Raksti

21.6: Vienādojumu sistēmu risināšana, izmantojot matricas - matemātika


Mācību mērķi

Šīs sadaļas beigās jūs varēsiet:

  • Uzrakstiet paplašināto matricu vienādojumu sistēmai
  • Izmantojiet rindas operācijas matricā
  • Atrisināt vienādojumu sistēmas, izmantojot matricas

Pirms sākat, veiciet šo gatavības viktorīnu.

  1. Atrisiniet: (3 (x + 2) + 4 = 4 (2x − 1) +9 ).
    Ja jums pietrūka šīs problēmas, pārskatiet [saite].
  2. Atrisināt: (0,25p + 0,25 (x + 4) = 5,20 ).
    Ja jums pietrūka šīs problēmas, pārskatiet [saite].
  3. Novērtējiet, kad (x = −2 ) un (y = 3: 2x ^ 2 − xy + 3y ^ 2 ).
    Ja jums pietrūka šīs problēmas, pārskatiet [saite].

Uzrakstiet paplašināto matricu vienādojumu sistēmai

Vienādojumu sistēmas atrisināšana var būt garlaicīga darbība, kurā vienkārša kļūda var radīt postījumus risinājuma atrašanā. Pieejama alternatīva metode, kas izmanto eliminācijas pamatprocedūras, bet ar vienkāršāku apzīmējumu. Metode ietver a matrica. Matrica ir taisnstūrveida skaitļu masīvs, kas sakārtots rindās un kolonnās.

MATRIKS

A matrica ir taisnstūrveida skaitļu masīvs, kas sakārtots rindās un kolonnās.

Matrica ar m rindas un n kolonnām ir secība (m reizes n ). Zemāk kreisajā matricā ir 2 rindas un 3 kolonnas, tāpēc tai ir secība (2 reizes 3 ). Mēs sakām, ka tā ir matrica 2 pret 3.

Katru matricas skaitli sauc par elementu vai ierakstu matricā.

Mēs izmantosim matricu, lai attēlotu lineāro vienādojumu sistēmu. Mēs rakstām katru vienādojumu standarta formā, un mainīgo koeficienti un katra vienādojuma konstante kļūst par matricas rindu. Katra kolonna būtu koeficienti vienam no sistēmas mainīgajiem vai konstantēm. Vertikālā līnija aizstāj vienādības zīmes. Iegūto matricu saucam par vienādojumu sistēmas paplašināto matricu.

Ievērojiet, ka pirmo kolonnu veido visi koeficienti x, otrajā slejā ir visi koeficienti y, un trešajā kolonnā ir visas konstantes.

Piemērs ( PageIndex {1} )

Ⓐ ( left { begin {masīvs} {l} 5x − 3y = −1 y = 2x − 2 end {masīvs} right. ) Ⓑ ( left { begin {array} {l} 6x −5y + 2z = 3 2x + y −4z = 5 3x − 3y + z = −1 end {masīvs} right. )

Atbilde

Ⓐ Otrais vienādojums nav standarta formā. Otro vienādojumu mēs pārrakstām standarta formā.

[ sākas {izlīdzināts} y = 2x − 2 −2x + y = −2 beigas {izlīdzināts} nonumber ]

Mēs aizstājam otro vienādojumu ar tā standarta formu. Papildinātā matricā pirmais vienādojums dod mums pirmo rindu, bet otrais - otro rindu. Vertikālā līnija aizstāj vienādības zīmes.

Ⓑ Visi trīs vienādojumi ir standarta formā. Papildinātā matricā pirmais vienādojums dod mums pirmo rindu, otrais vienādojums dod otro rindu, bet trešais vienādojums dod trešo rindu. Vertikālā līnija aizstāj vienādības zīmes.

Piemērs ( PageIndex {2} )

Uzrakstiet katru lineāro vienādojumu sistēmu kā papildinātu matricu:

Ⓐ ( left { begin {masīvs} {l} 3x + 8y = −3 2x = −5y − 3 end {masīvs} right. ) Ⓑ ( left { begin {masīvs } {l} 2x −5y + 3z = 8 3x − y + 4z = 7 x x + 3y + 2z = −3 end {masīvs} right. )

Atbilde

Ⓐ ( pa kreisi [ sākas {matrica} 3 un 8 & -3 2 & 5 un −3 beigas {matrica} pa labi] )

Ⓑ ( pa kreisi [ sākas {matrica} 2 & 3 & 1 & −5 ​​−1 & 3 & 3 & 4 2 & 8 & 7 & −3 end {matrica} pa labi] )

Piemērs ( PageIndex {3} )

Uzrakstiet katru lineāro vienādojumu sistēmu kā papildinātu matricu:

Ⓐ ( left { begin {masīvs} {l} 11x = −9y − 5 7x + 5y = −1 end {masīvs} right. ) Ⓑ ( left { begin {masīvs } {l} 5x −3y + 2z = −5 ​​2x − y − z = 4 3x −2y + 2z = −7 end {masīvs} right. )

Atbilde

Ⓐ ( pa kreisi [ sākums {matrica} 11 un 9 un −5 ​​7 un 5 un −1 beigas {matrica} pa labi] )
Ⓑ ( pa kreisi [ sākas {matrica} 5 & −3 & 2 & −5 ​​2 & −1 & −1 & 4 3 & −2 & 2 & −7 end {matrica} pa labi] )

Tas ir svarīgi, jo mēs atrisinām vienādojumu sistēmas, izmantojot matricas, lai varētu iet uz priekšu un atpakaļ starp sistēmu un matricu. Nākamais piemērs liek mums ņemt informāciju matricā un uzrakstīt vienādojumu sistēmu.

Piemērs ( PageIndex {4} )

Uzrakstiet vienādojumu sistēmu, kas atbilst paplašinātajai matricai:

(pa kreisi [ begin {masīvs} {ccc | c} 4 & −3 & 3 & −1 1 & 2 & −1 & 2 −2 & −1 & 3 & −4 end {array} right] ).

Atbilde

Mēs atceramies, ka katra rinda atbilst vienādojumam un ka katrs ieraksts ir mainīgā vai konstanta koeficients. Vertikālā līnija aizstāj vienādības zīmi. Tā kā šī matrica ir (4 reizes 3 ), mēs zinām, ka tā tiks pārveidota trīs vienādojumu sistēmā ar trim mainīgajiem.

Piemērs ( PageIndex {5} )

Uzrakstiet vienādojumu sistēmu, kas atbilst paplašinātajai matricai: ( left [ begin {matrix} 1 & −1 & 2 & 3 2 & 1 & −2 & 1 4 & −1 & 2 & 0 end {matrix} pa labi] ).

Atbilde

(kreisais { sākums {masīvs} {l} x-y + 2z = 3 2x + y-2z = 1 4x-y + 2z = 0 beigas {masīvs} pa labi. )

Piemērs ( PageIndex {6} )

Uzrakstiet vienādojumu sistēmu, kas atbilst paplašinātajai matricai: ( left [ begin {matrix} 1 & 1 & 1 & 4 2 & 3 & −1 & 8 1 & 1 & −1 & 3 end {matrix} right] ).

Atbilde

(kreisais { sākums {masīvs} {l} x + y + z = 4 2x + 3y − z = 8 x + y − z = 3 beigas {masīvs} labais. )

Rindu operāciju izmantošana matricā

Kad vienādojumu sistēma ir paplašinātās matricas formā, mēs veiksim operācijas rindās, kas mūs novedīs pie risinājuma.

Lai atrisinātu ar izslēgšanu, nav svarīgi, kādā secībā mēs ievietojam vienādojumus sistēmā. Līdzīgi matricā mēs varam apmainīt rindas.

