Raksti

2.7. Reizināt un dalīt veselos skaitļus (1. daļa) - matemātika


Prasmes attīstīties

  • Reiziniet veselus skaitļus
  • Sadaliet veselus skaitļus
  • Vienkāršojiet izteiksmes ar veseliem skaitļiem
  • Novērtējiet mainīgo izteiksmes ar veseliem skaitļiem
  • Tulkojiet vārdu frāzes algebriskās izteiksmēs

esi gatavs!

Pirms sākat, veiciet šo gatavības viktorīnu.

  1. Tulkojiet (20 ) un (13 ) koeficientu algebriskā izteiksmē. Ja jums pietrūka šīs problēmas, skatiet 1.5.12. Piemēru.
  2. Pievienojiet: (- 5 + (−5) + (−5) ). Ja jums pietrūka šīs problēmas, skatiet 3.2.8. Piemēru.
  3. Novērtējiet (n + 4 ), kad (n = −7 ). Ja jums pietrūka šīs problēmas, skatiet 3.2.10. Piemēru.

Reizināt veselos skaitļus

Tā kā reizināšana ir matemātiska stenogrāfija atkārtotai saskaitīšanai, mūsu skaitītāja modeli var viegli pielietot, lai parādītu veselu skaitļu reizināšanu. Apskatīsim šo konkrēto modeli, lai redzētu, kādus modeļus mēs pamanām. Mēs izmantosim tos pašus piemērus, kurus izmantojām saskaitīšanai un atņemšanai.

Mēs atceramies, ka (a • b ) nozīmē pievienot (a ), (b ) reizes. Šeit mēs izmantojam modeli, kas parādīts attēlā ( PageIndex {1} ), lai tikai palīdzētu mums atklāt modeli.

Attēls ( PageIndex {1} )

Tagad apsveriet, ko nozīmē reizināt (5 ) ar (- 3 ). Tas nozīmē atņemt (5 ), (3 ) reizes. Aplūkojot atņemšanu kā atņemšanu, tas nozīmē atņemt (5 ), (3 ) reizes. Bet nav ko atņemt, tāpēc mēs vispirms pievienojam neitrālus pārus, kā parādīts attēlā ( PageIndex {2} ).

Attēls ( PageIndex {2} )

Abos gadījumos mēs sākām ar (15 ) neitrāliem pāriem. Kreisajā gadījumā mēs atņēmām (5 ), (3 ) reizes, un rezultāts bija (- 15 ). Lai reizinātu ((- 5) (- 3) ), mēs atņēmām (- 5 ), (3 ) reizes, un rezultāts bija (15 ). Tātad mēs to atradām

5(3) = 15-5(3) = -15
5(-3) = -15(-5)(-3) = 15

Ievērojiet, ka, reizinot divus parakstītus skaitļus, ja zīmes ir vienādas, produkts ir pozitīvs, un, ja zīmes ir atšķirīgas, reizinājums ir negatīvs.

Definīcija: Parakstītu skaitļu reizināšana

Divu skaitļu reizinājuma zīme ir atkarīga no to zīmēm.

Tās pašas zīmesProdukts
Divi pozitīviPozitīvi
Divi negatīviPozitīvi
Dažādas zīmesProdukts
Pozitīvs • negatīvsNegatīvs
Negatīvs • pozitīvsNegatīvs

Piemērs ( PageIndex {1} ): reizināt

Reiziniet katru no šiem:

  1. (−9 • 3)
  2. (−2(−5))
  3. (4(−8))
  4. (7 • 6)

Risinājums

    Reiziniet, atzīmējot, ka apzīmējumi ir atšķirīgi un tāpēc produkts ir negatīvs.–9 • 3 = –27
      Reiziniet, atzīmējot, ka zīmes ir vienādas un tāpēc produkts ir pozitīvs.–2(–5) = 10
        Reiziniet, atzīmējot, ka apzīmējumi ir atšķirīgi un tāpēc produkts ir negatīvs.4(–8) = –32
          Pazīmes ir vienādas, tāpēc produkts ir pozitīvs.7 • 6 = 42

          Vingrinājums ( PageIndex {1} )

          Reizināt:

          1. (−6 • 8)
          2. (−4(−7))
          3. (9(−7))
          4. (5 • 12)
          Atbilde a

          (-48)

          Atbilde b

          (28)

          Atbilde c

          (-63)

          Atbilde d

          (60)

          Vingrinājums ( PageIndex {2} )

          Reizināt:

          1. (−8 • 7)
          2. (−6(−9))
          3. (7(−4))
          4. (3 • 13)
          Atbilde a

          (-56)

          Atbilde b

          (54)

          Atbilde c

          (-28)

          Atbilde d

          (39)

          Kad reizinām skaitli ar (1 ), rezultāts ir tāds pats skaitlis. Kas notiek, reizinot skaitli ar (- 1 )? Reizināsim pozitīvu skaitli un pēc tam negatīvu skaitli ar (- 1 ), lai redzētu, ko mēs iegūstam.

          −1 • 4−1(−3)
          −43
          −4 ir pretstats 43 ir pretstats −3

          Katru reizi, reizinot skaitli ar (- 1 ), iegūstam pretējo.

          Definīcija: reizināšana ar (- 1 )

          Reizinot skaitli ar (- 1 ), iegūst tā pretējo.

          [- 1 cdot a = -a ]

          Piemērs ( PageIndex {2} ): reizināt

          Reiziniet katru no šiem:

          1. (−1 • 7)
          2. (−1(−11))

          Risinājums

            Pazīmes ir atšķirīgas, tāpēc produkts būs negatīvs.−1 • 7
            Ievērojiet, ka −7 ir pretējs 7.−7
              Pazīmes ir vienādas, tāpēc produkts būs pozitīvs.−1(−11)
              Ievērojiet, ka 11 ir pretstats −11.11

              Vingrinājums ( PageIndex {3} )

              Pavairot.

              1. (−1 • 9)
              2. (−1 • (−17))
              Atbilde a

              (-9)

              Atbilde b

              (17)

              Vingrinājums ( PageIndex {4} )

              Pavairot.

              1. (−1 • 8)
              2. (−1 • (−16))
              Atbilde a

              (-8)

              Atbilde b

              (16)

              Sadaliet veselos skaitļus

              Dalīšana ir reizināšanas apgrieztā darbība. Tātad, (15 ÷ 3 = 5 ), jo (5 • 3 = 15 ) Vārdos šī izteiksme saka, ka (15 ) var iedalīt (3 ) grupās, katrā jo pievienojot piecas trīs reizes, iegūst (15 ). Ja mēs aplūkojam dažus veselu skaitļu reizināšanas piemērus, mēs varētu noskaidrot veselo skaitļu dalīšanas noteikumus.

              5 • 3 = 15, tātad 15 ÷ 3 = 5−5 (3) = −15 tātad −15 ÷ 3 = −5
              (−5) (- 3) = 15, tātad 15 ÷ (−3) = −55 (−3) = −15 tātad −15 ÷ −3 = 5

              Parakstīto skaitļu dalīšana notiek pēc tiem pašiem noteikumiem kā reizināšana. Ja zīmes ir vienādas, koeficients ir pozitīvs, un, ja zīmes ir atšķirīgas, koeficients ir negatīvs.

              Definīcija: Parakstīto numuru dalīšana

              Divu skaitļu dalījuma zīme ir atkarīga no to zīmēm.

              Tās pašas zīmesQuotient
              Divi pozitīviPozitīvi
              Divi negatīviPozitīvi
              Dažādas zīmesQuotient
              Pozitīvs un negatīvsNegatīvs
              Negatīvs un pozitīvsNegatīvs

              Atcerieties, ka vienmēr varat pārbaudīt atbildi uz dalīšanas problēmu, reizinot to.

              Piemērs ( PageIndex {3} ): sadalīt

              Sadaliet katru no šiem:

              1. (−27 ÷ 3)
              2. (−100 ÷ (−4))

              Risinājums

                Sadaliet, atzīmējot, ka zīmes ir atšķirīgas un tāpēc koeficients ir negatīvs.–27 ÷ 3 = –9
                  Sadaliet, atzīmējot, ka zīmes ir vienādas, un tāpēc koeficients ir pozitīvs.–100 ÷ (–4) = 25

                  Vingrinājums ( PageIndex {5} )

                  Sadalīt:

                  1. (−42 ÷ 6)
                  2. (−117 ÷ (−3))
                  Atbilde a

                  (-7)

                  Atbilde b

                  (39)

                  Vingrinājums ( PageIndex {6} )

                  Sadalīt:

                  1. (−63 ÷ 7)
                  2. (−115 ÷ (−5))
                  Atbilde a

                  (-9)

                  Atbilde b

                  (23)

                  Tāpat kā mēs redzējām ar reizināšanu, dalot skaitli ar (1 ), rezultāts ir tas pats skaitlis. Kas notiek, kad skaitli dalām ar (- 1 )? Sadalīsim pozitīvo skaitli un pēc tam negatīvo skaitli ar (- 1 ), lai redzētu, ko mēs iegūstam.

                  8 ÷ (−1)−9 ÷ (−1)
                  −89
                  −8 ir pretstats 89 ir pretstats −9

                  Kad mēs dalām skaitli ar, (- 1 ) iegūstam pretējo.

                  Definīcija: dalījums ar (- 1 )

                  Sadalot skaitli ar (- 1 ), iegūst tā pretējo.

                  [a div (-1) = -a ]

                  Piemērs ( PageIndex {4} ): sadalīt

                  Sadaliet katru no šiem:

                  1. (16 ÷ (−1))
                  2. (−20 ÷ (−1))

                  Risinājums

                    Dividenžu summa 16 tiek dalīta ar –1.16 ÷ (–1)
                    Skaitļa dalīšana ar –1 dod pretējo.–16

                    Ievērojiet, ka zīmes bija atšķirīgas, tāpēc rezultāts bija negatīvs.

                      Dividenžu –20 dala ar –1.–20 ÷ (–1)
                      Skaitļa dalīšana ar –1 dod pretējo.20

                      Ievērojiet, ka pazīmes bija vienādas, tāpēc koeficients bija pozitīvs.

                      Vingrinājums ( PageIndex {7} )

                      Sadalīt:

                      1. (6 ÷ (−1))
                      2. (−36 ÷ (−1))
                      Atbilde a

                      (-6)

                      Atbilde b

                      (36)

                      Vingrinājums ( PageIndex {8} )

                      Sadalīt:

                      1. (28 ÷ (−1))
                      2. (−52 ÷ (−1))
                      Atbilde a

                      (-28)

                      Atbilde b

                      (52)

                      Vienkāršojiet izteiksmes ar veselajiem skaitļiem

                      Tagad mēs vienkāršosim izteiksmes, kas izmanto visas četras darbības - saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu un dalīšanu - ar veseliem skaitļiem. Atcerieties ievērot darbību secību.

                      Piemērs ( PageIndex {5} ): vienkāršot

                      Vienkāršojiet: (7 (−2) + 4 (−7) - 6 ).

                      Risinājums

                      Mēs izmantojam operāciju secību. Vispirms reiziniet un pēc tam saskaitiet un atņemiet no kreisās uz labo.

                      Vispirms pavairojiet.−14 + (−28)−6
                      Pievienot.−42 − 6
                      Atņemt.−48

                      Vingrinājums ( PageIndex {9} )

                      Vienkāršojiet: (8 (−3) + 5 (−7) −4 )

                      Atbilde

                      (-63)

                      Vingrinājums ( PageIndex {10} )

                      Vienkāršojiet: (9 (−3) + 7 (−8) - 1 )

                      Atbilde

                      (-84)

                      Piemērs ( PageIndex {6} ): vienkāršot

                      Vienkāršojiet:

                      1. ((−2)^4)
                      2. (−2^4)

                      Risinājums

                      Eksponents stāsta, cik reizes reizināt bāzi.

                      1. Eksponents ir (4 ), un bāze ir (- 2 ). Mēs paaugstinām (- 2 ) līdz ceturtajai pakāpei.
                      Rakstiet izvērstā formā.(−2)(−2)(−2)(−2)
                      Pavairot.4(−2)(−2)
                      Pavairot.−8(−2)
                      Pavairot.16
                      1. Eksponents ir (4 ), un bāze ir (2 ). Mēs paaugstinām (2 ) līdz ceturtajai pakāpei un pēc tam ņemam pretējo.
                      Rakstiet izvērstā formā.−(2 • 2 • 2 • 2)
                      Pavairot.−(4 • 2 • 2)
                      Pavairot.−(8 • 2)
                      Pavairot.−16

                      Vingrinājums ( PageIndex {11} )

                      Vienkāršojiet:

                      1. ((−3)^4)
                      2. (−3^4)
                      Atbilde a

                      (81)

                      Atbilde b

                      (-81)

                      Vingrinājums ( PageIndex {12} )

                      Vienkāršojiet:

                      1. ((−7)^2)
                      2. (−7^2)
                      Atbilde a

                      (49)

                      Atbilde b

                      (-49)

                      Piemērs ( PageIndex {7} ): vienkāršot

                      Vienkāršojiet: (12 - 3 (9 - 12) ).

                      Risinājums

                      Saskaņā ar darbību kārtību vispirms mēs vienkāršojam iekavās. Tad mēs reizināsim un visbeidzot atņemsim.

                      Vispirms atņemiet iekavas.12 − 3(−3)
                      Pavairot.12 − (−9)
                      Atņemt.21

                      Vingrinājums ( PageIndex {13} )

                      Vienkāršojiet: (17 - 4 (8 - 11) )

                      Atbilde

                      (29)

                      Vingrinājums ( PageIndex {14} )

                      Vienkāršojiet: (16 - 6 (7 - 13) )

                      Atbilde

                      (52)

                      Piemērs ( PageIndex {8} ): vienkāršot

                      Vienkāršojiet: (8 (−9) ÷ (−2) ^ 3 ).

                      Risinājums

                      Vispirms mēs vienkāršojam eksponentu, pēc tam reizinām un dalām.

                      Vienkāršojiet eksponentu.8(−9) ÷ (−8)
                      Pavairot.−72 ÷ (−8)
                      Sadaliet.9

                      Vingrinājums ( PageIndex {15} )

                      Vienkāršojiet: (12 (−9) ÷ (−3) ^ 3 )

                      Atbilde

                      (4)

                      Vingrinājums ( PageIndex {16} )

                      Vienkāršojiet: (18 (−4) ÷ (−2) ^ 3 )

                      Atbilde

                      (9)

                      Piemērs ( PageIndex {9} ): vienkāršot

                      Vienkāršojiet: (- 30 ÷ 2 + (−3) (- 7) ).

                      Risinājums

                      Vispirms mēs reizināsim un dalīsim no kreisās uz labo. Tad mēs papildināsim.

                      Sadaliet.−15 + (−3)(−7)
                      Pavairot.−15 + 21
                      Pievienot.6

                      Vingrinājums ( PageIndex {17} )

                      Vienkāršojiet: (- 27 ÷ 3 + (−5) (- 6) )

                      Atbilde

                      (21)

                      Vingrinājums ( PageIndex {18} )

                      Vienkāršojiet: (- 32 ÷ 4 + (−2) (- 7) )

                      Atbilde

                      (6)


                      7.1. Racionālu izteicienu reizināšana un dalīšana

                      Iepriekš mēs pārskatījām frakciju īpašības un to darbības. Mēs ieviesām racionālus skaitļus, kas ir tikai daļas, kur skaitītāji un saucēji ir veseli skaitļi. Šajā nodaļā mēs strādāsim ar daļām, kuru skaitītāji un saucēji ir polinomi. Mēs šo izpausmes veidu saucam par racionālu izteicienu.

                      Racionāla izteiksme

                      Racionāla izteiksme ir formas p q, p q, kur izteiksme lpp un q ir polinomi un q ≠ 0. q ≠ 0.

                      Šeit ir daži racionālu izteicienu piemēri:

                      Mēs darīsim tās pašas darbības ar racionālām izteiksmēm, kuras mēs darījām ar daļām. Mēs tos vienkāršosim, saskaitīsim, atņemsim, reizināsim, dalīsim un izmantosim lietojumprogrammās.

                      Nosakiet vērtības, kurām racionāla izteiksme nav definēta

                      Ja saucējs ir nulle, racionālā izteiksme nav definēta. Racionālas izteiksmes skaitītājs var būt 0, bet ne saucējs.

                      Kad mēs strādājam ar skaitlisko daļu, ir viegli izvairīties no dalīšanas ar nulli, jo skaitli varam redzēt saucējā. Lai izvairītos no dalīšanas ar nulli racionālā izteiksmē, mēs nedrīkstam pieļaut mainīgā lieluma vērtības, kuru dēļ saucējs būs nulle.

                      Tātad, pirms mēs sākam jebkuru darbību ar racionālu izteicienu, mēs vispirms to pārbaudām, lai atrastu vērtības, kas padarītu saucēju nulli. Tādā veidā, atrisinot, piemēram, racionālu vienādojumu, mēs zināsim, vai mūsu atrastie algebriskie risinājumi ir atļauti vai nav.

                      Nosakiet vērtības, kurām racionāla izteiksme nav definēta.

                      7.1. Piemērs

                      Nosakiet vērtību, kurai katra racionālā izteiksme nav definēta:

                      Risinājums

                      Izteiciens nebūs definēts, ja saucējs būs nulle.


                      8 a 2 b 3 c Iestatiet saucēju vienādu ar nulli un atrisiniet mainīgo. 3 c = 0 c = 0 8 a 2 b 3 c nav noteikts c = 0. 8 a 2 b 3 c Iestatiet saucēju vienādu ar nulli un atrisiniet mainīgo. 3 c = 0 c = 0 8 a 2 b 3 c nav noteikts c = 0.


