Raksti

1.4.E. Skaitāmo un neskaitāmo kopu problēmas (vingrinājumi)


Vingrinājums ( PageIndex {1} )

Pierādiet, ka, ja (A ) ir saskaitāms, bet (B ) nav, tad (B-A ) nav saskaitāms.
[Padoms: Ja (B-A ) būtu saskaitāmi, tā arī būtu
[
(B-A) kauss A supseteq B. quad ( mathrm {Kāpēc?})
]
Izmantot Secinājumu (1.] )

Vingrinājums ( PageIndex {2} )

Ļaujiet (f ) būt kartēšanai un (A subseteq D_ {f}. ) Pierādiet to
(i) ja (A ) ir saskaitāms, tāpat ir (f [A] );
(ii) ja (f ) ir viens pret vienu un (A ) nav saskaitāms, tāpat ir (f [A] ).
( left [ text {Hints:} left ( text {i) Ja} A = left {u_ {n} right }, text {then} right. right. )
[
f [A] = pa kreisi {f pa kreisi (u_ {1} pa labi), f pa kreisi (u_ {2} pa labi), ldoti, f pa kreisi (u_ {n} pa labi), ldoti pa labi}
]
(ii) Ja (f [A] ) būtu saskaitāmi, tāpat būtu arī ((i)) (f ^ {- 1} [f [A]], ). Pārbaudiet to
[
f ^ {- 1} [f [A]] = A
]
šeit; sal. 7. problēma 4. – 7.

Vingrinājums ( PageIndex {3} )

Ļaujiet (a, b ) būt reāliem skaitļiem ((a [
f (x) = a + x (b-a).
]
Parādiet, ka (f ) ir viens pret vienu un uz intervālu ([a, b) = {x | a leq x

Vingrinājums ( PageIndex {4} )

Parādiet, ka starp jebkuriem reāliem skaitļiem (a, b (a [Padoms: Pēc 3. secinājuma un 1. un (3, ) uzdevuma kopa ((a, b) -R ) nav saskaitāma. Paskaidrojiet sīkāk.

Vingrinājums ( PageIndex {5} )

Parādiet, ka katrā bezgalīgajā kopā (A ) ir neskaitāmi bezgalīga kopa, t.i., bezgalīga dažādu terminu secība.
[Padoms: Labot jebkuru (a_ {1} A; A ) nevar sastāvēt tikai no (a_ {1} ), tāpēc ir vēl viens elements
[
a_ {2} A- kreisajā {a_ {1} labajā }. quad ( mathrm {Kāpēc}?)
]
Atkal (A neq left {a_ {1}, a_ {2} right }, ), tāpēc A kreisajā {a_ {1} ir (a_ {3} a_ {2} right }. ) (Kāpēc?) Turpiniet turpināt bezgalīgi, lai iegūtu nepieciešamo secību ( left {a_ {n} right }. ) Kāpēc visi (a_ {n} ) atšķirīgs? (] )

Vingrinājums ( PageIndex {6} )

No problēmas (5, ) pierādi, ka, ja (A ) ir bezgalīgs, ir karte (f: A rightarrow A ), kas ir viens pret vienu, bet nav uz (A. )
[Padoms: Ar (a_ {n} ), kā uzdevumā (5, ) definējiet (f pa kreisi (a_ {n} pa labi) = a_ {n + 1}. ) Ja tomēr (x ) nav neviens no (a_ {n}, ) put (f (x) = x ). Ievērojiet, ka (f (x) = a_ {1} ) nekad nav taisnība, tāpēc (f ) nav uz (A. ). Tomēr parādiet, ka (f ) ir viens pret vienu.

Vingrinājums ( PageIndex {7} )

Un otrādi (sal. Ar 6. uzdevumu) pierādīt, ka, ja ir karte (f: A taisnleņķis A ), kas ir viens pret vienu, bet nav uz (A, ), tad (A ) satur bezgalīgu secību ( left {a_ {n} right } ) no dažādiem terminiem.
[Padoms: Tā kā (f ) neatrodas uz (A, ), ir (a_ {1} in A ) tāds, ka (a_ {1} notin f [A]. ) (Kāpēc ?) Fix (a_ {1} ) un definējiet
[
a_ {2} = f left (a_ {1} right), a_ {3} = f left (a_ {2} right), ldots, a_ {n + 1} = f left (a_ { n} pa labi), ldots text {ad infinitum. }
]
Lai pierādītu atšķirīgumu, parādiet, ka katrs (a_ {n} ) atšķiras no visiem (a_ {m} ) ar (m> n. ) Par (a_ {1}, ) tas ir taisnība, jo (a_ {1} notin f [A], ), tā kā (a_ {m} in f [A] (m> 1). ) Pēc tam rīkojieties induktīvi.]


APRAJITAS BLOGS

Q.10. Visu N galīgo apakškopu savākšana kā neskaitāma. Vai nav skaitāms?

Autors ir noņēmis šo komentāru.

Galīgo N apakškopu kolekcija N = 1,2 apakškārtas N apakškopu savienība.
Visas N apakšgrupas ar secību 1,2,3 utt. Ir saskaitāmas.
Tātad N galīgo apakškopu kolekcijai, kas ir saskaitāma kopu saskaitāma savienība, jābūt saskaitāmai.

Skaitāmo kopu visu ierobežoto apakškopu kolekcija ir saskaitāma

Skaitāmu kopu visu ierobežoto apakškopu kolekcija ir saskaitāma

Visu 3. jautājuma kopu kardinalitāte ir tāda pati kā R. kardinalitāte, vai ne?

Atvainojiet par manu nepareizo komentāru. Es domāju, ka tikai 4. variants ir nepareizs. Lūdzu, rūpīgi pārbaudiet to.

Autors ir noņēmis šo komentāru.

Autors ir noņēmis šo komentāru.

Es vēlos ieteikt 2. jautājuma sīkāku izklāstu, ja ir saistīts intervāls, ja tas ir intervāls. Šeit R apakškopas X apakškopa (-s) satur TIKAI iracionālus, tāpēc tas nevar būt intervāls R. Tādējādi tam jābūt singletam ar 1. kardinalitāti, jo jebkurā intervālā ir gan racionālie, gan iracionālie pēc blīvuma teorēmas. Tādējādi pareizais variants ir 4, vai X kardinalitāte ir 1.

Vai jūs varat aprakstīt pēdējo atbildi?

