Raksti

6.6: Polinoma dalījums - matemātika


6.6: Polinoma dalījums - matemātika

Polinoma garais dalījums

Algebrā polinoma garais dalījums ir algoritms polinoma dalīšanai ar citu tādas pašas vai zemākas pakāpes polinomu, pazīstamās aritmētiskās tehnikas vispārinātu versiju, ko sauc par garo dalījumu. To var viegli izdarīt ar rokām, jo ​​tas sadala citādi sarežģītu sadalīšanas problēmu mazākās. Dažreiz stenogrāfijas versijas, ko sauc par sintētisko dalīšanu, izmantošana ir ātrāka, mazāk rakstot un mazāk aprēķinot. Vēl viena saīsināta metode ir polinoma īsā dalīšana (Blomkvista metode).

Polinoma garais dalījums ir algoritms, kas īsteno Einlida polinomu dalījumu, kas sākas no diviem polinomiem A ( dalāmais) un B ( dalītājs) ražo, ja B nav nulle, a koeficients J un a atlikušo R tāds, ka

un nu R = 0 vai grāds R ir zemāka par B. Šie nosacījumi unikāli definē J un R, kas to nozīmē J un R nav atkarīgi no metodes, ko izmanto to aprēķināšanai.

Rezultāts R = 0 rodas tikai tad, ja polinoms A ir B kā faktors. Tādējādi garais dalījums ir līdzeklis, lai pārbaudītu, vai vienam polinomam ir cits faktors, un, ja ir, tad faktors. Piemēram, ja sakne r gada A ir zināms, to var ņemt vērā dalot A autors (xr).


Polinoma pakāpe

Polinoma pakāpe, kurai ir viens burtiskais faktors, ir termins ar visaugstāko pakāpi:

4x 2 - 2x + 4 ir otrās pakāpes polinoms, ko nosaka burtiskais faktors “x 2”.

Ja termiņā ir divi vai vairāki mainīgie, polinoma pakāpe ir mainīgo lielumu eksponentu summa:

2ax 3 - 4x + 6 ir ceturtās pakāpes polinoms, ko nosaka faktoru “a” un “x 3” summa.

3x + 5ab + 2b + 4 ir otrās pakāpes polinoms, “a” un “b” katrs tiek uzskatīts par vienu no termina “5ab”.


MathJax Sintētiskā un polinoma garā dalīšana

Līdz šim es izvairījos mēģināt parādīt dalīšanas paņēmienus, izmantojot $ LaTeX $, jo šķiet, ka vienkārši nav jauka veida, kā to paveikt. Tomēr mēs ļoti labi varam izmantot masīva vidi sintētisko un polinomu garās dalīšanas metožu parādīšanai.

Es parādīšu, kā izmantot masīva vidi, lai parādītu, ka:

izmantojot divas dalīšanas metodes, kuras parasti māca algebras studentiem, t.i., sintētisko un polinomu garo dalījumu.

Vispirms apspriedīsim masīva vidi. Lai definētu masīvu, varat izmantot tagus:

Tālāk jums jānosaka, cik daudz kolonnu būs un kādam jābūt šo kolonnu izlīdzinājumam. Kreisajā pusē izmantojat & quotl & quot, centram & quotc & quot, labajam - & quotr & quot. Katra rinda ir jādefinē, izmantojot vienu no šīm trim rakstzīmēm. Novietojot vertikālās joslas rakstzīmi & quot | & quot starp divām kolonnām šajā līdzināšanas definīcijā, jūs varat izraisīt vertikālu joslu masīvā. Katru masīva rindu atdala dubultā slīpsvītra & quot & quot, un katru rindu elementu atdala & amp; & quot & amp & quot. Datu elementi var būt arī tukši.

Pirmā kolonna var būt līdzināta centrā, un tad vertikālai joslai vajadzētu atdalīt pirmo kolonnu no pārējām, kurām visām jābūt izlīdzinātām pa labi.