Risinot ar elimināciju, mēs bieži reizinām vienu no vienādojumiem ar konstanti. Tā kā katra rinda apzīmē vienādojumu, un mēs varam reizināt katru vienādojuma pusi ar konstanti, tāpat katru rindas ierakstu varam reizināt ar jebkuru reālu skaitli, izņemot 0.

Novēršot, mēs bieži pievienojam vienas rindas daudzkārtēju citai rindai. Matricā mēs varam aizstāt rindu ar tās summu ar citas rindas reizinājumu.

Šīs darbības sauc par rindu operācijām, un tās palīdzēs mums izmantot matricu, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

RINDU DARBĪBA

Matricā jebkurai rindai var veikt šādas darbības, un iegūtā matrica būs līdzvērtīga sākotnējai matricai.

  1. Apmainiet jebkuras divas rindas.
  2. Reiziniet rindu ar jebkuru reālu skaitli, izņemot 0.
  3. Pievienojiet vienas rindas nulles reizinājumu citai rindai.

Veicot šīs darbības, ir viegli izdarīt, taču visa aritmētika var izraisīt kļūdu. Ja mēs izmantojam sistēmu rindas darbības ierakstīšanai katrā solī, ir daudz vieglāk atgriezties un pārbaudīt savu darbu.

Lai attēlotu katru rindu, mēs izmantojam lielos burtus ar abonementiem. Pēc tam mēs parādām operāciju pa kreisi no jaunās matricas. Lai parādītu rindas maiņu:

Lai reizinātu 2. rindu ar (- 3 ):

Lai reizinātu 2. rindu ar (- 3 ) un pievienotu to 1. rindai:

Piemērs ( PageIndex {7} )

Veiciet norādītās darbības ar paplašināto matricu:

Ⓐ 2. un 3. rindas apmaiņa.

Ⓑ Reiziniet 2. rindu ar 5.

Ⓒ Reiziniet 3. rindu ar –2−2 un pievienojiet 1. rindai.

(pa kreisi [ begin {masīvs} {ccc | c} 6 & −5 & 2 & 3 2 & 1 & −4 & 5 3 & −3 & 1 & −1 end {masīvs} right] )

Atbilde

Ⓐ Mēs apmaināmies ar 2. un 3. rindu.

Ⓑ Mēs reizinām 2. rindu ar 5.

Ⓒ Mēs reizinām 3. rindu ar (- 2 ) un pievienojam 1. rindai.

Piemērs ( PageIndex {8} )

Veiciet norādītās darbības ar paplašināto matricu:

Ⓐ 1. un 3. rindas apmaiņa.

Ⓑ Reiziniet 3. rindu ar 3.

Ⓒ Reiziniet 3. rindu ar 2 un pievienojiet 2. rindai.

(kreisais [ begin {masīvs} {ccc | c} 5 & −2 & -2 & -2 4 & -1 & −4 & 4 -2 & 3 & 0 & −1 end {masīvs} pa labi] )

Atbilde

Ⓐ ( pa kreisi [ sākas {matrica} −2 & 3 & 0 & −2 4 & −1 & −4 & 4 5 & −2 & −2 & −2 beigas {matrica} pa labi] )

Ⓑ ( pa kreisi [ sākas {matrica} −2 & 3 & 0 & −2 4 & −1 & −4 & 4 15 & −6 & −6 & −6 beigas {matrica} pa labi] )

Ⓒ ( pa kreisi [ sākas {matrica} -2 & 3 & 0 & 2 & 3 & 4 & -13 & -16 & -8 15 & -6 & -6 & -6 & -6 & end {matrica} pa labi ] )

Piemērs ( PageIndex {9} )

Veiciet norādītās darbības ar paplašināto matricu:

Ⓐ 1. un 2. rindas apmaiņa,

Ⓑ Reiziniet 1. rindu ar 2,

Ⓒ Reiziniet 2. rindu ar 3 un pievienojiet 1. rindai.

(pa kreisi [ begin {masīvs} {ccc | c} 2 & −3 & −2 & −4 4 & 1 & −3 & 2 5 & 0 & 4 & −1 end {masīvs} right] )

Atbilde

Ⓐ ( pa kreisi [ sākas {matrica} 4 & 1 & −3 & 2 2 & −3 & −2 & −4 5 & 0 & 4 & −1 end {matrica} right] )
Ⓑ ( pa kreisi [ sākas {matrica} 8 & 2 & −6 & 4 2 & −3 & −2 & −4 5 & 0 & 4 & −1 end {matrica} right] )
Ⓒ ( pa kreisi [ sākas {matrica} 14 & −7 & −12 & −8 2 & −3 & −2 & −4 5 & 0 & 4 & −1 end {matrica} pa labi] )

Tagad, kad mēs esam praktizējuši rindu darbības, mēs aplūkosim palielinātu matricu un izdomāsim, kādu darbību mēs izmantosim, lai sasniegtu mērķi. Tas ir tieši tas, ko mēs darījām, kad veicām izslēgšanu. Mēs izlēmām, ar kuru skaitli reizināt rindu, lai mainīgais tiktu izslēgts, pievienojot rindas kopā.

Ņemot vērā šo sistēmu, ko jūs darītu, lai to novērstu x?

Šis nākamais piemērs būtībā dara to pašu, bet pēc matricas.

Piemērs ( PageIndex {10} )

Veiciet nepieciešamo rindas darbību, kuras rezultātā 2. rindas pirmais ieraksts būs nulle papildinātā matricā: ( left [ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 2 4 & −8 & 0 beigt {array} right] )

Atbilde

Lai padarītu skaitli 4 par 0, mēs varētu reizināt 1. rindu ar (- 4 ) un pēc tam pievienot to 2. rindai.

Piemērs ( PageIndex {11} )

Veiciet nepieciešamo rindas darbību, kuras rezultātā pirmais ieraksts 2. rindā būs nulle papildinātajā matricā: ( left [ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 2 3 & −6 & 2 beigt {array} right] )

Atbilde

(pa kreisi [ sākas {matrica} 1 & −1 un 2 0 & −3 & −4 beigas {matrica} pa labi] )

Piemērs ( PageIndex {12} )

Veiciet nepieciešamo rindas darbību, lai pirmais ieraksts 2. rindā būtu nulle papildinātā matricā: ( left [ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 3 -2 & −3 & 2 end {array} right] )

Atbilde

(pa kreisi [ sākas {matrica} 1 & −1 & 3 0 & −5 & 8 beigas {matrica} pa labi] )

Atrisināt vienādojumu sistēmas, izmantojot matricas

Lai atrisinātu vienādojumu sistēmu, izmantojot matricas, mēs pārveidojam paplašināto matricu par matricu rindu-ešelonu forma izmantojot rindu darbības. Lai iegūtu konsekventu un neatkarīgu vienādojumu sistēmu, tā palielināta matrica ir rindu ešelona formā, kad pa kreisi no vertikālās līnijas katrs ieraksts pa diagonāli ir 1, un visi ieraksti zem diagonāles ir nulle.

RINDA-ZELTNES FORMA

Lai nodrošinātu konsekventu un neatkarīgu vienādojumu sistēmu, tās papildinātā matrica ir rindu-ešelonu forma kad pa kreisi no vertikālās līnijas katrs ieraksts pa diagonāli ir 1, un visi ieraksti zem diagonāles ir nulle.

Kad papildinātā matrica ir iegūta rindu ešelona formā, mēs varam uzrakstīt līdzvērtīgu vienādojumu sistēmu un nolasīt vismaz viena mainīgā vērtību. Pēc tam mēs aizstājam šo vērtību citā vienādojumā, lai turpinātu atrisināt citus mainīgos. Šis process ir ilustrēts nākamajā piemērā.