Ņemot vērā a, b & # 8712 R un 0 & lt λ & lt 1, ļaujiet (an) būt reālu skaitļu secībai, ko nosaka a1 = a, a2 = b un + 1 = (1 + λ) an & # 8722 λan & # 87221 & # 8704 n & # 8712 N, n & # 8805 2. Parādiet, ka (an) ir Cauchy secība un tās robeža ir (b + λa) / (1 & # 8722 λ). vai jūs varētu, lūdzu, atrisināt šo problēmu?


Skaitāmi lietvārdu piemēri

Viss, ko var saskaitīt, neatkarīgi no tā, vai tas ir vienskaitlis - suns, māja, draugs utt. Vai daudzskaitlis - dažas grāmatas, daudz apelsīnu utt., Ir skaitāms lietvārds. Šie skaitāmo lietvārdu piemēri palīdzēs jums redzēt atšķirību starp skaitāmiem un neskaitāmiem lietvārdiem. Ievērojiet, ka vienskaitļa darbības vārdi tiek izmantoti ar vienskaitļa saskaitāmajiem lietvārdiem, bet daudzskaitļa darbības vārdi tiek lietoti ar daudzskaitlī skaitāmvārdiem.

  1. Ir vismaz divdesmit itāļu restorāni mazajā Itālijā.
  2. Megana paņēma daudz fotogrāfijas kad viņa devās uz Lielo kanjonu.
  3. Jūsu grāmata atrodas virtuvē tabula.
  4. Cik daudz sveces ir par to dzimšanas dienas kūka?
  5. Jums ir vairāki gleznas mācīties mākslas novērtēšanā klasē.
  6. Tur ir liels brūns suns skraida apkārt apkārtne.

Bijection un neskaitāmie komplekti (izpratne)

Es cenšos saprast dažāda lieluma bezgalību un to, ko viss nozīmē (cenšos visu salikt kopā).

Tātad, ja mēs atrodam bijection starp kopu $ A $ un citu kopu $ B $, kur $ B $ ir saskaitāms (skaitāms bezgalīgs), tad tas nozīmē, ka $ A $ ir saskaitāms (vai tas ir pareizi).

Turklāt mēs varam atrast bijekciju starp jebkurām divām saskaitāmām kopām (es domāju, ka tas ir pareizi).

Ja atrodam bijekciju starp divām galīgām kopām, tad abām kopām jābūt vienādām kardinālām.

Pareizai ierobežota kopas apakškopai A ir mazāka kardinalitāte nekā kopai $ A $.

Tomēr katra skaitāmo kopu bezgalīgā apakškopa ir saskaitāma. Piemēram, $ mathbb apakškopa mathbb$ un $ mathbb$ ir saskaitāms un $ mathbb$ ir saskaitāms.

Es tomēr apjuku, kad nodarbojos ar neskaitāmiem komplektiem. Vai tā ir taisnība, ka es vienmēr varu atrast atšķirību starp neskaitāmiem kopumiem? Piemēram, vai vienmēr ir iespējams izveidot bijekciju starp diviem neskaitāmiem kopumiem. Vai ir piemēri gadījumiem, kad jūs varat izveidot bijekciju starp divām neskaitāmām kopām un gadījumiem, kad nevarat? Piemēram, vai starp $ [0,1] $ un $ mathbb ir bijection$? (Nevar iedomāties vienu).

Kā es varu pierādīt, ka kopa nav saskaitāma? Es zinu, ka, ja tajā ir kopa, kas nav saskaitāma, tai jābūt neskaitāmai. Esmu arī izlasījis dažus diagonalizācijas argumentus, lai gan man tie šķiet mazliet mulsinoši. Vai diagonalizācija ir vienīgais veids, kā pierādīt neskaitāmību? Vai arī ir kādi citi veidi? Kādi ir neskaitāmu kopu piemēri: $ mathbb$, bināro secību kopa (es domāju, ka neesmu pārliecināta), intervāli ir šādi $ [0,1] $, vai ir kādi citi standarta? (Es vēlos praktizēt, ka kopu pierādīšana nav saskaitāma, tāpēc visi atzinumi par piemēriem, kur es varu pierādīt, ka kopa nav saskaitāma, tiek novērtēti). Ja mēs atrodam bijekciju, starp kopu A un neskaitāmu kopu (dotu) tas nozīmē, ka A ir arī neskaitāms?

Arī, lai parādītu divas kopas, kuras ir ne vairāk kā saskaitāmas (vai nu ierobežotas, vai saskaitāmas), kurām nav vienādas kardinalitātes, vai es parādīju, ka starp tām nav iespējams izveidot bijekciju.


Neskaitāmie lietvārdi un # 8211 video

Daži lietvārdi ir saskaitāmi. Tos var saskaitīt. Piemēram, pildspalvas ir saskaitāmi. Tos var saskaitīt.

Viena pildspalva, divas pildspalvas, trīs pildspalvas utt.

Daži lietvārdi nav saskaitāmi. Jūs tos nevarat saskaitīt. Piemēram, ūdens ir neskaitāms.

Viens ūdens, divi ūdeņi ...? Nē, tas nedarbojas. Jūs nevarat skaitīt ūdeni.

Vai jūs zināt vēl kādus neskaitāmus lietvārdus?

Vairāk piemēru redzēsit nākamajā sadaļā, bet šeit ir trīs: nauda, ​​rīsi un zināšanas visi ir neskaitāmi lietvārdi.

Skaitāmi un neskaitāmi lietvārdi izturas atšķirīgi. Viņi ievēro dažādus noteikumus.

Pirmkārt, neskaitāmie lietvārdi nevar būt daudzskaitlī. Tas nozīmē, ka jūs nevarat teikt naudas, rīsus vai zināšanas. Šīs formas nepastāv.

Otrkārt, jums jāizmanto vienskaitļa darbības vārds ar neskaitāmiem lietvārdiem. Piemēram:

  • Šie rīsi negaršo.
  • Jūsu nauda ir uz galda.
  • Viņa zināšanas par šo tēmu ir ievērojami uzlabojušās.

Pēc tam jūs nevarat izmantot a vai an ar neskaitāmu lietvārdu. Jūs nevarat teikt rīsus, naudu vai zināšanas. Tomēr jūs varat izmantot daži vai jebkurš. Piemēram:

Visbeidzot, mēs izmantojam dažādus vārdus, lai runātu par daudzumiem ar skaitāmiem un neskaitāmiem lietvārdiem.