Ievērojiet, ka komanda hline rada horizontālu līniju.

Polinoma garais dalījums

Šeit mēs varam izmantot tikai vienu kolonnu, kas izlīdzināta pa labi.

Pirmajā rindā ir koeficients, un otrajai rindai jābūt šādas formas:

Pasvītrot komandu var izmantot, ja tiek veiktas atņemšanas.

Ievērojiet, ka horizontālās atstarpes komandu hspace <#em> var izmantot, lai rindu beigās ievietotu atstarpi, lai pēc vajadzības pielīdzinātu datus. Jums var nākties eksperimentēt ar dažiem, lai tas būtu tieši piemērots.


Saturs

Polinoma gredzeni pāri veseliem skaitļiem vai laukam ir unikāli faktorizācijas domēni. Tas nozīmē, ka katrs šo gredzenu elements ir konstanta un nereducējamu polinomu (tādu, kas nav divu nemainīgu polinomu produkts) rezultāts. Turklāt šī sadalīšanās ir unikāla līdz faktoru pavairošanai ar invertējamām konstantēm.

Faktorizācija ir atkarīga no bāzes lauka. Piemēram, algebras fundamentālā teorēma, kas nosaka, ka katram polinomam ar sarežģītiem koeficientiem ir sarežģītas saknes, nozīmē, ka polinomu ar veselu skaitļu koeficientiem (faktoru sakņu atrašanas algoritmiem) var aprēķināt lineārajos faktoros kompleksajā laukā C. Līdzīgi, reālo jomu gadījumā nereducējamo faktoru pakāpe ir ne vairāk kā divas, turpretī ir jebkuras pakāpes polinomi, kas ir nesamazināmi racionālo jomās J.

Jautājums par polinoma faktorizāciju ir jēga tikai attiecībā uz koeficientiem a aprēķināms lauks kuru katrs elements var tikt attēlots datorā un kuram ir aritmētisko darbību algoritmi. Tomēr tas nav pietiekams nosacījums: Fröhlich un Shepherdson sniedz šādu lauku piemērus, kuriem nevar pastāvēt faktorizācijas algoritms. [3]

Koeficientu lauki, par kuriem ir zināmi faktorizācijas algoritmi, ietver galvenos laukus (t.i., pamatojuma lauku un galveno modulāro aritmētiku) un to galīgi ģenerētos lauku paplašinājumus. Arī veselie koeficienti ir traktējami. Kronekera klasiskā metode ir interesanta tikai no vēsturiskā viedokļa. Mūsdienu algoritmi darbojas pēc kārtas:

  • Sākot no daudzfaktoru gadījuma līdz vienfaktoru gadījumam.
  • Sākot no koeficientiem tīri transcendentālā paplašinājumā līdz daudzfaktoru gadījumam virs zemes lauka (skat. Zemāk).
  • Sākot no koeficientiem algebriskā paplašinājumā līdz koeficientiem zemes laukā (skat. Zemāk).
  • Sākot no racionāliem koeficientiem līdz veselu skaitļu koeficientiem (skatīt zemāk).
  • Sākot no veselu skaitļu koeficientiem līdz koeficientiem galvenajā laukā ar lpp elementi, labi izvēlētiem lpp (Skatīt zemāk).

Šajā sadaļā mēs parādām, ka faktorings ir lielāks J (racionālie skaitļi) un vairāk Z (veseli skaitļi) būtībā ir tā pati problēma.

The saturu no polinoma lppZ[X], apzīmēts kā "turpinājums (lpplīdz zīmei ir lielākais kopējais koeficientu dalītājs primitīva daļa gada lpp ir primpart (lpp)=lpp/ turpinājums (lpp), kas ir primitīvs polinoms ar veselu skaitļu koeficientiem. Tas nosaka koeficientu lpp vesela skaitļa un primitīva polinoma reizinājumā. Šī faktorizācija ir unikāla līdz satura zīmei. Parasti tiek izvēlēta satura zīme tā, lai primitīvās daļas vadošais koeficients būtu pozitīvs.

ir faktorizācija saturā un primitīvajā daļā.