Piemērs ( PageIndex {14} )

Atrisiniet vienādojumu sistēmu, izmantojot matricu: ( left { begin {masīvs} {l} 2x + y = 7 x − 2y = 6 end {array} right. )

Atbilde

Risinājums ir ((4, −1) ).

Piemērs ( PageIndex {15} )

Atrisiniet vienādojumu sistēmu, izmantojot matricu: ( left { begin {masīvs} {l} 2x + y = −4 x − y = −2 end {masīvs} right. )

Atbilde

Risinājums ir ((- 2,0) ).

Darbības ir apkopotas šeit.

Atrisiniet vienādojumu sistēmu, izmantojot matricas.

  1. Uzrakstiet paplašināto matricu vienādojumu sistēmai.
  2. Izmantojot rindas darbības, iegūstiet ierakstu 1. rindas 1. slejā 1.
  3. Izmantojot rindas darbības, iegūstiet nulles 1. kolonnā zem 1.
  4. Izmantojot rindas darbības, iegūstiet ierakstu 2. rindas 2. slejā kā 1.
  5. Turpiniet procesu, līdz matrica ir rindu ešelona formā.
  6. Uzrakstiet atbilstošo vienādojumu sistēmu.
  7. Izmantojiet aizstāšanu, lai atrastu atlikušos mainīgos.
  8. Rakstiet risinājumu kā sakārtotu pāri vai trīskāršu.
  9. Pārbaudiet, vai risinājums padara sākotnējos vienādojumus patiesus.

Šeit ir redzams attēls, lai parādītu secību, kā 1 un 0 iegūt pareizajā pozīcijā rindu ešelona formai.

Mēs izmantojam to pašu procedūru, kad vienādojumu sistēmai ir trīs vienādojumi.

Piemērs ( PageIndex {17} )

Atrisiniet vienādojumu sistēmu, izmantojot matricu: ( left { begin {array} {l} 2x − 5y + 3z = 8 3x − y + 4z = 7 x + 3y + 2z = −3 beigt {masīvs} labi. )

Atbilde

((6,−1,−3))

Piemērs ( PageIndex {18} )

Atrisiniet vienādojumu sistēmu, izmantojot matricu: ( left { begin {masīvs} {l} −3x + y + z = −4 −x + 2y − 2z = 1 2x − y − z = −1 end {masīvs} right. )

Atbilde

((5,7,4))

Līdz šim mūsu darbs ar matricām ir bijis tikai ar sistēmām, kas ir konsekventas un neatkarīgas, kas nozīmē, ka tām ir tieši viens risinājums. Apskatīsim, kas notiek, ja matricu izmantojam atkarīgai vai nekonsekventai sistēmai.

Piemērs ( PageIndex {20} )

Atrisiniet vienādojumu sistēmu, izmantojot matricu: ( left { begin {masīvs} {l} x −2y + 2z = 1 −2x + y − z = 2 x-y + z = 5 beigt {masīvs} labi. )

Atbilde

risinājuma nav

Piemērs ( PageIndex {21} )

Atrisiniet vienādojumu sistēmu, izmantojot matricu: ( left { begin {masīvs} {l} 3x + 4y −3z = −2 −2x + 3y − z = −1 2x + y − 2z = 6 end {array} right. )

Atbilde

risinājuma nav

Pēdējā sistēma bija nekonsekventa, un tāpēc tai nebija risinājumu. Nākamais piemērs ir atkarīgs, un tam ir bezgalīgi daudz risinājumu.

Piemērs ( PageIndex {23} )

Atrisiniet vienādojumu sistēmu, izmantojot matricu: ( left { begin {masīvs} {l} x + y − z = 0 2x + 4y − 2z = 6 3x + 6y − 3z = 9 end {masīvs} labi. )

Atbilde

bezgalīgi daudz risinājumu ((x, y, z) ), kur (x = z − 3; atstarpe y = 3; atstarpe z ) ir jebkurš reāls skaitlis.

Piemērs ( PageIndex {24} )

Atrisiniet vienādojumu sistēmu, izmantojot matricu: ( left { begin {masīvs} {l} x − y − z = 1 −x + 2y − 3z = −4 3x − 2y − 7z = 0 end {array} right. )

Atbilde

bezgalīgi daudz risinājumu ((x, y, z) ), kur (x = 5z − 2; telpa y = 4z − 3; telpa z ) ir jebkurš reāls skaitlis.

Piekļūstiet šim tiešsaistes resursam, lai iegūtu papildu instrukcijas un praksi ar Gausa elimināciju.

  • Gausa izslēgšana

Galvenie jēdzieni

Vārdnīca

matrica
Matrica ir taisnstūrveida skaitļu masīvs, kas sakārtots rindās un kolonnās.
rindu-ešelonu forma
Matrica ir rindu ešelona formā, kad pa kreisi no vertikālās līnijas katrs ieraksts pa diagonāli ir 1 un visi ieraksti zem diagonāles ir nulle.

Studentu iesaistīšana: Lineāru vienādojumu sistēmu risināšana ar matricām

Savā topošo matemātikas vidusskolas skolotāju pamatakmens klasē es aicinu savus studentus nākt klajā ar idejām saistošs viņu skolēni ar dažādām tēmām vidusskolas matemātikas mācību programmā. Citiem vārdiem sakot, uzdevuma mērķis nebija izstrādāt pilnvērtīgu stundu plānu par šo tēmu. Tā vietā es aicināju savus studentus padomāt par trim dažādiem veidiem, kā viņu skolēnus vispirms ieinteresēt par šo tēmu.

Es plānoju dalīties ar dažām labākajām no šīm idejām šajā emuārā (protams, pēc tam, kad esmu lūdzis saviem studentiem & # 8217 atļauju).

Šis studentu iesniegums nāk no mana bijušā studenta Endrjū Sansoma. Viņa tēma no Algebra II: lineāru vienādojumu sistēmu risināšana ar matricām.

A1. Kādas interesantas (t.i., nekontrolētas) vārdu problēmas, izmantojot šo tēmu, jūsu studenti tagad var izdarīt? (Varat atrast tādus resursus kā http://www.spacemath.nasa.gov, kas šajā ziņā ir ļoti noderīgi, nekautrējieties ieteikt citus.)

Laukums Dentonas centrā ir populāra vieta, kur apmeklēt un pavadīt laiku. Jaunam uzņēmuma īpašniekam ir jāizlemj, pa kuru ceļu viņam jāievieto reklāma, lai to redzētu vairums cilvēku, braucot pa to. Viņam nav pietiekami daudz resursu, lai pārvietotos pa katru kvartālu un ielu, taču viņš zina, ka var izmantot algebru, lai atrisinātu tos, kurus viņš palaida garām. Iepriekš minētajā kartē viņš ievietoja zilu lodziņu, kurā norādīts to cilvēku skaits, kuri vienas stundas laikā gāja pa katru ielu. Izmantojiet lineāro vienādojumu sistēmu, lai noteiktu, cik liela satiksme ir katrā šīs kartes ielā / kvartālā.

PADOMS. Atcerieties, ka katrā krustojumā katru stundu ir jāiet un jāiziet vienādam skaitam cilvēku, tāpēc katram krustojumam uzrakstiet vienādojumu, kurā ietošo cilvēku summa ir vienāda ar cilvēku skaitu, kuri iziet.
PADOMS. Atcerieties, ka tie paši cilvēki katru stundu ieiet un iziet no visas kartes. Uzrakstiet vienādojumu, kurā katras ielas summa, kas nonāk kartē, ir vienāda ar katras ielas summu, kas iziet no kartes.