Ar skaitāmiem lietvārdiem mēs izmantojam daudzi runāt par lieliem daudzumiem un maz runāt par maziem daudzumiem.

Ar neskaitāmiem lietvārdiem mēs izmantojam daudz un maz.

Tu vari izmantot daudz vai daudz gan ar skaitāmiem, gan neskaitāmiem lietvārdiem.

  • Rīsu vairs nav daudz.
  • Kartupeļu vairs nav daudz.
  • Manā kabatā ir nedaudz naudas.
  • Tajā mazajā kastītē ir dažas monētas.

Labi, tāpēc tagad jūs zināt pamatus par neskaitāmiem lietvārdiem un to lietošanu.

Tālāk svarīgs jautājums:

2. Kuri lietvārdi nav saskaitāmi?

Daudzi neskaitāmi lietvārdi ir vārdi pārtikai un dzērieniem, piemēram makaroni, gaļa, augļi, kafija, alus vai piens.

Esi uzmanīgs, jo augļi ir neskaitāms, bet dārzeņi ir saskaitāmi.

Daudzi kolektīvie lietvārdi nav saskaitāmi.

Kolektīvie lietvārdi ir lietvārdi, kas apraksta objektu grupu kopā. Piemēram, mēbeles, aprīkojumu, bagāža vai satiksme.

Visbeidzot, abstraktie lietvārdi bieži nav saskaitāmi. Piemēram: zināšanas, informācija, padomi vai progresu.

Labi, man tev ir izaicinājums.

Jums šeit ir trīs lietvārdu grupas: ēdiens un dzēriens, kolektīvie lietvārdi un abstrakti lietvārdi.

Es vēlos, lai jūs apturētu videoklipa darbību un atrastu vēl vienu neskaitāmu lietvārdu, ko pievienot katrai grupai.

Tas nozīmē, ka jums jāatrod viens neskaitāms ēdiena vai dzēriena lietvārds, viens neskaitāms kolektīvais lietvārds un viens neskaitāms abstrakts lietvārds. Pierakstiet savas atbildes.

Kāpēc jūs joprojām esat šeit? Pārtrauciet videoklipu un atrodiet savas atbildes!

Šeit jūs varat saņemt daudz atbilžu. Kā jūs varat pārbaudīt?

Viegli: atrodiet vārdnīcu. Ja jūtaties mazliet vecs, varat izmantot tiešsaistes vārdnīcu, piemēram, Longman, vai papīra vārdnīcu.

Uzmeklējiet vārdus, kurus esat pierakstījis. Vārdnīcā tai vajadzētu pateikt, vai tās ir saskaitāmas vai neskaitāmas.

Dažas vārdnīcas to dara, pievienojot vārdam “u” neskaitāmam vai “c” skaitāmam pēc vārda. Dažādām vārdnīcām ir atšķirīgs stils.

Tātad tagad jūs varat pārbaudīt savas atbildes. Vai jums bija taisnība?

Tagad lietas kļūst sarežģītākas.

3. Lietvārdi, kurus var saskaitīt vai neskaitīt

Ja lietvārdi varētu būt tikai saskaitāmi vai neskaitāmi, šī tēma būtu ļoti vienkārša.

Tomēr daudzi lietvārdi var būt gan saskaitāmi, gan neskaitāmi, ar atšķirīgu nozīmi.

Piemēram, papīrs var būt saskaitāms vai neskaitāms.

Vai jūs zināt atšķirību? Kāda ir atšķirība starp papīrs un papīrs?

Papīrs ir materiāls: uz ko tu raksti.

Papīrs ir vēl viens veids, kā pateikt laikrakstu.

Apskatīsim vēl dažus šādus piemērus. Padomājiet par to: kāda ir atšķirība starp:

Gatavs? Apskatīsim atbildes:

Zivis (neskaitāms) nozīmē ēdienu. Jūs ēdat zivis.

Zivs (saskaitāms) ir viens vesels dzīvs dzīvnieks vai miris. Salīdzināt:

  • Mēs ēdam daudz zivju. & # 8211 & gt Mēs vispār ēdam daudz zivju.
  • Tualetē ir zivs! & # 8211 & gt Viena dzīva zivs.
  • Viņš apēda trīs veselas zivis. & # 8211 & gt Trīs veseli dzīvnieki.

Par ko stikls un stikls?

Stikls ir materiāls. Stikls ir kaut kas, no kā jūs dzerat. Piemēram:

Visbeidzot, kā par laiks un laiks?

Laiks ir laika vispārējā nozīme. Tā ir tik pamatideja, ka es to īsti nevaru izskaidrot vienkāršāk!

Laiks ir līdzīga nozīme gadījumam vai periodam.

  • Man nav daudz brīva laika.
  • Cik daudz laika jums būs nepieciešams, lai to pabeigtu?
  • Ir bijušas daudzas reizes, kad es gribēju padoties.
  • Mēs labi pavadījām laiku viņu bārbekjū.

Vai jūs tagad redzat atšķirību?

Tātad, ir daudz lietvārdu, kas var būt gan saskaitāmi, gan neskaitāmi, bieži ar atšķirīgu nozīmi.

Šeit ir pārāk daudz piemēru, lai tos visus izskaidrotu, taču es jums sniegšu vienu vispārīgu ideju, kas varētu būt noderīga.

Bieži vien, kad lietvārds var būt saskaitāms vai neskaitāms, neskaitāmam lietvārdam ir vispārēja vai kolektīva nozīme. Skaitāmajam lietvārdam ir noteikta nozīme.

Piemēram, padomājiet par vārdu matiem. Tas var būt saskaitāms vai neskaitāms.

Mati (neskaitāms) ir vispārīga nozīme. Tas nozīmē, piemēram, sīkumus, kas aug uz galvas.

Mati (saskaitāms) ir konkrētāka nozīme.

Vai esat kādreiz kļūdījies angļu valodā, sakot kaut ko līdzīgu:

Ja jūs to sakāt, jūs domājat, ka jūsu draugam ir vieni gari mati.

Tas, iespējams, nav tas, ko jūs gribējāt pateikt, vai ne?

Lai patiešām saprastu skaitāmos un neskaitāmos lietvārdus, jums būs jāatceras daudz informācijas. Tomēr šī pamatideja var jums palīdzēt: neskaitāmie lietvārdi ir vispārīgāki un abstrakti skaitāmie lietvārdi ir specifiskāki.