Katrs polinoms q ar racionāliem koeficientiem var rakstīt

kur lppZ[X] un cZ: pietiek ņemties c visu koeficientu koeficientu reizinātājs q (piemēram, viņu produkts) un lpp = kv. The saturu gada q ir definēts kā:

un primitīva daļa gada q ir tas, ka lpp. Kas attiecas uz polinomiem ar veselu skaitļu koeficientiem, tas nosaka faktorizāciju racionālā skaitlī un primitīvu polinomu ar veselu skaitļu koeficientiem. Šī faktorizācija ir unikāla arī līdz zīmes izvēlei.

ir faktorizācija saturā un primitīvajā daļā.

Gauss pierādīja, ka divu primitīvu polinomu produkts ir arī primitīvs (Gausa lemma). Tas nozīmē, ka primitīvs polinoms ir nesamazināms attiecībā uz pamatojumu tikai tad, ja tas ir nereducējams pret veseliem skaitļiem. Tas nozīmē arī to, ka polinoma ar racionāliem koeficientiem pamatojums ir tāds pats kā faktorizācija tā primitīvās daļas veselajos skaitļos. Līdzīgi polinoma ar veseliem koeficientiem koeficientu skaitīšana pāri veseliem skaitļiem ir tā primitīvās daļas faktorizācijas rezultāts pēc tā satura faktorizācijas.

Citiem vārdiem sakot, vesels skaitlis GCD aprēķina polinoma faktorizāciju salīdzinājumā ar pamatojumu līdz primitīva polinoma ar veselu skaitļu koeficientiem faktorizācijai un koeficientu pār veseliem skaitļiem līdz veselā skaitļa un primitīva polinoma faktorizācijai.

Viss, kas notiek iepriekš, paliek patiess, ja Z aizstāj ar polinoma gredzenu virs lauka F un J tiek aizstāts ar racionālu funkciju lauku F tajos pašos mainīgajos, ar vienīgo atšķirību, ka "līdz zīmei" jāaizstāj ar "līdz reizināšanai ar invertējamo konstanti FTas samazina faktorizāciju, izmantojot tīri pārpasaulīgu lauka paplašinājumu F daudzfaktoru polinomu faktorizācijai F.

Ja divi vai vairāki polinoma faktori ir identiski, tad polinoms ir šī faktora kvadrāta reizinājums. Daudzkārtējais faktors ir arī polinoma atvasinājuma faktors (attiecībā uz kādu no mainīgajiem, ja vairāki).

Vienvirziena polinomiem vairāki faktori ir līdzvērtīgi vairākām saknēm (piemērotā pagarinājuma laukā). Vienmaņādiem polinomiem pāri racionālajiem elementiem (vai vispārīgāk - raksturīgās nulles laukā) Yun algoritms to izmanto, lai efektīvi polinomu faktorizētu bez kvadrātveida faktoros, tas ir, faktoros, kas nav kvadrāta reizinātāji, veicot virkni GCD aprēķini, kas sākas ar gcd (f(x), f '(x)). Lai faktorizētu sākotnējo polinomu, pietiek ar faktora faktoru katru kvadrātu nesaturošu faktoru. Tāpēc bez kvadrātveida faktorizācija ir pirmais solis vairumā polinomu faktorizācijas algoritmu.

Yuna algoritms to attiecina arī uz daudzveidīgo gadījumu, uzskatot daudzveidīgo polinomu par vienmaļīgu polinomu pār polinoma gredzenu.