                      4 b - 3 2 b + 5 Iestatiet saucēju vienādu ar nulli un atrisiniet mainīgo. 2 b + 5 = 0 2 b = −5 b = - 5 2 4 b - 3 2 b + 5 nav definēts attiecībā uz b = - 5 2. 4 b - 3 2 b + 5 Iestatiet saucēju vienādu ar nulli un atrisiniet mainīgo. 2 b + 5 = 0 2 b = −5 b = - 5 2 4 b - 3 2 b + 5 nav definēts attiecībā uz b = - 5 2.


                      x + 4 x 2 + 5 x + 6 Iestatiet saucēju vienādu ar nulli un atrisiniet mainīgo. x 2 + 5 x + 6 = 0 (x + 2) (x + 3) = 0 x + 2 = 0 vai x + 3 = 0 x = −2 vai x = −3 x + 4 x 2 + 5 x + 6 nav definēts x = −2 vai x = −3. x + 4 x 2 + 5 x + 6 Iestatiet saucēju vienādu ar nulli un atrisiniet mainīgo. x 2 + 5 x + 6 = 0 (x + 2) (x + 3) = 0 x + 2 = 0 vai x + 3 = 0 x = −2 vai x = −3 x + 4 x 2 + 5 x + 6 nav definēts x = −2 vai x = −3.

                      Nosakiet vērtību, kurai katra racionālā izteiksme nav definēta.

                      Nosakiet vērtību, kurai katra racionālā izteiksme nav definēta.

                      Vienkāršojiet racionālās izteiksmes

                      Daļa tiek uzskatīta par vienkāršotu, ja tās skaitītājā un saucējā nav vienotu faktoru, izņemot 1. Tāpat vienkāršotās racionālās izteiksmes skaitītājā un saucējā nav citu kopīgu faktoru, izņemot 1.

                      Vienkāršota racionāla izteiksme

                      Racionāla izteiksme tiek uzskatīta par vienkāršotu, ja tās skaitītājā un saucējā nav kopīgu faktoru.

                      Mēs izmantojam īpašību Ekvivalenta frakcijas, lai vienkāršotu skaitliskās daļas. Mēs to atkārtojam šeit, jo to izmantosim arī racionālu izteicienu vienkāršošanai.

                      Ekvivalenta frakciju īpašība

                      Ja a, b, un c ir skaitļi, kur b ≠ 0, c ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0,

                      Ievērojiet, ka rekvizītā Ekvivalentās frakcijas vērtības, kas saucējus padarītu nulle, ir īpaši aizliegtas. Mēs redzam, ka b ≠ 0, c ≠ 0 b ≠ 0, c ≠ 0 ir skaidri norādīts.

                      Lai vienkāršotu racionālas izteiksmes, vispirms rakstām skaitītāju un saucēju faktorizētā formā. Tad mēs noņemam kopējos faktorus, izmantojot rekvizītu Ekvivalentās frakcijas.

                      Esiet ļoti piesardzīgs, noņemot kopīgus faktorus. Faktori tiek reizināti, lai iegūtu produktu. No produkta var noņemt faktoru. Jūs nevarat noņemt terminu no summas.

                      7.2. Piemērs

                      Kā vienkāršot racionālu izteicienu

                      Vienkāršojiet: x 2 + 5 x + 6 x 2 + 8 x + 12 x 2 + 5 x + 6 x 2 + 8 x + 12.

                      Risinājums

                      Vienkāršojiet: x 2 - x - 2 x 2 - 3 x + 2. x 2 - x - 2 x 2 - 3 x + 2.

                      Vienkāršojiet: x 2 - 3 x - 10 x 2 + x - 2. x 2 - 3 x - 10 x 2 + x - 2.

                      Tagad mēs apkopojam darbības, kas jums jāveic, lai vienkāršotu racionālas izteiksmes.

                      Vienkāršojiet racionālu izteicienu.

                      1. 1. solis. Pilnīgi ņemiet vērā skaitītāju un saucēju.
                      2. 2. solis. Vienkāršojiet, sadalot kopīgos faktorus.

                      Parasti vienkāršoto racionālo izteicienu atstājam faktorētā formā. Tādā veidā ir viegli pārbaudīt, vai esam noņēmuši visi kopējie faktori.

                      Mēs izmantosim metodes, kuras esam iemācījušies, lai ņemtu vērā skaitītāju un saucēju polinomus šādos piemēros.

                      Katru reizi, kad mēs uzrakstām racionālu izteicienu, mums vajadzētu izteikt paziņojumu, kurā tiek noraidītas vērtības, kas saucēju padarītu par nulli. Tomēr, lai koncentrētos uz paveikto darbu, mēs to nerakstīsim piemēros.

                      7.3. Piemērs

                      Vienkāršojiet: 3 a 2 - 12 a b + 12 b 2 6 a 2 - 24 b 2 3 a 2 - 12 a b + 12 b 2 6 a 2 - 24 b 2.

                      Risinājums

                      3 a 2 - 12 a b + 12 b 2 6 a 2 - 24 b 2 Faktors ir skaitītājs un saucējs, vispirms izskaitot GKF. 3 (a 2 - 4 ab + 4 b 2) 6 (a 2 - 4 b 2) 3 (a - 2 b) (a - 2 b) 6 (a + 2 b) (a - 2 b) Noņemiet kopīgo koeficienti a - 2 b un 3. 3 (a - 2 b) (a - 2 b) 3,2 (a + 2 b) (a - 2 b) a - 2 b 2 (a + 2 b) 3 a 2 - 12 ab + 12 b 2 6 a 2 - 24 b 2 Faktors skaitītājs un saucējs, vispirms izskaitot GKF. 3 (a 2 - 4 ab + 4 b 2) 6 (a 2 - 4 b 2) 3 (a - 2 b) (a - 2 b) 6 (a + 2 b) (a - 2 b) Noņemiet kopīgo koeficienti a - 2 b un 3. 3 (a - 2 b) (a - 2 b) 3,2 (a + 2 b) (a - 2 b) a - 2 b 2 (a + 2 b)

                      Vienkāršojiet: 2 x 2 - 12 x y + 18 y 2 3 x 2 - 27 y 2 2 x 2 - 12 x y + 18 y 2 3 x 2 - 27 y 2.

                      Vienkāršojiet: 5 x 2 - 30 x y + 25 y 2 2 x 2 - 50 y 2 5 x 2 - 30 x y + 25 y 2 2 x 2 - 50 y 2.

                      Tagad mēs redzēsim, kā vienkāršot racionālu izteicienu, kura skaitītājam un saucējam ir pretēji faktori. Iepriekš mēs ieviesām pretēju apzīmējumu: pretējo a ir - a - a un - a = −1 · a. - a = −1 · a.

                      Pretstati racionālā izteiksmē

                      Izteiksme un tās pretstats dalās ar –1. −1.

                      Mēs izmantosim šo īpašību, lai vienkāršotu racionālas izteiksmes, kuru skaitītājos un saucējos ir pretstati. Esiet piesardzīgs, nelietojiet a + b a + b un b + a b + a kā pretstatus. Atgādināsim, ka turklāt kārtībai nav nozīmes, tāpēc a + b = b + a a + b = b + a. Tātad, ja a ≠ - b a ≠ - b, tad a + b b + a = 1. a + b b + a = 1.

                      7.4. Piemērs

                      Vienkāršojiet: x 2 - 4 x - 32 64 - x 2. x 2 - 4 x - 32 64 - x 2.

                      Risinājums

                      Vienkāršojiet: x 2 - 4 x - 5 25 - x 2. x 2 - 4 x - 5 25 - x 2.

                      Vienkāršojiet: x 2 + x - 2 1 - x 2. x 2 + x - 2 1 - x 2.

                      Reizējiet racionālās izteiksmes

                      Lai reizinātu racionālas izteiksmes, mēs darām tikai to, ko mēs darījām ar skaitliskām daļām. Mēs reizinām skaitītājus un reizinām saucējus. Tad, ja ir kādi kopīgi faktori, mēs tos noņemam, lai vienkāršotu rezultātu.

                      Racionālo izteiksmju reizināšana

                      Ja lpp, q, r, un s ir polinomi, kur q ≠ 0, s ≠ 0, q ≠ 0, s ≠ 0, tad

                      Lai reizinātu racionālas izteiksmes, reiziniet skaitītājus un reiziniet saucējus.

                      Atcerieties, ka visā šajā nodaļā mēs pieņemsim, ka tiek izslēgtas visas skaitliskās vērtības, kuru dēļ saucējs būtu nulle. Mēs nerakstīsim ierobežojumus katrai racionālai izteiksmei, bet paturiet prātā, ka saucējs nekad nevar būt nulle. Tātad šajā nākamajā piemērā x ≠ 0, x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ 3 un x ≠ 4. x ≠ 4.

                      7.5. Piemērs

                      Kā reizināt racionālas izteiksmes

                      Vienkāršojiet: 2 x x 2 - 7 x + 12 · x 2 - 9 6 x 2. 2 x x 2 - 7 x + 12 · x 2 - 9 6 x 2.

                      Risinājums

                      Vienkāršojiet: 5 x x 2 + 5 x + 6 · x 2 - 4 10 x. 5 x x 2 + 5 x + 6 · x 2 - 4 10 x.

                      Vienkāršojiet: 9 x 2 x 2 + 11 x + 30 · x 2 - 36 3 x 2. 9 x 2 x 2 + 11 x + 30 · x 2 - 36 3 x 2.

                      Reiziniet racionālas izteiksmes.

                      1. 1. solis. Katru skaitītāju un saucēju pilnībā aprēķiniet.
                      2. 2. solis. Reiziniet skaitītājus un saucējus.
                      3. 3. solis. Vienkāršojiet, sadalot kopīgos faktorus.

                      7.6. Piemērs

                      Reiziniet: 3 a 2 - 8 a - 3 a 2 - 25 · a 2 + 10 a + 25 3 a 2 - 14 a - 5. 3 a 2 - 8 a - 3 a 2 - 25 · a 2 + 10 a + 25 3 a 2 - 14 a - 5.

                      Risinājums

                      3 a 2 - 8 a - 3 a 2 - 25 · a 2 + 10 a + 25 3 a 2 - 14 a - 5 Faktorējiet skaitītājus un saucējus un pēc tam reiziniet. (3 a + 1) (a - 3) (a + 5) (a + 5) (a - 5) (a + 5) (3 a + 1) (a - 5) Vienkāršojiet, sadalot kopīgos faktorus. (3 a + 1) (a - 3) (a + 5) (a + 5) (a - 5) (a + 5) (3 a + 1) (a - 5) Vienkāršojiet. (a - 3) (a + 5) (a - 5) (a - 5) Pārrakstiet (a - 5) (a - 5), izmantojot eksponentu. (a - 3) (a + 5) (a - 5) 2 3 a 2 - 8 a - 3 a 2 - 25 · a 2 + 10 a + 25 3 a 2 - 14 a - 5 Faktori skaitītāji un saucēji un tad pavairot. (3 a + 1) (a - 3) (a + 5) (a + 5) (a - 5) (a + 5) (3 a + 1) (a - 5) Vienkāršojiet, sadalot kopīgos faktorus. (3 a + 1) (a - 3) (a + 5) (a + 5) (a - 5) (a + 5) (3 a + 1) (a - 5) Vienkāršojiet. (a - 3) (a + 5) (a - 5) (a - 5) Pārrakstiet (a - 5) (a - 5), izmantojot eksponentu. (a - 3) (a + 5) (a - 5) 2

                      Vienkāršojiet: 2 x 2 + 5 x - 12 x 2 - 16 · x 2 - 8 x + 16 2 x 2 - 13 x + 15. 2 x 2 + 5 x - 12 x 2 - 16 · x 2 - 8 x + 16 2 x 2 - 13 x + 15.

                      Vienkāršojiet: 4 b 2 + 7 b - 2 1 - b 2 · b 2 - 2 b + 1 4 b 2 + 15 b - 4. 4 b 2 + 7 b - 2 1 - b 2 · b 2 - 2 b + 1 4 b 2 + 15 b - 4.

                      Sadaliet racionālās izteiksmes

                      Tāpat kā mēs to darījām attiecībā uz skaitliskajām daļām, lai sadalītu racionālas izteiksmes, mēs pirmo daļu reizinām ar otrās otrādoto.

                      Racionālo izpausmju nodaļa

                      Ja lpp, q, r, un s ir polinomi, kur q ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0, q ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0, tad

                      Lai sadalītu racionālas izteiksmes, reiziniet pirmo daļu ar otrās otrādoto.

                      Kad mēs pārrakstīsim dalījumu kā pirmās izteiksmes reizinājumu ar otrās otrreizējo, tad mēs visu faktorizējam un meklējam kopīgus faktorus.

                      7.7. Piemērs

                      Kā sadalīt racionālas izteiksmes

                      Sadalīt: p 3 + q 3 2 p 2 + 2 p q + 2 q 2 ÷ p 2 - q 2 6. p 3 + q 3 2 p 2 + 2 p q + 2 q 2 ÷ p 2 - q 2 6.

                      Risinājums

                      Vienkāršojiet: x 3 - 8 3 x 2 - 6 x + 12 ÷ x 2 - 4 6. x 3 - 8 3 x 2 - 6 x + 12 ÷ x 2 - 4 6.

                      Vienkāršojiet: 2 z 2 z 2 - 1 ÷ z 3 - z 2 + z z 3 + 1. 2 z 2 z 2 - 1 ÷ z 3 - z 2 + z z 3 + 1.

                      Sadaliet racionālas izteiksmes.

                      1. 1. solis. Pārrakstiet dalījumu kā pirmās racionālās izteiksmes un otrās otrreizējās izteiksmes reizinājumu.
                      2. 2. solis. Skaitītājus un saucējus pilnībā aprēķiniet.
                      3. 3. solis. Reiziniet skaitītājus un saucējus kopā.
                      4. 4. solis. Vienkāršojiet, sadalot kopīgos faktorus.

                      Atgādiniet no lietojuma Algebras valoda, ka sarežģītā daļa ir daļa, kas skaitītājā, saucējā vai abos satur daļu. Atcerieties arī, ka frakcijas josla nozīmē dalīšanu. Kompleksa frakcija ir vēl viens veids, kā rakstīt divu frakciju dalīšanu.

                      7.8. Piemērs

                      Dalīt: 6 x 2 - 7 x + 2 4 x - 8 2 x 2 - 7 x + 3 x 2 - 5 x + 6. 6 x 2 - 7 x + 2 4 x - 8 2 x 2 - 7 x + 3 x 2 - 5 x + 6.

                      Risinājums

                      6 x 2 - 7 x + 2 4 x - 8 2 x 2 - 7 x + 3 x 2 - 5 x + 6 Pārrakstīt ar dalījuma zīmi. 6 x 2 - 7 x + 2 4 x - 8 ÷ 2 x 2 - 7 x + 3 x 2 - 5 x + 6 Pārrakstīt kā pirmo reizinājumu reizinājumu ar otrādi. 6 x 2 - 7 x + 2 4 x - 8 · x 2 - 5 x + 6 2 x 2 - 7 x + 3 Faktorējiet skaitītājus un saucējus, pēc tam reiziniet. (2 x - 1) (3 x - 2) (x - 2) (x - 3) 4 (x - 2) (2 x - 1) (x - 3) Vienkāršojiet, sadalot kopīgos faktorus. (2 x - 1) (3 x - 2) (x - 2) (x - 3) 4 (x - 2) (2 x - 1) (x - 3) Vienkāršojiet. 3 x - 2 4 6 x 2 - 7 x + 2 4 x - 8 2 x 2 - 7 x + 3 x 2 - 5 x + 6 Pārrakstīt ar dalīšanas zīmi. 6 x 2 - 7 x + 2 4 x - 8 ÷ 2 x 2 - 7 x + 3 x 2 - 5 x + 6 Pārrakstiet kā pirmo reizinājumu reizinājumu ar otrādi. 6 x 2 - 7 x + 2 4 x - 8 · x 2 - 5 x + 6 2 x 2 - 7 x + 3 Faktorējiet skaitītājus un saucējus, pēc tam reiziniet. (2 x - 1) (3 x - 2) (x - 2) (x - 3) 4 (x - 2) (2 x - 1) (x - 3) Vienkāršojiet, sadalot kopīgos faktorus. (2 x - 1) (3 x - 2) (x - 2) (x - 3) 4 (x - 2) (2 x - 1) (x - 3) Vienkāršojiet. 3 x - 2 4

                      Vienkāršojiet: 3 x 2 + 7 x + 2 4 x + 24 3 x 2 - 14 x - 5 x 2 + x - 30. 3 x 2 + 7 x + 2 4 x + 24 3 x 2 - 14 x - 5 x 2 + x - 30.

                      Vienkāršojiet: y 2 - 36 2 y 2 + 11 y - 6 2 y 2 - 2 y - 60 8 y - 4. y 2 - 36 2 y 2 + 11 y - 6 2 y 2 - 2 y - 60 8 y - 4.

                      Ja mums ir vairāk nekā divas racionālas izteiksmes, ar kurām strādāt, mēs joprojām ievērojam to pašu procedūru. Pirmais solis būs pārrakstīt jebkuru dalījumu kā reizinājumu ar abpusējo. Tad mēs faktoru un reizinām.

                      7.9. Piemērs

                      Veiciet norādītās darbības: 3 x - 6 4 x - 4 · x 2 + 2 x - 3 x 2 - 3 x - 10 ÷ 2 x + 12 8 x + 16. 3 x - 6 4 x - 4 · x 2 + 2 x - 3 x 2 - 3 x - 10 ÷ 2 x + 12 8 x + 16.

                      Risinājums

                      Pārrakstiet dalījumu kā reizinājumu
                      ar abpusēju.
                      Faktors skaitītāji un saucēji.
                      Reiziniet frakcijas. Konstantu atvedināšana uz
                      priekšpuse palīdzēs noņemot kopīgos faktorus.
                      Vienkāršojiet, sadalot kopīgos faktorus.
                      Vienkāršojiet.

                      Veiciet norādītās darbības: 4 m + 4 3 m - 15 · m 2 - 3 m - 10 m 2 - 4 m - 32 ÷ 12 m - 36 6 m - 48. 4 m + 4 3 m - 15 · m 2 - 3 m - 10 m 2 - 4 m - 32 ÷ 12 m - 36 6 m - 48.