4. Daži citi dīvaini angļu valodas lietvārdi

Šajā nodarbībā mēs esam runājuši par saskaitāmiem lietvārdiem, neskaitāmiem lietvārdiem un lietvārdiem, kas var būt gan.

Ir daži dīvaini lietvārdi, kas tīri neiederas nevienā no šīm kategorijām.

Piemēram, mēs sākumā teicām, ka neskaitāmie lietvārdi nevar būt daudzskaitlī. Jūs nevarat teikt rīsus vai zināšanas.

Tas parasti ir taisnība, taču ir daži neskaitāmi lietvārdi, kas var būt tikai daudzskaitlī. Viņi ir:

Jūs nevarat padarīt šos lietvārdus vienskaitļos. Nevar teikt, ka viena policija vai vienas bikses.

Atcerieties, ka ar šiem lietvārdiem jāizmanto daudzskaitļa darbības vārds. Piemēram:

  • Policija iztaujāja visus lieciniekus.
  • Šīs bikses neder labi.
  • Uzmanīgi ar šķērēm - tie ir asi.

Vēl viens dīvains vārds ir jaunumi. Tas nav saskaitāms un vienskaitlī, kaut arī tas beidzas ar “s”. Tātad, nesakiet:

Visbeidzot, ir daži kolektīvie lietvārdi, piemēram, personāls, komanda vai apkalpe. Daži no tiem nav saskaitāmi (piemēram, personāls), un citi var būt saskaitāmi, piemēram, komanda vai apkalpe.

Šie lietvārdi angļu valodā parasti tiek darīti daudzskaitlī. Lielbritānijā mēs sakām:

Tomēr ASV šie kolektīvie lietvārdi bieži ir vienskaitlī. ASV jūs varētu dzirdēt:

Abi ir iespējami, taču mēģiniet būt konsekventi. Ja jūs lietojat šos lietvārdus daudzskaitlī, tad tiem vienmēr jābūt daudzskaitlī. Ja jūs tos padarāt vienskaitļus, jums vienmēr vajadzētu tos padarīt vienus.

Tas nozīmē, ka dzimtā valoda ne vienmēr ir konsekventa. Neuztraucieties par to pārāk daudz un nebrīnieties, ja dzirdat abas formas.

Labi, mums ir jādara vēl viena lieta.

Neskaitāmu lietvārdu jēga ir tāda, ka tos nevar saskaitīt.

Bet dažreiz jums to vajag.

5. Padarot neskaitāmus lietvārdus saskaitāmus

Ņemiet neskaitāmu lietvārdu, kuru redzējāt agrāk: rīsi.

Rīsus nevar tieši saskaitīt. Rīsus nekad nevar saskaitīt. Nekad nevar pateikt trīs rīsus.

Dažreiz jums ir jāskaita lietas, pat ja tās nav saskaitāmas. Kā jūs varat saskaitīt rīsus?

Patiesībā ir daudz veidu, kā to izdarīt.

Rīsi sastāv no viena rīsu graudi. Šeit ir viens rīsu graudi.

Jums var būt arī rīsu maiss, rīsu paciņavai rīsu porcija.

Pievienojot lietvārdu + no, jūs varat padarīt neskaitāmu lietvārdu saskaitāmu.

Apskatīsim, kā tas darbojas dažos teikumu piemēros:

  • Viņa bļodas apakšā bija palicis viens rīsu grauds.
  • Vai jūs varat saņemt divus no šiem lielajiem rīsu maisiem?
  • Lūdzu, lūdzu trīs rīsu porcijas.

Tāpat kā rīsu gadījumā, bieži vien ir daudz dažādu lietvārdu, kurus varat pievienot, lai neskaitāmu lietvārdu padarītu saskaitāmu.

Tās ir labās ziņas. Sliktā ziņa ir tā, ka jums jāpievieno dažādi lietvārdi atkarībā no neskaitāmā lietvārda, kuru izmantojat.

Trenēsimies to, lai jūs varētu redzēt, ko es domāju.

Šeit ir pieci neskaitāmi lietvārdi. Kā jūs varētu padarīt tos saskaitāmus?

Jūs varat kādam dot padomsvai divi padomi ja jūtaties dāsni. Pievienojiet a gabals no taisīt padoms saskaitāms.

Gabals ir ļoti noderīga, jo to var izmantot, lai padarītu daudzus neskaitāmus lietvārdus saskaitāmus.

Jums var būt arī maizes gabals. Ar maize jums ir citas iespējas: maizes klaips vai maizes šķēle.

Par ko naudu? Tev var būt naudas summa vai naudas summa. Piemēram, jūs varētu teikt:

Priekš mēbeles, varētu teikt mēbele vai, iespējams, mēbeles, kaut arī tas ir ļoti formāli un nav bieži.

Visbeidzot, kas par kafija? Tev var būt tase kafijas, paciņa kafijas, karote kafijasvai kafijas kannu.

Visos šajos gadījumos ir citas iespējamās atbildes. Tomēr tie ir visizplatītākie.

Tātad, tas ir šai klasei. Pārbaudiet gramatiku ar šo Oksfordas tiešsaistes angļu valodas nodarbību: Kā uzlabot angļu valodas gramatiku.


Skaitāmi un neskaitāmi lietvārdi ar dažādu nozīmi

Dažus lietvārdus var lietot gan saskaitāmi, gan neskaitāmi, bet ar atšķirīgu nozīmi.

Mēs nopirkām jaunu gludekli un gludināmo dēli.

Cilvēki ticēja, ka no dzelzs izgatavoti kuģi nogrims.

Galds bija izgatavots no rūdīta stikla.

Vai jūs vēlētos šokolādi?

Vai jūs vēlētos šokolādi?

Iegūsim papīru un redzēsim, kas notiek kinoteātrī.

Printerim beidzies papīrs.

‘Hamlets’ ir viens no slavenākajiem Šekspīra darbiem.

Man bija darāms darbs, lai es nevarētu iziet ārā.


Daži klasisko mēru teorijas elementi

2.7 Pasākumu piemēri

Skaitīšanas mērs. Ļaujiet S būt neskaitāmam kopumam, piem., S = ℝ, un ļaujiet μ skaitīt mērījumu S. Tad μ ir σ-piedeva, pilnīga, tas nav σ-galīgs, tas nav varbūtības mērs vai pilnīgi galīgs, tas ir stingri lokalizējams un μ ir tīri atoms. Acīmredzot, μ nav atoms.