1. Veidojiet katru vienādojumu, kā ieteikts ar padomiem.

2. Pārrakstiet vienlaicīgu lineāro vienādojumu sistēmu standarta formā.

3. Pārrakstiet sistēmu kā palielinātu matricu

4. Samaziniet sistēmu līdz Reduced Row Echelon Form (izmantojot kalkulatoru)


5. Izmantojiet šo samazināto matricu, lai atrastu risinājumus katram mainīgajam

Tādējādi mēs iegūstam aizpildītu karti:


Ir skaidrs, ka uzņēmuma īpašniekam vajadzētu reklamēties Hickory ielā starp Elm un Locust St (iespējams, priekšā Beth Marie’s).

B1. Kā šo tēmu var izmantot jūsu studentu turpmākajos matemātikas vai dabaszinību kursos?

Vienlaicīgu lineāro vienādojumu sistēmas bieži parādās lielākajā daļā problēmu, kas saistītas ar vairāk nekā vienas lietas modelēšanu vienlaikus. Vidusskolā spēja izmantot matricas, lai atrisinātu šādas sistēmas (īpaši lielas), vienkārši daudzas problēmas, kas parādīsies AP vai IB fizikas eksāmenos. Ķēdes analīze (ieskaitot Kirhhofas un Ohma likumus) bieži nozīmē lielu vienlaicīgu vienādojumu sistēmu izveidi, kas līdzīga iepriekšminētajai tīkla trafika problēmai. Līdzīgi ir arī kinemātikas problēmas, kurās uz objektu iedarbojas vairāki spēki / griezes momenti, kas dabiski piesaista sevi lielām vienādojumu sistēmām.

Ķīmijā maisījuma problēmas var atrisināt, izmantojot vienādojumu sistēmas. Ja tiek sajaukts vairāk nekā viela, sistēma var kļūt par lielu, lai to efektīvi atrisinātu, izņemot Gausa eliminācijas un matricas darbības. (DeFreese, nd)

Universitātes līmenī mācīšanās atrisināt sistēmas, izmantojot matricas, sagatavo studentu lineārajai algebrai, kas ir noderīga gandrīz katrā pēc tam notiekošajā matemātikas stundā.

D4. Kāds ir dažādu kultūru ieguldījums šajā tēmā?

Vienlaicīgie lineārie vienādojumi tika parādīti Senajā Ķīnā tekstā ar nosaukumu Jiuzhang Suanshu vai deviņām matemātiskās mākslas nodaļām, lai atrisinātu problēmas, kas saistītas ar graudu svaru un daudzumu. Paredzētā metode ietver terminu koeficientu uzskaitīšanu masīvā, kas ir ārkārtīgi līdzīgs Gausa eliminācijai.

Vēlāk, agrīnā mūsdienu Eiropā, likvidēšanas metodes bija zināmas, taču tās netika mācītas mācību grāmatās, kamēr Ņūtons 1720. gadā publicēja šādu angļu valodas tekstu, lai gan viņš šajā tekstā neizmantoja matricas. Gauss nodrošināja vēl sistemātiskāku pieeju vienlaicīgu lineāru vienādojumu risināšanai ar vismazāko kvadrātu apjomu līdz 1794. gadam, kas tika izmantots 1801. gadā, lai atrastu Ceres, kad tas bija redzams un pēc tam zaudēts. Gausa dzīves laikā un turpmākajā gadsimtā Gausa eliminācijas metode, jo standarta veids, kā atrisināt lielas sistēmas cilvēku datoriem. Turklāt, pieņemot iekavas, "Gauss atbrīvoja datorus no noguruma no nepieciešamības pārrakstīt vienādojumus, un, to darot, viņš viņiem ļāva apsvērt, kā vislabāk organizēt savu darbu." (Grcar J. F., 2011).


Lineāro vienādojumu sistēmu attēlojums, izmantojot matricas

Lineāro vienādojumu sistēmu var attēlot matricas formā, izmantojot koeficienta matricu, mainīgu matricu un nemainīgu matricu.

Koeficienta matricu var veidot, saskaņojot katra vienādojuma mainīgo koeficientus pēc kārtas. Pārliecinieties, ka katrs vienādojums ir uzrakstīts standarta formā ar nemainīgu vārdu labajā pusē.

Tad iepriekšminētās sistēmas koeficienta matrica ir

Mums pieejamie mainīgie ir x un y. Tātad mainīgā matricu varam uzrakstīt kā [x y].

Vienādības labajā pusē mums ir konstanti vienādojumu nosacījumi, 8 un & mīnus 2. Abi skaitļi šajā secībā atbilst pirmajam un otrajam vienādojumam, un tāpēc pastāvīgās matricas vietās ieņem pirmās un otrās rindas. Tātad matrica kļūst [8 un mīnus 2].

Tagad sistēmu var attēlot kā [2 3 5 un mīnus 1] [x y] = [8 un mīnus 2].

Izmantojot matricas reizināšanu, jūs varat redzēt, ka matricas attēlojums ir vienāds ar vienādojumu sistēmu.

Tas ir, [2 x + 3 y 5 x & mīnus y] = [8 un mīnus 2].

Vienādojot atbilstošos divu matricu ierakstus:

Tagad ļaujiet mums saprast, ko nozīmē šī pārstāvība.

Ja jūs to uzskatāt par vektora [x y] funkciju, to var definēt kā

f ([x y]) = [2 3 5 un mīnus 1] [x y]

Tad, atrisinot sistēmu, mēs atrodam vektoru [x y], kuram f ([x y]) = [8 & mīnus 2].

Šis attēlojums var atvieglot aprēķinus, jo, ja mēs varam atrast koeficientu matricas apgriezto vērtību, ievades vektoru [x y] var aprēķināt, reizinot abas puses ar apgriezto matricu.

Līdzīgā veidā trīs vienādojumu sistēmai trīs mainīgajos lielumos

a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3


21.6: Vienādojumu sistēmu risināšana, izmantojot matricas - matemātika

Legal Matrix operācijas

Iepriekš 1. attēlā jūs varat redzēt normālu vienādojumu sistēmas risinājumu melnā rakstā pa kreisi. Šī sistēma tika atrisināta, saskaitot abus vienādojumus. Šis papildinājums izraisīja mainīgo y nomest, un radās viens mainīgais vienādojums. Tas ļāva mums atrisināt x. Kad mēs to zinājām x, mēs viegli varētu atrast y.

1. attēlā pa labi, zilā rakstā , jūs varat redzēt līdzīgu darbu, kas tiek veikts matricas rindās. Matricas rinda 1,1,8 vienkārši apzīmē vienādojumu: 1x + 1y = 8. Tātad matricas rinda ir vienkārši koeficienti no vienādojuma. Matricas 1., -1,4. Rinda apzīmē vienādojumu:
1x - 1y = 4.

Tāpat kā mums ir likumīgi pievienot divus vienādojumus kreisajā pusē, tāpat ir likumīgi pievienot rindas labajā pusē. To var redzēt iezīmētajā rindā a + b - & gt a, kur redzat jauno rindu 2,0,12. Šī ir tikai rindu summa a un b. Nākamā rinda iezīmējās a - b - & gt b parāda rindas atņemšanas rezultātu b no rindas a, proti, 0,2,4.

Pēdējā sadaļa labajā pusē parāda, ka tāpat kā ir likumīgi reizināt vienādojumu ar skaitli vai dalīt vienādojumu ar skaitli, ir likumīgi arī reizināt vai dalīt matricas rindu ar skaitli (skalāru).