                      Veiciet norādītās darbības: 2 n 2 + 10 n n - 1 ÷ n 2 + 10 n + 24 n 2 + 8 n - 9 · n + 4 8 n 2 + 12 n. 2 n 2 + 10 n n - 1 ÷ n 2 + 10 n + 24 n 2 + 8 n - 9 · n + 4 8 n 2 + 12 n.

                      Reizējiet un daliet racionālās funkcijas

                      Racionāla funkcija

                      Racionāla funkcija ir formas funkcija

                      Racionālas funkcijas domēns ir visi reālie skaitļi, izņemot tās vērtības, kas izraisītu dalīšanu ar nulli. Mums ir jānovērš visas vērtības, kas padara q (x) = 0. q (x) = 0.

                      Nosakiet racionālas funkcijas domēnu.

                      1. 1. solis. Iestatiet saucēju vienādam ar nulli.
                      2. 2. solis. Atrisiniet vienādojumu.
                      3. 3. solis. Domēns ir visi reālie skaitļi, izņemot 2. darbībā atrastās vērtības.

                      7.10. Piemērs

                      Atrodiet domēnu R (x) = 2 x 2 - 14 x 4 x 2 - 16 x - 48. R (x) = 2 x 2 - 14 x 4 x 2 - 16 x - 48.

                      Risinājums

                      Domēns būs visi reālie skaitļi, izņemot tās vērtības, kuru dēļ saucējs ir nulle. Mēs iestatīsim saucēju vienādam ar nulli, atrisināsim šo vienādojumu un pēc tam izslēgsim šīs vērtības no domēna.

                      Iestatiet saucēju uz nulli. 4 x 2 - 16 x - 48 = 0 koeficients, pirmais faktors izslēdz GKF. 4 (x 2 - 4 x - 12) = 0 4 (x - 6) (x + 2) = 0 Izmantojiet nulles produkta rekvizītu. 4 ≠ 0 x - 6 = 0 x + 2 = 0 Atrisiniet. x = 6 x = −2 R (x) domēns ir visi reālie skaitļi, kur x ≠ 6 un x ≠ - 2. Iestatiet saucēju uz nulli. 4 x 2 - 16 x - 48 = 0 koeficients, pirmais faktors izslēdz GKF. 4 (x 2 - 4 x - 12) = 0 4 (x - 6) (x + 2) = 0 Izmantojiet nulles produkta rekvizītu. 4 ≠ 0 x - 6 = 0 x + 2 = 0 Atrisiniet. x = 6 x = −2 R (x) domēns ir visi reālie skaitļi, kur x ≠ 6 un x ≠ - 2.

                      Atrodiet domēnu R (x) = 2 x 2 - 10 x 4 x 2 - 16 x - 20. R (x) = 2 x 2 - 10 x 4 x 2 - 16 x - 20.

                      Atrodiet domēnu R (x) = 4 x 2 - 16 x 8 x 2 - 16 x - 64. R (x) = 4 x 2 - 16 x 8 x 2 - 16 x - 64.

                      Lai reizinātu racionālās funkcijas, reizinām iegūtās racionālās izteiksmes vienādojuma labajā pusē, izmantojot tās pašas metodes, kuras izmantojām, lai reizinātu racionālas izteiksmes.

                      7.11. Piemērs

                      Risinājums

                      R (x) = f (x) · g (x) R (x) = 2 x - 6 x 2 - 8 x + 15 · x 2 - 25 2 x + 10 Faktors katram skaitītājam un saucējam. R (x) = 2 (x - 3) (x - 3) (x - 5) · (x - 5) (x + 5) 2 (x + 5) reiziniet skaitītājus un saucējus. R (x) = 2 (x - 3) (x - 5) (x + 5) 2 (x - 3) (x - 5) (x + 5) Noņemiet izplatītos faktorus. R (x) = 2 (x - 3) (x - 5) (x + 5) 2 (x - 3) (x - 5) (x + 5) Vienkāršojiet. R (x) = 1 R (x) = f (x) · g (x) R (x) = 2 x - 6 x 2 - 8 x + 15 · x 2 - 25 2 x + 10 Faktors katram skaitītājam un saucējam . R (x) = 2 (x - 3) (x - 3) (x - 5) · (x - 5) (x + 5) 2 (x + 5) reiziniet skaitītājus un saucējus. R (x) = 2 (x - 3) (x - 5) (x + 5) 2 (x - 3) (x - 5) (x + 5) Noņemiet izplatītos faktorus. R (x) = 2 (x - 3) (x - 5) (x + 5) 2 (x - 3) (x - 5) (x + 5) Vienkāršojiet. R (x) = 1

                      Lai sadalītu racionālās funkcijas, iegūtās racionālās izteiksmes sadalām vienādojuma labajā pusē, izmantojot tās pašas metodes, kuras izmantojām racionālo izteicienu sadalīšanai.

                      7.12. Piemērs

                      Risinājums

                      R (x) = f (x) g (x) Funkcijās f (x), g (x) aizstājiet. R (x) = 3 x 2 x 2 - 4 x 9 x 2 - 45 x x 2 - 7 x + 10 Pārrakstiet dalījumu kā f (x) un g (x) atgriezeniskā reizinājuma reizinājumu. R (x) = 3 x 2 x 2 - 4 x · x 2 - 7 x + 10 9 x 2 - 45 x Faktorē skaitītājus un saucējus un pēc tam reiziniet. R (x) = 3 · x · x · (x - 5) (x - 2) x (x - 4) · 3 · 3 · x · (x - 5) Vienkāršojiet, sadalot kopīgos faktorus. R (x) = 3 · x · x (x - 5) (x - 2) x (x - 4) · 3 · 3 · x (x - 5) R (x) = x - 2 3 (x - 4) ) R (x) = f (x) g (x) Funkcijās f (x), g (x) aizstāj. R (x) = 3 x 2 x 2 - 4 x 9 x 2 - 45 x x 2 - 7 x + 10 Pārrakstiet dalījumu kā f (x) un g (x) atgriezeniskā reizinājuma reizinājumu. R (x) = 3 x 2 x 2 - 4 x · x 2 - 7 x + 10 9 x 2 - 45 x Faktorē skaitītājus un saucējus un pēc tam reiziniet. R (x) = 3 · x · x · (x - 5) (x - 2) x (x - 4) · 3 · 3 · x · (x - 5) Vienkāršojiet, sadalot kopīgos faktorus. R (x) = 3 · x · x (x - 5) (x - 2) x (x - 4) · 3 · 3 · x (x - 5) R (x) = x - 2 3 (x - 4) )

                      7.1. Sadaļa Vingrinājumi

                      Prakse padara perfektu

                      Nosakiet vērtības, kurām racionāla izteiksme nav definēta

                      Turpmākajos vingrinājumos nosakiet vērtības, kurām racionālā izteiksme nav definēta.

                      Vienkāršojiet racionālās izteiksmes

                      Turpmākajos vingrinājumos vienkāršojiet katru racionālo izteicienu.

                      p 3 + 3 p 2 + 4 p + 12 p 2 + p - 6 p 3 + 3 p 2 + 4 p + 12 p 2 + p - 6

                      x 3 - 2 x 2 - 25 x + 50 x 2 - 25 x 3 - 2 x 2 - 25 x + 50 x 2 - 25

                      8 b 2 - 32 b 2 b 2 - 6 b - 80 8 b 2 - 32 b 2 b 2 - 6 b - 80

                      −5 c 2 - 10 c −10 c 2 + 30 c + 100 −5 c 2 - 10 c −10 c 2 + 30 c + 100

                      3 m 2 + 30 m n + 75 n 2 4 m 2 - 100 n 2 3 m 2 + 30 m n + 75 n 2 4 m 2 - 100 n 2

                      5 r 2 + 30 r s - 35 s 2 r 2 - 49 s 2 5 r 2 + 30 r s - 35 s 2 r 2 - 49 s 2

                      Reizējiet racionālās izteiksmes

                      Turpmākajos vingrinājumos reiziniet racionālās izteiksmes.

                      5 x 2 y 4 12 x y 3 · 6 x 2 20 y 2 5 x 2 y 4 12 x y 3 · 6 x 2 20 y 2

                      12 a 3 b b 2 · 2 a b 2 9 b 3 12 a 3 b b 2 · 2 a b 2 9 b 3

                      5 p 2 p 2 - 5 p - 36 · p 2 - 16 10 p 5 p 2 p 2 - 5 p - 36 · p 2 - 16 10 p

                      3 q 2 q 2 + q - 6 · q 2 - 9 9 q 3 q 2 q 2 + q - 6 · q 2 - 9 9 q

                      2 y 2 - 10 y y 2 + 10 y + 25 · y + 5 6 y 2 y 2 - 10 y y 2 + 10 y + 25 · y + 5 6 y

                      z 2 + 3 z z 2 - 3 z - 4 · z - 4 z 2 z 2 + 3 z z 2 - 3 z - 4 · z - 4 z 2

                      28 - 4 b 3 b - 3 · b 2 + 8 b - 9 b 2 - 49 28 - 4 b 3 b - 3 · b 2 + 8 b - 9 b 2 - 49

                      72 m - 12 m 2 8 m + 32 · m 2 + 10 m + 24 m 2 - 36 72 m - 12 m 2 8 m + 32 · m 2 + 10 m + 24 m 2 - 36

                      c 2 - 10 c + 25 c 2 - 25 · c 2 + 10 c + 25 3 c 2 - 14 c - 5 c 2 - 10 c + 25 c 2 - 25 · c 2 + 10 c + 25 3 c 2 - 14 c - 5

                      2 d 2 + d - 3 d 2 - 16 · d 2 - 8 d + 16 2 d 2 - 9 d - 18 2 d 2 + d - 3 d 2 - 16 · d 2 - 8 d + 16 2 d 2 - 9 d - 18

                      2 m 2 - 3 m - 2 2 m 2 + 7 m + 3,3 m 2 - 14 m + 15 3 m 2 + 17 m - 20 2 m 2 - 3 m - 2 2 m 2 + 7 m + 3 · 3 m 2 - 14 m + 15 3 m 2 + 17 m - 20

                      2 n 2 - 3 n - 14 25 - n 2 · n 2 - 10 n + 25 2 n 2 - 13 n + 21 2 n 2 - 3 n - 14 25 - n 2 · n 2 - 10 n + 25 2 n 2 - 13 n + 21

                      Sadaliet racionālās izteiksmes

                      Turpmākajos vingrinājumos sadaliet racionālās izteiksmes.

                      v - 5 11 - v ÷ v 2 - 25 v - 11 v - 5 11 - v ÷ v 2 - 25 v - 11

                      10 + w w - 8 ÷ 100 - w 2 8 - w 10 + w w - 8 ÷ 100 - w 2 8 - w

                      3 s 2 s 2 - 16 ÷ s 3 + 4 s 2 + 16 s s 3 - 64 3 s 2 s 2 - 16 ÷ s 3 + 4 s 2 + 16 s s 3 - 64

                      r 2 - 9 15 ÷ r 3 - 27 5 r 2 + 15 r + 45 r 2 - 9 15 ÷ r 3 - 27 5 r 2 + 15 r + 45

                      p 3 + q 3 3 p 2 + 3 p q + 3 q 2 ÷ p 2 - q 2 12 p 3 + q 3 3 p 2 + 3 p q + 3 q 2 ÷ p 2 - q 2 12

                      v 3 - 8 w 3 2 v 2 + 4 v w + 8 w 2 ÷ v 2 - 4 w 2 4 v 3 - 8 w 3 2 v 2 + 4 v w + 8 w 2 ÷ v 2 - 4 w 2 4

                      x 2 + 3 x - 10 4 x ÷ (2 x 2 + 20 x + 50) x 2 + 3 x - 10 4 x ÷ (2 x 2 + 20 x + 50)

                      2 y 2 - 10 y z - 48 z 2 2 y - 1 ÷ (4 y 2 - 32 y z) 2 y 2 - 10 y z - 48 z 2 2 y - 1 ÷ (4 y 2 - 32 y z)

                      2 a 2 - a - 21 5 a + 20 a 2 + 7 a + 12 a 2 + 8 a + 16 2 a 2 - a - 21 5 a + 20 a 2 + 7 a + 12 a 2 + 8 a + 16

                      3 b 2 + 2 b - 8 12 b + 18 3 b 2 + 2 b - 8 2 b 2 - 7 b - 15 3 b 2 + 2 b - 8 12 b + 18 3 b 2 + 2 b - 8 2 b 2 - 7 b - 15

                      12 c 2 - 12 2 c 2 - 3 c + 1 4 c + 4 6 c 2 - 13 c + 5 12 c 2 - 12 2 c 2 - 3 c + 1 4 c + 4 6 c 2 - 13 c + 5

                      4 d 2 + 7 d - 2 35 d + 10 d 2 - 4 7 d 2 - 12 d - 4 4 d 2 + 7 d - 2 35 d + 10 d 2 - 4 7 d 2 - 12 d - 4

                      Turpmākajiem vingrinājumiem veiciet norādītās darbības.

                      10 m 2 + 80 m 3 m - 9 · m 2 + 4 m - 21 m 2 - 9 m + 20 ÷ 5 m 2 + 10 m 2 m - 10 10 m 2 + 80 m 3 m - 9 · m 2 + 4 m - 21 m 2 - 9 m + 20 ÷ 5 m 2 + 10 m 2 m - 10

                      4 n 2 + 32 n 3 n + 2 · 3 n 2 - n - 2 n 2 + n - 30 ÷ 108 n 2 - 24 nn + 6 4 n 2 + 32 n 3 n + 2 · 3 n 2 - n - 2 n 2 + n - 30 ÷ 108 n 2 - 24 nn + 6

                      12 p 2 + 3 pp + 3 ÷ p 2 + 2 p - 63 p 2 - p - 12 · p - 7 9 p 3 - 9 p 2 12 p 2 + 3 pp + 3 ÷ p 2 + 2 p - 63 p 2 - p - 12 · p - 7 9 p 3 - 9 p 2

                      6 q + 3 9 q 2 - 9 q ÷ q 2 + 14 q + 33 q 2 + 4 q - 5 · 4 q 2 + 12 q 12 q + 6 6 q + 3 9 q 2 - 9 q ÷ q 2 + 14 q + 33 q 2 + 4 q - 5 · 4 q 2 + 12 q 12 q + 6

                      Reizējiet un daliet racionālās funkcijas

                      Turpmākajos vingrinājumos atrodiet katras funkcijas domēnu.

                      R (x) = x 3 - 2 x 2 - 25 x + 50 x 2 - 25 R (x) = x 3 - 2 x 2 - 25 x + 50 x 2 - 25

                      R (x) = x 3 + 3 x 2 - 4 x - 12 x 2 - 4 R (x) = x 3 + 3 x 2 - 4 x - 12 x 2 - 4

                      R (x) = 3 x 2 + 15 x 6 x 2 + 6 x - 36 R (x) = 3 x 2 + 15 x 6 x 2 + 6 x - 36

                      R (x) = 8 x 2 - 32 x 2 x 2 - 6 x - 80 R (x) = 8 x 2 - 32 x 2 x 2 - 6 x - 80

                      Turpmākajiem vingrinājumiem atrodiet R (x) = f (x) · g (x) R (x) = f (x) · g (x), kur f (x) f (x) un g (x) g ( x) ir doti.

                      Turpmākajiem vingrinājumiem atrodiet R (x) = f (x) g (x) R (x) = f (x) g (x) kur f (x) f (x) un g (x) g (x) tiek doti.

                      Rakstīšanas vingrinājumi

                      Paskaidrojiet, kā atrodat vērtības x kuriem racionālā izteiksme x 2 - x - 20 x 2 - 4 x 2 - x - 20 x 2 - 4 nav definēta.

                      Paskaidrojiet visas darbības, kuras veicat, lai vienkāršotu racionālo izteiksmi p 2 + 4 p - 21 9 - p 2. p 2 + 4 p - 21 9 - p 2.

                      Pašpārbaude

                      Ⓐ Pēc vingrinājumu izpildīšanas izmantojiet šo kontrolsarakstu, lai novērtētu savas iemaņas šīs sadaļas mērķos.

                      Ⓑ Ja lielākā daļa jūsu pārbaužu bija:

                      …pārliecinoši. Apsveicam! Šajā sadaļā jūs esat sasniedzis savus mērķus! Pārdomājiet izmantotās mācību prasmes, lai jūs varētu tās turpināt izmantot. Ko jūs darījāt, lai pārliecinātos par spēju veikt šīs lietas? Esi konkrēts!

                      ... ar nelielu palīdzību. Tas ir jārisina ātri, jo tēmas, kuras jūs neapgūstat, kļūst par bedrēm ceļā uz panākumiem. Matemātika ir secīga - katra tēma balstās uz iepriekšējo darbu. Pirms doties tālāk, ir svarīgi pārliecināties, ka jums ir spēcīgs pamats. Kam jūs varat lūgt palīdzību? Jūsu klases biedri un instruktori ir labi resursi. Vai pilsētiņā ir kāda vieta, kur ir pieejami matemātikas pasniedzēji? Vai jūsu studiju prasmes var uzlabot?

                      ... nē - es to nesaprotu! Tas ir kritiski, un jūs nedrīkstat to ignorēt. Jums nekavējoties jāsaņem palīdzība, pretējā gadījumā jūs ātri nomocīsit. Pēc iespējas ātrāk apmeklējiet savu instruktoru, lai pārrunātu jūsu situāciju. Kopā jūs varat nākt klajā ar plānu, lai sniegtu jums nepieciešamo palīdzību.

                      Kā Amazon Associate mēs nopelnām no kvalificētiem pirkumiem.

                      Vai vēlaties citēt, kopīgot vai pārveidot šo grāmatu? Šī grāmata ir Creative Commons attiecinājuma licence 4.0, un jums jāpiešķir OpenStax.