Skaitāms-saskaitāms mērs. Ļaujiet S būt jebkura kopa. Ļaujiet Σ būt šo komplektu saime E ⊆ S tāds, ka nu E vai S / E ir saskaitāms. Tad Σ ir apakškopu σ-algebra S. Σ sauc par saskaitāms-saskaitāms σ-algebra gada S. Ļaujiet μ: Σ → <0, 1> definēt ar μ (E) = 0, ja E ir saskaitāms, μ (E) = 1, ja E nav saskaitāms. Tad μ ir σ-piedevas mērs, μ sauc par saskaitāms-saskaitāms mērs ieslēgts S. Ja S ir jebkura neskaitāma kopa un μ ir skaitāmā-saskaitāmā vērtība S, tad μ ir pilnīgs, tīri atomu varbūtības mērs.

Stieltjes pasākums. Ļaujiet a ∈ ℝ un Es intervāls, aizvērts pa kreisi no formas [a, b [ ar a & lt b ≤ + ∞ vai formas [a. b], ar a & lt b & lt + ∞. Mēs apzīmējam ar P [I] apakštelpu semiring Es, formā [a, t] vai ] s, t] ar a & lt s. Gredzens, ko ģenerējis P [I] sastāv no ierobežotām, nesadalītām kopu savienojumiem no P [I]. Semiring P [I] ģenerē Borela σ-algebru B(Es).

DEFINĪCIJA (funkcijas variācija)

Ļaujiet f būt reāli novērtētai funkcijai un D ℝ apakškopa. VarD(f), f variācija uz D, definē: ja D ⋂ Dom f = ∅, Var D (f) = 0 un citādi, VarD(f) ir

Variācijas pamatīpašības apkopo šādi (sk., Piemēram, Fremlin (2000b), 2. sēj.).

PRIEKŠLIKUMS

Ja f, g ir divas reāli novērtētas funkcijas, tad

Ja c ∈ ℝ pēc tam Var D (c f) = | c | Var D (f).

ar vienādība, ja x ∈ D ∩ Dom f.

Ja D ⊆ D′ ⊆ ℝ pēc tam Var D (f) & lt Var D ′ (f).

| f (x) - f (y) | ≤ Var D (f) visiem x, y ∈ D ∩ Dom f. Līdz ar to, ja f ir ierobežota variācija uz D, tad f ir saistīts ar D ∩ Dom f un (ja D ∩ Dom f ≠ ∅)

Ja f ir monotons un D ⊆ ℝ sanāk Dom f, tad

TEORĀMA

Tālāk ir līdzvērtīgi:

f ir ierobežota D variācija

Tur ane ierobežo nemazinošās funkcijas f1, f2: ℝ → ℝ tāds, ka f = f1f2 uz D ∩ Domf un Var D (f) = Var f 1 + Var f 2.

Ļaujiet g: Es → ℝ būt funkcija. Mēs pieņemam g ir taisnība nepārtraukta katrā brīdī ta un tas g ir ierobežota variācija Var (g) katrā ierobežotā intervālā J. Variācijas funkcija gada g ir funkcija | g | : I → ℝ + nosaka | g | (t) = Var[a, t](g), priekš t ∈ es. Tad | g | palielinās un ir taisnība nepārtraukti visos punktos t ≠ a.

Uz funkciju g mēs saistām galīgi piedevas mēru m g: P [I] → ℝ+ definēja

Pasākums mg ir pozitīvs tikai un vienīgi tad g pieaug.

Tad uz variācijas funkciju |g| mēs saistām pozitīvo rādītāju m| g |, un mums ir

Kopš | g | ir taisnība nepārtraukti katrā t ≠ a, pasākums m| g | ir σpiedeva ieslēgts P [l] un to var unikāli attiecināt uz σ-piedevu, pozitīvu, galīgu gredzena mēru ℛ (Es), ko joprojām apzīmē ar m| g |.

No iepriekš minētās nevienlīdzības izriet, ka mg ir σ-piedeva un ar ierobežotu variāciju | m g | ≤ m | g | ieslēgts P [I], tātad mg var paplašināt līdz σ-piedevas skaitlim uz gredzena ℛ (Es), ko joprojām apzīmē ar mg, un mums tas joprojām ir

Patiesībā mums ir vienlīdzība m g | ≤ m | g | .

Pozitīvais rādītājs m| g | var unikāli paplašināt līdz σ-piedevas mērim μ: ℬ (I) → [0, + ∞]. Turklāt μ ir ierobežots uz δ-gredzena D (I) ierobežotām apakšgrupām Es. No tā izriet, ka pasākums mg var attiecināt arī uz σ-piedevas mēru m: D (I) → ℝ ar ierobežotu variāciju | m | = μ.

Ja g ir ierobežots variācija Es, pēc tam | g | ir ierobežots Es, pasākums m| g | ir ierobežots ar ℛ (Es) un tā pagarinājums μ ir ierobežots ar ℬ (I). No tā izriet, ka mg var attiecināt uz σ-piedevu, ierobežotu mēru m: ℬ (es) → ℝ Borela σ-algebrā ar ierobežotu variāciju | m | = μ.

Mēs turpināsim apzīmēt μ ar m| g | un m pēc m. Tad mums vēl ir

vai par A ∈ ℬ (es), ja g ir ierobežota variācija. Σ-piedevas mērs mg uz D (I) vai ℬ (Es) sauc par Stieltjes pasākumu Es kas saistīti ar funkciju g.

Lebesgue mērs. Lebesgue mēra tālāk Es ir pasākums mg kas atbilst nepārtrauktai, pieaugošai funkcijai g(s) = s, priekš sEs. Šajā gadījumā mums ir m g] s, t] = m g [s, t] = m g [s, t [= m g] s, t [= t - s katram s & lt t iekšā Es.

Ļaujiet −∞ ≤ a & lt + ∞ un apsveriet intervālu Es, atvērts pa kreisi no veidlapas ] a, b] ar a & lt b & lt + ∞ vai formas ] a. b [. ar a & lt b & lt + ∞. Jo īpaši mums var būt Es =] - ∞, + ∞ [. Šoreiz mēs apzīmējam ar R [I] apakštelpu semiring Es, formas ] s, t] ar a & lt s. Mēs joprojām apzīmējam ar ℛ (Es) radītais gredzens P [I]. Semiring P [I] ģenerē Borela σ-algebru ℬ (Es).