Polinoma gadījumā virs ierobežota lauka Yuna algoritms tiek piemērots tikai tad, ja pakāpe ir mazāka par raksturlielumu, jo citādi polinoma, kas nav nulle, atvasinājums var būt nulle (virs lauka ar lpp elementi, polinoma atvasinājums x lpp vienmēr ir nulle). Neskatoties uz to, GCD aprēķinu pēctecība, sākot no polinoma un tā atvasinājuma, ļauj aprēķināt bez kvadrāta sadalījumu, sk. Polinoma faktorizācija virs ierobežotajiem laukiem # Bez kvadrāta faktorizācija.

Šajā sadaļā ir aprakstītas mācību grāmatu metodes, kas var būt ērtas, aprēķinot ar roku. Šīs metodes netiek izmantotas datoru aprēķiniem, jo ​​tajās tiek izmantota veselā skaitļa faktorizācija, kas pašlaik ir lēnāka nekā polinoma faktorizācija.

Lineāro faktoru iegūšana Rediģēt

Visus lineāros faktorus ar racionāliem koeficientiem var atrast, izmantojot racionālo saknes testu. Ja faktors, kas jāņem vērā, ir a n x n + a n - 1 x n - 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 < displaystyle a_x ^+ a_x ^+ cdots + a_ <1> x + a_ <0>>, tad visi iespējamie lineārie koeficienti ir b 1 x - b 0 < displaystyle b_ <1> x-b_ <0>>, kur b 1 < displaystyle b_ <1>> ir < displaystyle a_ vesels skaitlis> un b 0 < displaystyle b_ <0>> ir 0 < displaystyle a_ <0>> vesels skaitlis. Var pārbaudīt visu iespējamo veselu skaitļu faktoru kombināciju derīgumu, un katru derīgo var aprēķināt, izmantojot polinomu garo dalījumu. Ja sākotnējais polinoms ir tādu faktoru rezultāts, no kuriem vismaz divi ir 2. vai augstāka pakāpe, šī metode nodrošina tikai daļēju faktorizāciju, pretējā gadījumā faktorizācija ir pabeigta. Jo īpaši, ja ir tieši viens nelineārs faktors, tas būs polinoms, kas palicis pēc visu lineāro faktoru izslēgšanas. Ja kubiskais polinoms ir tāds, ka kubiskais ir faktorizējams, racionālais saknes tests dod pilnīgu faktorizāciju vai nu lineārajā un nereducējamajā kvadrātiskajā koeficientā, vai trīs lineārajos faktoros.

Kronekera metode Rediģēt

Tā kā veselu skaitļu polinomiem jāņem vērā veselu skaitļu polinomu faktori, un, novērtējot veselu skaitļu polinomus veselās skaitļa vērtībās, ir jārada veseli skaitļi, polinoma veselās vērtības var ņemt vērā tikai ierobežotā skaitā veidu un radīt tikai galīgu skaitu iespējamo polinomu faktoru.

Tādēļ, ja pastāv otrās pakāpes vesela skaitļa polinoma faktors, tam jāņem viena no vērtībām

lpp(0) = 1, 2, −1 vai −2

un tāpat par lpp(1). Ir astoņi koeficienti pa 6 (pa četriem pa 1 × 6 un 2 × 3), kopā veidojot 4 × 4 × 8 = 128 iespējamos trīskāršus (lpp(0), lpp(1), lpp(−1)), no kuriem pusi var izmest kā otras puses negatīvos. Tādējādi mums jāpārbauda 64 izteikti veselu skaitļu polinomi p (x) = ax 2 + bx + c < displaystyle p (x) = ax ^ <2> + bx + c> kā iespējamie f (x) < displaystyle f faktori (x)>. Pārbaudot tos izsmeļoši, tas tiek atklāts

būvēts no (g(0), g(1), g(−1)) = (1,3,1) faktori f (x) < displaystyle f (x)>.