                        Ja jūs visu grāmatu vai tās daļu pārdalāt drukas formātā, tad katrā fiziskajā lapā jāiekļauj šāds attiecinājums:

                      • Izmantojiet zemāk esošo informāciju, lai ģenerētu citātu. Mēs iesakām izmantot citēšanas rīku, piemēram, šo.
                        • Autori: Lynn Marecek
                        • Izdevējs / vietne: OpenStax
                        • Grāmatas nosaukums: Intermediate Algebra
                        • Publicēšanas datums: 2017. gada 14. marts
                        • Atrašanās vieta: Hjūstona, Teksasa
                        • Grāmatas URL: https://openstax.org/books/intermediate-algebra/pages/1-introduction
                        • Sadaļas URL: https://openstax.org/books/intermediate-algebra/pages/7-1-multiply-and-divide-rational-expressions

                        © 2020. gada 16. septembris OpenStax. Mācību grāmatu saturs, ko ražo OpenStax, tiek licencēts saskaņā ar Creative Commons Attribution License 4.0 licenci. Uz OpenStax nosaukumu, OpenStax logotipu, OpenStax grāmatu vākiem, OpenStax CNX nosaukumu un OpenStax CNX logotipu neattiecas Creative Commons licence, un tos nevar reproducēt bez Rīsu universitātes iepriekšējas un skaidras rakstiskas piekrišanas.


                        Maharaštras dēļa 7. klases matemātikas risinājumi 2. nodaļas veselu skaitļu reizināšana un sadalīšana. 9. prakses kopa

                        Jautājums 1.
                        Atrisiniet
                        i. (-96) ÷ 16
                        ii. 98 ÷ (-28)
                        iii. (-51) ÷ 68
                        iv. 38 ÷ (-57)
                        v. (-85) ÷ 20
                        vi. (-150) ÷ (-25)
                        vii. 100 ÷ 60
                        viii. 9 ÷ (-54)
                        ix. 78 ÷ 65
                        x. (-5) ÷ (-315)
                        Risinājums:
                        i. (-96) ÷ 16

                        ii. 98 ÷ (-28)

                        iii. (-51) ÷ 68

                        iv. 38 ÷ (-57)

                        v. (-85) ÷ 20

                        vi. (-150) ÷ (-25)

                        vii. 100 ÷ 60

                        viii. 9 ÷ (-54)

                        ix. 78 ÷ 65

                        x. (-5) ÷ (-315)

                        2. jautājums.
                        Uzrakstiet trīs veselu skaitļu sadalījumus tā, lai katra daļa būtu ( frac <24> <5> ).
                        Risinājums:

                        3. jautājums.
                        Uzrakstiet trīs veselu skaitļu sadalījumus tā, lai katra daļa būtu ( frac <-5> <7> ).
                        Risinājums:

                        4. jautājums.
                        Zemāk esošajā dīķī esošajām zivīm ir daži cipari. (Izvēlieties jebkurus 4 pārus un veiciet četrus reizinājumus ar šiem skaitļiem. Tagad izvēlieties vēl četrus pārus un veiciet dalīšanu ar šiem skaitļiem.
                        Piemēri:
                        i. (-13) × (-15) = 195
                        ii. (-24) ÷ 9 = ( frac <-24> <9> = frac <-8> <3> )

                        Risinājums:

                        1. (-13) × 9 = -117
                        2. 12 × 13 = 156
                        3. 9 × (-37) = -333
                        4. (-15) × (-8) = 120
                        5. ((- 28) div 12 = frac <-28> <12> = frac <(- 1) reizes (28)> <12> = frac <-7> <3> )
                        6. (12 div 9 = frac <12> <9> = frac <4> <3> )
                        7. (9 div (-24) = frac <9> <-24> = frac <9> <(- 1) reizes 24> = frac <-3> <8> )
                        8. ((- 18) div (-27) = frac <-18> <-27> = frac <(- 1) reizes 18> <(- 1) reizes 27> = frac <2> <3> )

                        Piezīme: 2., 3. un 4. uzdevumam ir daudz atbilžu. Studenti var rakstīt citas atbildes, nevis sniegtās.


                        1.4 Reizināt un dalīt veselos skaitļus

                        Rūpīgāks ievads šajā sadaļā apskatītajām tēmām ir atrodams Prealgebra nodaļa, Veseli skaitļi.

                        Reizināt veselos skaitļus

                        Tā kā reizināšana ir matemātiska stenogrāfija atkārtotai saskaitīšanai, mūsu modeli var viegli izmantot, lai parādītu veselu skaitļu reizināšanu. Apskatīsim šo konkrēto modeli, lai redzētu, kādus modeļus mēs pamanām. Mēs izmantosim tos pašus piemērus, kurus izmantojām saskaitīšanai un atņemšanai. Šeit mēs izmantosim modeli tikai, lai palīdzētu mums atklāt modeli.

                        Nākamie divi piemēri ir interesantāki.

                        Ievērojiet, ka divu parakstītu skaitļu reizināšanai, ja:

                        • pazīmes ir tāpat, produkts ir pozitīvs.
                        • pazīmes ir savādāk, produkts ir negatīvs.

                        Mēs to visu apkoposim zemāk redzamajā diagrammā.

                        Parakstīto numuru reizināšana

                        Divu parakstītu skaitļu reizināšanai:

                        Dažādas zīmes Produkts Piemērs
                        Pozitīvs · negatīvs
                        Negatīvs · pozitīvs
                        Negatīvs
                        Negatīvs
                        7 ( −9 ) = −63 −5 · 10 = −50 7 ( −9 ) = −63 −5 · 10 = −50

                        1.46. Piemērs

                        Risinājums

                        Kad reizinām skaitli ar 1, rezultāts ir tāds pats skaitlis. Kas notiek, reizinot skaitli ar −1? −1? Pavairosim pozitīvu skaitli un pēc tam negatīvu skaitli ar −1 −1, lai redzētu, ko mēs iegūstam.

                        Katru reizi, reizinot skaitli ar −1, −1, iegūstam pretējo!

                        Reizināt ar −1 −1

                        Reizinot skaitli ar −1 −1, iegūst tā pretējo.

                        1.47. Piemērs

                        Risinājums


                        Reiziniet, atzīmējot, ka apzīmējumi ir atšķirīgi, tāpēc produkts ir negatīvs.
                        −1 · 7 −7 −7 ir pretstats 7. −1 · 7 −7 −7 ir pretstats 7.

                        Reiziniet, atzīmējot, ka apzīmējumi ir vienādi, tāpēc produkts ir pozitīvs.
                        −1 (−11) 11 11 ir pretstats −11. −1 (−11) 11 11 ir pretstats −11.

                        Sadaliet veselos skaitļus

                        Dalīšana notiek pēc tiem pašiem noteikumiem kā reizināšana!

                        Divu parakstītu numuru sadalīšanai, ja:

                        • pazīmes ir tāpat, koeficients ir pozitīvs.
                        • pazīmes ir savādāk, koeficients ir negatīvs.

                        Un atcerieties, ka mēs vienmēr varam pārbaudīt dalīšanas problēmas atbildi, reizinot.

                        Parakstīto skaitļu reizināšana un dalīšana

                        Divu parakstītu skaitļu reizināšanai un dalīšanai:

                        • Ja pazīmes ir vienādas, rezultāts ir pozitīvs.
                        • Ja zīmes ir atšķirīgas, rezultāts ir negatīvs.
                        Tās pašas zīmes Rezultāts
                        Divi pozitīvi
                        Divi negatīvi
                        Pozitīvi
                        Pozitīvi
                        Ja pazīmes ir vienādas, rezultāts ir pozitīvs.
                        Dažādas zīmes Rezultāts
                        Pozitīvs un negatīvs
                        Negatīvs un pozitīvs
                        Negatīvs
                        Negatīvs
                        Ja zīmes ir atšķirīgas, rezultāts ir negatīvs.

                        1.48. Piemērs

                        Risinājums

                        Vienkāršojiet izteiksmes ar veselajiem skaitļiem

                        Kas notiek, ja izteiksmē ir vairāk nekā divi skaitļi? Darbību secība joprojām tiek piemērota, ja tiek iekļauti negatīvi. Vai atceries manu dārgo tanti Salliju?

                        Izmēģināsim dažus piemērus. Mēs vienkāršosim izteicienus, kas izmanto visas četras darbības ar veseliem skaitļiem - saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu un dalīšanu. Atcerieties ievērot darbību secību.

                        1.49. Piemērs

                        Risinājums

                        1.50. Piemērs

                        Risinājums

                        Ievērojiet atšķirību daļās ⓐ un ⓑ. Daļā ⓐ eksponents nozīmē paaugstināt iekavās esošo (−2) (−2) līdz 4. un 4. pakāpei. Daļā ⓑ eksponents nozīmē paaugstināt tikai 2. līdz 4. ceturtajai pakāpei un pēc tam ņemt pretējo.

                        Nākamais piemērs atgādina vispirms vienkāršot iekavas.

                        1.51. Piemērs

                        Risinājums

                        1.52. Piemērs

                        Risinājums

                        1.53. Piemērs

                        Risinājums

                        Novērtējiet mainīgās izteiksmes ar veselajiem skaitļiem

                        Atcerieties, ka izteiksmes novērtēšana nozīmē izteiksmē mainīgā skaitļa aizstāšanu. Tagad mēs varam izmantot gan negatīvos, gan pozitīvos skaitļus.

                        1.54. Piemērs

                        Risinājums

                        1.55. Piemērs

                        Risinājums

                        1.56. Piemērs

                        Risinājums

                        1.57. Piemērs

                        Risinājums

                        Tulkojiet frāzes izteicienos ar veselajiem skaitļiem

                        Mūsu agrākais darbs, tulkojot angļu valodu algebrā, attiecas arī uz frāzēm, kas ietver gan pozitīvos, gan negatīvos skaitļus.

                        1.58. Piemērs

                        Tulkojiet un vienkāršojiet: 8 un −12, −12 summa palielinājās par 3.

                        Risinājums

                        Tulkojiet un vienkāršojiet 9 un −16, −16 summu, kas palielināta par 4.

                        Tulkojiet un vienkāršojiet −8 −8 un −12, −12 summu, kas palielināta par 7.

                        Kad mēs pirmo reizi ieviesām operācijas simbolus, mēs redzējām, ka izteicienu var lasīt vairākos veidos. Tie ir norādīti zemāk redzamajā diagrammā.

                        Esiet uzmanīgs, lai saņemtu a un b pareizā secībā!

                        1.59. Piemērs

                        Tulkojiet un pēc tam vienkāršojiet ⓐ starpību 13 un −21 −21 ⓑ, atņemot 24 no −19. −19.

                        Risinājums

                        Tulkojiet un vienkāršojiet ⓐ starpību 14 un −23 −23 ⓑ, atņemot 21 no −17. −17.

                        Tulkojiet un vienkāršojiet ⓐ 11 un −19 −19 difference starpību, atņemot 18 no −11. −11.

                        Atkal mūsu iepriekšējais darbs, tulkojot angļu valodu algebrā, pāriet uz frāzēm, kas ietver gan veselu skaitļu reizināšanu, gan dalīšanu. Atcerieties, ka reizināšanas atslēgas vārds ir “produkts” un dalījums ir “koeficients”.

                        1.60. Piemērs

                        Tulkojiet algebriskā izteiksmē un, ja iespējams, vienkāršojiet: −2 −2 un 14 reizinājums.

                        Risinājums

                        Tulkojiet algebriskā izteiksmē un, ja iespējams, vienkāršojiet: −5 −5 un 12 reizinājums.

                        Tulkojiet algebriskā izteiksmē un, ja iespējams, vienkāršojiet: 8. un −13 reizinājums. −13.

                        1.61. Piemērs

                        Tulkojiet algebriskā izteiksmē un, ja iespējams, vienkāršojiet: −56 −56 un −7 koeficientu. −7.

                        Risinājums

                        Tulkojiet algebriskā izteiksmē un, ja iespējams, vienkāršojiet: −63 −63 un −9 koeficientu. −9.

                        Tulkojiet algebriskā izteiksmē un, ja iespējams, vienkāršojiet: −72 −72 un −9 koeficientu. −9.

                        Lietojumos izmantojiet veselos skaitļus

                        Mēs izklāstīsim pieteikumu risināšanas plānu. Ir grūti kaut ko atrast, ja nezinām, ko meklējam vai kā to nosaukt! Tāpēc, risinot pieteikumu, vispirms ir jānosaka, kāda problēma mums jāatrod. Tad mēs uzrakstīsim frāzi, kas sniedz informāciju, lai to atrastu. Mēs pārtulkosim frāzi izteiksmē un pēc tam vienkāršosim, lai saņemtu atbildi. Visbeidzot, mēs apkopojam atbildi teikumā, lai pārliecinātos, ka tai ir jēga.

                        1.62. Piemērs

                        Kā pielietot stratēģiju lietojumprogrammu risināšanai ar skaitļiem

                        No rīta Ilinoisas štata pilsētā Urbanā temperatūra bija 11 grādi. Līdz pēcpusdienas vidum temperatūra bija nokritusies līdz −9 −9 grādiem. Kāda bija rīta un pēcpusdienas temperatūras atšķirība?

                        Risinājums

                        No rīta Ankoridžā, Aļaskā, temperatūra bija 15 grādi. Pēcpusdienas vidū temperatūra bija nokritusies līdz 30 grādiem zem nulles. Kāda bija atšķirība rīta un pēcpusdienas temperatūrā?

                        Pielietojiet stratēģiju lietojumprogrammu risināšanai ar skaitļiem.

                        1. 1. solis. Izlasiet problēmu. Pārliecinieties, vai visi vārdi un idejas ir saprotami
                        2. 2. solis. Nosakiet, kas mums tiek lūgts atrast.
                        3. 3. solis. Uzrakstiet frāzi, kas sniedz informāciju, lai to atrastu.
                        4. 4. solis. Tulkojiet frāzi izteiksmē.
                        5. 5. solis. Vienkāršojiet izteicienu.
                        6. 6. solis. Atbildiet uz jautājumu ar pilnu teikumu.

                        1.63. Piemērs

                        "Mustangs" futbola komanda trešajā ceturtdaļā saņēma trīs sodus. Katrs sods viņiem zaudēja piecpadsmit jardus. Kāds ir zaudēto jardu skaits?

                        Risinājums

                        1. solis. Izlasiet problēmu. Pārliecinieties, vai visi vārdi un idejas ir saprotami.
                        2. solis. Nosakiet, ko mums lūdz atrast. zaudēto jardu skaits
                        3. solis. Uzrakstiet frāzi, kas sniedz informāciju, lai to atrastu. trīs reizes 15 jardu sods
                        4. solis. Tulkojiet frāzi izteiksmē. 3 ( −15 ) 3 ( −15 )
                        5. solis. Vienkāršojiet izteicienu. −45 −45
                        6. solis. Atbildiet uz jautājumu ar pilnu teikumu. Komanda zaudēja 45 jardus.

                        Lāči spēlēja slikti un spēlē bija septiņi sodi. Katrs sods zaudēja 15 jardus. Kāds ir sodu dēļ zaudēto jardu skaits?

                        Bils pilsētiņā izmanto bankomātu, jo tas ir ērti. Tomēr katru reizi, kad viņš to izmanto, viņam tiek iekasēta maksa 2 USD. Pagājušajā mēnesī viņš bankomātu izmantoja astoņas reizes. Cik maksāja viņa kopējā maksa par bankomāta izmantošanu?

                        1.4. Sadaļa Vingrinājumi

                        Prakse padara perfektu

                        Reizināt veselos skaitļus

                        Turpmākajos vingrinājumos reiziniet.

                        Sadaliet veselos skaitļus

                        Turpmākajos vingrinājumos sadaliet.

                        Vienkāršojiet izteiksmes ar veselajiem skaitļiem

                        Turpmākajos vingrinājumos vienkāršojiet katru izteicienu.

                        Novērtējiet mainīgās izteiksmes ar veselajiem skaitļiem

                        Turpmākajos vingrinājumos novērtējiet katru izteicienu.

                        Tulkojiet frāzes angļu valodā uz algebriskām izteiksmēm

                        Turpmākajos vingrinājumos pārtulkojiet algebras izteiksmē un, ja iespējams, vienkāršojiet.

                        starpība 10 un −18 −18

                        Lietojumos izmantojiet veselos skaitļus

                        Turpmākajos vingrinājumos atrisiniet.

                        Futbols Pirmajā lejā lādētājiem bumbiņa bija uz 25 jardu līnijas. Viņi zaudēja 6 jardus pirmajā spēlē, ieguva 10 jardus otrajā spēlē un 8 jardus trešajā spēlē. Kāda bija pagalma līnija spēles trešās spēles beigās?

                        Futbols Pirmajā lejā Steelers bija bumba 30 jardu līnijā. Pirmajā spēlē viņi ieguva 9 jardus, otrajā zaudēja 14 jardus, bet trešajā - 2 jardus. Kāda bija pagalma līnija spēles trešās spēles beigās?

                        Parbaudit kontu Majras norēķinu kontā ir 124 USD. Viņa uzraksta čeku par 152 ASV dolāriem. Kāds ir jaunais atlikums viņas norēķinu kontā?

                        Parbaudit kontu Selīnas norēķinu kontā ir 165 USD. Viņa uzraksta čeku par 207 ASV dolāriem. Kāds ir jaunais atlikums viņas norēķinu kontā?

                        Ikdienas matemātika

                        Akciju tirgus Havjeram pieder 300 akcijas vienā uzņēmumā. Otrdien akciju cena nokrita 12 USD par akciju. Kāda bija kopējā ietekme uz Havjera portfeli?

                        Svara zudums Diētas programmas pirmajā nedēļā astoņas sievietes zaudēja vidēji 3 mārciņas. Kādas bija astoņu sieviešu kopējās svara izmaiņas?

                        Rakstīšanas vingrinājumi

                        Pēc saviem vārdiem, norādiet veselo skaitļu reizināšanas noteikumus.

                        Pēc saviem vārdiem, norādiet veselo skaitļu dalīšanas noteikumus.