Ļaujiet g: Es → ℝ būt funkcija. Mēs pieņemam g ir labi nepārtraukti katrā brīdī tl un tas g ir ierobežota variācija Var (g) katrā intervālā ] a, t] ⊂ Es. Variācijas funkcija gada g ir funkcija | g | : I → ℝ + nosaka | g | (t) = Var | a, t | g). Tad |g| palielinās un ir taisnība nepārtraukti visos punktos ta.

Uz funkciju g mēs saistām galīgi piedevas mēru mg: P [Es] → ℝ definējis

Pasākums mg ir pozitīvs tikai un vienīgi tad g pieaug. Tad uz variācijas funkciju |g| mēs saistām pozitīvo rādītāju m| g |. Tāpat kā iepriekšējā gadījumā, pasākums mg ir σpiedeva, mg ir σ-piedeva, ar ierobežotu variāciju | mg| = mg. Mēs varam pagarināt m| g | pie σ-piedevas μ: ℝ (es) → [0, + ∞], un tad mēs varam paplašināt mg uz σ-piedevas mēru m: D (I) → ℝ ar ierobežotu variāciju | m | = μ. Ja g ir ierobežots variācija Es, pēc tam mg var attiecināt arī uz σ-piedevas mēru m: ℬ (es) → ℝ Borela σ-algebrā ar ierobežotu variāciju | m | = μ. Tāpat kā iepriekšējā gadījumā, μ turpinām apzīmēt ar m| g | un m pēc mg. Σ-piedevas mērs mg uz D (I) vai ℬ (Es) sauc par Stieltjes pasākumu Es kas saistīti ar funkciju g.

Lebesgue mēra tālāk Es ir pozitīvs rādītājs, kas saistīts ar pieaugošo, nepārtraukto funkciju g(s) = s, priekš sEs. Šajā gadījumā mums joprojām ir

Piezīme . Ja Es ir intervāls, kas slēgts pa kreisi vai atvērts pa kreisi, un, ja g: Es → ℝ ir funkcija ar ierobežotām variācijām, mēs varam apsvērt pareizo nepārtraukto funkciju g+: Es → ℝ definējis g+(a) = g(a), ja aEs un g+(t) = g(t+), ja a & lttun rīkojieties tāpat kā iepriekš.

Monotonu klases teorēmas rezultātā mums ir šāds rezultāts: ja μ, υ ir divi mērījumi uz ℬ (ℝ r), kur r ≥ 1, gan definēts, gan piekrītot visiem veidlapas intervāliem

ja a = (α 1,…, α r) ∈ ℝ r un μ (ℝ r) & lt ∞, tad μ un υ ir vienādi visām ℝ Borela apakšgrupāmr.

TEORĒMA (Attēla mērījumi). Ļaujiet (S, Σ, μ) būt mērvienībai, Y jebkurai kopai un φ - 1: S → Y funkcija. Iestatiet

Tad (Y, T, υ) ir mērījumu telpa, υ sauc par attēla mērījumu μ φ - 1.


1.4.E. Skaitāmo un neskaitāmo kopu problēmas (vingrinājumi)


Laipni lūdzam ESL izdrukas , vietne, kur angļu valodas skolotāji apmainās ar resursiem: darba lapas, stundu plāni, aktivitātes utt.
Mūsu kolekcija katru dienu pieaug ar daudzu skolotāju palīdzību. Ja vēlaties lejupielādēt, jums jānosūta savs ieguldījums.

neskaitāmas neskaitāmas izdrukājamas darblapas, powerpoints un tiešsaistes vingrinājumi
pasūtījuma rezultāti: vispirms visvairāk lejupielādētie - vispirms jaunākie


Skaitāms vai neskaitāms? I (1/2)
Tā ir darblapa, kurā studenti var praktizēt skaitāmo un neskaitāmo lietvārdu lietošanu. Šeit ir īss gramatikas skaidrojums, daži piemēri un prakses darbības. Es ceru, ka jums tas noderēs!
Līmenis: starpprodukts
Vecums: 10-17
Tips: darblapa


Skaitāmi un neskaitāmi lietvārdi - ceļvedis
Gramatikas ceļvedis par skaitāmiem un neskaitāmiem lietvārdiem un daudzskaitli. Kategorijas, piemēri, daudzuma izteiksmes, vizuālie stimuli. Arī viss vienā lapā, skaidra, saprotama un vizuāli sakārtota, varētu kalpot kā plakāts. SVARĪGI: Es izlaidu daudz noteikumu vienskaitļa un daudzskaitļa formām, jo ​​tas prasītu pārāk daudz vietas un izskaidrojumu izņēmumiem. .
Līmenis: starpprodukts
Vecums: 14-17
Tips: gramatika-ceļvedis


Skaitāmie un neskaitāmie jaunieši
Man patīk veidot savas stundas un izmantot dažādus interesantus uzdevumus. "PĀRTIKA" ir mana MĪĻĀKĀ tēma! Uzdevumi: 1. Nokopējiet un aizpildiet tabulu ar astoņiem saskaitāmiem lietvārdiem (vienskaitlis un daudzskaitlis) un astoņiem neskaitāmiem lietvārdiem (vienskaitlis). 2. Pabeidziet teikumus, izmantojot vārdus no lodziņa. Izmantošana ir, ir, a / an un daži.
Līmenis: elementāri
Vecums: 9-11
Tips: darblapa


Daži-Jebkurš
Darblapa, lai praktizētu vai pārskatītu dažus-jebkurus.1. Aizpildiet teikumus, izmantojot dažus vai kādus 2. Apskatiet attēlu un atbildiet uz jautājumiem, izmantojot Jā, ir / ir daži un Nē, tas nav / nav. BW versija un atslēga ir iekļauti.
Līmenis: elementāri
Vecums: 10-12
Tips: darblapa


Gramatikas tests - atbilžu varianti
Šis ir vispārējs tests (50 vienību izvēles vienumi). Ir jautājumi par pašreizējo vienkāršo, pašreizējo nepārtraukto, nākotnes nākotni, apstākļa vārdus, dažus un jebkurus (saskaitāmos un neskaitāmos lietvārdus), priekšvārdus, imperatīvos u.c.
Līmenis: elementāri
Vecums: 10-17
Tips: darblapa