Faktorings pār ierobežotiem laukiem Rediģēt

Faktorizējot vienvirziena polinomus pār veselajiem skaitļiem Rediģēt

Pirmo polinoma laika algoritmu racionālu polinomu faktorēšanai atklāja Lenstra, Lenstra un Lovász, un tas ir Lenstra – Lenstra – Lovász režģa bāzes samazināšanas (LLL) algoritma (Lenstra, Lenstra & amp Lovász 1982) pielietojums. LLL faktorizācijas algoritma vienkāršotā versija ir šāda: aprēķiniet kompleksu (vai lpp-adic) polinoma f (x) < displaystyle f (x)> sakne α ar augstu precizitāti, pēc tam izmantojiet Lenstra – Lenstra – Lovász režģa bāzes samazināšanas algoritmu, lai atrastu aptuveno lineāro attiecību starp 1, α, α 2, α 3,. . . ar veselu skaitļu koeficientiem, kas varētu būt precīza lineāra sakarība un f (x) < displaystyle f (x)> polinoma koeficients. Var noteikt saistību ar precizitāti, kas garantē, ka šī metode rada vai nu koeficientu, vai nesamazināmības pierādījumu. Lai gan šī metode beidzas polinoma laikā, to praksē neizmanto, jo režģim ir augsts izmērs un milzīgi ieraksti, kas padara aprēķinu lēnu.

Faktorings salīdzinājumā ar algebriskiem paplašinājumiem (Tragera metode) Rediģēt

ir vēlamā faktorizācija lpp(x), gredzens unikāli sadalās laukos kā:


Kā: ņemot vērā divus polinomus, kur dalītājs ir formā [latekss] x-k [/ latekss], sadalīšanai izmantojiet sintētisko dalījumu

  1. Rakstiet k dalītājam.
  2. Uzrakstiet dividenžu koeficientus.
  3. Samaziniet svina koeficientu.
  4. Reiziniet svina koeficientu ar k. Uzrakstiet produktu nākamajā kolonnā.
  5. Pievienojiet otrās kolonnas noteikumus.
  6. Reiziniet rezultātu ar k. Uzrakstiet produktu nākamajā kolonnā.
  7. Atkārtojiet darbības [latekss] 5 [/ latekss] un [latekss] 6 [/ latekss] atlikušajām kolonnām.
  8. Izmantojiet apakšējos skaitļus, lai uzrakstītu koeficientu. Skaitlis pēdējā kolonnā ir atlikušais, un tā pakāpe [latekss] 0 [/ latekss]. Nākamajam skaitlim no labās puses ir grāds [latekss] 1 [/ latekss], un nākamajam skaitlim no labās puses ir grāds [latekss] 2 [/ latekss] utt.

Nākamajā piemērā mēs izmantosim sintētisko dalījumu, lai sadalītu trešās pakāpes polinomu.

Piemērs

Izmantojiet sintētisko dalījumu, lai sadalītu [lateksu] 4^<3>+10^ <2> -6x - 20 [/ latekss] ar [latekss] x + 2 [/ latekss].

Binomiālais dalītājs ir [latekss] x + 2 [/ latekss], tātad [latekss] k = -2 [/ latekss]. Pievienojiet katru kolonnu, reiziniet rezultātu ar –2 un atkārtojiet, līdz sasniegta pēdējā kolonna.

Rezultāts ir [latekss] 4^ <2> + 2x - 10 [/ latekss]. Atkal ievērojiet, ka rezultāta pakāpe ir mazāka par koeficienta [lateksa] 4 pakāpi^<3>+10^ <2> -6x - 20 [/ latekss].

Mēs varam pārbaudīt, vai esam pareizi, reizinot rezultātu ar dalītāju:

Mēs tikko pārbaudījām, vai atbilde ir [latekss] 4^ <2> + 2x - 10 [/ latekss]

Nākamajā piemērā mēs parādīsim ceturtās pakāpes polinoma dalījumu ar binomu. Ievērojiet, kā ceturtās pakāpes polinomā nav x termina, tāpēc mums ir jāizmanto vietturis 0, lai nodrošinātu pareizu terminu izlīdzināšanu.