                        Pašpārbaude

                        Ⓐ Pēc vingrinājumu izpildīšanas izmantojiet šo kontrolsarakstu, lai novērtētu savas iemaņas šīs sadaļas mērķos.

                        Ⓑ Kā jūs vērtējat šīs sadaļas prasmi skalā no 1 līdz 10, ņemot vērā atbildes uz kontrolsarakstu? Kā jūs to varat uzlabot?

                        Kā Amazon Associate mēs nopelnām no kvalificētiem pirkumiem.

                        Vai vēlaties citēt, kopīgot vai pārveidot šo grāmatu? Šī grāmata ir Creative Commons attiecinājuma licence 4.0, un jums jāpiešķir OpenStax.

                          Ja jūs visu grāmatu vai tās daļu pārdalāt drukas formātā, tad katrā fiziskajā lapā jāiekļauj šāds attiecinājums:

                        • Izmantojiet zemāk esošo informāciju, lai ģenerētu citātu. Mēs iesakām izmantot citēšanas rīku, piemēram, šo.
                          • Autori: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
                          • Izdevējs / vietne: OpenStax
                          • Grāmatas nosaukums: Elementary Algebra 2e
                          • Publicēšanas datums: 2020. gada 22. aprīlis
                          • Atrašanās vieta: Hjūstona, Teksasa
                          • Grāmatas URL: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-introduction
                          • Sadaļas URL: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-4-multiply-and-divide-integers

                          © 2021. gada 22. janvāris OpenStax. Mācību grāmatu saturs, ko ražo OpenStax, tiek licencēts saskaņā ar Creative Commons Attribution License 4.0 licenci. Uz OpenStax nosaukumu, OpenStax logotipu, OpenStax grāmatu vākiem, OpenStax CNX nosaukumu un OpenStax CNX logotipu neattiecas Creative Commons licence, un tos nevar reproducēt bez Rīsu universitātes iepriekšējas un skaidras rakstiskas piekrišanas.


                          Nodarbību sintēze

                          Nodarbību sintēze

                          Diskusijas mērķis ir pārbaudīt, vai studenti saprot, kāpēc (10 ​​^ n boldcdot 10 ^ m = 10 ^). Apsveriet studentu atbilžu ierakstīšanu un to parādīšanu visiem redzēšanai.

                          Šeit ir daži jautājumi diskusijai:

                          • "Kā jūs varētu rakstīt (10 ​​^ <15> boldcdot 10 ^ <5> ), izmantojot vienu eksponentu, neizvēršot visus faktorus?" (Pirmā daļa ir 15 faktori, kas ir 10, un otrā ir 5 faktori, kas ir 10.Tas kopā veido 20 faktorus, kas ir 10.)
                          • "Kāds vispār ir noteikums, kā divas 10 spējas reizināt vienā vienīgā 10 reizē?" (Abu 10 pakāpes eksponenti tiek saskaitīti kopā.)

                          Integru definīcija

                          Veseli skaitļi ir dabiskie skaitļi, šo skaitļu negatīvie skaitļi vai nulle. Vesels skaitlis ir pilnīga vienība. Veseli skaitļi ir skaitļi, kas var būt pozitīvi, negatīvi vai nulle, skaitļi bez frakcionētas daļas (bez decimāldaļām).

                          Veselu skaitļu piemēri ir 1, -2, 7, -8, 9, -12 utt.

                          Visu veselu skaitļu kolekciju attēlo simbols & ldquoZ& rdquo.

                          Daži citi piemēri:
                          Ja kādam ir liekais svars nekā parasti, tas tiks attēlots kā pozitīvs, un, ja kādam ir mazs svars nekā parasti, tas tiks attēlots kā negatīvs.

                          Piemēram, (- 2 ) ir vesels skaitlis.
                          (- 2 ) tiek lasīts kā divkonsegatīvi divi & rsquo.
                          To var rakstīt arī kā (- 2 ) vai ((-2) )
                          Tas ir 2 mazāk nekā 0.
                          (0 – 2 = –2) .
                          Tātad dabiskie skaitļi (kas atrodas nulles labajā pusē) ir pozitīvs, viņu kolēģi (negatīvie dabiskie skaitļi) ir negatīvs.

                          Mēs varam izmantot skaitļu līniju, lai salīdzinātu divus veselus skaitļus.

                          Mēs sakām, ka & ndash3 ir & lsquogreater lielāks nekā & rsquo & ndash6, jo & ndash3 atrodas pa labi no & ndash6 pa līniju.
                          Līdzīgi & ndash5 & lsquois ir mazāks par & rsquo 2, jo & ndash5 atrodas pa kreisi no 2.

                          Tātad mēs secinām, ka, ja skaitlis atrodas kreisajā pusē, tas būs mazāks nekā skaitlis, kas atrodas labajā pusē.

                          Piemērs: kura no šīm opcijām neatbilst patiesai skaitļa rindai?

                          a) B ir lielāks par & ndash10
                          b) A ir lielāks par 0
                          c) A ir lielāks par B
                          d) B ir lielāks par 0

                          Atbilde: Pirmie trīs varianti ir pareizi, bet B atrodas 0 kreisajā pusē, tāpēc tas nav lielāks par 0. Tātad nepārprotami opcija (D) nav taisnība.

                          Atbilde: Skaitļu rindā mēs redzam, ka jo lielāka ir negatīvā vērtība, jo mazāks ir skaitlis. Izmantojot to, mēs varam teikt, ka opcija (C) ir pareiza.

                          (C) & ndash79 & degC, & ndash70 & degC, & ndash58 & degC, & ndash53 & degC, & ndash52 & degC, & ndash40 & degC


                          Sadaliet skaitļus

                          Pieņemsim, ka vēlaties uzzināt, cik cilvēku stundu bija nepieciešams, lai pabeigtu projektu (projekta kopējais stundu skaits - kopā projektā iesaistīto cilvēku skaits), vai faktiskā jūdzes uz vienu galonu likme jūsu nesenajam apvidus braucienam (kopējās jūdzes ÷ kopējais galonu skaits). Ir vairāki veidi, kā sadalīt skaitļus.

                          Sadaliet skaitļus šūnā

                          Lai veiktu šo uzdevumu, izmantojiet / (uz priekšu slīpsvītra) aritmētiskais operators.

                          Piemēram, ja rakstāt =10/5 šūnā šūna tiek parādīta 2.

                          Svarīgs: Noteikti ierakstiet vienādības zīmi (=) šūnā, pirms ierakstāt ciparus un / operatora pretējā gadījumā Excel interpretēs jūsu ievadīto tekstu kā datumu. Piemēram, ierakstot 7/30, Excel šūnā var parādīt 30. jūliju. Vai arī, ja ierakstāt 12/36, Excel vispirms pārvērš šo vērtību par 12/36/1936 un šūnā parāda 1. decembri.

                          Piezīme: Tur nav SADALĪT funkcija programmā Excel.

                          Sadaliet skaitļus, izmantojot šūnu atsauces

                          Tā vietā, lai tieši rakstītu ciparus formulā, varat izmantot šūnu atsauces, piemēram, A2 un A3, lai atsauktos uz skaitļiem, kurus vēlaties dalīt un sadalīt.

                          Piemērs var būt vieglāk saprotams, ja to nokopējat uz tukšu darblapu.

                          Kā nokopēt piemēru

                          Izveidojiet tukšu darbgrāmatu vai darblapu.

                          Palīdzības tēmā atlasiet piemēru.

                          Piezīme: Neizvēlieties rindu vai kolonnu galvenes.

                          Atlasot piemēru no palīdzības

                          Darblapā atlasiet šūnu A1 un nospiediet CTRL + V.

                          Lai pārslēgtos no rezultātu skatīšanas uz formulu un rezultātu atgriešanu, nospiediet taustiņu kombināciju CTRL + `(smags akcents) vai Formulas noklikšķiniet uz cilnes Rādīt formulas pogu.


                          NCERT risinājumi 7. klases matemātikai 1. nodaļa - veseli skaitļi

                          Tālāk norādītā skaitļu rinda parāda temperatūru pēc celsija grādiem (& degC) dažādās vietās noteiktā dienā.

                          a) Ievērojiet šo skaitļa līniju un uzrakstiet uz tās atzīmēto vietu temperatūru.

                          b) Kāda ir temperatūras starpība starp karstākajām un aukstākajām vietām starp iepriekšminētajām?

                          c) Kāda ir temperatūras starpība starp Lahulspiti un Srinagar?

                          d) Vai mēs varam teikt, ka Srinagara un Šimlas temperatūra kopā ir zemāka par temperatūru Šimlā? Vai tā ir arī mazāka par temperatūru Srinagarā?

                          Atbilde:

                          (a) Ievērojot dotos datus, šo pilsētu temperatūra ir šāda.

                          b) temperatūra karstākajā vietā, t.i., Bangalore = 22 ° C

                          Temperatūra visaukstākajā vietā, t.i., Lahulspiti = & mīnus8 & degC

                          Temperatūras starpība = 22 & degC & mīnus (& mīnus8 & degC)

                          Tāpēc temperatūras starpība starp karstākajām un aukstākajām vietām ir 30 & ordmC.

                          c) temperatūra pie Lahulspiti = & mīnus8 & degC

                          Temperatūra Srinagarā = & mīnus2 & degC

                          Tāpēc temperatūras starpība starp Lahulspiti un Srinagar ir 6 & ordmC.

                          d) temperatūra pie Srinagar = & mīnus2 & degC

                          Temperatūra pie Shimla = 5 ° C

                          Srinagara un Šimlas temperatūra kopā = & mīnus2 & degC + 5 & degC

                          3 & degC & lt Shimla temperatūra

                          Jā, Srinagara un Šimlas temperatūra kopā ņemot ir zemāka par Šimlas temperatūru.

                          Tādējādi Srinagaras un Šimlas temperatūra kopā nav zemāka par Srinagaras temperatūru.

                          Lapa Nr. 4:

                          2. jautājums:

                          Viktorīnā pozitīvas atzīmes tiek piešķirtas par pareizām atbildēm un negatīvas - par nepareizām atbildēm. Ja džeka & rsquos rādītāji piecās kārtas pēc kārtas bija 25, un mīnus 5, un mīnus 10, 15 un 10, kāds bija viņa kopējais rezultāts beigās?

                          Atbilde:

                          Džeka & rsquos rādītāji piecās kārtās pēc kārtas ir 25, & mīnus5, & mīnus10, 15 un 10. Džeka kopējais rezultāts beigās būs šo rezultātu summa.

                          Tāpēc Džeka & rsquos kopējais rezultāts beigās = 25 & mīnus 5 & mīnus 10 + 15 + 10 = 35

                          Lapa Nr. 4:

                          3. jautājums:

                          Srinagarā pirmdien temperatūra bija + mīnus 5 & degC, un otrdien tā pazeminājās par 2 & degC. Kāda bija Srinagaras temperatūra otrdien? Trešdien tas pieauga par 4 & degC. Kāda bija temperatūra šajā dienā?

                          Atbilde:

                          Pirmdienas temperatūra = & mīnus5 & degC

                          Temperatūra otrdien = Pirmdienas temperatūra un mīnus2 un degC

                          Temperatūra trešdien = Otrdienas temperatūra + 4 un grādi

                          Tāpēc otrdienas un trešdienas temperatūra bija attiecīgi & mīnus7 & ordmC un & mīnus3 & ordmC.

                          Lapa Nr. 4:

                          4. jautājums:

                          Lidmašīna lido 5000 m augstumā virs jūras līmeņa. Konkrētā vietā tas atrodas tieši virs zemūdenes, kas peld 1200 m zem jūras līmeņa. Kāds ir vertikālais attālums starp tiem?

                          Atbilde:

                          Zemūdenes dziļums = & mīnus 1200 m

                          Attālums starp lidmašīnu un zemūdeni = 5000 m & mīnus (& mīnus 1200) m

                          Video risinājums veseliem skaitļiem (Lapa: 4, Q. Nr .: 4)

                          NCERT risinājums 7. klases matemātikai - veseli skaitļi 4, 4. jautājums

                          Lapa Nr. 4:

                          5. jautājums:

                          Mohans nogulda 2000 Rs savā bankas kontā un nākamajā dienā no tā izņem 1642 Rs. Ja summas izņemšanu no konta attēlo negatīvs vesels skaitlis, tad kā jūs attēlosiet noguldīto summu? Pēc izņemšanas atrodiet atlikumu Mohan & rsquos kontā.

                          Atbilde:

                          Tā kā izņemto summu attēlo negatīvs vesels skaitlis, noguldīto summu attēlos ar pozitīvu veselu skaitli.

                          Noguldītā summa = Rs 2000

                          Izņemtā summa = & mīnus 1642 Rs

                          Atlikums Mohan & rsquos kontā = noguldītā nauda + izņemtā nauda

                          = 2000 + (& mīnus 1642) = 2000 un mīnus 1642 = 358

                          Tāpēc atlikums Mohan & rsquos kontā pēc izņemšanas ir 358 Rs.

                          Lapa Nr. 4:

                          6. jautājums:

                          Rita iet 20 km uz austrumiem no punkta A līdz punktam B. No B viņa pa to pašu ceļu virzās 30 km uz rietumiem. Ja attālumu uz austrumiem attēlo pozitīvs vesels skaitlis, kā jūs attēlosiet nobraukto attālumu uz rietumiem? Ar kuru veselu skaitli jūs attēlosiet viņas galīgo stāvokli no A?

                          Atbilde:

                          Tā kā attālumu uz austrumiem attēlo pozitīvs vesels skaitlis, nobraukto attālumu uz rietumiem attēlos ar negatīvu veselu skaitli.

                          Nobrauktais attālums austrumu virzienā = 20 km

                          Nobrauktais attālums rietumu virzienā = & mīnus30 km

                          Nobrauktais attālums no A = 20 + (& mīnus30) = & mīnus10 km

                          Tāpēc mēs attēlosim Ritas nobraukto attālumu no punkta A ar negatīvu veselu skaitli, t.i., & mīnus10 km (t.i., Rita tagad atrodas rietumu virzienā).

                          5. lappuse:

                          7. jautājums:

                          Burvju kvadrātā katrai rindai, kolonnai un diagonālei ir vienāda summa. Pārbaudiet, kurš no šiem ir burvju kvadrāts.

                          Atbilde:

                          Var novērot, ka kvadrātā (i) katra rinda un kolonna summējas, dodot 0. Tomēr vienas tās diagonāles summa nav 0.

                          Tāpēc (i) nav burvju kvadrāts.

                          Līdzīgi kvadrātā (ii) katra rinda, kolonna un diagonāle summējas, iegūstot & mīnus9. Tāpēc (ii) ir burvju kvadrāts.

                          5. lappuse:

                          8. jautājums:

                          Pārbaudiet a & mīnus (& mīnusb) = a + b šādām vērtībām: a un b.

                          i) a = 21, b = 18

                          ii) a = 118, b = 125

                          iii) a = 75, b = 84

                          iv) a = 28, b = 11

                          Atbilde:

                          i) a = 21, b = 18

                          a & mīnus (& mīnusb) = 21 & mīnus (& mīnus18) = 21 + 18 = 39

                          a + b = 21 + 18 = 39

                          & tur4a & mīnus (& mīnusb) = a + b = 39

                          ii) a = 118, b = 125

                          a & mīnus (& mīnusb) = 118 & mīnus (& mīnus125) = 118 + 125 = 243

                          a + b = 118 + 125 = 243

                          & tur4a & mīnus (& mīnusb) = a + b = 243

                          iii) a = 75, b = 84

                          a & mīnus (& mīnusb) = 75 & mīnus (& mīnus84) = 75 + 84 = 159

                          a + b = 75 + 84 = 159

                          & tur4 a & mīnus (& mīnusb) = a + b = 159

                          iv) a = 28, b = 11

                          a & mīnus (& mīnusb) = 28 & mīnus (& mīnus11) = 28 + 11 = 39

                          a + b = 28 + 11 = 39

                          & tur4 a & mīnus (& mīnusb) = a + b = 39

                          5. lappuse:

                          9. jautājums:

                          Izmantojiet & gt, & lt vai = zīmi lodziņā, lai apgalvojumi būtu patiesi.

                          Atbilde:

                          5. lappuse:

                          10. jautājums:

                          Ūdens tvertnes iekšpusē ir pakāpieni. Pērtiķis sēž uz augšējā pakāpiena (t.i., pirmā pakāpiena). Ūdens līmenis ir devītajā pakāpienā.

                          (i) Viņš nolec 3 pakāpienus uz leju un pēc tam 2 pakāpienus atpakaļ. Cik lēcienos viņš sasniegs ūdens līmeni?

                          (ii) Pēc ūdens dzeršanas viņš vēlas atgriezties. Šim nolūkam viņš katrā kustībā lec 4 pakāpienus uz augšu un pēc tam lec 2 pakāpienus atpakaļ. Cik lēcienos viņš sasniegs augšējo pakāpienu?

                          (iii) Ja uz leju pārvietoto soļu skaitu apzīmē ar negatīviem veseliem skaitļiem un uz augšu ar pozitīviem veseliem skaitļiem pārvietotu soļu skaitu, attēlojiet viņa gājienus i) un ii) daļā, izpildot šādus (a) un mīnus 3 + 2 un mīnus & hellip = & mīnus 8 (b) 4 & mīnus 2 + & hellip = 8. Punktā (a) summa (& mīnus 8) apzīmē samazināšanos par astoņiem soļiem. Tātad, kāda būs summa b) apakšpunktā 8?

                          Atbilde:

                          Ļaujiet uz leju pārvietotās pakāpes attēlot ar pozitīviem veseliem skaitļiem, bet uz augšu pārvietotās darbības - ar negatīviem skaitļiem.