Apakšējā kreisajā stūrī ir juridisko darbību kopsavilkums matricās. Jūs varat likumīgi veikt jebkuru no šīm trim procedūrām. Varat arī veikt jebkuru šo trīs darbību kombināciju. Patiešām, šīs juridiskās darbības ir tās pašas juridiskās darbības, kuras jūs jau iepriekš iemācījāties izmantot algebrā.

Vienādojumu sistēmas risināšana, izmantojot algebru

Iepriekš 2. attēlā mēs vispirms uzņemamies sistēmas risinājumu, izmantojot algebras paņēmienus, kas jums jāzina no jūsu algebras fona. Trīs vienādojumu sistēma ir parādīta augšējā kreisajā stūrī. Pirmkārt, es jums atgādinu to, ka, ja jūs risināt sistēmu ar 3 mainīgajiem, jums ir nepieciešami 3 vienādojumi. Ja jūs risināt sistēmu ar 9 mainīgajiem, jums ir nepieciešami 9 vienādojumi. Vispārējā situācijā, ja jūs risināt sistēmu ar n mainīgie, jums ir nepieciešams n vienādojumi. Tātad jūs redzat, ka šai sistēmai ar 3 mainīgajiem mums ir 3 vienādojumi.

Šādas sistēmas risināšanas procesā mums ir jālikvidē mainīgie, līdz esam nonākuši līdz vienādojumam ar 1 mainīgo. Tāpēc mums jāatrod daži veidi, kā legāli atbrīvoties no dažiem mainīgajiem.

Jūs varat pamanīt, ka, pievienojot vienādojumus a un b, jūs varat iegūt mainīgo y nomest. Ja pievienojat vienādojumus, jūs varat arī samazināt y b un c.

Tagad mēs esam nonākuši līdz 2 vienādojumiem ar 2 mainīgajiem. Iepriekš šie vienādojumi ir apzīmēti vienādojumi d un e. Mums joprojām ir jāatbrīvojas no vēl viena mainīgā. Mēs to redzam, ja reizinām vienādojumu d ar 2 un pievienojiet to vienādojumam e, mēs faktiski varam atrisināt kādu no mūsu mainīgajiem. Mēs to atrodam x = 1. Nepieciešams pārāk daudz laika, lai no b vienādojuma redzētu, ka y jābūt vienādam ar -2. Un, visbeidzot, aizstājot x = 1 un y = -2 vienādojumā a, mēs to varam atrast z jābūt vienādam ar -1. Mēs neesam darījuši, kamēr neesam pārbaudījuši visus trīs rezultātus katrā no trim vienādojumiem, ar kuriem sākām.

Sarkanā bultiņa 2. attēlā norāda uz to pašu trīs vienādojumu matricas formu, ar kuriem sākām. Šīs 3 x 4 matricas kreisajā pusē ir kvadrātveida matrica, bet labajā pusē - papildu kolonna. Tā kā šī matrica ir pievienota, to dažreiz sauc par palielināta matrica. Tagad mēs strādāsim pie šīs pašas sistēmas risināšanas, vienkārši izmantojot matricu.

Iepriekš 3. attēlā parādīti divi svarīgi elementi mūsu matricas risinājuma procedūrai. 3. attēla augšpusē redzat & quot; vēlamo mērķi. & Quot; Šī ir forma, pēc kuras mēs vēlamies, lai mūsu matrica tiktu modelēta. Ievērojiet, ka mēs vēlamies, lai matricas kreisā daļa kļūtu par identitātes matrica. Būs arī papildu kolonna ar trim daudzumiem tajās. Šie daudzumi a, b, un c, jābūt sistēmas risinājumiem. Augšējā rindā rakstīts: & quot1x + 0y + 0z = a& quot, kas faktiski saka: & quotx = aOtrā spēkā esošā rindiņa saka: & quoty = b. & quot; Trešā spēkā esošā rinda saka: & quotz = c. & quot Un tā, matrica šajā formā ir pilnībā atrisināta.

Iepriekš 3. attēla otrā daļa ir ieteicamā stratēģiskā kārtība, kā iegūt matricas kreisās puses transformāciju identitātes matrica. Iemesls, kāpēc jums tiek dota šī ieteiktā stratēģiskā kārtība, ir samazināt vai novērst ar izšķērdīgām pūlēm. Kad mēs pārvarēsim zemāk redzamo problēmu, jūs galu galā redzēsiet, ka šis pasūtījums palīdzēs novērst izšķērdēto darbu.

Iepriekš 4. attēlā mēs redzam, ka otrajā rindā esošais 1 ir apļots. Tas ir tāpēc, ka mūsu stratēģiskā pasūtījuma plānā mēs vispirms pārveidojam šo pirmo šūnu otrajā rindā. Kas ir tas, par ko mēs vēlamies, lai šī otrā šūna kļūst par pirmo šūnu? Ātri apskatot 3. attēlu, mums vajadzētu pateikt, ka mēs vēlamies, lai tas būtu nulle. Kā mēs varam panākt, lai tas kļūtu par nulli? Nu, protams, mums jāievēro tikai juridiskās darbības, kas bija 1. attēlā. Viens plāns, kas to sasniegs, ir rindu pavairošana b par -2 un pievienojiet rezultātu rindai a. Tad mēs saliksim rezultātu rindā b. Tas ir iepriekš sybolizēts ar -2b + a - & gt b apzīmējums. Protams, šī darbība mums jāveic katram skaitlim pēc kārtas b. (visi 4 no tiem) Otrajā matricā jūs varat redzēt rezultātu pēc šīs operācijas veikšanas.

Nākamais skaitlis, kas mums jāmaina, ir apakšējais kreisais elements, kas riņķoja iepriekš 5. attēlā. Mums atkal ir nepieciešams, lai šis skaitlis tiktu pārveidots par nulli. Mēs varam redzēt, ka rinda b nedod neko labu. Nulle plus jebkas neko nemaina. Tātad tagad mēs zinām, ka mums ir jāizmanto rinda a. Mēs varētu ņemt 3 reizes rindu a, un -2 reizes rinda c. Saskaitot šos divus kopā, pirmajā pozīcijā tiks iegūta nulle. 5. attēlā parādīts, kas notiek, ja jūs izpildāt šo plānu visā rindā.

Nākamais numurs, kas mums jāmaina, ir otrais elements rindā c. Mums vajag, lai šis elements būtu nulle. Šajā problēmas posmā ir ļoti svarīgi atcerēties, ka, kamēr mēs vēlamies mainīt otro elementu pēc kārtas c, mums jāaizsargā nulle, kuru iepriekš mainījām uz nulli. Lai aizsargātu nulli pirmajā pozīcijā, mums jādarbojas ar rindu, kuras pirmajā pozīcijā ir arī nulle. Tas mums saka, ka mums ir jāveic darbība, kas ietver rindu b. Mūsu plāns ir reizināt -3 ar rindu c, Pievienot b, un ielieciet c. Veiciet šo darbību un pārbaudiet, vai jums ir tāda pati apakšējā rinda, kā parādīts iepriekš 6. attēlā.

Nākamais numurs, kas mums jāmaina, ir otrais elements rindā b. Šis ir pirmais elements, kuru mēs vēlamies pārveidot par 1. Jums šīs transformācijas patiks. Lai pārveidotu elementu uz 1, nepieciešama tikai vienas rindas darbība. Viss, kas jums jādara, ir sadalīt katru rindas elementu b ar -3. Rezultāti tiks atgriezti uzreiz pēc kārtas b. Rezultātus skatiet iepriekš 7. attēlā.

Nākamais elements, kas jāpārveido, ir trešais elements rindā c. Tas jāpārveido par 1. Elementa pārveidošana par vienu ir visvieglākā no visām. Atkal viss, kas mums jādara, ir reizināt katru elementu pēc kārtas c līdz -1/20.