Piemērs

Izmantojiet sintētisko dalījumu, lai sadalītu [lateksu] -9^<4>+10^<3>+7^ <2> -6 [/ latekss] ar [latekss] x - 1 [/ latekss].

Ievērojiet, ka nav x-jēdziens. Šim terminam kā koeficientu izmantosim nulli.

Pamēģini

Mūsu pēdējā video piemērā mēs parādām vēl vienu piemēru, kā izmantot sintētisko dalījumu, sadalot trīs pakāpes polinomu ar viena grāda binomu.


Matemātiķi nav cilvēki, kuriem matemātika šķiet viegli, bet cilvēki, kuriem patīk, cik tas ir mistificējoši, mulsinoši un grūti. Vai jūs esat matemātiķis?

Komentārs, kas ierakstīts 17. jūnija lapā “Dienas sākums”, ko iesniedza Halls kungs, Light Hall skola, Solihull:

Es mīlu tevi vietne, es to izmantoju katrā matemātikas nodarbībā, kas man ir katru gadu kopā ar grupu! Es nezinu, vai es vērstos pie jums! & Quot

Komentārs, kas ierakstīts 23. septembra lapā “Dienas sākums”, Džūdija, Čatsmora CHS:

Šis trīsstūra starteris ir lielisks. Esmu to izmantojis ar visām savām ks3 un ks4 klasēm, un tās visas ir pilnībā koncentrētas, skaitot trijstūrus. & Quot

Katru mēnesi tiek publicēts biļetens, kurā ir informācija par jaunajiem Transum vietnes papildinājumiem un jauna mēneša mīkla.

Biļetens pēc tam tiek dublēts kā aplāde, kas ir pieejama lielākajos piegādes tīklos. Podcast apraidi var klausīties, kamēr braucat uz darbu, vingrojat vai atpūšaties.

Transum jaunākās ziņas ir pieejamas vietnē Twitter @Transum, un, ja ar to nepietiek, ir arī Transum Facebook lapa.

Piedāvātā darbība

Biļetens

Tikko tika publicēts Transum biļetens 2021. gada jūlijam. Noklikšķiniet uz attēla iepriekš, lai lasītu par jaunākajiem notikumiem šajā vietnē un mēģinātu atrisināt mēneša mīklu. Jūs varat lasīt biļetenu tiešsaistē vai noklausīties to, lejupielādējot aplādi.


Atrisināti piemēri

Roze vēlas sadalīt polinomu ((4x ^ 3 - 3x ^ 2 + 4x) ) ar (2x + 1 ). Vai jūs varat viņai palīdzēt risinājumā?

Šeit polinoms (4x ^ 3 - 3x ^ 2 + 4x ) tiek dalīts ar (2x + 1 )

Atrisiniet ((24a ^ 2 + 48a + 2) un daliet (6a + 12) ), izmantojot polinomu garās dalīšanas metodi.

((24a ^ 2 + 48a + 2) un dalīt (6a + 12) ) garo sadalījumu var veikt šādi.

Apsveriet šādus divus polinomus:

Atrodiet koeficienta polinomu un atlikumu, kad (a left (x right) ) tiek dalīts ar (b left (x right) ).

( tāpēc ) [ sākas& ampq left (x right) = frac <1> <2> - frac <3> <4> x + frac <7> <8> & ampr = - frac <<15>> <8> beigas]

Daliet (6x ^ 2 + 10x-24 ) ar (2x + 6 ), izmantojot sintētisku polinomu dalījumu.

Daliet (60y ^ 4 + 22y ^ 3 & mīnus 164y ^ 2 & mīnus 24y + 84 ) ar (6y ^ 2 + 4y & mīnus 8 ) un atrodiet izteiksmes koeficientu un atlikumu.