                          (i) Sākotnēji pērtiķis bija solī = 1

                          Pēc 1. lēciena mērkaķis būs solī = 1 + 3 = 4

                          Pēc 2. lēciena mērkaķis būs solī = 4 + (& mīnus2) = 2

                          Pēc 3. lēciena mērkaķis būs solī = 2 + 3 = 5

                          Pēc 4. lēciena mērkaķis būs solī = 5 + (& mīnus2) = 3

                          Pēc 5. lēciena mērkaķis būs solī = 3 + 3 = 6

                          Pēc 6. lēciena mērkaķis būs solī = 6 + (& mīnus2) = 4

                          Pēc 7. lēciena mērkaķis būs solī = 4 + 3 = 7

                          Pēc 8. lēciena mērkaķis būs solī = 7 + (& mīnus2) = 5

                          Pēc 9. lēciena mērkaķis būs solī = 5 + 3 = 8

                          Pēc 10. lēciena mērkaķis būs solī = 8 + (& mīnus2) = 6

                          Pēc 11. lēciena mērkaķis būs solī = 6 + 3 = 9

                          Skaidrs, ka pērtiķis pēc 11 lēcieniem būs ūdens līmenī (t.i., 9. solis).

                          (ii) Sākotnēji pērtiķis bija solī = 9

                          Pēc 1. lēciena mērkaķis būs solī = 9 + (& mīnus4) = 5

                          Pēc 2. lēciena mērkaķis būs solī = 5 + 2 = 7

                          Pēc 3. lēciena mērkaķis būs solī = 7 + (& mīnus 4) = 3

                          Pēc 4. lēciena mērkaķis būs solī = 3 + 2 = 5

                          Pēc 5. lēciena mērkaķis būs solī = 5 + (& mīnus 4) = 1

                          Skaidrs, ka pērtiķis atgriezīsies augšējā pakāpienā pēc 5 lēcieniem.

                          (iii) Ja pakāpienus, kas pārvietoti uz leju, attēlo negatīvi veseli skaitļi un pakāpienus uz augšu - pozitīvi veseli skaitļi, tad viņa kustības būs šādas.


                          Skaitļu attēlošana un salīdzināšana (N)

                          A daļa (1. – 7. Nodarbība)
                          Tēmas ietver pozitīvu racionālu skaitļu (veseli skaitļi, frakcijas un decimāldaļas) attēlošanu un salīdzināšanu, pozitīvu veselu skaitļu reizinājumu un koeficientu atrašanu un pozitīvo veselu skaitļu pāra vismazāk kopīgā daudzkārtņa (LCM) un vislielākā kopējā faktora (GCF) noteikšanu.

                          B daļa (8. – 12. Nodarbība)
                          Tēmas ietver negatīvo daļu un negatīvo decimāldaļu attēlošanu, jebkuru divu racionālu skaitļu vērtību salīdzināšanu, eksponenciālu apzīmējumu un faktoru koku un pamatfaktorizāciju izmantošanu, lai atrastu pozitīvu veselu skaitļu pāra LCM vai GCF.

                          Šajā nodarbībā tiek pārbaudītas trīs dažādas skaitļu sistēmas: veseli skaitļi, veseli skaitļi un racionāli skaitļi. Savienojumi starp dažādām skaitļu sistēmām ir izcelti, lai izveidotu pamatu salīdzinājumiem un darbībām.

                          Matemātiķi problēmu risināšanai bieži izmanto ciparu līniju. Šajā nodarbībā mēs pārskatām skaitļu līniju, koncentrējoties uz frakciju uzzīmēšanu.

                          Matemātikā simboli ir svarīgi saziņai. Šajā nodarbībā mēs pārskatām simbolus “lielāks par” un “mazāk nekā”. Turklāt mēs iepazīstinām ar divām metodēm, ko izmanto frakciju salīdzināšanai.

                          Racionālos skaitļus var rakstīt kā daļskaitļus vai decimāldaļas. Šajā nodarbībā mēs apspriežam sakarības starp frakcionālajiem attēlojumiem un decimāldaļu attēlojumiem, īpaši, kad runa ir par skaitļu zīmēšanu uz skaitļu līnijas.

                          Šajā nodarbībā mēs pārskatīsim, kā izveidot vesela skaitļa reizinājumu sarakstu. Izmantojot mūsu sarakstus, mēs identificējam divu veselu skaitļu kopējos reizinājumus, īpašu uzmanību pievēršot vismazāk izplatītajam daudzkārtnei (LCM).

                          Faktori, tāpat kā reizinātāji, ir saistīti ar reizināšanu. Šajā nodarbībā mēs risinām problēmas, nosakot pozitīvo veselu skaitļu faktorus.

                          Paplašinot nodarbību par faktoriem, mēs salīdzinām divu pozitīvu veselu skaitļu faktorus, lai konkrēti atrastu kopīgus faktorus, mēs bieži esam ieinteresēti noteikt lielāko kopīgo faktoru (GCF). Noslēgumā mēs atrisinām vārdu problēmas, kuru dēļ mums jāpiemēro faktori dažādos kontekstos.

                          Daļēji lielumi var būt pozitīvi vai negatīvi. Līdzīgi kā negatīvie veseli skaitļi, negatīvās daļas skaitļu rindā atrodas pa kreisi no nulles. Šajā nodarbībā mēs zīmējam negatīvās daļas ciparu rindā, lai palīdzētu mums saprast un salīdzināt šo skaitļu vērtības.

                          Racionālos skaitļus var rakstīt kā daļskaitļus vai decimāldaļas. Šajā nodarbībā mēs salīdzinām negatīvos decimāldaļskaitļus, uzzīmējot tos uz skaitļu līnijas. Pēc tam mēs salīdzinām negatīvās daļas ar negatīvām decimāldaļām. Tiek noteikti parasto frakciju decimālie ekvivalenti un parādītas stratēģijas, kā daļu pārvērst par decimāldaļu. Visbeidzot, mēs uzzinām, kā salīdzināt jebkurus divus racionālos skaitļus.

                          Šajā nodarbībā mēs iemācāmies attēlot atkārtotu reizināšanu, izmantojot eksponenciālu apzīmējumu. Pēc tam eksponenciālo apzīmējumu izmanto, lai veselos skaitļus attēlotu izvērstā formā, izmantojot desmit pilnvaras. Tiek pētīti kvadrātu un kubu numuri.

                          Šajā nodarbībā mēs pārskatām galvenos un saliktos skaitļus. Mēs iemācāmies attēlot saliktu skaitli kā tā galveno faktoru reizinājumu, izmantojot faktoru koku.

                          Prime faktorizācijas var izmantot, lai noteiktu pozitīvo veselu skaitļu pāra lielāko kopīgo faktoru (GCF) un vismazāk kopīgo (LCM). Mēs izpētām, kā to var izdarīt, un izmantojam šīs stratēģijas, lai atrisinātu vārdu problēmas.

                          Operācijas (N)

                          A daļa (1. – 11. Nodarbība)
                          Tēmas ietver racionālu skaitļu saskaitīšanu un atņemšanu, vesela skaitļa reizināšanu un dalīšanu ar pozitīvu racionālu skaitli un izteicienu novērtēšanu, izmantojot darbību secību.

                          B daļa (12. – 19. Nodarbība)
                          Tēmas ietver veselu skaitļu, daļu un decimāldaļu reizināšanu un dalīšanu, pozitīvo veselu skaitļu kvadrātsakņu tuvināšanu un izteicienu, kas ietver eksponentus, novērtēšanu, izmantojot darbību secību.

                          Mēs sākam diskusiju par pievienošanu, izpētot, kā skaitļu līnijas var izmantot, lai parādītu saskaitīšanu. Šajā nodarbībā mēs koncentrējamies uz veselu skaitļu pievienošanu, īpaši uz to, kā pozitīvos un negatīvos skaitļus var pievienot, izmantojot skaitļu līniju.

                          Mēs varam pievienot veselus skaitļus, neizmantojot kalkulatoru vai skaitļu līniju. Šajā nodarbībā mēs paplašinām savu iepriekšējo diskusiju par vesela skaitļa pievienošanu un izskatām stratēģijas, kā garīgi veikt veselā skaitļa saskaitīšanu.

                          Šajā nodarbībā tiek pētītas līdzvērtīgas frakcijas, gatavojoties daļām saskaitīt un atņemt. Ekvivalentu frakciju atrašanas procesā jums tiks dota iespēja praktizēt kopēju daudzkārtņu atrašanu, izmantojot nepareizas frakcijas un jauktus skaitļus, zīmējot uz skaitļu līnijas un salīdzinot racionālos skaitļus.

                          Šajā nodarbībā mēs balstāmies uz sapratni par papildinājumu, lai iekļautu racionālus skaitļus. Lai to izdarītu, mēs atkārtoti apmeklējam skaitļu līniju un iekļaujam savas stratēģijas racionālu skaitļu uzzīmēšanai, lai mēs varētu atrast to summu.

                          Šajā nodarbībā tiek ieviestas stratēģijas frakciju pievienošanai, neizmantojot skaitļu līniju. Mēs izmantojam ciparu līnijas kā motivāciju, lai atrastu kopsaucēju, pēc tam mēs pārietam pie frakciju pievienošanas, neizmantojot uzskates līdzekļus.

                          Mēs sākam diskusiju par atņemšanu, koncentrējoties uz veseliem skaitļiem. Šajā nodarbībā mēs pārskatām atņemšanas darbību, parādām atņemšanu skaitļu rindā un uzzinām, kā atņemt veselus skaitļus gan ar skaitļu līniju, gan bez tās.

                          Turpinot mūsu diskusiju par atņemšanu, šajā nodarbībā mēs izpētām frakciju atņemšanas stratēģijas. Mūsu mērķis ir izmantot līdzvērtīgas daļas, lai atrisinātu atņemšanas problēmas, neizmantojot kalkulatoru vai skaitļu līniju.

                          Šajā nodarbībā tiek pētītas stratēģijas veselo skaitļu reizināšanai ar daļām un decimāldaļām. Mēs risinām piemērus un izceļam aprēķinu veikšanas noteikumus, neizmantojot kalkulatoru.

                          Reizināšana ir darbība, ko izmanto, lai mainītu vai mainītu lielumu. Šajā nodarbībā mēs izpētām mēroga faktorus un apspriežam, kāpēc jāsāk domāt par reizināšanu mērogošanas ziņā.

                          Šajā nodarbībā mēs uzzinām, kā atrisināt aprēķinus, kas ietver veselu skaitļu dalīšanu ar daļām un decimāldaļām. Izmantojot piemērus, mēs izceļam noteikumus šo aprēķinu veikšanai bez kalkulatora.

                          Darbību secība tiek pārskatīta un izmantota, lai veiktu aprēķinus ar veseliem skaitļiem, daļām un decimāldaļām. Turklāt mēs izpētām iekavu nozīmi, kad tie ir nepieciešami un kad tos var noņemt no izteiksmes. Mēs secinām, izmantojot aprēķina vienkāršošanai izplatīšanas īpašību.

                          Šajā nodarbībā mēs uzzinām, kā garīgi reizināt veselus skaitļus. Konkrēti, mēs aplūkojam, kā katra produkta veselā skaitļa zīme ietekmē produkta zīmi.

                          Dalīšana ir pretēja reizināšanas darbība, un tāpēc stratēģijas, kuras mēs iemācāmies dalīt veselos skaitļos, būs līdzīgas tām, kuras mēs izmantojām, reizinot veselus skaitļus. Šajā nodarbībā mēs pārbaudām, kā dividenžu un dalītāju zīmes ietekmē koeficienta zīmi.

                          Mēs sākam šo nodarbību, pārskatot, kā daļu reizināt ar veselu skaitli. Pēc tam mēs paplašinām savu izpratni, iekļaujot jebkuru divu daļu reizināšanu. Turklāt zināma uzmanība tiek pievērsta produktu vērtību novērtēšanai.

                          Šajā nodarbībā mēs pārskatām, kā veselu skaitli sadalīt ar daļu. Pēc tam mēs izpētām, kā pielāgot šo stratēģiju, lai sadalītu daļu ar citu daļu, neizmantojot kalkulatoru.

                          Mēs sākam šo nodarbību, pārbaudot decimāldaļu reizināšanu ar desmit lielumiem, ieskaitot diskusiju par zinātnisko pierakstu. Pēc tam mēs uzzinām, kā reizināt divus ciparus aiz komata, vispirms pārvēršot skaitļus daļās, un, otrkārt, strādājot ar pašiem decimāldaļiem.

                          Šajā nodarbībā mēs izstrādājam stratēģijas, lai novērtētu sadalījuma izteiksmes, kurās ir iekļauti veseli skaitļi un decimāldaļas. Mēs arī paplašinām šīs stratēģijas, lai apspriestu dalīšanu ar diviem cipariem aiz komata.

                          Šajā nodarbībā galvenā uzmanība tiek pievērsta attiecībām starp skaitļa kvadrātiņu un skaitļa kvadrātsaknes iegūšanu. Mēs apspriežam perfektus kvadrātus un pārbaudām, kā tuvināt pozitīva vesela skaitļa kvadrātsakni, kas nav ideāls kvadrāts.

                          Šajā nodarbībā mēs atkārtoti pārskatām aritmētisko darbību secību. Mēs risinām problēmas, kas saistītas ar veseliem skaitļiem, daļām un decimāldaļām, īpašu uzmanību pievēršot eksponentiem.

                          Attiecības, likmes un proporcijas (N)

                          A daļa (1. – 5. Nodarbība)
                          Tēmas ietver attiecību rakstīšanu un interpretēšanu, meklējot līdzvērtīgus koeficientus, kas pārrēķina starp daļām, decimāldaļām un procentiem, pārveidojot starp mērvienībām, un risina problēmas, kas saistītas ar vienības likmēm.

                          B daļa (6. – 10. Nodarbība)
                          Tēmas ietver proporcionālo situāciju atpazīšanu teksta uzdevumos, tabulas un grafiki, kas savieno vienību, attiecas uz proporcionālajām attiecībām un to attēlojumu tabulās, grafikos un vienādojumos, kā arī daļējos procentos un procentos, kas pārsniedz 100 procentus.

                          Šajā nodarbībā tiek apspriesta koeficienta nozīme un aprakstīts, kā rakstīt un interpretēt koeficientus. Noslēgumā mēs atrisinām problēmas, kurām nepieciešama attiecība uz lieliem daudzumiem.

                          Mēs sākam diskusiju par līdzvērtīgiem koeficientiem, izmantojot diagrammas un izpētot, kā divi koeficienti var attēlot to pašu attiecību starp diviem lielumiem. Tad mēs izstrādājam stratēģijas, lai skaitliski atrastu līdzvērtīgus koeficientus. Šī nodarbība noslēdzas ar attiecību problēmu risināšanu.

                          Šajā nodarbībā mēs definējam procentus un izpētām attiecības starp daļām, decimāldaļām un procentiem. Noslēgumā mēs atrisinām dažas vārdu problēmas, kas saistītas ar procentiem.

                          Šajā nodarbībā tiek pētītas stratēģijas, kā veikt konvertēšanu starp dažādām metriskām garuma, masas un ietilpības vienībām. Pēc tam mēs izmantojam šīs stratēģijas, lai pārveidotu starp laika vienībām un laukuma vienībām.

                          Šajā nodarbībā mēs uzzinām par likmēm, kas ir divu mērījumu salīdzinājumi ar dažādām vienībām. Mēs koncentrējamies uz to, kā rakstīt vienības likmes un kā vienības likmes var izmantot, lai atrisinātu vārdu problēmas. Ir iekļauti arī daži piemēri, kā likmi konvertēt dažādās vienībās.

                          Šajā nodarbībā mēs izpētām proporcionalitātes jēdzienu, izmantojot tādus piemērus kā attēla palielināšana un krāsas sajaukšana. Mēs izpētām proporcionālas attiecības starp diviem lielumiem un uzzinām, kā atpazīt, kad situācija ir un nav proporcionāla.

                          Šajā nodarbībā mēs pārbaudām, kā atpazīt proporcionālu attiecību starp diviem lielumiem, kad dati tiek parādīti tabulā vai grafikā.

                          Attiecība starp proporcionālajiem lielumiem bieži tiek dota vienības likmes veidā. Šajā nodarbībā mēs izpētām, kā šī vienības likme izpaužas vienādojumā, tabulā vai grafikā, kas attēlo attiecību starp abiem lielumiem.

                          Šajā nodarbībā mēs apspriežam daļu procentus un procentus, kas pārsniedz 100 procentus. Zināms uzsvars tiek likts uz to, kur procenti parādās ikdienas dzīvē un kā novērtēšana var būt noderīga, strādājot ar procentiem.

                          Proporcionālās situācijas var attēlot dažādos veidos, ieskaitot vienības likmes, tabulas, grafikus vai vienādojumus. Šajā nodarbībā mēs praktizējam salīdzināt proporcionālās attiecības, kas tiek pasniegtas dažādos veidos.

                          Bisektori un formu īpašības (G)

                          A daļa (1. – 6. Nodarbība)
                          Tēmas ietver leņķa un perpendikulāro bisektoru konstrukcijas, kā arī trīsstūru, četrstūru un vispārīgāku daudzstūru dažādas īpašības. Dažādi daudzstūri tiek klasificēti, pamatojoties uz to sānu garumiem un leņķa mērījumiem.

                          B daļa (7. – 10. Nodarbība)
                          Tēmas ietver četrstūra diagonāles, apļu terminoloģiju un konstrukciju, kā arī apļu pielietojumu reālajā pasaulē.

                          Šī nodarbība iepazīstina ar ģeometrisko pamatobjektu terminoloģiju un apzīmējumiem, galveno uzmanību pievēršot rakstiskajai un mutiskajai saziņai.

                          Mēs pārskatām, kā klasificēt trijstūrus pēc sānu garuma un leņķa mērījumiem. Pēc tam mēs pētām sānu leņķa attiecības trijstūros. Šī nodarbība noslēdzas ar trīsstūra īpašību pielietojumu 60 grādu leņķa konstruēšanai, izmantojot kompasu.