Mūsu nākamā transformācija ir trešais elements pēc kārtas b. Šim elementam jābūt nullei. Šeit raizes ir "aizsargāt" pēdējos divus šīs rindas elementus, kurus esam smagi strādājuši, lai iegūtu to pašreizējā formā. Divas sākuma nulles pēc kārtas c ir ideāla aizsardzība šiem diviem elementiem. Tāpēc mēs vēlamies veikt a b, c darbība. Mūsu plāns ir pavairot rindu c par 1/3 un pievienojiet rezultātu b.

Divas rindas izdarītas! Ievērojiet, ka tagad rindas b un c ir pilnībā izdarīti. Mēs tagad strādājam pie trešā elementa pārveidošanas pēc kārtas a līdz nullei. Nav nekā pēc kārtas a kurai nepieciešama aizsardzība. Mēs vienkārši atņemsim rindu a mīnus rinda c, un lieciet rezultātu atpakaļ rindā a.

Tagad mums jāpārveido otrais elements rindā a uz nulli. Mums patiešām ir viens elements, kas jāaizsargā pēc kārtas a, tāpēc mēs pamanām šo rindu b ir ideāla aizsardzība, jo trešajā pozīcijā tam ir nulle. Šeit mēs varam vienkārši pievienot rindu a airēt b, un ielieciet atpakaļ rindā a.

Viens pēdējais pārveidojamais elements. Tā kā šim elementam jābūt vienam, mēs varam vienkārši sadalīt rindu a par 2. Mēs esam pabeiguši! Tā kā matricas kreisajā pusē ir identitātes matrica, mūsu atbildes atrodas trešajā slejā. Sistēma atrisināta.

Īpašās situācijas

Dažām vienādojumu sistēmām nav risinājuma. Ja attēlojat iepriekšējo vienādojumu sistēmu kā trīs līniju sistēmu trīsdimensiju telpā. tad jūs varat labi iedomāties, ka 3 šādām līnijām nav jāšķērso 1 kopīgais punkts. Patiesībā tas būtu diezgan reti, ja viņi šķērso vienu kopīgu punktu.

Risinot matricas, mēs cenšamies padarīt matricas kreiso daļu par identitātes matricu. Ja matricai nav risinājuma, jūs redzēsiet matricas, kas izskatās šādi:



Ievērojiet, ka apakšējā rinda faktiski mums norāda, ka 0 * X + 0 * Y + 0 * Z = 1, kas nav iespējams. Tas ir mūsu norādījums, ka šī ir neiespējama matrica, no kuras atrast vienu risinājumu.

Cits matricas veids var rasties no mūsu centieniem sasniegt identitātes matricu matricas kreisajā pusē. Zemāk ir šis tips:


Šeit mums ir visu nulļu unikālā apakšējā rinda. Algebras vienādojums, ko tas apzīmē, proti, 0 * X + 0 * Y + 0 * Z = 0, ir patiess. Tā ir taisnība, bet tas noteikti mums neko nesaka par vienādojumu sistēmu. Šai sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu.

Jums jāspēj atpazīt šos divus īpašos matricas rezultātu veidus un to nozīmi.


RISINĀJUMS: Atrisiniet vienādojumu sistēmu, izmantojot matricas un operāciju rindas. x-y + z = -4 2x-3y + 4z = -15 5x + y-2z = 12


Vispirms ļaujiet. Šī ir matrica, ko veido dotās vienādojumu sistēmas koeficienti.


Ņemiet vērā, ka sistēmas labās puses vērtības ir, un, un tās ir izceltas šeit:


Šīs vērtības ir svarīgas, jo tās tiks izmantotas matricas A kolonnu aizstāšanai.


Tagad aprēķināsim iegūšanas matricas A noteicošo faktoru. Lai ietaupītu vietu, es nerādu noteicēja aprēķinus. Tomēr, ja jums nepieciešama palīdzība, aprēķinot matricas A determinantu, pārbaudiet šo risinātāju.

Piezīmju piezīme: apzīmē matricas A determinantu.

Tagad aizstājiet A pirmo kolonnu (kas atbilst mainīgajam “x”) ar vērtībām, kas veido vienādojumu sistēmas labo pusi. Mēs apzīmēsim šo jauno matricu (jo tā teikt aizstājam kolonnu “x”).


Tagad aprēķiniet iegūšanas faktoru. Atkal kā kosmosa taupītājs es neiekļāvu noteicēja aprēķinus. Pārbaudiet šo risinātāju, lai uzzinātu, kā atrast šo noteicošo faktoru.

Lai atrastu pirmo risinājumu, vienkārši daliet determinantu ar determinantu, lai iegūtu:


Mēs ievērosim to pašu pamatideju, lai atrastu pārējos divus risinājumus. Atiestatīsim, ļaujot vēlreiz (tā ir koeficienta matrica).


Tagad aizstājiet A otro kolonnu (kas atbilst mainīgajam “y”) ar vērtībām, kas veido vienādojumu sistēmas labo pusi. Mēs apzīmēsim šo jauno matricu (jo mēs savā veidā aizstājam kolonnu “y”).


Tagad aprēķiniet iegūšanas faktoru.

Lai atrastu otro risinājumu, daliet determinantu ar determinantu, lai iegūtu:

Tātad otrais risinājums ir

Atiestatīsim vēlreiz, ļaujot noteikt koeficientu matricu.

A trešo sleju (kas atbilst mainīgajam “z”) aizstāj ar vērtībām, kas veido vienādojumu sistēmas labo pusi. Mēs apzīmēsim šo jauno matricu


Tagad aprēķiniet iegūšanas faktoru.

Lai atrastu trešo risinājumu, daliet determinantu ar determinantu, lai iegūtu:


Tātad trīs risinājumi ir,, un dodot sakārtoto trīskāršo (1, 3, -2)


Note: there is a lot of work that is hidden in finding the determinants. Take a look at this 3x3 Determinant Solver to see how to get each determinant.


Lesson Using systems of equations to solve problems on investment

Madison invested a total of $30,000 at two different banks. At one bank she earned 3.5% on her investment
and at the other bank she earned 4.5%. If her total earning per year is $1,320 then how much did she invest at each bank?


The method I used to solve the system of equations in this problem was the Substitution method .

Problem 2

Sue has $80,000 to invest in a savings account, which pays 7% and a certificate of deposit which pays 8.4%.
Sue would like to receive $6,300 as interest income. How much should she invest in each?


The method I used to solve the system of equations in this problem was the Elimination method .

3. problēma

$15,074 is invested part at 14% and the rest at 5%. If the interest earned from the amount invested at 14% exceeds
the interest earned from the amount invested at 5% by $1694.07, how much is invested at each rate?

Problem 4

Jack inherited 250000 pesos and invested money in SM, Meralco, and Manila Water. After a year, he got a small return of 16200 pesos
from the three investments. SM returned 6%, Meralco returned 7%, and Manila Water returned 8%. There was 60000 more pesos invested
in Meralco than in Manila Water. How much did he invest in SM, Meralco, and Manila Water?

Use this file/link ALGEBRA-I - YOUR ONLINE TEXTBOOK to navigate over all topics and lessons of the online textbook ALGEBRA-I.


Lesson Solving systems of linear equations in 3 unknowns by the Substitution method

Solving systems of linear equations in 3 unknowns by the Substitution method

In this lesson you will learn the Substitution method for solving systems of three linear equations in three unknowns.

The method is to express one variable via two others using one equation and then to substitute this expression into the two remaining equations. In this step you reduce the original system of three linear equations in three unknowns to the system of two linear equations in two unknowns.