PĀRSTEŅU PIKNIKA - FUN DARBĪBA, KO UZSTĀDĪJUŠI VIRSMĀCĪBAS UN PIRMSSTARPNIECĪBAS STUDENTIEM (neskaitāmi neskaitāmi lietvārdi, konteineri, daži runāšanas un rakstīšanas veidi) + STUDENTA A un STUDENTA BILDĪJUMI pāru darbam (3 lpp.)
Šis ir jautrs darbību komplekts. 3 dažādu darbību lappuses, kuru pamatā ir ļoti smieklīgs attēls - MONSTERSPICNIC, ieskaitot atmiņas spēli, un atrodiet atšķirību spēli ar attēliem studentam A un studentam B. Izklaidējieties!
Līmenis: elementāri
Vecums: 9-17
Tips: darblapa


Skaitāmie un neskaitāmie jaunieši
Darblapa, lai pārskatītu “COUNTABLE & UNCOUNTABLE LE NOUNS”. Pirmkārt, jūsu studentiem ir pieejama īsa gramatikas rokasgrāmata. Šajā darblapā jūsu skolēni uzzina atšķirību starp skaitāmiem un neskaitāmiem lietvārdiem. Ceru, ka jums un jūsu studentiem tas šķiet uzjautrinoši un noderīgi. IZBAUDI)
Līmenis: elementāri
Vecums: 12-17
Tips: darblapa


Skaitāmie un neskaitāmie jaunieši
Vienkārši paskaidrojumi un vingrinājumi par saskaitāmiem un neskaitāmiem e lietvārdiem iesācējiem.
Līmenis: elementāri
Vecums: 9-11
Tips: darblapa


Skaitāms VAI neskaitāms?
Tas ir ļoti noderīgs apvienošanai ar COUNTABLE un UNCOUNTABLE.
Līmenis: starpprodukts
Vecums: 9-17
Tips: darblapa


Skaitāmi un neskaitāmi lietvārdi
2 lapu lappuses: īsi paskaidrojumi par saskaitāmiem / neskaitāmiem e lietvārdiem, konteineriem, daudz / daudziem un dažiem / jebkuriem un vienkāršiem vingrinājumiem, lai sts varētu praktizēt. Ceru, ka jums patīk!
Līmenis: elementāri
Vecums: 10-14
Tips: darblapa


Skaitāms vai neskaitāms? II (2/2)
Tā ir darblapa, kurā studenti var praktizēt skaitāmo un neskaitāmo lietvārdu lietošanu. Šeit ir īss gramatikas skaidrojums, daži piemēri un prakses darbības. Es ceru, ka jums tas noderēs!
Līmenis: starpprodukts
Vecums: 10-17
Tips: darblapa


Skaitāmie un neskaitāmie jaunieši
Mācību lapa + mājas darbs- melnbaltā (kopējamā) versija + iekļauts A4 formāts (pilnībā rediģējams)
Līmenis: elementāri
Vecums: 10-12
Tips: darblapa


Skaitāms un neskaitāms (atslēga iekļauta)
Ir / ir, a / an / daži / kādi, daudz / daudz, cik / cik un saskaitāmi un neskaitāmi ēdiena vingrinājumi. Paldies mycuteghapics par jaukajām bildēm !! Lai lieliska ceturtdiena !! :)
Līmenis: starpprodukts
Vecums: 8-14
Tips: darblapa


DAUDZ / DAUDZ
Darba lapa, lai praktizētu DAUDZ un DAUDZ. Tas sastāv no 5 vingrinājumiem un īsa GRAMMATIKAS VADLĪNIJAS: 1). Aizpildiet atstarpes ar DAUDZ vai DAUDZ. 2). Izmantojiet DAUDZ vai DAUDZ. . 3). Veidot teikumus. 4). Ielieciet DAUDZ vai DAUDZ. 5). Izveidojiet teikumu ar DAUDZ un DAUDZ un katru no šiem vārdiem. Ceru, ka tas būs noderīgi kopā ar iesācējiem un pamatskolēniem. Pieder.
Līmenis: elementāri
Vecums: 6-17
Tips: darblapa


Skaitāmie un neskaitāmie lietvārdi ppt
Šis materiāls tika sagatavots, lai mācītu saskaitāmus un neskaitāmus lietvārdus
Līmenis: starpprodukts
Vecums: 13-17
Formāts: PowerPoint


Ir daži .. Ir daži. + Pārtikas vārdu krājums 3/4
PĀRTIKAS vārdu krājums + Ir + daži + vienskaitļa neskaitāms lietvārds Ir + a / an + vienskaitļa saskaitāms lietvārds Ir + daži + daudzskaitāms saskaitāms lietvārds Clip Art - HarangozTnde
Līmenis: elementāri
Vecums: 7-17
Formāts: PowerPoint


Skaitāms un neskaitāms ēdiens
Skaitāms un neskaitāms ēdiens
Līmenis: elementāri
Vecums: 10-17
Formāts: PowerPoint


Skaitāmi un neskaitāmi lietvārdi
Runājiet par atšķirību starp skaitāmiem un neskaitāmiem lietvārdiem
Līmenis: starpprodukts
Vecums: 10-17
Formāts: PowerPoint


Ir daži .. Ir daži. + Pārtikas vārdu krājums 4/4
PĀRTIKAS vārdu krājums + Ir + daži + vienskaitļa neskaitāms lietvārds Ir + a / an + vienskaitļa saskaitāms lietvārds Ir + daži + daudzskaitāms saskaitāms lietvārds. 1. – 3. Daļa atrodama vietnē http: //www.eslprinta bles.com/powerpoint. asp? id = 61294 #thetop http: //www.eslprint ables.com/powerpoint .asp? id = 61295 #thetop http: //www.eslprin tables.com/powerpoin t.asp? id = 61296.
Līmenis: elementāri
Vecums: 7-17
Formāts: PowerPoint


Skaitāmi un neskaitāmi lietvārdi ar ēdieniem un dzērieniem
Spēka punkts par skaitāmiem un neskaitāmiem lietvārdiem. Tas ir ļoti interaktīvs un jautri sākumskolas skolēniem.
Līmenis: elementāri
Vecums: 9-12
Formāts: PowerPoint


Daži un kādi
Noderīgs ppt fails, lai izskaidrotu "dažus un visus", padarot skaidrus skaitāmus un neskaitāmus lietvārdus
Līmenis: elementāri
Vecums: 4-10
Formāts: PowerPoint


skaitāmi un neskaitāmi lietvārdi
noderīgi, lai mācītu saskaitāmus un neskaitāmus lietvārdus, a, an, daži, jebkurš
Līmenis: starpprodukts
Vecums: 9-17
Formāts: PowerPoint