Jauna algebriskā matemātikas lietotne: polinoma garā nodaļa

Lai atkārtoti izmantotu šo rakstu, apmeklējiet sadaļu Mans profils un pēc tam skatiet saglabātos stāstus.

Lai atkārtoti izmantotu šo rakstu, apmeklējiet sadaļu Mans profils un pēc tam skatiet saglabātos stāstus.

Papildinot savu plašo vienkāršo, bet efektīvo un skaidro matemātikas lietotņu kolekciju, Esa Helttula tagad ir ieviesusi Polinomu garo nodaļu.

Lielākā daļa Esa & # x27s iepriekšējo lietotņu ir bijušas par aritmētiku, palīdzot bērniem dažādos veidos praktizēt to saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu un dalīšanu. Bet šis jaunais nirst tieši Algebras vidū, mācot bērniem, kā rīkoties un sadalīt polinomus un to individuālos terminus.

Kad jūs to sākat, lietotne iepazīstina jūs ar polinoma dalīšanas problēmu un pēc tam izskata katru dalīšanas procesa daļu. Ja jūs kādreiz esat iestrēdzis, pieskarieties kādam vārdam vai uz & quothelp me, & app, un lietotne māca vai atgādina, kā atrisināt šo vienādojuma daļu.

Tāpat kā visās Esa & # x27s lietotnēs, arī jūs varat mainīt iestatījumus, lai ietekmētu lietotos vārdus un lapas izskatu. Varat arī manuāli iestatīt problēmu, ja jūsu bērni vēlas palīdzību mājas problēmu risināšanā vai vēlaties izaicināt viņus ar noteiktu polinomu komplektu. Ir arī vēstures saraksts, lai jūs varētu redzēt problēmas, kuras jau esat atrisinājis.

Ir plašs palīdzības ekrāns, kas sniedz palīdzību visās lietotnes daļās. Jūs varat arī iegūt vairāk informācijas par šo un citām ESA & # x27s lietotnēm vietnē iDevBooks.

Kaut arī lietotne jums palīdz soli pa solim, pirms polinomu dalīšanas vai manipulācijas ar to nosacījumiem esat jauns, pirms lietotnes izmēģināšanas var būt noderīgi daži ārējie norādījumi. Bet, ja jūs vairāk rakstāt & quot; to konfigurējat, ejot & quot, ierakstiet, šī lietotne sniedz jums nepieciešamo informāciju un rīkus, lai to izdarītu paši.

Polynomial Long Division iPad ir pieejams iTunes veikalā par 2,99 USD. Tas ir fantastiski, lai palīdzētu bērniem (un pieaugušajiem) praktizēt polinomu manipulācijas un dalīšanos. Tuvākajā nākotnē iznāks polinoma reizināšana un polinoma saskaitīšana un atņemšana. Es nevaru pietiekami ieteikt ESA un # x27s matemātikas lietotnes.


Iepriekšējā sadaļā mēs redzējām divas idejas: Pirmais ir veids, kā iegūt vislabāko tikai 1. pakāpes (līnijas) līkni, kas šķērso divi punkti polinoma funkcijā, un otrais ir veids, kā iegūt labāko līkni (polinomu) grāds kas tuvina mūsu funkciju tikai vienā punktā. Kas notiek, ja mēs apvienojam šīs divas idejas? Apskatīsim atlikušo dalīto vērtību, lai palielinātu vērtības, un pēc tam vispāriniet šo ideju, lai iegūtu divpunktu Teilora analītisko funkciju paplašinājumu!

Apsveriet atlikušo. Mēs vēlamies parādīt, ka līkne vislabāk atbilst punktiem un pēc kārtas katrā no šiem punktiem.