When this step is done, you solve the obtained system of two linear equations by repeatedly applying the substitution method as described in the lesson Solution of the linear system of two equations in two unknowns by the Substitution method of the section Algebra-I in this site. For it, you express the second unknown via the third one using one of the two linear equations of the obtained system, and then substitute it into the remaining equation of this system.

After completing this, you will get the single linear equation in one unknown which you can easily solve. Then back-substitute the found value into the intermediate system of two linear equations in two unknowns to get the second unknown. As the last step, back-substitute the two found values for unknowns into either appropriate of the original equations - it will allow you to find the last unknown.

Examples below show how this method works.

1. piemērs

Solve the system of linear equations

Express from the third equation:
= .

Substitute it into the first and the second equations. You will get the system of two equations in two unknowns and

Simplify these two equations to the standard form by collecting common terms:

You got the system of two linear equations in two unknowns. Perhaps, the simplest way to solve it is to apply the Elimination method (see the lesson Solution of the linear system of two equations in two unknowns by the Elimination method in this site) by distracting the first equation from the second one. In this way you immediately get the solution of the system (2) , . But this time I will use the same substitution method to stay in frame of this method. So, let us express from the first equation of the system (2)
=

and substitute it into the second equation. You will get
.

Simplify it by opening parentheses and collecting common terms. You get
.

Hence, the solution is . Back-substitute it into either equation of the intermediate system (2), for example, into the first one. You get
,

Now, back-substitute the found values and into the first equation of the system (1):
.

Simplify and solve this equation for :
, .

Thus the solution of the original system of equations is , , .

Now, verify the calculated solution. Simply substitute the found values of , and into the original equations. You will get
= for the left side of the first equation, and it is identical to its right side
= for the left side of the second equation, and it is identical to its right side
= for the left side of the third equation, and it is identical to its right side.

The check shows that the solution is correct.

Answer . The solution of the system (1) is , , .

2. piemērs

Solve the system of linear equations

Express from the first equation:
= .

Substitute it into the second and the third equations. You will get the system of two equations in two unknowns and

Simplify these two equations to the standard form by collecting common terms:

You are lucky! You got the system whose solution is obvious: and . You don't need to make more calculations!

Now, back-substitute the found values and into the first equation of the system (3):
.

Simplify and solve this equation for :
, .

Thus the solution of the original system of equations is , , .

Now, verify the calculated solution. Simply substitute the found values of , and into the original equations. You will get
= for the left side of the first equation, and it is identical to its right side
= for the left side of the second equation, and it is identical to its right side
= for the left side of the third equation, and it is identical to its right side.

The check shows that the solution is correct.

Answer . The solution of the system (3) is , , .

Example 3

Solve the system of linear equations

Express from the first equation:
= .

Substitute it into the second and the third equations. You will get the system of two equations in two unknowns and

Simplify these two equations to the standard form by collecting common terms:

You got the system of two linear equations in two unknowns. Perhaps, the simplest way to solve it is to apply the Elimination method (see the lesson Solution of the linear system of two equations in two unknowns by the Elimination method in this site) by adding the first equation and the second one. In this way you immediately get the solution of the system (2) , . But this time I will use the same substitution method to stay in frame of this method. So, let us express from the second equation of the system (6)
=

and substitute it into the first equation. You will get
.

Simplify it by collecting common terms. You will get
.

Hence, the solution is . Back-substitute it into either equation of the intermediate system (2), for example, into the second one. You get
,

Now, back-substitute the found values into the first equation of the system (5):
.

Thus the solution of the original system of equations is , , .

Now, verify the calculated solution. Simply substitute the found values of , and into the original equations. You will get
= for the left side of the first equation, and it is identical to its right side
= for the left side of the second equation, and it is identical to its right side
= for the left side of the third equation, and it is identical to its right side.

The check shows that the solution is correct.

Answer . The solution of the system (5) is , , .


Lessons learned from Examples 1, 2 and 3
As you saw, in Examples 1, 2 and 3 the substitution method worked smoothly and produced the unique solution.
It is not necessary to start the substitution method from the very first equation. You can start from any appropriate equation.
It is not necessary to start the substitution method from the very first unknown. You can start from any appropriate unknown.
If there is an equation and an unknown with the coefficient 1 in your system, you may prefer to start the substitution method from this equation and this
unknown.

When applying the substitution method, you can discover in some cases that some steps become trivial and you can perform them mentally, as it happened in the
solution to the Example 3. So be attentive and be aware - do not neglect and do not miss such opportunities. It may save you from unnecessary calculations.
Beside of it, the teacher will recognize your mathematical competence :-)

Below are Examples 4 - 8 that highlight the last point in more details.

Systems of linear equations with diagonal coefficient matrices

Example 4

Solve the system of equations


It is the system of linear equations with the diagonal coefficient matrix . The equations are separated each from the other and each contains only one unknown. The solution is obvious: , and . In this case you do not need to apply the substitution method :-)

Systems of linear equations with upper triangular coefficient matrices

Example 5

Solve the system of linear equations

It is also a special kind of linear equation systems. It has the upper triangular coefficient matrix . You will better see it if you rewrite it in the equivalent form
(8)

It is again the case when you don't need to apply the substitution method in its full range to solve the system. You need to make the back-substitution step only. Start from the third equation and get the solution . Then substitute it into the second equation. You get
= , which gives you = = and .

Now substitute and into the first equation. You get
= , which gives you = = and .

The system is solved. Now you know how to solve the system of linear equations with the upper triangular coefficient matrix.


It may happen that you will be offered to solve the system of linear equations in three unknown with the upper triangular coefficient matrix, where the explicit "upper triangular structure" is masked or hidden, as, for example, in the following example.

Example 6

Solve the system of linear equations

You should be able to recognize that the given system is equivalent to this

after renaming 'x' to 'p', 'y' to 'r' and 'z' to 'q'. The system (10) has the upper triangular coefficient matrix , similar to that of the Example 5 .


Figure 1a . The profile of
the coefficient matrix (11)


Figure 1b . The profile of
the coefficient matrix (10)


You easily will find the solution to (10) , and then , by making back-substitution.
Hence, , and is the solution to the original system (9).

Notice that the system (9) has the profile shown in the Figure 1a , while the system (10)
has the profile shown in the Figure 1b , the same as the systems (7) and (8) have.
In these Figures the symbol '0' marks the zero elements and the symbol 'x' marks non-zero elements.


Systems of linear equations with lower triangular coefficient matrices

7. piemērs

Solve the system of linear equations

(11)
This system has the lower triangular coefficient matrix . You will better see it if you rewrite it in the equivalent form
(12)

In this case you don't need to apply the substitution method in its full range to solve the system. You need to make the straight-forward substitution only.
Start from the first equation and get the solution . Then substitute it into the second equation. You will get
= , which gives you = = and .

Now substitute and into the third equation. You will get
= , which gives you = = and .

The system is solved. Now you know how to solve the system of linear equations with the lower triangle coefficient matrix.
The back-substitution step for the upper triangle coefficient matrix case and the straight-forward substitution step for the lower triangle coefficient matrix case do not differ much.

8. piemērs

Solve the system of linear equations

You should be able to recognize that the given system is equivalent to this

after renaming 'x' to 'q', 'y' to 'p' and 'z' to 'r'. The system (14) has the lower triangular coefficient matrix similar to that of the Example 7 .


Figure 2a . The profile of
the coefficient matrix (13)


Figure 2b . The profile of
the coefficient matrix (14)


You easily will find the solution to (14) , and then , by making back-substitution.
Hence, , and is the solution to the original system (13).