Čūskas un kāpnes
Galda spēle, lai izskaidrotu rakstu un skaitāmo un neskaitāmo lietvārdu lietojumu. noteikumi ir izklāstīti, un skolēniem tas ļoti patīk.
Līmenis: uzlabotas
Vecums: 14-17
Formāts: PowerPoint


daži nedaudz
Ļoti vienkārša prezentācija, kurā uzsvērti saskaitāmie / neskaitāmie lietvārdi un to atšķirības.
Līmenis: elementāri
Vecums: 7-17
Formāts: PowerPoint


Skaitāmi un neskaitāmi lietvārdi
Jauka un vienkārša PPT ar saskaitāmu un neskaitāmu aprakstu un pāris vingrinājumiem. Ceru, ka jums patīk :)
Līmenis: elementāri
Vecums: 10-14
Formāts: PowerPoint


Laiku un struktūru džeopardija
Šī ir spēle, ko spēlēt ar Ss. Tam ir atšķirīgs saturs, piemēram, vienkārša tagadne, pastāvīga tagadne, vienkārša pagātne, saskaitāms un neskaitāms, kā arī vajadzētu un jābūt. Bērniem jāizvēlas kategorija un jāatrisina jautājums vai problēma, un viņi saņem izvēlētās kartes punktus.
Līmenis: elementāri
Vecums: 9-100
Formāts: PowerPoint


Kvantifikatori
Pēc tēmas “Pārtika un dzērieni” ieviešanas šo PowerPoint prezentāciju var izmantot, lai ieviestu vai konsolidētu kvantatoru lietošanu ar saskaitāmiem un neskaitāmiem lietvārdiem.
Līmenis: starpprodukts
Vecums: 12-17
Formāts: PowerPoint


Daudzi pret daudz
Viktorīna par saskaitāmiem un neskaitāmiem e lietvārdiem - daudz un daudz ---
Līmenis: elementāri
Vecums: 8-12
Formāts: PowerPoint


skaitāmi un neskaitāmi lietvārdi
saskaitāmo un neskaitāmo lietvārdu apraksts, orezentārie laiki
Līmenis: elementāri
Vecums: 12-17
Formāts: PowerPoint



Live darblapas
Darba lapas, kas klausās. Darba lapas, kas runā. Darba lapas, kas motivē studentus. Darblapas, kas ietaupa papīru, tinti un laiku.



Augstas kvalitātes priekšlaicīgas pamešanas stundu plāni - bezmaksas paraugi - dalība 26 ASV dolāru apmērā
Esi labāks skolotājs! Simtiem PDF stundu plānu. Gramatika, lasīšana, vārdu krājums, runāšana. Visi ar visaptverošām skolotāju piezīmēm. Nepieciešams nulles sagatavošanās laiks. Pieejami arī klausīšanās stundu plāni ar mp3 failiem. Plus flashcards. Izmantojiet piecpadsmit gadu priekšlaicīgas pamešanas pieredzi. Reģistrējoties izmantojiet kupona kodu "ESLPR", lai saņemtu atlaidi!


Mācieties angļu valodu kopā ar Emmu

Klases materiāli:
20. / 21. oktobris Powerpoint: šeit

Šeit ir ļoti interesanta lapa par dažādiem tūristu galamērķiem visā pasaulē un to, kā tūristi tos ietekmē:
http://www.mnn.com/lifestyle/eco-tourism/photos/15-travel-destinations-being-ruined-by-tourism

Uzstāšanās raksts par FCE vidi:

Visas FCE dokumenta daļas par vidi:

Vārdu veidojumi

The third part of the Use of English paper in the First Certificate Examination is word formation where you have to use a root such as 'able' and create an appropriate word (disable, unable, ability) to fill the gap in a text. Think first . if you need a verb, adjective, noun or adverb in the sentence! This can be done using clues such as word order. For example, if there is an article preceding the gap, you will need to place a noun after it. If there is already a noun after the gap,

then you will need an adjective etc.

http://www.flo-joe.com/fce/students/strategy/p3pt5a.htm

Countable and uncountable nouns



Grammar pages and exercises: Here
-If you wish to complete the grammar pages, hand in the answers to me on a separate piece of paper in class for marking


Munkres: Chapter 1, Section 7

Example 3, from Munkres, established that is countable. Note that is countably infinite. This follows from Theorem 7.6 (finite products of countable sets are countable). Define by if , if , and if . This map is clearly injective. Equivalently, we conclude that is countable (Theorem 7.1: Equivalent Conditions of Countable Sets).

4. (a) Assuming that any polynomial has only finitely many roots, show that the set of algebraic numbers is countable.

Note: By (1) and that finite products of countable sets are countable, we have that is countable for any .

Define . We claim that is countable for each . Fix and define given by

Notice that is injective. Since is countable and is injective, then is countable. Furthermore, and countable unions of countable sets are countable. Hence, is countable.

By assumption, is finite for any . Also, we can write the set of algebraic numbers as . Thus, the set of algebraic numbers is a countable union of finite sets. Therefore, the set of algebraic numbers is countable.

(b) Show that the set of transcendental numbers are uncountable.

Observe that the set of transcendental numbers is . Since is uncountable and is countable, then the set of transcendental numbers are uncountable.

5. Determine, for each of the following sets, whether or not it is countable. Justify your answer.

(a) The set of all function .

Define given by . It’s easy to check that is injective and since is countable we conclude that is countable.

(b) The set of all function .

Fix . We can view as the set of -tuples of natural numbers, via a similar map to the one from (a). Also, finite products of countable sets are countable. Hence, is countable.

Countable unions of countable sets are countable, so it follows immediately from (b) that is countable .

(d) The set of all function .

Notice that contains the set of functions . The latter set is uncountable by Theorem 7.7. Thus, is uncountable since it contains an uncountable subset.

(i) The set of all two-element subsets of .

Fix . Define . Observe that is countable. Also, . Thus, is countable, since it’s a countable union of countable sets.

(j) The set of all finite subsets of .

For a fixed , define . Define given by

where we have ordered the elements of in increasing order, i.e. . Because of this ordering, we note that is well defined. Also, is injective and is countable. Hence, is countable for any . Finally, observe that . That is, is a countable union of countable sets and we conclude that is countable.

8. Let and let be the collection of countable subsets of . Show that and have the same cardinality.

Define given by . It’s obvious that is injective. Next, define given by


Skatīties video: skaitlu kopas (Novembris 2021).