                          Kompasu un iztaisnojumu var izmantot, lai nevainojami mērītu leņķi uz pusēm. Šajā nodarbībā mēs apspriežam leņķa dalītāju īpašības un to, kā izmantot šīs īpašības, lai izveidotu noteikta leņķa leņķa dalītāju, izmantojot tikai kompasu un taisni. Mēs paplašinām savu diskusiju ar trijstūriem un izpētām trīs leņķa dalītāju attiecības trijstūrī.

                          Turpinot mūsu diskusiju par konstrukcijām, mēs aplūkojam perpendikulāro bisektoru īpašības un to, kā izmantot šīs īpašības, lai izveidotu perpendikulāru bisektoru no noteikta līnijas segmenta, izmantojot tikai kompasu un taisni. Mēs paplašinām savu diskusiju ar trīsstūriem un izpētām trīs perpendikulāro bisektoru attiecības jebkurā trijstūrī.

                          Šajā nodarbībā mēs aplūkojam sešu īpašo četrstūru īpašības. Mēs pārbaudām katra līdzību un atšķirības un izmantojam diagrammu, lai attēlotu visas mūsu apspriestās attiecības.

                          Paplašinot četrstūrus, šajā nodarbībā mēs apspriežam vispārējo daudzstūru īpašības. Jo īpaši mēs pētām iekšējo leņķu summu daudzstūrī un to, kā daudzstūri ir savienoti ar prismām. Šī nodarbība noslēdzas ar paplašinājumu, kurā tiek pētīts, kā prizmas var sagriezt, lai iegūtu dažādas daudzstūra formas sejas.

                          Šajā nodarbībā mēs pētām dažādas četrstūru diagonāļu īpašības. Jo īpaši mēs uzskatām, kad diagonāles viena otru šķeļ, ir perpendikulāras viena otrai vai vienādas garumā. Pēc tam mēs izmantojam šīs īpašības, lai palīdzētu mums klasificēt četrstūrus.

                          Šī nodarbība sākas ar diskusiju par to, kā aprakstīt loku. Tā kā apļi ļoti atšķiras no daudzstūriem, mēs ieviešam jaunu terminoloģiju, kas jāizmanto, pētot apļus. Jo īpaši mēs definējam apļa centru, rādiusu, diametru un apkārtmēru. Mēs arī izpētām, kā izmantot daudzstūrus, lai palīdzētu mums novērtēt apkārtmēru un apļa norobežoto laukumu.

                          Šajā nodarbībā mēs apspriežam precīzu apļu zīmēšanas stratēģijas. Konkrēti, mēs aplūkojam zīmēšanas apļus, ja tiem piešķir centru un rādiusu, centru un punktu, kam jāatrodas uz apļa, kā arī divus vai vairākus punktus, kuriem visiem jāatrodas uz apļa. Mēs apspriežam, kur reālajā pasaulē parādās lielāki apļi un kādus rīkus un stratēģijas var izmantot, lai tos izveidotu.

                          Šajā nodarbībā mēs aplūkojam apļus ārpus stūres un apspriežam apļu lomu apļa projektēšanā, apļu izmantošanu konstrukciju projektēšanā un to, kā dažāda diametra apļi mijiedarbojas mašīnās, kurās izmanto pārnesumus.

                          Platība, tilpums un leņķi (G)

                          A daļa (1. – 5. Nodarbība)
                          Tēmas ietver paralelogramu, trijstūru, trapecveida un saliktu formu laukuma aprēķināšanu, prizmas virsmas laukuma, tilpuma un ietilpības aprēķināšanu un 3D objektu attēlošanu dažādos veidos.

                          B daļa (6. – 10. Nodarbība)
                          Tēmas ietver apļu apkārtmēru un laukuma aprēķināšanu, cilindru tilpuma un virsmas aprēķināšanu un leņķu īpašības, ko veido krustojošās līnijas, ieskaitot paralēlas un šķērsvirziena līnijas.

                          Šajā nodarbībā tiek pārskatīta laukuma definīcija un kā aprēķināt taisnstūra laukumu. Pēc tam mēs izstrādājam un pielietojam formulas paralelogramu, trijstūru un trapecveida laukumu atrašanai.

                          Turpinot diskusiju par laukumu, mēs izpētām, kā sadalīt un aprēķināt salikto formu laukumu.

                          Šajā nodarbībā mēs uzzinām, kā vizualizēt 3D cietā materiāla virsmu, izmantojot tīklu. Pēc tam mēs aprēķinām prizmas virsmas laukumu un atrisinām vārdu problēmas, kas saistītas ar virsmas laukumu.

                          Šajā nodarbībā mēs izstrādājam un izmantojam formulu prizmas apjoma atrašanai. Mēs saistām apjomu un ietilpību un izpētām, kā veikt konvertēšanu starp tilpuma vienībām.

                          Mēs noslēdzam savu diskusiju par prismām un saliktajām cietajām vielām, mācoties, kā tās uzzīmēt uz trīsstūrveida punktveida papīra. Mēs arī uzzinām, kā atpazīt un ieskicēt dažādus 3D objekta 2D skatus.

                          Šajā nodarbībā mēs pārskatām apļu apkārtmēru un laukumu. Pēc tam mēs izstrādājam un pielietojam formulas apļa apkārtmēra un laukuma aprēķināšanai, ņemot vērā apļa rādiusu (vai diametru).

                          Mēs sākam diskusiju par cilindriem, salīdzinot cilindrus ar prismām. Mēs izstrādājam un pielietojam balona tilpuma noteikšanas formulu un atrisinām vārdu problēmas, kas saistītas ar cilindra tilpumu vai ietilpību.

                          Turpinot mūsu diskusiju par cilindriem, šajā nodarbībā mēs izpētām cilindra tīklu un izmantojam tīklu, lai izstrādātu balona virsmas laukuma formulu. Pēc tam mēs aprēķinām cilindru virsmas laukumu un atrisinām vārdu problēmas, kas saistītas ar virsmas laukumu.

                          Šajā nodarbībā mēs sākam diskusiju par krustojošām līnijām, izpētot leņķu īpašības, kuras veido divas krustojošās līnijas. Mēs definējam papildu, papildinošus un pretējus leņķus un izmantojam leņķa attiecības, lai diagrammā atrastu nezināmus leņķus.

                          Turpinot mūsu diskusiju par krustojošām līnijām, šajā nodarbībā mēs izpētām leņķus, ko veido paralēlas līnijas un šķērsvirziena. Mēs definējam atbilstošos, alternatīvos un kopējos interjera leņķus un izmantojam leņķa attiecības, lai diagrammā atrisinātu nezināmus leņķus.

                          Formu pārveidojumi (G)

                          A daļa (1. – 7. Nodarbība)
                          Tēmas ietver daudzstūru kongruenci, trijstūru kongruences noteikumus, punktu zīmēšanu Dekarta plaknē, daudzstūra attēlu Dekarta plaknē tulkojumu laikā, atstarojumus un / vai rotācijas Dekarta plaknē un tesselācijas.

                          B daļa (8. – 11. Nodarbība)
                          Tēmas ietver daudzstūru līdzību, trijstūru līdzības likumus, daudzstūru paplašinājumus un netiešus mērījumus.

                          Šajā nodarbībā mēs pārskatām kongruences definīciju un saskaņojam divu kongruentu daudzstūru malas un leņķus. Mēs arī aplūkojam kongruento daudzstūru perimetru un laukumu.

                          Turpinot mūsu diskusiju par kongruenci, šajā nodarbībā mēs izpētām trīsstūru kongruences noteikumus. Mūsu mērķis ir parādīt, ka divi trīsstūri ir vienādi, saskaņojot tikai trīs atbilstošās daļas.

                          Šī nodarbība iepazīstina ar Dekarta plakni. Mēs pārbaudām, kā konstruēt Dekarta koordinātu sistēmu, kā uzzīmēt punktus Dekarta plaknē, kā arī pārbaudīt vertikālos / horizontālos attālumus starp diviem Dekarta plaknes punktiem.

                          Šajā nodarbībā mēs sākam diskusiju par transformācijām, izpētot daudzstūru tulkojumus. Mēs iemācāmies uzzīmēt daudzstūra attēlu zem tulkojuma un saistīt kongruences definīciju ar tulkojumiem.

                          Turpinot mūsu diskusiju par transformācijām, tagad mēs izpētām daudzstūru atspoguļojumus. Šajā nodarbībā mēs uzzinām, kā noformēt daudzstūra attēlu zem atspulga Dekarta plaknē, un izskaidrot, kā attēls ir saskaņots ar sākotnējo daudzstūri.

                          Šajā nodarbībā mēs uzzinām, kā attēlot daudzstūra attēlu zem rotācijas. Mēs arī apvienojam visas trīs transformācijas un uzzīmējam daudzstūra attēlu zem tulkojuma, atstarošanas un rotācijas Dekarta plaknē.

                          Šajā nodarbībā tiek pētīta tessellāciju māksla. Mēs definējam tessellāciju un izpētām, kādi daudzstūri var lidot plaknē. Pēc tam, izmantojot daudzstūrus, par kuriem zinām, ka tie plaknē plakaniski, mēs pētām, kā izveidot interesantus dizainus, kas teselē.

                          Ģeometrijā vārdu “līdzīgs” lieto, lai norādītu, kad diviem objektiem ir vienāda forma, bet ne vienmēr vienāda izmēra. Šajā nodarbībā mēs uzzinām precīzu līdzīgu daudzstūru definīciju, izpētām mēroga koeficientu starp diviem līdzīgiem daudzstūriem un uzzinām, kā izmantot mēroga koeficientu problēmu risināšanai.

                          Katram trijstūrim ir trīs leņķi un trīs malas, taču izrādās, ka mums nav jāzina katra mērījumi, lai noteiktu trijstūra formu. Šajā nodarbībā mēs izpētām minimālos nosacījumus, kas nepieciešami, lai pārbaudītu, vai divi trijstūri ir līdzīgi. Mēs apgūstam leņķa, leņķa, sānu un sānu leņķa līdzības noteikumus un praktizējam līdzīgu trijstūru veidošanu.

                          Šajā nodarbībā mēs pētām, kā izdarīt līdzīgus daudzstūrus, nemērot nevienu leņķi. To var izdarīt, veicot noteiktu pārveidošanas veidu: dilatāciju.

                          Netiešie mērījumi ļauj mums atrast nezināmus garumus, faktiski nemērot līnijas segmentus. Šajā nodarbībā mēs izpētām, kā izmantot trīsstūra līdzības noteikumus, lai veiktu netiešus mērījumus dažādos scenārijos.

                          Pārstāvošie modeļi (A)

                          A daļa (1. – 6. Nodarbība)
                          Tēmas ietver secību attēlošanu, izmantojot tabulas, vispārīgus terminus un grafikus, modeļu aprakstīšanu, izmantojot mainīgos un izteicienus, pagarinot secības un risinot problēmas, kas saistītas ar nezināmiem lielumiem.

                          B daļa (7. – 11. Nodarbība)
                          Tēmas ietver ekvivalentus secības vispārīgā termina izteicienus, aprakstot attiecības un modeļus, izmantojot vienādojumus, un samazinošās un dabiski sastopamās secības.

                          Mēs sākam diskusiju par modelēšanu, pārbaudot skaitļu un attēlu secības. Šajā nodarbībā mēs koncentrējamies uz modeļa noteikuma noteikšanu, kas apraksta, kā ģenerēt nākamo vārdu secībā.

                          Šajā nodarbībā tiek pētīta saikne starp termina skaitli un termiņa vērtību, tas ir, attiecības starp terminu secībā un tā pozīciju šajā secībā. Pēc tam mēs izmantojam vispārīgo terminu, lai atrastu termina vērtību secībā, ņemot vērā tā termiņa numuru.

                          Mēs turpinām atrast vispārīgo secību terminu, uzsverot, kā izmantot mainīgo, lai attēlotu nezināmu lielumu. Šī nodarbība noslēdzas ar diskusiju par aizstāšanu, kur mēs vērtējam izteicienus, aizstājot mainīgā lielumu ar skaitli vispārējā terminā.

                          Šajā nodarbībā mēs sastopamies ar sekvencēm, kurām ir cita veida attiecības, nekā mēs esam redzējuši iepriekš. Jūs turpināsiet praktizēt secības vispārīgā termina atrašanu, noslēdzot nodarbību ar dažām lietojuma problēmām.

                          Šajā nodarbībā mēs izpētām, kā grafiski attēlot secību. Izmantojot grafikā attēlotu secību, pēc tam mēs izmantojam grafiku, lai noteiktu termina numuru, kas atbilst noteiktajam terminam secībā. Visbeidzot, jūs praktizēsiet, kā atrast secības vispārīgo terminu, ņemot vērā tā diagrammu.

                          Šajā nodarbībā mēs savienojam dažādas secības, kuras mēs esam pētījuši līdz šim. Mēs turpinām izmantot tabulas, diagrammas un vispārīgus terminus, lai izpētītu modeļus, kurus attēlo secības.

                          Šajā nodarbībā mēs pārskatīsim, kā attēlot secību, izmantojot tabulu, vispārīgu terminu vai diagrammu. Uzsvars tiek likts uz to, kurš no šiem trim attēlojumiem ir vispiemērotākais konkrētā problēmu risināšanas situācijā.

                          Šajā nodarbībā mēs analizējam dažādus modeļus, kas ģenerē to pašu skaitļu secību. Mēs ģenerējam dažādas izteiksmes, lai attēlotu modeļa dažādās interpretācijas, un uzzinām, kā noteikt, vai divas izteiksmes ir līdzvērtīgas.

                          Šajā nodarbībā mēs uzzinām atšķirību starp izteiksmi un vienādojumu un izpētām, kā katru no tiem var izmantot, aprakstot modeļus. Jo īpaši mēs izmantojam izteicienus secības vispārīgajam terminam, lai izveidotu vienādojumus, kas atspoguļo attiecības secībās.

                          Šajā nodarbībā mēs definējam un izpētām secības, kas samazinās. Jums tiek uzdots apsvērt, kā var izmantot secības palielināšanas vispārīgo terminu atrašanas stratēģijas, lai uzrakstītu vienādojumu, kas atspoguļo samazinošu secību. Mēs arī pārbaudām, kā dažas skaitļu secības, kas rodas no fiziskām situācijām, nevar turpināties mūžīgi reālās pasaules robežu dēļ.

                          Šajā nodarbībā mēs skatāmies tālāk par tipiskajām secībām, kas apspriestas šajā vienībā, un izpētām dabiski sastopamās sekvences. Piemēri koncentrējas uz populārām mīklas un reālās izaugsmes un nolietojuma scenārijiem. Noslēgumā mēs ar piemēru apspriežam, cik acīmredzami modeļi dažkārt var maldināt.

                          Vienādojumi un Pitagora teorēma (A)

                          A daļa (1. – 5. Nodarbība)
                          Tēmas ietver mainīgo izmantošanu izteiksmēs un vienādojumos, lineāro sakarību identificēšanu un izpēti, vienādojumu risināšanu ar pārbaudi, izmēģinājumiem un kļūdām un vizuālo modeļu izmantošanu.

                          B daļa (6. – 10. Nodarbība)
                          Tēmas ietver vienādojumu risināšanu, izmantojot algebriskas metodes, salīdzinot atšķirības starp izteiksmes novērtēšanu un vienādojuma risināšanu, vienādojumu izpēti ar vairākiem mainīgajiem un Pitagora teorēmu.

                          Šajā nodarbībā mēs pārskatām mainīgos un izteicienus. Mēs apspriežam kopēju operāciju apzīmējumu algebrā un praktizējam angļu frāžu tulkošanu matemātiskās izteiksmēs.

                          Šajā nodarbībā mēs pētām lineāras attiecības starp diviem lielumiem. Mēs uzzinām, kā noteikt lineāru sakarību, kas attēlota grafikā, vērtību tabulā vai vienādojumā.

                          Šajā nodarbībā mēs izmantojam izteiksmes un vienādojumus, lai modelētu un risinātu reālās pasaules problēmas.

                          Šajā nodarbībā mēs izmantojam grafikus un vizuālu svaru svaru modeli, lai palīdzētu atrisināt vienādojumus. Mēs arī praktizējam vienkāršu vienādojumu risināšanu ar pārbaudi.

                          Šajā nodarbībā mēs praktizējam vienādojumu risināšanu ar izmēģinājumu un kļūdu palīdzību. Šīs metodes tiek izmantotas, lai atrisinātu vārdu problēmas un atrisinātu vienādojumus, kuriem ir dalītie risinājumi.

                          Šajā nodarbībā mēs vizualizējam vienādojumus, izmantojot svarus un līdzsvarotu skalu. Mēs atrisinām vienādojumus ar vienu darbību, izmantojot algebriskās metodes, un uzzinām, kā pārbaudīt vienādojuma risinājumu.

                          Mēs turpinām atrisināt vienādojumus, izmantojot algebru, paplašinot mūsu stratēģijas, lai atrisinātu vienādojumus ar vairāk nekā vienu darbību.

                          Šajā nodarbībā tiek pētīta kustība uz priekšu un atpakaļ, izmantojot matemātikas mašīnu, un izveidota saikne ar atšķirībām starp izteiksmes novērtēšanu un vienādojuma risināšanu.

                          Šajā nodarbībā mēs atrodam risinājumus vienādojumiem ar diviem vai vairākiem nezināmiem lielumiem, izmantojot izmēģinājumus un kļūdas un algebru.

                          Šajā nodarbībā mēs pētām saikni starp taisnstūra trīsstūra sānu garumiem. Mēs izstrādāsim Pitagora teorēmu un izmantosim to, lai atrisinātu trūkstošā taisnstūra trijstūra malas garumu.

                          Datu vākšana un diagrammas (D)

                          A daļa (1. – 5. Nodarbība)
                          Tēmas ietver dažāda veida datu kopas, izlases un skaitīšanas novirzes datu vākšanā, kas izriet no jautājuma formulējuma, pieņemtajām atbildēm un izlases grupas biežuma un relatīvo biežumu tabulu un grafiku izvēles un grafikiem, lasot un veidojot apļa diagrammas, izvēloties atbilstošu diagrammu veidu datu kopas aizspriedumiem datu attēlojums, kas izriet no izvēlētā diagrammas veida, diagrammas struktūras un formas, kā arī ass etiķetēm un mērogiem.