Notice that the system (13) has the profile shown in the Figure 2a , while the system (14)
has the profile shown in the Figure 2b , the same as the systems (11) and (12) have.
In these Figures the symbol '0' marks the zero elements and the symbol 'x' marks non-zero elements.



Lessons learned from Examples 4 - 8
If you need to solve a system with an upper triangular coefficient matrix, you should not apply the substitution method in its full range. You need to make
the back-substitution step only. Same if you are given a system with the masked upper triangular matrix.

Similarly, if you need to solve a system with a lower triangular coefficient matrix, you should not apply the substitution method in its full range. It is enough
to make the straight-forward substitution only. Same if you are given a system with the masked lower triangular matrix.

Examples 1 , 2 and 3 are the cases, when the linear equation system has the unique solution. They are examples of the consistent equation systems with independent equations. The substitution method works smoothly for such systems and produces their unique solutions.

Nevertheless, there are cases when the systems of linear equations have more than one solution or have no solutions at all. The substitution method has its own specifics in these cases.

9. piemērs

Solve the system of linear equations in three unknowns

Express from the first equation:
.

Substitute this expression for into the second and third equations. You will get the system of two linear equations for two unknowns and :


Simplify these two equations to the standard form by collecting common terms:
(16)

First step of the substitution method is done. Now apply the substitution method repeatedly to solve the system (16). Express   from the first equation of (16)
=

and substitute it into the second equation of (16). You will get
= ,

which after simplifying gives
= . (17)

Any value of satisfies the equation (17). So, this equation has infinitely many solutions.
Now we can start first back-substitution step of the substitution method. Let us take any arbitrary value and substitute it into the first equation of the system (16).
You will get
= .
Hence, for any arbitrary the pair (,) = (,) is the solution of the first equation of the system (16). At the same time, this pair satisfies the second equation of the system (16) too, because these two equations are equivalent (they are different only in the sign). Thus the system (16) has infinitely many solutions.

Now we can make next back-substitution step of the substitution method. Namely, substitute this pair of solutions = , = into the first equation of the system  (15). You will get
- () = 1.

Then find from the last equation:  .
Finally, I state that the triple , and is the solution of the system (15)  for any arbitrary value of .

Let us check this statement. Simply substitute the triple of numbers , and into the system (15). You will get
- () = 1 for the left side of the first equation, and it coincides with its right side
- = 2 for the left side of the second equation,  and it coincides with its right side
- () = -3 for the left side of the third equation,  and it coincides with its right side.

Answer . The system (15) has infinitely many solutions , and for any arbitrary value .

Example 10

Solve the system of three linear equations in three unknowns by the substitution method

Express from the first equation:
.

Substitute this expression for into the second and third equations. You will get the system of two linear equations for two unknowns and :


Simplify these two equations to the standard form by collecting common terms:
(19)

First step of the substitution method is done. Now apply the substitution method repeatedly to solve the system (16). Express   from the first equation of (16)
=

and substitute it into the second equation of (16). You will get
= ,

which after simplifying gives
= . (20)

The last equation (20) has no solution, because its left side is zero for any number . It means that the original system (18) has no solution. Indeed, if the system (18) would have a solution, then the equation (20) should have it, which is impossible.

Answer . The system (18) has no solution.


Lessons learned from Examples 9 and 10.
When solving a systems of three linear equations in three unknowns, you can meet one of three cases:
1) the case when the system has a unique solution
2) the case when the system has infinitely many solutions, and
3) the case when the system has no solutions.

The substitution method allows you to recognize, to distinct and to identify these cases.

If by applying the substitution method you finally get a single equation of the form with non-zero coefficient , then it is the first case: the system
has a unique solution, and you can get it in the back-substitution process.

If by applying the substitution method you finally get a single equation of the form or or with the zero coefficient (or, generally,
an equation = with zero coefficients , and , where are the modified matrix coefficients and is the modified
right side), then it is the second or the third case.

Further, if the right side (or in the general case) is equal to zero, then it is the second case: the original system has infinitely many solutions, and
you can get them in the back-substitution process.
Otherwise, if the right side (or in the general case) is not equal to zero, then it is the third case: the original system has no solutions.

Use this file/link ALGEBRA-II - YOUR ONLINE TEXTBOOK to navigate over all topics and lessons of the online textbook ALGEBRA-II.


Solving Systems of Equations using Matrices

Videos, worksheets, solutions, and activities to help Algebra students learn how to solve systems of equations using the inverse of matrices.

This video explains how to solve a system of two linear equations with two unknowns using a matrix equation.

Matrices to solve simultaneous equations tutorial
Using Matrices to Solve Systems of Equations on the Graphing Calculator
This video shows how to use matrices to solve systems of linear equations on the TI83 and TI84 series of graphing calculators.

Try the free Mathway calculator and problem solver below to practice various math topics. Try the given examples, or type in your own problem and check your answer with the step-by-step explanations.

We welcome your feedback, comments and questions about this site or page. Please submit your feedback or enquiries via our Feedback page.


Solving Systems of Equations by Matrix Row Reduction Method

Examples, solutions, videos, and lessons to help Algebra students learn how to solve systems of equations using the matrix row reduction method.

Row Reducing a Matrix to Solve A System of Linear Equations

Try the free Mathway calculator and problem solver below to practice various math topics. Try the given examples, or type in your own problem and check your answer with the step-by-step explanations.

We welcome your feedback, comments and questions about this site or page. Please submit your feedback or enquiries via our Feedback page.


4 Atbildes 4

Whether or not your matrix is square is not what determines the solution space. It is the rank of the matrix compared to the number of columns that determines that (see the rank-nullity theorem). In general you can have zero, one or an infinite number of solutions to a linear system of equations, depending on its rank and nullity relationship.

To answer your question, however, you can use Gaussian elimination to find the rank of the matrix and, if this indicates that solutions exist, find a particular solution x0 and the nullspace Null(A) of the matrix. Then, you can describe all your solutions as x = x0 + xn, where xn represents any element of Null(A). For example, if a matrix is full rank its nullspace will be empty and the linear system will have at most one solution. If its rank is also equal to the number of rows, then you have one unique solution. If the nullspace is of dimension one, then your solution will be a line that passes through x0, any point on that line satisfying the linear equations.

Ok, first off: a non-square system of equations can have an exact solution

clearly has a solution (actually, it has an 1-dimensional family of solutions: x=z=1). Even if the system is overdetermined instead of underdetermined it may still have a solution:

(x=y=1). You may want to start by looking at least squares solution methods, which find the exact solution if one exists, and "the best" approximate solution (in some sense) if one does not.

Taking Ax = b , with A having m columns and n rows. We are not guaranteed to have one and only one solution, which in many cases is because we have more equations than unknowns (m bigger n). This could be because of repeated measurements, that we actually want because we are cautious about influence of noise.

If we observe that we can not find a solution that actually means, that there is no way to find b travelling the column space spanned by A. (As x is only taking a combination of the columns).

We can however ask for the point in the space spanned by A that is nearest to b. How can we find such a point? Walking on a plane the closest one can get to a point outside it, is to walk until you are right below. Geometrically speaking this is when our axis of sight is perpendicular to the plane.

Now that is something we can have a mathematical formulation of. A perpendicular vector reminds us of orthogonal projections. And that is what we are going to do. The simplest case tells us to do a.T b . But we can take the whole matrix A.T b .

For our equation let us apply the transformation to both sides: A.T Ax = A.T b . Last step is to solve for x by taking the inverse of A.T A :


Skatīties video: Augstākā matemātika I,,, 31, Krāmera formulas. Matricu algebras elementi. (Novembris 2021).