ {+} right) right) right } ;
]
sauciet to (j u m p ) pie (p ).
(i) Pierādiet, ka (f ) ir pārtraukts pie (p in I ^ {0} ) iff (j (p)> 0, ), t.i., iff
[
( pastāv n iekšā N) quad j (p)> frac {1} {n}.
]
(ii) Fiksētam (n in N, ) pierādīt, ka slēgts apakšintervāls (J subseteq I ) satur ne vairāk kā galīgi daudz (x ) ar (j (x)> 1 / n ).
[Padoms: Pretējā gadījumā pastāv atšķirīgu punktu secība (x_ {m} J, j pa kreisi (x_ {m} labi)> frac {1} {n}, ), tātad sekotne ( x_ {m_ {k}} rightarrow p in J. ) (Kāpēc?) Izmantojiet (4, ) nodaļas 1. teorēmu §2, ( left. text {lai parādītu, ka} f left ( p ^ {-} right) text {vai} f left (p ^ {+} right) text {neeksistē.} right] )

Vingrinājums ( PageIndex {6} )

( Rightarrow ) Parādiet, ka, ja (f: E ^ {1} rightarrow (T, rho) ) tiek regulēts uz (I, ), tad tajā ir ne vairāk kā daudz nesakritību (I; ) visi ir "lēciena" tipa (5. uzdevums).
[Padoms: 5. uzdevumā jebkurš slēgts apakšintervāls (J subseteq I ) katram (n, ) satur galīgi daudz pārtraukumu (x ) ar (j (x)> 1 / n. ) Tādējādi, lai iegūtu (n = 1,2, ldots, ) iegūtu ( text {šādu skaitu daudz} x.] )

Vingrinājums ( PageIndex {7} )

Pierādiet, ka, ja (E ) ir pabeigts, visas kartes (f: E ^ {1} rightarrow E, ) ar (V_ {f} [I] <+ infty ) uz (I = [ a, b], ) regulē (I. )
[Padoms: Izmantojiet 1. secinājuma 4. nodaļas 2. punktu, lai parādītu, ka pastāv (f left (p ^ {-} right) ) un (f left (p ^ {+} right) ). .
Saki,
[
x_ {n} rightarrow p text {ar} x_ {n}

]
bet ( left {f left (x_ {n} right) right } ) nav Cauchy. Tad atrodiet apakšskaitli ( left {x_ {n_ {k}} right } uparrow, ) un ( varepsilon> 0 ) tā, lai
[
pa kreisi | f pa kreisi (x_ {n_ {k + 1}} pa labi) -f pa kreisi (x_ {n_ {k}} pa labi) pa labi | geq varepsilon, quad k = 1,3,5, ldots
]
Iegūstiet pretrunu ar (V_ {f} [I] <+ infty. )
( left. quad text {Norādiet līdzīgu argumentu lietai} x_ {n}> p. right] )

Vingrinājums ( PageIndex {8} )

Pierādiet, ka, ja (f: E ^ {1} rightarrow (T, rho) ) regulē (I, ), tad ( overline {f [B]} ) (slēgšana ( teksts {of} f [B]) ) ir kompakts ((T, rho) ) ikreiz, kad (B ) ir kompakts apakškopa (I. )
[Padoms: ņemot vērā ( left {z_ {m} right } ) ( overline {f [B]} ), atrodiet ( left {y_ {m} right } subseteq f [B] ) tāds, ka ( rho left (z_ {m}, y_ {m} right) rightarrow 0 ) (izmantojiet ( text {Theorem} 3 text {no nodaļas} 3 , §16). ) Tad atbilstoši atdariniet 1. teorēmas pierādījumu nodaļā ( text {ter} 4, §8 ). Izšķir gadījumus:
(i) visi, izņemot galīgi daudz (x_ {m} ) ir (

(ii) bezgalīgi daudz (x_ {m} ) pārsniedz (p; ) vai
(iii) bezgalīgi daudz (x_ {m} ) vienādi (p ).]