                          B daļa (6. – 9. Nodarbība)
                          Tēmas ietver nepārtrauktu datu sakārtošanu kātu un lapu grafikos un biežuma tabulās ar intervāliem, kā arī histogrammu izveidošanu un lasīšanu, kā arī izkliedes diagrammas.

                          Šajā nodarbībā mēs apspriežam dažāda veida datus, tostarp primāros, sekundāros, kategoriskos un skaitliskos datus.Mēs apspriežam terminus populācija, izlase un skaitīšana un uzzinām atšķirību starp diskrētiem un nepārtrauktiem skaitliskiem datiem.

                          Šajā nodarbībā mēs pētām, kā datus var ietekmēt aptaujas jautājumu formulējums, aptaujā pieņemto atbilžu veidi un izlases grupa, kas tiek izmantota aptaujā, lai pārstāvētu iedzīvotājus.

                          Šajā nodarbībā mēs uzzinām, kā sakārtot datus frekvenču tabulās, aprēķināt relatīvās frekvences un izveidot un salīdzināt frekvences un relatīvās frekvences grafikus.

                          Šajā nodarbībā mēs koncentrējamies uz apļa diagrammu (vai sektoru diagrammu) lasīšanu un izveidošanu. Mēs apspriežam arī atbilstošos diagrammu veidus (apli, joslu vai līniju), kurus var izmantot dažādu datu kopu parādīšanai.

                          Šajā nodarbībā mēs izpētām, kā diagrammas izveidošanas laikā izdarītā izvēle var izraisīt nepareizu pamatdatu atspoguļošanu. Jo īpaši mēs apspriežam, kā grafika tips, diagrammas struktūra un forma, kā arī diagrammas ass etiķetes un skalas var maldināt skatītāju.

                          Šajā nodarbībā mēs koncentrējamies uz darbu ar nepārtrauktām datu kopām. Mēs izpētām dažādus veidus, kā nepārtraukti dati var tikt kārtoti un attēloti grafikā, kā arī apspriežam, kā parādīt pārī savienotas datu kopas.

                          Šajā nodarbībā mēs pētām dažādus veidus, kā sakārtot skaitliskās datu kopas intervālos. Mēs vispirms sakārtojam datus, izmantojot cilmes un lapas diagrammas, un pēc tam izpētām, kā frekvenču tabulas var izmantot, ja datus sadalām intervālos. Mēs apspriežam šo organizācijas rīku priekšrocības un trūkumus un praktizējam piemērotu intervālu izvēli attiecīgajām datu kopām.

                          Standarta joslu diagrammas ne vienmēr ir piemērots veids, kā parādīt doto skaitlisko datu kopu. Histogramma ir līdzīga veida grafiks, kurā skaitliskie dati vispirms tiek sagrupēti diapazonos, un pēc tam katra diapazona biežums tiek parādīts, izmantojot joslu. Šajā nodarbībā mēs apspriežam histogrammas pazīmes un praktizējam histogrammu izveidi no skaitliskām datu kopām. Mēs apspriežam, kādu informāciju var iegūt vai zaudēt, uzrādot datus histogrammā, un izpētām intervāla izvēles ietekmi uz diagrammas formu.

                          Izkliedes diagramma ir grafiks, kas sastāv no punktiem, kas izveidoti, izmantojot divu mainīgo lielumu vērtības. Izkliedes diagrammas tiek izmantotas, lai parādītu attiecības starp diviem attiecīgajiem mainīgajiem. Šajā nodarbībā mēs apspriežam izkliedes diagrammas iezīmes un praktizējam izkliedes diagrammu izveidi no sapārotām datu kopām. Mēs apspriežam lomas, kuras divi mainīgie spēlē izkliedes grafikā, un izpētām, kāda informācija varētu tikt atklāta, ņemot vērā datu punktu kopumā veidoto formu.

                          Datu analīze (D)

                          A daļa (1. – 4. Nodarbība)
                          Tēmas ietver datu kopu vidējā, vidējā un režīma noteikšanu, pētot datu pievienošanas datu kopai sekas vai datu noņemšanu no datu kopas, izpētot izņēmumu ietekmi uz vidējo, vidējo un režīmu, kā arī praktizējot secinājumu izdarīšanu un prognozes no datiem grafikos.

                          B daļa (5. – 8. Nodarbība)
                          Tēmas ietver datu, histogrammu un izkliedes diagrammu interpretēšanu un secinājumu izdarīšanu no šiem grafikiem, aprakstot attiecības starp diviem izkliedes diagrammas mainīgajiem lielumiem, novērtējot izmaiņu ātrumus, kas saistīti ar izkliedes diagrammām, veicot prognozes, ko atbalsta histogrammu un izkliedes diagrammu dati, un izmantojot atbilstošus centrālā tendence salīdzināt divas datu kopas.

                          Var būt noderīgi izmantot vienu vērtību, lai apkopotu informāciju lielā datu kopā. Centrālās tendences mērījumi, piemēram, vidējais, vidējais un režīms, mēģina apkopot datus, mērot datu kopas vidusdaļu (vai centru). Šajā nodarbībā mēs uzzināsim, kā noteikt dažādu datu kopu vidējo, vidējo un režīmu un apspriedīsim, kā tos var izmantot datu analizēšanai.

                          Šajā nodarbībā mēs apspriežam datu pievienošanas (vai datu noņemšanas no) ietekmi uz datu kopu. Mēs koncentrējamies uz to, kā tas dažādos veidos var ietekmēt vidējo, vidējo un režīmu.

                          Dažās datu kopās ir izteikti rādītāji, kas ir dati, kas ir atdalīti no pārējām datu kopas vērtībām. Šajā nodarbībā mēs apspriežam iespējamo rezultātu ietekmi uz datu kopu vidējo, vidējo un veidu un izpētām dažādus kontekstus, kuros viens konkrēts rādītājs varētu būt vispiemērotākais, lai apkopotu dotos datus.

                          Šajā nodarbībā mēs praktizējam dažādu diagrammu attēloto pamatā esošo datu interpretāciju. Mēs apspriežam atšķirību starp apgalvojumiem, kurus var pārbaudīt, izmantojot diagrammas informāciju, un prognozēm, kuras atbalsta grafika tendences, bet kuras nevar pārbaudīt, izmantojot tikai diagrammu.

                          Šajā nodarbībā mēs praktizējam histogrammā sniegtās informācijas identificēšanu un interpretēšanu un histogrammas atbalstīto secinājumu izdarīšanu. Mēs arī izpētām, kā histogrammas intervāla lielums var ietekmēt secinājumus, ko izdarījis kāds, kurš analizē datus histogrammā.

                          Šajā nodarbībā mēs praktizējam izkliedētās diagrammas sniegtās informācijas identificēšanu un interpretēšanu un secinājumu izdarīšanu, ko atbalsta izkliedes diagramma. Mēs izpētām, kā noteikt un aprakstīt vispārēju saistību, kas varētu pastāvēt starp abiem mainīgajiem izkliedes grafikā.

                          Izkliedes diagrammas bieži izmanto, lai identificētu un izpētītu attiecības starp diviem mainīgajiem. Kad šķiet, ka izkliedes diagrammas datu punkti aptuveni seko līnijas ceļam, mēs varam izmantot savas zināšanas par lineārajiem modeļiem, lai pētītu datus un veiktu prognozes. Šajā nodarbībā mēs izpētām līniju zīmēšanu, kas tuvina izkliedes grafikā novēroto tendenci, un aplēšam izmaiņu ātrumus, kas saistīti ar izkliedes grafikiem. Mēs salīdzinām dažādu izkliedes diagrammu izmaiņu ātrumus un izmantojam tos, lai veiktu prognozes.

                          Šajā nodarbībā mēs praktizējam centrālās tendences mēru izmantošanu, lai salīdzinātu divas datu kopas, izdarītu secinājumus un apspriestu faktorus, kas varētu ietekmēt to, kurš centrālās tendences rādītājs ir vispiemērotākais konkrētam salīdzinājumam. Mēs arī izpētām, kā salīdzināt histogrammās attēlotos datus.

                          Varbūtība (D)

                          A daļa (1. – 4. Nodarbība)
                          Tēmas ietver izlases eksperimentus, rezultātus un notikumus, kas aprēķina atsevišķu notikumu teorētiskās varbūtības, salīdzinot dažādu notikumu neatkarīgu notikumu varbūtības eksperimentālo varbūtību un izmantojot varbūtības, lai veiktu prognozes.

                          B daļa (5. nodarbība & ndash8)
                          Tēmas ietver teorētisko varbūtību un eksperimentālo varbūtību salīdzināšanu, lai izpētītu, kā izmēģinājumu skaits ietekmē varbūtību novērtē papildu notikumus, izveidojot un veicot simulācijas, izmantojot varbūtības modeļus un pārskatot neatkarīgus notikumus.

                          Nejaušs eksperiments ir eksperiments, kurā ir zināms iespējamo rezultātu kopums, bet faktisko iznākumu nevar droši paredzēt. Varbūtības teorija ir izlases veida eksperimentu izpēte, kas ietver dažādus veidus, kā izmērīt konkrēta iznākuma vai notikuma iespējamību. Šajā nodarbībā mēs pārskatām varbūtības jēdzienu un dažādos eksperimentos praktizējam dažādu notikumu teorētisko varbūtību aprēķināšanu.

                          Bieži vien izlases eksperimentos ir iekļauti vairāki objekti, piemēram, eksperimentā var ietilpt godīgas monētas izmetīšana un standarta veidņu ripināšana. Šajā nodarbībā mēs izpētām, kā aprēķināt divu neatkarīgu notikumu iespējamību, piemēram, varbūtību, ka galva tiek izmesta un pāra skaitlis tiek velmēts. Mēs definējam un identificējam neatkarīgus notikumus un izmantojam tabulas un koku diagrammas, lai sistemātiski uzskaitītu visus eksperimenta rezultātus, lai aprēķinātu dažādu notikumu varbūtību.

                          Teorētiskā varbūtība ir attiecība, kas raksturo to, kas mums sagaidāms eksperimentā, un eksperimentālā varbūtība ir attiecība, kas raksturo to, kas faktiski notika eksperimenta laikā. Šajā nodarbībā mēs aprēķinām dažādu notikumu eksperimentālās varbūtības un izpētām to salīdzinājumu ar zināmām teorētiskām varbūtībām. Mēs arī izpētām situācijas, kad eksperimentēšana ir mūsu vienīgā iespējamību izpētes iespēja.

                          Ja jūs varat noteikt izredzes, ka eksperimentā notiks konkrēts notikums, varat izmantot šo informāciju, lai veiktu prognozes, kas saistītas ar šo eksperimentu. Šajā nodarbībā mēs izmantojam teorētiskās un eksperimentālās varbūtības, lai veiktu prognozes. Mēs apspriežam, cik ticamas vai neuzticamas varētu būt mūsu prognozes, un izpētām, kā mēs varētu izstrādāt eksperimentus tā, lai mūsu prognozes būtu pēc iespējas ticamākas.

                          Šajā nodarbībā mēs salīdzinām teorētiskās varbūtības ar varbūtības aplēsēm, kas atklātas eksperimentējot, un izpētiet, kā eksperimentā veikto izmēģinājumu skaits varētu ietekmēt varbūtības novērtējumus.

                          Šajā nodarbībā mēs definējam un izpētām papildinošu notikumu jēdzienu. Mēs uzzinām, kā papildu notikumu identificēšana var būt noderīga, aprēķinot varbūtības.

                          Daudzās reālās situācijās, kas saistītas ar varbūtībām, var būt grūti tieši apkopot datus, veicot reālus eksperimentus. Šādās situācijās matemātiķi bieži veic simulācijas, kas varbūtības ziņā līdzinās reālajai situācijai. Šajā nodarbībā mēs uzzināsim, kā izvēlēties piemērotus modeļus simulācijām un praktizēt simulāciju darbību, lai iegūtu varbūtības novērtējumus.

                          Šajā nodarbībā mēs pārskatām, kā noteikt neatkarīgu notikumu varbūtību, izmantojot sarakstus, tabulas un koku diagrammas, lai parādītu visus iespējamos rezultātus. Mēs arī izpētām, kā saskaitīt iespējamo un labvēlīgo rezultātu skaitu, tos skaidri nepierakstot. Šīs prasmes var būt noderīgas eksperimentos ar pārāk daudziem rezultātiem, lai tos varētu efektīvi uzskaitīt.


                          Matemātikas prakses tests

                          Izmantojiet 15 punktu priekšpārbaudi, lai pārbaudītu savas zināšanas matemātikā. Pierakstiet savu iepriekšējo rezultātu un pēc tam izpētiet šajā vietnē sniegtās apmācības. Kad jūtat, ka esat gatavs veikt savu SITS novērtējumu, pārbaude jāplāno Testēšanas centrā.

                          Šīs iepriekšējās pārbaudes rezultāti var sniegt vispārēju priekšstatu par jūsu faktiskajiem izvietojuma rezultātiem. Šis tests ir paredzēts tikai praksei, un rezultāti netiek izmantoti faktiskajai izvietošanai.

                          Atlasiet atbildi katram vienumam. Ja nezināt atbildi, jums vajadzētu izdarīt izglītotu minējumu. Testa beigās jums tiks sniegti jūsu rezultāti.

                          Jautājums 1

                          Kvadrāta perimetrs ir 20 pēdas. Ja palielināsit kvadrāta garumu par 2 pēdām un samazināsit platumu par 1 pēdu, kāds ir jaunās figūras laukums kvadrātpēdās?

                          2. jautājums

                          3. jautājums

                          4. jautājums

                          Kuram no šiem vienādojumiem ir gan 2, gan -4 kā risinājumi?

                          5. jautājums

                          6. jautājums

                          Kāda ir vienādojuma grafika yy plakne xy plaknē?

                          7. jautājums

                          Mainīgie x un y ir apgriezti proporcionālas, un y = 2 kad x = 3. Kāda ir vērtība y kad x = 9?

                          8. jautājums

                          Zemniekam ir 1235 koki, kas jāstāda taisnstūrveida zemes gabalā. Ja katrā rindā ir iestādīti 24 koki un pirms stādīšanas katrai rindai jābūt pilnīgai, cik koku pēc stādīšanas paliks pāri?

                          9. jautājums

                          Muzeja atklāšanā piedalījās 100 cilvēku grupa, daži studenti un daži mācībspēki. Katrs students par ieeju muzejā maksāja 10 USD vienai personai, un katrs mācībspēks par ieeju maksāja 25 USD vienai personai. Ja samaksātā summa par visiem 100 cilvēkiem bija 1300 USD, cik studentu apmeklēja muzeja atklāšanu?

                          10. jautājums

                          Sema un Henkna vecuma attiecība ir no 5 līdz 3. Ja viņu vecuma summa ir 24, cik vecs ir Henks?

                          11. jautājums

                          Faktors polinoms. Meklējiet koeficientus 36, kas pievieno -13.

                          Faktori no 36, kas pievieno -13, ir -4 un -9.

                          x 4 - 13x 2 + 36 = (x 2 - 4) (x 2 - 9)

                          Abi šie faktori ir kvadrātu atšķirības, un tos var ņemt vērā arī turpmāk.

                          x 4 - 13x 2 + 36 = (x 2 - 4) (x 2 - 9)

                          12. jautājums

                          Tiek mesta sešpusēja forma, kuras malas ir numurētas ar 1,2, 3,4,5 un 6. Cik liela ir varbūtība izmest skaitli, kas ir mazāks par trim?

                          13. jautājums

                          No pirmā stāva balkona uz augšu tiek izmesta mīkstā bumba. Bumbas attālumu virs zemes jebkurā brīdī nosaka funkcija,, kur h ( t ir softbola augstums virs zemes (pēdās) un t ir laiks (sekundēs). Cik liels bija softbola augstums virs zemes pēc tam, kad tas tika izmests?

                          14. jautājums

                          Zemāk esošajā tabulā ir parādītas standarta skavotāja iegādes izmaksas piecos biroja piederumu veikalos no A līdz E. Ja vidējā standarta skavotāja iegādes cena šiem veikaliem bija 17,99 ASV dolāri, kuras no šīm darbībām NAV varēja būt skavotāja izmaksas Veikals A?

                          15. jautājums

                          Zemāk parādītajā xy koordinātu plaknē norādiet punktu P ir koordinātas (8, -6). Kurš no šiem ir līnijas vienādojums, kurā ir punkti O un P ?

                          SVARĪGS:

                          Kad esat pārbaudījis atbildes, izmantojiet zemāk esošo skalu, lai redzētu, kur jūs varētu atrasties, veicot faktisko matemātikas SITS novērtējumu. Tas nav jūsu faktiskais SITS novērtējuma izvietojuma rezultāts. Lai to iegūtu, jums jāaizpilda pati SITS novērtēšana tuvākajā ACC testēšanas centrā.

                          Ja jums ir pareizs šāds jautājumu skaits, jūsu izvietojuma līmenis var būt:

                          • 0-4: Pieaugušo pamatizglītības kursi
                          • 5-12: Attīstības kursi
                          • 13-15: koledžas līmenis

                          Ja jums šķiet, ka pirms faktiskā SITS novērtējuma veikšanas jums ir nepieciešams vairāk sagatavoties, jums vajadzētu doties uz vietnes Math Review sadaļu, lai iegūtu papildinformāciju un praksi.

                          Ja nē, atgriezieties SITS sadaļā Prakses testi, lai aizpildītu citus nepieciešamos prakses testus (ja nepieciešams) un aizpildītu SITS priekšnovērtēšanas darbības (PAA) verifikācijas veidlapu. Lai reģistrētos SITS novērtējumam, jums būs nepieciešama šī aizpildītā veidlapa vai apstiprinājums pa e-pastu.


                          Skatīties video: Parasto daļu reizināšana un dalīšana ar veselu skaitli - matemātika (Decembris 2021).