Pierādījums

Paziņojums no dalījuma vienādojuma, kas ir precīzs pēc pasūtījuma un izpilda vienādojumus

Izmantojot indukciju, mēs varam parādīt, ka tai ir iepriekš aprakstītā forma. Jo mēs jau redzējām, ka šī ir līnija, kas šajos punktos šķērso un līdz ar to vislabāko tuvinājumu 0. kārtai. Rakstot, mēs to ievērojam

  • Šis ir ne vairāk kā kārtības polinoms, kā to prasa dalīšanas algoritms
  • Tas jau atbilst iepriekšējiem vienādojumiem par
  • Tam ir divas brīvības pakāpes, lai atrisinātu abus iepriekš dotos vienādojumus.

Ātra Google meklēšana par šo tēmu rada NASA publikāciju par Taylor divpunktu paplašināšanu, kam seko jaunāki dokumenti. No šī raksta jūs varat pamanīt, ka ērtāk ir uzrakstīt divu punktu Teilora sērijas katra termina koeficientu formā.



Algebriskā garā dalīšana ir ļoti līdzīga tradicionālajai garajai dalīšanai (ar kuru jūs, iespējams, esat saskāries agrāk savā izglītībā). Visvienkāršāk to izskaidrot, izmantojot piemēru.

NB:
Ja dalāmajam polinomam / izteiksmei trūkst termina x, pievienojiet šādu terminu, pirms tā ievietojot nulli. Piemēram, ja dalāt x³ + x - 4 ar kaut ko, pārrakstiet to kā x³ + 0x² + x - 4.

Izmantojot algebrisko garo dalījumu, prakse padara perfektu - labākais veids, kā uzzināt, kā tos pareizi darīt, ir veikt daudz piemēru, līdz tie katru reizi tiek pareizi sakārtoti.

Faktora teorēma

Citiem vārdiem sakot, ja polinomu f (x) var sadalīt ar (x - a) bez atlikuma, tad x = a ir f (x) sakne (tātad f (a) = 0).

Iepriekš aprakstītajā piemērā f (2) = 0. Tas nozīmē, ka (x - 2) ir vienādojuma koeficients.

Faktoru teorēma ir svarīga, jo tā var būt vienkāršs veids, kā atrast faktorus, kurus citādi būtu grūti atrast.

Ņemiet vērā, ka, ja mēs aizstājam x ar -1, tad mēs iegūstam nulli. Ja jūs to pamanāt vai jums to ir teicis, pēc faktoru teorēmas nekavējoties zināt, ka viens no faktoriem ir (x + 1). Tagad mēs varam dalīt x 3 -7x - 6 ar (x + 1), lai atrastu pārējos faktorus. Ja veicat dalīšanu, iegūsiet x 2 - x - 6. To ir viegli faktorizēt, atbilde ir (x - 3) (x + 2).

Tātad x 3 -7x - 6 = (x + 1) (x - 3) (x + 2)

Atlikušo teorēma

Dalot vienu algebrisko izteiksmi ar citu, biežāk būs atlikums. Bieži vien ir noderīgi zināt, kas ir šis atlikums, un to bieži var aprēķināt, neizturot dalīšanas procesu. Noteikums ir:

Ja polinomu f (x) dala ar asi - b, atlikums ir f (b / a)

Iepriekš minētajā piemērā 2x³ - 3x² - 3x + 2 tika dalīts ar x - 2.

Ļaujiet f (x) = 2x³ - 3x² - 3x + 2. Šajā gadījumā a = 1, b = 2. Atlikums līdz ar to ir f (2) = 2 × 2³ - 3 × 2² - 3 × 2 + 2 = 0, kā redzējām, sadalot visu.

Terminoloģija

The koeficients ir tas, kas jums tiek dots pēc dalīšanas. Tātad, ja p (x) ir sākotnējais polinoms, tad

p (x) = q (x) s (x) + r (x), kur q (x) ir koeficients, s (x) ir tas, ar ko jūs dalāties, un r (x) ir atlikusī daļa.


Skatīties video: ETF - Matematika 1 - Vezbe uvod u polinome, deljenje polinoma, Bezuov stav (Novembris 2021).